BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangMatematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan sosial maupun di bidang teknik.Kata matematika berasal dari kata mathema dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai sains, ilmu pengetahuan atau belajar. Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran tentang struktur yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri. Dan pengertian dari perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam ilmu alam dan kalkulus.Dalam kehidupan sehari-hari, mungkin kita pernah mengalami kesulitan dalam beberapa masalah. Seperti beberapa contoh kasus di bawah ini:1. Sebuah kolam renang berbentuk oval, berapakah volume air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?2. Sebuah tangki berbentuk trapesium diisi penuh dengan air, berapakah total gaya yang diperlukan untuk memompa seluruh air pada tangki tersebut, di mana ketinggian tangki tersebut adalah 3 meter?Berdasarkan beberapa contoh di atas, perhitungan biasa tidak mungkin bisa menjawab pertanyaan di atas, untuk menjawabnya kita harus menggunakan salah satu cabang dari kalkulus, yaitu integral. Integral memiliki peranan yang penting khususnya dalam bidang teknik dan sains. Berdasarkan uraian di atas, maka karya tulis ini bertujuan untuk membahas aplikasi integral pada kehidupan sehari-hari serta perhitungannya.

1.2 PermasalahanBerdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan karya tulis ini adalah:1. Bagaimana integral dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari?2. Bagaimana menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang dijumpai sehari-hari dengan menggunakan integral?3. Apa saja permasalahan yang dapat diselesaikan dengan integral?

1.3. TujuanDengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan daripada karya tulis ini adalah sebagai berikut:1. Mencari aplikasi-aplikasi perhitungan integral dalam kehidupan sehari-hari.2. Mempelajari cara-cara untuk menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan integral.

1.4. ManfaatKarya tulis ini diharapkan memiliki beberapa manfaat seperti :1. Mengetahui aplikasi-aplikasi integral di dalam kehidupan sehari-hari.2. Memahami cara-cara penyelesaian yang berhubungan dengan permasalahan Imtegral.

BAB IILANDASAN TEORI

2.1. Pengertian IntegralIntegral yang biasa disebut juga hitung integral atau kalkulus integral dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. Dalam kalkulus integral dapat diartikan sebagai operasi invers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti diferensial. Integral dilambangkan oleh yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F(x).Suatu fungsi F disebut anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I, jika untuk setiap nilai x di dalam I, berlaku F(x) = f(fx). Berdasarkan pengertian bahwa integral adalah invers dari operasi pendiferensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut. Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat di diferensialkan pada interval I, sedemikian sehingga , maka anti turunan dari f(x adalah F(x) + C dengan C konstanta sembarang.2.2. Jenis-Jenis Integral2.2.1. Integral Tak TentuAnti pendiferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut. f(x)dx = F(x) + CKeterangan: = operasi antiturunan atau lambang integral C= konstanta integrasi f(x)= fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannyaF(x)= fungsi hasil integralIntegral Tak Tentu Fungsi AljabarRumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar :1. 1. dx = x + c1. a dx = ax + c1. axn dx = xn+1 + C, C 11. a f(x) dx = a f(x) dx1. [ f(x) g(x) ] dx = f(x) dx g(x) dx

Integral Tak Tentu Fungsi TrigonometriRumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri :1. 1. cos x dx = sin x + c1. sin x dx = - cos x + c1. tan x dx = - ln cos x + c1. cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c1. sin (ax + b) dx = - cos (ax + b) + c0.

2.2.2. Integral TertentuIntegral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pada selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a sampai b dinyatakan oleh :Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan disebut tanda integral tentu.Berikut sifat-sifat integral tertentu :1. f (x) dx = 01. f (x) dx = - f (x) dx1. k dx = k (b - a)1. k f(x) dx = k f (x) dx1. [f (x) g (x)] dx = f (x) dx g (x) dx1. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx; a