matemática e – semiextensivo – v · ... que é um múltiplo de 5. 04) d temos uma razão de...
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GABARITO
1Matemática E
01) 19
an = 2 . n + 9a5 = 2 . 5 + 9 ⇒ a5 = 10 + 9 ⇒ a5 = 19
02) 55
Temos a sequência de Fibonacci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)
Para obter o próximo termo, soma-se os dois anteriores. Logo, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55).
03) A
a10 = 3 . 10 + 2a10 = 30 + 2a10 = 32
a5 = 3 . 5 + 2a5 = 15 + 2a5 = 17
Temos, a10 – a5 = 32 – 17 = 15, que é um múltiplo de 5.
04) D
Temos uma razão de 1500, ou seja, r = 1500. Logo, an = a1 + (n – 1) . ra7 = 33 000 + (7 – 1) . 1500a7 = 33 000 + 6 . 1500a7 = 33 000 + 9000a7 = 42000
05) D
Temos uma razão de 0,5 km, ou seja, r = 0,5 ou r = 12
. Logo, an = a1 + (n – 1) . r
10 = 3 + (n – 1) . 12
10 = 3 + n2
– 12
7 = n2
– 12
Matemática E – Semiextensivo – v.1
Exercícios
06) D
Observando somente as camadas cinzas, temos 4 ladrilhos na 1a ca-mada, 20 ladrilhos na 2a camada, 36 ladrilhos na 3a camada, ou seja, a1 = 4, a2 = 20, a3 = 36, ... a10 = ?
Note que a razão é 16, ou seja, r = 16. Logo, an = a1 + (n – 1) . r
a10 = 4 + (10 – 1) . 16a10 = 4 + 9 . 16a10 = 4 + 144a10 = 148
07) B
Note que:
I. C = 4 ⇒ C = 3 . 1 + 1II. C = 7 ⇒ C = 3 . 2 + 1III. C = 10 ⇒ C = 3 . 3 + 1
C = 3 . Q + 1
Onde 1, 2, 3 são a quantidade de quadrados nos respectivos desenhos.
08) 8 e 5
(1 – x, 2x – 18, –2x + 19)
Utilizando a propriedade da média aritmética, temos:
( ) ( )1 2 192
− + − +x x = 2x – 18
1 – x – 2x + 19 = 4x – 36–3x + 20 = 4x – 367x = 56x = 8
Substituindo na sequência dada, temos:
(1 – 8, 2 . 8 – 18, –2 . 8 + 19) ⇒ (–7, –2, 3)
Logo, a razão é –2 – (–7) = –2 + 7 = 5 ⇒ r = 5
7 = n−12
14 = n – 1 ⇒ n = 15
GABARITO
2 Matemática E
09) C
(x, 1, y, 14
, z)
Usando a propriedade da média aritmética, temos:
114
2
+= y
542
y=
y = 58
x y+2
= 1
x + y = 2
x + 58
= 2
x = 2 . 58
x = 118
y z+=
214
y + z = 2 . 14
y + z = 12
58
+ z = 12
z = 12
– 58
z = –18
Logo, x + y + z = 118
+ 58
+ −
18
= 168
– 18
= 158
10) C
Como no segundo dia ele correu 1 km, e ele sempre aumenta 300 m a cada dia, então no primeiro dia ele correu 1000 – 300 = 700 m.
Temos a1 = 700 m, r = 300 m. Logo, no décimo dia (a10), temos:
a10 = 700 + (10 – 1) . 300a10 = 700 + 9 . 300a10 = 700 + 2700a10 = 3400 m
12) E
I. Múltiplos de 11 entre 100 e 1000. (110, 121, ..., 990)
an = a1 + (n – 1) . r 990 = 110 + (n – 1) . 11 880 = 11n – 11 891 = 11n
n = 89111
n = 81 (verdadeira)
II. (1, 3 + x, 17 – 4x) Pela propriedade da média aritmética, temos:
17 4 12− +x = 3 + x
17 – 4x + 1 = 6 + 2x 18 – 6 = 6x 12 = 6x x = 2 (verdadeira)
III. (a – b, 5a – 2b, ...) Temos que a razão desta sequência é: r = (5a – 2b) – (a – b) r = 5a – 2b – a + b r = 4a – b
11) A
Sabemos que a2 = 250 e a5 = 400. Utilizando a fórmula genérica an = ak + (n – k) . r, temos:
a5 = a2 + (5 – 2) . r400 = 250 + 3r150 = 3rr = 50
Como r = 50, então a1 = a2 – r ⇒ a1 = 250 – 50 = 200.Logo, a1 = 200.
GABARITO
3Matemática E
Logo, temos:
a4 = a – b + (4 – 1) . (4a – b) a4 = a – b + 3 . (4a – b) a4 = a – b + 12a – 3b a4 = 13a – 4b (Verdadeira)
IV. (82, 76, 70, ...) Temos, nesse caso, que a razão r = –6. Logo: 22 = 82 + (n – 1) . (–6) 22 = 82 – 6n + 6 22 = 88 – 6n 6n = 88 – 22 6n = 66 n = 11 (Verdadeiro)
14) A
Uma P.A. de 5 termos pode ser representada como sendo:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Somando todos os termos da sequência, deverão ser obtidos 100 pães. Logo:
x – 2r + x – r + x + x + r + x + 2r ⇒ 5x = 100 ⇒ x = 20
Do enunciado, temos x x r x r+ + + +27
= x – 2r + x – r,
ou seja: ( )20 20 20 27
+ + + +r r = 20 – 2r + 20 – r
60 3
7+ r
= 40 – 3r
60 + 3r = 280 – 21r
24r = 220 ⇒ r = 556
Como queremos saber quanto vale a maior parte, logo:
x + 2r = 20 + 2 . 556
=
= 20 + 553
= 60 55
3+
= 1153
13) A
(x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y + 2z) Sabe-se que o último termo é igual a –127, logo pode-
mos reescrever a sequência: (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, –127).
Utilizando a propriedade da média aritmética nos três primeiros termos, temos:x 2y 8x 2y+ + −
2 = 3x – 5y
9x = 6x – 10y3x = –10y
Logo temos: y = –310x
. Podemos substituir na última
sequência que encontramos, obtendo assim:
x x x+−
−
−
−
−
2310
3 5310
8 2310
. , . , .x x x −
, 127 ⇒
25
92
435
127x x x, , ,−
Utilizando agora a propriedade da soma dos termos equidistantes, temos:25
12792
435
x x x− = + ⇒ 2 635
513110
x x−=
20x – 6350 = 655x655x = –6350x = –10
Sabendo que x = –10, substituimos em 3x = –10y, e temos que y = 3.Por fim, temos que 11x – 7y + 2z = –127, logo:11 . (–10) – 7 . 3 + 2z = –127–110 – 21 + 2z = – 127–131 + 2z = –1272z = 4 ⇒ z = 4
Temos então o produto x . y . z = (–10) . 3 . 2 = –60
15) D
(2, 9, 16, ..., K)K = 2 + (n – 1) . 7K = 2 + 7n – 7K = –5 + 7n (I)
(382, 370, 358, ..., K)K = 382 + (n – 1) . (–12)K = 382 – 12n + 12K = 394 – 12n (II)
Igualando as equações I e II, temos:
–5 + 7n = 394 – 12n19n = 399n = 21
Substituindo n = 21 em I ou II, temos:
K = –5 + 7 – 21K = –5 + 147K = 142
GABARITO
4 Matemática E
16) fevereiro de 2011.
Sequência da empresa A:(12 000, 11 400, 10 800, 10 200, 10 200, 9600, ...), r = –600
Logoan = 12 000 + (n – 1) . (–600)an = 12 000 – 600n + 600an = 12 600 – 600n (I)
Sequência da empresa B:(300, 600, 900, 1200, 1500, 9600, ...), r = 300
Logoan = 300 + (n – 1) . 300an = 300 + 300n – 300an = 300n (II)
Como desejamos saber o período em que a aplicação é igual, vamos igualar I e II. Temos: 12600 – 600n = 300n 12600 = 900n n = 14
Logo, como a1 é em janeiro de 2010, temos que a14 é fevereiro de 2011.
18) D
Resolução
x
x + 3x – 3
(x – 3, x, x + 3)
Pelo teorema de Pitágoras temos:
(x + 3)2 = x2 + (x – 3)2
x2 + 6x + 9 = x2 + x2 – 6x + 9x2 – 6x – 6x = 0x2 – 12x = 0x . (x – 12) = 0x = 0 ou x – 12 = 0 ⇒ x = 12
Note que x = 0 não é solução, pois teríamos (–3, 0, 3), e não existe medida negativa.
Logo, com x = 12, temos (9, 12, 15) e ainda 9 + 12 + 15 = 36
17) 07
1 2 3 4 5 6 7 8
3 km 248 km
Temos:248 = 3 + (8 – 1) . r248 = 3 + 7r245 = 7rr = 35
Logo podemos completar o desenho acima:
1 2 3 4 5 6 7 8
3 km 38 km 73 km 108 km 143 km 178 km 213 km 248 km
Com isso podemos observar que as alternativas verdadeiras são 01 02 04 = 07.
GABARITO
5Matemática E
19) E
C1 = Prestações de 480C2 = Prestações de 390
14 580 480 1
1
− <nSaldo devedor
de C após n prestações
22 460 390
2
− nSaldo devedor
de C após n prestações
14 580n – 480n < 12 460 – 390n14 580n – 12 460 < 480n – 390n2120 < 90n212090
< n
Como n é um número natural, logo n ≥ 24, ou seja, 2 anos.
20) B
(10, 14, 18, ... , a8) r = 4a8 = 10 + (8 – 1) . 4a8 = 10 + 7 . 4a8 = 10 + 28a8 = 38
S8 = ( ).10 38 8
2
4
+
S8 = 48 . 4S8 = 192
21) B
(500, 520, 540, ... , a20) r = 20a20 = 500 + (20 – 1) . 20a20 = 500 + 19 . 20a20 = 500 + 380a20 = 880
S20 = ( ).500 880 20
2
10
+
S20 = 1380 . 10S20 = 13 800
22) D
Sequência da quantidade de palitos.(4, 20, ... , a50) r = 8a50 = 4 + (50 – 1) . 8a50 = 4 + 49 . 8a50 = 4 + 392a50 = 396
S50 = ( ).4 396 50
2
25
+
S50 = 400 . 25S50 = 10 000
23) a) x = 5 ou x = 12
b) 7 575.
a) Pela propriedade da média aritmética, temos:
2 4 112
2x x+ + = 6x ⇒ 2x2 + 5 + x = 12 x
2x2 – 11x +5 = 0
Resolvendo por Bháskara:
x = −− ± −
=±( ) . .
.
11 121 4 2 5
2 211 81
4
x = 11 9
4
204
5
24
12
±= =
= =
↗
↘
x
x
’
’’
x = 5 ou x = 12
b) Para x = 12
temos a progressão.
(32
, 3, 92
, ..., a100) r = 32
a100 = 32
+ (100 – 1) . 32
a100 = 32
+ 99 . 32
a100 = 32
+ 2972
a100 = 3002
a100 = 150
S100 =
32
150 100
2
50
+
.
S100 = 303
250
25
.
S100 = 303 . 25 S100 = 7575
24) C
(1, 2, 3, 4, 5, ..., a150)a150 = 1 + 149 . 1a150 = 150
S150 = ( ).1 150 150
2
75
+
S150 = 151 . 75S150 = 11 325
GABARITO
6 Matemática E
25) B
(a1, a2, ... , 600021a� ) r = 100
6000 = a1 + (21 – 1) . 100 ⇒ 6000 = a1 + 20 . 1006000 = a1 + 2000 ⇒ a1 = 4000
S21 = ( ) .6000 4000 212+ ⇒
10 000 212
. ⇒ S21 = 105 000
26) D
S
a
a20
1
20
10480
5480
5 20
2
=
=
⇒ =
+( ).
480 = (5 + a20) . 10 480 = 50 + 10a20
430 = 10a20
a20 = 43
Usando a fórmula do termo geral, temos:a20 = a1 + (20 – 1) . r43 = 5 + 19r ⇒ 38 = 19r ⇒ r = 2
Por fim: a10 = a1 + (10 – 1) . 2 a10 = 5 + 9 . 2 a10 = 5 + 18 a10 = 23
27) E
(51, 61, 71, ... , 341) r = 10341 = 51 + (n – 1) . 10 ⇒ 341 = 51 + 10n – 10341 = 41 + 10n ⇒ 300 = 10nn = 30
S30 = ( ).51 341 30
2
15
+ ⇒ S30 = 392 . 15 ⇒ S30 = 5880
28) D
Sequência de blocos: (1, 2, 3, ..., an)Observe que an = n, pois a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, ...Logo:
Sn = ( ) .a a nn1
2+ ⇒ 210 =
( ) .12+n n
⇒ 420 = n + n2
n2 + n – 420 = 0Por Bháskara:
n = − ± − −1 1 4 1 420
2 1
2 . . ( )
. ⇒ n = − ±1 1681
2
n = − ±
= =
=−
=−
1 412
402
20
422
21
↗
↘
n
n
’
"
Como não temos quantidade negativa, logo n = 20.
29) D
Do enunciado tiramos a sequência: (3, 5, 7, ... an), r = 2an = 3 + (n – 1) . 2an = 3 + 2n – 2an = 1 + 2n
Sn = a a nn1
2
+( ) . ⇒ 483 = 3 1 2
2
+ +( )( .n n
483 = ( ) .4 22+ n n =
4 22
2n n+ ⇒ 483 = 2n + n2
n2 + 2n – 483 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bháskara, temos:
n = − ± − −2 4 4 1 483
2 1
. . ( )
. ⇒ − ±2 1936
2
n = − ±= =
=−
=−
2 442
422
21
462
23
↗
↘
n
n
’
"
Como não tem uma quantidade negativa, logo n = 21.
30) D
Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos medem 60°. Logo:
60 = ( ) .a a1 10 10
2+
⇒ 60 = (a1 + a10) . 5
a1 + a10 = 12
Como o exercício pede a soma dos extremos, ou seja, a1 + a10, temos então a1 + a10 = 12°
31) C
Sabemos que a1 = 3. Somando-se os dois primeiros termos, ou seja, n = 2, temos 3 . 22 = 3 . 4 = 12.
Como a1 = 3, logo a2 = 9, pois a1 + a2 = 12Temos assim que a razão r = a2 – a1 = 9 – 3 = 6Logo R = 6.
32) B
Temos a soma dos n primeiros termos dada por Sn = 2n2. Logo se n = 1, temos a1 = 2.Pela fórmula da soma de uma P.A.
Sn = ( ) .a a nn1
2+
2n2 = ( ) .22+a nn
4n2 = (2 + an) . n4 2nn
= 2 + an
4n = 2 + an
an = 4n – 2
GABARITO
7Matemática E
33) A
Temos que n = 24, S24 = 3960 e S15 = 3960 – 2160, S15 = 1800.
Utilizando a fórmula do termo geral:a15 = a1 + (15 – 1)ra15 = a1 + 14r (I)
S15 = ( ) .a a1 15 152
+
1800 = ( ) .a a1 15 152
+
a1 + a15 = 240a15 = 240 – a15 (II)
Substituindo (II) em (I), temos:240 – a1 = a1 + 14r2a1 = 240 – 14r (1)
Utilizando o mesmo raciocínio acima para a24, temos:a24 = a1 + 23r (III)
S24 = ( ) .a a1 24 242
+
3960 = ( ) .a a1 24 242
+
a1 + a24 = 330a24 = 330 – a1 (IV)
Substituindo (IV) em (III), temos:330 – a1 = a1 + 23r2a1 = 330 – 23r (2)
Montando um sistema linear de equações com (1) e (2), temos:
2 240 14
2 330 23
2 240 14
2 330 231
1
1
1
a r
a r
a r
a r= −= −
⇒= −
− =− +
=− +0 90 9r
Logo: 9r – 90 = 0 9r = 90 ⇒ r = 10
Substituindo r = 10 na equação (1), temos:2a1 = 240 – 14 . 10 ⇒ 2a1 = 240 – 1402a1 = 100 ⇒ a1 = 50
34) a) –5, 8, –11, 14, –17, 20 b) S = – 3014
a) a
a
a
a
11
22
33
1 2 3 1 5
1 2 3 2 8
1 2 3 3 11
= − + =−= − + == − + =−
( ) .( . )
( ) .( . )
( ) .( . )
444
55
66
1 2 3 4 14
1 2 3 5 17
1 2 3 6 20
= − + == − + =−= − + =
( ) .( . )
( ) .( . )
( ) .( . )
a
a
A sequência é(–5, 8, –11, 14 –17, 20)
b) Vamos dividir essa sequência em duas: • Uma positiva (8, 14, 20, ... a1003) (I) • Outra negativa (–5, –11, –17, ... a1004) (II)
Resolvendo (I), temos: a1003 = 8 + (1003 – 1) . 6 a1003 = 8 + 1002 . 6 a1003 = 8 + 6012 a1003 = 6020
Logo a soma:
S1003 = ( ). .8 6020 10032
6028 10032
+= = 3014 . 1003
Resolvendo a (II), temos: a1004 = –5 + (1004 – 1) . (–6) a1004 = –5 + 1003 . (–6) a1004 = –5 – 6018 a1004 = –6023
Logo a soma:
S1004 = ( ). .− −=−5 6023 1004
26028 1004
2 =
S1004 = –3014 . 1004
Somando as duas partes: 3014 . 1003 + (–3014 . 1004) = 3014 . (1003 –1004) = 3014 . (–1) = –3014
35) a) b = 6/5 e r = 12/5 b) a20 = 239/5 c) S20 = 500
a) S1 = a1 = b +1 (I) S2 = 4b + 2, mas S2 = a2 + a1 a2 + b + 1 = 4b + 2 a2 = 3b + 1 (II) S3 = 9b + 3, mas S3 = S2 + a3 9b + 3 = 4b + 2 + a3 a3 = 5b + 1 (III)
Mas do enunciado, temos a3 = 7, logo: 5b + 1 = 7 5b = 6 b = 6/5
Substituindo b = 6/5 nas equações I, II e III, temos:a1 = b + 1
a1 = 65
+ 1
a1 = 115
a2 = 3b + 1
a2 = 3 . 65
+ 1
a2 = 235
a3 = 5b + 1
a3 = 5 . 65
+ 1
a3 = 7
Para obter r, basta a2 – a1 ou a3 – a2,
Logo: r = a2 – a1 = 235
– 115
= 125
GABARITO
8 Matemática E
b) a20 = a1 + (20 – 1) . r
a20 = 115
+ 19 . 125
a20 = 115
+ 2285
⇒ a20 = 2295
c) S20 = b . 202 + 20
S20 = 65
. 400 + 20
S20 = 6 . 80 + 20 S20 = 500
36) 160
(5, 10, 20, ...) q = 2a6 = a1 . q
n – 1
a6 = 5 . 26 – 1 ⇒ a6 = 5 . 25 ⇒ a6 = 5 . 32a6 = 160
37) D
Seja a P.A. (6, 12, ..., a5) e a P . G. (6, 12, ..., a5). Temos as razões r = 6 e q = 2, respectivamente.
P.A. a5 = 6 + (5 – 1) . 6 a5 = 6 + 4 . 6 a5 = 6 + 24 a5 = 30
P.G. a5 = 6 . 25 – 1
a5 = 6 . 24
a5 = 6 . 16 a5 = 96
38) C
Analisando matemáticamente o desenho, note que os triângulos cinzas comportam-se em uma progressão geométrica, (1, 3 , 9, ... ) de razão 3.Logo a figura 4 deve possuir 27 triângulos cinzas.
39) E
Temos uma P.G. (2, 5 ... ) onde a razão q = 5/2.Temos que a3 = a2 . q = 5 . 5/2 = 25/2 = 12,5.
40) C
Note a sequência (10x, 10x + 1, 10x + 2, ...); ela pode ser escrita da seguinte forma: (10x, 10x . 101, 10x + 1 . 101, ...), sempre o termo anterior multiplicado por uma constante 101, ou seja, q = 10.
41) B
a5 = a1 . qn – 1
1 = a1 . −
−110
5 1
⇒ 1 = a1 . −
110
4
1 = a1 . 1
10 000 ⇒ a1 = 10 000
42) B
Os dias e a quantidade de contaminados formam uma uma P.G. (1, 2, 4, 8, ... , 512), com q = 2.Logo512 = 1 . 2n – 1
2 29 1=
−n
9 = n – 1n = 10
43) 49, 56 e 64 anos
Seja x a idade da filha do meio, logo (x – 7, x, x + 8). Como as idades formam uma P.G., pela propriedade da média geométrica temos:
x x−( ) +( )7 8. = x(x – 7) . (x + 8) = x2
x 2 + 8x – 7x – 56 = x 2
x = 56
Logo as idades são 49, 56 e 64 anos.
44) B
an = (–3)–n
a4 = (–3)–4
a4 = 13
4
−
a4 = 13
4
4( )−
a4 = 181
45) 31
01. Pela definição de P.G. oscilante, temos que q < 0.02. Como a P.G. é oscilante e o a1 > 0, temos que: a1, a3, a5 > 0 e a2, a4 < 0. Logo o termo médio (a3) é positivo.
04. (45
, x, y, z, 120
)
z2 = 120
. y
z2 = y20
(I)
y . 45
= x2
y = 54
2x (II)
De (II) em (I), temos:
z2 =
5420
2x
z2 = 580
2x
zx
2
2
580
= ⇒ zx
=2
116
⇒ zx
aaz
= ⇒ =14
14
4
GABARITO
9Matemática E
08. (45
, x, y, z, 120
)
Pela propriedade dos termos equidistantes:
45
. 120
= x . z
125
= x . z (I)
Substituindo (I) abaixo, pela média geométrica: x . z = y2
125
= y2 ⇒ y = 15
Utilizando a média geométrica novamente, temos:
45
. y = x2
45
. 15
= x2
x2 = 425
⇒ x = 25
Como a P.G. é oscilante, logo x = –25
Logo a1 + a2 + a3 = 45
+ x + y = 45
– 25
+ 15
= 35
.
16. Como a P.G. é oscilante e vimos na alternativa 02, temos que a4 < 0.
46) B
(a1, a2, a3, 16 875), q = 3 cmLogo:a4 = a1 . q
4 – 1 ⇒ 16 875 = a1 . (3a1)3
16 875 = a1 . 27a13 ⇒ a1
4 = 16 875
27
a1 = 6254 ⇒ a1 = 5Temos assim (5, 75, 1125, 16 875).Logo 5 + 75 + 1125 = 1205 = 5 . 241
47) E
A sequência (an) é dada por:a1 = 1000 + 0,1 . 1000 = 1000 + 1 . 100a2 = 1000 + 2 . 0,1 . 1000 = 1000 + 2 . 100 an = 1000 + n . 0,1 . 1000 = 1000 + n . 100Assim, (an) é uma P.A. de razãor = a2 – a1 = 100.
A sequência (bn) é dada por:b1 = 1000 . (1, 10)1
b2 = 1000 . (1, 10)2
bn = 1000 . (1, 10)n
Logo, (bn) é uma P.G. de razão:
q = aa2
1
= 1,10
48) E
Observe que:
a
a
a
a
121
22
33
44
1 2 1
3 2 1
7 2 1
15 2 1
= = −= = −= = −= = −
Logo an = 2n – 1Como queremos a13, teremos:a13 = 213 – 1
49) E
Note que na sequência (972, –324, 108, …) temos
razão q = –13
, pois é uma P.G.
Logo = a5 = 972 . −13
4
a5 = 972 . 181
a5 = 12
Na sequência (–51, –44, –37, …), onde r = 7, pois é P.A., temos:a22 = (–51) + 21 . 7a22 = (–51) + 147a22 = 96
Na sequência 14
, x, 9, 54, ...
, onde é uma P.G.
temos pela média geométrica, que:
x = 149.
x = 94
x = 32
Temos que a nova progressão formada é 32
, 12, 96
.
Como: 122 = 32
. 96
144 = 144, essa progressão satisfaz a propriedade da média geométrica, logo é uma P.G.
Temos que:
q = 9612
⇒ q = 8.
GABARITO
10 Matemática E
50) C
Três números positivos estão em P.A., logo (x – r, x, x + r), sendo x – r, x, x + r = 30 3x = 30 x = 10
Temos nossa P.A.: (10 – r, 10, 10 + r). Como oito no enunciado, formamos uma P.G. adicionando, respecti-vamente, 4, –4 e –9.
Logo nossa P.G. é (14 – r, 6, 1 + r). Podemos aplicar a propriedade da média geométrica. Logo:
( ).( )14 1− +r r = 6(14 – r) . (1 + r) = 3614 + 14r – r – r2 = 36– r2 + 13r – 22 = 0r2 – 13r + 22 = 0
Aplicando Bháskara:
r = −− ± −⇒
±⇒ =
±( )13 169 882
13 812
13 92
r
r' = 2 r" = 11
Como os números da P.A. devem ser positivos, logo R ≠ 11. Temos assim que R = 2.
Logo (10 – r, 10, 10 + r) = (8, 10, 12)
51) A
Temos uma P.A. (a, b, 2a + b). Aplicando a propriedade da média aritmética, teremos:a a b+ +2
2 = b ⇒ 3a + b = 2b ⇒ b = 3a
Temos, também uma P.G. (3a, 27, 3b). Substituindo b = 3a, teremos (3a, 27, 33a).
Aplicando a média geométrica tem-se:
3 33a a. = 2734a = 272
34a = (33)2
3 34 6a=
4a = 6
a = 64
⇒ a = 32
⇒ a = 1,5
52) = 15
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
2 = h2 + �4
2
2 = h2 + �2
16
h2 = 2 – �2
16
h2 = 1516
2�
h = 1516
154
2� �=
Do enunciado tiramos a progressão geométrica:
�
�
��
, ,.
, ,.
hh
hh2
2 4
⇒
Aplicando a propriedade da média geométrica temos:
. � . h4
= h2
2 . h h4
2=
�2
4 = h
� �2
4
15
4=
= 15
GABARITO
11Matemática E
53) C
A partir da figura, vamos construir uma tabela.
54) 3069
P.G. (3, 6, 12, ...)
Sn = a qq
n1 1
1( )−−
S10 = 3 2 12 1
3 1024 11
10. .−( )
−⇒
−( )
S10 = 3 . 1023S10 = 3069
56) A
Sabendo que a1 = 1, temos:
SK = aK K
1 3 13 1
1 3 12
. .−( )−
⇒−( )
SK = 3 12
K −
55) A
Sabemos que S5 = 2325. Queremos saber o valor de a1. Logo:
S5 = a qq
15 11
( )−−
2325 = a152 1
2 1. −( )
−2325 = a1 . (32 –1)
a1 = 232531
a1 = 75
57) D
Temos (1, 2, 4, 8, ..., 2048), onde essa sequência é uma P.G. de razão 2.Temos aí:2048 = 1 . 2n –1
2 211 1=
−n
11 = n – 1n = 12
Logo tem-se 12 termos, ou seja, 12 meses (1 ano).Em 1 ano, o valor guardado é:
S12 = 1 2 12 1
4096 11
12. −( )
−⇒
−
S12 = 4095
Como ele guardará até os 21 anos do filho, logo temos 4095 . 21 = 85 995.
58) Falso.
(10, 5, 2,5 , 1,25 , 0,625 , ...), q = 12
S∞ = aq
1
1− =
10
112
1012
−= = 10 . 2 = 20
GABARITO
12 Matemática E
59) A
...
Observem que as áreas formam uma progressão geométrica de razão 2. Logo:
S10 = 1 2 12 1
10. −( )
− = 1 . (1024 – 1) = 1023
60) E
Observe que os termos da soma são termos de uma
P.G. infinita (10, 1, 110
, 1102
, ...) de razão q = 110
. Logo:
S∞ = aq
1
1−
S∞ = 10
1110
10910
−= ⇒ S∞ = 100
99
61) D
Temos a sequência de pessoas (2, 4, 8, ...), logo a de valor arrecadado por dia é (6, 12, 24, ...), onde q = 2.
Sn = a qq
n1 1
1( )−−
6138 = 6 2 12 1. n−( )
−6138 = 6 . (2n – 1)1023 = 2n – 11024 = 2n
2 210=
n
n = 10
62) C
Note que o menino preencheu até a nona casa por completo, logo:
S9 = 1 2 12 1
2 11
9 9. −( )
−=
−
S9 = 512 – 1S9 = 511
Mas observe que 511 grãos preenchem 9 casas exata-mente. Como ele começou a preencher a décima casa, logo o mínimo é de 512.
63) 05
01. Correto.
Sn = ( ) .a a nn1
2+
440 = 3
2+( )x n.
(I)
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ x = 3 + (n – 1) . 2 x = 3 + 2n – 2 ⇒ x = 1 + 2n
n = x −12
(II)
Substituindo (II) em (I):
440 = 3
12
23 1
4
+( ) −
=
+( ) −( )xx
x x. .
1760 = x2 + 2x – 3 x2 + 2x – 1763 = 0
Pela fórmula de Bháskara:
x = − ±2 70562
x = − ± =
=−
2 842
41
43
↗
↘
x
x
’
’ Logo, x = 41
04. Correto. Utilizando a fórmula genérica, an = ak . q
n – k, temos;
a = a . q
= 15 . q
= q
= q
6 33
3
3
595
1351
2713
3
q=
an = a1 . qn – 1
a3 = a1 . q2
15 = a1 . 13
2
15 = a1 . 19
15 .9 = a1
a1 = 135
GABARITO
13Matemática E
64) 18 08. Como (x, y, 10) é uma P.A., logo, pela propriedade da média aritmética, temos:
x+102
= y ⇒ x + 10 = 2y ⇒ x = 2y – 10 (I)
Como (x, y, 18) é uma P.G., utilizaremos a proprie-dade da média geométrica. Logo:
x . 18 = y2 (II)
Substituindo (I) em (II) temos: 18(2y – 10) = y2
36y – 180 = y2
y2 – 36y + 180 = 0
Por Bháskara temos:
y = −− ±
=± =
=( ) ’
"36 576
236 24
2
30
6
↗
↘
y
y
Como as progressões são crescentes, logo y = 6. Substituindo em (I):
x = 2 . 6 – 10 x = 12 – 10 ⇒ x = 2 Logo: x . y = 2 . 6 = 12
67) 14
02. Receita: P.G. ⇒ (nov.): 300
(dez.): 300 . 65
= 360
(jan.): 300 . 65
= 432
(fev.): 432 . 65
= 518,4
Despesa: P.A. ⇒ (nov.): 350 (dez.): 350 + 55 = 405 (jan.): 405 + 55 = 460 (fev.): 460 + 55 = 515
Logo, em fevereiro de 2003, a receita é maior que a despesa, ou seja, 518,4 > 515.
04. A P.G. de aumento anual de massa é (4, 2, 1, 12
,
....) Logo:
S∞ = 4
112
412
−= = 4 . 2 = 8
Assim, o rapaz só alcançaria 68 kg se ele vivesse infinitamente. Como isso não ocorre, logo ele nunca alcançará 68 kg.
66) 13
01. Sabemos que r = a2 – a1 = a3 – a2 = ... Logo: x + 10 – x = x2 – (x + 10) 10 = x2 – x – 10 x2 – x – 20 = 0
Pela fórmula de Bháskara temos:
x = −− ±
=± =
=−
( ) ’
"1 812
1 92
5
4
↗
↘
x
x
Como x < 0, do enunciado, logo x = –4. Temos assim a sequência (–4, 6, 16, ...) de r = 10.
a20 = (–4) + 19 . 10 a20 = –4 + 190 a20 = 186
04. 11024
= 2 . 12
1
−n
12048
= 12
1
−n
1
2
1
211 1= −n
11 = n – 1 n = 12
65) 09
01. Falsa. Se a distância da 7ª à 10ª placa é de 1200 m, logo a distância entre placas subsequentes é de 400 m. Temos assim, que a distância entre a 1ª e a 20ª placa é de 19 . 400 = 7600 m.
08. Falsa. Observe que a sequência forma uma P.G. de razão q = 0,98, pois:
a2 = a1 – 2
100 . a1
a2 = a1 . 12
100−
a2 = a1 . 98100
a2 = a1 . 0,98
Logo, daqui a 9 meses, (ou seja, no mês 10), temos: a10 = 98 . (0,98)10 –1
a10 = 98 . (0,98)9
a10 = 100 . 0,98 . (0,98)9
a10 = 100 . (0,98)10
GABARITO
14 Matemática E
08. P.A. ⇒ (x, 5, y), logo x y+2
= 5 ⇒ x = 10 – y (I)
P.G. ⇒ (x, 4, y), logo x . y = 42 ⇒ x . y = 16 (II)
Substituindo (I) em (II): (10 – y) . y = 16 10 – y2 = 16 y2 – 10y + 16 = 0
Por Bháskara temos: y' = 2 y" = 8
Logo, substituindo em (I), temos: y = 2 ⇒ x = 8 y = 8 ⇒ x = 2
Como a P.A. é crescente, temos: x = 2 e y = 8, (2, 5, 8). A soma dos 10 primeiros termos a10 = 2 + 9 . 3 a10 = 2 + 27 ⇒ a10 = 29
S10 = 2 29 102
31 102
+( )=
. .
S10 = 155
68) B
A primeira sequência, temos (100, 250, 400, ...), ou seja, uma P.A. de razão r = 150.Logo:a9 = 100 + 8 . 150a9 = 100 + 1200a9 = 1300
S9 = 100 1300 92
1400 92
+( )=
. .
S9 = 6300
Logo eu tenho R$ 6300,00 para receber. Como a segunda proposta forma uma P.G. de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 100, temos assim:
6300 = 100 2 12 1
100 2 11
. .n n−( )
−=
−( )
6300 = 100 . (2n – 1)63 = 2n – 164 = 2n
2 26=
n
n = 6
69) B
Observe que o raio da circunferência é metade da diagonal. Logo:
a1 = 4 cm ⇒ d = 4 2 ⇒ r = 2 2 ⇒ A = (2 2)2π = 8πa2 = 2 cm ⇒ d = 2 2 ⇒ r = 2 ⇒ A = ( 2)2π = 2π
a3 = 1 cm ⇒ d = 2 ⇒ r = 22
⇒ A = 22
2
π =
14π
Onde d é a diagonal do quadrado (e ainda o diâmetro da circunferência), r é o raio da circunferência e A é a área circunferência (A = πr2).
Logo as áreas formam uma P.G. de razão q = 14
.
(8π, 2π, 14π, ...)
S∞ = 8
114
834
323
π π π
−= =
70) A
x x x x x2
3 9 2712− −( )−( )−( )− −...
Multiplicando a equação por (–1), temos:
− + +( )+( )+( )+=
x x x x x
Soma inita de uma P G com q
2
13
3 9 27 ...
inf . .
� ��������������� ��������������− 1
2
Logo: S∞ = aq
x x x1
1 113
23
32−
=−= =
–x2 + 32x
= 12
–2 3
2
2x x+ = 12
–2x2 + 3x = 12x2 – 3x + 1 = 0
Por Bháskara temos: x' = 12
x" = 1
71) A
A sequência é uma P.G. infinita de razão q = 12
. Vamos
considerar seu primeiro termo e a10 seu décimo termo.
S∞ = aq
1
1−
64 2 = a a1 1
112
12
−=
2a1 = 64 2 ⇒ a1 = 32 2
GABARITO
15Matemática E
Logo, a10 = a1 . qn – 1
a10 = 32 2 . 12
9
a10 = 32 2 . 1512
a10 = 32 2512
⇒ a10 = 216
72) B
x y x y x y
Analisando um caso menor para entender o geral transformando esses radicais em expoente fracionário, teremos:
y x y x y x1 21 2 1 2 1 2 1 2
// / / /
( )( )( )
1 2/
Temos o seguinte:
x y x y x y12
14
18
116
132
164. . . . .
Se generalizarmos, essa sequência continua: reagru-pando-se os valores de x e somando-se os expoentes (mesma base multiplicando, soma-se os expoentes), temos:
12
18
132
12
1141
4
+ + + ⇒ =−=∞
P G initade razão
S
. . inf
...
11234
23
=
Da mesma maneira para os expoentes de y:
14
116
164
14
114
1434
13
+ + + ⇒ =−= =∞... S
Logo: x y23
13.