28

Kisérettségi feladatsorok matematikából

8. fe

lada

tsor

8. feladatsor

I. rész

1. Egy deltoid két szomszédos szöge 75° és 110°. Mekkora lehet a hiányzó két szög? 2 pont

2. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha

a b= = −12

2 és !

a b a b a b

ab

+( ) − −( ) +( )2

2 3 pont

3. Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; B = [0; 30[. Adja meg az A BÇ halmaz elemeit! 2 pont

4. Egy a hegyesszögre tgα = 512

. Határozza meg sin a pontos értékét! 3 pont

5. Egy osztály 13

-a gyalog jár iskolába, a többiek 75%-a kerékpárral, 5-en pedig

busszal. Hány fős az osztály? 3 pont

6. Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartomá-nya a [−2; 11] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő! 2 pont

7. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 20 cm és 4 cm, átlója 13 cm hosszú. Mekkora a területe? 3 pont

x

y

1

1

112

234

2

2

3

3

4

4

5 6 7 8 9 10

8. feladatsor

29

Kisérettségi feladatsorok matematikából

8. Hány egész megoldása van az 32 3

56

− ≤x egyenlőtlenségnek? 4 pont

9. Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; 1; 2; 3; 4; 5 számjegyek mindegyikét, és oszt-ható 12-vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám? 3 pont

10. Az A és a B halmazokra teljesül, hogy A = 5 ; A BÈ =12 és A B\ = 4. Hány elemű a B halmaz? 2 pont

11. Oldja meg az x x x4 3 28 16 0+ + = egyenletet! 3 pont

II./A rész

12. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám 32-vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? 12 pont

13. Az f x x x( ) = − −2 4 5 függvény értelmezési tartománya a [−2; 5] intervallum. a) Határozza meg a függvény értékkészletét! 4 pontb) Határozza meg f x( ) szélsőértékeit és azok helyét! 8 pont

14. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága 5 egység.a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól? 3 pontb) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfele-

zőjének a háromszögbe eső szakasza? 9 pont

II./B rész

15. Egymástól 12 m távolságban áll egy 6 m és egy 10 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítet-tünk egy 16 m hosszú kötelet, és erre ráakasztot-tunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a kötél két ága merőleges egymásra.

a) Milyen hosszú a kötél két ága? 9 pont

12

6

10

97

Megoldások

8. feladatsor

8. feladatsor megoldása

I. rész

1. Egy deltoid két szomszédos szöge 75° és 110°. Mekkora lehet a hiányzó két szög?

Megoldás:Ha a két különböző hosszúságú oldal által bezárt szög 75°, akkor 2 75 110 360⋅ ° + ° + = °γ ; amiből g = 100°. Így a szögek: 75°; 110°; 75°; 100°. 1 pontHa ez a szög a 110°, akkor 2 110 75 360⋅ ° + ° + = °δ ; amiből d = 65°.A deltoid szögei 110°; 75°; 110°; 65°. 1 pont

2. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a b= = −12

2és

a b= = −12

2és !

a b a b a b

ab

+( ) − −( ) +( )2

2Megoldás:

a ab b a b

ab

ab b

ab

b a b

ab

a b

a

2 2 2 2 222

2 22

22

+ + − + = + =+( )

= +; a b≠ ≠0 0és . 2 pont

Behelyettesítve:

12

2

12

32

2 3−

= − ⋅ = − . 1 pont

3. Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; B = [0; 30[. Adja meg az A BÇ halmaz elemeit!

Megoldás:A BÇ = { }11 13 17 23 29; ; ; ; 2 pont

4. Egy a hegyesszögre tgα = 512

. Határozza meg sin a pontos értékét!

8. fe

lada

tsor

98

Megoldások

Megoldás:Legyenek az a hegyesszögű derékszögű háromszög megfelelő oldalai a szokásos jelöléssel a, b és c!

tgα = = ⇒ =a

bb a

512

125

. 1 pont

c a a a c a2 2 2 214425

16925

135

= + = ⇒ = . 1 pont

sinα = =ac

513

. 1 pont

5. Egy osztály 13

-a gyalog jár iskolába, a többiek 75%-a kerékpárral, 5-en pedig

busszal. Hány fős az osztály?

Megoldás:

Ha az osztálylétszám x, akkor 13

0 75 23

5x x x+ ⋅ + =, . 1 pont

Ebből x = 30; azaz 30 fős az osztály. 2 pont

6. Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartomá-nya a [−2; 11] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő!

Megoldás:A függvény szigorúan monoton növekvő a [2; 4] és a [6; 8] in-tervallumon. 2 pont

7. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 20 cm és 4 cm, átlója 13 cm hosszú. Mekkora a területe?

Megoldás:Az ábra az adatokkal 1 pontm2 2 212 13+ = ; amiből m = 5. 1 pont

A terület: T = + ⋅ =20 42

5 60. 1 pont

x

y

4

2

2

2

2

4

6

4

8 10

4

13

12 8

m

8. feladatsor

99

Megoldások

8. Hány egész megoldása van az 32 3

56

− ≤x egyenlőtlenségnek?

Megoldás:

− ≤ − ≤56

32 3

56

x 1 pont

− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ − ≤ − ⇒ ≤ ≤5 9 2 5 14 2 4 2 7x x x 2 pont6 egész megoldása van az egyenlőtlenségnek. 1 pont

9. Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; 1; 2; 3; 4; 5 számjegyek mindegyikét, és oszt-ható 12-vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám?

Megoldás:A számjegyek összege 15, ezért a szám osztható 3-mal, így elég a 4-gyel való oszt-hatóságot vizsgálni. 1 pontAz utolsó két helyen lévő számjegyből alkotott számnak oszthatónak kell lenni 4-gyel.A legkisebb ilyen szám a 103 452, a legnagyobb pedig az 543 120. 2 pont

10. Az A és a B halmazokra teljesül, hogy A = 5; A BÈ =12 és A B\ = 4 . Hány elemű a B halmaz?

Megoldás:A B A A BÇ = − = − =\ 5 4 1 1 pontA B A B A BÈ Ç= + − alapján B = 8. 1 pont

11. Oldja meg az x x x4 3 28 16 0+ + = egyenletet!

Megoldás:x x x2 2 8 16 0+ +( ) =

x x2 24 0+( ) = 1 pontebből x x= = −0 4vagy . 2 pont

II./A rész

12. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám 32-vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám?

8. fe

lada

tsor

100

Megoldások

Megoldás:Legyen az egyik szám x, a másik x + 32 (x > 0)! 1 pont

A számtani közepük: x x

x+ + = +32

216. 1 pont

A mértani közepük: x x +( )32 . 1 pontA számtani közép nem kisebb a mértaninál, ezértx x x+ − +( ) =16 32 8; 2 pont

x x x2 32 8+ = + . 2 pontMinkét oldalt négyzetre emelve:x x x x2 232 16 64+ = + + . 2 pontEbből x = 4. 1 pontA két szám a 4 és a 36. 1 pontEllenőrzés 1 pont

13. Az f x x x( ) = − −2 4 5 függvény értelmezési tartománya a [−2; 5] intervallum.a) Határozza meg a függvény értékkészletét!b) Határozza meg f x( ) szélsőértékeit és azok helyét!

Megoldás:a) f x x( ) = −( ) −2 92 1 pont

Mivel f másodfokú függvény, és a fő együtthatója pozitív, így a képe egy pozitív irányba nyíló parabola. f f−( ) = ( ) =2 7 5 0és 1 pontA függvény minimuma f 2 9( ) = − ; az értékkészlete −[ ]9 7; . 2 pont

b) Az x f x ( ) függvény grafikonja:f x( ) értékkészlete 0 9;[ ]; 2 pont

minimuma: 0; 1 pontminimumhelyei az x x2 4 5 0− − = megoldásai: x x= − =1 5és ; 2 pontmaximuma: 9; 1 pontmaximumhelye: x = 2. 2 pont

14. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága 5 egység.a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól?

x

y

1

1

12 2

2

3

3

4

4

5

5678

8. feladatsor

101

Megoldások

b) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfele-zőjének a háromszögbe eső szakasza?

Megoldás:a) Legyen az ABC derékszögű háromszög súly-

pontja S, az AB oldal felezőpontja F!A háromszög magasságpontja a derékszögű csúcs. M = C és MS = 5. 1 pontA köré írható kör középpontja F és FM súly-vonal, amelyet S harmadol. 1 pont

FS MS= =12

52

. 1 pont

b) Az átfogó hossza c s FC FS SMc= ⋅ = ⋅ = +( ) = +

=2 2 2 2 52

5 15. 2 pont

A legrövidebb oldal a = 9. A másik befogó b c a= − = − =2 2 2 215 9 12. 1 pontA legkisebb szög a legrövidebb oldallal szemközti szög, ez most a. 1 pont

sinα = =ac

915

; amiből a ≈ 36,87°. 2 pont

Legyen az A csúcsból induló szögfelező és a szemközti oldal metszéspontja D!A szögfelező hossza AD = f.

Az ACD derékszögű háromszögben cos α2

= bf

. 1 pont

Innen f =°

≈1218 43

12 65cos ,

, . 2 pont

II./B rész

15. Egymástól 12 m távolságban áll egy 6 m és egy 10 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítettünk egy 16 m hosszú kötelet, és erre ráakasztottunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a kötél két ága merőleges egymásra.

a) Milyen hosszú a kötél két ága?b) A két oszlop között, azoktól egyenlő távolságra állva mekkora emelkedési szögben

látjuk az oszlopok tetejét, ha a szemmagasságunk 1,6 m?

B

S

M C

5

A

F