mate1 optimizacion

8/17/2019 mate1 optimizacion

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Ejercicio No.2 – Cálculo

a) De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen

producto dado, encontrar aquella para la cual la suma de esas componentes es

mínima.

b) Aplica lo anterior al caso P = 100

RESOLUCIÓN

a) Siendo (x, y la pareja !uscada deseamos en este caso minimi"ar la suma

S= x# y

$umpli%ndose la condici&nx ' y = P (1 siendo P, dado'

De la condici&n anterior se concluye que y = P) x' Sustituyendo o!tenemos

*inalmente

S(x = x +

P

x

+usquemos los puntos críticos de la *unci&n anulando la derivada' endremos

dS

=1− P

2= x

2− P2

dS=0→x

2− P=0→x=√ P

-emos descartado la soluci&n ne.ativa ya que x / 0'

studiando el si.no de la derivada primera de la *unci&n o calculando la derivada

se.unda en el punto crítico podemos clasi*icarlo'

0 dS

Si.nodx

√ P

0

l punto crítico corresponde entonces a un mínimo y su ordenada vale S( √ P¿=2√ P

+osquejemos la *unci&n SS(x = x +

P

x



$alculemos x→+∞ lim ¿

a .r2*ica de la *unci&n S ser2

a componente y de la pareja la o!tenemos de la relaci&n (1 x

3inalmente entonces la pareja !uscada es (√ P ,√ P) y su suma S = 2√ P

b) Siendo P = 100 la pareja ser2 (10, 10 y su suma S = 40

Ejercicio No.4 - Geomer!a

5ediante do!leces 6ec6os en un alam!re rectilíneo de lon.itud dada L se desea

limitar un 2rea rectan.ular "' os extremos del alam!re se soldar2n'

"

xtremos soldados

a) 7ndica en un esquema posi!les posiciones de los puntos donde de!er2n e*ectuarse

los do!leces'

8$u2ntos rect2n.ulos di*erentes puedes construir9 8$ r e e s que todos tienen

i.ual 2rea9

b) ncuentra una expresi&n para el 2rea " en *unci&n de uno de los lados del

rect2n.ulo y !osqueja la *unci&n "'

c)8 $u2l es el rect2n.ulo de 2rea má#ima y cu2nto vale su 2rea9



Ejercicio No.$ - Cálculo

<na empresa tiene capacidad de producir como m2ximo 1'000 unidades al mes de

cierto producto'

l costo total de producci&n $t en miles de d&lares por mes responde a la expresi&n

C (q )=3

q −2

q +36 q+81

Donde q es el número de unidades producidas en miles de unidades por mes'

Determine la producci&n mensual de la empresa que minimice el costo total de

producci&n y calcule ese costo'

RESOLUCIÓN

$omo nos piden que minimicemos el costo de producci&n, derivaremos la *unci&n

respecto de q'

dC

dq =q

2−15q+36=0

(q−12 ) (q−3 )=0→q=3∨q=12

Anali"ando el si.no dedC

d

14 es un mínimo' $(0=>1 $(14=? $(1= >'

q =14 es el mínimo a!soluto

l mínimo costo de producci&n le corresponde a la *a!ricaci&n de 14000 unidades y su

valor es de ?000



Ejercicio No. % – &u!mica

a masa m de a.ua que a 0@$ ocupa un volumen de 1 litro, ocupar2 a ' @$ un

volumen ( en litros dado por la expresi&n

( = 10

B

( BC,>'10

B

# >,' 10

B1

4

E C,F' # 10

0 G G 10

Hecordando que la densidad I de una sustancia 6omo.%nea es

I =m

a) ncuentra la temperatura ' para la cual la densidad I del a.ua es má#ima.

b) +osqueja (t para 0 G G 10'

RESOLUCIÓN

a $omo ρ=

m

V siendo m constante, la densidad del a.ua ser2 m2xima

cuando el volumen sea mínimo' ntonces minimi"aremos en [0,10 ]

DerivamosdV

dT =10−5

(−20,4.10−3

T 2

+0.17T −6.4 )=0

Hesolviendo la ecuaci&n

−b ± √ b2−4ac=−0.17±√ (−017)2−4(−20.4)(−6.4)

−

J!tenemos como raíces1 = '?4 y 4 = K? De acuerdo al intervalo solo consideramos 1 = '?4

Anali"amos el si.no de la derivada

l valor 6allado de corresponde a un mínimo de la *unci&n'$omo (0 = 1 y (10 = 1'0001F4

ntonces '?4 es el mínimo a!soluto de la *unci&n' l a.ua tiene densidad m2xima auna temperatura de '?4 @$



! (0 = 1 y (10 = 1'0001F4

Ejercicio No. * -Ni+el ,e ,ema,a

<na empresa distri!uidora de ca*% tiene una *unci&n de demanda dada por

p = B 0, q4

E 0,C q # 000

precio<LS

/ cantidad demandada en oneladas

onelada



a) Hepresenta .r2*icamente la *unci&n demanda'

b) Siendo el in.reso total I de la empresa el producto de la cantidad demandada por

el precio de venta, 7 = q'p

i -alla el nivel de demanda que 6ace má#imo el in.reso total'

ii $alcula ese in.reso m2ximo'

iii 7ndica el precio de venta correspondiente de la tonelada de ca*%'

RESOLUCIÓN

a a *unci&n demanda de la empresa es p (q)=300−0.3q2−0.6q ' s una

*unci&n cuadr2tica de concavidad ne.ativa'P(0 = 000 -allamos los puntos de corte con el eje M

−0.3q2−0.6 q+3000=0

q2+2q−10000=0

(q+1)2=10001

q=99.004

! 7 Siendo el in.reso 7 = p ' q sustituimos p de la primera expresi&n

I (q )=(−0,3q2 – 0,6q+3000 )q=−0,3q3 – 0,6q2+3000q

studiaremos la *unci&n en el intervalo [0,99 ] 7(0 =0 7(?? = 0

-allando los puntos críticos

dI

dq=−0,9q2 – 1 ,2q+3000=0

q =K

Anali"ando el si.no dela derivada



q = K es un m2ximo' $omo 7(0 =0 7(?? = 0 K es el m2ximo a!soluto

77 l in.reso m2ximo ser2 7(K= 1100

777 De la expresi&n p = B 0, q4

E 0,C q # 000 P(K = 1??0

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