ANTON SOLOI ANALIZ MATEMATICBREVIAR TEORETIC I APLICAII EDITURA DIDACTIC I PEDAGOGIC BUCURETI, 2005 ANTON SOLOI z ANALIZ MATEMATIC ISBN973-30-1940-2 LEI CAPITOLUL 1 INTRODUCERE N TOPOLOGIE 1.1 Generaliti CnduntopologestentrebatCeestetopologia?,Lacefolosete?, acestaestepusntr-opoziieincomoddeoareceinterlocutorulsuateptacel genderspunscaresedpentruntrebrisimilaredespretrigonometriei anumectrigonometriaseocupcudeterminareaunghiuriloriestefolosit pentruarezolvaproblemedegeodezie,navigaieiastronomie.Topologulnu poatedaunrspunsattdedirect;elpoatespunectopologiaesteuntipde reprezentaregeometricfolositnmultedomeniialematematiciimoderne,dar acest rspuns, de regul, nu l satisface pe cel care dorete elemente specifice. n acestcaztopologulpoatesconstruiascobandMbius1isotaiede-a lungul liniei mediane obinnd o nou band Mbius sau poate s ia o bucat de sfoar i s arate cum se pot forma, fr a noda, trei bucle. De asemenea poate demonstracumsepoatescoatevestafrascoatehaina.Fiecaredinaceste scamatorii este bazat pe o idee matematic care necesit cteva ore pentru a fi explicat.Aprezentaacestescamatoriifroexplicaieadecvatnseamna prezenta o caricatur a topologiei. Topologiaanceputsfierecunoscutcaundomeniudistinctal matematicii acum aproximativ aptezeci de ani dar dezvoltarea ei semnificativ aavutlocnultimiipatruzecideani.Topologiaesteceamaiviguroasdintre ramurilenoialematematiciiiainfluenatputernicmajoritatearamurilormai vechi; ea a fost iniiat ca un rspuns la necesitile analizei matematice (partea matematiciicareconinecalululdiferenial,calululintegraliecuaiile difereniale).Celmairemarcabilfaptestecideiletopologieiauptrunsn aproape toate domeniile matematicii. Pentru a aprecia topologia este necesar s sestudiezeuneledintreaplicaiileeifructoase.ncelemaimultedintreaceste aplicaii,topologiafurnizeazmetodeiconceptepentrudemonstrareaunor propoziiifundamentalecunoscutecateoremedeexisten.Oteoremde existen afirm c pentru o anumit problem exist o soluie; aceasta i asigur pe cei care o astfel de soluie c efortul lor nu este zadarnic. Deoarece teoremele deexistensuntadeseafundamentalenstructuraunuisubiectmatematic, posibilitile pe care le are topologia n demonstrarea acestor teoreme constituie o for unificatoare pentru domenii vaste ale matematicii. 1 August Ferdinand Mbius, 1790-1868, matematician german 5O definiie succint a topologiei poate fi urmtoarea Definiia1.1Topologiaesteramuramatematiciicarestudiaz proprietile topologice ale mulimilor de puncte i ale funciilor. Observaia 1.2 Cunoatemcpeaxarealomulimesenumetemulime deschisdac D R = D sau D iD x ,0 > r astfelnct ( ), x rx r D + .Complementarauneimulimideschisefademulimea total se numete mulime nchis.X = RDefiniia 1.3 Fie o mulime arbitrar. O familie X ( ) X D Pde pri ale lui X se numete topologie pentru X dac satisface urmtoarele axiome: (i) (mulimea vid i mulimea total aparin familiei D), X D(ii) ( )AAD D DD(reuniunea infinit de mulimi din D este n D) (iii) 11,niiD i n D= = , Di D(intersecie finit de mulimi din D este n D) Definiia1.4Opereche( ) , X D ,undeXesteomulimenevidiar ( ) X D P esteotopologiepentruXsenumetespaiutopologic.Elementele lui( ) X D P senumescmulimideschisenraportcutopologiaD ,iar complementarelemulimilordeschisesenumescmuliminchisenraportcu topologia D . Dac sunt dou topologii pe X, este mai fin dect, dac. 1, DD2 2D1D1 2 D DExemple (i) Fie X o mulime. Familia{ } , X D=este o topologie pentru X numit topologie trivial sau grosier iar perechea( ) , X Deste spaiu topologic trivial. (ii)FieXomulime.Familia( ) X P esteotopologiepentruXnumit topologie discret iar perechea( ) ( ), X X Peste spaiu topologic discret. (iii) Pe se consider familia de mulimi deschise R( ) ( ) ( ) { }, 0, astfel nct , D x D r x r x r D = > + RR D , cereprezinttopologiauzualpe.PerecheaR ( ) ,RR D estespaiutopologic uzual. (iv) PeRse consider familia de mulimi( ] [ ) [ ) ( ] { }, , , , , , , , D a D b D b a D a b = R RRR D D D , ce reprezint o topologie peR . Perechea ( ),RR Deste un spaiu topologic. 6(v) Pe mulimea a numerelor complexe se consider familia de mulimi deschiseC( ) ( ) ( ) { }, 0 astfel nct , D a D r Ba r D = > CC D , unde( ) { }, Ba r z z a r = < C estedisculdeschiscentratnaiderazr. Perechea este spaiu topologic.( ,CC D)Observaia 1.5 DinlegileluideMorgan2,deducem( ) CA B CA CB = i ( ) CA B CA CB = ,iCX = C X = ,adicoricereuniunefinitde submuliminchisealeluiXesteomulimenchisioriceinterseciede submulimi nchise ale lui X este o nchis. Definiia 1.6 Fie( ) , X Dun spaiu topologic. Mulimea Vse numete vecintate a punctului X x X dac astfel caD D x D V . Observaia 1.7 Dacestetopologiauzualpe( , XRD ) X = R,spunemcVesteo vecintatealuix X daccuD RD x D V ,altfelspuscumDesteo deschis i0 x D r >astfel nct( ) , x rx r D V + . Definiia 1.8 Numimfiltrulvecintilorpunctuluixnspaiultopologic( ) , X Dfamilia tuturor vecintilor lui x i notm ( ) { }este o vecintate a luix V X V x = V . Propoziia 1.9 Fie( ) , X D unspaiutopologicix X ,filtrulvecintilor( ) x V are urmtoarele proprieti: (i) Dac( ) V V x , atuncix V . (ii) Dac( )1 2, VV x V , atunci( )1 2V V x V . (iii) Dac( ) V x Vi VatunciU ( ) U x V . (iv) Dac( ) V x V , atunci exist( ) W x Vastfel nct Wi pentru orice, V y W () V y V . Demonstraie (i) Fie( ) V x D V Dcux D V x V . (ii)( )1 2 1 2, , VV x DD V Dcu i ix D V ,1, 2 i = 1 2 1 2x D D V V . Dar( )1 2 1 2D D V V x D V . 2 Augustus de Morgan, 1806-1871, matematician englez 7(iii) Dac( ) V x D V Dcu proprietatea ( ) x D U U x V(iv) Fie( ) V x D V Dcux D V . S lum W D .W = DDacatunciputemscriecy W W D astfelnct () y W W W y V . Definiia 1.10 Unspaiutopologic( ) , X D senumetespaiutopologicseparat(sau spaiu Hausdorff3) dac pentru orice dou puncte, xy X , cux y rezult c exist vecintile( ) V x V ,() U y Vastfel nct U V = . Exemple1)( ) ,RRDeste spaiu topologic separat. 2)(este spaiu topologic separat.) ,CCD Definiia1.12Fie( ) , X unspaiutopologic.Oaplicaie se numete ir de puncte i se noteaz prin.( ) : , ,nf X f n x n = N N ( )nnxNDac sunt numere reale, irul nx ( )nnxN se numete ir de numere reale. Fieunspaiutopologic,unir( , RD ) ( )nnx X ix X .Spunemc irul( )nnx convergelaxiscriemlimnnx x= dacpentruoricevecintate ( ) V V x , exist un numr Vn N astfel nct pentru orice. V nn n x V Observaie n mulimea a numerelor reale, dac un ir de numere este convergent,limitasaesteunic.ntr-unspaiutopologicoarecare,limitaunui ir, n general, nu este unic, fapt ce poate fi constatat din urmtorul RExemplu Fie X o mulime infinit, nenumrabil i { }\ este finit G X G = D { } n spaiul topologic(orice ir) , X D ( )N nnx, cu termenii diferii doi cte doi,esteconvergentctreoricepunctxalspaiului,deciareoinfinitatede limite.Spaiiletopologicencareesteasiguratunicitatealimiteisuntspaiile topologice separate (Hausdorff). Propoziia 1.13 Limita unui ir convergent ntr-un spaiu topologic separat este unic. Definiia Fie un spaiu topologic,( , X D ) X x i mulimea( ) ( ) U x V x . senumetesistemfundamentaldevecintialeluix,dacpentruorice vecintate exist submulimea ( ) U x( ) V V x ( ) W Ux astfel nct W V . 3 Felix Hausdorff, 1868-1942, matematician german 8 Exemple 1) n spaiul topologic, familia( ,RR D) ( ) ( ){ }, 0 U x x r x r r = + >este un sistem fundamental de vecinti ale lui x. 2) n spaiul topologic( , familia) ,RR D ( )*1 1, Ux x x nn n = + Neste un sistem fundamental numrabil de vecinti ale punctului.x R3)nspaiultopologic( ) ,CCD ,familia( ) ( ){ }, U z Bzr r 0 = > esteun sistem fundamental de vecinti ale punctuluiz C. 4)nspaiultopologic( ,familia) ,CCD ( )*1, Uz B z nn = N esteun sistem fundamental numrabil de vecinti ale luiz C. Definiia 1.14 Fie( ) , X D unspaiutopologic,A X ix X .Punctulxsenumete punct interior al mulimii A dac mulimea A este o vecintate pentru punctul x adic( ) A x Vsau echivalent existDDcu proprietatea( ) x D A x V . Notmcu { }inteste punct interior al luiA A x Xx A = =

ionumim interiorul mulimii A n topologia D . Exemplu Fie spaiul topologic ( ) 22,RR D . Dac[ ][ ], , , , , A a b a b a b a b = < R , atunci ( )( , ,) A a b a b =

. Propoziia 1.15 Proprieti ale interiorului mulimii A. (i)A A

. (ii)A B A B. (iii)

A B A B =

. (iv) A este deschisA A =

. (v) D , D AA D =

D,adicinteriorulluiAesteceamaimaremulimedeschis coninut n A. Demonstraie (i)( ) x A A x x

V A. (ii) Fie( ) x A A x

Vi cum( ) A B B x V , decix B

. 9(iii) Avem urmtoarele relaiiA B A iA B B . Din (ii)

A B A

i A B B A B A B

. Reciprocx A B x A

i( ) x B A x

Vi( ) ( )

B x A B x x A

V V B (iv)AdeschisastfelnctD D x A ,x D A .AlegD A =deoarece( ) A A x D V ,x A x A A A. CumA A A = A. (v) Dacx A

, cuD D x D A , deci { }, x D D D A D . Reciproc,dac { }, x D D D A D atunciD D ,cu proprietatea D A x D . Prin urmareD Dastfel nct( ) x D A A x x A

V . Definiia1.16Fie( ) , X D unspaiutopologiciA X .Unelement x X senumetepunctaderentalmulimiiAdacpentruoricevecintate ( ) V V xrezult V A . Mulimea { }este punct aderent al luiA x Xx A = senumeteaderena lui A sau nchiderea lui A n topologia D . Exemplu Fie spaiul topologic ( ) 22,RR D .Dac, atunci( )( ) , , , , , A a b a b a b a b = < R[ ][ ], , A a b a b = . Definiia1.16FieA R,xR.Notmcu( ) , infa Ad xA x a= distana de la punctul x la mulimea A. Teorema1.17Fiespaiultopologicreal( ) ,RR D ,mulimeaA Ri punctulxR. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente. (i) punctul x este punct aderent al mulimii A, (ii) exist irul( )nna A convergent ilimnna x= , (iii)( ) , 0 d xA = . Demonstraie Sdemonstrmc(i)(ii).Presupunc( ) x A V x V avem .nparticularpentruV A = 1 1,nV x xn n = + avem,. nV A 1 n 10Construimirul, n na A V 1 n i na A1na xn < adicirul ( )nnaare limit ili .mnna x =(ii) (iii). Presupun c( )nna A ilimnna x = . Atunci, astfel nct0 > n Nna x < ,n n . Dar( ) , infAd xA x= icum( ) , infn na A d xA x x a = ( ) , d xA < ,( ) 0 , 0 d xA > = . (iii)(i).Vompresupunec ( ) , d xA 0 = ifieovecintatearbitara punctului x,( ) V x D V Dcu proprietatea cx D V . Cum mulimea astfel nct0 D >RD r ( ) , x rx r D V + , adic ( ) , x rx r V + . Deoarece( ) 0 , infa Ad xA x a= = estecelmaimareminorantalmulimii { }a Ax a rezultcnuesteminorantpentruaceastmulime,adic exist un element astfel nct 0 r >ra Arr x a r x a > < ) Propoziia1.18Fieunspaiutopologici( , X D X A .Aderena mulimii A are urmtoarele proprieti: (i)A A (ii)A B A B(iii)A B A B = (iv) A nchisA A =(v)A A =(vi) , F FF AA F= = (adicA este cea mai mic nchis ce include pe A). Demonstraie (i) Fie( ) x A V x V ,( ) x V x V A x A A A . (ii) Fiex A i( ) x V A V V i cumA B B V ,( ) V x V x B . (iii) Avem urmtoarele incluziuniA A B iB A B . Din(ii)rezultA A B iB A B ,prinurmareA B A B . Trebuie s artm c ( ) ( )A B A B CA B CA B CA CB = . 11Fiex CA CB x A ix B ( )1 2U U x V cuproprietatea i.Lum 1U A = 2U A = 0 1 2 0U U U U U1= i i 0 2U U 0U A = 0U B = ( )0U A B = .Cum( )0U x V( )x A B x A B . (iv) Vom spune c( ) , A X Deste nchis dacCAD . S presupunem cAestenchis.VatrebuisartmcCA D A A cealaltincluziune fiind demonstrat la (i). DarA A CA C A. Fiex CA care este deschis( ) CA x V ,x CA . nsCA A = x A x CA . ReciprocpresupunemcA A = idemonstrmcAestenchis,adic CA este deschis( ) CA x V ,x CA . Fiex CA CA = conformipotezei.Atuncix A ,deci( )0V V xAcu proprietatea c ceea ce este echivalent cu. ns 0V A = 0V C ( )0V x V( ) CA x V ,x CA este deschisCA A este nchis. (v) Din (i)A A . Fiex A avem( ) V V x V A = . Cum.DeoareceV esteodeschis ilconinepey.ns ( ) V x V A y A V V

y

() V

V y A V A

deundedatoritlui . CumV V

V A ( ) V V xeste arbitrarx A A A. (vi) Fie F o mulime nchis ce include mulimeaAF F A = . CumFafostaleasarbitrardeducemcpentruoricenchiscare include pe A, adic FA F A F = F(include i peA). Rezult F FF AA F= . Reciproc, observm c F F F F F= =,F F A = . n particular pentru F A = F A . Definiia 1.19 Fie un spaiu topologic i( , X D ) A X . Un elementx X senumetepunctdeacumularealmulimiiAdacpentruoricevecintate rezult( ) V V x { } V A x .Notmcu { }este punct de acumulare pentruA x X x A = ionumimmulimeaderivat a lui A n topologia D . Propoziia1.20Fie( ) , X unspaiutopologiciX A .Mulimea derivat a lui A n topologia Dare urmtoarele proprieti 12(i)A A ; (ii)A B A B ; (iii)( ) A B A B = ; (iv)A A A = ; (v) A este nchis dac i numai dacA A . Demonstraie Primele dou propoziii sunt evidente. (iii) Avem incluziunileA A B iB A B . Conform (ii)( ) A A B i( ) ( ) B A B A B A B . Reciproc, vom arta c( ) ( ) ( ) A B A B CA B CA B . Fieacum( ) x CA B CA CB = x CA ix CB x A i x B .Prinurmare,existdouvecintiastfelnct( ) , VU x V{ } ( )U x A = { } i ( )V x A = . Lund( ) W U V x = V { } ( ) ( ) W x A B = deci( ) x A B ( ) x CA B . (iv) Avem urmtoarele incluziuniA A ,A A A A A . Reciproc,fiex A .Atunci( ) V x V A V .Avemsaux A saux A .Dacx A atunci{ } ( )V x A ,( ) V x x A V deci x A A . (v)DacAestenchisA A = .DarA A A = A A A = A A . Propoziia1.21Dacnoricevecintatealuixexistoinfinitatede puncte a lui A, atunci punctulx X este punct de acumulare al mulimiiA X Consecin 1.22 Dac A are un punct de acumulare, atunci este infinit. O mulime finit nu are puncte de acumulare. Propoziia1.23Fie( ) , X D unspaiutopologic,mulimeaA X i punctul x X . Sunt echivalente afirmaiile (i) x este punct de acumalre pentru mulimea A, saux A , (ii)existunirdeelementedistinctedinA,cu( )nnxNnx x , astfel ca n Nlimnnx x= . Definiie 1.24 Fie( ) , X Dun spaiu topologic iA X . Mulimea ( )FrA A A X A A CA = = = se numete frontiera mulimii A. Exemplu.Fiespaiultopologic ( ) 22,RR D .Frontieramulimii este ( )( ) , , , , , A a b a b a b a b = < R( ) [ ] { } { } [ ]{ }2, , i, sau, i, A xy x a b y a b x a b y a b = R . 13Definiia 1.25 FieA R. Vom spune c A este majorat (sau mrginit superior) dac astfel nctb R x b ,x A .NumrulbsenumetemajorantalmulimiiA.UnnumrMsenumete margine superioar a unei mulimi A dac este cel mai mic majorant al mulimii A i notmsup M A = . Teorem 1.26 Orice mulime nevid majorat are margine superioar. Demonstraie FieacarenuestemajorantalluiAibunmajorantaluiAx A astfel nct i. n plus putem alegea x b 0 b a = > / , a b / .PrinmetodaCantor4seconstruiescdouiruri( ) ( ) ,n nn na b astfel ca: (i) nu este majorant al lui A i este majorant al lui A,. nanb n N(ii) 2n nnb a =/,.n N(iii). 1 2 2... ... ...n na a a b b b 1Din proprietatea (ii) i (iii)! R astfel nct n na b ,.n NVom arta, n doi pai, csup A = . 1)estemajorantalluiA.Dacprinabsurdnuestemajorant atunci0x A cu 0x < . Putem alegenN suficient de mare astfel nct 0 0 02n n n n nn0x b a x b a x b x < < < + + / astfel nct 0 n na x b < < nA V . Dar nAconine o infinitate de puncte din K{ } ( )0V x K . nsKestecompactestenchisiconinepunctelede acumulare 0x K . Exist deci un interval V ce conine pe 0x ,( ) V x Vce poatefiacoperireamulimii nA cunsuficientdemare,faptcevinen contradicie cu afirmaia (iii). Definiie1.33OmulimeX senumeteconexdac, A B X astfel nctA B = ,A B = ,A B = ,X A B = . Definiie 1.34 O mulimeX deschis i conex se numete domeniu. Un domeniu la care i se adaug frontiera se numete domeniu nchis. Omulimecareodatcudoupunctealesaleconineidreapta determinat de cele dou puncte mulime convex. X 1.3 Spaii metrice. Topologie metric Definiia1.1FieXomulimenevid.Ometric(distan)peXesteo aplicaie ce satisface axiomele distanei:: d X X R(M1)( ) , 0 d xy ,, xy X i( ) , 0 d xy x y = =(pozitivitate) (M2)( ) ( ) , , d xy d yx = ,, xy X (simetrie) (M3)( ) ( ) ( ) , , , d x z d xy d yz + , , xyz X ) (inegalitatea triunghiului), Proprietatea1aratcdistanaarevaloripozitivefiindnuldoardac punctelex,ycoincid,proprietatea2aratcdistanaestesimetric,iar proprietatea 3 se mai numete inegalitatea triunghiului. Perechea( , Xdformat dinmulimeanevidXidistana(metrica)dpeXsenumetespaiumetric.10 Elementele lui X se numesc puncte, iar( ) y x d ,este distana de la x la y. Remarcmc,peomulime,sepotdefinimaimultedistane,decimai multe structuri de spaiu metric. De asemenea, dac( ) , Xdeste spaiu metric i Y X ) , atunci este spaiu metric n raport cu distana indus pe X.( , YdExemple 1) Perechea( ) ( ) , unde : , , d d d xy x y = R R R R este spaiu metric. 2) Perechea( ) ( )1 2 1 2, unde : , , d d d z z z z = C C C R

este spaiu metric. 10NoiuneadespaiumetricafostintrodusdeFrchet(1906)idezvoltatdeHausdorff (1914) pornind de la ideile lui Riemann (1854). 173)Perechea ( ) ( ) ( )21, unde : , ,nn n ni iid d d xy x y= = R R R R pentru este spaiu metric.( ) (n ny y y y x x x x ,..., , , ,..., ,2 1 2 1= = ) Propoziia 2.1 Dac( ) , Xdeste un spaiu metric atunci: (i)( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 1, , , ... ,n nd x x d x x d x x d x x n + + +k1, k n = ,x X , (ii)( ) ( ) ( ) , , , d xz d yz d xy , , ,xyz X (iii)( ) ( ) ( ) ( ) , , , d xy d x y d x x d yy + , ,, , , xx yy X (inegalitatea patrulaterului) Demonstraie (ii) Din M3 avem ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,i, , , , ,d xz d xy d yzd yz d yx d xz d xy d xz + + = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),,, ,, ,d xz d yz d xyd yz d xz d xy ( ) ( ) ( ) , , , d yz d x z d xy (iii) Folosind (i) avem: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , d xy d x x d x y d y y + + ( ) ( ) ( ) ( ) , , , d xy d x y d x x d y y , + Schimbnd rolul luix x iy y ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , d x y d xy d x x d y y + (iii) Definiia1.2Fie( ) , Xd unspaiumetricia X .Senumetebil deschis de centru a i raz r mulimea( ) ( ){ }, , Ba r x X d x a r = ( )2 1, x x x =i de raz r. 183)Fiespaiulmetric ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 231 1 2 2 3 3, unde , d d xy x y x y x y = + + R2. Atunci bila deschis de centru( )3 2 1, , x x x x =i raz coincide cu interiorul sferei centrate n 0 r >(3 2 1, , x x x x ) =i de raz r. Observaia2.1ntr-unspaiumetricsepoateintroduceotopologie cu ajutorul distanei, numit topologia metric dD( ) ( ), ,dXd X D . n acest sens este necesar s definim mulimile deschise. Definiia2.4Fie( ) , Xd unspaiumetric.Spunemcmulimea estedeschisinotmdacpentruoricepunct D X dDD a D ,exist astfel nct 0 r >( ) , Ba r D . Sepoateartacfamiliademulimicareconine,Xitoate mulimiledeschiseDformeazotopologiepe dD( ) , Xd ispaiulmetric( ) , Xdeste un spaiu topologic separat. Teorema 2.2 Familia de mulimi format din dD , X i toate mulimile D definite mai sus formeaz o topologie pe( ) , Xd . Demonstraie (i).,dX D(ii) Fie nevide (dac este una vid atunci). 1 2,dDD Di dD DFie 0 1 2x D D 0 1x D i 0 2x D astfel nct1 2, r r > 0( )0 1 1, Bx r D i( )0 2 2, Bx r D . Notm cu( )1 2min , r r r =i gsim( )0,iBx r D ,1, 2 i = ( )0 1 2, Bx r D D 1 2 dD D D . (iii) Fie o familie oarecare( )kk JD Dd. Vom arta c. k dk J DDVom presupune c cel puin una este nevid. Fie kk Jx Drezultc 0k J astfelnct 00 k dx D D i astfel nct 0 r >( )00,k kk JBx r D D deci( )0,kk JBx r D, adic. dk J DDDefiniiaOvecintateapunctuluia X nspaiultopologic( ),dX D , este o mulime nevid Vcu proprietatea cX 0 r >astfel nct( ) , Ba r V .Unspaiumetricestedefaptuncazparticulardespaiutopologic.Mai mult,sepoateartacoricespaiumetric( ) , Xd esteunspaiutopologic separat. 19Considerm( ) , Xd unspaiumetricia X unpunct.Dacnotm mulimeavecintilorpunctuluia(filtrulvecintilor)prin ( ) ( ) { }, V a Ba r r = 0 > , atunci prin convergena irului( )nnx X nelegem: Definiia1.5irul( )nnx X convergelax X dacpentruorice ( ) ( ), , Bx V x existastfelnctpentruorice( ) , n N ( ) n n srezulte ( ),nx Bx i scriemlimnxx x= . Cualtecuvinte,irul( )nnx X esteconvergentlax X dacavem ndeplinit condiia ( ) ( )( )0, , ,nn n n d x x > < N . Spaiultopologic( ),dX D fiindseparatdeducemclimitaunuiir convergent ntr-un spaiu metric este unic. Definiia1.6Fie( ) , Xd unspaiumetric.iruldepuncte( )nnx X se numeteirCauchy11(fundamental)dacpentruorice0, > existrangul ( ) , n N astfelnctpentruorice( ) m n n > srezulte( ) ,m nd x x < sau echivalent ( ) ( ) ( ) 0, , ,m nn m n n d x x > > < N . Cum,existm n >*, 1 p p N astfelnctm n p = + .Prinurmareputem reformula definiia anterioar astfel: Definiia 1.7 irul( )nnxde puncte din spaiul metric( ) , Xdse numete ir Cauchy(fundamental)dacpentruorice0, >( ) , n N existrangulastfel nct pentru orice ( ),n p nd x x +< ( ) n n *, 1 ip p Ns rezulte sau echivalent( ) ( ) ( )*0, , , , 1 ,n p nn n n p p d x x +> < N N ). Teorema 1.6.7 Fie(un spaiu metric,d X, ( )N nnx un ir de puncte din X ix X . Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1)limnnx x= ; 2) ( )lim , 0nnd x x= . 11AugustinLouisCauchy(1789-1857),matematicianfrancez.Aintrodusnoiunile fundamentale ale analizei matematice n spiritul analizei matematice moderne. 20Definiia1.8Spaiulmetric( ) , Xd senumetespaiumetriccomplet relativladistanaddacoriceirCauchy( )nnx depunctedin( ) , Xd este convergent, adiclimnnx x X = .Exemplu nmecanicaanaliticaluiLagrangespaiulcu3ndimensiuniaparen studiulmicriiunuisistemdenpunctemateriale;3nfiindnumrul gradelor de libertate. Un solid rigid are 6 grade de libertate trei translaii de-a lungul axelor i treirotaiinjurulfiecreiaxe.Spaiulcu6dimensiuniaparenstudiul micrii unui solid rigid. Definiia1.3FiedoudistanedefinitepeaceeaimulimenevidX, 1 2, : d d X X R.Spunemcisuntechivalentedacexistconstantele 1d2dreale0 >i >astfel nct: ( ) ( ) ( )1 2 1, , , , , xy X d xy d xy d xy i scriem. 1 2d d Teorema 2.1 Metricele definite prin 2, , : , 1nd R Rn( ) ( )221,nk kkd xy x y== ,( )1,nkkkxy x= = yi ( )1,, maxk kk nxy x=y = , sunt trei metrici echivalente pe spaiul nX = R . Demonstraie Se arat c are loc irul de inegaliti ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , xy d xy xy xyn ,nxy R),. Propoziia1.6.8Fieunspaiumetric.Dac( d X, ( )N nnxesteunir convergentdepunctedinXilimnna x = ,atuncioricesubiralirului( )N nnx este convergent i are limita a. Definiia1.6.9.Fieunspaiumetrici( d X,) X A .MulimeaAse numete mrginit dac existX x 0 i0 > rastfel nct.( ) r x B A ,0 Propoziia 1.6.10 ntr-un spaiu metric orice ir convergent este mrginit. Propoziia 2.3 ntr-un spaiu metric( ) , Xdorice ir convergent este ir fundamental. Demonstraie Fie( )nnx X , nx a X un ir convergent, adic 210 > , astfel nctn N n n avem( ),nd x a < . Dar,n p n n+ > pN( ),n pd x a+ < ,prinurmarepentruorice numere i rezultn n pN( ) ( ) ( ), , ,n p n n p nd x x d x a d x a+ +2 + < . Reciprocapropoziieianterioarenuestengeneraladevratdupcum arat urmtorul Exemplu (i)Vomartac( ) , d R cumetrica( ) , arctg arctg d xy x y = esteun spaiu metric dar nu este spaiu metric complet. Faptul c d este o metric, este clar. Vom arta c, n aceast metric, irul de termen general nx n =este fundamental dar nu este convergent. ( )( )( ) ( ), arctg arctg1 arctg arctg 01 1n p nnd x x n p np pnn p nn p n+= + == + + + + Dar( )nnxnu este convergent. Vom presupune prin absurd c( )*lim lim , 0n nn nx a d x a = R = . ( )1, arctg arctg arctg arctg 01nnn ad x a n an a a= = + contradicie. Pentru raionamentul este similar doar c0 a = ( ) lim , 02nnd x= . Propoziia 2.4 Orice ir Cauchy (fundamental)( )( ) 2, ,pnn1 x d p R este mrginit. Demonstraie Vomdemonstraafirmaianumaipentru ( ) ( ),nnx = R earmnnd adevratipentrucazul( )( ), ,pnn1 x d p R .Fieun ( ) ( ),nnx = R un irfundamental,adicpentruorice0 > ,existnNastfelnctpentru orice in n pNn p nx x+ < . Lum,1 =1n n =1 11n p nx x+ < + ,p N ,faptcearatc mulimea infinit { }1 11, ,...n nx x+ este mrginit. Daclum { }11 2max , ,...,nM x x x = ,atunci { }1max , 1nM Mx = + are proprietatea c,nx M n N. 22Propoziia 2.5 (Cesro12)Orice ir mrginit de numere reale( )nnxconine un subir convergent. Demonstraie Fie{ }1 2, ,..., ,... , 1pnA x x x p = R esteinfinitimrginit.Prin teorema Weierstrass Bolzano obinem ( )ppnnA A x A x A astfel nctlimppnnx x= . Teorema 2.3 (i)Oricesubiralunuiirconvergentdenumererealeesteconvergent ctre aceeai limit. (ii)DacunirCauchy( )nnx areunsubirconvergentctre ( ), ,pa d p R 1 , atunci irul( )nnxeste convergent ilimnnx a= . Demonstraie (ii) Fie irul( )nnxfundamental i subirul ( )ppnnxconvergent la paR . Prinurmarepentruoriceexist0 >( )1 2max , n n n = Nastfelcapentru orice s rezulte,pn n n( )( ) ( ), , ,p pn n n nd x a d x x d x a 2 + < . Teorema 2.4 (Cauchy13)Unir ( ) ( ),nnx R esteconvergentdacinumaidaceste fundamental sau echivalent spaiul ( ), Reste spaiu metric complet. Demonstraie Cum ( ), R esteunspaiumetric,prinpropoziia2.14rezultc dac( )nnx R este convergent, atunci el este fundamental. Dac( )nnxeste fundamental( )nnx este mrginit conine un subir convergent ( )nnx este convergent. Teorema2.6Condiianecesarisuficientcaunir ( )( ) ( ) 2, ,n pn1 x d p R saibcalimitpunctul paR ,adic ( )( )1 2lim , ,...,n ppnx a a a a= = R ,estecatoatecomponentele ( )( ), 1,...,njnx j = R pale irului ( )( )nnxs fie convergente i s existe relaiile ( )lim ,nk knx a= R 1: k p = . 12 Ernesto Cesro, 1859-1906, matematician italian 13 Augustin Louis Cauchy, 1789-1857, matematician francez 23Demonstraie Vom utiliza dubla inegalitate ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )2 21 1 1 1, ... ...n n n n n nj j p p p px a d x a x a x a x a x a = + + < + + Dac ( )limnnx a= , atunci pentru orice0 > , exist astfel nctpentruorice ( ) n N( ) n n ( )( ),nd x a < idininegalitateastng deducem ( ) nj jx a < ,1, j p = , adic ( )limnj jnx a= ,1, j p = . Dinconvergenacomponentelordeducemcpentruorice0 >exist astfel ca( ) , 1,...,jn j = N p ( )jn n s avem ( ) nj jx ap < . Dac ( ) ( )1,...,maxjj pn=n = ,atuncipentruorice( ) n n ( )( ),nd x a pp < = . Observaia O reformulare a acestei teoreme stabilete c, n spaiul, convergena este echivalent cu convergena n spaiul coordonatelor. pRTeorema 2.5 (completitudinea - Banach14) Spaiulmetric ( )2, ,pd p R 2estespaiumetriccompletsauechivalent un ir ( )( )n pnx Reste convergent dac i numai dac este fundamental. Demonstraie Dacirul ( )( )n pnx R esteconvergent,printeoremaanterioar, deducem c toate componentele sale sunt convergente. Cum (, R) este spaiu metriccomplet,printeoremaluiCauchy,deducemctoatecomponentele irului ( )( )n pnx R suntfundamentale,adicpentruorice,exist0 >( ) , 1,...,jn j = N pastfel nct pentru orice( ) ,jk n / , ( ) ( ) kj jx x ,exist ( )1,...,maxjj pn n== Nastfelnct pentru orice( ) , k n / , 14 tefan Banach, 1842-1945, matematician polonez 24( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 1 2 21, .pk k k k ki i p pid x x x x x x x x x x p== < + + + ( ) n N astfel nct pentru orice( ) , k n / , ( ) ( )( ),kd x x ,putemgsinumrulnaturalminimce minnsatisface relaia ( ) ( )( )0 1min0 1, 1log 11 ,ncd x x cc nc dx x < = + efectundu-seatteaiteraiicteindic.nacestcazpunctulfix minn x este aproximat cu eroarea . Propoziia 2.6 (Criteriu de convergen) Dac irurile reale( )( ) ( ) ( ), , ,pn nn na d b R RR au proprietile: (i) astfel nct 0, n a N ( ) ,n nd a a b < , 0n n , (ii),lim 0nnb =atunci.limnna a =n continuare prezentm cteva rezultate utile n spaiul ( ), R . Teorema 2.8 (Weierstrass) Orice ir ( ) ( ),nnx Rmonoton i mrginit este convergent. Teorema 2.9 (Stolz15 - Cesro16) Dac irurile reale ( ) ( ) ( ),n nn nx y R,au proprietile (i)( )nnyeste strict monoton i nemrginit, (ii) 11limn nnn nx xy y++ =/ R , atuncilimnnnxy = / . Propoziia 2.7 (criteriul cletelui) Dac irurile reale ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n nn n nx a y Rau proprietile (i) astfel nct 0n Nn n nx a y 0n n , =

(ii),lim limn nn nx y = / 15 Otto Stolz, 1842-1905, matematician austriac 16 Ernesto Cesro, 1859-1906, matematician italian 27atunci.limnnx = /Propoziia2.8Dacirul( ) ( ),nnx+R areproprietateacexist 1limnnnxx+= / R, atunciexistlimnnnx i are loc egalitatea 1lim limnnnn nnxxx+ = , exist 0, 1lim, 1nnxl< = >/. Definiia 2.9 Fie irul ( ) ( ),nnx R .Notm i,n infn kk ny x= supn k. Observm c, in ny z n Nk nz x= N( )1 1inf ,n n ny y x y+ + n= iar( )1 1sup ,n n n nz z x z+ += . Prinurmareaulocinegalitile 1 1... ...n n ny y y z+ 1z ,adic irurile( ) ( ) ( ),n nn ny z R,sunt convergente ilim limn nn ny z . Numerele ( )1lim sup inf : limn n nxn n mn my x= = i 1lim inf sup : limn n nn m nn mz x x = = senumesclimitinferioarsaucelmaimicpunctlimit,respectivlimit superioar sau cel mai mare punct limit al irului( )nnx . Acestelimiteexistchiardacirul( )nnx nuesteconvergent.Teorema urmtoare prezint o legtur ntre aceste limite i convergena irului( )nnx . Teorema 2.10 Un ir ( ) ( ),nnx Reste convergentlim limn nnnx x = / = . Demonstraie , cu0 > n N0 nx x < ,n n 01inf sup limj n n nj nn nx x y y x = = = /i 01sup inf limj n n nn nj nx x z z x+ = = = L0x L x + /0 02 L x x + + = / ,0 L > = / . FieL c = = / R, atunci0 >avem 1supnny = / celmaimicmajorantallui( )nny nueste majorant pentru( /)nny p N astfel nct p jy x < / ,j p . Analog se obine un astfel nctqNq jL z x+ < ,j q . CumL c = = /deducem jc x c < < + , p jy x < / ,( )max , j n p q > = . 281.4 Spaiu normat. Spaiu prehilbertian. Spaiu Banach Definiia2.1FieEunK-spaiuvectorial(Keste,sau ).NumimR CnormpespaiulvectorialrealEaplicaiacareareurmtoareletrei: f E Rproprieti: 1)( ) . 0 x E f x i( ) 0 0 f x x E = = ; (pozitivitate) 2)( ) ( ) . , x E f x = R f x ; (omogenitate) 3)( ) ( ) () , . xy E f x y f x f y + + , (inegalitatea triunghiului) i notm( ) f x x = . Spaiul vectorial real E nzestrat cu norm se numete spaiu vectorial normat i notm (, E - ). Numrulxse citete norma lui x. DaccorpulKestecorpulnumerelorreale,spaiul( ) , X sevanumi spaiu normat real. DaccorpulKestecorpulnumerelorcomplexe,spaiul( ) , X seva numi spaiu normat complex. ExemplunspaiulEuclidian ( ), ,n< > R numimnormavectorului nxRnumr real 2 21 2, ...n2x x x x x x = < > = + + + Observaia 1.8.2 Fie( ) , X unspaiunormat.Aplicaia definitprin : d X X R( ) () ( ) X X y x y x y x d = , , esteodistan(indusde norm) pe X, de unde rezult c orice spaiu normat este spaiu metric.Reciprocanuesteadevrat.Deexemplu,mulimeanumerelorraionale este spaiu metric relativ la distana euclidian, dar nu este spaiu normat (nu este nici spaiu vectorial). Exemple 1)Dacpentruorice( ) ( )1 2, ,..., , ,nnx x x x K K K = = R = C definim urmtoarele norme in iniiniix x x x x x = == == 1112 / 1122max ; ; , atunci( ) ( ) ( ) , , , , ,1 2n n nK K Ksunt spaii normate. 292)FieAomulimenevidi() A B mulimeafunciilormrginite .Atunci: f AR () ( ) ( ) x f f A BA x= sup unde , estespaiunormatreal,iar norma definit astfel se numete norma uniform. Definiia2.2UnspaiuvectorialrealHsenumeteprehilbertiandac exisoaplicaienumitprodusscalarinotatprin: f H H R( ) , , f xy xy = , care are urmtoarele patru proprieti: 1., , , , xy yx xy = H , (comutativitate) 2., , , , , , xy z xy xz xyz H + = + , (distributivitatea fa de adunare) 3., , , , , xy xy xy H = R , (omogenitate) 4., 0, xx x H i, 0 0 xx x = = . (inegalitatea triunghiului) Spaiileprehilbertienefinitdimensionalesenumescispaiieuclidiene. Pentruoricex H senoteazx,x x = definindnacestfeloaplicaie : h H R.Sepoateverificacx,x x = areproprietilenormei,faptpentru care se numete norma lui x.Observaia 2 Putem defini pe urmtoarele operaii peste corpul nR R adunarea vectorilor( )1 1 2 2, ,...,n nx y x y x y x y + = + + + ,,,nxy R nmulirea cu scalar( )1 2, ,...,nx x x x = ,, . nx R RSepotverificaaxiomelespaiuluivectorial,adic ( ), ,n+ R estespaiu vectorialpesteiarpunctelesalesenumescvectoriiRix coordonatele vectorilor. n spaiul vectorialR( ), ,n+ Rse mai poate defini produsul scalar a doi vectori 1 1 2 2, .n n.. xy x y x y x y < >= + + + Teorem 2.1 Fie H un spaiu prehilbertian real. Pentru orice x,y H are loc inegalitatea17 , xy x y H este spaiu vectorial normat relativ la norma,: h H RPentru oriceare loc relaia , xy H 18 ( )2 2 222x y x y x y + + = + . Teorem2.2ntr-unspaiuprehilbertianrealaulocurmtoarele dou proprieti: 17 Inegalitatea lui Schwarz. 18 Regula paralelogramului. 30, x y x y xy x y + = + = |; , , xy x y y x = = R . Definiia 1.8.3.Unspaiunormatcareestemetriccompletrelativladistanaindusde norm se numete spaiu Banach. Un spaiu Hilbert19 este prin definiie un spaiu prehilbertian complet. n particular, orice spaiu euclidian este spaiu Hilbert. Exemple 1) este un spaiu Banach relativ la norma euclidian: nR( ) ( )2 2 21 2 1 2... , , ,...,nn nx x x x x x x x = + + + = R . 2)Fiemmulimeairurilormrginitedenumerereale.Pentruorice ( ) ,nnx x x=Nm aplicaiasupnnx x=Nesteonormpemicuaceasta mdevine un spaiu Banach. 3)Fiecmulimeairurilorconvergentedenumerereale.Pentruorice ( ) ,nnx x x=Nc aplicaiasupnnx x=N este o norm pe c i cu aceasta c devine un spaiu Banach. Pe un spaiu normat putem defini o topologie indus de norm, astfel Definiia 1.8.4. Fie( ) , Xun spaiu normat iX a . Mulimea( ) { } ( ) , Ba r x X x a r r = < > 0 senumetebiladeschisde centru a i raz r. Mulimea( ) { } ( ) , B a r x X x a r r = > 0 senumetebilanchisde centru a i raz r. Observaia 1.8.5 Topologia asociat normeieste: ( ) ( ) ( ) { } { } , 0 pentru care , D X x D r Bx r D = > . Prinurmareperechea( ) , X esteunspaiutopologiciputemdefini noiunea de convergen a unui ir. Fie( ) , Xun spaiu normat, un ir din X i. ( )nnxNX a irul este convergent la( )nnxNa X i scriemlimnnx a=dac pentru orice 0 >exist numrul astfel nct pentru orice numr naturaln N n ns aib loc nx a < . 19 David Hilbert (1862-1943), matematician german, a introdus noiunea de produs scalar abstract. 311.5 Exerciii 1. Fie{ } 1, 2, 3, 4 X = . S se stabileasc care din familiile urmtoare de pri ale lui X este topologie pe X: { } { } { } { } { } { } { }1, , 1 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 4 , 1, 2, 4 , 1, 3, 4 X = D ; { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } {{ } { } { } { }}2, , 1 , 2 , 3 , 4 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 4 ,1, 2, 3 , 1, 2, 4 , 2, 3, 4 , 1, 3, 4X = D; IndicaieCum{ } { }11, 2 , 1, 3 D ,dar{ } { } { }11, 2 1, 3 1, 2, 3 = D rezultcnu este topologie pe X. 1DPentru 2Dse verific toate condiiile din definiia topologiei, deci este o topologie pe X. 2. S se gseasc un exemplu de familie infinit de mulimi deschise pentru care intersecia nu este o mulime deschis. Indicaie Seconsiderfamiliademulimideschise( ) *nnAN,pentrucare ( )*1 1, ,nA nn n = N . Atunci{ } 01= =nnAeste o mulime nchis. 3. S se gseasc un exemplu de familie infinit de mulimi nchise pentru care reuniunea nu este mulime nchis. Indicaie Seconsiderfamiliademuliminchise( ) *nnAN,pentrucare ( )*1,1 ,nA nn = N . Atunci nu este o mulime nchis.( ]10,1nnA= = 4. (principiul lui Cantor - lema intervalelor incluse) Dac irul de intervale reale nchise [ ], ,n n n1 I a b n = nnnb are proprietatea, atunci. *1,n nI I n+ N1nnI= IndicaieSobservmcdinmodulncareaufostdefiniteintervaleleavem urmtoarele *1 1 1 1,n n n na a a b b b n+ + N . irurilereale( ) fiindmrginiteimonotonesuntconvergente, adic exist( ) ,n nna blim sup , lim infn n nn nna a a b b = = = =NN. Searatuorcpentruoricenumerenaturale, jk areloc.Prin urmare, pentru orice numr natural, are loc ka b jjb j*supkka a= N. n final se obine 32***sup inf , ,k k j jjka a a b b b k j = = NNN . Pentru are loc *k j n = = N[ ]*1, ,n n nna a b b n I a b= = N. 5. Fie = ,...1,..,21, 1nA . S se determine mulimea punctelor de acumulareA. Indicaie SedemonstreazcA 0 ,adicpentruoricevecintateValui0,se verific.{ } ( ) A V 0 \Fie arbitrar i vecintatea *0N n 00 01,1Vn nV = . Rezultc{ } An n0 \1,10 0,deoarece 110 + naparine interseciei.Se arat c nu mai exist nici un punct de acumulare pentru mulimea A. Fie( )00*0 0 01ca astfel 0 ,nx N n x A x = .Seconsider vecintatea punctului, de forma 0x ( )11 1, ,0 00 0+ = + =n nx x V . Rezult, deci nu este punct de acumulare.{ } ( ) = A x V0\0xAstfel,{ } 0 = A . 6. Fie mulimea *1 1; , A x x n mn m= = + RN . S se determine mulimeaA. Indicaie Se consider mulimile( ) ( )* *1 1, ,nA x x m nn m = = + R N N . Atunci.CumA A A An n =nAn1,rezultcmulimea AnB = ,...1,...,21, 1 , 0 . Se demonstreaz incluziunea invers, adic.B A Pentruaceasta,fieunpunct( ) ( )0 0, x x A x A xnnn ,astfelnct .Cum 0lim x xnn= n n n nz y x A x + = .Fie nnz z = lim i. Rezultc nny y = limz y x + =0.DacB x z y = = = 0 00.Dacste un ir staionar i, deci ( )nny y 0 e0 lim = = z znnB y x =0. 33Rezult, astfel cB A = . 7. Fie = N n Annn n,21 2,...,22,21. S se demonstreze c[ ] 1 , 0 = A ; Indicaie Esteclarc[ ] [ ] 1 , 0 1 , 0 A A .Pentruademonstraincluziunea invers, se consider un punct[ ] ( ) { }2 101 10,1 , 0,..., 2 1 astfel ca ,2 2 2 2nnn n n nkk k k kx k=+ +x = . nconsecin,pentruoricevecintate( ) , V x x = + cu 12n > ,rezult A V , decix A , adic[ ] 1 , 0 = A . 8. Fie funcia real. S se demonstreze c : f A B R R R( ) ( ) supinf , inf sup ,x A x Ay B y Bf xy f xy . Indicaie Avem inegalitile ( ) ( ) ( ) , sup , , ,y Bf xy f xy xy A B , ( ) ( ) inf , inf sup , ,x A x Ay Bf xy f xy y B . Cum termenul din dreapta este o constant, lum n stnga supremul dup y i avem ( ) ( ) supinf , inf sup , .x A x Ay B y Bf xy f xy 9. S se demonstreze c mulimea( ) Q A = 1 , 0nu este compact. Indicaie Fie familia de mulimi deschise *1,1 ,nD nn = N astfel ca *.nnA D N Presupunnd,prinreducerelaabsurd,cAestecompact,printeorema Borel Lebesgue rezult c din orice acoperire deschis a sa, se poate extrage o subacoperirefinit,adicexistknumerenaturale 1 2...kn n n < < < astfelca 1,ikniA D= unde. Rezult c 1 2...kn nD D D n 1 ,1knnA D Ak, ceea ce este fals, deoareceAnk+11, iar 1 1, 11knk kDn n = + . Presupunerea fcut fiind fals, A nu este compact. 10.Ssearatecoricemulimedeschisneviddinsepoatescrieca reuniune numrabil de intervale nchise. ,pp R 1 34Indicaie Fiex D D =

.Prinurmareexistunastfelnct0xr > ( ) ,xBx r D . Deoarece mulimea numerelor raionale este dens n, deducem c ntre dou numere reale diferite exist cel puin un numr raional, adic exist intervalul p dimensional astfel nct R( ) ( )( )( )1, ,pk kx x x xkx I a b Bx r= = DIp Egalitateaesteevident.Pedealtpartedeoarecemulimea estenumrabilrezultcfamiliaintervalelor xx DD=p ( )xx DIestecelmult numrabil. 11. S se arate c Intersecia de mulimi compacte este o mulime compact, Reuniunea finit de mulimi compacte este o mulime compact. Indicaie Dac mulimea este nchis i mrginit pentru orice, unde I este o mulime de indici, atunci iK i I ii I Keste nchis i mrginit. Se folosete teorema Borel Lebesgue. 12.Ssearatec( ) ( ) , unde : , ,1x yd d d xyx y =+ R R R R esteunspaiu metric. Indicaie Severificimediatc( ) ( ) , 0 pentru ; , 0 d xy x y d xy x y > = =ic .( ) ( )( ) , , , , d xy d yx xy = RPentru a demonstra inegalitatea triunghiului se folosete faptul c funcia ( ) : ,1 xxx + =+R Reste cresctoare i subaditiv. Astfel are loc: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 + ++ = + = + = ++ + + + + + , Rezult c( )( ) ( )( ) ( )( ) ( , ,1 1 1 1x y y zx z x y y zd xz d xy d yzx z x y y z x y y z + = = + = ++ + + + + ) ,13.Fie( ) ( ) { },n nnX s x x x n = = = R N mulimea irurilor de numere reale. S se arate c aplicaia: , d s s R( )11,2 1n nnn n nx yd xyx y== + este o distan n spaiul X, ( )11: , ,2 1kn nk k nn n nx yd s s d xyx y= = + R , unde fixat, nu este o distan n spaiul X. 1 k 35Indicaie Fiedouirurireale.Cumirulsumelorpariale, xy X ( )11,2 1nk kn kk k kx yS xyx y== + este cresctor i mrginit superior( )11, 1,2nnkkS xy n= < NprinteoremaluiWeierstrass,exist( ) ( lim , ,nnS xy d xy= )inplus . Dac( ) ( ) , , 0,nd xy S xy n N ( ) , d xy 0 = , atunci( ) ( ) 0 , , 0,nd xy S xy n = N de unde ceea ce atrage c( ) , 0,nS xy n = N 0, 1,..., ,k kx y k n n = = N prin urmarex y = . Celelalte condiii ale distanei se verific uor folosind exerciiul precedent. Pentru se arat c exist dou iruri kd , , xy X x y astfel ca( ) , 0kd xy = . 14. S se arate c mulimea[ ] ( ) b a L ,2 a funciilor ptrat integrabile [ ]: , f a b R este un spaiu normat relativ la aplicaia [ ] ( ) ( )1/ 222, dbaf L a b f f t t = R. Indicaie Condiiile 1) i 2) din definiia normei se verific imediat.Pentru condiia 3) se utilizeaz inegalitatea( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22d 0 d 2 d db b ba a a0baf t g t t f t t f t g t t g t t + + + inndseamadesemnultrinomuluidegraduldoi,rezultc discriminantul, adic:0 ( ) ( ) ( ) ( )22 2d db b ba a af t g t t f t t g t t d 0. Extrgnd radicalul, se va obine imediat condiia 3) din definiia normei. 15.Fiedoumulimii, A B R x Rarbitrar.Ssedemonstrezecauloc urmtoarele egaliti ( )( )( )sup supsup , 0supinf , 0sup sup supA x A xx A xAxx A xA B A B+ = + > = , din definiia supremului unei mulimi, exist numerele reale astfel ca, a A b B sup sup A a A i sup sup B b B . Prin adunare, obinem sup sup 2 sup sup A B a b A B + < + +Dar ( ) ( ) sup sup sup 2 sup , 0 a b A B a b A B A B A B + + + + + < + > , adic( ) sup sup sup A B A B + +Cele dou inegaliti obinute ne conduc la ( ) sup sup sup A B A B + = + . 16. S se calculezelimn ilimn pentru irurile (i)( ) cos1nnx nn= +(ii) ( )( )1 1 213 3nnnnxn+ = + 1 + (iii) ( )11nnx an = + ,.0 a 17. S se studieze convergena irului de termen general ( )( )13 *21 21 ! 1 1, , , ,1 lnn nnnk knx nk k n n k+= = = + R N , ( )( )( )3 *21ln !1, , ! sin sin ... sin , ,ln 1 2 3nnnknx k nn n n n n = = + R N n . 18.Fieirul( ) ( )32, , , ,n n n nX x y z n*= R N alecruicomponentesunt definite prin recurenele 1 1*31 111, 03, 0,3 1 1 1, 0n n nnn n n nn n n nx y zx xy x y z y nzz x y z++++ + = >= > = + + >NS se arate c dac 1 1x y sau 1y z1sau 1z x1 , atunci pentru orice are loc 1 n >n n nx y z > > . S se arate c dac 21 1 1x z y = , atunci irul( )nnXeste convergent. Precizai limita sa. 3719. Fie X un spaiu Banach i( ) T X Lun operator liniar. Pentru() T notm prin() d distana de lala spectrul lui T,() T definit prin ()()minTd = . Artai c( )()()1 1, I T Td 20. Fie X un spaiu Banach i( ) T X Lun operator liniar. Artai c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 1 1, , ) I T I T I T I T = T 21.FieXunspaiuBanachcomplexi() : T DT X X unoperatorliniar nchis. Artai c spectrul lui T,() T este o mulime nchis pe.C22. Fie mulimea [ ] ( ) [ ] ( ) ( )20, , , , , este uniform convergentan n nnnVa b f f f C a b n f x = = R NS se arate c [ ] (, , , Va b)+ este un spaiu vectorial peste corpul( ) , , + Rn- spaiu vectorialR[ ], Va bdefinim aplicaia ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]0, d , ,bn n n nn nna, f g f x g x x f f g g Va= = = bcare asociaz fiecrei perechi( ) [ ] [ ], , , f g Va b Va b numrul real definit prin relaia anterioar, este un produs scalar n [ ], Va b . Stabilii c( ) 0, ,2nnf f V = ( ) 0, ,2nng g V = unde ( )( )2cos cos ... cos2 2 2,sin2n nn nx x xf xnxg x= =N i calculai, f gStabilii c( ) [ ] ( )22, ,1nn nnxh h V h x nx = = + R Ni calculaih . Indicaie( )sinlimnnxf xx= i( ) ( )1sin12 2n nxf x f x1 n + + deunde convergena uniform. 23.Studiaiconvergenauniformairuluidefuncii( )nnf ,definit recurent prin[ ] ( ) ( ) ( )1 0: 2, 2 , 2 ,n n nf f x f x f x+ = + = R x 38Indicaie[ ] ( ) 2 cos , 0, 2 cos 2 cos2n ntx t t f t = = i( ) ( ) ( ) 2 cos 14n n nf x f x f t = de unde convergena uniform. 24.(Stone)Studiaiconvergenauniformairuluidefuncii( )nnfdefinit de recurena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]21 01, , , 02n n nf x f x x f x n f x x x+= + = N ,1 , ir care definete un ir de polinoame ns limita sa nu este un polinom. 25.Ssearatecirul( ) ( ) [ ]1 , 0,nnf x nx x x = 1 nuesteuniform convergent ns( ) ( )1 10 0lim limn nx nf x dx f x dx = . 391.3 Spaii metrice. Topologie metric Definiia2.1FieXomulimenevid.Oaplicaie: d X X+ se numete distan sau metric pe X dac ndeplinete axiomele: (M1)( ) , 0 d xy ,, xy X i( ) , 0 d xy x y = =(pozitivitate) (M2)( ) ( ) , , d xy d yx = ,, xy X (simetrie) (M3)( ) ( ) ( ) , , , d x z d xy d yz + , , xyz X , (inegalitatea triunghiului) Perechea( ) , Xd senumetespaiumetric.ElementeledinXsenumesc puncte, iar este distana de la x la y.( y x d ,)Exemple 1) Perechea( ) ( ) , unde : , , d d d xy x y = este spaiu metric. 2) Perechea( ) ( )1 2 1 2, unde : , , d d d z z z z = este spaiu metric. 3)Perechea ( ) ( ) ( )21, unde : , ,nn n ni iid d d xy x y= = pentru este spaiu metric.( ) (n ny y y y x x x x ,..., , , ,..., ,2 1 2 1= = ) Propoziia 2.1 Dac( ) , Xdeste un spaiu metric atunci: (i)( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 1, , , ... ,n nd x x d x x d x x d x x n1, k n = + + +k,x X , (ii)( ) ( ) ( ) , , , d x z d yz d xy , , ,xyz X (iii)( ) ( ) ( ) ( ) , , , d xy d x y d x x d yy + , ,, , , xx yy X (inegalitatea patrulaterului) Demonstraie (ii) Din M3 avem ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,i, , , , ,d xz d xy d yzd yz d yx d xz d xy d xz + + = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),,, ,, ,d xz d yz d xyd yz d xz d xy ( ) ( ) ( ) , , , d yz d x z d xy (iii) Folosind (i) avem: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , d xy d x x d x y d y y + + ( ) ( ) ( ) ( ) , , , d xy d x y d x x d y y , + Schimbnd rolul luix x iy y ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , d x y d xy d x x d y y + (iii) Definiia 2.2 Fie( ) , Xdun spaiu metric ia X . 1Pentruoricesenumetebildeschisdecentruairazr, mulimea 0 r >( ) ( ){ }, , Ba r x X d x a r = < . Mulimea( ) ( ){ }, , B a r x X d x a r = senumetebilanchisdecentrua i raz r. Exemple 1) Fie spaiul metric( ) ( ) , unde : , , d d d xy x y = .Mulimea( ) ( r x r x r x B ) + = , , ,adicbiladeschisdecentruxirazr coincide cu intervalul deschis( ) r x r x + , . 2)Fiespaiulmetric ( ) ( ) ( ) ( )221 1 2 2, unde , d d xy x y x y = + 2).Atunci bila deschis de centru i raz coincide cu mulimea punctelor interioare discului cu centrul n (2 1, x x x = 0 r >( )2 1, x x x =i de raz r. 3)Fiespaiulmetric ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 231 1 2 2 3 3, unde , d d xy x y x y x y = + + 2. Atunci bila deschis de centru( )3 2 1, , x x x x =i raz coincide cu interiorul sferei centrate n 0 r >(3 2 1, , x x x x ) =i de raz r. Observaia1Mulimea...n= esteformatdintoatesistemele ordonatedepuncte( )1 2, ,...,nx x x .Elementelelui( )1 2, ,...,nnx x x x = se numesc puncte, iar numerele ixse numesc coordonate de rang i a punctuluix . Mulimea se mai numete spaiu aritmetic cu n dimensiuni. n

Exemplul 1 n mecanica analitic a lui Lagrange spaiul cu n dimensiuni aparenstudiulmicriiunuisistemdepunctemateriale;nfiindnumrul gradelor de libertate. Observaia 2 Putem defini pe urmtoarele operaii peste n adunarea vectorilor( )1 1 2 2, ,...,n nx y x y x y x y + = + + + ,,,nxy nmulirea cu scalar( )1 2, ,...,nx x x x = ,,. nx Sepotverificaaxiomelespaiuluivectorial ( ), ,n + estespaiu vectorialpesteiarpunctelesalesenumescvectoriiix coordonatele vectorilor. Definiia 1 n se mai definete produsul scalar a doi vectori n

1 1 2 2, .n n.. xy x y x y x y < >= + + + cu proprietile (i), , xy yx < >=< >,(comutativitate) (ii), , xy y yx x z < + >=< > + < > (distribuitivitatea fa de adunare) (iii), , xy y < >= < > x(omogenitate) (iv), 0 x x < > , i nx , 0 0 x x x < > = =(pozitivitate) 2Definiia2Spaiulvectorialncares-adefinitunprodusscalarse numete spaiu Euclidian cu n dimensiuni. n

Definiia3nspaiulEuclidian ( ), ,n< >numimnormavectorului nxnumr real 2 21 2, ...n2x x x x x x = < > = + + +ce are proprietile (i)0 x , i nx 0 x x 0 = = , (pozitivitate) (ii)x y x y + + ,, (inegalitatea triunghiului),nxy (iii)x x = ,, nx . (omogenitate) Definiia 4 Un spaiu vectorial pe care s-a definit o norm cu proprietile precedente senumetespaiunormat.ntr-unspaiunormatdefinimdistanadintredou puncte ca fiind( ) , d xy x y = . Definiia2.3nspaiulmetric ( )2, ,nd n 2senumeteintervaln dimensional, mulimea ( ) { }1 2 1 1 1... ,..., ,...,n n n nI I I I x x x I x I = = unde kI ,1, k = n este un interval (latura intervalului I) pe dreapta real. Dupcumintervalele kI sunttoatenchise,deschise,mrginite,spunem c intervalul I este nchis, deschis, mrginit. Definiia2.3SpunemcdoumetricidefinitepeaceeaimulimeX, 1 2, : d d X X+ sunt echivalente i scriem dac: 1d d 202, >astfel nct 2 1d d d . Teorema 2.1 Metricele definite prin 2, , : , 1nd n( ) ( )221,nk kkd xy x y== ,( )1,nkkkxy x= = yi ( )1,, maxk kk nxy x=y = , sunt trei metrici echivalente pe spaiul nX =. Demonstraie Se arat c are loc irul de inegaliti ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , xy d xy xy xyn ,nxy ,. Observaia2.1ntr-unspaiumetricsepoateintroduceotopologiecu ajutoruldistanei,numittopologiametric( ) ( ), ,dXd X D .nacestsens este necesar s definim mulimile deschise. 3Definiia2.4Fie( ) , Xd unspaiumetric.Spunemcmulimea estedeschisinotmdacpentruoricepunct D X dDD a D ,exist astfel nct 0 r >( ) , Ba r D . Teorema 2.2 Familia de mulimi dD at din, X form i toate mulimile D definite mai sus formeaz o topologie pe( ) , Xd . Spaiul metric( ) , Xdeste un spaiu topologic separat. Demonstraie (i).,dX D(ii) Fie nevide (dac este una vid). 1 2,dDD Di dD DFie 0 1 2x D D 0 1x D i 0 2x D astfel nct1 2, r r > 0( )0 1 1, Bx r D i( )0 2 2, Bx r D . Notm cu( )1 2min , r r r =i gsim( )0,iBx r D ,1, 2 i = ( )0 1 2, Bx r D D 1 2 dD D D . (iii) Fie o familie oarecare( )kk JD Dd. Vom arta c. k dk J DDVom presupune c cel puin una este nevid. Fie kk Jx Drezultc 0k J astfelnct 00 k dx D D i astfel nct 0 r >( )00,k kk JBx r D D deci( )0,kk JBx r D, adic. dk J DDDefiniia 2.5Ovecintateapunctului 0x X ,nspaiultopologic( ),dX D esteo mulime Vcu proprietatea cX 0 r >astfel nct( )0, Bx r V . Dinpropoziiaurmtoarededucemcoriceintervalndimensional mrginit i deschis ce conine pe a este la rndul su o vecintate. Propoziie Orice bil( ) , Ba rdeschis, include un interval n dimensional mrginit i deschis ce conine pe a i reciproc orice interval n dimensional, mrginit i deschis care conine pe a include o bil deschis( ) , Ba r . Demonstraie . Fie( )rS ao sfer deschis( ) ( ) ,rx S a d x a r rastfel nct.( ) r x B A ,0 Propoziia 1.6.10. 5ntr-un spaiu metric orice ir convergent este mrginit. Definiia2.7Spunemciruldepuncte( ) ( ) ,nnx Xd esteunir Cauchysaufundamentaldacpentruorice0 > ,existastfelnct oricare cu n, m n , m n n ( ),n md x x < . Definiia 2.8 Spaiul metric( ) , Xdeste complet relativ la distana d dac orice ir Cauchy( )nnx X este convergent n( ) , Xd , adiclimnnx x X = . Exemplu (i)Vomartac( ) , dcumetrica( ) , arctg arctg d xy x y = esteun spaiu metric dar nu este spaiu metric complet. Faptul c d este o metric, este clar. Vom arta c, n aceast metric, irul de termen general nx n =este fundamental dar nu este convergent. ( )( )( ) ( ), arctg arctg1 arctg arctg 01 1n p nnd x x n p np pnn p nn p n+= + == + + + + Dar( )nnxnu este convergent. Vom presupune prin absurd c( )*lim lim , 0n nn nx a d x a = = . ( )1, arctg arctg arctg arctg 01nnn ad x a n ana a= = + contradicie. Pentru raionamentul este similar doar c0 a = ( ) lim , 02nnd x= . Propoziia 2.3 ntr-un spaiu metric( ) , Xdorice ir convergent este ir fundamental. Demonstraie Fie( )nnx X , nx a X un ir convergent, adic 0 > , astfel nctn n n avem( ),nd x a < . Dar,n p n n+ > p( ),n pd x a+ < ,prinurmarepentruorice numere i rezultn n p( ) ( ) ( ), , ,n p n n p nd x x d x a d x a+ +2 + < . Propoziia 2.4 Orice ir Cauchy (fundamental)( )( ) 2, ,pnn1 x d p este mrginit. Demonstraie 6Vomdemonstraafirmaianumaipentru ( ) ( ),nnx = earmnnd adevratipentrucazul( )( ), ,pnn1 x d p .Fieun ( ) ( ),nnx = un irfundamental,adicpentruorice0 > ,existnastfelnctpentru orice in n pn p nx x+ < . Lum,1 =1n n =1 11n p nx x+ < + ,p N ,faptcearatc mulimea infinit { }1 11, ,...n nx x+ este mrginit. Daclum { }11 2max , ,...,nM x x x = ,atunci { }1max , 1nM Mx = + are proprietatea c,nx M n . Propoziia 2.5 (Cesro1) Orice ir mrginit de numere reale( )nnxconine un subir convergent. Demonstraie Fie{ }1 2, ,..., ,... , 1pnA x x x p = esteinfinitimrginit.Prin teorema Weierstrass Bolzano obinem ( )ppnnA A x A x A astfel nctlimppnnx x= . Teorema 2.3 (i)Oricesubiralunuiirconvergentdenumererealeesteconvergent ctre aceeai limit. (ii)DacunirCauchy( )nnx areunsubirconvergentctre ( ), ,pa d p 1 , atunci irul( )nnxeste convergent ilimnnx a= . Demonstraie (ii) Fie irul( )nnxfundamental i subirul ( )ppnnxconvergent la pa . Prinurmarepentruoriceexist0 >( )1 2max , n n n = astfelcapentru orice s rezulte,pn n n( )( ) ( ), , ,p pn n n nd x a d x x d x a 2 + < . Teorema 2.4 (Cauchy2)Unir ( ) ( ),nnx esteconvergentdacinumaidaceste fundamental sau echivalent spaiul ( ), este spaiu metric complet. Demonstraie 1 Ernesto Cesro, 1859-1906, matematician italian 2 Augustin Louis Cauchy, 1789-1857, matematician francez 7 Cum ( ), esteunspaiumetric,prinpropoziia2.14rezultc dac( )nnx este convergent, atunci el este fundamental. Dac( )nnxeste fundamental( )nnx este mrginit conine un subir convergent ( )nnx este convergent. Teorema2.6Condiianecesarisuficientcaunir ( )( ) ( ) 2, ,n pn1 x d p saibcalimitpunctul pa ,adic ( )( )1 2lim , ,...,n ppnx a a a a= = ,estecatoatecomponentele ( )( ), 1,...,njnx j =pale irului ( )( )nnxs fie convergente i s existe relaiile ( )lim ,nk knx a= 1: k p = . Demonstraie Vom utiliza dubla inegalitate ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )2 21 1 1 1, ... ...n n n n n nj j p p p px a d x a x a x a x a x a = + + < + + Dac ( )limnnx a= , atunci pentru orice0 > , exist astfel nctpentruorice ( ) n ( ) n n ( )( ),nd x a < idininegalitateastng deducem ( ) nj jx a < ,, adic ( )limnj jnx a= ,1, j p = .1, j p =Dinconvergenacomponentelordeducemcpentruorice0 >exist astfel ca( ) , 1,...,jn j =p ( )jn n s avem ( ) nj jx ap < . Dac ( ) ( )1,...,maxjj pn=n = ,atuncipentruorice( ) n n ( )( ),nd x a pp < = . Observaia Propoziia aceast arat c convergena n spaiul este echivalent cu convergena n spaiul coordonatelor. p

Teorema 2.5 (completitudinea - Banach3) Spaiulmetric ( )2, ,pd p 2estespaiumetriccompletsauechivalent un ir ( )( )n pnx este convergent dac i numai dac este fundamental. Demonstraie 3 Stefan Banach, 1842-1945, matematician polonez 8Dacirul ( )( )n pnx esteconvergent,printeoremaanterioar, deducem c toate componentele sale sunt convergente. Cum (, ) este spaiu metriccomplet,printeoremaluiCauchy,deducemctoatecomponentele irului ( )( )n pnx suntfundamentale,adicpentruorice,exist0 >( ) , 1,...,jn j =pastfel nct pentru orice( ) ,jk n , ( ) ( ) kj jx x ,exist ( )1,...,maxjj pn n== astfelnct pentru orice( ) , k n ,( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 1 2 21, .pk k k k ki i p pid x x x x x x x x x x p== < + + + < ..

Dac irul ( )( )n pnx este fundamental, deducem c pentru orice , exist0 > ( ) n astfel nct pentru orice( ) , k n , ( ) ( )( ),kd x x

. Definiia 2.9 Fie irul ( ) ( ),nnx .Notm i,n infn kk ny x= supn k. Observm c, in ny z n k nz x= ( )1 1inf ,n n ny y x y+ + n= iar( )1 1sup ,n n n nz z x z+ += . Prinurmareaulocinegalitile 1 1... ...n n ny y y z+ 1z ,adic irurile( ) ( ) ( ),n nn ny z ,sunt convergente ilim limn nn ny z . Numerele ( )1lim sup inf : limn n nxn n mn my x= = i 1lim inf sup : limn n nn m nn mz x x = = senumesclimitinferioarsaucelmaimicpunctlimit,respectivlimit superioar sau cel mai mare punct limit al irului( )nnx . Acestelimiteexistchiardacirul( )nnx nuesteconvergent.Teorema urmtoare prezint o legtur ntre aceste limite i convergena irului( )nnx . Teorema 2.10 Un ir ( ) ( ),nnx este convergentlim limn nnnx x == . Demonstraie , cu0 > n 0 nx x < ,n n 01inf sup limj n n nj nn nx x y y x = = = i 01sup inf limj n n nn nj nx x z z x+ = = = L0x L x + 0 02 L x x + + = ,0 L > =. FieL c = = , atunci0 >avem 1supnny =celmaimicmajorantallui( )nny nueste majorant pentru( )nny p astfel nct p jy x < ,j p . Analog se obine un astfel nctqq jL z x+ < ,.j q CumL c = = deducem jc x c < < + , p jy x < ,( )max , j n p q > = . Exemplu S se calculezelimn ilimn pentru irurile (i)cos1nnx nn= + 12(ii) ( )( )1 1 213 3nnnnxn+ = + 1 + (iii) ( )3 11nx an = + ,.0 a Aplicaii 1. S se studieze convergena irului de termen general ( )( )13 *21 21 ! 1 1, , , ,1 lnn nn nk knx nk k n n k+= = = + , ( )( )( )3 *21ln !1, , ! sin sin ... sin , ,ln 1 2 3nnnknx k nn n n n n = = + n . 2. Fie irul( ) ( )32, , , ,n n n nX x y z n = *ale crui componente sunt definite prin recurenele 1 1*31 111, 03, 0,3 1 1 1, 0n n nnn n n nn n n nx y zx xy x y z y nzz x y z++++ + = >= > = + + >

S se arate c dac 1 1x y sau 1y z1sau 1z x1 , atunci pentru orice are loc 1 n >n n nx y z > > . S se arate c dac 21 1 1x z y = , atunci irul( )nnXeste convergent. Precizai limita sa. 13Datoritimportaneideosebitenaplicaiiprezentmcalectur suplimentar cteva elemente din teoria irurile recurente. Definiia 2.10 Se numete recuren real de ordinul o relaie de forma: *k `( )*1 2, , , ,..., 0, ,n n n n kf nx x x x n k+ + += ` `\ `(0.1) undefunciaiarmulimeainacestcaz spunem c un irul(1:kf D + ` , ,nD x D n \)nnx \ este definit prin recurena (0.1). Definiia2.11Vomnumisoluiegeneralarecurenei(0.1),mulimeatuturor irurilor de numere reale care satisfac aceasta recuren. Definiia 2.12 Dou recurene reale: ( )( )*1 2*1 2, , , ,..., 0, ,, , , ,..., 0, ,n n n n kn n n n kf nx x x x n kg nx x x x n k+ + ++ + + = = ` `` ` se numesc echivalente dac i numai dac au aceai soluie general. Definiia2.13Senumetesoluieparticulararecureneireale(0.1)unirde numere reale( )nnx \ care verific aceast recuren i satisface condiia iniial: , , 0,..., 1i i ix a a i k = = \ Definiia2.14Fiinddateiruriledenumerereale( ) ( ) ,n nn na b \,senumete recuren real liniar de ordinul nti o relaie de forma: 1,n n n nx a x b n+, + = `(0.2) Definiia 2.15 Recurena: 10, ,n n nx a x n+ + = ` (0.3) se numete recuren liniar i omogen de ordinul nti asociat recurenei (0.2). Definiia 2.16 Fiind dat irul de numere reale( )nnb \, o recuren de forma: 1, ,n n nx a x b n a+ + = ` \ se numete recuren liniar de ordinul nti cu coeficieni constani. Propoziia 2.8 Orice soluie particular( )nnd \a recurenei: 1, ,n n n nx a x b n+ + = `definit de condiia iniiala 0d = \ este unic. DemonstraiePresupunemprinabsurdcexistdousoluiiparticulare a recurenei din enun care verific aceeai condiie iniiala i care sunt diferite, adic. Deoarece aceste iruri verific recurena din enun, avem: ( ) ( ) ,n nn nd c \( ) ( )n nnd c n11, ,, ,n n n nn n n nd a d b nc a c b n+++ = + = `` de unde, deducem: ( )1 1, ,n n n n nd c a d c n+ + = `Cum 0 0d c = = \dinultimarelaieobtinem,n nd c n = `ceeace contrazice presupunerea c( ) ( )nnd c nn. Cu aceasta propoziia este demonstrat. Propoziia2.9Dac ( )0nnx esteosoluieparticulararecureneiliniare(0.2)i ( )nnxeste soluia ecuaiei omogene asociate, atunci irul( )nnx \ definit prin: 0,n n nx x x n = + ` este soluia general a recurenei liniare (0.2). DemonstraieFieX mulimeatuturorirurilordenumererealecareverific recurenaliniar(0.2)imulimeatuturorirurilordenumererealecareverific recurenaliniaromogen(0.3).Snotmcu YM mulimeatuturorirurilordenumere realeunde( )nnx \0,n n nx x x n = + `iunde( )nnx Y iar ( )0nnx esteosoluie particular a recurenei (0.2). Vom demonstra cX M = . ntr-adevr, fie irul( )nnx M . Rezult c exist irul( )nnx Y i exist ( )0nnxo soluie particular a recurenei neomogene (0.2) astfel nct 0,n n nx x x n = + `.Prin urmare: ( )0 0 0 01 1 1 1 10 ,n n n n n n n n n n n n n n n nx a x x x a x x x a x x a x b b n+ + + + ++ = + + + = + + + = + = ` ceea ce arat cM X . Fieacum( )nnx X ,adicirul( )nnx verificrecurenaliniar(0.2)ifieirul 0,n n nx x x n = `. n aceste condiii, avem: ( ) ( )0 0 0 01 1 1 1 10,n n n n n n n n n n n n n n n nx a x x x a x x x a x x a x b b n+ + + + ++ = + = + + = = `Prinurmareirul( )nnx Y astfelnct 0,n n nx x x n = + `ceeacearatc ( )nnx M , deciX M . DeoareceamdemonstratcX M iM X rezultcX M = iastfel propoziia este demonstrat. Teorema2.11Fie( ) ( ) ,n nn na b \iruridenumererealeastfelnct . Atunci soluia general a recurenei liniare de ordinul nti neomogene *0,na n `*1, ,n n n nx a x b n+ + = `are termenul general: ( )( )*1 11 1111kn nnkn k kk kppbx a xa+= == = + ` , n(0.4) unde 1xeste o constant real arbitrar. Demonstraie1.Considerm irul(definit astfel:)nnc( )11111i1 , 2nnn kkc c a n== = Fie irul unde( )nny*,nnnxy nc= ` . Recurena dat n enun devine: *1 1,k k k k k kc y a c y b k+ + + = `Dac inem seama c din relaia precedent deducem: *1,k k ka c c k+ = `( )*1 1,k k k kc y y b k+ + = `Deoarece din relaia de recuren precedent obinem: *,kc k \*`*11: ,kk k kkby y d kc++ = = `Prin urmare avem: ( )* *1 1 11 1 1, ,n n nk k k n kk k ky y d k y y d k+ += = = = = + ` `* * 11 1 1 11 11, ,n nnk n n kk knxx d k x c x d kc ++ += =+ = + = + ` `( )( )*1 11 1111 ,kn nnkn k kk kppbx a xa+= == = + ` ni teorema este demonstrat. 2.Scriem c irul( )nnxverifica relaia de recuren ncepnd cu 1 i pn la.n2 1 1 11 11...............................n n n nn n n n1x a x bx a x bx a x b ++ = + =+ =(0.5) i eliminm ntre aceste relaii pen2 3 1, ,..., , .n nx x x x Pentru aceasta nmulim a1 n -a egalitate cu( ) 1na , egalitatea a2 n -a cu( )211n na a , egalitatea a -a cu ,, egalitatea a3-a cu( )3 n ( )311n n na a a 2 4311 ...nn na a a , egalitatea a doua cu iarprimaegalitatecu( ) ( )21 41 ...nn na a a a 311 4 3 21 ...nn na a a a a i adunm egalitile obinute. Rezult egalitatea: ( ) ( )1 11 1 2 1 1 1 31 ... 1 ...n nn n n n 2x a a a x b a a a a + + = +( ) ( )2 32 1 4 3 3 1 5 41 ... 1 ... ...n nn n n nb a a a a b a a a a + + + +n ( ) ( ) ( )3 2 13 1 2 2 1 11 1 1n n n n n n n n nb a a a b a a b a b + + + +de unde deducem( )( )*1 11 1111 ,kn nnkn k kk kppbx a xa+= == = + ` nceea ce trebuia demonstrat. 3.S gsim mai nti soluia general a ecuaiei omogene asociate: * *1 10, ,n n n n n nx a x n x a x n+ ++ = = ` `Scriind relaia de recuren de la 1 pn la i nmulind cele relaii, obinem:n n( ) ( ) ( )* *1 1 11 1 1 11 , 1 1 ,n n n nn n nk k k n k kk k k kx a x n x x a d a+ += = = == = = ` ` nunde este o constanta arbitrar.d \Pentruadeterminaosoluieparticulararecureneineomogenedinenun,vom folosimetodavariaieiconstanteialuiLagrange1.Soluiaparticularesteirul ( )0nnx , unde termenul general al acestui ir este: ( )110 *11 ,nnn n kkx d a n== `nlocuind n recurena neomogen din enun, deducem: ( ) ( )11*11 11 1 ,n nn nn k n k nk kd a d a b n+= = + = `( ) ( )* *1 1 111 2 1 21 1, ,... ...n knn kn n nkn kb bd d n d d na a a a a a+ += = = + ` `Prin urmare: ( )( )0 *1 1 11 1111 ,kn nnkn n k kk kppbx x a d na+ += == = = + `Rezult c: ( )( )0 *1 1 1 11 1111 ,kn nnkn n n k kk kppbx x x a x na+ + += == = + = + `i teorema este demonstrat. Observaie2.3Pentruastabilicerinadinenunulteoremeianterioaresepoate rezolvasistemul(0.5)formatdincelerelaiicaunsistemCramer n2nnecunoscutele 2 3 1 1, ,..., , ,n n nx x x x x + determinnd efectiv doar pe 1 nx +. Ca aplicaii immediate ale acestei teoreme vom demonstra dou teoreme care pot fi folosite n rezolvarea unor probleme. Teorema 2.12 Fie( )nna \ un ir de numere reale cu proprietile: ,( )*1, 0 ,na n `( ]lim 1, 0nna a = 1 Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813, matematician francez 2 Gabriel Cramer, 1704-1752, matematician elveian Atunciirul( )nnx definitderelaiaderecuren 1,n n n nx a x b n+, + = ` este convergent dac i numai dac irul( )nnb \ este convergent. Demonstraie Dac irul( )nnxeste convergent ilimnnx x = \atunci ( ) ( )1lim 1 limn n nn nnx a x x a b+ + = + =i deci irul(este convergent.)nnbReciproc,dacirulesteconvergenti( )nnb limnnb b = \atunciirul( )nnx este convergent.ntr-adevar,nconformitatecunotaiiledindemonstraia1ateoremei anterioare avem: 11 * 11 1 1111,1nknk k kn nkknbxb cx c x ncc= ++ +=+++ = + = `isuntndeplinitecondiiiledeaplicabilitatealeteoremei Cesaro-Stolz,irul ( )1nnc fiind strict cresctor i nemrginit. Prin aplicarea acestei teoreme obinem: 1111 11 11 1 12 1lim lim limknnkk nnn n nn nx b cb cxc c++= ++ + ++ = =21nc+=) ( ) (112 2 1lim lim 1 1n n nn nb c c a b a+ + + = + = + i cu aceasta teorema este demonstrat. Teorema 2.13 Dac( ) ( ) ,n nn na b \ sunt iruri de numere reale cu proprietile: * *,na n \ `( )( ) 1 2lim 1 ...nnna a a = ( )111limknkknkppbsa== = \ iar irul( )nnxdefinit de relaia de recuren 1,n n n nx a x b n+, + = `este convergent, atunci 1x s = . Demonstraie Deoarece( )( ) 1 2lim 1 ...nnna a a = i ( )( )1 11 111lim lim 1 ,kn nnkn k kn nk kppbx a xa+= == = + \rezult: ( ) ( )1 11 11 11 1lim 0 limk kn nk kk kn nk kp pp pb bx x sa a= == = + = = = i cu aceasta teorema este demonstrat. nainte de a ne ocupa de unele aplicaii ale celor demonstrate mai sus vom ncerca unele extinderi ale acestor rezultate la cazul irurilor de numere complexe. Teorema 2.14 Fie irul( )nna ^ cu proprietile: * *,na n ^ `( )*0,1astfel incat,nr a r ` nlim , 1nna a a = ^ n acest caz ecuaia (0.12) admite rdacini reale i distincte 1,2 1 2, r r r \Lema 2.2 irurile( )i nnv`( )nnw` definite prin1 2, ,n nn nv r w r n = = `sunt liniar independente peste\. DemonstraieFierelaialiniara0,n nAv Bw n + = `.Scriemrelaiapentru i obinnd sistemul liniar omogen:0 n = 1 n =1 200A BAr Br+ = + = al crui determinant este nenul deoarece 1r r2 . Prin urmare soluia sistemului este numai soluia banal, adic irurile sunt liniar independente peste.\Din lema 2.1 rezult imediat urmtoarea Propoziie2.11Soluiageneralarelaieiderecurenliniaredeordinuldoi (0.11)este:1 1 2 2 1 2, , ,n nnu c r c r n c c = + ` \ unde constantele se determin din condiiile initiale. 1 2, c c \ExempluS se determine termenul general al irului Fibonacci4 definit prin recurena liniar de ordinul doi: ( )nnf`1 1 0, , 0,n n nf f f n f f+ = + = = `11 Ecuaia caracteristic este: 21 r r = +iar radcinile ei sunt 1,21 52r= . Soluia general a relaiei de recuren este: 1 2 11 5 1 5, , ,2 2n nnf c c n c c + = + ` \2 unde constantele reale se determin din condiiile iniiale: 1 2, c c1 211 2150 051 5 1 51 152 25n c ccn c cc= = + = + = = + = Prin urmare termenul general al irului( )nnf` este: 5 1 5 5 1 5,5 2 5 2n nnf + = ` n(0.13) Observaie 2.6 Se constat imediat c: 11 15 3121 5 1 5, lim2 25 312nn nnnn nf fn sif f++ + + + = = = ` : Cazul 24 0 b ac = + =n acest caz ecuaia (0.12) admite rdcini reale i egale 1,2 1 2, 0 r r r = = \Lema 2.3 irurile( )i nnv`( )nnw` definite prin, ,n nn nv w n n = = ` sunt liniar independente peste\. DemonstraieFierelaialiniar0,n nAv Bw n + = `.Scriemrelaiapentru i obinnd sistemul liniar omogen:0 n = 1 n =00AA B = + = al crui determinant este nenul deoarece0 . Prin urmare soluia sistemului este numai soluia banal, adica irurile sunt liniar independente peste.\Din lema 2.1 rezult imediat urmtoarea 4 Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250, matematician italian Propoziie2.12Soluiageneralarelaieiderecurenliniaredeordinuldoi (0.11) este:( )1 2 1 2, , ,nnu c c n n c c = + ` \ unde constantele se determin din condiiile initiale. 1 2, c c \ExempluSsedeterminetermenulgeneralalirului( )nnx`definitprin recurena liniar de ordinul doi: 1 1 06 9 , , 0,n n nx x x n x x+ = = = `11 Ecuaia caracteristic este: 26 9 r r = iar rdacinile ei sunt. Soluia general a relaiei de recuren este: 1 23 r r = =( )1 2 1 23 , , ,nnx c c n n c c = + ` \ unde constantele reale se determin din condiiile initiale: 1 2, c c( )111 2200 011 1 33cn cn c cc== = = = += Prin urmare, termenul general al irului( )nnx` este: 13 ,nnx n n= `Cazul 24 0 b ac = + 0 ( )nnxeste:( ) ( )( ) ( )2 0 1 1 0 220 1 0 2 1, ,nn nq r x r r x rcr dx nq x r x r cr d q += +` = (0.16) 2. iar0 = este radacina dubl a ecuaiei caracteristice, atunci termenul general al irului este: ( )00, 0,, 021na dxx na dcn xa d+ = = + + ++ ` (0.17) 3., atunci termenul general al irului este:0 1 2 1 2, , r r r r \ ( )nnydefinit prin relaia: 12,nnnx ry nx r= ` nlocuind n relaia (0.14), dup cteva prelucrri algebrice elementare, se obine: 211,n nc r dy ycr d+n += +` adic irul este o progresie geometric cu raia( )nny201,nnc r dq y q ycr dn += = +`Revenind la irul( )nnxse obine (0.16). 2.Dacecuaiacaracteristic(0.15)arerdcinirealeiegale0 =1 2 1 2, , r r r r = = \ .Construimirul( )nny definitprinrelaia:,n ny x n = `.Vom obtine relaia de recuren: 12, , ,1nnny cy n ay a d+0 d= = + + +` Pentru se obine c irul0 a d + = ( )nnyeste constant egal cu zero, prin urmare i irul( )nnxeste constant egal cu . n cazul vom demonstra prin inducie ca0 a d + 00,1nyy nn y = +` . Pentruafirmaiaesteverificat.Presupunemafirmaiaadevratpentrunumrul natural. Atunci: 1 n =n( )00 0100011 111nnnyy n y yyn yy nn y + += = = + + ++ +1 y nconcluzie,prinprincipiulinducieimatematicecomplete,afirmaiaeste adevrat pentru toate numerele naturale. Reunind cele dou concluzii putem afirma c are loc (0.17). n3.Dacecuaiacaracteristica(0.15)arerdcinicomplexconjugate0 \ Aplicaie S considerm irurile( ) ( ) ,n nn nx y \ definite prin recurenele: 1 *0 01, , , , , , ,n n nn n nx a x b yn abd x c yy c x d y++= + = + ` \ \Notndcu,nnnxz ny= `deducem 01 00, ,nnna z b xz n zc z d y+ += = +` \ plasndu-neastfelnipotezeleteoremeianterioare.Dupcedeterminmtemenul general al irului( )nnzrevenim la recurenele iniiale i deducem succesiv: ( ) ( )11 00,nn n n n k n n nky c z d y y y c z d si x y z n+== + = + = ` determinnd n felul acesta termenul general al irurilor( ) ( ) ,n nn nx y \. Observaie2.12ncontinuarevomstudiacazulirurilorrecurentedeordinul nti, definite printr-o funcie Lipschitziana ( )1 0, , , :n nx f x n x f I+ = ` \ \\, adicIeste un interval real i funcia f are proprietatea: ( ) () 0, , , M xy I f x f y M x y > < . Deoareceirul( )nnx trebuiesfiebinedefinitvatrebuica.Prin urmare,vomconsiderafunciaLipschitziana Im J f = I[ ] [ ] [ ] : , , , f I a b J c d a b = = pentru care,adicfunciaesteocontracieaintervalului0 M < n contradicie cu. Prin urmare ecuaia0 M < 1 L a < < . Notnd 1supknk nkxzx+=1inf 1nnz a < < . Deoarece 1infnnz este celmaimareminorantpentruirul( )nnz rezultcanuesteminorant pentru irul( )nnz . Prin urmare exist 0n N astfel nct, adic 0nz < a001 1supk knk nk kx xz ax x+ + = < , 0k n , n consecin 1 k kx a x+ < , 0k n , adic mmx c a ,,adic irul 0n n ( )nnx estemonotoncresctorpozitivdecinuconvergelazero,adic seria 1nnx diverge. Consecina 1 Dac( )nnx C are proprietatea c irul 1 nnnxx+ este convergent i1111, atuncieste absolut convergentlim1, atuncieste divergentnnnnnnnxxxx+. De remarcat c acest criteriu nu precizeaz nimic despre natura seriei 1nnx n situaia cnd 1lim 1nnnxx+= . Exerciiu ... a ab a b a b a b a b + + + + + + + , (i) S se studieze convergena absolut a seriei 1nnx = 2 2 2 3 2 3 30 1 a b < < < . 2 a > seria(ii)Ssearatecpentru 221 ...2 2nna ax a a = + + + + + este divergent. Teorema 6 (Cauchy Hadamard4) (Criteriul radicalului) Fie( )nnx C ilim limnm nsupn nnmnL x x = =(a) DacL. < , atunci seria1nx1 n este absolut convergent. ac1nnx(b) D 1 L > , atunci seriaeste divergent. Demonstraie atunciexi 0 r > astfelnct(a)Dac1 stL < 1 L r < < ,adic 1inf sup1infnnz r< . kknk nx L r = idacnotmcu supkn kk nz x= ,o< binem Prinurmarerestemaimaredectcelmaimareminorantalirului( )nnz , deci r noran nu este mi t pentru irul( )nnz rin urmare exisastfel. P t nct, deci 0n N0nz r = ,adic1este mai mic dect cel mai mic majorant al irului( )nnz , deci 1 nu este majorant pentruirul( )nnz .PrinurmareexistnNastfelcasup 1kn kk n nkz x = >existastfel ca, adicx > , adic irul nk n 1 ( )nnxnu converge la zero i n consecin seria 1nnx este divergent. Consecina 1 Dac iru( )n( )nnx C are proprietatea c irull nkxeste convergent i 111, atuncieste absolut convergentlimnnnx= 1, atuncieste divergentnnnnxx. Deremarcatcniciacestcriteriunuprecizeaznimicdesprenatura seriei 1nnx n situaia cndlim 1nnnx= . Observaia Se cunoate c 1 1lim lim lim limn nn nn nn nnn nnx xx xx x+ + ceeacear taredectcriteriulraportului, deoare decidenaturauneiseriiprincriteriul raportuluivomputeadecidenaturaserieiiprincriteriulradicalului,dar exist situaii n care natura unei serii se poateprecizacucr dcinii atccriteriulradicaluluiestemai ceoridecteoriputemiteriulrdarnusepoateprecizacucriteriulraportului.Exemplificmaceast afirmaie prin Exemplul Fie seria numeric de termen general 1, 22nn kx1n, 2 13nn k= = = + Observmc 1lim 12nnnx= < iconformcriteriuluiradicalului,seria este convergent. Pe de alt parte, se constat c2 11 222 13lim2kkkn kxx x lim limnn k kx + = = = iar21 2 12 122lim lim lim 03kn kkn kn kx xx x+ + + = = = , adic 1 1lim 0 1 limn nnnn nx xx x+ += < < =Prin urmare, criteriul raportului nu d nici un fel de informaii despre natura seriei, n timp ce criteriul radicalului permite p aturii seriei. ObservaiaDaccriteriulradicaluluinupoatedainformaiidespre recizarea nnaturaseriei,nicicriteriulraportuluinupoateprecizanaturaseriei.Astfel acd1lnx +im 1nnx= ,atuncilim 1nnnx= inicicriteriulraportuluinicicelal radicalului nu poate preciza natura seriei. Fie seria 21 2 1 nnn . Exemplul Observm c( )22 112nn =. Prin urmare, nici criteriul raportului nici cel al rdcinii nu ne permite s precizm natura seriei. Apelnd la un criteriu de compa ie, constatm c 11lim limnx n++= 21 1n nnx n+ ra211lim12nn 2nn=armonic, adic Teorema 7 (Criteri.Astfelamartatcseriadatareaceeainaturcuseria este divergent. ul Kummer5) Fie irul( )*. (a)Dacexistirul nnx+ R( )nna+ R ,constanta0 > inumrulnatural N0nastfel nct pentru orice 0n n 1 ++1nn nnxa ax , 5 Ernst Eduard Kummer, 1810-1893, matematician german atunci seria 1nnx este convergent. c (b) Da1nna( )nna+ R ct seriaastfel neste divergent i0n N astfel nct 0n n , 10nna +1nnxax + , 1nnxatunci seriaeste dinstra generalitatea, consider . vergent. Demo ie Fr a micora 01 n =(a) Din 11n nna ax++ ,1 nnxrezult 1 1 1 n n n n nx a x a x+ + + , 1 n . d dup n deducem nsumn ( ) ( )1 1 1 1 n n nS a x a x a x + + , Deundeobinemcirul( )nnS estemrginitifiindcresctor,este convergent, adic seria 1nnx(b) Din este convergent. 110nn nxa a rezult nx++1 na +1nn nxa x +i prin al doilea criteriu de com eria paraie s1nnx este d . aleirului ivergentObservaiaPentrudiversealegeri ( )nna.Astfelpentru nteoremalui Kummersepotobinecriteriiutilenpractic se obine1na =criteriulraportului.Dac na n = seobinecriteriulluiRaabe- Duhamel iar pentrulnna n n = se obine criteriul lui Bertrand6. Consecina 1 (Criteriul Raa uhamel be7-D8) Fie( )*nnx+ R . (a) Dac1 k >i 0n N astfel ca 11nnnx +x k 0 ,n n , atunci seria 1nnx este convergent. 6 Joseph Louis Franois Bertrand, 1822-1900, matematician francez 7 Joachim Raabe, 1801-1872, matematician german 8 Jean Marie Constant Duhamel, 1797-1872, matematician francez (b) 0n N astfel nct 11nxx nn+1 < , 0n n , a nci serintu a n1xConsecina 2 (Criteriul lui Bertrand9) Fie este divergent. ( )*nnx+ Ri( ) ln ,nxn n = Dac: ( )*11 ln 1nnB n n nx ++ + N (a) existlim 0nn1 nB > , atunci seria nx este convergent. (b) existlim 0nnB< , atunci seria 1nnx este divergent. straieSeriaDemon2 ln n n n 1estedivergent.nadevr,conform criteriuluicondensriieaareaceeainaturcuseria 2 2 ln2 n 21ln2n nn n =2n careestedivergent.Folo eriuln n = se obine concluzia din teorem. raldect Gauss. sindapoicrit Kummercua lnnUncriteriumaigene criteriulluiKummerestecriteriullui Teorema 8 (Criteriul Gauss10) Dacirul( )*nna+ R areproprietateacexistconstantelereale , , , L R, 0 >i irul( ) ,nL n N ,nnRcu, astfel ca 1n na1 na nn + = + + ,n N, + i dac dac (a)1 >sau dar1 > , atunci na 1 =1 n este convergent; (b)sau dacdar1 < 1 = 1 , atuncia1nn este divergent. ieDacsauDemonstra 1 > 1 < princriteriulraportuluiafirmaia este clar. Pentru aplicm criteriul lui Raabe - Duhamel. Are loc

1 = teoremei 9 Joseph Louis Franois Bertrand, 1822-1900, matematician francez 10 Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855, matematician german 1lim 1 nnna+ na = . mne s analizm cazul Dac1 > seria esteconvergentiarpentru1 < seriaeste divergent1nna. Mai r 1 = . n acest caz constatm c ( ) ( ) ( )11 lnln 1 1 ln 1 1 ln1nn nn nB n n n n nn n n n + = + + + + = + + + . ns 2 2ln 2 ln 2 20n n2nn n nn < = < = lnlim 0nnn = . Deci lnlim 0nnnn= . Pe de alt parteceea ce antreneaz c( )lim 1 ln 1 01nnnn+ = +< . PrinurmareiconformcriteriuluiBertrandseria Exemplul S se discute natura seriei numerice ( ) ( )lim 1 0nnB= > +seria este divergent. Pentru rb a= +vom folosi criteriul lui Gauss.2nx bnx a nr2211 11na nrnrn na nr n n+r + + + = = + + + + zm Dac anali( )220122011limnna n1 lim11lim2zzra z rza z rra nrr n zra z rra z ra z raz r + + + + + + = = + + + + = = + < deducem c i n acest caz seria este divergent. Exemplul Fie seria ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 ... 1 1 ... 1! 1 ... nn nn n + + + + 1 + + unde, , suntnumererealepozitivenenule,numitseria l raportului, observm c hipergeometric. Dac aplicm criteriu( )( )212lim lim 11nn nnn nxx n n + + + + =+ + += , deci cu acest criteriu nu putem decide natura seriei. Observm ns c( )( )2211nn n211nnxx n n n n + + ++ + , += = ++ + + unde irul ( ) ( ) ( )( ) ( )3 21 1 n n + + =este un ir convergent, deci mrginit. Aplicnd criteriul lui Gauss, deducem c seria esteergent pentru +nn n n + +conv 1 1 + > > +divergent pentru1 1 + + .( ) [ ) : 0, 0, f Teorema(criteriulintegral-Cauchy)Fiefunciandescresctoare i irul( )n1x f t dt = . Seria( )1 nf nestec ( )nnx onvergentdacinumaidaciruleste conTeorema 9 (Criteriul Ermakovvergent.11) Fiefuncia( ) ( )na f n = ,: 1 f ,++ R monotondescresctoarei nN. Dac 0xcu proprietatea1 ( )( )e ex xf 1 qf x > , 0x x , i ( )1lim dxf t t < , atunci seria xn1 na este convergent; x( )1lim dxf t tnuexistsauarevaloareinfinit,atunciseria este divergentneralnusepoa aex umerice convergente. De aceea n cele mai multe cazuri se prefer s se determine o aproximatsumei seriiTeoremaFieirulx1nna. gen tecalculasum actauneiseriin a lor cu termeni pozitivi. n( )n + R iserianumeric 1nnx.Dacexist [ ) 0,1 i 0n N astfel ca 10,nn nxnx + < , atunci1n nS S x < , 11 Vassili Petrovitch Ermakov, 1845-1922, matematician rus unde S este suma seriei 1nnx( iar)nSparia3.4 Serii cu termeni arbitrari Teorema 3 (criteriul Dirichlet12) Dac irurile n este irul sumelor le.( ) ( )nnynnx C i +au proprietile: (i) R0 M >astfel nct n1 mmx M=,n N, (ii) irul( )nnayeste descresctor convergent la zero, tuncinnseria n1x y este convergentDemonstraDac k. ie n1n ks x==esteirulsumelorpariale,atuncipentrum n >avem: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 11 1 1 11 1 1 11 1............ 2mk k n n n n m mn nn n n n n m m m m mn n n n n m m m m mn n n m m mx y x y x y x yy ss y s y y s y y s ys y s y y s y y s yM y M y y M y y M y+ + + + + = + + + == = + + + + + + + + + + + + =nk n =1 1 1 1...n n n n m m ms y s s y s s + + + + + =M y Cum rezult concluzia teoremei. Exemplul Fie seria lim 0nny=( )1sin,nnxxnR. Observm c seria( )1sinnnx are irul sumelor pariale( ) { }nnS xmrginit. n adevr, dac2 , x k k Z, atunci ( ) ( ) ( )1cos xcos1 2 2sin sin 2 ... sin2 sin sin22nn xS x x x nxxx + = + + + = , 12 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859, matematician belgian iar dac2 , x k k = Z nci , atu ( ) 0nS x = . Pri zuri, iru n urmare n ambele ca l ( ) { }nnPS xe de alt parte, irul este mrginit. 1nyn=este descresctor convergent la zero. Find ndeplinitecondiiilecriteriuluiDirichlet,rezultcseria ( )1sinnnxneste convergent pentru orice. Consecina 1 (Criteriul Leibniz13) cirul x R( )nna Da+ R e otondescresctoriconvergentla nci seria alternastemonzero, atu nt( )11nnna este convergent.nplus,sumaserieisareproprietatea n n( ) ( )10 1ns s a +< < , 1 n N, unde nkn k( )1 ks a este irul sumelor pariale. ieSeobse== Demonstra rvc( )01 2knk = ,n Niseaplic criteriul lui Dirichlet. n plus 1 2 4 2 2 1 n n 3... ... ... ... s s s s s s s < < < < < < < < < astfel nct nx M ,n N, ( ( )nnxeste mrginit), (ii)( )nnxmonoton, (ii) seria 1kky este convergent, atunci seria n n1 nx y este convergenie t. Demonstra (i) i (i irul( )nnxeste nverg co ent i fielimnx Din i) deducem cnx = . Vompune corageneralitatea,cirul( )nnx presu ,frami estemonoton descre tor, convergent la zero. Cum seria sumelor sale pariale este mrginit. irichletseriei sctorx = este descrescn nz x1kky este convergent deducem c irul( )1 1 n nAplicmcriteriulDn n n ny z y x x = ,rezultc esteconvergenticombinndcu(iii)deducemcseria nseria 1n nnn ny z1x y est . ExempluVomstudianaturaseriei e convergent( )1 n1111nnn++folosindcriteriile let i Ab Dirich el, astfel dac rescriem seria dat n forma( )( )1 11n nn1111 1 1n nnnny xn nn+ ++ = _, 14 Niels Henrik Abel, 1802-1829, matematician norvegian 1unde att seria 1nny ct i irul nnxn=sunt convergente (mrginite), mai nn( ) mult irulxeste monoton cresctor. Prin urmare seria este convergent. Definiia3Spunemcseria 1nnxesteabsolutconvergentdac seria modulelor 1nnx este convergent. cseriaSpunem 1 nnxentdacseriaesteestesemiconvergonvergent dar seria modulelorcnx1 n este divergent. Spunemcseria 1 nnxestenecondiionatconvergentdacpentru orice funcie bijectiv: N N , seria ( )1 n nx este convergent; altfel seria obin ele consecine. Consecina1Dacseria se numete condiionat convergent. Din teorema lui Cauchy seimediat urmtoar1nnxesteabsolutconvergentatunciea rocanu evrat( )11nnesteconvergent,recip estead deexempluseria n ste semiconvergent deoarece seria modulelore1 n1n este divergent. ( )nnx C i( ) Consecina 2 Dac irurile nnr+ Rau proprietile: (i) astfel nct 0n Nn nx r , 0n n (ii) seria este convergent, atunci seria 1nn1 nrnx este absolut convergent. tativitateatermenilorunei sumefinitedenumerecomplexe.Prinurmare,estefirescsnentrebm 3.5 Schimbarea ordinii termenilor unei serii Estebinecunoscutproprietateadecomudaca prie incazulseriilor,cualtecuvinte dacschimbndordineadesumarentr-oserieconvergentsemodific analizmsituaiancarese artacdacseriaeste absolutconvergent,prinoriceschimbareaoridiniitermenilorseobineo serie c dinea unei infinit attserii conveceastpro tatermnevalabilnaturaseriei.ncontinuarenepropunemspermutoinfinitatedetermeniaiuneiserii.Vomonvergent i cu aceai sum., n timp ce dac schimbm oridetermeniaiuneiseriisemiconvergenteputemobinergente ct i serii divergente. Teorema O serie 1nnx este absolut convergent dac i numai dac este necondiionat convergent.ConsecinaOserie 1nnxcutermenipozitiviesteconvergentcu sumaSdacinumaidacestenecondiionatconvergent.Maimultseria obinut prin permutatea termenilor are aceeai sum cu seria iniial. Teorema (Riemann) Fie serian1 nx condiionat convergent. Atunci existeniloru suma un numr dat, t co permutare a termsi astfel nct s se obin: o serie convergent c u o serie divergen suma, o serie divergen irul sumelor pariale oscilant. ObservaiaTeoremaluiRiemannaratcseriilesemiconvergente suntcondiionatconvergente,adicnaturaacestoraestecondiionatde schimbarea oridinii termenilor seriei.t cu Defini ve entea3.6 Produsul a dou serii ia11Fiedouseriicon rgn1 nib.Numim n1 nprodusul Cauchy al celor dou serii, seria 1nnc cu termenul general = =*11 i j m k + = + =ObservaiaProdusulCauchya1,mm i j k mkc a b a b m + N . douseriiconvergentenueste totdeauna o serie convergent, dup cum se poate vedea din urmtorul nExemplulFie ( )11na bn nn= = .Conformcri uilu bnizcele dou serii sunt convergente. Observm c teriul iLei( )1*11 111 ,1n nnn k n kk kc a b nk n k += == = + N . Prin urmare *1 11,1n nnc nk n k n n= = + N1 1 k k = =adicne arat c serianlim 0nc , ceea cprodus nc1 nu este convergent. Vomartancontinuarecdacseriile 1nnaisunt convergente i cel puin una din ele este absolut convergent atunci i seria produs este convergent.Teorema 11 (Toeplitz15) Fie matricea 1nnb( ) ( ),, 1nmm nT t m n= N

31 32 33tt t t

T au urmtoarele propriet(i)Elementelecaresegsescnfiecarecoloantindctrezero, adic 1121 22t t 1 2 3 n n n nnTt t t t=

unde elementele matricei triunghiulare infinite i: lim 0nmnt= ,m N; (ii)Sumavalorilorabsolutealeelementelordinfiecarelinieeste mrginit de aceeai constant adic 0 M >astfel nct 1 2...n n nnt t t M + + + < ,. Dacirul nN( )nnx Cesteconvergentlazero,atunciirul( )nnydefinit de1 1 2 2...n n n nn ny t x t x t x = + + + este convergent la zero. 15 Otto Toeplitz, 1881/1940, matematician german Demonstraie lic Exp itnd ipotezele teoremei, deducem c 1 10,astfel ncti n n n x > < N2 astfe n N2 l nct ,nnmn n m n t < . st lucru i Folosind ace(ii) avem c pentru orice 1 2n n n n = ( )( t x + )( )1 11 11 1 2 2 1 1 2 21 1 2 21... ......... ,n n nn n n n nn nnn n n n nn nt x t x t x t x t x t xt x t x t x t xt x t x n L M + + + + + + ++ + + ++ + + < + unde ny =1 11 1...nn nt x+ ++ + +1 1 1 11 1 2 2 nn n nn n nn n + + + +0 L >astfel nct nx L < ,n N. Consecina 1 ( ) Spresupunemcelementele nmt nafaracondi i condiia iilor(i)i(ii) verific(iii) T t t t = + + + , 1 2...n n n nnnN ilim 1nnT = . Dac irul( )nnx C este convergent la a ( )limnnx a = , atunci ulir( )nnydefinit den 1 1 2 2...n n n nny t x t x t x = + + + ( )1 1 2 2lim lim ...n n n nn neste convergent la a, adicn n Demonstraie riem iruy t x t x t x a = + + + = . l( )nnysub forma:Resc( ) ( ) ( )1 1 2 2...n n n nn n ny t x a t x a t x a T = + + + + a, folosim nterioar teorema a i proprietatea irului( )nnT . 2 (Stolz16) Dac irul Consecina( )nnzeste monoton cresctor, pozitiv i nemrginit iar irul 0 111nn mn nmn mmx x x xy tz zmmz= = = 1 n nx x convergelaa,atunciirul 1 n nnz z converge la a, unde 1 m mnztmnzz=

. Demonstraie 16 Otto Stolz, 1842-1905, matematician austriac Severificcondiiile(i),(ii)i(iii)pentruirul( )nmt icumirul 11n nn nnx xFie z z este convergent la a, putem folosi consecina 1 de mai sus. Consecina 3 ( ) ( ),n nnx yn Rconvergentlazeroiar( )nny satisfacecondiia 0 M > , 1 2...ny y y M + + + ,n N.Atunciirul( )nnz R,definit prin 1 2 1 1...n n n nz x y x y x y= + + + ero. straia se bazeaz pe teorema 11 punndt y +, converge la zDemon1 nm n m= . Consecina 4 ( ) ( ),nnxnny R culimnnx a = ,b limnny = , atunci irul Dac irurile 1 2nx1 1...n n ny x yx yzn + =, adic+ + converge laab limnnz ab= . ie Vom rescrie irul( ) Demonstrann( ) ( )zsub forma ( )1 nnz =2 1 1 1 2 n n ny y yan n+ + ++ ncare teoremaiaraldo prin consecina 2.Consecina 5 irul... ... x a y x a y x a y + + + primultermentindelazeroprin11 ileatermenlaab R converge la a i atunci irul0 z > ( )nny R Dac ( )nnx , ( )0 1 2 20 1 2...n nnnC x C z x z xy + + +=1n nn n nC C z xz+ + converge la a. ib B Teorema 12 (Mertens17) Dac seriile 1nna A=n1 n= sunt convergente i cel puin una esteabsolutconvergentatunciseriaprodus 1nnccu jc a b+ = += este convergent i are suma1m ii j mC AB = . matician austriac 17 Franz Carl Joseph Mertens, 1840-1927, mateDemonstraie Admitem c seria este absolut convergent, adic seria 1nna1nna estec otmcu c c onvergent.N ...n nC c1 2= + +seriei produs, de termen general a+ irulsumelorparialeale 1 2 1 1...n n nc a b a b b n= + + .+VomdemonstracB limnnC A= .Notnd n nB B = avem n formalim 0nn = . Rescriem nC( ) ( ) ( )( ) (1 1 2 1 2 3 2 2 3 1 1 2 11 1 2 2 1 11 2 1 1......... ...n nn n nn n nb a b b a b a b a b a b a b ba b b b a b a ba B a B a B a + + + + + + + + = + + + + == + + + = + + i prin consecina 3 a teoremei lui )( )1 1 12 11 2 1 1...... ...n nn n n n nC a a ab bA B a a= + + =+ + + + + +Toeplitz deducem cnnC AB = . mptratulserieigeometrice nnq qProdusul C a nsui are termenul general . Fiind verificate ipotezele teoremei lui Mertens, conchidem limExemplulScalcul ( ) 1,1 . auchy al seriei date cu e0,( )01 ,nk n k nnkc q q n q n== = + N( )( )2111nnc n qq= + =0 0 n n celordou ObservaiaEstenaturalsnentrebmdacputemsrelaxm ipotezeleteoremeiMertens.Astfelnepunemntrebareadacseriaprodus n ni pentru ca sumaseriei produs s fie . Consecina Produsul Cauchy a dou serii absolut convergente este o serieabsolutconvergentcusumaegalcuprodusulsumelor serii. Cauchy ncesteconvergent,ceipotezeverificseriile na1 1 1nnb C AB = . Teorema(Abel)Dacseriile 1nna, 1nnbi 1nnc,unde =*11,k mkkc a b m += Nsunt convergente i au sumele, A B i respectiv C, atunciC AB = . mmExemplulFie ( )1*1,na b n= = n nnN ibniznte,fr absolutconvergente. Mai mult, ele au su.ConformcriteriuluiluiLeseriile na, nbsuntconverge afins1 n 1 n. Termenul general al seriei produs estemaln 2 A B = =( )( )( )11 1*1 11 ,1k knn k= == = + NSuurin c seria produs este o serie alternat i verific ipoteze eri eibniz. 1 11nn= = +11 1 1 1 11 1n nn k n kk knnnc a bk n kn k n k += == + + + e constat cule crit ului L11 1 1lim 0nlim1 1 n nkn k n = = =. + +SuntemncondiiileteoremeiluiAbel,prinurmareseriaprodusare suma ( )( )21 11n kn k = 1 1ln2nn = + . 3.7 Exerciii Fiefunciaderivabil,mrginit,monotoncresctoarei xgi convergena uniform a irului : g R R( ) 0 x = . Studialim( )( ) ( ), 0nng x x g nf x xx n + = + CAPITOLUL 4 FUNCII NTRE SPAII METRICE Fie( )1, Xd i( )2, Yd douspaiimetriceipunctele 0 0, x X y Y . Convenimsnotmcu( )0,XB x r i( )0, , 0YB y r r > bileledeschise respectiv n X i Y. Definiia 1Fie( ) ( )1: , ,2f D Xd Yd i punctul de acumularea . D Unelementsenumetelimitafuncieifnpunctulaise noteaz Y ( ) limx a f x=dacpentruoricevecintate( )YV V nspaiulY, exist o vecintate( )XU V an spaiul X, astfel nct: { }( )f U a D V adicx D cux U ,x a ( ) f x V . Teorema 1 (Heine1) Fiefuncia( )2: , f D Yd ,unde( )1, D Xd ipunctulde acumulare. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:a D (i) este