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DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013
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Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un
intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) ≥ f(x) para toda
x entre r y s.
Si además, f(c) ≥ f(x) para toda x en en el domino de f,
entonces c es un máximo absoluto. El máximo absoluto
puede ocurrir en el interior del dominio o, si el dominio es
un intervalo cerrado, en las fronteras del intervalo.
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Extremos relativos
f tiene un mínimo relativo en el valor c si hay un intervalo
(r, s) que contiene c, en el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre
r y s. El mínimo relativo ocurren en el interior del
dominio.
Un extremo relativo,
significa un máximo relativo
o un mínimo relativo. Los
extremos relativos ocurren
en el interior del dominio.
Si además, f(c) ≤ f(x) para toda x en en el domino de f,
entonces c es un mínimo absoluto. El mínimo
absoluto puede ocurrir en el interior del dominio o, si
el dominio es un intervalo cerrado, en las fronteras del
intervalo.
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Ejemplo:
Para f(x)=3x4 - 4x3 con dominio (-1, ∞) y cuya
grafica se muestra, determine:
ninguno
ninguno
minimo relativo y absoluto
ninguno
El ejemplo no contiene
un máximo absoluto
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Identificar puntos extremos relativos
Si f es continua en su dominio y diferenciable en cada
punto de su dominio, entonces sus extremos relativos
ocurren en los puntos críticos:
a) valores de x en el dominio con f'(x) = 0.
Para determinar puntos críticos, haga que f'(x) = 0 y
despeje para x.
b) valores de x en el dominio donde f'(x) no está
definida, pero f(x) sí está definida.
Los extremos absolutos pueden ocurrir en los puntos
críticos o , si el dominio es un intervalo cerrado, en las
fronteras del intervalo.
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Ejemplo: Para con dominio (-1,∞), identifique los puntos
críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos, máximos
absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.
Solución: Determinar la derivada, y resolver
f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)
𝑑
𝑑𝑥2𝑥2 − 𝑥4 = 4x − 4𝑥3
4x − 4𝑥3 = 0
4x(1 − 𝑥2) = 0
4x = 0 1 − 𝑥2 = 0
x = 0 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) = 0
𝑥 = 1 𝑥 = −1
-1
1
0
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Ejemplo: Para 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟓 con dominio (-1,∞), identifique los
puntos críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos,
máximos absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.
Solución: Determinar la derivada, y resolver
f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)
𝑑
𝑑𝑥𝑥4 − 4𝑥3 + 5 = 4𝑥3 − 12𝑥2
4𝑥3 − 12𝑥2 = 0
4𝑥2(x − 3) = 0
4𝑥2 = 0 𝑥 − 3 = 0
x = 0 𝑥 = 3
0
3
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Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que y = f(x) es una función creciente sobre un intervalo de x si f(x)
crece al incrementarse x. (La gráfica sube, se izquierda a derecha.)
Se dice que y = f(x) es una función decreciente sobre un intervalo de x si
f(x) decrece al incrementarse x. (La gráfica baja, se izquierda a derecha.)
Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) > 0.
Si 𝑓′(𝑥) > 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función
creciente sobre tal intervalo.
Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) < 0.
Si 𝑓′ 𝑥 < 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función
decreciente sobre tal intervalo.
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Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o
decrece:
Funciones crecientes y decrecientes
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 3
Solución:
1) determinar la derivada de x
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 1
2) determinar para cuales valores f ‘(x) es negativo o positivo
3 𝑥2 − 1 > 0
(𝑥2 − 1) > 0
(x − 1)(x + 1) > 0
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Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o
decrece: (continuación)
Funciones crecientes y decrecientes
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
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Ejemplo 1: Dado la función de costo
y la relación de demanda determine los
intervalos en los cuales la función de ingreso es
creciente.
Aplicaciones C 𝑥 = 500 + 20𝑥
𝑅 𝑥 = 𝑥𝑝 = 𝑥 100 − 𝑥 = 100 𝑥 − 𝑥2
𝑝 = 100 − 𝑥
𝑅′ 𝑥 = 100 − 2𝑥
100 − 2𝑥 > 0
−2𝑥 > −100
𝑥 < 50
La función de ingreso es creciente cuando 𝑥 < 50.
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Los extremos locales de una función ocurren
solamente en los puntos críticos (puntos donde la
derivada es cero o no existe.
Pero no todos los puntos críticos corresponden a
mínimos o máximos locales.
Extremos locales y la derivada
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Condiciones para que existan extremos locales
Usar la primera derivada para demostrar que 𝑓 𝑥
tiene un mínimo o un máximo relativo en c.
1) 𝑓′(𝑥) cambia de signo alrededor de c. • Si 𝑓′(𝑥) cambia de negativo a positivo entonces c
corresponde a un mínimo local
• Si 𝑓′(𝑥) cambia de positivo a negativo entonces c corresponde a un máximo local
• Si 𝑓′(𝑥) NO cambia cambia de signo, c no corresponde a un extremo local
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Ejemplo
Use la primera derivada para determinar si x = 1 es un
mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2
punto crítico
3) Determinar si hay
cambio de signo en
𝑓′(𝑥) alrededor de x=1.
𝑓′ 0.5 = 4(0.5)3−4(0.5) = -1.5
𝑓′ 2 = 4(2)3−4(2) = 24 Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo
a positivo alrededor de x=1, es
un mínimo local
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥 𝑥2 − 1 = 0
4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0
x = 0 x = 1, x = -1
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Considerar la función
Su primera derivada, f , es
Como f es una función, también la podemos derivar.
La derivada de f representa la razón de cambio de las
pendientes de las rectas tangentes de f .
También podemos pensar que la derivada de f indica la
razón a la cual cambia f (x)
y f (x) x5 3x4 x.
y f (x) 5x4 12x3 1.
La Segunda Derivada
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Usamos la notación f para la derivada de f .
O sea,
Llamamos f , la segunda derivada f.
Para
la segunda derivada es
f (x) d
dxf (x)
y f (x) x5 3x4 x,
y f (x) 20x3 36x2 .
La segunda derivada
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Podríamos continuar de esta manera,
• la tercera derivada
• la cuarta derivada
• la quinta derivada
Cuando la notación prima se vuelve muy larga,
abreviamos 𝑓′′′(𝑥), usando un valor en paréntesis
como sigue
fn( ) x( )
Derivadas de orden mayor
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Determinar la derivada indicada para
y f (x) x5 3x4 x,
Derivadas de orden mayor
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Notación de Leibniz para la segunda derivada de la
función y = f(x) es
que se lee “la segunda derivada d y con respecto a x.”
Nota: no se deben confundir los 2 que aparecen en la
notación con exponentes.
Notación de Leibniz
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Para 𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 + 50𝑥4 −1
𝑥 determine
Notación de Leibniz – Ejercicio
2𝑒𝑥 + 200𝑥3 + 𝑥−2
2𝑒𝑥 + 600𝑥2 − 2𝑥−3
2𝑒𝑥 + 1200𝑥 + 6𝑥−4
2𝑒𝑥 + 1200 − 24𝑥−5
2𝑒𝑥 + 120𝑥−6
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Ejemplo: Se muestra la gráfica de
𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)23 −3(1 − 𝑥) con dominio (0, ∞).
Determine los valores de x donde hay puntos
críticos
Solución:
a)Determinar la derivada, y resolver f '(x) =
0 para x. 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)
23 −3(1 − 𝑥)
𝑓′ 𝑥 = 2
3𝑥 − 1 −1
3 − 3(−1)
2
3 𝑥 − 13 + 3 = 0
𝑓′(𝑥) =2
3 𝑥 − 13 + 3
2
3 𝑥 − 13 = −3
2 = −9 𝑥 − 13
−2
9= 𝑥 − 1
3
−8
729= 𝑥 − 1
−8
729+ 1 = 𝑥
𝑥 =721
729≈ 0.989
b)Determinar donde f '(x)
no existe, pero f(x) sí
está definida.
Note que para 𝑓′(𝑥) =
2
3 𝑥 − 13 + 3
f '(1) no existe pero
f(1)=0 (sí está definido).
Por lo tanto, x=1 es un
punto crítico también.
punto crítico
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Ejemplo
Use la primera derivada para determinar si
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥 tiene un valor extremo en [-1,0].
Si existe, determine el valor y
clasifícalo.
punto crítico
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 ′𝑒2𝑥 + 𝑥(𝑒2𝑥)′(2𝑥)′
𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 = 0
𝑒2𝑥(1 + 2𝑥) = 0
𝑒2𝑥 = 0 1 + 2𝑥 = 0
x = NO existe 2x = -1
x = −1
2
3) Determinar si hay cambio de
signo en 𝑓′(𝑥) alrededor de
x = −1
2 .
𝑓′ −1 = 𝑒2(−1) + 2 −1 𝑒2 −1 = 𝑒−2 − 2𝑒−2 ≈ −0.135
𝑓′ 0 = 𝑒2(0) + 2 0 𝑒2 0
= 1
Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo a
positivo alrededor de x= −1
2, es un
mínimo, mínimo absoluto.
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Condiciones para que existan extremos locales
Usar la segunda derivada para demostrar que 𝑓 𝑥
tiene un máximo o mínimo local
2) Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 > 0 ,
entonces 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en c.
Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 < 𝟎 ,
entonces 𝑓 𝑥 tiene un máximo en c.
Nota: 𝒇′′ 𝒙 es la segunda derivada de 𝑓 𝑥 con
respecto a x; o sea la derivada de la derivada.
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Ejemplo
Use la segunda derivada para determinar si x = -1 es un
mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2
punto crítico
3) Determinar 𝑓′′(𝑥) 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 − 4
𝑓′′ −1 = 12(−1)2−4
= 8 Como 𝑓′′ 𝑥 , es positiva, f(𝑥) tiene un mínimo.
Solución:
1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥
2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0
4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥 𝑥2 − 1 = 0
4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0
x = 0 x = 1, x = -1
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Concavidad
𝒇′′ 𝒄 > 0
𝒇′′ 𝒄 < 𝟎
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Concavidad
Punto de inflexión: punto donde la gráfica cambia de
concavidad.
Condiciones para que exista un punto de inflexión.
c es un punto de inflexión si se cumple que:
1. 𝑓′′ 𝑥 = 0
2. 𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de c.
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Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función
que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es
cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo.
1.
Solución:
𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de 0.
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Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se
indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia
arriba y dónde lo es hacia abajo.
1.
Solución:
𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de -2.