AntON NEGRILAMaria NEGRILA

alx0brlx00m0il10

Solufllle testelor depot fl consultate la

http://www.editu raparalela45.

-consol lda re-clasa8-sem 2

-201 7 olam0ulil'n

mftoa a ll-aedifia aY-a, revizuit5

mril 1000 - oonmlidun

€uprlnl

aue[nna

Capltolul II. Ecuagll de gradul I....Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ ..,....................30Test de autoeyaluare ,,.................,...33

Capltolul IIL Slsteme de ecuafll..... ....,................ ..........................3S1. Ecuafii de gradul I eu doui necunoscute ..,,.....3S2. Sisteme de dou6 eeuatii de gradul I cu doufl neeunoscute .........,...,.........363. Tipuri deosebite de sisteme... .................,........41

Capltolul IV. Probleme rezolvate cu aJutorul ecuaflllor gl al rlrtemelor de ecuaf|i...........43Probleme de matematic[ aplicat6 ln viafa cotidian6..... .,,.,......46Recapitulare gi sistematizare prin teste ...,........ .,..".,.......,.,......47Test de auloevaluare .......,..,............49

Capltolul V. Rezolvarer ecuaflel de gredul al dolIer.......................r....................................S1Probleme de matematic[ aplicatl ln viafa ootidian[.,,,, ,......,,,. j6Tasl da autoevaluare ........,,,,..,...,,,,,52

Capltolul VI. Inecuafll dc gradul I cu o necunorcutlRecapitulare pi sistematizare prin teste .......,,,.. ,,............,........63

Capltolul VII. Temg pentru recrpltulrren fln0ll ............................r..............................,......67l, Numerc naturale. Puteri cu exponent numlr natural, Divizibilitate .,..,,..672. Rapoarte, Proporfii, Proporfionalitate......,,,,,, ,,,,,,........,......693. Procentc.. ........,........70

5, Calcul algebric ,.,,.,,,726. Probleme de aritmetic[ oe se pot rezolva cu ajutorul ecuatiilor gi al sistemelor de

ecuafii,...,,... ....,.,,,,..,737. Ecuafii de gradul I cu o neounoscut[,,,....... .,.......,,.,,,,.,.,.,...748, Funcfii .......,......,..,.,.759,Inecualii.. .........,.,,,,,.77Recapitulare gi sistematizare prin teste ........,.,. .....,.................78Tesl de autoevaluare I...,...........,.. .......,..............81Teqt de autoevaluare 2 .,,,....,,,,,,,.. .......................83

Capltolul III. Trunchlul de plramldl 113

Exerc$l gl probleme recrpltulrtlve pentru evrlumer flnall ,rrrrl47

Modele de teile pentru GyrlurrGr llnsll -..._,.-.-. t al

--##ffiffinffi"Capltolul IFxsmx***

fp Competenfe specifice

Recunoagterea unor corespondenle care sunt funclii

Utilizarea valorilor unor funclii in rezolvarea unor ecuafii 5i a unor

inecua[ii

Reprezentarea in diverse moduri a unor corespondenle $i/sau a unor

funclii in scopul caracterizErii acestora

Exprimarea prin reprezentlri grafice a unor nofiuni de geometrie planl

Fie I gi B doui mul(imi. Daci printr-un procedeu oarecare facem ca ft.ecdruielement din mulfimet A sil-i corespundi un singur element din mulfimea B, vom

spune ci am definit o funcfie dela Ala B.

Multimea I se numegte domeniu de definifie al func1iei, iar mulfimea B se

numegte codomeniul sau mullimea in care functia ia valori. in general, o funclie /definitE pe I cu valori in multimea.B va fi notatlf z A + B. Citim ,,f definitd pe I cu

valori in-B". Functiile se noteaz[ de obicei cuf, g, h, ...

Fie datd o funclie f : A -+ B. Dacd ea face ca elementului a e A sd-i corespundl

elementul b e B, se scrie/(a) = b; spunem cd 6 este valoarea funclier in a'

Leg6tura pe care o stabileqte funclia intre elementele x e ,4 gi valorile corespunzdtoare

f (x) dinB se numegte lege de corespondenti. O funclie se descrie prin trei componente:

r domeniul de definilie;l codomeniul;o legea de corespondenti.

Legea de corespondenla a unei funclii poate fi dat6 in mai multe moduri:

a) Je poate e*piima prin indicarea intr-un tabel a valorilor corespunzdtoare elementelor

din domeniul de definifie;b) se poate descrie cu ajutorul unei formule prin care se precizeazdvaloareaf(x) pen-

tru oricare x din domeniul de definilie;c) se poate descrie cu ajutorul diagramelor.

Cz.

Cs.

Ca.

(,It{H

1-{

oov)otrxi.9+c'Eq).Fo

=

Fiind datd o funcfie/: A -+ B, mullimea de puncte din plan avdnd coordonatele (x, y),unde x este un element oarecare din A, iar y =.f (x), va fi numiti graficul funcfiei. eceasiamullime se scrie Gr= {(x, y)l y =-f (x), x e A}.

Egalitatea y =-f(x), adevdratd pentru fiecare element x din A, va fi numita ecua{iagraficului funcliei/. Se obiqnuiegte sd se noteze funclia in felul urm6tor: y =f (x), x e A..

Fief : A -+.8 o funclie. Imaginea (sau mullimea valorilor) funcliei/este mulfimeaImf = {f (x)lx e A}. in mod evident, Imf c B.

Se mai poate scrie gi astfel:Imf = g e B | (l) x e A astfet incdt y =.f (x)\.

O funcfie al cdrei domeniu de definilie qi codomeniu sunt submullimi ale lui IR (mul-

limi de numere) se numeqte func{ie numeric[.DouE funclii f : A -+B 9i g : C -+ D sunt egale dacd A = C, B = D qif (x) = g@),oricare

ar ft x e A. Se noteazd.f = g.

tn general, o funclie/: lR -+ IR descrisl de formula/ (x) = ox + b (unde a gi D suntnumere reale) se nume$te func(ie liniartr. Reprezentarea geometrici a mulfimii graficpentru o funclie liniard este o dreaptd.

Pentru a trasa graficul unei funclii liniare, este suficient sd dim variabilei x dou6 valoridistincte.

Ohservatii:

1. Pentru/: R. -+ R.,/(x) = ax * b, dacd a * 0 qib = 0, se obline funclia liniardf(x) == ax, al cdrei grafic conline originea axelor de coordonate.

2. Pentraf: IR -+ JR.,/(x) = ax + b, dacda = 0 $i b * O,se oblin funcliile liniare de

formaf (x) = b, ale cdror grafice sunt drepte paralele cu axa Ox. Funcliile de acest fel suntnumite functii constante nenule.

3. Pentru/: lR -+ IR,/(x) = ax * b, dacd a = b =0, oblinem o functie/(x) = 0, al clreigrafic coincide ct axa Ox.

d. Uneori, pentru trasarea graficului este mai comod sd se stabileasci punctele in caregraficul intersecteazd axele de coordonate.

Q a @ = A(o; f (O)) € Gy n Oy = A(0; b); G7 a O* = B( -L ; 0).(a )

(,ovtoU:g.Uc,Eq).F(,

=6

f; e l. Nofiunea de funcfie. Funclii definite pe mullimiE finite

Exemple:1. Descrieli printr-o diagramd, apoi printr-un tabel funclia urmltoare:

.f : {-t;0; t} -+ {2;3;4},f (x) =x + 3.Solufie:/(-1) = -l + 3 =2,f(0)= 0 + 3 =3,f(t) = I * 3 = 4.

Z. Explicitali domeniul de definilie pentru funcfia

f :A-+R, ,f(x) =Z siA= {x eZl-l<.x<3}.x

Solufie: Cum x * 0 + A = t-1, l, 2\.

3. Fie functi af : A -+R,,f(x) = ax * 2 qi A = {x e Z* I lrl < 2}. Determinali valoarea lui

a e Zpentrucare punctul B(1; -1) aparfine graficului functiei.

Solufie: A = {1, -1, l, 2\.Dacd B(1; -l) e G7* f(l) = -1, dar f (l) - a + 2 ) a * 2 =

=-lra=1.

oIH

l-'lF{

oovtoori.9oEq)

o

7

O O O activitdti de ?nv6tore O O O

1. Care dintre diagramele de mai jos descrie o funcfie?,,m "md,me,N m

wc)

l. Diagr ama aliltur ath de scrie funclia f . Stab iliti domeniul I icodomeniul lui/ Determinalif (2) $i"f(3).

3. Descrieti printr-o diagrama, apoi printr-un tabel, func{iile urmltoare:

a) /: {0, 1,2\ -+ {0,2,4,6\,-f(x)=)16*2;b) g: {-2,-1,0, 1,2} + {0, 1,2,3,4\,5(i=*.

4. Care dintre tabelele de mai jos descrie o funcfie?

-2-r 0 1-1

s. Explicitati domeniul de definilie gi legea de asociere pentru funcliaf :,4 + R.,/(x) =

= J f' 4* + 4, unde A = {x e Z llxl ( 3}. Care este mullimea valorilor fi:rrrclieif? Cate

este probabilitatea ca, alegdnd numirul r din domeniul de definifie al funcfieil sE obfinem

f (n) <o?6. Care dintre urmitoarele relafii nu reprezintd o functie?

a)f: {-1,0,1,2\ + {0, l\,f(fl=f;b) g : {0, 1,2,3}4 N, g(x) =12;

c) ft : IR. -+ JR, h(x) =2.x

l;2| -+R, ,f(x) ={:;:,'f::

c,I

l-{HH

C'ovtEGlci.9oEo)

o

"J8

7. Fie funclia f : {-1, -1, 0, l, 2l -+ R,,f(x) = x * 3. Stabilti care dinfre punctele

urm6toare apa4in graficului tuncfiei: A(-2; t); B(-t;3); C(0; 3); D(l; 5); E(2;6).8. Determinafi Im/(mullimea valorilor funcfiei) in fiecare dinhe cazurile urmltoare:

a)f : {-l; 0; l; 2} + IR,/(x) = i + t;

0f : {a;-l;0; l;2} -+ IR,/(x) =2x*3ic)f : {1;-2;-l;0; 1} + R,,f(x) =-xi2.

9' Pentru func{iile de mai jos, stabilili codomeniul cu numirul minim de elemente, gtiind c6:a)f : {1;-l; 0; 1; 2;3} -+ B,undef (x) =x * 3iDf : {a;-2;-l;l;2;3;4) -+ B,tmdef(fl=};c)f: {1;-l;0; l; 2;3;4\ -rB,unde/(x\=?_x+1.

10. Pentru func{iile de mai jos, stabilili domeniul de definifie, gtiind c6 fiecare element alcodomeniului este imaginea unui element din domeniu:

a)f : A -+ {1;-5; -1; \ 4,f@) = 2x - 3;b)f: A -+ {4;3;2; t;0; -r},f(x) = -x * l;c)f : A-+ {0; 4; 9; t6\,f (g = f .

{ {. Determina[i a e IR, gtiind cE:

a)f : {1;l;2;3} -+IR,/(.r) =ac-2siA(t;-3) e G7,

Df: {a;-l;l;2\ +lR,/(x) =3x+ aSiA(t;-t) e G7,

c)f: {1;-l;l;2} -rR,/(x) =ctx-5qiA(2;-l) e G1

12. Care dintre perechile de funcfii reprezint6 functii egale?

a)f : {-2; -l;0; l;2} + N;/(.r) =x2 $is : {-2;*t;0; l;2} -+ N,

sO)=Lyl;b)f : {l;2;3} -+ {-l;0; l\;"f (x)=x-2$ig(x) reprezentatial[turat.

{ 3. Pentru funcliile de mai jos, stabili{i Im/gi reprezentafi grafic mullimea intr-un sistemde axe:

a) f : {-2; 0; l; 2\ + {-l ; t; 2; 3; 4; 5; 6\, f (x) = x * 3;

D f : {a; -2; l; 3;4} -+ R,/(x) = x2;

c)f : {1;-l;0; l; 2l +Z,f (x)=2x+ t.{4. Pentru funcfiile de mai jos, scrie]i mullimea grafic Ai reprczentali-o intr-un sistem deaxe de coordonate:

a) f : {-l; 0; l; 2;3} + R,/(.r) = -2x * 3;

x<-lx)-l'

b)f: {a;1;-2;-t;o;

c)f : {1;-2;-l;0; l;2;3} -+ IR.,

15. Reprezentati grafic funcliile:

a)f : {-2;*l; 0; 1; 2;3\ -+ IR,,f(x) = -i + 3;

$f : {a;4;-2;-l;0; l;2} + IR, f (x)={-':t'.0":u'-' .',lx +2, dac6 x > -l

c)f :A-+R,/(x) =-x* 2,unde A= {x eZl lxl<3\.{ 6. Reprezentafi grafic func}iile:

a)f :A-+R.,/(x) -2x-3,unde A= {x eZl lx-ll<2\;

b)f : A+ lR,/(x) = -]r+l , unde l = {x e Zl -2= '*= ' " },2"'''-- 5

c) f : {1; 1; -ll' 0; l; 2; 3} + R,/(-x) = lxl - 2.

lx-1. dacdx<0{7. Se considerd funcfia/: {-2; _1; 0; l; 3} + IR, /(x) =lZ*.,' a*ex > 0 Determinafi

numerele reale a, b, c Si d, gtiind cI punctele A(1; a), B(-l; b), C(l; c + 4) qi D(3; 64aparyn graficului funcfiei.{ 8. Reprezentafi grafic funcfiile:

a)f : {-2;_.l; l;21-+ IR,/(x) = 1;x

b)f : {-3;-1;0;3} -+ IR,/(x) = lxl;

c)f : {1;-l;l;4} -+R.,/(x)=-lxl.

@{9'seconsiderifunclia/:{-3;-2;0;l;2}+lR''/(x)=ax*b'Determinafia'belR'qtiind c5 punctele A(a; -8) gi B(2;4) aparfin graficului func{iei. Reprezentali grafic

funcfia.

20. Demonstrali cdnu existi o funcfie/: IR + IR, astfel inc6t, pentru orice numdr real x,

sd avem:/(x) + f (2-.r) = x + 1'

2{. Consider6m functia/: N* -) N., unde/(r) este numdrul divizorilor lui z.

a) Calculafi/(2),f (4),f (8\,f (24),f (36\.

b) caracteriza{i numerele x pentru cate f (x) = 2 , apoi pe cele pentru care f (x) = ) '

22. seconsideri tuncfia/: A -+ z,unde I = {,

. ,ll+l<zj,f*> = t*t.

a) Determina(i elementele mullimilorl qi Imlb) Reprezenta{i grafic funcfia.c) Calculafi suma elementelor multimii Iml

l2x-2, dacdx < -lf(*) =], + t, dacd xe {0; l} .

ll* -2, dacd x > I

qI

Hl-{l-{

oovtoGxi.9+-(,Eq)

o

=9

23. Fie func[iaf : N -+ N,/(.r) = ultima cifrE a numErului natural x2.a) Determina{i Imlb) Calcula{i/(0) +/(l) +f (2) + ... +f (21).

24. Fie func[iaf : N -+ N,/(x) = ultima cifr5 a numtrrului natural 3*.a) Determinati Imlb) Catuilalif(o) +/(l) + f (2) + ... + f (32).

Exempler1. Determinali func{ia liniard al cdrei grafic trece prin punctele A(-l;7)d B(l; -3).Solu{ie: Fie f : IR -+ IR.,/(x) = a)c * b. Dacd, A(-l; 7) e G7+ f(t) = 1 9i/(_l) =

= -e + b + --a * b = -7. Dacd B(l; 1) e G1 + f(l) = -3 $i,f(l) = a * b + a + b = i.Adun6ndceledoudrelafii,seobfine2b=-r},h"*a"a=-siilpoi a=2>"f(x)=?sc-3.2. Se consideri tuncfiile/, R+IR.,/(x) - +2x - f tig(, = _2x *i.-6eterminali

punctul de intersecfie al graficelor celor dou6 functii.Solufie: Gy A G, = M(x; y) > f (x) = y qi g(r) = y > f (x\- g(x) + 2x _ I = _2x + 3 +> 4x = 4 + x = I ) != 1 + M(l; l).

E'Il{H

l.{

E'C'vtc,Gti(,EoEq)

o

=10

'1. Reprezentali grafic funcfiile:a)/: R + iR,/(x) =2x* tic)/: R -+ IR,/(x) = l;e)/:lR -+ IR,/(x) =0,2x-3;

I. Reprezentali grafic func[iaf :

a)f (x) = 1x * 2;

d)f (x) = 0,5x * 0,2;

c)f (x) - 4x;

f)f(x)= {3* -2.

d) f : (-a431 + R,/(r) = ! + \

O t I octivitdti de ?nvdlore O I a

b)/:R+IR,/(r)=fu.d)/:R+IR,/(x)=-y.f)"/:R+R,/(x) =Jix-r.

iR -+ R. in fiecare dinhe situaliile:

b).f(x)=1,

e)f(x)=-x*3;3' Reprezentafi grafic ln acelagi sistem de axe funcfiilel g : IR -+ IR ln fiecare dinte cazurile:

a)f(x) =2x I I 9ig(x) = x -2i b)"f(x)=-3x+ 2 Si g(x) =:2x-3ic)f (x)=3x- I qig(x) =4x-3; d)f (x)=x* 5 pigd) = 2x+7.4. Se consider[ funcfiile/: ]R + R,.f(x) = 3.r + I 9i g: IR -+ lR, S(x) = 3x _ 2.Trasafi inacelagi sistem de axe de coordonate graficele celor doul func]ii. ce observafi?5. Reprezen tali grafic fu nctiile :

a)f:[1;2) + R,/(x)=-x* 5l b)/: (-o; 2)-+tR,/(x) =x * 3i

c)f :11;31+ IR,/(x) =b-3i