Fizika 112

2. és 3. Előadás

Az anyagi pont dinamikája

Dinamika: a mozgás meghatározása a

testeket érő hatások (erők) és a test

bizonyos tulajdonságainak ismeretében

Kinematika: a mozgás leírása a kezdeti feltételek (kezdőpont és kezdősebesség)

és a gyorsulás ismeretében, de vajon mi az oka a mozgásnak??

Megfigyelés ↔↔↔↔ kísérlet???

Arisztotelész – Galilei – Newton I.

Arisztotelész

i. e. 384 – i. e. 322

A mozgáshoz mozgató kell („minden mozgót

mozgat valami”)

a bolygókhoz „első mozgató”

A nehezebb testek gyorsabban, a könnyebbek

lassabban esnek, egyenes arányosságban a

tömeggel.

Hold alatti világ – 4 őselem

a Hold szféráján túl – quinta essentia, minden

változatlan

Galileo Galilei

(1564 – 1642)

Arisztotelész – Galilei – Newton II.

Nincs szükség mozgatóra

(nem a mozgásnak van oka, hanem

a mozgás megváltozásának)

A testek egyformán esnek

Csak egy fizika van

földi fizika = égi fizika

Az egyenes vonalú egyenletes

mozgás megkülönböztethetetlen a

nyugalomtól

(Galiei-féle relativitási elv)

Arisztotelész – Galilei – Newton III.

Sir Isaac Newton

(1642. – 1727.)

Galilei gondolatait matematikai

formába öltöztette

Axiomatikus alapokra helyezte a fizikát

A gravitációs törvényével számíthatóvá

tette az „égi” fizikát

Nem a mozgás fenntartásához,

hanem a mozgásállapot

megváltoztatásához van szükség

külső hatásra

”Én távolabbra láthattam, de csak azért, mert óriások vállán álltam.”

Newton axiómák1. axióma: A tehetetlenség törvénye

Az inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző

vonatkoztatási rendszer szintén inerciarendszer

Tehetetlenség: a testeknek az 1. axiómával kimondott tulajdonsága

mértéke: tömeg (tehetetlen tömeg) m [kg]

0a 0 =⇒=rr

eF

2. axióma:

Fdt

vmd rr

=)(

amFrr

=.constm =

Az erő mértékegysége: kgm/s2=N (Newton)

Newton axiómák II.3. axióma: A kölcsönhatás törvénye

A testB test

kölcsönhatás

ABBA FFrr

−=

Az erők párosával lépnek fel, de különböző testekre hatnak!!!

4. axióma: A szuperpozíció elve

Az erők egymás hatását nem zavarva,

Vektorokként adódnak össze.

amFFerrr

Σ=Σ=

Egyensúly: Fe = 0

A dinamika alapegyenlete

A mozgások kísérleti

vizsgálata alapján

erőtörvények felállítása A testre ható erők ismeretében

a test mozgásának

meghatározása

∑=

i

iFamrr

)(trrrr

=2

2

dt

rda

r

=amFrr

=

Fontosabb erőtörvények I.Gravitációs erő

Bármely két pontszerű, m1 és m2 tömegű.

egymástól r távolságban lévő test

kölcsönösen vonzza egymást olyan

erővel, amelynek nagysága a testek

tömegének szorzatával egyenesen és a

távolságuk négyzetével fordítottan arányos.

2

21.

r

mmF γ=

γ = 6,67*10-11 Nm2/kg2

• minden testre hat

• leggyengébb kölcsönhatás

• bolygók mozgása alapján született törvény

r

r

r

mmF

rr

221

12.

γ=

m1 m2

(súlyos és tehetetlen tömeg)

r

Cavendish kísérlet:

Gömbszimmetrikustömegeloszlás

12Fr

21Fr

r

H. Cavendish1731-1810

Fontosabb erőtörvények II.Kényszererő

Θ= mgsinFnet

maFnet =

gmr

Nr

mgN0NgmFnet =⇒=+=rrr

Θ

gr

gmr

Θ

Nr

ΘcosmgΘmgsin

mgcosΘN =

Θ⋅=+ sinmggmNrr

Θ= gsina

Súrlódási erő

tapadási súrlódási erő:

Ftap=µtapN

csúszási súrlódási erő:

Fs=µsN

a test áll a test mozog

Fontosabb erőtörvények III.

gmr

Nr

Fr

sFr

Θ

gr

gmr

Θ

Nr

ΘcosmgΘmgsin

vr

fFr

mgcosΘN =

mgcosΘNFf µµ ==

mgcosΘsinFnet µ−Θ= mg

maFnet =

mgcosΘsinm µ−Θ= mga

( )cosΘsing µ−Θ=a

Θ

gr

gmr

Θ

Nr

Θcosmg

Θmgsin

vr

fFr

mgcosΘN =

mgcosΘNFf µµ ==

mgcosΘsinFnet µ+Θ= mg

maFnet =

mgcosΘsinm µ+Θ= mga

( )cosΘsing µ+Θ−=a!! !!

Kötélerő (a fonálban)

m2

m1

T

TT

T

gm1

r gm2

r

m1g , m2g : gravitációs erők

K : kötélerőcsiga

amKgm 11 =−

amgmK 22 =−

I.

II.

K = ? a = ?

21

21

mm

gmgma

+

−= g

mm

m2mK

21

21

+=

gr

ar

ar

Fontosabb erőtörvények IV.

Csigasor

ArkhimédészKr. e. 287 – 212.

gmr

Nr

Fr

sFr

Θ+= sinFmgN0. =→= aconstv

)sin(cos Θ+==Θ FmgFF s µ

Θ−Θ=Θ

sincoscos

µ

µmgF

Θ

gmr

Nr

Fr

sFr Θ

Θ−= ∗ sinFmgN0. =→= aconstv

)sin(cos Θ−==Θ ∗∗FmgFF s µ

Θ+Θ=Θ∗

sincoscos

µ

µmgF

∗> FF !!!

?

5% megtakarítás !!!

Munka

αcossFsFW ∆=∆=∆rr

SI mértékegysége: Joule (Nm)

Fr

sr

∆

.constF =r

∫=

B

A

rdFWrr

. Ha constF ≠r

A

B

)(rFrr

1D.

Munkatétel∫=2

1

sdFWrr

21

22

22

1

2

1

2

12

1

2

1

2)(

2

1

mvmvv

mvdvmdtvdt

vdmsdamW

v

v

−=

==== ∫∫∫

rrrr

rr

Mozgási energia: 2

2

1mv

Munkatétel: kEW ∆=

Átlagteljesítmény:t

WP =

Pillanatnyi teljesítmény: vFdt

sdF

dt

dWP

rrrr

===

SI egysége: Watt (J/s)

Fogyasztás???

Mértékegységek

Energia: SI mértékegysége: Joule (Nm)

Országok energiafelhasználása:Bruttó tonna kőolaj egyenértékv. 1000 tonna olaj egyenérték

tonne of oil equivalent (toe)

1 toe = 41.868 GJ(hordó olajegyenérték = 0.146 toe)

Teljesítmény: SI egysége: Watt (J/s)

Motorok teljesítménye:Lóerő (LE): 1 LE = 735.49 W

Konzervatív erők

• Ha az F erő munkája W, akkor –W az F erő ellenében

végzett munka.• Ha a tömegpontra több erő hat, az eredő erő munkája

egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegével.• A végzett munka általában függ a pályától.

Konzervatív erők:Olyan erők, melyeknek az anyagi ponton végzett munkájafüggetlen a kezdő és végpontot összekötő pályától, csak a kezdő és végpont helyétől függ.

vagyOlyan erők, melyeknek bármely zárt görbe menténvégzett munkájuk zérus.

(1)

(2)

21 WW =

0=∫ sdFrr

A

A

B

B

A gravitációs erő munkája

mghW =

A nehézségi erőkonzervatív erő.

A Föld felszíne közelében:

221

r

mmGFgr =

−==== ∫∫∫

1221

2

1221

2

12

212

1

111

rrmGmdr

rmGmdr

r

mmGsdFWgr

rr

Kényszererők munkája

• A kényszererő merőleges a felületre.• Ha a kényszert jelentő felület nyugalomban van az

adott vonatkoztatási rendszerben:

ekkor a kényszererő merőleges a sebességre, akényszererő munkája zérus. (pl. rögzített lejtőn lecsúszóanyagi pont, fonálhoz erősített, körpályán mozgó test)

• Ha a kényszert jelentő felület mozog az adott

vonatkoztatási rendszerben:

a test sebessége általában nem esik a felület érintőjénekirányába, ezért a kényszererő általában nem merőleges a sebességre, és így a kényszererő munkája nem zérus.

sdr

Rugóerő munkája

A rugóerő munkája, ha a kitérés x1–ről x2-re változik:

−−=−== ∫∫ 2

1

2

22

1

2

12

1

2

1

DxDxDxdxdxFW

x

x

x

x

x

A rugóerő konzervatív erő.

DxxFFr −== )(

Súrlódási erő munkája

12

2

1

2

1

2

1

sFdsFdsFrdFW s

s

s

s

s

ss

r

r

s ∫ ∫∫ −=−=−==

v

r

rr

Függ az úttól!!!

Az Fs nem konzervatív erő!!!

Potenciális energia

∫=B

A

rdFWrr

A

B

)(rFrr

A potenciális energia megváltozása:

Láttuk:

∫−=−=∆B

AAB rdFUUU

rr

WU −=∆

Konzervatív erő!!!

( ).poth EEU ==

A rugóban tárolt potenciális energia

−−=−== ∫∫

21

22

2

1

2

12

1

2

1

DxDxDxdxdxFW

x

x

x

xxLáttuk:

2

2

1DxU =

laposíj

x

F

s

rWDsW <= 2

2

1l

x

F

s

reflexíj

”A magyarok nyilaitól ments meg Urunk minket”

Tömegpont gravitációs potenciális energiája

Láttuk:

−==== ∫∫∫

1221

2

1221

2

12

212

1

111

rrmGmdr

rmGmdr

r

mmGsdFWgr

rr

r

mmGrU 21)( −=

Ha mgFgr = (A Földfelszín közelében)

mghWgr =Láttuk: mghU =

gmr

sr

hs =r

srsr

mghU =∆

gmr

sr

mghU −=∆

Az energia megmaradása:

kEW ∆=Láttuk: munkatétel: WU −=∆és

kEU ∆=∆−

1212 kk EEUU −=+−

21 21UEUE kk +=+

1E 2E

Az energia megmaradása:

Csak konzervatív erők hatnak!

Ha disszipatív erők is fellépnek:.nemkWUW +∆−=

2.1 21UEWUE knemkk +=++

Egy egyszerű példa:

R

MmGRrUU −=== )(1

0)(2 ≈>>= RrUU

21 21UEUE kk +=+ 0

2

1 2 =−R

MmGmv

M: a Föld tömege m: rakéta tömegeR: a Föld sugara

m/s 112002222

≈=== gRRR

MG

R

MGv

Legalább mekkora sebességgel kell azűrhajót a Földről elindítani ahhoz, hogy az kijusson a világűrbe (és ne essen vissza)?

Robbanás energiája: 60 TJ ? ?

térf. ≈ 1 km3 → m ≈ 2*1012 kg → 1020 J

Másfelől azonban a potenciális energia megváltozását az erőtér ellenében a tömegpontra kifejtett erő elmozdulás során végzett munkájával is felírhatjuk, nevezetesen:

Tekintsük a tér egy tetszőleges P = (x,y,z) pontjának környezetében a potenciális energia függvény egy tetszőleges elmozduláshoz tartozó megváltozását. A többváltozós függvények differenciálszámítása szerint fennáll:

( )dzdydxrd ,,=r

dzz

Udy

y

Udx

x

UdU

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

),,( zyx FFFF −=−r

dzFdyFdxFrdFdU zyx −−−=−=rr

Kapcsolat a konzervatív erők és a potenciális energia között I.

0=∫ rdFrr

UUUrdFW ∆−=−== ∫ BA

B

A

rr

A fenti összefüggések ún. integrális relációk, amelyek egy kiterjedt tértartományra állítanak valamit a konzervatív erőtereket illetően. Vizsgáljuk meg, hogy lokálisan, a tér egy adott pontjában milyen összefüggés áll fenn a potenciális energia és az erő között!Minthogy az erő integrálásával kapjuk meg a potenciális energiát, ezért sejthető, hogy a fenti reláció megfordításaként a potenciális energia valamilyen differenciálhányadosaként állíthatjuk majd elő az erőt.

rdr

dzz

Udy

y

Udx

x

UdE

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=pot dzFdyFdxFrdFdU zyx −−−=−=

rr

és

x

UFx

∂

∂−=

y

UFy

∂

∂−= ⇒

∂

∂−=

z

UFz

A gradiens differenciál-operátor bevezetésével:

UF grad−=r

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇=

zyx,,grad

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇=

z

U

y

U

x

UUU ,,gradpl.

( )UF ∇−=r

vagy

alapján, a megfelelő elmozdulás-komponensek összevetéséből azt kapjuk, hogy a konzervatív erő egyes komponensei a potenciális energia megfelelőkoordináták szerinti negatív parciális deriváltjaival egyeznek meg:

Azaz, konzervatív erőtérben az erő a potenciális energia negatív gradienseként állítható elő.

Kapcsolat a konzervatív erők és a potenciális energia között II.

Az U ”nullszintje” tetszőlegesenválasztható!!!

MATEMATIKA:

Rezgőmozgás

F: rugóerő

kxFr −=

re FF =

Newton 2. törv.: maFe =

kxma −= mozgásegyenlet

Megoldása: )sin()( ϕω += tAtx

xm

ka −= x

m

kx −=&&

)sin()( ϕω += tAtxHarmonikus rezgőmozgás:

A : amplitúdó

ω : körfrekvencia

ϕ : kezdőfázism

k=ω

A rezgőmozgást végző test sebessége: )cos()( ϕωω += tAtv

Maximális sebesség: ωAv =max

A rezgőmozgást végző test gyorsulása: )sin()( 2 ϕωω +−= tAta

Maximális gyorsulás: 2

max ωAa =

k

mT

Tπ

πω 2

2=⇒=

Kezdeti feltételek: x(t=0) = xo és v(t=0) = vo ⇒ A = … és φ = …

A rezgő test energiája:

potk EEE +=

22

2

1

2

1kxmvE +=

( ) =+++=+= )(sin2

1)(cos

2

1

2

1

2

1 222222 ϕωϕωω tkAtAmkxmvE

2max

2

2

1

2

1mvkAE ==

A rezgő test potenciális energiája:

(A rugóban tárolt energiája)

...)( 2 +=′ bxxU

Kis kitérésű rezgések

harmonikus rezgőmozgás

m

kgr

gmr

rFr

re FgmFrrr

+=

x

0

mgkxma +−=

Mozgásegyenlet:

Megoldás:

k

mgtAtx ++= )sin()( ϕω

Forgatónyomaték

Egy anyagi pontra ható erőnek az

origóravonatkozó forgatónyomatéka az anyagi

pont r(t) helyvektorának és az F(t) erőnek a

vektoriális szorzata:FrMrrr

×=A forgatónyomaték nagysága:

αsinrFM =

vagy:

trFMFdM == illetve

erőkaraz erő tangenciális

komponense

Mértékegység: Nm

Newton 2. törvénye rögzített tengely körül forgó merev testre

R

m Fr

maF =

mRaFR =

αRa t =

β2mRM =

Θ: tehetetlenségi nyomaték

αM Θ=

⟩=⟨ maF

( ) ( )ϕ

ϕϕϕ errerrar

r&&&&

r&&&

r++−= 2

2

ϕβ &&=

Tehetetlenségi nyomaték

merev test

mi

ri ∑=Θ

i

2iirm

Steiner tétel: 2o ms+Θ=Θ

Fizikai inga

merev test

forgáspont

tkp

gmr

ϕ s

ϕsin⋅= mgsMr

βΘ=M

ϕβ sin⋅−=Θ mgs

/sin 1/ ϕϕϕ ≈⇒<< rad

ϕβ mgs−=Θ

ϕϕΘ

−=mgs

&&

/ /m

kx

m

kx =→−= ω&&

mgs

Θmgsπω 2T =⇒

Θ=

T

πω

2=

Matematikai inga

m

gmr

ϕ ℓ

2lm=Θ

l=s

gT

lπ2=

/ 1/ rad<<ϕGalileo Galilei

(1564 – 1642)

Torziós inga

φ

gr

(1)(2)

κϕ−=M

βΘ=M

κϕβ −=Θ

ϕκ

ϕΘ

−=&&

κπ

κω

Θ2T =⇒

Θ=

T

πω

2=

Csillapított rezgőmozgás

km

vr

rFr

sFr

vkxma λ−−= xkxxm &&& λ−−=

0xx2x és 2

22 =++⇒== oom

k

mωβω

λβ &&&

vFs λ−=

( )ϕωβ += −tAetx

t sin)(Mozgástörvény:

22 βωω −= o!!! βω >o

( )ϕωβ += −tAetx

t sin)(

Aperiódikus határeset

0xx2x 2 =++ oωβ &&& !!! βω =o

( )actetxt += −β)(

Kezdeti feltételek: x(t=0) = xo és v(t=0) = vo ⇒ c = … és a = …

Pl.: xo = 0 és v(t=0) = vo

totevtx

β−=)(t

x

Túlcsillapított rezgés

!!! βω <o

0xx2x 2 =++ oωβ &&&

ttbeaetx 21)(

λλ +=

0222,1 <−±−= oωββλ

x

t

Kényszerrezgés, rezonancia

km

vr

rFr

sFrvFs λ−=

)(tFr

)cos()( tFtF o ω=

)cos( tFvkxma o ωλ +−−=m

Ff oo =

)cos(xx2x 2tfoo ωωβ =++ &&&

( ) ( )αβωϕω β +−+−= −taetAtx o

t 22sincos)(

( ) 22222 4 ωβωω +−

=

o

ofA22

2

ωω

βωϕ

−=

o

tg

( ) 22222 4 ωβωω +−

=

o

ofA

22

max 2βωω −= o

o22

max ha 222

ωββωβωβ

<<≈−

=o

o

o

o ffA

Jósági tényező:β

ω

2

oQ =

Az amplitúdó frekvenciafüggése:

222βωω −= or

energiaisszipált us alatt degy periód

nergiájarendszer etényezőjósági =

A fázis frekvenciafüggése:

22

2

ωω

βωϕ

−=

o

tg

Rezonanciakatasztrófa:

Dinamikus csillapítás:

km mm

k)(tF

r

Felhőkarcoló kilengésének

csökkentése dinamikus

csillapítással: