manual preparacion matematicas (1)

8/17/2019 Manual Preparacion Matematicas (1)

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Manual de Preparación Prueba deSelección Universitaria Matematicas

Matías Ándres Ramírez Aguilera


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Dedicado a todo quienes se esfuerzan día a

día para construir un mundo mejor.

Nos inspiran y recuerdan que los héroes si existen,

y que viven silenciosamente

dentro de todos nosotros.


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3

Para mis padres y hermanos: Constanza, Benjamin y Nicolas.

Con mucho cariño, su hermano mayor.


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Contenido

Prefacio ............................................................................................................................................... 5

1. Operaciones Básicas ........................................................................................................................ 6

2. Proporcionalidad y Porcentajes ...................................................................................................... 8

2.1 Porcentajes .................................................................................................................................. 15

3. Algebra .......................................................................................................................................... 19

3.1 Plantear ecuaciones a partir de un enunciado ............................................................................ 19

3.2 Simplificación, expansión o factorización ................................................................................... 25

3.3 Factorización ............................................................................................................................... 27

3.4 Remplazo Numérico en Ecuaciones ............................................................................................ 30

3.5 Operaciones Básicas con Algebra ................................................................................................ 31

3.6 Proporcionalidad en Algebra ....................................................................................................... 33

4. Funciones ...................................................................................................................................... 36

4.1 Dominio y Recorrido .................................................................................................................... 42

4.2 Gráfico y Analisis ......................................................................................................................... 45

4.3 Funciones Importantes ............................................................................................................... 46

4.3 Propiedades gráfico de funciones ............................................................................................... 48

4.4 Analisis de Gráfica ....................................................................................................................... 52

4.5 Potencias, Raices y Logaritmos ................................................................................................... 57

5. Geometria ..................................................................................................................................... 63

5.1 Ángulos inscritos ......................................................................................................................... 63

5.2 Geometria Porporción de Segmentos ......................................................................................... 65

5.3 Proporción en Líneas Paralelas ................................................................................................... 68

5.4 Geometria en Triángulo Rectángulo ........................................................................................... 72

5.5 Semejanza-Congruencia Triángulos ............................................................................................ 74


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Prefacio

El siguiente libro de preparación de la prueba de selección universitaria es un compilado de

los aprendizajes durante mis años de estudio de mátematicas a lo largo de mi vida. Incluyo

métodologias de enseñanza que integran en paralelo el contenido académico con ejercicios

prácticos. Son estrategias de aprendizaje que he practicado fuertemente en estos años de

estudios en la universidad.

Todos los problemas presentes en este libro, son preguntadas aplicadas oficialmente por el

DEMRE en la prueba de selección universitaria a lo largo de los años. El libro cubre los

contenidos básicos de números, algebra, funciones y geometría. Tras un exhaustivo análisis de

las diferentes ediciones de la prueba, he determinado un amplio número de problemas que

tienden a repetirse todos los años, muchas veces con la misma estructura para abordar el

contenido.

Este manual de preparación no abarca todos los contenidos que pueden ser evaluados, sino

que se centra en aquellos que por experiencia histórica han tendido a repetirse. Está enfocado

en alumnos con una deficiente formación en matématicas, pretende ayudarlos a comprender

contenidos elementales e incrementar su rendimiento en la prueba de selección. De ninguna

manera, un alumno avezado en matématicas debería centrarse en un texto tan básico como

este.

Para todos los alumnos, les deseo la mejor de las suertes en la preparación de la prueba y que

los resultados sean una expresión de su dedicación y esfuerzo. Luchen siempre por sus

sueños.

Atentamente.

El autor.


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1. Operaciones Básicas

Debemos tener precauciones básicas a la hora de trabajar estos problemas de

operaciones. Las consideraciones son utilizar paréntesis para ordenar los pasos de resolución

y no equivocarse. Además, debemos tener perfecto dominio sobre el orden de prioridad de las

operaciones en una expresión(elevación, multiplicación/división, suma/resta).

1.,−∙,,∙+, =

Solución:

2,62∙3,82,6∙63,8 = 2,67,615,63,8 = 519,4

2. − =

Solución:

[13] 21 = [13] 2 =

[13] [83] = [93] = 3

3. 40 20 ∙ 2,5 10 =

2 → (21) ÷ (34) = (21) ∙ (43) = 2 ∙ 41 ∙ 3 = 83

Importante recordar el siguiente método de división de fracciones.


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Solución:

40 20∙2,5 10 = 40 50 20 = 0

4. ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?

I) 2 5 II) 6 ∙ 7 6 ∙ 7 III) 7 2 Solución:

2 5 = 16 25 = 41 6 ∙ 7 6 ∙ 7 = 42 1 ∙ 1 = 41

7 2 = 49 8 = 41

5. 0,2− = Solución:

( 2

10)− = (10

2 ) = 10

2

= 100

4 = 25

Ojo: Siempre que hay dos símbolos negativos juntos

, debemos tener la precaución de

convertirlos en un símbolo positivo para resolver.

Recordar: Cualquier número elevado a 0 da como resultado 1.

2− = (21)− → (12)

= 14

El procedimiento de resolución de un número elevado a negativo es expresarlo como fracción e

intercambiar su numerador y denominador para convertir a positivo el elevado.


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2. Proporcionalidad y Porcentajes

Para resolver correctamente los problemas de proporcionalidad general, es necesario

comprender el concepto de directa/indirectamente proporcional. La proporcionalidad se

define como una medida de comparación de magnitud entre dos elementos.

Directamente

“A es directamente própórciónal a B”

Explicación: Entre más grande sea A, más grande será B.

A

→A

B →BIndirectamente

“A es indirectamente própórciónal a B”

Explicación: Entre más grande sea A, más chico será B.

A →AB →B

6. En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la realidad. Si la

distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es:

Solución:

En general en todos los problemas de la prueba de selección universitaria se asume naturaleza

directamente proporcional, a menos que se mencione lo contrario.


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De la tabla anterior, movemos los datos a la siguiente ecuación para resolver.

25,4 =

25

Despejamos el valor de a la izquierda, dejando los valores numéricas a la derecha.25,4 = 25

= 25 ∙ 5,42 = 67,5

8. En la tabla adjunta es directamente proporcional a . Según los datos registrados, el valorde

, esZ y

8 2

A 4

1 16

14 bSolución:

Debemós tener precaucin en la lectura del enunciadó, dónde nós dicen que “ esdirectamente proporcional a

”

Esta estructura nos ayuda a plantear la relación de las variables en los problemas de proporcionalidad

directa.

Escala (Tipo Datos 1) Realidad (Tipo Datos 2)

2 cm 25 km

5,4 cm km

Donde , equivale a la cantidad de kilómetros que representan los 5,4 cm.


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Podemos utilizar la estructura de proporcionalidad antes vista, y cuando tenemos más de un

dato podemos elegir cualquiera. En este caso, tenemos los datos de la primera y tercera fila

como referencia. Para este caso, utilizaremos los datos de la primera fila.

8 12 A 14

De la tabla anterior, movemos los datos a la siguiente ecuación para resolver.

8 =

En este caso, nos sale más fácil despejar la incógnita en el lado izquierdo de la ecuación. ∙ 8 = = 4 Repetimos procedimiento para obtener el valor de .

8 12 14 1

8 =

1 = ∙ 8 = 64 Ahora que tenemos el valor de ambas incógnitas, podemos obtener el resultado final.


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= 464 = 116

9. Se sabe que a esdirectamenteproporcionalal número y cuando a toma el valor 15, el valorde es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de es:Solución:

15 14 6 1

Planteamos la ecuación de resolución del modelo.

156 =

1 =

6 ∙ 15

= 10

10. Se desea cortar un alambre de 720 mm den tres trozos de modos que la razón de sus

longitudes sea 8 : 6 : 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las

razones dadas?

Otro formato de problemas de proporcionalidad directa es a través de las siguientes frases:

“La razón entre y es : “

“De cada , son “


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Solución:

Este ejercicio tiene una peculiaridad. Debemos plantear una ecuación previa para dilucidar los

tamaños de los trozos de alambre.

= 720 Usaremos este valor de largo total como uno de los parámetros de referencia.

En proporcionalidad podemos sumar y restar parámetros para generar nuevos valores de

comparación. En este caso, sumaremos las razones entre los trozos de alambre para crear una

variable de comparación frente al largo total (es el dato que poseemos por enunciado).

Primero obtenemos el largo del primer trozo.

Razón de Longitud Largo del Trozo

8 8 + 6 + 4 720

88 6 4 = 720

x = 720 ∙ 818 = 320

Ahora, conociendo el largo del primer trozo, podemos utilizarlos de referencia para obtener el

largo del segundo trozo (dado, por la razón de 6).

Razón de Longitud Largo del Trozo

8 320 6

86 = 320 x = 320 ∙ 68 = 240


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Ahora, finalmente por sumatoria podemos obtener el valor del tercer trozo. También

podemos volver a aplicar la tabla de proporcionalidad para obtener su valor (razón 4).

320240 = 720 = 720 320 240 = 160

11. A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿Cuántasmujeres asistieron al evento?

Solución:

La proporción entre mujeres y hombres es 4 es a 3. Sin embargo, no tenemos ninguno de los

valores del número de hombres para despejar el número de mujeres. Del enunciado, podemos

ver que tenemos el valor del número total de asistentes, por lo que debemos componer una

nueva razón de proporción para el siguiente dato.

ℎ = 56 Componemos la proporción del número total de asistentes como la suma entre las razones de

mujeres y hombres para plantear la tabla.

Razón de cantidades Número de personas

4

4+3 56 47 = 56

Importante: Notar que siempre debemos tener al menos tres datos para resolver un problema de

proporcionalidad. Los dos valores de comparación de proporción (razón) entre las dos variables y

además, el valor real de una de las variables.


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= 56 ∙ 47 = 32

12. En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seispersonas solo una es residente permanente, ¿Cuántas personas hay en febrero?

Solución:

Debemos tener precaución en la lectura del siguiente problema, ya que nos dicen que de cada

“seis personas solo una es residente permanente”. Eso significa a simple razonamiento que de 6

personas, 5 son no residentes y 1 es residente permanente.

No debemos confundirnos al momento de plantear la razón de variables, ya que un error de

este tipo nos conduce a una respuesta incorrecta. La proporción correcta entre no-residentes

y residentes permanentes es 5 es a 1.

Razón de tipo de residentes Número de residentes

5 − 1 2500

51 = −2500 − = 12500 Finalmente, debemos fijarnos que nos piden el valor del total de personas. Por lo tanto,

= 2500 12500 = 15000


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2.1 Porcentajes

Podemos expresar los porcentajes como una medida de proporción sobre elementos,

siempre referenciando el valor de la referencia como 100%.

Ejemplo: ¿35 de 200 equivale a que porcentaje?

% Valor

100 200 X

35

100x = 20035 x = 17.5 % Podemos analizar que 35 es a 200, como 100% es a 17.5%. También podemos decir, 35 es el

17.5% de 200. Encontramos diversas interpretaciones para el resultado.

Notar que si aplicamos:

17.5% de 200 → . ∙ 200 = 35 Esta es la forma de aplicar un x % de un número. Simplemente es multiplicarlo por

yobtendremos el valor.

13. Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

Solución:

En este problema debemos estar atentos al enunciado pues nos preguntan por la ganancia de

peso (3 kg), no por el valor actual del peso (18 kg).


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% Kg

100 15 X 3

100x = 153 x = 20 %

14. En una vitrina de un negóció se óbserva ló siguiente: “Antes $400, ahóra $300”. Cón

respecto al precio original, ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

Solución: Ubicamos el precio original ($400) como referencia (100%). Al igual que en el

ejemplo anterior nos preguntan sobre la rebaja (400 – 300 = $100).

% $

100 400 X 100

100x = 400100 x = 25 %

15. En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 de cerámica y 100 de piso flotantepara la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado

de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es:

Solución: Primero que nada calculamos el valor del precio del metro de piso flotante.

Utilizamos la tabla de porcentajes.

75% de P→ ∙ = 0.75P


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Debemos tener precaución al calcular el precio del piso flotante, ya que este es mayor al de

piso cerámica, es decir:

= 0.75 = 1.75 Finalmente, podemos calcular el costo total:

= ∙ 70 1.75 ∙ 100 = 70 175 = 245

16. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un

artículo?

I)

del precio del artículo.

II) El precio del artículo multiplicado por 12,5.

III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5.

Solución:

Sabemos de las relaciones estudiadas previamente que podemos expresar el porcentaje sobre

un valor de la siguiente forma.

12,5% de x→ , ∙ Realizando las simplificaciones pertinentes.

12,5100 = 12,512,5∙8 = 18 Recomendación: No es tan fácil ver que

,es equivalente a . La mejor forma es multiplicar sunumerador y denominador por 12,5 y comparar con

,

para ver la equivalencia.

18. Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es algebra y el resto

astronomía.

Solución:


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18

Primero calculamos el % de las páginas de astronomía.

% % % = 100%

% = 1002010 = 70%

70% de 40→ ∙ 40 = 28

19. En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de

una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $600, ¿Cuánto descuentan?

Solución:

Precio es 600, la mitad es 300.

15% de 300→ ∙300 = 45

20. Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de ba es:Solución:

35% de a→ ∙ = 4 = ∙ = 12% de b→ ∙ = 6 = ∙ = 50 Por fin podemos calcular la respuesta.

= 50 = 358

Ojo: Nos dicen que el descuento es sobre la mitad del precio.


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3. Algebra

El manejo de algebra es un contenido fundamental para triunfar en la Prueba de

Selección Universitaria de Matemáticas, debido a la gran cantidad de preguntas que abarca.

Hay habilidades específicas que abordaremos para la solución de estos problemas.

3.1 Plantear ecuaciones a partir de un enunciado

21. El doble del cuadrado de

3 se expresa por:

Solución:

La técnica es siempre identificar la incógnita e ir construyendo la expresión hacia el exterior.

Identificamos la incógnita: 3 Cuadrado de: 3 El doble del:

2 3

22. El enunciadó: “A un númeró d se le suma su dóble, y este resultadó se multiplica pór el

cuadradó del triple de d”, se escribe:

Solución:

Al leer detenidamente el problema identificamos que tenemos dos partes para armar la

expresión:

Identificamos la incógnita: Se le suma su doble: 2 Triple de: 3


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Cuadrado del: 3 Ahora finalmente multiplicamos los dos términos.

23

23. Un número real n, distinto de cero, sumado con su reciproco, y todo al cuadrado, se

expresa como:

Solución:

Identificamos incógnita: Sumado con su recíproco: Todo al cuadrado:

24. Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años, ¿Qué edad tendrá

Juan en un año más?

Solución:

Identificamos la variable que tenemos que despejar, en este caso es la edad de Juan hoy.

Además, tenemos dos partes de la igualdad de la ecuación:

Llamamos x a esa variable: En 10 años más: 10 Edad hace 5 años:

5

Doble de: 2 5 Igualamos para obtener la ecuación completa.

10 = 2 5 Extendemos los paréntesis.


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10 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 2 10 Agrupamos las incógnitas y valores numéricos en lados distintos para resolver.

= 20

Nos piden la edad de Juan en un año más, por lo que la respuesta es 21.

25. María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan

tenía 10 años, ¿En cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones

que permiten calcular las edades de María y Juan?

Solución:

Primera ecuación.

2 = 25% J = 2 5 ∙ J100 = J4 Segunda ecuación.

2 = 10

26. Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $240 cada

uno. ¿Cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $180 cada uno?

Solución:

Debemos descomponer el problema en dos partes:

calcular cuánto dinero se tiene actualmente.

calcular cuánto se necesita para comprar los 6 chocolates.

Definimos : 80 = 4 ∙ 240 = 960 = 960 80 = 880


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Ahora que tenemos el valor del dinero que poseemos actualmente, podemos calcular cuánto

nos falta para los 6 chocolates.

Definimos : 880 = 6 ∙ 180 = 1080 = 200

27. Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x hectáreas, al del

medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las hectáreas de su segundo hijo.

El hijo mayor recibió:

Solución:

Del enunciado fijamos las variables.

→ ℎ ℎ 23 → ℎ ℎ

12 ∙ 23 → ℎ ℎ Planteamos la ecuación:

23 3 = 12000

= 1 ∙ = 33 ∙ = 33 33 23 3 = 12000 63 = 12000

Recordar: Para sumar fracciones estás deben tener igual denominador, para ello debemos adaptarlas

a través de la igualdad.


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= 3 ∙ 120006 = 6000 Nos piden por las hectáreas del hijo mayor, en este caso:

12 ∙ 23 = 2000

28. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación+ = 1 ?

Solución:

Multiplicamos por 3 en ambos lados.

3 ∙ 23 = 3 ∙ 1 2 = 3 Simplemente restamos 2 en ambos lados.

2 2 = 3 2

= 5

29. Si− = 4 , entonces =

Solución:

Multiplicamos por 2(el denominador) en ambos lados.

2 ∙ 2 12 = 2 ∙ 4 2 1 = 8 Sumamos 1 en ambos lados.

2 1 1 = 8 1


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2 = 9 Dividimos por 2 en ambos lados.

22 = 92

= 92

30. Si 43 3 = 56 2 , entonces 2x es:Solución:

Primero expandimos todos los paréntesis.

4 ∙ 3 4 ∙ 3 = 5 ∙ 6 5 ∙ 2 12 12 = 30 10 Agrupamos la restamos 10 y 12 para dejar las incógnitas y los valores en lados distintos.12 12 10 12 = 30 10 10 12

2 = 18 = 182 = 9 Nos piden el valor de 2x, es decir, 18.

31. Al sumar con m se obtiene +, entonces ¿Cuál es el valor de m?

Solución:

Planteamos la ecuación.

= 2


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= 2 Para resolver esto debemos igualar los denominadores. Parece medio difícil ya que no es fácil

ver un denominador común para juntarlos fácilmente. Para ello utilizamos el truco de la

multiplicación cruzada de denominadores para formar uno común.

= ( 2 ∙ ) ( ∙ 2 2) = 2 2 2 Ahora que tenemos igual denominador podemos proceder a realizar la resta.

= 2 2 = 2 2

3.2 Simplificación, expansión o factorización

32. 1 = Solución:

Expandir, no es más que sacar del paréntesis la expresión para reducir sus términos.

∙ 1 ∙ = ∙ 1 ∙ = =

Recordemos que en toda multiplicación/división debemos respetar las precauciones de

conversión de signo.

∙ => ∙ => ∙ =>

33. = Solución:

= =


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33. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 4 ?Solución:

Utilizamos la fórmula de cuadrado de binomio para . → 2 = 2 Le restamos el término que habíamos apartado.

2 4 = 2 Como no vemos ninguna respuesta de esta forma entre las alternativas debemos considerarque se trate de una factorización (se explicara más adelante). Para efectos prácticos podemos

apreciar que para obtener una expresión de esta forma debemos expandir un cuadrado de

binomio de la forma (2).

→ 2 = 2 → 2 = 2

→ 2 = 2

3 23 2 → 3 2 = 9 4

3 33 4 → 33 34 33 34 = 9 12 9 12

Expansión: Recomiendo aprender estos ejemplos clásicos de expansión de polinomios.

Cuadrado de Binomio

A continuación presento los siguientes ejemplos.

Diferencia de cuadrado

Multiplicación general


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34.

3 2

22 32 3 =

Solución:

Expandimos el cuadrado de binomio.

3 2 → 3 232 2 = 9 12 4 Expandimos la diferencia de cuadrados.

2 32 3 → 2 3 = 4 9 Unimos las expresiones.

9 12 4 24 9 = 9 12 4 8 18 = 12 22

35. 3 5 = Solución:

3 5 → 3 235 5 = 9 30 25 3.3 Factorización

Es el proceso inverso de la expansión y consta de buscar términos que al multiplicarse

entre sí, dé como resultado el polinomio original.

Ejemplo.

2 , nos podemos dar cuenta que es la forma extendida de o de Por lo tanto, la factorización de la expresión es:


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2 → 2 →

36. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de 6?Solución:

Podemos observar que no es posible aplicar diferencia de cuadrados, ni cuadrado de binomio,

ya que la expresión no es perfecta. Debemos utilizar una técnica para dilucidar los factores de

la multiplicación de polinomio.

∙ = 6 = 1

= 3 = 2

6 → 3 2

3 2 → 2 3 32 = 3 2 6= 6

Una expresión de la forma 6 se puede descomponer en .Siendo las relaciones entre A/B y los parámetros del polinomio (Precaución con que el múltiplo de

mayor orden sea 1, de otro modo hay que ajustarlo para lograr esto).

A simple inspección podemos ver que la combinación que cumple las condiciones anteriores es:

Por lo tanto, podemos factorizar el polinomio de la forma.

Podemos comprobar esto.

Queda demostrado el método.


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Factor Común

Es la técnica más simple de factorización, consiste en encontrar un factor común en todos los

términos del polinomio y sacarlo fuera como un multiplicador.

Ejemplo.

10 6 4 → 25 3 2

37. La expresión− : − es igual a:

Solución:

Convertimos la división en multiplicación.

: = ∙ Factorizamos y reducimos términos comunes.

∙ = 1 ∙ 1 =

38. Sea ≠ 0 , al simplificar la expresión − resulta:Solución:

2 = 12 = 1 2


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3.4 Remplazo Numérico en Ecuaciones

Es simplemente remplazar los valores en incógnitas de una ecuación prestando

atención al orden de ejecución de operaciones (elevación/raíz, multiplicación/división,

suma/resta).

39. Si = 2 y = 3 , ¿Cuál es el valor de – – )?Solución:

Simplemente remplazamos los valores en la ecuación y resolvemos. Además, debemos tener

precaución con la conversión de signos.

– 2 ∙ 3– 2 3 = =– 6– 1 = 6 1 = 7

40. ¿Cuál es el valor de 2, si = 2 e = 1?Solución:

2 221 =

= 4 4 = 4 4 = 8

41. En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la

longitud L del desplazamiento de ese pistón es:

= 0,79 ∙ ∙ Si el diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿Cuál es el

volumen del cilindro?

Solución:

Realizando una lectura detallada nos damos cuenta que el enunciado recalca que:


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D = 10 cm

L = 10 cm

Y nos piden V, el valor de la expresión. Remplazamos.

= 0,79 ∙ 10 ∙ 10 = 790

42. Se define ⊗ = y # = 2 4, para a y b números enteros, el valor de2 ⊗ 5 # 2 esSolución:

En este ejercicio se establece una notación para dos fórmulas (⊗, #). Simplemente hay queresolver por pasos:2 ⊗ 5 = 2 5 = 32 5 = 37 Con este resultado, terminamos de resolver.

37 # 2 = 2 ∙ 37 4 ∙ 2 = 74 8 = 82

3.5 Operaciones Básicas con Algebra

Debemos recordar que para operar en algebra debemos sumar/restar los términos

con incógnitas iguales. En caso, de multiplicar/dividir el procedimiento es juntar incógnitas.

43. El precio de los artículos M, N y T es $ 1, $ 2 $ 3, respecticamente.¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T?

Solución:

Articulo Precio

M 1 N 2 T 3


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Precio total: 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ Remplazamos.

1 ∙ 1 2 ∙ 2 3 ∙ 3 = 1 2 4 3 9 =

Agrupamos los términos iguales.

= 6 14

44. Jorge compro tres artículos distintos en $4 . El primero le costó $ y el segundo$2 . ¿Cuánto le costó el tercero?Solución:

Ya que sabemos el costo de dos de los artículos, además del costo total. Debemos simplemente

restarle al costo total la suma de los dos primeros artículos para dilucidar el valor del tercero.

Sumamos el costo de los dos primeros artículos.

2 = 3 Ahora, realizamos la resta para obtener el valor del tercer artículo, mediante la resta del costo

total y la suma de los dos primeros artículos.

4 3 = 4 3 = 2

45. Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años

más?

Solución:

Debemos prestar atención a que las edades del enunciado son 3 años atrás, por lo tanto hay

que sumarles 3 para obtener las edades actuales.

: 5 3 años: 3años


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33

Por lo tanto, les sumamos a años para obtener las edades en el futuro.

ñ: 8 años

ñ

: 3 años

Ahora, simplemente sumamos las edades.

8 2 3 = 3 11

46. Claudia tenía en el banco $ 4. Retiro la mitad y horas más tarde depositó el triple de loque tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

Solución:

Tiene $4. La mitad es $2 se retira.Tenemos por lo tanto, $42 Se depositó el triple de lo que se tenía en un comienzo. $3 ∙ 4 Finalmente tenemos $ 2 12 = 14 3.6 Proporcionalidad en Algebra

47. Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿Cuántos hombres se necesitan para

fabricar x artículos en un día?

Solución:

Planteamos la misma tabla de proporciones pero con incógnitas, en vez de valores numéricos.

Debemos tener precaución de despejar la variable correcta.

Definimos, n: número de hombres para fabricar x artículos.


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34

Hombres Artículosℎ 50

ℎ = 50 Despejamos n.

= ℎ50

48. En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran un ramo de

claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $. ¿Cuánto pagó Luis por suramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?

Solución:

Definimos, x: precio de 16 claveles.

Claveles Precio

12 16 Planteamos la ecuación de proporcionalidad para despejar la incógnita.

1216 =

= 1612 = 43

49. Compre x kg de café en $36.000 y compre 40 kg más de té que de café en $48.000. ¿Cómose expresa el valor de un 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?

Solución:


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Debemos obtener el precio de 1 kg de té y de 1 kg de café por separado para luego sumarlos.

Definimos, t: precio de 1 kg de té.

Kg de té Precio

40 48.000 1 Planteamos la ecuación de proporcionalidad para despejar la incógnita.

401 = 48.000 Despejamos y obtenemos.

= 48.000 40 Ahora planteamos el equivalente para el café.

Definimos, c: precio de 1 kg de café.

Kg de café Precio

36.000

1 Despejamos y obtenemos.

= 36.000 Nos piden el costo de 1 kg de té y 1 kg de café.

36.000 48.000 40


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36

4. Funciones

Una función, en términos simples, es la representación de una máquina que al

introducirle un ingrediente produce un producto.

La función recibe un valor numérico de entrada, y mediante una serie de operaciones

(multiplicación, división, suma, resta) devuelve un valor al final. Es una transformación que se

le realiza a una entrada.

Por ejemplo: multiplicar por 2.

Entrada Función Salida

3

∙ 2 6

2 ∙ 2 4La representación de esta función es:

= 2 ∙ Donde representa el valor de la entrada y representa el valor de la salida.Existen infinitas funciones que podemos crear, solo depende de nuestra imaginación.

Por ejemplo: elevar la entrada al cuadrado y sumarle 2.

= 2 Entrada Función Salida

-1 1 2 30 0 2 21

1

2 3

2 2 2 6Podemos observar que dos valores distintos de entrada 1,1 devuelven de la función elmismo valor de salida 3. Esto se debe a la naturaleza de la función elevar al cuadrado nodistingue el signo de la entrada que tenemos.


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37

Podemos evaluar cualquier valor en la función, por lo tanto existen infinitas entradas. Si

tabulamos una tabla con entradas separados por 1 unidad, desde -10 a 10. Para la función = 2.

-10 102

-9 83

-8 66

-7 51

-6 38

-5 27

-4 18

-3 11-2 6

-1 3

0 2

1 3

2 6

3 11

4 18

5 27

6 38

7 51

8 66

9 83

10 102

Si tuviéramos todos los valores de entrada y su salida respectiva, y los ubicáramos uno pegadoal otro en forma gráfica, obtendríamos la figura 1.


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Figura 1. Gráfico A esta figura llamamos gráfica de una función y no es más que una representación gráficade los valores de entrada y salida. Nos permite visualizar el comportamiento de la funciónpara diferentes entradas.

La lectura es sencilla, si nos fijamos en el valor +2 de entrada y encontramos el punto dela curva donde se encuentra, vemos que el nivel de altura de la salida es +6.Por lo tanto, podemos decir que el punto 2,6 pertenece a la gráfica de la función

= 2.Así como también el punto 1,3.

50. De acuerdo al gráfico de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)

verdadera(s)?

I) 1 1 = 0 II)

3 ∙ 2 0 = 2∙2

II) 2 1 = 2 1


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Solución:

En este ejercicio no nos indican la expresión o formula de la función , pero nos dan elgrafico entre las entradas 2,2. De esta forma tenemos información de los valores entreestas entradas.

Tabulamos la tabla de los valores que observamos y comprobamos las afirmaciones.

Entrada Salida -2 2

-1 1

0 2

1 12 2

1 1 = 0 1 1 = 2 Se cumple el primer punto.

3 ∙ 2 0 = 2∙2 3 ∙ 2 2 = 2 ∙ 2 = 4 Se cumple el segundo punto.

2 1 = 2 1


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2 1 = 2 1 = 1 Se cumple el tercer punto.

Ahora que entendemos que la notación

es una fórmula que depende de la entrada

, y

sabemos que 5 es simplemente remplazar 5 en el lugar donde se encontraban las ycalcular el valor de la expresión podemos ver el siguiente ejemplo.

51. Si = 5, entonces 5∙5 es igual a:Solución:

Nuestra función es

= 5 que significa, multiplicar por 5 el valor de la entrada que le

damos.

Nos piden calcular 5∙5. → 5 5 → 5 ∙ 5 5 → 25 Finalmente,

5 ∙ 5 → 5 ∙ 25 5 ∙ 5 → 125

52. Si = |−−|− , entonces 7 es igual a:Solución:

Primero, debemos conocer el significado de la función valor absoluto = ||. Estáconvierte a valor positivo cualquier entrada de x.

Un ejemplo es 5 = |5| = 5 que es transformado a positivo.


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|5| → 5 |5| → 5 Ahora que conocemos su significado, comenzamos a operar en la pregunta.

= |2 3|2 7 = | 2 ∙ 7 3|2 = | 1 4 3|2 = |17|2 =

= 172 = 172

53. ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de = √ 5 √ ?I) (2,5)

II) (2,-5)

III) (2,-1)

Solución:

Nos preguntan cual de los siguientes pares de puntos (entrada, salida) pertenecen a la función

= √ 5 √.Escribir la salida como o es lo mismo. Son dos notaciones que representan formulaspara el valor de salida.

2,5 → 2 = 2 5 2 = √ 9 √ 4 = 3 2 = 5 2,5 → 2 = 2 5 2 = √ 9 √ 4 = 3 2 = 5 ≠ 5 2,1 → 2 = 2 5 2 = √ 9 √ 4 = 3 2 = 5 ≠ 1 Por lo tanto, solamente el primer punto es un par ordenado perteneciente a la función.


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42

54. Sea la función de número reales = 3, ¿Cuál es el conjunto de los números realest que satisfacen = 1?Solución:

La pregunta se enfoca en dilucidar cuales son los valores de entrada que tenemos que darle a = 3 para que el valor de salida sea 1.Basta igualar la formula = 1 y despejar las incognitas que cumplen la relación.1 = 3

= 4

Debemos tener precaución en ver que tanto +2, como -2 dan:

2 = 4 2 = 4 De esta forma comprobamos.

2 = 2

3 = 4 3 = 1

2 = 2 3 = 4 3 = 1

4.1 Dominio y Recorrido

En la infinidad de funciones existentes, no todas pueden recibir cualquier valor de

entrada para devolver un valor de salida, ya que existen reglar matemáticas que se debenrespertar y por lo tanto, limitan los valores posibles de entrada para una función.


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Llamamos dominio al conjunto de todos los números de entrada que son válidos para una

función determinada.

55. ¿Cuál es el dominio de la función = √ 4 en los números reales?Solución:

Sabemos que el dominio son los valores permitidos que puede tomar nuestra función.

Siempre es más sencilo encontrar los valores no permitidos, ya que generalmente están más

acotados.

La metodología es descubrir primero los casos en que el interior de la raíz se hace 0. Para ello:

= 1 1

= √ 2

3 = √ 2 3 = √ 1

Reglas Matematicas

No se puede dividir por una expresión que valga 0.

Ejemplo:

no puede tomar el valor de 1, ya que esto provocaría que 1 = − = lo cual es invalido. No se puededividir por 0.

No puede existir una raiz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo:

A partir de > 2, la expresión se hace negastiva en el interior de la raíz. Probemos para la entrada = 3.

Esto, no es posible.


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4 = 0 Resolvemos y obtenemos:

= 2

= 2 Dibujamos una recta y ubicamos los valores de entrada que hacen 0 a la raíz.

El truco es probar con un valor cualquiera en cada tramo de la recta y evaluar si es factible

para la expresión.

Elegimos una entrada menor a -2 → 3 Elegimos una entrada entre -2 y +2→ 1 Elegimos una entrada mayor a +2 → 4 Evaluamos la factibilidad de los puntos.

3 = 3 4 = √ 9 4 = √ 5 . Es factible ya que es la raíz cuadrada de un númeropositivo. Todos los valores menores a -2 se pueden.

1 = 1 4 = √ 1 4 = √ 3

. No es factible ya que es la raíz cuadrada de un

número negativo. Todos los valores entre -2 y +2 no se pueden.

4 = 4 4 = √ 16 4 = √ 12.Es factible ya que es la raíz cuadrada de un númeropositivo. Todos los valores mayores a +2 se pueden.

Finalmente, identificamos que el dominio va


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4.2 Gráfico y Analisis

Aunque siempre podemos tabular los valores de entrada y salida para graficar la curva

de una función

.

Ejemplo: = 5 Entrada Salida

-5 0

-4 1

-3 2

-2 3

-1 4

0 5

1 6

2 7

Hay esquemas claves que podemos memorizar para facilitar el gráfico de funciones.


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4.3 Funciones ImportantesRecta

=

Figura 4. Recta

Observaciones:

Puede tomar de entrada todos los valores (Dominio en todos los reales).

No tiene valores máximos, ni minimos globales definidos. Se abre infinitamente.

Su pendiente es igual a 1 (Pendiente indica la rapidez con que la función crece).

Parabola

=


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Figura 5. Parabola

Observaciones:

Se llama parábola abierta hacia arriba (Su apertura viene determinada por el signo que

acompaña el cuadrado).

Tiene un valor minimo (Hay valores del recorrido que no puede tomar).

Valor absoluto

= ||

Figura 6. Valor Absoluto

Observaciones:

Tiene un valor minimo.

Es una reflexión por el eje vertical (eje de las ordenadas).

Raiz cuadrada

= √


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48

Figura 7. Raiz cuadrada

Observaciones:

Tiene un dominio de entrada solo de valores positivos. No existe en el lado negativo.

Crece de forma más lenta que una recta.

4.3 Propiedades gráfico de funciones

Signo cambiado: si tenemos un signo negativo acompañando el de mayorexponenete, debemos invertir la forma del gráfico respecto al eje horitonzal (absisas).

Ejemplo. = =

Factor

numérico: si sumamos/restamos a la función un numero cualquiera de unidades,debemos subir/bajar el gráfico en ese numero de unidades.

Ejemplo.


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49

= = 2

Pendiente de la función: si el número que acompaña al de mayor exponenete crece, estoimplica que la gráfica crece más rápido (su pendiente aumenta).

= = 3

Desplazamiento horizontal de la parábola: si en una función de la forma ,sumamos/restamos , la curva de la grafica se ajusta a la izquierda/derecha del gráficooriginal.

= = 4


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50

56.¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función = 5 6?Solución:

Primero nos damos cuenta de la presencia de , estodomina ya que tiene el elevado más alto (2). Por lo

que debemos saber que es una parábola positiva de

la forma = .

Notamos que tiene signo positivo, asi que no hay que invertirla. Luego miramos que laacompaña un 5, por lo que debemos desplazarla a la derecha.

Notamos que tien un acompañante +6, por memoria debemos saber que tenemos que

desplazar en seis unidades hacia arriba.


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51

Finalmente, tenemos como resultado nuestra gráfica de la función = 5 6.

57. ¿Cuál de las siguientes figuras representa mejor al gráfico de la función = 1?Solución:

Identificamos la forma prestando atención al de mayor exponente (). Sabemos que unaparábola.

El signo que acompaña al es positivo, por tanto no se invierte. No hay acompañando lafunción, asi que no se mueve a la izquierda o derecha. Hay un -1 acompañando, debemos bajar

el gráfico en una unidad.

De esta forma, tenemos el gráfico solicitado.


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58. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real = 1 1?Solución:

Primero, extendemos el polinomio y reagrupamos terminos para poder visualizar de mejor

manera la forma de la función.

= 1 1 = 2 1 1 = 2 Sabemos que la función es una parábola.

Signo negativo acompaña al mayor exponente por lo que se encuentra invertida.

Un termino -2x está presente por lo que se encuentra desplazada a la derecha.

Por lo tanto, concluimos que la forma de función debe ser la siguiente.

4.4 Analisis de Gráfica59. Considere la parábola = 1. ¿Cúal(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba.

II) Su vértice se encuentra en (1,0).

III) Su eje de simetría es x=1.

Solución:


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53

Podemos distinguir que ya no nos preguntan la forma de un gráfico a partir de una función . Para resolver este problema debemos gráficar perfectamente con los datos, paraidenticiar los puntos que nos preguntan.

Extendemos la función = 1 = Hacemos una tabla de valores para la función evaluada en x desde -2 a +2.

-2 4.4

-1 2

0 0.5

+1 0

+2 0.5

Ubicamos estos puntos en el plano y los unimos para formar el gráfico exacto de la función .

Podemos observar que la parábola se abre hacia arriba, y no hacia abajo.

Es verdadero.


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Su vértice (punto de más bajo en este caso, o más alto en el caso de que la gráfica se abra hacia

arriba) se encuentra en (1,0).

Es verdadero.

El eje imaginario donde el grafico se refleja, como si se hubiera un espejo en él, lo llamamos

eje de simetría. En este caso, podríamos decir que se encuentra en x=1. En este punto, el

grafico se puede dividir en dos partes iguales contrapuestas.

Es verdadero.

60. Del gráfico de la función real = 1 ||, se puede afirmar que:I) tiene su vértice en el punto (0,0).

II) sus ramas se abren hacia abajo.

III) corta al eje de las abscisas en = 1 y = 1.Solución:

Seguimos el mismo procedimiento de construir una tabla de valores para entradas desde -2a +2. Además, recordemos que la función valor absoluto

|| nos devuelve el valor de

en

positivo, independiente del signo de la entrada.

-2 -1

-1 0

0 1

+1 0

+2 -1

Ubicamos estos puntos en el plano y los unimos para formar el gráfico exacto de la función .


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Por lo tanto, debemos deducir la pendiente y el desplazamiento vertical del gráfico para poder

construir su función.

Es verdadero.

Ya sabemos entonces que la función es = 5 , donde es el desplazamiento verticalde la gráfica.Para obtener el valor de , observamos en que punto corta el gráfico corta el eje vertical y esees el valor de . En este caso: = 10 Finalmente, tenemos que la función es = 5 10.Evaluamos el punto (1,15).

1 = 5 ∙ 1 10 = 5 10 = 15 Es verdadero.

Es falso.

Técnica para pendiente.

Dibujamos un

⊿ (triángulo rectángulo que se forma en los brodes de los ejes).

Pendiente es largo del lado vertical por el largo del lado horizontal del triangulo formado.

= = = 5


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57

4.5 Potencias, Raices y Logaritmos

Una potencia es simplemente multiplicar por si mismo un número ua cantidad

determinada de veces.

Ejemplo: 2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 Una raíz es encontrar un numero que multiplicado por si mismo una cantidad determinada de

veces de cómo resultado él número dentro de la raíz. (Generalmente trabajamos con raíz

cuadrada, es decir, dos veces).

Ejemplo: √ 9 = √ 3 ∙ 3 = 3 Podemos ver que 3, multiplicado por si mismo dos veces nos da como resultado 9.

Decimos entonces que la raíz cuadrada de 9 es 3.

√ 16 = √ 4 ∙ 4 = 4 Podemos ver que 4, multiplicado por si mismo dos veces nos da como resultado 9.

Decimos entonces que la raíz cuadrada de 16 es 4.

Ahora analizaremos el caso de una raíz cubica, es decir, necesitamos un número que

multiplicado tres veces por si mismo nos de el valor dentro de la raíz.

√ 8 = √ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 Decimos entonces que la raíz cúbica de 8 es 2.

El número

arriba de la raíz

√ define cuantas veces se multiplica el numero que tenemos

que encontrar que sea igual al valor z dentro de la raíz.

Es importante recordar que una raíz no es más que elevar a un número fraccionario. Es muy

útil saber esto.

Un ejemplo de esto, es mirar las siguientes relaciones para raíces cuadrada y cúbica.


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58

√ 16 = 16 = 4 √ 27 = 27 = 3 Logaritmo es encontrar el número de elevación(exponente) de una potencia que nos da el

valor dentro del logaritmo.

Ejemplo:

log100: ¿10 elevado a cuánto nos da 100? La respuesta es 2.De esta forma tenemos la siguiente relación funcional.

log100 = 2 Otro ejemplo para entender a la perfección la noción de un logaritmo.

log 81: ¿En cuánto debemos elevar 3 para obtener 81? La respuesta es 4.3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 = 81 log 81 = 4

62.2 ∙ 3 = Solución:

Primero que nada, elevamos los paréntesis para no confundirnos.

2 ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 8 ∙ 9 8 ∙ 9 = 72+ = 72

Cuando no se especifica la base (número que debemos elevar) para obtener el interior del

logaritmo, debemos asumir que la base es 10.


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60

Con esta propiedad, realizamos las operaciones en ambos partes de la expresión.

43− ∙ 6 = 3 ∙ 46 = 126 = 2 Y en la parte algebraica realizamos un procedimiento similar, con la propiedad explicada

previamente.

18 ∙ 26 ∙ 6 = (1 8 ∙ 26 ∙ 6 ) = (3636)

= 1 = 1 Por lo tanto, el valor de la expresión se reduce a lo siguiente.

2 ∙ 1 = 2

64. √+ ∙ √ + = Solución:

Debemos recordar que siempre es mejor transformar las raíces en exponentes fraccionarios.

Nos facilita visualizar las propiedades.

+ ∙ + = ∙ Podemos ver fácilmente que tenemos multiplicación de potencias que tienen una misma base,

en este caso . Aplicamos las propiedades de multiplicación.

3 ∙ 5 = 3 ∙ 5 = 15

2010 = (2010) = 2

Propiedad

Si tenemos números distintos, pero con igual exponente podemos multiplicar o dividir las bases y

mantener el exponente.

Un ejemplo con división.


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∙ = + = = +

65. Si n es un número natural, una expresión equivalente a

3− 3− es:

Solución:

Cuando nos piden sumar/restar potencias no debemos confundir las propiedades de

multiplicar y dividir.

Siempre que tengamos suma de potencias, debemos intentar juntar las potencias y

factorizarlas por un común término.

Primero descomponemos los exponentes númericos, nos enfocamos en el interior de la

expresión.

3− 3− = 3 ∙ 3− 3 ∙ 3− Como tenemos exponentes negativo acompañando, los invertimos para tener solamente

signos positivos.

3 ∙ 3− 3 ∙ 3− = 3

3 3

3 = 3

27 3

9

Realizamos una pequeña equivalencia y podemos factorizar.

327 39 = 327 3 ∙ 327 = 1 3 ∙ 327 = 2 ∙ 327 Ahora que ya trabajamos con el interior de la expresión, nos disponemos a elevar al cuadrado

que habíamos dejado atrás.

2 ∙ 3

27

= 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

2 7 ∙ 2 7 = 4 ∙ 3 ∙ 3

3 ∙ 3 = 4 ∙ 3+

3+

Tenemos una misma base de 3 en las potencias, por lo que juntamos todas estas potencias,

recordando que las del denominador podemos transformarlas a negativo y tenerlas en el

numerador.


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5. Geometria

5.1 Ángulos inscritos

49. En la figura, ¿Cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda

= √ y

el∢ es inscrito de 45°?

Solución:

Primero debemos saber que por propiedades de angulos inscritos en circunferencia, se define

que el arco ̂ mide el doble del ∢ que lo sostiene. ̂ = 2 ∙ ∢ = 2 ∙ 45° = 90° Podemos ver que se forma un triángulo AOC si unimos los puntos.

Por propiedad de angulos inscritos sabemos que el ∢ debe medir lo mismo que el arco ̂ que lo sostiene. Debido que el punto O es centro de la circunferencia.Por lo tanto, tenemos que ∢ = 90° .Del triángulo AOC, sabemos que tiene un ∢ que mide 90°, además de dos lados que sonradios (miden lo mismo). Concluimos que triángulo AOC es un triangulo rectángulo e

isósceles.


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Como tenemos un triángulo rectángulo aplicaremos el teorema de pitagoras sobre sus lados.

Aplicamos el teorema sobre el triangulo AOC. Recordemos que por enunciado nos dicen que

= √ = √ 22 2 = √ 22

= 24 = 14

= 12

50. En la circunferencia de centro O de la figura, ̅ es diámetro y ∢ = 2∢. La medidadel ∢ es

= ℎ

Teorema de Pitagoras

En un triangulo rectángulo siempre se cumple la siguiente relación.

Siendo los catetos de un triangulo, los lados que soportan al ángulo recto (90°) y la hipotenusa el

lado más largo presente.


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Solución:

Por enunciado sabemos que ̅ es diámetro y O es el centro de la circunferencia. Podemos verentonces que el arco ̂ es semicircunferencia y en consecuencia debe medir 180°.Con esta información planteamos la siguiente ecuación.

3 20° 40° = 180° 4 60° = 180° = 1204 = 30° Podemos calcular el arco

̂ = 40 = 70° . Aplicando las relaciones básicas entre angulos y

arcos podemos calcular el ángulo ∢.∢ = ̂ 2 = 702 = 35° Del enunciado nos dicen que ∢ = 2∢, asi que finalmente, tenemos el valor del ángulodeseado.

∢ = 2 ∙ 35 = 70° 5.2 Geometria Porporción de Segmentos

51. En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si mide 20, entonces¿Cuánto mide ?Solución:

Recordando los conocimientos de proporciones debemos aplicarlo en los segmentos de la

línea.

= 25


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Como tenemos de datos que = 20, simplemente remplazamos en la ecuación para obtenerel valor de .20 =

25

= 20 ∙ 25 = 8 Nos preguntan por el largo de , no por el largo de . = = 8 20 = 28

52. Un segmento está dividido interiormente en la razoón1:3:5 y la medida del segmentomayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?Solución:

Nos dicen que tenemos 3 segmentos dividiso en razón 1:3:5. La proporción del más grandeestá representado por el número más grande. En este caso 1,3,5 por 5.Es decir, el mediano debe ser representado en la proporción por el número mediano que es 3.

Planteamos la ecuación de proporción conocida.

= 35 Ya que tenemos la longitud del lado mayor la remplazamos en la ecuación para despejar el

segmento mediano.

75 =

35

= 75 ∙ 35 = 45


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53. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón2: 3?

Solución:

Calculamos el largo del segmento como la resta entre los segmentos que ya conocemos. = 20 8 = 12 Verificamos si cumple con la razón pedida entre los segmentos.

= 812 = 23 Secumple la proporción deseada.

Ya que tenemos todos los datos necesarios. Verificamos inmediatamente la proporción entre

los segmentos.

= 1015 = 23 Se cumple la proporción deseada.

Calculamos el largo del segmento como la resta entre los segmentos que ya conocemos.

= 3 2 = 1

Verificamos si cumple con la razón pedida entre los segmentos.

= 21 ≠ 23 No se cumple la proporción deseada.


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5.3 Proporción en Líneas Paralelas

El símbolo // representa paralelismo y nos permite aplicar las reglas deproporcionalidad vistas anteriormente.

Hay además dos criteriores más de paralelismo.

Si es que en un cruce de líneas nos dicen que el angulo que se forma es el mismo para las dosrectas que cortan una línea común, entonces // (son paralelas).

Si dos líneas son perpendifuclares a otra recta, entonces esas dos líneas son paralelas.

//

54. En la figura, ̅ // ̅ . La medida de ̅ es:


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Solución:

Siempre nos deben decir que las rectas son //’ o algún otro criterio.La regla de proporcionalidad de segmentos en triangulos con rectas paralelas en el interior es

estrictamente la siguiente:

= No confundir con el siguiente error clásico, pues no cumple los criterios correctos.

= Lo que si se cumple es que:

= Debemos indentificar si nos preguntan por un trazo que es paralelo y que corta los lados.

En este caso especifico nos dan los valores de los segmentos que cortan, por lo que tenemos

que aplicar la proporción correcta.

= Remplazamos los valores.

53 = 15 = 15 ∙ 5

3 = 25

55. En el triangulo ABC de la figura, se sabe que = 48 cm, = 12 cm, ∥ ∥ y : : = 1: 2: 3, entonces el valor de CB es:


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70

Solución:

Podemos ver que nos están pidiendo el valor de que está cruzando y es paralela respecto a y .Planteamos la ecuación correspondiente:

= Sabemso de la información que : : = 1: 2: 3, entonces podemos represnetar comola suma de proporciones.

= = 1 2 3 = 6Con este dato proporcional, construimos un nuevo arreglo de proporciones entre los

segmentos.

: : : = 1: 2: 3: 6 Sabemos que = 48 cm y necesitamos . = 16

= 48 ∙ 1

6 = 8

Finalmente, remplazamos los valores en la primera ecuación para obtener .812 = 48

= 48 ∙ 128 = 72


71/81

71

56. En la figura, x es igual a:

Solución:

En este caso podemos ver que no hay información sobre paralelismo, sin embargo, nos dicen

que ambos ángulos que sostienen a los segmentos que cortan a los lados del triángulo mayor

son iguales (). Por lo tanto, ambos segmentos que cortan son paralelos.Ya que no tenemos valores de los segmentos paralelos que cortan, podemos aplicar el

segundo principio de proporción entre los lados.

= ℎ ℎ Además, podemos ver fácilmente que el segmento derecho menor lo podemos obtener de una

resta de segmentos.

ℎ = ℎ Remplazamos todos los datos en la proporción y despejamos x .

1 = ℎ ℎ

= ℎℎ


72/81

72

5.4 Geometria en Triángulo Rectángulo

57. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, = 5 cm y = 4 cm. La medida desegmento AC es:

Solución:

Tenemos un triángulo rectángulo CBD con dos lados conocidos. Podemos utilizar el teorema

de pitagora para obtener la medida del lado restante.

= 4 = 5 = 25 16 = 9

= 3

Existe una nueva formula para los triángulos cuando tenemos una altura. La altura es un

segmento perpendicular a la base. En el caso de nuestro problema. es la base y es laaltura. Podemos verificar que ⊥ (son perpendiculares).Si tenemos altura. Se cumple que la altura al cuadrado es equivalente al producto entresegmento derecho de la base y el segmento izquierdo de la base determinado por esta altura.

= ∙

Aplicando esta formula.

3 = ∙ 4 = 94


73/81


74/81


75/81

75

Triángulo ~ Triángulo , son semejantes aunque tengan lados de distintos tamaño.Notar que los lados del triángulo son la mitad de los del triángulo . Esta proporciónentre los lados correspondientes es constante para 2 triángulos semejantes.

Triángulo

no es semejante Triángulo

. No se cumple la semejanza debido a que es

importante definir en correcto orden los ángulos de los lados.

Triángulo → 45°, 30°, 105° Triángulo → 30°,45°,105° Podemos evidenciar que el orden de los ángulos son distintos. Hay que tener mucha precación

en mantener el orden al momento de nombrar los triángulos.

Cuando dos triángulos tienen los mismos ángulos y además sus lados respectivos miden lo

mismo, entonces decimos que son congruentes.

60. Según la figura ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?

I) Δ y Δ II)Δ y Δ III) Δ y Δ


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76

Solución:

Existen diversas técnicas para ir descubriendo el valor de los ángulos restantes. Recordemos

dos técnicas:

Ángulos complementarios suman 90°.

Ángulos dentro de un triángulo suman 180°.

Ubicamos letras para los ángulos que desconocemos.

Construimos las relaciones que se deben cumplir.

35° = 90° 55° = 90° 35° 90° = 180° 55° 90° = 180° Despejamos los ángulos incognitas.

= 55° = 35° = 55°


77/81

77

= 35° Ahora podemos chequear las relaciones de semejanza.

Δ y Δ

55°, 35°,90° y 55°,35°,90° Se cumple la semejanza.

Δ y Δ 35°, 90°,55° y 35°,90°,55° Se cumple la semejanza.


61. En la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s)?

I) Δ y Δ II)Δ FEC y Δ III) Δ CFE y Δ

Solución:


78/81


79/81

79

= 30° = 60°

Ahora podemos chequear las relaciones de semejanza.

Δ y ΔAFD 30°, 60°,90° y 30°,60°,90° Se cumple la semejanza.



62. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q?

Solución:


80/81


81/81

= 96° = 40° En el caso II ,

Δ y Δ tienen los mismos ángulos, por lo tanto son triángulos semejantes.

En el último caso debemos recordar las propiedades de ángulos iguales que son opuestos a un

vértice y los ángulos iguales que se forman al cruzar dos rectas paralelas. Rellenamos los

ángulos en el esquema tres.

En el caso III ,Δ y Δ tienen los mismos ángulos, por lo tanto son triángulos semejantes.

manual preparacion matematicas (1)

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