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TESIS QUE SUSTENTA

PARA OBTENER EL URADO DE

/MAESTRO EN MATEMATICAS

\ " . -

A G R A D E C I M I E N T O S

Quiero agradecer al

DR. LUIS VERDE STAR

DR. ERNESTO LACOMBA

DR. JUAN J. RIVAUD M.

DR. PEDRO ARMENDARIZ M.

DR. OCTAVIO R. ARZATE S.

094552

a

por aceptar ser mis sinodales, así como por la rev i s ión del

p resente t raba jo , y por sus atinadas indicaciones y sugerencias.

A todos ellos gracias.

Deseo agradecer en forma m u y especial al Dr . Pedro Arméndariz

su de f in i t i vo apoyo, en t r ega y entusiasmo para la real ización de

este t raba jo , pero más poc la amistad que nos ha brindado.

Amado Le6n Vázquez.

UAM-I octubre de 1989.

I N U I C E

INTRODUCCION ................................................. 1

PARTE I . EXTREMALES Y ECUACIONES DE EULER . LAGRANGE ..... 6

PARTE I 1 . POTENCIAL ......................................... 24

PARTE I11 . RESULTADO FUNDAMENTAL ........................... 34

CONCLUSIONES ................................................ 62

APENDICE I . P R E L I M I N A R E S .................................... 66

APENDICE I1 . L A DERIVADA ................................... 75

R E F E R E N C I A S ................................................. 85

.

I N T R O D U C C I O N

Actualmente el curso de CSilculo de Variaciones, se imparte e n

la l icenciatura en matemáticas en el sexto o septimo semestre. En

las 1icenciat.uras de ingenieria. rior.nialriient,e no se of-rece. A nivel

maestría. el curso es impartido en matematic& siendo ob l igator io

u op ta t i vo , e n ingenieria se ofrece solo e n algunos posgrados,

usualmente c omo opta t i vo .

E l curso radica, esencialmente, e n es tab lecer condiciones

necesar ias y su f i c i en tes para que un funcional de t i p o integral ,

definido sobre un conjunto de funciones, t enga un extremo.

Normalmente, el curso f ina l i za dandose una introduccibn a los

llamados Metodos Directos del Calculo de Variaciones o Metodos

Variacionales: Eulei., K i t z , KanLorovich, Ualerhin y rec ientemente

Elementos Finitos. Los cuales se uti l izan para optimizar

funcionales. Véase las referencias [FI, CMII, CRI, CSMI.

Cuando se t i ene un funcional y se emplean las condiciones

necesar ias para que t enga un extremo, se genera la llamada

ecuacidn de Euler-Lagrange <E-L> del funcional, la cual es una

ecuacióri di ferenc ia l tci sistema de ellas) ordinaria 6 parcial,

cuya solución op t ih i za el Funcional. Tul solucidn puede no exist,ir

y si e;uist.e puede no ser unica.

1

En el caso de que la solución ex is ta , la E-L del funcional

se resuelve e n algunos casos por inptodos arialiticos , y niAs

f recuenteniente por metodos numericos.

D e hecho, los meLodos variacionales d i r e c t os han s ido

empleados para optirnizar funcionales cuya E-L t i ene importancia

e n aplicaciones. Dada la ecuacion di ferencial , tal funcional ha

sido encontrado por medio de ensayo y error, especialmente cuando

el operador di ferencial no es lineal. El caso l ineal es nias

sencil lo v el proceso para determinar el funcional es conocido,

pe ro no juskificado. En general. no se t i en e un procedimiento

sisternat ico.

E l o b j e t i v o principal del p resente t r aba j o es dar respuesta a

las preguntas siguientes:

Dada una ecuacion diferencial. L es posible encontr-ar un

funcional cuya ecuacidn E-L sea la ecuacion dada '?.

Bajo que condiciones '?. J

Si tal funcional ex i s t e , ,i es unico '7

Si t,al funcional ex i s t e , 2 corno se det.erniina ?.

Las respuestas se encuentran e n el teorema de M. M. Vainberg

<196-4> [VI. P r r o el erifo<.pe es para espec ia l is tas en anAlisis

funcional. por lo que es poco accesible para ingeniería. Por

otra par t e , e x i s t e un ar t ícu lo debido a E. Tonti <1969> [TI ,

basado e n el teorema de- Vainberg, donde se da respuesta a las

cuestiones anteriores, t-iac-iei-ido ar i n l c > g k a cnri el conccipt.o f isico

de f u e r z a conservat iva, v i s t o como traba10 independiente de la

t rayec to r i a , de manera que es ITIAS accesible para ingenierla. S in

embargo, la notacien que emplea es confusa, aderncis se def ine un

producto escalar en espacios de funciones que no ut i l iza, po r lo

que se p ierde claridad.

La importancia de poder &-ociar UII furiciorial con un operador

diferericial úado. es que se pueden usar rnetndr~s alLernat ivos para

la solucion de ecuaciones diferenciales. es decir , e n lugar de

resolver la ecuacion diferericial, se upt,imiza el funcional

asociado mediante algun metodo variaciorial.

A l problema de asociar un funcional con una ecuacidn

diferncial dada, se le llamara E l Problema inverso del Cálculo de

Variaciones.

Aquí no se emplea la variacion de un furicional, la cual es

util izada en los t e x t o s cl,?sicos de chlculo de variaciones, [El,

CUI. CKl, CWEI. sino l a derivada de Freche t y los espacios de

Lrabajo son de Hilbert,.

Otro ob j e t i v o del presente t raba jo , es que sirva como

sopor te , asi corno i.ma est,r-risiun del curso tie C:Li lculo de

Variaciones que se ofrece en el posgrado de ingenieria, y quizás

pueda ser un complemento para el que se ofrece en mstematicas.

Los apendices contienen concept,os y hechos basicos que son

fundamentales, especialmente para consultores no especia l istas en

estms top icos de mateniáticas, por ello se presentan algunos

ejemplos en espacios de dimension f in i ta , as1 como en espacios de

funciones.

-

La primera p a r t e es un b reve resumen de calculo de

variaciones, esencialmente de condiciones necesarias para que un

funcional tenga extremales. Ademas se muestran algunos ejemplos de

importancia, geoniétrica y/o f isica- maLematica. No de t r a t a n las

condiciones su f i c i entes porque sólo in te resan extremos, es decir,

no in t e r esa si los extremos son niaximos v/o mininios. Los ejemplos

se presentan en espacios de dimensión f i n i t a y en epacios de

f'unci ones.

Los apendices y l a primera p a r t e t r a t a n de cumplir el

ob j e t i v o de soporte mencionado anteriorniente.

En la segunda part,e se de f ine operador conserva t i vo y se uan

algunos ejeniplos al respect,o. A los oper.3idoIses coriscrvativos,

Vainberg les l lama operadores potenciales, lo cual puede generar

confusihn. con r espec to al concepto de potencial.

Finalmente, e n la t e r c e r a parte se enuncia y prueba el

teorema de Vainberg, lo cual permite 'dar respuesta a las

cuest iones ant e r io r ment e p lant fiadas. Los r esu l t advs son empleadu s

e n algunos casos concretos.

D e manera que la segunda parte, y especialmente la tercera,

t r a t a n de cumplir el ob j e t i v o de extension que se busca, as1 como

es tab lecer un procedimierit-o para deterrnii-iar. el funcional asociado

con un operador diferencial.

A s í se t i en e

CSlcuLo de Variaciones: problema direct,o

CAlculo de Variaciones: problema inverso

5

PARTE I. EXTREMALES Y ECUACIONES DE EULER - LAGRANGE

En esta p a r t e se muestran los conceptos básicos del Cálculo

de Variaciones, esencialmente la condición necesar ia para que un

funcional alcance un extremo. También se dan teoremas y lemas

llamados Fundamentales del Cálculo de Variaciones, los cuales son

empleados poster iormente para determínar la ecuación de

Euler-Lagrange de un funcional dado. Finalmente se dan algunos

e jemplos clásicos.

DEFINICION 1.1. Sean (E un espacio de Banach (véase apéndice

I., def inición I.6.> y T un funcional <vease apéndice I.,

def inición I.2.> definido en [II . T t i ene un minim0 local en

fo E [E 6 > O, o s e t i ene que -

si para algún

T< f> - TCf > 2 O , o

para todo f E E , tal que 11 f - fo 11 I 6 Y T<f> esté

definido.

DEFINICION 1.2. Sean E un espacio de Banach y T un

funcional definido en [E. T t i ene un máximo local en f E [E si

para algún 6 > O, se t i ene que

O

T< f> - T< f > 5 O ,

para todo f e [E , tal que 11 f - fo 11 i 6 Y T<f> esté

definido.

o

El mínimo y/o máximo se llaman extremos del funcional. Y si

el funcional e s t á def inido en un espacio de funciones, los

3

extremos se llaman extremales del funcional.

TEOREMA 1.1. Considérese que E es un espacio de Banach y T

un- funcional definido en [E . Si es un extremo local de T

y T admite derivada de Fréchet en f (véase apéndice II.,

definioión II.3.>, entonces:

fo E [E

O

I

DT<fo> = o

Para una prueba, véase CCI.

La proposición rec íproca no siempre vale, puesto que se puede

t ene r en fo un punto de inflexión.

En este trabajo , no se requiere la suficiencia puesto que

s6lo in teresan extremos.

Dado que aquí T es un funcional, entonces DTCf> es un

funcional lineal continuo.

TEOREMA 1.2. (Meyers-Serrin, 1964).

i> Si n es un entero positivo y 01 E C°Ca,bl (véase

apéndice I.,e jemplos I.2.,3. y 6.) satisface

b o( h(,’ dx = O , para bod0 h E C g a , b l ,

a

entonces o( es un polinomio de graúo a lo más n-1 .

O i f > Si n es un en t e r o pos i t i vo y a y (3 E C Ca,bl sa t i s f acen

CG h + 0 h(n) ] dx = O , para todo h E CzCa,bl , PI

entonces p E CnCa,bl , con (3'n' = <-l>n-' a .

En la parte ii> del teorema anterior, cuando 0 = o, se tiene

que, si

b a h dx O , para todo h E CzCa,bl , entonces a SZI o .

a

a

Para una prueba, véase H I .

LEMA 1.1. <Ha-> Si D es un dominio de IRz donde vale el

teorema de la divergencia, y

i> si a E cO<D> es tal que

och dx dy - O , para todo h E Cz<D> , D

entonces a = o .

ii> si a E c06> y 0 y y E d < D > son taies que

(ah + (3h + yh > dx dy - O , para todo h E Cz<E> , X Y P

entonces a = px + yy .

iii> si a , f3 y y E CO<D> .

Entonces

s a dx dy = s (13 dx - y dy> , para todo S c D S as

donde ds es la f rontera de S .

Para una prueba, véase Cal.

7

LEMA 1.2. Considérese a , (3 y y E C°Ca,bl tales que

b C ah + rjh' + yh" 1 dx * O , para todo h e Czía,bl ,

Q

entonces:

i> y' E CiCa,b3 .

ii>

iii> a = (? - y' .

Para una prueba, véase Cal.

(3 - y' E CiCa,bl . a

Ahora se tiene la herramienta para determinar la ecuación de

Euler-Lagrange de un funcional, cuya solución <si existe) permite

que el funcional alcance un extremo, como se verá. Para ello se

considera primero el Problema Elemental del Cálculo de Variaciones

y después se generaliza.

Considérese que C'Ca,bl es un espacia normado, con La norma

I 1, (véase apéndice I., ejemplo 1.7.>, y que T es un

funcional definido en C'Ca,bl como

b T<y> - f<x,y,y'> dx , con f E C'CCa,bl x R2>

a

y que y<x> satisface y<a> = A y yCb> = B . Si T tiene un

extremo local en yo , entonces se puede escribir

y<x> = yo<x> + h<x> ,

y para que se pmiplan las condiciones de frontera se tiene que

hCa> = O = hCb> , -

8

es decir, h E C:Ca,bl

construye

< h<x> se llama funcidn admisible>. Así se

b I<h> = T<yo + h> = I f <x , y, + h , yo ' + h'> dx

a

es un YO

C I<h> se liarna funcional auxiliar>. Y puesto que

extremo local de T , entonces h<x> = o es un extremo local de I. 1

Empleando el Teorma I.1., se t i ene que (véase apéndice II.,

ejemplos 11.13. y 14.)

b DI<o>h - <f h + f ,h'> dx - DT<yo>h = O ,

Y Y a

y por el Teorema I.2.ii> , con ct = f y (3 = fy, , se t i en e que Y

i> f E c1 Y'

ii> - f - f dx y' Y

rl, f. - Y

~ f - 0 dx Y' 'I

esta ecuaci6n di ferencial se llama ecuación de Euler- Lagrange

<E-L) del funcional T , cuya solución es el extremo de T , es

decir, una extrema1 de un funcional es una solución de su ecuación

E-L . La .solución puede no ex i s t i r , y si e x i s t e puede no ser

única.

Así se t i ene el s iguiente

TEOREMA 1.3. Si T es un funcional definido en el espacio

i norniado C Ca,bl , con norma I l i , de manera que

b T<y> - fCx,y,y'> dx , con y<a> - A y y - B ,

donde f E Ci<Ca,,bl x E?'> . Y si yo es un extremo local de T ,

entonces:

a

y* ii> f - - f - O , e n dx y' i> f E Ci<Ca,bl x IR2>

Y' Y

9

generalizando se obtienen los teoremas siguientes:

TEOREMA 1.4. Sea T :CiCa,bl -+ IR , <con norma I I,> dado

b

T<y l,...,yn> - f W y i ,..., YnrY,’,...,Yn’> dx a

yiCa> = A , y -= B í i i

con -

yz = BZ Az ’ y <a> =

2

... y < a > = A , y i i r B > n n n n

donde f E Ci<Ca,bl x RZn>. Si <Y,,,. . . , es un extremo

local de T , entonces:

’0 n

i> f E Ci<Ca,bl x O?*”> Y ;

para i = 1, ..., n

*YO,> ii> f - - d f , ES O , en <y,,,. . .

dx Y i ’i

P a r a una prueba, v&ase CKI.

I I n > tal TEOREMA 1.5. Sea T : CnCa,bl - + DZ , <con norma

que

tn) b

T<y> - f<x,y,y’,y”, ..., y > dx a

, y = Bo A.

con y<a> =

, y’Cb> = B i

y‘<a> = A i

... 9 n-i ’ y‘““> = B

n-i y‘”“’<a> - A

donde f E C1<Ca,blxDZn+l>. Si y, e s un extremo local de T,

10

entonces su ecuación de E-L es

= O , en YO i ti, f + P<-l> i - di

dx Y Y i = i

Para una prueba, vease [El.

a

n TEREMA 1.6. Sea T :C mCa,bl - R , <con norma I 1, >

- m tal que

con todas las y’es , así como sus derivadas, del orden apropiado ,

dadas en a y b , donde f E C , con la C apropiada.

Si <yot ,..., yo,> es un extremo local de T , entonces su

ecuacidn de E-L en <y oi,...,yom> . e s

Para una prueba, véase CKJ.

donde es

v a i d o el Leorema de la divergencia y T : Cn<D>- U? , <con

TEOREMA 1.7. Sean D un dominio acotado de Rn

norma I 1,) tal que

11

T = [ ... s f<xí, ..., xn,u,u ,..., u > dxi ... dx , D 1 n

X X n

y uCxA, ..., x > está dada sobre aD , n

donde f E C 2 6 x IR"+'>. Si IJ es un extremo local de T , O

a entonces s u ecuación de E-L es

O f - c - f - O , en z

x U ax. u i= i i.

Para una prueba, véase C11.

TEOREMA 1.8. Sean D un dominio acotado de IR' , donde es

2 - vAiido el teorema de la divergencia y T : C <D>- - R , (con

norma I I,> tal que

y uCx,y> está dada sobre dD ,

2 - donde f G C CD x IR6>. Si u. es un e x t r e m o local de T ,

entonces su ecuación de E-L en u. es

a z f + - O2 f + - f U = O f - - % f - - 9 f + - U ax ux ax* u *= YY a y uy ax2 xx XY

Para unasprueba, véase CUI.

12

Los ejemplos siguientes son clásicos, véase [Al, [COI, COI,

CLOI, [Mil, CRI y estAn relacionados con problemas geométr icos y/o

de la f ís ica-matemAtica. En ellos se han empleado los t e o r e m a s

anter iores , pe ro no se especí f ica cúaies. Sin embargo se hace

mención, s in el planteamiento formal, a l t i po de problema del cual

se derivan. Cabe aclarar que en la mayoría de ellos las constantes

se consideran iguales a la unidad, medisinte un dimensionamiento

<6 reescalamiento> adecuado.

E-TEMPLOS.

I.1. El problema de encontrar la curva plana más corta que

une dos puntos A y B , se reduce a determinar la curva y = y<x>

para la cual el funcional dado por

- b

2 1/2 T<y> = (1 + y’ > dx , con y<a> = A y y = B ,

alcanza un extremo <mínimo>.

Aquí se t i ene

y la ecuacidn de E-L es

2 -1/2 f = C <cte.> 6 y’<l + y’ > = c ,

Y’

cuya solución es y = CIX + cz <recta>

I.Z. El problema de encontrar la curva plana para la cual una

partícula, bajo la influencia de la gravedad, toma el menor tiempo

de ir del punto A a l B <no sobre la misma vert ical ) , se reduce a

determinar y = y<x> de manera que el funcional dado por

13

2 i/z T<y> = <‘ + y’ > dx , con y<a> - A y yCb> = B ,

a YiA2

alcance un ex t remo <mínimo>. E s t a curva se llama braquistocrona.

Aquí se tiene 2 í / 2

 f<x,y,y’> - f<y,y’> =

Yí’= ?

y la ecuación de E-L es I

y<l + y’=> = c <cte.> , í

f - y’fy, = C <cte.> 6

cuya solucihn en fo rma paramétr ica es

x - - <2t - Sen 2t> + C2 2 <cicloide> -

<l - cos 2t> Y = - i C

2

I.3. El prob l ema de encon t ra r en t r e todas las curvas planas

que unen dos puntos A y B aquella que genera la super f i c i e d e

área mínima cuando gira en torno de l eje x , se reduce a

determinar y = y<x> para la cual el funcional de l t ipo

b 2 1/2 T<y> - y<l + y’ > dx , con y<a> - A y y = B

a

tome un ex t remo <mínimo>. La curva se llama cateneria.

A q u í se tiene

2 112 f<x,y,y’> = f<y,y’> = Y<l + Y’ > 9

y la ecuación de E-L es

f - ypfy, - C <cte.> 6 y<l + yJ2>-i/2 ‘ C ?

cuya solución es‘

14

> <catenaria> 1 x + c

C y C Gosh<-

I.4. Las ecuaciones di ferenciales ordinarias de orden dos

homogéneas, están relacionadas con la determinación de un extremo

de funcionales cuadráticos del t i po

b a

T<y> = <P<x)yp2 + Q<x)y2> dx , con y<a> = O y y - O a

Aquí se t i ene

f<x,y,y’> = Py’* + Qy2 ,


f - - f - o Y dx Y‘

& QY - d -<Py’> = o dx 6 d dx

- - <Py’> + QY 0

y con P # O , entonces la ecuación de E-L se reduce a

y” + p<x>y’ + qCx>y = O , con p = P’/P y q = - Q / P

- 1.5. Los problemas de movimiento armónico simple y carga

critica de Eu l e r <que aparece en la f l ex ión de columnas>, se

reducen a encontrar un ex t remo de funcionales del t i p o

b T<y> = <y’’ - y’> dx , con y<a> = A y y - B

a

Aquí se t i ene


d Y dx Y’

f - - f - 0 6 y” c. y = o

cuya solución es’

y = C Sen x + C Cos x <senoide> í 2

15

En movimiento armónico simple se t i ene

f<t,x,x’> = mxp2 - kx , con m y k: constantes ,

entonces

x” + W m x = O ,

por lo que

x - Cisen a t + c cos 2

con I

2 a E Wm

En carga crítica de Euler se t i ene

f<x,€3,@’> = EIWZ - P8‘ , con E, I y P constantes ,

entonces

e” + P/EI e = o

así es que 2

€3 = CiSen ax + C Cos ax , con a = P/EI 2

I.6. E l problema de encontrar la forma de un cuerpo sólido

que al moverse e n un fluido presenta res i s tenc ia mínima, se reduce

a determinar el extremo (mínimo) del funcional t i p o

b T<y> - y”y dx , con y<a> = A y y - B

Aquí se t i ene

a f<x,y,y’> = f<y,y’> = y’ y ,


3 f - y’fy, = C <cte.> 6 Y’ Y = Ci 9

cuya soluci6n es

3/4

y - <C*X + cg> Cpárabola de orden 3/4>

16

E.7. Principio de Fermat: La luz va de un punto A a otro B

a lo largo de una curva para la cual el t iempo de t r áns i t o es el

mas corto. La curva se determina mediante el extremo del funcional

b 2 i/2 (1 + yJ2 + z’ >

d x , V ~ < y , z > - J

a

r.

Bl ’ con y<a> = A , y = B y z<a> = Al , z =

donde v = v<x,y,z>

aquí se t i ene

2 l/Z (1 + yP2 + z’ > f <x,y,z,y’,z’> - V ,

y la ecuación de E-L es el sistema

2 1/2’ I-. f - - f = v (1 + yPZ + 2’ > + b[

Y’ 2 1/2 dx v (1 + yP2 + 2’ > 2

V Y & Y , Y

2 1/2 I-. (1 + y’= + 2’ > + A[ 2’ 2 1/2 v (1 + yc2 + 2’ > dx

V d dx f ~ * P

- z 2

V

f - z

1.8. El problema de determinar el área mínima contenida en

una curva plana cerrada se reduce a encontrar un extremo del

funcional dado por

con y<a> = A = yCb> y z<a> = z = B ,

aquí se t i en e . f<x,y,z,y’,z’> = f<y,z,y’,z’> = yz’ - zy’ ,

17

f - - f m 2 y C - 0 Y dx Y’

f - f =‘ - -22’ = o , z

cuya solución es

y = A , z = B , con A y B constar&es <punto>

I.9. El problema de encontrar la distancia mínima {medida

sobre una super f ic ie CI 3 e n t r e dos puntos de CY , se reduce a

determinar el extremo del funcional

b 2 1/2 T<u,v> = <Eu” + 2Fu’v’ + Uv’ > d t ,

a

donde

son los coeficientes de la primera f o r m a fundamental de la

super f ic ie CY, dada por r = r<u,v> . -b -b

La e x t r e m d se llama una geodésica de u . A q u í se t i ene

2 l/Z fCt,u,v,u’,v’> = fCu,v,u’,v’> = CEupZ + 2Fu’v’ + Uv’ > ,


E u” + 2F u ’v ’ + C3 v jZ

<EuP2 + 2Fu’v’ + Uv’ > U U U f - -

2 1/2 d f =

U d t u’

r 1

2<Eup + Fv’> 2 1/2 J a O - ’ 1 <Eu,’ + 2Fupvp + Uv’ >

18

E u,‘ + 2F u’v’ + U vtz

<EuP2 + 2Fu’v’ + Uv’ > V V V f - - d f I -

2 1/2 V dt v’

I-. 2<Fu’ + Uv’> dt <E“,’ + 2Fu’v’ + UV’ 2 > 1/2

I

1.10. E l problema de la partícula en un campo conservativo,

está relacionado con el extremo del funcional

1 b T<x,y,z> - Ja [ -m <xp2 + yt2 + z”> - U ] dt ,

donde U = UCt,x,y,z> , es tal que

Aquí se tiene

1 2 f<t,x,y,z,x’,y’,z,> - -m <x” + y’‘ + z,’> - ü<t,x,y,z> ,

y La ecuación de E-L es el sistema

mx” - O , 6 mx” - F f - - f = - - - au x dt x’ ax i

; m i5~ - it Fz f I - - - my” = O , 6 my” =

sy f - - Y dt y‘

I.11. E l problema de la flexidn en vigas, está relacionado

con el extremo del funcional tipo

b T<y> = <ypp2 + y> dx ,

a

y’<a> = A , y’ = B I i

Y o con y<a> = A , y = B

O

19

Aquí se t i ene

f<x,y,y,’,y”> - f<y,y”> - + Y 9


cuya solución es a

1 4 y ” - x + c,x3 + czxz + c x + co 48 i

I.12. Los problemas que involucran la ecuación de Laplace,

t i en e asociado el funcional

2 2 T - dx dy X Y D

Aquí se t i en e

2 2 f<x,y,u,u ,u > = f = u + u 9

X Y X Y X Y

y La ecuación de E-L es

u + u - V Z u - O xx YY

f - - a f - - a f - o ó U ax u ay u

X Y

J.13. El problema del cable vibrante, está relacionado con el

extremo del funcional t i p o

2 2 b

T - <ut - U > dx d+ X

a

Aquí se t iene

2 2 f<t,x,u,u ,u > = f = u - u , l x t x t X


20

u - u t t xx

f - - a , - - - a f = o * U at ut 6x u

X

I.14. El problema de la membrana v i b r a n t e , está relacionado

con el e x t r e m o del funcional t i p o

h (I

2 2 2 T - s- s s C ut - 1 dx dy dt X Y

a D

Aquí se t i e n e

2 2 + u > ,

Y - <ux f<t,x,y,u,ut,ux,uy> = f = u

2

t t X Y


u = u + u - + u t t X X YY

f - - a f - - d f - - a f - o * y.

U Ut ax ux ay u

I.15. Los problemas que involucran La ecuación biarmónica (no

homogénea>, t i e n e n asociado el f uncional

2 z xx YY XY

T = s' < u' + u + 2u - 2ug > dx dy , donde: g = g<x,y> D

Aquí se t i e n e

2 2

Y xx XY YY xx YY XY f<X,Y,U,Ux,U ,u ,u ,u > = u + u + 2u - 2% 9


- - a f + - a " f + - a= f + - a2 f U = O f - - uxy sy2 YY ax u ay uy ax2 u xx

U X

ó bien

21

1.16. E l problema de la placa vibrante, es tá reiacionado con

el extremo del funcional tipo

b 2 T = s s C ut - < V 2 ~ > 2 + 2u U - 2u - 2ug 1 dx dy dt ,

xx YY XY a D

donde g = g<t,x,y>

Aquí se tiene

2 2 - u - <vzu>2 + 2u u - 2u - 2ug t xx YY XY

2 2 2 z - u - u - u - 2 u - 2 u g , i xx YY XY

y La ecuación de E-L e s t

at f + - f - - 6 d Z f + - a2 f + - f - - a

U ti ¿%ax tx ay uy u

X fU- at u ax u

t

f + - az f + - aZ f - o U

at

ax2 u xx XY ay2 YY

+ - axay u

6 bien

4 v u + u = g tt

22

PARTE 11. POTENCIAL

Aquí se t r a t a el concepto de gradiente de un funcional

definido en un espacio de H i l b e r t , empleándose la designación

habitual, es decir V T <T es un funcional>. También se trata el

concepto de operador potencial, el cual es analog0 al concepto

físico de fuerza conservativa: una f u e r z a es conservat iva si y a

sólo si es derivable de un potencial; razón por lo que en el

desarrol lo de este t r aba j o no 'se emplea el nombre operador

potencial, s ino que se ut i l iza el de operador conservativo. Este

concepto es fundamental para la p a r t e I11 <y para este trabajo) .

La derivada de Frechet de un funcional definido en un espacio de

Hilbert, se conecta de manera natural con un producto escalar.

Finalmente, se dan algunos e jehplos de operador conservat ivo y s u

potencial, así como de operador cuya derivada de Fréchet es

simétrica, la mayoría con base en los ejemplos del apéndice 11.

DEFINICION 11.1. Sean E un espacio de Hilbert normado

(véase apéndice I., definición 1.7.) y T un funcional definido

en E . Si T t iene derivada de Fréchet para todo f E E ,

entonces:

i> La derivada de Oateaux de T en f (en cualquier

"dirección" h E E>, (véase apéndice II., definición 11.2. y

teorema 11.4.) se llama gradiente de T en f. Y se escr ibe

D,,TCf> = V T<f>h = F<f>h = <V T<f>,h) = <FCf>,h> .

ii> T<f> se llama potencial de F<f>.

iii> Un operador F<f> es operador conservat ivo tal que

FCf) = V T<f> .

Y puesto que existe la derivada de Fréchet de T para todo

f E E , se puede escr ib i r

DTCf>h = DhT<f> = V T<f>h =' F<f>h

= <DT<f>,h> = <V T<f>,h> = <F<f>,h) .

As í , si FCf) es un operador conservativo, se puede escr ib i r

F<f>h = DT<f>h = V T<f>h = DhTCf>

= <F<f>,h> = <DT<f>,h> = <V T<f),h> .

EJEMPLOS.

II.1 Considérese <apéndice II., ejemplo II.5.>

T : [R --+ O? , t a l que T<x> = x . Entonces

DTCx> = V T<x> = F<x) C11 ,

aquí x es el potencial de C11 <matriz de orden 1 x l>.

Por otro lado

L11 F<x> = V T<x> = V x ,

por lo que C.11 es un operador conservativo, cuyo potenciai es x .

Y con el producto escalar Euclidian0 (véase apéndice I.,

ejemplo 1.8.) se t i ene que

DT<x>h = <O T<x>,h> = <F<x>,k) = h = <l>h = <i,h> ,

es decir,

F(x> = V T<x> E C11 .

24

I= Considérese (apéndice II., ejemplo II.6.>

L T : R -+ IR , tal que T<x> - x . Entonces

2 2 V T<x> = V x = F<x> = C2X3, aquí x es el potencial de CSxl .

Por otro lado

z C2xl E F<x> = V T<x> V x , por lo t a n t o E2xl es un operador

(L 2 conservativo, cuyo potencial es x .

Y con el producto escalar Euclidian0

DT<x>h = <V TCx>,h> = <F<x>,13 = 2xh = <Zx>h = <2x,h> ,

es decir,

F<x> = V T<x> C2xJ .

Si F : U? -+ IR , tal que F<x> = 2x , con producto escalar

Euciidiano, se t i ene que

DFCx>h = 2h = <V FCx>,h> , luego V F<x> C21 .

Más aun, DFCx> es autoadjunto, (véase apéndice I.,

definición 1.11.) puesto que

<DF<x>hl,hz> = <2h ,h > = <2h >h = h (2h > = <hi,DF<x>h2> . 1 2 1 2 1 2

II.3. Considérese (apéndice II., ejemplo 11.7.1

T : R3 - E? , tal que T<x,y,z> = x + y + z . Entonces

DTCx,y,z> = V T<x,y,z> = V <x+y+z> SE F<x,y,z> C1 1 11 ,

por lo que x+y+z es el potencial de C1 1 11 (matriz de 1 x 1>

6 FCx,y,z> 3 C1 1 11 es un operador conservat ivo, cuyo potencial

es T<x ,y ,z> = x+y+z.

.-

25

Y con el producto escalar Euclidiano se tiene que

DT<x,y,z>h = <V T<x,y,z>,h> = h + h + h = <<l,l,l>,Ch~,hz,hB)>,

es decir,

i 2 9

F<x,y,z> = V TCx,y,z> 3 11 1 ' :

II.4. Considérese (apéndice II., ejemplo 11.8.) I

T : [ R ~ -+ R , tal que ~<x ,y , z> = xyz ,

entonces

DTCx,y,z> = V T<x,y,z> = V <xyz> = FCx,y,z) C y z xz xyl ,

por io que XYZ es el potencial de Iyz xz xyl , e5

decir, F<x,y,z> Cyz xz xyl es un operador conservativo, cuyo

potencial e s TCx,y,z> = xyz.

Y con el producto escalar Euclidiano se tiene que

DT <x, y,z >h = DhT <x, y,z > = yzhi+xzh2+xyha = < <yz,xz ,xy ), <hi ,h2 ,ha >>

= <V T<x,y,z>,h> ,

luego

F<x,y,z> = V T<x,y,z> EE Cyz x z xyl .

si F : - IR^ , es tai que F<x,y,z> - <yz,xz,xy> , entonces

O Z Y D F C x , y , z > = [ ; 0" ] ,

así es que

26

Además, con el producto escalar Euclidiano se tiene que

zh + xha p yhl + xht) ,<HI,H2”a>> a ’ I <DF<x,y,z>h,H> = <<zh2 + yh

a

= zh2Hi + yhaHi + zhlH2 + A 3 H 2 + yhiH3 + xh2H3

= h <zH2 + yH > + hZ<zH2 + xH,> + ha<yH + xH2> i 3 i

+ xHa , yHl + xH >> , zHZ 2

= <<h ,hz,ha> ,<zH2 + yH i a

= <h,DFCx,y,z>H> ,

por io cual DF<x,y,z> es un operador simétrico.

II.5. Considérese el operador F : IR^ -+ [ R ~ , tal que

F<x,y,z> = <x+y,y+z,z+x>. Entonces <véase apéndice II.,e jemplo

11.9.)

1 1 0 DF<x,y,z> s [ ‘1 ]

?

luego

1 1 0 DhF<x,y,z> = DF<x,y,z>h =

= <hi + hz p h2 + h > ha + hi> . a

A s í que, con producto escalar Euclidiano se tiene que

1 1 0 - <DF<x,y,z>h.H> < [ O 1 1 1 [ $ ] , <Hi,H2,Ha>> ,

1 0 1

27

<DFCx,y,z>h,H> = <Chi + h2 , h + h8 , h8 + hl>,<Hl,H2,H8>> 2

= h <H + H > + h2<Hl + H2> + h8<H2 + Ha> l i 8

- <Chi,h2,ha>,<H1 + H3,Hl + H2,H2 + H3>>

1

1 0 1 <<hlh2h3) 9 [ 0 y ] [ $ ] > # <h,DF<x,y,z>H>,

por lo que DFCx,y,z> no es simétrico, pero tiene adjunto:Cvéase

apéndice I., definición 1.11.) dado por

1 0 1 DF-<x,y,z> * [ A ]

2

1 11.6. Considérese e l operador F : C Ca,bl- C:Ca,bl , tal -

que F<y> = y”+ y’+ y . Entonces <véase apéndice II., ejemplo

11.11.)

es decir, DF<y> - d2 + - + 1 ] dx

DF<y>h = hp’+ h’+ h dxz

Y con el producto escalar < , <véase apéndice I.,

ejemplo 1.9.) se tiene que

b I <hl”h2 + hi’h2 + hlh2> dx

a

integrando por partes

28

<DF<y>hl,h2>o 9 <h h ’- h2’hl + hzhl> 1, b 2 i

b + <h h ” - hlh2’ + hlhz> c k

I 2 a

b

5

a

# <hl,h2”+ h, ’+ h > = <hl,DF<y>hz> ,

por lo que DF<y> no es simétrico, pero tiene adjunto dado por

* DF <y> dx

II.7. Considérese <&pendice II., ejemplos 11.13. y 14.)

T : C‘Ca,bl - + íR , tal que

b T<y> = f<x,y,y’> dx , con f ,f ,f E Ci<Ca,bl x R2) ,

Y Y‘ a

entonces

V T<y> - F<y> = a

así es que

b d

F<y> J [ f y + f - ] 0 dx es un operador cowerva+ivo, cuyo y‘ dx

Q

b potencial es TCy> = f<x,y,y’> dx I

a

Más aun .

29

b b

a + J C f y - - f , > h á x , '

dx Y DT<y>h <f h + f ,h'> dx fy,hIa

Y Y a

- O , por lo que y si T : dQCa,bI - IR , entonces fy,hla b

b b - - ' f ,>h dx = <V T<y>,h> .

& Y DT<y>h = s <f h + f ,h'> dx = s <fy

a Y Y Q

a

Y con el producto escalar < , se tiene que

es un operador conservative, d - dx fY.]

F<y> - V T<y> Y

b con potencial T<y> - f<x,y,y'> dx <fpl>o .

a

II.8. Sean E un espacio de Hilbert normado (con norma

asociada> y T : E -+ U? , tal que T<x> = <x,x> . Entonces

T<x + th> <x,x> + 2 t <x,h> + t2 <h,h> , luego

DhT<x> = 2 <x,W = (2 x,h> , por lo que V T(x> 2 x .

II.9. Sean E un espacio de Hilbert normado (con norma

asociada canónica) y T : E -+ U? , tal que T<x> = llxll . Entonces

T<x + th> = lix + thII = <x + th,x + th)'"

- [ <x,x> + 2 t <x,h> + t2 <h,h) ,

luego

<x,h> <x , h> DhT<x> = { -& [ IIx + thII ] } =

1=0 <x,x>

= <V T<x>,h>,

30

así e s que

ilk V T<x> = F<x> 5

b 11.10. Sea T : C‘Ca,bl - IR , tal que T<y> = y” dx .

a

Entonces

b T<y + th> = J <yp2 + 2 t y’ h’ + t2 hPZ> dx ,

a

luego b

DhT<y> = J 2 y’ h’ dx , a

así es que

d dx

b V T<y> 5 J ( 2 y’ -> o dx .

a

Si s e emplea el Ejemplo 11.7. , se tiene que

f = O , f = 2 y’ , por lo que <en Y Y’

f<x,y,y’> * Y’z , acid

efecto>

d dx

b V T<y> P J (2 y’ -> o dx .

a

Si se considera como producto escalar

entonces

b DhT<y> = 2 y’ h’ dx = <2y,WI = <V T<y>,h>I ,

a

por lo tanto

31 094552

b V T<y> E 2y , t i en e como potencial j- y’’ dx = < y , ~ > ~ , ’

U

en efecto, véase el Ejemplo 11.8.

Y si se considera como producto escalar < , > O Y T

definido en C:Ca,bl , entonces

b b (.

DhT<y> - s 2 y’ h’ dx = s -2y”h dx < -2~ ” , h>~ - <V T<y>,W , a a

aquí se t i ene que

v T<y> E -2y” , t i ene como potencial y” dx - Y Y” dx b b

U a

= <-y.y”>, .

Nótese que la f o r m a de V TCy> depende del dominio de T y

del producto escalar empleado.

Más aun

F<y> = V T<y> E -2y” , es simétrico e n C:Ca,bl , con producto

escalar < , . V é a s e p a r t e del Ejemplo 11.6.

32

PARTE 111. RESULTADO FUNDAMENTAL

En esta úItima parte se encuentran condiciones necesarias y

suficientes, vía el teorema de Vainberg, para que un operador

(diferencial> sea un operador conservativo y por lo tanto

"derivable de un potencial". E l potencial es un funcional (tipo

integral), llamado funcional asociado. A d e m , s e dá el funcional a

en términos del operador. Finalmente se presentan algunos ejemplos.

LEMA 111.1. Sean [E un espacio de Hilbert normado, con norma

asociada y tp un funcional definido en E . Si la derivada de

Fréchet de tp existe, para todo f E E, entonces para todo h E E

es válida la primera fórmula de .Lagrange -

ly<f+h> = tp<f> = DW(f+th>h , para algún t E CO,1> .

Para una prueba, véase [VI.

LEMA 111.2. Sean E un espacio de Hilbert normado, con norma

asociada y F un operador definido en E . Si la derivada de

Frdchet de F existe, para todo f E [E, entonces para todo h E E

e s vCllida la segunda fórmula de Lagrange

<FCf+h> - F<f> , H> = <DF(f+th)h , H> ,

donde H E E , tal que IIHII = 1 y algúri t E <0,1> .

Para una prueba, véase [VI.

33

TEOREMA 111.1. CM. M. Vainberg 1964). Sean E un espacio de

Hilbert normado, con norma asociada, F un operador definido en [E

que t i ene derivada de Fréchet para todo f E E y <DF<f>h , H>

continuo para todo f E E . Entonces

F es conservat ivo w DFCf>h = DhFCf> = <DF<f> , h> es simétrico,

es decir, I

F es conservat ivo t-.i <DF<f>hí , h2> = <hí , DF<f>h2> .

PRUEBA.

Si F es conservat ivo, entonces F<f> = V T<f> para algún T,

es decir,

DhTCf> = FCf>h = <V T<f> , h> = <F<f> , h) .

Fijando f E [E y hl y h2 E (E , tales que IlhíII = Ilh,II = 1 ,

y seleccionando a y b >O , considérese

A = T<f + ahí + bh2> - T< f + ahí> - T<f + bh > + T<f> . 2

Haciendo

iy<f> = T<f + ahl> - T<f> ,

se obt iene

A = y<f + bh2> - y<f> ,

y empleando el Lema III.l., se t i ene que

A E Diy<f + t bhz> , para algún t E C0,1> í 1

= DT<f + t bh2 + ahi>bh2 - DT<f + t bh >bh2 i i 2

= <DT<f '+ t bh + ah 1 , bh > - <DT<f + t bh > , bh > i 2 i 2 I 2 2

34

A = b <V T<f + tlbh2 + ahl> - V T<f + t bh > , h > I 2 2

= b <F<f + tlbh2 + ahi> - F<f + tlbhz> , h2> ,

y empleando el Lema III.2., se t i ene que

A = b <DF<f + tlbh2 + t2ahl>ahi , hz> . a

Finalmente

A = ab <DF<f + tibh2 + t2ahA>hA hZ>

Análogamente

A = ab <DF<f + t3ahl + t4bhz>hz , hi> ,

así es que

Tomando el l í m i t e cuando a y b - O , se t i ene que

<DF<f>hl , h2> = <hi , DF<f>hz> .

4 - >

Si e x i s t e un funcional T tal que V T<f> = F<f>, es decir,

DhT<f> = DT<f>h = V T<f>h = F<f>h = <F<f> , h)

entonces para todo f E y para todo t E CO,l l , se t i en e que

,

- T< fo + t<f - f > > - <DT<fo + t<f - fo>> , f - f > dt O O

= <F<fo + t<f - fo>> , f - fo> ,

integrando r espec to de t se obt iene

I

T<f> * T<f;> + J<F<fo + t<f - fo>> , f - fo> d t - <* > O

35

Probaremos que es te funcional es el potencial del operador F,

es decir, F<f> = V T< f> y por lo tanto F es conservativo.

Sean f y f + h E E , entonces de <*> i

T<f+h> -T<f> $L<F<fo + t<f - f + h>> , f - f + h> o O O

- <F<f + t<f - foJ> , f - f >I dt O O

i T<f+h> - T<f> s < F < f O + t<f - f > + th> , k> d+

O O

I

+ J<F< fo + t<f - fo> + th> - F<fo + t<f - fo>> , f - fo> d t O

pero

i I J<F< f + +<f - fo> + +h) - .F<f + +<f - fo>> , f - fo> dt

O O O

I t a <F<fo + t<f - fo> + sh> . f - f > ds = S d + s as O o

i t s dt .J<DF< f + t<f - fo> + sh>h , O

O O

O

f - fo> ds .

Y empleando la sirnetria se obtiene

i t I s dt s<DF< fo + t<f - fo> + sh><f - fo> , h> ds

O O

I i s ds s <DF<f + t<f - fo> + sh><f - fo> , h> d t O

O S

I

p J<F< f + <f - fO> + sh> - F< f + s<f - fo> + sh> , h> ds , O O

O

por lo que

36

I

T<f+h> - T < f > = <F<f + t<f - f > + th> , h> dt O O

O

I

+ J<F<f + th> - F<fo + t<f O

= f<F<f + th> , h> dt . O

Aplicando el teorema del valor medio e

se tiene

TCf+h) - T< f > = <FCf + Th> , h> , T E <0,1> ,

por lo que

T<f+th> - T<f> = <F<f + Tth> , th> .

Luego

TCf+th> - T<f> = <F<f t

+ Tth> , h>

Finalmente

Tcf+th) - TCf> = <F<f> , h> = DhT<f> = V T< f>h = <V T<f>, h) t 1 ím t -+o

Así es que

F<f> = V T<f> ,

lo cual prueba el teorema.

COROLARIO 111.1. Bajo las condiciones del teorema anterior,

si F es lineal, se tiene

<FCf> + F<fo> , f - fo> <**> i -

2 T<f> 9 T<fo> + ’ -

37

COROLARIO 111.2. Bajo las condiciones del teorema anter io r y

la del Corolario III.l., y si además f = O , entonces se t i ene o

<F<f> , f> . i 2

T<f> = T<O> + -

COROLARIO 111.3. Bajo las condiciones del teorema anter io r y

f = O, y empleando el producto escalar a O

<f,g> - s fg dn , n

se t i ene

T< f > - T<O> + f FCtf> dR ] dt Jn f [ [ F < t f > dt ] dn .

COROLARIO 111.4. Bajo las condiciones del teorema an t e r i o r y

las del Corolario III.3., y si F es lineal, se t i ene

T<f> - T<O> + s f F<f> dn . n

COROLARIO 111.5. Bajo las condiciones del teorema anterior,

si el funcional T es de un problema variacional, es decir, T

es un funcional integral , entonces el operador F es su ecuación

Euler- Lagrange.

A s í que dado un operador di ferencial F , si su derivada de

Fréchet es un operador s imé t r i c o , entonces F es la ecuación

Euler-Lagrange del funcional integra l T , dado en términos de F

por <a>. Y si F es lineal, T está dado por <*a>.

EJEMPLOS.

1II.í. si

escaiar

C$a, bl es un espacio de Hilbert, con el producto

b <f,g> = fg dx ,

a

consideremos la ecuación diferencial a

1

O F<y,y’> = O , con y = y<x> E C Ca,bl ,

entonces

DF<y,y’>h = [ -& F<y + th ,y ’ + by’> = F h + F , h ’ , Y Y

por lo que

b b <hi,DF<y,y’>hz> = J hi<F h + F ,h ’>dx = J <h F h + h F ,h2’>dx.

Y 2 Y 2 i Y 2 * Y a a

Por otro lado

b <DF<y,y’>hi,hz> = 4F h + F ,h ’>h2 dx

a Y i Y i

b b

= J h F h d x + J F , h 2 d h i , Y a A Y 2

a

pero

así es que

d b <DF<y,y’>hA,h2> =-s hAC<F - --- dx Fy,>h2 - Fy,hZ’I dx .

Y Q

39

Para la simetría, se debe tener que 1

<DFhl,hz> 3: <hi,DFhz> , I

lo cuai se satisface si

F - - F , Y‘ Y‘

Y Y

F e - F = F Y dx Y’

6 bien

F - 0 ‘2) Y’

 Y d - F - 0 dx Y‘

aquí, si <2> se cumple, entonces se cumple (1). D e manera que la

condici6n de simetría, para este caso, se reduce a -

Se concluye que e l operador F e s conservativo si se

satisface <2>. Lo cuai implica que F no debe depender de y’ ,

pero entonces i no s e tiene ecuación diferencial !. Luego, las

ecuaciones. diferenciales ordinarias de orden 1 no tienen un

principio variacional asociado.

111.2. Si C:Ca,bl es un espacio de Hilbert, con el producLo

escalar

consideremos la ecuaci6n diferencial

F<y,y’,y”> - O , con y = y <x> e CZCa,bl , i

entonces

40

E F h + F ,h’ + F h” , Y Y Y“

por lo que

b <hi,DFh2> * hi<F h + F h ’ + Fy,,h2”> dx

Y 2 Y’ 2 a

b = $ < h F h + h F h p + h F h2”> dx .

i Y Z i y’ 2 i y“ a

Por otro lado

b <DFhi,h2> = <F h + F ,hi’ += F hi”>hz dx

Y i Y Y” a

b b b = s h F h dh + F ,h2 dh + F h2 dhi’

i Y ‘I a Y a A Y 2 a

b J hC<F - - F >h2 - F ,h2’l dx

Y í y . dx y’ a

b + J F h2 d h ’

Y” i 9

a

pero

b b

I

b F h2 dx - hA’Fy,,hz’ dx

d b

= - p hi’ y” a a

- - p c d X * F h2 + F h2’> dh Y” Y ** a

0 9 4 5 5 2 41

b + J hi d< - F h + F h2’>

d x y” 2 Y“ a

J hi< - d2 F h2 + 2 d Fy,,h2’ + Fy,,h2”> * dX2 Y“

a

a

así es que

F - F > h ’ F ,,>h2 + < 2 ~ y” y’ 2 dZ b

<DFhi,h2> = h [<F - - d F + - dx Y‘ dx2 y A Y a

+ F h2”l dx . Y”

Para la simetría, se debe tener que

<DFhi,h2> = <hi,DFh2> ,

lo cual se satisface si

J j¿ F y., - F y’ = F Y’ , d F + - Y Y

F - - Y dx Y’ dx2 Y“

6 bien

F - F > - O d i > Y - dx F y , , - F y , = O - <2> dx < dx y” y’ d

aquí, si C2> se cumple, entonces se cumple (11. D e manera que la

condición de s ime t r í a , para este caso, se reduce a

(2) -- aF I o d üF dx ay” ay’ - - -

Por lo que el operador F es conservativo si se satisface

C2> y se tendrá un funcional asociado.

42

Algunos casos concretos:

III.2.a> Si F<y,y’,y”> = ay” + by’ + c y Q O , c o n ‘a, b y

c constantes. Entonces:

F - b Y‘

Y F - a luego Y”

- F - 0 , dx y”

de manera que F es conservat ivo si b = O, es decir F debe ser

de la forma (.

-

FCy,y’,y”> = ay” + c y = O ,

puesto que F es lineal, el funcional asociado está dado por

(*a>, así s in pérdida de generalidad se t i ene

b 1 2

b i 2 T<y> E - s y<ay” + cy> dx = - s <ay”y + cy2> dx .

a a

III.2.b> Si FCy,y’,y”> = aCx>y” + í3<x>y’ + y<x>y = O , entonces

Y F - 0 1 Y“

luego

de manera que F es consevativo si (3 = a’, es decir, F debe

ser de la forma

F<y,y’,y”> Q a<x>y” + a’<x>y’ + y<x>y = O .

P u e s t o que F es lineal, el funcional asociado est& dado por

<+a> , así s in pérdida de generalidad se t i ene

b i b 1 2

T<y> - -r y<ay” + a’y’ + yy> dx * 7 s <ay”y + a ’ Y ’ Y + YY2) dx a a

111.2.~) Si F<y,y’,y”> - ay”‘ + by’ + c y = O , con a ,b Y

c constantes. Entonces

F = b Y’

Y F - 2ay” Y”

luego ,

43

de manera que F es coriservativo si b = 2ay”’ , pero F no

depende de y”’ , por lo que F debe ser de la forma

en cuyo caso el funcional asociado está dado por <*> puesto que

el operador no es lineal. Así sin pérdida de generalidad se t i ene

e

y2 >dx, C b I b

a y’’2y + - y <at2y,p2 + cty>dt] dx - p a C 3 2

O

con y”’ = O .

111.3. Si

escalar

consideremos

entonces

DFh [

C:Ca,bl es un espacio de Hilbert, con el producto

la ecuación diferencial

F<y,y’,y”,y”’> = O , con y = y <x> E CtCa,bl ,

* F h + F h’ + F h” + F h”’ , Y Y ‘ Y” Y”’

por lo que

b <hl,DFh2> = h <F h + F ,h2’ + Fy,,h2” + Fy-,,h2”’> dx * Y 2 Y a

s <h F h + h F ,hZ’ + hlFy~,h2” + ki F y,-,h29”> dx . i Y 2 , A Y a

44

Por okra lado

b <DFhl,hz> - l <F h + F ,hi’ + Fy,,,hl” + F hl’c9>hz dx

Y * Y Y‘” a

b b b - J h F h dx + J Fy,h2 dhi + Fy,,h2 dhsp a a i Y 2

a

E

b h C<F

i Y a

d dx - F

Y’ + - dz F >h

dx2 y”

+ d (2 - dx

+ F hz”l dx Y“

pero

b b b E F h h ”1 - hlppd<F h >

1 y“’ 2 i y”‘ 2 a a a

= - J<-& F h2 + F hZp> dhl’ Y ”’ Y”’

a

b F h + F h’>

y”’ 2 + J hl’ d< -

dx y”‘ 2 a

< - F h2 + F h2’> dhl b d

a s dx dx y“* Y”’

b

a Y’“ < - F h + F d

dx dx y”‘ 2 II-

F - Y *‘

F >h2, Y’

45

+ 3- F hZ”+ F Y“‘ hzppp] dx , dx y”‘

así es que

da b

’h2 - - d F + - d Z F - - F

cLK9 y‘’‘ dx Y’ &Z Y“

<DFhl,hZ> = hl F F Y a

F - F + <2- - 3 - dZ F >hz’ dx2 y”’

dx y” Y‘

Para la simetría, se debe tener que

<DFhl ,hz> = <hi,DFhz> ,


F - - - d F + - d Z F - - d 3 F = F Y dx y‘ &Z Y“ dx3 Y”’ Y

Y’ 2- F - F - 3 - dZ F - F

dx2 y”’ dx y” Y‘

- F I F Y”’ Y”’ ’ Y F - F

Y” F - 3 y”‘

Y”

6 bien

F = o --.-- Y’ & Z Y” &9 Y”‘

F + - - dZ F = O / 2 > dx y” 2 dX2 y”’ F -

Y’

F = O -<4> Y”’

<3> Y - F ‘ 1 0 . - dx y”’

46

E l operador F es conservativo si se satisfacen Cl>,C2>,<3>

y <4>; pero <4> implica que F no debe depender de y”’ , pero

entonces i no se tiene ecuación diferencial de orden 3 !.

Luego, las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 3 no

tienen un principio variacional asociado.

-

En general las ecuaciones diferenciales de orden impar no

tienen un principio variacional asociado. Y las de orden par sí

tienen un principio variacionai asociado.

111.4. Si C4Ca,bl es un espacio de Hilbert, con el producto 3

escalar

b <f,g> = fg dx ,

a

consideremos la ecuación diferencial

4 F<y,y’ ,ypp ,y”’ ,yiv > = O , con y = y <x> E CnCa,bl ,

entonces

por lo que

?

h ‘v>dx iv 2

Y + Y”‘ h2”’ +

Po r otro lado

47

+ F h i ” >h2dx i v i

+ F hip” b

<DFhl,h2>-J <F h + F ,h ’ + F h ” Y Y 1 Y 1 y” 1 Y”‘ a

d F + - d 2 F - - da FY*2h2 dx

= <hl [(FY - - dx Y’ dx2 Y” a

F - F + <2- - 3 - d2 F >h2’ dx2 Y”’ dx Y” Y‘

a

>h ” - F h p”] dx 2 y“‘ 2

- 3- d F d x y “ ‘ + <F

Y “

b F . h dhlp” + s L V 2

, a y

pero

d4 da dZ F h 9 ,

b b F ivh2 dhl”’ - shl[;;XSFivh2 + 4-F, h ’ + 6-

a y a Y dX3 yLv dX2 YiV

+ 4- F h ” ’ + F h i v ] dx , dx i v 2 iv 2 Y Y

asi es que

d4

& Y

d F + - d z F - - da F + _7;_F iv>h2 dx Y’ dx2 Y” dx3 Y”’ a

F - F - 3 - dz F + 4-3F d3 ;“>h2’

dx2 y“’ dx Y + (2 -&¿ y” y’

+ < F - 3 - d F + 6 - dz F . >h ” dxz YLV

Y“ dx y”‘

d ’jP + F . hzi dx . L V

Y + <- F + 4- dx iv>h2

Y Y ”‘

P a r a la s ime t r í a , se debe tener que

<DFhL,h2> = <hl,DFhZ> ,

48

lo cual s e satisface si

d d2 dx y" Y' y"'

2 - F - 2 F - 3 - F

Y zl;l - 4 - & F - O i v

Y Y"'

ó bien

-

<1> - < F - - d F + - d Z F > = o - dx Y

dx Y' dx y" dx2 Y"'

F - - - d F + - - dZ F - 2 - d3 F = o /2> dx= YiV

Y' dx y" 2 dX2 y"'

> = O / 3 > i v

< F - 2 ~ d F Y

dx Y "'

= O /4> F - 2~ F iv d

Y Y "'

Si s e satisface <4> ,entonces se satiface (3) , por lo que

C3> y <4> se reducen a (4).

D e <4>

da F d2 - F - 2 - dx2 y"' dx= YiV

?

por lo que <l> y (2) , respectivamente, se reducen a

> - o /5> d3

dx Y

d F + - < F - - dx Y' dx y" aF i v -

(6 > d3 F . dx3 yiv

F - - d F + - - - o - Y' dx y"

49

S i se sa t i s f a c e <6> ,entonces se sa t i f a ce <5> , por lo que

C5> y <6> se reducen a (6). D e manera que la condición de

simetría, para este caso, se reduce a

- 0 /4> L V

F - 2 ~ d F Y

Y”’

(6 > F + - - f i v = O , - de F - - dx y” dx Y

Y‘

Por lo que el operador F es conservativo si se sat i s facen

(4) y <6>, y se t e n d r i un funcional asociado.


con a,b,c,d y e constantes. Entonces

F = d Y‘

- 0 d F - C luego &- Fy,,

Y I’

F = b Y *** - a luego - d & F i v - O Y - da = o . Y i v Y he YiV

A s í es que <4> se satisface si b = O , y <6> si d = O .

De manera que F es conservat ivo si t i ene La f o r m a s iguiente

iv FCy,yp,yp’,y”’,yiv> - a y + cy.*+ e y O .

Puesto que F es l inea l , el fgncional asociado está dado por

<**>, así, s in pérdida de generalidad se t i ene que

50

111.4 .b > Si F <y,yp,y”,y’p’ ,yiv > = a<x>yiv+ b<x>y..*+ c<x>y*

+ dCx>y’+ eCx>y = O ,

enbonces

a

F = d Y’

= c’ d F = c luego FY”

Y”

F = b Y”‘

I a”’ . d3 - a luego d F iv - a ’ y 4 ha YiV

iv F

Y Y

En (41 b = 2a’ . En C6> d P c’ - a”’ .

De manera que F e s conservativo si tiene la forma siguiente

- Puesto que F es Lineal, el funcional asociado está dado por

te*>, por ejemplo, si

el funcional asociado e s

4 iv 3 2 b

-$ <x y a

I 2 T<y> = y + 8x y’”y + x y a y - 12xy’y + xy2> dx .

111.5. Si Ci<R> es un espacio de Hilbert, R c Rz , con el

producto escalar <f,g> = J J fg dXdY P

R

51

0 9 4 5 5 2

consideremos la ecuación diferencial

2

2 F¿u,u ,u ,u ,u ,u > - O , con u - u¿x,y> E C <K> ,

x Y xx XY Y Y

entonces

XY XY Y Y YY DFh = [= F¿u+th,u +th ,U +th ,u +thxx,U +th ,u +th

x x y y x x

0

h + FU h P XY Y Y

= Fuh + FU h + F h + FU h + FU xx

xx XY YY X U Y

X Y

por lo que

<hl,DFh2> - hi [ FU112 + FU h2 + FU h + FU h2 R x x Y Y xx xx

dxdy . 3 + FU h2 + FU biz K Y XY Y Y YY

Por otro lado

+ F h + F U h <DFhl,h2> - s JR [ Fuhi + FU hi u 1

x x Y Y xx xx

hz dxdy 1 - + FU h + FU hi 1

XY XY Y Y Y Y

= h1FUh2 dxdy + J FU h2hi dxdy R R x X

dxdy + s F h h dxdy , u 2 1 XY R YY Y Y

. + s s FU hzhl R XY

y por el teoreiiia de Green se tiene que

52

a dxdy - - 4 hiFU hZ dx - s s Ii - <F hz> dxdy

I 3 y u Y Y R Y

a

s s FU h2'it R Y

h 1 dxdy Y Y Y

' - S S R [ & F u h 2 + F U h 2 ] hlx dxdy xx xx x

h2 + FU hz xx xx x

- - 9 "i [. %¿ FU

+ r r h - a [ % F U a h Z + F U h ] dxdy 2

xx xx x J J i a x

R

a' h 1 2 - F a h ax U 2 xx x

- s s ill[ 2 FU 2 R ax xx

+ FU h2 ] dxdy xx xx

] hi dXdY = - s JR [& FU XY h2 + FU XY h2 Y X

u hZ ] dy d 1-1 + F XY Y

- 9 I i i cy FU z XY

F h + FU Ii2 dXdV a

R XY XY Y

53

+ - a FU h2 + FU h2 ] dxdy ax XY Y XY XY

$ ht F,l ti2 d x - a hZ> dxdy s s FU hzh1 dxdy = - J' h i y ~ <FU R YY n YY YY Y Y Y

u 2 Y Y Y Y Y

u 2 - - $ hl[ $-+ FU h2 + F

Y Y Y Y Y

u ir2 R Y Y Y Y Y

2 F h + 2 - 'F h

ay uYY Y Y Y R

+ FU h ] dxdy . 2 YY Y Y

Así es que

F F + - a= U ax* u

az ax2 xx

F + - a - a F -

XY s s hi( [ FU - - a x ux a y uy

<DFhl,h2> zm

R

+ - ay2 a z F U Y Y ] h 2

a + - x ay FU ] h2 X

+ [ - F u + 2 - " F ax u x x XY

- + FU h2 +. FU h2 + FU dxdy .

x x x x XY XY YY YY

Para la s i r n e t r i a , se debe t e n e r que

<DFhi,h2> = <hi,DFh2> ,


- 0 - <l> a2 - - a2 - - 6 a a2 -

YY axay FU 2 Fu

XX XY aY a x FU X + (3y y- -ax” FU

= o - (2 > - - a F a 2 F - 2 - F X ay uxy

U iix u xx

2 F - - a -F - 2 - F = o - <3> a

Y Y U ax u d y u

Y X Y

Si se s a t i s f a c e n (21 y (3> , e n t o n c e s se satiface (1) , por

lo que la condición de s i m e t r í a , para este caso, se reduce a

- o - <2> 2 F U - 2 - ‘ F - - ‘ F ay uxy

ax u ‘ x xx

= O - <3> a - 2 - F a 2 F - - ay uYY

U a x FU Y XY

De manera que el operador F es c o n s e r v a t i v o si se

s a t i s f a c e n (21 y <3>, y se t e n d r á un funcional asociado.

Si la ecuación d i ferenc ia l es

F(u,u ,u ,u ,u ,u ,u > = O , x Y xx XY YX Y Y

& e n notación t e n s o r i a l

F<u;u,.;u,. ,> = O , L ‘-J

e n t o n c e s la condición de s i m e t r í a , es decir , la condición para que

el operador F sea c o n s e r v a t i v o , e n notac ión t e n s o r i a l es

1Ii.S.a) Si F(u,u ,u .u ,u > = u + u , entonces x y9uxx x y yy xx Y Y

F = O, F = O, U U

X Y

= 1 , Y Y

FU = o,

U = 1, F

U F

XX XY

- 0 . a -- a u s o p i - d

I

a o, ay F" a x Fu ' &y FU

xx XY XY Y Y 6x F" luego

A s í que se sa t i s facen (21 y <3>, por lo cual F es un

operador conservat ivo y dado que es lineal, el funcional asociado,

s in pérdida de generalidad, es

1 TCu> - - s s u C u- + u > dxdy '- R xx YY

ó empleando el teorema de Qreen

(véase Ejemplo I.12., pag. 20>.

Nótese que el operador es de t i po elítico.

III.S.b> Si FCu,u ,u ,uxx,.u ,u > = u - u , entonces X Y XY Y Y x x Y Y

= -1 , U

= o, F X X Y Y Y

FU = 1,

xx FU

F = O, FU = O, U

Y

= o - ' F a = O S E -

a - F uYY

ax FU ' xx uxy XY

a = O? - a x FU

luego

A s í que se sa t i s facen <2> y <3>, por lo cual F es un

operador conservat ivo y dado que es lineal., el funcional asociado,

s in pérdida de generalidad es

56

1 2 T = - s s u < uXn - u > dxdy ,

YY R

ó empleando el teorema de Ureen

1 2

2 T = - < u’ - u > dxdy Y X

R

(véase Ejemplo I.13., pag. 20>.

Nótese que el operador es de t ipo hiperbólico.

III.S.c> Si F(u,u ,u ,u ,u .u 1 = u - u , e n t o n c e s x Y xx xy Y Y xx Y

= o , U

F = O, F = -1, F = 1, F = o, F U U U U

X Y xx XY Y Y

= o . a - a 8y Fu

n 0 8 & ! - a - = o, a y FU ax FU ’ a ax Fu -

xx X-Y XY Y Y

luego

Así que se satisface <2> , p e r o no se satisface <3>, por lo

cual F no es un operador conservat ivo . Aquí, F no t i e n e un

funcional asociado.

Nótese que el operador es de t i p o parabólico.

III.S.d> Considérese el operador

FCu,uX,u ,uxx,u ,u > = Au + Bu + Cu + Du + Eu + Uu , Y XY Y Y xx XY Y Y X Y

con A, B, C , D. E y U c o n s t a n t e s . e n t o n c e s

= c , YY

FU = B,

XY FU

= A , xx

FU FU = D, FU = E,

X Y

= o, luego - a F ax u

a - a F = O r - d x FU ’ av u - ‘ F = o .

uYY xx

Y para que se sa t i s fagan C2> y <3> se t i ene que

D = O y E = ü , respectivanierite.

D e manera que F es conservat ivo si t i ene la forma siguiente

F<u,u ,u ,u ,u ,u > = Au + BU + Cu + Qu , x Y xx XY YY x x XY YY

con A, €3, C, y a constantes.

Nótese que el operador puede ser el lpt ico, hipebólico ó

parabólico,, pero no debe t ene r derivadas de primer orden.

Dado que F es lineal, el funcional asociado, s in pérdida de -

generalidad es

T m - s u <Au + Bu + Cu + Uu> dxdy , XX XY YY R

2

6 empleando el teorema de areen

T(U> B - - 1 s s <Au”+ Bu u + Cuz - Uuz> dxdy . x X Y Y R

2

Ahora se considera la posibilidad de conver t i r un operador

que no es conservat ivo en un operador conservat ivo. por ejemplo

F<y,y’,y”> = cc<x>y” + í3íx>y’ + y<x>y = O ,

(véase Ejemplo III.Z.b>, pag.43)

es conservat ivo si

supongáse que la condición no se satisface, entonces se t rata de

encontrar un “factor de integración” g<x> definiendo el operador

I<y,y’,y”> = g F ,

de manera tal que sea conservat ivo, es decir, se sa t i s f a c e la

condición sigui ente

g o - 7; < g c O - o ,

58

resolviendo para g se t i ene

(3 - a’ g<x> = exp <J’ dx> ,

entonces

dx> ] F p - a’

dx> <ay’’ + Py’ + yy> , 1 (3 - a’

es conservat ivo y el funcional asociado es

A l “factor de integración” g<x> <si ex is te> se le llamará

factor conservat ivo.

EJEMPLOS.

111.6. Considérese el -operador

F<y,y’,y”> = ay” + by’ + cy , con a, b y c constantes,

en part icular b Z O, entonces el operador F no es conservat ivo.

(véase Ejemplo III.2.c>, pag. 43>. P e r o un factor conservat ivo es

b a

g<x> = exp < -x> ,

y el funcional asociado es

111.7. Considérese el operador

FCu,u ,u ,u ,u ,u > = u - u , x Y xx XY Y Y xx Y

el cual no es conservat ivo (véase E jerriplo III.S.c>, pag.57).

59

Se tratará de encontrar un f-actor conservativo, por lo que

se define el operador

el cual es conservativo si se satisfacen las condiciones C2> y

(3> del ejemplo III.5., pero se cumplen sólo si g<x,y> = O ,

de manera que s e tiene un factor conservativo trivial, que no es

de interés.

60

C O N C L U S I O N E S

Ahora se esta en condiciones para con tes ta r l a s cuestiones

planteadas en la introducción de este trabajo .

Dada una ecuación di ferencial no siempre es posible encontrar

un funcional asociado, cuya ecuación de E-L sea la ecuación

dada.

El funcional asociado T ex i s t e si y sólo si la derivada de

Fréchet del operador di ferencial F es simétrica, es decir que el

operador di ferencial debe ser conservativo en cuyo caso s u

potencial es el funcional T . Por lo que T existe si F

sa t i s f a c e la condición s iguiente

<DFCf)h , h > = <h , DFCf)hz> , i 2 i

donde todos los slmbolos ya han sido definidos.

En el caso de que ex i s ta el funcional asociado T , no es

íinico, puesto que se def ine en términos del operador di ferencial

F como s i gue -

I

T<f> = T<fo> + <F<fo + t<f - fo>> , f - fo> d t , O

donde todos los símbolos ya han sido definidos.

61 8 9 4 5 5 2

es

fijo pero arbitrario, es decir en - el caso de que proceda, para

se t i en e un funcional asociado con un operador cada

fo Cabe hacer notar que la no unicidad radica en que

fo diferencial. Más aun, la ecuación de E- L del funcional T

d i f i e r e de la ecuación di ferencial dada por ' una constante

multiplicativa, lo cual se pude ver i f i car , por e j emplo , en los

Ejemplos III.2.a> y III.4.a>.

En el caso de que proceda, si el operador di ferencial es

lineal, entonces el funcional asociado está dado por

T<f> - T< fO> + I

2 - <F<f + fo> , f - f > .

O

Sin pérdida de generalidad se puede considerar que f = o.

En tal caso las expresiones an te r i o r es se reducen, repect ivamente

O

a las siguientes

I T<f> = T<o> + <F<tf> , f> d t ,

O

<F<f> , f> . 1 T(f'> = T<o> + - 2

Y si además se considera que TCo> = constante = O, se t iene,

respect ivamente que

i

T<f> <F<tf> , f> d t , O

<FCf> , f> . 1

2 T < f ) m -

62

Esta expresión, como se mencionó en la introducción, es

bien conocida, pero ahora just i f icada.

Con base en algunos Ejemplos de la p a r t e 111, se concluye que

en general las ecuaciones di ferenciales ordinarias ó parcia les que

contengan operadores di ferenciales de orden impar no t ienen un

principio variacional asociado, es decir, un funcional asociado,

al menos como se presentan originalmente.

En algunos casos, es posible encontrar un factor conservat ivo

de manera tal que un operador no conservat ivo, se conv ie r ta e n un

operador conservativo, el proceso se m u e s t r a al final de la p a r t e

111. A este respec to habrá que eanalízarse más CRI, CVMI.

Desde el punto de vista de la física, la existencia de un

funcional asociado con una ecuacidn di ferencial puede ser terna de

gran interés , puesto que la función Lagrangian0 <el integrando del

funcional> en la mayoría de los casos, de alguna manera se

relaciona con la energ ia CDUI, CMII, CLI.

Un comentario más, los operadores di ferenciales parcia les de

segundo orden en dos variables, de t i p o parabólico, pueden t ene r

un principio variacional asociado cuando no contengan operadores

de primer orden. Desafortunadamente, los problemas de difusi6n

estan relacionados con este t i po de operador [MI.

63

Finalmente se presentan algunas rece tas .

Si la ecuacibn diferencial es ordinaria de orden dos, el

operador F es corserva t i vo si se satisface la ecuación

si F no la satisface, intentar un factor conservativo.

S i la ecuación di ferencial es ordinaria de orden cuatro , el

operador F es conservat ivo si se sa t i s facen las ecuaciones

a F - O y d3 ¿3F

dx3 Oy" - - - d a~

dx ay? ' - - -

ay,

si F no las sa t i s face , in tentar un factor conservativo.

S i la ecuación es parcial de segundo orden en dos variables,

el operador F es conservat ivo si sa t i s f a c e Las ecuaciones

X x x

Y Y Y

si F no las satisface, in tentar un f a c t o r conservativo.

64

APENDECE I. PRELIMINARES

En este apéndice se presentan algunos conceptos básicos,

t a l e s como espacio vector ia l , transformación, funcional, operador,

norma, producto escalar, espacio de Banach, espacio de Hilbert,

transformación lineal, y trarisf-urriiación simbtrica. Y se presentan

algunos e j emplos en espacios de dimensión f in i ta , así como en

espacios de funciones.

DEFINICION 1.1. Sea E un conjunto no vacío. E es un

espacio vector ia l si t i ene definidas dos operaciones, una llamada

suma designada por + , y la otra, multiplicación por escalares,

designada por yuxtaposición, t a l e s que

I> E bajo la suma t i ene estructura de grupo Abeliano,

es decir, se sat is facen:

i> f+g E E, para todo f y g E E

ii> <f+g>+h = f+<g+h>, para todo f, g y h E E

iii> Existe o E E tal que f+o = f, para todo f E E

iv> Para cada f E E , ex i s t e -f E E t a l que f+<-f> = o

v> f+g = g+f, para todo f y g E E .

11> E bajo la multiplicación por escalares satisface:

i> af E E, para todo f E E y para todo a E ff <campo>

ii> a f = f a , para todo f E E y para todo a E ff

iii) <a(3>f = a<(3f>, para todo f E E y para todo a y (3 E ff

iv> O f = o, para todo f E E y O E iF

v> If = f, para todo f E OE y 1 E IF

vi> oc<f+g> = cxf+ag: y f<cx+,G> = fa+fp,

-

para todo f y g E E y para todo a y (3 E ff .

65

A menos que se diga otra cosa, ff = R (campo real> y

las operaciones serán las habituales.

E. TE PIP L OS,

E ü?, i - 1, ..., n } es un 1.1. E = IR” = { <XI, ..., x > I XL n -

espacio vector ia l .

funciones reales definidas en Ca,bl con

1 derivada continua de cualquier orden

I.2. E = C?a,bl - es un espacio vector ia l . -

funciones reales definidas en Ca,bl

con n-ésima derivada cotitinua

{ I.2.a> E = CnCa,bl - un espacio vector ia l .

1.3. E - CooCa,bl = f E C%,bI tales que f(k’<a> = O y k

dk’ = O ; <k> s ign i f i ca k-ésinia

derivada y f(o> = f } es un espacio

vector ia l .

I.3.a> E - CiCa,bl = f E CnCa,bl ta l es que f‘k’<a> = O y

es un espacio } f(k) = O

{

vector ia l .

I I.4. Si E y El son espacios vector ia les , entonces E x E

es un espacio vector ia l .

66

DEFINICION 1.2. Sean Y El espacios vector ia les. Una

transformación T , es una función definida en E y valuada en

IE . Y se escr ibe I

T : E - E . I

Si E = IR , entonces T es un funcional. Si = E , I i

entonces T es un operador.

DEFINICION 1.3. Sea IE un espacio vector ia l . Una norma es un

funcional 11 11 : E - + R , t a l que:

i> f = o

ii> IlafII = la1 IlfII , para todo f E E y para todo a E IF

iii> Ilf+e;II I + llgII , para todo f y g E [E .

IlfII L. O , para todo f E (E ; llfll = O si y solo si

Los espacios vector ia les que t ienen definida UM norma se

llaman espacios normados.

EJEMPLOS.

I.5. IR" es un espacio normado, con la norma -

<norma Euclidiana>.

I.6 CnCa,b3 es un espacio normado, con la nornia

67

- 1.7. CnCa,bl es un espacio norniado, con la norma

b 1/2

k=o l l f l l - Ifi, [

DEFINICION 1.4. Sea E un espacio vector ia l . Un producto

escalar es un funcional < , > : E x E -+ R , tal que:

i> <f,g> = <g,f> , para todo f Y g E E

ii> <af,g> = <f,ccg> = cx<f,g> , para todo f y g E E Y

para todo a E ff

iii) <f+g,h> = <f,h>+<g,h> , para todo f,g y h E E

i v> <f,f> 1: 0,para todo f E [r ; < f , f > = O si y solo si f = o

Los espacios vec tor ia l es que t ienen definido un producto

escalar se llaman espacios Euclidianos. -

En un espacio Euclidiano es posible de f in i r una norma, con

base en el producto escalar involucrado, llamada norma asociada;

es habitual, en un espacio Euclidiano, de f in i r la norma como

sigue

= <f,f>i’z (norma asociada c;anbnica>.

EJEMPLOS.

I.8. IR” es un espacio Euclldiano, con el producto escalar

<pr.oducto escalar- Euclldiano >.

68

b f E C*Ca,bl , con f2 dx < a, } es un

a 1.0. L2Ca,bl -

espacio Euclidiano, con el producto escalar

2

I.io. H2Ca,bl = { f E C'Ca,bl , con I,,.+ f<l' > dx < 00

a

es un espacio Euclidiano, con el producto escalar

DEFINICION 1.5. Sea [E un espacio normado . [E es completo

si cada sucesión de Cauchy en [E converge a un elemento en E .

DEFINICION 1.6. Sea E un espacio normsido. E es un espacio

de Banach si E es completo.

DEFINICION 1.7. Sea E un espacio Euclidiano. E es un

espacio de Hilbert si IE es completo, con norma asociada.

DEFINICION 1.8. Sean E Y Ei espacios vectoriaies y

T : I E - + [E . T es l ineal s i : I

i> T<f+g> = T<f>+T<g> , para todo f y g e IE

ii> T<cxf>'= a T < f > , para todo f E [E y para todo a E U? .

DEFINICION 1.9. Sean E , [E y [Ez espacios vector ia les. I

T : E x E --+ [E , es bilineal si es l ineal en ambas var iables

es decir,

i 2

i>

ii >

TCaf + f3g,h> = aT<f,h> + ./YTCg,h> , para todo f y g E E,

para todo h E El y para todo a y 0 E R

T<f,am + /3h> = aT<f,m> + frr<f,h> , para todo f E E ,

para todo m y h E Ei y para todo a y (3 E [R .

DEFINICION 1.10. Sean E un espacio Euclidiano y T : E -+ E

lineal. Si e x i s t e T4 : E - -í E lineal, tal que

4 <T<f>,g> - <f,T <g>> , para todo f y e; E [E

entonces T* se l lama adjunto de T .

DEFINICION 1.11. Sean E un espacio Euclidiano y T : E-+ [E

T es s imétr ico si

<T<f),g> = <f,T<g:>> , para todo f y g E E .

Y si T es lineal, se dice que es autoadjunto. -

EJEMPLOS.

I.11. Si E es un espacio Euclidiano y si T : E x E -+ R

es tal que

entonces T es bilineal es decir, un producto escalar es un

funcional bi lineal.

70

1 2 Si [F!‘ es un espacio Euclidiano, con el producto escalar

Euciidiano y T : R2 - + R2 , se def ine como

T<x,y> = <x + y , x - y> ,

entonces T es un operador lineal. Además

<T<x,y>,<hl,hz>> - <<x+y,x-y>,<h ,h >> xh + yki + xh - yhz I 2 I 1 2

= x<hi + h > + y<hi - hB) = <<x,y>,<hi+h2,hi-h2>> 2

= <Cx,y>,T*<hi,hZ>>

aquí se t i en e que

T*<x,y) - <x + y , x - y> 9 T<x,Y>

por lo cual T es autoadjunto.

I.i3. Si CiCa,bl es un .espacio Euclidiano, con el producto - I escalar < , >o y T : C La,bl - -. CICa,bl , definido por

d d x ’

y<x> y’¿x> es decir, T E - d T<Y<x>> P - dX


b b d b b

<T<y>,h>* = s y<x> 1 h<x> dx = y’h dx = yhl, - s yh’ dx a a a L J

b yh la - <y,T<h>>o ,

por lo que T no es autoadjunto, ni t i ene adjunto. Pero, si se

considera que

T : C:Ca,bl - + CICa,bl O ,

b entonces yhl, = O. Por lo t an t o

<T<Y>,h>o = - < ~ , T < k i > > ~ = <y,-T<h>>o ,

71

así es que T no es autoadjunto, sin embargo tiene adjunto y

y<x> T* - T es decir, T CyCx>) - - - . dx

*

1.14. Sean CZCa,L>3 un espacio Euclidiaiio, con el producto

2 2 escalar < , y T : C Ca,bJ ---, C La,bJ , deflnido por

dz y4x> = y” es decir, T E - , dZ

dx2 dxZ T<Y<X>> -


b b

a a

< T < Y > , ~ > ~ - <y”,h>o = J’ y”h dx - y’ l i lb - 1 y’h’ dx a

a

<T<y>,h>om Cy’h - yh’>I b + <y,T<h>>o , o

por lo que T no es autoadjunto, ni tiene adjunto. Pero si se

considera que

T : C:Ca,bJ -+ C 2 ía,bl , i

entonces <y’h - yh’>lb - O. D e riiaiiera que a

o ’ <TCy),h> = <y,TCh>>

O

= T luego T es autoadJunto es decir, T* s - dZ - dx2

Más aun

En general, si

Y dn T : Cn Ca,bl -+ Cn Ca,bl < n 1 1 > , ta l que T 2 - dx” n-i n - i

Cn Ca,bl es un espacio Euclidiano, con el producto escalar n-i

< , > , entonces n-i

i> T es un operador lineal

ii> Si n es par, T es autoadjunto

iii> si n es impar, T no es autoadjunto, pero T* E - T .

43

APENDICE 11. LA DERIVADA

Esto aphidice cuiitleiie los coiiueptos d w cuiitiiiuidad, derivada

direccional <derivada de Uateaux> y derivada <derivada de Fréchet)

de transformaciones, así corrio algunos resultados conectados con

éstos. Se dan ejemplos en espacios de dimensión f i n i t a y en

espacios de funciones, incluyendo funcionales y operadores.

Todas las normas empleadas en este apéndice han s ido

definidas en el apéndice I.

DEFINICION 11.1. Sean [E y [Eí espacios normad o s, Y

T : [E -+ E . T es continua en fo E E , si para todo E > O, í

existe 6 > O ta l que

TEOREMA 11.1. Sean [E y [Eí espacios normados. Si

T : E- + Es es lineal, entonces

T es continua en E si y sólo si T es continua en f o = O .

Para una prueba, véase VilJ CK E J .

E-TEMPLOS.

I= si IR3 y IRz son espacios normados, con la norma

Euclidiana y T : IR3 -+ [Kz dada por T<x,y,z> - Cx+y,y+z> , -

entonces T es una transforniación lineal conCinua.

74

I= Si [R3 es un espacio normado, con la norma Euclidiana y

T : , es tal que ~<x,y ,z> - <y,z,x> , entonces T es un

operador lineal continuo.

II.3. si IR3 y IR son espacios normados, con la norma

Euclidiana y T : [R3 --e R , definida por T<x,y,z> = x+y* ,

entonces T es un funcional lineal continuo.

O

O II.4. Si C Ca,bl y IR son espacios normados, con la norma I I

y la norma Euclidiana, respectivamente, y T : C°Ca,bl - + I R

b definida como T<y> = y dx , entonces T es un funcional

lineal continuo.

a

DEFINICION 11.2. Sean Y [Ei espacios de Banach,

T : E -+ IE y fo E IE . T t i ene una derivada de Qateaux en f i O

en la "dirección" h E IE si -

T< f + th> - T < f > -- O ' = [ -& T<fo+th> ] existe,donde t E O? , O

t=o t 1 í m

t - 0

en tal caso caso, el l í m i t e se denota por DhTCfo> .

DEFINICION 11.3. Sean E y [El espacios de Banach,

T : E -+ E y fo E E . T t iene una derivada de Fréchet en f o i

si e x i s t e una transforniación lineal continua, denotada por D T C f o > ,

t a l que

T<f + h> - T < f > = DT<fo>h + o<lll-ill> , para todo h E E , o O

75

donde o<llhll> representa una función de h tal que

TEOREMA 11.2. Sean [E y E l espacios de Banach . Si

T : E --+ E es lineal y fo E E . Entonces, si h E 1

i> DhT<fo> = T<h>

ii> TCh> = DT<f >h O

es decir, DT<f >h = DhT<fo> , para todo h E E . O

Recuérdese que, toda transformación lineal e n espacios de

dimensión f i n i t a t i en e una representación matricial.

EJEMPLOS.

P a r a los espacios de Banach se emplea la norma Euciidiana

en la colección de ejemplos siguiente.

I n S i T : R - + [ R es ta l que T<x> = x , entonces T es

un funcional (tambibn es un operador> lineal, luego

DhT<xo> = T<h> = h ,

en part icular

DIT<xo> = 1 .

AdeniBs se t i ene

T<xo +. h) - T<xo> T<h> = h <l>h = DT<xo>h + o<llhll> ,

entonces

DT<x > z C11 < m a t r i z de orden 1 x 1> y O< l lh l l > = o . O

76

2 = S i T : R - + R se define como T<x> = x , entonces

T es un funcional no lineal y

2 T<x + t h > = x + 2xht + hZt2 ,

de manera que

D T<x> - [ d- T<x + t h > ] - 2xh , t=o

h dt

en particular

DIT<x> = 2x . Además se tiene

T<x + h> - T<x> 2xh + h2 <2x>h + h2 = DT<x>h + o<llhll> ,

entonces

DT<x> E C2xl y o<Ilhll> = hZ .

II.7. Si T : R3-+ R se define como T<x,y,z> - x + y + z ,

entonces T es un funcional lineal, así es que

DhT<x,y,z> = hl + h2 + h3 ,

en particular

9 T<x,y,x> = 1 (0, í .O)

T<x,y,z> = 1 D (1,O ,o> D

T<x,y,z> = 1 . (0,O.l)

D

Además se tiene que

entonces

DTCx.y,z> G C 1-1 1 1 <:matriz de orden 1 x 3> .

77

II.8. Si T : R3 r R es definida como T<x,y,z> = xyz ,

entonces T es un funcional rio lineal y

r 1

= yzhi + xzh2 + xyh, ,

en part icular

9 T<x,y,z> = xz <0,1,0)

T<x,y,z> y z D (1,0,0)

D

T<x,y,z> = xy . (0 ,O . l )

D

Además se t i ene -

T<x + hi,y + hZ,z + ha> - T<x,y,z> = yzhl + xzhz + xyh3

[ 31 = I: ye xz xy 1

= DT<x,y,z>h + o<IlhII> ,

entonces

DT<x,y,z> 2 C y z xz xy 1 y o<llhll> = xh h + yh h + zhlhz 2 3 I 3

+ hihZh3 .

3 II.9. Sea T : R3-+ R dada por T<x,y,z> - <x+y,y+z,z+x>,

entonces T es un operador lineal por lo que

D,,T<x,y,z> = <h + hZ , h + h , h + h > , I 2 3 3 I

78

en particular

T<x,y,z> = U,0,1> Y D T<x,y,z> = <1,1,0> (0,1,0> <1,0,0> D

T<x,y,z> = <0,1,1> . (O,O,i)

D

Además se tiene que

T<h> = <hi + hZ , hz + h3 , h3 + hi>

entonces

DT<x,y,Z> G [ 0 1 ] < m a t r i z de orden 3 x 3> . 1 0 1 .

2 11.10. Si T : IR3 -+ IR definida como T<x,y,z> - <xy,yz>,

entonces T es una transformación no lineal y

r 1

T<x + thi,y + th2,z + th3> 1 d+ D T<x,y,z> - h

= <Xh2 + yhi,yhe + zh2>

en particular

T<x,y,z> = <y,O> 9 D T<x,y,z> = <x,z> (0,1,0> (1,0,0> D

T<x,y,z> = <O,y> . (0,0,1>

D

AdemAs se tiene que

79

TCx + hi,y + hz,z + ha> - T(x,y,z>

= <xhB + yhi + hih2 , yh3 + zh2 + hzha>

+ y h > + < h h , h h > = <yhi + xhz , zhz 3 1 2 2 3

T<x + hi,y + 11 ,z + ti > - TCx,y,z>- 2 9

2 3 3

entonces

espacios de Banach, E Y E i TEOREMA 11.3. Sean

T : E - -,E Y fo E [E . Si e x i s t e una transformación lineal

continua @ , tal que es válida la aproximación lineal s iguiente

i

T<f + h> - T<yo> = #h + o<llhll> , O

entonces +h = DT<f >h es única. O

Para una prueba, véase Cíl.

TEOREPíA 11.4. Sean IE y E i espacios de Banach , y

€ E , f* T : [E __I* [E . Si T t i ene derivada de Fréchet e n i

entonces T t i ene derivada de QAiteaux en fo , para todo h E [E ,

Y

DhT<f > = DTCf >h . o O

Para una prueba, véase [TI.

-

80

E. TEMPLOS.

11.11. si C2Ca,bl es u11 espacio de Banach, con norma 11 11, y T es un operador definido en CzCa,bl como T<y> = ypp+y’+y ,

entonces T es un operador lineal por lo que

dz d

dx2 T<h> P h” + h’ + h E < - + - + 1 > h m DT<y>h dx

así es que

DT<y> E - dz + - + 1 ] dx [ dxZ ?

por lo +anto

1 D ~ T < ~ > [ - dZ + !- + i h = h”+ h’+ h . dx dx2

11.12. Si CICa,bl es un espacio de Banach, con norma 11 11,

Y T un operador definido’ en CICa,bl como ~ < y > = y,’ ,

entonces T es un operador no lineal y

d dx TCy + h> - T<y> .I 2y’h’+ h” ~ i : <2y’-->h + hpZ = DT<y>h + o ,

por lo que se t i ene

y o<llhll> - h” . d DT<y> G [ 2y’ dx ] A s í es que

- DhT<y> = [ 2 y ’ s ] h = 2y’h’ .

11.13. Sean f<x,y,y’> E C1<Ca,bl x IRz> y T un funcional

b definido en CICa ,b l por T < y > = f<x ,y ,y ’> d x , d o n d e CiCa,bl

a

es un espacio de Banach, con norma I I, , entonces

81

b - T<y + t h > at a f <x,y+th,y’+th’> dx

a d t

b h’ ] dx T<y + th’ ” Ja [ fy+th

+ fy-+th’ d d t -

así es que

b DhT<y> - [-&- T<y + th> ] = < f h + f ,h’ > dx .

Y Y t=o a

11.1.). Consideremos el ejemplo anterior, entonces se puede

escribir

b

T<y + h> - T<y> p s < f h + f ,h”> dx Y Y

a

Y dado que Ca,bl es compacto f y fy, son uniformemente Y

continuas en <x,y,y’> para todo x E Ca,bl. Por lo que f y fy, Y

estan acotadas p o r una constante C para toda x E Ca,bl y las

d i f e r e n c i a s s o n de orden Oh = s < f h + f ,h’ > dx ,

Y Y a

82

entonces IDT<y>h I 5 C Ib-a I I h 1, , y el residuo está acotado por

O<lh)l> Ih), = o<lhl1>.

D e manera que ,

. d < fy + f - > .

y' dx

83

[Al

[CI

[COI

ID1

CDUl

[El

íF1

CFW

cal

111

iK1

CKEI

,* .. ~

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IR1

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CSMI

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[TI

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