maria isabel ribeiro antónio pascoaldapela transformadade laplace do sinal de
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
CONTROLO1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap 3 – Resposta no Tempo
Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalSetembro de 2007
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal
p p q p qelaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Objectivos
• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs
• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica de, , g pSLITs
• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª ordem e ordem superior
d f ã í• Sistemas de fase não mínima
• Relação tempo‐frequência
ReferênciasReferênciaso Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)
o Sinais e Sistemas Isabel Lourtie Escolar Editora (para revisão de
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o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de conceitos sobre TL)
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Função de Transferência: definição
r(t) y(t)SLIT
( ) y( )
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Q i t d t f d d L l d i l dFUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
)(R)s(Y)s(G =
Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais
0.i.c)s(R)(
=
G(s)R(s) Y(s)
G(s)
)(R)(G)(YPara condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =
• A função de transferência é um conceito potente para descrever o• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
• Para SLITs a função de transferência caracteriza completamente o
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• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente osistema do ponto de vista de entrada‐saída
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo
SLITr(t) y(t)
Dados •a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a entrada r(t)•as condições iniciaisçPretende‐se:• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)
Uma maneira de resolver o problema
R l ã dif i l é ã dResolver a equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada‐saída
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Função de Transferência e a Resposta no Tempo
SLITr(t) y(t)
G(s)R(s) Y(s)
)s(Y)s(Gr(t) y(t)
Resolução da eq.diferencial
0.i.c)s(R)()s(G
=
=TLu TLu
-1
R(s) Y(s))s(R).s(G)s(Y = )s(R).s(G)s(Y
Se as condições iniciais forem nulas
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Capítulo 3‐ Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordemp
m1f(t) )s(V)s(F
Sistemas mecânicos de translação
msm1)s(Gβ+
=b
m f(t) )(G(s)
Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo‐1ªordem
u(t) = escalão de Heaviside f(t) = F u(t) = entrada do ( )
F))t(f(TL 1))t(u(TL =→=
( ) ( )sistema
F1 s
))((s
))((
assume‐se que o
1F
qsistema está
inicialmente em repouso
β+=
ms1.
sF)s(V
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−− 1FTL))(V(TL)t( 11
TL‐1
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⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ β+
==ms
.s
TL))s(V(TL)t(v 11
Capítulo 3‐ Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordemp
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−− 1FTL))(V(TL)t( 11 m1⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ β+
==ms
.s
TL))s(V(TL)t(v 11
msm1)s(Gβ+
=
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ββ
−β
=β
=β )
11.F)(
m1F1Fdecomposição em fracções parciais
⎟⎠
⎜⎝ β+β+β+ )mss)ms(smss
β
βFsaída
β1
)t(ue1F)t(u1F)t(vt
m
β−
β=
β−
βF
β
0t para e1F1F)t(vt
m
≥β
−β
=β
−
Ganho emregime
ββ
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regime estacionário
Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas
Utilização da Função deTransferência na obtenção da
r(t) y(t)Resolução da eq.diferencial
Transferência na obtenção daresposta de um SLIT
TL TL‐1Se as condições iniciais forem nulas
R(s) Y(s))s(R).s(G)s(Y =
E se as condições iniciais não forem nulas?
Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?
TLuTLu‐1
G(S)
R(s)
TLueq.diferencial Y(s) y(t)
c.i. ≠0
Já tem em
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linha de contaas c.i.
Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulasum SLIT com c.i. não nulas
exemplop
Y(s)/R(s)as
KG(s) =+
= Kr(t)ay(t)dt
dy(t)=+
as+ dtTLu considerando c.i. não nulasu(t)r(t) =
1)0(y =− KR(s)aY(s))y(0sY(s) =+− −
R(s)K)y(0Y(s)−1K)y(0Y(s)
−
R(s)asas
)y(Y(s)+
++
=
TL‐1
sasas)y(Y(s)
++
+=
0t)e(1K)ey(0y(t) atat- ≥−+= −−
TL
Sistema linear
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0t ),e(1a
)ey(0y(t) ≥−+= Princípio da sobreposiçãoResposta devida à
excitação pelas condiçõesiniciais
Resposta devida à excitaçãopela entrada r(t)
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros
G(s)R(s) Y(s)
ngraudepolinómiom grau de polinómio
D(s)N(s)G(s) ==G(s) n grau de polinómioD(s)
01nn01
1m1m
mm Nnm, ,
bbsbsbsb
D( )N(s)G(s) ∈
++++== −
−− L
001
1n1n
nn asasbsaD(s)
( )++++ −
− L
Função de transferência
• própria ⇔ n≥m• própria ⇔ n≥m
• estritamente própria⇔ n>m
• não própria ⇔ n<m
Só estudaremos este tipo de FT
não própria ⇔ n mPólo do SLIT
λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞
Zero do SLIT
λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0
Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns• Os pólos do sistema são os zeros de D(s) cuidado ao cancelar factores comuns nos
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p ( )• Os zeros do sistema são as zeros de N(s) polinómios N(s) e D(s)
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Função de Transferência: outras representações
011m
1mm
m Nnmbsbsbsb)s(N)s(G ∈++++ −
− L0
011n
1nn
n
011mm Nn,m ,asasbsa)s(D
)()s(G ∈++++
== −− L
Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem n≥m )Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m )
0m21 Nn,m ,)) ()(()zs)....(zs)(zs(K
)(D)s(N)s(G ∈
+++== 0
n21 )ps)....(ps)(ps()s(D)(
+++
Pólos {‐p1, ‐p2, ... , ‐pn} Zeros {‐z1, ‐z2, ... , ‐zm} (em rad/seg)
ii p
1=τ
ii z
1T =0m21
0 Nnm, ,)s) (1s)(1s(1)sT)....(1sT)(1sT(1K
D(s)N(s)G(s) ∈
++++++
==τττ
Forma dasconstantes de
ipiz(em seg)
n21 )s)....(1s)(1s(1D(s) +++ τττtempo
Se ‐pi for um pólo real
constante10K ganho estático Atenção ao valor do ganho
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constante de tempo
ii p=τ0 ç g
estático quando houver pólos e/ou zeros na origem
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)
m f(t)β
msm1)s(Gβ+
=b
)s(VG(s)
)s(Fpólo =
mβ
−
não tem zerosconstante de tempo=
βm
(seg)
(rad/seg)
( )
jw
β
11)(G
FT na forma das constantes de tempo
1
σmβ
−
β+β=
ms1)s(G
Ganho estático= = 1.33β1
Quando aumenta,
• a resposta do sistema torna‐se mais rápida.mβ
−
• a constante de tempo diminui
• o regime transitório atenua‐se mais rapidamente1=β
|pólo| a aumentar1m
375.0m
=β
|pólo| a aumentarO pólo determina a natureza da componente natural da resposta; pólo real exponencialamortecida
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75.0=βamortecidaComo é a resposta em frequência para estas duas situações?
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem
R(s) Y(s)aK)s(GjwPólo = ‐a (rad/seg)
C t t d t 1/ ( )as
K)s(G 0 +=
σa−
Constante de tempo = 1/a (seg)
Ganho estático = K0r(t)=u(t)
s1)s(R =
asK
sK
asa.
s1KY(s) 00
0 +−=
+=
a.Ktempodetetancons
1.Kdeclive 00 ==
at00 eKKy(t) −−= Para t≥0 K0
tempo de tetancons
0
Tempo de estabelecimento (a 2%)–tempo ao fim do qual a resposta se
5%
tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de ±2% do valor final.
tdt t*44(2%)t
86.5tempo de constante*4
a4(2%)ts ==
ts a 5%
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a1
a2
a3
a4
a5tempo de constante * 3
a3(5%)ts ==
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
Teorema do Valor Inicial
)]t([TL)(X
Teorema do Valor Inicial
)s(sX lim)t(xlim =)]t(x[TL)s(X = s0t ∞→→ +
Teorema do Valor Final Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.eTeorema do Valor Final
)s(sX lim)t(xlim0st →∞→
=
Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e
De que modo estes teoremas podem ser usados na á ( í )
0st →∞→
análise do comportamento (da saída) de SLITs ?
R( ) Y( ) Sem o cálculo explícito da saída paraG(s)
R(s) Y(s)
)(R)(G)(Y
Sem o cálculo explícito da saída para uma dada entrada é possível avaliar valores particulares da saída:
)0()0()()0( +++ &&&
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)s(R).s(G)s(Y = ),....0(),0(),(),0( ++
∞→
+ yytyyt
lim
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
no cálculo de características da saída de um SLIT
G(s)R(s) Y(s)
Valor Inicial da Saída
)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t ∞→∞→
==+ ss0t ∞→∞→→ +
Entrada escalão G(s)lim
1sG(s)limy(t)lim ==1R(s) =
Valor Final da saída
escalão unitário
( )s
( )y( )ss0t ∞→∞→→ +s
( )
Valor Final da saída)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim
0s0st →→∞→==
Entrada escalão
i á i
)s(G lims1)s(sG lim)t(ylim
0s0st →→∞→==
s1)s(R =
Valor do ganho em
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unitário Valor do ganho emregime estacionário
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Ganho Estático: exemploX
bm f(t)
)s(X)s(F)s(G1
Entrada=f(t)
Saída = x(t)
)(1
)()( )(X)s(V)s(Fms
m1β+
)s(Xs1
m1)s(G
este sistema tem um pólo na origem (aposição é o integral da velocidade)
)ms(s)s(G1 β+=
∞== (s)GlimK 10
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→( )lim 1
0s0
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem
Xexemplo
bm f(t)
Objectivo: controlar o sistema em posição
)s(G1
)s(V)s(Fms
m1β+
)s(Xs1K+)s(R
)(1
ms β+ s_
Qual é a função de transferência do sistema controlado?
[ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X [ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11 −==
)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11 =+ mK
)s(X)s(G
)s(KG1)s(KG
)s(R)s(X
1
1
+= m
Km
ssm
)s(R)()s(G
2 +β
+==
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)()( 1• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros• ganho estático = ?
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral
2nw)s(G =G(s)
R(s) Y(s)
2nn
2 wsw2s)s(G
+ζ+=G(s)
Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?
• depende da localização dos pólos
0wsw2s 2nn
2 =+ζ+ 1ζwζws 2nn −±−=
ζ jw0=ζ
10 <ζ≤ Sistema subamortecido
>>ζ
nw
njwdjw
Pólos complexosconjugados 2
nn 1jww ζ−±ζ−
nζ=θ arcsin
1=ζ
1=ζPólo real duplo ww −=ζ−
Sistema criticamente amortecidonw− nwζ−
1>ζ
pnn ww =ζ
Sistema sobreamortecido njw−djw−
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1>ζPólos reais distintos 1ww 2
nn −ζ±ζ−
nj0=ζ
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
0 ,1wn =ζ= 0.3 ,1wn =ζ=,n ζ ,n ζSistema subamortecido
1 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=
Sistema criticamente amortecido Sistema sobreamortecido
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
0.3 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido
zoom zoom
A derivada na origem é nula
sw2
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Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:
0wsw2s
swlim)t(ylim 2
nn2
n
s0t=
+ζ+=
∞→→ +
&
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido 10 <ζ≤
21jpólos complexos Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas
fi i t d t i tζ43421
dw
2nn2,1 1wjws ζ−±ζ−= ‐‐ coeficiente de amortecimento
Wd – frequência das oscilações amortecidasζ
Resposta a uma entrada escalão unitária
)t1i (11)t( 2tw Ψζζ−Td Período das oscilações
0t ≥)t1wsin(e1
1)t(y 2n
tw
2n Ψ+ζ−
ζ−−= ζ
sobreelevação
0t ≥
parte real dos pólos
parte imaginária dos
Consequência de o ganhoestático ser unitário
S
%2±
sobreelevação
1
0.9
ζζ−
=Ψ21arctg
imaginária dos pólos
ζ
Nota: wn actua apenas como factor de escala t tt
0.1
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n pde tempo
tp tsTempo de pico
Tempo de estabelecimento
trTempo desubida
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Especificações no domínio do tempo
• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, porvezes, expressas em termos da sua resposta no tempo
• Especificações típicas em termos de:– Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de
um novo set‐pointp• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final
– Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora adecair
• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final
– Sobreelevação ‐ (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo valor final
±
valor final– Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo
da saída
P i t d 2ª d b t id t• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estasespecificações podem expressar‐se como função de ζ e de ωn
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Pontos em que a derivada se anula
0dt
)t(dy= ,...2,1,0n
1wn
wnt
2nd
=ζ−
π=
π=
•Período das oscilações ‐ Td
Para n=0 0)0(y =+& A derivada na origem é nula
Período das oscilações Td
dd w
2T π=
•Tempo de pico ‐ tp
Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)
2T
wπt d
dp == n=1
↓↑⇒⇔↑−= p2
nd t pólos dos imaginária parte ζ1ww
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Sobreelevação – S%
final
finalmax
yyy100S% −
= Só depende do coeficiente de
2ζ1
ζπ
pmax e1)y(ty −−
+==
ζπ
amortecimento
↑⇒↓ S% ζ21e.100%S ζ−
ζ−
=
ζ
T d bid t
Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final
• Tempo de subida ‐ tr
Não há uma expressão analítica simples que relacione trcom o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.
Mas há expressões aproximadas
rt8.1
≅
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nr w
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta
• Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%))
•Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final•A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem
)t1wsin(e1
11)t(y 2n
tw
2n Ψ+ζ−
ζ−= ζ−
1 2ζ−
1 aproximação02.0e
11 tw
2n =
ζ−ζ−
1)t1wsin( 2n =Ψ+ζ−
aproximação
ns w
4tζ
=
3
a 2% ↓↑⇒⇔↑ sn tw |pólos dos real parte| ζ
Valores aproximadosVerifique a analogia com os
ns w
3tζ
=a 5%
4 6
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sistemas de 1ª ordemn
s ζw4.6t =a 1%
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
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Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
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Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem SubamortecidoLugar geométrico dos pólos que correspondema determinadas especificações
constante ωn
constante ξωn
Tempo de subida constante
Tempo de estabelecimento constante
constanteξ constante ωdSobreelevação, constante
Tempo de pico constante
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Exercício
1 1K
+ Y(s)R(s)
2s+ sK
_
• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a umaentrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.
l d l é d b l % d ?• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?
K2)s(sK
Y(s) +K2ss
2)s(sK1
)(R(s) 2 ++
=
++
= Ganho estático unitário, independente de K
O sistema em cadeia fechada Das especificações pretendidas:tem uma f.t. da forma
22
2n
2w)s(Gζ
= 2.0ln2.0ln2.0%20% 22
21 2
+=⇒=⇒= −
−
πξξ
ξπ
eS
460ξ
Das especificações pretendidas:
2nn
2 wsw2s)(
+ζ+
Por ⎨⎧ = 22 nξω
ξ1
=nω
46.0=ξ
8.42.2 =⇒= Kωn
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comparação:⎩⎨ = 2
nK ωξsegt
ns 33%)5( ==
ξωConfirme resultados usando Matlab
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido
2nw)s(G =
1=ζ
2nn
2 wsw2s)s(G
+ζ+
1=ζnw−
2nw)s(G =
1ζ
2n )ws(
)s(G+
1)s(R =t d lã d lit d itá i
ganho estático unitário
s)s(R =entrada escalão de amplitude unitária
3212n cccw)(Y
n
32
n
212
n
n
ws)ws(s)ws(s)s(Y
++
++=
+=
twtwn
nn etew1)t(y −− −−= 0t ≥
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twn
n)tew1(1)t(y −+−= 0t ≥
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais
w.a)s(G2n=
)as)(wsw2s()s(G 2
nn2 ++ζ+
=
s1)s(R = as
Rw)ws(
wR)ws(Rs
R)s(Y 42d
2n
d3n21
++
+ζ++ζ+
+=
at4d3d2
tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n −ζ− +++= 0t ≥
• De que modo um pólo influencia a resposta global?
Através de:Através de:
– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)
t l d t i it d
Contribuição de pólos para a resposta transitória
pólo simples– parte real ‐ que determina o ritmo dedecaimento da componente transitória associada
– resíduo associado – que depende da localização
ate−atat tee −− ,
pólo simples
pólo duplo
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resíduo associado que depende da localização dos outros pólos e zeros. )sin( Ψ+− bte at
pólos complexos
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de 3ª ordem sem zeros
a*25)25s4s)(as(
a25)s(G 2 +++=
138
-2
-1-3-8
a =1, 3, 8 rad/seg
sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real
sistema de 2ª ordem
Quando |a| aumentaa=3
a=8
Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexosa=1
a=3
• A resposta é dominada pelos pólos complexos
Em qualquer das situações o sistema torna‐se mais lento• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui
a 1
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Compare o diagrama de Bode para as quatro situações
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
a*25)s(G =)25s4s)(as(
)s(G 2 +++=
Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• O pólo torna‐se menos dominante• Os pólos complexos são pólos dominantes
Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?q ç p p p ( )
Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas ascontribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.
Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
a*25)(G)25s4s)(as(
)s(G 2 +++=
250)s(G2ªordem
10=a
)25s4s)(10s()s(G 2 +++=
25)s(G3ªordem
2 ordem
)25s4s)(1s101(
)s(G2 +++
=
O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o
ganho estático
)25s4s(25)s(G 2 ++
≅
Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no
tempoQue acontece no domínio da frequência?
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Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Efeito de zeros adicionais
Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?RRRbc
c)b)(s(sa)(s
abcG(s)
+++
=ganho estáticounitário
)cs
Rbs
Rs
R(a
bc)s(Y 321
++
++=
a1Entrada escalão de amplitude unitária
)bc)(b(baR
bcaR
2
1
−−−
=
=s1R(s) =
Cálculo geométrico dos resíduos
)cb)(c(acR
)bc)(b(
3 −−+−
=
‐b
‐c ‐a
b
Os zeros determinam o valor dos resíduos
)eReRR(a
bc)t(y ct3
bt21
−− ++=
• Os resíduos R2 ou R3 serãopequenos se o zero estiveró i d ól b d ól 32 RR << )eRR(bc)t(y ct
31−+=
aproximação
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próximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.
32 RR << )eRR(a
)t(y 31 +
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Pólos não dominantes: Redução de ordem
Em que condições
Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?
• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES
– o resíduo associado ao pólo é pequeno– o resíduo associado ao pólo é pequeno
• Proximidade com um zero
– a parte real do pólo é elevada
• Regime transitório extingue‐se muito rapidamente
Como se faz a aproximação ?
despreza se o pólo e o zero– despreza‐se o pólo e o zero
– despreza‐se o pólo
Cuidado a ter na aproximaçãoCuidado a ter na aproximação
O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático
)11s(236 +
exemplo
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]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236)s(G 22 ++++
+=
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2n )bs(w)s(G +
2n
n
)ws()(
b)s(G
+= 1 pólo duplo e 1 zero
Para entrada escalão unitário
nn2n 1b/w)bw(1)bs(w)(Y −+
n2
n
nn2
n
n
ws)ws()(
s)ws(s)(
b)s(Y
+−
++=
+=
)bw(w ⎞⎛ 0t ,e1tb
)bw(w1)t(y twnn n ≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+= −
0)0(y =+
Características da respostaUse os teoremas dos valores inicial e final para chegar a
estas conclusões
1)(yb
w)0(y2n
∞
=+&Pode ser negativo se o zero estiver no spcd
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1)(y =∞ o zero estiver no spcd
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2
2n
)()bs(
bw)s(G +
= 2n )ws(b +
bw0 n << nwb0 <<
-wn-b -wn-b
Existe
4b2wn
==
sobreelevação
1b2wn
==
1w)ws(s
)bs(b
w)s(Y
2
2n
2n =
++
= Combinação linear de um sinal e da sua derivada
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)s(bY)s(sY)ws(s
1b
w)bs( 11
)s(Y
2n
n
1
+=+
+=44 344 21
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
2n )bs(w)(G + nw0b <<
2n
n
)ws()bs(
b)s(G
+=
-wn-b
nPólo duplo e zero no spcd
Sistema tem um zero no spcd
‐ sistema de FASE NÃO MÍNIMA
• Sistema de fase não mínima é aquele que• Sistema de fase não mínima é aquele quetem pelo menos um pólo e/ou um zero nosemi‐plano complexo direito
Derivada na origem é negativa
– Pólo no spcd – instabilidade
– Qual é o efeito de um zero no spcd ?
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas
– Produção de vapor
r(t) h(t)b il t
Caudal de água fria à entrada
Altura da água no barrilete
barrilete
• Relação entre a abertura da válvula da Lento
água fria e a altura da água no barrilete depende de:
• Efeito rápido de contracção da águaEfeito rápido de contracção da águadevido à injecção de água fria
• Efeito de integração devido à adição de massa Rápido
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massa p
Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
Exemplo – Barrilete
)s(R)s(H
)s(R)s(H
)s(R)s(H)s(G 21 +==
)1s(ss)1K(K
1s1
sK)s(G 111
+τ−τ+
=+τ
−=
• Para certa relação de K1 e τ o sistema tem um zero no semi‐plano complexo direito (τ <1/ K1 )• Nos sistemas reais τ<<1, K1<<1.
entrada escalão r(t) =u(t)
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Capítulo 3‐ Resposta no Tempo
Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível
Manipulador Rígidosaída
θΤ T(t) θ(t)entrada
T‐binário motor
t0 t0
saídaManipulador Flexível
T(t) θ(t)entrada
θΤ
t0 t
θ
T binário motor
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T‐binário motorEfeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)