M ULTI P LOS y D I VISORES

Si K EN

" -+ : O; 4 ; 8 ; 12; 16; 20 ; 24 ; .. . -+ x K ~--------.~---------o

Son múltiplos de 4 (-1.)

" 5 : o ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ... 5 X K

Son multlplos de 5 (5)

" (, : O; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; . . .r, ,, K

" Son múltiplos de 6 (6)

" Son múltiplos de 7 (7)

El. múltiplo de un numero natural. es el orodulo de dicho número por: O : 1 , 2 3 , ..

2~ : ?o. "6 '8' 1? - , j . ..... . J , - 2~

DIvIsores de 24

27 1:3: 9 :27

'6 . ) .

~2 :

DIVisores de 27

? . , . , 6 ' 9 . l ? . 18 . '6 _,-',-+ , , ,_ , ,J

• DIVIsores de 36

, . 6 . 7 . 2 1 . 4? - , .,), , , , -~---v

Divisores de 42

Un numero natural es divisor de otro, cuan­do el primero está contenido en una canti­dad exacta de veces en el segundo

" O eSERVE Q UE: n . Se lee múmltiplo de n

El conjunto de múltIplos de un número d ife ­rente de cero, es InfinIto.

- El conjunto de divisores de un número es rlni·

to

Ejemplos:

1. Ca lcular los múltiplos de 3 menores que 40

" -; O;:;; (¡ ; l) : 12 ; 15; 18 ; :! I ; 2-1 : '27. \0. 11 ; 16 • 39

2. Calcular los multlp los de 9 menores que 80.

" q O; 9; 18 ; 27 ; 36; 45 ; 54 ; 63 ; 72

3. Calcu lar los divisores de 48 y 35

11(48) : 1; 1 ; 1;4;6;8 ; 12 ; 16 ; 14 : 48

D(35) : 1 ; 5 : 7 ; 35 -',

4. Calcular los multiplos de 8 mayores que 20 pero men ores que 60

" 20 < 8 < 60

L 24 . 32 . 40 . 78 56 . , . .

DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE LA DIV ISIBILIDAD Divis ibi lidad por 2: Un numero es divIsible por 2 cua ndo termina en cero o en ci fra par Los siguientes números son diVIsibles por 2

28

346

1490

37450

7468

964

17962

7756

Divisibilidad por 3: Un número es divIsible por 3 SI la suma de sus Cifras es múltiplo de 3 !~"l<-Son diviSible por 3 :

" 87 porque . 8 + 7 = r 5 " 15 ~ 3

" 240 porque ; 2 + 4 + 0 = 6 " 6 =.J ,

702 porque , 7+0+1=9 " 9 = 3 ,

234 porque ; .2 + 3 + -l = 9 1\ ') = 3

.""

Div isibil idad por 4: Un número es diviSible por 4 , si sus 2 ulllmas cIfras

son ceros o múltiplos de 4 , 4 ~ 00 : 04 : 08 : 12 ; 16; 20 ; ... 92 : 96

Son diviSibles por 4 :

300

520

816

7532

4512

1208

500

4 36

648

Divisibilidad por S: Un numero es divisible por 5 cuando termina en 5 o en O Son divIsibles por 5

35

185

25Q.

3670

6135

992.

8460

7775

4 6800

35610

Divisibilidad por 6: Un numero es divIsible por 6 cuando es divIsIble entre 2 y 3 a la vez Son divisibles por 6 :

" , 48< :

3

" , 96< " 3

, 7 264< ; J

, 7 5970 < : 3

8 par

" 4+8 = 12= 3

" ... 48 ~ 6

6 par ,

9+6 = 15 = 3

4 par ,

2+6+4=12=3

" O . 7

" 5 + 9 + 7 + O = 21 = 3

Divisibilidad por 9: Un numero es dIvis ib le por 9 cuando la suma de sus cifras (os un multlplo de 9 Son dlvlslb l.,;s por 9

o 87 porque ; 8 + 7 == 15 A 15 == 3

o 45 porque , -I+5 ~ 9 ¡.. 9 ~ 9

, 19B porque : 1 +9+~ ~ 1 8 ¡.. 18 ~ 9

, 3753 porque , 3+ -t +5 + 3 = 18 A 18 ~ 9

o

76806 porque , 7+6+8 + 0 == 27 A 27 = 9

Divis ibil idad po r 10:

Un numero es divisible por 10 cuando termIna en O. Son divisibles por 10 ' 10 : 20 , 30 : 40 ; .. ... . ; 540 . 550 . ..... ; 1590 . 1600 , .... ; etc.

¡NÚMERO S PRIMOS - NÚMEROS COMPUEST OS

NÚMEROS PRIMOS. Son aquellos numeros Que tienen dos dIvIsores la unidad '1 el mismo número

NUMERO PRIMO DIVISORES

2 1 Y 2

3 1 Y 3

5 1 Y 5

7 1 Y 7

41 1 Y 41 , 43

, 1 Y 43 "

53 1 Y 53

59 1 Y 59

67 1 Y 67

NÚMEROS COMPUESTOS.

Son aquellos números que trenen más de dos divisores

NUMERO PRIMO

6

8

9

10

12

14

1DO

DIVISORES

1 . 2 3 . 6

1 , 2,4 , 8

1 . 3 . 9

1 , 2 . 5 , 10

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

1 2 , 7 14

1 , 2 4 5 10 . 20 ,25. 50 100

R ECUERDA Q UE:

- Los numeras O y 1 no son números pnmos ni compuestos - El núm ,'l,fO 2 es el único número pel, primo

DESCOMPOSICiÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Expresar un numero compuesto como producto de factores primos Descomponer tos nume ros

a) 24

e) 54

2 12

6

24 ;:: 2 ~>< 31

V fa ctores pnmos

54 2 -+ 21

27 U3'

9 3 1

54 ;:: 21 x 33

V fa ctores primos

b) 36

36 2} ? ' 18 2 -

9 3 } " 3 3 J

1

"'6 .., 2 .., 2 J = _ X J

V factores primos

_";'

"

d) 120

120 60 30

1

120 = 23X 3 1 X 51

'V fa ctores primos

e) 75

g ) 900

75 3 --+ 3 1

25 5}. ' 5 5 ) 1

7 - , 1 - 2 ) = .> X )

V factores primos

900 22} 2' 450 225 3} 3'

75 3 25 5} . ' 5 5 ) 1

f) 200

200

U2' 100 50 25 ;}S' 5

1

?OO _.,3 _2 _ _ _ x .)

V factores primos

, , ' 900 = T "3 "S"

''\ti' fa ctOfe s primos

CANTIDAD DE DIVISORES (Cd) DE UN NÚMERO COMPUESTO

Sea N - X""III X y fact I , e ores pnmos

=> Cd( N) = (11 + I)(m + 1)

Ejemplos : 1. Calcular Cd(60)

RESOLUCiÓN:

60 = ::! ! X 31 X 5 1

3. Ca lcula r Cd(108) RESOLUC iÓN

lOS = 2' ·3' => Co(60) = (2 + 1)( 1 + 1)( 1 + 1)

- (3)(2)(2)

= 12

Cd(108) = (2 + 1)(3 + t) = 3 x 4

Cd(1 08) = 12

2. Calcular Cd(100)

RESOLUCIÓ N'

100 = 11 .5)

MÁXIMO CQMÚN D I VISOR (MCD) ~

El MeO de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números

Ejemplos: 1 . Hallar el MCD (8 , 12) "

Los Números Sus DIvisores

B 1 . 2.4 , 12

12 1 ,2,3; 4 ; 6 ; 12

Los Divisores Comunes. 1 : 2 , 4 El mayor : 4

: . MCD(8 ,12) = 4

2. Hallar el MeO (12 • 18)

Los Números Sus Divisores

12 1 , 2 . 3 : 4 ; 6 , 12

18 1 ; 2 . 3 , 6 ; 9 ; 18

Los DIvisores Comunes. 1 . 2 • 3 , 6 . El mayor 6

:. MCD(1 2. 18) = 6

3. Hallar el MCO (16 . 24 . 40)

Los Números

16

24

40

Sus DIvisores

1 . 2 , 4 . 8 , 16

1 . 2 . 3 • 4 • 6 • a . 12 • 24

1 . 2 . 4 . 5 . a • 10 ; 20 ; 40

Los DIvisores Comunes 1 2 4 . 8 El mayor 8

POR OESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

. Se descompone en sus fa ctore~ primos comunes Se conllnua hasla Que kas clclebtes sea primos entre si (PESI) El p,Qducto de los facto~es comunes sera el Me O ..

Ejemplo:

1. El MCD(a 12)

8 - 12 4 - 6 2 - 3

V PESI

:. MCD(~ ; 12) = 4

3. MCD( 16 ; 24 . 40)

16 - 24 - 40 2 } 8- 12 - 20 2 ~ '"' ~ ,. :! _ ~ 4 - 6 - 102 2 - 3 - 5

2. El MCD(12 18)

t"'!2 - 18 2} , '~, 6 - 93 _x3 = 6

2 - 3

V PESI

~ ICD(1 2;I S) = (,

PESI : PRIMOS ENTRE si

'V PESI Ml'IJ (16 ;24 ;40) = S

PROPIEDADES DEL MCD

1. Si un número es d ivis ible d e l o t ro. El MeD es el menor de ellos

- MCDIA 12) = A - MCD(8 24) = 8

- MCD(15 5)=5 - MCD(10 50) = 10

2. Si dos o más nüm eros son PESI. El MeO es la un/dad

- MCD(8 . 9) = 1 - MCD(15 • 14 • 4 ) = 1

- MCD(7 , 10 . 12) = 1 - MCD(13 . 9) = 1

M INI M O C O MÚN M Ú LTIPL O (MCM)

El MCM de dos o mas numeros es el menor ll1ulllplO común de ello~

(diferente de cero)

Ej emp los:

1. Hallar el MCM (8 . 6)

los Números

8

12

Sus Multlplos "

O 8 16 . 24 32 40 48 56,

0 .6 12. 18 , 24 , 30 ,36 , 42 , 48 ,

Los M últiplOS Comllnes 24 . 48 . 'o. El menor 24 (diferente de cero)

2. Halla r el MC M (12 , 16)

Los Números

12

16

MCM(8 .6) = 24

Sus Múltiplos

O , 24 36,48, 60 , 72 . 84 ,96 108

0 , 16 , 32 . 48 64 80 96 112 128

Los Mulhplos Comunes 48 96, (dllerente de cero)

El menor 48

MCM(12; 16) - 48

3. Hallar el MCM (20 . 25 . 50)

Los Numeros

20

25

50

Sus Múltiplos

O 20 40 , 60,80 , 100 200 .

O , 25 50 75 , 100 , 125 , 200 ,

0,50. 100 , 150,200 : 300 ,

, 300 ,

., 300 .

400 ,

Los Múl tiplos Comunes 100 200 300 , (diferente de cero)

El menor 100

:. MCM(20: 25; 50) = 100

POR DESCOMPOSICiÓN EN FACTORES PRIMOS 4 Se descompone en sus faclores primos comunes y no comunes ~ Se continua hasta que los clclebtes sean Igual a la unidad - El MCM es el producto ¿f& los factores pnmos comunes y no comunes

Ejemplo:

1. El MCM (8 , 6)

8-6 4 - 3 2-3 1 - 3 1 - 1

2. El MC M (12 , 16)

:. MCM(S , 6) = 2-1

~ - 162 6 - 8 2 3 - 4 2 3 - 2 2 3 - 1 3 1 - 1

3. MC M(20 : 25 : 50)

20 - 2 5 - 50 10 - 2 5 - 25

5 - 25 - 25 1 5 - 5 1 - 1 - 1

i} 2 x2x5x5 = 100

:. MCM(20 ; 25 : 50) = 100

:. ~ I CM(12 : 16) = 48

PROPIEDADES DEL MCM

1. Para dos numeros PES' o consecutioJos. El M CM es el prOducto de ambos

- MCM(3 . 4) = 12 - M CM(5 • 9) = 45

- MCM(5 . 6 ) = 30 - M C M(8 • 15) = 120

- MCM(7 • 6) = 42 - M CM(5 : 12) = 60

2. Si un número es divisible por otro. El MCM es el mayor de ellos

- MCM(20 . 4) = 20 - MCM(9 . 36) = 36

- MCM(7 . 2 1) = 21 - MCM(6 . 18) = 18

- MCM(5 . 45) = 45 :.~~ - MCM (24 48) = 48

3. Sean los números a y b.

- Sea 5 y 7

=> 7x5=MCM(7:5)xMCD(7:S)

35 = 35 x

-Sean 12y15

=> Il x I5 = MCM(12;15) x MCD(ll ;15)

180 = 60 x 3

- Sean 20 y 15

=> lUxI5=MCM(20;15) x MCD(l O;15)

300 = 60 x 5

<, E J ERCICIOS D E APLICACiÓN

01. (.. Cuántos múltiplos de 7 hay entre el 30 y 50?

A) 4 B) 3 C)5 D)6 E) 7

RESOLUCiÓN ,

30 ; 31 , 49 , 50 ,~-~ ~-_/ - y-

o 7 = 35: 42 ; 4tJ. : 3 números

I CLAVE B I

02. ¿C ua ntos múlttplos de 3 pero no de 2 , hay del 5 al 25?

A ) 9 B) 8 C) 6 -"''\0 0) 4 E) 3

RESOLUC iÓN :

Del 5 al 25

" 2 : 6; 8;10 ;12 ;14 ;16 ;18; 20 ;22;24

o

3: 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 2 1 ; 24

" " Luego 3 pero no de 2 : 9 . 15 . 21 '-v---'

3 números ICLAVE E l

03. Del conJllnto

A = {S ; 17 ; 25 ; 49 ; 72 ; 84 , 68} ¿Cuántops son múltiplos de 7?

A) 2 S) 3 e) 1 D)4 E) NA

RESOLUC iÓ N :

De: 8 , 17 , 25 ; 4 9 ; 72 , 84 , 68

o Son 7 ::; 49 ; 84 ::> nl'lmeros

[ CLAVE A [

04. Calcular la suma de los divisores comunes de 24 y 18.

A)8 S) 10 e) 12 D) 1 4 E) 16

RESOLU CiÓN : 1I Los Numeros Sus DIVisores

24 1 ; 2 , 3 . 4 , 6 8 , 12 24 ,~ 18 1 , 2 , 3 , 4 , 6 :~ 18 ¿

Divisores comunes. 1 . 2 . 3 , 6

La suma: 1 +2+ 3 + 6= 12

[CLAVE C [ ,

05. Si: 36X = 2 ¿Cuántos valores tiene X?

A) 6 S) 5 e) 7 D) 8 E) 9

RESOLUCiÓN :

" 36X~2

t 0 ; 2 . 4 , 6 , 8 -> 5 valores [C LAVE s[

06. Calcular la suma máxima de X e Y. o

Si 9X = 5

A ) 7 B) B C) 12 O) 13 E) 14

RESOLUCiÓN : o

9X = 5 <lY = 2 L-o y 5 . mayor 5 L- O ; 2 , 4 . 6 . 6 . mayor 6

:. Sumo máxima 5 + e = 13

IC LAVE D I _ o

07. Si 7a = 6

Es un valor de «a»

A) 5 B) 3 e) B O) O 10) 1

RESOLUCiÓN:

" 7 + a = 3

L- 2 , 5 ; 8

a puede ser 2 Ú 8 I C LAVE C I

08. ¿Cuántos números primos hay del 20 a l 30?

A)6 B) 5 e) 4 0) 3 E) 2

RESOLU C iÓ N : Del 20 al 30 Los números primos. 23 y 39 2 números

I C LAVE E l

09. Del conjunto \. ~ {7; 11: 15 ; 2 1; 32: 43 ; 57 ' 64 : 6Y} " ¿Cua:'itos son .1?

A) 2 S) 3

RESOLUCiÓN :

e) 4

vi ~ '7' 11 . 15' 0 1 . 32 ' 4' )"7' 64 6" I I , , , - , • ..l, , ,J I

~---~---- --------_/ " "--v--

O) 5

J = 15 , 21 ; 57 , 69 4 números

" 10. Si SX 4 la suma d~_,. I OS va lores de «XI)

A)8 S) 6

RESOLUCiÓN :

" 5X ;00- 4

fL --- X =2,6

La suma 2 + 6 = 8

el 4

11. Del 30, la suma de divisore s pares es.

A ) 4 0 S) 4 8 e) 54

RESOLUCiÓ N:

Los diVisores:

0)2

O) 60

30 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 , 15 ; 30

DiVisore s pares: 2 . 6 ; 10 ; 30

La suma. 2 + 6 + 10 + 30 = 4 8

E) 6

I CLAVE e I

E) N A

I CLAVE A l

E) 72

I CLAVE Si

12. Calcular la cantidad de divisores de 48

A) 6 B) 6

RESO LUCiÓ N :

48 2} 24 2 2' 12 2 6 2 1 3 33

C ) 14 D) 12

48 = 2" x 3! Cd(46) = (4 + 1)( 1 + 1)= (5) (2)

Cd(4 6) = 10

13. La suma de diVisores primos de 150

A ) 7 B) 6

RESOLUCiÓN :

1502 - 2' 753 - 31

25 5} 5' 5 5 1

C) 9 D) 10

1-0 ... 1 ... 1 5' ) = ~ X .J x

'V -"¡'

factores primos: (2"": 3 y 5 )

La suma de dIVIsores pnmos' 2 + 3 + 5 = 10

E ) 10

I CLAVE E l

E ) 11

I CLAVE 01 o

14. A = { 19 ; 48 ; 19 , 36 ; 18 ; 57 } . Del conjunto el mayor e lemento de 3 :

A) 46 B) 19 C) 57 D) 26 E) 36

RESOLUCiÓN : • 3 48 : 36 : 57 RECUERDA , , El mayor 57 ab = 3 ~ a + b = 3

" El mayor 3 : 57

I CLAVE C I

15. Calcular MCM(A . 8) Si A = 48 " B = 36

Al 84 B) 100 C) 144 O) 96

RE SOLUCiÓN : 48 - 36 2

24 - 18 2

12 . 9 2

6 9 2 )( 2 x2x 2 x 3x3=1-l4

3 9 3

1 3 3

1 1 MCM(A . Il) = 1-14

'. - , 16. SI MCM{16 . 12) =;lb Calcular a + b

A) 12 B) 10

R ES OLU Ci ÓN :

\ 1('\1(16 : 12) = -Ig = ab

18 - 122

8 - 6 2

e) 8

4 - 3 2 1 x 2 x :2 X 2)( 3 = 48 2 3 2

1 3 3 48 = ab 1 1

~

a =- -!. A b = g => a+b = 12

0)6

E) 160

I C L AV E C I

E) 4

I C LAVE Al

17. Se sabe que· MCD(n • m) :::: 2 y MCM (n . m ) = 24 Calcular m x n

A) 4 0 B) 48 e) 4 5 O) 60 El 72

RESOLUCiÓN :

Propiedad m x n = MCt\I(m . n) x MCD(m. n)

Reemplazamos. 111 x n = 24 )( 2

111 X 11 = 48

I CLAV E B

18. La diferencia entre el MCM y MeD de 20 y 36

A)4 B) 96 C) 120 D) 176 E) 180

RESOLUC iÓ N :

MCM(20 , 36) = 180

MCD(20 36) = 4 <'>

La diferenCia 180 - 4 = 176 I CLAVE D

19. SI el MCM(a . b) = 36 Y el MCO(a b) = 1 Calcular a x b

A) 36 B) 40 C) 45 D) 42

RESOLUCiÓN :

Propiedad

Reemplazamos

"X b = Mnl (",b), \1CD(" ,b)

a x b =36 >;

a x b ::: 36

20. la suma del MC M (20 , 30) con el MCD(36 , 48)

A) 60 B) 72

RESOLUC iÓN : MCM(20 . 30) = 60 MCD(36 , 48) = 12

lasuma 60+ 12=72

C) 84 D) 48

E) 48

I CLAVE A l

E) 48

I CLAVE BI

PROBLEMA 01 Hallar e3a - 1. sabIendo que.

c'

55a76n = 6

Al 17 B) 23

D) B Y C E) 9

PROBLEMA 02

Calcular «4 l1' + 3 :- SI dIvisible por 7

Al 27

D) 11

B) 23

El 39

PROBLEMA 03

S abiendo q ue

C) 5

i 1 ... i t..t2 e s

e) 3 1

, o

6971 a = ~ y 19 b4 1 = 3 Dar como re spuesta ' (a + b) máx. y (a .. b) mino

Al 14 Y 6

D) 18 Y 2

B) 16 Y 4

E) 18 Y 4

e)16y2

PROBLEMA 04 __ o

Si: 123b2 = 3 H al la «b » co nsi derando s u máximo valor.

Al 7 D) 6

B) 5 E) 9

PRO BLEMA 05

el8

Tres motociclistas dan vuelta en una pista El primero cada Sil se ­gundos. el segundo cada 48 se­gundos y e l tercero cada 72 se­gund os Si pa rte n Jun tos , ¿al ca bo de cuán to ti e mpo pasa ran por et punto de partida otra vez?

A) 3 24

Dl 54 2

B ) 4 32

E) 460

e) 234

PROBLEMA 06 SI 360 al descomponerse on sus faClotres pnmos tiene la rorma

al bU .c Halla (a + b + e) ~ (m + n)

A)3 O) 6

B) 4 E) 2

PROBLEMA 07

e) 5

Si P es el M C M de (1 8 y 60) . Q

es MeO de (30 . 15 Y 60) enlon-ces halla 2P +3Q ~~,

A) 510 D) 570

Bl 400 El 405

PROBLEMA 08

el 460

¿Cuttn las diV isores más llene 100 que 56 ?

A) 2 O) 1

B) 4

E) 3

PROBLEMA 09

e)5

S. N = 12 . 18 . 20, (.cuán tos di ­

visores prImos presenta N?

Al 2 D) 4

Bl 3 El 5

e)6

PROBLEMA 10

Entre 60 y 390, ¿cuá ntas nume ­ras son divIsIbles por 6?

A) 56 O) 55

B) 53 E) 54

PROBLEMA 11

el 57

Del 1 al 4306. ¿Cuántos nume-" ros no son (,?

A) 719 O) 3589

B) 3583 E) 3586

PROB LEMA 12

e ) 7'17

(, C uánta s veces es 15 men or qúe 195?

% A) 11 B) 12 e) 13 D) 10 El 9

PROBLE M A 13

Determina r de ux» para que el

número n·hdi sea d ivisIble en­tre 9

A ) 2 D)7

B) 3

E) 9 e) 5

PROBL EMA 14 Hallar el valor de et X » para que

el numero 2;..07 sea divisible entre 9 .

A) 3 B) 5 e)6 D)7 E) 2

PROBLEMA 15

Si aba2b = II Hallar";] 5 + I

A) 7

D) 2 B ) 1

E) N A

PROBLEMA 16

e)3 ~-:~

S .... 2n llene 81 dIvisores. Hallar

«n.

A) 50

O) 60

B) 20

E) N A

PROBLEMA 17

Si

m = Me M (45 ; 30)

n = MeO(36 . 48)

Calcular 2 (m + n)

A) 204 D) 102

Bl 90 E) 100

e)30

e)84

PROBLEMA 18

S ,

MCO(48 , 60) = 2n +4

Calcular: n + 1

A)6 B) 3 O) 5 E) 7

PROBLEMA 19

S , MeM( • • b) = 60

MeDia . b ) = 10.

Calcular a x b

A) 180

O) 780

B) 300 E) 600

PROBLEMA 20

Calcular .

e) 4

e) 400

Me M (96 ; 48) + MeD(4 3 . 72)

A) 100

O) 60

B) 120

El 48

e) 80

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS SELECTOS

PROBLEMA 01 RESOLUCiÓ N

" Si: 55 a 76 a = 6 " ]: , a es par

=" ss.. 76:1 < o (>

3 =;5 +- 5+ 7+ 6 +21 =- 3

" 23 + 1~ = 3

~a=2 8

.. Si a = 2

::::) 3a - l = 5

.. SI a =- 8

=;. 3a - I =- D

PROBLEMA 02

RESO LUCiÓN .

Dlv · por 7 -- " Sr abcde = 7

ICLAVE DI

::::::> abcde 11

3 1 2 3 1 :. 32x 7...: ]: = 7 '-,-J '-v-'

+

" :::. 1 + 3:0.. + 1-4 - x - 6 - 6 = 7

" 2x + -t = 7 ~, = 5

:. -Ix + 3 = ..¡ x .5 + 3 =- 23 rl C"'L'--A"'V"'EO-;:B"I

PROBLEMA 03 RESO LU C iÓ N

" 69Tla = 4

L a = O. 4y8

"

" 16 +b = 3 • L-2 . 5 . 8

(a + b)"" = 8 + 8 = 16

(a 0) r._1I ... = O +~ = 2

ICLAVE cl

PROBLEMA O. RESOLUCiÓN

• => 1+:'!+3 + b + 2 = 3

" Si h = 3 • L- 14 :7

El mayor 7

ICLAVE A l

PROBLE MA 05 RESOLU C IO N El tlernp \ QU(! transcurre sera múltIplo dI'" 54 48 Y 72

=> MCM{54 48 72)

54 - 48 - 72 6 9 - 8 - 12 2

9 - 4 6 2 6x2x2x2xC) _ H::! 9 - 2 3 2 9 - 1 3 9 1 - 1 1

PRO B LE MA 06

RESOLU CIO N

360 2} 180 2 2\

90 2

~~ ~} " -, 5 5 - ) 1

'" 1" , 360 a x .. )( e

ICLAVE BI

Identificando a = 2 . b :;; 3 c=5

m .::. J r. n=2 (O+h -H:) (m + n} ;: (2+ 3+S) (3-,~)

= 10 - 5

= 5 I CLAVE e l

PROBLEMA 07 RESOLUCION

MCM(18 . 60) ; 180 > P = 180

MCD(30 15 60) = 15 -, 0 = 15

2P ... 3Q = 2.180 ' 3 .15

= 360 + 45 = 405

PROBLEMA 08

RESOLUCION ,

100 = 2-)( 5

ICLAVE E l

Cd,,,,,, = (2 + ))(~ + 1) = 9

-6 " 7' ) __ x

LUdgO· Cd ~i<.., f lf"l)

(,J

PROBLEMA 09 RESOLUCION

N =12X1aX20

" I CLAVE D I

, , ,' , '\. '_ ") - ... 'l )' ..,- -. ... _ _ X x _ . )t' _ X)

N = .., ~ 3 ' " _,., )l.

"V (3) dIVIsores primos

(2 . 3 . 5)

I CLAVE B I

PROBLEMA 10 RESOLUC IO N . 60 . ,390 t ~,---~----' t

6.10 S,,11 , 6~12 ;. 6)(64 , 6.65 ~,---~~---'"

64 - 10 = 54

PROBLEMA 11

RESOLUC IO N

4306~ 10 717 46

4

'-:1 C:-:L--:A""V=E--'E~I

Luego

=> 1 .

7 17 x 6 = 4302

; 4 306

"-~ ---' - v-" 7 17 . 6

Numeros que no son múltlplos de

6

4306 - 717 = 3589

PROBLEMA 12 RESOLUC IO N :

I'-C:-:-L-:-A"'V=-E -'0"'1

Es mayor en 195 - 15 = 180

Luego 180 .¡.- 15 = 12

ICLAVE B I

PROBLEMA 13 RESOLU C IO N

" 734x6 = 9

" ~7+3 + -J -+x+6 = 9

" 20+ X = 9

x = 7

P R O BLEMA 14

RESOLUC IO N

" 2xx57 = 9

ICLAVE D I

" :::.2+x+x+5+7=9

" J4 +2x = 9

PROB LEMA 15 RESOLUC IO N

-- " Si; abcde = 1 J

x = 2

ICLAVE E l

~e+c+a - d - h = 1 1

" Luego: aba2b ::::; 1I

=>/+a+a - 2-jf= ti " 2a - 1 = ) )

a = 1 5 .. a + 1= 1+ 1= 2

ICLAVE D I

PRO B LEMA 16 RESOLUCION

SI 2Jn tiene 81 divisores

:::) 4n + 1 = 81

4n = 80

n = 20

PROBLEMA 17

I CLAVE B I

RESOLUCION '"

MCM(45 ; 30) = 90 -> m = 90

MCD(35 . 48) = 12 -> n = 12

:. 2(m + n ) = 2(90 + 12) = 2(102)

= 204

PROBLEMA 18

RESOLUC ION : MCD(48 • 50) = 12

=> 2n+4=12

2n = 8

n=4

·· n+1=5

I CLAVE Al

ICLAVE D I

PROBLEMA 19

RESOLUCIO N .

P ropiedad

aXb= MCM~ . ~.MCD~ . ~

axb=

a x b = 50

500

PROBLEM A 20

RESOLUC IO N

MCM (95 • 48) = 95

• 10

I CLAVE E l

95 · 48 8 . 4

2 • 1

12} ~ 12 x 4 x 2=96

1

MCD(48 • 72) = 24

4&,·72 4 . 6

2 . 3

V PESt

12} 2 11 x 2 = 24

:. MCM(96 ; 4S) ... MCD(48 ; 72) ... w ,... w '

96 + 24 = 120

I C LAVE B I

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 01

De las afirmaciones . , 356 = 3

, 11. 484 = 6

, lit. 532 = 9

" IV 525 = 5

Son verdaderas:

B)lIyll l C) III y IV A) I Y 11

D) I Y IV E) Sólo IV

PROBLEMA 02

De. 17 ; ) 1) • 6 ; 8 ; 39 ; 22 } ¿Cúal es la suma de los numeras pnmos?

A) 42

D) 26

B)36

E) 25

PROBLEMA 03

e) 29

¿Cuántos numeros pnmos ha y enre 30 y 50?

A) 7

D) 4

B) 6

E) 3

e)5

PROBLEMA 04

Es un número primo. inmediato mayor que 15 SI sumamos el do­ble de 16 obtendremos

A) 49

D) 51

B)47

E) 53

PROBLEMA 05 En

35 64 82

71 91 58

53

-''-:~~ 65 93

" ¿Cuantos son 6?

A) O

D) 3

B) 1

E) NA.

PROBLEMA 06

e) 45

37

94

73

e)2

La suma de divisores comunes de 40 y 4 8

A) 8

D) 15

B) 17

E) 14

e) 16

PROBLEMA 07 Calcular la cantidad de divisores de 96

Al 10

Dl 15

Bl 12

El 16

PROBLEMA 08

e) 14

¿Cuántos divisores de dos tiene 84?

A) 8

Dl3

B) 6

E) 5

C)4

PROBLEMA 09 Indicar (V) o (F) segun correspon­da I El número 37 es primo 1I El numero 51 es compuesto 1I1 El número 2 es compuesto IV El número 31 no es primo

A) VVVF Bl WFV

Dl VFFV E) VFFF

PROBL EMA 1 0

Si : X = MeM(12 ; 9l

Y = Me D(15 , 25)

Entonces: 2(X + Y ) es

e)WF F

A) 68

O) 82

B) 75

El 80

el78

PROB LEMA 11 Ca lcul ar la suma de cifras de número primo comprendido e ntn

el 45 y 50

Al 13 O) 14

B) 11

El N A

PROBL EMA 12 Calcular:

el 12

Me M (36 , 18 , 9) + MeD(24 ; 48)

A) 86

O) 64

B) 84

E) 80

PROBLEMA 13

e) 60

La Suma de los divisores pnmo~ de 65 es

Al'rn

O) 19

B) 13

El 23

PROB LEMA 14

e) 17

Si MCD(18 ; 30) = n + 2 ,

Ca lcular Jl - + I

Al 10

Dl 25

Bl 15

El 35

el 17

E D

e A s D

S S

e D

'S

e A

e e e A

E e S I