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Marino Mezzetti ELEMENTI DI COSMOLOGIA

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Marino Mezzetti

ELEMENTI DI

COSMOLOGIA

a.a. 2005/06


Testi consigliati:

• Gravitation and Cosmology – S. Weinberg - Wiley • Introduzione alla Cosmologia – F. Lucchin –

Zanichelli • Cosmology, The Origin and Evolution of Cosmic

Structure – P. Coles, F. Lucchin – Wiley • Structure Formation in the Universe – T.

Padmanabhan - Cambridge • The Early Universe – E.W. Kolb, M.S. Turner -

Perseus Books • Cosmological Physics – J.A. Peacock - Cambridge • Particle Physics and Cosmology – P.D.B. Collins,

A.D. Martin, E.J. Squires - Wiley

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SOMMARIO CENNI STORICI ................................................................................................................................4 RELATIVITA’ GENERALE..............................................................................................................7 IL PRINCIPIO COSMOLOGICO ...................................................................................................12 IL MODELLO DI MILNE ...............................................................................................................31 LE EQUAZIONI DI FRIEDMANN ................................................................................................34 LA DENSITA’ DELL’UNIVERSO..................................................................................................35 LA COSTANTE COSMOLOGICA ..................................................................................................38 L’EQUAZIONE DI STATO .............................................................................................................40 LE STIME DI WMAP + LSS ...........................................................................................................41 IL PARAMETRO DI HUBBLE .......................................................................................................43 RELAZIONI TRA PARAMETRI COSMOLOGICI ................. Errore. Il segnalibro non è definito. Ω(z) ....................................................................................................................................................44 LE TRE EPOCHE DELL’UNIVERSO ...........................................................................................46 MODELLI COSMOLOGICI ............................................................................................................47 IL MODELLO DI EINSTEIN..........................................................................................................49 IL MODELLO DI LEMAITRE........................................................................................................50 IL MODELLO DI EINSTEIN-DE SITTER....................................................................................50 MODELLI CON MATERIA E RADIAZIONE...............................................................................53 MODELLI DOMINATI DA MATERIA..........................................................................................54 MODELLI CON Λ≠0........................................................................................................................56 IL NOSTRO UNIVERSO? ...............................................................................................................59 L’ETA’ DELL’UNIVERSO..............................................................................................................60 ORIZZONTE DELLE PARTICELLE.............................................................................................62 r(z)......................................................................................................................................................65 DISTANZA DI LUMINOSITA’ .......................................................................................................67 DIAMETRI ANGOLARI..................................................................................................................70 CONTEGGI DI SORGENTI ............................................................................................................74 FONDI COSMICI.............................................................................................................................75 IL BIG BANG CALDO.....................................................................................................................78 L’EPOCA DI PLANCK ....................................................................................................................79 TERMODINAMICA DELL’UNIVERSO PRIMORDIALE...........................................................81 ENTROPIA .......................................................................................................................................86 NEUTRINI ........................................................................................................................................89 (RI)COMBINAZIONE E DISACCOPPIAMENTO DEI FOTONI ...............................................93 BREVE STORIA COSMICA..........................................................................................................135 GRANDEZZE UTILI ................................................................. Errore. Il segnalibro non è definito. ESERCIZI ................................................................................... Errore. Il segnalibro non è definito.

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CENNI STORICI

• 1692-93: Newton cerca di costruire un modello di universo omogeneo ed isotropo, ma statico (instabile). Un universo finito sarebbe collasserebbe nel suo centro formando un’unica massa sferica. Ma se la materia fosse stata distribuita in uno spazio infinito una parte di essa si raccoglierebbe su una massa, una parte su un’altra e così via, formando il Sole e le stelle fisse. E l’universo sarebbe statico perchè, per simmetria, la risultante delle forze su ogni stella sarebbe nulla e non vi sarebbe movimento. Ma: supponiamo di rimuovere una sfera finita di materia da un universo infinito. Quale sarebbe il campo nella cavità? Se calcoliamo il potenziale, questo diverge.

Se il campo entro la cavità fosse nullo, reintroducendo la materia questa collasserebbe per autogravità

?=gr

ρ

r

dV ϕ−∇=gr

∫∫∫−=V r

dVG ρϕ

∞→ϕ

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(l’universo esterno dovrebbe fornire una specie di forza centrifuga).

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Ma quando integriamo il campo dovuto ad una quantità infinita di gusci sferici attorno alla cavità otteniamo proprio zero. Alla radice del problema sta il fatto che l’equazione di Poisson ρπϕ G42 =∇

L’equazione di Poisson diventa:

e:

(Einstein farà qualcosa di simile introducendo la costante cosmologica

non ammette una soluzione costante.

Una proposta di soluzione (Neumann 1896): modificare il potenziale newtoniano

Che ammette la soluzione costant

Λ:

0=gr

0≡gr

)0cos( ≈=⋅−=→−= − termG

rmG r λϕϕ λ

ρπϕλϕ G42 =−∇

ρπϕ −=λG4

ρπϕ Gc 422 =Λ+∇


Questa forma dell’eq. di Poisson ammette la soluzione ϕ = 0 purchè sia

Avremo modo di tornare su questo.) Ma è l’idea di un universo statico, legata allo spazio assoluto, che crea il problema. Rinunciando allo spazio assoluto sarebbe possibile una contrazione omogenea globale per autogravità di un universo infinito: nessuna stella si muoverebbe in modo preferenziale rispetto alle altre.

• 914: Slipher e altri iniziano a trovare generalmente 1un redshift negli spettri delle nebulose.

• tà Generale; la 1915: Einstein, Teoria della Relativigravitazione è legata alla geometria dello spazio e del tempo.

• instein costruisce il primo modello di universo, 1917: Ema, per ottenere un modello statico, aggiunge alle sue equazioni un termine contenente la costante cosmologica Λ. Con le stesse equazioni De Sitter propone un modello vuoto ma in espansione.

• iverso in 1922 – 24: Friedmann ottiene modelli di unespansione senza costante cosmologica. 1924: Hubble, usando le Cefeidi com• e indicatori di

• ottiene anch’egli

distanza, stabilisce che la Nebulosa di Andromeda è così lontana da essere extragalattica. 1927: Lemaître (indipendentemente)modelli di universo in espansione senza costante

ρπ G4=Λc 2

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cosmologica. Predice una relazione lineare tra velocità e distanza.

• 1929: Hubble annuncia la scoperta di una relazione velocità – distanza per le nebulose extragalattiche.

v = H0 d (legge di Hubble): H0 = 540 km s-1 Mpc-1!!! • Dopo che la legge di Hubble venne accettata, Einstein

e

considerò non più realistico un universo statico abbandonò la costante cosmologica, considerandola il più grande errore della sua vita. Ma ...

RELATIVITA’ GENERALE

Equazion

e del campo gravitazione:

αβαβαβαβπ gΛ+42

TGRgR =−81c

α,β = 0, 1, 2, 3; Rαβ ,gαβ ,Tαβ sono tensori; - 7 -


• Rαβ tensore di Ricci (contiene linearmente le derivate gαβ seconde e in modo quadratico le derivate prime di

• gαβ tensore metrico; la distanza ds tra due eventi nello spazio-tempo si scrive

αgds = ∑∑2 βα

αββ

βαβ

α

dxdxgdxdx ≡

dove dx0=cdt, dx1=dx, dx2=dy, dx3=dz nel caso più semplice (in generale: coordinate curvilinee). Per lo spazio-tempo di Minkowski gαβ = ηαβ = diag(1,-1,-1,-1).

ds2>0 tipo tempo – traiettoria fisica con v < c ds2<0 tipo spazio ds2=0 tipo luce o nullo – traiettoria fotoni con v = c

CONO LUCE ce- ricev uto informazione;

Passato: da cui abbiamo riuto v

• αβ è il tespresse l

Teesprime

x0

ALTROVE

x1

P

FUTURO
Futuro: a cui possiamo in- viare informazione; Altrove: con cui non c’è connessione causale allo istante considerato.
x2
ASSATO
nsore energia-impulso per mezzo del quale sono e proprietà della materia che riempie lo spazio; anche le proprietà di conservazione (massa-

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energia e quantità di moto). In un sistema inerziale localmente in quiete (ρc2 densità di massa-energia, p pressione)

Tαβ = diag(ρc2,p,p,p)

• re di Ricci, derivato da Rαβ R è lo scala• Λ è la costante cosmologica, introdotta da Einstein per

avere un modello d’universo statico. nstein si possono

i• I due termini a destra nell’eq. di Ei

nglobare in un Tαβ modificato, sostituendo 22

8c

Gc ρ

πρ →+

4~cΛ

pGc 4Λp ~

8→−

π • L’ eq. di Einstein equivale in realtà a 4x4=16 eq., una

per ogni coppia (α,β); ma R β , gαβ , Tαβ sono α

simmetrici ⇒ eq. sono 10 e, in condizioni di

•

particolare simmetria, le eq. indipendenti e/o non nulle possono essere molte di meno. L’eq. di Einstein si esprime tramite grandezze tensoriali, che si trasformano allo stesso modo pas- sando da un sistema di riferimento ad un altro, ⇒ le eq. mantengono la stessa forma in ogni sist. di riferimento.

• In un intorno spazio-temporale infinitesimo di ogni evento è possibile trovare un sist. di riferimento in cui gαβ = ηαβ e le derivate parziali prime di gαβ sono nulle (ma non tutte le derivate seconde).

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• cui gαβ = ηαβ “in

Se nello spazio (o in una zona di esso) è possibile trovare un sistema di riferimento ingrande”, allora lo spazio è detto piatto, ed ha le proprietà dello spazio Euclideo (somma angoli triangolo = 180o, rapporto circonferenza/raggio = 2π, ...). Se questo non è possibile allora lo spazio si dice curvo, e devia dalle proprietà dello spazio Euclideo.

• uò

In 2-D, la curvatura di Gauss è una proprietà intrinseca dell’elemento di superficie, nel senso che si pdedurre dal tensor metrico αβg , cioè attraverso misure condotte rimanendo entro la superficie. Questo si estende in N-D, definen l tensore di curvatura R

do i

δαγβ (dal quale derivano Rαβ ed R); se Rδ

αγβ ≠ 0 in una zona di spazio, questo è curvo.

Esempi 2-D di spazi curvi

SFERA

x

r

piano tangente

Curvatura K > 0 (la sup. sta tutta dallo stesso lato del piano tangente) Σ∠ triangolo > 180o

circonferenza/raggio= 2πx/r < 2π

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PARABOLOIDE IPERBOLICO (Punto di sella)

• Materia e/o energia

⇒ spa io-tempzmente gαβ = ηαβ: sistemi localmenlibera).

• Eq. di Einstein → g azione newravit|2ϕ/c2| << 1 (dove potenziaϕ è il g00=1+2ϕ/c2. Le eq. di Einsteparticolare per α=β=0) a

22 )3(4

cpG −+=∇ ρπϕ

che si riduce all’eq. di Poisson

4 2 2

• /c) di Einstein.

'42 ρπϕ G=∇

se: Λc /4πG << ρc , p << ρc e ρ riposo).

Λ=ΛE=4πGρ 2 corrisponde al minstabile

piano tangente

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Curvatura K < 0 (la sup. sta da ambo i

triangolo < 180

za/raggio > 2

lati del piano tangente)

oΣ∠ circonferen

π

o curvo. Solo local- te inerziali (in caduta

toniana per v << c e le gravitazionale) → in si riducono (in

2cΛ

≈ ρ’ (ρ’ densità a

odello statico (ma


IL PRINCIPIO COSMOLOGICO

• Il problema di determinare la struttura dell’universo è centrato sul fatto che, per definizione, c’è un solo universo da osservare, e noi lo osserviamo da un punto di vista particolare. La nostra prospettiva è simile a quella di

perta della navigazione, si trova su una piccola isola in mezzo all’oceano, con altre

ru

un uomo che, prima della sco

isolette distribuite in modo appa entemente casuale l i, in un mare apparentemente senza limiti. attorno a

Occorre fare delle assunzioni, che non sono direttamente verificabili:

• Le leggi della fisica “locali” sono valide ovunque (nello

spazio e nel tempo)(⇒ continuità dello spazio, non esiste un “orlo” dell’universo)

• L’universo è isotropo attorno a noi. In realtà se osserviamo il cielo vediamo che la distribuzione delle galassie sulla sfera celeste è tuttaltro che uniforme. Se tuttavia osserviamo la distribuzione delle • radiosorgenti, poste a distanze maggiori delle galassie qui sopra, essa risulta più uniforme; da distanze molto maggiori ci proviene il fondo a microonde (CMB) a 3K

ia non pare nè essere di un tipo speciale, nè occupare una posizione speciale; perciò si assume un

che presenta fluttuazioni relative dell’ordine di 10-5. La nostra galass

punto di vista Copernicano: non siamo al centro dell’universo. Questo implica che ci deve essere isotropia attorno ad ogni punto dell’universo ⇒ L’universo è

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spazialmente omogeneo (se la densità di materia è una funzione analitica) almeno mediando su una certa scala.

Mappa del CMB - WMAP

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Questo sembra suffragato dalle recenti analisi della distribuzione spaziale delle galassie che mostrano una struttura a grande scala caratterizzata da grandi zone vuote o sottopopolate, pareti e filamenti di galassie che tende però all’uniformità su scale dell’ordine dei 50-100 h-1 Mpc.

• L’assunzione di omogeneità per l’universo porta ad esprimere il Principio Cosmologico: “Ad ogni epoca l’universo appare lo stesso in ogni punto, a parte le irregolarità locali”.

• Questo permette di definire un tempo cosmico(=tempo proprio), valido per tutti gli osservatori: in ogni luogo le cose evolvono allo stesso modo (questa assunzione, apparentemente ovvia e innocua, ha invece profonde ripercussioni sulla geometria dell’universo).

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• L’osservatore tipo è quello in quiete rispetto alla materia locale che lo circonda (osservatore co-movente) ⇒ Si rinuncia allo spazio assoluto.

• L’omogeneità e l’isotropia implicano che, al passare del tempo cosmico, le mutue distanze tra vari punti dello spazio possono solo variare tutte per un comune fattore di scala a(t) (se così non fosse avremmo delle anisotropie).

• Possiamo caratterizzare ogni osservatore con delle coordinate co-moventi, tali cioè che non variano nel tempo, mentre la dipendenza dal tempo delle mutue distanze è inglobata in a(t).

• Isotropia ⇒ coordinate sferiche (r,θ,ϕ) co-moventi; ma, per la curvatura dello spazio, r sarà legata alla distanza propria (quella che potremmo misurare con un regolo) radiale, ma non coinciderà con essa (se non nel caso euclideo – piatto), ed a parte il fattore di scala.

• L’assunzione di omogeneità ⇒ spazio ha curvatura costante (spazialmente). Questo porta ad ottenere la metrica di Robertson e Walker (RW):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−−= )(

1)( 2222

2

22222 ϕθθ dsendr

krdrtadtcds

2 2 2(dθ + sen θ dφ si indica anche semplicemente con dΩ2) in cui k = +1, 0, -1, e la curvatura (lo scalare di Ricci R) è

K=6 k/a2(t) k = 0 spazio euclideo (piatto) k = +1 spazio curvo positivamente k = -1 spazio curvo negativamente

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ATnella forma, peraltro equivalente,

TENZIONE: la metrica di RW si trova anche scritta

)])(()[( 222222222 ϕθθχχ dsendSdtRdtcds k ++−=n R(t) fattore di scala e la funzione Sco

M

us

k definita da:

sen(χ) (k=1) Sk(χ)= χ (k=0)

senh(χ) (k=-1)

a, al posto di χ, si può trovare scritto r, per cui bisogna capire dal contesto quale delle due relazioni è usata! Qui

eremo generalmente la prima delle due forme.

TOPOLOGIA DELL’UNIVERSO Vediamo le proprietà topologiche dei tre casi k = 0,+1,-1:

• k = 0: La sezione spaziale a tempo cosmico costante è uno spazio euclideo (piatto) E3, r varia tra 0 e ∞: lo spazio è infinito, superfici e volumi si esprimono nel modo abituale.

• k =+1: La sezione spaziale a tempo cosmico costante S3 si può rappresentare con un’ipersfera in uno

costante Scrivendo la metrica della parte spaziale come

spazio E4: x2 + y2 + z2 +u 2=

[ ]22222 )( Ω+= dsendtadl χχ la superficie di una sfera di raggio a(t)χ sarà

A(χ) = 4π a2(t)sen2χ - 16 -


m massima per χ→π/2; il rapporto tra la superficie della sfera ed il suo raggio

inima per χ→0 e per χ→π,

(aχ) al quadrato minore di è 4π. Il volume entro la coordinata χ è:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=<

2)2(2)( 3 χχπχ senaV

Che ha un massimo per χ=π Vmax=2 π a2 3

Il volume totale dello spazio è finito anche se non vi a raggio sono confini fisici; spesso viene chiamato

dell’universo. • k=-1: La sezione spaziale a tempo cosmico costante

H3 non si può rappresentare in uno spazio E4. Per rappresentare questo spazio come un iperboloide

u2 - x2 – y2- z2= costante ho bisogno di uno spazio 4-D di tipo pseudoeuclideo, con tensor metrico gαβ=diag(-1,1,1,1). Scrivendo la metrica della parte spaziale come

[ ]22222 )( Ω+= dsenhdta χχdl

A( π a χ a perficie

drato è

la superficie di una sfera di raggio a(t)χ sarà χ) = 4 2(t)senh2

sempre crescente con χ. Il rapporto tr la sudella sfera ed il suo ra gio aχ) al quag (maggiore di 4 . Il volume dello spazio, potendo πχ→∞, è infinito.

• Lplocale, le ipotesi di isotropia ed omogeneità (locali)

e tre topologie E3, S3, H3, sono le tre più semplici ossibili. Poiché la Relatività Generale è una teoria

implicano che, localmente, la topologia è E3, S3, H3.

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• Sono però possibili topologie molto più complesse1. Se partiamo inizialmente in 2 dimensioni (per aiutare l’intuizione) possiamo costruire un Toro 2D (T2) partendo da una superficie rettangolare piana

visualizzare immaginando di eseguire piegature ed

(euclidea). Si identificano in modo opportuno punti appartenenti al bordo del rettangolo e questo si può

incollaggi come mostrato qui sotto (ma la curvatura si mantiene nulla, mentre la “ciambella” qui sotto non ha curvatura nulla in E3!):

L’insetto attraversa il confine superiore in 2 e rientra dal basso

superficie non ha confini.

in 2’, esce in 3 a destra e rientra in 3’ a sinistra. Il toro è equivalente ad un rettangolo i cui bordi sono identificati a due a due. Pur essendo finita, la

1 Si vedano, ad esempio, gli articoli The Mathematics of Three-dimensional Manifolds di W.P. Thurston & J.R. Weeks, Scientific American, July 1984, p. 94 e La forma dell’universo di C. Adams e J. Shapiro, Le Scienze, 414, p. 72. Anche il libro La segreta geometria del cosmo di J.-P. Luminet, 2004, Raffaello Cortina Editore ed il sito di Jeffrey Weeks www.geometrygames.org.

1

2

2’

3 3’

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Un altro effetto tipico di queste topologie compatte è la presenza di “fantasmi”, cioè di immagini multiple dello stesso oggetto S, che arrivano in O da varie direzioni. Poiché i cammini, e quindi i tempi di percorrenza, sono diversi, le varie immagini dello stesso oggetto ce lo mostrano in diversi momenti della sua evoluzione (quindi non è banale riconoscerlo!)

O

S

.

• L’analogo di T2 in 3

circostante appare comsoffitto e pavimento ricrovesciano l’imma ineogni oggetto reale, i direzioni.

• Quanto detto vale per uno spazio Euclideo (2D o

D è il toro 3D, T3. Per un

e in una stanza con pareti, operti di specchi che però non . Anche qui osserveremo, per suoi “fantasmi” in tutte le

osservatore posto al suo interno l’universo

g

3D), che può essere rappresentato, oltre che con una celletta a forma di parallelepipedo, anche con una a

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forma di prisma a base esagonale. Nel caso di uno spazio 3D euclideo ci sono 10 varietà euclidee compatte candidate a rappresentare il nostro universo, che apparentemente non presentano confini, come il toro visto sopra (vedi la figura qui sotto).

Un toro 3D visto dal suo interno, con tanti “fantasmi” del tavolino con vaso e rosa (da Scientific American, July 1984). • Esistono varietà compatte anche negli spazi non

euclidei, con curvatura positiva e negativa. Tra queste ricordiamo lo spazio dodecaedrico iperbolico di Seifert-Weber, variante compatta (cioè con volume finito) di H3, ottenuto “incollando” ogni

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faccia del dodecaedro a quella opposta dopo una rotazione di 108° (tre decimi di angolo giro). Una variante compatta dell’ipersfera S3 è invece rappresentata dallo spazio dodecaedrico sferico di Poincaré, ottenuto “incollando” ogni faccia del dodecaedro a quella opposta dopo una rotazione di 36° (un decimo di angolo giro).

Spazio dodecaedrico iperbolico di Seifert-Weber

Spazio dodecaedrico sferico di Poincaré

(Scientific American, July 1984) • Nella letteratura esiste una certa confusione tra

curvatura spaziale, topologia ed evoluzione di a(t). Dire che se l’universo è finito la sua topologia deve essere localmente sferica, e che se la topologia è localmente iperbolica l’universo deve essere infinito è errato, come abbiamo appena visto. Per fare chiarezza vediamo le possibilità e la terminologia appropriata ai tre parametri sopra citati:

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universo sferico (ellittico) k=+1

universo euclideo (piatto) k=0 vatura ione spaziale a cost.)

universo iperbolico k=-1

universo finito (volume parte spaziale) ologia universo infinito (volume parte spaziale) universo chiuso ricollassa

universo critico asintoticamente statico uzione

dell’universo)

universo aperto

cur(della sez

t=

top

evol(“destino” in espansione

continua

curvatura topologia

univ. sferico (k=+1) finito univ. euclideo (k=0) finito o infinito

univ. iperbolico (k=-1) finito o infinito

• Nota storica: Già nel 1924 Friedmann e nel 1927 Lemaître si erano resi conto che le equazioni di Einstein non permettevano, da sole, di decidere se l’universo fosse finito o infinito. Friemann mostrò come lo spazio possa diventare finito se si

istenza di i” e osservò che

•

identificano i punti traconsentiva l’es

loro, intuì che questo “fantasm

uno spazio a curvatura positiva è sempre finito. Lemaître fece notare che gli spazi con curvatura negativa ammettono topologie con volume finito. J.-P. Luminet et al. (2003, Nature 425, 593) hanno interpretato la mancanza di fluttuazioni del CMB su scale angolari maggiori di 60° come dovute al volume finito del nostro universo. La cella che meglio si accorda con i dati sperimentali (di WMAP) sarebbe quella di uno spazio dodecaedrico sferico di Poincaré.


LE E

Consideriamo l’origine, un punto caratterizzato dalle e (r,θ, =0) che li

congiunge ra ia ϕ=0). Sarà

GGE DI HUBBL •

coordinat ϕ) ed un raggio di luce (ds2

d lmente (dθ=d

01

)( 2

22222 ≡

−− t=

krdradtcds

Un se esso in mpo t=0 (nell’ipotesi che esista un istante iniziale dell’universo, come nel modello del Big Bang r=0 (o

gnale luminoso em (r,θ0,ϕ0) al te

), giungerà in sservatore) al tempo t tale che

∫ ∫−

=t r

krdr

tacdt

0 02'1

')'('

maginiamo di misurare, ad un tempo fissato, con a serie di regoli (congelando l’espansione durante la isura), la distanza radiale tra origine e punto (r,θ

• Imunmes

0,ϕ0); sendo dt ≡ 0, dalla metrica di RW otteniamo la

distanza propria dpr :

)()')(')()( rfdrtadrtatdrr

⋅=== ('1'1 02

02

takrkr

kpr−−

∫∫

ve arcsin(r) (k=+1) [~ r + r

do fk(r)=

co attuale, a0=a(t0)

3/6 + …] r (k=0) ~ r + kr3/6 arcsinh(r) (k=-1) [~ r - r3/6 + …] n t0 epoca

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)()()( 0 rf

tdtd prpr ==)()( tata k

0

fk(r): distanza co-movente (non muta nel tempo) Derivando rispetto al tempo d• pr(t)=a(t) fk(r) si ottiene il tasso di variazione di dpr n l tempo, ce he possiamo pensare come la velocità radiale (di recessione) del punto (r,θ,ϕ); a t=t0 (analoga a t generico)

)()( 000

00

tdHtvadt

prr ⋅=

)()()()()()( 000000

0 tdHrfaHratatvddprkrtpr ⋅=⋅⋅=⋅⋅==

&fk

che è la legge di Hubble, con )(/)()( tatatH &= parametro di Hubble. H0=100 h km s-1 Mpc-1 dove, sperimentalmente, 0.5 < h < 1; 1/H0 ~ 3⋅1017/h secondi

Diagramma di Hubble per SNIa: H0=65±2 km s-1 Mpc-1

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Il valore fornito di recente dal Key Program dedicato dallo Hubble Space Telescope fornisce:

H0=72±8 km Mpcs-1 -1

Dal CMB e dalla struttura a grande scala si ha, in ottimo accordo con il precedente risultato,

H =71 (+0.04, -0.03) km s0-1 Mpc-1

• Parametro di decelerazione

)()(

02

000 ta

ataq&

&&−≡

• si ha Sviluppando in serie a(t) attorno a t=t0

])(21)(1[

))((21))(()()( 2

00000 &&& +−+−+= tttatttatata

20

200000 K

K

+−−−+= ttHqttHa

REDSHIFT COSMOLOGICO

• La rappresentazione della metrica di Robertson e Walker che abbiamo visto finora è quella detta del gauge sincrono, con il fattore di scala che moltiplica solamente la parte spaziale. Possiamo però fare in modo che il fattore di scala sia un fattore di tutta la metrica definendo il tempo conforme η come

)(tad ≡η

dtc

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Questo permette di scrivere la metrica di RW nel gauge conforme come

])(k)[( 22222 ++= Sddads χχηη 2Ωd •

enta il cono-luce, con i

Se consideriamo il moto di un fotone (ds2=0) che ci arriva radicalmente (θ, ϕ costanti) avremo

0])[( 222 =− χηη dda cioè dη = ± dχ, che rappresraggi luminosi sempre inclinati a 45°.

•

forme le traiettorie dei fotoni sono sempre inclinate a 45°, sarà dηe=dηo, cioè

Due segnali, emessi ai tempi ηe ed ηe+dηe da una sorgente comovente a χ=χe , saranno ricevuti in χ=0 ai tempi ηo ed ηo+dηo. Poiché nel gauge con

fotoni

η dηo

ηo

ηe

χ=0 χe

45° dηe

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)()( o

oe dtca

dtc=

e tat

Se dte è il periodo di un’onda elettromagnetica di

νe a(te)=νo a(to)=νo a

frequenza νe=1/dte, la frequenza osservata νo=1/dto sarà data da

o

cioè

)( e

oe a=

o taνν

Ma ν=c/λ e quindi

o

e

o

e

ata )(

=λλ

La lunghezza d’onda scala come a(t). • Se definiamo il redshift z come

1−=−

≡e

o

e

eozλλ

λλλ

otteniamo

)()1(

e

oeo ta

az =+= λλ

che ci da anche un legame tra a(t) e z:

zata o

+=

1)(

• Possiamo interpretare localmente il redshift cosmolo-

gico come un effetto Doppler dovuto al moto dif-

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ferenziale tra due osservatori comoventi vicini; possiamo anche interpretarlo in grande come un effetto Doppler integrato, somma dei tanti effetti

i lungo il cammino che il fotone compie dalla sua emission ) al suo arrivo a noi (a=a0).

Se consideriamo due osservatori vicini, separati da una distanza propria dl che il fotone percorre in un tempo dt (dl=c dt), che si muovono con velocità relativa dv a

che osservano il , rispettivamente con

lunghezze d’onda λ e λ+dλ, avremo (ricordiamo che ) per effetto Doppler:

differenziali lungo il cammino del fotone dalla sorgente fino a noi: consideriamo gli osservatori co-moventi post

e (a=ae

causa dell’espansione (dv = H dl), e

λem

ae

λoss

a0 λ+dλ λ

cammino del fotone

fotone, emesso con λ=λem

)(/)()( tatatH &=

adadt

adtda

cdtcH

cdlH

cdvd

=⋅⋅===1

=λλ

Da questo deriva che

e e

a

a

che riporta alla formula λ0=λe⋅ a0/ae=λe(1+z). Vedo quindi che posso interpretare il redshift

∫ ∫=0 0

lnln λ add λ

λ

cosmologico semplicemente come un effetto globale dovuto alle differenti velocità relative degli osservatori

- 28 -


che immagino posti lungo il cammino del fotone che arriva a noi. Non occorre pensare ad un “stiramento” della lunghezza d’onda del fotone per effetto dell’espansione dello spazio! La quantità di moto di un fotone è P= ћk = h/λ e • quindi λ∝ 1/P, λ∝ a ⇒ P∝ 1/a (questo vale anche per la lunghezza d’onda di de Broglie delle particelle, non solo per i fotoni).

• Questo vale anche per le particelle (relativistiche e non): la quantità di moto, rispetto agli osservatori co-moventi, varia come -1

a(t) .

ORIZZONTI

• Definiamo raggio di Hubble RH la distanza propria che corrisponde ad una vr = c:

)()(

tHcRH = d > R

t

Esso è funzione del tempo; se pr H, vr > c. Questo non è in contrasto con la Relatività Ristretta, perchè rispetto agli osservatori co-moventi la velocità di

localmente, sempre < c. Nessuna informazione viaggia con v > c.

• Abbiamo visto che un segnale, emesso da r=rH a t=0 arriva al tempo t all’osservatore (r=0) secondo la

qualunque oggetto è,

)()(

1)'(0 02 ta

rfkrta

HprHk ≡=

−=∫ ∫

),(' rtddrcdtt rH

- 29 -


∫≡=t

HprH tacdttartdtd

0 )'(')(),()(

rappresenta la distanza propria massima dalla quale, al tempo t, abbiamo ricevuto segnali luminosi. Se dH(t) è finito, esiste un orizzonte delle particelle: abbiamo accesso solo a una parte finita di universo. Questo dipende dall’andamento di a(t). Per modelli cosmo-

, ma a -∞.

logici ragionevoli dH(t)∝ t ed è quindi finito. Per modelli senza singolarità iniziale il limite inferiore di integrazione va posto non a 0

• E da quale distanza potremo ricevere in futuro segnali che partono oggi? La risposta si ottiene non integrando più tra 0 e t, ma tra t e ∞ (o t = tmax se c’è ricollasso) :

∫∞

ta )'(

Se l’integrale diverge basta avere pazienza per vedere un qualunque evento; altrimenti ci sono distanze dalle

≡t

Ecdttatd ')()(

quali non riceveremo mai informazioni. In questo caso abbiamo un orizzonte degli eventi. Perchè questo accada occorre che a(t) cresca più rapidamente di t. Se a(t)=exp(Ht) con H costante, dE=c/H=cost corrisponde ad RH. É questo il caso dei modelli

come a(t) e le galassie “escono” da dE. Ma le loro immagini restano per sempre visibili, seppur sempre più indebolite e spostate verso il rosso; infatti, dalle

dominati da una costante cosmologica. Ma, mentre dE=cost, la distanza propria delle galassie cresce

- 30 -


galassie “sul bordo” ci arrivano i fotoni a t=∞, quando a(t)→∞, e quindi con redshift z→∞ (λoss→∞).

IL MODELLO DI MILNE

• Il modello di Milne (1935): non usa la Relatività Generale (RG), bensì quella Ristretta. Consideriamo uno spazio vuoto di Minkowski e supponiamo che ad un certo istante t=0, dall’origine O, venga emessa in tutte le direzioni, e con tutte le velocità u<c, una nube di particelle di massa nulla ( non c’è interazione gravitazionale e tutte le particelle si muovono di moto rettilineo uniforme). Il confine dell’universo è una sfera di raggio R=ct. Anche se a prima vista non

⇒

appare, questo modello soddisfa il Principio Cosmologico, vale la legge di Hubble, ed il modello è

osservatore “seduto” sulle particelle in moto, per cui

isotropo attorno ad ogni sua particella.

La distribuzione delle particelle attorno ad ogni punto dipende allo stesso modo dal tempo proprio di ogni

O

r1

r2

tur ⋅= 11rr

tur ⋅= 22rr

tuurr ⋅−=− )( 2121rrrr

P1

u1

P2 u2

r1 - r2 distanza velocità relative d = v⋅ t ⇒ v = 1/t ⋅ d

H

- 31 -


possiamo definire un tempo cosmico τ legato al tempo t dell’osservatore centrale O secondo la relazione della

elatività Ristretta (dilatazione temporale): R2122 )1( cut −=τ

• Consideriamo ora un altro aspetto interessante del modello di Milne. Prendiamo in considerazione lo spazio di Minkowski M4 entro il quale si espandono le particelle. Rispetto all’osservatore centrale O la metrica si può scrivere (in coordinate spaziali polari):

( )[ ]22222222 sin φϑθ ddrdrdtcds ++−= e supponiamo che r=t=0 corrisponda alla “creazione”. Se vogliamo ora passare al tempo cosmico di un generico osservatore, ed usare coordinate co-moventi, la prima scelta possibile è quella di usare la velocità u e gli angoli θ e φ. In realtà una scelta più conveniente per la coordinata radiale è quella di usare la grandezza (comunque legata ad u) r~ così definita:

2122 )1(~ cuurc −= Per procedere è utile usare la variabile definita dalla relazione

ΨΨ= sinh~r . Si ha allora:

Ψ⋅⋅=⋅⋅=

Ψ⋅=

−=Ψ

−

⋅=⋅=

12

22sinh~ ττ

cosh11cosh

τ

2

τ

tcu

crccu

utur

- 32 -


Differenziando queste relazioni e sostituendo nella metrica di Minkowski t ed r con τ e r~ , nonchè usando la

2222222 )~1()sinh1(cosh~ Ψ+=ΨΨ+=Ψ= drddrd si ottiene alla fine

( )⎥⎦

⎤

io) t e la coordinata radiale co-movente r vediamo che questa

⎢⎣

⎡++

+−= 2222

2

222222 sin~

~1

~φθθττ ddr

rrdcdcds

Se chiamiamo il tempo cosmico (tempo propr

metrica corrisponde ad una metrica di RW con k=-1 e a(t)=ct. La sezione a t=cost. dello spazio-tempo (cioè la parte spaziale) presenta una curvatura intrinseca negativa a causa dell’introduzione di un tempo cosmico legato agli osservatori (particelle) ed al valore finito della velocità della luce c, mentre la curvatura dello spazio-tempo globale (4-dim.) sulta nulla (èri uno spazio di Minkowski!). Pur non essendo un modello soddisfacente (c’è un

e e circo asse sono nulle), il

modello di Milne ci fa vedere gli effetti dell’introduzione del tempo cosmico: non occorre la Relatività Generale per avere uno spazio curvo! In questo modello, basato sulla Relatività Ristretta, la formula dell’effetto Doppler relativistico si può applicare, cosa che è generalmente errata.

“confine”, l’universo si espande in uno spazio preesistent stante e le m

- 33 -


LE EQUAZIONI DI FRIEDMANN

Ap• plicando le eq. di Einstein all’universo, pensato riempito da un fluido perfetto (caratterizzato dal suo

partendo dalla metrica di RW, tre re di scala a(t):

Tαβ), si ottengono,relazioni per il fatto

Ma (F1) ed (F2) non sono indipendenti; da esse si ottiene la

che è però già contenuta nelle proprietà di conservazione implicite in Tαβ. La (F3) si può anche scrivere come

0)()()()( 3 =+→−= adpacdatd

pactd

ρρ

32332 dd

che è del tipo dU+pdV=dU+dL=dQ=0: l’espansione del fluido cosmico è adiabatica.

)2(31)3(

34

332

2 FacacpGa Λ++−= ρπ

)1(18 22222 FacaGcka Λ+=+ ρπ

&&

&

)3(0)(3 2 Fcp

aa

=++ ρρ&

&

- 34 -


LA DENSITA’ DELL’UNIVERSO

• Densità critica:

GH

cr πρ

83 2

≡

pari, all’epoca attuale, a 32290 88.1 ×=crρ 10 −− cmgh

• Parametro di densità:

238

HG

cr

ρπρρ

=≡Ω

ρ rappresenta la densità; Ω0=Ω(t0). dove Vari sono i contributi alla ρ totale:

• Materia luminosa (stelle): densità di luminosità dello universo (1.7±0.6)×108 h L Mpc-3; per un M/L~1 fornisce

Ωlum h = 0.002-0.006

• alassie: Aloni massicci⇒M/L≈30 h⇒Ωgal≥ 0.03-0.05 G

alone disco gas

- 35 -


• Nu t Big Bang prevede la sintesi di He ed He, D, Li; questo

di barioni presenti nell’universo:

cleosintesi primordiale: Il modello dell’Ho4 3 7

vincola la quantitàΩb h ≈ 0.005 – 0.024 (da D basso: 0.019±0.001)

2

• Ammassi di galassie: (Zwicky, 1933; ...) dalla dina- i gravitazionali, emission X) mica (masse viriali, lent e

M/L≈100-400 h ⇒ ΩM ≈ 0.1-0.3

• Dall’ effetto Sunyaev-Zeldovich: ΩM h=0.22+0.05-0.08

• Catastrofe barionica: Il gas che emette raggi X nel mezzo intra-ammasso degli ammassi di galassie rappresenta circa il 6 h-3/2% della massa totale, mentre le stelle (delle galassie) forniscono un ulteriore 2%; se il rapporto M(barioni)/M(totale)=Ωb/Ω , tenendo M

- 36 -


conto che una parte dei barioni potrebbe essere oscura, fornisce (assumendo Ωb h2≈ 0.02):

Ωb/ΩM ≥ 0.06 h-3/2+ 0.02 ⇒

)71.0(33.002.006.0

02.0 2−h2/3 =≤≤Ω − hM +h

(il nome di catastrofe barionica risale a quando si voleva ancora che fosse ΩM ≈ 1).

• Moti su grande scala: permettono, in linea di principio, una stima di ΩM su scale che evolvono ancora linearmente; si stima in realtà il parametro β≡ΩM

0.6/b dove b è il parametro di bias [(δρ/ρ)lum=b (δρ/ρ)tot]. I risultati sono ancora controversi (ΩM=0.5-0.7 ma anche ΩM≈0.25±0.05).

• Radiazione – CMB: Il fondo cosmico a microonde fornisce un contributo

Ωγ h2≈ 2.5×10-5

• Neutrini: Se i neutrini sono privi di massa, o questa è

ascurabile, le tre famiglie leptoniche forniscono trΩν h2≈ 1.7×10-5

ma vi sono indicazioni (Superkamiokande) di una massa minima almeno per un neutrino (mν ≥ 0.1 eV/c2) che fornisce

Ων h2≥ 1.1×10-3

(limiti superiori su Ω vengono dalla struttura a grande scala dell’universo e dal fondo a microonde CMB).

ν

- 37 -


• I neutrini non massicci si comportano, analogamente ai fotoni, come materia relativistica, e il loro contributo totale fornisce

ΩR h2= (Ωγ + Ων) h2≈ 4.2×10-5

• Vediamo che all’epoca attuale il contributo della

• ibuti, sopra elencati, lla densità di materia. Appare chiaro che non tutti i

materia relativistica è trascurabile. Possiamo comparare i vari contrabarioni sono luminosi (⇒ ∃ materia oscura barionica) oltre al fatto che ∃ materia oscura non barionica.

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 11 .10 3

0.01

0.1

11

1 10 3−×

Ωlumupi

Ωlumloi

Ωbupi

Ωbloi

0.1

Barrai

ΩbDupi

ΩbDloi

Ωbcati

0.3ΩSZupi

ΩSZloi

ΩSZmedi

10.3 h h, h, h, h, h, h, h, h, h, h, h, 0.72,i i i i i i i i i i i i

LA COSTANTE COSMOLOGICA

0.001

0.01

1

0.1

30 40 50 60 70 80 90 100

H0 [km s Mp-1 c-1]

Ω

materia luminosa barioni catastrofe barionica dinamica ammassi effetto SZ

- 38 -


• finIn questi ultimi anni, da un lato l’osservazione di SNIa

o a z ~ 1, dall’altro la misura da satellite (COBE, W lone del CMB, hanno suggerito che la geometria della z . la metrica è

MAP) e da pal parte spa iale (t = cost ) del

prossima a quella Euclidea (k = 1). Questo grazie al contributo di una costante cosmologica Λ non nulla. Il contributo di questa alla densità globale si esprime tramite il parametro

20

2

0 3Hc

cr

Λ=≡Ω Λ

Λ ρρ

Il diagramma ΩΛ - ΩM Sono riportati i vincoli sui valori di ΩΛ ed ΩM derivati dalle SNIa lontane, dal CMB e dagli ammassi di galassie. Il significato delle varie curve sarà chiarito più avanti. ----------------- Adattato da: Knop et al., 2003, ApJ 598, 102.

k=+1

k=-1

- 39 -


Questo, assieme all’evidenza che ΩM ≈ 0.3, suggerisce che ΩΛ ≈ 0.7, da cui

22562

20 102

3 −−Λ ×≈Ω

=Λ cmhc

H

L’EQUAZIONE DI STATO

Per risolvere le equazioni di Friedmann occorre conosce- re la relazione tra pressione e densità; si usa la relazione

p = w ρ c2

con il parametro w uguale a:

• w = 0: “polvere”, gas non relativistico, per cui p<<ρc2 • w = 1/3: “radiazione”, gas relativistico, per cui p=ρc2/3 • w = -1: “vuoto”, costante cosmologica,

per cui p=-ρc2

Dalla d(ρc2a3) + p d(a3) = 0 con p=wρc2 si ottiene:

ρ a3(1+w) = cost.

Da questa si ottiene:

ρM ∝ 1/a3 ⇒ ρM = ρ0M (1

ρR ∝ 1/a4 ⇒ ρR = ρ0R (1+z)4

ρΛ = cost.

+z)3

- 40 -


LE STIME DI WMAP + LSS

Il satellite WMAP, che ha misurato il fondo a microonde, assieme ai dati della struttura a grande scala dell’universo (LSS), ha fornito le seguenti stime aggiornate e precise dei parametri cosmologici:

Grande . - err zza Simbolo Valore + errDensità totale Ωtot 1.02 0.02 0-02 Eq. di stato w < - 0.78 95%CL - Densità dark energy ΩΛ 0.73 0.04 0.04 Densità barioni 0224 0.0009 0.0009 Ωb h2 0.Den 0.044 0.004 0.004 sità barioni ΩbDensità materia Ωm h 0.135 0.008 0.009 2

D 4 ensità materia Ωm 0.27 0.04 0.0Densità di neutrini leggeri Ων h < 0.0076 95%CL - 2

T 2 emperatura del CMB(K) TCMB 2.725 0.002 0.00R b map orto barioni/materia Ω /Ω 0.17 0.01 0.01 pCostante di Hubble 0.03 h 0.71 0.04

RELAZIONI TRA PARAMETRI

COSMOLOGICI

le seguen n

Dalle eq. di Friedmann valutate all’epoca attuale (ma un discorso analogo si può fare ad ogni epoca) si ottengono

ti relazio i:

ΛΩ+Ω+Ω=Ω;−Ω= RMHakc

00202

0

2

)1(

- 41 -


dalla quale

Ω = 1⇒ k = 0

n’altra relazione utile è quella che esprime il parametro di decelerazione

vediamo che:

0

Ω0 > 1 ⇒ k = +1

Ω0 < 1⇒ k = -1

U

∑ Ωw+Ω=q23

21

0

zione si appli rea gn p

iii0

Questa rela ca in ltà ad o i epoca urchè si usino i valori di Ωi relativi a quell’epoca; ad esempio, in un universo piatto con eria co gic

e) mat e cost. smolo a (ΩR

è trascurabil

⎥)⎦Λ

⎤⎢⎣

⎡Ω−+1(2

3 +Ω

ΩΛ−=2

)(zqΛ 1()3z

1

in cui i Ωq(z)≈1/ no ed inizia la espansio cade a

l termine in parentesi quadra è Λ(z). Per z grande 2, ma ad un certo punto q(z) cambia seg

ne accelerata; questo ac

z = [2Ω Ω 1/3 ≈ Ω ≈

re di scala:

Λ / (1- Λ)] 0.7 se -1 Λ 0.7

Dalla prima relazione del paragrafo si ricava anche il valore attuale del fatto

2/1

000 1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ω

=k

Hca

- 42 -


IL PARAMETRO DI HUBBLE Dalla prima delle eq. Di Friedmann, divisa per ao

2, e dalla prima relazione del paragrafo precedente, si ottiene

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ ii aa0

e, ricordando che

⎥⎤

Ω−+⎟⎞

⎜⎛Ω ∑

+

i

w

i

ia )1(31

002

2

⎢⎡

= ∑Ha 2&

aaaatH +== 1//)( 0& z

[ ]22220

310

202

02

)1(

)1(),(

Ω+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

+

∑∑

zH

aa

aaHzt

R

ii

i

w

i

i

01)1()1()1( Ω−++Ω++Ω++= Λ zzz

H

M

che lega il parametro di Hubble con a(t) o z.

Questa relazione è anche utile per trovare il legame tra la coordinata co-movente r ed il redshift. L’equazione radiale del moto di un fotone verso di noi è:

aHdacadacdtckrdra //1/ 2 −=−=−=− &

che forn sisce, e sendo a = a0/(1 + z),

dzH

ckr

dra(1 2

0 =− z)

Questa mostra come legare r a z, H0, Ωi, tramite la fk(r). Torneremo più avanti su questa fondamentale relazione.

- 43 -


Se l’un , dalla iverso è in espansione ( 0>a& ) e Λ=0seconda eq. Di Friedmann segue 0<a&& : è concava

a(t)

l’intercetta TH = 1/H0 (tempo di Hubble) rappresenta un limite superiore per l’età dell’universo.

Nei modelli con costante cosmologica questo non è più vero: l’età dell’universo può essere maggiore di TH (anzi, uno dei motivi della “rinascita” della costante cosmologica è stato proprio questo).

Ω(z)

kc /a =H ( -1)

calcolata ad un istante generico, per la stesso all’epoca attuale, si ottiene

Dividendo la relazione 2 2 2 Ω

11

2

2

2

20

−Ω−Ω

=HH

aa

00

a(t)

a0

t0O t TH

- 44 -


da cui:

220

0

)1()1()1(11

1 −Λ +Ω++Ω++Ω+Ω−

−Ω=−

zzz MR

che mi fornisce l’evoluzione di Ω(z). Vedo anzitutto che, essendo il denominatore della parte destra della relazione sempre positivo (si veda la relazione che esprime H(z)), il segno di Ω-1 non cambia durante l’evoluzione, e così

Ω

pure il segno della curvatura k della sezione spaziale: k non muta mai segno. Vediamo anche che, se i modelli non sono dominati da ΩΛ, risalendo indietro nel tempo (z→∞), Ω→1prime fasi di evoluzione cosmica. Quindi, se oggi Ω ≠ 1, nel lontano passato Ω(z) differiva per mo

! Il termine di curvatura è trascurabile nelle

lto poco da 1.

Invece, nei modelli dominati dal “vuoto”, succede il contrario: al trascorrere del tempo Ω→1!

Il fatto che Ω tenda a divergere da 1 al passare del mpo, mentre in realtà oggi sembra essere molto

prossimo ad 1, richiede che nel lontano passato Ω sia stato in realtà estremamen ssimo ad 1, con notevole

e tasso di espansione. Questo è il

te

te pro“fine tuning” tra densitàcosiddetto problema he viene risolto dal paradigma dell’inflazione. L’esistenza di una fase di

mima gli effetti di una costante cosmologica, fornisce il meccanismo attraverso il quale Ω viene talmente forzato verso l’unità, da rimanere fino ad oggi non molto diverso da 1.

della piattezza, c

inflazione, dominata cioè dalla densità di energia di un falso vuoto che

- 45 -


LE TRE EPOCHE DELL’UNIVERSO Nell’equazione che descrive l’evoluzione di H(t), e quindi anche della a(t), vediamo che ci sono tre contributi, legati ad ΩR, ΩM, ΩΛ, che variano in modo diverso con il redshift.

[ ]0ΩH

22220

2 1)1()1()1()1()( −++Ω++Ω++Ω+= −Λ zzzzHz MR

Vediamo che, a z elevato, il termine in ΩΛ conta poco, metre gli altri due crescono; ma quello in ΩR cresce più rapidamente e, anche se oggi ΩR << ΩM, la materia relativistica domina prima dell’epoca cosiddetta dell’ equivalenza, corrispondente a

1+ zeq= Ω Ω ≅ × ΩM/ R 2.4 104 2M h

zeq ≈ 3700 se ΩM = 0.3 e h=0.72.

Quindi prima dell’equivalenza la dinamica dell’universo è dominato dalla materia relativistica, poi dalla materia non relativistica, fino a quando non entra in gioco la costante cosmologica, cioè a

1 + zΛ = (ΩΛ/ΩM)1/3

che, se ΩΛ = 0.7 ed ΩM = 0.3 corrisponde a zΛ =0.33.

Abbiamo quindi le tre fasi di evoluzione dell’universo: dominato dalla materia relativistica (radiazione) (RD), dominato dalla materia (MD), dominato dal “vuoto” (VD).

- 46 -


MODELLI COSMOLOGICI Esaminando le eq. Di Friedmann

)2(31)3(

34

)1(13

8 22222 FacaGcka Λ+=+ ρ3

22 Faca

cpGa Λ++−= ρπ

π

&&

i

&

possiamo riassumere qualitativamente l comporta- mento dei modelli cosmologici

Se Λ<0 , dalla (F1) vedo che (ρM ∝ a-3, ρR ∝ a-4) il termine in ρ a2 (positivo) decresce nel tempo, mentre quello in Λ a2 (negativo) cresce, k c2 è una costante, perciò ad un certo punto uò crescere 02 =a& : a non pulteriormente, ed il modello si espande e poi 0<a&&ricollassa.

Se Λ>0 occorre separare i due casi k = -1, 0 e k = +1. Se k = -1, 0, 02 >a& sempre e anche a&& diventa > 0 : l’universo si espande sempre ed alla fine accelera.

0>a&&

0<a&&

k = -1, 0

02 <a&

02 >a&

regione proibita

Λ

0

- 47 -


- 48 -

Se k = +1, = e si ha Λ>0 ma non è molto grande. La regione proibita ha l’andamento in figura; come si vede è possibile avere contemporaneamente sia

che

con Λ=0, per un certo valore di a, 2a& 0 ricollasso; lo stesso accade se

0=a& 0=a&& , il modello statico di Einstein.

k 0 Λ> Λ=0 Λ<0

-1

0

+1

Λ

k = +1 0>a&&

0<a&&ΛE

modello di Einstein

0 aE 02 <a&

02 >a&

Einstein-De Sitter

Eddington- Lemaître

Einstein

Λ=ΛE Λ<ΛE

Il nostro universo?

Λ>ΛE

Lemaître


IL MODELLO DI EINSTEINImponendo che sia 0

== aa &&& si ottiene una soluzione

statica delle (F1) e (F2) che implica k = Λ a2 e

ρπρπ

Gc EE 42Λ caaG ;4

====Λ

da cui si vede che Λ>0 e quindi k = + costante osmologica agisce come una fo a il

modello è instabile perchè basta una piccola fluttuazione de ità e la materia o il vuoto prevalgono, imponendo

na contrazione n’espansione inarrestabili.

1. Lac rza repulsiva. M

in nsu o u

I modelli di Eddington-Lemaître hanno come asintoto (di partenza o di arrivo) il modello di Einstein.

IL MODELLO DI DE SITTER É un modello dominato dal vuoto; se nella (F1) si pone a zero il contributo della materia si ha

2222

31 accka Λ=+&

Per a sufficientemente grande il termine di curvatura 2 ien tr rabi e oluz one diviene(kc ) div e ascu le la s i

tHctAeAet)( ≅a 03 ΛΩ

Λ

=

- 49 -


IL MODELLO DI LEMAITRE In questo modello (k= me che Λ=Λ1) si assu

si-statica, la cui durata può essere allungata a piacere se ε→0. Fu proposto nel 1967 per spiegare l’eccesso di quasar a z≈ 2.

E(1+ε), con ε piccolo; in questo modo si ottiene un’epoca qua

IL MODELLO DI EINSTEIN-DE SITTER Questo modello (EdS) assume che Λ=0 e che k=0; si suppone inoltre che l’universo sia dominato solamente da materia o radiazione, per cui Ωi=1(i=R,M). L’eq. di evoluzione di a(t) diventa

⎥⎥⎦

⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛+ iwaaa 3122&

⎢⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

=aa

Ha

00202

che ha come soluzione

)1(32

wt +⎞⎛

00)(

i

tata ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=

che, nel caso RD (w =1/3) fornisce a(t) ~ t1/2, mentre nel icaso MD (wi=0) fornisce a(t) ~ t2/3.

Altre relazioni utili sono:

2)1(3

0 )1(iw

ztt+

−+=

- 50 -


00 )1(3

2Hw

ti+

= twtH

i )1(32)(

+=

22)1(61)(

twGt

ii +

=π

ρ

In particolare:

wi=0 – materia wi=1/3 - radiazione 3/2

⎞⎛ t

00)( ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=t

ata

2/1

00)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ttata

2/30 )1( −+= ztt

20 )1( −+= ztt

00 3

2H

t = 0

0 21H

t =

ttH 2)( = 3 t

tH 1)( = 2

26)(

GttM

1232

3)(Gt

tR πρ = π

ρ =

- 51 -


In realtà, nelle fasi dominate dalla radiazione o dalla materia, quando il contributo di ΩΛ è trascurabile, come anche il termine di curvatura, cioè quando:

02 1)1()1( Ω−>+Ω++Ω zz MR

M

zzΩ

Ω−=+>+ 0* 111

l’evoluzione della a(t) è data dalla

⎥⎥⎤

⎟⎞

⎜⎛ iwa 31

0

⎦⎢⎢⎣

⎡

⎠⎝Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

i aaa

a

202

02

(dove l’indice i si riferisce alla componente dominante all’epoca considerata) analoga a quella del modello EdS, ma con una

= Ha2&

H0,eff = H0 Ωi1/2

Quindi, per z > z*, si possono usare le relazioni del modello di EdS, ma con H0,eff. Ad esempio,

2)1(3

2/10

)1()1(32)(

iw

ii

zHw

zt+

−+

Ω+=

2)1(3

2/10 )1()(

iw

i zHzH+

+Ω=

mentre l’espressione per la ρi(t) non cambia.

- 52 -


Queste relazioni sono utili per avere delle stime approssimate dei valori corretti.

Vedo quindi che a z elevato, il modello di EdS rappresenta un’ottima approssimazione del modello reale di universo, quale che sia la sua curvatura.

MODELLI CON MATERIA E RADIAZIONE

Se curvatura e costante cosmologica sono trascurabili è possibile trovare una soluzione analitica esatta. L’equazione

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

200

202

02

2

aa

aa

aaH

aa

RM&

può essere integrata, fornendo

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+Ω

Ω= 2/3

0

2/1

020 22

32

RMMRM a

aaat

⎦⎣RH

che fornisce, per l’epoca dell’equivalenza,

( ) annihzH

t MeqM

eq223

2/32/10

)(10032.1)1(3

222 −Ω×≈+Ω

−=

corrispondenti a teq ~ 5.66×104 anni per M h2=0.135, come da

ΩWMAP.

- 53 -


MODELLI DOMINATI DA MATERIA Per z sufficientemente elevato abbiamo visto che i modelli m

sono simili a quello di EdS. Vediamo ora il comporta- ento esatto. L’equazione da risolvere è

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−+Ω= MM a

aHaa 102

02

2

0

&

• ΩM>1: ci sarà un t=tm tale che 0=a& e

1)( 0 −Ω

Ω==

M

Mmm ataa

0<a&&e poi, essendo sempre , a(t) cala in modo simmetrico e, a t=2 tm, c’è il ricollasso (Big Crunch).

Soluzione parametrica:

)cos1()1(2

)sin()1(2

0

2/30

θ

θθ

−−Ω

Ω=

−−Ω

Ω= MtH

M

M

M

aa

Formule utili:

2/30 )1(2 −ΩΩ

=M

MmtH π

3222

)1(2 2/300

⎤⎡ ⎞⎛−Ω

Ω= Mt 11arccos <⎥

⎦⎢⎣

−ΩΩ

−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−Ω M

MMM

H

- 54 -


• iù a(t)

ΩM<1: Al passare del tempo a diviene sempre pgrande e l’eq. per diviene

( )MHaa

Ω−≈ 1202

0

2&

cioè, asintoticamente, a(t)∝ t, per t→∞.

Soluzione parametrica:

)1(cosh)1(2

)(sinh)1(2

0

2/30

−Ω

Ω−=

−Ω−

Ω=

ψ

ψψ

M

M

M

aa

tH

M

Formule utili:

3212harccos12⎡Ω

= M

)1(2 2/300 >⎥⎦

⎤⎢⎣

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ω−Ω−

ΩΩ− MM

MM

tH

che, per ΩM→0, diventa

)3.0%99(2ln100 <Ω

ΩΩ+≅ M

MM peralprecisatH

Per ΩM→0, H0 t0→1: asintoticamente ci riduciamo al modello di Milne.

- 55 -


MODELLI CON Λ≠0 Abbiamo già visto una classificazione qualitativa di questi modelli. Vediamo ora di essere più quantitativi. La F1 è più semplice se ignoriamo la radiazione, perchè può essere risolta analiticamente.

Ponendo a/a = R e τ = H l’eq. di Friedmann diventa 0 0 t

)1(111 22

−Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ RRd

dRMτ

τ

ora

R

1ΩΛ>(Λ1)

ΩΛ=(Λ1)

ΩΛ<(Λ1)

Abbiamo visto che, se Λ<0 (ΩΛ<0), l’universo ricollassa in ogni caso.

Se =-1,0 (universo “aperto”) e Λ>0 (Ωk Λ>0), l’universo alla fine si espande come nel modello di De Sitter.

Più vario è il caso in cui k=+1 (universo “chiuso”) e Λ>0 (ΩΛ>0). Un valore di ΩΛ>0 tende a far espandere

universo a meno che ΩM non sia così elevato da forzare il ricollasso prima che il vuoto domini la l’

- 56 -


dinamica. In questo caso si avrà espansione se, con Ω >1, M

3

341arccos

31cos4

⎪⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎤

⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

Ω−Ω>ΩΛ

π

M

MM

⎭⎦

punto di inversione nel passato, che separa una fase di collasso da quella attuale di espansione. In questo caso

Per valori grandi e positivi di ΩΛ l’universo ha un

non vi è Big Bang se

)1(1arccoss31coss4

3

Λ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

Ω−Ω>ΩΛ

M

MM

dove coss=cosh se ΩM<1/2 e coss=cos se ΩM>1/2. Il “rim lz (bounce) corrisponde ad un valore massimo ba o”del r t zB (minimo del fattore di scala) edshif

)2(11arccoss1coss2 Λ−⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Ω−

= Mz

i ha zB=(5,2,1.25) e vediamo

3 ⎦⎣ ⎠⎝ ΩM

Per ΩM=(0.01,0.1,0.3) sche i modelli con rimbalzo sono esclusi, per valori ragionevoli di Ω

ragione, dal CMB. M, dall’esistenza di quasar con z>5 e, a

maggiorI modelli di Lemaître (loitering models), con una fase quasi-statica, sono prossimi alla regione definita dalla Λ1), appena esterni ad essa. La (Λ2) fornisce il valore (

di zL corrispondente a questa fase, tanto più lunga quanto più prossimi siamo alla (Λ1). Una durata

- 57 -


infinita corrisponde al modello di Eddington- Lemaître. Per un universo tipo Lemaître, nella fase quasi-statica,

3)1(21

LM z+Ω=ΩΛ

(è anche lo z per cui q(z)=0). Vediamo che una fase quasi-statica ad alto zL richiede valori troppo bassi di ΩM se ΩΛ ≅ 0.7.

Il grafico seguente mostra una sintesi di quanto detto.

We are here

k=-1k=+1 k=0

Ricordiamo che le attuali osservazioni suggeriscono un universo piatto con ΩM ≈ 0.3 e ΩΛ ≈ 0.7.

- 58 -


IL NOSTRO UNIVERSO? Come abbiamo visto, il nostro universo, dopo l’equivalenza, è stato dominato prima dalla materia e poi dal vuoto. Si può trovare una soluzione analitica per un universo con materia + costante cosmologica e piatto (ΩM + ΩΛ = 1).

32

0

3 3sinh)(

⎥⎢ ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Ω

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Ω

= Λ tHta M

1

0 2 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎠⎝⎠⎝ ΩΛa

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ a0

⎢⎡

ΩΩ⎟

⎞⎜⎛

Ω= Λ−

Λ M

tatH2

3

10

)(sinh3

2

che permette anche di avere una stima per t0 e t(z) (vedi paragrafo seguente) per questo modello.

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

a/a0

tempo in miliardi di anni - 59 -


L’ETA’ DELL’UNIVERSO Abbiamo visto per vari modelli particolari l’andamento dell’età dell’universo t(z). Dalla stessa definizione del parametro di Hubble si ottiene la relazione generale

∫ +

∞

z zHzdz

)()1(

dove

=zt )(

]1)1()1()1([)1()( 02222

02 Ω−++Ω++Ω++Ω+= −

Λ zzzzHzH MR

Oppure la analoga

∫=0/

00 )()/(

aa

aaHdaaat

Nel caso di un universo piatto con materia + vuoto si ha (un altro modo di scrivere la relazione di pagina precedente)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Ω

Ω+Ω= Λ−

Λ−

)()(1ln)()(

32)(

2/12/11

zzzzHzt

M

dove

[ ]Λ

Λ

Λ

Ω++Ω=

Ω−=Ω+Ω+Ω

Ω=Ω

320

2

3

)1()(

)(1)()1/(

)(

zHzH

zzz

z

M

M

M

MM

- 60 -


Un’appro =1) è la ssimazione utile per t0 (esatta per Ω0seguente (vuoto + materia), buona entro qualche percento se 0 < ΩM ≤ 1, 0 < Ω0 ≤ 1 :

a

aatHΩ−

ΩΩ− ]/1[arcsenn2≈

1300

3.03.0 +Ω−Ω≡Ω oMadove e “arcsenn” è definito come arcsenh se Ωa≤1 (il caso usuale) e arcsen se Ωa>1. Se ΩM=0.27 e ΩΛ=0.73, con h=0.71 (come da WMAP), si ottiene t0=13.7×109anni.

Un parametro cosmologico usato è anche il cosiddetto look-back time, tlb(z) ≡ t0 – t(z), che indica il tempo trascorso tra il redshift z ed oggi.

- 61 -


Ad esempio, in un modello di EdS dominato da materia

[ ]2/3

0

)1(13

2)( −+−= zH

ztlb

ANCORA ORIZZONTI mo visto che l’orizzonteAbbia delle particelle è dato

dalla

∫≡t

Hcdttatd ')()(

ta0 )'(

Nel caso di un modello di EdS, che per altro è appropriato per descrivere le fasi non troppo avanzate dell’universo, risulta

tcwwtd H 31

)1(3)(++

=

Vediamo che dH ∝ t (w=0 (MD) ⇒ dH(t)=3ct; w=1/3 (RD)⇒ dH(t)=2ct). Per questi modelli il raggio di Hubble RH(t)=c/H(t) è

)(231

2)1(3)( tdwtwctR HH

+=

+=

cioè raggio di Hubble ed orizzonte coincidono o quasi; ricordiamo però che RH è una quantità istantanea, mentre dH è una quantità integrata.

- 62 -


Nei modelli con una fase inflattiva dH risulta in realtà molto maggiore di RH.

Il modello di Milne, con a(t)=ct, non ha orizzonte delle particelle (dH→∞).

Abbiamo già visto che il modello in espansione esponenzial orizzonte degli eventi d =c/H=R =cost. Cosa accade nel

= 1)? Se vediamo l’andamento di dE(t), esso tende asintoticamente ad un valore costante (l’universo tende ad un modello di de Sitter).

Orizzonte degli eventi e distanze proprie

e (con H=cost) di de Sitter ha unE H

modello che pare rappresentare il nostro universo (ΩM + ΩΛ

Mpc

z=1.7 z=5

z=1 dE(t)

t in Gyrt0

- 63 -


Se si traccia poi l’andamento della distanza propria dpr(t) per oggetti che oggi presentano un redshift z,

detto più sopra, li vedremo sempre,

trovo che oggetti che oggi hanno z ≈ 1.7 stanno uscendo da dE, per cui non conosceremo mai che ne sarà di loro! Come con redshift crescente, ma i fotoni che partono oggi da loro non ci raggiungeranno mai. Oggetti che oggi hanno z=5 sono usciti da dE a t ≈ 6.2 Gyr; il CMB, oggi a z≈1100, è uscito da dE a t ≈ 0.6 Gyr. Vediamo quindi che la presenza di una costante cosmologica fa sentire i suoi effetti anche su eventi lontani nel passato, non solo su quelli recenti e futuri.

Caveat: Il raggio di Hubble rappresenta la zona di spazio entro la quale è possibile scambiare informazioni; è una scala molto importante per l’evoluzione delle perturbazioni che hanno dato origine alle strutture oggi presenti nell’universo. Poichè gli studi teorici che spiegano queste strutture sono iniziati quando ancora non si parlava dell’inflazione, e nei modelli di EdS raggio di Hubble ed orizzonte (delle particelle) in pratica coincidono, è invalso l’uso improprio del termine orizzonte per indicare RH. Prima dell’inflazione questo non cambiava molto le cose, ma nei modelli con fase inflattiva la differenza è notevolissima! Ciononostante si tende spesso ad usare ancora il termine orizzonte per indicare il raggio di Hubble.

- 64 -


r(z) Una grandezza fondamentale, come vedremo, per il confronto tra modelli cosmologici ed osservazioni è la coordinata co-movente radiale r. In particolare, è essenziale la sua dipendenza dal redshift z.

Abbiamo visto la relazione

dzzH

ckr

dra)(1 2

0 =−

con H(z)≡H0 E(z),

[ ] 2/120

34 )1)(1()1()1()( zzzzE MR +Ω−+Ω++Ω++Ω= Λ

come anche:

arcsin(r) (k=+1)

∫∫ ===−

=zr

krzE

dzHac

krdrr

00002

)0()'(

''1

') kf (

arcsinh(r) (k=-1) Se ricordiamo che

)1( 0202

0

2

−Ω= Hakc

si ottiene, definendo la funzione sinn(x), la seguente ealzione per a0 r(z): r

- 65 -


⎥⎦⎣−Ω zEH 0

0

00

0 )'(1 ⎤

⎢⎡

−Ω= ∫z dzczra '1sinn)(

dove sinn(x)=sin(x) per Ω0>1(k=+1) e sinn(x)=sinh(x) per Ω0<1(k=-1), mentre, nel caso Ω0=1(k=0) si ha più semplicemente,

∫=z

zEdz

Hczra

000 )'(

')(

Per z<zeq possiamo trascurare il contributo di ΩR e

[ ] 2/12 )2()1()1()( ΛΩ+−Ω++= zzzzzE M

mentre se Ω ΩΛ=1-ΩM, 0=1,

[ ] 2/13)1(1)( zzE MM +Ω+Ω−=

Non ci sono espressioni analitiche per a0 r(z) nel caso generale. Nei modelli dominati da materia (ΩΛ=0) si ottiene invece la seguente formula di Mattig:

[ ])1(

1)1()2(2)( czra Ω= 2

00 z

zzH M

MMM

+Ω−Ω+−Ω+

21

che vale sia per ΩM>1 che per ΩM<1. z→∞, fornisce (ΩΛ=0): Questa relazione, per

MHczra ≅0

2)( Ω0

- 66 -


Nel caso, invece, in cui sia ΩM+ΩΛ=1 si ha:

4.00 M

02)(

Hczra

Ω≅

Per valori piccoli di z si può usare lo sviluppo in serie

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−≈ K20

00 2

1)( zqzHczra

DISTANZA DI LUMINOSITA’ Il flusso bolometrico (integrale) Fbol che ci arriva da una sorgente di luminosità L , ad un redshift z, con coordinata radiale r,

220

dove il termine 4πa

2 4)1( razLFbol π+

=

roviamo, mentre il fattore (1+z) deriva dal redshift subito dai fotoni e dal loro tasso di arrivo.

Se vogliamo usare una relazione analoga a quella

02r2 rappresenta l’area della sfera

centrata sulla sorgente e sulla quale noi ci t2

euclidea, definiamo la distanza di luminosità dL

)1(4 0

2/1L ⎞⎛

zraF

dbol

L +=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

≡π

- 67 -


Per z piccolo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+≈ Kzq

HczdL 2

11 0

0

l paragrafo precedente. Per passare alle magnitudini possiamo usare la solita relazione, usando però dL:

mentre in generale si devono usare le relazioni viste ne

5log5 , −=− pcLbolbol dMm

In questo modo, se abbiamo degli oggetti da con- siderare stessa candele standard, che hanno tutti la Mbol, la loro mbol in funzione di z dipenderà dal modello cosmologico: si ottiene il cosiddetto diagramma m-z o diagramma di Hubble.

In realtà non si misura Fbol, ma il flusso entro una certa banda spettrale. Il flusso monocromatico è dato dalla

[ ] [ ])()1(4)1(4)1(

)(0

220

2220

30 λϕ)1/()()1/( 000 λϕλϕ λϕ

ππλ

zrazrazF

+zLzL +

⋅+

=+

=

dove ϕ(λ), λ=λ

+

spettrale. Il secondo

re (nel caso non ci sia anche un’evoluzione intrinseca in luminosità)

0/(1+z), è lo spettro, normalizzato, della sorgente, ed il fattore supplementare (1+z) deriva dall’allargamento della banda fattore a destra nell’espressione tiene conto della monocromaticità del flusso, e permette di scrive

)(5log5)()( 0,00 λλλ KdMm pcL +−=−

- 68 -


⎥⎥⎥⎥

⎦⎣

⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−≡

()1(1log5.2)(

0

0

0 λϕ

λϕ

λz

zK )

K(λ0) è detta correzione K.

Il diagramma di Hubble non ha rappresentato un test cosmologico decisivo fino all’uso delle SNIa.

- 69 -


DIAMETRI ANGOLARI Se osserviamo un oggetto che, quando ha emesso i fotoni oggi ricevuti, al tempo t1, aveva un diametro D, sarà

21

222 )( θdtarD =

AdD

razD

traDd ≡

+==

01

)1()(

θ

che definisce la distanza dal diametro angolare dA.

20

)1(1 zd

zra

d LA +

=+

=

Per piccoli valori di z

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−≈ Kzq

Hczd A 2

31 0

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++≈ Kzq

czDHd

231 00θ

Notiamo che l’angolo appare maggiore che nel caso “ingenuo”, v = H0d = cz ⇒ dθ = D/d =DH0/cz. Questo è dovuto all’espansione dell’universo: quando i fotoni sono partiti l’oggetto era più vicino, e quindi sot- tendeva un angolo maggiore.

I test cosmologici non sono conclusivi e suggeriscono piuttosto effetti evolutivi.

- 70 -


0.01 0.1 1 101

10

100

1 .103

trace 1trace 2trace 3trace 4trace 5

In realtà questo metodo ha dato i suoi frutti applicato al CMB, usando come scala D la dimensione del cosiddetto orizzonte sonoro (~RH), all’epoca dello ultimo scattering (zls≈1100).

Per z→∞ possiamo scrivere (α = 1 se ΩΛ ≡ 0, α ≅ 0.4

z

c dθ H0D

ΩM=0.3 piatto ΩM=0 piatto ΩM=0.3 aperto Relazione θ - z per vari modelli

cosmologici ΩM=0 aperto ΩM=1

se ΩΛ + ΩM = 1) per dA ed RH:

( )lsMlsA zH

czd+Ω

≅1

2)(0

α

( ) 2300 1)()(

)(lsMlsls

lsH zHzEHzHzR

+Ω≅==

cc c

- 71 -


Otteniamo quindi

( ) ( )21

21

21

9.012

)( −−

Ω≈+

Ω≅= α

α

θ Mo

ls

M

lsA

lsHs zzd

zR

Se usiamo invece il multipolo l≈π/θ, usato nella presentazione dello spettro di potenza angolare del

CMB, otteniamo: rap

( )2121

21 20012−− Ω

≈Ω

+≈≈ αα

πθπ

MM

ls

ss

zl

Dipendenza di θs ed ls da ΩM

nei modelli aperto (Ω Ω +Ω =1) Λ=0) e piatto ( M Λ

Il calcolo esatto della posizione del primo picco acustico porta in realtà a risultati molto simili. Si noti

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

dθ_o

dθ_f

Ω M

pen Ω M( )lat Ω M( )

0 0.5 10

200

1000

400

600

800

1200

Ω

l_open Ω M( )l_flat Ω M( )

M

- 72 -


la scarsa dipendenza da ΩM nei modelli piatti e come sparisca la dipendenza da H0.

Spettro di potenza angolare del CMB (Satellite WMAP): si noti la posizione del primo picco a l≈200.

Abbiamo visto che l’angolo corrispondente, nel CMB, ad RH è dell’ordine del grado. Ricordiamo che nei modelli di EdS, che peraltro sono una buona approssimazione a zls, RH≈dH. Questo significa che regioni distanti tra loro qualche grado non erano mai entrate prima in contatto causale; come si spiega allora l’enorme uniformità del CMB, con fluttuazioni ∆T/T≈10-5? Questo è il cosiddetto problema dell’orizzonte, che viene superato dai modelli inflattivi, per i quali dH(zls)>> RH(zls).

WMAP

- 73 -


CONTEGGI DI SORGENTI Altri vincoli osservativi vengono dai conteggi di sorgenti. Il numero di sorgenti di densità propria n

enute nell’intervallo r ⎯ r+dr e nell’a golo cont n solido dΩ sarà

2

23

1 krdrdrandVndN

−

Ω==

che si può scrivere nella forma

[ ])()1(

)()(3

20

0 zEzzrazn

Hc

dzddN

+⋅=

Ω

Nel caso in cui non ci sia nascita e/o morte di sorgenti, n(z)/(1+z)3=n0=cost. Integrando la relazione si ottiene il numero di sorgenti entro un certo redshift, N(<z); per valori piccoli di z si ha:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

Ω≈< Kzq

HzcdnzN 03

0

330 1

231

3)(

I conteggi effettuati con radiosorgenti e, più recentemente, con galassie, hanno evidenziato l’esistenza di un’evoluzione nelle sorgenti in numero e/o luminosità, più che fornire vincoli cosmologici.

Recentemente, stime sulla densità numerica degli ammassi di galassie hanno invece confermato le

ΩM≈0.3. indicazioni che

- 74 -


(da Bahcall and Fan,1998, ApJ 504, 1)

FONDI COSMICI In una situazione statica l’intensità specifica (brillanza) Iνemin

si conserva lungo la linea di vista (se non ci sono issioni e/o assorbimenti). Nell’universo in espansione,

vece,

3330

30 )1( emz ν

00 )( em)]1([)( IzII ν ν ν=

++

ν= ν

indipendente dal modello cosmologico.

- 75 -


Supponiamo ora che vi sia una sorgente diffusa di radiazione che emette in modo isotropo εν erg s-1cm-3Hz-1 Per unità di angolo solido: εν/4π erg s-1cm-3Hz-1sterad-1.

c dt

dΩ

dA

εν/4π

L’energia dEν che attraversa dA nel tempo dt entro dΩ e dν per il contributo del volumetto dV sarà

Ω⋅⋅==Ω≡

dddtdV

dtcdAdddtdAIdE

νπενδ

ν

νν

43421)(4/

da cui si ha

dtcdI emem π

νεν4

)()( = che, all’arrivo, diventa

dtz

zcdIdI emem

30

3

00 )1(

)]1([4

)()(+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

νεπ

ννν

ν

Essendo

- 76 -


)()1(1

0 zEzHdzdt

+−=

l’emissione totale alla frequenza ν , tra z e z è 0 1 2

( )[ ]( )∫ +

+=

2

1)(1

,14

)( 0

00

z

z

dzzzzz

HcI

νεπ

ν

dove si è esplicitata anche la dipendenza di ε da z. Questa relazione permette quindi di stimare, per i vari

4 E

modelli cosmologici, il contributo al fondo cosmico dei vari tipi di sorgenti. Nel caso “classico”, newtoniano e statico con spazio euclideo, l’intensità specifica si mantiene costante lungo il cammino, ed ε non dipende dal tempo, per cui il fondo prodotto tra il tempo ti e t0 è

( )icl ttc

I −= 00

0 4)(

)(πνε

ν

Se l’universo fosse infinito nel tempo (ti → -∞) avremmo Icl(ν0) → ∞ : è il cosiddetto paradosso di Olbers (Perchè il cielo è buio di notte?). Se però l’universo è finito nel tempo o nello spazio, o se comunque le stelle

dosso, ma la vera chiave sta in quanto scritto sopra.

hanno una vita di durata finita, il paradosso si risolve. L’espansione dell’universo aiuta a risolvere il para-

- 77 -


IL BIG BANG CALDO HOT BIG BANG

e elativo all’evoluzione nel tempo del nostro universo sono 3: Le basi su cui si fonda il mod llo standard r

1. l’espansione dell’universo

2. la radiazione termica di fondo a 2.73 K (CMB), che rivela l’esistenza di una fase di vita dell’universo in equilibrio termodinamico

3. la previsione delle abbondanze degli elementi leggeri (D, 3He, 4He, 7Li), in particolare dell’elio; questa nucleosintesi cosmologica richiede inoltre che vi sia stata un’epoca in cui T ≈ 109K

A questi fatti si può aggiungere che l’età predetta per l’universo è confrontabile all’età stimata direttamente per alcuni tipi di oggetti (ammassi globulari, …), e che è possibile dare una spiegazione teorica ragio- n

i

he ovano una risposta attraverso il meccanismo ell’inflazione.

evole per la formazione delle strutture cosmiche attraverso il loro collasso gravitazionale, a partire dalle perturbazioni evidenziate nel fondo a microonde (CMB). Ricordiamo peraltro i problemi della piattezza e dell’orizzonte (+ quello dei monopoli) cuabbiamo già accennato e che non trovano soluzione nel modello standard di evoluzione cosmica, ma ctrd

- 78 -


LAl momento attuale, in attesa di una teoria quantistica defeno

’EPOCA DI PLANCK

lla gravitazione, le speculazioni a ritroso nel tempo si rmano all’epoca in cui la gravitazione diventa “forte” e n può essere trascurata rispetto alle altre interazioni.

1. Elettromagnetismo 137/1/2=α ≈ce hem

2. Interazioni deboli 30/1/ 2 ≈≅ WemW sen θαα

3. Interazioni forti 2

0ad12.0)/ln(/73.0~ cMEEZQCDs =≈Λα

n Λco QCD ~ 200 MeV (MZ° c2 ~ 90 GeV)

4. Gravitazione 392 106/ −×≈= cGm hα ma m=E/c2 pG

25

52 ~~se1/2

1

cMGcEEcGE PlPlG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≈=

hhα

1/αi

60 40 20

Log E

3/8⋅1/αem

1/αW

1/αs

EGUT~1016GeV

1/αG

- 79 -


EPl ≈ 2×1016 0-5 g. Dalle erg ≈ 1.2×1019 GeV; M ≈ 2×1Pl clttE /~e ∆≈∆⋅∆relazioni h , l’energia di Planck

EPl corrisponde ad una scala (lunghezza di Planck)

cmcG

EclPl

333 106.1~~~

21

−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ hh

Pl

e a d un tempo di Planck

scG

c ⎝

lt Pl

Pl ~~ ⎜⎛ 44

5 105~2

1

−×⎟⎠⎞h

Possiamo quindi andare a ritroso nel tempo fino alla energia E l, quando l’età dell’universo era t ~ tPl (epoca di P Pl, la densità era

Planck), l’orizzonte delle particelle era ~ l

3932

5

2 105~~1~ −× cmgGc

GtPlPl

hρ

e la massa entro l’orizzonte era MH ~ ρPl lPl3 ~ MPl.

Secondo alcuni sviluppi della teoria delle stringhe lPl potrebbe essere la scala minima dell’universo a causa di una dualità tra scale piccole e grandi r→1/r ed esisterebbe una storia pre-big bang dell’universo.

http://www.to.infn.it/~gasperin/

- 80 -


TERMODINAMICA DELL’UNIVERSO PRIMORDIALE

Risalendo nel tempo T e ρ crescono e ci si aspetta che le particelle raggiungano l’equilibrio termodinamico attra- veso rapide interazioni. Il rate di interazione Γ=nσv

on la temperatura, del rate di cresce più rapidamente, cespansione H, per cui Γ » H a T elevate. Questo significa che, per quanto riguarda le interazioni, l’espansione è quasi-statica e c’è il tempo perchè l’universo si riaggiusti continuamente in condizioni di equilibrio termodinamico. Questo permette una trattazione molto semplice delle funzioni di distribuzione delle particelle.

In eq. termodinamico la densità numerica n di particelle di una specie, con quantità di moto tra p e p+dp è

12 32

2

±=

dppgdn −

kTE

eµπ h

dove E2=p2c2+m2c4, µ è il potenziale chimico e g è il numero di stati di spin per la specie (g=1 se m=0,s=0; g=2 se m=0, s≠0; g=2s+1 se m≠0; gγ=2, ge=2, ma gν=1 perchè ∃ solo neutrini left handed); il segno + o – corrisponde a fermioni (f) e bosoni (b). Per varie ragioni si pone µ=0 (fermioni non degeneri).

I fotoni: distribuzione planckiana con Tγ(t); se una specie A è in eq. con i fotoni (ΓAγ » H), TA=Tγ e lo stesso per tutte le specie in equilibrio; Tγ ≡ T universo.

- 81 -


• 2 2 2 2Caso ultra-relativistico: kT » mic ; E ~ p c

∫∫∞∞

⎜⎛≅

2i kTgdpp

±⎠⎝± 02

0/32 1212 ukTpci ece hh ππ

Per i fotoni (g

⎟⎞≅

23i duugn

ϒ = 2) 3

2 )3(2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ckTnh

ζπγ

e per bosoni e fermioni

)(2

)3(33

2, TnTTg

ckTgn iiii

ib γζπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=h

)(83)3(

43 33

2, TnTTg

ckTgn i

iii

if γζπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=h

Per quanto riguarda la densità di energia

( )∫∫∞∞

±≅

±≅

0

3

332

4

0/

3

322

1212 ui

kTpci

i eduu

ckTg

edppcgc

hh ππρ

ζ(x): funz. Zeta di Riemann ζ(3)=1.202 ζ(4)=π4/90=1.082

(+)fermioni =3/2⋅ζ(3)

(-)bosoni =2⋅ζ(3)

Cost. d Stefan-Boltzmann i (-)bosoni (+)fermioni =7/8⋅6⋅ζ(4)

=6⋅ζ(4)

4315

33

105659.715

−−−×=

=

Kcmergc

ah

42kπ

- 82 -


Abbiamo: 4

1672

,4

212

, iiifiiib aTgcaTgc == ρρ

kTkTEkTkTEfb

15.3)3(180ζ

770.230

44

====ππ

)3(ζ

Pres ρi c2 sione P =: i 1/3

• Caso non relativistico: kT<<mic2; E~mic2+p2/2m eE/kT » 1 ⇒ non ∃ differenza tra fermioni e bosoni.

∫

∫∞

−−

∞ −−

≅

≅≅

0

232

22

22

2

23

22

)(2

dueuekTmg

dpeepgn

ui

i

i

kTcm

ii

kTmp

kTcm

i

hπ

0322ihπ

( ) 22

2)(2

7

21

23 π

=Γ

= per cui si ha:

kTcm

iii

i

ekTmg

n2

23

23

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅

πh

Notiamo il taglio esponenziale per kT<mic2. Analogamente si ha

2

2~ cmn ii2322

ckTnP

kTncmnc

iii

iiii

ρ

ρ

<<≅

+≅

- 83 -


• conto del fatto che il contributo alla ρc2 Se teniamototale (come pure alla P totale) delle specie non relativistiche è trascurabile, si può ben approssimare

44444 344444 21)(*

,

4

,87

44

2122

Tg

TTg

TTgaTcc

relfi

ii

relbi

iiR

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=≅ ∑∑

==

ρρ

dove g*(T) è il numero efficace di gradi di libertà delle particelle relativistiche, cioè con m ci 2<<kT.

Per kT<<1 MeV le sole specie relativistiche sono i fotoni e le tre famiglie di neutrini (se mν ~ 0); poichè Tν=(4/11)1/3Tγ , g*=2+7/8⋅2⋅3⋅(4/11)4/3=3.36 (2=ν +⎯ν, 3=Nν). Per 1 MeV≤ kT≤ 100 MeV entrano anche +ed e- ee Tν=Tγ , g*=43/4=10.75. Sopra i 300 GeV tutte le particelle previste dal modello standard dovrebbero essere state relativistiche e g*=474/4=106.75. A nergie superiori ad EEW ~ MWc2 ~ 100 GeV (scala della

debole) g* dipende dalla teoria adottata erottura elettro(ad esempio, nel modello minimale SU(5) di GUT, per kT > EGUT ~1016GeV , g* ~ 160).

Nei modelli supersimmetrici ad ogni particella g* circa sa minore

s, allora ci può essere qualche cambiamento nel grafico seguente che rappresenta l’andamento di g* in funzione della temperatura per il modello standard della fisica delle particelle.

corrisponde un partner supersimmetrico eraddoppia. Se alcune sparticelle hanno masdel bosone di Higg

- 84 -


• Scala dei tempi: Nell’epoca RD l’universo è ~ EdS,

per cui ρ=3/(32π G t2), E ~ 3kT, ρ =ρR e

( )22/1*

2/1*

5 4.2102.2(sec)MeVGeV kTgEg

t ≈×

≈−

2

• Equilibrio termodinamico: Si trova che l’universo è in equilibrio termodinamico per

1 MeV ≤ kT ≤ 1016GeV (~EGUT)

All’energia di ~ 1 MeV i neutrini cessano di interagire con materia e radiazione, cioè si disaccoppiano. In realtà l’equilibrio termodinamico tra fotoni, elettroni e protoni si mantiene fino a z~107 per effetto delle transizioni free-free e doppio scattering Thomson che possono sia creare che distuggere fotoni. Per z<107 lo

- 85 -


scattering Thomson mantiene il numero di fotoni e conserva la distribuzione di corpo nero dei fotoni. Si può anche verificare che il cammino libero medio delle particelle è molto maggiore della loro mutua distanza media ⇒ gas perfetto.

ENTROPIA • In eq. termodinamico l’entropia S in un elemento di

volume co-movente si conserva durante l’espansione (in assenza di eventi che producono entropia, come transizioni di fase e decadimeto di particelle). S si può scrivere come

T PcaS )( 23 +

=ρ

• Si definisce la densità di entropia s

TPc

VSs +

=≡2ρ

Questa è dominata dal contributo delle particelle relativistiche, per cui sarà, con buona approssimazione, per ogni speci 2 c2 T=4ρic2/3T, e il contributo totale diventa

e relativistica si=(ρic +1/3⋅ρi )/

3

*

2

*

, ,,

333 )(

452

)(

87

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑

= ckTTgk

Tg

TTg

TTgaT S

S

relbi relfi

ii

ii

h44444 344444 21

π=s

- 86 -


• Notiamo che se Ti ≡ T per tutte le particelle relativistiche, come accade per buona parte della storia dell’universo primordiale, allora g*=g*S (vedi figura sopra).

• proporzionale ad nγ; si ha infatti Notiamo anche che s è

γζπ nTgkks S )(

)3(45 *

4

= γnTg S 8.1)(* =

Oggi (kT≤ 1 MeV) g*S=2+7/8⋅2⋅3⋅4/11=3.909 e

γnks ⋅≅ 04.7

So * *S *S

nγ non possono essere sempre usati in modo intercambiabile!

pra ~ 1 MeV : g ≈ g N.B.: g è funzione di T ⇒ s ed

• La conservazione di S implica s ∝ a-3, ed anche che

costan33* =⋅⋅ aTg S te

mentre l’universo si espande. • Poichè s ∝ a-3, la dimensione fisica di un volume co-

movente ∝ a3∝ s-1. Il numero N di particelle di una specie in un volume co-movente , N ≡ n⋅a3, è uguale (in realtà proporzionale) a n/s: Ni ≡ ni/s. Se le particelle non vengono nè create nè distrutte, allora Ni ≡ ni/s=cost.

• Il numero di barioni (differenza tra barioni ed antibarioni) in un volume co-movente è

snn

sn bbB −

≡

- 87 -


Fintanto che le interazioni che non conservano il numero rionico (se esistono!) avvengono molto lentamente, ba

nB/s è conservato. • Tuttavia il rapporto barioni-fotoni η, un parametro

importante nella nucleosintesi cosmologica,

snTgk

nn B

SB ⋅=≡ )(8.1 *γ

η

non rimane costante perchè g è funzione di T. M*S a dopo la annichilazione di e+ ed e- (~ 0.5 MeV) g*S è costante (=3.909) e η ≈ 7.04 k n B sono intercambiabili. /s e nB/sCome vedremo, la nucleosintesi primordiale richiede un valore di η ≈ 5×10-10, e nel nostro universo ci sono quindi oggi circa 109 fotoni per ogni barione. Anche l’entropia per barione, s/nB=7.04 k/η ≈ 7×1010 k/η , è elevati ssima (η10≡η /10-10)

• e

10

Il fatto che S = cost. implica ch1

*3

1 −− ⋅∝ agT S

Se g*S è costante T ∝ a-1. Il fattore g*S-1/3 entra in gioco

perchè quando una particella diventa non-relativistica e sparisce (l’annichilazione è sempre meno compensata dalla creazione di coppie), la sua entropia è trasferita alle altre particelle relativistiche presenti, e T decresce più lentamente.

• Se una perticella ultra-relativistica si disaccoppia al tempo t=tD, quando T=TD e a=aD, non beneficia dello

- 88 -


scambio di entropia dovuto all’annichilazione (a T<TD) delle altre specie. Dopo il disaccoppiamento p∝ 1/a ⇒ p=(aD/a)pD e (se la particella è stabile) n=(aD/a)3nD; poichè p∝ 1/a, n sarà

∫⋅

∞

⎟⎠

⎜⎝

=0

32

12

apa

kTc

DDDiDD

ea

nhπ

⎞⎛ 23 dppag

±che fornisce la corretta dipendenza da a se T=(aD/a)TD. La funzione di distribuzione mantiene la sua forma, ma con una T∝ a-1 invece della T∝ g*S

-1/3a-1 che vale per il resto delle particelle ancora accoppiate. (Se la particella - ad esempio un neutrino “leggero”-diviene alla fine non relativistica, la sua distribuzione dei momenti mantiene la sua forma, con T∝ a-1). Questo spiega anche perchè i fotoni del CMB, dopo l’ lt mo sca teru i t ing (a z ≈ 1100) e quindi ormai disaccop-

uilibrio termodinamico, ls

piati dai barioni e non più in eqmantengono lo spettro di corpo nero.

NEUTRINI • Abbiamo già detto che per E~1Mev i neutrini (ν) si

disaccoppiano dalle altre particelle quando a=aν e quindi, mentre prima Tν=Tγ , sotto questa energia Tν =Tγ(aν)aν /a. Ma poco sotto questa energia, a E~0.5Mev (a=ae), elettroni e positroni si annichilano, e la loro entropia va ai fotoni, ma non ai neutrini ormai disaccoppiati. Per le particelle ancora accoppiate (e+, e- e γ per a < ae, γ soli

- 89 -


per a > ae) si conserva l’entropia (g*S T 3a 3 = cost.) e, indicando con a-, T- ed a+, T+ i valori subito prima e subito dopo l’annichilazione, avremo (a

+ ≈ ae ≈ a-):

333333* 2)22

872( ++−− =⋅⋅+= aTaTaTg S

prima dopo

γ e++e- gi γ

da cui

γ

ν

TT=⎟

⎠⎜⎝

=+

−

11

TT ⎞⎛314

Poichè dopo ae entrambe le temperature scalano come 1/a, il rapporto tra Tν e Tγ si mantiene inalterato nel tempo e se

.73 K, Tν0=1.95 K.

In realtà, la temperatura

Tγ0=2

non sale bruscamente, ma decresce più lentamente di 1/a finchè non termina l’annichilazione di e+ e e- (vedi linea punteggiata)

Tγ

Tν

log

T

T+

T-

log a aν ae

- 90 -


Per l’odierno CMB risulta: •

34

03440 1067.4 −− ⎟

⎞⎜⎛

⋅== cmgTTa γγρ 20 ⎟

⎠⎜⎝cγ 73.2

33

03

00*

0

73.22934)(

452 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cm

Tc

TkTg

ks

Sγγ

γπ

h

33

03

020nγ 73.2

417)3(2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cm

Tc

Tk γγζπ h

• Per ogni famiglia di neutrini, contando ν e ν ,

γg

113

=⎟⎟⎠

⎞

γ

ν

TT

221

43

3

⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅=+

γ

νν

nn

33

0 −⎟⎟⎞

cmγ

0, 73.2114+ ⎜⎜

⎝

⎛=

Tn νν

• Possiamo stimare allora il contributo dei neutrini alla materia oscura no barionifamiglie di neutrini:

⎠

ca Ωn νh2 per Nν (Nν=3)

∑=

⎟⎟⎞

⎜⎛ νim

⎠⎜⎝

=Ων

ν

N

i ceVh

12

2

1011.0

νg νν +

- 91 -


• Vediamo che per mνi ≈ 10 eV/c2 il contributo neutrinico alla materia oscura non barionica potrebbe essere significativo. In realtà i dati del CMB e della struttura a grande scala forniscono Ων h2<0.0076 (95% c.l.) che, dalla relazione precedente, fornisce

7.011

2 <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

νν

N

i

i

ceVm

• Se consideriamo, per un momento, i neutrini privi di massa, possiamo scrivere:

⎥⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛⋅+=

4471ρρ N⎦⎢⎣ ⎠⎝

3

00 118 νγR

Questo permette, assieme alla ρM0=ΩM ρ0cr, di stimare

242

0

0 1⋅ 04.2239001 hhz MMR

Meq Ω≅Ω==+

ρρ

( ) KzTT eqeq4

0 105.61 ⋅≅+= γ che, per neutrini relativistici, corrisponde ad un’energia media Eν = 3kTν = 3kTγ (Tν /Tγ ) ≈ 11 ΩM h2 ≈ 2 eV (se

valenza sono ancora relativistici e il valore di zeq resta invariato.

ΩM = 0.3 e h = 0.7). Questo significa che, se i neutrini hanno masse minori di 2 eV/c2 (come peraltro sembra), all’epoca dell’equi

- 92 -


(RI)COMBINAZIONE E DISACCOPPIAMENTO DEI FOTONI

Ad un certo momento della storia cosmica protoni ed elettroni si (ri)combinano, quindi la densità numerica ne degli elettroni cala bruscamente ed il rate di interazione tra fotoni ed elettroni Γγ ≡ neσTc diventa ≈ H, (σT è la sezione d’urto - σT=6.65×10-25cm2 - dello scattering

ering. L’equilibrio di ionizzazione tra elettroni (e), protoni (p) e atomi di idrogeno (H) è regolato dall’equazione di Saha

Thomson) per cui i fotoni si disaccoppiano dalla materia, subendo il loro ultimo scatt

kTBe

epep ggnn 22 ⎠⎝ hπ HH ekTmgn 23

⎟⎞

⎜⎛=

dove ge=gp=2, gH=4, me è la massa dell’elettrone e B è il potenziale di ionizzazione dell’atomo di idrogeno (13.6 eV se assumo che tutti gli atomi siano nel livello fondamentale).

Definisco Xe≡np/(np+nH) ionizzazione frazionaria, esprimo nγ in funzione di T, ricordo che η ≡ n c

B/nγ = ostante=2.7×10-8Ωbh2, nB = np+nH = ρ0b/mp, mp massa

protone, ρ0b=Ωb ρ0cr, e riscrivo l’eq. di Saha:

kTB

ee

e ecm

kTX

X 241−23

22 )3( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= η

π

con T=Tγ0(1+z).

ζ

- 93 -


And h2 amento di Xe per vari valori diΩb

Come si vede, al crescere di Ωb h2 le curve si spostano ve

Seric

rso valori maggiori di z.

prendiamo Xe=0.1 come riferimento per la ombinazione si ottiene:

( ) 1380124013801 −≈Ω≅+ z bric

ricombinazione non avviene però in modo completo rchè ad un certo punto Γ

023.02h

Lape rec ≈ H e questa si congela, la n stimare a che z questo succede confrontiamo H(z)≈H0ΩM

1/2(1+z)3/2 con il rate di ricombinazione Γrec=ne<σfbv> dove <σfbv> è il prodotto della sezione d’urto free-boundvelocità degli elettroni, mediato su una distribuzione

sciando u a piccola ionizzazione residua. Per

per la

- 94 -


Maxwelliana di velocità per questi ultimo e tiene conto della ricombinazione a tutti i livelli n dell’atomo di idrogeno. Si ottiene

dtt

eTn

evkTB

tkTB

nfb

n

n

∫∞ −

−×=⟩⟨ 2336

, 10262.3σ

dove Bn è il potenziale di ionizzazione dal livello n. Una utile approssimazione per la somma su tutti i livelli è (caso A)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×≈⟩⟨= −−∑ 312114

, 469.0ln214288.010197.5)( λλλσα

nnfbA vT

T/10579.1 5×≡λ

Ma le ricombinazioni al livello fondamentale producono l’emissione di un fotone in grado di ionizzare a sua volta

(caso B). Perciò useremo altri atomi, per cui quelle che contano veramente sono le ricombinazioni ai livelli n>1

⟩⟨−= vTT fbAB 1,)()( σαα

Γ αe rec= ne B(T). Usando hXmXnXn bepbeBee +Ω××=== −ρ

a

( )325 11013.1/ z

si ottengono le curve della figura seguente, dalle quali si vede che la ricombinazione può procedere quasi fino alla fine, con un zcong tra 950 e 1050. Rimane una ionizzazione residua (con i soliti par metri)

42

25 104102 −− ×≈

ΩΩ

×≈hh

X Mcong

b

- 95 -


H Γrec

Per stimare il redshift zdec al quale i fotoni cessano di interagire con la materia dovremo porre Γγ ≡ neσTc ≈ H. Il risultato è mostrato nella figura seguente, dove si vede che 1+zdec≈1100.

H

Γdec

- 96 -


Notiamo che il disaccoppiamento dei fotoni dalla materia non corrisponde al disaccoppiamento della materia dai fotoni, perché questo è definito dalla condizione

zΓmat ≡

nγσTc ≈ H che corrisponde a 0-300 (gli elettroni presenti per la ionizzazione residua interagiscono con i protoni e, tramite urti, anche con gli atomi di H neutro).

Un calcolo più dettagliato del processo di ricombinazione mostra che la Xe(z) risulta maggiore di quanto stimato dall’equazione di Saha. Un’approssimazione, valida per 800<z<1200, è data dalla relazione2

≅20

( ) 75.12

2

2123

1000 ⎠⎝Ω hb

In base a questa relazione si vede che, in realtà, X

104.2)( ⎟⎞

⎜⎛Ω

×≅ − zhzX Me

.

Un altro modo per valutare l’epoca del disaccoppiamento

ottica τ al variare di è il valore di aspettativa di τ σTcdt avremo:

e=0.1 per 1+zric=1077 se Ωbh2=0.0224 e ΩMh2=0.135, come suggerito da WMAP

tra fotoni e materia consiste nel valutare la profondità z: τ=1

per i fotoni che ci arrivano. Poiché dτ=ne

dzzEHz

czndzdzdtcznz

z

Te

z

Te )()1(1)()()(

000 +== ∫∫ σστ

Il contributo sostanziale all’integrale viene dall’intervallo in cui vale l’approssimazione per Xe(z) riportata sopra, in cui anche E(z)≈ΩM

1/2(1+z)3/2. In questo caso la dipendenza dai parametri cosmologici si semplifica e si

2 Jones e Wyse, 1985, A&A 149,144

- 97 -


ha la semplice relazione 25.14

100037.0)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≅

zzτ

dalla quale si vede che τ=1 corrisponde a z=1072. La probabilità di ricevere un fotone dalla profondità ottica τ è pari a e-τ; alla probabilità di ricevere un fotone che arriva dall’intervallo tra τ e τ+dτ corrisponde una probabilità di arrivare dall’intervallo tra z e z+dz:

dzdezgdzzgde ττ ττ −− =⇒= )()(

dove g(z) è la distribuzione di probabilità in z dell’ultimo scattering. Con l’approssimazione scritta sopra

⎥⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛−⎟

⎞⎝⎛×= −

25.1425.133 37.0exp1026.5)( zzzg

⎦⎢⎣ ⎠⎝⎠⎜

10001000

che ha un massimo per z=1067. Il 68% di probabilità è compreso in un ∆z ≈ 170 attorno al massimo, per cui vediamo che l’evento ultimo scattering non è istantaneo e non corrisponde ad un unico redshift.Possiamo stimare l’età dell’universo all’epoca dell’ultimo scattering, assunto qui pari a 1+zls=1067, usando la relazione esatta che mi fornisce il tempo in un universo con materia e radiazione, già vista sopra. Per h=0.71, ΩM=0.27, con i valori di Ωγ visti prima e tre neutrini non massicci, fornisce

tls ≅ 3.9×105anni

- 98 -


Distribuzione di probabilità in z dell’ultimo scattering

NUCLEOSINTESI COSMOLOGICA (BIG BANG NUCLEOSYNTHESIS BBN)

Quando kT ≥ 1 MeV, reazioni come

eee epnpenepn ννν ++↔+↔++↔+ −+− che scambiano neutroni n in protoni p e viceversa, sono veloci rispetto all’espansione, i neutrini non sono disaccoppiati e vi è equilibrio termodinamico; neutroni e protoni, sotto il GeV, sono non relativistici ed il rapporto delle loro densità numeriche nn ed np è dato dalla

Tkcmmcmm

npnpnmnr

22 )()(23 −

−−

−⎞⎜⎜⎛

=≡ Tkn

p

eemn

≅⎟⎟⎠⎝

dove mn ed mp sono le masse di neutrone e protone, e p

- 99 -


(mn-mp) scambiano tra loro n e p è (con GF costante di accoppiamento debole di Fermi) :

Se lo confrontiamo con H=1/2t (EdS nella fase RD), dove (vedi sopra),

c2=1.293 MeV. Il rate delle interazioni che

515)(2 TGskT FMeVpn ∝≅Γ −↔

221* )(4.2(sec) −−≈ MeVkTgt

in cui g* ≈ 10, vediamo che Γn↔p ≈ H per kTDν ≈ 0.7 MeV. I neutrini si disaccoppiano e le reazioni sopra elencate non possono più avvenire. Siamo a tDν ≈ 1.5 sec. Il rapporto tra neutroni e protoni si “congela” ad un valore

r0=nn/np ≅ exp(-1.293/0.7) ≅ 0.16. L’un del ica reazione possibile resta il decadimento β neutro sec.

a, oltre a decadere, i neutroni possono combinarsi con i verso reazioni veloci

come

ne, con un tempo di vita media τn=885.7±0.8Mprotoni e arrivare a formare 4He attra

p+n ↔ 2H+γ 2H+n → 3H+γ 3H+p → 4He+γ

2H+p → 3He+γ 3He+n → 4He+γ

Il processo chiave è la formazione del deuterio 2H, che ha un’energia di legame BD=2.23MeV. A causa dell’elevato numero dei fotoni rispetto ai barioni la coda ad alta energia della distribuzione dei fotoni dissocia subito il deuterio che si forma, e questo fino a che il numero dei fotoni dissocianti nγ

diss non diventa comparabile con quello dei barioni, nB. Avremo

- 100 -


γ

γγ

γ

γγ

η nn

nn

nn

nn diss

B

diss

B

diss

⋅=⋅=1

con 3

2 )3( ⎟⎠

⎜⎝

=c

nh

ζπγ

La densità dei foto

2 ⎞⎛ kT

ni dissocianti si otterà ponendo p=E/c nella relazione che esprime la densità dei fotoni ponendo B come limite inferiore nell’integrazione: D

( )kTBD

BkTE

diss D

D

ekTB

edEE

cn /

22

32 122 −

∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

−= ∫hπγ

nell’intervallo di interesse, essendo E/kT > BD/kT » 1. Per 1<η10< ≈ 0.1 MeV, 10 risulta nγ

diss/ nB ≈ 1 per kT T≈109K. A quest’epoca il deuterio non viene più distrutto dai fotoni e, rapidamente, avvengono le reaz oni che iportano alla formazione dell’4He: è questa l’epoca della BBN. L’universo ha un’età di circa (g*=3.36 a kT=0.1 MeV)

sg ).0(4.2 21*≈ −tBBN (sec) MeV1 2− 150≈

Cioè di circa tre minuti. Tra l’epoca del “congelamento”, tDν ≈ 1.5 sec, e tBBN i neutroni decadono in protoni e, da r0 ≈ 0.16, si passa a

( ) 13.010,0,

0, ≅−+

≅ −

−

nBBN

nBBN

tnp

tn

BBN ennen

r τ

τ

Superata la strozzatura del deuterio, in pratica tutti i neutroni che non sono decaduti finiscono incorporati nei

- 101 -


nuclei di 4He. Poiché occorrono due neutroni per ogni nucleo di 4He e questo ha peso atomico 4, l’abbondanza

, YBBN, di 4He è in massa

( )npn

nBBN nnn

nliberiprotonimassaHemassa

HemassaY−⋅+⋅

⋅=

+≡

12424

4

4

23.012

≈+

=BBN

BBNBBN r

rY

Il calcolo dettagliato, molto più complesso, fornisce valori simili, in accordo con i dati sperimentali che suggeriscono Yoss ≅ 0.24. I parametri fisici che determinano YBBN sono tre:

1. la temperatura TDν alla quale il rapporto nn/np si “congela”, legata alla condizione Γn↔p ≈ H. Ma H dipende da g*=2+7/8[4+2Nν], quindi da Nν

2. il tempo di vita media del neutrone τn 3. il rapporto barioni fotoni η≡ nB/nγ=2.7×10-8Ωbh2, che

determina tBBN A causa del grande valore di τn rispetto a tBBN, YBBN dipende poco da η, mentre è più sensibile al valore di g* a tDν e quindi a Nν. Si ottiene ∆YBBN ≅ 0.013 ∆Nν. Se Nν

rB

d N, cioè Nν = 3 ± 1, ha rappresentato il miglior vincolo sul numero di famiglie di neutrini. Poi, con il EP, dallo

0

cresce, cresce pure TDν e di conseguenza crescono r0, BN ed YBBN (YBBN→1 se Nν→∞). Per una decina d’anni, dal 1980 al 1991, il limite sperimentale erivato dalla BB

Lstudio del decadimento dello Z , si è trovato che il numero di famiglie di neutrini è Nν =2.993±0.011.

- 102 -


abbondanze di Le

dapiùed le più stretta rappresenta i limiti su Ωbh2derivati dal CMB.

4He (assumendo Nν=3), deuterio D,3He e 7Li predette lla BBN in funzione di η10. I box indicano le abbondanze osservate (box piccoli: errori statistici a 2σ; box più grandi: errori statistici a ± 2σ

errori sistematici, sommati in quadratura). La fascia vertica

- 103 -


Anche se l’effetto principale della BBN è la produzione di elio, rimangono tracce di 3He e 2H (congelati quando il rate delle reazioni che li producono diventa minore di H), al livello di 10-4-10-5 in numero rispetto all’idrogeno. In questo caso le abbondanze sono molto più sensibili al valore di η di quanto non lo sia YBBN. Attraverso processi come

4He+3H↔ 7Li+γ 4He+3He↔ 7Be+γ 7Be+γ↔ 7Li+p si produce anche una quantità di 7Li≈10-10-10-9 in numero rispetto all’idrogeno. Anche in questo caso l’abbondanze è molto più sensibile al valore di η di quanto non lo sia YBBN. La quantità di elementi più pesanti che viene prodotta è del tutto trascurabile a causa della mancanza di elementi stabili con numero atomico di massa A=5 e 8, che servirebbero come passi intermedi. Inoltre, per nuclei con più di tre protoni, la barriera colombiana è troppo elevata per essere superata alla temperatura della BBN. Bisogna aspettare la nucleosintesi nel centro delle stelle per arrivare a produrre C, N, O, Fe e tutti gli altri elementi. Ma la nucleosintesi stellare, oltre a produrre elementi pesanti, può alterare le abbondanze degli elementi prodotti nella BBN. Per questo si cercano oggetti con basse abbondanze di elementi pesanti, quindi più antichi, che dovrebbero avere abbondanze degli elementi leggeri più prossime a quelle primordiali. Poiché non sembrano esserci processi astrofisici che producono deuterio, mentre l’evoluzione stellare tende a distruggerlo, i valori misurati della sua abbondanza

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forniscono un limite inferiore su D/H (superiore su η). Le stime derivate dal mezzo interstellare locale forniscono un limite inferiore D/H=(1.5±0.1)×10-5. Il deuterio è stato osservato anche nelle righe di assorbimento dei quasar, quindi a distanze cosmologiche. Le misur derivate da questi sisteme i in assorbimento fornisono D/H=(3.0±0.4)×10-5. Un limite superiore a

p er one n D/H si uò otten e dalla non detezi del deuterio in usistema in assorbimento ad alto redshift: D/H<6.7×10-5 ad 1σ. L’4He si osserva nelle nubi di idrogeno ionizzati (HII), e quelle più povere di metalli sono nelle galassie nane. La stima che si ottiene per la Y primordiale, estrapolando a metallicità zero, è: YP=0.238±0.002±0.005 (sono indicati gli errori statistici e sistematici). Altre stime danno valori consistenti entro gli errori. I sistemi migliori per osservare il litio sono le stelle povere di metalli (Pop II) presenti nello sferoide della nostra galassia, che hanno metallicità 10-4-10-5 volte quella solare. Estrapolando anche qui le osservazioni a metallicità zero si ottiene il valore di Li/H primordiale: Li/H|P=(1.23±0.06)×10-10. Anche altre stime sono presenti in letteratura acausa di incertezze sistematiche. Tenendone conto si può ragionevolmente porre Li/H|P=(0.59-4.1)×10-10. L’3He è osservabile solo nel sistema solare e nelle regioni HII ad elevata metallicità della nostra galassia. Questo, unito ad incertezze teoriche sulla produzione di 3He nelle stelle, suggerisce di non usarlo come indicatore per la

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BBN. Se assumiamo che Nν =3, l’unico parametro libero è η (o η10). Ogni misura di abbondanza determina η, per cui dobbiamo cercare la consistenza tra le abbondanze dei vari elementi visti sopra. Se esaminiamo la figura, tenendo conto sia degli errori statistici che di quelli sistematici, troviamo un accordo accettabile per

3.4 ≤ η10 ≤ 6.9 (95% C.L.) Ma l’accordo è meno buono se consideriamo solamente

4 7gli errori statistici: He e Li sono consistenti, ma forniscono un valore di η10 discordante a 2σ da quello del deuterio. Tuttavia è rimarchevole il fatto che, usando processi fisici ben noti, si riesce a risalire ad eventi accaduti nei primi tre minuti di via dell’universo. Noto nγ , da η si può derivare Ωbh2:

0.012 ≤ Ωb h2 ≤ 0.025 (95% C.L.) Si ottengono così dei limiti su uno dei parametri cosmologici fondamentali. Ma una stima indipendente di η si può ottenere anche dal CMB, in base all’ampiezza dei picchi presenti nello spettro di potenza angolare. I risultati dipendono dalle assunzioni a priori che si fanno sullo spettro di potenza delle perturbazion co ii sm che in densità. Lasciando libero di variare l’indice spettrale, da WMAP si ottiene

Ωb h2=0.0224±0.0009 o η10=6.14±0.25 Queste stime non sono inconsistenti con quelle dedotte

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dalla BBN, specialmente per quello che riguarda il

ione nella cosmologia del Big Bang.

0 in coppie ν⎯ν, il cui rate rini ⇒ Z0 decade più

velocemente). Con la numero di

se molto maggiori del MeV, il

ν nuto dal LEP “st li”, interagendo molto più

deuterio. Se si considerano però solamente gli errori statistici, 4He e 7Li sono inconsistenti con il CMB, come pure con il deuterio. Resta da chiarire se questa discrepanza è dovuta ad errori sistematici nelle misure delle abbondanze e/o ad incertezze nell’astrofisica stellare, oppure a “nuova fisica” oltre il Modello Standard della fisica delle particelle. Anche dopo l i da st ma i N con il LEPν , la BBN rappresenta ancora un vincolo efficace per le speculazioni sulla fisica delle particelle oltre il Modello Standard. E rappresenta anche il confine tra sicurezza ed estrapolazOsserviamo che le stime di Nν ottenute dal LEP e dalla BBN non sono esattamente la stessa cosa. Al LEP si è misurato il decadimento dello Zè Γ ∝ GF MZ

3 Nν (più specie di neutBBN misuro g*, cioè il

specie di particelle che sono relativistiche ad un’energia di circa 1 MeV. Se fossero esistite altre famiglie di neutrini “pesanti”, con masLEP le avrebbe viste, ma non la BBN. Ma supponiamo che esistano delle particelle che interagiscono in modo più debole delle interazioni deboli, ad esempio dei neutrini “sterili” con interazioni solo di tipo right-handed di intensità GR<GF. Lo Z0 decadrebbe ancora allo stesso modo, confermando l’N otte

. Ma questi neutrini eridebolmente, si disaccoppiano ad una temperatura TDs più

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elevata della TDν∼1MeV dei neutrini normali. Se, tra TDs e TDν , altre specie di particelle si annichilano (come e+ ed e- dopo il disaccoppiamento dei neutrini) la Tγ sale rispetto alla TS dei neutrini “sterili”, e l’effetto di queste particelle su g* è ridotto di un fattore (TD/Tγ )4. Più elevata è TDν , più specie non standard sono consentite dai vincoli su g* (equivalenti ai vincoli su Nν) della BBN.

BARIOGENESI PRIMORDIALE Il quadro finora descritto ci lascia, tuttavia, con il problema dell’origine del numero barionico e leptonico netto, cioè del perché vi siano più quark che antiquark,

ateria su scale

più elettroni che positroni. Sappiamo che il sistema solare è fatto di materia e non di antimateria. La piccolissima proporzione (∼10-4) di antimateria nei raggi cosmici, la mancata osservazione dei raggi X che dovrebbero essere prodotti se l’annichilazione di materia ed antimateria fosse una cosa comune nelle collisioni tra stelle, nubi di gas e galassie, assieme alla mancanza di un meccanismo convincente in grado di separare materia e antimcosmiche, tutto suggerisce che l’universo sia fatto solo di materia. Se nell’universo primordiale il numero di quark ed antiquark fosse stato perfettamente uguale, considerando che quando il rate di annichilazione Γann ∼ H il processo si congela, ci si aspetterebbe un valore di

η ≡ n B/nγ = n⎯B/nγ ≈ 10-18 invece di η ≈ 10-9 » n⎯B/nγ

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e ancora con il problema di separare barioni e antibarioni! A meno di non assumere che l’asimmetria sia nata con l’universo, è necessario spiegarne l’origine. Ma per farlo occorre andare oltre il modello standard della Fisica delle Particelle. Le Teorie di Grande Unificazione (Grand Unified Theories, GUT) prevedono che numero barionico e leptonico non siano perfettamente conservati. Questo potrebbe portare ad un eccesso di barioni purchè esistano reazioni per le quali siano verificate le seguenti condizioni (messe in evidenza già da Sakharov nel 1967):

1. Il numero barionico B e quello leptonico L non si conservano

2. Le invarianze C e CP vengono violate 3

3. Non siamo in condizioni di equilibrio termodinamico La condizione 1 è ovviamente necessaria se vogliamo passare da uno stato con B=0 e L=0 ad uno con B≠0, L≠0. L’operatore C cambia nq→ n⎯q , per cui se C è conservato dovremo avere nq= n⎯q nel sistema, e quindi B=0 (L=0). Poiché l’operatore P lascia immutati sia nq

3 Il coniugio di carica (Charge conjugation) C è l’operazione che cambia una particella con la sua antiparticella [es.: C(π+)=π−]. L’operazione di parità (

nserva nelle interazParity) P è una riflessione di tutte le coordinate attraverso l’origine [es.: P(r) =− r; la parità non

si co ioni deboli]. L’operazione di inversione temporale (Time reversal) T consiste nello scambiare il tempo t in –t; un processo

riante rispetto a T è un processo reversibile, come quelli descritti dalle equazioni di Newton, che contengono solo vate seconde rispetto al tempo. Nella meccanica quantistica l’applicazione dell’invarianza T ha conseguenze più ili. ste operazioni possono essere combinate tra loro. Così si può parlare di invarianza CP; questa viene violata, ad pio, nel decadimento dei mesoni K

invaderisottQueesemUn Lor all’operazione combinata CPT, con particella per ogni particella e l’uguagli t m ti cc. ar l ria T si mante , iolacomplementare. Se, ad esempio, dovrà esserlo, e viceversa.

0 e⎯K0. teorema importante nella teoria quantistica dei campi, che vale in condizioni abbastanza generali (invarianza di entz e causalità microscopica), afferma che gli osservabili sono invarianti rispetto ordine qualsiasi (CPT theorem). Questo teorema implica l’esistenza di un’anti

anza di masse, vi e medie, omen magnetici, enga nel caso in cui uno tra C, P o T sia v

T è violata, anche CP

, di particelle ed antipto, uno degli altri de

tice le. Affinché l’inva nza CPve anche essere violato in modo

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che n⎯q , l’invarianza CP richiede anch’essa nq = n⎯q e quindi B=0 (L=0). Quindi è necessaria anche la condizione 2. Infine, in equilibrio termodinamico i processi sono reversibili e quindi T è una buona simmetria. L’invarianza T ed il teorema CPT implicano

coSupponiamo che X e⎯X , quando era kT » mXc , ad es n equilibrio terl’epoca di Planck la gravità diventa debole e, a causa

che non vi sono annichilazioni che fanno crescere ntto ad n ). Se la massa dei bosoni è sufficientemente

GeV/c nel caso di bosoni vettori, m ≥

te dei processi di scattering e di decadimento inverso fuori equilibrio termodinamico e

quindi l’invarianza CP e di conseguenza B=0 e L=0 per quanto visto al punto 2. Anche la 3 è necessaria. Sono stati proposti vari meccanismi che permettono di ottenere un’asimmetria tra barioni ed antibarioni. Uno dei primi (Weinberg, 1979) era basato sul decadimento, fuori equilibrio termodinamico, di una particella massiccia

me un bosone di gauge X superpesante delle GUT. 2

empio all’epoca di Planck, fossero imodinamico con i fotoni, quindi nX = n⎯X ≈ nγ . Dopo

della libertà asintotica delle interazioni forti, c’è un periodo di non equilibrio termodinamico. La densità numerica delle particelle varia però come a− 3 per X,⎯X e γ e continua quindi ad essere nX = n⎯X ≈ nγ (supponiamo che i bosoni X siano le particelle più massicce, di modo

γ rispe X

elevata (m ≥ 1017 2X X

1012-1014 GeV/c2 nel caso di bosoni scalari, o di Higgs) i rasono « H, quindi “congelati”, mentre solo il rate di decadimento è >H. Abbiamo appunto un decadimento fuori equilibrio

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termodinamico.

Supponiamo, per semplicità, che il bosone X decada in due canali, con branching ratio r e 1 - r (sommati su tutti i tipi di quark e leptoni), rispettivamente. Il bosone⎯X decadrà in canali simili (ma con particelle ↔ antiparticelle) con branching ratio ⎯r e 1 -⎯ r. Se C e CP non sono conservate sarà r ≠⎯ r .

La seguente tabella illustra, in modo schematico, la creazione di un numero barionico diverso da zero.

∆B ∆L ∆B ∆L

1 - r ⎯ q⎯ q -2/3 0 1⎯-r q q 2/3 0

X ⎯X

r q l 1/3 1 ⎯ r ⎯ q⎯ l -1/3 -1

Il numero barionico netto prodotto dal decadimento di un X sarà:

B X = r(+1/3) + (1 - r)(-2/3)= r - 2/3

e, analogamente, per un⎯X:

B⎯X =⎯ r(-1/3) + (1 -⎯ r)(+2/3)=⎯-r + 2/3

Quindi, per ogni coppia X,⎯X verrà prodotto in media un numero barionico

∆B = B X +B⎯X = r -⎯ r ≠ 0

Una cosa analoga vale per il numero leptonico; avremo anche in questo caso

- 111 -


∆L = r -⎯ r ≠ 0

X nγ(Td)

tropia è data da

s = 1.8 k g*S(Td) nγ(Td)

er T=T

con ∆B - ∆L = ∆(B-L)= (r -⎯ r ) - (r -⎯ r ) = 0, un fatto comune a molte GUT.

Quando i bosoni X,⎯X decadono, essendo n X = n⎯X ≈ nγ , la densità netta di barioni sarà quindi

nB ∼ ∆B n ∼ ∆B

con Td temperatura all’epoca del decadimento. Ma abbiamo già visto che la densità di en

p cui, a d ,

)( dT8.1 *S

B

gkBn

=

e costante, uguale al valore odierno, a T=T0,

Tsd

∆

Ma se, dopo quest’epoca, B non varia più, nB/s si mantien

)(8.1 0*0T Tgks S

Dal confronto delle due relazioni otteniamo

nB η=

8

0*

* 1040909.3)(

≈≈≈≈∆ ηηηTg

BS

dS

160)(Tg −

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INFLAZIONE mAbbiamo già parlato sopra di due proble i che il modello

dello Hot Big Bang presenta: il problema della piattezza e quello dell’orizzonte, ai quali si può aggiungere quello dei monopoli magnetici (difetti topologici zero-dimensionali, prodottisi all’epoca della transizione di fase corrispondente a , la cui densità

Il paradigma dell’inflazione, che risolve questi problemi,

lla rottura delle GUTsnumerica, unita alla loro massa molto elevata, produrrebbe un valore di Ω decisamente inaccettabile).

è stato proposto d sso prevede una e di tipo esponenziale tra i tempi ti e tf

(con tPl < t i < tf <<teq), prodotta da un’equazione di stato che mima quella di una costante cosmologica:

a Alan Guth nel 1981. Efase di espansion

)()()( ittHifi etatattt −≈<<

(H costante) simile ad un modello di de Sitter (che ha Λ≠0 e densità di materia trascurabile), invece di una crescita continua del tipo a(t)≈ t1/2, tipica dell’era RD. La crescita esponenziale, se sufficientemente prolungata,

risolvere il problema dell’orizzonte, nel contempo converge verso l’unità (come nei modelli dominati da costante cosmologica) risolvendo il problema della piattezza (ricordiamo anche che la curvatura della sezione spaziale scala come a(t)-2, e la crescita esponenziale di a(t) forza questa curvatura verso lo zero). Anche il problema dei monopoli viene risolto attraverso l’abbattimento della

produce una crescita di dH sufficiente aΩ

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loro densità numerica. Se l’inflazione avviene attorno all’epoca della grande unificazione (GUT), per risolvere i suddetti problemi deve essere

60ln ≥≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛N

i

f

aa

dove N è il cosiddetto numero di e-foldings.

ELEMENTI DI TEORIA DEI CAMPI Come abbiamo visto, per avere una fase inflattiva occorre che l’universo possegga, per un certo intervallo di tempo, un’equazione di stato del tipo p = -ρ c2.

Questo può essere ottenuto in modo naturale per mezzo di un campo scalare presente nelle prime fasi dell’universo primordiale.

Per comprendere il meccanismo è necessario introdurre alcuni concetti usati in Teoria dei Campi.

Nella Meccanica Classica le equazioni del moto di un sistema dinamico si possono ricavare da una funzione Lagrangiana L

)()(),( iiii qVqTqqL −= &&

dove le qi sono coordinate generalizzate, T è l’energia cinetica e V è l’energia potenziale. L’azione S, legata al moto del sistema tra una data configurazione al tempo t1

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ed un’altra al tempo t2, è

t

e, secondo il principio di minima azione, l’evoluzione del sistema tra le due configurazioni è quella che corrisponde al valore minimo di S. Questa condizione

∫=2t

LdtS 1

porta alle equazioni di Eulero-Lagrange

0=∂

−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂ ii qqdt &

∂⎞⎛ ∂ LLd

Queste relazioni descrivono il moto di particelle, cioè di oggetti localizzati. Un campo occupa invece una certa regione di spazio e quello che vuole la Teoria dei Campi è calcolare una (o più) funzioni della posizione e del tempo: φi=φi(x,y,z,t) (es.: la temperatura, il potenziale elettrico, le tre componenti del campo magnetico in una stanza). Mentre, nella meccanica delle particelle, la

on una densità

ct e x1, x2, x3= x, y, z, così che la lagrangiana sarà l’integrale di volume di

Lagrangiana L è funzione delle coordinate qi e delle loro derivate, nella Teoria dei Campi si lavora clagrangiana L che è funzione dei campi φi e delle loro derivate rispetto ad x, y, z e t. Per rendere più trasparente la covarianza relativistica si usano le coordinate spazio-temporali x0=

L

∫= xdL 3L e l’azione si potrà scrivere

xdS 41∫= L c

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(il fattore 1/c, inessenziale, serve a mantenere le dimensioni dell’azione). In realtà questa scrittura è corretta in uno spazio euclideo ed in coordinate ortogonali; per tener conto di una scelta più generale delle coordinate (ad esempio coordinate spaziali co-moventi) l’elemento di volume d4x va sostituito con g− d4x dove g è il determinante della metrica gαβ. Useremo nel seguito, per semplicità, la scrittura

ii

xφφ

αα ∂≡∂∂

In una teoria relativistica, che tratta la coordinata temporale allo stesso modo di quelle spaziali, le equazioni di Eulero-Lagrange nella Teoria dei Campi si generalizzano nella forma

( ) ( )0

)(=

∂−∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂−∂

∂i

LLφφα

αgg

i

In uno spazio piatto e statico (di Minkowski) la metrica gαβ = ηαβ = ηαβ = diag(1,-1,-1,-1). Sarà allora

( )∇∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≡∂∂

=∂ ;,,;10zyxtcxαα

(=⎟⎞

⎜⎛ ∂

−∂

−∂

−∂

≡∂=∂1 0ανα η )∇−∂≡∂⎟

⎠⎜⎝ ∂∂∂∂

);(,,; 0yxtcν z

≡∇−∂∂

=∂∂

−∂∂∂∂ 221

−∂

−∂

=∂∂ 22

2

22

2

2

2

2221

tczyxtcα

α 2

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dove il simbolo rappresenta l’operatore d’Alember- tiano. Se usiamo invece coordinate co-moventi (r =a x) in uno spazio piatto in espansione: gαβ = diag(1, -a2, -a2, -a2) e

g− = a3. Si ha allora ( x∇ rappresenta il gradiente rispetto alla coordinata co-movente x)

( )x∇∂= ;0α ∂ ⎟⎠⎝ a⎞

⎜⎛ ∇−∂=∂ x2

0 1;α 2222 tc ∂

2 11xa

∇−∂

=∂∂ αα

Consideriamo, come esempio, la seguente (densità) Lagrangiana:

( )( ) ( )( ) 2222

21

21

21

21 φµφφφφφ α

αα

α −∂∂=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∂∂=h

cmL

dove φ è un campo scalare singolo e reale. In questo caso, in uno spazio di Minkowski ( g− =1),

( ) φφ

α

α

∂=∂∂∂L

φµφφ ⎠⎝∂ h

e l’equazione di Eulero-Lagrange fornisce

2−=⎟⎞

⎜⎛−=

∂ cmL

2

[ ] 01 2222

2

22 =+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇−

∂∂

=+∂∂ φµφµφµφαα tc

che è l’equazione di Klein-Gordon per il campo scalare corrispondente ad una particella libera di spin 0 (scalare) e massa m. In analogia con la L=T-V, nella Lagrangiana scritta sopra il primo termine, ½(∂αφ)(∂αφ), è detto termine

2

2

- 117 -


dell’energia cinetica, mentre il secondo termine, in questo caso quadratico in φ (termine di massa), è il termine dell’energia potenziale. Per un campo scalare scriveremo la Lagrangiana nella forma generale

( )( ) )(21 φφφ α

α V−∂∂=L

dove V(φ) è un opportuno potenziale (V(φ)=1/2 µ φ 2 nel caso di Klein-Gordon). Se L, scritto come qui sopra, dipende da xα solo attraverso φ e le sue derivate ∂αφ, si conserva (ha cioè quadri-divergenza nulla) la quantità (tensore energia-impulso)

Lαββααβ φφ gT −∂∂≡ Nel caso di un fluido perfetto abbiamo visto che esso ha la forma

αββααβ ρ gpuucpT −+= )( 2 dove p è la pressione, ρc2 la densità di energia e uα è la quadri-velocità (uα ≡ dxα/ds); nel sistema di riferimento

oordinate co-moventi, in uno spazio piatto, dal confronto tra le due relazioni si ottiene:

co-movente uα=(1,0,0,0). Sempre in c

( ) ( )

( ) ( )φφ Vatc

ap x −∇−⎟⎠

⎜⎝ ∂

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

≡ 222

623φTT ⎞⎛ ∂⎞++ 2

23322

2

1111

φφφρ

T

Vatc

Tc x

⎛

+∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=≡

11

2

22002 1

211

21

- 118 -


Nel caso in cui il campo φ sia spazialmente omogeneo (da cui ∇xφ=0) ed il termine 1/2c2(∂φ/∂t)2 sia tracurabile rispetto al potenziale V(φ), risulta semplicemente

( )2 Vc φρ =

( ) 2cVp ρφ −=−=

cioè un’equazione di stato che mima quella corrispon-dente alla costante cosmologica! Sulla base del principio cosmologico (omogeneità dell’universo) si assume che

φ

più avanti sotto quali condizioni diviene trascurabile anche il termine 1/2c2(∂φ/∂t)

∇x =0 (anche se, in realtà, saranno presenti piccole fluttuazioni sulla scala del raggio di Hubble, che sono i “semi” della struttura a grande scala dell’universo). Vedremo

2. Se accade questo (∀α : ∂αφ=0) allora

αβαβαβαβ φρ gVgcgpT )(2 ==−= ed il termine di energia potenziale fa le veci della costante cosmologica.

TRANSIZIONI DI FASE E ROTTURA DELLA SIMMETRIA

Nella storia dell’universo primordiale si sono verificate una o più transizioni di fase. Ad energie elevate, secondo la teoria unificata dell’interazione elettrodebole, l’interazione elettromagnetica e quella debole si comportano in modo simile. Questo significa che, a causa del progressivo raffreddamento dovuto all’espansione

- 119 -


cosmica, ad un certo istante (attorno ad una temperatura critica TEW∼1016K, EEW∼102GeV) l’universo ha subito una transizione di fase, dopo la quale le due interazioni sono risultate separate. Le Grand Unified Theories(GUTs) che tentano di unificare elettromagnetismo ed interazioni deboli e forti,

,

prevedono a loro volta una transizione di fase nell’universo ad una temperature critica TGUT∼1027-1028K, al disopra della quale vi era simmetria tra le tre nt razioni. i e

Consideriamo un’analogia con la magnetizzazione di un materiale ferromagnetico. Al di sopra della temperatura di Curie TC gli orientamenti dei momenti magnetici di spin degli atomi sono orientati a caso e rapidamente

ia e attorno ad ogni punto del materiale e il valore di aspettativa (il valor medio) dello spin è nullo (<S>=0). Tuttavia, scendendo

una transizione di fase verso uno tato magnetizzato, con <Si>≠0 in una certa direzione î.

fluttuanti, vi è simmetr rotazional

sotto TC, diventa energeticamente più favorevole, per gli spin, allinearsi e si ha sLa rsi domini che si cominciano a formare, indipendentemente gli uni dagli al n direzione

simmetria originale viene persa, rotta, poiché i dive

tri, hanno ognuno uno spin codiversa. Alla fine, quando tutta la massa si è trasformata in domini, rimangono dei difetti lungo i confini delle diverse parti. In modo simile, mentre al disopra di TGUT la simmetria tra le tre interazioni era manifesta, al disotto di TGUT essa risulta rotta. Tornando al caso del materiale ferromagnetico, il modo in cui la simmetria rotazionale viene rotta nelle differenti porzioni della massa può venir

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misurato dalla crescita dello spin S e dall’orientamento dei diversi domini. Similmente, il modo in cui la simmetria tra le tre interazioni si rompe può essere caratterizzata dall’acquisto di valori non nulli da parte di parametri detti campi di Higgs; questo fenomeno si chiama rottura spontanea della simmetria (spontaneous symmetry breaking, SSB). La simmetria è manifesta quando i campi di Higgs hanno valore (di aspettativa) nullo; essa è spontaneamente rotta quando almeno uno dei campi di Higgs acquista un valore (di aspettativa) diverso da zero. Come nel caso dei domini ferromagnetici, rimangono dei difetti sui confini delle differenti regioni nelle quali la simmetria si è rotta in modi differenti, assumendo differenti insiemi di valori per i campi di Higgs. Questi difetti sono detti difetti topologici, e possono essere bi-dimensionali (domain walls), uni-dimensionali (cosmic strings) e zero-dimensionali (monopoli magnetici). Durante la transizione di fase che porta alla rottura della simmetria si può anche verificare un periodo di espansione di tipo esponenziale, l’inflazione per l’appunto. Vediamo come. Per semplicità consideriamo un unico campo di Higgs, che supponiamo essere il campo scalare φ. Riprendiamo la lagrangiana nella forma

( )( ) )(21 φφφ α

α V−∂∂=L L’equazione del moto, generalizzazione di quella di Klein-Gordon (KG), diventa allora

0=∂∂

+φ

φ V

2

- 121 -


Gli stati delle particelle libere sono soluzione di questa equazione con il solo termine quadratico in φ nel potenziale V(φ), come nell’equazione di KG, dalla quale vediamo anche che il coefficiente di questo termine (V(φ)=1/2 µ φ 2) specifica la massa della particella. Lo stato di “vuoto”, che per definizione è lo stato senza particelle, si verifica quando ∂V/∂φ=0, che nel caso KG corrisponde a φ=0. Termini di ordine superiore in V(φ) corrispondono a interazioni tra le particelle. L’equazione scritta sopra ammette la soluzione φ=costante per ogni valore di φ per cui sia ∂V/∂φ=0. Lo stato di vuoto sarà quindi uno di quelli in cui il valore d’aspettativa di φ assume uno di questi valori costanti. Sono possibili vari casi:

• Può essere che la ∂V/∂φ=0 abbia una sola soluzione. Perché l’energia sia inferiormente limitata, questa deve corrispondere ad un minimo di V(φ) e corrisponde anche all’unico vuoto della teoria.

• D’altra parte ci possono essere più soluzioni della ∂V/∂φ=0. I massimi del potenziale sono instabili, ma tutti i minimi sono dei possibili vuoti della teoria. Se

bac’è più di un minimo, quello piùessere lo stato di vuoto estremo,

sso dovrebbe il “vuoto vero”

dell’universo.

falso vuoto”, con la possibilità, per effett tunnel, di passare al

• Tuttavia, l’universo potrebbe trovarsi, ad un certo istante, in un minimo locale con un valore più elevato del potenziale, sarebbe in un “

o

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vuoto vero.

• In alcuni casi, infine, ci possono essere vari minimi,

tutti con lo stesso valore del potenziale; il vuoto sarebbe allora degenere.

tenziale del tipo Nel caso qui rappresentato, che corrisponde ad un po

)0(41

21)( 422 VV ++−= λφφµφ

se l’universo possiede inizialmente un valore di

teaspettativa di φ=0, essendo questo uno stato instabile,

nderà a cadere in uno dei due stati di vuoto vero

λµφ ±=

- 123 -


Questo è un esempio con due soli possibili valori del vuoto vero, ma potenziali più generali possono portare ad un numero infinito di possibili valori in cui il vuoto vero può finire. Vedi qui sotto un caso bidimensionale (complesso) per il potenziale.

Attraverso la scelta casuale di uno dei minimi si ha la rottura spontanea della simmetria, analoga alla formazione, in una porzione di un materiale ferromagnetico che si raffredda sotto TC, di un dominio con un particolare orientamento degli spin dei

elevata temperatura, le correzioni a V(φconto di questo aggiungono dei termini del tipo φ2T2.

ndo dettagli che dipendono dalla forma particolare di V(φ),

suoi atomi. Il potenziale scritto qui sopra possiede questa forma ad un valore di T=0. Ma nell’universo primordiale, ad

) per tener

Vedo quindi che, ad elevata temperatura, la simmetria è non-rotta, con un valore di aspettativa di φ=0. Al raffreddarsi dell’universo che si espande, seco

la rottura spontanea della simmetria avverrà:

- 124 -


• Attraverso una transizione di fase del primo ordine, nella quale il campo, inizialmente in φ=0, supera, per effetto tunnel, una barriera di potenziale entro la quale rimane comunque intrappolato per un certo tempo, durante il quale si verifica la fase di inflazione, con ∂φ/∂t = 0. È questo il modello proposto inizialmente da Guth, detto old inflation, che presenta però dei problemi. Infatti una transizione di fase del primo ordine avviene attraverso la formazione di bolle della nuova fase nel mezzo della fase vecchia; queste bolle si espandono, collidono e coalescono finchè la vecchia fase sostituisce completamente la vecchia.

Ma nel modello di Guth, per avere una fase inflativa sufficientemente lunga, la probabilità di formare bolle è bassa e, poiché il falso vuoto si espande esponenzialmente, le bolle non riescono a coalescere e la transizione al vuoto vero non avviene.

• Oppure attraverso una transizione di fase del secondo ordine, nella quale il campo evolve tranquillamente da uno stato all’altro. È questo il modello della new inflation, proposto da Linde, Albrecht e Steinhardt nel 1982, nel quale il cam o pevolve molto lentamente (slow-roll) dalla condizio-

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ne di falso vuoto φ=0 verso il vuoto vero. Anche qui, se l’evoluzione da φ=0 avviene lentamente e con V(φ) ≅ V(0) per un certo tempo prima di cadere nel vuoto vero, abbiamo una fase d’inflazione (vedremo, più avanti, quali sono le condizioni perché questo avvenga).

ORDINI DI GRANDEZZA ell’universo primordiale l’espansione, se trascuriamo N

la curvatura (che comunque tende rapidamente verso

slo zero a causa dell’enorme crescita del fattore di cala), sarà data dall’equazione

ρπ3

82 Gaa

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ &

cui la densità di energia sarà in

φ

slow-roll

V(φ)

oscillazioni e reheating

φt

V(0)

inflazione

- 126 -


222 ccc R Λ+= ρρρ n co

( )( )3

4*

22 )(

30 ckTTgcR

h⋅=

πρ

)0(2 ==Λ φρ Vc Dov φ) corrisponde alla densità di energia del campo φ che, ad alta temperatura, ha il suo minimo in φ=0. Finc 2 è dominata da ρRc2, l’universo si comporta come nel modello di EdS dominato da radiazione, con a(t)∝ t1/2. Ma mentre ρRc2 scala come 1/a4, ρΛc2 rimane costante: la tensione (pressione negativa) fa sì che nell’espansione il pdV sia negativo mantenendo così costante l’energia interna del campo φ (l’energia gravitazionale è convertita in energia dello stato di vuoto). Ad un certo istante t sarà ρ c2∼ρ c2 e l’espansione viene da quel momento dominata da una costante

e V(

hè ρc

i R Λ

cosmologica “efficace” Λeff, con espansione esponenziale come nel modello di de Sitter:

( )

3)0(

38cos

2

2

cV

cGtH eff

i

Λ≡===

⎥⎦

φπ

)0(3

8exp)( 2 ttVcGata i

⎤⎢⎣

⎡−== φπ

- 127 -


dove ai è il valore del fattore di scala al tempo ti. omento dell’eguaglianza, a T=TΛ, sarà: Al m

( )( )

( )( ) 34

15100 erg/cm101.1 Λ×≈ kT

ove kT

3440

3

4*

222

rg/cm101.1

)(30

Λ

ΛΛΛ

×≈

⋅==

kT

ckTTgcc

GeV

Rh

πρρ

d Λ

questa densità di energia corrisponde una costante c g

e

15 è la scala di energia in unità di 1015GeV. A

osmolo ica “efficace”

2415

52

24824

)(103.2

)(103.28

−Λ

−Λ

−Λ

×≈

×==Λ

cmkT

cmkTcc

GGeVGUT ρπ

e confrontiamo questo valore (ΛSqc niamo un rapporto enorme (fine tuning?)

GUT) per kTΛ15=1, con uello della costante cosmologica odierna (Λ0 ≅ 10-56 m-2) otte

108

0

10≈Λ

ΛGUT

a costante di Hubble, durante la fase in cui L il sistema è intrappolato nel falso vuoto ed avviene l’espansione esponenziale, è

1215

3626 )(106.2)(106.23

−ΛΛ ×=×=⋅

Λ= skTkTcH GeV

Se assumo kTΛ15=1 e voglio che Htf ≥ 60 per risolvere i problemi dell’orizzonte e della piattezza, allora ho che

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sH

t 3510260 −×≈≥f come epoca di fine dell’inflazione, mentre per l’inizio, usando un modello di EdS dominato da radiazione, avremo

sH

ti37102

21 −×≈≈

Queste sono stime all’ordine di grandezza e dipendono dal valore di kTΛ adottato.

DINAMICA DELL’INFLATONE Vediamo di ricavare l’equazione di evoluzione dell’inflatone, cioè del campo scalare φ, partendo dalla densità lagrangiana:

xdgc

S 41∫ −= L φ

Per un universo in espansione, spazialmente piatto, in coordinate ortogonali, g− =a3 e le equazioni di Eulero-Lagrange si applicano alla quantità a3L:

)(2

33

3 φφφ µµ Vaaa −∂∂=L

Se l’inflatone dipende solamente dal tempo, e non dalle coordinate spaziali, solo le ∂0 saranno diverse da zero e

)(12

32 φφ Va

tcaa −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅=L

233

- 129 -


e le equazioni di Eulero-Lagrange danno:

( )( )

( )ctc

c

tcφφµ

2 22

=∂

⋅⋅=

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∂∂

∂=

∂∂

aaaa φ&3333 ∂

⎠⎝

∂∂ LL φ

( )( ) [ ]aaa

cca

tca

&&&&φ&

232

33

311⋅+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∂∂∂

∂ φφφµ

L ⎠⎝ µ

( )φφ d

dVaa3∂ L 3−=∂

Mettendo insieme e semplificando si arriva a ( aa ) H/& =

03 2 =++φ

φφddVcH &&&

che rappresenta l’ evoluzione dell’inflatone. Questa equazione, se la riferiamo al potenziale tipico

a) Slow-roll:

della new inflation, ha due regimi differenti, quello detto di “slow roll” e quello delle rapide oscillazioni attorno al minimo. Vediamole più in dettaglio.

è la fase di lento “rotolamento” non accelerato del campo φ e che corrisponde alla fase di inflazione. In questo regime il termine è φ&&

trascurabile e l’equazione del moto si riduce a

φφ

ddVcH 23 −=&

cioè l’attrito dovuto all’espansione è bilanciato - 130 -


dinamicamente dall’accelerazione dovuta alla pendenza del potenziale. La condizione

φφ &&& H3<< , usando la derivata dell’espressione scritta sopra, ricordando che H è essenzialmente costante durante l’inflazione, ed indicando con V″ la d2V/dφ2 fornisce

4222

22 243

899"33

"cGV

cVG

ccHVH

HVc ππφφ

≈⋅⋅≈<<→<< &&

( ) 1"24

4

<<≡VV

Gcπ

φη

Ma un’altra condizione importante affi a nché sip=-ρc2 è che ( )φφ Vc <<22 2& da cui

22222

22

389292'2

3H ⎟⎠

⎜⎝

'cGVVHVVcVcVc π

⋅⋅≈⋅<<→<<⎟⎞

⎜⎛

( ) 1'48

24

<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

VV

Gcπ

φε Le due condizioni sopra riportate assicurano lo

b)“slow roll” Rapide oscillazioni: erminata la fase di inflazione il potenziale “cade” nel vuoto vero e l’inflatone compie delle rapide oscillazioni attorno al minimo. Se tutto si fermasse qui avrei d

T

elle oscillazioni che col passar del tempo subiscono redshift, in un universo che si è già raffreddato enormemente durante la fase di espansione

- 131 -


adiabatica inflazionarla. Perché la storia termica dell’universo si svolga come suggerisce l’evidenza

la BBN) occorre che l’energia del falso vuoto sia convertita in materia e radiazione con una certa efficienza. Questo processo prende il nome di Reheating. Abbiamo già notato che l’inflazione diluisc

(ad esempio

e rapidamente i monopoli magnetici perché la densità di energia del campo scalare rimane costante, mentre la densità dei monopoli decresce come 1/a3 (questo non vuol dire che spariscono completamente; un giorno rientreranno entro l’orizzonte). Tuttavia, affinché

t icrearli. c) Il numero di e-foldings:

non vengano ricreati dal reheating, occorre che questo non riporti la temperatura dell’universo a valori ali da r

É immediato calcolare il numero N di e-foldings. Partiamo da

∫ ∫=→=→==f

i

f

i

a

a

t

t

dtHaddtHada

dtada

aaH )ln(&

( )( )∫∫ ⋅⋅−== dtdtφ22⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

≡ff tt

f VGHa φφπ 38ln2 &

N⎠⎝ ii tti VccHa '3

( )( )∫ ⋅−=

f

i

dVV

cG

φ

φ

φφφπ

'8

4N

A

Nel modello di inflazione che abbiamo descritto si LTRI MODELLI DI INFLAZIONE

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verifposs

ica una rottura spontanea della simmetria, ma è ibile ottenere inflazione anche senza SSB, come

nel cLind

aso della cosiddetta chaotic inflation proposta da e (1983), in cui il potenziale V(φ) è semplicemente

( ) 4φλφ =V potenziale ha un minimo a φ=0. La fase di

tico ad un valore diverso da zero in una regione di erso e poi ritorna verso il minimo. risolvere i problemi del modello standard non è

nenziale del fattore di scala; è sufficiente che

e ilinflazione avviene se il campo compie un salto quanunivPer indispensabile una fase inflativa con andamento espo

( ) 1>∝ ptta p (power-law inflation) Il potenziale richiesto è del tipo

( ) φαφ eV ∝ Abbiamo detto che l’nflazione porta l’universo verso Ω ≅ 1. In realtà sono stati anche proposti modelli di inflazione più complessi nei quali, entro una bolla che può abbracciare ampiamente l’attuale sfera di Hubble, l’universo possiede un valore di Ω<1. Nella trattazione dell’inflazione abbiamo assunto uno spazio piatto, omogeneo ed isotropo. Cosa accade se così non è? Si può vedere (vedi ad esempio il cap. 8,paragrafo 6 in “The Early Universe” di Kolb e Turner) che, a meno che lo spazio di partenza non sia tanto curvato positivamente da far ricollassare l’universo prima dell’inflazione, questa produce, per

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un’ampia classe di modelli, enormi regioni uniformi e piatte, che superano come dimensioni l’attuale raggio di Hubble, e risolvono quindi i problemi del modello standard. Inomogeneità e/o anisotropie sono però solo ritardate, e finiscono col ricomparire prima o poi.

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BREVE STORIA COSMICA

poca t (sec) E(3kT) T (K) Osservazion

E i

Planck 10-44 1019GeV 5×1031 Gravità quantistica

GUT 10-38

10-361016GeV 1015GeV

5×1028

5×1027

Rottura grande unificazione. Inflazione?

Bariogenesi?

Elettrodebole 10-10 102GeV 5×1016 Rottura unificazione elettrodebole

Adronica 10-4 200 MeV 1012 Transizione quark-adroni

0.7 1 MeV 1010 Disaccoppiamento νeLeptonica 5 0.5 MeV 5×109 Annichilazione e+e-

BBN 2-3 min 0.1 MeV 109 Nucleosintesi 4He, 3He, D, 7Li

Equivalenza 6×104 yr 2 – 3 eV 104 Inizia l’epoca dominata dalla materia

Ricombinazione 4×105 yr 0.7 eV 3000 L’universo diventa neutro e trasparente

Vuoto 10 Gyr 10-3 eV 3.6 Inizia l’epoca dominata dal vuoto

Oggi 13.7 Gyr 7×10-4 eV 2.73

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