matejaš- skripta matematika (najdetaljnije za usmeni)
TRANSCRIPT
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
1/565
UVOD
Ovi nastavni materijali namijenjeni su studen-
tima koji slusaju predmet matematika a re-
zultat su visegodisnjeg rada u nastavi iz ovogpredmeta. U svrhu lakseg pracenja i boljeg
razumijevanja, gradivo je izlozeno na pristupa-
can nacin sa detaljnim objasnjenjima i brojnim
primjerima. Iako ovi materijali cine sustinu
nastave, studentima se preporuca pohadanje
nastave gdje ce dobiti, po potrebi, i sva do-
datna objasnjenja i informacije. Svaka suges-
tija i konstruktivna kritika, u svrhu poboljsanja
ovih materijala, je dobrodosla.
Zelim vam sto uspjesnije savladavanje izloze-
nog gradiva !!
J.M.
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
2/565
SADRZAJ
Matrice . . . 1Tipovi matrica . . . 2
Racunske operacije sa matricama . . . 8
Vektorski prostor Rn . . . 17
Linearna (ne)zavisnost vektora . . . 19Rang matrice . . . 22
Sustavi linearnih jednadzbi . . . 28
Determinanta kvadratne matrice . . . 41
Inputoutput analiza . . . 54
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
3/565
+ +
MATRICE
Definicija: Neka su m i n prirodni brojevi.
MatricaAtipa (reda ili formata)mnje svakapravokutna tablica elemenata (brojeva) pore-
danih u m redaka i n stupaca.
Simbolicki
A=
a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n
... ... ... ...am1 am2 am3 . . . amn
ili krace
A= [aij], i= 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n .
Oznake: A , B , C , . . . za matrice;
aij, bkl, cir, . . . za matricne elemente,
npr. a42, b15,12, c11, d25,7, . . .
Promatrat cemo samo realne matrice (matric-ni elementi su realni brojevi).
Skup svih matrica istog tipamnoznacavamosa Mmn (ili Mmn ili Rmn), npr. R1020,M144, M23, M15, M51, . . .
+ 1
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
4/565
+ +
Ako je m = n matricu nazivamo kvadratna
matrica reda n. Skup svih kvadratnih matrica
istog reda oznacavamo sa Mn, npr. M2, M4,
M8, . . .
TIPOVI MATRICA
Pravokutna (m =n) i kvadratna (m=n).
Nulmatrica (oznaka O ili Omn) je matrica ciji
su svi elementi jednaki nuli.
Glavna dijagonala kvadratne matrice A Mnje uredeni skup {a11, a22, a33, . . . , ann} .
Trag kvadratne matrice A je broj
tr(A) =a11+ a22+ a33+ . . . + ann .
+ 2
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
5/565
+ +
Tipovi kvadratnih matrica
Kvadratna matrica A Mn moze biti:
gornja trokutasta: aij = 0 za i > j;
donja trokutasta: aij = 0 za i < j;
dijagonalna: aij = 0 za i
=j;
skalarna: dijagonalna i
a11=a22=. . .=ann;
jedinicna (oznaka I ili In): dijagonalna i
a11=a22=. . .=ann= 1.
+ 3
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
6/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
7/565
+ +
PRIMJERI
1. Zadane su matrice
A=
4 1/2
x 33 1
0 x
, B = 0
10.725
.Odredite a21, a12, a42, b13, b31.
2. Napisite matricu A M23 ako jeaij =i
2 j2.
3. Napisite matricu X M4 ako je
xij = 1 za i < j1 za i > j0 za i=j .
+ 5
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
8/565
+ +
4. Zadane su matrice A=
0 x/y
x y2
,
B =
0 2
x 9
, C=
x 2
x 3x
.
Odredite parametre x i y tako da je:(a) A=B, (b) B =C.
5. Zadana je matrica
T =
1 4 x
x2 0 x3
x 8 5
.Za koju vrijednost parametra x je matrica
T simetricna?
6. Odredite trag matrice T iz primjera 5.
+ 6
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
9/565
+ +
7. Karakterizirajte slijedece matrice
A=
0 1
7 0.4
2 1 0 3
, B =
0 00 0
0 0
,
C= [6 2 0], D = 0
1 , E= [ 7 ],
F =
1 2 30 0 1
0 0 5
, G=
6 0 0 00 0 0 00 0 0 07 0 0 0
,
H=
8 0 00 8 0
0 0 8
, K=
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
.
8. Odredite tr(K) iz primjera 7 te zakljucite
koliki je tr(In)?
+ 7
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
10/565
+ +
RACUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA
Zbrajanje matrica
Matrice mozemo zbrajati samo ako su istog
reda i to tako da zbrajamo odgovarajuce ele-
mente. SimbolickiA= [aij], B = [bij] Mmn
A + B = [aij+ bij] Mmn.Mnozenje matrica brojem (skalarom)
Matricu mnozimo brojem tako da njime pom-
nozimo svaki njezin elemenat. Simbolicki
A= [aij] Mmn, R A= [aij] Mmn.Za = 0 je 0 A=O (nul-matrica).Za =1 je (1) A =A (suprotna mat-rica).Oduzimanje matrica je zbrajanje sa suprot-
nom matricom: A B =A + (B) .Ocito je: A A=A + (A) =O .
+ 8
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
11/565
+ +
Linearna kombinacija matrica
Definicija: Neka su dane matrice
A1, A2, . . . , Ak Mmni brojevi
1, 2, . . . , k R.Tada matricu
A=1A1+ 2A2+ . . . + kAk Mmnnazivamo linearna kombinacija danih ma-
trica. Pri tome brojeve1, 2, . . . , k nazivamo
koeficijenti linearne kombinacije.
Linearna kombinacija je trivijalna ako su svi
koeficijenti jednaki nuli (ona je tada jednaka
nul-matrici).
U protivnom (barem jedan koeficijent je raz-
licit od nule) linearna kombinaciju nazivamo
netrivijalna.
+ 9
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
12/565
+ +
PRIMJER
Zadane su matrice
A= y x2
9 y , B = 1 6
2x y .Odredite parametre x i y tako da matrica
2A 3B bude: (a) donja trokutasta;(b) dijagonalna; (c) skalarna.
RJESENJE:
2A 3B =
2y 3 2x2 1818 6x y
.
(a) 2x2 18 = 0 x {3, 3}, y R;(b) 2x2 18 = 0 i 18 6x= 0
x= 3, y R;(c) uvjeti pod (b) i 2y 3 = y
x= 3, y = 1.
+ 10
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
13/565
+ +
SVOJSTVA ZBRAJANJA MATRICA I
MNOZENJA MATRICA BROJEM
Za sve A, B , C Mmn i , R
vrijedi
1. (A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost)
2. A + B =B+ A (komutativnost)
3. (A + B) =A + B,
( + )A=A + A (distributivnost)
4. (A) = ()A (asocijativnost)
+ 11
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
14/565
+ +
MNOZENJE MATRICA
Dvije matrice mozemo pomnoziti medusobnosamo ako su ulancane (prva matrica ima to-liko stupaca koliko druga redaka). Produkt jematrica sa toliko redaka kao prva, a stupacakao druga matrica u umnosku. Simbolicki
A(m n) B(n p) = C(m p) .Pri tome elemenat umnoska na mjestu (i, j)dobijemo skalarnim mnozenjem i-tog retka pr-ve matrice sa j-tim stupcem druge matrice(prvi elemenat i-tog retka mnozimo sa prvimelementomj-tog stupca, drugi sa drugim, itd.
te tako dobivene produkte zbrojimo). Sim-bolicki
cij =ai1b1j+ ai2b2j+ ai3b3j+ . . . + ainbnj .
PRIMJERI
1. Ako imamo matrice A(3 3), B(4 3)i C(3 1), koje umnoske od dva clanamozemo sastaviti?
+ 12
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
15/565
+ +
2. Za matrice
A=
1 0 10 2 1
, B =
2 01 10 1
,odredite A B i B A.RJESENJE:
Imamo A(2 3) B(3 2) =AB(2 2),(AB)11= 1 (2 ) + 0 1 + (1) 0 = 2,(AB)12= 1 0 + 0 1 + (1) (1) = 1,(AB)21= 0 (2 ) + 2 1 + 1 0 = 2,(AB)22= 0 0 + 2 1 + 1 (1) = 1, pa je
AB =2 1
2 1
.
Slicno je B(3 2) A(2 3) =BA(3 3) i
BA= 2 0 2
1 2 00 2 1 .
Uocimo da je opcenito
A B = B A .
+ 13
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
16/565
+ +
3. Ako su definirani matricni produkti AB i
BA, tada vrijedi tr(AB) = tr(BA). Prov-
jerite to na matricama iz primjera 2.
4. Primijetimo da za kvadratnu matricu A
mozemo definirati potencije: A2 = A A,A3 = A A A = A A2 = A2 A, . . .An =An1 A=A An1.
5. Neka je A Mn proizvoljna matrica teO, I Mn. Provjerite da vrijedi
AO=OA =O, AI =IA=A .
+ 14
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
17/565
+ +
SVOJSTVA
Za matrice A, B , C odgovarajucih formata i
R vrijede:Svojstva matricnog mnozenja
1. (AB)C=A(BC)
2. A(B+C) =AB+AC, (A+B)C=AC+BC
3. (AB) = (A)B =A(B)
Za kvadratnu matricu A vrijedi i
4. AI=IA=A
5. AO =OA =O
Svojstva transponiranja
1. (A + B)T =AT + BT
2. (A)T
=AT
3. (AT)T =A
4. (AB)T =BTAT
+ 15
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
18/565
+ +
INVERZNA MATRICA
Definicija: Ako za matricu A Mn postojimatrica A1 Mn takva da vrijedi
A A1 =A1 A=I ,
tada je A1
inverzna matrica matrice A.Uocimo da se inverzna matrica definira samo
za (neke) kvadratne matrice.
Ako kvadratna matrica ima inverz, nazivamo
je regularna. U protivnom je singularna.
Inverzna matrica, ako postoji, je jedinstvena.Naime ako su B i C inverzne matrice od A
tada je
B =BI=B(AC) = (BA)C=IC=C .
Svojstva invertiranja
1. (A1)1 =A2. (A)1 = 1 A13. (AT)1 = (A1)T4. (AB)1 =B1A1
+ 16
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
19/565
+ +
VEKTORSKI PROSTOR Rn
Skup
Rn =
x1x2
...xn
: x1, x2, . . . , xn R
nazivamo realni vektorski prostor.
Imamo R1 = R, R2, R3, R4, . . .Primijetimo da je Rn =Mn1 (ili M1n).Elemente vektorskog prostora nazivamo vek-tori. Svaki vektor ima n komponenti.Nul-vektor (O) ima sve komponente nule.
Skalarni produkt u Rnje preslikavanje koje svakom paru vektorax, y Rn pridruzuje realni broj
xTy =x1y1+ x2y2+ x3y3+ . . . + xnyn .
Svojstva skalarnog produkta
Za sve x, y, z Rn
i R vrijedi:1. xTx 0,xTx= 0 x=O (pozitivna definitnost)
2. xTy =yTx (simetrija)3. (x + y)Tz =xTz+ yTz (aditivnost)4. (x)Ty =(xTy) (homogenost)
+ 17
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
20/565
+ +
Okomitost vektora
Ako je skalarni produkt dvaju vektora nula,kazemo da su vektori medusobno okomiti iliortogonalni, i obratno. Simbolicki
xTy = 0 x y .
PRIMJERI
1. Zadani su vektori
x=
13
, y =
3
1
, z =
40
.
Odredite xTy, xTz i yTz.Kakvi su vektori x i y ?
2. Zadani su vektori
A= t
10 , B =
1
23 .
Za koju vrijednost parametra t su vektoriA + B i A B medusobno okomiti?RJESENJE: t= 13.
+ 18
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
21/565
+ +
LINEARNA (NE)ZAVISNOST VEKTORA
Definicija: Skup vektora
{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno nezavisanako je samo trivijalna linearna kombinacija tih
vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi1A1+ 2A2+ . . . + kAk =O
1=2=. . .=k = 0 .
Skup vektora
{A1, A2, . . . , Ak} Rn je linearno zavisan akopostoji i netrivijalna linearna kombinacija tihvektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi
1A1+ 2A2+ . . . + kAk =O i = 0 bar za jedan i {1, 2, . . . , k} .
Drugim rijecima, skup vektora je linearno zavi-
san ako se bar jedan vektor iz tog skupa mozeprikazati pomocu preostalih (kao njihova line-
arna kombinacija). Ako to nije moguce, skup
je linearno nezavisan.
+ 19
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
22/565
+ +
PRIMJER
Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa:
1.
12
,
11
R2
1 12 + 2 11 = 00 1+ 2 = 0
21+ 2 = 0 1 = 0, 2= 0 .
Skup vektora je linearno nezavisan.
2.
22
,
11
R2
1
22
+ 2
11
=
00
21+ 2 = 021+ 2 = 0 2 = 21, 1 R .
npr. 1= 1, 2= 2ili 1 = 3, 2 = 6, itd.Skup vektora je linearno zavisan.
+ 20
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
23/565
+ +
Skup vektora generira ili razapinje vektorski
prostor Rn ako se svaki vektor iz Rn moze
prikazati pomocu vektora iz tog skupa (kao
njihova linearna kombinacija).
Skup vektora je baza prostora Rn ako:
je linearno nezavisan; razapinje prostor Rn.
Broj vektora u bazi ne ovisi o izboru baze i
naziva se dimenzija vektorskog prostora.
PRIMJER: Kanonska baza prostoraR
n
.
B =
100...0
,
010...0
,
001...0
, . . . ,
000...1
Uocimo da su vektori kanonske baze stupci
jedinicne matrice reda n.
Dimenzija prostora Rn: dim(Rn) =n.
+ 21
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
24/565
+ +
RANG MATRICE
Rang matrice je najveci broj linearno neza-
visnih redaka (ili stupaca) te matrice.
Moze se pokazati da je rang po recima isti
kao i rang po stupcima, pa je
A Mmn r(A) min{m, n} .Rang odredujemo primjenom elementarnih
transformacija na retke ili stupce matrice.
Elementarne transformacije su: zamjena dvaju redaka (stupaca); mnozenje retka (stupca) brojem razlicitim
od nule;
zbrajanje dvaju redaka (stupaca).
Primjenom elementarnih transformacija rangmatrice se ne mijenja. Cilj je pomocu elemen-
tarnih transformacija svesti matricu na ekviva-
lentnu matricu iz koje je rang ocigledan.
+ 22
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
25/565
+ +
PRIMJERI
Odredite rang slijedecih matrica
1. A=
1 1 1 11 2 3 44 3 2 1
2. M =
3 3 3 t1 1 1 22 2 1 14 4 4 8
3. A M4: aii=b, aij = 1 za i =j.Rjesenje:
A=
b 1 1 11 b 1 11 1
b 1
1 1 1 b
b= 1 r(A) = 1,b= 3 r(A) = 3,b = 1, b = 3 r(A) = 4.
+ 23
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
26/565
+ +
RJESENJA
1.
A 1 1 1 1
1 2 3 44 3 2 1
(1)(4)
|
1 1 1 1
0 1 2 30
1
2
3
1
|1 1 1 10 |1 2 3
0 0 0 0
r(A) = 2.
Nakon provedenih transformacija rang je
broj neponistenih redaka ili broj stepe-nica. Pri tome u svakom retku treba biti
nova stepenica.
+ 24
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
27/565
+ +
2. M
1 1 1 22 2 1 14 4 4 83 3 3 t
(2)
(4)|
(3)||
1 1 1 20 0 3 50 0 0 00 0 0 t 6
|1 1 1 20 0 |3 50 0 0 |t 60 0 0 0
t 6 = 0 t= 6 r(M) = 2 ,t 6 = 0 t = 6 r(M) = 3 .
+ 25
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
28/565
+ +
Skup vektora {A1, A2, . . . , Ak} Rn
je linearno nezavisan ako jer(A) =k (broju vektora);
je linearno zavisan ako jer(A)< k (broja vektora);
razapinje prostor Rn ako je r(A) =n;
baza prostora Rn ako jer(A) =n=k (broju vektora).
Pri tome je A matrica ciji su stupci (ili reci)
vektori A1, A2, . . . , Ak.
+ 26
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
29/565
+ +
PRIMJER
Za koju vrijednost parametra t R skup vek-tora
10t
,
0t0
,
t01
,
cini bazu vektorskog prostora R3 ?
RJESENJE
A =
1 0 t0 t 0t 0 1
(t)|
1 0 t0 t 0
0 0 1 t2
t= 0 r(A) = 2 ,1
t2 = 0
t=
1
r(A) = 2 ,
t = 0 i t = 1 r(A) = 3 .Skup vektora je baza za t R\ {1, 0, 1}.Postaviti i ostala pitanja za ovaj i prethodne
primjere!
+ 27
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
30/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
31/565
+ +
Ako je B = O =
0...
0
, imamo homogen
sustav, u protivnom (B = O) nehomogen.Svaku matricu X koja zadovoljava jednadzbu
AX = B, nazivamo rjesenje sustava. Sus-
tav koji ima rjesenje nazivamo rjesiv, moguc,
konzistentan ili kompatibilan.
Teorem (Kronecker-Capelli):
Sustav linearnih jednadzbi ima rjesenje ako i
samo ako je r(A) = r(A|B) (rang matrice sus-tava jednak rangu prosirene matrice sustava).
Dokaz: Neka su A1, A2, . . . , An Rm stupcimatrice A. Sustav AX = B sada mozemopisati u obliku x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn=B.
Ako sustav ima rjesenje, tada je B linearna
kombinacija vektora A1, . . . , An. To znaci da
dodavanje linearno zavisnog vektora B, skupu
stupaca matrice A, nece promijeniti rang.
Ako je r(A) = r(A|B), tada je B linearno za-visan u odnosu na stupce matrice A, pa se
moze napisati kao njihova linearna kombina-
cija. Koeficijenti te kombinacije su rjesenje
sustava, dakle, sustav ima rjesenje.
+ 29
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
32/565
+ +
Homogeni sustav AX=O uvijek ima bar jed-
no rjesenje i to trivijalno
X=O (x1=x2=. . .=xn= 0),
jer je r(A) = r(A|O).
Opcenito za sustav AX=B vrijedi:
1. r(A) = r(A|B)
ima rjesenje i to:
jedinstveno ako je r(A) jednak broju ne-
poznanica,
beskonacno mnogo rjesenja ako je r(A)
manji od broja nepoznanica;
2. r(A) = r(A|B) nema rjesenje.
+ 30
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
33/565
+ +
U slucaju beskonacno mnogo rjesenja sustav
ima toliko slobodnih parametara (nepoznani-
ca) za koliko je r(A) manji od broja nepoz-nanica.
Za homogeni sustav slucaj 2. ne moze nas-
tupiti.
Sustav rjesavamo GaussJordanovom me-
todom. Ona se sastoji u primjeni elemen-tarnih transformacija na retke prosirene mat-
rice sustava. Kako elementarne transforma-
cije ne mijenjaju rjesenje sustava, pomocu njih
sustav prevodimo u ekvivalentni iz kojeg se
rjesenje moze direktno ocitati.
+ 31
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
34/565
+ +
PRVI PRIMJER
Rijesite sustav
2x y + 3z = 12x + y z = 1
3x + 2y + 2z = 5 .
Sastavimo prosirenu matricu sustava A
|B:
1 1 1 | 12 1 3 | 123 2 2 | 5
(2) (3)|
1 1 1 | 1
0 3 5 | 140 1 5 | 8
1 1 1 | 10 1 5 | 8
0 3 5 | 14
(3)
|1 1 1 | 10 |1 5 | 8
0 0 |10 | 10
r(A) = 3 = r(A|B) = broju nepoznanica, sus-tav ima jedinstveno rjesenje;
+ 32
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
35/565
+ +
unutar matriceAformiramo jedinicnu matricu
reda 3:
|1 1 1 | 10 |1 5 | 8
0 0 |10 | 10
: (10)
1 1 1 | 10 1 5 | 80 0 1 | 1
(5)|1
1 1 0 | 00 1 0 | 30 0 1 | 1
1
1 0 0 | 30 1 0 | 3
0 0 1 | 1
(1)
1 0 0 | 30 1 0
| 3
0 0 1 | 1 x = 3y = 3z = 1 .
+ 33
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
36/565
+ +
DRUGI PRIMJER
Rijesite sustav
3x1 x2 + 4x3 5x4 = 1
x1 + 3x2
x3 + 2x4 = 0
2x1 + 2x2 + 3x3 3x4 = 3 .Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B:
1 3 1 2 | 03 1 4 5 | 12 2 3 3 | 3
3
2|
1 3 1 2 | 00 8 1 1 | 1
0 8 1 1 | 3
(1)
|1 3 1 2 | 0
0 |8 1 1 | 10 0 0 0 | |4 r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nema rjesenje.Zadnja jednadzba glasi 0 = 4 !?
+ 34
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
37/565
+ +
TRECI PRIMJER
Rijesite sustav
x + y + z = 22x y + z = 33x + 2z = 5 .
Sastavimo prosirenu matricu sustava A|B: 1 1 1 | 22 1 1 | 3
3 0 2 | 5
(2) (3)|
1 1 1 | 20 3 1 | 1
0 3 1 | 1
(1)
|1 1 1 | 20
|3
1
| 1
0 0 0 | 0
r(A) = 2 = r(A|B) < 3 = broj nepoznanica,sustav ima beskonacno mnogo rjesenja sa jed-
nim slobodnim parametrom;
+ 35
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
38/565
+ +
unutar matriceAformiramo jedinicnu matricu
reda 2:
1 1 1 | 20 3 1 | 1
0 0 0 | 0
: (3)
1 1 1 | 20 1 1/3 | 1/30 0 0 | 0
(1)
1 0 2/3 | 5/30 1 1/3 | 1/30 0 0
| 0
x +
23 z =
53
y + 13 z = 1
3
x = 53 23 zy = 13 13 zz R
Ovo je opce rjesenje sustava u parametarskom
obliku (z je slobodni parametar sustava).
+ 36
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
39/565
+ +
CETVRTI PRIMJER
Cetiri trgovacke firme A, B, C i D narucujurobu od istog dobavljaca, dakle, svaku vrsturobe po istoj cijeni. Firma A je narucila 5tbrasna (t = tona), 3t secera i 1t kave zasto je platila 110 000 kuna. Firma B je za3t brasna, 2t secera i 2t kave platila 179 000
kuna. Firma C za 4tbrasna, 4t secera i 3tkaveplaca 272 000 kuna. Koliko ce platiti firma Dza svoju narudzbu od 1t brasna, 1t secera i 1tkave? Zadatak rijesite matricnim racunom.
RJESENJE: Oznacimo cijene za 1t brasna,
secera i kave sa x, y i z. Imamo sustav5x + 3y+ z = 110 000
3x + 2y+ 2z = 179 000
4x + 4y+ 3z = 272 000 ,
koji rijesimo matricno (najbolje je uzeti re-dosljed nepoznanica z, y, x).Dobijemo x= 3 000, y = 5 000 i z = 80 000.Rjesenje zadatka je x + y+ z = 88 000 kuna.
Napomena: zadatak mozemo rijesiti i tako davektor [1, 1, 1] prikazemo kao linearnu kombi-naciju vektora [5, 3, 1], [3, 2, 2] i [4, 4, 3].
+ 37
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
40/565
+ +
PETI PRIMJER
Kako broj rjesenja sustava
tx + ty + 4z = 2x + y + tz = 1
3y tz = 3ovisi o vrijednosti realnog parametra t ?
Imamo:
1 1 t | 10 3 t | 3t t 4 | 2
(t)|
1 1 t | 10 3 t | 3
0 0 4 t2 | 2 + t
t= 2 r(A) = 2, r(A|B) = 3 sustav nemarjesenja,
t =2 r(A) = 2 = r(A|B) < 3 sustavima beskonacno mnogo rjesenja,
t=2 r(A) = 3 = r(A|B) sustav imajedinstveno rjesenje.
+ 38
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
41/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
42/565
+ +
1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 0
0 1 4 | 1 0 1
1
1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 3 1 0
0 0 1 | 2 1 1
3
|(1)
1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 30 0 1 | 2 1 1
(1)(1)
1 0 0 | 3 1 10 1 0 | 9 4 3
0 0 1 | 2 1 1
= I| A1
Dakle, A1 = 3
1
1
9 4 32 1 1
.Provjera: A A1 =A1 A=I .
+ 40
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
43/565
+ +
DETERMINANTA KVADRATNE MATRICE
Svakoj kvadratnoj matriciApridruzen je jedin-stveni realni broj koji nazivamo determinantai oznacavamo sa|A| ili det(A). Determinantudefiniramo na slijedeci nacin:
Determinanta reda 2:
A= 4 1
3 2
det(A) =
4 13 2
= 4 2 (1) 3 = 11
Determinanta reda 3 (Sarrussovo pravilo):
B =
2 1 03 2 1
4 0 5
|B| = 2 1 0
3 2 14 0 5 2 1
3 24 0= 2 2 5 + (1) 1 4 + 0 (3) 0
0 2 4 2 1 0 (1) (3) 5= 20 4 + 0 0 0 1 5 = 1
+ 41
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
44/565
+ +
Determinante viseg reda (n >3):
A Mn, |A| = ?Ako u matrici A izostavimo (izbrisemo) i-ti
redak i j-ti stupac dobivamo novu matricu
Aij Mn1. Njena determinanta naziva sesubdeterminanta ili minora|Aij|.Kofaktor ili algebarski komplement Aij ele-
menta aij definiramo kao
Aij = (1)i+j |Aij| .
|A
|dobijemo Laplaceovim razvojem po jed-
nom (proizvoljnom) retku ili stupcu:
|A| =n
j=1
aij Aij (razvoj po i-tom retku)
|A| =n
i=1aij Aij (razvoj po j-tom stupcu)
PRIMJER: Provjerite da je determinanta tro-
kutaste (dijagonalne) matrice jednaka umnos-
ku njenih dijagonalnih elemenata.
+ 42
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
45/565
+ +
SVOJSTVA DETERMINANTI
1. Zamjenom dvaju redaka ili stupaca deter-
minanta mijenja predznak.
2. Determinantu mnozimo brojem tako da
njime pomnozimo samo jedan (bilo koji) redak
ili stupac.
3. Determinanta se ne mijenja ako jednom
retku ili stupcu dodamo linearnu kombinaciju
preostalih redaka ili stupaca.
4. Determinanta koja ima nul-redak ili nul-
stupac jednaka je nuli.
5. Determinanta koja ima dva ista retka ili
stupca jednaka je nuli.
6. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno
zavisni jednaka je nuli.
7. Determinanta ciji su reci (stupci) linearno
nezavisni razlicita je od nule.
+ 43
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
46/565
+ +
PRIMJER
1 3 1 02 2 2 1
3 0 3 13 0 0 5
= razvoj po cetvrtom retku =
= (
3)
(
1)4+1
3 1 02 2 10 3 1
+ 0 + 0
+ 5 (1)4+4 1 3
1
2 2 23 0 3
= 3 1 + 5 0 = 3
+ 44
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
47/565
+ +
Napomena: prije razvijanja determinante neke
elemente mozemo ponistiti, npr.
1 3
1 0
2 2 2 13 0 3 1
3 0 0 5
1
(5)|
=
1 3 1 02 2 2 1
1 2 1 07 10 10 0
= razvoj po cetvrtom stupcu =
= 1
(
1)2+4
1 3 11 2
1
7 10 10
=. . .= 3
+ 45
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
48/565
+ +
Jos neka svojstva determinanti
Za A, B Mn i R vrijedi1. |AT| = |A|2. |A B| = |A| |B| (Binet-Cauchyjev teorem)3. |Ak| = |A|k4. |A1| = |A|1 = 1
|A
|5.|A| =n|A| (uocimo da jenred matrice)
PRIMJERI
1. Za matrice
A=
4 32 2
, B =
3 14 4
izracunajte det
5A4B1A3
.
RJESENJE:
5A4B1A3 = 52 A4B1A3= 25 |A|4 |B|1 |A|3= 25 24 (16)1 23= 200 .
+ 46
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
49/565
+ +
2. Za matricu
K=
2 0 0 03 1 0 0
4 7 1 08 6 4 2
odrediteK1= ? i 2K3= ?
RJESENJE: Kako je K donja trokutasta
matrica imamo
|K
|= 2
(
1)
1
2 =
4,
pa jeK1 = 1|K| = 1
4 ,
2K3
= 24 K3
= 24 |K|3
= 24 (4)3 = 1024 .
+ 47
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
50/565
+ +
DETERMINANTA, RANG I
REGULARNOST MATRICE
Rang matrice jednak je najvecem redu minore
te matrice koja je razlicita od nule.
Za matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:
A je regularna rang(A) =n (najveci moguci rang)
det(A) = 0 stupci (reci) od A su linearno nezavisniZa matricu A Mn slijedece tvrdnje su ekvi-valentne:
A je singularna rang(A)< n det(A) = 0 stupci (reci) od A su linearno zavisni
+ 48
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
51/565
+ +
PRIMJER
Ispitajte regularnost matrice
A=
1 0 1x 2 33 x 2
RJESENJE:
Prvi nacin:
|A| =
1 0 1x 2 33 x 2
1 0x 23 x
= 4 x2 + 6 3x
|A| = x2 3x + 10 = 0 x {5, 2}
Za x {5, 2} matrica A je singularna,za x R\ {5, 2} matrica A je regularna.
+ 49
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
52/565
+ +
Drugi nacin:
A 1 0 13 2 x
2 x 3
3 2|
1 0 10 2 x + 30 x 5
2
1 0 10 2 x + 3
0 2x 10
(x)
|1 0 10 |2 x + 3
0 0 x2 3x + 10
Ako jex2
3x + 10 = 0 tj. x {5, 2} tadaje r(A) = 2
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
53/565
+ +
PRIMJENA DETERMINANTI NA
RACUNANJE INVERZNE MATRICE
Ako u matrici A Mn sve matricne elementeaij zamijenimo sa njihovim kofaktorima Aij,
dobijemo matricu kofaktora. Njezinim trans-
poniranjem nastaje adjungirana matrica ili
adjunkta adj(A). Moze se pokazati da vrijedi
adj(A) A = A adj(A) = |A| I .Ako je A regularna (AA1 =A1A=I) tada,usporedbom ovih jednakosti, slijedi
A1 = 1
|A| adj(A) .
+ 51
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
54/565
+ +
PRIMJER
A=
a bc d
, A1 = ?
RJESENJE:
Matrica kofaktora (1)1+1 d (1)1+2 c(1)2+1 b (1)2+2 a
=
d cb a
adj(A) =
d bc a
Adjungirana matrica matrice reda 2 2 dobijese tako da dijagonalnim elementima zamijeni-
mo mjesta a izvandijagonalnim predznake.
A1 = 1|A| adj(A) = 1
ad bc
d bc a
+ 52
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
55/565
+ +
CRAMEROV SUSTAV LINEARNIH
JEDNADZBI
Ako je u sustavu AX=B broj jednadzbi jed-
nak broju nepoznanica tada sustav nazivamo
Cramerov. Matrica A tada je kvadratna.
Ako je matrica sustava A regularna (|A| = 0)tada je X = A1 B, pa sustav ima jedin-stveno rjesenje (homogeni sustav trivijalno a
nehomogeni netrivijalno).
Ako je matrica sustava A singularna (|A| = 0)tada homogeni sustav ima beskonacno mnogo
rjesenja (dakle osim trivijalnog i beskonacno
mnogo netrivijalnih) a nehomogeni sustav mo-
ze ili imati beskonacno mnogo rjesenja ili biti
nemoguc.
+ 53
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
56/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
57/565
+ +
Pretpostavke modela:
1. Proizvodnja svakog sektora je homogena
(povecamo li ili smanjimo sve faktore proiz-
vodnje isti broj puta, proizvodnja se takoder
poveca ili smanji toliko puta).
2. Svaki sektor za proizvodnju koristi fiksniodnos utroska (fiksnu kombinaciju faktora).
Osnovne oznake i relacije:
Ukupni output (izlaz) iz i-tog sektora ozna-
cavamo sa Qi. To je sve sto taj sektor daje
(proizvodi). Neki sektori za svoj input (ulaz)koriste dio outputa drugih sektora. Te velicine
oznacavamo sa Qij (dio outputa i-tog sektora
koji prelazi u j-ti sektor). Nakon sto se zado-
volji ovakva medusektorska potraznja, ostaje
qi - dio outputa i-tog sektora namjenjen final-
noj potraznji (potrosnja, prodaja, izvoz). Sve
ove velicine mogu biti izrazene u vrijednos-
nim (novcanim) ili kolicinskim jedinicama. Iz
navedenih velicina sastavljamo I-O tabelu.
+ 55
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
58/565
+ +
INPUT-OUTPUT TABELA
Qi Qij qi
Q1 Q11 Q12 . . . Q1n q1
Q2 Q21 Q22 . . . Q2n q2... ... ... ... ...
Qn Qn1 Qn2 . . . Qnn qn
.
ukupni medusektorska finalna
outputi potraznja potraznja
Osnovna relacija I-O tabele:
Qi=n
j=1
Qij+ qi, i= 1, 2, . . . , n .
Dio proizvoda i-tog sektora koji koristi j-ti
sektor za proizvodnju jedne jedinice svog pro-
izvoda je konstantan i nazivamo ga tehnickikoeficijent proizvodnje aij .
aij =Qij
Qj, i, j = 1, 2, . . . , n .
+ 56
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
59/565
+ +
Sada je Qij =aijQj, pa osnovna relacija glasi
Qi =n
j=1
aij Qj+ qi , i= 1, 2, . . . , n .
Uvedemo li matrice: ukupnih outputaQ, final-
ne potraznje q i tehnickih koeficijenata A,
Q=
Q1Q2
...Qn
, q =
q1q2...
qn
, A=
a11 . . . a1na21 . . . a2n
... ...an1 . . . ann
,osnovnu relaciju mozemo pisati u matricnom
obliku
Q=AQ + q
ili Q AQ=q , odnosno (I A)Q=q .Uvedemo li matricu tehnologije T =I A ,imamo
T Q=q ili Q=T1q .Primijetimo da su u ovom modelu matrice A,
T i T1 konstantne. To znaci da, kad ih jed-nom izracunamo, mozemo ih primijeniti na
razlicite vrijednosti ukupnih outputa i finalne
potraznje.
+ 57
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
60/565
+ +
APROKSIMATIVNO IZRACUNAVANJE
MATRICE T1
Osnovne karakteristike matrice A:
1. aij 0, i, j = 1, 2, . . . , n
2.n
i=1 aij
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
61/565
+ +
PRIMJERI
1. Zadana je inputoutput tabela neke dvo-
sektorske privrede
Qi Qij qi1000 250 600 150
1200 250 300 650
.
Odredite pripadne matrice A, T i T1.
RJESENJE:
A= 250
1000
600
12002501000
3001200
= 1/4 1/21/4 1/4
T =
1 0
0 1
1/4 1/2
1/4 1/4
=
3/4 1/21/4 3/4
T1 = 1|T| adj(T) = 1916 18
3/4 1/21/4 3/4
=
12/7 8/7
4/7 12/7
+ 59
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
62/565
+ +
2. Zadana je inputoutput tabela neke trosek-
torske privrede
Qi Qij qi100 10 30 40 20150 20 30 60 40200 30 60 80 30
.
Napisite novu IO tabelu ako se ukupni out-
puti prvog i drugog sektora povecaju za 20%
a finalna potraznja treceg sektora smanji za
80%.
+ 60
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
63/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
64/565
RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE
Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.
Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec
(demonstratorica iz matematike na EF).
Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).
Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).
1
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
65/565
MATRICE
1. Nadite sve vrijednosti parametra x Rtakve da za matricu
A=
4
5 x
35
4
5
vrijediA1 =AT.
Rjesenje:
A A1 =IA1 =AT
A AT =I
A AT =
4
5 x
35
4
5
4
5 3
5
x 45
=
4
5 4
5+x x 4
5 (3
5) +x 4
5
35 4
5+ 4
5 x ( 3
5) 3
5 + 4
5 4
5
=
16
25+x2 12
25 + 4
5x
1225
+ 45
x 1
A AT =I
16
25+x2 12
25 + 4
5x
1225
+ 45
x 1
=
1 00 1
16
25+x2 = 1 x1,2=
3
5
x= 35
ne odgovara jer
12
25+
4
5x= 0
4
5x=
12
25x =
3
5
Konacno rjesenje je x= 35
2
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
66/565
2. Za koje vrijednosti parametra a R matrice A i parametra b R matrice
B, matrice A i B tvore komutativni par u odnosu na mnozenje matrica, akoje:
A=
1 10 a
B =
b 10 1
Rjesenje:A B =B A
A B =
1 10 a
b 10 1
=
1 b+ 1 0 1 1 + 1 10 b+a 0 0 1 +a 1
=
b 20 a
B A=
b 10 1
1 10 a
=
b 1 + 1 0 b 1 + 1 a0 1 + 1 0 0 1 + 1 a
=
b b+a0 a
A B =B A b 20 a
=
b b+a0 a
2 =b+aa= 2 b, b R
3
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
67/565
3. Odredite sve matrice koje sa matricom M =1 1
0 1
cine komutativan par sobzirom na matricno mnozenje.
Rjesenje:
M X=X M
X=a b
c d
M X=
1 10 1
a bc d
=
1 a+ 1 c 1 b+ 1 d0 a+ 1 c 0 b+ 1 d
=
a+c b+d
c d
X M=
a bc d
1 10 1
=
a 1 1 +b 0 a 1 +b 1
c 1 +d 0 c 1 +d 1
=
a a+bc c+d
M X=X M
a+c b+dc d
=
a a+bc c+d
a+c= a ,c= 0
b+d= a+b ,d= ac= c
d= c+d,c= 0
X=
a bc d
X=
a b0 a
, a , b R
4
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
68/565
4. Odredite sve antisimetricne matrice A M2, koje s matricom B tvore ko-
mutativan par s obzirom na mnozenje ako je
B =
0 11 0
Rjesenje:
A= 0 x
x 0
A B =
0 xx 0
0 11 0
=
0 0 + (x) (1) 0 1 + (x) 0
x 0 + 0 (1) x 1 + 0 0
=
x 00 x
B A=
0 11 0
0 xx 0
=
0 0 + 1 x 0 (x) + 1 01 0 + 0 x 1 (x) + 0 0
=
x 00 x
A B =B A
x 00 x
=
x 00 x
Svaka antisimetricna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.
A=
0 xx 0
, x R
5
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
69/565
5. Odredite sve skalarne matrice AM2, koje s matricom B tvore komutativan
par ako je:
B =
0 33 0
Rjesenje:
A= x 0
0 x
A B =B A
A B =
x 00 x
0 33 0
=
x 0 + 0 3 x (3) + 0 00 0 +x 3 0 (3) +x 0
=
0 3x3x 0
B A=
0 33 0
x 00 x
=
0 x+ (3) 0 0 0 + (3) x
3 x+ 0 0 3 0 + 0 x
=
0 3x3x 0
A B =B A
0 3x3x 0
=
0 3x3x 0
Svaka skalarna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.
A=
x 00 x
, x R
6
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
70/565
6. Odredite sve dijagonalne matrice AM2, koje s matricom B tvore komu-
tativan par s obzirom na mnozenje ako je,
B =
0 11 0
Rjesenje:
A=
x 00 y
A B =B A
A B =
x 00 y
0 11 0
=
x 0 + 0 1 x (1) + 0 00 0 +y 1 0 (1) +y 0
=
0 xy 0
B A=
0 11 0
x 00 y
=
0 x+ (1) 0 0 0 + (1) y
1 x+ 0 0 1 0 + 0 y
=
0 yx 0
A B =B A0 xy 0
=
0 yx 0
0 = 0
x= y
y=x
0 = 0
A=
x 00 y
A=
x 00 x
, x R
7
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
71/565
7. Zadane su matrice,
A=
t 02 1
i
B= (A+AT)2
Odredite parametar t Rtakav da je matrica B skalarna.
Rjesenje:
B =
t 02 1
+
t 20 1
2=
2t 22 2
2=
=
2t 22 2
2t 22 2
=
4t2 + 4 4t+ 44t+ 4 8
4t2 + 4 = 8
4t2 = 4
t2 = 1
t1=1
t2= 1, ne odgovara4t+ 4 = 0
4t= 4t= 1
Konacno rjesenje:
t= 1
8
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
72/565
8. Zadane su matrice A =t 0
2 1
i B = A2
2A. Odredite parametart R
takav da je matrica B dijagonalna. Koliki je tada tr(B)?
Rjesenje:
B =A2 2A
A2 =A A= t 0
2 1
t 0
2 1=
t2 0
2t+ 2 1
2 A= 2
t 02 1
=
2t 04 2
B =A2 2A=
t2 0
2t+ 2 1
2t 04 2
=
t2 2t 02t 2 1
2t 2 = 0
2t= 2
t= 1
B =
1 00 1
tr(B) =1 + (1) =2
9
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
73/565
9. Zadani su vektori A=1
t
i B =t
2
. Odredite parametar tR
takav dasu vektori 2A B i A+2B medusobno okomiti.
Rjesenje:
2A B = 2
1t
t2
=
22t
t2
=
2 t
2t 2
A+ 2B =
1t
+ 2
t2
=
1t
+
2t4
=
1 + 2tt+ 4
(2A B)T (A+ 2B) = 0
[2 t 2t 2]
1 + 2tt+ 4
= 0
(2 t)(1 + 2t) + (2t 2)(t+ 4) = 0
2 + 4t t 2t2 + 2t2 + 8t 2t 8 = 09t= 6
t=2
3
10
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
74/565
10. Odredite inverznu matricu matrice A=1 0 30 1 2
2 0 7
Rjesenje:
1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
2 0 7 | 0 0 1
1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 2 0 1
1 0 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 2 0 1
1 0 0 | 7 0 3
0 1 0 | 4 1 20 0 1 | 2 0 1
A1 =
7 0 34 1 2
2 0 1
11
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
75/565
11. Odredite rang matrice A ako je A=1 0 1 22 1 3 1
1 2 3 3
Rjesenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...
1 0 1 22 1 3 11 2 3 3
1 0 1 20 1 1 3
0 2 2 1
1 0 1 20 1 1 3
0 0 0 7
r(A) = 3
12
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
76/565
12. Odredite rang matrice A ako je A=2 1 1 21 3 4 1
0 1 1 0
Rjesenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...
2 1 1 21 3 4 10 1 1 0
1 3 4 12 1 1 20 1 1 0
1 3 4 10 7 7 0
0 1 1 0
1 3 4 10 1 1 0
0 1 1 0
1 3 4 10 1 1 0
0 0 0 0
r(A) = 2
13
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
77/565
13. Odredite parametar x Rtako da je r(A)=2 ako je
A=
x 14 8 56 5 4 3
2 4 0 1
Rjesenje:
x 14 8 56 5 4 32 4 0 1
5 14 8 x3 5 4 6
1 4 0 2
1 4 0 23 5 4 6
5 14 8 x
1 4 0 20 17 4 12
0 34 8 x+ 10
1 4 0 20 17 4 12
0 0 0 x 14
x 14 = 0
x= 14
14
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
78/565
14. Kako rang matrice
A=
2 5 21 2 0
3 7 x
ovisi o realnom parametru x?
Rjesenje:
2 5 21 2 0
3 7 x
1 2 02 5 2
3 7 x
1 2 00 1 2
0 1 x
1 0 40 1 2
0 0 x 2
Ako jex= 2 onda je r(A) = 2.Ako jex= 2 onda je r(A) = 3.
15
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
79/565
15. Kako rang matrice
H=
1 1 13 2 t
2 3 6
ovisi o paramteru t?
Rjesenje:
1 1 13 2 t
2 3 6
1 1 12 3 6
3 2 t
1 1 10 5 8
0 5 t+ 3
1 1 10 5 8
0 0 t 5
Ako jet= 5 onda je r(H) = 2.Ako jet= 5 onda je r(H) = 3.
16
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
80/565
16. Gauss-Jordanovom metodom rijesite sustav:
2x + 3y z = 85x y + z = 93x 4y + 3z = 10
Rjesenje:
2 3 1 | 85 1 1 | 93 4 3 | 10
1 32
12
| 45 1 1 | 93 4 3 | 10
1
3
2 1
2 | 4
0 172
7
2 | 11
0 172
9
2 | 2
1
3
2 1
2 | 4
0 1 717
| 2217
0 172
9
2 | 2
1 0
2
17 | 35
17
0 1 717
| 2217
0 0 1 | 9
1 0 0 | 10 1 0 | 5
0 0 1 | 9
x= 1, y= 5, z= 9
17
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
81/565
17. Rijesite sustav linearnih jednadzbi,
2x + 4y 6z = 65x + 8y 11z = 11
2y 4z = 4
Rjesenje:
2 4 6 | 65 8 11 | 11
0 2 4 | 4
1 2 3 | 35 8 11 | 11
0 2 4 | 4
1 2 3 | 30 2 4 | 4
0 2 4 | 4
1 2 3 | 30 1 2 | 2
0 2 4 | 4
1 0 1 | 10 1 2 | 2
0 0 0 | 0
x+z=1
y 2z= 2
x= 1 z
y= 2 + 2z
z R
18
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
82/565
18. Rijesite sustav,
3x + y + 2z 2w = 03x + 2y z + 3w = 42x y + 2z w = 2
Rjesenje:
3 1 2 2 | 03 2 1 3 | 42 1 2 1 | 2
2 1 2 1 | 23 2 1 3 | 43 1 2 2 | 0
1
1
2 1 1
2 | 1
3 2 1 3 | 43 1 2 2 | 0
1
1
2 1 1
2 | 1
0 72
4 92
| 10 5
2 1 1
2 | 3
1
1
2 1 1
2 | 1
0 1 87
9
7 | 2
7
0 52
1 12
| 3
1 0
3
7
1
7 | 8
7
0 1 87
9
7 | 2
7
0 0 137
267
| 267
1 0 37
1
7 | 8
7
0 1 8
7
9
7 | 2
7
0 0 1 2 | 2
1 0 0 1 | 2
0 1 0 1 | 20 0 1 2 | 2
x+w = 2
y w= 2
z 2w= 2
x= 2 wy= 2 +w
z= 2 + 2w
w R
19
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
83/565
19. Rijesite sustav,
x + y = 1x y = 5
2x + 3y = 0
Rjesenje:
1 1 | 11 1 | 52 3 | 0
1 1 | 10 2 | 40 1 | 2
1 1 | 10 1 | 2
0 1 | 2
1 1 | 10 1 | 2
0 0 | 0
1 0 | 30 1 | 2
0 0 | 0
x= 3, y=2
20
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
84/565
20. Rijesite sustav,
2x y + z = 3x + 2y 3z = 1
3x + y 2z = 6
Rjesenje:
2 1 1 | 31 2 3 | 13 1 2 | 6
1 2 3 | 12 1 1 | 33 1 2 | 6
1 2 3 | 10 5 7 | 10 5 7 | 3
1 2 3 | 10 5 7 | 10 0 0 | 2
r(A) = 2, r(A|b) = 3
r(A)=r(A|b)
, sustav nema rjesenja!
21
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
85/565
21. Kako broj rjesenja sustava
x1+x2+x3= 8
x1+x2+x3= 5
3x1+x2+ 2x3= 5
ovisi o realnom parametru ?
Rjesenje:
1 1 | 81 1 | 5
3 1 2 | 5
1 1 | 80 1 1 | 3
0 2 2 3 | 19
1 1 | 80 1 1 | 3
0 1 322
| 192
1 1 | 80 1 32
2 | 19
2
0 1 1 | 3
1 0
22
| 32
0 1 322
| 192
0 0 332
2 | 19
2(1 ) 3
Ako je 332
2 = 0 onda je r(A) = 3 i r(A|b)=3 i sustav ima jedinstveno
rjesenje.Ako je 33
2
2 = 0 onda jer(A) = 2 i r(A|b) = 3 i sustav nema rjesenja.
3 32
2 = 0
3(1 )
2 = 0
3= 0 = 0
1 = 0 = 1
Za {0, 1} sustav nema rjesenja, u protivnom ima jedinstveno rjesenje.
22
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
86/565
22. Kako broj rjesenja sustava
x + y + tz = 1x + 2y z = 2
2x + 3y + (t 1)z = 3
ovisi o parametrut R?
Rjesenje:
1 1 t | 11 2 1 | 2
2 3 t 1 | 3
1 1 t | 10 1 t 1 | 1
0 1 t 1 | 1
1 1 t | 10 1 t 1 | 1
0 0 0 | 0
n(broj nepoznanica) =3r(A) =r(A|b) = 2r(A) = r(A|b) = 2
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
87/565
23. Kako broj rjesenja sustava
x + y + tz = 1x + 2y z = 2
2x + 3y + (t 1)z = 4
ovisi o parametrut R?
Rjesenje:
1 1 t | 11 2 1 | 2
2 3 t 1 | 4
1 1 t | 10 1 t 1 | 1
0 1 t 1 | 2
1 1 t | 10 1 t 1 | 1
0 0 0 | 1
r(A) = 2, r(A|b) = 3r(A)=r(A|b) Sustav nema rjesenja za svakit R.
24
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
88/565
24. Tvornica proizvodi dvije vrste camaca, camac za jednu (T1) i camac za dvije
osobe (T2). Svaki camac mora se obraditi u dva odjela, odjel za rezanje ma-terijala i odjel za spajanje. Tehnoloske karakteristike proizvodnje dane su usljedecoj tablici:
Broj radnih sati Broj radnih sati Kapacitet upo camcu po camcu satima
T1 T2
Odjel za rezanje 3 2 110
Odjel za spajanje 1 2 70Izracunajte kolicine proizvodnje za oba tipa camca tako da se kapacitetiu potpunosti iskoriste. (UPUTA: problem treba svesti na sustav dvije jed-nadzbe s dvije nepoznanice).
Rjesenje:
3T1+ 2T2= 110
1T1+ 2T2= 70
3 2 | 1101 2 | 70
1 2 | 703 2 | 110
1 2 | 700 4 | 100
1 2 | 700 1 | 25
1 0 | 200 1 | 25
T1= 20T2= 25
25
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
89/565
25. Osoba ima na raspolaganju 22000 kn koje ulaze u dionicu A s prinosom
od 8% godisnje, u dionicu B sa prinosom od 5% godisnje i u dionicu C sprinosom od 4% godisnje. Koliko osoba mora uloziti u svaku dionicu daostvari prinos od tocno 1340 kn? Takoder, strategija je osobe u dionicu Culoziti 4000 kn manje nego u dionicu A. (UPUTA: problem treba svesti nasustav tri jednadzbe s tri nepoznanice gdje su nepoznanice ulaganja.)
Rjesenje:
A+B+C= 22000
0.08A+ 0.05B+ 0.04C= 1340
A C= 4000 1 1 1 | 220000.08 0.05 0.04 | 1340
1 0 1 | 4000
1 1 1 | 220000 0.03 0.04 | 420
0 1 2 | 18000
1 1 1 | 220000 1 2 | 180000 0.03 0.04 | 420
1 1 1 | 220000 1 2 | 18000
0 0.03 0.04 | 420
1 0 1 | 40000 1 2 | 18000
0 0 0.02 | 120
1 0 1 | 40000 1 2 | 18000
0 0 1 | 6000
1 0 0 | 100000 1 0 | 6000
0 0 1 | 6000
A= 10000
B = 6000
C= 6000
26
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
90/565
26. Tvrtka reklamira svoj proizvod. Mogucnosti reklamiranja su: TV spot, ra-
dio spot i oglas u novinama. Tv spot stoji 16000 kn, radio spot 5000 kn,oglas u novinama 8000 kn, a tvrtka ima na raspolaganju 249000kn, takoder,strategija tvrtke je da proizvod reklamira s dva puta vise oglasa u novinamanego radio spotova. Nadalje, kada bi tvrtka novac koji ce uloziti radio spo-tove orocila na dvije godine uz godisnji kamatnjak 2 te godisnje slozeno idekurzivno ukamacivanje, na kraju bi druge godine taj iznos vrijedio 26010kn. Koliko ce TV spotova, koliko radio spotova i koliko oglasa u novinamatvrtka uplatiti tako da iskoristi raspolozivi budzet? Zadatak rjesite Gauss-
Jordanovim postupkom.
Rjesenje:
x TV spot
yradio spot
zoglas
16000x+ 5000y+ 8000z= 249000
z= 2yz 2y= 0
Co=Cnrn
=26010
1.022 = 25000
25000 = 5000y
16000x+ 5000y+ 8000z= 249000
2y+z= 05000y= 25000
27
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
91/565
16000 5000 8000 | 2490000 2 1 | 0
0 5000 0 | 25000
16 5 8 | 2490 2 1 | 0
0 1 0 | 5
16 5 8 | 2490 1 0 | 5
0 2 1 | 0
1 6 5 8 | 2490 1 0 | 5
0 0 1 | 10
1 6 5 0 | 1690 1 0 | 50 0 1 | 10
1 6 0 0 | 1440 1 0 | 50 0 1 | 10
1 0 0 | 90 1 0 | 5
0 0 1 | 10
T V = 9
radio= 5
novine= 10
28
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
92/565
27. Prikazite vektor B = (1, 2, 3) kao linearnu kombinaciju vektora
A1= (1, 2, 1),A2= (1, 0, 1) iA3= (0, 1, 1).
Rjesenje: 1 1 0 | 12 0 1 | 2
1 1 1 | 3
1 1 0 | 10 2 1 | 4
0 2 1 | 4
1 1 0 | 10 2 1 | 40 0 2 | 0
1 1 0 | 10 2 1 | 40 0 1 | 0
1 1 0 | 10 2 0 | 4
0 0 1 | 0
1 1 0 | 10 1 0 | 2
0 0 1 | 0
1 0 0 | 10 1 0 | 2
0 0 1 | 0
x1=1
x2= 2
x3= 0
Linearna kombinacija
B=x1 A1+x2 A2+x3 A3
B =1 A1+ 2 A2+ 0 A3
B=A1+ 2A2
29
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
93/565
28. Izracunajte determinantu matrice2 3 10 5 2
0 4 2
Rjesenje:
2 3 10 5 20 4 2
=
rjesavamo po prvom stupcu jer u njemu imamo samo jedan element razlicitod 0.
= 2 (1)1+1
5 24 2
= 2 1 (5 (2) 2(4)) =
= 2 (10 (8)) = 2(10 + 8) = 2 (2) =4
30
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
94/565
29. Izracunajte detCako jeCM4 i znamo da je det 12C= 18.Rjesenje:
det(A) =ndetA, A Mn
det
1
2C
=
1
8, CM4
12
4detC=1
81
16detC=
1
8/ 16
detC=16
8detC= 2
31
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
95/565
30. Za koji je parametar t Rmatrica1 1 10 1 0
t 0 1
regularna?
Rjesenje:MatricaAje regularna kad je detA= 0.
1 1 10 1 0t 0 1
=
1 1 10 1 0
t 1 1 0
=
= 1 (1)1+3 0 1t 1 1
== 1 (1)4 (0 (1) (1) (t 1)) =(t+ 1) =t 1
t 1= 0
t= 1
t R\{1}
32
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
96/565
31. Za koji su parametar t R vektori a1 =12
3
,a2 = 1
12
, a3 = 1
2t
linearno nezavisni?
Rjesenje:Vektori su linearno nezavisni kad je detA= 0.
1 1 12 1 2
3 2 t
=
1 1 11 0 3
5 0 2 +t
=
=1 (1)1+21 35 2 +t
=1 (1)3 (1 (2 +t) (3) 5) == (2 +t (15)) =t+ 17
t+ 17= 0
t=17
t R\{17}
33
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
97/565
32. Izracunajte sve vrijednosti parametrat R da bi skup vektora{A,B,C}bio
baza vektorskog parostora R3 ako suA= (t 2, 3, 1),B = (0, t 3, 1),C=(0, 3, t 1).
Rjesenje:Vektori cine bazu kad je detA= 0.
t 2 0 0
3 t 3 3
1 1 t 1
= (t 2) (1)
1+1
t 3 3
1 t 1 =
= (t 2) (1)2 [(t 3)(t 1) 3] = (t 2) 1 (t2 t 3t+ 3 3) =
(t 2)(t2 4t) =t(t 2)(t 4)
t(t 2)(t 4)= 0
t= 0
t= 2
t= 4t R\{0, 2, 4}
34
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
98/565
33. Da li vektoriA1, A2, A3 i A4 cine bazu od R4 ako su
A1=
1111
, A2=
11
11
, A3=
111
1
iA4=
1111
Rjesenje:
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
=
1 1 1 10 0 2 20 2 0 20 2 2 0
=
= 1 (1)2
0 2 22 0 22 2 0
= (2)3
0 1 11 0 11 1 0
=
=8 0 1 11 0 11 0 1
=8 1 (1)3 1 11 1
== 8 (1 (1) 1 1) = 8 (2) =16= 0
A1, A2, A3 i A4 jesu baza od R4.
35
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
99/565
34. Za koji parametar t R, je matrica
A=
1 1 10 2 1
t 1 0
singularna?
Rjesenje:MatricaAje singularna kad je setA= 0.
1 1 10 2 1t 1 0
=
1 1 11 1 0
t 1 0
=
= 1 (1)1+31 1t 1
= 1 (1)4 (1 1 1 t) = 1 1 (1 t) =1 t
1 t= 0
t= 1
t= 1
36
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
100/565
35. Za koji su parametar t R vektoria1=12
t
,a2= 0
0t
, a3= 1
2t
linearno zavisni?
Rjesenje:Vektori su linearno zavisni kad je detA= 0.
1 0 12 0 2
t t t
=t (1)
3+2 1 1
2 2 =
=t (1)5 (1 (2) 1 2) =
=t (1)(2 2) =t(1)(4) = 4t
4t= 0
t= 0
37
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
101/565
36. Za koji parametar t R vektori a1 =21
1
, a2 = 1
10
i a3 = 1
0t
ne cinebazu od R3?
Rjesenje:Vektori ne cine bazu kad je detA= 0.
2 1 1
1 1 01 0 t
=
2 1 1
1 0 11 0 t
=
=1 (1)1+21 11 t
=1 (1)3 (1 t (1) 1) == (1) (1) (t (1)) = (t+ 1) =t+ 1
t+ 1 = 0t= 1
t= 1
38
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
102/565
37. Odredite sve skalarne matrice A M4 cija je determinanta jednaka 16.
Rjesenje:Napomena: determinanta dijagonalne te gornje i donje trokutaste matrice
jednaka je umnosku elemenata na glavnoj dijagonali.
A=
x 0 0 00 x 0 00 0 x 0
0 0 0 x
x 0 0 00 x 0 00 0 x 00 0 0 x
=x x x x= x4
x
4
= 16x1,2=2
A1=
2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2
A2=
2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2
39
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
103/565
38. Odredite sve antisimetricne matriceA M2 cija je determinanta jednaka 4.
Rjesenje:
A=
0 bb 0
0 bb 0
= 0 0 (b) b= 0 (b
2) =b2
b2 = 4
b= 2
A1=
0 22 0
A2=
0 22 0
40
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
104/565
39. Ispitajte je li matrica A AT
M2 regularna ako je A=0 1
1 0
Rjesenje:
det(A AT)= 0
detA detAT = 0
detA
=detA
T
detA detA= 0
0 11 0 = 0 0 (1) 1 = 1
detA detA= 1 1 = 1= 0
MatricaA AT je regularna.
41
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
105/565
40. Zadana je matrica A M3 svojim elementima aij = (i+j 1)2. Je li ta
matrica regularna?
Rjesenje:
A=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
a11= (1 + 1 1)
2 = 1
a12= (1 + 2 1)2 = 4
a13= (1 + 3 1)2 = 9
...
A=1 4 94 9 16
9 1 6 2 5
1 4 9 1 44 9 16 4 99 1 6 2 5 9 1 6
= 1 9 25 + 4 16 9 + 9 4 16 4 4 25 1 16 16 9 9 9 ==8= 0
MatricaAje regularna.
42
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
106/565
41. Rjesite matricnu jednadzbuAX=B ako su
A=
1 1 30 1 2
0 0 1
, B =
1 0 10 0 2
1 1 0
Rjesenje:
A1 /AX=B
A1
A X=A1
BI X=A1 B
X=A1B
detA= 1 A1
1 1 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 00 0 1 | 0 0 1
1 1 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 00 0 1 | 0 0 1
1 0 1 | 1 1 00 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1
1 0 1 | 1 1 00 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1
1 0 0 | 1 1 10 1 0 | 0 1 2
0 0 1 | 0 0 1
A1
=1 1 1
0 1 20 0 1
X=
1 1 10 1 2
0 0 1
1 0 10 0 2
1 1 0
=
0 1 12 2 2
1 1 0
43
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
107/565
42. Rjesite matricnu jednadzbuAX+A= Xgdje je
A=
2 0 10 2 0
0 0 2
.
Rjesenje:
AX+A= X
AX X=A
AX IX=A
(A I)1 /(A I)x=A
(A I)1 (A I) X= (A I)1 (A)
I X= (A I)1 (A)
X= (A I)1 (A)
A I=
2 0 10 2 0
0 0 2
1 0 00 1 0
0 0 1
=
1 0 10 1 0
0 0 1
det(A I) = 1 (A I)11 0 1 | 1 0 00 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1
1 0 0 | 1 0 10 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1
(A I)1 =
1 0 10 1 00 0 1
X=
1 0 10 1 0
0 0 1
2 0 10 2 0
0 0 2
=
2 0 10 2 0
0 0 2
44
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
108/565
Provjera:
AX+A= X4 0 00 2 0
0 0 2
2 0 10 2 0
0 0 2
+
2 0 10 2 0
0 0 2
=
=
2 0 10 2 0
0 0 2
4 0 10 4 0
0 0 4
+
2 0 10 2 0
0 0 2
=
2 0 10 2 0
0 0 2
45
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
109/565
43. Izracunajte detXako jeAXB=C, gdje su
A=
0 11 0
, B=
1 11 2
, C=
4 22 1
.
Rjesenje:
AXB =C/det
det(AXB) =detCdetA detX detB =detC/: detA detB
detX= detC
detA detB0 11 0 = 0 0 1 1 =1
1 11 2
=1 2 1 (1) =1
4 22 1 = 4 1 2 2 = 0
detX= 0
1 (1)
detX= 0
46
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
110/565
44. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata jedne trosektorske ekonomije
A=
1
2
1
4 0
0 12
1
2
0 18
0
Izracunajte outpute svih sektora tako da se zadovolji finalna potraznja
q=
80
220
120
Rjesenje:
T =I A
T =
1 0 00 1 0
0 0 1
1
2
1
4 0
0 12
1
2
0 18
0
=
1
2 1
4 0
0 12
12
0 18
1
12 14 0 | 800 1
2 1
2 | 220
0 18
1 | 120
1 12 0 | 1600 1
2 1
2 | 220
0 18
1 | 120
1
1
2 0 | 160
0 1 1 | 4400 1
8 1 | 120
1 0
12
| 3800 1 1 | 4400 0 7
8 | 175
1 0 12
| 3800 1 1 | 4400 0 1 | 200
1 0 0 | 4800 1 0 | 6400 0 1 | 200
Q=
480640
200
47
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
111/565
45. Zadana je matrica tehnologije T = 35 14
14
25
i vektor finalne potraznje
q=
9
14
jednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite input output tablicu
tog gospodarstva.
Rjesenje:
35 14 | 914
25 | 14
1 512 | 1514
25 | 14
1 512
| 150 71
240 | 71
4
1 5
12 | 15
0 1 | 60
1 0 | 400 1 | 60
Q=
4060
A= I T =
1 00 1
3
5
14
14
2
5
=
2
5
1
41
4
3
5
48
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
112/565
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1=25
40 = 16
Q21=a21 Q1=1
4 40 = 10
Q12=a12 Q2=1
4 60 = 15
Q22=a22 Q2=3
5 60 = 36
Qi Qij qi40 16 15 9
60 10 36 14
49
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
113/565
46. Zadana je inverzna matrica tehnologije jedne dvosektorske ekonomije
T1 = 23
2 11 2
. Kolika je kolicina outputa prvog sektora potrebna da se
proizvede jedinica outputa istog sektora?Rjesenje:
T =
a bc d
T1 = 1
ad bc
d bc a
(T1)1 =T
T =
2
3
2 11 2
1=
2
3
1
2 11 2
1=
=3
2
1
2 2 1 1
2 11 2
=
1 1
212
1
A= I T =1 0
0 1
1 12
12 1
=
0 1212 0
a11= 0
50
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
114/565
47. Zadana je inverzna matrica tehnologije T1
= 4
53 2
2 3
i vektor finalne po-
traznje q=
38
. Sastavite pripadnu I-O tablicu.
Rjesenje:
(T1)1 =T
T =
3
4
12
12
3
4
3
4
12
| 312
3
4 | 8
1 2
3 | 4
12
3
4 | 8
1 2
3 | 4
0 512
| 10
1 2
3 | 4
0 1 | 24
1 0 | 200 1 | 24
Q= 2024
A= I T =
1
4
1
21
2
1
4
51
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
115/565
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1=14
20 = 5
Q21=a21 Q1=1
2 20 = 10
Q12=a12 Q2=1
2 24 = 12
Q22=a22 Q2=1
4 24 = 6
Qi Qij qi20 5 12 3
24 10 6 8
52
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
116/565
48. Napisite input-output tablicu ako je T1
= 5
114 1
1 3
iQ=40
30
Rjesenje:
(T1)1 =T
T =
3
5
15
15
4
5
A= I T =25
1
51
5
1
5
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1=2
5 40 = 16
Q21=a21 Q1=1
5 40 = 8
Q12=a12 Q2=1
5 30 = 6
Q22=a22 Q2=1
5 30 = 6
q1= 40 16 6 = 18
q2= 30 8 6 = 16
Qi Qij qi
40 16 6 1830 8 6 16
53
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
117/565
49. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata neke trosektorske privrede
A=
0.1 0.25 0.150.3 0.25 0.25
0.15 0.2 0.1
Napisite input-output tabelu ako je ukupni output prvog sektora 100, ukupnioutput drugog sektora 120, a finalna potraznja treceg sektora 105 jedinica.
Rjesenje:
Q=
100120
Q3
, q=
q1q2
105
T =I A=
0.9 0.25 0.150.3 0.75 0.25
0.15 0.2 0.9
T Q= q
0.9 0.25 0.150.3 0.75 0.250.15 0.2 0.9
100120
Q3
=
q1q2
105
60 0.15Q3= q1
60 0.25Q3= q2
39 + 0.9Q3= 105
54
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
118/565
Q3= 160
q1= 36
q2= 20
Qi Qij qi100 10 30 24 36
120 30 30 40 20
160 15 24 16 105
55
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
119/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
120/565
51. Zadana je input-output tabela neke dvosektorske ekonomije,
Qi Qij qi200 80 60 60
300 160 120 20
Napisite tabelu ako se ukupni output prvog sektora smanji za 20%, a ukupnioutput drugog sektora poveca za 40%.
Rjesenje:
Q1= 200 20
100 200 = 160
Q2= 300 + 40
100 300 = 420
Q
=160
420
,
A=
80
200
60
300160
200
120
300
=
0.4 0.20.8 0.4
57
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
121/565
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1= 0.4 160 = 64...
Qi Qij qi160 64 84 12
420 128 168 124
q1= 160 64 84 = 12
q2= 420 128 168 = 124
58
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
122/565
52. Zadana je input-output tablica
Qi Qij qi200 40 80 80
240 80 60 100
Ako se ukupni output prvog sektora smanji za 10%,a drugog poveca za 50%,za koliko se % promijeni finalna potraznja pojedinih sektora?
Rjesenje:
Q1= 200 10
100 200 = 180
Q2= 240 + 50
100 240 = 360
A=
40
200
80
24080
200
60
240
=
1
5
1
32
5
1
4
T =I A=
4
5
13
25
3
4
T Q =q
4
5
13
25
3
4
180360
=
24
198
Finalna potraznja 1. sektora smanjila se za 56 jedinica.x100
80 = 56 X= 70%.Finalna potraznja 1. sektora smanjila se za 70%.Finalna potraznja 2. sektora povecala se za 98 jedinica.x100
100 = 98 X= 98%.Finalna potraznja 2. sektora povecala se za 98%.
59
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
123/565
53. Zadana je input-output tablica neke dvosektorske ekonomije
Qi Qij qi20 5 12 3
24 10 6 8
Napisite novu I-O tablicu ako je novi vektor finalne potraznje q=
5
10
.
Rjesenje:
A=14
12
1
2
1
4
T =I A=
3
4
12
12
3
4
3
4
12
| 512
3
4 | 10
1 2
3 | 20
312
3
4 | 10
1 2
3 | 20
3
0 512
| 403
1 2
3 | 20
3
0 1 | 32
1 0 | 280 1 | 32
Q=
2832
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1=1
4 28 = 7
...
Qi Qij qi28 7 16 5
32 14 8 10
60
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
124/565
54. Zadana je input output tabela neke trosektorske privrede
Qi Qij qi150 30 40 50 30
200 50 80 50 20
250 30 60 100 60
Napisite novu tabelu ako se ukupni output prvog sektora poveca za 20%,drugog sektora za 25%, a finalna potraznja prvog sektora smanji se za 20%.
Rjesenje:
Q1= 150 + 20
100 150 = 180
Q2= 200 + 25
100 200 = 250
q1= 30 20
100
30 = 24
Q =
180250
Q3
, q =
24q2
q3
A=
30
150
40
200
50
25050
150
80
200
50
25030
150
60
200
100
250
=
1
5
1
5
1
51
3
2
5
1
51
5
3
10
2
5
T =I A=
4
5
15
15
13
3
5
15
15
310
3
5
61
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
125/565
T Q =q
45
15
15
13
3
5
15
15
310
3
5
180250
Q3
=
24q2
q3
Q3= 350, q2= 20, q
3= 99
Qij =aij Qj
Q11=a11 Q1
Q11= 15
180 = 60 . . .
Qi Qij qi180 36 50 70 24
250 60 100 70 20
350 36 75 140 99
62
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
126/565
55. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata A =15 1517
37
. Za koliko treba
promijeniti ukupnu proizvodnju pojedinih sektora ako se ocekuje promjena
finalne potraznje za vektor q=
2010
Rjesenje:
T =I A= 4
5
15
1
7
4
7
Q= T1 q
T1 = 1
4
5 4
5 (1
5) (1
7)
4
7
1
51
7
4
5
=
4
3
7
151
3
28
15
Q=
4
3
7
151
3
28
15
2010
=
2212
63
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
127/565
56. Zadana je matrica tehnickih koeficijenata
A=
0.1 0.3 0.20.3 0.2 0.1
0.2 0.1 0.3
Za koliko se treba promijeniti vektor finalne potraznje ako se planira povecanje
proizvodnje za vektor Q=
3010
20
i tehnoloski uvjeti se ne mijenjaju da bi
promatrana trosektorska ekonomija ostala u ravnotezi?
Rjesenje:
T Q= q
T =I A=
0.9 0.3 0.20.3 0.8 0.1
0.2 0.1 0.7
q= 0.9 0.3 0.20.3 0.8 0.1
0.2 0.1 0.7
30
1020
= 20
37
64
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
128/565
UVOD
Ovi nastavni materijali namijenjeni su studen-
tima koji slusaju predmet matematika a re-
zultat su visegodisnjeg rada u nastavi iz ovogpredmeta. U svrhu lakseg pracenja i boljeg
razumijevanja, gradivo je izlozeno na pristupa-
can nacin sa detaljnim objasnjenjima i brojnim
primjerima. Iako ovi materijali cine sustinu
nastave, studentima se preporuca pohadanje
nastave gdje ce dobiti, po potrebi, i sva do-
datna objasnjenja i informacije. Svaka suges-
tija i konstruktivna kritika, u svrhu poboljsanja
ovih materijala, je dobrodosla.
Zelim vam sto uspjesnije savladavanje izloze-
nog gradiva !!
J.M.
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
129/565
SADRZAJ
Funkcije . . . 1
Realne funkcije jedne varijable . . . 3
Granicna vrijednost (limes) funkcije . . . 7
Neprekidnost funkcije . . . 14
Derivacije funkcija jedne varijable . . . 15
Tehnika deriviranja . . . 19
Diferencijal funkcije . . . 39
Teorem srednje vrijednosti . . . 41
LHospitalBernoulijevo pravilo . . . 46
Primjena derivacija na ispitivanje toka
i graficko predocavanje funkcija . . . 48
Primjena derivacijana ekonomske funkcije . . . 68
Elasticnost . . . 74
Engelovi zakoni . . . 81
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
130/565
SADRZAJ (NASTAVAK)
Funkcije vise varijabli . . . 83
Parcijalne derivacije . . . 85
Homogene funkcije . . . 89
Diferencijali funkcija vise varijabli . . . 92
Elasticnost funkcija vise varijabli . . . 96
Ekstremi funkcija dvije varijable . . . 100
Metoda najmanjih kvadrata . . . 108
Uvjetni ekstremi . . . 111
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
131/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
132/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
133/565
+ +
REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE
Prirodna domena ovih funkcija je skup
D(f) = {x R : f(x) R} .Mozemo ih zadati tablicom, graficki i anali-
ticki (formulom). Primjeri ...
Klasifikacija
Algebarske:
polinomi (operacije +, , )
y =a0+ a1x + a2x2
+ . . . + anxn
racionalne (razlomljene) funkcije(operacije +, , , :)
y =
a0+ a1x + a2x2 + . . . + anxn
b0+ b1x + b2x2 + . . . + bmxm
iracionalne funkcije(operacije +, , , :, n )
+ 3
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
134/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
135/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
136/565
+ +
4. Odredite domene slijedecih funkcija
a(x) = xx2 9, b(x) = xx2 + 9,
c(x) =
1 x, d(x) = 31 x,
f(x) = log(x2 4), g(x) =ln(x3 8)
3 x,
h(x) = log log x, k(x) =
2x 21x.
Rjesenje:
D(a) = R
\ {3, 3
}, D(b) = R,
D(c) = , 1], D(d) = R,
D(f) = , 2 2, +,
D(g) = 2, 9, D(h) = 1, +,
D(k) =
1
2, +
.
Pravila: B/N N= 0, parni 0,loga >0.
+ 6
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
137/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
138/565
+ +
Na primjer:
x f(x)
0.9 2.710.99 2.9701
0.999 2.997...0.9999 2.9997...
0.99999 2.99997...
1 3
x f(x)
1.1 3.311.01 3.0301
1.001 3.003...1.0001 3.0003...
1.00001 3.00003...
1+ 3
Dakle, naslucujemo da bi moglo biti
limx1 f(x) = 3 .Zaista,
limx1
x3 1x 1 =
0
0
= limx1 (x 1)(x
2
+ x + 1)x 1
= limx1(x
2 + x + 1)
= 3 .
+ 8
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
139/565
+ +
Definicija(konacni limes u konacnosti): Ne-ka su c, L R. Kazemo da je L limes funkcijef(x) kada x tezi broju c i pisemo
limxc f(x) =L
ako za svaki >0 postoji >0 tako da vrijedi
0< |x c| < |f(x) L| < .Primijetimo da je
0< |x c| < x c , c +
okolina tocke ci x =c,
|f(x) L| < f(x) L , L + okolina tocke L
.
Drugim rijecima, funkcija poprima vrijednosti
po volji blizu broju L kad se argumenat do-
voljno priblizi broju c. To mozemo zapisati i
ovako:
f(x) =L + (x), limxc (x) = 0 .
Skica ...
+ 9
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
140/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
141/565
+ +
Beskonacni limes u beskonacnosti
(c= , L= ):lim
x f(x) = ili limx f(x) = (ili)Funkcija poprima proizvoljno velike pozitivne
(ili negativne) vrijednosti kad argumenat po-
primi dovoljno velike pozitivne ili negativne
vrijednosti. Skica ...Kazemo da funkcija konvergira u nekoj tocki
ako u njoj ima konacni limes. U protivnom
(ako je limes beskonacan ili ga nema) kazemo
da divergira.
Svojstva limesa:Limes zbroja, razlike, produkta ili kvocjenta
dviju funkcija jednak je zbroju, razlici, pro-
duktu ili kvocjentu limesa tih dviju funkcija
(ako su svi navedeni izrazi odredeni), tj.
limxc(f(x) g(x)) = limxc f(x)limxc g(x),pri cemu je
{+, , , :}. Specijalno ako
je g(x) =k (konstanta), imamo npr.
limxc(k f(x)) =k limxc f(x).
+ 11
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
142/565
+ +
Neki vazniji limesi:
(1) limx
a
x= 0, lim
x
a
x= 0 za a R,
(2) limx0+
a
x= , lim
x0a
x= za a >0,
(3) limx a
x =
0 za 0< a 1,
(4) limx
xa= 1 za a >0, limx
xx= 1,
(5) limx
1 +
1
x
x= 2.71828182...=e ,
limx1 +
k
xx
=ek, k
R .
+ 12
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
143/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
144/565
+ +
NEPREKIDNOST FUNKCIJE
Definicija: Funkcija f(x) je neprekidna u
tocki x=c ako vrijedi
limx
cf(x) =f(c) .
Primijetimo da definicija podrazumijeva da je
funkcija definirana u tocki c, da ima limes u
tocki c i da su te dvije vrijednosti jednake.
U protivnom (ako nesto od navedenog nije
ispunjeno) kazemo da funkcija ima prekid u
tocki c.
Slikovito receno, funkcija je neprekidna u ne-
koj tocki ako njezin graf kroz tu tocku moze-
mo nacrtati jednim potezom.
PRIMJER: Ispitajte neprekidnost funkcija
f(x) =x2 1
x 1 i g(x) =x + 1 .
+ 14
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
145/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
146/565
+ +
Dakle,
f(x) = limx0
yx= lim
x0koef. smjera sekante
= koef. smjera tangente
Geometrijska interpretacija derivacije:Derivacija funkcije u nekoj tocki je koefici-jent smjera tangente na graf funkcije u tojtocki. Drugim rijecima, derivacija je mjerabrzine promjene funkcije uzrokovane malompromjenom argumenta.
Primjer: interpretirajte slijedece tvrdnjef(2) = 3, f(5) = 1/4 .
Napomenimo da se osnovna formula (defini-cija) derivacije moze pisati na vise nacina, npr.stavimo li z = x+ x tada jex = z x i
x
0
z
x, pa je
f(x) = limx0
f(x + x) f(x)x
= limzx
f(z) f(x)z x
+ 16
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
147/565
+ +
DERIVABILNOST I NEPREKIDNOST
Ako je funkcija derivabilna u nekoj tocki tada
je u njoj i neprekidna. Obrat ne mora vrijediti.
Dokazimo ovu tvrdnju!
Ako je funkcija f(x) derivabilna u tocki x=c,bit ce
f(c) = limxc
f(x) f(c)x c ,
odnosno
f(x) f(c)x c =f
(c) + (x), limxc (x) = 0
ili
f(x) f(c) = (x c)f(c) + (x c)(x) .Uzmemo li u ovoj jednakosti limes kad x
c,
desna strana postane nula, pa dobijemo
limxc f(x) f(c) = 0 ,
a sto je definicija neprekidnosti.
+ 17
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
148/565
+ +
Tvdnju da obrat ne mora vrijediti pokazuje
primjer funkcije
f(x) = |x| = x za x 0x za x
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
149/565
+ +
TEHNIKA DERIVIRANJA
Da bi postupak deriviranja ucinili jednostavni-
jim, koristeci definiciju derivacije, izvest cemo:
opcenita pravila deriviranja (derivacijuzbroja, razlike, produkta i kvocjenta),
tablicu derivacija(izraze - formule za de-rivaciju elementarnih funkcija) i
derivaciju slozenih funkcija.
+ 19
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
150/565
+ +
PRAVILA DERIVIRANJA
Neka su u i v derivabilne funkcije a c kon-
stanta. Tada vrijedi
1. (c u) =c u
2. (u v) =u v
3. (uv) =uv+ uv
4.
u
v
=
uv uvv2
Ova pravila dobijemo primjenom definicije de-
rivacije
f(x) = limh0
f(x + h) f(x)h
,
(tu smo prirast argumenta xoznacili kracomoznakom h). Pokazujemo pravila 2 i 3.
+ 20
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
151/565
+ +
Pravilo 2: u definiciju derivacije stavimo
f(x) =u(x) + v(x) (slicno za razliku).Imamo
(u(x) + v(x))
= lim
h0
[u(x + h) + v(x + h)] [u(x) + v(x)]
h
= limh0
u(x + h) u(x)
h +
v(x + h) v(x)h
= u(x) + v(x)
+ 21
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
152/565
+ +
Pravilo 3: u definiciju derivacije stavimo
f(x) =u(x) v(x) .Imamo
(u(x) v(x))
= limh0
u(x + h)v(x + h) u(x)v(x)h
= limh0
u(x + h)v(x + h) u(x)v(x + h)
h
+ u(x)v(x + h) u(x)v(x)
h
= limh0
u(x + h) u(x)h
v(x + h)
+ limh0
u(x) v(x + h) v(x)h
= u(x)v(x) + u(x)v(x)
+ 22
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
153/565
+ +
TABLICA DERIVACIJA ELEMENTARNIH
FUNKCIJA
1. (konstanta) = 0
2. (xn) =nxn1, n R, (x) = 1
3. (
x ) = 12
x
4.
1
xn
= n
xn+1, n R
5. (ax)=ax ln a
6. (ex) =ex
+ 23
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
154/565
+ +
7. (loga x) = 1x ln a
=loga ex
8. (ln x) =1x
9. (sin x) = cos x
10. (cos x) = sin x
11. (tan x) = 1cos2 x
12. (cot x) = 1sin2 x
Sve navedene formule dobijemo iz definicije
derivacije. Pokazujemo neke od njih.
+ 24
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
155/565
+ +
Formula 2: U definiciju derivacije stavljamo
f(x) = xn. Formulu pokazujemo za n N.U izvodu koristimo binomni teorem. Imamo
(xn) = limh0
(x + h)n xnh
= limh0
1
h
xn +
n1
xn1h
+
n2
xn2h2 +
n3
xn3h3
+ . . . + n
n 1
xhn1 + hn xn
= limh0
n1
xn1 +
n2
xn2h
+n3xn3h2 + . . . + hn1= nxn1
+ 25
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
156/565
+ +
Formula 3: U definiciju derivacije stavljamo
f(x) =
x. Imamo
(
x) = limh0
x + h x
h
= limh0
x + h x
h
x + h +
x
x + h +
x
= limh0
x + h xh (x + h + x)
= 1
2
x
+ 26
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
157/565
+ +
Formula 7: U definiciju derivacije stavljamof(x) = loga x. Imamo
(loga x) = lim
h0loga(x + h) loga x
h
= limh01
h loga x + h
x
= limh0
1
xx
h loga
1 +
h
x
= limh01
x loga 1 +1xh
xh
=
t=
x
h, h 0 t
=
1
x limt loga 1 +1
tt
= 1
x loga e
+ 27
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
158/565
+ +
PRIMJERI
Derivirajte slijedece funkcije
1. y = 6x3 2x + 4x + 2 ln x 9y = 6 (x3) 2 (x)+ 4 (x)
+ 2 (ln x) 9= 6 3x2 2 1 + 4 1
2
x
+
2 1x 0
= 18x2 2 + 2x
+ 2x
2. y = 8 4
x3 + 2x3
y = 8x3/4 + 2x3
y = 8 (x3/4
)+ 2 (x3
)= 8 3
4x1/4 + 2 (3) x4
= 6x1/4 6x4 = 64
x 6
x4
+ 28
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
159/565
+ +
3. y =x4 ln x
y = (x4) ln x + x4 (ln x)
= 4x3
ln x + x4
1
x= 4x3 ln x + x3
4. y = x
x2 + 1
y = (x) (x2 + 1) x (x2 + 1)
(x2 + 1)2
= 1 (x2 + 1) x 2x
(x2 + 1)2
= 1 x2(x2 + 1)2
+ 29
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
160/565
+ +
DERIVACIJA SLOZENE FUNKCIJE(KOMPOZICIJE)
y = (f u)(x), tj. y =f(u(x))
f(x) = limx0
fx
= limx0
fu
ux
= {x 0 u 0 f 0}
= limu0
fu limx0
ux
= f(u)
u
(x)
ili fx=fu ux
+ 30
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
161/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
162/565
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)
163/565
+ +
DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE
Znamo, da ako funkcija ima inverznu, tada
vrijedi y =f(x) x=f1(y).Ako je f(x) poznato, koliko je f1(y)
?
f1(y)
= lim
y0xy
= {y 0 x 0}
= limx01
yx =
1
f(x)
PRIMJER
y =ex
x= ln y, (ex
) =ex
, (ln y) = ?
(ln y) = 1(ex)
= 1
ex=
1
y
+ 33
-
8/11/2019 Mateja- Skripta MATEMATIKA (Najdetaljnije Za Usmeni)