manual de geogebra
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UNIVERSIDAD ISRAELFACULTAD DE SISTEMASAutores: Mayra Collahuazo, David MorenoTRANSCRIPT
Universidad Tecnoloacutegica Israel
MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA ISRAEL
FACULTAD DE SISTEMAS INFORMATICOS
CALCULO I
AUTORES MAYRA COLLAHUAZO Y DAVID MORENO
TERCER NIVEL
Universidad Tecnoloacutegica Israel
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Introduccioacuten
En la actualidad una de las ciencias maacutes importantes en cualquier rama es la
matemaacutetica es por eso que presentamos el manual de un software que ayudara a
la mejor manipulacioacuten de las matemaacuteticas mediante un software llamada
Geogebra
Su creador es Markus Hohenwarter quien en el antildeo 2002 lanza su
primera versioacuten junto con el apoyo de la Universidad Linz Johannes
Kepler en Austria y con el apoyo de programadores internacionales
Ademaacutes del apoyo que reciben de algunas personas de la
comunidad traductores instituciones y proyectos asociados
Geogebra es
Un software informaacutetico basado en la geometriacutea con el aacutelgebra en el cual se va a
poder mover los puntos de una figura geomeacutetrica y observar sus variaciones y
caracteriacutesticas que permite trabajar con las funciones al poderlas graficar y
manipular de una manera sencilla Ademaacutes Geogebra posee caracteriacutesticas que
otros programas de geometriacutea no lo tienen es por eso que es uacutenico
Posee su propia hoja de caacutelculos en la cual permite la rapidez de ciertas
funciones lo que le ahorrara maacutes trabajo
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Pantalla Principal
BARRA DE HERRAMIENTAS
Son los comandos principales y las diferentes opciones que presenta el programa
para facilitar la creacioacuten de los objetos a realizar
VISTA ALGEBRAICA
En la Vista Algebraica se distinguen los objetos matemaacuteticos libres de los
dependientes Es libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya
existentes y viceversa seraacute dependiente el que derivara de alguno previo
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HOJA DE CALCULOS
Cada celda tiene una denominacioacuten especiacutefica que permite dirigirse a cada una
El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a
su contenido En las celdas de una hoja de caacutelculo pueden ingresarse tanto
nuacutemeros como cualquier otro tipo de objeto matemaacutetico
ENTRADA DE COMANDOS
Es una celda activa en la cual nos permite ingresar formulas yo comandos para la
creacioacuten del objeto matemaacutetico
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ENTRADA GEOMEacuteTRICA
Herramientas de Construccioacuten
Las siguientes herramientas de construccioacuten pueden activarse con un clic sobre
los botones de la barra de herramientas Un clic sobre la flechita del extremo
inferior derecho del recuadro de cada iacutecono representativo de una caja de
herramientas despliega un menuacute del cual se puede elegir otra herramienta
Herramientas Generales
Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar color dimensioacuten estilo lineal entre otros En
primer lugar debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades se quiere copiar
Luego se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades
Borra Objeto
Esta herramienta permite eliminar consecuentemente todos los elementos
deseados
Elige y Mueve
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse
Desplaza Aacuterea Graacutefica
Con esta herramienta se puede arrastrar y soltar la Vista Graacutefica para cambiar la
zona visible de esa aacuterea
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 2
Introduccioacuten
En la actualidad una de las ciencias maacutes importantes en cualquier rama es la
matemaacutetica es por eso que presentamos el manual de un software que ayudara a
la mejor manipulacioacuten de las matemaacuteticas mediante un software llamada
Geogebra
Su creador es Markus Hohenwarter quien en el antildeo 2002 lanza su
primera versioacuten junto con el apoyo de la Universidad Linz Johannes
Kepler en Austria y con el apoyo de programadores internacionales
Ademaacutes del apoyo que reciben de algunas personas de la
comunidad traductores instituciones y proyectos asociados
Geogebra es
Un software informaacutetico basado en la geometriacutea con el aacutelgebra en el cual se va a
poder mover los puntos de una figura geomeacutetrica y observar sus variaciones y
caracteriacutesticas que permite trabajar con las funciones al poderlas graficar y
manipular de una manera sencilla Ademaacutes Geogebra posee caracteriacutesticas que
otros programas de geometriacutea no lo tienen es por eso que es uacutenico
Posee su propia hoja de caacutelculos en la cual permite la rapidez de ciertas
funciones lo que le ahorrara maacutes trabajo
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Pantalla Principal
BARRA DE HERRAMIENTAS
Son los comandos principales y las diferentes opciones que presenta el programa
para facilitar la creacioacuten de los objetos a realizar
VISTA ALGEBRAICA
En la Vista Algebraica se distinguen los objetos matemaacuteticos libres de los
dependientes Es libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya
existentes y viceversa seraacute dependiente el que derivara de alguno previo
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HOJA DE CALCULOS
Cada celda tiene una denominacioacuten especiacutefica que permite dirigirse a cada una
El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a
su contenido En las celdas de una hoja de caacutelculo pueden ingresarse tanto
nuacutemeros como cualquier otro tipo de objeto matemaacutetico
ENTRADA DE COMANDOS
Es una celda activa en la cual nos permite ingresar formulas yo comandos para la
creacioacuten del objeto matemaacutetico
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ENTRADA GEOMEacuteTRICA
Herramientas de Construccioacuten
Las siguientes herramientas de construccioacuten pueden activarse con un clic sobre
los botones de la barra de herramientas Un clic sobre la flechita del extremo
inferior derecho del recuadro de cada iacutecono representativo de una caja de
herramientas despliega un menuacute del cual se puede elegir otra herramienta
Herramientas Generales
Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar color dimensioacuten estilo lineal entre otros En
primer lugar debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades se quiere copiar
Luego se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades
Borra Objeto
Esta herramienta permite eliminar consecuentemente todos los elementos
deseados
Elige y Mueve
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse
Desplaza Aacuterea Graacutefica
Con esta herramienta se puede arrastrar y soltar la Vista Graacutefica para cambiar la
zona visible de esa aacuterea
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
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de mayo 2011
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6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Pantalla Principal
BARRA DE HERRAMIENTAS
Son los comandos principales y las diferentes opciones que presenta el programa
para facilitar la creacioacuten de los objetos a realizar
VISTA ALGEBRAICA
En la Vista Algebraica se distinguen los objetos matemaacuteticos libres de los
dependientes Es libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya
existentes y viceversa seraacute dependiente el que derivara de alguno previo
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HOJA DE CALCULOS
Cada celda tiene una denominacioacuten especiacutefica que permite dirigirse a cada una
El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a
su contenido En las celdas de una hoja de caacutelculo pueden ingresarse tanto
nuacutemeros como cualquier otro tipo de objeto matemaacutetico
ENTRADA DE COMANDOS
Es una celda activa en la cual nos permite ingresar formulas yo comandos para la
creacioacuten del objeto matemaacutetico
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ENTRADA GEOMEacuteTRICA
Herramientas de Construccioacuten
Las siguientes herramientas de construccioacuten pueden activarse con un clic sobre
los botones de la barra de herramientas Un clic sobre la flechita del extremo
inferior derecho del recuadro de cada iacutecono representativo de una caja de
herramientas despliega un menuacute del cual se puede elegir otra herramienta
Herramientas Generales
Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar color dimensioacuten estilo lineal entre otros En
primer lugar debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades se quiere copiar
Luego se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades
Borra Objeto
Esta herramienta permite eliminar consecuentemente todos los elementos
deseados
Elige y Mueve
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse
Desplaza Aacuterea Graacutefica
Con esta herramienta se puede arrastrar y soltar la Vista Graacutefica para cambiar la
zona visible de esa aacuterea
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
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5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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HOJA DE CALCULOS
Cada celda tiene una denominacioacuten especiacutefica que permite dirigirse a cada una
El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a
su contenido En las celdas de una hoja de caacutelculo pueden ingresarse tanto
nuacutemeros como cualquier otro tipo de objeto matemaacutetico
ENTRADA DE COMANDOS
Es una celda activa en la cual nos permite ingresar formulas yo comandos para la
creacioacuten del objeto matemaacutetico
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ENTRADA GEOMEacuteTRICA
Herramientas de Construccioacuten
Las siguientes herramientas de construccioacuten pueden activarse con un clic sobre
los botones de la barra de herramientas Un clic sobre la flechita del extremo
inferior derecho del recuadro de cada iacutecono representativo de una caja de
herramientas despliega un menuacute del cual se puede elegir otra herramienta
Herramientas Generales
Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar color dimensioacuten estilo lineal entre otros En
primer lugar debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades se quiere copiar
Luego se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades
Borra Objeto
Esta herramienta permite eliminar consecuentemente todos los elementos
deseados
Elige y Mueve
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse
Desplaza Aacuterea Graacutefica
Con esta herramienta se puede arrastrar y soltar la Vista Graacutefica para cambiar la
zona visible de esa aacuterea
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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ENTRADA GEOMEacuteTRICA
Herramientas de Construccioacuten
Las siguientes herramientas de construccioacuten pueden activarse con un clic sobre
los botones de la barra de herramientas Un clic sobre la flechita del extremo
inferior derecho del recuadro de cada iacutecono representativo de una caja de
herramientas despliega un menuacute del cual se puede elegir otra herramienta
Herramientas Generales
Copia Estilo Visual
Esta herramienta permite copiar color dimensioacuten estilo lineal entre otros En
primer lugar debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades se quiere copiar
Luego se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar
dichas propiedades
Borra Objeto
Esta herramienta permite eliminar consecuentemente todos los elementos
deseados
Elige y Mueve
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse
Desplaza Aacuterea Graacutefica
Con esta herramienta se puede arrastrar y soltar la Vista Graacutefica para cambiar la
zona visible de esa aacuterea
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Registra en Hoja de Caacutelculo
Esta herramienta trabaja con nuacutemeros puntos y vectores Esta herramienta
permite que se registre en la Vista de Hoja de Caacutelculo la secuencia de valores
que a medida que se desplaza toma un objeto (nuacutemero punto o vector)
Relacioacuten
Herramienta que permite seleccionar dos objetos para obtener desplegada en una
ventana emergente informacioacuten sobre la relacioacuten que pudiera vincularlos
Rota en torno a un Punto
Despueacutes de seleccionar el punto que haraacute las veces de centro pueden rotarse a
su alrededor
Expone Oculta Roacutetulo
Al hacer clic sobre un objeto su roacutetulo se expone u oculta alternativamente
Expone Oculta Objeto
Tras activar esta herramienta basta seleccionar el objeto que se desee exponer u
ocular y al pasar a otra herramienta se aplicaraacuten los cambios en el estado de
visibilidad
Zoom de Acercamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
acercamiento
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
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5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
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6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
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Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Zoom de Alejamiento
Con un clic sobre cualquier punto del aacuterea graacutefica esta herramienta produce un
alejamiento
Herramientas de Puntos
Interseccioacuten de Dos Objetos
Los puntos de interseccioacuten de los dos objetos pueden producirse de dos maneras
seleccionando dos objetos se crean todos los puntos de interseccioacuten o con un clic
directo sobre la interseccioacuten de los dos objetos soacutelo se crea este uacutenico punto de
interseccioacuten
Punto Medio o Centro
Un clic sobre dos puntos o un segmento permite obtener su punto medio o una
circunferencia o seccioacuten coacutenica su punto centro
Nuevo Punto
Con un clic sobre la Vista Graacutefica se crea un nuevo punto Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botoacuten del mouse
Herramientas de Vectores
Vector entre Dos Puntos
Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicacioacuten del vector
Vector desde un Punto
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Al seleccionar un punto A y un vector v se crea un nuevo punto B = A + v
Herramientas de Segmentos
Segmento entre Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B
Segmento dados Punto Extremo y Longitud
Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del
segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a
continuacioacuten para que quede trazado
Semirrecta
Semirrecta que pasa por Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B
Poliacutegonos
Poliacutegono
Para trazar un poliacutegono y que su aacuterea quede expuesta en la Vista Algebraica
basta con marcar al menos tres puntos que constituiraacuten sus veacutertices y con un clic
reiterado sobre el primero de ellos cerrarlo
Poliacutegono Regular
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Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 19
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
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4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 9
Al marcar dos puntos A y B y anotar un nuacutemero n en el campo de texto la caja de
diaacutelogo emergente se traza un poliacutegono regular con n veacutertices incluyendo A y B
Recta y sus Herramientas
Bisectriz
La bisectriz de un aacutengulo puede definirse de dos maneras al marcar los tres
puntos A B C se produce la bisectriz del aacutengulo determinado por A B y C con B
como veacutertice o al marcar dos rectas se producen las bisectrices de dos aacutengulos
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B El vector que fija la
direccioacuten de la recta es (B ‐ A)
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es paralela a g
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus
dos puntos A y B extremos
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A queda definida la recta que pasa por A y
es perpendicular a g
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 10
Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 10
Recta Polar o Diametral
Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una seccioacuten coacutenica de dos
posiblesmaneras seleccionando un punto y una seccioacuten coacutenica
Tangentes
Las tangentes a una coacutenica pueden determinarse de dos maneras al seleccionar
un punto A y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c quepasan por A o
al seleccionar una recta g y una coacutenica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g
Al seleccionar un punto A y la funcioacuten f se traza la recta tangente a f por x=x(A)
Coacutenicas
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro se despliega la ventana para ingresar el
valor del radio
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con
centro en M que pasa por P
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A B y C queda definida una circunferencia que los
cruza
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Compaacutes
Al seleccionar un segmento o dos puntos queda especificado el radio y un clic
posterior sobre un punto lo marca como centro de la circunferencia a trazar
Coacutenica dados Cinco de sus Puntos
Al seleccionar cinco puntos queda definida una seccioacuten coacutenica que pasa por ellos
Elipse
La elipse se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno de
sus puntos
Hipeacuterbola
La hipeacuterbola se trazaraacute al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego uno
de suspuntos
Paraacutebola
La paraacutebola se trazaraacute al seleccionar un punto que seraacute su foco y su directriz es
decir su recta semirrecta o segmento
Arcos y Sectores
Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos
Deben seleccionarse tres puntos en primer lugar M que seraacute su centro luego A
suextremo inicial y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco
Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Deben marcarse tres puntos primero M que seraacute su centro luego A extremo
inicial de su arco y finalmente B que determinaraacute la longitud del arco del sector
Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al marcar tres puntos A B y C se traza un arco de circunferencia cuyo extremo
inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco
Al marcar tres puntos A B y C se produce un sector circular en cuyo arco el
extremo inicial es A el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C
Semicircunferencia dados Dos Puntos
Al seleccionar dos puntos A y B se traza una semicircunferencia por encima del
segmento AB
Nuacutemeros y Aacutengulos
Angulo
Esta herramienta crea el aacutengulo entre tres puntos cuyo veacutertice es el segundo de
ellos el aacutengulo entre dos segmentos el aacutengulo entre dos rectas el aacutengulo entre
dos vectores todos los aacutengulos de un poliacutegono
Angulo dada su Amplitud
Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del aacutengulo en el
campo de texto de la ventana emergente Esta herramienta produce un punto C y
un aacutengulo α correspondiente a ABC
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Aacuterea
Esta herramienta establece el aacuterea de un poliacutegono ciacuterculo o elipse como nuacutemero
que se expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica
Distancia o Longitud
Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos dos rectas o un punto y una
recta y la expone como texto dinaacutemico en la Vista Graacutefica Tambieacuten opera con la
longitud de un segmento la de una circunferencia o la del periacutemetro de un
poliacutegono
Deslizador
Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Graacutefica crea un dialrdquo o deslizador
para ajustar el valor de un nuacutemero o un aacutengulo La ventana de diaacutelogo emergente
permite especificar el Nombre Intervalo [miacuten maacutex] e Incremento del valor
correspondiente asiacute como la alineacioacuten con que quedaraacute Fijado (Horizontal o
Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels)
En la ventana de diaacutelogo del Deslizador puede ingresarse el siacutembolo de grados deg o
pi π para intervalo e incremento usando las siguientes teclas de atajo
bull Alt‐O (MacOS Ctrl‐O) para el siacutembolo de grados deg
bull Alt‐P (MacOS Ctrl‐P) para el siacutembolo π
Pendiente
Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinaacutemicamente
ilustrada en un triaacutengulo rectaacutengulo adecuado
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Control Booleano
Casilla de Control para Exponer Ocultar Objetos
Al dar clic sobre la Vista Graacutefica se crea una casilla a tildar para exponer y ocultar
uno o maacutes objetos
Lugar Geomeacutetrico
Locus o Lugar Geomeacutetrico
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A
cuyo lugar geomeacutetrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori
de B
Transformaciones Geomeacutetricas
Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado Luego basta un
clic sobre el punto que obraraacute como centro de la homotecia para que aparezca
una ventana en donde anotar el factor deseado
Refleja Objeto en Recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre la recta semirrecta o segmento para que quede establecido el eje de
simetriacutea a traveacutes del que se operaraacute la reflexioacuten
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Refleja Objeto por Punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado Luego basta un
clic sobre el punto a traveacutes del cual se operaraacute la reflexioacuten
Refleja Punto en Circunferencia
Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia seleccionando
el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexioacuten
Rota Objeto en torno a Punto el Aacutengulo indicado
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado Luego basta un clic
sobre el punto que obraraacute como centro de rotacioacuten para que aparezca una
ventana donde puede especificarse la amplitud del aacutengulo de rotacioacuten
Traslada Objeto por un Vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado Luego un clic
sobre un vector bastaraacute para que se produzca la translacioacuten
Texto
Inserta Texto
Con esta herramienta pueden crearse foacutermulas de LaTeX o textos estaacuteticos o
dinaacutemicos en la Vista Graacutefica
En primer lugar es necesario especificar el texto de una de las siguientes
maneras con un clic sobre la Vista Graacutefica para crear un nuevo texto en esa
posicioacuten o con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya
ubicacioacuten se vincula y asocia a dicho punto
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Texto Estaacutetico no depende de ninguacuten objeto matemaacutetico y no suele afectarlo
ninguacuten cambio de la construccioacuten
Texto Dinaacutemico contiene valores de objetos y se modifica y adapta
automaacuteticamente frente a sus cambios
Texto Mixto es una combinacioacuten de texto estaacutetico y dinaacutemico Para crear un texto
mixto debe anotarse el sector estaacutetico usando el teclado y antildeadir la seccioacuten
dinaacutemica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer
Imaacutegenes
Inserta imagen
Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Graacutefica
En primer lugar se debe especificar el lugar donde ubicarla de una de las
siguientes maneras un clic en Vista Graacutefica fija la esquina inferior izquierda de la
imagen o un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior
izquierda
Luego en la caja de diaacutelogo que se abre se puede seleccionar una imagen de
entre los archivos de formato graacutefico que aparecen listados almacenados en los
directorios o carpetas que se examinan a tal efecto
Propiedades de las Imaacutegenes
Posicioacuten
La posicioacuten de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema
de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la
pestantildea lsquoBaacutesicorsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen
Esto se lleva adelante especificando los tres puntos veacutertices
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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La pestantildea lsquoPosicioacutenrsquo de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de la imagen ofrece la
flexibilidad de escalar rotar y hasta distorsionar las imaacutegenes
bull Esquina 1 posicioacuten de la esquina izquierda inferior de la imagen
bull Esquina 2 posicioacuten inferior derecha de la imagen
bull Esquina 4 posicioacuten superior izquierda de la imagen
Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a
Imagen de Fondo de la pestantildea Baacutesico de la Caja de Diaacutelogo de Propiedades de
la imagen Una imagen de fondo yace tras los ejes de coordenadas y ya no
vuelve a resultar accesible a la seleccioacuten viacutea ratoacuten o mouse
Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los
objetos como los ejes que queden tras ella Para fijar esta condicioacuten de
transparencia de una imagen se especifica para el Sombreado un valor entre 0
y 100
Renombrar
Se abre el cuadro de diaacutelogo que permite renombrar un objeto Su ya existiacutea un
objeto que tiene el mismo nombre que se le va a poner a este se le antildeadira el
subiacutendice 1
Otro opcioacuten podriacutea ser en dar u click en el objeto que se quiere renombrar
Redefinir
Cuando se hace doble clic sobre un objeto podemos redefinirlo Tambieacuten
podemos hacer en editar Propiedades
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Animar
En el menuacute contextual de Objeto la opcioacuten Animacioacuten en marcha permite animar
un deslizador Cuando la animacioacuten automaacutetica se encuentra activada aparece un
botoacuten este botoacuten permite parar y reiniciar el avance
Propiedades
Podemos acceder al cuadro de diaacutelogo de Propiedades de un objeto haciendo clic
derecho sobre el objeto
Cambio colectivo de propiedades
Dentro del cuadro de diaacutelogo a la izquierda se muestra una lista con todos los
objetos agrupados
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
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6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
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Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Las coacutenicas
Damos clic derecho en la pantalla y elegimos la opcioacuten cuadricula esto permitiraacute
que en el aacuterea de trabajo aparezca los ejes pero con una cuadricula que facilitara
la visualizacioacuten para el trabajo
1 La Circunferencia
Definicioacuten es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto
fijo de ese plano El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la
distancia constante se llama radio
A continuacioacuten presentaremos algunas de las formas que el programa para
poder graficar la circunferencia
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
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419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
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Hacemos clic en el icono de circunferencia se desplegara el siguiente
menuacute
Damos clic en la primera opcioacuten del menuacute Circunferencia dados su
centro y uno de sus puntos
Graficaremos en cualquier parte (un punto) con un clic posterior
mente un clic en otro lugar (otro punto) automaacuteticamente se
graficara la circunferencia asi
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 22
En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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En la parte del aacuterea algebraica podemos observar los puntos y centro
de la circunferencia y su ecuacioacuten de la siguiente manera
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Donde A (00) es el centro que hemos escojido y B(03) es uno de los
puntos por donde pasa la circunferencia y c (x2+y2=9) que viene a ser
la ecuacioacuten de la circunferencia
Demos clic en la segunda opcioacuten Circunferencia dado du centro y
su Radio
Damos clic en un punto cualquiera y posteriormente se abriraacute un
cuadro de dialogo como lo muestra la imagen para ingresar el valor
del radio para grafiar la circunferencia
En donde A (42) es el punto y 3 es el valor del radio y como en el
ejemplo anterior en el aacuterea algebraica se presentara la ecuacioacuten
Quedando de la siguiente manera
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Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 50
CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 24
Damos clic en la tercera opcioacuten Compas
Daremos clic en dos puntos diferentes en el aacuterea de trabajo en el
cual los puntos seraacute la longitud de la circunferencia y posteriormente
daremos clic en donde se desea el centro de la circunferencia de la
siguiente manera
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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De igual manera que en los ejemplos anteriores se podraacute observar
los puntos el centro el radio y la ecuacioacuten de la circunferencia
Damos clic en la cuarta opcioacuten Semicircunferencia dados sus dos
puntos
La presente opcioacuten es para poder graficar la semicircunferencia la
cual daremos dos puntos de esta manera se abriraacute la
semicircunferencia de la siguiente manera
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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2 La Elipse
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de
ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre
1os dos puntos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten elipse de la
siguiente manera
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Para graficar la elipse daremos clic en dos puntos los cuales seraacuten
los focos de la elipse (A y B) ver grafico de abajo los cuales
determinara como se abriraacute la misma y posteriormente dar clic en
otro punto (C) que seraacute un punto de la elipse
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 28
De la misma manera que en los ejemplos anteriores en el aacuterea
algebraica podremos observar las coordenadas de los focos (AB) el
punto de la elipse (C) y se ecuacioacuten
3 La Hipeacuterbola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una cantidad
constante positiva y menor que la distancia entre 10s focos
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten Hipeacuterbola de la
siguiente manera
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 29
Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 30
De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 31
Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 32
Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 33
A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 35
Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 36
6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
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Daremos clic en dos puntos que seraacuten los focos y posteriormente un
punto por donde pasara la hipeacuterbola
En el grafico se presenta 2 hipeacuterbolas la de color azul es una
hipeacuterbola horizontal y la de color rojo hipeacuterbola vertical
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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De la misma manera que en los ejemplos anteriores se podraacute
observar las ecuaciones focos y puntos de las hipeacuterbolas La
ecuacioacuten en color rojo representa a la hipeacuterbola vertical (Rojo) y la
ecuacioacuten en color azul representa la ecuacioacuten en la hipeacuterbola
horizontal (Azul)
4 La Paraacutebola
Definicioacuten Es el lugar geomeacutetrico de un punto que se mueve en un plano
de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a
la recta El punto fijo se llama joco y la recta fija directriz de la paraacutebola
En la barra de opciones damos clic en la opcioacuten paraacutebola de la
siguiente manera
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Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
Universidad Tecnoloacutegica Israel
MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 31
Daremos un punto y una directriz la cual la graficaremos de la
siguiente manera
Damos clic en la tercera casilla de la barra de opciones y
seleccionamos segmento entre dos puntos de la siguiente manera
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 32
Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 33
A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 34
5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 35
Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 36
6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 37
TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 38
2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 40
CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Seleccionaremos dos puntos por donde pasara el segmento que es
la directriz referente a la paraacutebola de la siguiente manera
Posteriormente daremos clic en la opcioacuten de las coacutenicas y
seleccionamos la casilla paraacutebola y damos clic en un punto
cualquiera y seleccionamos la directriz (segmento explicado
anteriormente) para formar la hipeacuterbola
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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A continuacion presento este ejercicio el cual indica 4 parabolas con
referencia a un cuadrado en el centro del plano el cual esta realizad
como lo explicado anteriormente
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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5 La recta de Euler
Definicioacuten En todo triaacutengulo no equilaacutetero el ortocentro (Punto donde se
intersecan las tres alturas) el baricentro (Punto donde se intersecan las tres
medianas de un triaacutengulo) y el circuncentro (Punto donde se intersecan las
tres mediatrices de un triaacutengulo) estaacuten alineados y ademaacutes se cumple que
la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del
baricentro al circuncentro La recta que los contiene se conoce como Recta
de Euler
Dibujaremos tres rectas formando un triangulo
Daremos clic en la opcioacuten de puntos medios y seleccionaremos
los puntos del triaacutengulo de dos en dos
Para el ortocentro demos clic para la recta perpendicular y le
asignamos el punto opuesto
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 39
DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Para el baricentro usaremos los puntos medios ya calculados y
seleccionamos el veacutertice opuesto del triangulo
Para el circuncetro usaremos la opcioacuten mediatrices y
automaacuteticamente se graficara las mediatrices
Quedando de la siguiente manera
(Ver archivo RECTA DE EULER CON CASILLAS DE OPCIONESggb)
Y como en los ejemploanteriores en el aacuterea algebraica encontraremos las
ecuaciones y todo lo referente al ejercicio
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6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
Universidad Tecnoloacutegica Israel
MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 36
6 Graficar funciones
en el aacuterea de el campo de ingreso de comando ponemos una funcioacuten
en la opcioacuten de comando podemos poner para que calcule la
derivada a la funcioacuten ingresada
Donde la curva de color rojo es la funcioacuten y la curva de color azul su derivada
Ver (derivada de la funcioacuten f(x)ggb)
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 37
TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 38
2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 39
DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 40
CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 41
ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 42
Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 43
BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 46
TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
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Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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TRIANGULO CON ANGULOS
1 Se debe elegir la opcioacuten nuevo punto que estaacute en la barra de herramientas
2 Se grafica el triaacutengulo A B C con los puntos a la eleccioacuten de la persona
3 Se elige la opcioacuten poliacutegono que tambieacuten estaacute en la barra de herramientas
y se da un clic sobre cada punto que se graacutefico y se terminara en el primer
punto que comenzoacute
4 Luego se elige la opcioacuten aacutengulo que estaacute en la barra de herramientas se
sentildeala las rectas que forman el aacutengulo Y al final apareceraacute el triaacutengulo con
sus tres aacutengulos
En la ventana algebraica se podraacute observar todos los objetos que son libres y
dependientes y el valor de cada aacutengulo
TRIANGULO DENTRO DE UN CIacuteRCULO
1 Crear un triaacutengulo como lo vimos anteriormente
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2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
Universidad Tecnoloacutegica Israel
MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 38
2 Luego seleccionar la opcioacuten mediatriz que se encuentra en la barra de
herramientas
3 Despueacutes dar click en dos puntos para que parta un lado del triaacutengulo en
dos partes hacer lo mismo otro punto
4 Dar click en la opcioacuten interseccioacuten de dos puntos de la barra de
herramientas y seleccionar el punto medio que se formoacute
5 Finalmente seleccionar la opcioacuten circunferencia dado su centro y uno de
sus puntos se selecciona el punto media y se veraacute coacutemo se abre la
circunferencia y por uacuteltimo se suelta en cualquiera de los puntos que ya
estaacuten creados
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 39
DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 40
CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 41
ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 42
Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 43
BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 44
Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 45
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 46
TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 47
TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 48
FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 49
FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 50
CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 52
7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
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3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
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DIFERENTES ANGULOS
1 Click en vista y ocultar los ejes
2 Elegir la opcioacuten Semirrecta que pasa por dos puntos que se encuentra en la
barra de herramientas y hacer una semirrecta horizontal o vertical
3 Seleccionar la opcioacuten deslizador que se encuentra en la barra de
herramientas seleccionar la opcioacuten angulo y designarle alguacuten nombre
4 Elegir la opcioacuten rota objeto en torno a un punto el angulo indicado y dar
click en el punto B y luego en el punto A y activar el nombre del deslizador
5 Elegir la opcioacuten semirrecta que pasa por dos puntos y elegir el punto a y el
punto Bacute
6 Elegir la opcioacuten aacutengulo y dar click en el punto B luego en el punto A y
finalmente en el punto Bacute
7 Al mover el deslizador puede ver como el aacutengulo va cambiando
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CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
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atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
Universidad Tecnoloacutegica Israel
MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 40
CREACION DE UN ROMBO
1 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos y elija los puntos A y B
2 Elegir la opcioacuten punto medio y dar click en el punto A y B vera como se
crea el punto medio
3 Elegir la opcioacuten recta perpendicular dar click en el punto medio y en la
recta
4 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto dar click en la recta
perpendicular
5 Elegir la opcioacuten refleja objeto en la recta y construir el punto D1 que va del
punto D
6 Elegir la opcioacuten segmento entre dos puntos dar click en los puntos A y D D
y B B y D1 D1 y A ahiacute vera como se forma el rombo
7 Seleccionar la perpendicular que se creoacute es decir la recta b dar click
derecho y seleccionar muestra objeto
8 Crear un deslizador que se encontrara en la barra de herramientas ponerle
un nombre
9 En la entrada de comandos escribir E = D1 + deslizador (B - A) F = D1 -
deslizador (B - A) G = D + deslizador (B - A) H = D - deslizador (B - A)
I = A + deslizador (D ndash D1) J = A - deslizador (D ndash D1) K = B +
deslizador (D ndash D1) l = B - deslizador (D ndash D1)
10 Seleccionar la opcioacuten poliacutegono y unir los puntos desde A
11 Mover es deslizador y observar el efecto
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 41
ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 42
Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 43
BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 44
Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 45
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 46
TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 47
TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 48
FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 49
FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 50
CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 52
7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
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6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
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ECUACION LINEAL
1 En la entrada de comandos pondremos los valores de las variables m y b
seguidamente de la ecuacioacuten que seria y=mx+b
2 Cuando se ingrese cada variable se tendraacute que dar un espacio (a = 5)
(b=7) (y = m x + b) y un enter al finalizar(a = 5) (b=7) (y = m x + b)
3 Si se desea cambiar los valores de las variables se lo podraacute hacer en la
ventana algebraica dando doble click a cada variable
4 Y si desea ingresar nuevos valores podraacute repetir los pasos anteriores
Universidad Tecnoloacutegica Israel
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
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Se puede observar que se grafica la ecuacioacuten de la recta y como la ecuacioacuten es
un objeto dependiente de las variable
ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES
1 Se debe de ingresar una ecuacioacuten en la entrada de comandos (m 7x + 3y =
42)
2 Luego ingresar una ecuacioacuten lineal (t y = 12x ndash 4)
3 Luego ingresar la ecuacioacuten del punto medio (r = Interseccioacuten[m t])
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BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 52
7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 43
BARICENTRO ENTRE TRES PUNTOS
1 Se creara tres puntos si desea puede usar nuevo punto que se encuentra
en la barra de herramienta o puede ingresar los datos en la entrada de
comandos o tambieacuten puede ingresar los valores en la hoja de caacutelculos
2 Luego en la entrada de comandos se escribe la foacutermula para encontrar los
puntos medios (M_a = PuntoMedio[B C]) hacer lo mismo con el punto
medio que falta
3 Realizar las rectas que pasan por el punto medio (s_a = Recta[A M_a])
hacer lo mismo con la recta que falta
4 Para calcular el centro de las rectas se podraacute hacer sumando los tres
puntos y dividirlos para 3 (S1 = (A + B + C) 3)
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 44
Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 45
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 46
TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 47
TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 48
FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 49
FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
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3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
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mayo 2011
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Se puede observar cada recta de diferente color al igual que cada punto medio y
punto de interseccioacuten
NOTA Si no recuerda coacutemo cambiar el color a una recta o un
punto solamente seleccione la recta punto o lo que quiera
cambiar de color y hacer click derecho elegir la opcioacuten
propiedades y elegir el color
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
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art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
1 Introducir en la entrada de comandos la ecuacioacuten de la circunferencia que
se quiere buscar(c (x - 7) ^2 + (y - 4) ^2 = 36) ahiacute se formara la
circunferencia
2 Introducir en la entrada de comandos la foacutermula para encontrar el centro de
la circunferencia (C = Centro[c])
3 Crear un punto fuera de la circunferencia
4 Seleccionar la opcioacuten tangente y dar click en el punto y en la
circunferencia
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TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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mayo 2011
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6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 46
TANGENTES A UNA ELIPSE
1 Se crea la elipse ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten elipse que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la elipse
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la elipse
TANGENTES A UNA HIPERBOLA
1 Se crea la hipeacuterbola ingresando la formula en la entrada de comandos o
simplemente eligiendo la opcioacuten hipeacuterbola que se encuentra en la barra de
herramientas
2 Crear un punto fuera de la hipeacuterbola
3 Seleccionar la opcioacuten tangente Dar click en el punto y en la hipeacuterbola
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 47
TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 48
FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 49
FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 50
CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 52
7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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TANGENTE A UNA FUNCION
1 Se ingresa en la entrada de comandos los valores de la funcioacuten f(x) en x=a
Se ingresara el valor de a y el de la funcioacuten (f(x) = 5 sin(x)) no
exactamente puede ser seno tambieacuten puede ser las funciones o alguna
otra funcioacuten
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
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FUNCION CUADRATICA
1 Construir tres deslizadores con el nombre que se desee
2 Escribir en la liacutenea de comando f(x) = a^4 - b x^3 + c las variables a b c
son los nombres de los deslizadores
3 Mover los deslizadores para ver el efecto que se produce
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
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a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
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FUNCIONES POLINOMICAS
1 Ingresar la funcioacuten de polinoacutemica (f(x) = x^4 - 5 x^3 + 5 x^2 + 7) en la
entrada de comandos la funcioacuten puede ser de cualquier grado
2 Despueacutes ingresamos la ecuacioacuten de la raiacutez de la funcioacuten (R = Raiacutez[f]) la
ecuacioacuten de los extremos (E = Extremo[f])y el punto medio (I =
PuntoInflexioacuten[f])
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CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 54
Referencia de Archivos consultados
1 Lehmann Charles Geometriacutea Analiacutetica Unioacuten Tipograacutefica Editorial Hispano
Ameacuterica Mexico 2001
2 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=LHzdTdSULMnx0gGbifDzDwampstart
=0ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
3 Internet httpwwwgooglecomecq=manual+de+geogebraamphl=es-
419ampbiw=1311ampbih=646ampprmd=ivnsampei=ZnzdTbKpJYHh0QHv3NGDAwampst
art=10ampsa=Nampfp=734a443ea585ff52 Acceso 20 de mayo 2011
4 Internet httpwwweducamadridorgbinary381conicaspdf Acceso 20 de
mayo 2011
5 Internet
httpsrs868l33rapidsharecomdownload|868l32|380234081|Geo_Matem
atica_Pro_-
_Mas_manualrar|5674|R~A685A6856DE2F23E29C9E0C3858365BA
Acceso 20 de mayo 2011
6 Internet httpwwwauladematecomforogeogebra-vt1828php Acceso 20
de mayo 2011
Internet httpwwwslidesharenetbaleatutorial-geogebra-
6789500 Acceso 20 de mayo 2011
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 50
CREACION Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION
1 Ingresar en la entrada de comandos cualquier funcioacuten f (x) = x ^4 - 6 x ^2 y
su derivada g(x) = Derivada[ f (x)]
2 Desactivar la funcioacuten g(x) dar click derecho y escoger la opcioacuten muestra
objeto
3 Crear un nuevo punto con la opcioacuten nuevo punto hacer el punto en el eje
de las X
4 Escribir los siguientes comandos B = (x(A) -2) C = (x(A) f (x(A))) a =
sgn(g(x(A)))
5 Escribir en la entrada de comando b = 05 - a + 05
6 Haga clic derecho en el punto B elegir la opcioacuten propiedades y escoger la
opcioacuten avanzado se en el cuadro de rojo poner b y en las demaacutes cero
7 Activar el rastro en el punto B click derecho en el punto B y escoger la
opcioacuten activar rastro
8 Mover el punto A y observar
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Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 51
DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 52
7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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MANUAL DE GEOGEBRA
Mayra Collahuazo y David Moreno Calculo I Sistemas Informaacuteticos Paacutegina 53
5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
un botoacuten para detener o animar
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DERRIVADA Y LA TANGENTE A UNA FUNCION
1 Ingresar la funcioacuten f(x) = cos(x) en la entrada de comandos (puede ser
todas las funciones trigonomeacutetricas)
2 Crear un punto con la opcioacuten de la barra de herramientas y ponerlo en la
funcioacuten es decir dar click en la funcioacuten para que el punto quede sobre la
graacutefica
3 Coger la opcioacuten tangente de la barra de herramientas y dar click en el
punto y en la funcioacuten
4 Crear la pendiente ingresando en la entrada de comandos la siguiente
formula m=Pendiente[a]
5 Ingresar B = (x(A) m) en la entrada de comandos apareceraacute un punto B O
ingresar su derivada Derivada[f]
6 Dar click derecho en el punto B y seleccionar la opcioacuten activar rastro
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7 Seleccionar la opcioacuten elige y mueve que se encuentra en la barra de
herramientas y mover el punto A
8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
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8 Observara como al desplazar el punto A comenzara a moverse el punto B y
a dejar un rastro
NOTA El rastro seraacute su derivada
CREACION DE UNA ANIMACION DE TRASLACION
1 Crear tres deslizadores el primero seraacute de o a 10 el segundo de
0 a 2 y el tercero llevara los mismos valores (Los valores son
opcionales)
2 Elegir la opcioacuten circunferencia dado su centro y radio y en la
opcioacuten que le saldraacute poner el nombre del primer deslizador
3 Elegir la opcioacuten nuevo punto y crear dos puntos en la
circunferencia
4 Elegir la opcioacuten sector circular dados su centro y dos puntos y dar
click en el punto A B y C
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5 Crear un nuevo punto fuera de la circunferencia que no esteacute tan
cerca de la circunferencia
6 Escribir en la entrada de comandos E = A + traslacioacuten (D - A)
7 Active laopcioacutenvector entre dos puntosy construya el vector del
punto A al punto E
8 Elegir la opcioacuten traslada objeto por un vector dar click en el
ciacuterculo y luego en el vector que se creoacute
9 Crear un botoacuten para animar click derecho sobre el tercer
deslizador y elegir la opcioacuten animacioacuten automaacutetica hacer lo
mismo con el segundo deslizador
10 Ocultar los deslizadores click derecho y elegir ocultar objeto y se
veraacute coacutemo se crea la animacioacuten y en la parte inferior apareceraacute
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