1

Matek szóbeli érettségi tételek

1. Halmazok, halmazműveletek

Halmazok, részhalmazok

A halmazt alapfogalomnak tekintjük. Képezhetünk halmazt a kétjegyű pozitív számokból,

személyekből stb. Ezeket a halmaz elemeinek nevezzük. Egy halmaz elemeinek a száma

lehet véges, de halmaznak végtelen sok eleme is lehet. (például természetes számok

halmaza). A halmazokat nagybetűvel jelöljük, a halmaz elemeit kapcsos zárójelbe tesszük.

Azt, hogy a halmaz egy eleme a halmazhoz tartozik, az jellel jelöljük. Beszélünk üres

halmazról is. Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs. Az üres halmaz jele:

Egy halmaz megadása az elemeinek egyértelmű meghatározását jelenti. Ha a halmaznak

véges sok eleme van, akkor az ilyen halmazt megadhatjuk elemeinek a felsorolásával. Egy

halmaz megadásánál olyan utasítást kell adnunk, amely alapján egyértelmű lesz, hogy

valamely dolog eleme-e a halmaznak vagy nem eleme.

Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a

másik halmaz elemeivel azonosak. Más szóval: az M és N halmaz akkor és csak akkor

egyenlő, ha a M esetén a N is teljesül, és ha b M, akkor b N is igaz.

Definíció: Az A halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden

eleme a H halmaznak is eleme. Jelölése: A H A részhalmaz definíciója alapján minden

halmaz saját magának is részhalmaza. Az üres halmaz részhalmaza minden halmaznak.

Az n elemű halmaznak 2n darab részhalmaza van.

Definíció: Az A halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz

részhalmaza a H halmaznak, de nem egyenlő vele. Jelölése: AH

Definíció: Az [a, b] zárt intervallumon azoknak az x valós számoknak a halmazát értjük,

amelyekre a<=x<=b. Az ]a, b[ nyílt intervallumon azoknak az x valós számoknak a

halmazát értjük, amelyekre a<x<b.

Műveletek halmazokkal

Definíció: Két halmaz uniójának (egyesítésének, összegének) nevezzük azoknak az

elemeknek a halmazát, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Az A és

B halmaz uniójának jele: AB

Definíció: Két halmaz metszetének (közös részének, szorzatának) nevezzük azoknak az

elemeknek a halmazát, amelyek mindkét halmaznak az elemei. Az A és B halmaz

metszetének jele: AB

Definíció: Az A és B halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük

azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B

halmaznak. Az A és B halmaz különbségének jele: A\B

Definíció: Az A és B halmaz szimmetrikus differenciáján értjük az (A\B)(B\A) halmazt.

Jelölése: A Δ B (A delta B).

Definíció: Egy H (nem üres) halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A

halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementer halmazának) nevezzük

a H\A halmazt. Ennek jele: Ā

Gyakorlati alkalmazás: halmazelmélet, számhalmazok.

2

2. Számhalmazok, halmazok számossága

Számhalmazok

A 0, 1, 2, 3… számokat természetes számoknak nevezzük. Jele: N

Ha természetes számokkal összeadást, szorzást, végzünk, akkor az eredményünk is

természetes szám lesz.

A …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… számokat egész számoknak nevezzük. Jele: Z

Ha egész számokkal összeadást, kivonást (összevonást) és szorzást végzünk, akkor az

eredményünk is egész szám.

Azokat a számokat, amelyek a/b alakúak, ha a és b egész számok (b0), racionális

számoknak nevezzük. (Latin szó, jelentése: arány). Jele: Q

A racionális számokat tizedes-tört formában is felírhatjuk, ami lehet véges, vagy

szakaszos végtelen tizedes-tört, azaz periodikus tizedes-tört.

Tétel: Minden racionális szám periodikus tizedes-tört alakban is felírható.

Bizonyítás: Ha az a/b törtnél az osztás folyamán mindig lesz maradék, akkor a b-vel való

osztásnál a maradék az 1,2, 3… b-1 számok valamelyike, tehát a maradék legfeljebb (b-

1)-féle lehet. Ezért előbb-utóbb ismétlődő maradékhoz jutunk és onnan kezdve az osztási

eljárás folytán periodikus ismétlődés lesz. Emiatt a hányados számjegyeiben is periodikus

ismétlődés mutatkozik. Ha olyan az osztás, hogy egyszer nem lesz maradék, azt úgy is

tekinthetjük, hogy a maradék 0, és ezért a hányadosban periodikusan ismétlődik a 0. Az

állítás fordítva is igaz: bármely periodikus tizedes-tört felírható két egész szám

hányadosaként.

A nem periodikus végtelen tizedes-törteket irracionális számoknak nevezzük. Jele: Q*

A végtelen tizedes-törtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük. Jele: R

A számhalmazok ábrázolása Venn-diagrammal történik.

Fogalmak, állítások

Két valós számunk van, a és b. Közülük a<b, ha van olyan d pozitív szám, hogy fennáll a

b= a+d. Ezt a rendezés definíciójának nevezzük.

A valós számok abszolútértékének definíciója:

|a|= a, ha 0<=a

-a, ha a<0.

A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív

tulajdonság: a+b = b+a: két tag összeadásánál a két tagot felcserélhetjük, az összeg nem

változik. Az asszociatív tulajdonság: (a+b)+c = a+(b+c): több tag összeadásánál a tagokat

tetszés szerint csoportosíthatjuk.

A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív

tulajdonság: ab =ba: két tényező összeszorzásánál a két tényezőt felcserélhetjük, a szorzat

nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (ab)c = a(bc): több tényező szorzásánál a

tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk.

A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív tulajdonságú: (a+b)c =ac+bc:

ha a valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha

az összeg tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval, és a kapott szorzatokat összeadjuk.

3

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

Nevezetes ponthalmazok

A szakasz felezőmerőlegesének definíciója: A síkban egy szakasz felezőmerőlegese

azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban

vannak.

Egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban levő pontok halmaza a szakaszt felező

és a szakaszra merőleges sík.

Definíció: A körvonal az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságban lévő síkbeli

pontok halmaza. Körvonal= P | OP =r; O S, P S.

A körlap az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra

lévő síkbeli pontok halmaza. Körlap = P | OP<=r; O S, P S.

Definíció: A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan

egy közös pontja van.

Tétel: A kör érintője merőleges az érintési pontjához húzott sugárra.

Bizonyítás: Indirekt módon. Tegyük fel, hogy az érintő-egyenes nem merőleges az érintési

ponthoz húzott sugárra. Ebben az esetben meg tudjuk húzni a kör középpontján átmenő,

az érintőhöz húzott merőlegest, ami viszont azonos lesz a kör érintőjének érintkezési

pontjával, vagyis a tételt bebizonyítottuk.

Definíció: A gömbfelület egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok

halmaza: gömbfelület = P | OP = r.

A gömbtest egy adott O ponttól megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő

pontok halmaza: gömbtest = P | OP<=r.

Definíció: A gömb érintő-egyenese olyan egyenes, amelynek a gömbfelülettel pontosan

egy közös pontja van.

Definíció: A gömb érintősíkja olyan sík, amelynek a gömbfelülettel pontosan egy közös

pontja van.

Tétel: A gömb érintő-egyenese merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra.

A gömbfelület egy pontjához végtelen sok érintő-egyenes húzható, ezek egy síkban

vannak, és ez a sík a gömb érintősíkja.

Tétel: A gömb érintősíkja merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra.

Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban levő pontok halmaza a síkban az adott

egyenessel párhuzamos két egyenes. Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban lévő

pontok halmaza egy körhengerpalást.

A síkban egy adott r sugarú körtől adott d távolságban levő pontok halmaza, ha, ha

a) d<r, akkor az adott körrel koncentrikus két kör, az egyik sugara r+d, a másik

sugara r-d;

b) d=r, akkor az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör és egy pont, a körök

középpontja.

c) D>r, akkor az adott körrel koncentrikus egyetlen kör, ennek sugara r+d.

Tudjuk, hogy egymást érintő két kör középpontja és az érintési pontjuk egy egyenesre

illeszkednek. Ekkor az érintési pontban közös egyenes az érintőjük. Két kör kívülről és

belülről érintheti egymást. Ha az O1 középpontú r1 sugarú k1 kör és az O2 középpontú r2

sugarú k2 kör kívülről érintik egymást, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 = r1 + r2. Ha

az előző két kör érintkezésénél az egyik belső kör, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 =

r1 – r2. Egy adott r sugarú kört kívülről érintő d sugarú körök középpontjainak halmaza az

adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör. Egy adott r sugarú kört belülről érintő d (d<r)

sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r-d sugarú kör.

4

4. Hatványozás, hatványfüggvények

Hatványozás definíciója:

1) Ha nN+, akkor a

n = aaaa…a aR

n darab

2) Ha n=0, akkor an = 1 aR\0

3) Ha nN+, akkor a

-n = 1/a

n = (1/a)

n aR\0

4) Ha n\Q és n = p/q, akkor ap/q

= qa

p qN

+\1 pZ aR

+

5) Ha nQ*, akkor an egy sorozat határértéke.

A hatványozás azonosságai

1) am

an = a

m+n

2) am

/an = a

m-n a0

3) (am

)n

= amn

4) (ab)n = a

nb

n

5) (a/b)n = a

n/b

n b0

a, b, n, mR

Számok normálalakja

Ha a számokat 10 egész kitevőjű hatványa segítségével írjuk fel, akkor azt úgy tesszük,

hogy a hatvány szorzója 1 és 10 közötti egész szám legyen. A számoknak az így felírt

alakját normálalaknak nevezzük.

Egy 0<x szám normálalakja x = N10k, ahol 1<=N<10 és kZ

A 10 hatványkitevője az x szám nagyságrendjére jellemző. Ezt a k kitevőt a szám

karakterisztikájának nevezzük.

Hatványfüggvények

A polinom-függvények közül az x2, x

3… x

n függvényeket hatványfüggvényeknek

nevezzük. Képük folytonos vonal. A másodfokú függvények képét parabolának nevezzük.

Az f: RR, f(x) = ax2+bx+c (a, b, c konstans, a0) függvényeket másodfokú

függvényeknek nevezzük.

5

5. Gyökvonás, gyökfüggvény

Az n-edik gyök fogalma

Definíció: na az a valós szám, aminek n-edik hatványa a.

Feltételek: nN+\1

Ha n páros, akkor aR+0

Ha n páratlan, akkor aR

A gyökvonás azonosságai

1) nab =

na

nb

2) na/b =

na/

nb

3) na

k = (

na)

k kR

4) n

ka =

nka kN

+\1

nN+\1 a,bR

+

Gyökfüggvények

Bármely n (nN+\1) gyökkitevő esetén az

nx függvény mindenütt monoton növekvő,

azaz ha x1<x2, akkor nx1<

nx2.

Ezért ha na =

nb, akkor a = b

6

6. A logaritmus. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény

Az exponenciális függvények

Definíció: Az f: R R, f(x)= ax (0<a és a1) függvényeket exponenciális függvényeknek

nevezzük.

Az így definiált ax exponenciális függvények értékkészlete a pozitív számok halmaza.

Képük folytonos vonal. Minden R R, f(x)= ax exponenciális függvénynek x=0-nál 1 a

függvényértéke. A koordinátasíkon a képük az y tengelyt 1-nél metszi. Minden

exponenciális függvény monoton. Ha 1<a, akkor az ax exponenciális függvény monoton

nő, ha 0<a<1, akkor az ax exponenciális függvény monoton csökken. Az a

x és az (1/a)

x=

1/ax exponenciális függvények képei egymás tükörképei az y tengelyre vonatkozóan.

Az ax (0<a és a1) függvény monoton, és értékkészlete a pozitív számok halmaza. Emiatt

bármely pozitív szám felírható valamely a szám hatványaként.

A logaritmus fogalma

Definíció: A b pozitív szám a alapú (0<a és a1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt,

amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölése: logab

A definíció röviden: alog

ab=b (0<a, a1, 0<b).

A logaritmus definíciójából következik, hogy bármilyen megengedett alap esetén loga1=0

és logaa=1.

Mivel a számrendszerünk alapja 10, gyakran dolgozunk 10-es alapú logaritmussal.

Megállapodunk abban, hogy a számok 10-es alapú logaritmusát egyszerűbben jelöljük.

Nem rakjuk ki a 10-es alapot, és log helyett lg-t írunk.

A logaritmusfüggvények

Definíció: Az f: R+ R, f(x)= logax (0<a és a1) függvényt logaritmusfüggvénynek

nevezzük. Más jelöléssel: x | logax

Az f(x)=logax függvények értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza,

értékkészlete a valós számok halmaza.

A logaritmusfüggvények képe folytonos vonal. Minden x | logax függvénynek x=1-nél

0 a függvényértéke, azaz képük a koordinátasík x tengelyét 1-nél metszi. A

logaritmusfüggvény monoton. Ha 1<a, akkor az logax függvény monoton növekvő, ha

0<a<1, akkor monoton csökkenő.

Az azonos alapú exponenciális és logaritmusfüggvény egymásnak inverze, azaz az egyik

görbe egyenlete az x és y felcserélésével adódik. A két grafikus kép az y = x egyenletű

egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Ugyanis az x|ax függvény inverze az a

x|x,

azaz ax|a

logax függvény. Ebből az x|logax függvényhez juthatunk.

A logaritmus azonosságai

Szorzat logaritmusa: loga(bc) = logab+logac

Hányados logaritmusa: loga(b/c) = logab-logac

Hatvány logaritmusa: logabk = klogab

Az e alapú logaritmus: természetes logaritmus (logaritmus naturalis): ln.

Egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az

új alapú logaritmusával: logbk = logak/logab

7

7. Első- és Másodfokú függvények, egyenletek

Elsőfokú függvények, lineáris függvények és a másodfokú függvények

Az f: R R, f(x) = ax+b (a, b konstans, a0) függvényeket elsőfokú függvényeknek

nevezzük. Ezeknek a függvényeknek a képe egyenes.

Az f: RR, f(x) = ax2+bx+c (a, b, c konstans, a0) függvényeket másodfokú

függvényeknek nevezzük. A másodfokú függvények képét parabolának nevezzük.

Az egyenletek megoldási módjai

Grafikus módszer

Az alaphalmaz szerepe a megoldás keresésében

Az értékkészlet szerepe az egyenletek megoldásában

Megoldás keresése szorzattá alakítással

Ismeretlen kifejezése egyenletrendezéssel: mérlegelv. Ekvivalens átalakításokkal.

Másodfokú egyenletek; megoldásuk, megoldó-képlet

A D = b2-4ac diszkriminánstól függ, hogy az ax

2+bx+c = 0 (a0) egyenletnek van-e valós

gyöke. Ha D <0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke. Ha D> 0, akkor az egyenletnek

két különböző valós gyöke van. Ha D=0, akkor az egyenletnek két valós gyöke egyenlő (a

megoldásnak egyetlen eleme van).

A másodfokú egyenlet megoldó-képlete: x1,2 = -b+-b2-4ac/2a

Gyöktényezős alak, Viète-formulák

Minden olyan másodfokú egyenletet, amelynek diszkriminánsa nem-negatív, felírhatunk

a(x-x1)(x-x2)=0 gyöktényező alakban.

Ha az egyenlet ax2+bx+c=0 (a0), akkor x1+x2 = -b/a, x1x2 = c/a. Ezeket az

összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük.

8

8. Adatsokaságok jellemzői, a valószínűségszámítás elemei

1. Az események algebrája

Alap fogalmak

Definíció: Véletlen jelenségek azok a jelenségek, amelyeket az ismert feltételek nem

határoznak meg egyértelműen. (A jelenségnek tehát van oka, okai, de azok nem ismertek

teljes egészében.)

Definíció: Kísérletet végzünk, ha egy véletlen jelenséget megfigyelünk. A kísérletet többször,

ugyanolyan körülmények között végrehajtjuk.

Definíció: Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet egy

kimenetelét. Jele: Ω. Az eseménytér elemeinek számát a szokásos halmazjelöléssel, |Ω|-val

jelöljük.

Definíció: Eseménynek nevezzük az eseménytér részhalmazát. Az események jelölése ezért a

halmazjelölésekkel egyezik meg: pl. A esemény. Az „A” esemény elemeinek számát |A|-val

jelöljük.

a Mivel az események részhalmazok, ezért az események közötti műveletek és a

halmazműveletek egymásnak megfeleltethetők.

b Minden eseményhez hozzárendelhető egy állítás (ítélet), nevezetesen az, hogy a

szóban forgó esemény bekövetkezik. Ezért az események közötti műveletek és a

logikai műveletek egymásnak megfeleltethetők.

Definíció: Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely mindenképpen bekövetkezik.

A biztos eseménynek megfelelő halmaz a teljes eseménytér, ezért a biztos esemény jele: Ω

Definíció: Lehetetlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely semmiképpen nem

következhet be. A lehetetlen eseménynek megfelelő halmaz az üres halmaz, ezért a lehetetlen

esemény jele: Ø

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, amikor az A esemény

nem következik be, az A esemény komplementerének nevezzük és /felülvonás/A-val jelöljük.

Események közötti relációk

Definíció: Az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezése

esetén a B esemény is mindig bekövetkezik. Ezt a körülményt a c- jellel jelöljük: A c- B.

Definíció: Két esemény A és B egyenlő, ha a kísérlet bármely lehetséges kimenetele esetén

vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Jelölése: A=B.

Műveletek eseményekkel

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B

események közül legalább az egyik bekövetkezik, az A illetve a B esemény összegének

nevezzük. Jele: A+B

a Az események összeadása megfelel a halmazok uniójának.

b Az események összeadása megfelel a „megengedő vagy” (diszjunkció) logikai

műveletnek.

Tétel: Véges számú eseményből álló eseménytérben minden esemény előállítható elemi

események összegeként. Ez az előállítás az összeadandók sorrendjétől eltekintve egyértelmű.

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B

események közül mindkettő bekövetkezik, az A illetve a B esemény szorzatának nevezzük.

Jele: A∙B, röviden AB.

a Az események szorzása megfelel a halmazok metszetének.

b Az események szorzása megfelel az „és” (konjunkció) logikai műveletnek.

9

Definíció: Egymást kizáró eseménynek nevezzük az A és B eseményeket akkor, ha egyszerre

nem következnek be, azaz A∙B=Ø. (Könnyen belátható, hogy ha E1 és E2 különböző elemi

események, akkor E1 és E2 kizáró események.)

Definíció: A és B esemény különbsége: A–B= A∙/felülvonás/B, azaz: A–B bekövetkezik, ha

A bekövetkezik, de B nem.

Definíció: Szimmetrikus differencia: Azt az eseményt jelenti, hogy A és B esemény közül az

egyik és csakis az egyik következik be. Jele: A˚B. Tehát A˚B=(A–B)+(B–A).

Definíció: Teljes eseményrendszernek nevezzük az A1, A2, A3, … An események halmazát, ha

teljesülnek a következő feltételek:

a A1, A2, A3, … An páronként kizáró események, azaz Ai∙Bj=Ø, ha i≠j.

b Egyik sem lehetetlen esemény, azaz Ai≠Ø.

c Közülük egy és csakis egy mindig bekövetkezik, azaz: A1+A2+A3+…+An=Ω.

2. A valósznűség fogalma

A valószínűség számítás feladata a véletlen tömegjelenségek vizsgálata. Pl. radioaktív

bomlás, gáz nyomása, gyártási selejt előfordulása, szerencsejátékok, stb.

Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelynél a figyelembe vett körülmények a kísérlet

eredményét nem határozzák meg egyértelműen, hanem többféle kimenetelt engednek meg,

tehát egy véletlen jelenséget figyelünk meg. Legyen az A esemény ezen lehetőségek egyike.

Hajtsuk végre a kísérletet többször, azonos körülmények között. Ekkor az A esemény a

kísérletek egy részében bekövetkezik, más részében nem. Ez utóbbi esetekben tehát

/felülvonás/A következik be.

Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor k-t az A

esemény gyakoriságának nevezzük.

Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor a k/n törtet

az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

Definíció: Azt a számot, amely körül egy véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik, az

illető esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A).

Fontos megjegyzések:

a A valószínűség rögzített szám, a relatív gyakoriság pedig a véletlentől függ.

b Ha egy kísérletet n- szer hajtunk végre és az A esemény k- szor következik be,

akkor a 0≤ k ≤ n egyenlőtlenség szerint minden esetre 0 ≤ k/n ≤1 igaz. Tehát egy

esemény relatív gyakorisága mindig 0 és 1 közötti szám. Ezért nyilvánvaló, hogy

minden esemény valószínűsége is 0 és 1 közé esik. A két szélső eset: a lehetetlen

esemény valószínűsége 0, a biztos esemény valószínűsége 1.

c Ha az eseménytér elemi eseményei egyenlő valószínűségűek, akkor egy A

esemény bekövetkezésének valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon:

P(A)=K/N=| A|/|Ω|

Ahol K az esemény szempontjából kedvező esetek száma, (vagyis az A esemény

elemeinek száma) és N az összes lehetséges esetek száma (vagyis a teljes

eseménytér, Ω elemeinek száma). Ebben az esetben a valószínűség klasszikus

modelljéről van szó.

A valószínűségre vonatkozó legfontosabb tételek

Tétel: Ha az A esemény bekövetkezése maga után vonja a B esemény bekövetkezését,

akkor az A valószínűsége kisebb, vagy egyenlő, mint a B valószínűsége. Jelöléssel: Ha A c–

B, akkor P(A)≤P(B)

Tétel: Minden A esemény bekövetkezési valószínűségének és komplementere

valószínűségének az összege 1. Jelöléssel: P(A)+P(/felülvonás/A)=1.

10

Tétel: Ha az A1, A2, A3, … An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor

valószínűségeik összege 1: P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1.

Tétel: Ha A és B tetszőleges események, akkor P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).

3. Események függetlensége

Definíció: Ha N kísérletet végezve a B esemény pontosan n- szer fordult elő és e közül az n

kísérlet közül k esetben B- vel együtt az A esemény is bekövetkezett, akkor a k/n hányadost

az A eseménynek a B feltétel melletti feltételes relatív gyakoriságnak nevezzük. A feltételes

relatív gyakoriság a P(AB)/P(B) körül ingadozik, ezért ezt a számot nevezzük az A esemény

B feltétel melletti feltételes valószínűségének. A feltételes valószínűség jele: P(A|B). Tehát

az A eseménynek a B feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét úgy számíthatjuk ki,

hogy A és B együttes bekövetkezésének valószínűségét osztjuk B valószínűségével.

(feltétel: P(B)>0): P(A|B)=P(AB)/P(B)

Definíció: Az A esemény független a B eseménytől, ha az A eseménynek a B eseményre

vonatkozó feltételes valószínűsége egyenlő az A esemény valószínűségével. Jelőlésel:

P(A|B)=P(A).

Megjegyzés: Ha A független B-től, akkor B is független A-tól. Ekkor azt mondjuk. Hogy A

és B függetlenek egymástól.

Tétel: Ha A és B függetlenek, akkor P(AB)=P(A)P(B).

Geometriai valószínűség

Milyen valószínűséggel esik egy kör belsejében kiválasztott pont a körbe írt szabályos

háromszögbe. (P=T /T )

11

9. Első- és másodfokú egyenlőtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei.

Definíció: Két pozitív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük.

A számtan latinul aritmetika, ezért a számtani közepet aritmetikai középnek is nevezzük,

és A betűvel jelöljük. Két szám számtani közepét szokás az alábbi módon jelölni: A(a;b) =

a+b/2.

Definíció: Két pozitív szám mértani közepének a két szám szorzatának négyzetgyökét

nevezzük.

Két szám mértani közepének szakaszhosszakkal szemléletes értelmet is adhatunk. Ezért

kapta a mértani vagy geometriai közép elnevezést. Szokásos jelölése: G(a;b) = ab.

Definíció: Két pozitív szám harmonikus közepe a két szám reciprokából számított számtani

közép reciproka.

Szokásos jelöléssel: H(a;b) = 1/(1/a+1/b)/2

Definíció: Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám

négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk: N(a;b) = (a2+b

2/)2.

Két szám négyféle közepére az alábbi egyenlőtlenség áll fenn:

H(a;b)<=G(a;b)<=A(a;b)<=N(a;b).

Vizsgáljuk meg, hogy igaz-e két szám számtani és mértani közepe között a ab<=(a+b)/2

egyenlőtlenség.

Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, ezért a bal és a jobb oldal négyzete között

ugyanilyen irányú egyenlőtlenség áll fenn: ab<=(a2+2ab+b

2)/4

0<=a2+2ab+b

2-4ab=(a–b)

2

Tehát valóban: G(a;b)<=A(a;b)

Ugyanezen elgondolás alapján a többi egyenlőtlenséget is be lehet bizonyítani.

12

10. Számsorozatok

Számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása

Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Számtani sorozat

Az a1, a2, a3… an sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve)

bármelyik tagból kivonjuk a megelőző tagot, a különbség állandó. Ezt az állandót a

számtani sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük.

an = a1+(n-1)d.

Az első tag kivételével a számtani sorozat bármelyik tagja a tőle (balra és jobbra)

szimmetrikusan elhelyezkedő két tag számtani közepével egyenlő. ak+i = ak+2i+ak/2

Tétel: Nem létezik olyan csupa pozitív egész számokból álló számtani sorozat, amelynek

minden tagja prímszám.

Bizonyítás: Legyen a sorozat első tagja a, a különbsége d. Az a legyen prímszám és a d

pozitív egész szám. Tekintsük a sorozat n=a+1-edik tagját. an=a+(n-1)d = a+ad = a(1+d).

Innen látható, hogy a sorozatban az (a+1)-edik tag nem lehet prímszám, mert osztható az

a>1 és a d+1>1 egész számokkal.

A számtani sorozat első n tagjának összege: Sn = n(a1+an)/2

Mértani sorozat

Az a1, a2, a3… an sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve)

bármelyik tagot elosztjuk a megelőzővel, a hányados állandó. Ezt az állandót a mértani

sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük, és q-val jelöljük.

A definícióból következik, hogy a mértani sorozat tagjai között a 0 nem fordulhat elő,

mert a 0-val osztani nem lehet.

A mértani sorozat n-edik tagjának kiszámítása: an = a1qn-1

(nZ+)

A pozitív számokból álló mértani sorozat bármelyik tagja a második tagtól kezdve a tőle

balra és jobbra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe. ak+i = akak+2i

A mértani sorozat első n tagjának összege: Sn = a1(qn-1)/q-1

Korlátos, monoton sorozatok

Az an sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re an<=K.

A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük.

Az an sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re, an>=k.

A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük.

Az olyan sorozatot, amely alulról is és felülről is korlátos, korlátos sorozatnak nevezzük.

Az an sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re an<= an+1 (an>=an+1). Ha szigorú

egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk.

Az (1+1/n)n sorozat korlátos.

Konvergens sorozatok

Egy a (valós) szám >0 sugarú környezetén az ]a-;a+[ nyílt intervallumot értjük. Az -

tól függő N természetes számot küszöbindexnek nevezzük.

Az an sorozat konvergens és határértéke az a szám, ha bármely (az a számot tartalmazó)

]a-;a+[ (>0) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Az an valós

számsorozat konvergens és határértéke a, ha minden (>0) számhoz van olyan N

természetes szám, hogy ha n>N, akkor |an-a|<. Az N számot küszöbszámnak nevezzük.

Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat

korlátos.

Ha an monoton növő (fogyó) és felülről (alulról) korlátos sorozat, akkor van határértéke.

13

Ha minden n-re an<= cn<= bn, és an a és bn a, akkor cn a.

Ha an + vagy an -, akkor 1/an 0.

Feltételezzük, hogy az an és a bn sorozatok konvergensek, és an a és bn b. Ekkor

limn(an+-bn) = limnan+- limnbn = a+-b

limn(anbn) = limnan limnbn = ab

limn(ca) = c limnan = ca (c tetszőleges valós szám).

limn(an/bn) = limnan/ limnbn = a/b, feltéve, hogy bn0 és b0.

A mértani sor összege

Az s = a1+a2+a3…+an+… össszeget sornak nevezzük. Az összegben szereplő számok az

an sorozat tagjai.

Ha az s = a1+a2+a3…+an+… sor részletösszegeiből alkotott sorozatnak van határértéke,

akkor a sor összegét ezzel a határértékkel definiáljuk. Az ilyen sort konvergensnek

nevezzük.

limn(1+1/n)n = e.

A mértani sornak akkor és csakis akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg s = a/(1-q).

14

11. Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával

Függvények jellemzése (vizsgálata) elemi úton

1) Értelmezési tartomány: Pl.: Df = R; Értékkészlet: Pl. Rf = R

2) Menete: (szigorúan) monoton csökkenő (hol), és/vagy (szigorúan monoton növekvő.

3) Zérus-hely: ahol a függvény az x - tengelyt metszi.

4) Szélső érték: fajtája (minimum, maximum), helye (x), nagysága (y).

5) Korlátosság: Alulról korlátos vagy felülről korlátos vagy korlátos. (k, K értékei): az f

függvényt korlátosnak nevezzük, ha az értékkészlete korlátos számhalmaz

[k<=f(x)<=K, ahol k, KR és rögzített számok].

6) Periodikus függvény (p a periódus értéke)

7) Paritás, párosság: páros (y - tengelyre szimmetrikus) vagy páratlan (x- tengelyre

szimmetrikus)

8) Kölcsönösen egyértelmű e.

Függvényvizsgálat differenciálszámítás felhasználásával

1) Az értelmezési tartomány meghatározás Pl: Df = R.

2) Szakadási helyek; folytonosság; korlátosság; a függvény viselkedése + és –

végtelenben, az értelmezési tartomány szélein.

3) Zérus-hely, tengelymetszetek. (Zérus-hely: f(x) = 0. y tengelyen x = 0.

4) A helyi szélsőértékek megállapítása: A függvénynek abban az x0 helyen lehet

szélsőértéke, amelyben az első deriváltja 0. Azaz f’(x0)=0. Az x0-ban az f(x)

függvénynek maximuma van, ha az f’(x) függvény értéke az x0 környezetében előjelet

vált, mégpedig pozitívból negatívba megy át. Az f(x) függvénynek az x0 pontban

minimuma van, ha a fentieken kívül az f’(x) függvény az x0 környezetében előjelet

vált, mégpedig negatívból pozitívba.

5) Az f(x) függvény az értelmezési tartomány [a;b] intervallumában konvex, ha:

a x1 x x2 b konkáv, ha:

a x1 x x2 b

A függvénygörbe alakja abban az intervallumban konvex, amelyben a második

derivált előjele pozitív. A függvénygörbe alakja konkáv abban az intervallumban,

amelyben a második derivált előjele negatív. Inflexiós pont: ahol egy konkáv és egy

konvex ív csatlakozik.

15

12. A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek

bizonyításában

Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai

A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai

Definíció: Megadunk egy pontot, a középpontos hasonlósági transzformáció

középpontját (legyen ez O) és egy a számot (a0). Valamely ponthoz a következő

módon rendeljük a képét: Ha P=O, akkor a P pont képe önmaga. Ha QO, akkor a Q

pont képe az OQ egyenesnek olyan Q’ pontja, amelyre OQ’ = |a|OQ. Ha 0<a, akkor a

Q’ pont az OQ félegyenesen van, ha a<0, akkor a Q’ pont az OQ egyenesen Q-val

ellentétes irányban van. Az a (a0) számot a középpontos hasonlóság arányának

nevezzük.

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. A középpontos hasonlóság

szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti

szakasznak az aránya állandó. (Ez az állandó a hasonlóság arányának abszolút-értéke).

A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai

Definíció: Középpontos hasonlóság és egybevágósági transzformáció szorzatát

hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a

hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció

megadásánál fontos a sorrend!

Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. Az a arányú

hasonlósági transzformáció bármely PQ szakasz hosszát |a|PQ hosszúságúra

változtatja. (A hasonlósági transzformáció aránytartó.)

Hasonló alakzatok

Definíció: Hasonlónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan hasonlósági transzformáció,

amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. A hasonlóság jele:

Bármely két kör hasonló.

Két háromszög hasonló, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül (ha egy teljesül,

akkor a többi is teljesül):

a Megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő

b Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek

egyenlők

c Két-két szögük páronként egyenlő

d Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal

szemközt lévő szögek egyenlők.

Két sokszög hasonló, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik és

megfelelő átlóik hosszának aránya egyenlő; vagy megfelelő oldalaik aránya egyenlő és

megfelelő szögeik páronként egyenlők.

Hasonló síkidomok területének aránya

A (lambda) arányú hasonlósági transzformáció bármely szakasz hosszát -szorosára

változtatja meg.

Az új háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti háromszög területét szorozzuk

a hasonlóság arányának a négyzetével. t’ = ama/2=2ama/2 =

2t.

Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

16

13. Derékszögű háromszögek

Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között

Ha egy háromszögről azt mondjuk, hogy derékszögű, akkor ezzel egy adatát megadtuk.

A derékszögű háromszög oldalai között szoros kapcsolat van. A közöttük lévő

összefüggést Pitagorasz tételének nevezzük.

Tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó

négyzetével.

Bizonyítás: Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a+b. Ezeket bontsuk

részekre kétféle módon:

a+b a+b

a b a R b

a a2 a b c a

c Q

b b2 b S C

2 c b

c

a

A a b B A b P a B

Ha mindkét nagy négyzetből elvesszük a minden méretében azonos (csak más helyzetű)

négy-négy derékszögű háromszöget, akkor a maradék területeknek is egyenlőknek kell

lenniük. A bal oldali nagy négyzetből két kis négyzet marad, ezek együttes területe a2+b

2.

A jobb oldali nagy négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c. A

maradék négyszög négyzet. (Mert minden oldala 90), területe c2. A kétféle módon kapott

maradék-területek egyenlő nagyságúak. Ezért a2+b

2 = c

2 A tétel megfordítható.

Thalész tétele

Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával,

akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög

átfogója.)

Bizonyítás: Az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál

lévő szögét -val, a B-nél lévő szögét -val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC

és a BOC egyenlő szárú háromszöget kapjuk. Ezek alapján a belső szögek összege:

++(+) = 180, + = 90 A tételt bebizonyítottuk. Thalész tétele megfordítható.

Derékszögű háromszögek oldalairól, oldalszakaszairól

Tétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az

átfogó két szeletének. Ez a magasságtétel. m2=xy m=xy

Tétel: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő

merőleges vetületnek és az átfogónak. Ez a befogótétel. a2=cx, a=cx

A befogótétel kétféle módon történő megadása (a-ra és b-re), valamint ezek összeadása

megadja Pitagorasz tételét.

A derékszögű háromszög magasságtétele vagy befogótétele segítségével

megszerkeszthetjük két szakasz mértani közepét.

17

14. A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

A háromszögek oldalfelező merőlegesei

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalszakaszok felezőmerőlegesei.

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást.

Bizonyítás: Az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese az e, a BC oldalának

felezőmerőlegese az f egyenes. Legyen ef = M. Természetes, hogy Me és Mf, ezért

AM=BM és BM=CM. Ebből következik: AM=CM, azaz az M pont az AC oldal

felezőmerőlegesének is pontja. Egyetlen ilyen pont létezik. Az M pont egyenlő távolságra

van a háromszög mindhárom csúcsától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely

átmegy a háromszög mindhárom csúcspontján. Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja

a háromszög köré írt kör középpontja. (Hegyes-szögűnél belül, derékszögűnél az átfogón,

tompaszögűnél kívül).

A háromszög magasságvonalai

A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott

merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a háromszög egyik csúcsa és a

szemközti oldal egyenese között van, a háromszög egyik magasságának nevezzük.

Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást.

A három magasságvonal közös pontját a háromszög magasságpontjának nevezzük. Azt a

pontot, ahol az egyik csúcsból húzott magasság a szemközti oldal egyenesét metszi, a

magasság talppontjának nevezzük.

A háromszög szögfelező egyenesei

A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit röviden a háromszög

szögfelezőinek nevezzük. A külső szögek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk.

Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást.

A háromszög szögfelezőinek M metszéspontja egyenlő távolságra van a háromszög

mindhárom oldalától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely érinti a

háromszög oldalait. Ezt a kört a háromszög beírt körének nevezzük, ezért a három

szögfelező közös pontját a beírt kör középpontjának mondjuk. A háromszög

szögfelezőinek metszéspontja a beírt körének középpontja.

Tétel: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a

szomszédos oldalak arányában osztja két részre.

A háromszög középvonalai

Definíció: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög

középvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával,

és hossza fele a harmadik oldal hosszának.

A háromszög súlyvonalai

Definíció: Egy háromszög súlyvonalának a háromszög egyik csúcspontját a szemközti

oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük.

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont

a súlyvonalakat 2: 1 arányban osztja két részre. (A hosszabb szakasz a csúcs felől van).

18

15. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

Összefüggés a háromszög oldalai között

A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Ezt a

kifejezést átalakítva: A háromszög bármely oldala nagyobb, mint a másik két oldal

különbségének abszolút-értéke. a >|b-c|

Összefüggés a háromszög szögei között

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180

Bizonyítás: Az ABC háromszög A csúcsára húzunk egy BC oldallal párhuzamos

egyenest. Az ott látható és ’ szögek váltószögek, tehát egyenlők, a és a ’ szögek

egyállású szögek, azok is egyenlők. A háromszög A csúcsánál lévő három darab szög

együttvéve egyenesszög: +’+’=180. Mivel = ’ és =’, ezért ++=180

B

’

’

C A

Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög

összegével.

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

Tétel: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is

egyenlők.

A tétel megfordítható: Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemközti

oldalak egyenlő hosszúak.

Az egyenlő szárú háromszög alapját felezi a szemközti csúcsból az alapra bocsátott

merőleges.

Tétel: Bármely háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög

van (rövidebb oldallal szemben kisebb szög van).

A tétel megfordítása is igaz: Bármely háromszögben két szög közül a nagyobb szöggel

szemközt hosszabb oldal van (kisebb szöggel szemben rövidebb oldal van).

19

16. Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek

Húrnégyszög Definíció: Az a négyszög, ami köré kör írható. Oldalai az adott kör húrjai.

A húrnégyszög szögei közötti kapcsolat: Tétel: bármely húrnégyszögben a szemközti

szögek összege 180

Bizonyítás: A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggést

használjuk fel. Az kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög, az szöggel

szemközti kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög. 2+2=360, és ha 2-vel

osztunk: +=180 A fordítottja is igaz: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege

180, akkor az húrnégyszög.

A húrnégyszög köré írható kör középpontját úgy kapjuk meg, ha az oldalfelező

merőlegeseket megszerkesztjük. Mind a négy oldal felezőmerőlegese egy pontban metszi

egymást. Ez a metszéspont a húrnégyszög köré írható kör középpontja. Fordítottja is igaz.

Érintőnégyszög Olyan konvex négyszög, amelybe szerkeszthető mind a négy oldalát érintő kör. Belső

szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. Ha egy

négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő. Külső pontból a

körhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak. Egy konvex négyszög a síkon akkor és

csak akkor érintőnégyszög, ha a szemközti oldalainak összege egyenlő.

Szimmetrikus négyszögek

Definíció: Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli egyenes,

amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. Az egyenes az adott alakzat

szimmetriatengelye.

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:

Egyenlőszárú trapézok: egy szimmetriatengelyük van (az alapokat merőlegesen

felező egyenes a szimmetriatengely).

Deltoidok: egy szimmetriatengelyük van (az egyenlő oldalak metszéspontjait

összekötő egyenes a szimmetriatengely).

Rombuszok: két szimmetriatengelyük van (a rombusz átlói a szimmetriatengelyek).

Téglalapok: két szimmetriatengelyük van ( a téglalap középvonalai ezek).

Négyzetek: négy szimmetriatengelyük van ( a két átló és a két középvonal ezek).

Definíció: Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan síkbeli pont,

amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. A pont az alakzat

szimmetria-középpontja.

Középpontosan szimmetrikus négyszögek:

Paralelogrammák: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

Rombuszok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

Téglalapok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

Négyzetek: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

20

17. Sokszögek, szimmetrikus sokszögek

A sokszögekről

Azokat a sokszögeket nevezzük konvexeknek, amelyek bármely két pontjukkal együtt a

két pontot összekötő szakasz minden pontját is tartalmazzák.

Konkáv sokszögek azok, amelyeknek nem minden pontjára igaz, hogy összekötő

szakaszukat teljes egészében tartalmazza a sokszög.

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható.

Bizonyítás: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsát tekintjük, abból saját magához

és a két szomszédos csúcshoz nem húzhatunk átlót, de minden más csúcshoz húzhatunk,

ezért az átlók száma n-3.

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszögben húzható átlók száma n(n-3)/2

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: (n-2)180

Sokszögek területét háromszögekre bontással és a részterületek meghatározásával, majd

megfelelő összegzésével számíthatjuk ki.

Szimmetrikus sokszögek

Definíció: Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és

minden szöge egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük.

Minden szabályos sokszögnél találunk szimmetriát. Minden szabályos sokszög

tengelyesen szimmetrikus. Az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye

van. Ha n páros, akkor a szimmetriatengelyek kétfélék: n/2 szimmetriatengely a szemközti

csúcsokra illeszkedő egyenes; másik n/2 szimmetriatengely a szemközti oldalak

felezőmerőlegese. Ha n páratlan, akkor mind az n szimmetriatengely egy-egy oldal

felezőmerőlegese.

Minden szimmetriatengely egy pontra illeszkedik, ezt a pontot a szabályos sokszög

középpontjának nevezzük. Ha az n oldalú szabályos sokszög középpontját összekötjük a

sokszög csúcsaival, akkor n egybevágó egyenlő szárú háromszöget kapunk.

A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört, amely átmegy a

szabályos sokszög minden csúcsán. Ezt a kört a szabályos sokszög köré írt körének

nevezzük.

A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört is, amely átmegy

minden oldalának a felezőpontján. Ezt a kört a szabályos sokszög beírt körének nevezzük.

Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus is.

A páros oldalszámú szabályos sokszög középpontosan is szimmetrikus.

21

18. A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti

szög

A kör középponti szöge, a körív hossza, a körcikk területe

A körben a középponti szög csúcs a kör középpontja, két szára a kör két sugara. A két

sugár két középponti szöget határoz meg. Mindkét középponti szög szárai között egy-egy

körív van. A két sugár félegyenesével és a közte lévő körívvel határolt körlap-részt

körcikknek nevezzük.

Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körívek hosszai

egyenesen arányosak.

Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körcikkek

területei egyenesen arányosak.

Bizonyítás: A körívek hosszára vonatkozó aránypár: :360= i:2r, ebből i=r/180

A körcikkek területére vonatkozó aránypár: :360=t:r2, ebből t=r

2/360

i:2r = t:r2, ebből t=ri/2. Azaz a körcikk területét megadja a körívhosszúság és a

sugár szorzatának a fele.

Középponti és kerületi szögek tétele

A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcs a

kör kerületén van és két száruk vagy két húr, vagy egy húr és egy érintő.

Tétel: Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1.

Kerületi szögek tétele, látószögkörív

Tétel: Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők.

Bizonyítás: Egy körben, egy adott körívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok

kerületi szög tartozik. Valamennyi kerületi szögre vonatkozik a középponti és kerületi

szögek tétele, ezért valamennyi kerületi szög egyenlő az egyetlen középponti szög felével.

Tétel: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz adott

(0<<180) szögben látszik, két szimmetrikus körív (látószögkörív). Az adott szakasz a

két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez.

A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele

Tétel: A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két

szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott

metszéspontokig terjednek.

Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes

szelőkön a P ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata állandó.

22

19. Vektorok

A vektor fogalma, elnevezések, jelölések

Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Jelölésük: AB

=a

A vektor hosszát a vektor abszolút-értékének nevezzük. Jelölése: |AB

|=|a

|

Ha két vektorhoz található olyan egyenes, amely mindkettővel párhuzamos, akkor ezeket

párhuzamos vektoroknak vagy egyállású vektoroknak nevezzük. Két vektort egyenlőnek

tekintünk, ha abszolút-értékük egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és azonos

irányításúak. Ha két vektor abszolút-értéke egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és

ellentétes irányúak, akkor a két vektort egymás ellentettjének nevezzük. Az a

vektor

ellentettje -a

. Azt a vektort, amelynek abszolút-értéke 0, nullvektornak nevezzük. Jele:

0

A 0

iránya tetszőleges.

Vektorok összegezése és különbsége

Definíció: Adott az a

és a b

vektor. Egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort,

majd ennek végpontjába a másik vektort. A két vektor összege az a vektor, amely az első

vektor kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat.

Két vektor összeadása kommutatív művelet. A vektorok összeadása asszociatív művelet.

Definíció: Az a

–b

különbségen az a

+(-b

) összeget értjük, azaz az a

-hoz

hozzáadjuk a b

ellentettjét.

Vektor szorzása számmal

Definíció: Adott egy a

vektor és egy R szám. A) Ha a0, akkor az a

vektor és a

szám szorzata olyan vektor, amelynek abszolút-értéke |||a

| és iránya 0< esetén az a

vektor iránya, <0 esetén az a

vektorral ellentétes, =0 esetén a

=0, iránya tetszőleges.

B) Ha a

=0, akkor a=0.

A skalárral történő szorzás tulajdonságai: a

+a

és = (+)a

, (a

) = ()a

,

(a

+b

) = a

+b

.

Azok a vektorok egysíkúak, amelyekhez van olyan sík, amelyekkel párhuzamosak.

Vektor felbontása összetevőkre

Tétel: Ha adott az a

és a vele egyállású b

vektor (a0), akkor az a

vektorból a b

vektor skalárral történő szorzással előállítható. Azonos irányú a

és b

esetén:

b

=|b

|a

/|a

|.

Bizonyítás: A vektorok nagyságukat látjuk. Egységvektoruk azonos: b

/x = a

/y, ebből

b

=(x/y)a

. Ugyanezzel a gondolatmenettel dolgozhatunk ellenkező irányú vektorok

esetén is.

Tétel: Ha adott a

és b

nem egyállású vektor, akkor bármely, velük egysíkú v

vektor

egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz egyértelműen

felírható v

= a

+b

alakban, ahol ,R. A v

vektor előző felbontásánál a

és b

vektorok bázisvektorok.

Vektorok a koordinátasíkon

Helyvektorok összegének koordinátáit az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak az

összege adja meg. Az a

(x1, y1) és b

(x2, y2) helyvektorok összegének koordinátái:

(x1+x2; y1+y2). A helyvektorok különbségének koordinátáit is hasonló elgondolással

kapjuk meg. Egy vektor skalárszorosának koordinátáit az eredeti koordinátáknak

ugyanazzal a skalárral történő szorzásával kapjuk meg. Valamely v

(x; y) helyvektor c-

szeresének koordinátái (cx; cy).

23

20. Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon

Szakasz hossza, osztópontja, háromszög súlypontja

Szakasz hossza: |AB

|=(b-a)2 = |b-a| = (x1-x2)

2+(y1-y2)

2 (Pitagorasz tételéből).

A szakasz felezőpontjának koordinátái: x= (x1+x2)/2 y= (y1+y2)/2

A szakasz adott arányú osztópontja: Az AB szakaszt m:n arányban osztó P ponttal

létrehozott AP és PB szakaszhosszakra fennáll: AP:PB =m:n AP = mAB/(m+n)

p

=a

+AP

= a

+m(AB

)/(m+n)= a

+m(b

-a

)/m+n= (ma

+na

+mb

-ma

)/m+n=

(na

+mb

)/m+n. Ebből: x= (nx1+mx2)m+n, y= (ny1+my2)/m+n.

Háromszög súlypontjának koordinátái: x= (x1+x2+x3)/3, y= (y1+y2+y3)/3.

Az egyenes helyzetét jellemző adatok

Definíció: Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely nem

zérus-vektor. Jele: v

(x2-x1; y2-y1)

Definíció: Az (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérus-

vektortól különböző bármely vektor. Jele: n

(y2-y1; x1-x2)

Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az

x tengely pozitív iránya által bezárt szöget.

Definíció: A koordinátasíkon az egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes

iránytangensének nevezzük. Jele: m (m= tg = (y2-y1)/(x2-x1).

Valamely egyenes irányvektora és normálvektora merőleges egymásra, emiatt skaláris

szorzatuk 0: v

n

=0.

Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik és irányvektoraik egyállásúak,

iránytangensei és irányszögei egyenlők. Ez fordítva is igaz.

Ha két egyenes merőleges egymásra, akkor normálvektoraik és irányvektoraik is

merőlegesek egymásra, skaláris szorzatuk 0. Ez fordítva is igaz. Iránytangenssel

rendelkező egyenesek akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha iránytangenseik

egymásnak ellenkező előjelű reciprok értékei.

Az egyenes egyenlete

Az egyenes az r0(x0; y0) helyvektorú P0(x0; y0) pontjával és az n

(A;B) normálvektorával

adott. Az egyenes vektoregyenlete: n

(r-r0)=0. A normálvektor koordinátáival felírt

egyenes egyenlete: Ax+By = Ax0+Bx0

Két egyenes metszéspontjának meghatározása a két egyenes egyenletéből álló

egyenletrendszer megoldását kívánja.

24

21. A kör és a parabola a koordinátasíkon

A kör egyenlete

A kör középpontja legyen C(u;v) és sugara r. A kör tetszőleges P(x;y) pontjára igaz: PC=r

A PC szakasz hosszát, végpontjainak távolságát felírjuk koordinátái segítségével: (x-

u)2+(y-v)

2=r (x-u)

2+(y-v)

2=r

2

Bármely körnek az egyenlete másodfokú két-ismeretlenes egyenlet.

A parabola

Definíció: A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy adott F

pontjától (a fókuszponttól) és egy adott v egyenestől (a vezéregyenestől) egyenlő

távolságra vannak (F nincs rajta v-n).

A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel

jelöljük. A v egyenes és az F pont távolságának a felezőpontja a parabola tengelypontja

(csúcspontja), és a távolság egyenesként való értelmezése a parabola tengelye.

Bármely parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel, megfelelő eltolással

olyan helyzetbe hozható, amelyben tengelypontja az origó. A lefelé és felfelé nyitott

parabolák az x tengelyre történő tükrözéssel, egymásba átvihetők. Így elég a felfelé nyitott

parabolákat vizsgálnunk.

Tekintsünk olyan helyzetű parabolát, amelynek tengelye az y tengely; tengelypontja az

origó, és a parabola a koordinátasík I. És II. Negyedében van. A parabola paramétere p;

vezéregyenesének egyenlete y=-p/2; fókuszpontja F(0;p/2). A parabola tetszőleges pontja:

P(x;y). A parabola definíciója alapján: d(P;F) = d(P;v).ebbe behelyettesítve a

vezéregyenes és a P pont koordinátáit: x2+(y-p/2)

2=y+p/2 ebből átalakítással kapjuk:

y=(1/2p)x2

Ezt a parabola tengelyponti egyenletének nevezzük. (vagy csúcsponti egyenlet).

Bebizonyítható, hogy bármilyen helyzetű is a parabola, egyenlete másodfokú két-

ismeretlenes egyenlet.

25

22. Szögfüggvények és alkalmazásuk a geometriában

A szögfüggvények, trigonometria alkalmazásai

Földméréseknél, magasságmeghatározásnál, távolság-meghatározásoknál. A mérések

ugyanis nem adhatnak pontos eredményeket, de ha szögfüggvényekkel dolgozunk.

(emelkedési szög, depresszió szög, látószög), s ezeket matematikailag felhasználjuk,

akkor biztosan pontos eredményünk lesz.

A hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggéseik

Definíció: Derékszögű háromszögben az hegyesszöggel szemközti befogónak és az

átfogónak az arányát az szög szinuszának nevezzük.

Rövidebben: Az hegyesszögű derékszögű háromszögben: sin= (az szöggel

szemközti befogó)/átfogó = a/c, cos= (az szög melletti befogó)/átfogó = b/c, tg= (az

szöggel szemközti befogó)/(az szög melletti befogó) = a/b, ctg= (az szög melletti

befogó)/(az szöggel szemközti befogó) = b/a.

Egy szög sinusa egyenlő a pótszögének cosinusával. sin= cos(90-).

Pitagorasz-tétele alapján felírhatjuk a trigonometrikus Pitagorasz-tételt is: sin2+cos

2=1.

Közvetlenül a definícióból következik: tg=1/ctg=sin/cos, ctg=cos/sin.

Néhány nevezetes szög szögfüggvényét felírhatjuk szabályos háromszögekből. Egyenlő

oldalú háromszög magasság vonalának meghúzásánál a 30, és a 60 szögfüggvényeit

kapjuk, az egyenlőszárú derékszögű háromszög a 45 szögfüggvényeit adja:

30: sin: ½, cos: (3)/2, tg: (3)/3, ctg: 3. 45: sin, cos: (2)/2, tg, ctg: 1. 60: sin: (3)/2,

cos:1/2, tg3, ctg: (3)/3.

Szögfüggvények általános értelmezése

Definíció: 1. Az szög sinusa, a koordinátasíkon, az i vektortól szöggel elforgatott

egységvektor y koordinátája. 2. Az szög cosinusa, a koordinátasíkon az i vektortól

szöggel elforgatott egységvektor x koordinátája. 3. Az szög tangense a szög sinusának

és cosinusának hányadosa, ha ennek a hányadosnak van értelme: cos0. 4. Az szög

cotangense a szög cosinusának és sinusának hányadosa, ha ennek a hányadosnak van

értelme: sin0.

A sin és cos szögfüggvény periódusa 360, a tg és a ctg szögfüggvény periódusa 180.

Ha 90<<180, akkor szögfüggvénye egyenlő a 180--val. Ha 180<<270, akkor a

szögfüggvénye egyenlő lesz az -180-kal. Ha 270<<360, akkor a szögfüggvénye

egyenlő lesz a 360--val.

A háromszög területét is kiszámolhatjuk szögfüggvényekkel: T= ama/2= absin/2

Szögfüggvények közötti összefüggések

tgctg=1, ha k/2 (mivel a tg és a ctg szögfüggvények egymásnak reciprokai).

sin(90-)=cos, ami a többi szögfüggvényre is igaz páronként.

26

23. Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával

Sokszögek területe

A terület számértéke pozitív szám. Egybevágó síkidomok területe azonos. A síkidom

területe egyenlő a részei területének összegével.

Az a, b oldalhosszúságú téglalap területe: T= ab. Ha a téglalap minden oldala azonos

hosszúságú, azaz ha a= b, akkor az négyzet. Az a oldalhosszúságú négyzet területe: T=a2.

Ha a paralelogramma átalakítható azonos téglalappá, akkor területét már

meghatározhatjuk. Húzzuk meg az egyik magasságát, majd az azonos oldalból kiinduló

DC vektorral eltoljuk, s így már téglalap lesz belőle. Paralelogramma területét megadja az

egyik oldalhosszának és a hozzátartozó magasságának a szorzata: T= ama vagy T= bmb.

Egy háromszöget tükrözve az egyik oldalfelező pontjára, egy paralelogrammát kapunk,

amiben kétszer is megtalálható ugyan az a háromszög. A háromszög területét megadja az

egyik oldalhosszúság és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele: T= ama/2.

Egy trapézt tükrözve egyik szárának felezőpontján egy paralelogrammát kapunk, amiben a

trapéz kétszer is megtalálható. A trapéz területét megadja középvonalának és

magasságának a szorzata, azaz a területet megkapjuk, ha a két párhuzamos oldal

hosszúságának összegét szorozzuk a magassággal és osztjuk 2-vel: T= (a+c)m/2.

A deltoid területe: T= ef/2.

Más sokszögek területét is háromszögekre bontás segítségével számíthatjuk ki. A

háromszögek területének az összege adja a sokszög területét.

Területszámítás integrálszámítás felhasználásával

Ha egy [a,b] intervallumban értelmezett folytonos f(x) függvény görbéje, az a és b

határpontokhoz tartozó ordináta-szakaszok, valamint az x-tengely által határolt (előjeles)

területet akarjuk meghatározni, akkor a függvény a-tól b-ig vett határozott integrálját kell

képeznünk: T= abf(x)dx.=[F(x)]

ba= F(b)-F(a)

Az előjeles terület azt jelenti, hogy (a<b esetén) az x-tengely feletti terület pozitív, a

tengely alatti pedig negatív előjelű.

Alapintegrálok: Azokat az integrálokat, amelyeket valamilyen elemi függvény

deriválásának megfordításakor kapunk, alapintegráloknak nevezzük.

dx= x+C,

xndx=x

n+1/n+1+C, ahol n bármilyen egész vagy tört lehet, de n-1.

dx/x= ln|x|+C

exdx= e

x+C

axdx= a

x/lna+C, ahol a>0 és a1.

sinxdx= -cosx+C.

cosxdx= sinx+C.

dx/cos2x=tgx+C

dx/sin2x=-ctgx+C.

27

24. Kombinatorika. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje

Kombinatorikai alapfogalmak

Az elemeket sorrendbe állítjuk Az elemek közül k darabot, kiválasztunk

(permutáció)

Az elemek mind Az elemek között A kiválasztott elemek A kiválasztott elemek

Különbözőek: k1 db azonos, k2 db sorrendje nem lényeges: sorrendje lényeges:

Ismétlés nélküli azonos, az előzőtől Kombináció Variáció

Permutáció Különböző…

Pn=n! Ismétléses permutáció Egy elemet Egy elemet Egy elemet Egy elem

Pnk

1,k

2…k

r=n!/k1!*k2!*…kr! egyszer többször is csak egyszer többször

k1+k2+…+kr=n választhatok kiválaszt- választhatunk: is kivál-

ki: ismétlés hatunk: ismétlés nélküli asztható:

nélküli kombináció Ismétléses variáció ismétléses

Cnk=(n /alatt/ k) kombináció Vn

k=n!/(n-k)! vari-

Cnk,i

=(n+k-1 /alatt/ k) áció

Vnk,i

=nk

n!=1*2*3*…*n

A binomiális tétel

A kéttagú összeg (binom) bármely n є N kitevőjű hatványa az alábbi módon írható fel:

(a+b)n=(n /alatt/ 0)a

n+(n /alatt/ 1)a

n-1b+…+(n /alatt/ n-1)ab

n-1+(n /alatt/ n)b

n

ahol az (n /alatt/ k) binomiális együtthatókat a következő módon értelmezzük:

(n /alatt/ k)= n!/k!(n-k)!

∑n

k=0(n /alatt/ k)an-k

bk

Definíció: Ha az adott n különböző elemet (n є N+) minden lehetséges módon elrendezünk,

akkor a kombinatorika nyelvén azt mondjuk, hogy az illető elemeket permutáljuk, s ismétlés

nélküli permutációról beszélünk. A permutációk számát a Pn szimbólummal jelöljük.

Tétel: n (n єN+) különböző elem permutációinak száma Pn=N!

Bizonyítás: teljes indukcióval

1. Nézzük meg, hogy n=1 esetén igaz-e az állítás, vagyis az, hogy P1=1! Egy elemet csak

egyféleképpen lehet leírni, így P1=1=1! Tehát az állítás n=1 esetén igaz.

2. Tegyük fel, hogy n=k esetén (k є Z+) is igaz az állítás, vagyis k különböző elem

permutációinak száma Pk=k!

3. Következik-e ebből n=k+1 esetére is az állítás, azaz Pk+1=(k+1)!?

A k+1 elemből vegyünk ki egy tetszőleges elemet és helyezzük el az első helyre.

Ekkor a maradék k elemet k! módon tudjuk sorba rakni utána. Ha az első helyre

mindig más-más elemet választunk ki, akkor a lehetséges esetek száma k+1 és

mindegyik esetben az első elem után k! módon tudjuk sorrendbe rakni a többi k

elemet. Így tehát k+1 elem összes permutációinak száma

Pk+1=(k+1)k!=(k+1)k(k-1)(k-2)*…*3*2*1=(k+1)!

Eszerint abból, hogy valamely k є Z+ számára igaz a vizsgált tétel, következik, hogy

ez igaz a k+1 számra is. A teljes indukciós gondolatmenetnek tehát az, hogy Pn=n!,

minden pozitív egész szám esetén igaz.

28

25. Bizonyítási módszerek bemutatása tételek bizonyításában

Tétel: Ha … /feltétel/ …, akkor … /állítás/ … .

1. Direkt bizonyítás

Tétel: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180o.

Bizonyítás:

Állítás: α+=180o

=(360o-2α)/2=180

o- α

α+=180o

További tételek: - A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást.

- Thales-tétele

- Ha egy háromszög derékszögű, akkor a két befogó összege kisebb, mint az

átfogó és a hozzátartozó magasság összege. a+b<c+mc

2. Indirekt bizonyítás

Tétel: A 2 irracionális szám.

Bizonyítás:

2=p/q p,q є Z q<>0 (p,q)=1 legnagyobb közös osztójuk

q2=p

2q2=p

2 ellenőrzés!

Tétel: Végtelen sok prímszám van.

Bizonyítás:

P1*P2*P3*…..*Pn+1

Mivel a feltételezésünk szerinti összes prímszámot összeszoroztuk és hozzáadtunk 1-et,

ezért egy újabb prímszámot hoztunk létre, tehát végtelen sok prímszám van.

Ezt a bizonyítást Euler találta ki.

3. Skatulya-elv

Tétel: 3 egész szám között mindig van kettő, amelyek összege osztható 2-vel.

Bizonyítás:

Páros, páros, páros

Páros, páros, páratlan

Páros, páratlan, páratlan

Páratlan, páratlan, páratlan

n=2 k=3 páros, páratlan ismétléses kombináció:

A

α

D

360o-2α

o 2α

r

β

B C

29

Ck,i

n = (n+k-1 /alatt/ k) = (2+3-1 /alatt/ 3) = (4 /alatt/ 3) = 4!/3!(4-3)! = 3!*4/3!*1! = 4

További tételek: - 13 tanuló közt van legalább 2 olyan, aki ugyanabban a hónapban

született.

- 3 négyzetszám közt mindig van kettő, amelyek különbsége osztható

3-al.

4. Algebrai levezetés

Tétel: Ha n pozitív egész szám, akkor 120 osztója a következő kifejezésnek: n5-5n

3+4n.

Bizonyítás:

n5-5n

3+4n = n(n

4-5n

2+4) = n(n

2-4)(n

2-1) = n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1) =

= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

120 = 2*3*4*5

n4-5n

2+4=a

2-5a+4=0

a1,2 = (5+-25-44)/2 = (5+-9)/2 = (5+-3)/2 = a1=4 a2=1

ax2+bx+c=0 a(x-x1)(x-x2)=0 – (a-4)(a-1)=0 – a

2-5a+4=(a-4(a-1) a= n

2

További tételek: - Másodfokú egyenlet megoldó képletének levezetése.

- Számtani – mértani sorozat összegképletének levezetése.

5. Teljes indukció

Ezt a bizonyítási módszert akkor szoktuk alkalmazni, ha a tétel a természetes számok

halmazára, vagy annak részhalmazára vonatkozik.

Tétel (hamis!): Ha n є Z+, akkor a következő kifejezés értéke nulla:

n4-10n

3+35n

2-50n+24

Bizonyítás:

n=1 14-10*1

3+35*1

2-50*1+24=0

n=2 24-10*2

3+35*2

2-50*2+24=0

n=3 34-10*3

3+35*3

2-50*3+24=0

n=4 44-10*4

3+35*4

2-50*4+24=0

n=5 54-10*5

3+35*5

2-50*5+24=0

n=6 64-10*6

3+35*6

2-50*6+24= nem egyenlő 0

Tétel: Ha n pozitív egész szám, akkor 6 osztója a következő kifejezésnek: n3-n.

Bizonyítás:

1. Bizonyítás n=1-re:

n3-n = 1

3-1=0

6|0 n=1-re igaz az állítás.

2. Feltételezés: n=k-ra igaz az állítás.

Feltételezzük, hogy 6| k3-k–nak, ha k є Z+

3. Bizonyítás n=k+1-re az indukciós feltevés felhasználásával.

Állítás: 6| (k+1)3-(k+1)

Bizonyítás:

30

(k+1)3-(k+1) = k

3+3k

2+3k+1-k-1 = k

3-k+3k

2+3k = k

3-k+3k(k+1)

↓

Az indukciós feltevés miatt 6-al osztható.

A k(k+1) két egymás utáni pozitív egész szám, ezért a k vagy a k+1 egyike

biztosan páros. Így a 3k(k+1) kifejezés osztható 3-mal és páros, ezért 6-al is

osztható.

Mivel az összeg két 6-at osztható tagból áll, ezért ha összeadjuk őket, akkor is

oszthatóak lesznek 6-al.