matemaattisia funktioita - oamkjjauhiai/opetus/sovellusohjelmat/matlab... · 2008. 1. 25. ·...

T211003 Sovellusohjelmat

Matlab perusteet osa 2: Matemaattisia funktioita.

Operaattorit. Vertailu- ja loogiset operaattorit

OAMK Tekniikan yksikkö Hyvinvointiteknologia

Copyright © Jukka Jauhiainen 2008

Matemaattisia funktioita

Funktio Toiminta

max(X)

Vektorin X suurin luku. Matriiseille hakee suurimman luvun j jokaiselta matriisin sarakkeelta.

max(X,[],DIM) DIM = 1 Laskee summan sarakkeilta (oletus, voi jättää pois)

DIM = 2 Laskee summan riveiltä

min(X)

Vektorin X pienin luku. Matriiseille hakee pienimmän luvun jokaiselta matriisin sarakkeelta

min(X,[],DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

round(X) Pyöristys lähimpään kokonaislukuun

ceil(X) Pyöristys kohti + ääretöntä

floor(X) Pyöristys kohti - ääretöntä

fix(X) Pyöristys kohti nollaa

abs(X) Itseisarvo

sum(X) Vektorin X alkioiden summa

sum(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

cumsum(X) Vektorin X alkioiden kumulatiivinen summa

cumsum(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

prod(X) Vektorin X alkioiden tulo

prod(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

cumprod(X) Vektorin X alkioiden kumulatiivinen tulo

cumprod(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

diff(X) Vektoreille [X(2)-X(1) X(3)-X(2) … X(n)-X(n-1)]

Matriiseille [X(2:n,:) - X(1:n-1,:)]

diff(X,N) N:n kertaluvun erotus

diff(X,N,DIM)

mean(X) Vektorin X alkioiden keskiarvo. Matriiseille laskee jokaisen sarakkeen keskiarvon.

mean(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

median(X) Vektorin X alkioiden mediaani eli keskimmäinen luku lajitellusta lukujoukosta.

Matriiseille laskee mediaanin jokaiselta sarakkeelta.

mean(X,DIM) DIM = Lasketaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

std(X) Vektorin X keskihajonta. Matriiseille keskihajonta sarakkeittain.

std(X,W,DIM) DIM = Lasketaanjoko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

W = 0 Käytetään normalisoinnissa kerrointa N-1 (oletus)

W = 1 Käytetään normalisoinnissa kerrointa N






var(X) Vektorin X varianssi (keskihajonnan neliö, ks. Syntaksi edellä)

var(X,W,DIM)

sort(X) Lajittelee vektorin X alkiot kasvavaan järjestykseen. Y =

sort(X,DIM,MODE) DIM = Lajitellaan joko sarakkeittain (1) tai riveittäin (2)

MODE = 'ascend', nousevaan järjestykseen

MODE = 'descend' laskevaan järjestykseen

Y = Lajiteltu vektori

rand(N) NxN kokoinen matriisi satunnaislukuja väliltä (0.0, 1.0)

rand(1,N) N alkion mittainen vaakavektori satunnaislukuja

rand(M,N) MxN kokoinen matriisi satunnaislukuja

rand (ilman argumentteja) Yksi satunnaisluku. Arvo vaihtuu joka kutsukerralla

>> a=[3 4 2 5 9];

>> sort(a)

ans =

2 3 4 5 9

>> sort(a,'descend')

ans =

9 5 4 3 2

>> mean(a)

ans =

4.6000

>> median(a)

ans =

4

>> cumsum(a)

ans =

3 7 9 14 23

>> cumprod(a)

ans =

3 12 24 120 1080

>> diff(a)

ans =

1 -2 3 4

Tehtävä: Tee 4x4-kokoinen satunnaislukumatriisi X, joka sisältää kokonaislukuarvoja

väliltä 0 – 100.

Tehtävä: Laske edellisen tehtävän matriisin X alkioitten summa

a) Riveittäin b) Sarakkeittain c) Koko matriisin alkioiden summa

Tehtävä: Talletan matriisin X alkiot 16 alkion mittaiseen vaakavektoriin Y ja lajittele

alkiot järjestykseen suurimmasta pienimpään.






Tehtävä: Laske positiivisen kokonaisluvun n kertoma n!=1*2*3*4*..n

Tietotyypit

Matlabissa on käytössä seuraavat tietotyypit:

double - double precision.

char - character array (string).

logical - logical (true / false, 0 / 1)

cell - cell array.

struct - struct data type

class - class data type

single - single precision.

uint8 - 8-bit integer.

uint16 - 16-bit integer.

uint32 - unsigned 32-bit integer.

uint64 - unsigned 64-bit integer.

int8 - signed 8-bit integer.



int64 - signed 64-bit integer. inline - INLINE object.

function_handle - Function handle array.

Perustietotyypit

Numeerisen tiedon oletustyyppi on double. Kaksoistarkkuuden luvuilla laskeminen on

hidasta. Kannattaa muuttaa data kokonaislukutyypiksi jos se on suinkin mahdollista,

kuten esimerkiksi DSP-sovelluksissa. Toisaalta läheskään kaikki Matlabin funktiot eivät

toimi kokonaislukutyypeille. Matlabissa muuttujan tyyppiä ei tarvitse määritellä kuten C-

kielessä. Matlab toimii niin, että ns. komentotulkki tulkitsee käyttäjän syöttämät

muuttujat oletustietotyyppeihin ja tunnistaa luvut sekä merkit. Esimerkki muunnoksesta

(Matlabin kommenttimerkki on %):






>>%a on tyyppiä double

>>a=1;

>>%a on 8-bittinen etumerkitön kokonaisluku:

>>a=uint8(a);

>>sqrt(a)

??? Function 'sqrt' is not defined for values of class 'uint8'.

Error in ==> sqrt at 13

builtin('sqrt', varargin{:});

Siis esimerkiksi neliöjuurta ei voi ottaa kokonaisluvusta.

Merkkijonot

Matlabin merkkijono on vektori, joka sisältää merkkejä:

>> s='merkkijono'

s =

merkkijono

Merkkijonojen käsittely

Merkkijonojen käsittelyyn on käytössä komennot:

String Manipulation

deblank Strip trailing blanks from the end of a string

findstr Find one string within another

lower Convert string to lower case

strcat String concatenation

strcmp Compare strings

strcmpi Compare strings ignoring case

strjust Justify a character array

strmatch Find possible matches for a string

strncmp Compare the first n characters of two strings

strrep String search and replace

strtok First token in string

strvcat Vertical concatenation of strings

symvar Determine symbolic variables in an expression

texlabel Produce the TeX format from a character string

upper Convert string to upper case






Muutama esimerkki:

>> s='aku'

s =

aku

>> q='ankka'

q =

ankka

>> strcat(s,q)

ans =

akuankka

>> p=strcat(s,q)

p =

akuankka

>> strtok(p,'u')

ans =

ak

>> findstr(p,'uan')

ans =

3

>> strcmp(s,q)

ans =

0

>> strrep(p,'aku','roope')

ans =

roopeankka

>> strrep(p,'aku','roope')

ans =

roopeankka

Merkkijonon muunnokset

Merkkijono voidaan muuttaa numeeriseksi tiedoksi ja päinvastoin.

String to Numeric

base2dec Convert base N number string to decimal number

bin2dec Convert binary number string to decimal number

hex2dec Convert hexadecimal number string to decimal number

hex2num Convert hexadecimal number string to double number

str2double Convert string to double-precision number

str2num Convert string to number

Numeric to String

char Convert to character array (string)

dec2base Convert decimal to base N number in string

dec2bin Convert decimal to binary number in string






dec2hex Convert decimal to hexadecimal number in string

int2str Convert integer to string

mat2str Convert a matrix to string

num2str Convert number to string

Muunnos merkkijonosta kaksoistarkkuuden liukuluvuksi:

>> s='3.141592';

>> whos

Name Size Bytes Class

s 1x8 16 char array

Grand total is 8 elements using 16 bytes

>> s=str2num(s)

s =

3.1416

>> whos

Name Size Bytes Class

s 1x1 8 double array

Grand total is 1 element using 8 bytes

Komento whos näyttää sillä hetkellä käytössä olevien muuttujien nimet, koot ja

tietotyypit. Sama tieto on näkyvillä Workspace-ikkunassa.

Merkkijonon pituus voidaan määrittää komennoilla length tai size, jotka laskevat

minkä tahansa vektorin pituuden.

Tehtävä: Muuta piin likiarvo merkkijonoksi.käyttämällä Matlabin sisäistä vakiota pi ja

määritä tuloksena saadun merkkijonon pituus.

Tietue

Tietue koostuu kentistä, joilla on tietty tyyppi ja arvo. Tietueen kenttiin viitataan

pisteoperaattorilla (.).

Luodaan kahden alkion mittainen tietuetaulukko s, joka sisältää kolme kenttää type,

color ja x. type-kenttä voi saada arvot ’big’ ja ’little’. Kenttä color voi

saada ainoastaan arvon ’red’. Kenttä x voi saada arvot 3 tai 4.

s = struct('type',{'big','little'},'color',{'red'},'x',{3 4})

Tulostuu: s =

1x2 struct array with fields:

type

color

x






Tietuetaulukon alkioihin viitataan antamalla taulukon indeksi tavallisissa suluissa

(samalla lailla kuin viitattiin vektorin alkioihin):

>>s(1)

ans =

type: 'big'

color: 'red'

x: 3

>>s(2)

ans =

type: 'little'

color: 'red'

x: 4

Tietuetaulukkoon voidaan helposti lisätä uusia alkioita:

>> s(3).type='tiny';s(3).color='blue';s(3).x=5;

>> s(3)

ans =

type: 'tiny'

color: 'blue'

x: 5

Matlab tukee versiosta 7 alkaen oliopohjaista ohjelmointia. Kieleen on lisätty

luokkatyyppi class. Jätetään tämä kuitenkin tällä kurssilla käsittelemättä.

Tehtävä: Toteuta oheisen kuvan mukainen tietue.






Operaattorit

Matlab sisältää seuraavat operaattorit. Huomaa, että kerto-, jako-, ja

potenssiinkorotuksissa on määritelty erikseen operaattorit matriisioperaatioille ja

alkioittaisille operaatioille.

Arithmetic operators. plus - Plus + minus - Minus - mtimes - Matrix multiply * times - Array multiply .* mpower - Matrix power ^ power - Array power .^ mldivide - Backslash or left matrix divide \ mrdivide - Slash or right matrix divide / ldivide - Left array divide .\ rdivide - Right array divide ./ kron - Kronecker tensor product kron

Relational operators. eq - Equal == ne - Not equal ~= lt - Less than < gt - Greater than > le - Less than or equal =

Logical operators. and - Logical AND (for vectors) & or - Logical OR (for vectors) |

and - Logical AND (for scalars) && or - Logical OR (for scalars) ||

not - Logical NOT ~ xor - Logical EXCLUSIVE OR any - True if any element of vector is nonzero all - True if all elements of vector are nonzero

Vertailu- ja loogisten operaattoreiden syntaksi on hieman erilainen kuin mihin C-kielessä

on totuttu. Esimerkiksi erisuuruusvertailu tehdään ~= operaattorilla. Loogisissa

operaatioissa on vain yksi & ja | jos verrataan taulukoita alkioittain. Jos verrataan

skalaareja eli yksittäisiä lukuja, käytetään && ja ||. Vertailuoperaattorit palauttavat

totuusarvon 0 (false) tai 1 (true):

>> 1 == 2

ans =

0

>> 1 < 2

ans =






1

>> 1 ~= 2

ans =

1

>> 1 >= 2

ans =

0

>> false

ans =

0

>> true

ans =

1

Loogisia operaattoreita voidaan käyttää valitsemaan vektorista alkiot, jotka toteuttavat

tietyn ehdon. Esimerkiksi seuraava esimerkki valitsee vektorista a kaikki alkiot, joiden

arvo on 1 ja sijoittaa ne uuteen vektoriin b. Vektori ind sisältää totuusarvon tosi tai

epätosi sen mukaan oliko vertailtava ehto tosi vai epätosi.

>> a=[1 2 4 1 5]

a =

1 2 4 1 5

>> ind=(a==1)

ind =

1 0 0 1 0

>> b=a(ind)

b =

1 1

Tehtävä: Vektori X sisältää alkiot -10 5 0 2 8 4 3 9 -5. Laske vektorin positiivisten ja

negatiivisten alkioiden summat.

Sitten esimerkki loogisista operaattoreista:

>> a=logical([1 1 0 0 1])

a =

1 1 0 0 1

>> b=logical([1 0 0 1 1])

b =

1 0 0 1 1

>> a&b

ans =

1 0 0 0 1

>> a | b

ans =

1 1 0 1 1

>> ~a

ans =

0 0 1 1 0






>> xor(a,b)

ans =

0 1 0 1 0

>> any(a)

ans =

1

>> all(a)

ans =

0

>> a && b

??? Operands to the || and && operators must be convertible to

logical scalar values.

>> (2 > 1) && (3 > 4)

ans =

0

>> (2 > 1) || (3 > 4)

ans =

1

Tehtävä: Täytä vektori sadalla satunnaislukuarvoilla väliltä 0 – 1. Laske niiden lukujen

määrä jotka ovat välillä 0.3 – 0.7.

Kuvaajien piirto

Kaksiulotteiset kuvaajat

Kaksiulotteisia kuvaajia voidaan piirtää näytölle mm. komennoilla plot, stem,

bar, hist tai stairs.

plot

Esimerkki: Piirretään sini- ja kosinifunktion tulo välillä 0 -> 2π. Määritellään x-akseli >>x=[0:0.1:2*pi] ;

>>y=sin(x);

>>plot(x,y)

Kuvaajaan voidaan lisätä akselien nimet ja otsikko:

>>xlabel('x = 0:2\pi')

>>ylabel('sin(x)')

>>title('Sinifunktion kuvaaja','FontSize',12)






Seuraava plot-komento hävittää edellisen tulostuksen plot-ikkunasta ja tulostaa uuden

kuvaajan: >>y=cos(x)

>>plot(x,y,'.')






Kannattaa huomata, että tästä tulostuksesta on hävinnyt akselit ja otsikko. Se on täysin

uusi kuvaaja. Komennon kolmas argumentti ’.’ määrittää tulostustyypin, joka tässä

tapauksessa on piste (.). Plot-komennon helpistä löytyy täydellinen lista eri

muotoiluvaihtoehdoista.

Monesti halutaan tulostaa useampi kuvaaja yhteen kuvaan. Tämä voidaan tehdä

määrittelemällä hold on

Seuraavat komennot tulostavat sinin ja kosinin kuvaajat samaan kuvaan:

>>x = 0:pi/100:2*pi;

>>y = sin(x);

>>plot(x,y)

>>xlabel('x')

>>ylabel('f(x)')

>>title('Funktion f(x) kuvaaja','FontSize',12)

>>y=cos(x)

>>hold on

>>plot(x,y,'.')

Samaan ikkunaan piirrellään niin kauan kuin hold-asetus on päällä. Se voidaan poistaa

komennolla

>>hold off






Jolloin seuraava plot komento tyhjentää edelliset tulostukset.

Jos halutaan luoda uusi tulostusikkuna siten, että entinen jää näkyviin eikä kirjoiteta sen

päälle, voidaan antaa komento >>figure

Tulostetaan uuteen plot-ikkunaan (Figure 2) sinin ja kosinin tulo:

>>plot(x,sin(x).*cos(x))

>>title('Funktion f(x) kuvaaja','FontSize',12)

>>xlabel('x')

>>ylabel('sin(x)*cos(x)')

Figure 2 on nyt aktiivinen. Jos halutaan vaihtaa takaisin Figure 1:een, annetaan figure-

komento ja kuvaikkunan numero:

>>figure(1)






Nähdään, että Figure 1 tyhjentyi. Siihen voi taas tulostaa jotain.

Yhteen ikkunaan voidaan tulostaa useampi kuvaaja käyttämällä subplot-komentoa.

Komennon yleinen muoto on:

subplot(m,n,p)

m = rivien lukumäärä

n = sarakkeiden lukumäärä

p = aktiivisen ikkunan numero, lasketaan vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas

>>subplot(2,3,1);

>>plot(x,sin(x));

>>subplot(2,3,2);

>>plot(x,sin(2*x));

>>subplot(2,3,3);

>>plot(x,cos(x));

>>subplot(2,3,4);

>>plot(x,cos(x/2));

>>subplot(2,3,5);

>>plot(x,cos(x).*sin(x));

>>subplot(2,3,6);

>>plot(x,cos(x).*sin(2*x));






Tehtävä: Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat omiin ikkunoihinsa.

a. exp(-x²) b. ln(x²+x+1) c. x sin(2x²+1) d. exp(sin(3x)) - 1

Tehtävä: Piirrä edellisen tehtävän funktiot yhteen ikkunaan käyttäen subplot-komentoa.

Lisää kuhunkin kuvaajaan otsikoksi piirrettävän funktion matemaattinen kaava.

Tehtävä: Piirrä funktion f(x) = sin(1/x)

kuvaaja välillä 0.01






plotyy = Tulostaa kaksi kuvaajaa, joista toisen arvot vasemmalla y-akselilla ja toisen

arvot oikealla y-akselilla

plot3 = 3-ulotteinen (x,y,z) plot

grid = gridlines eli akselien viivoitus kuvaajan sisälle

scatter = scatter-plot. Sama kuin plot(x,y,’o’)

stem

Käytetään yleensä diskreettien signaalien

kuvaajien piirrossa. Stem piirtää

pystyviivan, jonka päässä on ympyrä:

>>x=[0:0.5:2*pi];

>>stem(x,sin(x))

bar

Pylväsdiagrammi, oletus pystysuuntaan.

Yhteen liittyvä data annetaan

matriisimuodossa:

>>x=[10 20 30 40 50 60

55 44 87 94 34 34]

x =

10 20 30 40 50

60

55 44 87 94 34

34

>>bar(x)

bar-komentoon liittyviä komentoja:

barh = Horisontaalinen pylväsdiagrammi

bar3 = 3-ulotteinen pylväsdiagrammi

(vertikaalinen)

bar3h = 3- ulotteinen pylväsdiagrammi

(horisontaalinen)

hist






Histogrammi kuvaa, kuinka monta kertaa arvo tietyltä määritellyltä väliltä esiintyy

lukujoukossa. Esimerkiksi satunnaislukujen arvonta. Arvotaan 100, 1000 ja 10 000

satunnaislukua väliltä 0 – 1, lajitellaan 100 luokkaan ja piirretään luvuista histogrammi:

>>x=rand(1,100);

>>subplot(3,1,1)

>>title('N=100');

>>hist(x,100)

>>x=rand(1,1000);

>>subplot(3,1,2)

>>title('N=1000');

>>hist(x,100)

>>x=rand(1,10000);

>>subplot(3,1,3)

>>hist(x,100)

>>title('N=10000');

Tehtävä: Oheisessa taulukossa on luokan HYV6SN Olio-ohjelmoinnin kurssin

arvosanat. Piirrä arvosanojen jakauma käyttäen Matlabin histogrammia. Lisää

histogrammiin otsikko ja nimeä akselit..

Arvosanat: 4 4 3 3 0 1 0 3 0 4 2 1 0 5 4 1 4 1 2 0

Kolmiulotteisten pintojen piirto (Mesh and surface plots)

Matlab määrittelee kolmiulotteisen pinnan siten, x- ja y-akselien arvot muodostavat

tasohilan (meshgrid), jonka päälle z-koordinaatti koodataan.

mesh

Oheinen esimerkki tulostaa 3-ulotteisen sinc-funktion kuvaajan käyttäen mesh-

komentoa. (HUOM: sinc(x)=sin(x)/x)

>>[X,Y] = meshgrid(-20:.5:20);

>>R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;

>>Z = sin(R)./R;

>>mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','black')






• meshgrid muuntaa argumenttina annetun vektorin kaksiulotteiseksi tasohilaksi.

• R on euklidinen etäisyys hilan keskeltä

• eps on ns. kone-epsilon, eli liukuluvun tarkkuus käytetyssä järjestelmässä

surf

Surface plot surf eli pintatulostus tulostaa samalla periaatteella kuin mesh. Erona on,

että pinnan muodostavat suunnikkaat värjätään eri väreillä riippuen z:n arvosta. Oheiset

komennot tulostavat edellisen esimerkin sinc-funktion kuvaajan käyttäen hsv-värimallia.

Lisäksi colorbar-komento esittää käytetyn värikoodauksen:

>>surf(X,Y,Z)

>>colormap hsv

>>colorbar






Kuvaan voidaan lisätä läpinäkyvyys (transparency) alpha-parametrin avulla:

>>alpha(0.4)






Kolmiulotteisen tiedon visualisointi kuvana

Kolmiulotteinen tieto voidaan esittää myös kuvana, jossa x- ja y-akselit määrittävät kuva-

alkion koodinaatit. Yksittäinen kuva-alkio on nimeltään pikseli (pixel). Jokaiseen

pikseliin liittyy tieto sen sisältämästä väri- tai harmaasävyarvosta, joka vastaa edellisten

esimerkkien x-koordinaattia.

Kuvien piirtoon on ainakin 4 eri komentoa:

• image(Z) = Näyttää matriisin Z kuvana käyttäen voimassa olevaa värikarttaa

(colormap).

• imagesc(Z)= Kuten image, mutta skaalaa kuvan niin että se käyttää koko käytössä olevaa värikarttaa

• imview(Z) = Java:n virtuaalikonetta käyttävä versio (hidas mutta helppokäyttöinen)

• imshow(Z)= vain kokonaislukutyypeille toimiva versio

Visualisoidaan sinc-funktio eri tavoilla:

>>image(Z)

Eipä tuosta paljon mitään näy. Johtuu siitä, että datassa Z suurin arvo on vain 1.

Kokeillaan skaalaavaa versiota:

>>imagesc(Z)






VAU ☺ ! Tämä on siis sama sinc mikä edellisissä kuvissa mesh ja surf-komennoilla

tulostettuna, mutta katsottuna ”ylhäältä päin”. Huomaa, että värikarttana on HSV kuten

aikaisemmin. Värikartan voi vaihtaa colormap-komennolla:

>>colormap(jet)

>>imagesc(Z)

>>colormap(gray)

>>imagesc(Z)

matemaattisia funktioita - oamkjjauhiai/opetus/sovellusohjelmat/matlab... · 2008. 1. 25. ·...

Documents