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2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta.

La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas

formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma para métrica como la

vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una

ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una

variable cuyo obetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de

los parámetros.

!or tanto, una ecuación para métrica es una ecuación que está basada en una

variable en particular. Una ecuación para métrica en términos "enerales, se conoce

también como representación para métrica

Eemplo#

Dado el punto y el vector paralelo a la recta l que pasa por A. Encuentre

a. La ecuación vectorial de .

b. Las ecuaciones paramétricas.

c. Las ecuaciones simétricas.

Solución.

a. ecuación vectorial de l.

b.

ecuaciones paramétricas de l.

c.



ecuaciones simétricas de l.

Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos entonces . Si

, entonces .

Eemplo#

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el

punto y es paralela al vector . Elimine el parámetro que aparece paraobtener una sola ecuación.

Solución.

!unto por el cual pasa la recta l .

$ector paralelo a la recta l .

Ecuación vectorial de l .

, lue"o las ecuaciones paramétricas de l son

i"ualando las ecuaciones se tiene que

esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l .

eemplo#



Una ventaa importante de una ecuación vectorial de una recta o de sus

correspondientes ecuaciones paramétricas, es poder obtener ecuaciones para un

se"mento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro , por

eemplo la ecuación vectorial , describe el se"mento de

recta que va desde %asta .

Eemplo#

&allar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los

puntos y .

Solución.

El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto y ' AB

lue"o las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son



las ecuaciones simétricas son

Eemplo#

(eterminar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por el

punto y es paralelo a los vectores y .

Solución.

ecuación vectorial

Las ecuaciones paramétricas del plano son

)i eliminamos los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es

Eemplo#

(eterminar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa

por los puntos , y .

Solución.



Los vectores A y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y , por lo

tanto podemos tomar y .

como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, puesto que dic%o planopasa por estos puntos.

(ependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricaspara el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son *nicas.

ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Eliminando los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana



2.2 Curvas planas.

)i f y " son funciones continuas de t en un intervalo +, entonces a las ecuaciones

Una curva "eométricamente %ablando diremos que intuitivamente, es el conunto de

puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se

mueve si se usa el término curva por oposición a recta o línea poli"onal, %abría que

excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de

dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar án"ulos.

Esto las distin"ue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de

esta noción los casos de movimiento rectilíneo. )in embar"o, utilizando la definición

matemática, una línea recta es un caso particular de curva.

-urva# Es el caso límite de poli"onal en que los saltos discretos de los

se"mentos son infinitesimales. ambién en este caso se dice curva plana, también

llamada de simple curvatura por el án"ulo de contin"encia, si tiene todos sus puntos

en un mismo plano y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos

án"ulos el de contin"encia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en

un mismo plano.

La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva

separados una distancia finita. El orden de una curva es el n*mero máximo de

puntos de corte con una secante. En la fi"ura se muestra una curva de /0 orden.

La recta tan"ente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante

cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. (e esta forma la tan"ente

puede ser de primera especie cuando el punto de tan"encia está quieto y el otro se

aproxima al primero, de se"unda especie cuando los dos puntos se aproximan

simultáneamente %acia el de tan"encia.



Eemplo#



2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su

representación gráfica.



.



2.5 Coordenadas polares.

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