BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan

mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori medan

elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai sesuatu yang

terkurung di dalam ruang. Istilah terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas

yang jelas antara materi dengan lingkungan di luar dirinya. Akhir abad ke 19 dan awal

abad ke 20 terjadi krisis dalam fisika. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa konsep-

konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa digunakan untuk

menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru yang tidak sama dengan

fisika klasik.

Para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum sejak awal abad ke 20.

Fisika kuantum muncul dipelopori oleh Bohr, Heisenberg, Schodinger dan teori relativitas

yang diungkapkan Einstein. Pada tahun 1925-1926 Erwin Schrodinger menyatakan bahwa

perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi elektron yang diskrit dalam atom

mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang. Persamaan diferensial tersebut

kemudian dikenal dengan persamaan Schrodinger.

Persamaan Schrodinger menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena

kuantum secara konsepsional dan matematis. Persamaan Schrodinger merupakan jantung

dalam mekanika kuantum. Energi dan fungsi gelombang suatu partikel dapat ditentukan

dengan menyelesaian persamaan Schrodinger. Energi dan fungsi gelombang digunakan

untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel. Penyelesaian persamaan

menggunakan mekanika kuantum dengan metode analitik bertujuan untuk mendapatkan

fungsi gelombang Schrodinger dan tingkat energi partikel yang berosilasi harmonik.

Persamaan gelombang Schrodinger osilator harmonik dapat diselesaikan menggunakan

persamaan diferensial biasa, deferensial (PD) orde II yang direduksi ke dalam PD orde dua

fungsi Hermit dan analitik.

Aplikasi fisika kuantum pada makalah ini digunakan untuk menyelesaikan osilator

harmonik. Osilasi satu dimensi. Secara mekanika kuantum energi partikel yang berosilasi

harmonik tidak boleh sama dengan nol tetapi E=Eo. Penelitian terdahulu menyebutkan

1

energi osilator harmonik ditentukan dari fungsi gelombang Schrodingernya. Cara yang

digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang Schrodinger osilator harmonik

adalah dengan menggunakan fungsi pembangkit dari fungsi hermit. Disebut sebagai fungsi

pembangkit karena fungsi ini dapat membangkitkan fungsi hermit. Berdasarkan penelitian

sebelumnya fungsi pembangkit hanya digunakan untuk menentukan fungsi gelombang

saja sedangkan penyelesaian tingkat energinya tetap ditentukan menggunakan metode

analitik.

B. Perumusan Masalah

Adapun masalah yang dihadapi berdasarkan latar belakang diatas, yaitu:

1. Apa yang dimaksud Persamaan Schrodinger ?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan Schrodinger secara analitik untuk sistem

osilator harmonik satu dimensi ?

C. Tujuan Makalah

Tujuan dalam penyusunan makalah ini adalah untuk memenuhi nilai mata kuliah

Fisika kuantum. Selain itu, penyusun berharap dengan adanya makalah ini dapat

menambah wawasan mahasiswa mengenai penyelesain secara analitik persamaan

Schrodinger untuk sistem osilator harmonic satu dimensi.

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Persamaan Schrodinger

Prosedur untuk mendapatkan persamaan Schrodinger untuk partikel bebas

pada ruang satu dimensi diawali dengan fungsi gelombang partikel bebas,

Ψ(x,t) = Aexp[i(pxx − Et)/ħ] (2.1.1)

energi partikel bebas dalam mekanika klasik berkaitan dengan momentum sesuai

dengan relasi,

(2.1.2)

Jika mengerjakan turunan parsial dua kali terhadap x pada fungsi gelombang

partikel bebas (2.1.1) maka diperoleh,

(2.1.3)

dan seperti sebelumnya turunan parsial terhadap t, maka didapatkan,

(2.1.4)

Menggunakan relasi E = p2x/2m, maka persamaan (2.1.3) dan (2.1.4) dapat

disatukan dengan cara sebagai berikut:

(2.1.5)

(2.1.6)

3

Substitusi dengan persamaan (2.1.3), kemudian dihasilkan persamaan akhir yaitu:

(2.1.7)

Untuk menyederhanakan persamaan ini, dikali kedua sisi dengan iħ sehingga

diperoleh,

(2.1.8)

Persamaan ini dikaji kembali dengan memperhatikan definisi operator momentum

Pˆx dan operator energi Ê. Persamaan ini dapat ditulis kembali dengan

menggunakan operator momentum dan energi menjadi,

(2.1.9)

Generalisasi untuk ruang tiga dimensi dapat dilakukan dengan cara yang sama dan

menggunakan hubungan energi dan momentum (mekanika klasik),

(2.1.10)

dapat diperoleh persamaan gerak untuk partikel bebas yaitu,

(2.1.11)

atau

(2.1.12)

dimana Laplacian ∇2,

(2.1.13)

Generalisasi untuk sebuah partikel yang berada pada sebuah potensial V (r,t)

didapat dari hubungan energi,

E=P2

m+V (r , t) (2.1.14)

4

dan melakukan penggantian variabel klasik dengan operator, dapat ditulis

persamaan geraknya,

(2.1.15)

atau

(2.1.16)

Persamaan inilah yang dinamakan persamaan Schrodinger yang bergantung waktu.

Persamaan ini menentukan evolusi fungsi gelombang, untuk formulasi yang lebih

umum, kita perhatikan bahwa operator-operator pada sisi kanan persamaan

(2.1.15) adalah operator Hamiltonian,

(2.1.17)

Jadi persamaan Schodinger yang berlaku untuk semua keadaaan adalah,

(2.1.18)

Pada mekanika klasik, energi total dari suatu sistem yang diekspresikan dalam

bentuk variabel koordinat dan momentum disebut dengan fungsi Hamiltonian dari

sistemnya.

E=H (r , p , t )= P2

2 m+V (r ,t ) (2.1.19)

Dari fungsi Hamiltonian ini, operator Hamiltonian kuantum mekanik diperoleh

dengan melakukan penggantian variabel momentum dengan operator momentum,

p → pˆ = −iħ∇ atau,

H = H(r,−iħ∇,t)

(2.1.20)

5

Jadi dapat diringkas bahwa persamaan Schrodinger yan bergantung waktu dapat

diperoleh dengan penggantian variabel-variabel klasik dengan operator-operator

kuantum.

(2.1.21)

p → pˆ = −iħ∇ (2.1.22)

dan r → ˆr = r. Persamaan Schodinger di atas bersifat linier dan homogen.

Persamaan Schrodinger hanya terdapat turunan order satu terhadap variabel waktu.

Sehingga evolusi dari fungsi gelombang dapat diketahui jika fungsi gelombang

pada waktu tertentu t0 sudah diketahui. Fungsi gelombang untuk waktu yang lain

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schodinger.

2.2 Penerapan Schrodinger pada Osilator Harmonik Sederhana

Persoalan lain yang dapat ditangani secara mudah dengan menggunakan

persamaan schrodinger adalah osilator harmonik sederhana satu dimensi. Osilator

seperti ini dapat dianalisis dengan menggunakan hukum Newton yang

mengungkapkan frekuensi ω0=√k /m dan periode T=2 π √m /k . Osilator harmonic

ini memiliki energy kinetic maksimum di x=0; energy kinetiknya nol pada titik

balik x=± A0, dimana A0 amplitudo geraknya. Pada titik balik, isolator berhenti

sejenak kemudian berbalik arah geraknya. Tentu saja gerakannya terbatasi pada

daerah −A0 ≤ x≤+ A0.

Meskipun dalam kehidupan sehari-hari tidak pernah menjumpai contoh

osilator kuantum satu dimensi, terdapat sebuah sistem yang berprilaku

menghampiri sistem ini, misalnya vibrasi sebuah molekul diatomik. Ternyata,

hingga orde hampir terendah setiap sistem pada daerah minimum sebuah potensial

berprilaku seperti sebuah osilator harmonik sederhana.

Sebuah gaya F=−kx memiliki potensial V=12

k x2, sehingga diperoleh

persamaan schrodinger:

6

−ℏ2

2md2ψd x2 +1

2k x2ψ=Eψ (2.2.1)

Persamaan diferensial ini sulit sekali dipecahkan secara langsung, karena

itu kita akan menebak saja pemecahannya. Semua pemecahan persamaan (2.2.1)

harus menuju nol bila x→ ± ∞, dan untuk limit x→ ± ∞. Prilakunya haruslah

seperti ekponensial −x2. Oleh karena itu, dengan ψ ( x )=A e−a x2

, dimana A dan a

adalah dua tetapan yang ditentukan dengan mengevaluasikan persamaan (2.2.1)

bagi pilihan ψ ( x ) ini dan mengevaluasi d2 ψ /d x2.

dψdx

=−2 ax ( A e−a x2 ) (2.2.2)

d2ψd x2 =−2 a ( A e−a x2 )−2 ax (−2 ax ) A e−ax2

(2.2.3)

Dan kemudian menyisipkan ψ ( x ) dan d2 ψ /d x2 kedalam (2.2.1) untuk

melihat apakah piliahan ini memberikan suatu pemecahan.

−ℏ2

2m(−2aA e−a x2

+4 a2 x2 A e−a x2 )+ 12

k x2 ( A e−a x2 )=EA e−a x2

(2.2.4)

Pembagian dengan factor sekutu A e−a x2

memberikan

ℏ2

m−2 a2ℏ2

mx2+ 1

2k x2=E (2.2.5)

Persamaan (2.2.5) bukanlah pesamaan yang harus dipecahkan bagi x,

karena sedang mencari pemecahan yang berlaku bagi semuax, bukan hanya bagi

nilai x tertentu. Agar hal ini berlaku bagi sembarang x, maka semua koefisien dari

x2 haruslah saling menghapuskan dan semua tetapan yang sisa haruslah sama

(misal, tinjau persamaan ax+b=0. Persamaan ini tentu berlaku bagi x=−b /a,

tetapi bila kita mengiginkan persamaan ini berlaku bagi sembarang dan semua x,

maka persyaratannya a=0 dan b=0. Jadi:

−2 a2ℏ2

m+ 1

2k=0 (2.2.6)

7

dan

−ℏ2 am

=E (2.2.7)

yang menghasilkan

a=√km2ℏ

(2.2.8)

dan

E=12ℏ√ k

m (2.2.9)

Pernyataan energy ini dapat pula kita nyatakan dalam frekuensi klasik

ω0=√k /m sebagai:

E=12ℏω0 (2.2.10)

Salah satu ciri pemecahan ini yang mencolok adalah bahwa probabilitas

untuk menemukan pertikel di luar titik balik x=± A0 adalah tidak nol. Karena

diluar x=± A0 energi potensial lebih besar dari pada energy total E tetap, maka

energi kinetiknya menjadi negative, ini adalah adalah hal yang tidak mungkin

terjadi dalam kerangka fisika klasik, karena itu partikel klasik tidak memungkinkan

ditemukan di |x|> A0. Tetapi sebaliknya dalah mungkin bagi gelombang kuantum

untuk merembes kedaerah terlarang klasik ini.

2.3 Penyelesaian Schrodinger Osilator Harmonik Satu Dimensi dengan Metode

Analitik (Diferensial Hermite)

solusi persamaan Schrodinger dengan menggunakan metode analitik atau

metode deret pangkat. Persamaan Schrodinger,

(2.3.1)

8

Dapat disederhanakan agar mudah dalam melakukan simulasi dengan menggunakan variabel baru yaitu,

(2.3.2)

Dalam bentuk   menjadi,

(2.3.3)

dimana K adalah energi dalam satuan  :

(2.3.4)

Permasalahannya yaitu menyelesaikan persamaan 2.3.3 yang dalam prosesnya untuk mendapatkan nilai K yang “diijinkan” (tentunya juga E).

Untuk memulainya, ingat bahwa untuk   yang sangat besar (yang juga dapat dikatakan, pada nilai x yang sangat besar),   menjadi sangat dominan dari pada kontanta K, maka persamaan 2.3.3 bisa dreduksi menjadi,

(2.3.5)

yang mempunyai solusi taksiran,

(2.3.6)

Konstanta B jelas sekali tidak ternormalisasi (karena nilainya akan menjadi tak terhingga pada  ; solusi yang dapat diterima secara fisika adalah pada bagian yang pertama dan memiliki bentuk yang asimtotik)

(2.3.7)

pada   yang besar.

Ini berkesan kalau mengupas habis bagian eksponensial,

(2.3.8)

9

[ ] memiliki bentuk fungsional yang lebih sederhanya dari pada   itu sendiri. Dengan mendiferensialkan persamaan maka didapatkan

(2.3.9)

dan

(2.3.10)

maka persamaan Shroedinger (Persamaan 2.3.3) menjadi

(2.3.11)

Lalu mencari solusi dari Persamaan 2.3.11 dalam bentuk deret  :

(2.3.12)

lalu diferensialkan terhadap   maka didapatkan

(2.3.13)

dan

(2.3.14)

Persamaan 2.3.14 disubstitusi ke dalam Persamaan 2.3.11, maka didapatkan

(2.3.15)

Ini berarti bahwa (dari keunikan ekspansi deret) koefisien dari masing-masing anggota deret haruslah nol,

(2.3.16)

10

maka dari itu

(2.3.17)

Formula rekursi ini seluruhnya ekuivalen dengan persamaa Shroedinger itu sendiri. Diberikan   memungkinkan prinsipnya untuk membangkitkan  , dan diberikan   akan membangkitakan  . Maka didapatkan,

(2.3.18)

dimana

(2.3.19)

adalah fungsi genap dari  , yang dibangun dari  , dan

(2.3.20)

adalah fungsi ganjil, yang dibangun dari  . Dengan demikian Persamaan 2.3.17 menghasilkan   dalam dua bentuk konstanta sembarang (  dan  ), yang diharapkan untuk persamaan diferensial orde dua.

Bagaimanapun, tidak semua solusi yang diperoleh ternormalisasi. Pada j yang sangat besar, formula rekursi menjadi (perkiraan)

(2.3.21)

dengan solusinya (perkiraan)

(2.3.22)

untuk suatu konstanta C, dan ini menghasilkan (pada  , di mana deret yang besar yang paling dominan)

(2.3.23)

Sekarang, jika   berbanding lurus dengan  , maka   berbanding lurus dengan   (Persamaan 2.3.8), yang secara presisi memiliki sifat asimtotik. Untuk solusi ternormalisasi, deret harus berhenti pada suatu titik. Harus ada nilai j

11

“tertinggi” (namakan dengan n) yang membuat formula rekursi tersebut hingga menjadi   (ini akan memotong salah satu dari dua deret, deret  ataukah deret  , sehingga salah satunya harus bernilai nol dari awal). Solusi fisis dari pernyataan tersebut adalah

(2.3.24)

untuk suatu nilai integer n, yang dikatakan bahwa energi harus dalam bentuk

, untuk  (2.3.25)

Untuk nilai K yang diijinkan, formula rekursi menjadi

(2.3.26)

jika  , hanya ada satu bentuk dalam deret (maka harus mengambil nilai untuk menghilangkan  , dan   dalam Persamaan 2.3.26 menghasilkan nilai  ):

(2.3.27)

maka dari itu,

(2.3.28)

Untuk  dapat mengambil  dan persamaan 2.3.26 dengan menghasilkan  , sehingga

(2.3.29)

maka dari itu

(2.3.30)

Untuk  ,  , menghasilkan   dan   menghasilkan  , jadi

(2.3.31)

dan

12

(2.3.32)

dan seterusnya. Pada prinsipnya,   akan berupa polinomial sudut n dalam  , di mana berupa deret genap saja, jika n adalah integer genap, dan berupa deret ganjil saja jika n adalah integer ganjil. Terlepas dari semua ini, sebenarnya deret yang telah kita hitung adalah sebuah deret yang dinamakan dengan Polinomial Hermite,  Di mana nilai koefisien deret terbesar pangkat tertinggi dari   adalah  . Dengan faktor konvensi ini, normalisasi keadaan stasioner untuk osilator harmonik adalah

(2.3.33)

About these ads

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Sistem osilator harmonik banyak digunakan diberbagai sistem, terutama untuk

sistem yang berkaitan dengan vibrasi molekul atau atom. Ini karena sumur potensial, pada

posisi sekitar titik minimum, dapat didekati dengan sebuah fungsi kuadrat.

Persamaan Schrodinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika. Dimana

pemecahan persamaan Schrodinger yang disebut fungsi gelombang, memberikan

informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger

ini, tetapi pada umumnya hanya dua yang sering digunakan Metode yang pertama yaitu

metode aljabar dengan menggunakan operator-operator dan yang kedua menggunakan

metode analitik dengan deret pangkat. Dalam makalah ini menggunakan metode analitik.

Metode analitik dapat disebut juga diferensial hermit atau deret pangkat. Secara umum

solusi persamaan Schrodinger untuk osilator harmonik dengan metode analitik adalah:

13

DAFTAR PUSTAKA

Singh, Kamal & S.P. Singh. 2005. Elements of quantum mechanics. New Delhi: S. Chand &

Company

Paradoks.Persamaan Schrodinger. http://paradoks77.blogspot.com/2011/06/persamaan-

schrodinger.html (diakses tanggal 19 Desember 2014)

Khusnul.“PersamaanSchrodinger.”

khusnull.weebly.com/uploads/1/1/4/4/11448634/cd_fismod_jadi.docx. (diakses tanggal 19

Desember 2014)

14