matematica, automobili e guida autonoma … essere i pi u disparati,dalla combinatoria al calcolo in...

Matematica, automobili e guida autonoma

(L’irragionevole efficacia della Matematica)

Italo Capuzzo Dolcetta

Dipartimento di Matematica, Sapienza Universita di Roma andGnampa-INdAM

Lezioni Lincee di Matematica, Roma 11 Maggio 2017 Matematica, automobili e guida autonoma (L’irragionevole efficacia della Matematica)

La lince: animale che vede particolarmente lontano


Introduzione

I matematica come linguaggio universale di tutte le scienze in tutto il mondo

I modelli matematici come strumenti fondamentali di indagine scientifica deifenomeni naturali e sociali e di progettazione e simulazione di dispositivitecnologici

I matematica come scienza riservata: pressoche’ onnipresente nella realta’del mondo contemporaneo ma poco appariscente ad un occhio superficiale

I matematica in varie forme: come strumento di progettazione di dispositividi guida semi-autonoma e, in un prossimo futuro, autonoma


Modello matematico: da Wikipedia, l’enciclopedia libera

Un modello matematico e un modello costruito usando il linguaggio e glistrumenti della matematica.

Come tutti gli altri modelli usati nella scienza, il suo scopo quello dirappresentare il piu incisivamente possibile un determinato oggetto, unfenomeno reale o un insieme di fenomeni (sistema fisico).

Spesso il modello e una rappresentazione della realta non perfetta ma fedele,ovvero comunque significativa all’analisi o previsioneche si vuole condurre.

Tutti i settori della scienza, ma non solo, fanno largo uso di modelli matematiciper modellizzare determinati aspetti del mondo. Gli strumenti matematici usatipossono essere i pi u disparati, dalla combinatoria al calcolo infinitesimale.

In particolare il modello matematico consente di operare delle previsioni futuresu un sistema ed e cio che distingue la scienza quantitativa dalla scienzaqualitativa.


Modello matematico: da Enciclopedia Italiana Treccani

A partire dalla seconda meta del ventesimo secolo la modellistica matematica sie sviluppata a ritmi via via crescenti, anche grazie alla realizzazione dicalcolatori elettronici sempre piu potenti.

Un modello matematico pu essere costruito mediante concetti, teorie ostrumenti della matematica (o una loro combinazione):strutture algebriche o geometriche; equazioni algebriche, differenziali (ordinarieo alle derivate parziali), alle differenze finite, stocastiche; teoria delle probabilit,teoria dei giochi, teoria dei sistemi ecc.

Nei confronti dei fenomeni cui si riferisce, il modello matematico puo avere unafunzione descrittiva, ossia ambire a una descrizione quanto piu possibilesoddisfacente al fine di consentire una previsione circa il loro andamento futuro.

Tale previsione puo limitarsi a delineare questo andamento puramente in terminiqualitativi, oppure determinarlo in modo piu in completo termini quantitativi.



Nei confronti di certe classi di fenomeni, il modello matematico puo (o deve)assolvere una funzione prescrittiva o di controllo, ovvero indicare in che modo ilfenomeno deve svolgersi al fine di rispondere nel modo piu efficace adeterminati fini.

Per esempio, un modello dei fenomeni meteorologici e di carattere descrittivo inquanto ambisce a prevedere l’andamento del tempo con la massimaaccuratezza possibile. Invece, un modello del traffico automobilistico o unmodello di allocazione di risorse scarse fra consumatori sono modelli prescrittivio di controllo.

Infatti, la loro funzione non consiste nella descrizione ma piuttosto nelladeterminazione delle procedure attraverso cui puo essere conseguito un finepredefinito: nei due casi considerati, realizzare uno scorrimento veloce deltraffico e una distribuzione delle risorse ottimale dal punto di vista dell’ equitao di criteri di efficienza.

Tuttavia, questi due punti di vista possono coesistere. Per esempio, il modellodel moto di un aeromobile o di una automobile fa intervenire aspetti meramentedescrittivi e aspetti di controllo legati all’intervento umano sulla traiettoria.



Un fattore di importanza cruciale nello sviluppo della modellistica matematica erappresentato dal calcolatore elettronico e dal suo uso sempre pi diffuso esistematico nella ricerca scientifica.

A partire dalle prime applicazioni importanti del calcolatorenell’implementazione di modelli matematici, dovute a J.L. von Neumann, lacostruzione di macchine sempre piu potenti, veloci e maneggevoli conduce a unforte sviluppo del calcolo numerico.

Inoltre, l’introduzione della grafica su calcolatore, e quindi la sostituzione dellarappresentazione numerica con quella geometrica delle soluzioni dei sistemistudiati, permette una valutazione qualitativa diretta del comportamento dellesoluzioni stesse, provocando un radicale mutamento nella prassi della ricerca.Infatti, l’analisi numerica non e piu un supporto per lo studio delle soluzioniladdove esse non sono direttamente esplicitabili con gli strumenti dell’ analisiordinaria, ma diviene uno strumento di simulazione del comportamento deisistemi matematici studiati e, di riflesso, dei sistemi reali che essi pretendono dirappresentare.

Mediante l’elaboratore diviene quindi possibile simulare il comportamento di unsistema reale, riducendo al minimo la verifica empirica diretta.


Guida semiautonoma e guida autonoma

Guida autonoma: progetto molto ambizioso di gestione automatica (cioe senzapilota) di un veicolo in movimento, tipicamente una automobile in movimentosu una rete stradale:

I sistema meccanico complesso (molto schematicamente: motore, cambio divelocita, sterzo, freni,..) da controllare automaticamente tramite un

I sistema elettronico complesso (sensori per rilevamento di caratteristichedel moto e di rilevamento di persone, e trattamento di immagini)per permettere il suo movimento sicuro in un

I ambiente complesso costituito da una rete di strade su cui si muovono osemplicemente sono presenti pedoni, altre automobili, segnalazioni stradali

Da un punto di vista schematico astratto si puo pensare ad un robot che simuove simultaneamente vicino ad altri suoi simili, rilevandone le variecaratteristiche del moto (per esempio grandezza e direzione della velocita,...)con l’obbiettivo di raggiungere una certa destinazione possibilmente senza urti!

La sua realizzazione richiede l’adattamento di modelli matematici consolidati,la costruzione di nuovi modelli, la loro validazione individuale tramitesimulazioni, la loro integrazione in una rete di modelli interdipendenti che siaoperativa in tempo reale.Naturalmente sono essenziali test probabilistici di affidabilita per garantire lasicurezza del sistema complessivo.



In tutti questi aspetti la matematica ha un ruolo fondamentale per cosi’ direprimordiale.

La realizzazione tecnologica effettiva richiede ovviamente il contributoessenziale di conoscenze e tecnologie avanzate in vari campi, tra cui

I comunicazione digitale

I ingegneria dei sistemi di controllo

I computer vision (riconoscimento e trattamento di immagini davideocamere)


Guida autonoma: perche’, quando e dove ?

Perche:

I sicurezza e qualita della vita: ad esempio le auto a guida autonomapotrebbero decongestionare le strade metropolitane, evitare incidenti (unapercentuale molto alta di incidenti e’ attribuita ad errori umani), rendereautonomi i diversamente abili che fino ad ora non avevano possibilit diavere un’automobile...

I ragioni economiche: si stima che ogni auto a guida completamenteautonoma possa svolgere il compito che attualmente viene fatto da ottoveicoli che passano la maggior parte del tempo parcheggiati sotto casa onei pressi dell’ufficio.Questo significa anche che il ciclo di vita dei mezzi si riduce di cinquevolte, da dieci anni a due o tre circa.

I car-sharing autonomo: Daimler-Mercedes e Bosch hanno recentementepresentato il loro progetto che porter allo sviluppo di un servizio di guidaautonoma e senza conducente entro l’inizio della prossima decade. Sara unservizio a meta fra le attuali auto condivise e i taxi.


Guida autonoma: perche’, quando e dove ?

Quando :

I quasi tutti i maggiori costruttori sono in fase di piu o meno spintasperimentazione in laboratorio o su strada.Le auto elettriche di Tesla sono anche probabilmente le realizzazioni adoggi piu avanzate.

I si parla del 2020, altri del 2022 (per veicoli completamente autonomi,cosiddetti di quarto livello e cioe in grado di condursi da soli, chiedendoaiuto a un pilota soltanto in casi molto particolari come condizioni meteoavverse).

I tutti concordano su un punto: piu che il lancio ufficiale sul mercato la veradomanda e capire quale sara la curva di adozione.

Dove:occorrono ovviamente che siano soddisfatte molte condizioni al contorno(strade a bassa densita di traffico, segnaletica stradale interattiva, questionigiuridiche,...) California ? paesi scandinavi?



Realizzazioni di guida quasi interamente autonoma in contesti sostanzialmentepiu’ semplici :

I pochi veicoli in movimento simultaneo

I spazi fisici molto delimitati o molto vasti

sono da tempo una realta’:pilotaggio automatico di

I treni (semafori rossi sui binari attivano automaticamente la frenata delconvoglio)

I navi ( sistema GPS trasmette dati sulla posizione ed il sistema controllo latimoneria)

I aerei (il comandante interviene solo nelle fasi di decollo e atterraggio)

Il primo brevetto per gli aerei (Sperry Rand Corporation) risale al 1912. Dacirca 30 anni tutti i voli sono gestiti da sistemi automatici sempre piu’ affidabilie sofisticati.

http://www.aviationcoaching.com/come-si-usa-il-pilota-automatico-di-un-aereo/



Dispositivi di guida assistita (semiautonoma) di automobili sono una realtadiffusa gia da molto tempo.

Sono sempre piu’ numerosi, per esempio:I ABS sistema anti bloccaggio: dall’inglese Antiblock Braking System e un

sistema di sicurezza che evita il bloccaggio delle ruote dei veicoligarantendone la guidabilita durante le frenate. E’ integrato con i sistemi difrenata assistita.La nascita dell’ ABS per autovetture viene datata al 1974 ed e attribuibileall’azienda automobilistica svedese Volvo che proprio quell’anno lointrodusse nel mercato automobilistico per poi essere ufficialmentecommercializzato a livello globale dalla Bosch a partire dal 1978.Adottato dalla quasi totalita delle auto oggi in produzione.

I AEB Automatic emergency braking: un sistema di telecamere video einfrarossi (che funzionano in notturna) rileva quando il veicolo si staavvicinando troppo a quello che precede.Rilevato un ostacolo avvisa il guidatore e fornisce maggiore forza allafrenata se il guidatore aziona il pedale del freno, oppure attua una frenatadi emergenza con la massima potenza per evitare la collisione.Nelle applicazioni piu avanzate a frenata assistita e abbinata alriconoscimento di ciclisti e pedoni. L’AEB esiste da oltre dieci anni, inmodo diffuso su auto di costo abbastanza elevato.Lezioni Lincee di Matematica, Roma 11 Maggio 2017 Matematica, automobili e guida autonoma (L’irragionevole efficacia della Matematica)

Frenata di emergenza



I TCS: Traction Control System) chiamato anche antislittamento (ASR,dall’inglese Anti-Slip Regulation o Anti-Spin Regulation), un sistema agestione elettronica, che impedisce il pattinamento delle ruote motrici diun veicolo in fase di accelerazione.


I ESC : Electronic Stability Control: ESC (detto anche ESP) e un sistemaper il controllo della stabilita dell’automobile, che agisce in fase disbandata, regolando la potenza del motore e frenando le singole ruote condifferente intensita in modo tale da ristabilizzare l’assetto della vettura.E’ largamente diffuso sulle automobili in produzione attualmente.


Cosa fa: corregge eventuali situazioni di sovrasterzo o sottosterzo, che siverificano in caso di errata impostazione di una curva, sia in caso di improvvisadeviazione di traiettoria, evitando lo sbandamento del veicolo.Come e’ strutturato: si avvale di alcune informazioni che arrivano dallavettura stessa in movimento, tra cui

I 4 sensori di velocita integrati nel mozzo di ciascuna ruota che comunicanoalla centralina la velocit istantanea di ogni singola ruota

I 1 sensore di angolo di sterzo che comunica alla centralina la posizione delvolante e quindi le intenzioni del guidatore

I 3 accelerometri (uno ognuno dei tre assi spaziali) normalmente posizionatia centro vettura, indicano alla centralina le forze agenti sull’automobile

I vari sensori dedicati alla gestione motore come la posizione della farfalladell’acceleratore

I 1 potente centralina di attuatori gestita da un computer


Come funziona:

I la centralina interviene sul motore riducendo la potenza erogata

I sui freni attivando indipendentemente le singole pinze freno.

In questo modo si corregge la dinamica della vettura.

In particolare, in caso di sottosterzo (cioe angolo di sterzata inferiore alnecessario) i freni intervengono frenando la ruota posteriore interna alla curva,creando un momento meccanico opposto alla sbandata, mentre in caso disovrasterzo viene frenata la ruota anteriore esterna alla curva, generando unmovimento opposto.


Sottosterzo e sovrasterzo


da www.siam.org/careers/matters.php: parola chiave control system

Mat

h M

atte

rs

Society for Industrial and Applied Mathematicswww.siam.org

www.siam.org/careers/matters.php

Technical terms used: Localization, probability, Kalman filter, particle filter, path planning, control system

Uses and applications: Robotics, manufacturing, signal fusion, motion planning

How it works: Design of an autonomous vehicle aims at replacing humans in the driving loop. The autonomous vehicle should be able to understand the environment, estimate its location, and make driving decisions based on the known factors. Such a mobile robot observes its world through sensors such as GPS, SONAR, LIDAR, and Camera [1]. It incorporates each sensor data for localizing itself considering possibilities of errors in various sensors using probability-based tools. The robot thus creates a model of its surroundings by employing sensor data fusion. Kalman filtering is usually employed for including various sensor signals while considering the confidence in each signal. This method works best for linear motion and can be used to predict states of the vehicle, such as position and velocity. Another technique for sensor integration is the particle filtering approach. This method tests possible scenarios and chooses the best probable cluster representing vehicle states.

Once the current state of the autonomous vehicle has been estimated, the next challenges are motion planning and controls to ensure correct movement. Motion planning is conducted to calculate the path of a vehicle traversing from an estimated position to a desired location [2]. The most common algorithms are based on graph theory and dynamic programming. Control algorithms are designed for ensuring motion from start to end point with energy efficiency and robustness. Cruise control is one such algorithm that has been developed for maintaining constant speed [3]. Such algorithms can be employed to feed inputs such as throttle, transmission, and steering to ensure that the planned motion is followed effectively and precisely. This completes the entire driving loop by eliminating the need for a driver, thus giving us autonomous cars.

Interesting facts: Tesla’s autonomous cars are among the most popular in the current market [4]. The cars depend on a mix of global maps of surroundings and reactive responses to identified nearby objects. A global map is incorporated to augment long-term mo-tion planning in the system. However, the storage capacity of its cars has been the main reason behind its dominance of the electric vehicle market. Competitions such as the DARPA Urban Challenge have propelled development of similar systems.

References:[1] M.W.M.G. Dissanayake, P. Newman, S. Clark, H.F. Durrant-Whyte, M. Csorba, A solution to the simultaneous localization and map building (SLAM) problem. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 17, no.3, pp.229-241, Jun 2001

[2] A.P. Aguiar, J.P. Hespanha, Trajectory-Tracking and Path-Following of Underactuated Autonomous Vehicles with Parametric Modeling Uncertainty. IEEE Transactions on Automatic Control, 52, no.8, pp.1362-1379, Aug. 2007

[3] P.A. Ioannou, C.C. Chien, Autonomous intelligent cruise control. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 42, no.4, pp.657-672, Nov 1993

[4] “Competing for the connected customer – perspectives on the opportunities created by car connectivity and automation,” McKinsey & Company, Advanced Industries September 2015

The math behind... Autonomous Vehicles

Submitted by Parth Paritosh, Purdue University, USA, Math Matters, Apply it! Contest, February 2016

Apply It.


Sistemi di controllo

Cosa hanno in comune i differenti dispositivi di cui sopra ?Il modello matematico unificante e quello di sistema di controlloE’ un concetto molto generale concepito per descrivere in modo sintetico ilcomportamento di grandezze soggette a variazioni nel tempo.Le variazioni possono essere endogene o di tipo esogeno, indotte da uncontrollore esterno.


Notazione storica

Il primo esempio di formalizzazione matematica di un sistema di controllo edato dallo studio del regolatore centrifugo sul quale James Clerk Maxwellaffront uno studio di analisi dinamica nel suo scritto del 1868 intitolato OnGovernors (che si puo tradurre in Controllori)



Supponiamo che lo stato di un sistema al tempo t sia descritto da un certonumero n di variabili significative x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)).Queste grandezze variano nel tempo, a partire da una certa configurazioneiniziale x0(x1(t0), x2(t0), ..., xn(t0)) secondo una legge di comportamento F ,tipica del particolare sistema in considerazione:

(S) x(t) = F (x(t)), se t > t0, x(t0) = x0 se t = t0

dove x(t) e la velocita di evoluzione del sistema, ovvero la derivata rispetto a tdel vettore x(t).(S) e un sistema di equazioni differenziali (del prim’ordine).La soluzione, sotto opportune ipotesi su F , del sistema (S) consente dideterminare in modo univoco il valore di x(t) in ogni istante t > t0.

Un sistema di controllo incorpora nel modello (S) la possibilita di una azioneesterna=controllo, mirata ad indirizzare l’evoluzione del sistema (S) in mododesiderato.



Una azione molto semplice consiste nell’aumentare (o diminuire) la velocita :

(SC) x(t) = F (x(t)) + u(t), se t > t0, x(t0) = x0 se t = t0

Il controllo u(t) e una funzione del tempo che prende valori in un dato insiemeU di azioni ammissibili.In modo un po piu sofisticato, cambiando anche le direzioni della velocita :

(SC) x(t) = F (x(t)) + Bu(t), se t > t0, x(t0) = x0 se t = t0

dove B e una matrice che agisce sul vettore di controllo u(t).



Un caso particolarmente importante e quello in cui la dinamica endogena elineare, ovvero

(SC) x(t) = Ax(t) + Bu(t), se t > t0, x(t0) = x0 se t = t0

dove A e una matrice che agisce sullo stato x(t).

Per questo tipo di sistemi la teoria matematica e molto sviluppata e forniscerisultati generali sui fenomeni descritti dal modello (SC).

Un esempio significativo riguarda il problema della controllabilita:

I e possibile trasferire il sistema, scegliendo una appropriata strategia dicontrollo u∗(t), da una data configurazione iniziale x0 ad una desiderataconfigurazione x1, per esempio x1 = 0 ?

I come determinare u∗(t) ?

Un risultato matematico importante che da una risposta alla prima domanda edata dal seguente Teorema di Controllabilta locale di Kalman.



Al sistema lineare


dove A e una matrice n × n e B e n × n si associa la matrice di controllabilta

K =[B,AB,A2B,A3B, . . . ,An−1B

]che e di tipo n × nm

Theorem.Se il rango della matrice K e uguale a n allora per ogni stato iniziale x0

sufficientemente vicino a 0 esiste un controllo ux0(t) che inserito nel sistema(SC) trasferisce lo stato iniziale in x1 = 0.

Per definizione il rango di K e uguale a n se K contiene una sottomatrice K∗,quadrata n × n invertibile ossia con determinante diverso da 0.

(0 0

)Il Teorema di Kalman riconduce il problema della controllabilita locale alcalcolo di un numero intero (il rango della matrice K).La dimostrazione del Teorema si basa su strumenti di algebra lineare e di analisiconvessa.



Molto piu complesso analizzare il problema della controllabilita nel caso disistemi nonlineari del tipo

x(t) = B(x(t))u(t)

In questo caso sono necessari strumenti matematici piu avanzati nel campo delcalcolo differenziale e della geometria differenziale.Puramente a titolo di esempio, siano

A =

(2 02 0

)e B =

(1 3

)Allora

K = [B,AB] =

(1 23 2

)e il suo rango e 2 perche il determinante di K e uguale a 1×2−2×3 = −4 6= 0



Naturalmente nello studio di ogni singolo sistema di controllo


devono essere opportunamente specificate, in base alle leggi fisiche la dinamicadi funzionamento A nonche i vincoli tecnologici espressi dalla matrice B edall’insieme U dei controlli ammissibili.

In questo cruciale aspetto di modellizzazione intervengono in modo essenzialevari settori interagenti della fisica e dell’ingegneria.


Qualche formula estratta da pubblicazioni scientifiche



Una volta che sia stato formulato il modello di uno specifico sistema, lamatematica interviene di nuovo per vari importanti aspetti, ad esempio:

I analisi della coerenza del modello (nei sistemi reali il numero delleequazioni puo essere molto alto e l’interazione tra le equazioni assaicomplicata)

I analisi della stabilita rispetto a perturbazioni del sistema ed in particolaredelle condizioni iniziali (fondamentali per l’affidabilita e la sicurezza difunzionamento)

I semplificazione del sistema (approssimazione del sistema completo con unsistema ridotto con un minore numero di variabili)

I analisi qualitativa (proprieta delle traiettorie soluzioni, ricerca delleposizioni di equilibrio,...)

I costruzione di efficienti algoritmi di calcolo che permettano risposte intempi brevissimi (qui naturalmente interviene l’informatica)


matematica, automobili e guida autonoma … essere i pi u disparati,dalla combinatoria al calcolo in...

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