ilAMANA sC}INEIDER

GHEORGHE-AI}AI"BERT Sff $.I EII}ER

METODE DE REZOLVARE

A PROBLEMELORDE ARITMETICA

pentru''clasele l - lV

EDITURA HYPERION CRAIOVA

CUPRINS

Enun{uri1. Metoda graficl

l.I Probleme rezclvate ....i+........1.2 Probleme propuse

2. Metoda falsei ipoteze2.1 Probleme rezslvate2.2 Probleme propuse

3. Metoda comparafiei ............3.1 Probleme rezolvate3.2 Problerne propuse

4. Metoda drumului invers4.1 Probleme rerolvate4.2 Probleme propu$e

Indicafii, r[spunsuri, rezolvlril. Metoda graficf,

1.2 Probleme propuse2 Metoda falsei ipoteze

2,2 Probleme propuse .......,.......3 Metoda compara{iei .........'..

3.2 Probleme propuse4 Metoda drumului lnvers

4.2 Probleme propuse

5

6

15

4747

505757

60

65

66

68

79

97

97

103

r03

105

105

79

't9

115

1. METODA GRAFICA

Metoda grafici constiruie principala metodd de rezolvare

a problemelor de aritrnetic[. Ea sebazearhin principal pe:

a) reprezentarea prin cite un segment a m6rimilor de bazit

care ipar in cadrul problemei { mtrrimi de baz[ sunt acelea in

funcf,e de care se pot reprezenta alte m6rimi);

Exemple:1. Dacd in problemi se consider6 doul numere, unul cu 5 mai

mare decit iel5lalt, atunci ca num[r debazh se ia numlrul mai

mic:2. Dachin problemd se consider[ 3 numere, al doilea de 2 ori

mai mare dec6t piimul qi al treilea de 3 ori mai mare dec6t al

doilea, atunci ca numlr de baz6 se ia primul numir;b) stabilirea corelajiilor care existl intre marimile componente

ale problemei eti reprezentarea prin segmente a acestora;

f,xemPle:l Daci in problem6 se dau douS numere, unul cu 3 mai mare

deoflt ce16la1t, atunci reprezentErn:

I---------l primul numlrI---------I-LI-I al doilea numdr

2. DacE in problemi se dau doud mfrrimi, una de 3 ori mai

mare dec6t a doua, atunci reprezentim:

L--------I mlrirnea mai mic6

I---------I--------I-----*I mirimea de 3 ori mai mare

c) urmarirea logicii problemei qi determinarea marimilor care

se cer in erunful Problemei'Exemplu:Daci un numir este cu 2 mai mare decdt altul, iar suma

celor doui numere este 10, atunci reprezentlm:

r--------II---------I-I-I

primul numlral doilea num6r

I---------I--------I-I-I sumacelordoui numere

Cum suma celor doui numere este 10, rezult6 cE primul

numireste (1.0 * 2):Z = 8:2 = 4, iar al doilea 4 * 2 = 6'

1.1 Probleme rezolvate

1. Doi &a!i au primit de la parinfii lor l0 banane pe care

le-au impl(it in mod egal. Cdte banane a primit fiecare?

Rezolvare. Ca mlrime debazd lulm numlru] de banane

pe care le-a primit fiecare din cei doi frali qi reprezent6m:

I----------I numdrul de banane primite de fiecare din

cei doi frafiI----------I----------I numirul de banane primite de cei doi frali

imPreunlCum cei doi frali au prirnit impreuni 10 banane, atunci

fiecare din ei a primit 10:2 = 5 banane'

2. Ionel gi Maria al impreuntr 8 caiete- Maria are cu 2

caiete mai mult dec6t lonel. SI se determine cite caiete are

Ionel qi c6te caiete are Maria.Rezolvare. Ca mSrime de baz5lu[m numirul de caiete pe

care ll are lonel gi reprezentim:I--------*I numErul de caiete pe care-l are Ionel

I----------I-I-I num6rul de caiete pe care-l are MariaL---------I----------I-I-I nurn6rul de caiete pe care-l au

impreun5 Maria qi lonelCum Maria gi Ionel au lmpreunl 8 caiete, ahrnci Ionel are

un numlr de caiete egal cu (S - Z): 2 = 6:2 = 3, iar Maria are

un numir de caiete egal cu 3 * 2 = 5.

3. Surna a doui numere este 7. Unul din ntrrnere este cu 3

mai mic decit celdlatt. Sb se deterrnine cele doul numere'

Rezolvare. Ca mhrime debazd luBm numirul mai mic qi

reprezent[m:I----------lr--------*I-I-I-I

numErul mai micnumirul mai mare

I----------I---*-----I-I-I-I suma celor dou6 numere

Cum stuna celor doui numere este 7, rezult5 cE num[rul

mai mic este egal cu: (7 - 3):2 = 4:2 - Z, lar numIrul mai

mareeste2*3=5.

4. Mama impreun6 cu fiul au 30 de ani- Marna are vArsta

de patru ori rnai mare dec$t a fiului. Sd se determine virsta

mamei.Rezolvare. Ca mlrime de baz[ luf,rn virsta fiului qi

reprezentim:I----I virsta fiuluiI----I----I----I----I vdrsta mamei

I---I----I----I--I.--I vAmta marnei impreun6 cu vdrsta fiului

Cum mama impreunl cu fiul au 30 de ani, care sunt repre-

zentali de suma a 5 segmente egale, ahrnci varsta fiului este

egald cu: 30:5 = 6 ani, iar vfirsta mamei este egal[ cu

6 +6+6+ 6=24atti-

5. Mama are de 5 ori vSrsta fiului qi cu 20 de ani mai mult'

Sd se determine vdrsta mamei"

Rezolvare. Ca mirime de baz| lu6m vfusta fiului qi

reprezentirn:I----I 20 ani I vflrsta fiuluiI----I----I----I----l----I v6rstamanrei

Rezultd c6 surna a 4 segmente reprezint[ 20 ani' Atunci un

s€gment reprezint6 5 ani qi virsta fiului este egali cu 5 ani'

Virsta mamei este egall cu 5 ani + 20 ani :25 ani'

6. Daci impdrlim un num6r ta 3 oblinem acelaqi rezultat

ca atunci c6nd -am

scadea 40 din numdr. s6 se determine

num5rul.Rezolvare. Ca mirime de baz6 luIm numdrul imparlit la 3

qi reprezent6m:I----------I----------I----------I nurnf,rul

I----------I numirul impir"tit la 3

L------40----------ISuma a doui segmente egale este 40, deci un segment este

egal cu 20. Numirul este egal cu 20 * 20 + 20 = 60'

7. M[rind cu 6 dublul unui num[r natural oblinem un

numlr cu 18 mai mare decat nurnirul initial. s6 se determine

numlrul resPectiv'

7

Rezolvare. Ca mirime de baz6 luim numlru] Ei repre'

zentSm:I-----------*-*-----*--- I

I------Ir-,----I-IT------I-I-I

prirnul numdral doilea nurn[ral treilea nurnlr

numlrulI-----*-*---------------I- -----'--I-I-I-I-I-I-I dublul

numlrului adunat cu 6

I-------------------------I-I-I-I-I-I-I-t-I-I-I-I-I-I-LI-I-I-I numlruIadunat cu 18

Comparind ultimele dou[ reprezentli, rezultf, ch un

segment este egal cu 18 - 6 = 12, deci numIrul este 12.

8. Un automobil parcurge o treinre din drum qi se g6segte

la 300 km de destina{ie. SE se determine lungimea drumului'

Rezolvare. Ca mirime de baz* lu1m o treime din drum Ei

reprezent[m:I------I------I------I drumulI------I o treime dir drum

I-------------I 300kmSe observi c[ dou[ segments egale fac impreuni 300 km'

Atunci un segurent are lungimea de 150 km, iar drurnul are

luagimea de 150 + 150 + 150 = 450 km.

9. Suma a trei nurnere naturale consecutive este 213. S[ se

deterrnine cele trei numere.Rezotvare. Ca mirime de bazE luim prknul num6r qi

reprezentlln:

I------ I------ I*---- I-I-I-I suma celor trei numere

Cum surna celor trei numere este 213, rezultl ci suma a

trei segmente egale este ?13 * 3 = Zl0, iar un segment este

egal cu 70. Cele trei numere sunt: 70,7A + L = 7t,70 * 2 =7?.

10. Mama, tata qi fiul au impreunE I50 de ani. $tiind cE

marna qi tata au aceeaqi v6rst6, egal6 cu de 2 ori v6rsta fiului, sIse determine vArsta pentru fiecare rnembru al familiei-

Rezolvare. Ca mirime de baz6ludm vdrsta fiului gi repre-

I------I------I------ I------I------I suma vtrstelor mamei, tatllui 9ifiului

Cum mama, tata gi fiul au impreunl 150 de ani, rezultd ci suma

a 5 segmente egale reprezintd 150 de ani. Atunci un segment

reprezintl 30 de ani. Mama Si tata au 30 * 30 = 60 de ani, iar

fiul are 30 de ani^

11. Tatil are de 2 ori vSrsta iiului gi I Ain varsta bunicului

sau. $tiind c[ impreunS, cei trei au 180 de ani, s[ se afle v0rsta

fieclruia.Rezolvare. Bunicul are de 3 ori vdrsta tatllui qi de 6 ori

v6rsta fiuhli. Ca rnlrime de bazi luim virsta fiului qi

reprezentlm:

zenfj;tn:I------II------I------lr------t-----l

T_-.II---I----l

I.-.II----I----I

v0rsta fiuluiv'6rsta mameivirsta tatSlui

L---l----l----l----l----I----I virsta buniculuiSuma v6rstelor celor trei este 180 de ani qi se reprezintS:

I--- I----l----I----L---I----I----1-.--I----I.Deci surna a 9 segrnente egale reprezintn 180 de ani' Atunci un

segment reprezintl 20 de ani qi cei trei au urmitoarele virste:

Fiul are 20 de ani, tatal are 20 * 20 = 40 de ani, iar bunicul

are 40 + 40 + 40 = 120 de ani.

12. SE se determine un num6r de trei cifre astfel incdt

prima cifri sh fie de 3 ori mai mare decit a doua ciftl qi de 6

ori mai mare decit a treia cifr6-

Rezolvare" Evident a doua cifr6 este de 2 ori mai mare

decit a treia cifrl. Ca m5rime de bazl luf,m cifra a treia a

numdrului pi rePrezentim :

virsta fiuluivdrsta tatAlui

a treia cifrla doua cifr5

9

I*--l---'l----l----I----I----l prima cifr6Cum fiecare cifri a nurnSrului ia valoarea cel mult egal6 cu

9, rczultl ci un segment al primei cifre ia valoarea 1. Atuncicifra a rrei este l, cifra a doua este 1 * l" = 2, iar cifra a treiaeste L * L + L + 1 + 1 + I * 6,iarnurn[ru]este621.

13 Suma a doud numere naturale este 25, iar diferen{a loreste 15. Si se determine cele doui numere.

Rezolvare. Deoarece diferenfa celor doul nllmere este 15,

rezultb cd un numdr este cu 15 mai mare decAt cel[lalt. Camirime debazd lu6m numirul mai mic Ai reprezentim:I----l num6rul mai micI----i-I-I-I-I-I-LI-I-I-I-I-I-I-I-I num[rulmai mareI----I----I-I-I-I-I-I-I-I-I-l-I-l-I-I-l-t suma uurnerelorCum suma numerelor este egali cu 25, rezult[ ci surna a doudsegxnente egale este 25 * 15 = 10 $i ahinci un seglnent esteegal cu 5. Primul numlr este 5 qi al doilea numir 5 * 15 = 20.

14. Un biciclist pornepte dint-un oraq qi dupl 60 de kmconstatd cI mai are de parcurs un sfert din drum. Sh sedetermine lungirnea drumului dinhe cele douf, ora$e.

Rezolvare. Ca mlrime de bazl lu[m un sfe* din drum sireprezentf,m:I------I lungimea unui sfert din drurnI------I------I------I-----I lungimea drumuluiI--------------------I 60km

Din reprez.entare avem c[ suma a trei segmente egalereprezintd 60 km. Atunci un segmetrt reprezint[ 20 km, iardrumul are lungimea egal[ cu 20. 4 km = 80 km,

15. Dach adhug[m 6 la un num[r, oblinem acelaqi rezultat

ca atunci c6nd il inmultim .* I. ,U se determine num1rul.,4Rezolvare. Ca m[rime de bazd tu[m * diu nurnhr qi

reprezentim:

l0

1.2 Probleme propuse

l. Doi &a{i au impreuni 10 portocale. Este posibil ca unuldin fra1i s[ aibi cu 3 portocale mai mult dec6t cel[lalt?

2. Maria gi Simona au impreun[ 15 manuale qcolare'

Maria are cu 5 manuale mai mult decit Simona. C0te manuale

are fiecare fat5?

3. Trei copii au primit 6 porf.,ocale pe care le impart in mod

egal. CSte portocale a primit prinrul copil?

4. Este posibil s[ irnpdrlim 17 mere in mod egal la doi

copii? Dar la frei copii?

5. Tat6l a doi copii cumplri 15 ciocolate, din care 5 le disoliei sale, iar restul le irnparte in mod egal celor doi copii.

Cire ciocolate a primit liecare copil?

6. Suma a dou6 numore naturale consecutive este 41. SE se

deterrnine cele doui numere.

7. Suma a doui numere pare consecutive este 42. Si se

determine cele doul numere.

8. Suma a doui numere impare consecutive este 64. S[ se

determine cele doul numere.

9. Suma a trei numere pare consecutive este 66' SE se

determine cele hei numere.

10. Suma a trei numere impare consecutive este 51. S[ se

determine c.ele trei numere.

Ll. Surna a trei numere este 18. Primul numir este 5, iar al

doilea num[r este cu 1 mai mare decit al teilea numdr' Sl se

detbnnine al treilea num[r.

15