CAPITULO 1

LA MQUINA SNCRONA

1.1. Generalidades

Desde el punto de vista del comportamiento de un generador sincrnico en un SEP se pueden

identificar las variables mostradas en la Figura 1.1. En general, el cambio de cualquiera de las variables de

control, afecta a las cuatro variables de salidas.

En un sistema de potencia, la actuacin sobre el torque de la mquina motriz hace posible mantener

un balance exacto entre la potencia activa generada en el sistema y la potencia activa consumida por las

cargas ms las prdidas. Este balance permite que el sistema trabaje a una frecuencia constante.

Por otra parte, actuando sobre la corriente de excitacin de cada generador, es posible mantener un

balance exacto entre las potencias reactivas generadas y las del consumo y prdidas. Este balance permite

mantener una tensin constante (en mdulo) en las barras del sistema.

a. Generador conectado a una barra infinita: La tendencia actual es trabajar con un sistema elctrico de transmisin y distribucin que interconecte las diferentes centrales generadoras y los puntos de consumo,

de modo que una sola central y ms an, una sola mquina representa un pequeo porcentaje de la potencia

total del sistema. Evidentemente esta mquina no estar capacitada para alterar ni el voltaje ni la frecuencia

del sistema elctrico. En el lmite se puede considerar que el sistema mantiene el voltaje y la frecuencia

invariables, lo que se puede asimilar a una mquina que tiene cero impedancia interna e inercia rotacional

infinita. Se habla entonces de una barra infinita (Figura 1.2).

Mquina

Sncrona

Variables

de

Control

P

Q

V

F

I exc

Tm

Variables

de

Salida

Figura 1.1.- Representacin esquemtica de una Mquina Sncrona

/V/=cte, f=cte

Barraf

Figura 1.2.- Barra infinita

Un gran SEP puede considerarse como una barra infinita para muchos fines prcticos. En este caso

entonces, dado que el voltaje y la frecuencia se mantienen constantes, las variables de salida se reducen a las

potencias activa P y reactiva Q donde la corriente de excitacin Iexc influye fundamentalmente en Q y el

torque motriz Tm influye bsicamente en P; es decir, hay un acoplamiento dbil entre Iexc y P y entre Tm y Q.

b. Condiciones de puesta en paralelo: Para operar dentro de un sistema elctrico, un generador sncrono debe trabajar normalmente en paralelo con otros generadores, unidos a una barra de generacin

comn, si pertenecen a una misma central o separados por alguna impedancia (lneas, transformadores) si

pertenecen a centrales diferentes. Tratndose de alternadores polifsicos, las condiciones de puesta en

paralelo son las siguientes:

i Mdulo de la tensin en bornes igual al existente en la barra. Se acta sobre la corriente de excitacin i Frecuencia igual a la de la barra. Se acta sobre el torque motriz i Igual secuencia de fases i Igualdad en la forma de onda

2c. Generador alimentando una carga individual: Supongamos por simplicidad que la carga es de tipo impedancia esttica y se aumenta Tm. En este caso, al aumentar Tm, aumenta la velocidad y por lo tanto varan

tanto la frecuencia como el voltaje y en consecuencia, varan tambin P y Q.

1.2. Parmetros de la mquina sncrona

a. De rgimen permanente

Rotor cilndrico: Impedancia sncrona Zs=Rs+jXs, habitualmente Zs=jXs

Rotor de polos salientes: Reactancia de eje directo: Xd Reactancia de eje en cuadratura: Xq

b. De rgimen transitorio (sin considerar enrollados amortiguadores)

Reactancia transiente de eje directo: 'dX

Constante transiente de tiempo: W'd

Adicionalmente, para el estudio del comportamiento de la mquina sncrona en rgimen

desbalanceado es necesario introducir los parmetros impedancia de secuencia cero (Z0), positiva (Z1) y

negativa (Z2) que se estudiarn posteriormente, as como la reactancia subtransiente ("dX )

1.3. Circuitos equivalentes de la mquina sncrona

Los circuitos equivalentes dependen del tipo de mquina (rotor cilndrico o de polos salientes), del

tipo de estudio que se desea realizar y del grado de precisin deseada. Se pueden clasificar en dos grupos:

aquellos utilizados en los estudios de rgimen permanente (balanceado o desbalanceado) y los utilizados en

los estudios de rgimen transitorio, particularmente cortocircuitos y estabilidad. Las Figuras 1.3. a) y b)

muestran los circuitos equivalentes de una mquina sncrona de rotor cilndrico, usuales en los estudios de

rgimen permanente. En a) se considera la resistencia sncrona y en b) se desprecia. Para una mquina de

polos salientes no es posible establecer un circuito equivalente simple y su comportamiento se estudia en base

a su diagrama fasorial d-q.

E

+

-

+

-

V

jXsRs

a)

E

+

-

+

-

V

jXs

b)

Figura 1.3.- Circuitos equivalentes de una mquina sncrona para estudios de rgimen permanente

Los circuitos de la Figura 1.4. a) y b) se usan en los estudios de cortocircuitos simtricos: a) se

emplea en aquellos casos en que se supone la mquina en vaco antes de producirse el cortocircuito. La

tensin E, en este caso, es la de vaco en los terminales de la mquina. Si la corriente antes de producirse el

cortocircuito es significativa, se emplea el circuito de la Figura 1.4.b). La eleccin de E' y E'' as como 'dX y

"dX en ambos casos, depende del instante de tiempo en que se evala la corriente despus de ocurrida la falla.

Es conveniente hacer notar que los circuitos de la Figura 1.4 se emplean tanto para mquinas de rotor

cilndrico como de polos salientes. Esto se debe a que en condiciones de cortocircuito, las corrientes son

prcticamente reactivas y en consecuencia la componente en cuadratura de la corriente (Iq) en las mquinas de

polos salientes se puede despreciar sin cometer gran error.

En los estudios simplificados de estabilidad transitoria, una mquina sncrona de rotor cilndrico o de

polos salientes, se representa por el circuito equivalente mostrado en la Figura 1.4 b), considerando E' y .X 'd

3jX'd

jX'dE

+

-

+

-

V

'

a)

jX'd

jX'd'

E+

-

+

-

'

E''V

b)

Figura 1.4.- Circuitos equivalentes de una mquina sncrona para estudios de fallas simtricas

1.4. Ecuaciones de Potencia

a. Generador de rotor cilndrico: Consideremos un generador suministrando potencia directamente a un consumo. El circuito equivalente por fase y el diagrama fasorial se muestran en la Figura 1.5.

E

+

-

+

-

V

jXsI

Con-

sumo

a)

VI

jI Xs

E

GM

b)

Figura 1.5.- Generador sncrono de rotor cilndrico: a) Circuito equivalente; b) Diagrama fasorial

La potencia suministrada por el generador al consumo es: I VjQPS ggg (1.1)

Si ;EEy 0VV G del circuito se tiene que:

ss X

EVj

jX

VEI

G (1.2)

Expresando la corriente en la forma rectangular, reemplazando en (1.1) y separando en sus partes real

e imaginaria se obtiene:

s

2

sg

sg

X

V sco

X

V EQ sin

X

V EP G G (1.3)

Que corresponden a las potencias activa y reactiva, respectivamente. i Potencia activa

La primera ecuacin de (1.3) se denomina Ecuacin Potencia Activa-Angulo y se puede visualizar en

la Figura 1.6, para E y V constantes. Como en estas condiciones, Pg es slo funcin de G, significa que si se supone velocidad constante y Tm aumenta, el rotor avanza un cierto ngulo respecto a su posicin original, lo

que implica que el fasor E se aparta del fasor V, ya que su fase depende de la posicin del rotor. En

consecuencia G aumenta y Pg aumenta. En el grfico se puede apreciar tambin que en el caso en que la mquina funcione como motor, el ngulo G es negativo, es decir la potencia activa es negativa (segn la referencia considerada), esto es, la potencia activa llega a la mquina.

4Pg

Motor

Generador G

Figura 1.6.- Grfico Potencia Activa-Angulo para una mquina sncrona

Por otra parte, para E y V constantes, la mxima potencia activa que el generador puede entregar se

tiene cuando el ngulo G es de 90, lo que representa el lmite de estabilidad permanente de la mquina. Si el ngulo sigue aumentando, la potencia activa disminuye y el generador pierde el sincronismo.

Ejemplo 1.1. Un generador de rotor cilndrico que tiene una reactancia sncrona del 50%, est conectado a una barra infinita a travs de una lnea corta de transmisin cuya reactancia es del 25%. La tensin en bornes

de la mquina es la nominal, cuando la potencia recibida por la barra infinita es de (90+j40 ) MVA. Datos en

base comn 100 MVA. Determinar:

a) La potencia activa mxima que el generador le puede entregar a la barra infinita.

b) La potencia reactiva que el generador entrega en las condiciones anteriores.

Solucin:

a) Potencia activa mxima

En el circuito de la Figura 1.7 se tiene:

1V ;0VV ff

La corriente queda:

0V

4,0j9,0*

V

SI ff

E

+

-

+

-

V

j0,5

I

fj0,25

V

+

-

Figura 1.7

Para calcular Pg se debe conocer E y Vf. A partir del circuito se puede plantear la siguiente ecuacin:

ff VV )4,0j9,0(25,0jV ; reemplazando valores y amplificando por fV se puede escribir:

;V225,0j1,0V1 2ff G separando en parte real e imaginaria quedan las dos ecuaciones siguientes:

225,0 sinVV1,0 cosV 2 f ff elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se tiene:

5;00606,0V8,0V 24 ff cuyas soluciones son: rr f 8457,0 2911,0V 08457,0V f A partir del valor de fV y del circuito se puede determinar E y luego Pgmx como sigue:

62,334416,108457,008457,0

4,0j9,075,0jE

75,0

8457,04416,190 sin

X

V EP

Tmxg

f Pgmx=1,6255 (pu) b) Potencia reactiva

75,0

8457,0

X

V09 sco

X

V EQ

2

T

2

Tg Qg=-0,9536 (pu)

i Potencia Reactiva

La segunda ecuacin de (1.3) representa la potencia reactiva que la mquina puede generar

(consumir), y se puede escribir como sigue:

)V cos E(X

VQ

sg G (1.4)

Respecto a esta ecuacin, se puede observar que:

- Si E cos G V, entonces Qg 0. Esto significa que la mquina genera potencia reactiva y acta desde el punto de vista de la red, como un condensador. Generalmente, la desigualdad anterior se cumple cuando el

generador trabaja sobreexcitado (Figura 1.5.b); y por lo tanto, la carga servida por el generador es inductiva.

- Si E cos G V, entonces Qg 0. Esto significa que el generador consume

potencia reactiva "desde la red" y acta

como una reactancia shunt vista desde sta.

Esta condicin se cumple cuando la

mquina trabaja subexcitada y tal como se

muestra en el diagrama fasorial de la Figura

1.8, la corriente adelanta al voltaje, lo que

significa que la carga servida por el

generador es de tipo capacitivo

V

I

jI X sE

GM

Figura 1.8.- Diagrama fasorial de un generador subexcitado

- Si G=0, significa que la potencia activa es cero y en la expresin (1.4) se tiene:

)VE(X

VQ

sg (1.5)

Ecuacin que en el caso en que la tensin V del sistema es constante, depende slo de la corriente de

excitacin, lo que da origen a los condensadores sncronos (E!V) o reactores sncronos (EV).

b. Motor de rotor cilndrico: Tal como se indic anteriormente, en el caso en que G0, la mquina absorbe potencia activa. La potencia reactiva en cambio, es independiente del signo de G y por lo tanto, para ella se cumplen las mismas condiciones dadas para el generador, esto es:

6- El motor entrega potencia reactiva si est sobreexcitado, pero consume corriente en adelanto (Figura

1.9. b); esto es, se comporta como un consumo capacitivo.

- El motor absorbe potencia reactiva si est subexcitado, pero consume corriente en atraso (Figura

1.9.c); o sea se comporta como un consumo inductivo.

E

+

-

+

-

V

jXs IM

I

a)

V

E

GMIM

I j X IMs

b)

V

I

jI XsE

GMM

I

c)

Figura 1.9.- Motor sncrono de rotor cilndrico: a) Circuito equivalente, b) Diagrama Fasorial sobreexcitado,

c) Diagrama Fasorial subexcitado

La Figura 1.10 muestra un diagrama con la posicin de la corriente para las cuatro condiciones de

operacin descritas anteriormente. En todas ellas se supone que la corriente sale de la mquina.

De acuerdo con las convenciones ms usadas, cuando la corriente tiene una proyeccin positiva sobre

el voltaje, la mquina entrega energa (generador) y viceversa. Si se conectara un fasmetro, ste indicara los

ngulos mostrados en la figura, suponiendo siempre que la corriente sale de la mquina. Sin embargo, las

designaciones mostradas para el trabajo como motor (atraso o adelanto) corresponden ms exactamente a

estas corriente giradas 180.

P

-P

Q-Q

V>Generador, P 0

Sobreexcitado, Q 0>Corriente en atraso

>Generador, P 0

Sobreexcitado, Q 0>

7muestra el diagrama fasorial de un generador de polos salientes, a partir del cual se pueden obtener las

ecuaciones de potencias activa y reactiva.

GMI

I

d

V

E

q

Xj dd I

Xj Iq q

q

Id

Figura 1.11.- Diagrama fasorial de un generador de polos salientes

i Potencia activa

La potencia activa es de la forma Pg=V I cos M es decir V multiplicado por la proyeccin de I sobre V. Por lo tanto, proyectando las componentes de la corriente, se tiene:

GG M sin I cosI cos I dq (1.6)

Por otra parte, del mismo diagrama se puede escribir:

qq

dd

X

sin VI

X

cos VEI

G G (1.7)

Por lo que la potencia activa Pg queda de la forma:

GG 2 sin V X X 2

XX sin

X

E VP 2

qd

qd

dg (1.8)

La Figura 1.12 muestra la curva de Pg=Pg(G) dada por la ecuacin (1.8), incluyendo tambin las curvas correspondientes al primer trmino (la fundamental) y al segundo trmino (segunda armnica). El

segundo trmino de (1.8) se denomina componente de reluctancia o de saliencia y es pequeo comparado con

el primero (10 a 20% usualmente). No depende de la excitacin E y por ello existe aunque la corriente de

excitacin sea nula. Para corrientes de excitacin grandes no se comete un error importante al despreciarlo.

Si la mquina est conectada a un sistema relativamente grande (barra infinita), como ocurre en la

mayora de los casos, V ser constante o tendr un rango de variaciones posibles bastante estrecho; E, que

depende de la corriente de excitacin, tambin se mantendr constante. Por lo tanto, para fines prcticos se

puede afirmar que Pg depende slo de G. Si G 0, Pg es positiva, es decir, la mquina genera potencia activa si E adelanta a V. A un aumento de G corresponde un aumento no proporcional de la potencia, ya que el denominado coeficiente de sincronizacin GddPg no es constante.

Existe un G, para el que, ,0ddPg G o sea para el cual se obtiene la mxima potencia activa compatible con los valores de V y E adoptados. Si G sigue aumentando, Pg se reducir y la mquina perder el sincronismo.

8Pg Pg=Pg(G)

Motor

Generador

Componente

Fundamental

Componente

de Reluctancia

G

Figura 1.12.- Curva Potencia-ngulo para una mquina de polos salientes

i Potencia Reactiva

Recordemos que Qg=V I sin M; es decir, es el producto del voltaje por la componente de la corriente, en cuadratura con l. Por lo tanto, a partir del diagrama fasorial y considerando las ecuaciones (1.7), la

potencia reactiva queda de la forma:

2

qd

qd2

qd

qd

dg V

X X 2

XX2 cos V

X X 2

XX sco

X

E VQ

GG (1.9)

Ejemplo 1.2. Un motor sncrono de polos salientes con Xd=80% y Xq=50%, est conectado a una barra infinita cuyo voltaje es el nominal. Los datos estn en la base propia de la mquina. Despreciando las

prdidas calcular:

a) El valor mnimo de E para que la mquina permanezca en sincronismo a carga nominal.

b) La potencia reactiva (consumida o generada).

Solucin:

a1) Lmite de estabilidad: 0ddPg G ; es decir:

0)2( osc 1 5,08,0

5,08,0 sco

8,0

E 12 osc V

X X

XX sco

X

E V

d

dP22

qd

qd

d

g G

G

GG G

Despejando E de la ecuacin anterior se tiene: G G

cos )2( cos 6,0E (a)

9a2) Carga nominal: 1Pg en ecuacin (1.8), de donde se obtiene:

0)2( sin 1 5,08,02

5,08,0 sin

8,0

E 11 2 G

G

; es decir:

)2( sin 375,0 sin E25,11 G

G

(b)

Introduciendo (a) en (b) y ordenando se puede escribir:

0)2( cos

1)2( tg375,0 tg75,0)(F GG

G G

Empleando un mtodo iterativo (Newton-Raphson, por ejemplo), se obtiene que con ;5,60 G 008,0)(F G .

Reemplazando G en la ecuacin (a) se obtiene finalmente: E=0,6276 (pu)

b) Potencia reactiva: Reemplazando valores en la ecuacin (1.9), se tiene:

22M 1

5,08,0 2

5,08,0)60,52( cos 1

0,5 0,8 2

5,08,0)60,5( sco

8,0

0,6276 1Q

QM= 1,4318 (pu)

Problemas propuestos

1.1. Un generador sncrono tiene una impedancia sncrona de 10 : y una resistencia sncrona de 1,2 : (Valores por fase). La tensin generada es 1,1 kV (por fase) y se conecta a una barra infinita de 1 kV (por

fase). Determinar la corriente y factor de potencia cuando se tiene la mxima potencia activa generada.

1.2. Un generador sncrono de polos salientes con Xd=1,5 (pu) y Xq=1 (pu) y resistencia despreciable, se

conecta a una barra infinita cuyo voltaje es el nominal, a travs de una lnea que tiene una reactancia de

0,3 (pu). Determinar la potencia activa de salida para un ngulo de torque de 30, si E es 1,4 veces el voltaje

nominal terminal del generador. Calcular adems, el coeficiente de sincronizacin en estas condiciones.

Todos los valores en (pu) estn en base 75 MVA. El generador es de 75 MVA, 11 kV.

1.3. En el problema 1.2 determinar el valor mximo de la potencia activa que el generador le pueda entregar a

la barra infinita. En estas condiciones, cul es el valor de la potencia reactiva?

1.4. Qu porcentaje de su potencia nominal podr desarrollar sin prdida de sincronismo un motor sncrono

de polos salientes cuando se le aplica su tensin nominal siendo la corriente de excitacin igual a cero?.

Xd=0,8; Xq=0,5, ambos en por unidad en base propia. Determine tambin, la corriente en el inducido a la

potencia mxima.

1.5. Un motor sncrono, de polos salientes, tiene Xd=0,8; Xq=0,5; en tanto por unidad base propia y est

conectado a una red de potencia infinita cuyo voltaje es el nominal. Depreciando las prdidas, determine la

excitacin mnima, para que la mquina se mantenga en sincronismo con el torque de plena carga.

1.6. Un motor shunt de corriente continua est acoplado mecnicamente a un generador trifsico sncrono de

rotor cilndrico. El motor se conecta a una red de tensin continua constante de 230 V y el generador a una

red trifsica de frecuencia y tensin constantes, siendo sta de 230 V entre fases. La mquina sncrona, de

cuatro polos, conectada en Y, es de 25 kVA a 230 V, y su reactancia sncrona es de 1,6 ohm/fase. La mquina