mate 12-13. u2
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Segunda unidadTRANSCRIPT
Hace mucho tiempo reinaba en la India un príncipe llamado Iadava. Sus amigos estaban muy
preocupados por él, pues últimamente estaba siempre triste. Hasta la aldea de Lahur
Sessa, llegó la noticia de la tristeza del monarca. Así pues Lahur Sessa inventó un juego
("el ajedrez") que pudiera distraerlo y alegrar su corazón.
Sessa explicó al rey Iadava, a los visires y cortesanos las reglas del juego. Era un gran
tablero cuadrado dividido en 64 casillas. Sobre él se colocaban dos series de piezas, unas
blancas y otras negras. Las formas de las figuras se repetían simétricamente y había reglas
curiosas para moverlas.
Iadava quedó impresionado por el ingenio de Sessa y le ofreció una bolsa llena de oro o un
arca repleta de joyas o palacios o tierras... pero Lahur "sólo" le pidió granos de trigo:
Un grano por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la
cuarta, y así doblando sucesivamente hasta la última casilla.
Al oír la petición de Sessa todos rieron, Iadava aunque extrañado, llamó a los algebristas
de su corte para que hicieran el cálculo del nº de granos que debía entregar al brahmán.
Cuando éstos hicieron el cálculo, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino para
pagar esa cantidad.
UNIDAD 2.
POTENCIAS Y RAÍCES
Os voy a leer una
curiosa leyenda
hindú.
Cuando conozcas las
potencias, comprendrás lo
ingenioso que era Sessa
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: BASE a
y EXPONENTE n.
Se escribe an, y se lee: «a elevado a n», donde a es la base y n es el exponente
45 se lee “cuatro elevado a cinco” o “cuatro a la quinta”
39 se lee “tres a la nueve” o “tres a la novena”
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar la base por sí misma
varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
Por ejemplo: 24= 2·2·2·2 = 16
33=3·3·3 =27
Las potencias cuyo exponente es dos, se llaman cuadrados y es el resultado de
multiplicar un número por sí mismo:
22=4 32=9 42=16 52=25 62=36
72=49 82=64 92=81 102=100
Las potencias cuyo exponente es tres, se llaman cubos
23=8 33=27 43=64 53=125
Potencia de exponente 0
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad:
10=1 20=1 450=1 360=1
Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
a1=a 211=21 311=31 121=12
OPERACIONES CON POTENCIAS
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma
de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):
am · an = am+n
Ejemplos: 32·35 =37 98·93=911 265·2613=2618
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los
exponentes respectivos am:an=am-n
Ejemplo: 36:34=32 59:52=57 265:262=263
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al
exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n,
es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:
(a·b)n =an·bn (3·2)5 = 35·25 (2·3)2 =22·32= 4·9=36
Nuestro sistema de numeración es decimal. Es decir que agrupamos todas las cantidades en
grupos de diez. Así 10 unidades hacen una decena; diez decenas hacen una centena; diez
centenas es una unidad de millar…
Todos estos agrupamientos los podemos hacer usando potencias de base 10
100=1 UNIDAD
101=10 DECENA
102=100 CENTENA
103=1000 U. DE MILLAR
104=10000 DECENA DE MILLAR
105=100000 CENTENA DE MILLAR
106=1000000 U. DE MILLÓN
Esto nos puede ayudar para hacer descomposiciones, sobre todo de números grandes. Ej.
26 = 2·10 + 6 =2·101 + 6·100
354 =3·100+ 5·10 + 4 = 3·102 + 5·10 + 4·100
265467 = 2·100000 + 6·10000 + 5·1000 + 4·100 + 6·10 + 7=2·105 + 6·104 + 5·103 + 4·102 + 6·10 + 7
Concepto de raíz.
En la figura superior vemos el suelo de una habitación cuadrada que tiene 100 baldosas.
¿Cuántas baldosas tendrá por cada lado? Para resolver este problema habrá que hallar un
número que elevado al cuadrado sea 100. Es el 10 porque 10 x 10 = 100; 102 = 100.
Por tanto, la raíz cuadrada de 100 es 10.
Elementos de la raíz.
El número 36 es el cuadrado de 6. También podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de
36. El signo se llama signo radical.
En el ejemplo anterior el 36 se llama radicando; el 6 es la raíz cuadrada y es el signo
radical.
Raíces cuadradas exactas.
Cuando un número natural se eleva al cuadrado obtenemos los cuadrados perfectos. El 36
es el cuadrado perfecto de 6; también podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36.
Raíz cuadrada entera.
Si queremos hallar la raíz cuadrada de 46 nos encontramos que no es un cuadrado
perfecto, ya que es mayor que 36 (62) y menor que 49 (72). La raíz de 46 tendrá una parte
entera, 6 y un resto.
Raíz cuadrada entera de un número es la raíz del mayor cuadrado perfecto contenido en él.
En este caso al cuadrado de 6 (36) le faltan 10 para llegar a 46. 46 -36 = 10.
El número 10 se llama resto.
TEMA 2. EJERCICIOS.
1. Escribe cómo se leen las siguientes potencias
98 87 1523 762 25 103
2. Escribe en forma de producto las siguientes potencias
23= 2·2·2
45 38 92 74 510 66
3. Escribe en forma de potencia los siguientes productos
4·4·4·4·4·4·4 = 47
8·8·8·8
23·23·23
2·2·2·2·2·2·2·2
12·12·12·12·12·12
9·9·9·9·9·9·9·9·9·9
4. Calcula el cuadrado y el cubo de los siguientes números
8 7 10 15 5 11
5. Relaciona cada potencia con su resultado
25 65536
52 729
84 32
48 216
36 25
63 4096
6. Calcula el valor de 101, 102, 103, 104, 105 y 106
7. Completa el cuadro
Base Exponente Potencia Resultado Se lee
2 4 24 16 Dos a la cuarta
Tres al cubo
82
2 5
6 6
23 1
8. Un señor le ofreció al dueño de un restaurante 8 € por una comida que costaba
150 €. El dueño del restaurante le dijo que sólo aceptaba si lo elevaba a la potencia
del día en que estaban. El señor, sin pensarlo, aceptó. Era el 5 de febrero. ¿Hizo
buen negocio el dueño del restaurante?
9. En cada generación tiene un número de antepasados que es la potencia de dos.
¿Cuántos antepasados tenías hace 8 generaciones?
10. Copia estas curiosidades de los cuadrados y los cubos ¿Qué observas?
12 = 1
22 = 1 + 3
32 = 1 + 3 + 5
42 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
13 = 1
23 = 3 + 5
33 = 7 + 9 + 11
43 = 13 + 15 + 17 + 19
53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
11. Escribe los prefijos Kilo (1000), Mega (1000000), Giga (1000000000) y Tera
(1000000000000) en forma de potencia.
12. Escribe en forma de número
103, 105, 106, 102, 101, 100, 1010, 109, 1011
13. Descompón los siguientes números. Fíjate en el ejemplo.
23564 = 2·10000 + 3·1000 + 5·100 + 6·10 + 4 =2.104 + 3·103 + 5·102 + 6·10 + 4
98372 7098 128172 126 874158 1256892
14. Relaciona cada número con su descomposición
2563 2·104+6·10+5
1065 106+2·10+3
20065 2·103 + 5·102 + 6·10 +3
87459 5·107+2·106+3·105+6·104+5·103+4·102
1000023 3·104+5·103+9·102+8·10+7
698426 103+6·10+5
52365400 6·105+9·104+8·103+4·102+2·10+6
35987 8·104+7·103+4·102+5·10+9
15. Un año-luz es la distancia que recorre un rayo en un año y son aproximadamente
9460000000000 Km. Escríbelo en forma de potencia de 10
16. Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos
de lado. ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande?
17. Escribe en forma de una sola potencia
25·28
36·34
63·65·67
98·92
74·72
45·43
18. Escribe en forma de una sola potencia y calcula
98:96
25:24
36:33
84:82
77:75
29:25
19. Expresa el resultado como un producto de potencia
20. Estás jugando a adivinar. Tu compañero te dice: piensa una potencia que vale 16
y su base es 2; adivina el exponente.
21. Jugando a adivinar: piensa una potencia que vale 1000 y su base es 10. ¿Cuál es
el exponente?
22. Completa la tabla, con los cuadrados de los veinticinco primeros números.
número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado
1 1 6 11 16 21
2 4 7 12 17 22 484
3 8 13 169 18 23
4 9 81 14 19 24
5 10 15 20 400 25
23. Una pista que te puede ayudar para calcular raíces cuadradas: los cuadrados de
los números que terminan en cero, también acaban en cero. Completa las
terminaciones
Termina en Su cuadrado termina Termina en Su cuadrado termina
0 0 5
1 6
2 7 9
3 8
4 9
24. Calcula las siguientes raíces cuadradas (todas son exactas)
25 36 400 1225 49 1024 441 3600 2500
25. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números (con resto)
39 79 259 189 903 50 86 500
26. Una niña le dice a otra: “la edad de mi abuelo es un cuadrado perfecto, mayor de
70 y menor de 100, y la mía es la raíz cuadrada de la edad de mi abuelo”. ¿Qué
edad tienen abuelo y nieta?
27. Calcula las siguientes raíces (con y sin resto)
√0 √55 √33
√3 √47 √25
√46 √44 √8
√49 √56 √2
√45 √43 √51
28. Un señor tiene dos nietas de 8 y 6 años. La primera es la raíz cuadrada de su
edad y la segunda es el resto de dicha raíz. ¿Qué edad tiene ese señor?
29. La edad de la niña pequeña del problema anterior es la raíz cuadrada de la edad
de su madre y la edad de la niña mayor es el resto de esa misma raíz. ¿Qué edad
tiene la madre?
30. Una habitación perfectamente cuadrada tiene 256 azulejos. Cada azulejo mide 25
cm de lado. ¿Cuántos metros mide, de lado, la habitación?
31. Al poner las baldosas de una habitación cuadrada, compramos quince cajas de 16
azulejos. Ocho azulejos vienen rotos y, después de colocarlos, sobran siete. ¿Cuántos
azulejos ponemos en cada lado?
32. Completa el cuadro
Número Raíz cuadrada Resto
14 2
146 2
815
926
7225 0
33. Un virus informático se transmite de forma exponencial, de forma que un
ordenador contagia a dos; esos dos a otros dos y así de forma sucesiva. Una empresa
cuenta con 1500 ordenadores. Si el virus avance diez “pasos”, ¿cuántos ordenadores
se salvan del contagio?.
34. Si la empresa del problema anterior se gasta 25€ en arreglar cada ordenador
contagiado, ¿qué perjuicio le ha supuesto a la empresa el virus informático?
35. Queremos enlosar una habitación cuadrada de 36 baldosas por lado. Si cada caja
de baldosas contiene una docena y cuesta 6 €, ¿cuánto nos costará cubrir el suelo?
36. Luis tiene seis años. La edad de su padre y su madre es el cuadrado de la suya y
si suma la edad de sus padres y las de sus abuelos paternos (tienen la misma edad el
abuelo y la abuela), le sale el cubo de su edad. ¿Qué edad tienen los padres y los
abuelos?
37. María tiene cuatro años, su hermana el cuadrado de su edad y su abuela el cubo.
¿Qué edad suman entre las tres?
38. En la familia García son cuatro hijas. Las edades de las niñas son las cuatro
primeras potencias de un número. Entre todas suman la edad de la tía, que es ocho
años más joven que la madre, que tiene la mitad de la edad de la abuela. La abuela
tiene setenta y seis años. ¿Qué edad tienen las demás mujeres de la familia?