mat grandezas i proporcionais regra de tres simples
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I - REGRA DE TRÊS 1 – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Suponha que um trem viaje a uma velocidade constante de 80 km/h . Então : 1 hora de viagem → 80 km percorridos 2 horas de viagem → 160 km percorridos 3 horas de viagem → 240 km percorridos Observe no esquema acima que :
• Duplicando o tempo de viagem, a distância percorrida duplica • Triplicando o tempo de viagem , a distância percorrida triplica
E assim por diante. Assim , observamos que quando o tempo aumenta um certo número de vezes, a distância percorrida também aumenta esse mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas tempo e distância percorrida são diretamente Proporcionais. De modo geral temos :
Veja agora , um quadro com os valores do exemplo dado :
Tempo da viagem ( em horas) Distância percorrida ( em km) 1 80 2 160 3 240
Observe que :
160
80
2
1=
240
3
160
2
80
1
240
160
3
2
240
80
3
1 === OU
Então podemos afirmar :
EXEMPLOS : 1º) Verifique se os números 9, 20 e 25 são diretamente proporcionais aos números 18 , 40 e 50.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando o valor de uma um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes.
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra.
2º) Verifique se os números 12, 20 e 40 são diretamente proporcionais aos números 9 , 12 e 30. 3º) Os números x , y e 6 são diretamente proporcionais aos números 10 , 4 e 2. Determine os valores de x e y . 2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Vamos Supor que um determinado serviço possa ser feito por um operário em 24 horas de trabalho. Assim podemos supor que:
• 2 operários fazem o mesmo serviço em 12 horas • 4 operários fazem o mesmo serviço em 6 horas • 6 operários fazem o mesmo serviço em 4 horas
e assim por diante. Observe que :
• duplicando o número de operários , o mesmo serviço é feito na metade do tempo • triplicando o número de operários, o mesmo serviço é feito na terça parte do tempo;
e assim por diante. Assim podemos verificar que, quando aumentamos o número de operários um certo número de vezes, o tempo necessário para fazer o serviço diminui o mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas número de operários e tempo para realizar o serviço são inversamente proporcionais. Observe agora, um quadro com os valores do exemplo dado:
Número de operários Tempo gasto (h) 1 24 2 12 4 6 6 4
Nesse caso , qualquer razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores a eles correspondentes na outra. Veja :
12
6
4
2
24
4
6
1
24
6
4
1
24
12
2
1 ====
EXEMPLOS 1º) Verifique se os números 3 , 8 e 12 são inversamente proporcionais aos números 24, 9 e 6. 2º) Sabendo que os números 4, 5 e 10 são inversamente proporcionais aos números x , 96 e y , determine os valores de x e y. EXERCÍCIOS 1º) Verifique se os números 8, 24 e 40 são diretamente proporcionais aos números 11 , 33 e 55. 2º) Verifique se os números 12, 15 e 30 são diretamente proporcionais a 32 , 40 e 100. 3º) Os números x , y e 18 são diretamente proporcionais aos números 27 , 45 e 81. Calcule o valor de x e y . 4º) Verifique se os números 40, 80 e 120 são inversamente proporcionais aos números 60 , 30 e 20.
5º) Os números x , y e 12 são inversamente proporcionais aos números 30 , 15 e 10. Calcule x e y. 6º) Sabendo que um trem viaja a uma velocidade constante de 80 km/h, podemos organizar a seguinte tabela:
Tempo de viagem Distância percorrida 1 h 80 km 2 h 160 km
Nessas condições responda: a) Quando o tempo de viagem passa de 1 h para 2 h, ele varia em que razão ?
b) A distância percorrida , quando passa de 80 km para 160 km, varia em que razão ?
c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O tempo de viagem e a distância percorrida são grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais ? 7º) A tabela seguinte relaciona o número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório :
Número de torneiras Tempo 6 15 min 3 30 min
Observando a tabela responda:
a) Quando o número de torneiras passa de 6 para 3 , esse número varia em que razão ?
b) Quando o tempo passa de 15 minutos para 30 minutos , ele varia em que razão ?
c) Como são essas razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório são grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais ?
8º) A tabela seguinte relaciona o número de operários com o tempo necessário para eles construírem um barracão :
Número de operários Tempo 12 30 dias 20 18 dias
Observando a tabela, responda :
a) Quando o número de operários passa de 12 para 20, ele varia em que razão ?
b) Quando o tempo varia de 30 dias para 18 dias, ele varia em que razão ? c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de operários e o tempo que eles gastam para construir o barracão são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais ? 3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES È uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto é desconhecido. Daí o nome , regra de três. A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna os valores da mesma grandeza e daí obtermos uma equação.
• A equação terá a mesma “forma” da tabela, quando as grandezas forem diretamente proporcionais.
• No caso de grandezas inversamente proporcionais a “montagem” da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.
Acompanhe os exemplos a seguir: 1º) Cinco metros de tecido custam R$ 120,00. Quanto custam 9 metros desse mesmo tecido ? 2º) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos ?
3º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ? 4º) Ao participar de um treino de fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso ? 5º) Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quantos segundos atrasará em 8 dias ? 6º) Um navio partiu para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar seus 12 tripulantes durante 31 dias . Após 1 dia de viagem, percebeu-se a presença de 3 passageiros clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos ?
EXERCÍCIOS 1º) Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco? 2º) Sabe-se que com 8 kg de café cru obtêm-se 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café cru devem ser levados ao forno para obter-se 27 kg de café torrado? 3º) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro? 4º) Para transportar certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões carregados com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões com capacidade para 5 m3 de areia, quantos caminhões destes seriam necessários para fazer tal serviço?
5º) Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m2 . Quantos litros de tinta serão necessários para
pintar 450 m2 da mesma forma como foram pintados os 60 m2 ? 6º)Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser construído em duas semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados ? 7º) Para encher 100 potes iguais de creme são necessários 12 litros. Qual é a quantidade necessária para encher 175 potes iguais a esse ? 8º) ( UFRJ-2002) Duas cidades A e B distam 600 km, e distância entre suas representações, num certo mapa, é de 12 cm.Se a distância real entre duas cidades C e D é de 100 km, qual será a distância entre suas representações no mesmo mapa ?
II – PORCENTAGEM 1 - A expressão “tanto por cento “ certamente já lhe é bastante familiar, e você já viu na TV, leu nos jornais, nas vitrines das lojas, etc....
• Poupança rende 1,2 % • Loja vende com desconto de 30 %
- Em cada frase você observa um número seguido de um símbolo % ( que se lê por cento ). Vejamos o significado de frases deste tipo: Exemplo :
• Poupança rende este mês 2 % neste caso, o 2% está indicando que em cada R$ 100,00 depositados na poupança haverá um acréscimo (rendimento) de R$2,00
Valor depositado Rendimento Saldo Corrigido 100 2 102 200 2+2 204 300 2+2+2 306
2 – Razão Centesimal Razão Centesimal é toda a razão com denominador 100.
EXEMPLOS : ....100
1630;
100
735;
100
20;
100
3etc
- As expressões com o termo Por cento são simplesmente um outro modo de se representar as razões centesimais , nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. Neste caso , as razões centesimais recebem um nome especial : TAXA DE PORCENTAGEM .
EXEMPOS :
%125100
125)%785
100
785)
%75100
75)%4
100
4)
==
==
dc
ba
- Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que representa essa fração como nos exemplos a seguir :
1º exemplo: Escrever 4
3 como taxa porcentual.
2º exemplo : Escrever como taxa porcentual as frações abaixo:
===5
1)
7
3)
5
2) cba
EXERCÍCIOS 1º) Escreva a taxa porcentual que corresponde a :
==
==
==
==
==
===
===
16
5)
8
3)
40
21)
4
1)
20
37)
100
5,0)
25
11)
100
1)
8
1)
100
29)
50
37)
10
9)
100
34)
50
23)
2
3)
100
18)
og
nf
me
ld
jc
qib
pha
2º) Escreva a facão irredutível que corresponde a cada uma das seguintes porcentagens:
==
==
===
%350)%48)
%180)%72)
%55)5
1
100
20%20)
fc
eb
da
3º) Com relação à cor do cabelo de 10 estudantes observou-se que :
Estudante Cor do Cabelo Ivan Louro
Marcos Ruivo Gabi Louro
Paquito Preto Juliana Ruivo Cleusa Preto
Fernanda Preto Rafael Ruivo Bete Preto
Alejandra Preto
Dê a taxa porcentual que representa o número de estudantes com cabelos :
a) Louros
b) Pretos c) Ruivos
4º)Uma caixa tem 5 bolas verdes, 3 bolas brancas e 12 bolas azuis. Dê a taxa porcentual que representa : a) O número de bolas verdes em relação ao total de bolas.
b) O número de bolas brancas em relação ao total de bolas.
c) O número de bolas azuis em relação ao total de bolas. 5º) Escreva os seguintes números decimais inicialmente na forma de razão de denominador 100 e, a seguir, na forma de porcentagem :
215,0)
013,0)085,0)
14,2)5,0)
27,0)10,0)
15,0)%6100
606,0)
i
hg
fe
dc
ba ==
4 – RESOLVENDO PROBLEMAS COM PORCENTAGEM Observe os exemplos: 1º Ex) Em um jogo de basquete , Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65 %. Quantos lances livres ele acertou ? Resolução: OBS: Este problema se resume em calcular 65 % de 20. 2º ex:) Durante o ano de 1997, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu ? RESOLUÇÃO: 3º ex:) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a taxa de porcentagem de figurinhas repetidas ? Resolução :
4º ex: ) Em um colégio , 1400 alunos estudam no perído da manhã. Esse número representa 56 % do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam , ao todo , nesse colégio ? Resolução: 5º ex : ) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15 % . Paguei , então, 76,50 reais pelo objeto. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto ?
EXERCÍCIOS 1º) Quanto é 7 % de 125000 reais ? 2º)Quanto é 11 % de 1200 alunos ? 3º) Qual a quantia que representa 20,5 % de 5000 reais ? 4º) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão no horário nobre (20 h às 22 h ). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se que 45 % dessas residências tinham a sua televisão ligada no canal A . Quantas residências tinham sua televisão ligada no canal A ? 5º) O número 250 representa que porcentagem de 5000 ?
6º) 242 pessoas representam que porcentagem de 880 pessoas ? 7º) 96 pontos representam que porcentagem de 150 pontos ? 8º) No primeiro semestre de um determinado ano, uma industria produziu 150 unidades de um artigo. No segundo semestre do mesmo ano, a industria produziu 162 unidades do mesmo artigo. Nessas condições, pergunta-se : a) De quantas unidades foi o aumento da produção ? b) Que taxa de porcentagem esse aumento representou em relação ao 1º semestre ? 9º) Dentre os 48 professores de um colégio, 9 ensinam matemática. Qual a taxa de porcentagem de professores que ensinam matemática em relação ao total de professores do colégio? 10º) O preço de custo de um objeto é de 2250 reais. Esse objeto é vendido por 2790 reais. Nessas condições pergunta-se: a) Calcule a quantia que representa o lucro b) Calcule a taxa de porcentagem do lucro desse objeto em relação ao preço de custo. 11º) O preço de um produto é de 420 reais> O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento: Alternativa 1 – pagamento à vista com 30 % de desconto sobre o preço de tabela Alternativa 2 – pagamento em 30 dias com acréscimo de 10 % sobre o preço de tabela Nessas condições responda :
a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto ?
b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto ?
c) Qual a diferença entre essas quantias ?
d) Ela representa quantos por cento do produto ?
5 – JUROS SIMPLES Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela paga uma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado. Quando uma pessoa compra uma mercadoria à prestação , ela paga um acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações. Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco. Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra. Então :
Quando falamos em juro, devemos considerar: • O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital (C). • A taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro chama-se taxa de juro (i). • O total que se paga no final do empréstimo (capital+juro) chama-se montante (M)
Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples : 1º ex:) Carlos vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por três meses. É estabe- lecida uma taxa de juro de 2,7 % ao mês. Qual a quantia que ele deve pagar de juro e qual o total que Carlos terá de pagar no fim do empréstimo ? 2º) Um aparelho eletrônico custa 620 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de 868 reais. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida aos juros simples , qual é a taxa de juros simples cobrada ao mês por essa loja ? Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, podemos empregar a seguinte
Vejamos algumas aplicações desta fórmula: 1º ex: ) Calcular quanto rende de juros um capital de 15 000 reais durante 3 anos, à taxa de 24 % ao ano.
Toda a compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em
dinheiro que se empresta ou se pede emprestado é chamada juro (J)
Fórmula : J = 100
.. tic onde: j = juros c = capital i = taxa de juros t = tempo
2º)Qual o capital que rende 5 400 reais , durante 2 anos, à taxa de 15 % ao ano ? 3º) Por quanto tempo um capital de 12 000 reais esteve empregado à taxa de 3,6 % ao mês para render 8 640 reais de juros ? ( OBS: como a taxa é mensal devemos ter o tempo também em meses) 4º) A que taxa esteve empregado o capital de 20 000 reais para render, em 3 anos, 28 800 reais de juros? ( Obs: como o tempo está em anos devemos ter uma taxa em anos) 5º) Calcular os juros produzidos por 50 000 reais à taxa de 2 % ao mês durante 3 meses. 6º) Calcular os juros produzidos por 12 000 reais à taxa de 48 % ao ano durante 4 meses. (Obs : Veja que a taxa é ao ano e o tempo em meses. Neste caso, devemos transformar a taxa anual em taxa mensal. Para isto basta dividir a taxa anual por 12) EXERCÍCIOS 1º) Calcular os juros produzidos por um capital de 22 000 reais à taxa de 1,8 % ao mês, durante 2 meses. 2º) Calcule a taxa a que deve ser aplicado o capital de 48 000 reais, para render 6912 reais em 4 meses.
3º) Calcule o capital que deve ser aplicado à taxa de 4 % ao mês, para render 8 000 reais em 5 meses. 4º) Calcule o tempo em que um capital de 8 000 reais , à taxa de 0,6 % ao mês, rende 144 reais. 5º) Fernanda aplicou 4 000 reais a juros de 4,1 % ao mês, durante três meses. Qual será o montante após os três meses de aplicação ? 6º) Um comerciante tomou emprestados 15 000 reais a juros de 5,4 % ao mês. Quanto pagou de juros ao final de 4 meses ? 7º) Uma loja colocou o anuncio de um liquidificador em um jornal. O anuncio indicava o pagamento à vista de 60 reais ou, após um prazo de 30 dias, de 69 reais. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para pagamento a prazo ? 8º) Um comerciante resolve parcelar a dívida de um freguês em duas vezes, cobrando, porém , juros de 1,9 % ao mês. Se o freguês pagou um total de 931 reais de juros, qual era o valor de sua dívida?
9º) O preço à vista de um aparelho é 3050 reais. Em 3 vezes, o preço passa a ser 4514 reais. Qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja ? 10º) Uma passagem de ônibus intermunicipal passou de 9 reais para 11,70 reais. Qual foi a porcentagem de aumento ? 11º) A gasolina aumentou de 1,50 reais para 1,68 reais. Qual foi o percentual de aumento ? 12º) O preço á vista de um aparelho é 160 reais. Se o preço passou para 195,20 reais, qual foi o percentual de aumento ?
EXERCÍCIOS GERAIS 1º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 8 kg. Verifica-se, então, que o comprimento da mola distendida é de 40 cm. Se colocarmos um corpo com 13 kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ? 2º) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média ? 3º) Quinze operários levantam as paredes e cobrem uma casa em 120 dias. Quantos operários nas mesmas condições, seriam necessários para levantar as paredes e cobrir essa mesma casa em 100 dias ? 4º) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas exatamente 21 peças de papel com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel com 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas Para forrar essa mesma sala ? 5º) Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de pessoas que trabalham numa empresa trouxe como resultado o seguinte quadro :
Salário Mensal Número de pessoas Até 2 salários mínimos 6 Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7 Mais de 5 e até 10 salários 4 Mais de 20 salários mínimos 3
Observando o quadro responda :
6º) Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5 % do total de empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria ? 7º) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690 reais pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria ? 8º) Dois meninos discutem sobre a campanha de seus clubes em um campeonato. O clube do menino ( Pedro) ganhou 24 dos 30 jogos que disputou, enquanto o clube do menino (Paulo) ganhou 21 dos dos 28 jogos que disputou. Qual dos dois clubes apresenta melhor campanha ? Dê a resposta calculando o percentual de vitórias de cada clube.
a)Qual a porcentagem de pessoas que ganham até 2 salários mínimos?
b) Qual a porcentagem de pessoas que ganham mais de 10 salários mínimos ?
c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham mais de 2 e até 5 salários mínimos ?
d) Qual a porcentagem de pessoas que ganham 5 ou menos de 5 salários mínimos?
9º) A capacidade de uma piscina, quando totalmente cheia de água, é de x litros. Se retirarmos 6480 litros de água dessa piscina, esse número representa 7,2 % da capacidade total x . Qual é o valor do número x ? 10º) Numa empresa há 18 000 funcionários, sendo 3 600 mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres. 11º) Qual a taxa percentual que 10 representa de 2 ? 12º) O valor do salário mínimo foi majorado de R$ 151 reais para 180 reais. Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento ?
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1º) Conjunto dos números Naturais ( ) São os primeiros números que o ser humano tomou conhecimento. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
2º) Conjunto dos números Inteiros ( ) São os números naturais mais os números negativos.
Z = { ..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....}
Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5, ... } 3º) Conjunto dos números Racionais ( ) São números racionais : Todas as frações Decimais exatos Decimais periódicos
3
2
5
12 5 1 23232323
8
4
15
66 76 11666666666
7 342 0 857142857142
3 543543543543
, , , ....
, , , ....
, , .....
, ....
− −
4º) Conjunto dos números irracionais ( )
2 1 4142135
3 1 7320508
3 1415926535
=
==
, ....
, ...
, ....π
5º) Conjunto dos números Reais ( ) Juntando todos estes números em um conjunto só temos o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.
INTERVALOS NUMÉRICOS Intervalo é qualquer subconjunto infinito de números reais. Um intervalo pode ser :
• INTERVALO ABERTO
• INTERVALO FECHADO
• INTERVALO SEMI – ABERTO À DIREITA
• INTERVALO SEMI – ABERTO À ESQUERDA
Veja abaixo os intervalos infinitos:
5 2
2 5
← Representação Geométrica
Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 2 < x < 5 }
← Representação Geométrica
Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 ≤≤ x }
5 2
← Representação Geométrica
Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 <≤ x }
2 5 ← Representação Geométrica
Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 ≤< x }
3
Linguagem de Intervalos : ] 3 , +[∞ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / x > 3}
EEXEMPLOS 1º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) b)
3
Linguagem de Intervalos : [ 3 , +[∞ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / ≥x 3}
3
Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3[ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ /x < 3}
3 Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ /x ≤ 3}
9 6
1 7
-5 4 c)
4 -3 d)
10 e)
7
f)
EXERCÍCIOS 1º) Represente na reta os intervalos reais :
a) [6,10] g){x ∈R/-2<x<4}
b) ]-1,5] h){x ∈R/4≤x<7}
c) ]-6,0[ i) ]- ∞,1]
d) ]-10,10[ j) ]- ∞,3[
e) [1,+ ∞[ l)[ 4,+ ∞[
f) {x ∈R/1<x<5} m) ]4,+ ∞[
2º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) e) b) f) c) g) d) h)
8 2
2 5
3 7
6 3
4
5
3
-2
OPREÇÕES COM INTERVALOS Observe os exemplos abaixo: 1º) Se A = ] 2, 5 [ e B = {x ∈R/3≤x<8} , determine A U B e A I .B
2º) Dados os intervalos A = {x ∈R/ - 1 < x < 4} e B = ] - ∞ , 2 ] Determine A U B e A I .B
Exercícios 1º) Determine AUB e A∩B quando :
a) A=[-3,1[ e B=[0,3] b) A=]2,5[ e B=]1,4[ c)A=[-2,2[ e B=]-0,+ ∞[ d)A={x ∈ R/1<x<4} e B={x∈ R/x<4}
e)A={x∈R/1≤ x ≤2} e B={x∈R/ 0≤ x ≤ 5} f) A ={x ∈R / -1≤ x ≤ 2 } e B= {x ∈R / 0 ≤ x ≤ 5 }
2º) Dados A = ] –2, 3] , B= [ 0, 4 [ e C= {x ∈ R / 1 < x < 5} determine AUBUC e A∩B∩C .
FUNÇÕES 1 – Noção Intuitiva de função Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos uma situação : Exemplo : Seja um quadrado de lado l .
Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :
l
Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que Pode ser verificado pela tabela seguinte :
Medida do Lado (l)
Medida do Perímetro (p)
1 m 2 m
3,5 m 3 m
4,5 m 7 m 10 m
Pela tabela , observamos que : • A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável • A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável • A todos os valores de l estão associados valores de p • A cada valor de l está asociado um único valor de p
Dizemos então: a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.
2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de de A em B expressa por y = 2x –3 , com x ByeA ∈∈ , temos : 2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por y = 3x+1 , com x ByeA ∈∈ , temos : 3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por y = x2 , com x ByeA ∈∈ , temos :
4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por
y = x± , com x ByeA ∈∈ , temos : OUTROS EXEMPLOS 1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3, com x ByeA ∈∈ . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 2º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula y = x2 + 2, com x ByeA ∈∈ . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 3º) Dada a função f:R →R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5). 4º) Dada a função f:R →R/ f(x)=3x + 1, calcule:
a) f(-2)=
b) f(-1)
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
f) f( 1
2) =
5º) Sendo f:R →R/f(x)=x2 - 3x -10 , calcule: a) f(-2)=
b) f(-1)=
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
f) f( 1
2) =
6º) Dada a função f(x)= - 4x + 3 , determine os valores de x para que:
a) f(x) = - 4 b) f(x) = 1
2
7º) Seja a função definida por f(x)= x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha :
a) f(x) = - 6
b) 14