UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERA

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERA INDUSTRIAL Matemtica Bsica

SUPERFICIES CUADRTICAS

Docente: Ing. Gmez Morales Gustavo

Alumno:

Pgina |1

La Madrid Crdova, Enzo

Aula:

111

Lima - Per 2011

Este trabajo esta dedicada Especialmente para mis padres Que me han dado Todo su apoyo y confianza

Pgina |2

Contenido

ndice

Pgina |3

Resumen

Pgina |4

PrlogoEn esta parte de Superficies Cuadrticas consideraremos superficies que aparecen en forma repetida en nuestro entorno tridimensional; desde lo cotidiano, en envases, juguetes y diferentes productos, pasando por la belleza que se expresa a travs de la arquitectura y del arte, y, hasta en el universo, donde una mano invisible y sublime pudo hacer formas exquisitas y perfectas, para que el hombre con su inteligencia, pueda satisfacerse dndoles una expresin matemtica.

Pgina |5

Superficie CuadrticaSe llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuacin de la forma F(x, y, z) = 0

Una cudrica es el lugar geomtrico de los puntos del espacio (x, y, z) que verifican una ecuacin de segundo grado del tipo Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

En donde, por lo menos, de los seis coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.

Clasificacin:Las cudrica se clasifican de acuerdo a su signatura s, es decir, el mdulo de la diferencia entre el nmero de auto valores positivos y negativos deA00. Sin embargo, para calcular la signatura de la cudrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar s sin necesidad de calcular explcitamente su auto valores. Vemoslo: los auto valores son las races del polinomio caracterstico, es decir, las

soluciones de la ecuacin

. Ahora bien,

Pgina |6

Con:

Cuando los tres auto valores de A00 son no nulos, es decir, det A00 0, si escribimos la sucesin K, J, I, 1 y denotamos por P y V el nmero de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cudrica. De esta forma se tiene:1. Si s = 3 : 1. Det. A > 0 ---> elipsoide real 2. Det. A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que

verifican la ecuacin) 3. Det. A = 0 ---> cono imaginario 2. Si s = 1 : 1. Det. A > 0 ---> hiperboloide hiperblico (de una hoja) 2. Det. A < 0 ---> hiperboloide elptico (de dos hojas) 3. Det. A = 0 ---> cono real Si alguno de los auto valores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces; 1. Si J > 0 ---> paraboloide elptico 2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperblico Si det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificacin

Donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1, 2,3. Con estos nuevos invariantes se tiene:

Pgina |7

1. J > 01. K' 0 y signo K' = signo I ---> cilindro elptico imaginario 2. K' 0 y signo K' signo I ---> cilindro elptico real

3. K' = 0 2. J < 0 1. K' 0 2. K' = 0 3. J = 0 y I 0 1. K' 0 2. K' = 0 3. K' = 0 4. K' = 0

---> par de planos imaginarios secantes ----> cilindro hiperblico ----> par de planos reales secantes ----> cilindro parablico y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos y J' < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos y J' = 0 ----> par de planos coincidentes

CENTRO: Plano polar: Dado un punto P = (x0, y0, z0) IR3 se define el plano polar de P respecto a la cudrica de matriz A como el plano de ecuacin

Si P pertenece a la cudrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P. No todos los puntos poseen plano polar. La condicin para que un punto (x, y, z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones

que geomtricamente se interpreta como la interseccin de tres planos. Si det A00 0, entonces el sistema es compatible y tiene solucin nica. El punto solucin se conoce como centro de la cudrica. Si det A00 = 0 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cudrica tiene una recta de centros. Por otro lado, si det A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1 existe un plano de soluciones, y se dice que la cudrica tiene un plano de centros. Finalmente, si los rangos difieren o det A 0 el sistema no tiene solucin, en tal caso la cudrica carece de centro, recta o plano de centros.

Pgina |8

As, se tiene:

Cudricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos. Cudricas con eje de centros: cilindros elpticos e hiperblicos y pares de planos secantes. Cudricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes. El resto de las cudrica no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parablicos.

El centro es un punto de simetra de la cudrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetra. Ejemplo: Consideremos la cudrica de ecuacin

Esta cudrica es un elipsoide (vase la tabla de clasificacin). El plano polar por el punto (2, 1, 3) es el plano de ecuacin

Que corta a la superficie (ntese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en la figura siguiente).

Pgina |9

El centro de la cudrica es la solucin del sistema de ecuaciones

que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.

ECUACIN REDUCIDA:

La ecuacin reducida de una cudrica es aquella ecuacin simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cudrica. Partiendo de la ecuacin general de una cudrica se puede llegar a su ecuacin reducida aplicndole consecutivamente un giro y una translacin de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar despus de esta ltima un giro plano. A continuacin recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cudricas representan, as como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes. Denotemos por , y las races de , entonces:

Elipsoides, hiperboloides y conos:

donde

P g i n a | 10

Elipsoide

Hiperboloide Hiperblico

Hiperboloide Elptico Paraboloides:

Cono

Donde

P g i n a | 11

Paraboloide Elptico

Paraboloide Hiperblico

Cilindro elptico e hiperblico y pares de planos secantes: donde

cilindro elptico

cilindro hiperblico

par de planos secantes

Cilindro parablico:

P g i n a | 12

donde

cilindro parablico

Pares de planos paralelos: donde

par de planos paralelos

P g i n a | 13

Elipsoide Soy ejemplo de Elipsoide =D

Ecuacin reducida:

La cudrica tiene signatura 3 y los auto valores de la matriz A00 son los tres positivos.P g i n a | 14

Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cnicas de tipo elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuacin reducida que se da arriba):

Cortes por planos z = a

Si a < c la curva de corte es una elipse de ecuacin

donde

Si a > c no hay interseccin real. Si a = c la interseccin se reduce a un punto, siendo el plano tangente a la superficie elptica. Para cortes con planos de la forma y = a x = a el resultado es anlogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.

P g i n a | 15

(corte por un plano y = a con 0 < a < b)

(corte por un plano x = a con 0 < a < a)

Gracias a mis curvas Hiperboloide Hiperblico tengo forma de... Hiperboloide hiperblico

P g i n a | 16

Ecuacin reducida:

La cudrica tiene signatura 1 y los auto valores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo. Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas

P g i n a | 17

cnicas (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la primera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):

Cortes por planos z =

La curva de corte es una elipse de ecuacin donde

( >0)

( = 0, elipse de garganta )

Cortes por planos x =

El corte es la hiprbola de ecuacin donde

P g i n a | 18

( =0)

( >0)

Cortes por planos y = El corte es una hiprbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.

El hiperboloide hiperblico puede ser visto tambin como una superficie de revolucin engendrada al girar una hiprbola alrededor del eje de la cudrica (en el caso de la ecuacin reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse. Adems el hiperboloide hiperblico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Vemoslo, la ecuacin del hiperboloide se puede escribir como

Entonces cualquier punto que satisface la ecuacin del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algn valor del parmetro.

Hiperboloide Elptico

P g i n a | 19

Soy un tazn y tengo la forma de un hiperboloide elptico

Ecuacin reducida:

(En las figuras anteriores a = b = c)

La cudrica tiene signatura 1 y los auto valores de la matriz A00 son dos negativos y uno positivo.

P g i n a | 20

Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cnicas (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)

Cortes por planos z = a

la interseccin es una hiprbola de ecuacin

donde

Corte por planos y = a el resultado es anlogo al anterior intercambiando los papeles de y y z

Cortes por planos x = a si |a| > a, entonces la curva interseccin resulta ser una elipse de ecuacin

P g i n a | 21

donde

x= >a

x = - < -a

Si |a| < a no hay interseccin real. Si |a| = a, entonces la interseccin se reduce a un punto y el plano en cuestin es tangente a la superficie.

P g i n a | 22

( =0)

A continuacin incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuacin reducida y los parmetros a, b y c son distintos

(corte por plano z = > c)

(corte por plano y = > 0)

P g i n a | 23

(corte por plano x = > 0)

Paraboloide Elptico

Un brindis por tener forma de Paraboloide Elptico

P g i n a | 24

Ecuacin reducida:

Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cnicas, (en lo siguiente se supone que el paraboloide tiene la ecuacin reducida que se da arriba):

P g i n a | 25

Cortes por planos z = a

(a>0) si a > 0, entonces la curva interseccin resulta ser una elipse de

semiejes a y b con ecuacin

si a < 0, entonces no existe interseccin. si a = 0 la interseccin se reduce a un punto, siendo la superficie cudrica tangente al plano en dicho punto.

( < 0)

Corte por planos y = a o por planos x = a las curvas interseccin son las parbolas

P g i n a | 26

(corte por plano y = = 0 )

(corte por plano x = >0 )

P g i n a | 27

Paraboloide hiperblico

Que extrao son los Paraboloide Hiperblico

Ecuacin reducida:

P g i n a | 28

En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas. El paraboloide hiperblico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:

Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cnicas:

Cortes por planos z = si 0, entonces la curva interseccin es una hiprbola de

ecuacin

P g i n a | 29

( > 0)

( < 0)

si = 0, entonces la interseccin es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas

P g i n a | 30

( = 0)

Cortes por planos y = o por planos x =

las curvas interseccin son las parbolas

y

respectivamente.

P g i n a | 31

( y = = 0)

(x= =0)

A continuacin presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperblico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados

P g i n a | 32

Ejercicios1) Identificar y bosquejar la superficie dada por la ecuacin: 4x2 + y2 + z2 - 8x = 0. Respuesta: Arreglamos la ecuacin con el fin de completar cuadrados de binomios. 4x2 - 8x +y2 + z2 = 0 4(x2 - 2x) + y2 + z2 = 0 4(x-1)2 -4 + y2 + z2 = 0 4(x-1)2 + y2 + z2 = 4, dividiendo por 4 queda

Se trata de un elipsoideP g i n a | 33

Su grfica es la siguiente:

2) El lugar geomtrico de los puntos del plano cuya distancia al punto (2,-1,3) es dos veces su distancia al plano XY, corresponde a una superficie cudrica. Hallar la ecuacin de esta superficie, identificarla y situar su centro de simetra. Respuesta: Del enunciado se puede plantear la siguiente ecuacin: Elevando al cuadrado esta ecuacin queda de la forma (x-2)2 + (y+1)2 + (z-3)2 = 4z2 (x-2)2 + (y+1)2 + (z-3)2 - 4z2 = 0 (x-2)2 + (y+1)2 + z2 - 6z + 9 - 4z2 = 0 (x-2)2 + (y+1)2 + -3(z2 +2z -3) = 0 (x-2)2 + (y+1)2 + -3(z+1)2 +12 = 0 (x-2)2 + (y+1)2 + -3(z+1)2 = -12 Dividiendo por -12, se tiene

P g i n a | 34

Se trata de un hiperboloide de dos hojas, con centro de simetra en (2,-1,-1). Su grfica es la siguiente:

3) La siguiente ecuacin representa una superficie cudrica. Identifquela y ubique su centro de simetra: x2 - 4y2 - 2z2 +16y - 4z -21 = 0. Respuesta:

Se trata de un hiperboloide de dos hojas con su centro de simetra en el punto (0, 2,-1). Su grfica es la siguiente:

P g i n a | 35

4) S S = {(x, y, z) IR3/ 9y2 - x2 = 9}. Qu lugar geomtrico representa S? Indique un grfico aproximado de S. Respuesta:

Se trata de un cilindro hiperblico. Su grfica es la siguiente:

5) Calcular el rea de la siguiente superficie: Z=X^2+y^2 *1 con X^2+y^21 *2 Su graficas es:

Donde *2 es el cilindro (rojo) y *1 es un (no se si se llamaba as) paraboloide circular (azul). Y donde lo q esta en amarillo es la superficie a hallar.

P g i n a | 36

6) Hallar ecuacin de la superficie de revolucin obtenida al girar alrededorDe los ejes Solucin:

Y ,Z

z 2 2= 9 y la curva: x =0

Eje Y:

(

x z = + y 9

)

2

2

9

x 2 y 2+ z 2 =Eje Z:2

z x z = + z 2 2 y 2 x =Su grafica es:

(

)

2

9

9

x 2 +y 2 z 2 = 9 0 +

7) Mostrar que

x 2 +y 2 z 3 =

0

es una superficie de

revolucin. Determine generatriz y eje de rotacin. Solucin:

(

x+ y =2 2

)

2

z3

P g i n a | 37

Puede ser:

x2 = 3 z que rota alrededor del eje Z . y =0

y 2 =z 3 que rota alrededor del eje Z . x =0

Grfica:

8) Escriba la ecuacin del cono doble recto circular de eje ngulo de medio vrtice es

/6.

Z

, y el

tan30

o

=x

1 =x 3

x 2 +y 2 = kz 2 1 Pero para z = 1 el radio de la traza es: 3La ecuacin es de la forma:

x 2 +y 2 = k

k=

1 3P g i n a | 38

x +y =2 2

z2 3

En general:

(x

2

+y 2 = )

( tan2

z 2)

10) Para cuales valores de 2 2 2

a,b,c,

es la grfica de

x y z + 2+ 2 = 2 a b c

1Z? Explique

Una superficie de revolucin alrededor del eje

Solucin: Para a = b, ya que as resulta: 2 2 2

x y z + 2+ 2 = 2 a a c

12

(

x2 + y 2

)

a2 2 = 2 ( c z 2) c

As la superficie se forma al rotar alrededor del eje Z, la curva

y

2

a2 2 2 = 2 (c z ) c x=0

P g i n a | 39

11)

a) Elabore las graficas de z =x + y2 2 2 z =x + y 1) (

2

,

Sobre los mismos ejes.

b) Demuestre

que su interseccin se encuentra en un plano paralelo al plano XZ .2 z =x + y 2

2 y 2 = ( 1) y y 2 =y 2 2 1 y +

2 2 z =x + y 1) (

1 y= 2

c) Qu clase de curva es la interseccin? Es una parbola, pues reemplazando queda. . .2 z =x +

y=

1 2

1 , 4

12) Graficar la superficie: x2y2+3z22y=0, indicando sus secciones transversales solo para dos valores de k en cada plano coordenado, y la interseccin con los ejes coordenados. Solucin.

P g i n a | 40

x2y2+3z22y=0 Agrupando la variable y y completando sus cuadrados: x2 (y+1)2+3z2+1=0 Entonces, despejando la unidad: x2+ (y+1)23z2=1 Esto puede expresarse: x2+ (y+1)2z213=1 x2+ (y+1)2z2(13)2=1(1) Esta ecuacin tiene corresponde a la grfica de un hiperboloide de dos hojas (por tener 2 trminos negativos) que se extiende a lo largo del eje de la variable correspondiente a (y+1)2, por ser ste un trmino positivo, luego el hiperboloide se extiende a lo largo de y. Adems como sta ecuacin puede escribirse: (x0)2+ (y+1)2 (z0)2(13)2=1 Entonces el centro del hiperboloide es (0, 1,0) Entonces, el grfico solicitado es:

13) Conclusin RecomendacinP g i n a | 41

Glosario

P g i n a | 42