manual icfes

I I

Manual Preicfes (Matemáticas) »

GRUPO LATI MO G D I T O R G

Título de la Obra: Manual preicfes Editor: Grupo Latino Editores Ltda

web site: www.gleditores.com e-mail: [email protected]

Primera Edición

Director Editorial Felipe Duran Ramírez

Diseño Editorial Jaime Duran Naranjo

Diseño de Carátula Jaime Duran Naranjo

Maquetación Grupo Latino Editores

Colaboradores Dra. Maria Helena Delgado Gómez / Lic. filología e idiomas (Universidad Libre)

Margarita María Durán Urrea/ Investigadora

Dirección de contenido y estilo Dra. Maria Helena Delgado Gómez / Lic. filología e idiomas (Universidad Libre)

Ilustración Eduardo Durán Naranjo / Jonathan Durán Naranjo / Rafael Ricardo Angarita Rodríguez

Impreso por Printer Colombiana S.A. Impreso en Colombia - Printed in Colombia

I SBN 978-958-8203-72-0 (Obra Completa) Reservados todos los derechos. Está prohibida la reproducción total o parcial por

cualquier medio o procedimiento sin permiso escrito del editor.

http://www.gleditores.com

mailto:[email protected]

Contenido Conteo 9

Conjuntos numéricos 9

Notación científica g

Números primos y compuestos 9

Mínimo común múltiplo 10

Máximo común divisor 10

Razones y proporciones 10

Magnitudes directa e inversamente proporcionales: 10

Potenciación, radicación, logarltmación 12

Factorización 13

Logaritmación 14

Medición 14

Ángulos 14

Clases de ángulos 14

Ángulos entre paralelas y transversales: 15

Clases de polígonos 16

Ángulos en la circunferencia 16

Polígonos 16

Triángulos: 17

Clases de triángulos: 17

Circunferencia 19

Líneas notables de la circunferencia 20

Propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes 20

Perímetros y áreas de polígonos y circunferencias 21

Movimientos en el plano y simetrías: 22

Simetrías 22

Sólidos 23

Volúmenes y áreas de los sólidos: 23

Variación 23

Funciones 23

Clases de funciones 24

Funciones trigonométricas 25

Seno 26

Coseno 26

Giáficas de las funciones trigonométricas 26

Tangente 27

Secante 27

Cotangente 27

Cosecante 27

Ecuaciones 29

Ecuación general de segundo grado 31

Sucesiones y progresiones 33

Inecuaciones 35

Derivadas e integrales fundamentales 36

Aleatoriedad 37

Estadística 37

Recopilación de datos 37

Frecuencias 38

Medidas estadísticas 39

Análisis combinatorio 40

Probabilidad 41

Preguntas Tipo Icfes 41

Tabla Respuestas 58

PREGUNTAS TIPO ICFES - PROFUNDIZACIÓN 61

Tabla de Respuestas 67

Referencias bibliográficas 71

w ®

Módulo de Matemáticas

Repaso de Matemát icas

•!#1. Conteo Números Complejos: Reales Unidos con Imaginarios

Números Reales: Racionales Unidos con Irracionales

Conjuntos numéricos

• Números dígitos - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• Números naturales N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...}

La suma, la multiplicación y la potenciación de números naturales es siempre otro número natural, mientras que la diferencia, el cociente y la radicación entre dos números na-turales no siempre es otro número natural.

• Números Enteros Z = {... -5, -4, -3, -2, -1,0,1, 2,3,4, 5,...}

Son el resultado de unir los naturales con sus opuestos. Hay enteros positivos, negativos y el cero que es el elemento neutro.

Las operaciones suma, diferencia, multiplicación y potencia-ción entre dos números enteros dan como resultado otro número entero. No puede decirse lo mismo de la división, la radicación y la logaritmación.

• Números Racionales Q = Conjunto de los números racionales

Todos aquellos que pueden expresarse en la forma a/b, sien-do 'a' y 'b' dos números enteros y 'b' diferente de cero.

Son ejemplos de estos números : -6/7; 5 pues 5 = 5/1; 0.32 pues 0.32 = 4/25; 0.33 por ser 0.33 = 1/3 ; etc. En general todos los llamados números decimales finitos y decimales periódicos.

La suma, resta, multiplicación y división de números racio-nales es siempre otro racional. No ocurre lo mismo con la potenciación, radicación y logaritmación.

Existen algunos números decimales, que no pueden consi-derarse ni finitos ni periódicos y por lo tanto no se consideran números racionales,- tal es el caso del resultado de dividir el perímetro de una circunferencia entre la longitud de su diá-metro lo cual da origen al número pi = 3.1416...

Son los decimales descritos en el párrafo anterior. Los confor-man además del número p¡ y el número e - 2.71828, todas las raíces no exactas.

Las operaciones entre dos o más números irracionales no siempre dan otro número Irracional; en ocasiones el resulta-do puede se un número racional.

• Números Reales R - Conjunto de los números Reales

Se obtienen como resultado de unir el conjunto de los núme-ros Racionales con el conjunto de los números Irracionales. Por lo tanto todo número Racional es Real y todo número Irracional es también Real.

• Conjunto de los números Imaginarios

Formado por todas aquellas raíces pares de una cantidad ne-gativa. Tales como V-4, 4/-2. La unidad de los imaginarios es i =/-1.

• C - Conjunto de los números Complejos

Formado por las expresiones de la forma a + bi, en donde a y b son dos números reales. Por ejemplo 2 + 2¡,- -3 + 5¡ ; 1 - 4¡, etc.

Notación científica

Números Irracionales Irracionales

Conjunto de los números

En ocasiones se tienen cantidades formadas por muchas cifras y para simplificar su escritura se recurre a expresarlas como un producto de una cantidad mayor que uno pero me-nor que 10 y una potencia de diez.

Por ejemplo 308000 = 3,08 x 105

La expresión 0,5x105 no está dada en notación científica por que 0,5 no está entre 1 y 10

Para escribir un número en notación científica se corre el punto decimal los lugares necesarios hasta obtener un nú-mero de una sola cifra entera, diferente de 0, y se multiplica por la potencia de 10 equivalente al número de cifras que se haya corrido el punto decimal.

Números primos y compuestos

Divisores de un número son todos aquellos números que lo dividen en forma exacta. Múltiplos de un número son todos aquellos que se obtienen de multiplicarlo por un número entero

Dependiendo de la cantidad de divisores que tenga un número puede clasificarse como número primo o número compuesto.

• Números primos: son todos los números naturales que solo tienen como divisores al número 1 y al mismo nú-mero. Es el caso de 2,3,5, 7,11,13, etc.

I B —


Números compuestos: son los que además del núme-ro 1 y ellos mismos tienen otros divisores. Por ejemplo 9, 15, 21, los números pares diferentes de 2, etc.

Mínimo común múltiplo

Es el menor de los múltiplos comunes a varios números da-dos.

Una forma practica de hallarlo es descomponiendo simul-táneamente los números dados en sus factores primos co-munes y no comunes, y multiplicando todos esos factores. Ejemplo:

Para hallar el M.C.M. de 60 y 28:

60 28 2 30 14 2

VI 15 7 3

Mi 5 7 5 1 7 7

1

M.C.M. (60, 28) = 2x2x3x5x7 = 420

(común divisor Máximo

Es el mayor de los divisores comunes a varios números. Una forma práctica de hallarlo es descomponer en forma simul-tánea los números dados en los factores primos comunes a todos y multiplicarlos.

Ejemplo: para hallar el M.C.D. de 60 y 28:

60

30 15

28 14 7

M.C.D.(60, 28) = 2X2 =4

•¡un*iiio.iv proporciones

Razón: si a y b son dos cantidades, con b diferente de cero, la razón entre a y b es a / b.

Proporción: es la igualdad entre dos razones. Si a / b = c / d, se llaman extremos a 'a' y 'd' y medios a 'b' y 'c'. Algunas de las propiedades que cumple la proporción son:

1.

2.

a*d=b*c

a+c a

a

b+d

a+b a

_ m

b

c+d

c 'd

a+b c+d b

5. Si m b ,al valor se le conoce como la media propor-cional entre a y b.

e inversamente proporcionales:

• Magnitud: todo lo que puede ser medido. Por ejem-plo: la longitud, el área, el volúmen, el peso, el tiem-po, la velocidad, la cantidad de artículos, etc.

• Magnitudes directamente proporcionales: son aquellas magnitudes en las que si una de ellas su-fre un incremento la otra también y el cociente entre parejas de datos correspondientes es constante. Por ejemplo la velocidad de un vehículo y la distancia re-corrida por ese mismo vehículo.

• Magnitudes inversamente proporcionales: son aquellas en las que si una de ellas se incrementa, la otra por el contrario disminuye y el producto en-tre parejas de datos correspondientes es constante. Por ejemplo la velocidad de un vehículo y el tiempo empleado por ese mismo vehículo para hacer un re-corrido fijo.

Regla de tres: bajo esta denominación se conocen los problemas que involucran 2 o más magnitudes relaciona-das en forma directa o inversa, y las cuales sufren cambios en sus mediciones. Dependiendo del número de magni-tudes se habla de regla de tres simple o de regla de tres compuesta.

• Simple: cuando en el problema solo intervienen dos magnitudes que pueden ser directa o inversamente proporcionales. Ejemplos:

a. Si 8 personas elaboran 20 tarjetas, ¿cuántas tarjetas de las mismas podrán elaborar 10 personas al mismo rit-mo de trabajo?

# PERSONAS # TARJETAS 8 20 10 X

Como estas dos magnitudes son directamente proporciona-les, con los datos correspondientes se puede establecer la proporción

x 10 20 8 en donde X

10 i n

a c x=25 tarjetas


b. 8 personas hacen cierto trabajo en 20 días. En cuántos días podrán hacer el mismo trabajo 10 personas?

De qué número es 24 el 30%?

# DÍAS # PERSONAS # DÍAS 8 20

10 X

Como estas magnitudes son inversamente proporcionales, la proporción se plantea tomando los datos correspondientes en forma invertida.

x

2 0 ~~

X = 16 días

10 8 en donde

8 10 x 20

Compuesta: cuando en el problema Intervienen más de dos magnitudes. Ejemplo: un viajero ha reco-rrido 90 kilómetros andando 5 días a razón de 6 horas diarias. Cuántos días empleas si desea recorrer 84 kilómetros andando a razón de 4 horas diarias?

DISTANCIA (KM) NO. DÍAS NO. HORAS DIARIAS 90 5 6

84 x 4

Se compara la magnitud que lleva la Incógnita con las otras, para establecer si son directa o inversamente proporciona-les con ella. Se obtiene que con la distancia es directamente proporcional, pero con el número de horas diarlas es inversa-mente proporcional. Por lo tanto la proporción se establece así: Por propiedades de las proporciones:

x_ _ 84_ _ 6_ 5 ~~ 90 ~ 4 ^=8£ 6_ 5 90 X 4

_ 54x6\5 X ~ ' 90x4 x = 7

• Porcentajes: Los problemas de porcentajes pueden tratarse como problemas de regla de tres en la que las magnitudes siempre son directamente proporcio-nales. Ejemplos:

Cuál es el 20% de 90?

NUMERO PORCENTAJE 90

x ~90

x =

20 ~ 100 20x90

100

NÚMERO PORCENTAJE X 100% 24 30%

V = 24 X 100

30 x = 80

Qué porcentaje es 40 de 25 ?

NÚMERO PORCENTAJE 25 100%

40 X

_40 X 100

x = 160% Repartos: con frecuencia se encuentran situaciones en las que hay que repartir cierto número en varias partes no igua-les y proporcionales a algunas cantidades preestablecidas. En estos repartos lo primero que se debe establecer es si el reparto se hará en forma directa o inversamente proporcional a las cantidades fijadas. Ejemplos:

a. Jorge y Fernando tienen 12 y 15 años. Repartir 900 entre ellos en partes que sean directamente proporcionales a sus edades.

900

> 1

i

J I

12

F I 15

Se forma la proporción; J__F_ 12 ~ 15

Aplicando propiedades de las proporciones se obtiene:

J+F _J _F 12 + 15~ 12~ 15 900 _J_ 27 ~ 12 ~ 15

900x12

x= 18

27 J= 400

900 x 15

F= 500


b. Repartir 900 en partes inversamente proporcionales a las edades de los niños del ejemplo anterior:

900 / ^ J F I I

12 15 Los inversos de sus edades son

— Y— 12 15

La proporción se establece con los inversos así:

J__F_ 1_ J_

12 15 Por propiedades de proporciones:

J+F J F 1 1 1 ' 1

12 15 12 15 900 _ J F

3 1 ~ 1 ~20 ~L2 ~L5

J= 6000 x — 12

J= 500

F= 6000 x 1

15 F= 400

E H H 5 S 3 0 H radicación, logaritmación Potenciación:

• Propiedades:

a" - a*a*a*a*...*a (n veces multiplicada !

a-n -1/ an

a° = 1

a" am - a"™

(a.b)n = an * b"

(a/b)n-an/bn b=0

(a")m= a™

1"- 1

a" /a™ = ar™

• Productos Notables:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

(a+b+c)2=a2 +b2+c2+2ab+2ac+2bc

Radicación:

• Propiedades:

Si a y b son dos números reales con b*0

n/(a/b)-"/a/"/b n/am = ¿m/n

n/am - ("/aY" - am/n

- " fa * n/b n/ m/a = nm/a

• Radical: es toda expresión que tenga una raíz indi-cada, como /4,3/5, 4 /6

Dos términos que contengan radicales se llaman semejantes si tienen el mismo índice en la raíz y la misma cantidad subra-dical; por ejemplo 5 3/5, -4 V~ 5.

Con los radicales se pueden efectuar las operaciones básicas como multiplicarlos, sumarlos, restarlos, dividirlos, elevarlos a una potencia, etc.

Ejemplo 1:

Al sumar 3/2 con -6/2, se obtiene -3 /2.

Ejemplo 2:

Al multiplicar 3/2 por -6 /2 , se obtiene - -18 *(2) =-36

Ejemplo 3:

Al dividir 3/2 entre -6/2

Se obtiene 3/2/-6/2 = -1/2

Ejemplo 4:

Al elevar (3 /2 -6 /2)2 se obtiene

- (3/2P- 2(3/2X6/2 ) + (6/2>2

= 9(2) - 36/6) + 36(3)

= 18-36/6 + 108

= 126

• Racionalización: es el proceso mediante el cual se logra que una expresión no tenga radicales en el de-nominador.

De acuerdo al tipo de denominador se procede de las mane-ras ilustradas en los siguientes ejemplos:


Ejemplo 1:

Cuando el denominador es un monomio con radical cuadra-

3 3 3^6 Vó 2x6 2x6* <6 2x6

Ejemplo 2 : 4

Cuando el denominador es un monomio con un radical no cuadrático

' ? 5<a2b3 2Na2b3 25<a2b3

35<a2b3 3-^a2b3

Ejemplo 3 :

X S a 2 b 3 3 }^a sb5 3ab

Cuando el denominador es un binomio en el que uno o los dos términos contienen un radical cuadrático.

3 3 V2-5 X

V2-5 V2-5 V2+5

3^2+15 3<2+15 (<2)2 - 52 2-25

3^2+15 23

Números complejos: toda expresión de la forma a + bi en donde 'a' y 'b' son dos números reales e T es la unidad de los números imaginarios.

Los siguientes ejemplos muestran como los números com-plejos x = 5 + 8i ,y, y = 3 - 4i, se pueden efectuar las operacio-nes básicas:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

x+y = (5+8i)+{3-4i)

-5+3+8i-4i«8+ 41

x-y = (5+8iM3-4i)

= 5+8i-3+4i

- 5-3+8i+4i

- 2+12i

Ejemplo 3 :

x*y- (5+8i)*(3-4i)

=15 - 20i + 241 - 32¡2

-15+41 32(1)

-47 + 41

Ejemplo 4:

x_5+8i__5+8i 3+4i y~ 3-4i ~~ 3-4i X 3+4i

15+20i+24i+32i2 -17+44Í

Factorizacion

Para Binomios

Diferencia de cuadrados:

a2-b2 =(a+b)(a-b)

Ejemplo 1:

4m2 - 9x6 = (2m + 3x3) (2m - 3x3)

Ejemplo 2:

16-x16 - (4 -x 8K4+X 8)

Suma o diferencia de cubos:

a 3+b3- (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3- (a-b)(a2+ab+b2)

Ejemplo 1:

8+x6 = (2 + x3)(4 - 2x3 + x4)

Suma o diferencia de potencias impares iguales:

a5+b5 =(a+b)(a4-a3b+a2b2 -ab3+b4)

a5-b5 =(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)

Ejemplo T:

32 + x10 -(2 +x2)(16-8x2+4x4-2x6+x8)

Ejemplo 2:

3 2-x10=(2-x2)(16+8x-'+4x4+2x6+x8)

Factor común:

a2+a4= a2(1+a2!

a2b - a3c - a2 (b - ae)

Para Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto:

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

Ejemplo 1:

x4-2xy3+y6=(x2-y3)2

Ejemplo 2 :

9m8 + 24m4n + 16n2 - (3m4+ 4nP

Trinomio de la forma x2+bx+c: con b y c constantes.

Ejemplo 1:

x2-7x+12 = (x- 4) ( x- 3)

9-16f 25


Ejemplo 2:

a4+5a3-24 = (a3+8) (a3-3)

Trinomio de la forma ax2+bx+c: con a, b, c constantes.

6x2-5x-6 __ 6(6x2-5x-6)

6 Jóx2) -5(6x) -36

6 J6x-9) (6x+4)

6 _3(2x-3) 2(3x+2)

6 = (2x-3)(3x+2)

Factor común:

Para polinomios de 4 o más términos se hace necesario agru-parlos en binomios o trinomios para aplicarles los respectivos casos de factorización; después de estar reducidos a menos términos se procede a aplicar el caso de factorización que le sirva, atendiendo al número de términos.

=1-(9x2-24xy+16y2)

=1-(3x-4y)2

=[1-(3x-4y)][1+(3x-4y)]

=[1-3x+4y][1+3x-4y]

Logaritmación

Si 2 3= 8, puede escribirse que Log28 = 3.

Hallar un logaritmo es buscar un exponente para la base dada, que haga que la potencia sea la cantidad a la que se le busca el logaritmo.

Ejemplo 1: Log 381 = 4 porque 34 = 81

Ejemplo 2: Logs(1/25)= -2 porque 5 2 - 1/25

La expresión "Log b a = c" existe si se cumple que: b>0, b, b*1, a>0. Cuando la base de un logaritmo es el número 10, se llama logaritmo vulgar y se omite la base; es decir queda Log a = c

Cuando la base de un logaritmo es el número irracional 'e', se habla del logaritmo natural o logaritmo neperiano y se representa como Ln a - c

• Propiedades:

Log b b =1

Log b 1 - 0

Log b xn = n Log b x

Log b (x/y) = Log b x - Log b y

Log b (x*y) = Log b x + Log b y

Ejemplo 1:

3a+b2-2b2x-6ax = (3a-6ax)+(b2-2b2x)

= 3a(1-2x) +b2 (1-2x)

= (1-2x) (3a+b2)

Ejemplo 2:

ilSf^'^iísí.í^S'íl 1 -9x2+24xy-16y2 =

Ejemplo:

Siendo Log b 2 = a y Log b 3 = b, exprese en términos de a y b Log b 48. Como 48 = 24*3

Log„48-Log„(2*3)

=Logb? + Logb3 = 4Logb2+Logb3

-4a + b

Ejemplo 1:

16x4-20x2-4x = 4x(4x3-5x-1)

Ejemplo 2:

9x2 +12x +36 = 3 (3x2+4x +9)

**2. Medición • Ángulos

Existen dos sistemas de medición de ángulos que son:

• Sexagesimal: tiene por unidad el Grado; 60 minutos constituyen un grado y 60 segundos forman un minuto.

• Cíclico: su unidad es el Radián.

Un ángulo de una vuelta completa mide 360° o 2rr Radianes.

Un ángulo de media vuelta mide 180° o rr Radianes

[de ángulos Clases

Agudo: mide menos de 90°

Recto: mide 90° o rr/2 Radianes


Obtuso: mide entre 90°y 180°

Llano : mide 180°

Complementarios : dos ángulos son complemen-tarios si suman 90°.

Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°

Según su amplitud y su posición:

Angulos según su amplitud Agudo Recto Obtuso Llano (Plano)

es el que místemenos ; de

áng ulo que mide 90-'

1

es el que mide más de 90° y menos de 18Ef

V es. el que mide 180"

r^s

de una vuelta

es él que míete 360°

C

Complementarios son dos ángulos cuya suma es igual a un ángulo recto ¡90°)

Suplementarios son dos ángulos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°)

m m m f f l s u amplitud opuestos por el vértice

son los que tienen el mismo vér-tice y los lados del uno son (a pro-longación de S&skdos del otro

4

adyacentes son los que tienen un mismo vértice y un lado en común

colaterales son los que tienen un lado com ún (el lado BC) y vértices diferentes

C

congruencia angular si dos ángulos tienen la misma medida, se llaman congruentes ABC £ DEF. Congruencia quiere decir Iguales y parecidos.

D

Bisectriz de un ángulo es la recia que divide el ángulo en dos ángu-I i, < ••:,';••. i ! •- .V-t".:..!: • So debe cumplir que: í ~2

B

B C

Ren t re paralelas y transversales:

L3

L1

> J

->- 12 7 / 8

En la giáfica anterior las rectas L1 y L2 son paralelas mientras que L3 es una transversal a ellas. Se generan 8 ángulos que pueden ser clasificados asi:

• Alternos Internos (Tienen igual medida):

<3= <6 <4=<5

• Alternos externos (Tienen igual medida):

<1=<8 <2=<7

• Correspondientes (tienen igual medida):

<1=<5 <2=<6 <3=<7 <4=<8

• Opuestos por el vértice (Tienen igual medida):

<1=<4 <2=<3 <5=<8 <6=<7

Adyacentes (Suman 180o):

<1 y <2 <1 y <3 <2 y <4 <3 y <4 <5 y <6 <5 y <7 <6 y <8 <8 y <7


en la circunferencia Angulos relacionados con la circunferencia Angulo central

es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circuferencia y sus lados son semirrectas que determi-nan dos radios. La medida de todo ángulo central es el arco compren-dido por sus lados.

0 A B

es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circuferencia y sus lados son semirrectas que determi-nan dos radios. La medida de todo ángulo central es el arco compren-dido por sus lados.

A o B = AB

Ángulo inscrito

también conocido como periféri-co. Es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son semirrectas que determi-nan dos cuerdas. La medida de un ángulo inscrito en una circunferen-cia es la mitad del arco comprendi-do entre sus lados.

Angulo semiinscrito

es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y uno

de sus fados es una semirrecta que determina una cuerda y el

otro una tangente. La medida de tocio ángulo semiinscrito es la

mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ángulo exinscrito

\ \ -: es el ángulo adyacente a un / \ \ ángulo inscrito. La-medida

\ J de todo ángulo exinscrito es \ y C el suplemento del ángulo V ' Inscrito

A

1 a b d - 180° - f á ém Interior Exterior

Interior: su vértice es un punto interior a circunferencia.

la

• Exterionsu vértice es un punto exterior a la circunferen-cia y sus lados son 2 secantes.

Cuando los lados de un ángulo central y los lados de un án-gulo inscrito interceptan a la circunferencia en los mismos

puntos, la medida del ángulo central es el doble de la medi-da del ángulo Inscrito.

Polígonos

En todo polígono de n lados se puede identifican n lados,- n vértices; n ángulos internos, n ángulos externos y n(n-3)/2 diagonales.

La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados está dada por: 180°(n-2).

La suma de los ángulos externos de todo polígono con n lados es: 360°

Se llama polígono regular al que tiene todos sus lados igua-les y por lo tanto los demás elementos.

Clases de polígonos

polígono convexo

polígono cóncavo

esa< no e gon< Iota sus res e

S ¡ | cuyo contor-s una linea poli-' il convexa y por nto cada uno de ángulos Intefio-s menor de 180" ü\

es aquel cuyo contorno es una línea poligonal cóncava y uno o varios de sus ángulos son ma-yores de 180°

( A

polígono regular

es aquel que siendo convexo, tiene tanto los lados como los án-gulos congruentes.

polígono equilátero

es aquel que tiene sus lados congruentes.

polígono equiángulo

es el que tiene todos sus ángulos congruentes.


Cuadriláteros Paralelogramo

es el cuadrilátero cuyos lados opues-tos son paralelos.

Trapecio es el cuadrilátero que tiene solamente dos lados opuestos paralelos.

Trapezoide es el cuadri tos no son p

átero cuyos lados opues-araielos.

r 7 Paralelogramos

Propiedades

Primera en tocios los paralelogramos sus lados opuestos son iguales.

Segunda en todo paralelogramo sus ángulos opuestos son iguales.

Clasificación

Tercera las diagonales de un parale-logramo se dividen mutua-mente en partes iguales.

Cuadrado tiene los cuatro lados iguales y los cuatro án-gulos rectos.

Rectángulo tiene los lados conti-guos desiguales y los cuatro ángulos rectos

Rombo tiene sus cuatros lados iguales y los ángulos contiguos desiguales.

Romboide tiene los lados y los ángulos contiguos des-iguales.

Clasificación

Trapecio rectángulo es el qu< tiene dos ángulos rectos

Trapecio isósceles es el que tiene iguales los lados no paralelos

Trapecio escaleno es el que no es rectíngulo ni

• Triángulos: Clases de triángulos:

Según sus lados

Triángulo equilátero

es el que tiene sus lados congruentes

Triángulo isósceles

es el que tiene dos lados congruentes entre Sí y el tercer lado desigual.

Triángulo escaleno

es el que tiene E

sus fados des-iguales entre si. \ f

D ft'&í'Satf 1

17


Según sus ángulos Matemáticos

triángulo Acutángulo Es el que tiene sus tres ángulos agudos.

triángulo obtusángulo Es el que tiene un ángulo obtuso

rQ

triángulo rectángulo Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto; se llamaría catetos,- y el opuesto al án-gulo recto, se llama hipóte-"

kB

\ c Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto; se llamaría catetos,- y el opuesto al án-gulo recto, se llama hipóte-" a h nusa. a2 + b2 - c2 . ®

Teorema de Pitáüoras ( •

» AC / BD = CE / DF

» AC / CE = BD / DF

A • Mediana: es el segmento de recta que une un vértice

con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

• Mediatriz: es la recta perpendicular trazada en el punto medio de uno de los lados del triángulo. Las tres media-trices del triángulo se cortan en un mismo punto llamado circuncentro.

Semejanza de polígonos: dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son ¡guales y sus lados co-rrespondientes son proporcionales.

• Teorema

Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina en los otros dos lados segmentos proporcio-

B nales. Así:

• Líneas notables del triángulo:

• Altura: simbolizado como h. Es la perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolonga-ción. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mis-mo punto llamado ortocentro.

A continuación se encuentran una serie de teoremas relacio-nados con la proporcionalidad y la semejanza

• Teorema de Thales

Si varias paralelas entre sí, son cortadas por dos transversa-les, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales. Así:

Teorema de pitágoras: en todo triángulo rectángulo de hi-potenusa h y catetos a y b se cumple que:

• Bisectriz: es el segmento de recta que divide a un ángu-lo Interno en dos ángulos. Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto llamado incentro.


• Teorema: si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina otro triángulo semejante al original. (Véase gráfica del teorema anterior).

El triángulo AKL es semejante al triángulo ABC y al ser seme-jantes entonces sus lados son proporcionales así:

nusa (Véase grafica del teorema anterior), de la siguiente forma:

• Teorema: en todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento determinado por la altura y un extremo del mismo (Véase gráfica de Teorema 4).

» AC / AL = AB / AK = CB / LK » AC / BC = BC / CP

» AC / BA - BA / AP

» AL / LC = AK / KB

» AL/AK-LC/KB » A P / B P - B P / P C

• Teorema: en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa determina otros dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

C

BPC semejante a BPA semejante a ABC

• Teorema: la altura sobre la hipotenusa es media propor-cional a los segmentos que ella determina en la hipote-

• Teorema. Si dos polígonos son semejantes, sus lados y sus perímetros son proporcionales.

• Teorema

En todo triángulo, la bisectriz de uno de sus ángulos divide al lado donde cae, en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

» AD/AB-DC/BC

# • # Circunferencia

Circunferencia y círculo Circunferencia

es el conjunto de todos los puntos de un plano que estén a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La longitud de la circunferencia es igual a 2ítR, donde R es el radio y it, la constante 3,14159265....«.31416

Círculo es la superficie (el área) encerrada por la circun-ferencia que equivale a tcR2

Posiciones relativas de dos circunferencias Circunferencias

exteriores

00' > R + r

Tangentes exteriores

o - ^ - P T

00' -R + r

Secantes

00' <R+r

Tangentes interiores

00'= R-r

Circunferencias concéntricas

0 0 = Cero


Líneas notables de la circunferencia

BC= Cuerda n= recta secante LA= diámetro OA= radio

m= recta tangente

Con las líneas nombradas acá, se cumplen algunas propie-dades tales como:

1. Cuando dos cuerdas se cortan el producto de los segmen-tos determinados en la primera cuerda es igual al produc-to de los segmentos determinados en la segunda. Así, AC'CB - PC*CE

2. Dada una recta tangente a una circunferencia, el radio trazado desde el centro hasta el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. CP perpendicular a PR.

Propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes

Cuerdas

si dos cuerdas se cortan en un círculo,- el producto de los seg-mentos de la primera es igual al producto de los segmentos de la segunda

AE • EB= CE • ED

Ejemplo: cuando dos cuerdas se cortan en un círcu-lo, la distancia del punto de intersección al centro del círculo es de 8 cm, y el producto de los segmentos de las cuerdas es de 336. Hallar el radio del círculo.

Solución:

AE - EES = 336 Luego (r+8) (r-8)= 336 Entonces r2-64= 336

D de donde r2 - 400 r=20 cm

Secantes

si desde un punto exterior a un círculo se trazan 2 secantes< el producto de la primera por su segmento externo es igual al producto de la segunda por el suyo

AB • AD= AC • AE

Ejemplo: en la gráfica adjunta, calcular el valor de x

Solución: (x+9)x= 9(4) X2 + 9x-36= 0 Factorlzando (x+12)(x-3)= 336 de donde x= x=3 cm


Perímetros y áreas de polígonos y circunferencias

Cuadrado

A = I ;

Rectángulo

b

A = b h

Triángulo

A = b h

Triángulo rectángulo

a

D

A - b 3 A 2

Paralelogramo

A=b h

Trapecio

a - (B+b) h A 2

A = b h

Rombo

/ ( d

d /

A = < D d > 2

Polígono regular

A = apotema P = perímetro

* P a A =——

Trapezoide

A =^(ah2+bh1)

Sector circular

( 0 0 \

V R

A =71 R2 e 360°

Segmento circular

A = 360°

Corona circular

A = re (R2-r2)

Círculo

A = 71 R2

Elipse

A = K a b


EnEuBaEESen el plano y simetrías:

1. Traslaciones: una traslación en una dirección determina-da es un movimiento de una figura sobre el plano, de modo que los segmentos que unen los puntos correspon-dientes a la primera y la segunda posición, son congruen-tes y paralelos. Las figuras que resultan de una traslación son congruentes con la figura original.

En toda traslación hay una magnitud y una dirección.

2. Rotaciones: se define una rotación como el movimiento de una figura respecto a un punto o a un segmento fijo, sobre un plano. En toda rotación hay una dirección, un sentido y un ángulo que la definen. Si la rotación se hace sobre un punto fijo, a este se le llama centro de rotación.

El tamaño de la rotación está determinado por la amplitud del ángulo,- este ángulo tiene uno de dos sentidos: nega-tivo si el giro se hace en el sentido de las manecillas del reloj y positivo si es contrario.

3. Reflexiones: un espejo plano en posición vertical, colo-cado sobre una superficie horizontal, permite observar

que cualquier figura, situada horizontalmente delante del espejo, tiene una imagen que parece estar dentro o al otro lado de él, a la misma distancia del espejo que la figura real.

La figura real se transforma en su imagen mediante una reflexión.

La figura real y su imagen están sobre la superficie hori-zontal; el borde del espejo situado sobre esta superficie coincide con el eje o línea de reflexión

La figura objeto y su imagen mediante la reflexión, son figu-ras simétricas respecto al eje de reflexión o eje de simetría.

3. Simetrías • Simetría central: se dice que una figura tiene simetría

central respecto al punto O, cuando en la figura y su ima-gen se efectúa una rotación 180° sobre el punto O.

al eje, a otro punto de la misma figura. Por ejemplo, el rectángulo y el rombo tienen dos ejes de simetría,- el cua-drado tiene cuatro ejes de simetría.

• Simetría axial: Una figura es simétrica respecto a una recta, cuando mediante una rotación de 180° alrededor de dicha recta se superpone así misma. La recta se deno-mina eje de simetría.

• Figuras simétricas: Se dice que una figura es simétrica, si cada punto de la figura tiene como simétrico, respecto

22


Sólidos Se habla de sólidos regulares, cuando su base es un polígono regular. Polígono recto es aquel en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.

La altura de un sólido es la perpendicular entre las dos bases (prismas y cilindros) o entre la base y el vértice (piiámide y cono).

Volúmenes y áreas de los sólidos:

Prisma

Área lateral: PBh

PB: Perímetro de la base ( a + b + c) h: Altura Área total: AL+2B

B: área de una base Volumen: Bh

Cono

Área lateral: jt r g

r: radio del cono g: generatriz

Área total: it r (g+r) Volumen: (— n i2 h) 3 h: altura del cono

Pirámide

Área lateral: -Lp„a„ 2

P„: Semiperimetro de la base ( a + b + c)

ap : apotema de la pirámide Área total: AL+2B

B: área de una base Volumen: J_Bh

3 h: altura

Cono truncado

Área lateral: n g (R+r) R: radio de la base mayor r: radio de la base menor g: generatriz Área total: 7i { R (g+R) + r (g+r)} Volumen: altura del tronco

Pirámide truncada

Área lateral: (P, + Ps)ap

ap: apotema dei tronco P, : Semiperimetro de la

base inferior Ps : Semiperimetro de la

base superior Área total: Al+Bl+BSB B,: área de una base inferior Bs: área de una base superior Volumen:

h: altura

Esfera

Área lateral: 4rc R2

r: radio de la GSfeícl Volumen: -1 k r3

3

Cilindro

Area lateral: 2 n r g r : radio del cilindro g : generatriz Área total: 2 ti r (g+r) Volumen: jt r2 g

Paralelepípedo

/\ / c

/ í v /

Área lateral: (2a +2b)c = 2ac + 2bc Area total 2ac +2bc +2ab Volumen a b e

® 4. Variación Funciones

Sea A = (a,b,c,d) y B = (p,q,r)

A x B, llamado Producto Cartesiano entre A y B es el conjunto

de todas las parejas ordenadas en las que la primera compo-nente pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B. No es conmutativo, AxB * BxA

A x B = {(a, p), (a, q), (a, r), (b, p), (b, q), (b, r), (c, p), (c, q), (c, r), (d, p), (d, q), (d, r)}


B x A = {(p, a), (p, b), (p, c), (p, d), (q, a), (q, b), (q, c), (q, d), (r, a), (r, b), (r, c), (r, d)}

Si de este producto cartesiano se toma un subconjunto de cualquier tamaño, para el cual se pueden seleccionar las pa-rejas que cumplan alguna condición específica o al azar, se está hablando de una Relación del conjunto A en el conjunto B.

Por ejemplo:

R1 = {(x, y) AxB/ x = a }= {{a, p), (a, q), (a, r)i

R2 = {(a, q), (b, p), (d, p), (d, r)}

R3 - {(b,r)}

Dominio de una relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas que forman la rela-ción. Por ejemplo en la relación R2 el dominio es {a, b, d }

Rango o recorrido de una relación es el conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas que la forman. En R3 el rango es {r}.

La relación R2 puede representarse gráficamente de dos ma-neras :

a. Diagrama de flechas A B

b. Diagrama cartesiano B A

H 1—I b

Función: una relación de A en B, en la que se cumpla que to-dos los elementos del conjunto A están relacionados con un único elemento del conjunto B, recibe el nombre de función de A en B. El concepto de dominio y rango dado para rela-ción, se mantiene para cuando la relación es una función.

Cuando las funciones están definidas en el conjunto de los números reales, se habla de funciones reales. Su dominio y rango son subconjuntos de números reales y al representar-las en el diagrama cartesiano resultan líneas continuas.

ESE Exlst trará

Clases de funciones

Existen varias clases de funciones . Algunas de ellas se mos-trarán en forma breve.

a. Función lineal: es de la forma Y = Ax + B con A y B constantes. Su gráfica una línea recta.

Por ejemplo

F(x)= x+3

Y= X+3 X

Al ángulo b formado por la recta y el eje X se le conoce como ángulo de Inclinación la recta.

• Pendiente: definida como la Tangente del ángulo de Inclinación y simbolizada por m, así:

m=Tanp

Puede obtenerse de la ecuación de la recta.

SI F(x) = Ax + B la constante A representa el valor de la pen-diente y pasa a simbolizarse como m. Por eso se habla de la ecuación de una recta como y = mx + b, donde m es la pendiente y b el valor donde la recta corta al eje Y.

Si de la recta se conocen 2 puntos P, = (xr y,) y P2 = (x2, y2) la pendiente se puede hallar con la expresión m = (y2 - y,) / (x2-x,).

Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo ángulo de Inclinación y por lo tanto la misma pendiente.

Cuando dos rectas de pendientes mi y m2 respectivamen-te son perpendiculares, entonces la pendiente de la una es Igual al Inverso de la pendiente de la otra pero con signo contrario.

Es decir, m, = -t/m2, ó, m2 = -l/ml.

• Ecuación de la recta: cuando se conocen la pen-diente m y las coordenadas de dos puntos P, (xr y,) y P2 - (x2, y2) la ecuación puede hallarse con la expre-sión: y-y, = m (x-x,).

• Distancia de un punto a una recta: La distancia entre un punto P1 = (x,, y,) y una recta Ax + By + C = 0 está dada por:

d _ \Ax+By+C\ <A2+B2

Ángulo entre dos rectas: si L, es una recta con pendiente m, y L2 con pendiente m2, el ángulo que forman las dos rectas cuando se cortan está dado pon


Tanq= m , - m ¡

q=Arctan m , - m ¡

l+m^,

2 ) b. Función constante: de la forma Y

una constante.

Por ejemplo:

c donde c es

F(x)= 4

c. Función cuadrática: de la forma Y = ax2 + bx + c, con a, b, c constantes y a a*0. Su gráfica siempre es una parábola.

Por ejemplo:

F(x)= X2-1

d. Función exponencial: de la forma Y = ax siendo 'a' un número real mayor o igual a cero pero diferente de 1. El eje x es una asíntota y pasa por (0,1).

Por ejemplo :

Y ' \ /

F(x)= 2x X

e. Función logarítmica: de la forma Y = Logb x siendo b un número real positivo diferente de 1. El eje Y es su asíntota y pasa por el punto (1, 0). Por ejemplo:

Distancia entre dos puntos: para hallar la distan-cia entre dos puntos de coordenadas conocidas P, =(xr y,) y P2 = (x2, y2) se utiliza la expresión :

d= <(x2-X¡)2 + (yfy)2

Punto medio de un segmento: conocidos los ex-tremos de un segmento AB, con coordenadas A - (x,, y,) y B = (x2, y2), las coordenadas del punto medio vienen dadas por la expresión:

F(x)=Log X

Funciones trigonométricas

Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángu-lo: en un triángulo ABC con ángulo recto en C y lados a,b,y c como lo muestra la gráfica, se definen las relaciones trigono-métricas de la siguiente manera:

A

SenA = a/c = CosB

TanA = a/b = CotB

SecA = c/b - CscB

CosA = b/c = SenB

CotA - b/a - TanB

CscA = c/a = SecB

Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico:

P(x,y)

En el círculo de la gáfica donde x, y son las coordenadas del punto donde el lado final del ángulo A intersecta a la circunferencia y r es su radio, se definen las funciones trigo-nométricas así:


Por esta razón los cocientes entre X V y Y. según la función deseada, determinan el signo de las funciones.

En general se tiene:

Si A es un ángulo del primer cuadrante se tiene:

SenA = y/r = +/+ = + CosA = x/r = +/+ = +

TanA = y/x = +/+ = + CotA = x/y = +/ + = +

SecA = r/x = +/+ = + CscA = r/y = +/+ = +

Si A es un ángulo del segundo cuadrante se tiene:

SenA = y/r = +/+ = + CosA = x/r = -/+ = -

TanA = y/x = +/- = - CotA = x/y = -/+ = -

SecA = r/x =+/- = - CscA = r/y = +/+ =+

Si A es un ángulo del tercer cuadrante se tiene:

SenA = y/r = -/+ = - CosA = x/r = -/+ = -

TanA = y/x = -/- = + CotA = x/y = -/- = +

SecA = r/x = +/• = • CscA = r/y = +/- = -

1. Valores para 0o, 90°, 360°:

SenO° = Sen360° = 0 = Cos90°

CosO0 - Cos 360° - 1 - Sen90°

Tan0° = Tan360° - 0 - Cot90°

Cot0° = Cot360° = <*>- Tan 90°

Sec0° = Sec360° = 1 = Csc90°

CscO° - Csc360° = oo - Sec90°

2. Valores para 30° y 60°:

Sen 30° = /(1/2) = Cos 60°

Cos 30° = /(3/2) = Sen 60°

Tan 30° - /(3/3) = Cot 60°

Cot30° - /3 - Tan60°

Sec 30° = 2/(3/3) -Csc60°

Csc30° = 2 = Sec60°

Si A es un ángulo del cuarto cuadrante se tiene:

SenA = y/r = -/+ = - CosA = x/r = +/+ = +

TanA = y/x = -/+ = - CotA = x/y = +/- = -

SecA = r/x =+/+ = + CscA = r/y =+/- = -

• Funciones trigonométricas para ángulos de más de 360°: Para calcular cualquiera de las seis funciones trigo-nométricas a ángulos mayores de 360', se hace necesario reducir el ángulo a uno menor de 360°. Por ejemplo:

Sen400° - Sen(400°-360°) = Sen40° - 0,64

Tan540° = Tan(540°-360°) -Tan 180° = 0

Funciones trigonométricas de ángulos especiales: Se consideran especiales los ángulos que miden: 0o, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

3. Valores para 45°:

Sen 45°=/(2/2)

Tan 45° = 1

Sec45° =/2

4. Valores para 180°, 270°

Sen180° = 0 = Cos27O°

Cosí80° - -1 = Sen270°

Tanl80° -0 = Cot 270°

Cot180° --«o - Tan270°

Sec180° -A - Csc27Ó°

Csc180o"-°° = Sec270°

Cos 45° = /(2/2)

Cot45° » 1

Csc45°= / 2

Gráficas de las funciones trigonométricas

Seno •

1 •í 2 2

i

y= senx

SJT 3JI 7TI / \ \ i \ 4 2 4 1%S

¿2 2

-1

JE 371 t X i / 4 1 T X i y \ ¿2

2 -1

\ ¿2 2

-1 Período= t= 2n

\ ¿2 2

-1 \

Coseno Y i

J.

, - f ?

y- cosx J.

, - f ? ** v J.

, - f ? \ K v >

% % / Í1 71 X

\ : / 771 27r X s /' 2

-1 Período = t= 2re

> r

Repaso de Matemát icas *

Tangente y- tan x

Cotangente

Y

/ 3 1

\ /

t i i i X

\ / v' 71 71

" 4 " 6 3TC 5TI 4 6 \ Iti

4 /¡̂ .•" i \

\ i v / :

0 7t 71 T T

11 5TI 371 4 2

2ic 971 4

571 V 2 *

À M

/ i i i

Perk}do"t="jr / \ / \

2ic 971 4

571 V 2 *

À M

/ i i i

/ \

2ic 971 4

571 V 2 *

Cosecante Secante

7tc 2

En las seis gáficas anteriores pueden verse algunas caracte-rísticas como:

» Algunas tienen un valor máximo y un valor mí-nimo definido,- es el caso Y = Senx y de Y = Cosx. Este hecho determina la amplitud de la función.

» Algunas tienen una longitud de onda de 360° (2rr radianes) y otras de 180° (n radianes). Esto determina el período de la función. El período de Y = Tanx y Y = Cot x es tt radianes y el de las otras es 2 n radianes.

Relaciones fundamentales entre las funciones trigo-nométricas

1. RELACIONES INVERSAS:

Cscx - 1 /Senx Senx = 1 /Cscx

Secx - 1 /Cosx Cosx = 1/Secx

Cotx=1/Tanx Tanx=1/Cotx

2. Relaciones por cociente:

Tanx= Senx/Cosx Cotx - Cosx/Senx

3. Relaciones pitagóricas:

Sen2x+Cos2x = 1 —>

Sen x ^ 1 - Cos2x, ó, Cos2x = 1 - Sen2x

1 +Tan2x = Sec2x

Todas estas relaciones son válidas para todos los valores de x en los que las funciones contenidas en ellas están definidas.

Identidades trigonométricas: una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los va-lores del ángulo en los que están definidas las funciones, recibe el nombre de identidad trigonométrica. Las relaciones fundamentales son también identidades trigonométricas.

- / 2 - 2

Período-t=2w

y-cscx = sen x

JjtSn in 7311171 tu 6 4 4 4 6

m m îï-,:.: M, „'#• sr ; : 1V: : = ?:r 'iW'ïP'iifi-w « -I1 > •> i««:.»» 7Î: i*;. SIS.? /¿»¡»«S V«


Para verificar una identidad trigonométrica se transforma uno de los miembros de la igualdad (cualquiera de las dos) en el otro. En general se comienza por el miembro más com-plicado.

Ejemplos:

1. Demostrar que:

Senx x Cotx = Cosx Cosx

Senx: Cosx Senx

Cosx=Cosx 2. Verificar la identidad Senx * Secx/Tanx - 1

Senx x Seex_Senx x l/Cosx_Senx / Cosx Tanx Senx / Cosx Senx / Cosx

3. Verificar que:

Tan2x x Cos2x=Sen2x

Tan2x x Cos2x= Sen2x x Cos2x

Cos2x Sen2x

4. Demostrar que:

Sec2x Tan2x l+Cot2x Sec2x Sec2x l/Cos2x Sen2x

l+Cot2x Csc2x 1/Sen2x Cos2x Tan2x

5. Verificar que:

1/(1 +Senx)+1/(1-Senx) =2Sec2x

1/(1 +Senx)+1/(1 -Senx) ~ ]-Senx+1Senx 7 (1+Senx) (1-Senx)

2x1 2 2 1-Sen2x Cos2x Cos2x

2Sec2x

6. Comprobar que:

Tanx/Senx+Cscx/Tanx=SecCsc2x Senx/Cosx

Tanx/Senx+Cscx/Tanx= -

Senx Cosx SenxCosx Sen2x Sen2x+Cos2x

CosxSen2x 1 1

Senx | Cosx

Cosx Sen2x

1/Senx Senx/Cosx

1

1 CosxSen2x Cosx Sen2x

SecxCsc2x

Ecuaciones trigonométricas: una ecuación que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, pero que son válidas solo para algunos valores del ángulo, recibe el nombre de ecuación trigonométrica.

Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el o los valo-res del ángulo que hacen verdadera la igualdad.

Ejemplos:

1. Resolver:

Senx~0

x=arcSenO

x=0°,180° 2. Resolver la ecuación:

Senx-2 SenxCosx=0 Senx-2SenxCosx=0 Senx(1 -2 Cosx) = 0 Senx=0 x=arcSenO x=0°,180°

ó

l-2Cosx=0 2Cosx=l Cosx=1/2 x=arcCosl/2 x=60°,300°

Solución: x=0°, 60°, 180°, 300°

3. Solucionar la ecuación:

3Cos2x=Sen2x 3Cos2x=Sen2x 3=Sen2x/Cos2x 3=Tan2x 3=Tanx x^ are Tan 3 x=60°,240°

ó

x=arcTan-3 x=120°300°

Solución: x=60o,1200°,240o,300°


4. Hallar la solución de la ecuación:

2Sen2x-Senx-l =0 2Sen2x-Senx-l =0 (2Senx-2) (2Senx+1) ,,

2 (2Senx-2)(2Senx+l) =0 2Senx-2=0 2Senx=2 Senx=l x=arcSenl x=90°

ó

2senx+l=0 2senx=-l 2senx=-l/2 x=arcSen-l/2 x=210°,330°

Solución: x=90°, 210°, 300°

Funciones trigonométricas de dos ángulos:

Sen (A +B) =SenA CosB+SenBCosA

Sen (A -B) =SenA CosB-SenBCosA

Sen (2A) =Sen (A +A) =SenA CosA +SenA CosA =2SenACosA

Cos(A+B)=CosACosB - SenASenB

Cos(2A)=Cos(A +A)=CosA CosA +SenASenA =Cos2A - Sen2A

Ecuaciones

Tan(A+B)~

Tan(A-B)=

TanA+TanB 1-TanATanB

TanA-TanB 1+TanA+TanB

Tan(2A)=Tan(A+A)= Ta»A+Ta»A - 2Ta"A

1-TanATanA l-Tan2A

Cuando en una función cualquiera se quiere hallar en donde su gráfica corta al eje X, se reemplaza en la función la variable Y por cero,- esto origina una ecuación que se clasificará de la misma manera como se clasifican las funciones. Esto es en.- ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarít-micas, trigonométricas, etc.

En toda ecuación hay una igualdad con mínimo una incóg-nita.

a. Ecuaciones lineales: en ellas el grado de la incógnita es 1. Por ejemplo 6x + 10 = 8. Aquí, para conocer el va-lor de la incógnita se despeja y se obtiene que x= -1 /3

• Ecuaciones lineales con dos o más incógnitas: Conoci-das como sistemas lineales de ecuaciones. Existen varios métodos para resolverlas, como el de igualación, el de sustitución, el de reducción, por determinantes o el mé-todo giáfico.

Cualquiera que sea el método empleado, al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se está ha-llando el punto del plano cartesiano donde se cortan las dos rectas. Si el sistema es de tres ecuaciones con tres incógnitas, al resolverlo se halla el punto en el espacio donde las tres rectas se intersectan.

Con el sistema: x-2y = 8, y, 2x-y= 7, se van a ilustrar todos los métodos de solución. Llamemos I a la ecuación x-2y = 8 y II a la ecuación 2x-y=7

1. Método de igualación: se despeja en I y II la variable,

x = 8+2y

x= (7+y)/2

Se igualan las dos expresiones anteriores:

x«x

8 + 2y= (7+1)1

En la igualdad obtenida se despeja la única incógnita exis-tente:

16 + 4y = 7 + y

3y = -9

y - 3

Sustituyendo el valor de y en la ecuación i:

x-2(-3)-8

x+6-8

x-2

Solución del sistema: x = 2, y = -3 Es decir, las dos rectas se cortan en el punto (2,-3)

2. Método de sustitución: en una de las dos ecuaciones se despeja una de las incógnitas y se reemplaza en la otra.


Tomando la ecuación t, x - 8+2y, y reemplazando x en la ecuación II.

2(8+2y)-y = 7

16+4y-y = 7

3y = -9

y - 3

Nuevamente se sustituye el valor de y en una de las dos ecuaciones. En la ecuación II:

2x-(-3) = 7 2x+3 =7 x =2

3. Método de reducción:

2x-v •• /

Para eliminar la variable x, se multiplica la ecuación I por el factor -2 y se suman miembro a miembro las dos ecuacio-nes.

2x + 4y = -16 + 2x + y = 7 ~3y ~= -9

Siendo y= -3 , al reemplazarla se obtiene x = ±2

4. Método gráfico: se hacen en un mismo plano cartesia-no las gráficas de las dos rectas y así se determina el punto donde se cortan.

x-2v=8

-2y-8-x -y=7-2x

2y = x-8 y = 2x-7

y = (x-8 )/2

Y -4 - 2

5. Método de determinantes:

• Matriz: ordenamiento de un conjunto de números en filas y columnas. Por ejemplo:

-5 0 -7 2 1 -6

SI hay igual número de filas (las horizontales) y columnas (las verticales), la matriz se llama cuadrada y existe para ella el determinante.

En una matriz cuadrada de dos filas y dos columnas (orden 2) el determinante se define así:

1 2 3 -8

a b c d =a x d - c x b

La solución del sistema x-2y = 8 y 2x-y=7 por determinantes es:

8 -2 7 -1 -8+14 6 1 -2 -1+4 3 2 -1

1 8 2 7 7-16 -9 1 2 -1+4 3 2 -1

=2

=3

• Ecuaciones exponenciales: en ellas la incógnita hace parte del exponente de la base, siendo la base una cons-tante.

Ejemplo 1:

Solucionar la ecuación 2x - 132

2x = 27

luego x=7

Ejemplo 2:

Solucionar ta ecuación 243 - 3x+2

35 = 3x+2

luego x + 2 = 5

x=3

a. Ecuaciones logarítmicas: la Incógnita está bajo un logaritmo.

Ejemplo 1:

Solucionar la ecuación Log,x - 5


Al expresarlo en forma de potencia se obtiene:

25-x

32-x

Ejemplo 2 :

solucionar la ecuación Log (x+2) - 3+Log x. Trasponiendo términos:

Log3(x+2) - Log3x - 3

Por propiedades de los logaritmos:

Log3 - r ) Log3 - r )

=3 x /

Expresándolo como potencia

33 íx+2 l X

27x-x+2 ^

X = 1/13

Lo que Implica que:

b. Ecuación cuadrática: toda ecuación de la forma ax2 + bx +c = 0 con a, b, c constantes y a*0. Se identifica porque la incógnita está elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática puede solucionarse por diferentes métodos; entre ellos, por factorización del trinomio, o me-diante la fórmula:

X = -b ± y\b2-4a

2a Ejemplo:

hallar la solución de la ecuación x2 + 7x = 18

Se debe igualar a cero la ecuación: x2+7x-18=0

1. Por factorización: (x+9Mx-2) - 0

Uno de los dos factores debe ser 0:

x+9 = 0 ó x-2 - 0

X--9 ó x=2

2. Por fórmula:

• 7±^72-4(l)(-18) x=

2(1) -7 ±^49+72

2 -7 ± 1

-7+1 x= -

x-2 ó

X= -7-1

x=-9 [general

de segundo grado Ecuación

Se considera como ecuación general de segundo grado a toda ecuación de la forma Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0

A, B, C, D, E, F son constantes sin ser A y B ¡guales a cero simultáneamente. Dependiendo del valor que tomen A y B se obtienen las diferentes cónicas que son : circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

Circunferencia: definida como el conjunto de puntos que tienen una misma distancia a un punto fijo llamado centro. La distancia fija determina el radio de la circunferencia

I Y

El punto C(h, k) es el centro. El radio es: r La ecuación general de la circunferencia es: Ax2+Ay2+Cx+Dy+E = 0.

La ecuación ordinaria es: (x-h)2 + (y-k)2 = r2. Si el centro es el punto (0,0) la ecuación es: x2+y2=r2

La elipse: dados F, y F2,dos puntos fijos, se define la elipse como el conjunto de puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a F1 y F2 es una constante:

PF1 + PF2 = constante

La ecuación general de la elipse es: Ax2+By2+Cx+Dy+E - 0, siendo A*B.

• Elementos de la elipse:

Y


Oh, k) = centro

F r f, - focos

V,, V2 - vértices

a = distancia entre el centro y cualquiera de los vértices

b = distancia entre el centro y cualquiera de los puntos A y

A'

BB' = lado recto = 2b2/a

V,V2 - eje mayor = 2a

AA' = eje menor 12b

e - excentricidad - c/a

Eje foca" - recta en la que están ubicados los focos

La ecuación ordinaria de la elipse es:

a. Cuando el eje focal es paralelo al eje X:

t Y

(x-h)2 | (v-ky _}

a- b2

b. Cuando el eje focal es paralelo al eje Y: A \y

(x-h)2

b2 (y-k)2 _1

a-Sl el centro de una elipse es el punto (0,0) las ecuaciones se reducen a:

x2/a2 + y2/b2 = 1 ó x2/b2 +y2/a2 = 1

La hipérbola: si F1 y F2 son dos puntos fijos, se define la hipérbola como el conjunto de puntos P del plano, tales que la diferencia entre sus distancias a los puntos fijos es una constante.

La ecuación general es:

Ax2-By2+Cx+Dy+E=0

Puede ocurrir que A - B.

ó By2-Ax2+Cx+Dy+E=0

Los puntos fijos F, y F2 se llaman focos y el punto medio entre ellos es el centro C(h, k).

» Elementos de la hipérbola Y I

C = centro con coordenadas (h, k)

F, y F2 - focos

V, y V2 - vértices

L, y L2 - asíntotas

a - distancia del centro a los vértices

b = distancia del centro a los puntos A y A'

c - distancia del centro a los focos,- c2 - a2+b2

e - excentricidad = c/a

PP' lado recto - 2b2/a

V,V2 = eje transverso = 2a

\Y eje conjugado 2b

» Ecuación ordinaria de la hipérbola:

a. Cuando el eje transverso es paralelo al eje X:

! Y

(x-h)2 + =1

ct b2

b. Cuando el eje transverso es paralelo al eje Y:


(x-h)2 , (y-k)2 =1

a2 b2

Cuando el centro es (0,0) la ecuación ordinaria se reduce a:

x2/a2 - y2/b2 = 1 ó y2/a2 - x2/b2 = 1

Ecuación de las asíntotas:

y-k=±b/a(x-h)

La parábola: si F es un punto fijo y D una recta fija, se define la paábola como el conjunto de puntos P del plano, tales que su distancia a D es igual a su distancia a F. Así, Distancia a F - Distancia a D.

La ecuación general de la parábola es: Ax2+Cx+Dy+E=0 ó By2+Cx+Dy+E=0.

» Elementos de la paábola:

I Y

F = vértice de coordenadas (h, k)

F - foco D = recta directriz

EE' = lado recto - 4p

p = distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz

Eje focal = recta sobre la cual están el foco y el vértice

» La ecuación ordinaria de la paábola puede sen

a. Cuando el eje focal es paralelo al eje Y:

I. (x-h)2 = 4p(y-k)

II. (x-h)2 = -4p(y-k)

b. Cuando el eje focal es paralelo al eje X:

I. (y-k)2 = 4p(x-h)

II. (y-k)2 = -4p(x-h)

Si el vértice es el punto (0,0) las ecuaciones se reducen a:

x2 = ±4py ó y2 = ±4px

Sucesiones y progresiones

Una función en la que el dominio es el conjunto de los nú-meros naturales y a cada número natural se le asigna un ele-mento de los números reales, se llama sucesión.

Sucesión ={<1,f(1),<2,f(2)),(3,f(3)), <4,f(4)),...}

El conjunto de las imágenes conforma los términos de la su-cesión,- la notación de una sucesión se simplifica así:

{f(1), f(2), f(3), f(4) }

Cada uno de los términos del conjunto anterior se denomina con una letra y un subíndice.

a,= f ( l ) a2 = f(2) a3 = f(3) a5 = f(5)

an = término general de la sucesión = f(n)

Finalmente la sucesión queda: {an} = {al, a2, a3, a4,...}

Ejemplo: {an}= {1,1/2,1/3,1/4, }

Determinar una sucesión es dar una regla que permita obte-ner el término correspondiente a un lugar dado.

Ejemplo 1: La sucesión cuyo primer término es 2 y se genera sumándole 1 al cuadrado del anterior.

{an} = {2, 5, 26, 677,...}

Ejemplo 2:

n+1 an= -

n2+l entonces la sucesión queda:

{an} = {1,3/5,2/5,5 /17,3/13 } Progresión aritmética: cuando en la sucesión luego del primer término cada uno de los siguientes se obtiene su-mándole un valor constante al término anterior, ésta se llama progresión aritmética.

Ejemplo: {5, 8,11,14,17,...}

El primer término es 5 = a

la constante sumada r= 3


Si la progresión tiene un número finito de términos se defi-nen en ella:

Número de términos - n

Último término = a n

Si en el ejemplo anterior se considera la progresión de 6 tér-minos, entonces n=6 y a =20. 1 n

En toda progresión aritmética se puede establecer que

yquean = a, + (n-1)r

Está última expresión permite calcular en una progresión arit-mética un término cualquiera, la razón, el primer término o el número de términos, siempre y cuando sean conocidos los otros tres elementos.

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

(a+aj x n S ' r 2

Progresión geométrica: si en la sucesión cada térmi-no, después del primero, se obtiene multiplicando al tér-mino anterior por una constante, ésta se llama progresión geométrica.

Los elementos de una progresión geométrica son:

Razón= r (cantidad constante que multiplica)

Primer término = a,

Último término = a n

Suma de los n primeros términos = Sn

Número de términos = n

En toda progresión geométrica se cumple:

r = a /a , n' rv¡

a =a, r , n 1 n-1

S = (a *r-a, )/r-1 n n 1 '

Sucesión creciente o decreciente: cuando en una suce-sión cada término es mayor que el anterior, an > an1 la suce-sión se llama creciente.

Si an < an1 entonces se llama decreciente.

Sucesión convergente o divergente: cuando los térmi-nos de una sucesión tienden hacia un número fijo, es decir tiene un límite, la sucesión se dice que es convergente.

Si los términos tienden a + ° ° ó a es decir no hay límite, se llama divergente.

Hay sucesiones que no son convergentes ni divergentes,- son las llamadas sucesiones oscilantes.

Ejemplo:

íl/nh ¡1,1/2.1/3,1/4, I Converge a 0

{2n} - [2,4,8,16,32 } Divergente

H-2)n}= [-2,4,-8;16,.32,64,.. .} Oscilante.

Límite de una sucesión: una sucesión {an} tiene un límite c, si sus términos tienden a ese valor c, y se escribe:

Lim an = c

n —»oo

Algunas propiedades en límite de sucesiones son:

1. El Lim an varía según el valor de a así: n—>oo

Si a>1 entonces Lim an= °° n—>oo

Si a = 1 entonces Lim an =1 n—>oo

Si -1<a<1 entonces Lim an = 0

n—

2. Si {an} —>0 Lim 1 =°°

n—><» an

3. Sitan}—Lim 1 = 0

n—> an

4. Si k es una constante,

LimK*a = K*Lim a n n n—>oo n—>o°

Ejemplo 1:

Lim n3+3n2+n-2 n—>oo 2n3+2n-5

Lim n3/n3+3n2 / n3+n/n3-2n3

n—>oo 2n3/n3+2n/n3-5/n3

Lim 1+3/n+l/n2-2n3 1+0+0-0 _ 1

> oo 2+2n2-5/n3 2+0-0 2

Ejemplo 2:

Lim 5 " - i "

n—>a 5-6"

Lim 5"+6" +3"+6"

n^a 5/6"-6"/ó"

__ Lim (5/6)"-(3/6)"

n-+a 5/6"-l +-0


Ejemplo 3:

Um (1+1/n)n - e

n—>°° Funciones y límites de funciones: si f(x) es una función de los reales tal que:

f(x) = {(x1,f(x1)), (x2,f(x2)), (x3,f(x3)) }, al conjunto {xl, x2, x3) se le llama Dominio de la función y al conjunto {f(x1 )1, f(x2), f(x3),...} se le llama Rango o recorrido de la función.

Composición de funciones: si f(x) y g(x) son dos funciones se define la composición de f(x) y g(x) así:

(f o g)(x) = f(g(x))

Ejemplo:

f(x)=x2 g(x)=2x+1

(f o gKx) - f(g(x)) = f(2x+1) - (2x+1 )2 - 4xMx+1

(g o f)(x) I g(f(x)) - gíx2) - 2x2+1

Nótese que (g o fXx) * (f o gKx).

Límite de funciones: si en una función f(x) cuando x se acerca a un valor 'a', sea por la derecha o por izquierda, f(x) se acerca a un valor b, se dice que el límite de la función cuando x tiende a 'a' es 'b'.

Limf(x) - b

x—>a

Propiedades:

1. LimK=K

x-»a

2. LimK*f(x) = K*Limf(x)

x—>a x—>a

3. Lim (f(x) + g(x» = Lim f(x) + Lim g(x)

x—>a . x—>a x—>a

4. Limf(x)/ g(x) = (Lim f(x))/ (Lim g(x)) x-> a x-> a x-> a

Ejemplos:

1.

Lim 5x2+6x=5(3)2+6(3)2=63

n— 2.

Lim n—*-3 3.

Lim x2-9

x2-9 (-3)2-9 9-9 Q x-3

o

-3-3 =0

n->-j x-3 0 (Indeterminación); hay que romper esa in-determinación así:

x-3=-3-3~6 Lim x--9 _ Lim (x+3)(x-3) _ Lim

n—*-3 x-3 n->-3 (x+3) n—*-3

4.

Lim \ír- / X—*l X-l Al reemplazar da 0/0 (indeterminación)

Lim Vjc -1 Lim dx-i) dx-+/j c—>1 (x-lX-Jx+1) x—>1 x-l

Lim (x-l) x-*l (X-1)(^X+1)

_ Lim 1 1 1 x-+l x+1 1+1 2 5. Para límites de funciones trigonométricas se da por de-

mostrado que:

Lim Senx =1

x^O x Lim Sen5x Lim 5\Sen5x

P J

x—>0 x x—>6>

_5 x Lim Sen5x X—+0 5x

5x

5\1 =5

6. Lim Cosx-1

x—*0 Tanx CosO-1 1-1

0 TanO

(indeterminación, entonces

Lim (Cosx-l)(Cosx+l) Lim Cosx-1

x-*0 Tanx x—>0 Tanx

Lim (Cos2x-l) Lim Sen:x Lim CosxSen:x

x —>0

Lim

x-*0

Tanx x—>0 Tanx x—*0

CosxSenx=CosO X SenO=l x 0=0

Senx

Inecuaciones Desigualdad: si a*b, se está ante una desigualdad que tie-ne dos posibilidades: a<b o a>b.

Si la desigualdad contiene términos desconocidos, se habla de Inecuaciones que pueden clasificarse de acuerdo al gra-do en lineales y cuadráticas o racionales.

• Inecuaciones lineales: se resuelven con un proce-so similar al de las ecuaciones lineales. Se diferencian


de estas en que la solución no es un conjunto finito [(x+9)>0y (x-2)>0] ó de números sino un Intervalo de números reales. r „ tx > -9 y x > 2] o

x £ (2,) Ó Ejemplo:

hallar la solución de la inecuación 3x-6<1+x

3x-x <1 +6 2x<7 x<7/2

• Inecuaciones cuadráticas y racionales: se deben comparar con cero y luego llevarla a factores lineales. Los siguientes ejemplos ¡lustran el proceso.

Ejemplo 1:

hallar la solución de la inecuación cuadrática:

X2+7x>18

X2+7x-18>0

(x+9)(x-2)>0

[(x+9)<0 y (x-2 ><0]

[x < -9 y x < 2]

x8(-°°, -9) xS[(2, 2)]

Ejemplo 2:

hallar la solución de la inecuación racional

[(x+3) y (2x-4)>0] ó

[(x+3) y (2x4)<0]

[x

[x

x£(2, o

x8[(-°°,-3) (2, °°)j

x>2] ó

x<2]

xS(-°°,-3)

• Derivadas e integrales fundamentales

Función Derivadas Integrales

II Sí f ' (x = ax In a f í ix axdx- T + c

j In a f(x) = ex f ' (x = ex 1 exdx = ex + e

f(x) = In X f ' (x =

X í ^ = I n X + c J X

f(x) sen x f ' (x = eos X eos x dx = sen x + c

f(x) = eos X f ' (x = - sen x f sen x dx = - cos x + c

J

f(x) = tan x f ' (x = - sec2 x sec2 x dx = tan x + c

f(x) = cot X f ' (x = - esc2 x esc2 x dx = - cot x + c

f(x) = sec x f ' (x = sec x tan x | sec2 x • tan x dx = sec x + c

f ( x ) = CSC X f ' (x = esc x cot x | esc2 x • cot x dx = - esc x + c


*?5. Aleatoriedad

Se diferencian dos usos del método estadístico dando origen a dos clases de estadística.

Estadística descriptiva: es el método para obtener de un conjunto de datos, conclusiones sobre los mismos y que no sobrepasan el conjunto de conocimientos que proporcionan estos datos. Su estudio incluye el de las técnicas de colectar, presentar y analizar los datos.

Estadística inferencial: es el método y conjunto de técni-cas que se utilizan para obtener conclusiones que sobrepa-san los límites de los conocimientos aportados por los da-tos,- es decir, busca obtener información sobre un colectivo mediante un metódico procedimiento de los datos de una muestra de él.

Recopilación de datos

Población: población o universo en una investigación esta-dística es el conjunto de elementos a quienes se refiere el estudio,- a ellos va a analizar y a beneficiar.

Muestra: todo subconjunto de la población, escogido al azar y de cualquier cantidad de elementos o tamaño.

Investigación estadística: es toda operación orientada a la recopilación de información sobre una población. La in-vestigación puede ser tan simple como la recopilación de datos estadísticos obtenidos de informaciones provenientes de fuentes oficiales a nivel institucional o de publicaciones de organismos altamente especializados en estas materias, o tan compleja que requiera de la colaboración de especia-listas en las diferentes materias.

Algunos de los aspectos básicos en el planteamiento de una investigación pueden sen

1. Determinar el objetivo de la investigación. Qué se inves-tigara, cómo se realizas, cuándo se realizara, dónde se realizara?.

2. Determinar el elemento de la población que origina la in-formación.

3. Recolectar la información, que puede ser por observación, por encuestas, o simplemente obtenida de publicaciones o fuentes confiables.

4. Procesar la información, consiste en ordenar la informa-ción, eliminar posibles errores y analizarla mediante los métodos y normas estadísticas.

5. Publicar resultados, luego de revisarlos

Presentación de la información: una vez obtenida cualquier información, se debe escoger la forma de orga-

nizaría, lo cual puede hacerse en cuadros, planos, gráficos de línea, pictogramas, gráficos de barras, o en diagramas circulares.

• Cuadros: es la organización de los datos en filas y co-lumnas de tal manera que pongan en evidencia los as-pectos que interesa mostrar y resalten las comparaciones que se desean hacer.

Ejemplo:

Los datos que muestran el consumo de agua de cierta fa-milia en los meses de enero a junio se pueden ver en el siguiente cuadro.

FACTURA CONSUMO REAL Enero 1 - Febrero 1 20m3

Febrero 2 -Marzo 2 21 m3

Marzo 3 -Abril 3 18m3

Abril 4-Mayo 4 25m3

Mayo 5 -junio 5 30m3

Junio 6 -Julio 6 22m3

Planos: es la forma de representar los datos con puntos en el plano cartesiano,- al eje X se asignan los datos de la variable independiente y al eje Y los de la variable de-pendiente.

A(X)

> X Ejemplo: el anterior plano muestra como varía el aumen-to de sueldo de los empleados de un almacén en térmi-nos de el número de artículos vendidos.

• Gráficos o diagramas de línea: se representan en un sistema de dos coordenadas en el que los puntos se unen, determinando una línea que puede tomar diversas formas. Son muy utilizados cuando se representan series cronológicas, es decir cuando la variable independiente es el tiempo que se representa en el eje horizontal. Al mi-rar una gráfica de este tipo el observador comúnmente dirige su atención a la altura vertical, y cuanto más incli-nada sea una línea, mayor es la variación en la relación entre las cantidades que miden los ejes, pero general-

H


mente se presta poca o ninguna atención a algo funda-mental que son las escalas de valores de los ejes.

Ejemplo :

Gráficos de líneas

Ejemplo:

-ili:>ni ladas 240 200 160 120 t

80

40 Triso Maíz o

.5

I 990 1 99) i «92 1 993 1 994 I 995 I 996 I 997 1 998 I 999

• Pictogramas: un pictograma es la representación de datos estadísticos por medio de símbolos que por su for-ma sugieren la naturaleza del dato. Esta técnica se utiliza para mostrar comparaciones que impacten, llamando la atención del público en general cualquiera que sea su nivel.

La magnitud de los datos por los pictogramas son aproxi-maciones burdas y no sirven para análisis serios de esta-dística.

Frente a un pictograma, un observador siempre muestra indecisión en la comparación de alturas, áreas, volúme-nes, etc.; por eso en todo trabajo con pictogramas las cantidades se expresan con un mayor o menor número de figuras ¡guales.

Ejemplo:

La población en 1980 de los siguientes países era:

Argentina f f f f f f f f f f f f f f

28 millones 160

Bolivia

6 millones

Colombia

21 millones

Venezuela

14.5 millones

f f f t

ffffffffff-

f f t f í f í t

Gráficos de barras vertical

4 Porcentaje 2 6 0 -240-220— 2 0 0 -180-1 6 0 -140--120 - - o ¡c < 1.9901.991 1.9921.993 1.994 1.99S 1.9961.997 1.998 1.999

Gráficos de barras horizontal

América África Asia

Europa mm wm Oceania mm wm

5 10 15 20 25 30 35 40 45 Superficie en millones de Km2

• Gráficos o diagramas circulares: Se utilizan para re-presentaciones gráficas de distribuciones porcentuales. Si se les quiere utilizar en secuencias cronológicas, es necesario dibujar círculos de igual tamaño, uno por cada año, mostrando en cada círculo la correspondiente distri-bución porcentual.

Ejemplo: La producción de un artículo durante los cuatro trimestres del año se puede representar así:

Gráfico circular

iflBSBBEB

Gráficos o diagramas de barras: son menos llamati-vos que los pictogramas, pero en cambio proporcionan más información y permiten una apreciación estadística más rigurosa.

Cuando los datos estadísticos de que se dispone son nume-rosos, poco o nada se puede hacer con ellos si no se les organiza y clasifica, es decir, se les arregla de acuerdo con algún método.

• Rango: en todo conjunto de valores estadísticos hay va-lores extremos; a la diferencia entre el mayor y el menor se le llama rango y en ese intervalo están distribuidos todos los demás valores del conjunto.


• Intervalos de clase: Son los sub-lntervalos en que se di-vide el rango para agrupar en ellos los datos estadísticos. Todo intervalo está determinado por sus límites superior e Inferior y la diferencia entre ellos se conoce como el ancho o tamaño del intervalo. El primero y el último de los Intervalos de clase pueden ser abiertos, pero no los Intermedios.

En un Intervalo de clase suele determinarse un punto re-presentativo llamado marca de clase, y es el punto medio del intervalo.

Si los intervalos de clase son muy pocos, se pierden deta-lles,- y si son muchos, aparte de lo dispendioso del trabajo, se manifiestan Irregularidades que no permiten apreciar con claridad un patrón de comportamiento. La mayoría de los analistas recomiendan no menos de 5 ni mas de 18 intervalos de clase. Por regla general, los Intervalos de clase son de igual tamaño.

Ejemplo:

el instructor de atletismo de un colegio tiene a su cargo 108 niños,- toma en centímetros la estatura de cada uno de ellos y organiza los datos en un primer cuadro, CUADR01, en el que se aprecia la frecuencia de cada dato. Posteriormente elabo-ra un CUADRO 2, en el que organiza los datos en Intervalos de clase y determina la frecuencia para cada intervalo.

CUADRO 1

X = Estatura en centímetros F = Frecuencia de cada dato

• Histogramas: son una forma de representar gráficamen-te las frecuencias de los Intervalos de clase, que consiste en representar las frecuencias por medio de áreas de rec-tángulos (barras). Los histogramas son diferentes de los diagramas de barras,- en un diagrama de barras las alturas de éstas miden el tamaño de la variable y generalmente se dibujan separadas, es decir dejando espacios entre ellas. En un hlstograma las frecuencias quedan represen-tadas por el área de los rectángulos, no por sus alturas, y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacio entre ellas.

Ejemplo:

Frecuencias

edad

Polígonos de frecuencia: se obtiene uniendo las altu-ras de los rectángulos del histograma.

Ejemplo:

INTERVALO DE CLASE EN CM. FRECUENCIAS

123.5-128.5 1

128.5-133.5 4

133.5-138.5 9

138.5-143.5 24

143.5-148.5 29

148.5-153.5 22

153.5-158.5 14

158.5-163.5 5

Con el objeto de interpretar mejor los datos existen algunas medidas obtenidas de operar con los datos. Pueden clasi-ficarse en medidas de tendencia central y medidas de dis-persión.

Medidas de tendencia central: su nombre lo Indica, bus-can un valor alrededor del cual giran los demás. Hacen parte de estas medidas la media aritmética, la mediana, la moda, y la media geométrica.

• Media aritmética: es la suma de todos los valores dividida entre la cantidad de datos.

Ejemplo : la media de 3, 6,15,4, 23 y 18 es:


3+6+15+4+232+18 6 ~~ '

• Media aritmética ponderada: se aplica para calcu-lar el valor promedio de cantidades a cada una de las cuales le ha sido asignado un peso que lo pondera; se calcula por el cociente entre la suma de los pro-ductos de las cantidades por sus respectivas ponde-raciones y la suma de sus ponderaciones.

Ejemplo :

en determinado semestre un alumno tomó 3 materias en las que obtuvo las siguientes calificaciones:

Materia 1 = 3.5 Materia 2 = 4.2 Materia 3 = 2.0

Si la Materia 1 tiene una ponderación de 3 créditos, la Mate-ria 2 de 2 créditos y la Materia 3 de 5 créditos, su promedio sera:

3,5 x 3+4,2x2+2,0x5 -2,89

• Mediana: se define como el valor que divide a una distribución de datos ordenados en dos mitades; deja por encima de él igual número de datos que por debajo de él. Mientras que en la media no importa si los datos están ordenados, en la mediana es indis-pensable que estén ordenados de menor a mayor.

Ejemplo:

la mediana de los datos del ejemplo dado para media es : 3,

Si la cantidad de datos es un número par, la mediana se cal-cula hallando el promedio entre los dos datos centrales.

• Moda: en una distribución de frecuencias la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia.

Si los datos son irregulares y hay lagunas en los valores de la clase de la mediana, esta medida de tendencia central no resulta buena ya que su ubicación puede resultar falsa.

Si se desea calcular totales, la única medida utilizable es la media aritmética.

• Medidas de dispersión: las medidas de tendencia central describen el comportamiento de los datos en una distribución de frecuencia. Pero las informacio-nes que estas medidas proporcionan son limitadas y nada dicen sobre la forma en que eslán disemina-dos o dispersos los datos con relación a la tendencia central; además poco indican sobre un determinado dato con relación a otros de la distribución. Esto se logra con las medidas de dispersión, tales como el rango, la desviación media, la varianza y otras.

• Rango: diferencia entre los valores extremos.

• Desviación media: es la media aritmética de los va-lores absolutos de la desviación de los datos respecto a la media aritmética. Es una medida de dispersión bastante objetiva; cuanto mayor sea su valor mayor es la dispersión de los datos

Ejemplo:

para los datos 10, 2, 2, 9,17 la DM se calcula así:

10+2++2+9+17 Media aritmética: 5

=8

110-81 +1 2-81 +1 2-81 +1 9-8 | +1 i 7-51 DM= 5 -=24

Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de la desviaciones respecto a la media aritmética.

Análisis combinatorio Ejemplo:

La moda en 1,3,5,5,6,6,7,7,7, 8,8,9, 10 es el valor 7 por ser el que mas se repite.

• Media geométrica: en una distribución de n térmi-nos se define la media geométrica como la raíz n del producto de los n términos.

Ejemplo:

la media geométrica de 2,4, 6,12, y 18 es

v2x4x6x12x18=3,36 La medida de tendencia central que debe utilizarse depende de la información que se tenga y del objetivo que se persiga. Si la distribución es aproximadamente simétrica puede uti-lizarse indistintamente la media aritmética, la mediana o la moda.

Si los datos no están ordenados, puede resultar más fácil el cálculo de la media aritmética que el de la mediana.

Al análisis combinatorio, que incluye el estudio de permuta-ciones, combinaciones y particiones, le atañe la determina-ción del número de posibilidades lógicas de algún suceso sin enumerar necesariamente cada caso.

Principio fundamental del conteo: si algún suceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes, y siguiendo este suceso, un segundo suceso puede ocurrir de n2 maneras diferen-tes, y siguiendo este suceso, un tercer suceso puede ocurrir de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los sucesos pueden ocurrir está indicado por

n1*n2*n3*....

Ejemplo:

si una placa de automóvil contiene tres letras y tres dígitos, con el primer dígito diferente de cero, el número de placas que se pueden fabricar es: 27*27*9*10*10 = 656.100 teniendo en cuenta que hay 27 letras y 10 dígitos; además el primer

Repaso de Matemát icas — i

dígito no puede ser 0, luego se puede escoger de solo 9 maneras.

Permutaciones: cualquier arreglo de un conjunto de n ob-jetos en un orden dado se llama permutación de los objetos, tomados todos al tiempo.

Ejemplo:

en conjunto de las letras a, b, c y d, bdca, deba, acbd, son permutaciones de las 4 letras.

También bad, adb, cbd, bea, son permutaciones de las 4 le-tras pero tomadas de a 3.

MUESTREO: muchos problemas en análisis combinatorio y particularmente en probabilidad, se refieren a escoger un elemento de un conjunto que contiene n elementos.

Cuando se extrae un elemento r veces puede ocurrir que se reintegre al conjunto o que no se reintegre inmediatamen-te. De acuerdo a si se reintegra o no se dan dos clases de muestreo:

• Muestreo con recolocación. El elemento se vuel-ve a colocar antes de escoger el siguiente elemento. Como hay n maneras diferentes de escoger cada ele-mento el número de muestras ordenadas diferente está dado por n *n*n*n... (r veces) = nr

• Muestreo sin recolocación. Cada elemento que se saque no se devuelve,- entonces no hay repeticio-nes en la muestra ordenada y el número de muestras ordenadas entonces está dado por

n(n-1 )(n-2)(n-3)...(n-r+1)

Probabilidad

La probabilidad es el estudio de los experimentos aleatorios. Si se lanza un dado se tiene certeza de que caeiá, pero no hay certeza de que salga por ejemplo un 6. Sin embargo supóngase que se repite este experimento de echar el dado. Sea s el número de-aciertos (el número de veces que apa-rece un 6), y sea n el número de lanzamientos. Entonces la probabilidad de que al lanzar el dado caiga en 6 está dada por por: p=s/n

Ejemplo:

al lanzar un dado, un número par puede salir de 3 maneras (2, 4 ó 6) de las 6 posibilidades totales. La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par es

_ 3 _ 1

~ 6 ~ 2

Sucesos mutuamente exduyentes:

P(E1+E2) = PE1+PE2

Ejemplo:

hallar la probabilidad de obtener un as o un rey al extraer una carta de una baraja española.

P(E,+E2) = 4/40 + 4/40 = 8/40 = 2/10 = 1/5

Sucesos no excluyentes:

P(E1+E2) = PE1+PE2 - P(E1E2)

Ejemplo: hallar la probabilidad de que al extraer una car-ta de una baraja española resulte ser un as, una espada o ambas cosas.

P(E,+E2) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40

Sucesos independientes:

P(E1E2)- PE1PE2

Ejemplo: hallar la probabilidad de obtener cara en el quinto lanzamiento y cara en el sexto lanzamiento de una moneda.

P<E,E2) = Vi * Vi = V4

Sucesos dependientes:

P(E1 E2) = PE1(E2/ El)

Ejemplos: Una caja contiene tres bolas blancas y dos bo-las negras. Hallar la probabilidad de que en extracciones sin remplazamiento, la primera bola extraída sea negra y la segunda bola extraída sea negra.

P(E,E2) = 2/5 * 1/4 = 1/10

*#6. Preguntas Tipo lefes Preguntas de selección múltiple con única respuesta

Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales usted debe escoger la que considere correcta.

1. En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.

Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que lo llenara completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era

A. obtener pintura verde con una tonalidad inicial

menor a la


B. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60 %

C. obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la Inicial

D. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50 %

2. En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.

Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pin-tura roja, pero para su trabajo requiere mínimo 50 cm3 de la misma. El asegura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonalidad no dismi-nuya más de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisión de

A. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 2,5

B. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 10%

C. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 50%

D. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 60%

3. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 5 pregun-tas a continuación:

Se realizaron unas pruebas con esferas de un metal expe-rimental. Se descubrió que si se deja caer a una determi-nada altura una esfera de volumen V se divide en dos es-feras de volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura, se dividen en cuatro esferas de volumen V/4 y así sucesivamente. A continuación se muestra un dibujo que representa la prueba planteada:

\ ooeoooo© Escalón 3 N

Escalón 4 \qoocooooe>oooo¿\

Al practicar estas pruebas, se afirma que el número de es-feras que se tendía en el escalón 6 es 64, esto es debido a que:

A. el número de esferas de un escalón determinado es un número par.

B. escalón a escalón se duplican las esferas y ésta es la sex-ta duplicación.

C. el número de esferas se obtiene elevando 2 al número del escalón deseado.

D. escalón a escalón se aumenta en un número par de es-feras.

4. Los encargados de realizar las pruebas desean construir una representación que muestre el número de esferas por escalón y la suma de los volúmenes de las esferas por escalón, ¿Cuál considera usted que es la representación adecuada?

A . r ., Numero Suma de Escalón . r i. de esferas volúmenes B. Número Suma de

de esferas volúmenes

0 1 V 0 V

1 2 V 1 2 V/2 2 4 V 2 4 V/4 3 8 V

3 8 V/8 4 16 V

c. Suma de volúmenes V j

VI /

V

Suma de volúmenes

ytf

7̂651 8' Número de esferas

' l 4

Número de esferas

5. Al empezar el experimento con tres esferas en el escalón cero y comparando con las características del experimen-to anterior, puede suceder que:

A. frente a la prueba anterior el número de esferas en un escalón aumenta en 3 esferas.

B. en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es tres veces el número de esferas del escalón anterior.

C. en cada escalón habiá el triple de esferas que había en el mismo escalón en la prueba anterior.

D. en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es el doble de los que se tenían en el escalón anterior.

6. Se encontró una regularidad frente al aumento de esferas por escalón, la expresión que muestra el número de esfe-ras en un escalón a partir del número del escalón es:

A. 2n, porque si n es el número del escalón se logra 1,2,4,8,16... esferas, empezando desde el escalón cero.

B. 2 * n, debido a que se logra el número de esferas espe-radas en los escalones 1 y 2 si n representa el número del escalón.

C. 2n-1, ya que representa el número de esferas de un es-calón, siendo n el número del escalón siguiente al de-seado.

D. 22, porque representa el número de esferas en el esca-lón dos.

7. Con base en la variación o aumento de esferas por esca-lón se puede afirmar que:

A. se tendiá siempre el doble de esferas de un escalón a otro.

B. el número de esferas en un escalón se representa por medio de una potencia de uno.

Repaso de Matemát icas HHHHHMl

C. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3,3 al 4,...aumenta 2, 4, 8, 16,... esferas respectivamente.

D. del escalón 0 al 1,1 al 2, 2 al 3,3 al 4,... aumentan 1, 2,4, 8,... esferas respectivamente.

8. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 4 pregun-tas a continuación:

En una fabrica de congeladores construyen neveras como la representada en el dibujo. En el manual de Instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 44 litros para el congelador y 176 litros para el conservador.

Congelador 0,24 m

Conservador

0,52 m 0,60 m

Para información a los consumidores se grafica la distribu-ción del volumen total de la nevera. La gràfica más adecuada sería:

A.

B.

C.

D.

Volumen en litros 176

166.8

44

S Congelador IXI Conservador 0 Accesorios y

relleno

Volumen en litros 176

166.8

44

B Congelador N Conservador B Accesorios

y relleno

Accesorios y relleno 168,8 cm3

9. En el manual de instrucciones de la nevera se menciona que la proporción entre el volumen del congelador y del conservador es de 1 a 4, respectivamente. Esto significa que:

A. por cada litro de volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador

B. la diferencia entre volúmenes en litros apenas es tres ve-ces el volumen del congelador

C. el volumen del congelador es 1/4 en comparación al vo-lumen del conservador

D. por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volumen en el conservador.

10. La empresa decidió construir un nuevo modelo de ne-vera, manteniendo el volumen total de la anterior y en el que la proporción entre el volumen del congelador y el conservador sea de 1 a 3 respectivamente. Analizando esta proporción se puede afirmar que en el nuevo mo-delo:

A. el volumen del conservador y el del congelador aumen-tan respecto a la nevera inicial

B. el volumen del congelador aumenta y el volumen del conservador disminuye, en comparación con la nevera inicial.

C. el volumen del congelador representa un tercio y el del conservador representa dos tercios del volumen total.

D. el volumen del congelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total.

11. El espacio para colocar la nevera en el apartamento de don Felipe tiene un área rectangular de 3.900 cm2. Él po-dría colocar allí una nevera como la representada en el dibujo inicial, si:

A. la medida de las dos dimensiones del área rectangular es la misma (Aprox. 62-45)

B. la medida de una de las dimensiones del rectángulo es 80 cm.

C. la medida de un lado del rectángulo es 52 cm.

D. al multiplicar las medidas de cada una de las dimensio-nes del rectángulo no exceda a 3.900 cm2.

12. De acuerdo con el texto, responda las 4 preguntas que aparecen a continuación:

En un campeonato de banquitas, en el cual participan 4 equi-pos llamados A, B, C y D, se tiene la siguiente tabla parcial de resultados, la cual está incompleta.

Partidos jugados

Partidos jugados

Partidos empatados

Partidos Perdidos

Goles a favor

Goles en contra Puntuación

A 1 3 0

B 3 2 3

c 2 2 1

La puntuación se maneja de la manera siguiente

2 puntos para el equipo ganador.

0 puntos para el equipo perdedor.

1 punto para cada equipo en caso de empate.


ii

Cada equipo hasta el momento de elaborar la tabla ha juga-do a lo más un partido contra cada uno de los demás equi-pos. Además analizando los datos presentados en la tabla se observa que hay un error.

De acuerdo con los datos presentados en la tabla, es posible afirmar que:

A. A jugó un único partido, en el cual obtuvo 2 puntos

B. B al tener 3 puntos y haber jugado tres partidos, obtuvo un empate, un triunfo y una derrota.

C. C jugó dos partidos y obtuvo un empate y una derrota.

D. D jugó dos partidos, en los cuales obtuvo 1 punto.

13. Al tratar de completar la tabla, observamos que:

A. B no pudo haber jugado 3 partidos, pues tendría más goles en contra.

B. B tiene 4 goles a favor.

C. A y C no perdieron ningún partido.

D. C jugó dos partidos ganando uno de ellos 2 - 0 y perdien-do el otro 0 - 2.

14. Si el erraren la tabla fuera el número de partidos jugados por D, es decir, que D no hubiese jugado dos partidos sino uno, podría afirmarse que:

A. D, sólo hubiera podido jugar contra B.

B. A tendría más goles a favor.

C. B tendría que haber empatado sus tres partidos y por lo tanto la tabla inicial tendría más de un error.

D. D tendría que haber ganado el partido.

15. Si se maneja la puntuación de la manera siguiente:

C 1 punto para el equipo ganador

C 0 puntos para el equipo perdedor y

C 0 puntos para el equipo en caso de empate

Y se conservan todos los datos de la tabla Inicial ¿por qué no se puede completar totalmente la tabla?

A. porque B tendría que haber ganado los tres partidos y por lo tanto A tendría más de tres goles en contra.

B. porque C al tener dos goles en contra y dos a favor no podría tener un punto pues necesariamente habría em-patado.

C. porque B no tendría goles en contra

D. porque el total de goles a favor no sería Igual al total de goles en contra.

16. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 5 pre-guntas que se presentan a continuación:

Algunos estudiantes de una universidad recogieron Informa-ción acerca del número de hombres y mujeres que nacieron en un hospital durante 2 semanas. La información la registra-ron en las siguientes tablas:

Tabla 1. Nacimientos en la primera semana

DIA HOMBRES MUJERES Lunes 10 8 Martes 9 13

Miércoles 7 9 Jueves 12 11

Viernes 11 8 Sábado 6 8

Domingo 9 8

Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana

DIA HOMBRES MUJERES Lunes 20 17 Martes 22 10

Miércoles 20 9 Jueves 18 9 Viernes 22 11 Sábado 16 4

Domingo 17 8

Según los datos recogidos por los estudiantes durante las 2 semanas en el hospital ¿es posible afirmar que la probabili-dad de que nazca un varón en cualquier día de la semana es de 1/2?

A. Sí, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es del 50%.

B. No, porque el número de nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al número de nacimientos en la segunda semana.

C. Sí, porque al mirar el número de nacimientos al finalizar las dos semanas la cantidad de hombres nacidos es igual a la cantidad de mujeres.

D. No, porque los datos registrados en la tabla no permiten establecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas.

17. Respecto a los datos que se presentan en las tablas, ¿cuá-les diagramas representan el porcentaje de hombres y mujeres nacidos en la primera y segunda semana en el hospital?

44


A. Primera Segunda P r ¡me ra ' S e g u n d a Semana Semana S e m a n a S e m a n a

/" 100 %_| 100 %_

V j 7 I I 2 = s • Mujeres • Hombres u—1- L-1

C. Primera Semana

Segunda Semana

D.

c c 100%

Primera Semana

1001

Segunda Semana

• Mujeres •• Hombres

• Mujeres • Hombres

18. Con los datos que registraron los estudiantes desean ha-cer una comparación entre la cantidad de hombres naci-dos durante las 2 semanas. ¿Cuál de las siguientes giáficas representa mejor esta comparación?

• Lunes • Martes • Miércoles HH Jueves CU Viernes CU Sábado H Domingo Hombres

Primera semana Hombres

Segunda semana

Primera semana

B.

Hombres

C.

D. —

Primera semana

Segunda semana

19. Al iniciar la tercera semana, el departamento de esta-dística del hospital hace algunas predicciones, a partir de la información de la tabla, sobre los nacimientos que se pueden presentar en los siguientes días. Una de estas predicciones es que-.

A. la probabilidad de que nazca una mujer en viernes, sába-do o domingo es Igual.

B. la probabilidad de que nazca un hombre en sábado es un tercio.

C. con total certeza los nacimientos de hombres en jueves excedeián en 1 a los de mujeres.

D. aproximadamente por cada 5 hombres que nazcan en lunes, nacerán 2 mujeres.

20. Partiendo de los datos presentados en las tablas es falso afirmar que:

A. en la primera semana hubo más nacimientos que en la segunda semana.

B. el nacimiento de hombres en la primera semana fue me-nor que el nacimiento de mujeres.

C. el número de nacimientos de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres durante las dos semanas.

D. el número de nacimientos de mujeres fue mayor en la segunda semana que en la primera semana.


La tabla siguiente muestra el comportamiento de siete em-presas en cuanto a su Capital y su Utilidad durante tres años consecutivos

Capital Utilidad

1996 1997 1998 1996 1997 1998 Olímpica 1566 3100 9512 16328 20744 28444 Compaq -1858 2699 3934 -722 4191 14017 Colseguros -3200 -9191 149 -624 -6539 3410 (nterbanco -13935 -4583 -4419 -9202 792 1914 Citibank 483 120 -454 2899 2070 1997 Futuro 320 180 73 1231 803 703 SAM -438 -725 -1519 1134 1108 737

Valores en millones ($)

Una afirmación acertada que se obtiene a partir de la lectura de la información consignada en la tabla es: A. se observa que si en el capital hay un crecimiento o una

disminución de un año a otro, esto se refleja en la utili-dad.

B. los valores que se presentan en capital y en utilidad no guardan relación alguna.

C. el número de empresas en que el capital crece cada año es igual al de las empresas en que el capital disminuye.

D. en cada una de las empresas la mayor utilidad presenta-da se obtuvo en el último año considerado.

22. En Compaq se espera que la utilidad en 1999 crezca en la misma forma que lo ha hecho en los años anteriores. Esto significa que:

A. la diferencia entre 1999 y 1998 debe ser la mitad de la diferencia entre 1998 y el año anterior como sucede con los datos de la tabla.


m

B. el aumento de 1998 a 1999 debe ser el doble del aumen-to que se vio de 1997 a 1998 como se observa en los años anteriores.

C. el valor de la utilidad en 1999 sea una cantidad positiva y mayor a la obtenida en 1998.

D. la relación entre el aumento de 1998 a 1999 y el aumento de 1997 a 1998 sea de 2 a 1 al igual que la relación que se observa en la tabla.

23. Funcionarios de Olímpica afirman que su empresa fue la que tuvo la mayor recuperación de capital en los años considerados. Según la información de la tabla esto es:

A. verdadero, ya que es la única empresa que presenta au-mentos año tras año y los valores son positivos.

B. verdadero, aunque a futuro tiene el mismo comporta-miento,- la diferencia del capital de 1998 y 1996 fue mayor en Olímpica.

C. falso, ya que Olímpica es la segunda empresa en obtener recuperación, después de Interbanco.

D. falso, aunque Interbanco presente capitales negativos, la diferencia entre el último año y el primer año es mayor que en las demás.

24. De acuerdo con la información siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación:

Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la or-namentación como piezas de seguridad. Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden variar de acuerdo con las necesidades de los compradores.

2x-1

Pieza 2 Pieza 3

Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe:

A. a una pieza de dimensiones (2x+5)*2x*3x quitarle un pe-dazo de dimensiones x*x(2x+ 5)

B. ensamblar 5 piezas iguales, de dimensiones x*x(2x+5)

C. ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x*(2x+5) y otra de dimensiones x*x* (2x+5)

D. ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales cuyas dimen-siones corresponden a 2x*xy la otra de 3x*2x(2x+5)

25. SI la pieza 1 fuese hueca y se quisiera colocar piezas en su interior de la forma y dimensiones que se indican en la figura, la máxima cantidad de piezas que debe contener la pieza 1 es:

x-1

A. 9, porque en la base contiene 5, luego 3 y finalmente 1.

B. 4, porque en la base contiene 3, luego 1.

C. 9, porque en cada vértice hay 1, en cada lado hay 1 y en el interior 3.

D. 4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1.

De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación:

26. En una fabrica se realizó un estudio de mercadeo para analizar el precio de venta al público de un producto en función de las unidades que se distribuyen en el comer-cio, en dos ciudades diferentes. De dicho estudio se con-cluyó que:

I. el precio del producto en la ciudad 1(C1), en miles de pesos está dado por CKU) = -U/8+5.

II. el precio del producto en la ciudad 2 (C2), en miles de pesos está dado por C2(U) = -U/4+6.

U representa las unidades de mil del producto que se en-cuentra en el comercio en cada ciudad. La empresa distribu-ye máximo 12000 unidadesy no menos de 1000 unidades en cada ciudad. En el siguiente géfico se ¡lustra las relaciones CKU) y C2(U).

Precio del producto (en miles de pesos)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12

Cantidad del producto distribuido (en unidades mil.)

La empresa modificó el precio de su producto en la ciudad 2, así C2 (U) - -U/8+6 mientras que en la ciudad 1 permaneció igual. De acuerdo con lo anterior podemos decir que:

A. el precio en las ciudades 1 y 2 nunca podrá ser igual, así se distribuya una cantidad muy grande de productos en estas ciudades.

B. el nuevo precio en la ciudad 2 siempre es mayor que el anterior precio y también mayor que en la ciudad 1.

C. el nuevo precio en la ciudad 2 es igual a la ciudad 1 cuan-do se distribuyen 5500 unidades del producto.


D. el precio en la ciudad 1 aumenta con el cambio en la relación C2(U)

27. Si la fabrica distribuye a las ciudades una cantidad de pro-ductos superior a 9000 unidades,- los precios en las ciuda-des nunca seián iguales, porque:

A. para que haya una cantidad de productos distribuidos cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación C2(U) debería ser igual a alguna con a C2(U) = - U/a+6 con (4.5, 6]

B. la relación expresada por CKU) siempre es mayor que C2(U) cuando se distribuye una cantidad de productos superior a 9000 unidades.

C. para que haya una cantidad de productos distribuidos, cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación CKU), debeiá ser igual a C1 --U/a+5con 6<=a<7.2.

D. la relación expresada por C2 (U) siempre es mayor que C1 (U) cuando se disminuye una cantidad de productos menor a 8000 unidades.

28. Teniendo en cuenta el comportamiento de las relaciones en las ciudades C, y C2, es correcto afirmar que:

A. cuando la fabrica distribuye a las dos ciudades 8000 uni-dades del producto, los precios en estas ciudades son iguales.

B. si se distribuye menos de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2 siempre sera menor en com-paración con la otra ciudad.

C. cualquiera que sean las unidades distribuidas en cada ciudad el precio del producto en C1, siempre sera menor en comparación con la otra ciudad.

D. cuando la fabrica distribuye más de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2 siempre sera menor en comparación con la otra ciudad.


Se construyó un cubo formado por cubitos, cada uno de ellos con aristas de longitud una unidad, como se presenta en el dibujo.

Cubito - de esquina

Cubito interior

Cubito lateral

/

/ <7 y r / /

1 Unidad

Al quitar el cubito que aparece sombreado en el dibujo, el volumen de la figura obtenida disminuye una unidad de vo-lumen, pero su superficie total no cambia. ¿Cómo obtener una figura cuyo volumen sea dos unidades menos que el del cubo, pero con la misma superficie total de éste?

A. quitando un cubito interior y uno lateral que esté junto a él.

B. quitando 2 cubitos de la esquina.

C. quitando un cubito de la esquina y uno lateral que esté junto a él.

D. quitando 2 cubitos laterales.

30. Para fijar el cubo construido se coloca una cinta por to-dos sus bordes. La longitud de la cinta para lograr este fin debe ser:

A. 12 unidades que corresponden al número de aristas del cubo.

B. el producto entre 12 unidades y el número de cubitos que conforman el cubo.

C. 36 unidades, que corresponden a la longitud de las aris-tas del cubo.

D. las unidades de cinta con las cuales se cubren los bordes de 3 cubitos.

31. Al quitar los 6 cubitos interiores del cubo, ¿qué cambios se presentan en la figura obtenida en comparación al cubo inicial?

A. la superficie y el volumen se mantienen iguales.

B. la superficie aumenta en 24 unidades cuadradas y el vo-lumen disminuye.

C. el volumen disminuye en 6 unidades cúbicas y la super-ficie aumenta.

D. el volumen y la superficie disminuyen.


Para tomar la decisión de construir una plaza de mercado en el barrio Los Rosales, la Junta de Acción Comunal desea con-tar con el apoyo de la mayoría de las familias que allí viven. Para determinar qué quiere la mayoría, realizaron un sondeo en el que preguntaron: "¿Cree usted que sería de beneficio para el sector la construcción de una plaza de mercado?". Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

RESPUESTA NO. DE FAMILIAS

Si 225

No 150

Está inseguro 76

No respondió 300

La Junta de Acción Comunal se inclinó por NO construir una plaza de mercado, debido a que los resultados del sondeo muestran que: A. el 70% de familias encuestadas no respondió afirmativa-

mente

B. la mitad de familias encuestadas estuvieron inseguras o no respondieron la encuesta.

C. el número de familias que respondieron "sí", supera a quienes respondieron negativamente en un 50%.


D. el número de familias que respondieron "no" es el doble de las que están inseguras.

33. Un gráfico que se podría presentar a los habitantes del barrio, sobre los resultados del sondeo, es:

A. B.

No

N.R

V///////X V / / / / / / / Á

V////////A

No

E.l

N.R

—I 1 1 H * 75 150 225 300 N° de familias

Y////////A H 1 1 h-»-75 150 225 300 N° de familias


Observe el resultado de calcular potencias (entero positivo) de tres sucesivamente:

30 =1; 31 -3; 32 =9; 33 =27; 34 -81; 35 =243; 36 =729; 37 =2187;

Como puede ver, la cifra de las unidades en cada una de las potencias de tres se repite cíclicamente como lo muestra la siguiente secuencia 1,3, 9, 7,1,3, 9, 7,1,...

Una forma de saber en qué número termina 321 sería:

A. conociendo en qué número termina 320 se logra identi-ficar en la secuencia el número que sigue.

B. hallar el residuo de 21 dividiendo entre 4 e identificar la cifra de las unidades en el resultado de elevar 3 a dicho residuo.

C. identificar la cifra de las unidades en cualquier potencia de tres, que sea factor de 21.

D. efectuando los productos que permiten aplicar el con-cepto de potencia.

35. Si 3 es elevado a una potencia múltiplo de 4, se encon-trara que siempre termina en 1, esto puede ser explicado, porque:

A. en la secuencia que establece las cifras de las unidades, el número 1 aparece cada cuatro posiciones.

B. la suma de dos números consecutivos de la secuencia es siempre un múltiplo de 4.

C. 4n dividido por 4 nos da como residuo 0, luego 3 elevado a 4n terminara igual que 3 a la potencia 0.

D. 3 elevado a la potencia 4 es 81.


La empresa. Estadísticas de Colombia, realiza una encuesta a 100 hombres y 100 mujeres de Bogolá. A la primera pre-gunta responden afirmativamente el 40% de las mujeres y el 60% de los hombres. A este grupo se le hace una segunda pregunta a la cual responden afirmativamente el 90% de las mujeres y el 40% de los hombres.

Con la información suministrada por la empresa Estadística de Colombia, ¿cómo se presentarían los datos gratamente?

A. Hombres 100

Mujeres 100

Si 60

No 40

Si 40

No 60

Si 24

c.

No 36

Si 36

No 4

l£ o yi x a s -g & E aj

Ü 2 . 1p 2p

Preguntas

D. Mujeres

1p 2p Preguntas

No • Si •

37. A las personas que respondieron afirmativamente la pri-mera y segunda pregunta se les hace una tercera a pre-gunta. Esta pregunta solo la respondió el 40% de estas personas. ¿Existe la posibilidad que entre ese 40% no se encuentre ninguna mujer?

A. Si, porque el 40% de los hombres que respondieron la tercera pregunta, es una parte del 60% que respondió afirmativamente la primera pregunta

B. No, porque el 40% del 90% de las mujeres que respon-dieron la primera pregunta es igual al 40% que respondió la tercera pregunta.

C. Si, porque un 40% de los hombres respondió la segunda pregunta, por lo tanto puede ser el mismo que respondió la tercera pregunta.

D. No, porque en una gran mayoría (90%) las mujeres res-pondieron afirmativamente a la segunda pregunta.



Un club deportivo realizó una encuesta a 150 personas de una comunidad acerca de los deportes que les gusta practi-car. A continuación se muestran los resultados.

- 30 personas practican solamente fútbol.

-10 personas practican solamente natación.

- 25 personas practican solamente baloncesto.

-15 personas practican fútbol, baloncesto y natación.

-10 personas practican fútbol y natación pero no baloncesto.

- 20 personas practican fútbol y baloncesto pero no natación.

-10 personas practican baloncesto y natación pero no fútbol.

- 30 personas practican deportes distintos al fútbol, la nata-ción y el baloncesto.

De las personas encuestadas, las que practican al menos fútbol, baloncesto o natación han sido invitadas a entrena-mientos. SI estos se realizan simultáneamente formando grupos de igual número de personas, con el mayor número de integrantes posible. En un día de entrenamiento no sería posible que

A. 6 grupos estén practicando fútbol.

B. 9 grupos estén practicando natación.

C. 10 grupos estén practicando fútbol.

D. 15 grupos estén practicando natación.

39. De la Información obtenida en la encuesta se deduce que por cada

A. 2 personas que practican natación hay 5 que practican baloncesto.

B. 3 personas que practican fútbol hay 1 que practica na-tación.

C. 4 personas que practican algún deporte hay 1 que no practica ninguno.

D. 5 personas que practican baloncesto hay 6 que practican fútbol.


En el siguiente texto, se proporciona Información sobre una Investigación llevada a cabo, entorno a adicciones: "... en una muestra de 120 Indigentes de corta edad [...] se constató que únicamente en el mes anterior a la consulta, 86% de los muchachos habían consumido tabaco, 51 % alcohol, 44% ma-rihuana, 11% cocaína y 56% Inhalantes. Además 26 de ellos afirmaron haber ingerido drogas farmacéuticas".

Profundizando en el estudio, se encontró que la cuarta parte de los jóvenes que consumieron cocaína, eran menores de 10 años mientras que la cuarta parte de los jóvenes que con-sumieron alcohol eran mayores de 10 años. Estos resultados pueden presentarse al público mediante el giáflco

9.9

3.3

i

9,9

3.3

^ 50 ra o 40 CO Q. 30 CU S 204—I rd f i o ra u

45,9

19,9 3.3

Menores de 10 años

Mayores de 10 años

Menores de Mayores de 10 años 10 años

EDAD EDAD • Cocaina Q Alcohol

c. a 50 ra o 40 CO ^30 O) ? 2 0 ra l i o ra o

•5,9 LO 03 C q3

15,3 £ 9,9 "O nj

3,3 1 c i

9,9 9,9

3,3 3,3 j¡g¡T —

Menores de 10 años

Mayores de 10 años

Menores de 10 años

Mayores de 10 años

EDAD EDAD

41. Tomando como fuente el texto presentado, un periodista ha preparado un artículo en el que afirma que el 30% de los muchachos consumió, un mes antes a la consulta, dro-gas farmacéuticas. Antes de ser publicado el artículo, se le sugiere que cambie esta afirmación, porque

A. no fue la tercera parte de la muestra, la que consumió drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta

B. estaría incluyendo a 10 personas que no consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta

C. estaría incluyendo a 6 personas que no consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta

D. no fueron 30 personas las que consumieron drogas far-macéuticas un mes antes a la consulta.

42. Un antropólogo, que adelantó una Investigación sobre el mismo tema, lee el texto y toma algunos apuntes útiles para su estudio,- sin darse cuenta, hace una Interpretación errada del texto, esta es:

A. más del 30% de los jóvenes examinados había consumi-do tabaco y alcohol, un mes antes a la consulta

B. un mes antes a la consulta, los 120 jóvenes habían consu-mido inhalantes o marihuana

C. un mes antes a la consulta, el 7% de los jóvenes consu-mió inhalantes y alcohol

D. el consumo de cocaína, un mes antes a la consulta, fue menor al de otras sustancias, incluso al de drogas farma-céuticas.



En Colombia de cada 100 personas:

91 tienen RH positivo

9 tienen RH negativo

61 son del grupo O

29 son del grupo A

8 son del grupo B

2 son del grupo AB

Las personas de tipo O + (grupo O, RH positivo) son donan-tes universales, las de tipo AB + son receptores universales. Información obtenida de El Tiempo

Salud. Colombia tiene déficit de reservas Carlos Sandoval Y. Dic 8 - 2002

Ante una urgencia, un hospital requiere 10 donantes tipo O + y llegan 50 personas a ofrecer sangre. Teniendo en cuen-ta las estadísticas, esto puede tranquilizar temporalmente la situación pues

A. la probabilidad de rechazo de los ofrecimientos es del

B. la probabilidad de rechazo de los ofrecimientos corres-ponde a 20 personas

C. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 70%

D. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 33%

44. Según el Instituto Nacional de Salud (INS), las reservas de sangre en el país son críticas con relación a las necesida-des de abastecimiento. El INS implementaiá el Programa Nacional de Promoción de Donación Voluntaria de San-gre, con el objetivo de lograr que el nivel de donaciones y reservas, particularmente de sangre RH negativo, sea alto y constante. Así, convoca a un concurso de carteles que busca crear conciencia sobre la necesidad de donar sangre. Los carteles deben mostrar la distribución de los grupos sanguíneos en la población colombiana. El diseño del cartel ganador debería contener un gráfico como

A . ¿A qué grupo perteneces? AB 2 %

B . ¿Eres RH-?

A 29%

Ä f e ä f t . [£AB.

91

61

70 n

9 • i > , • , , U , • i -RH + RH- 0 A B AB

C . ¿Qué tipo de sangre tienes? D . ? C u á n t a s personas te pueden donar sangre? B- 0,72 AB- 0,18

l&Éri , , , , ^ B r • W EAB-

5.49

91

5 49

? <4 P¡ n7? mu

... i Li i • i -

45. Bogotá, la ciudad con mayores reservas de sangre, es un ejemplo de déficit de sangre: el índice de donación está en 22 donantes por cada 1000 habitantes, cuando el indi-cador debería estar en 40 donantes por cada 1000 habi-tantes. Este déficit no se presentaría si por lo menos.

A. 1 de los donantes fuera receptor universal

B. 11 de los donantes por cada 1000 habitantes fuera del grupo A

C. el 61 % de los donantes fuera del grupo O

D. el 1,8% de los no donantes, deciden donar y son acepta-dos como donantes


En los frascos de pintura de cierta márca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color

Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que lo llenara completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era

A. obtener pintura verde con una tonalidad inicial

i menor a la

B. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60 %

C. obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la inicial

D. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50 %

47. En la fábrica de pinturas, es necesario contar con un gráfi-co que ayude a ubicar rapidamente la tonalidad de lOcm3

de pintura de color, dependiendo de la cantidad de pin-tura blanca con que se mezcle. Un gráfico errado para este fin sería

B. Tonalidad por cada 5cm3

de pintura blanca mezclada

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 Cantidad de pintura blanca mezclada en cm3

c. Tonalidad por cada 20cm3

de pintura blanca mezclada 2 1009b-3 90%-S 80%-JS 70%-£ 60%--o 50%-•g 40%-1 30%-g 20%-

10%-RH h 0- A- AB- 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

Cantidad de pintura blanca mezclada en cm3


48. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y por equivocación la ha mezclado con pintura blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocación, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para recobrar la tonalidad. El resul-tado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que él espera, porque

A. para recobrar la tonalidad debió agregar tanta pintura ver-de, como la que agregó por equivocación

B. la tonalidad de la pintura disminuyó aproximadamente en 1,66%

C. para recobrar la tonalidad debió agregar, en pintura ver-de, cinco veces la cantidad de pintura que agregó por equivocación

D. la tonalidad de la pintura disminuyó aproximadamente en 3,33 %

49. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 4 pre-guntas que se presentana continuación:

Para la señalización de las diferentes vías de transporte, se re corta de láminas de aluminio de variados tamaños y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes características

Molde tipo I Molde tipo II

X es una medida en centímetros

Con el fin de disminuir la accidentalidad en cierto tramo de carretera, se estudian dos propuestas para hacer más visibles las señales

1- colocar una banda fluorescente alrededor de cada molde

2- pintar cada molde con pintura fluorescente

Dado que las dos propuestas son Igualmente beneficiosas para el fin propuesto, se debe tomar la decisión más eco-nómica posible, sabiendo que cada centímetro de material usado en la propuesta 1 tiene el mismo costo que cada cen-tímetro cuadrado de molde pintado, la decisión que debe tomarse es

A. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm„ la propuesta 2 si x > 4 cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm.

B. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., en cualquier otro caso resulta más beneficiosa la propuesta 2

C. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., la propuesta 2 si x < 4cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm.

D. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm., en cualquier otro caso resulta más beneficiosa la propuesta 2

50. La persona encargada de recortar los moldes, debe cum-plir con un pedido de dos moldes tipo I y tres tipo II, pero al no saber cuál de las dos láminas disponibles debe es-coger, pide la opinión del ingeniero a quien le presentó las dos láminas:

Lámina 1 i v

Lámina 2 5 v

2X

u*:

2X

Una respuesta acertada por parte del ingeniero es

A. dado que el área total de los moldes del pedido es me-nor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos

B. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 1 pues, por su forma, se desperdiciaría me-nos material

C. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido sobre ella

D. el área de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, sin embargo tendría que usar las dos para cumplir con el pedido

51. La persona encargada del archivo clasifica las facturas para pintura de los moldes tipo i y tipo II, atendiendo a que los moldes tipo II, llevan sus 2/3 partes en amarillo y el resto en negro. De acuerdo con esto, de las siguientes facturas, la que debe archivar en las correspondientes a moldes tipo II es:

A. Color Cantidad

Negro m 5000 c3

Amarillo m 10000 c3

C.

B.

D.

Color Cantidad

Color Cantidad Negro m 5000 c3

Amarillo m 17000 c3

Negro m 5000 c3 Amarillo m 15000 c3

Color Cantidad Negro m 5000 c3

Amarillo m 2500 c3

52. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde tipo I de tal forma que la mitad de él sea en color blan-co. Para construir un diseño ajustado a lo pedido, puede recurrirse a:

A. indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X/4 y pintar su interior de blanco

B. trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un cuadrilátero. El interior del cuadrilátero seá la región en blanco


C. trazar dos pares de diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octógono. El Interior del octágono sera la región en blanco

D. indicar, dentro del molde una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunferen-cia del modelo, determinados por dos radios perpendi-culares.

53. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 pre-guntas a continuación:

Las siguientes gáficas ¡lustran dos promociones que ofrece un almacén, dependiendo de la forma de pago por compra de sus artículos

32000 30000-

Promoción por pago con tarjeta platino

Costo Normal vs

Costo con descuento 12000 10000'

Costo normal

Promoción por pago en efectivo

Costo Normal vs

Costo con descuento

Costo normal

Uno de los dueños del almacén afirma que pagar con tarjeta platino o con efectivo beneficia de igual manera a los clien-tes. Esta afirmación es

A. verdadera, porque en ambos casos si el costo total de la compra es $25.000, el cliente pagaría $20.000.

B. falsa, porque conviene más pagar en efectivo, ya que el cliente al hacer compras por $ 20.000, pagaría sólo $ 15.000, mientras que con la tarjeta desembolsaría $ 16.000

C. verdadera, porque cualquiera sea el monto de la compra, puede escoger pagar en efectivo o con tarjeta platino

D. falsa, porque si la compra es menor de $25.000 ahorraría más si paga en efectivo, de lo contrario es mejor utilizar la tarjeta para que el descuento sea mayor.

54. Los dueños del almacén desean tener una gráfica que relacione acertadamente costo normal vs descuento, al recibir pagos con tarjeta platino y en efectivo. De esta ma-nera la giáfica que deben obtener es

A.

Promoción por pago con tarjeta platino • = Promoción por pago en efectivo = r D C. 15.000 S 10.000 § 5.000

Promoción por pago con tarjeta platino = Promoción por pago en efectivo

' 15.000 10.000 5.000 •

0 0 O O O O O O 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 O O O O o o L J normal ^ s £ § • Promoción por pago con tarjeta platino = Promoción por pago en efectivo

O O OOOO o o j COStO 00 o o o o o p 1 normal ""> 2 i d g s S £ ° • Promoción por pago con tarjeta platino • Promoción por pago en efectivo

55. Según la giáfica que representa la promoción por pago con tarjeta platino, se deduce que la oferta consiste en:

A. descontar $ 6.000 al doble del valor de la compra

B. hacer un descuento del 20% al monto total de la compra

C. pagar $ 1 000 menos por cada $ 5.000 en compras

D. efectuar el pago de las 4/5 partes, por cada $ 5.000 del total de la compra


En una fábrica de jabones en barra, miden la calidad de sus productos atendiendo a la cantidad promedio de jabón que se disuelve en una hora (1 h). Se considera de mayor calidad el jabón que muestre más resistencia al agua. La fábrica ofre-ce tres calidades, que se distinguen por los colores: blanco, rosado y verde. La Información correspondiente a cada uno se muestra en el cuadro:

Color Cantidad de Jabón que en agua se disuelve en 1 h

Blanco (b) 1/2 cm3

Rosado (r) 3/4 cm3

Verde (V) 2/3 cm3

Un cliente se acerca a un supermercado encontrando las si-guientes promociones al mismo precio

Promoción Contiene 1 1 jabón blanco y dos jabones verdes

2 jabones verdes y 1 jabón rosado

3 1 jabón blanco, 1 jabón rosado y 1 jabón verde

Luego de mirarlas, el cliente decide comprar la promoción 3. Esta elección

A. no fue la más favorable, ya que a pesar de que los jabones contenidos en esta promoción muestran mayor resisten-cia al agua que los contenidos en la promoción 1, la 2 sería mejor

Repaso de Matemát icas • i

B. fue la mejor ya que la cantidad de jabón que se disuelve en agua en una hora, es menor respecto a los jabones contenidos en las otras dos promociones

C. fue la mejor ya que es la única que contiene las tres cali-dades y esto representa mayor resistencia al agua

D. no fue la más favorable ya que a pesar de que los ja-bones contenidos en esta promoción muestran mayor resistencia al agua que los contenidos en la promoción 2, la 1 sería mejor.

57. El jefe de producción ha informado a los empleados que a partir de ahora se fabricaran jabones con capacidad de resistir el mismo tiempo sumergidos en agua, no impor-tando el color. A raíz de esto los trabajadores encargados de la elaboración de los empaques, están buscando una forma de determinar el volumen (V) de cada jabón de-pendiendo del tiempo (t) que requiere el jabón (b) para diluirse. Para facilitar esta labor, es conveniente usar las expresiones

Vv= — -A.

B.

Vr= 4 - - t

Vv=

Vr=

t 12

Vb 6

2(Vb)

C.

D.

Vv=

Vr= ~ - -V

Vr=

Vv=

58. Una de las directivas de la fábrica, encontró la posibilidad de agregar una nueva calidad para producir nuevos jabo-nes en la fabrica. La nueva calidad, respecto a las ya traba-jadas, es 10% mayor que el jabón de menor calidad. Para que su idea sea aprobada debe exponerla ante la junta directiva, para lo cual ha decidido emplear una gráfica. La más apropiada es

S S E «

« 3 5 <s) Cíl Ä S u

"" O g ¡5

S S SÍ-2 ra d o ra B. £ 2 I =

"S ® QJ v S E » « e É = § ra ^ cr ra

9/10

3/5

3/10

9/10

3/5

3/10

3/4

1/2 2/3 27/40

+ Blanco Verde Nuevo Rosado

Jabón

1/2 2/3 27/40 3/4

4-Blanco Verde Nuevo Rosado

Jabón

C. Ji O 2 3

ra S £ vi ra

9/10

3/5

3/10

2/3 i /4

2/3 i /4

3/40 n

2/3 i /4

Blanco Verde Nuevo Rosado Jabón

.ra ^ tg D . S S i

» 3 5 w OCO 2 ra "

9/10

3/5

3/10

i n 2/3 i /4

2/3 i /4

M

2/3 i /4

Blanco Verde Nuevo Rosado Jabón

59. Se ha elaborado un jabón blanco que tarda 18 horas en diluirse en agua. El diseñador de empaques ha presenta-do los siguientes modelos como propuesta.

h- 2 cm r- 2 cm

2 cm TÍ'

1 t 2 6 B. 1 t 2 4 C. 2

1 C.

Vb + 1 Vb + 2

Vb + D.

• 5 cm ¡^8 c m

Modelo l Modelo II

Respecto a estos modelos es válido hacer la observación

A. el modelo I se ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elaborado mientras que el modelo li es muy pequeño

los modelos I y II son muy grandes para el volumen del jabón elaborado

ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elabo-rado

mente a los requerimientos de volumen del jabón ela-borado


El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zo-nas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el trafico a cierta hora del día.

Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que las motos dañen los jardines. El ingeniero encargado afirma de la cantidad de malla disponible, que

A. no se puede calcular cuanta malla se necesita para las dos zonas

B. sobran más de 40 metros de malla para encerrar los dos parques


C. dado que el área de las dos zonas es el doble de su perí-metro, la cantidad de malla no es suficiente

D. sólo alcanza para la zona más grande y la mitad de la otra

61. La alcaldía decide tomar una parte de la zona L para ha-cer un parqueadero sin que se altere la forma triangular inicial, éste quedara ubicado en la esquina de intersección de la avenida L y la avenida M y el lado que da a la zona verde debe medir 10 metros. De la zona, el ingeniero afir-ma que

A. la nueva zona tiene que tener medidas iguales para con-servar la forma triangular

B. las medidas de la zona de parqueo no se pueden saber, pues los datos suministrados en el plano no son suficien-tes

C. la zona de parqueo ocupará la cuarta parte de la zona verde L

D. el costado de la zona de parqueo que da a la avenida L debe medir 30 metros.

62. Responda las siguientes 5 preguntas de acuerdo con esta información:

En una empresa de ebanistería se construyó una repisa en madera como muestra la figura

-Largo 40 cm-

7

Las 5 tablas que tiene la repisa son rectángulos completos en madera. Un solo empleado de la mlcroempresa es el en-cargado de cortar estas tablas, pero lo debe hacer de una misma lámina para cada repisa. De las siguientes tablas cuál considera que el empleado debe elegir para cortar las tablas para una repisa

-lOOcm-

63. Cada una de las tablas de la repisa tiene pegada por su borde una clntilla dorada para su decoración. Un emplea-do de la empresa encargado de pegar la clntilla asegura que un rollo de 100 m alcanza para decorar 10 repisas como la Inicial. Podemos asegurar que el empleado tiene razón porque

A. en cada una de las 5 tablas se utiliza 1,4 m de clntilla

B. el rollo alcanza para decorar más de 20 repisas como la Inicial

C. en cada repisa se utiliza 1,4 m de clntilla D. en las tablas el largo mide más que el ancho

64. Un empresario compró 30 repisas, pero aunque las repi-sas son desarmables pidió que se le entregasen armadas, por lo cual los empleados de la ebanistería le recomenda-ron transportarlas de pie. El furgón que contrataron para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2 m de largo, 1.5 m de ancho y 2 m de alto. ¿Este furgón le sirve para llevar todas las repisas en un solo viaje?

A. no, porque solamente se pueden llevar en este furgón 25 repisas

B. no, porque necesitan como mínimo hacer 3 viajes del furgón

C. si, porque las repisas ocupan menos de 6 m3

D. si, porque en este furgón caben 41 repisas

65. La empresa piensa sacar una nueva repisa cuyas tablas tengan el doble del área de las tablas de la repisa inicial. Para ello el diseñador de la empresa propone posibles cambios a realizar en las dimensiones de las tablas de la repisa inicial. ¿Cuál de los siguientes cambios pudo suge-rir el diseñador?

A. triplicar el largo de las tablas

B. cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las tablas

C. cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del largo de las tablas

D. duplicar el largo de las tablas y dejar la mitad del ancho de las tablas

66. Un decorador ha visto la repisa y le gustó, pero considera que es muy grande para sus intereses; por tanto, encarga la fabricación de una nueva repisa más pequeña, con la condición de que guarde las mismas proporciones en sus medidas que la original. Usted considera que esta nueva repisa debe cumplir con

A. que la altura disminuya, y sea 4 veces más grande que el ancho y 3 veces más grande que el largo

B. altura de 60 cm, largo 30 cm y ancho 15 cm

C. altura de 1 m, largo 20 cm y ancho 10 cm

D. que el alto de la repisa sea siempre mayor al ancho y al largo

105cm-



Valentina y Diego han inventado un juego dé dados que consiste en lanzar 2 dados sucesivamente y calcular la suma de puntos correspondiente a la cara que queda en la base. Los dados tienen 4 caras en forma de triángulos equiláteros, como se muestra a continuación.

Las siguientes son las reglas para jugar: Dado desdoblado Dado

• Si resulta una suma de 4,5 y 6, entonces gana Valentina un punto.

• Si la suma es distinta de esos números y distinta de 3, gana Diego un punto.

• Al final se deben conseguir 3 puntos.

• Se repetiiá el lanzamiento si la suma de los dados es 3.

• Diego será quien empiece a hacer los lanzamientos.

De acuerdo con las reglas de juego, ¿cuál de los jugadores considera que tiene mayor posibilidad de ganar?

A. Valentina, porque las sumas que necesita para ganar un punto tiene más formas distintas de obtenerse que las demás sumas

B. Diego, porque al lanzar primero los dados le da la opor-tunidad de empezar ganando la partida

C. Valentina, porque cada una de las sumas que le corres-ponden tiene "mayor posibilidad de obtenerse que las demás

D. Diego, porque las sumas que lo favorecen para ganar un punto se obtienen con los números grandes

68. Después de haber planteado las reglas de juego, Diego y Valentina discuten acerca de si el juego es o no equitativo para los dos. Sobre esta discusión, usted plantearía que

A. si es equitativo, porque los dos tienen la misma probabili-dad de ganar, pues cada uno tiene el mismo número de veces para lanzar los dados

B. no es equitativo, porque todas las sumas asignadas para Valentina tienen menos cantidad de combinaciones que las sumas asignadas para Diego

C. si es equitativo, porque cada número en la cara de un lado tiene la misma posibilidad de ocurrencia, lo que hace que la suma también la tenga

D. no es equitativo, porque la probabilidad de que Valentina gane un punto es mayor que la de Diego

69. Diego, antes de comenzar el lanzamiento de los dados, hace una serie de afirmaciones sobre las probabilidades que presentan algunos números cuando se lanzan los dos dados. Valentina al analizar las afirmaciones, conside-ra que la correcta es

A. la probabilidad de obtener un 2 en la suma es mayor que la de obtener un 6 en la suma

B. la probabilidad de obtener un 7 en la suma es igual a 1/7

C. la probabilidad de obtener un 6 en la suma es igual a la probabilidad de obtener un 4 en la suma

D. la probabilidad de obtener un 8 en la suma es igual a 1/10

70. Felipe desea entrar al juego y se necesita hacer una nue-va asignación de sumas, manteniendo las demás reglas, sólo que la cantidad de puntos para ganar ya no seiá de 3 sino de 2 y además el juego lo inicia cualquiera de ellos. ¿Cuál de las siguientes asignaciones permite que el juego sea equitativo para los 3 jugadores?

A. Diego: 2, 4; Valentina: 5 y Felipe: 7, 8

B. Diego: 5, 6; Valentina: 2, 8 y Felipe: 7, 4 ó Diego: 2, 6; Valentina: 4, 8 y Felipe: 5, 7

C. Felipe: 7, 4; Diego: 5, 8 y Valentina: 2, 6, 8 ó Felipe: 8, 4, 2; Diego: 6, 7 y Valentina: 2,5

D. Valentina: 3, 7; Felipe: 5 , 8 y Diego: 2, 8


Una empresa dedicada a la renta de vehículos, tiene dos pla-nes paras sus clientes. El plan A, tiene una tarifa única de $150.000 a la semana, sin límite de kilometraje. El plan B tie-ne una tarifa básica de $20.000 más $200 por cada kilómetro recorrido. La empresa cuenta con 100 vehículos para prestar el servicio.

Rafael decide rentar un vehículo en el plan A, para recorrer 800 km. Usted considera que Rafael tomó esta decisión porque

A. en el plan A ahorra $20.000 con respecto al plan B

B. a partir de 650 km recorridos el costo es menor en el plan A

C. en el plan B el kilómetro recorrido es más económico que en el plan A, para este recorrido

D. el kilómetro recorrido vale igual sin importar el kilome-traje total

72. Un distribuidor, desea rentar dos vehículos en esta em-presa, para cubrir dos rutas, una de 700 km y la otra de 480 km. El cuenta con un presupuesto de $280.000. Con este presupuesto lo más económico sería, rentar un auto en el


plan A para recorrer los 700 km y rentar un auto en el plan B para recorrer 480 km, porque

A. en el plan A, siempre el valor por kilómetro es más barato que en el plan B para recorridos menores a 650 km y en el plan B, el valor por kilómetro es más económico para recorridos mayores a 650 km que en el plan A.

B. en el plan A no hay limite de kilometraje, mientras que en el plan B hay una cuota fija

C. en el plan A, por cada 50 km recorridos después de 650 km, se ahorran $10.000 y en el plan B para recorridos me-nores a 650 km se ahorran $10.000 por cada 50 km

D. en promedio el valor por kilómetro es más alto en el plan B, para un recorrido específico

73. Un funcionario de la empresa construyó la siguiente ta-bla para informar a los usuarios acerca de la decisión que les resulte más económica de acuerdo con el kilometraje a recorrer

Costos (miles de pesos)

Kilometraje Decisión más económica 0 - 650 Km rentar en el plan B

650 Km rentar en el plan B 650 Km o más rentar en el plan A

150

2 0 "

A

/ / Plan A

1 1 4- 1 »• Distancia recorrida

(Km) 200 400 600 800

Al presentarla al gerente, éste le dice que la tabla es

A. correcta, pues para recorrer menos de 650 km, lo más económico es rentar en el plan A

B. correcta, pues para recorrer 650 km o más, rentar en unos casos el plan A es el más económico

C. incorrecta, pues para recorrer 650 km, se debe rentar en unos casos el plan A y en otros el plan B

D. incorrecta, pues lleva al usuario a pensar que sólo resulta más económico utilizar el plan B para 650 km, sin que ella corresponda a los planes que ofrece la empresa

74. En una semana cualquiera la totalidad de los vehículos estuvieron rentados,- la mitad bajo el plan A y la otra mitad bajo el plan B. Esta información garantiza que

A. en promedio cada vehículo bajo el plan B debe recorrer 650 km para que los ingresos sean iguales a los del plan A

B. los ingresos por el plan B fueron mayores que por el plan A

C. los ingresos por el plan A fueron mayores que por el plan B

D. los ingresos recaudados según el plan B fueron de $7'500.000

75. La gráfica representa el comportamiento del costo por alquiler de vehículos en relación con la distancia recorrida, para los planes A y B

La gáfica que podría representar la diferencia entre los cos-tos del plan A y el plan B en relación con la distancia recorri-da, es

A. Diferencia - Costos (miles de pesos)

Distancia recorrida (Km)

B. Diferencia - Costos (miles de pesos)

Distancia recorrida (Km) 200 400 600

C. Diferencia - Costos (miles de pesos)

>• Distancia recorrida (Km) 200 400 600 800

D. Diferencia - Costos (miles de pesos)

Distancia recorrida (Km) 200 400 600 800

76. Responda las siguientes dos preguntas de acuerdo con esta información:

Repaso de Matemát icas ••••HMMi

Un parque de diversión tiene un jardín de la forma como se indica en las figura, de 50 m de largo por 30 m de ancho ro-deado por una pasarela en cemento sobre la cual es posible caminar (área sombreada).

PREGUNTAS TIPO X

En la mitad del jardín se sembraron rosas de colores amarillas, rojas y rosadas, y en la otra mitad se sembraron tulipanes.

Si la pasarela se construyera en forma rectangular, la superfi-cie sobre la que se puede caminar aumentaría,- ésta se pue-de expresar como

A. X[( 100 + 4X) + (60 + 4X)]

B. (30 + 2X) (50 + 2X) - 30 x 50

C. (30 + X) x (50 + X)

D. 2 [(30 + 2X) * X + 50X]

77. En un cuarto de la mitad del terreno se sembraron rosas rojas, en los 2/8 de la mitad rosadas y en la parte que so-bró se sembraron rosas amarillas.

El diagrama que representa el porcentaje de terreno que fue asignado para sembrar rosas amarillas es

A.

C.

B.

D. / Y F R R \

RRSX / T |

YT / V I

P A Y

RR - Rosas rojas; RRs - Rosas rosadas; T = Tulipanes,- RA Rosas amarillas

78.

Opción múltiple con múltiple respuesta Esta prueba está conformada por preguntas planeadas a partir de diferentes situaciones. Estas preguntas constan de:

• Una situación, que puede ser una giáfica.una tabla, un texto o una combinación de ellas.

• Un problema, que puede estar dado en forma afvirmativa o interrogativa.

• Cuatro opciones de respuesta. Recuerde que es posible encontrar dos opciones válidas para so-lucionar el problema planteado,- usted debe seleccionar entre las opciones dadas, sólo una, la que considere relaciona de manera más estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema.

De acuerdo con esta información, conteste las dos preguntas siguientes:

1 2 m

•X-

Fabio posee un lote y desea construir en él una casa en for-ma rectangular de 12 metros de largo y x metros de ancho, de tal manera que haya un patio en forma cuadrada (parte sombreada) en la parte posterior de la casa como lo muestra la figura.

Fabio desea conocer el ancho del lote para que el área no sombreada sea máxima. Para ello se puede

A. buscar algunos valores del ancho y contrastar los valores correspondientes para el área no sombreada

B. hallar una expresión para el área total y restarle el área que corresponde al patio

C. hallar una función que represente el área no sombreada en términos del ancho y analizar el comportamiento

D. hallar el promedio entre el área máxima total sin el área del patio y el área mínima total con x = 6

79. La gráfica muestra valores del área de la parte no som-breada (A(x)) en función de valores de x. A partir de los valores de la gráfica se afirma que


A. al aumentar el valor del ancho, aumenta el área de la región no sombreada

B. al aumentar el ancho cambia el valor del área y por tanto cambia el valor del largo

C. sólo hay un valor del ancho para el cual la región no som-breada tiene un valor máximo

D. al aumentar el área de la región no sombreada aumenta X el valor de x

Tabla Respuestas Pregunta Clave

i B

2 C

3 B

4 A

5 C

6 A

7 A

8 A

9 A

10 D

11 C

12 A

13 A

14 A

15 D

16 C

17 C

18 D

19 D

20 A

21 C

Repaso de Matemát icas m

Pregunta Clave 22 B

23 C

24 A

25 A

26 A

27 B

28 D

29 B

30 C

31 C

32 B

33 A

34 B

35 A

36 D

37 A

38 D

39 C

40 C

41 B

42 B

43 C

44 D

45 D

46 D

47 B

48 B

49 C

50 c

51 A

52 D

53 D


Pregunta Clave 54 A

55 C

56 D

57 D

58 B

59 B

60 B

61 D

62 B

63 A

64 C

65 C

66 A

67 A

68 D

69 C

70 C

71 B

72 C

73 D

74 A

75 B

76 A

77 C

78 D

79 B


.•8. PREGUNTAS TIPO ICFES -PROFUNDIZACIÓN

Preguntas de selección múltiple con única respuesta

Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta entre las cuales debe esco-ger la que considere correcta.

1. Diego le cuenta a Andrés que ascendió una montaña de 4 km de altura en 2 horas a velocidad constante y la descen-dió en una hora también a velocidad constante.

Diego afirma que, para hacer el mismo recorrido en el mis-mo tiempo, si fuera a la misma velocidad tanto en el ascenso como en el descenso, ésta sería de 3km/h. Esta afirmación es:

A. falsa, puesto que si Diego hiciera el mismo recorrido a esta velocidad, emplearía un tiempo menor

B. verdadera, ya que es el promedio de los datos que se obtienen de las velocidades de ascenso y descenso

C. verdadera, porque para hallar esta velocidad es suficien-te con considerar las velocidades empleadas tanto en el ascenso como en el descenso

D. falsa, ya que caminando a esa velocidad Diego sí hubie-se podido hacer el mismo recorrido.

2. Contestar las 4 preguntas siguientes de acuerdo con la ilustración:

El siguiente gráfico representa la posición respecto al tiempo de un cuerpo durante 12 segundos. El movimiento se realiza en tres intervalos de 4 segundos cada uno.

Según la giáfica, se puede inferir que la velocidad del cuerpo en el transcurso de 8 a 12 segundos fue negativa, lo cual Indica que:

A. el cuerpo disminuyó la velocidad que venía mantenien-do en el intervalo de 4 a 8 segundos.

B. el cuerpo se devolvió seis metros más, desde el punto de partida.

C. el cuerpo redujo el espacio recorrido durante los cuatro segundos respecto a los intervalos anteriores.

D. el cuerpo recorrió la misma distancia, pero empleó más tiempo que en los intervalos anteriores.

3. En el intervalo de 12 a 16 segundos se produjo un movi-miento representado por la función f(t) = 3/4t -15. La inter-pretación de este movimiento realizado por el cuerpo es:

A. el cuerpo recorrió tres metros durante los cuatro segun-dos

B. el cuerpo incrementó su velocidad en 5 metros por cada segundo

C. el cuerpo retrocedió 15 metros durante el intervalo de tiempo

D. el cuerpo disminuyó su velocidad en dos metros durante los cuatro segundos

4. Respecto al movimiento realizado por el cuerpo en el in-tervalo de 4 a 8 segundos, podemos afirmar que:

A. el cuerpo parte de la posición 4 y recorre con velocidad constante 8 metros.

B. el cuerpo permanece en reposo, ya que mantiene la mis-ma posición, mientras transcurren los 4 segundos

C. el cuerpo cambia la dirección del movimiento y recorre 4 metros más en una superficie plana

D. el cuerpo recorre 4 metros con velocidad constante en 8 segundos

5. La función que representa el movimiento del cuerpo du-rante los 12 segundos puede definirse como:

A.

C.

D.

4t, si 0 <t <4 f(t)= < 0, si 4 <t <8

{ 8t -6, si 8 <t <12

í 2t, si 0<t <4 f(t)= ] 8, si 4 <t <8

[ -3.5t +36, si 8 < t < 12

í 4l, si 0<t<4 f(t)= < 0, si 4 <t <8

{ 8t + 6, si 8 <t<12

í 2t,si 0 <t <4 f(t)= l 8, si 4 <t <8

I 3.5t + 36, si 8 <t< 12 61


6. El siguiente gráfico representa la posición respecto al tiem-po de un cuerpo durante 12 segundos. El movimiento se realiza en tres intervalos de 4 segundos cada uno.

d(m)

La gráfica que relaciona la velocidad y el tiempo respecto al movimiento realizado por el cuerpo durante los tres interva-los, es:

V(m/sg)

-3.5 v

8:1-12

V(m/sg)

t(seg)

12-t(seg) V(m/sg) V(m/sg)

- 6

« D.

t(seg)

* V \

i Ë - r

4 \>

A

7. En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación:

-1 personero

-1 representante al consejo directivo

- 3 representantes al consejo estudiantil (para ocupar los car-gos de presidente, secretario y tesorero)

Concluida la votación, un observador se da cuenta que de los 4 primeros estudiantes elegidos 3 son mujeres y 1 es hom-bre, el observador puede afirmar que el quinto estudiante elegido tendiá

A. el doble de posibilidad de ser un hombre que una mu-

jer.

B. el doble de posibilidad de ser una mujer que un hom-bre.

C. el triple de posibilidad de ser un hombre que una mujer.

D. el triple de posibilidad de ser una mujer que un hombre.

8. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban laTierray se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, en-contrándose que la expresión que proporcionaba la infor-mación del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era:

H (t) = 4.500 e0,02t

Se estima que para proveer de alimento durante un año a una persona se necesita de 0,5 km2 de tierra para cultivo, sabiendo que hay 40 x 109 km2 de fierra cultivable. Se afirma que después de un cierto número de años NO se podrá su-plir la necesidad de alimento para todos los habitantes de la Tierra, porque:

A. la cantidad de tierra cultivable sólo sera suficiente hasta cuanto t tome el valor 1 / 0,02 í (800 / 45)

B. al año siguiente de que t satisfaga la ecuación 80 x 109 - (4500 x 106 ) e0,02t la población excedes a 80 x 109 habitantes.

C. a partir del año t, con t igual a 1 / 0,02 tn (80 x 109 / 4500) el número de habitantes de la tierra excederá a 80 x 109

D. la cantidad de tierra cultivable sólo seiá suficiente hasta cuando t satisfaga la ecuación 2 (40 x 107 ) = 45 e0,02t


-1 personero



La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hom-bres y 3 mujeres es igual a la probabilidad de que los elegi-dos sean

A. 4 hombres y 1 mujer.

B. 1 hombre y 4 mujeres.

C. 3 hombres y 2 mujeres.

D. 5 hombres y ninguna mujer.

10. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra y se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, en-contrándose que la expresión que proporcionaba la infor-mación del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era:


H (t) = 4.500 e0,02t

Para determinar el número de años que deben transcurrir desde 1980 para que la población sea el doble de la que ha-bía en ese año, se debe hallar el valor de t que satisface la ecuación:

A. 2 = e0,02(t-1980)

B. 2 = e0,02t

C. H(t) = 9 000 e0,02t

D. H(t) = 4 500 e0,02(2t)

11. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra V se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, en-contrándose que la expresión que proporcionaba la infor-mación del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era:

H (t) = 4.500 e0,02t

De las siguientes gráficas ¿cuál describe el crecimiento de la población en t-años?

H(t)

4500--

A.

H (t) 6000

4500

1980 (t) años

B.

1980 2000 (t) años

H(t) 60004

4500

10 20

(t) años

12. Conteste las 4 preguntas siguientes de acuerdo a la Ilus-tración:

En una Industria construyen un tanque de forma cónica de radio 5 dm y altura 15 dm, para el almacenamiento de agua, pero por una falla en su construcción pierde agua a razón de 1 dm3 por minuto.

Figura 1 Forma y dimensiones

del tanque

Figura 2 Sección transversal

del tanque

La expresión que permite encontrar la rapidez con que el ni-vel del agua desciende desde cualquier profundidad, es:

dh dt

A.

B.

C.

D.

dv u dt 27

dv n dt ~27

dh 1

dt ~ 3

dh ~dt~

h(t)

(h(t)y

dv dt

5 10 15 (t) años

13. Al cabo de t minutos, h(t) representa:

A. la profundidad del agua en un instante t

B. la altura del tanque en t minutos

C. el espacio desocupado en el tanque en un Instante t

D. el tiempo que tardó en desocuparse una parte del tan-que

14. En la figura 2, se hace una representación de la sección transversal del tanque en un Instante t. De la representa-ción se puede deducir la siguiente proporción.

A. 15 - x - 15

5 r

B. B.x-5

15 r C. C. 15-x-r

15 5


D. x - 15 por Diego, es:

5 r

15. Cuál de los siguientes planteamientos es suficiente para encontrar la rapidez con la que desciende el nivel del agua cuando está a una altura de 10 dm?

A. dado dh/dt - 0 dm, se requiere encontrar dv/dt cuando v = 1 dm3.

B. dado dv/dt - 1 dm3 /min, se requiere encontrar dh/dt, cuando h - 10 dm.

C. dado dv/dt = 1 dm3 /min, se requiere encontrar dh/dt, cuando h = 5 dm.

D. dado dh/dt - 5 dm, se requiere encontrar dv/dt, cuando v- 1 dm3


-1 personero



Si fueran elegidos 3 hombres para ocupar los cargos del con-sejo estudiantil, el número de consejos diferentes que se po-drían formar es

A. 4

B. 6

C. 15

D. 20

17. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra y se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, en-contrándose que la expresión que proporcionaba la infor-mación del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era:

H (t) = 4.500 e0,02t

Un informe presentado en 1980 muestra que 2 de cada 10.000 habitantes portaban el virus del SIDA y se proyectó que el nú-mero de millones de portadores del SIDA se duplicaría cada 4 años, el cual se representa mediante la expresión:

A. S (t) = 900.000 (2t/4) con t = 4, 8, 12,...

B. S (t) = 0,9 (24t) con t = 1, 2, 3, 4,...

C. S (t) = 0,9 (2t/4) con t - 1, 2, 3, 4,...

D. S (t) = 900.000 ( 24t) con t = 4, 8,12,...

18. Una expresión que permite determinar una velocidad que sea igual, tanto en el ascenso como en el descenso de la montaña, manteniendo el mismo tiempo utilizado

A. (2 km/h + 4 km/h)/2, puesto que consideran las dos velo-cidades, de ascenso y de descenso.

B. (2 km/h + 4 km/h)/2, ya que se conocen datos de veloci-dad y también que el recorrido se hizo en 3 horas

C. (2 km/h + 2 km/h + 4 km/h)/2, porque se tiene en cuenta el cambio de la distancia recorrida en cada hora transcu-rrida.

D. (2 (2 km/h) + 4 km/h)/2, debido a que se tiene en cuenta el recorrido total y se conocen dos datos de velocidad.

19. De acuerdo con el siguiente enunciado, conteste las 3 preguntas a continuación:

El pasado mes de octubre se llevó a.cabo en el colegio "San Juan" la final de atletismo modalidad 4 000 metros, entre par-ticipantes de diferentes colegios de la zona. Una de las prin-cipales expectativas de esta final, fue el encuentro de Andrés y Manuel, ganadores de las finales en años anteriores. Las siguientes expresiones describen los movimientos de cada uno de los atletas durante la carrera, considerando t como los minutos transcurridos

Andrés : A(t) = 200 t

Manuel : M (t) = -25 (t-8)2+ 1600 50 — (t - 8)2+ 1600

0<t<f

t>¡

Al completarse el octavo minuto de iniciada la carrera, a aten-ción de los espectadores se centra en el desempeño de An-drés y Manuel debido a que

A. Manuel supera por varios metros a Andrés

B. Andrés ha logrado alcanzar a Manuel

C. desde el inicio de la carrera Andrés ha estado delante de Manuel

D. el esfuerzo de Manuel lo ha llevado a alcanzar a Andrés

20. Terminada la carrera, un representante de la liga de Atletismo interesado en analizar la velocidad alcanzada por Andrés y Manuel, afirmó que

A. los dos competidores igualaron su velocidad en el déci-mo minuto

B. Manuel fue más rápido que Andrés durante los primeros 2/5 de su tiempo empleado en la carrera

C. Andrés fue más rápido que Manuel durante toda la carre-ra, ya que su velocidad fue constante

D. entre el minuto cuatro y el minuto catorce Andrés fue más rápido que Manuel, el resto del tiempo Manuel lo superó

21. Faltando sólo 200 metros para que Andrés termine la ca-rrera, un espectador afirmó que éste llegaría primero que Manuel a la meta, otro compañero le dijo que estaba

Repaso de Matemát icas wmmmmmmmmmmmm

A. de acuerdo, ya que Andrés tiene en este momento aproxi-madamente 400 metros de ventaja sobre Manuel

B. en desacuerdo, porque a pesar de que Manuel está de-trás de Andrés, viene corriendo más rápido y tal vez llega-rán los dos al mismo tiempo a la meta

C. de acuerdo, porque Andrés ha sido más rápido que Ma-nuel desde el inicio de la carrera

D. en desacuerdo, pues a pesar de que Manuel inició la carrera más lento que Andrés, en este momento viene corriendo más rápido y seguro llegará antes que Andrés

22. A partir de la gráfica siguiente, conteste las 3 preguntas que se presentan a continuación:

Una organización ecológica observa la siguiente gráfica pu-blicada en la revista "Scientific American" en 1990, en la cual se representa el número (en millones) de vehículos en circu-lación en el mundo en el año t

24. La organización ecológica quiere mostrar de otra manera el tiempo en el cual se registra la circulación de vehículos, esta representación es

A. ' 8 2

'76 ^ ' 7 0 o <= '64 <

'58 '52 '46

\

V A

k k A \

f'=(t) 100 200 300400 500

Número de vehículos (millones)

B.

/

s

1 /

/

'82

'76 § '70 <= '64 < '58

'52 '46

100 200 300 400 500 Número de vehículos (millones)

f '=(t)

Entre 1988 y el 2002 se espera que el porcentaje de cambio en la circulación de vehículos sea lineal y tenga una pendien-te de 1/16, así que la circulación de vehículos, en ese interva-lo de tiempo, tendrá que representarse por una

A. Recta con pendiente 1/16

B. Función cuadrática

C. Recta con pendiente 0

D. Función decreciente

23. La organización ecológica previene sobre los peligros de contaminación por la circulación de vehículos. Esto lo sus-tenta el hecho de que

A. el promedio de la rapidez de cambio es menor entre 1982 y 1988 que entre 1950 y 1960

B. entre 1970 y 1976 es mayor el promedio de rapidez de cambio que entre 1964 y 1970

C. en los últimos seis años la razón de cambio es mayor que en los 10 primeros años

D. el cambio en la circulación es mayor entre 1946 y 1958 que entre 1982 y 1988

2 1

500 400 300 200

100

0 kL

=01

'46'52'58'64'70'76 '82' Años(t)

D. '82

'76 3 '70 i/i o '64 '< '58

'52 '46

/ f /

/

/ /

/ /

/

/ /

f'=(t)

100 200 300 400 500 25. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo

varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) - (3t2 -1 + 5) cm3 /min,

u OJ > c <3J O •o — 2 I OI E z

400 300 200

100

0 46 '52 '58 '64 '70 '76 '82 '88

Años (t)


considerando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumen-te a razón de 12/5 k cm/s

Un operario nuevo, se preocupa al observar que en el tablero de velocidad del tanque se presenta una disminución en la velocidad de suministro cuando el tanque comienza a funcio-nar; así que decide informar de la situación a un ingeniero. El ingeniero le responde que no se debe alarmar pues

A. la profundidad de agua en las botellas siempre va a au-mentar a razón de 12/5 n cm/s

B. en ningún momento se pierde agua, por el contrario, siempre se incrementa con el transcurso del tiempo

C. eso dejara de suceder a los 10 segundos de haber encen-dido el tanque

D. transcurridos 6 segundos desde que el tanque comience a funcionar, la velocidad aumentara

26. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 -1 + 5) cm3 /min, considerando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumen-te a razón de 12/5rc cm/s

Para evitar el desperdicio de agua se quiere instalar en el tan-que de suministro, un dispositivo que lo detenga. En estas condiciones ha de detenerse el suministro cada 12.57t segun-dos aproximadamente, pues

A. el volumen de agua en la botella cambia a razón de 60 cm3/s y 750?r cm3 es lo que tiene ésta por volumen

B. la profundidad de agua en la botella cambia a razón de 12/57t cm/s y el volumen de agua en la botella cambia a razón de 30 cm3/s

C. la altura de la botella es 30 cm y la altura de agua en ella cambia a razón de 750jt cm/s

D. el volumen de agua en la botella cambia a razón de 60ji cm3/sy 750 cm3

27. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 - t + 5) cm3/mln, con-siderando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumente a razón de 12/5tt cm/s

Se presenta un cambio en la velocidad de suministro de agua en el tanque, y esto hace que la razón a la cual se aumenta la profundidad de agua en las botellas se modifique, de tal manera que el volumen de agua en ellas cambie a razón de

30 cm3/s. Esto conlleva a que la producción se haga

A. mayor, porque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas aumenta

B. menor, porque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas disminuye

C. menor, aunque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas se incremente

D. mayor, aunque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas disminuya

28. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 -1 + 5) cm3/m¡n, con-siderando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumente a razón de 12/5tc cm/s

El Gerente de producción exige a los empleados una meta mínima de 500 000 cm3 de agua embotellada por hora, por lo que uno de los operarios se queja, y tiene razón, ya que

A. no se alcanza ni siquiera a los 500 cm3 por hora

B. apenas se supera el 2% de lo exigido

C. se supera apenas el 40% de lo que el gerente exige

D. se alcanza apenas a embotellar 300 litros en este tiempo

29. De acuerdo con la siguiente información, responda las 4 preguntas a continuación:

Una empresa encargada de diseñar y vender modelos de em-baldosados, lanzó al mercado su nueva línea llamada "cua-drícula", la cual se caracteriza por su distribución de baldosas cuadradas blancas y negras conformando diferentes tamaños y diseños. Las siguientes gráficas representan algunos de los modelos que dispone la empresa.

tamaño 3 tamaño 4 tamaño 5

Pensando en los diferentes modelos que se pueden obtener conservando la distribución de las baldosas blancas y negras, el diseñador de este embaldosado encuentra que la expre-sión r(n) = n2 - 8n + 12 le permite determinar

A. el número de baldosas blancas que hay en un modelo determinado, al considerar (n) como el número de baldo-sas negras que componen dicho modelo

Repaso de Matemát icas HNHBHHl

B. el número de baldosas blancas que faltan o sobran, para que cualquier tamaño (n) de embaldosado tenga la mis-ma cantidad de baldosas de cada color

C. el tamaño de un modelo de embaldosado determinado, al reemplazar (n) por su correspondiente número de bal-dosas blancas

D. las dimensiones de cualquier embaldosado, al reempla-zar (n) por un número determinado de baldosas negras

30. El gerente quiere dar a sus empleados Indicaciones sobre la cantidad de baldosas blancas (B) y negras (N) que com-ponen cada diseño, esto lo puede lograr mediante

A. B(n) = (2An/4 )+2 y N(n) (3n/2) + 9, para embaldosados de tamaño mayor o igual a 6

B. B(n) - 4n - 6 y N(n) = (n - 2)A2 + 2, para embaldosados con tamaños 2 en adelante

C. B(n) = (nA2 - n) /2 N(n) - 2nA2 - 6, para embaldosados de todos los tamaños

D. B(n) = (5n + 3)/3 y N(n) = n(n+1)/2, para embaldosados con tamaño 3 en adelante

31. El administrador del punto de venta principal, solicita a algunos de sus empleados que elaboren una gráfica que indique la cantidad de baldosas de cada color en cada ta-maño de embaldosado. La giáflca que le deben entregar los empleados es:

de baldosas A

Baldosas blancas Baldosas negras

1 2 3 4 5 6 7 8 91011 Tamaño del embaldosado

28 26 24 22 20 18

B16 • 14

12 10 8 6 4 2

28 26 24 22 20 18 16

r 14 12 10 8 6 4

: N° de baldosas o Baldosas blancas • Baldosas negras

0 1 2 3 4 5 6 7 Tamaño del embaldosado

N ° de baldosas 0 Baldosas blancas • Baldosas negras


de baldosas Baldosas blancas Baldosas negras


32. El patio de la casa de un cliente tiene el tamaño 11, y quiere que el diseño sea también el mismo, así que debe comprar

A. 34 baldosas blancas y 66 negras

B. 36 baldosas blancas y 85 negras

C. 38 baldosas blancas y 83 negras

D. 42 baldosas blancas y 102 negras

65


9. Tabla de Respuestas

Pregunta Clave i A

2 B

3 A

4 B

5 B

6 A

7 C

8 C

9 A

10 B

11 D

12 A

13 S

14 C

15 B

16 D

17 C

18 C

19 B

20 D

21 B

22 B

23 C

24 B

25 C

26 A


Pregunta Clave 27 B

28 c

29 B

30 B

31 c

32 c

r

i

67


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Castro Martínez, E„ Rico Romero, L; y Romero Albaladejo, i. (1997). "Sistemas de representación y aprendizaje de estructuras

numéricas". En: Enseñanza de las Ciencias.

• Chamorro, Carmen. El aprendizaje significativo en el área de las matemáticas. Editorial Alhambra Longman.

• Grupo Océano. (2006). Tutor Interactivo. Barcelona: Editorial Océano.

• Grupo Pretexto: Rojas Garzón, P.; Rodríguez Bejarano, J.; Romero Cruz, J. y otros. (1997). La transición aritmética-álgebra. Colección Didáctica de las Matemáticas, Colciencias. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

• Rico, Luis. (1999). "Diseño curricular en educación matemática y evaluación". En: Teoría y practica en la educación matemática, Sevilla, 1990.

• . (2005). "Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas". En: Revista EMA, No. 1,1995.

• Rincón, Efraín,- Martínez de Nieto, Inés,- Niño C„ Hugo A. y M. de Cárdenas, Catalina. (1998). Nueva Enciclopedia del Bachillerato. Bogotá: Lerner S.A.

• Rocha Gaona, Martha C. (1998). Exámenes de Estado para ingreso a la Educación Superior. Pruebas de Matemáticas. Serie Investigación y Evaluación Educativa, SNP-ICFES. y

• Rodríguez Bejarano, Jorge. (1997). La gramática básica de la matemática y competencias matemáticas, Documento de trabajo, SNP-ICFES.

• SNP-ICFES. (1996). Reconceptualización de los exámenes de estado. Lineamientos teóricos y propuestas generales. Documento de trabajo.

• . (1994).Una propuesta para la valoración de competencias matemáticas. Serie Saber, No. 94.

71

Biología Filosofía Física

Geografía Historia Inglés

Lenguaje Matemáticas

Química Medio Ambiente - Violencia y sociedad

GRUPO LATI MO e-D-i-T-o-R-e-s1

[email protected]

mailto:[email protected]

manual icfes

Documents

nmeros primos

nmeros racionales q

nmeros enteros z

nmeros naturales n

imaginarios nmeros reales

conteo nmeros complejos

clases de funciones

clases de ngulos