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  • Master Physique & Physique Numérique

    Non-linéarités, Chaos & Contrôle

    Analyse Spectrale pour les Systèmes Dynamiques Classiques et

    Quantiques

    David Viennot

  • 2

  • Table des matières

    0 Prérequis d’Algèbre Linéaire 5 0.1 Algèbre matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1 Théorie des Systèmes Dynamiques 9 1.1 Les équations différentielles des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.1 Les flots de la dynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Les opérateurs d’évolution de la dynamique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Les systèmes dynamiques de la physique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.4 Les systèmes dynamiques périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2 Intégration numérique des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Éléments d’analyse numérique des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Algorithme d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Algorithme de Runge-Kutta d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Algorithme de Runge-Kutta d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Algorithme de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Algorithme de l’opérateur fractionné (intégrateurs symplectiques) . . . . . . . . . . . . 18 1.2.7 Algorithme de transport adiabatique discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.8 Représentations matricielles des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Description des systèmes dynamiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Les attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Instabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.4 Exemple : le pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5 Les résonances paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.4 Description des systèmes dynamiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.1 Systèmes conservatifs et dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.2 États liés et se propageant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3 Critères spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.4 Exemple : la molécule H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.5 Résurrections de paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.6 Exemple : alignement d’une molécule diatomique par un champ électrique . . . . . . . 40

    2 Théorie du Chaos 43 2.1 La géométrie fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.1.1 Dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2 L’itération de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.3 Généralités sur les fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.2 Théorie du chaos classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 L’attracteur fer à cheval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Définition du chaos classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3 Exemple : la convection de Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4 Exemple : le pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.5 Contre-exemple : pseudo-chaos engendré par la méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . 53 2.2.6 Outils d’analyse du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3

  • 4 TABLE DES MATIÈRES

    2.2.7 Chaos et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3 Théorie du chaos quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.3.1 Absence de définition du chaos quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.2 Approche spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.3 Exemple : molécule diatomique frappée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.4 Résumés sur la stabilité des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.1 Stabilité des systèmes dynamiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.2 Stabilité des systèmes dynamiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.3 Comparaison générale classique/quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3 Systèmes Dynamiques Paramétriques : bifurcations et contrôle 65 3.1 Compléments mathématiques : les matrices paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.1.1 Éléments de la théorie d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Calcul différentiel et intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.3 Continuité du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.2 Bifurcations dans les systèmes dynamiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Les diagrammes de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Classification des bifurcations de codimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3 Exemple : le flot logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.4 Exemple : l’oscillateur de van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.3 Contrôle des systèmes dynamiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.1 Modélisation du contrôle par champs lasers intenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.2 Exemple : contrôle d’un atome à N niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.3 L’approche génétique du contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.4 L’approche optimale du contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.5 L’approche géométrique du contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.6 Sonder le système et contrôle par feed-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.7 Exemple : l’effet STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    Avertissement : ce cours ne constitue absolument pas un cours de mathématiques sur les systèmes dy- namiques. Tout n’y est pas traité de façon rigoureuse (loin de là), certains resultats sont donnés sans la moindre démonstration et l’usage de la théorie de la mesure a été soigneusement évité (car trop abstrait). Aucun des sujets abordés n’est traité de manière exhaustive. Ce cours est surtout un panorama introductif (et quelque peu superficiel) à la théorie des systèmes dynamiques, qui nécessiterait d’être complété par l’étude d’ouvrages et d’articles de référence pour acquérir une véritable maîtrise des notions abordées ici. Plusieurs systèmes physiques sont étudiés dans ces notes, la modélisation de ceux-ci (leurs descriptions et leurs mises en équations) ne fait pas l’objet de ce cours. Seuls les comportements dynamiques des systèmes nous intéressent ici, on admettra donc leurs équations de la dynamique.

  • Chapitre 0

    Prérequis d’Algèbre Linéaire

    0.1 Algèbre matricielle

    On note Mn×n(C) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients complexes. Dans Cn on introduit le produit scalaire

    ∀u, v ∈ Cn, 〈u|v〉 = n ∑

    i=1

    uivi

    où ui est le complexe conjugué de ui qui est la i-ème composante de u dans la base canonique de Cn :

    u =

    u1 u2 ... un

    ∀A ∈ Mn×n(C) on note At la transposée de la matrice A :

    (At)ij = A j i ⇐⇒

    A11 ... A 1 n

    ... . . .

    ... An1 ... A

    n n

    t

    =

    A11 ... A n

    1

    ... . . .

    ... A1n ... A

    n n

    ∀A ∈ Mn×n(C) on note A† la transconjuguée de A (la matrice adjointe de A, la transposée conjuguée de A) :

    (A†)ij = A j i ⇐⇒

    A11 ... A 1 n

    ... . . .

    ... An1 ... A

    n n

    =

    A11 ... An1 ...

    . . . ...

    A1n ... Ann

    Par constr

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