magneto stática

Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 1/34

5 Magnetostática

M. Mudarra

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5.1 Ley de Ampère: Fuerza

entre corrientes estacionarias

5.2 Ley de Biot-Savart: campo

magnético

5.3 Ecuaciones fundamentales

de la magnetostática

5.4 Dipolo magnético

5.5 Fuerza de Lorentz


■ Ya apuntamos que la interacción entre cargas enmovimiento no podía explicarse únicamente a partir de lainteracción eléctrica.

■ Nosotros haremos el estudio desde el punto de vistahistórico, a partir del estudio experimental de la fuerza entrecorrientes estacionarias.

■ Aunque nosotros lo “atacaremos” desde este punto de vista,el resultado de la interacción entre las cargas en movimientopuede deducirse como un corolario de la ley de Coulomb, lainvarianza de la carga y la teoría de la relatividad especial.

■ Dejaremos el estudio de las corrientes variables para másadelante.

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● Elemento de corriente

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère


magnético






5.1 Ley de Ampère: Fuerza entrecorrientes estacionarias

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● Ley de Ampère

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère


magnético






Elemento de corriente

■ El elemento básico para el estudio de lainteracción magnética entre corrientesfiliformes será el elemento de corriente

■ Lo representamos como

I ~dl

donde:I es la intensidad de la corriente.~dl es el elemento de desplazamiento a lolargo del circuito, en el sentido de lacorriente, en cada unos de los puntos decircuito.

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● Ley de Ampère

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère


magnético






Ley de AmpèreLa fuerza de interacción entre dos elementos de corriente de dos cir-cuitos viene dada por:

~dF21 = kmI2~dl2 × [(I1~dl1)× ~u21]

r221

En la que:■ I ~dl son los elementos de corriente que interaccionan entre sí.■ ~r21 es el vectro posición relativa del elemento “paciente” (2) respecto

del elemento de corriente “agente” (1)

■ ~u21 = ~r21r21

es el vector unitario que marca la posición relativa delelemento 2 respecto del 1

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● Ley de Ampère

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère


magnético






Ley de Ampère

La fuerza de interacción entre ambos circuitos completos será pues(aplicando el principio de superposición):

~F21 =

∮

C2

∮

C1

~dF21 =

∮

C2

∮

C1

kmI2~dl2 × [(I1~dl1)× ~u21]

r221

o de manera más compacta:

~F21 =

∮

C2

∮

C1

~dF21 =

∮

C2

∮

C1

kmI2~dl2 × [(I1~dl1)× ~ur]

r2

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● Ley de Ampère

● Ley de Ampère

● Ley de Ampère


magnético






Ley de Ampère■ En el Sistema Internacional de unidades se definekm = 10−7 N

A2 o (equivalentemente (H/m))■ La constante km se suele racionalizar

km =µ0

4π

definiéndose la permeabilidad magnética del vacío como:

µ0 = 4π10−7H

m

■ A pesar de la expresión, la fuerza es newtoniana ~F21 = −~F12

■ La aparición del doble producto vectorial hace que haya quetratar con cuidado el problema de determinar la direción dela fuerza.

■ Habitualmente no la trataremos de esta manera: nosapoyaremos en el concepto de campo magnético.

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magnético

● Ley de Biot-Savart


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






5.2 Ley de Biot-Savart: campomagnético

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magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ley de Biot-Savart

La expresión de la ley de Ampère:

~F21 =

∮

C2

∮

C1

µ0

4π

I2~dl2 × [(I1~dl1)× ~ur]

r2

La podemos escribir

~F21 =

∮

C2

I2~dl2 ×

[

µ0

4π

∮

C1

I1~dl1 × ~ur

r2

]

En la que el término en rojo representa una magnitud vectorial“creada” por el circuito 1 en cada punto del espacio(independientemente de la existencia o no de un circuito 2)Este campo es el campo magnético ~B con el que interaccionacada elemento de corriente del circuito 2.

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magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ley de Biot-Savart

De esta forma el campo megnético ~B (densidad de flujomagnético o inducción magnética que crea el circuito 1(agente) en todos los puntos del espacio se define como

~B =µ0

4π

∮

C1

I1~dl1 × ~ur

r2

Finalmente la fuerza que recibe el circuito 2 por la interaccióncon el campo que crea el circuito 1 en los puntos del espacioes:

~F =

∮

C2

I2~dl2 × ~B

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magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ejemplo

Fuerza que experimenta una corriente rectilinea en un campouniforme

●




magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ejemplo

Fuerza que experimenta una corriente filiforme en un campouniforme

●




magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ejemplo

Campo en puntos del eje de una espira circular de radio a

recorrida por una corriente de intensidad I .

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magnético



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo






Ejemplo

Campo que crea una corriente rectilínea

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magnético



● Distribuciones de corriente

● Divergencia de ~B

● Rotacional de ~B

● Ejemplo

● Ejemplo

● Potencial vector magnético

~A


~A




5.3 Ecuaciones fundamentales de lamagnetostática

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




Distribuciones de corriente

En el caso de corrientes distribuidaspor volúmenes, la expresión para elcampo resulta

~B =µ0

4π

∫

V ol

~J × ~ur

r2dv

Finalmente la fuerza que recibe un elemento de volumen en elque hay definida una corriente distribuida es:

~dF = ~J × ~B dv

Luego el volumen total recibe una fuerza

~F =

∫

V ol

~J × ~B dv

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




Divergencia de ~B

Si calculamos la divergencia del campo ~B dado por la ley deBiot-Savart

div ~B = ∇ · ~B = 0

Aplicando el teorema de la divergencia∫

V

div ~B dv =

∮

S

~B · ~ds

Resulta que∮

S

~B · ~ds = 0

■ ~B es solenoidal: sus lineas se cierran sobre sí mismas■ No existen monopolos magnéticos (análogos magnéticos de

las cargas eléctricas): es un hecho experimental, no se hanobservado.

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




Rotacional de ~B

Si calculamos rotacional del campo ~B dado por la ley deBiot-Savart (Teorema de Ampère, forma local)

rot ~B = ∇× ~B = µ0~J

Aplicando el teorema de Stokes∫

S

(∇× ~B) · ~ds =

∮

Γ

~B · ~dl

Resulta el Teorema de Ampère (forma integral)∮

Γ

~B · ~dl = µ0

∫

S

~J · ~ds = µ0

∑

i

Ii

■∑

i Ii es la suma algebraica de las intensidades de lascorrientes que atraviesan S.

■ El campo magnetostático no es conservativo en general.■ El teorema de Ampère nos permite obtener el valor del

campo en situaciones de gran simetría.

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




EjemploCampo magnético creado por una corriente que recorre un hilorecto infinito

●




magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




EjemploCampo magnético creado por un solenoide muy largo

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




Potencial vector magnético ~A■ El campo de inducción magnética tiene rotacional NO-NULO, luego no se puede

derivar de un potencial escalar.

■ Sin embargo, como ∇ · ~B = 0, podemos obtener ~B como el rotacional de unpotencial vector ~A conveniente.

~B = ∇ × ~A

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magnético






● Ejemplo

● Ejemplo


~A


~A




Potencial vector magnético ~A

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magnético




● Momento dipolar magnético


● Energía potencial del dipolo

magnético

● Campo de un dipolo

magnético


magnético




●




magnético







magnético


magnético


magnético



Momento dipolar magnéticoEfecto de un campo ~B uniforme sobre una espira cuadrada delado a recorrida por una corriente de intensidad I .

La fuerza resultante es nula, como cabe esperar

~F =

∮I ~dl × ~B = 0

(las fuerzas constituyen un par).El momento resultante del par es

τ = Ia2B sin θ

Podemos darle carácter vectorial si definimos el momento dipolarmagnético como

~m = Ia2~un

donde:■ Módulo: |m| = Ia2 = IS (la corriente por el área).

■ Dirección: normal al plano de la espira.

■ Sentido: regla de la mano derecha, acompañando a lacorriente.

Así el par se puede escribir:

~τ = ~m × ~B

●




magnético







magnético


magnético


magnético



Momento dipolar magnético

Podemos darle carácter vectorial si definimos el momento dipolarmagnético como

~m = Ia2~un

donde:■ Módulo: |m| = Ia2 = IS (la corriente por el área).

■ Dirección: normal al plano de la espira.

■ Sentido: regla de la mano derecha, acompañando a lacorriente.

Así el par se puede escribir:

~τ = ~m × ~B

En el caso de un campo no uniforme, análogamente al caso deldipolo eléctrico, resulta:

~F = (~m · ∇) ~B

~τ = ~m × ~B

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magnético







magnético


magnético


magnético



Energía potencial del dipolo magnético

●




magnético







magnético


magnético


magnético



Campo de un dipolo magnéticoAnálogamente al caso de los dipolos eléctri-cos, el potencial vector magnético de un di-polo magnético se puede determinar como

~A =µ0

4π

~m× ~ur

r2

para calcular el campo, utilizamos

~B = ∇× ~A

Resultando■

Br =µ0

4π

2m cos θ

r3

■

Bθ =µ0

4π

m sin θ

r3

■

Bφ = 0

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magnético







magnético


magnético


magnético



Campo de un dipolo magnético

●




magnético





● Fuerza de Lorentz● Aplicación: Deflexión

eléctrica● Aplicación: Espectrógrafo de

masas● Aplicaciones: Selector de

velocidades● Aplicaciones: confinamiento

magnético



●




magnético









magnético


Fuerza de LorentzLa fuerza que el volumen elemental de una corrientedistribuida recibe, vale en virtud de la ley de Biot-Savart

~dF = ~J × ~Bdv

Como~J = nq~v

resulta~dF = nq~v × ~Bdv

Así cada portador de carga q y velocidad ~v recibe una fuerza

~F = q~v × ~B

Si además tenemos presente un campo eléctrico ~E

~F = q( ~E + ~v × ~B)

Fuerza de Lorentz

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magnético









magnético


Aplicación: Deflexión eléctrica

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magnético









magnético


Aplicación: Espectrógrafo de masas

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magnético









magnético


Aplicaciones: Selector de velocidades

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magnético









magnético


Aplicaciones: confinamiento magnético

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