mama math bkk

48
μÅÍ´ 12 »‚ ·Õ輋ҹÁÒ ÁÒÁ‹Ò áÅР๪Ñè¹¡ÃŁØ» ä´Œ¨Ñ´ “â¤Ã§¡Ò÷º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÊ‹ÙÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ¡ѺÁÒÁ‹Ò” ¢Öé¹ à¾×èÍʹѺʹع ¡ÒÃÈÖ¡ÉҢͧàÂÒǪ¹ä·Â ãËŒ¡ŒÒÇࢌÒÊ‹ÙÃÑéÇÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂä´Œ´Ñè§ã¨½˜¹ â´Â¨Ñ´·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙãˌᡋ¹ŒÍ§æ ¹Ñ¡àÃÕ¹ÁѸÂÁ»ÅÒ ¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹ 4 ÀÒ¤ ÃÇÁ·Ñ駶‹Ò·ʹÊÑ−−Ò³´ŒÇÂà·¤â¹âÅÂÕÍÔ¹àμÍÃŃà¹çμºÃʹẹ´Ńä»ÂѧâçàÃÕ¹·ÑèÇ»ÃÐà·È à¾×èÍàÊÃÔÁÈÑ¡ÂÀÒ¾¡ÒÃàÃÕ¹Ì٠ãˌᡋàÂÒǪ¹ ª‹Ç¡ÃШÒÂâÍ¡ÒÊ·Ò§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ÁÕ¡ÒûÃѺ»Ãاà¹×éÍËÒãËŒ·Ñ¹ÊÁÑÂμçμÒÁÃкº¡ÒÃÊͺ·Ø¡¤ÃÑé§ ¹ŒÍ§æ ÊÒÁÒö ¹Ó¤ÇÒÁÌٷÕèä´ŒÃѺä»ãªŒÊͺࢌÒÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂã¹Ãкºμ‹Ò§æ ä´Œ »‚¹Õé¹Ñºà»š¹âÍ¡ÒÊ´Õ·Õèâ¤Ã§¡Ò÷º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÊ‹ÙÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ¡ѺÁÒÁ‹Ò ¡ŒÒÇÊ‹Ù»‚·Õè 13 ·Ò§¼ŒÙ¨Ñ´Ï ¨Ö§ä´Œà¾ÔèÁàμÔÁ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡Òà ÈÖ¡ÉÒÁÒ¡ÁÒ μ‹ÍÂÍ´¤ÇÒÁÃŒÙãËŒ¡Ñº¹ŒÍ§æ Í‹ҧàμçÁ·Õè ËÅѧ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙáÅŒÇ ¹ŒÍ§æ ¨Ðä´ŒÊͺ PRE - ADMISSION ONLINE ·´Åͧ·Ó¢ŒÍÊͺ¼‹Ò¹·Ò§ÍÔ¹àμÍÃŃà¹çμ Ì٤Ðá¹¹·Ñ¹·ÕËÅѧÊͺ ÃÇÁ·Ñ駷º·Ç¹¤ÇÒÁÌټ‹Ò¹·Ò§àÇçºä«μŃà¾ÔèÁàμÔÁ ¡Ñº â¤Ã§¡Òà “·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÍ͹äÅ¹Ń¡ÑºÁÒÁ‹Ò” â´ÂÍÒ¨ÒÃÂŃ·ÕèÁÕª×èÍàÊÕ§ÃдѺ»ÃÐà·È ¹Í¡¨Ò¡¹Ñé¹ÂѧÁÕ â¤Ã§¡Òà “¤Œ¹ËÒμÑÇμ¹ ¡Ó˹´¶¹¹ Ê‹ÙÍ¹Ò¤μ ¡ÑºÁÒÁ‹Ò” â¤Ã§¡ÒÃá¹Ðá¹Ç·Õè¹Ñ¡àÃÕ¹¨Ðä´Œ¤Œ¹ËÒ¤ÇÒÁ¶¹Ñ´áÅФÇÒÁʹ㨨ҡ¡ÒÃŧÁ×Í»¯ÔºÑμÔ¨ÃÔ§ ª‹Ç¹ŒÍ§æ ¤Œ¹ËÒ·Ò§ ·Õè㪋 àÅ×Í¡¤³Ð䴌͋ҧÁÑè¹ã¨ ¹Í¡¨Ò¡¹ÕéÂѧÁÕÍÕ¡ËÅÒ¡ËÅÒÂâ¤Ã§¡Ò÷Õè¨ÐÁÒàμÔÁàμçÁ¤ÇÒÁÃŒÙãˌᡋ¹ŒÍ§æ ´ÙÃÒÂÅÐàÍÕ´¡Ô¨¡ÃÃÁμ‹Ò§æ ä´Œ·Ò§ www.mamalover.net áÅÐ www.247friend.net ÊÓËÃѺ¤‹ÙÁ×Í·ÕèÍ‹Ùã¹Á×͹ŒÍ§æ ¹Õé ÍÒ¨ÒÃÂŃ·Ø¡·‹Ò¹·‹ØÁà·àÊÕÂÊÅÐàÇÅÒ ¡ÅÑ蹤ÇÒÁÌ٨ҡ»ÃÐʺ¡ÒóŃÁÒÃǺÃÇÁ໚¹μÓÃÒ·ÕèÁÕ à¹×éÍËÒࢌÁ¢Œ¹ ËÇѧ໚¹Í‹ҧÂÔè§Ç‹Ò¹ŒÍ§æ ¨Ðä´Œ¹Ó¤ÇÒÁÌٷÕèä´ŒÃѺ¨Ò¡¡ÒÃࢌÒËÇÁâ¤Ã§¡ÒáÅѺ价º·Ç¹ãËŒà¡Ô´»ÃÐ⪹ŃÊÙ§ÊØ´ÊÓËÃѺ ¡ÒÃÊͺáÍ´ÁÔ´ªÑè¹ÊŃ ¾Õèæ ·ÕÁ§Ò¹¢ÍÍǾÃãËŒ¹ŒÍ§æ ÊÁËÇѧ䴌àÃÕ¹μ‹Í㹤³ÐáÅÐÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ·Õè㽆½˜¹¡Ñ¹·Ø¡¤¹ ´ŒÇ¤ÇÒÁ»ÃÒö¹Ò´Õ ·ÕÁ§Ò¹¡Í§ºÃóҸԡÒà ¤í Ò ¹í Ò

Upload: focusjung-suchat

Post on 14-Jun-2015

123 views

Category:

Education


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: MaMa Math bkk

μÅÍ´ 12 »‚ ·Õ輋ҹÁÒ ÁÒÁ‹Ò áÅР๪Ñ蹡Ã�Ø» ä´Œ¨Ñ´ “â¤Ã§¡Ò÷º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÊ‹ÙÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ¡ѺÁÒÁ‹Ò” ¢Öé¹ à¾×èÍʹѺʹع

¡ÒÃÈÖ¡ÉҢͧàÂÒǪ¹ä·Â ãËŒ¡ŒÒÇࢌÒÊ‹ÙÃÑéÇÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂä´Œ´Ñè§ã¨½˜¹ â´Â¨Ñ´·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙãˌᡋ¹ŒÍ§æ ¹Ñ¡àÃÕ¹ÁѸÂÁ»ÅÒ ¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹

4 ÀÒ¤ ÃÇÁ·Ñ駶‹Ò·ʹÊÑ−−Ò³ Œ́ÇÂà·¤â¹âÅÂÕÍÔ¹àμÍÃ�à¹çμºÃʹẹ �́ä»ÂѧâçàÃÕ¹·ÑèÇ»ÃÐà·È à¾×èÍàÊÃÔÁÈÑ¡ÂÀÒ¾¡ÒÃàÃÕ¹ÌÙ

ãˌᡋàÂÒǪ¹ ª‹Ç¡ÃШÒÂâÍ¡ÒÊ·Ò§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ÁÕ¡ÒûÃѺ»Ãاà¹×éÍËÒãËŒ·Ñ¹ÊÁÑÂμçμÒÁÃкº¡ÒÃÊͺ·Ø¡¤ÃÑé§ ¹ŒÍ§æ ÊÒÁÒö

¹Ó¤ÇÒÁÌٷÕèä´ŒÃѺä»ãªŒÊͺࢌÒÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂã¹Ãкºμ‹Ò§æ ä Œ́

»‚¹Õé¹Ñºà»š¹âÍ¡ÒÊ´Õ·Õèâ¤Ã§¡Ò÷º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÊ‹ÙÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ¡ѺÁÒÁ‹Ò ¡ŒÒÇÊ‹Ù»‚·Õè 13 ·Ò§¼ŒÙ¨Ñ´Ï ¨Ö§ä´Œà¾ÔèÁàμÔÁ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃ

ÈÖ¡ÉÒÁÒ¡ÁÒ μ‹ÍÂÍ´¤ÇÒÁÃŒÙãËŒ¡Ñº¹ŒÍ§æ Í‹ҧàμçÁ·Õè ËÅѧ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙáÅŒÇ ¹ŒÍ§æ ¨Ðä´ŒÊͺ PRE - ADMISSION ONLINE

·´Åͧ·Ó¢ŒÍÊͺ¼‹Ò¹·Ò§ÍÔ¹àμÍÃ�à¹çμ Ì٤Ðá¹¹·Ñ¹·ÕËÅѧÊͺ ÃÇÁ·Ñ駷º·Ç¹¤ÇÒÁÌټ‹Ò¹·Ò§àÇçºä«μ�à¾ÔèÁàμÔÁ ¡Ñº â¤Ã§¡ÒÃ

“·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙÍ͹äŹ�¡ÑºÁÒÁ‹Ò” â´ÂÍÒ¨ÒÃÂ�·ÕèÁÕª×èÍàÊÕ§ÃдѺ»ÃÐà·È ¹Í¡¨Ò¡¹Ñé¹ÂѧÁÕ â¤Ã§¡Òà “¤Œ¹ËÒμÑÇμ¹ ¡Ó˹´¶¹¹

Ê‹ÙÍ¹Ò¤μ ¡ÑºÁÒÁ‹Ò” â¤Ã§¡ÒÃá¹Ðá¹Ç·Õè¹Ñ¡àÃÕ¹¨Ðä´Œ¤Œ¹ËÒ¤ÇÒÁ¶¹Ñ´áÅФÇÒÁʹ㨨ҡ¡ÒÃŧÁ×Í»¯ÔºÑμÔ¨ÃÔ§ ª‹Ç¹ŒÍ§æ ¤Œ¹ËÒ·Ò§

·Õè㪋 àÅ×Í¡¤³Ð䴌͋ҧÁÑè¹ã¨ ¹Í¡¨Ò¡¹ÕéÂѧÁÕÍÕ¡ËÅÒ¡ËÅÒÂâ¤Ã§¡Ò÷Õè¨ÐÁÒàμÔÁàμçÁ¤ÇÒÁÃŒÙãˌᡋ¹ŒÍ§æ ´ÙÃÒÂÅÐàÍÕ´¡Ô¨¡ÃÃÁμ‹Ò§æ

ä´Œ·Ò§ www.mamalover.net áÅÐ www.247friend.net

ÊÓËÃѺ¤‹ÙÁ×Í·ÕèÍ‹Ùã¹Á×͹ŒÍ§æ ¹Õé ÍÒ¨ÒÃÂ�·Ø¡·‹Ò¹·‹ØÁà·àÊÕÂÊÅÐàÇÅÒ ¡ÅÑ蹤ÇÒÁÌ٨ҡ»ÃÐʺ¡Òó�ÁÒÃǺÃÇÁ໚¹μÓÃÒ·ÕèÁÕ

à¹×éÍËÒࢌÁ¢Œ¹ ËÇѧ໚¹Í‹ҧÂÔè§Ç‹Ò¹ŒÍ§æ ¨Ðä Œ́¹Ó¤ÇÒÁÌٷÕèä´ŒÃѺ¨Ò¡¡ÒÃࢌÒËÇÁâ¤Ã§¡ÒáÅѺ价º·Ç¹ãËŒà¡Ô´»ÃÐ⪹�ÊÙ§ÊØ´ÊÓËÃѺ

¡ÒÃÊͺáÍ´ÁÔ´ªÑè¹Ê� ¾Õèæ ·ÕÁ§Ò¹¢ÍÍǾÃãËŒ¹ŒÍ§æ ÊÁËÇѧ䴌àÃÕ¹μ‹Í㹤³ÐáÅÐÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑ·Õè㽆½˜¹¡Ñ¹·Ø¡¤¹

´ŒÇ¤ÇÒÁ»ÃÒö¹Ò´Õ

·ÕÁ§Ò¹¡Í§ºÃÃ³Ò Ô̧¡ÒÃ

¤í Ò ¹í Ò

Page 2: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ��

����������� ������

� � � � �������������������� ��������������������������

������ ������ �����

� � � �������� �����

� � � �������� �����

� � ���� �����

���� � � ���� ���

����

�� ������ ����

�����

������������ ��!"#�����������������������$ �%%� ����� ���&�����������

� ������� % '�� ��!"#������#���(������&��#����������

�������������������������������������� � ��������������������

��� � �������� ����������

��� � �����������������

��� � ����������������

���������������

��� � ���������������

����������������

��� � �������������������

��� � �������������� ����

��� � ������������������

��������� ������� ������������������ ��

�� ��

�� ��

�� ����� �

�� ����������

���� ����

���

���

���

� �����

� ���

���� ����

� ��

��

�� �� �� ��� ��

��� �� ��

��

��

��

� �� ��� �� ��

��� ����

� �� � � ����)���% �� ����)���% ��

�� ����)���% � � ����

� �� ����)���% �� ����)���%

� �� ����

� � � �� ����)���� ��� ����)���� ��

���� ����)���% �� � ���

� �� ����)���% ��� ����)���%

���

�� ��

��

Page 3: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ��

��������� ����������������������������� � � � � � � ���������� ����������������������������

� � � � � � � ���������� ����������������������������

� � � � � � � ���������� ����������������������������

� � � � � � � ���������� ����������������������������

� � � � � � � ��������� �� �� ��

� �� ��� �� ��

��

� � � � � � � ��������� �� �� ��

� �� ��� �� ��

��

����������������� ������� � � � � � ��������������� ������������������������

� � � � � � ��������������� ������������������������

� � � � � � ��������������� ������������������������

� � � � � � ���������������� ������������������������

������� ������������������ ������� � � � � � ��������������� �������

�� ��

�����

� ���

� � � � � � ��������������� ��������

� ������

�� ��

� � � � � � ��������������� ��������

� ������

�� ��

� � � � � � ��������������� ���������

� ������

�� ��

�� �����������!��"#�����!��"#������������$%��$%��� � � � � � � � ��������� ����������������

� � � � � � � � �������� ����������������������������������������������

� � � � � � � � � ������ ���

� ��� ��

���

� � � � � � � � ��������� ��������������������

� � � � � � � � �������� ��������������������

� � � � � � � � � ������ ���

� �� ��� � ��� �

��

��

� � � � � � � � ��������

� ���� ���

���

� � � � � � � � ��������

� ���� ���

���

� � � � � � � � �� �����

� ���� ���� ���

��

��

����� ���

�����

������

���� ���

���

Page 4: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ��

��������� ����������

��� � ������������������

� � ���� ��������������

� � ����������������� ���

��� � ����������������������������������

� � � ����� ����������������������������

� � �����������������������������

��� � ����������������������

�������������

� � ���� �� ���������������������������

� � ��������������������������

�������������

��� � �������������������������

� � ���� ����������������� �������

� � �������������������������

�����������������

� � � � �������������������� ����������������������� ����������������������������������� ��������� ���� ���!�"���#����� � $%&��������� ������������

� � ����������������

�������������

���������

��� � ������������ � � �

���

��������

��������

��� � �������������� � � � � � � � ��� ������������������ ���

� � � � � � � � ��� ������������������ ���

� � � � � � � � ��� ������������������ ���

� �������� � !���'�(�)�"*�+�����!�"���������$��,+����#������� �����-&���(��.����-������ � � � � � � � �� ������ �������� ���

� � � � � � � � �� ������ �������� ���

� � � � � � � � �� ������ �������� ���

� ��

��

Page 5: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ��

���������

��� � �������������������������������� ���

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � ������������������������������� �����������������������

� � ����������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � �������������������������������� ������������������������������������ �!�"������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � ����#�� ������� ��� � ��

� ��� � � �� �������!�������������$� ��������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � ���!���%������������� ����������!&' ��� ()������ ������������*+��������%��!&' ������������

� � (������$����������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

����������������������������

��� � ,-��).��������(��/& �0�

� � � � ��� � ������������������ � !�"��������

��������������

� � � � ��� � �������������� � � !�"��������������

� � �����(��/& �0����

� � ��� � ����#����������#�� � � � � � ��� � ����#���������1-��

� � ��� � ���1-����������#�� � � � � � ��� � ���1-���������1-��

��� � ������������������

����������������

� � �������������� ���������!�����$�����(��/& �0�

� � ��� ���

� � � � � � � � � � ��� ���

� � ��� ���

� � � � � � � � � � ��� ���

Page 6: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ��

��� � ��������� ������������������������� ������������������������������������ ��������

� � ��� ���

�� � � ��� ����

� � � � ��� � �� � � � � ��� ����

��� � �������������� �� ��������������������������������� �!"�������������������

� � #�������������$%����� ������"���&������ ��������� � ��� � ���� � � � � � � � � � ��� � ���

� � ��� � ���� � � � � � � � � � ��� � ���

��� � ����� ������������������#�����������������"���&������ ��������� � ��� � ������ � �� � � � � � � � ��� � �� � ������

� � ��� � ���� � � � � � � � � � � ��� � � �����

��� � ������

� �� ����

�� �� ��

��������� �!"�������������������

� � #�������������������������������"���&������ ��������

� � ��� �� ���

� � � � � � � � � ��� �� ���

� � ��� �� ��

� ��� � � � � � � � ��� �

� ��

� ��

��� � '%(��)������� ��������

� � � � ��� � �������

�������

������ �

��

� � � � ��� � �����

������ ���

���� �!���*���*���������

������ ���

��

� � ����� �����������

� � ��� � ����+���#�,������+�� � � � � � ��� � ����+���#�,������%��

� � ��� � ����%���#�,������+�� � � � � � ��� � ����%���#�,������%�-

��� � ��������������

���#�������&�'&�./������� �����������(�%�

� � ��� � ������������������������� � � ��� � �������������������������

� � ��� � �������������������������� � � ��� � ��������������������������

��� � '%(��)������� ��������� � � � ��� � ������������������������������

� � � � ��� � ��������������#�,�����������������������

���#������������

�����

� � ����� �����������

� � ��� � ����+���#�,������+�� � � � � � ��� � ����+���#�,������%��

� � ��� � ����%���#�,������+�� � � � � � ��� � ����%���#�,������%�-

Page 7: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ��

����� ����������� ���������� � ����������������������� ������ �����������������

� � ��� � ��

��� � � � � � � � � ��� � �

��

� � ��� ���

� � � � � � � � � � � ��� ��

��

����� ������������������������������

������������������������� �����������������

� � ��� ���

�� � � � � � � � � � ��� ���

� � ��� ���

� � � � � � � � � � ��� ���

����� ���������������� �������� ���!" ��! � # ����� ��� # $���� � # ����� �����������

� � ��% �&'����! ��������� � ����������"������ "�������������� ������������������ � ��� � �������"�� � � � � � � ��� � �������"�

� � ��� � �������"�� � � � � � � ��� � �������"�

����� ������� ���!" �����������������������������������"������� (��) ����%����������"���

� � ��� (��) �������������������� ��� ����� �����

� � ��� � ����� � � � � � � � � � ��� � �����

� � ��� � ����� � � � � � � � � � ��� � �����

����� �������������� ���!" ������� �����������"���� � �����"�������������"����������"�

� � ��� # ����������������

���������������������������������� ����� �����

� � ��� ���

�� � � � � � � � � � ��� � ��

� � ��� ���

�� � � � � � � � � � ��� ���

����� ��� "�������*������� ��+!����"��!�,� # ����� � ��"���� '!�����������

� � ��� ������������������ � ��� � � � � � �� �� � � � � � ��� � � � � � �� �

� � ��� � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � �� �

���������� � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � ��

� � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ����� �� � �

� � ����� �� � � ����� �� � � ����� �� � � ����� �� � � ����� ��

Page 8: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ��

�������� � �������������������� �������

� � � � ����� ����������������������������������������

� � � � � � � � � � � ����� ��������

� � � � � � � � � � � ���� ��������

���������� ����� �����������

���������������������������� ���������� � ����������

�� � ������������

��� � ����������������

��� � � ��������

�� � ���������������

��� ���

����� �

� �

�������������

��� � �������������������

��� � ����������������������

��� � ��������������������������������������

����� ���������������� ���!"������������

����� #���������������� ��$����������� � �� ��������������� ���!"�������������������

� � �� ��������������� ���!"�������������������

���� #���������������� ��$����������� � �� �������������� ���!"���������������� !�����������

� � �� ��������������� ���!"���������������� !������������

������������

��� � #��������������������������������������� �������% �����

� � �&� � ��

�� � � �&� ���

� � � %�� � ������� � � �&� � ������

� � � � � � � ��������

Page 9: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ��

��� � ���������������������������������������������������

�����

�������

��������������������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

�� � �����������������������������������������������������������

��������������������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � ���� �������������� � ��� � ������� ������������� � � � � ��� � ������� ��������������

� � ��� � �������� ������� ��������������� �� � �������� ������� ��������������

��������������������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � ����������������������������������� � �� �� ��������

� � ����������� ������� !����������� "���#�

��������������������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

��� � !��$��������� � �

� � � ���� �

���������%��

� � ��� � ���������� ������

�� � � � � ��� � ���������� ������

��

� � ��� � ���������� ������

�� � � � � �� � ���������� �������

��������������������������������������������

��������������������������������������������

���������������������������������������������

����������� ����������������

��� � ����#������������

� � ��� � ��$��������&���������������$���������&������!'(������ �)�$��������&��

� � ��� � ���������������� �)�$��������&����������������� �)�$��������&� ���

� � �� � ��$���������&��������������!'(������������������������ �)�$��������&��

� � ��� � ���������������� �)�$���������&��������������

������������ �)�$���������&� ���

Page 10: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ���

��� � ���������������������� ��������������������������������������� � ��� � �����������������������������������

� � ��� � �����������������������������

� � �� � ������������������������������� �

� � ��� � �������������������������������

�� � ������������������������� ������������������������� �������������

� � ���������������

� � ��� � ����������������������������������������������������

� � ��� � ���������������������������������������������

� � �� � �������������������������������������

� � ��� � �������������������������������

��� � ������������������� �������� �! �������������������������������������� �����"#���$��� � � ��%&'�������(��������������� ��%&'�������������� � ��� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ��

� � �� � � � � � � � � � � � � � ��� � ��

��� � % �������������������������������������������

� � ����������)��*�%(�����+),����-�����������������)��*�%(����%),����-�����

� � ����������������� ��%&'�������������� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � �

� � �� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ��

��� � �����������-�( ���'���)�%������������������������

� � ���������������

� � ��� � ����������� �

�� � � � � � � � ��� � ��������������

� � �� � �����������

�� � � � � � � � ��� � ��������������

�� � % ���������������-�( ���'���)�%������������������������������ ����������

� � .�'�%���)��*�% &�������������� ��%&'�������������

� � ��� � ���� � � � � � � � � � � ��� � ����

� � �� ����

� � � � � � � � � � � ��� � ���

��� � ����������������������������������������+%������� �������������������� � ��� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ��

� � �� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ��

Page 11: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ���

��� � �������������������� ���������������������������

� � �� ������������������������������������� �!"�� �#������

���

� � ����������� $"��%������"�&��'(�� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � ��

� � �� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ��

����� ��������� � �� ��������������������������� �� � �� �

�������

��

� � ��� � � �� �����������������������

� � �������� �!"���������"�&��'(�� � ��� � ����� � � � � � � � � � � ��� � ������ �

� � �� � ���� � � � � � � � � � � � ��� � ������

����� �� ��������������������������������������������� �!"�������� ���� � ������������'�"� $"��%� $"����

� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� � ��

� � �� � �� � � � � � � � � � � � ��� � ���

����� ������������������� ��� �

������ �

�� �

�� $"��%� ���������"�&��'(�

� � ��� � ��������������� � � � � � � � ��� � ��������������

� � �� � ��������������� � � � � � � ��� � ��������

��������������

���������

��� � � � � ��� � �� � � �� � � � � ��� � �� � � ��� � �� � � ��� � ��

��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ����� �� � � ����� �� � � ����� ��

�������

� � � � ��� ����� �)*��+!%�$'��',� �� ��� ���������������������� � ����������� �-�����

. . . . . �'/�����%�$'��',� �� ��� ���������������������"���� ������� ���

. . . . . �'/�����%�$'��',� �� ��� ����������� �-�����"���� ��������

Page 12: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ���

����� ������� ����� � � � ���������� ���������� �� �������������������������� �������������������� ������ !"������� �� � �������#��$���%������� �&��������

� �������������������������� ��������� ' ��(���������

���� �'�)*� ' ���� !"��������������������������������������������������

����� ������'������ �'�)*��������������������������

������ ��� �����+��,��-����.���/),� �����$���������!'������ �'�)*������ � -�-�������$��� �'.����� �'�)*���0%$����� � !"����� � �������������#���*����.����� �'�)*� ���������)������(�,������� $���� +��� 1������������� ����$�.$���� �������2�������.$�#���*�������������������������������������

�� 1������������� ����$�.$���� ������� �������.$�#���*����������������������������������������

����� �������� ����� � � � ����������� � � �������� �� ����#����������������������� �� � �� �� �� � $���������� �� � �� � !"������� �� � �������#��$���%������� �&��������

� ������#����� ��

�� ������� ������������ ' ��(���������

���� �'��)*� ' ���� !"���������������������

����������������

����� ������'������ �'�)*���������������������

������ ��� ����#����������������, !"����$�������&���� � � � �� 1���������������,��������� �'��)*��,� ������$��� $�������%������� � � � �� 1���������������,��������� �'��)*��,� ������$�������������#�����!��

�������������

� � � � 1�� �����(����������*�*�'���������,���.$� ��(���������� !"�#��0�*������

� � � � �� ���������������������� �� �*�*��

� � � � �� ���������������������� ����� �*�*��

��� !�������� ������������$�������(�,������ !"������2�'���'����������*��������� ��

������������(�,�� ��

�����������

��� � ��������������� !"������� �.�3�

��� � ������������������ !"������� �.�3�

��� � �����

��������������������� � ��

���������������������

Page 13: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ���

��� � �����

����������������

�� � ����������������������� �������������������������������� �����

��

�������

��� � ����������������������� ������������������� ������� ��������������������������

� � � � � � �����

��� ����� � � �

��� � �������� ������� ��������������

� � �� ���������������������

� � �� �����

���

�������

�������

� � � � ���������������������� !�"���!�"�� ��#$���$#��$������������������������������� �����#$���$#�� ����%& ����������%���$#�������%�'�%(��� � � � � � � � ����������������������

� � � � ���������� ������������� !�"���!�"�� ��#$���$��"��$�������������������������������� �����#$���$��"�� ����%& ��������%���$��"�������%�'�%(��� � � � � � � � ��������������������������

��� ���� � ')�*$+�$�,-"������������������������%�����.#/�

� � � � � � � ��

� �����������������������������

� � � � ���� � ���

���������������������������������

���� ������������ � ������� ������� ������������

� �������

��� ��

� �������������

� �����

� �����

��� ��

� �������������

� �����

� �����

��� ��

� ��������

� ���

��� � ������������������������

�������

�� � �������������������������� �

��������������

��� � ���������������������������

��

��������������������������������

Page 14: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ���

����������� �������

� � � � �����������������������������������

��� � �������������������������������������������������������

���� ��������� � � � ����������������������������������� !"����#$���%��� � � � � � ���������������������������� !"��$������

� � � � � � � � ���������

��������

� � � � � � � � ���������

����������� �

���� ���������� � � � ������������������������������������� !"����#$���%��� � � � � � ������������������������������ !"��$������

� � � � � � � � ������� �

��� ���

��

������������

� � � � � � � � ������� �� ��

�� �

��

������������

����������� �����

� � � � ���������������������!������������������� ���� � � � � � � � ������ ������

� � � � � � � � ������ ����������

� � � � � � � � ������ ��������������

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � ������ ��������������������

��&'��������%���������������� ���������������

�#��&'�����������������������%���������������������������

� � � � ���������������������"����#�!��� ����!�!"�����������'%�'�����������

� � � � ��� � ���������������������(%�����#�� �����������������������������"������

� � � � � � ���������������#��&'�������%��������������� � � � � � ����������������"������)�������'*+�, ������

� � � � ��� � ���������������������(%�����-��.��� ����������$�%�&�%��������������"������

� � � � � � ����������

� � � � ������!'����&-'���������(%�����#������(%������#$���%��

Page 15: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ���

��� � ��������� ����������������������������� � � � ��������� ��������������������������������������������

� � � �������!"�#�$%��&���!"�#�����"�'#����"���������������������

��� � ����������� ����������������������������� � � � ��������� ������!"�#�����������������������������

������� �������(� � �� ��!"�#����������&���!"�#�����"���#)���� � �������

� � �� ��!"�#����������&���!"�#����������#)���� � ���������*� +���"�����!"�#�

� � � � � � � � ������ �

����

��� � ������������&���!"�#$��������������

�� �

�����������

���

������

�����

� � �#)���������&�������������(,(� � �� ��!"�#�$��&���!"�#�������(��#)�����������

� � �� ��!"�#�$��&���!"�#�����"���#)�����������

���������� �������������������������� � �����!"�#��

��

�� ������&���!"�#����������*����� ���

������������

� � *������� �����������������*��� #�'�#���'�!� �������

��

�� ������&���!"�#��������

��� � ����� �����������������*�����

��

�� ������&���!"�#�����"�

��� � �������

�� ����*� ��

��

�� ������&���!"�#����������*�����

��

�� �����������&���!"�#��������

��� � ������

�� �����&���!"�#�������*����

��

�� ������&���!"�#�����"�*�����

��

�� ����������&���!"�#�����"�

������������������������������

��� � �������������������������������

���������������������������

� � *�������#$������"��������� ��$%�� � ��� � ����� � � ��� � ����� � � ��� � ������ � � � ��� � ������

��� � ����������&���������-#��"$����.��� � � � � � ���� ��� �� ��� � ��� �� ������� ��� ��� �������������

� � *��������������������������#$������"��������� ��$%�� � ��� � ��� � � � ��� � ���� � � ��� � ���� � � � ��� � ����

Page 16: MaMa Math bkk

��������� � ������������� ������� ����� �������� ��� ���

� ���

��� � ��������� ������������������������������������������

� � � �

�� �

��

�� � � ��

� � ��������������������������������� �� � ��� � �������������� � � � � � � �� � �������������

� � ��� � �������������� � � � � � � ��� � ����������������!���"!�

��� � #����������� �������������������������������������$��%���������&�'�

� � � � � � � � �������������

������

� � �������������������� �� ����������������������� �� � ��� � �������������� � � � � � � �� � �������������

� � ��� � ���������������� � � � � � ��� � ����������������!���"!�

��� � ���������������������!��� ��� � ��� � � ��� � � � ����

� � ��� � �� � � �� � � � � � � � ��� � �� � � � � ��� � ��

��� � ��������� �������������������(�"�)����������

� � ������ � ������������&�'����������������� ��������������������������*+�

� � � � � � � � ������������������

� � #���������������������"���������� ����������

�������������������(���"������

� � ��� � �� � � � �� � �� � � � ��� � �� � � � � ��� � ��

��� � �������������������� ��� ������������������������ ����������

� � #�������������������������������� ���������������������������������������"�����������

� � ������ �� � ��� � ������ � � � � � � � �� � ����

� � ��� ������� � � � � � � � ��� � ���������,�� �������� ����������������!���"!�

�� � ������� �� ��� �������������������������**� �������������������������"-����������**��� � ����������� ���*� � ��� � #�����������������"-�����������������������������������"-��������������

� � �� � #���� �����������(������������� ���

�����������***�

� � ��� � #��������������

�������"-��������������������� ������������

� � ��� � #���� �����������������������

��

�� ����������-���(������!���"!�

Page 17: MaMa Math bkk

��������� ����������������������������������

� ���

��� � ���������������� ���� ����� �� �����������

� � � � � ��

�����

����

����

����

���

����

�����

� � ��������������������������� �!�"��� �������#���$�� � ��� � ������� � � � � � � � � ��� � �������� �

� � �� � �������� � � � � � � � � ��� � ���������� �

���� %���������������������������������� �����������!����� �� ����������&������'��

� � (�)�������������������� �����������!����� � �������#���$�������!�*�����������+��� �!������ � ��� � ��������������� (�)����������������������� ����������

� � ��� � �������������� � (�)����������������������� ����������

� � �� � ��������������� (�)����������������������� ����������

� � ��� � �������������� � (�)����������������������� ����������

����� �������������"� �!���������!(�)�������������������������(�)��������� �

� � �����,� ��������������-���������������+�-�

� � � � � � � � ���������������

� � ��������

�������������,���� �������#���$�

� � ��� � &������'��� ' ����������� � � � � � ��� � #�����'��� ' �������������

� � �� � &������'��� ' �����������".�!������������(�)#�����'��� ' �����������".�!����������

� � ��� � #�����'��� ' �����������".�!������������(�)&������'��� ' �����������".�!����������

���������

��� � �� � � ��� � � � � �� � � � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � ��

��� � �� � � ��� � �� � � ��� � �� � � ���� �� � � ����� �� � � �

Page 18: MaMa Math bkk

���ก����ก��� ������������ก�����ก������By ���ก�� ( ��� ก�ก����ก��)

��.�. (�ก���������) ������ ��!�ก�"�� � �"�# ����

�$��%�ก�!�&�#ก��1. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

2. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

3. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

4. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

���!���'�กก(�!)��� �� ��� � ���� ��� ��� m, n �� ��� � ���ก�� ��������a, b, am, bn a, b ≠ 0

1. 5. !��"#$ am ⋅ an = am + n a

b

n= an

bn b ≠ 0

2. 6. !��"#$ am

an = am− n a−n = 1

an a ≠ 0

3. 7.(am)n = amn a1n = n a

4. 8. !��"#$ (ab) = anbn a0 = 1 a ≠ 0

���!��'�) log1. 6.loga1 = 0 logbna = 1

n logba

2. 7.logaa = 1 alogam = m

3. 8.loga(mn) = logam + logan alogbm = m

logba

4. 9. !��"#$ ��� logamn

= logam − logan logba =

logma

logmbm > 0 m ≠ 1

5. 10.logbam = m logba logba = 1

logab

18

��������� �� ������� ����������������

Page 19: MaMa Math bkk

�������������ก����ก��� ������������ก�����ก������

1. ��� x, y, z �� ��� � ����-.$��/�"��ก01 0 ��� ���� 32x = 4y = 6−2z 1x + 1

y + 1z

"��ก012�34���3�� #51. 2. 0 3. 4. 1−1

1

6

2. /#6�����ก012�34�(a + 1x)a(a − 1

x)x ÷ (x + 1a )a(x − 1

a )x

1. 2. 3. 4.xa

2ax xa

a + x ax

2ax ax

a + x

3. ��� ���� x 3�7�4 8���4���3�� #5(11 − 2 30 )x

2 = 6 + 5

1. 2. 3. (0, 1] 4. (1, 2](−2, − 1] (−1, 0]

19

��������� �� ������� ����������������

Page 20: MaMa Math bkk

4. 6�� x "#$;3�6��3�ก01;/ก�� 3�7�4 8���4���3�� #56(25x) + 11(23x) − 3(2x) = 25x+ 1

1. 2. 3. 4.[−2, − 3

4] (−3

4, 0] [0,

7

8] (7

8,

3

2]

5. -�6���3123�;/ก�� �� ;01-�4 2�34���3�� #54 ⋅ 32x + 9 ⋅ 22x = 13 ⋅ 6x

1. 2. 3. 4. [1, 3][−4, 0] [−3, 1] [−2, 2]

6. ��� ���� /#6��"��4�22x2+ 2x2 + 2x + 2 = 25 + 4x x2 − 2x

20

��������� �� ������� ����������������

Page 21: MaMa Math bkk

7. =�1�ก23���� � ���� x "05�>/�"#$;3�6��3�ก01;/ก�� /#6��"��4�(2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (4x + 2x − 6)3

1. 2 2. 2.5 3. 3 4. 3.5

8. 4>� x �� ��� � ����1�ก -.$��� 6���3123�;/ก�� 3x + 3−x = 2 5

6��23� "��ก01"����3x − 3−x

9. ��� �� ��� � ����1�ก ��� ���� f(x) = 10x, x a, b ∈ Rff−1(ab)f−1(b)

/#6�����ก012�34���3�� #51. 2. 3. 4.log a 1 + log a 1 + logba 1 + logab

21

��������� �� ������� ����������������

Page 22: MaMa Math bkk

10. For all integers n greater than 1, define an = (logn2002)−1

Let b = a2 + a3 + a4 + a5 and c = a10 + a11 + a12 + a13 + a14

Waht is b − c ?

1. 2. 3. 4. 2002−2 −1 1

2002

11. ก������� a, b "#$ c &'(�)���*�)+,-./01�กก*2� 1 )-��32�45-1

1+ loga2b

ca

+ 1

1+ logb2c

a

b

+ 1

1+ logc2a

bc

12. If largest a ≥ b > 1 , What is the possible value of logaa

b + logb

ba

?

1. 2. 0 3. 3 4. 4−2

22

��������� �� ������� ����������������

Page 23: MaMa Math bkk

13. How many distinct four - tuples (a, b, c, d) of rational numbers are there witha log102 + b log103 + c log105 + d log107 = 2005 ?

1. 0 2. 1 3. 17 4. 2004

14. ก������� a "#$ x &'(�)���*�)+,-B*ก "#$ logax + logxa = 3

)-��32�45- (logax)2 + (logxa)2

15. D � "#$ )$E� 1/32�&.2�กFB4 5��a > 1, c > 1 ab = c logca

1. c 2. b 3. 4.1c

1

b

23

��������� �� ������� ����������������

Page 24: MaMa Math bkk

16. D � "#$ "# * x 1/32�H+-กFB4 5��log x = 1

3log a − log b a = 27b6

1. 3b 2. 3. 4.3 3 b2 3b2 3 3 b

17. I#3JK45-)���*�)+,- x .FL-�1�./0M5�3# 5-M1ก�+ (2x)log x = 8log16

1/32�&.2�กFB4 5��H25E'�/L1. 2. 3. 2 4. 41

4

1

2

18. I#B*ก45-3��H5B45-M1ก�+ log2(4x− 1 + 2x− 1 + 6) = 2 + log2(2x− 1 + 1)

1/32�H+-กFB4 5��1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

24

��������� �� ������� ����������������

Page 25: MaMa Math bkk

19. )���*�)+,- x ./0M5�3# 5-M1ก�+ 3P54 5��H25E'�/Lln(e x + 5x − 32− x) = ( e )ln x

1. 2. 3. 4.log153 log155 log156 log159

20. �� A &'(�&RH3��H5B45-M1ก�+ "#$ B &'(�&RH3��H5B22x+ 1 − 32(2x− 1) + 1 = 0

45-M1ก�+ D ��� &5กTUMF1UF.VW 3P5 log(2x − 5) + log(x + 1) = log(x2 − x + 3) A∪B

"# *4 5��H25E'�/L1/32�3*�1)+,-&'(�&.X)1. 2.∀x[x2 + 1 < 20] ∀x[ x + 2 > 4]

3. 4.∃x[ x2 − 1 > 2] ∃x[ x − 4 < 4]

21. ก����� a, b, c &'(�)���*�&HX1B*ก "#$ )-��3��H5B45-M1ก�+a, b > 1

logbx − logb(x − c) = a

1. 2. 3. 4.cba

ba − 1aba

1− bacba

1+ baaba

1+ ba

25

��������� �� ������� ����������������

Page 26: MaMa Math bkk

22. ก������� x &'(�3��H5B45-M1ก�+ "#$ y &'(�x + log(1 + 2x) = x log 5 + log 6

3��H5B45-M1ก�+ 32� ./0E� )�กlog2y = 3(log89)(log910)(log1011)(log1112) x + y

M1ก�+./0ก������� 1/32�&.2���1. 9 2. 11 3. 13 4. 15

23. I#B*ก+�ก45-M1ก�+ 1/32�H+-กFB4 5��H25E'�/Llogx36 + log183x = 3

1. 320 2. 330 3. 340 4. 350

24. ก������� "#$ )$E� logy x + 5 logx y = 6, 2y4 + xy = 243 x ≠ y 2544 − xy

1/32�&.2���1. 1810 2. 1815 3. 1820 4. 1825

26

��������� �� ������� ����������������

Page 27: MaMa Math bkk

25. ก������� a "#$ b &'(�)���*�)+,-B*ก ./0M5�3# 5-+$BBM1ก�+log4a − log32b

3 = 19

)-��32�45- log4b − log32a3 = 8 a

b

26. ก�����+$BBM1ก�+log2x + log4y + log4z = 2

log3y + log9z + log9x = 2

log4z + log16x + log16y = 2

32�45- 1/32�&.2���6x + 8y − 3z

1. 2. 0 3. 1 4. 2−1

27

��������� �� ������� ����������������

Page 28: MaMa Math bkk

27. ก������� 25log5x + 49log7y = 16

"#$ log9 x − log 19

y = 2 − log9 2

"# * 1/32�&.2�กFB4 5��H25E'�/Lx + y

1. 10 2. 3. 4.7 2 97 3 11

28. Let S1 = {(x, y) / log(1 + x2 + y2) ≤ 1 + log(x + y)} and

S2 = {(x, y) / log(2 + x2 + y2) ≤ 2 + log(x + y)}

What is the ratio of the area of to the area of S2 S1 ?

1. 99 2. 100 3. 101 4. 102

28

��������� �� ������� ����������������

Page 29: MaMa Math bkk

29. 32�45- &1P05 x "#$ y M5�3# 5-M1ก�+ xy 2 log8(3x − 2y) = log8x + log8y + 1

5YJ2��Z2*-��H25E'�/L1. [0, 1] 2. [1, 3] 3. 4.[9

2, 6] [13

2, 9]

30. &RH3��H5B45-5M1ก�+ H+-กFB4 5��H25E'�/L3(2logx) > 2 + xlog4

1. 2.(−1, 8) (−1, 4) ∪ (5, 8)

3. (1, 10) 4. (2, 9)

31. &RH3��H5B45-5M1ก�+ 3P54 5��H25E'�/L1

log2x+ 1

log3x+ 1

log4x+ ..... + 1

log10x≤ 1

1. (0, 1) 2. [10!, ∞)

3. 4.(0, 1) ∪ (1, ∞) (0, 1) ∪ [10!, ∞)

29

��������� �� ������� ����������������

Page 30: MaMa Math bkk

32. ก������� S = {x ∈ R/2xlog2x + 8 > 2x+ 1 + log2x4}

&RH S 1/)���*�M1�Z,ก./0&'(�)���*�&HX1R^0-� 5Yก*2� 10 &.2�กFB4 5��1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

*****************************

��������

1. 2 2. 4 3. 1 4. 15. 3 6. 2 7. 4 8. 49. 3 10. 2 11. 3 12. 213. 2 14. 7 15. 4 16. 117. 2 18. 3 19. 4 20. 221. 1 22. 3 23. 2 24. 225. 1,024 26. 1 27. 3 28. 429. 2 30. 3 31. 4 32. 2

30

��������� �� ������� ����������������

Page 31: MaMa Math bkk

������������By ����� (��� � ก����������)

� .�., � .�.������ ����ก�!��"��!�#��$�

�� � ก���ก����ก������������� (��ก�� 2 ���� �)��%�&�� 1 ������ก���� ����� ��� > ��� ��� <≤

(Ax + a)(Bx + b)(Cx + d) ..... ≥ 0

()�*�+� ������������� x ��ก� 1 !�"ก�� #� ���,$#��&��-.�)� x 0)�1�,2���ก (A, B, C, ..... > 0)

����+� ,������� 0.��*�.0� ��ก����-�./0.1���� x ,.��� ��!�"/�2��������������ก���� 3�-ก���−1

�!�4����� ���ก�����,�������� (5������กก��� 1 ������ !���������!�4����� �6�/�� �-��������.� !�4�������!�4����� �6�/�� �-����4 �����,�����)

��%�&�� 2 ���3,��-�������/��ก�� 0 �-7��!�� x ��ก�� 3����8�!�� x ��2�7����������8�����-9���� �����8����5�ก3�������:�����2�;

��%�&�� 3 ������+���!�,2���ก ��ก��2��� - , + ����ก��7���4� ;��%�&�� 4 5�����ก����2�/�4 1 ���� ��� > 0 ��,��:���/�4������ก 3,�5������ ≥ 0 ≤ 0

��� < 0 ��,��:���/�4������ 3�-�8���� (���!�4����� = ������ )≥ 0 , ≤ 0

��-�� �6� x ��ก��2�/�4 2 (�6���� ���:���) ����!8�,�����

31

��������� �� ������� ����������������

Page 32: MaMa Math bkk

�"#����1. ก$6��1�78�&�1()�*�+���!�ก$���กก�9� 1

���/8�7�� 2 �.0�����&�� 1 ��������ก�!��,��/.2�3�-a) 5�����ก����� > 0 ��� < 0

���������4��7���� ��� ��������2����� 0 7��7���:�� (x − 1)(x − 2)4 > 0

3�- (x − 1) > 0 (x − 2) ≠ 0

3�- x > 1 x ≠ 2

⇒ x ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞)

b) 5�����ก����� ��� ≥ 0 ≤ 0

���������4��7���� ��� ��������2����� 0 7����� �:�� (x + 1)(x + 2)4 ≥ 0

(x + 1) ��� (x + 2) = 0≥ 0

��� x ≥ − 1 x = −2

⇒ x ∈ {−2} ∪ [−1, ∞)

�8������������ก�!�4 ������4 �������ก� 1(���4����ก��������ก�!�4 ก�� ��������ก� 1 ��B���90C�������8����������ก��)

1 2

-2 -1

32

��������� �� ������� ����������������

Page 33: MaMa Math bkk

����&�� 2 ��������ก�!������!�� x �������8���� 2 �6���������ก�!�4����!�� x �������8���� 1 �6�

�:�� (x − 1)3(x − 2)4 > 0

⇒ x ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞)

�:�� (x + 1)5(x + 2)6 ≥ 0

⇒ x ∈ {−2} ∪ [−1, ∞)

2. ก$6�!)��()�*��1���ก�$�,2�� ��9�������� �����

��� > ��� ��� < ≤

(Ax + a)(Bx+ b)......(Cx + c)(Dx+ d)..... ≥ 0

�����9��0)�1:�9�&9�ก�� ;�*� Cx + c ≠ 0 , Dx + d ≠ 0 , ..... ⇒ x ≠ − c

C, − d

D, .....

��ก��2����3,��-�������/��ก�� 0 /�2��DE3�- �����-7��!�� x ��ก��3����8�!�� x ��2�7����������8���� ��2�,��/�4�����/8���������2�/�4 3 3�-��2�/�4 4 ��.� 3,�,����8� x /�4/8�����������D�� C��ก��ก:���!8�,���:�� (2x + 1)3(x− 1)5(x− 3)2

(2− x)(x + 2)4≥ 0 , x ≠ 2 , −2

(2x+ 1)3(x − 1)5(x− 3)2

(−1)(2− x)(x + 2)4≤ 0

(−1)

(2x+ 1)3(x − 1)5(x− 3)2

(x− 2)(x + 2)4≤ 0

:���!8�,�� = (−∞, −2) ∪ (−2, −1

2] ∪ [1, 2) ∪ {3}

1 2 2

-2 -2 -1

-2 -2 1 2 3 312

33

��������� �� ������� ����������������

Page 34: MaMa Math bkk

3. ก$6��1�78�&�1()�*�+���<9��,2���ก:!)�*9�1�!�*� HI4���ก� ����� + �����ก ,[P(x)]2

|Q(x)| + �����ก, HI4�3 ก,���-ก��7����ก �:��ax2 + bx + c

����,�� �������������2,��/.2�7�� (������ก������8�(x + 2)2 + 1 , 3x − 1 + 5 , x2 + 2x + 5

�������������2�!�"�������ก/�2� 2 ������2����).��*�.0� �8����ก"� /�4�-��!��������ก7��� ������ � ������ก,��� a > 0 ax2 + bx + c

3�- b2 − 4ac < 0

�� � ก���ก����ก����#�� $�����%�&'��3��/�4�7�/�49����

��� ≥$;,=��&�� 1 |P(x)| > Q(x)

�-7�� P(x) > Q(x) ��� P(x) < − Q(x)

��� ≤$;,=��&�� 2 |P(x)| < Q(x)

�-7�� −Q(x) < P(x) < Q(x)

��� ��� < ��� ≥ ≤

$;,=��&�� 3 |P(x)| > |Q(x)|

[P(x) − Q(x)] ⋅ [P(x) + Q(x)] > 0

�8�������ก�/�4��ก�������ก 3 ��3����������2 �-�. �:�ก�3���ก"�

34

��������� �� ������� ����������������

Page 35: MaMa Math bkk

.��*�.0�1. �8�������ก�����������5:�����,.���!�������"C:�� ����� �I2�7��#�

����0�&���>�<�?��!�1��%1. 8.a ≥ 0 a + b ≥ a + b

2. 9.− a = a a + b ≥ a − b

3. 10.a − b = b − a a − b ≤ a + b

4. 11.a ⋅ b = a ⋅ b a − b ≤ a − b

5. 12.a

b= a

b, b ≠ 0 a + b = a + b ↔ ab ≥ 0

6. 13.a 2 = a2 a + b = a − b ↔ ab ≤ 0

7. nan =

2. ก� กก8���� 2 �9�4�3ก����ก� ,���-�����ก 2 ����������ก�7��7���-ก����� ≥ 0

��ก�-/8�����!8�,��B.���������

�()*����+)�,-.� (Remainder theorem)5����9�6��� P(x) ��� 3��� �DE��กก����-�/��ก�� P(c)x − c

0���*9�1 �����DE��กก���9�6��� ��� 2x3 − 4x2 − 3x + 5 x − 3

����&>� �DE��กก����/��ก�� 2(3)3 − 4(3)2 − 3 ⋅ 3 + 5 = 14

.��*�.0�1. 3�-5����9�6��� P(x) ��� 3����DE��กก����-�/��ก�� ax − b P(b

a )

2. ���4����ก9�6���/�4�����DE �-,�������ก���� ก��� 9�6���/�4����,�������� �����2��DE��ก/SET��/�DE����� HI4���,����������ก� 1 �I�����!��!�/�4 (��ก� 0)

a ���4� n �����8����!�4��ก|a| ���4� n �����8����!����ก

35

��������� �� ������� ����������������

Page 36: MaMa Math bkk

�"#���� ก���9�6����� P(x) ����9�6�����ก� n3�- Q(x) ����9�6�����ก� m#� m < n �-,�����9�6��� S(x) 3�- R(x) /�4/8���

⇓P(x) =

⇓Q(x) ⋅

⇓S(x) +

⇓R(x)

,��,�2� ,���� B��� �DE

HI4���ก���� R(x) �-��� ก��� m ����

�()*���������ก�� (factor theorem)���4� P(x) !�� 9�6��� #� /�4 n �����8�����,����กanx

n + an− 1xn− 1 + ... + a1x + a0

3�- �����8�����.� HI4� 9�6��� P(x) �-�� an , an− 1, ....., a1, a0 an ≠ 0 x − c

����,���-ก�� ก�,�����4� P(c) = 0

Viete's formula5�� 3�- �-9���� P(x) P(x) = an ⋅ xn + an − 1x

n − 1 + ... + a1x + a0 , n ≥ 1 an ≠ 0

�-�� n !8�,�� (#� �����!8�,��/�4H82�ก��� ��ก�7��) !�� 3�-x1, x2, x3, ..., xn

(1) x1 + x2 + x3 + ..... + xn = −an− 1an

(B���ก���!8�,�� n ,��)(2) x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ..... ⋅ xn = (−1)n

a0an

(B�!�"���!8�,�� n ,��)(3) ก"� B���ก���B�!�"���!8�,�� k ,�� = (−1)k

an− kan

�:�� B���ก���B�!�"���!8�,�� 2 ,�� (x1x2 + x1x3 + .... + x1xn) + (x2x3 + x2x4 + .... + x2xn) + .... + xn− 1 ⋅ xn

= (−1)2 ⋅an− 2an

36

��������� �� ������� ����������������

Page 37: MaMa Math bkk

������������(Real Number System)

By ����� (��� � ก����������)� .�., � .�.�����

� ����ก�!��"��!�#��$�

1. ��������� �������������� ���ก��2x3 + x2 − 2x− 1

(x2 + 2x− 3)(x2 + 2x+ 3)≥ 0

1. 2.(−3, −1] ∪ [−1

2, 1) ∪ (1, ∞) (−3, −1] ∪ [−1

2, ∞)

3. 4.(−∞, −3) ∪ [−1, −1

2] ∪ (1,∞) (−3, −1] ∪ [−1

2, 1)

2. ����������� �x2 − x+ 1

x − 1+ x2 − 3x+ 1

x− 3> 2x − 1

4x − 8

37

��������� �� ������� ����������������

Page 38: MaMa Math bkk

3. ก�������� ��� A = {x ∈ R2− x2

1− x≤ x} B = {x ∈ R

x− 2

x− 3≤ 0}

���� A ∩ B

4. ������� ���ก�� ����!��กก"����� ���#�����$%��1

x + x+ 1

x − x≤ 1

1. 2.(−∞, 0] ∪ [1, 3) (1, 3] ∪ (5, ∞)

3. 4.(−∞, 1) ∪ (7, 11) (−5, 5)

38

��������� �� ������� ����������������

Page 39: MaMa Math bkk

5. ก�������� A = {a

b∈ R

a3 − 5a2b + 6ab2

(a − b)3≥ 0}

���$ A �(%�ก"�"����� � R (� +,�����-�.%$�)

6. ก�������� A = {x ∈ R/ x2 − 2x = 3}

B = {x ∈ R/ 3 − 2x = − x}

����%#��+1ก�%�$ %ก&'�(1. 2.A − B = ∅ A ∩ B = ∅

3. �+���. ก 1 �"$ 4. �+���. ก 4 �"$A ∩ B A ∪ B

39

��������� �� ������� ����������������

Page 40: MaMa Math bkk

7. ����3�$ก �����("1���� �x = 2x − 60 − 2x

1. 32 2. 60 3. 92 4. 120

8. ก�������� A ����������� ���ก�� ��� B �������(2 − x − x2)2 = 2 − x − x2

���� ���ก�� ���� x2 = −x A ∩ B

9. ����������� � x − 1 ⋅ x − 2 = x + 2

40

��������� �� ������� ����������������

Page 41: MaMa Math bkk

10. ����������� ���ก�� x2 − 3x + 5x + 1 = x2 + 2x + 1

11. 8�� x (+:������ก"��ก�� �+("1���� 5 �%� ���$ k �+�%��(%���x − 2 − k = 5

12. ����$��� � x (+:��ก(+:�<�(+:������ก"��ก��2x2 − 4

3≥ 2x2

��,-%��.%$����%#��+11. 2. 3. 4.[−1, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2)

41

��������� �� ������� ����������������

Page 42: MaMa Math bkk

13. 8��������� ���ก�� �=.%$� (a, b)x2 + x − 2 < (x + 2)

���$ �+�%��(%�ก"�(%���a + b

14. ก�������� A ����������� ���ก�� ��� x2 + x − 2 ≤ x2 − 4x + 3

8�� a �������. ก � B �A:� (<ก ���$B = A − {1} a − b ≥ 0 b ∈ B

B ���C� ��$���%#��+1ก. ��������$��-% . ��������$��-%4

3a

5a

����%#��+1 %ก1. ก. 8-ก ��� . 8-ก 2. ก. 8-ก ��� . 3 �3. ก. 3 � ��� . 8-ก 4. ก. 3 � ��� . 3 �

42

��������� �� ������� ����������������

Page 43: MaMa Math bkk

15. ���ก���ก�� x2−5x−4

x2+x−2≥ 1

16. ก�������� I �=��� �����$���E� ��� S = {x x − 1 − 1 ⋅ x − 1 + 1 < 50}

����$����. ก ���� �(%�ก" ����%#��+1S ∩ I

1. 13 2. 14 3. 15 4. 16

43

��������� �� ������� ����������������

Page 44: MaMa Math bkk

17. ����$�����(+:��������$���E� ���ก�� �(%�ก" ����%#��+1−5 ≤ x2 − 6x ≤ 1

1. 8 2. 9 3. 10 4. 11

18. 8�� A = {x ∈ R+ 3 x + 2 ≤ 2x2 + x }

���$���. ก � A (+:�+�%���,(+:�<��(%�ก"�%��� ����%#��+11. 2. 3. 4.13 − 1

2

13 + 1

213 − 1 13 + 1

44

��������� �� ������� ����������������

Page 45: MaMa Math bkk

19. ��� S ����������� ���ก�� 52x + 11 ≤ 12(5x) − 9

8�� a ��� b �������. ก � S (+:�+�%���ก(+:�<������,(+:�<� �������"���$ �(%�ก" ����%#��+1 a + b

1. 2. 3. 2 4.log515 log520 log530

20. ��� S ����������� ���ก�� 3x− 2

x− 1 − 1≥ 0

��� ��� �����"��� �.%$����%#��+1{x x > 0 x ∉ S}

1. [0, 1] 2. 3. 4.[1

4,

3

2] [1

2, 2] [3

4, 3]

45

��������� �� ������� ����������������

Page 46: MaMa Math bkk

21. ����������� ���ก�� 3x + 4 + 3x − 5 ≥ 7

22. ����������� ���ก�� x− 2

x+ 3+ x− 1

x− 2≥ x − 2

x + 3+ x − 1

x − 2

46

��������� �� ������� ����������������

Page 47: MaMa Math bkk

23. �������� � 5x + 7 − 2x + 3 = 3x + 4

24. �������� ���ก�� 3 − x + 3 + x = x

1. 2. 3. 4. 5.6 2 3 − 13 3

26 + 2 2 2

25. ����������� � 2x − 4 + x − 1 < 5x − 1

26. ����$��� �$ก x (+:�������� ���ก�������%���+1�+("1����ก+:�"$ x = x4 − 1

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. 427. ก�������� I�,(+: a ��� b ��������$��� � 8�� P(x) = x3 + ax2 + bx + 2 x − 1

��� �%����� P(x) ���$���=�KL 5 �"��"1� a + 2b �+�%��(%�ก" ����%#��+1 x + 3

1. 2. 3. 1 4. 9−11 −1

28. ��� P ��������$��NB��$ก ��� m, n ��������$���E� 8�� ��� x + 3

���"$ ��� ��� ���=�KL 4 ���$ m x3 + mx2 + nx + P x − 1 x3 + mx2 + nx + P

��� n �+�%��(%�ก"�(%�#�1. 2.m = 4 n = −4 m = 2 n = −2

3. 4.m = −4 n = 4 m = −2 n = 2

29. �����KL��กก����� ��$, 22002 + 2202 + 222 210 − 1

30. ก�������� �����$, ���=�KL 8�� �����%� ax2553 − ax + 1 x2 − 1 r(x) r(2) = 17

31. ก�������� ��� I�, a, b, c ∈ R P(x) = ax2 + bx + c [P(x)]5 − x

�+ �����"$���ก ���$ �+�%��(%���x3 − 6x2 + 11x − 6 7a + 3b + 2c

32. Consider the integral expression in x where a is a rational number.P = x3 + x2 + ax + 1,

At a = the value of P is a rational number for any x which satisfies the equationA

and in this case the value of P is .x2 + 2x − 2 = 0, B

A = ........ ,,,, B = ........

47

��������� �� ������� ����������������

Page 48: MaMa Math bkk

33. What is the remainder when is divided byx200 − 2x199 + x50 − 2x49 + x2 + x + 1

(x − 1)(x − 2)?

a. b. 7 c. d. 12x − 1 2x + 3

e. 6x − 5

34. Let a, b and c be the three roots of What is the value of x3 − 64x − 14. a3 + b3 + c3?

a. b. 12 c. 36 d. 42−36

e. 64

*************************

������� !�

1. 1 2. 3. {2}(1,5

3) ∪ (2,

7

3) ∪ (3, ∞)

4. 1 5. 6. 2(−∞, 0] ∪ (1, 2] ∪ [3, ∞)

7. 3 8. (0, 1] 9. {0, 4} 10. [−1

5, 0] ∪ [3, ∞)

11. 12. 2 13. 2 14. 3k = 7

15. 16. 3(−∞, −2) ∪ (−2, −1] ∪ [−1

3, 1) ∪ (1, 3]

17. 1 18. 2 19. 2 20. 321. R 22. 23.(−∞, −3) ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞) −4

3

24. 5 25. [2,10) 26. 3 27. 428. 2 29. 12 30. 31.−7 2 + 3

15 − 2

15

32. 33. e 34. dA ⇒ − 4,B ⇒ − 1

48

��������� �� ������� ����������������