matematica financiera johnny mezza 4ta edicion

JHONNY DE JESÚS MEZA OROZCO

Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Especialista en Finanzas y especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Diplomado en Ingeniería Financiera en el ITSM de Monterrey. Diplomado en Finanzas Avanzadas de la Uninorte y Eafit.

Profesor de tiempo completo en la Universidad Popular del Cesar. Catedrático de Matemáticas Financieras en la Universidad de Santander. Profesor de Posgrado en el área financiera de las universidades del Norte, del Sinú, de Sucre, Tecnológica de Bolívar, de Cartagena, Popular del Cesar; en la Corporación Universitaria del Caribe.

Vicerrector de Investigación y Extensión de la Universidad Popular del Cesar. Miembro de la Sociedad Colombiana de Ingenieros. Autor de Evaluación Financiera de Proyectos.

Colección: Ciencias administrativas��

Primera edición: Valledupar, 2002Segunda edición: Bogotá, D.C., enero de 2003Tercera edición: Bogotá, D.C., enero de 2008Reimpresión: Bogotá, D.C., septiembre de 2008Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2009Reimpresión: Bogotá, D.C., enero de 2010�� Bogotá, D.C., enero de 2011Cuarta edición: Bogotá, D.C., julio de 2011Primera reimpresión: Bogotá, D.C., septiembre de 2011

ISBN 978-958-648-728-3

�� !��"�� E-mail: [email protected]

© Ecoe Ediciones Ltda E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com

Carrera 19 No. 63C-32, PBX. 2481449, FAX. 3461741Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero# ��$�� %�� #� ��&%��&�Diseño de carátula: Edwin Penagos PalacioImpresión: Litoperla Impresores Ltda.Carrera 25 N° 8-81 Tel: 3711917 Bogotá D.C.

Impreso y hecho en Colombia.

!��"��!��'� �� (��!��)"��)�**�+�)��)�**�/%�'��;��;� � ��<=>> 566 p.; 24 cm. ISBN 978-958-648-728-3��>)�!��'� �� <)�F�� G��H)�J�� 4. Inversiones - Evaluación I. Tít.

511.8 cd 21 ed.

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

www.ecoeediciones.com

mailto: [email protected]

DedicatoriaA la memoria de mi padre,

José Lucas Meza Dangond

(Q.E.P.D.) a mi madre a mi familia

a mis alumnos.

TABLA DE CONTENIDO

Prólogo .................................................................................................................................................. XIII

CAPÍTULO 0. PRELIMINARES ..................................................................................................... 1

1. Introducción ........................................................................................................................... 1

2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita ...................................................... 2

2.1 Principios fundamentales de las ecuaciones ............................................................. 2

3. Potenciación ........................................................................................................................... 4

3.1 Operaciones con potencias .............................................................................................. 4

3.2 Operaciones inversas de la potenciación ................................................................... 6

Radicación ............................................................................................................................... 7

Operaciones con radicales ................................................................................................ 8

4. Logaritmos .............................................................................................................................. 9

4.1 Propiedades de los logaritmos ....................................................................................... 9

4.2 Operaciones con logaritmos............................................................................................ 10

4.3 Sistemas de logaritmos ...................................................................................................... 11

Logaritmos decimales o vulgares (Logaritmos de Briggs) ................................... 11

Logaritmos naturales o neperianos .............................................................................. 12

Antilogaritmos ....................................................................................................................... 12

5. Ecuaciones exponenciales ................................................................................................ 13

TTTAAAAABBBBBLA DECCONNNNTTTTEENIIDDO

PPrrólólólogogoo ................................................................................................................................................................ XIXIIIII

CACAPÍÍTUTULO O 0.0. P PRERELILIMIMINANARERESS ............................................................................. ............................. 1

1.1 InInttrododucucciciónón ... ......................................................................................................................................... 11

2. EEcua iciononeses d dee prpriimimere ggradododo cc conoon uu unana i incncógógógniinitaata .......................................................... 2

2.1 Principios fundamentales de las ecuaciones............................................................. 2

3. Potenciación....................................................................................................................................... 44

3.3.11 OpOpereracacioionenes con potencias.............................................................................................. 4

3.2 Operaciones inversas de la potenciación ................................................................... 6

Radicación............................................................................................................................... 7

Operaciones con radicales................................................................................................ 8

4. Logaritmos.............................................................................................................................. 9

4.1 Propiedades de los logaritmos....................................................................................... 9

4.2 Operaciones con logaritmos............................................................................................ 10

4.3 Sistemas de logaritmos...................................................................................................... 11

Logaritmos decimales o vulgares (Logaritmos de Briggs) ................................... 11

Logaritmos naturales o neperianos .............................................................................. 12

Antilogaritmos....................................................................................................................... 12

5. Ecuaciones exponenciales ................................................................................................ 13

VI

Jhonny de Jesús Meza Orozco

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES .................................................................. 15

0. Introducción ........................................................................................................................... 15

1. Valor del dinero en el tiempo .......................................................................................... 16

2. Interés ....................................................................................................................................... 18

2.1 Tasa de interés ....................................................................................................................... 19

3. Equivalencia ............................................................................................................................ 20

4. Resumen de los conceptos fundamentales ............................................................... 21

�� ................................................................................................. 22

6. Flujo de caja ........................................................................................................................... 23

Cuestionario ......................................................................................................................................... 27

Solucionario Capítulo 1 ................................................................................................................... 28

CAPÍTULO 2. INTERÉS SIMPLE .................................................................................................. 31

0. Introducción ........................................................................................................................... 31

�� ............................................................................................ 32

1.1 Características del interés simple ................................................................................... 32

2. Cálculo del interés................................................................................................................ 32

3. Interés comercial y real ...................................................................................................... 35

4. Cálculo del número de días entre fechas ................................................................... 35

5. Valor futuro a interés simple ............................................................................................ 39

6. Desventajas del interés simple ........................................................................................ 40

7. Intereses moratorios ........................................................................................................... 41

8. Valor presente a interés simple ....................................................................................... 42

9. Cálculo de la tasa de interés simple ............................................................................. 43

10. Cálculo del tiempo de negociación .............................................................................. 43

11. Operaciones de descuento............................................................................................... 44

11.1 Descuento comercial .......................................................................................................... 45

11.2 Descuento racional o justo ............................................................................................... 46

Cuestionario ......................................................................................................................................... 47

Solucionario Capítulo 2 ................................................................................................................... 48

CAPÍTULO 3. INTERÉS COMPUESTO ...................................................................................... 510. Introducción ........................................................................................................................... 51�� .................................................................................. 52

VII

Tabla de contenido

1.1 Capitalización ......................................................................................................................... 521.2 Período de capitalización .................................................................................................. 522. Valor futuro a interés compuesto .................................................................................. 533. Características del interés compuesto ......................................................................... 544. Análisis de la fórmula de interés compuesto ............................................................ 55�� ............................................. 605.1 La hoja de cálculo EXCEL ................................................................................................... 666. Valor futuro con tasa variable ......................................................................................... 707. Valor presente a interés compuesto ............................................................................. 737.1 Valor presente con tasa variable .................................................................................... 768. Tasa de interés compuesta ............................................................................................... 789. Tiempo de negociación ..................................................................................................... 8010. Ecuaciones de valor ............................................................................................................. 8210.1 Pasos para construir una ecuación de valor .............................................................. 8311. Cálculo de fechas desconocidas ..................................................................................... 9212. Ecuaciones de valor con Buscar objetivo de Excel ................................................... 98 Referencias relativas y referencias absolutas ............................................................. 98 Amortización .......................................................................................................................... 99 Composición de los pagos ............................................................................................... 100 Tabla de amortización ........................................................................................................ 100Cuestionario ......................................................................................................................................... 110Solucionario Capítulo 3 ................................................................................................................... 111

CAPÍTULO 4. TASAS DE INTERÉS ............................................................................................. 1370. Introducción ........................................................................................................................... 1371. Tasa nominal .......................................................................................................................... 1381.1 Formas de expresar la tasa nominal ............................................................................. 138�� !��"�� .............................................................................................. 1381.1.2 Tasa nominal referenciada con la D.T.F. ........................................................................ 1381.1.3 Tasa nominal referenciada con la UVR ......................................................................... 1392. Tasa efectiva ........................................................................................................................... 1393. Tasa periódica ........................................................................................................................ 1394. Relación entre la tasa nominal y la tasa periódica .................................................. 1415. Diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva .................................................. 1426. Ecuación de la tasa efectiva ............................................................................................. 1437. Relación entre las tasas efectivas periódicas ............................................................. 1448. Tasas equivalentes ................................................................................................................ 1468.1 Caso 1 (Efectiva � Efectiva) ............................................................................................. 147

VIII


8.1.2 Conversión de efectiva periódica menor a efectiva periódica mayor ............. 1478.1.3 Caso de efectiva periódica mayor a efectiva periódica menor .......................... 1498.2 Caso 2 (Efectiva � Nominal) ........................................................................................... 1548.3 Caso 3 (Nominal � Efectiva) ........................................................................................... 1558.4 Caso 4 (Nominal � Nominal) ......................................................................................... 1599. Tasa de interés anticipada ................................................................................................. 1629.1 Conversión de una tasa anticipada en vencida ........................................................ 1649.2 Conversión de una tasa vencida en anticipada ........................................................ 16610. Ecuación de la tasa efectiva en función de la tasa efectiva periódica anticipada ............................................................................................................ 17711. Diagrama de conversión de tasas de interés ............................................................ 17912. Aplicación de la tasa anticipada con interés compuesto ..................................... 18013. Descuentos por pronto pago .......................................................................................... 182�#�� $�%��&��' ......................................................................................... 18715. Unidad de valor real (UVR) ............................................................................................... 18815.1 Características de la UVR ................................................................................................... 18915.2 Cálculo de la UVR ................................................................................................................. 189�*�� $��+�� ................................................................................................................... 190�-�� $��+�� ................................................................................................ 20217.1 Rentabilidad neta de una inversión .............................................................................. 20317.2 Costo de la deuda después de impuestos ................................................................. 20617.3 Rentabilidad real de una inversión ................................................................................ 20817.4 Costo real de un crédito .................................................................................................... 213Apéndice: factores que determinan el costo del dinero ..................................................... 215Solucionario Capítulo 4 ................................................................................................................... 218

CAPÍTULO 5. ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES ..................................................... 2430. Introducción ........................................................................................................................... 243�� ..................................................................................................... 2451.1 Renta o pago .......................................................................................................................... 2451.2 Período de renta ................................................................................................................... 2452. Condiciones para que una serie de pagos sea una anualidad ........................... 2453. Clases de anualidades ........................................................................................................ 2464. Anualidad vencida ............................................................................................................... 2464.1 Valor presente de una anualidad vencida .................................................................. 2464.2 Valor presente de una anualidad vencida con tasa variable ............................... 2534.3 Valor de la cuota en función del valor presente ...................................................... 2544.4 Valor futuro de una anualidad vencida........................................................................ 2594.4.1 Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variable .................................... 262

IX

Tabla de contenido

4.5 Valor de la cuota en función del valor futuro............................................................ 2684.6 Cálculo del tiempo de negociación .............................................................................. 2724.7 Cálculo de la tasa de interés ............................................................................................ 2815. Anualidad con interés global ........................................................................................... 2886. Cálculo del saldo insoluto ................................................................................................. 2957. Anualidad anticipada .......................................................................................................... 3097.1 Valor presente de una anualidad anticipada ............................................................. 3107.2 Valor de la cuota en una anualidad anticipada ........................................................ 3237.3 Cálculo del tiempo de negociación .............................................................................. 3297.4 Cálculo de la tasa de interés en una anualidad anticipada.................................. 3317.5 Valor futuro de una anualidad anticipada .................................................................. 3398. Anualidad diferida ............................................................................................................... 3419. Anualidad perpetua ............................................................................................................. 3479.1 Valor presente de una anualidad perpetua ................................................................ 34710. Anualidad general ................................................................................................................ 34910.1 Período de capitalización .................................................................................................. 34910.2 Período de pago ................................................................................................................... 349/��;��&<�/��=>' .................................................................... 356Cálculo del canon de arrendamiento vencido ........................................................................ 357Cálculo del canon de arrendamiento anticipado .................................................................. 361Solucionario Capítulo 5 ................................................................................................................... 364

CAPÍTULO 6. GRADIENTES O SERIES VARIABLES ............................................................ 3970. Introducción ........................................................................................................................... 397�� ................................................................................................................................ 3992. Condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente .............................. 399?�� >�� ........................................................................................... 399?�� >�� ................................................................................................. 400#�� >�� ............................................................................................ 4154.1 Valor presente de un gradiente lineal decreciente ................................................. 415�� >��@�� ........................................................................... 421�� >�� ..................................................................................... 421��G� >�� ................................................................................ 427 Valor presente de un gradiente geométrico decreciente ..................................... 427*�� >�� ............................................................................. 4306.1 Valor presente de un gradiente geométrico escalonado ..................................... 430Ejemplo resumen ............................................................................................................................... 433Solucionario Capítulo 6 ................................................................................................................... 442

X


CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN .................................................................... 455H�� ................................................................................................................................ 4551. Sistema de amortización ................................................................................................... 4551.1 Composición de los pagos ............................................................................................... 4561.2 Tabla de amortización ........................................................................................................ 4561.3 Cálculo del saldo insoluto ................................................................................................. 4562. Sistemas de amortización ................................................................................................. 457G�� /��K��W��K ................................ 457G�G� �� ........................................................................................................... 458G�?� �� @�� .................................................... 460G�#� �� ............................................................. 4622.5 Sistema de abono constante a capital ......................................................................... 467 Con intereses vencidos ...................................................................................................... 467 Con intereses anticipados ................................................................................................. 472G�*� �� ..................................................................... 4762.7 Sistema de cuotas crecientes en forma lineal ........................................................... 4772.8 Sistema de cuotas crecientes en forma geométrica ............................................... 480G�Y� /��K�� !�� ........................................................................................................... 482G��H� �� Z��&��$�%�'.......................................................... 4842.11 Sistema de abono constante a capital con tasa variable (D.T.F.) ........................ 487Solucionario Capítulo 7 ................................................................................................................... 489

CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN ............................... 4950. Introducción ........................................................................................................................... 4951. Tasa de descuento ............................................................................................................... 4962. Valor presente neto (VPN) ................................................................................................ 4962.1 Criterios para seleccionar alternativas usando el VPN .......................................... 5022.2 ¿Qué muestra el VPN? ....................................................................................................... 5122.3 Conclusiones sobre el VPN .............................................................................................. 5132.4 Valor presente neto no periódico (VPN. NO PER.) .................................................. 5133. Tasa interna de retorno (TIR) ........................................................................................... 516� \��]�� $�^ .............................................................................. 523� _`��kw={ .............................................................................. 523� ��$�^............................................................................................................ 524 Criterios de selección de alternativas usando la TIR .............................................. 526#�� $��Z��&$�^��' .................................................... 5265. Tasa interna de retorno no periódica (TIR. NO. PER.) ............................................. 530Cuestionario ......................................................................................................................................... 532Solucionario Capítulo 8 ................................................................................................................... 533

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 549

PRÓLOGO

Los oportunos comentarios recibidos de parte de profesores de la materia, alumnos ��!��| �"�� sobre la tercera edición de este libro, y el avance tecnológico en materia de herramientas �� K��}��esta cuarta edición. Son muchos los cambios con respecto a la tercera edición. El uso ��}��]� ��@��"��K��Matemáticas Financieras, que se apoyan en el supuesto de la reinversión a una misma tasa de interés, y esto en la práctica es, muchas veces, irreal. Bajo esta concepción se enseña todavía la Matemática Financiera y así fueron concebidas las fórmulas para hacer �]� ��Z��+ �� de tiempo, de tal forma que la concepción tradicional presenta sus limitaciones. Por estas razones, en este texto, se plantean nuevas situaciones a través de ejercicios resueltos y propuestos, en las cuales es necesario considerar el escenario de tasas variables.

En el capítulo 3, Interés compuesto, se incluye el cálculo del valor futuro y valor presente con tasa variable. En este mismo capítulo se utiliza, para los ejercicios que eran resueltos con una ecuación matemática conocida como ecuación de valor, la función de Excel, Buscar objetivo que resuelve cualquier ecuación de una incógnita, como lo son las ecuaciones de las Matemáticas Financieras. También se incorporan a los cálculos �� Z�� %`��HHk��%`�GHHk�

En el capítulo 4, Tasas de interés, se resuelven nuevos ejercicios de conversiones de ��!��Z��]��una importante discusión sobre la consideración de las tasas periódicas como tasas efectivas. Se estudia en detalle la tasa de referencia DTF y la unidad de valor real (UVR).

�� *�&/� ��>��'�� Z��!��-�]�� !�� @��Buscar objetivo, escenario este que le permitirá al lector visualizar a través de una tabla ��K��Z ��

En el capítulo 7, Sistemas de amortización, además de los sistemas tradicionales | �� K��K�� !�� Z��!�� referenciado con la tasa DTF.

PPRRRÓÓÓÓÓÓÓÓÓLLLLLOOOOGGO

LoLos s opporo tunos comentarios recibidos de parartet dde e prp ofofese oresess dde e llaa mm atateria, alumnos s �� ! �� | | �"� �� sobre la terercecerar edidicición ddee este libro, y el avance tecncnoololo ógógicicoo enenn matteriaa d de herramientas �� K�� }�� essttata c cuauarrtata e edidiciión. Son muchos los cambiosos c on respecto a la tteerceerara e edididiciciciónónón.. ElElEl u usoso �� }�� ]�]� �@�� "��K� �� Matetemámátiticcas FiFinancieraras,s, q queue s see apapoyoyanan e en el ssupu ueesto de la reinnveversrsióión n a a ununaa mimisma tatasasa d d de interés, y esto en la práctica es, muchas vevecec s, irreal. BBajo o eesta concepción see enseñaña t tododavavíaí l la MaMatetemámátiticaca F Fininananciciereraa yy asasíí fufueeron ccono cebidas lalas fófórmmululas para hacer�]]� �� Z�� + + + �� de tiempo, de tal forma que la concepción tradicional preseentntaa sususs limitaciones. Por estas razones, en este texto, se plantean nuevas situaciones a través de ejercicios resueltos y propuestos, en las cuales es necesario considerar el escenario de tasas vavaririabableless.

En el cacapípítutulolo 3 3, InInteteréréss cocommpuesto, se incluye el cálculo del valor futuro y valorpresente con tasa variable. En este mismo capítulo se utiliza, para los ejercicios que eran resueltos con una ecuación matemática conocida como ecuación de valor, la función de Excel, Buscar objetivo que resuelve cualquier ecuación de una incógnita, como lo son las ecuaciones de las Matemáticas Financieras. También se incorporan a los cálculos�� Z�� %` �HHk � %` GHHk�kk

En el capítulo 4, Tasas de interés, se resuelven nuevos ejercicios de conversiones de�� ! �� Z�� ]�� una importante discusión sobre la consideración de las tasas periódicas como tasas efectivas. Se estudia en detalle la tasa de referencia DTF y la unidad de valor real (UVR).

�� * &/� �� >��' � �� Z��! ��-�]� �� ! �� @��Buscar objetivo, escenario este que le permitirá al lector visualizar a través de una tabla �� K�� Z ��

En el capítulo 7, Sistemas de amortización, además de los sistemas tradicionales| � �� K�� K�� ! �� Z��! �� referenciado con la tasa DTF.

XII


�� !��]�� kw=��$�^��+ ��Z��!�� -sariamente tienen que ser periódicos, que se resuelven por medio del VPN y la TIR no periódicos.

Creemos que de esta forma presentamos a la comunidad universitaria y al sector �� K��!�� Z��}��| �� Z��!��

Jhonny de Jesús Meza [email protected]

��@��K��;��| ��}�� hecho enormes fortunas personales y los que no poseen

nada en absoluto. Para un millonario, mil millones de pesos es algo concreto y comprensible. Para el experto

en matemáticas aplicadas y para el conferencista de temas económicos (suponiendo que ambos se

encuentren en la miseria) mil millones de pesos son tan irreales como un millón de pesos, pues nunca han poseído esas sumas. Pero el mundo está lleno de

personas que se hallan entre ambas categorías extremas, personas que nada saben de millones pero

que están muy acostumbradas a pensar en miles, y son precisamente éstas las que forman los comités de

��K��

C. Northcote Parkinson

CAPÍTULO 0

PreliminaresLa Matemática es la reina de las ciencias

y la Aritmética la reina de la Matemática.

C. F. GAUSS

1. INTRODUCCIÓN

Ha sido evidente para el autor, por su experiencia como docente universitario en el ]��K��!��Z��| �!��W��!��@}��una buena parte del alumnado que asiste al curso de Matemáticas Financieras, no obs-tante haber cursado las matemáticas básicas en los primeros semestres de educa ción superior. Las causas son diversas, entre las que se destacan circunstancias sicológi cas y, sobre todo, metodológicas. En primer lugar, poco es lo que se ha hecho por de sa -rraigar la prevención de que la ciencia matemática es demasiado difícil y está destinada a personas dotadas de condiciones excepcionalmente especiales. Y, por otra parte, la metodología desarrollada por algunos docentes no despiertan el entusiasmo y el interés hacia esta ciencia.

La Matemática Financiera es una rama de la matemática básica cuyo soporte es ��/��$��!�| �� | ��llamarse Aritmética Financiera, ya que para su manejo y comprensión sólo es necesario aplicar las operaciones fundamentales de la aritmética, algo de sentido común y capa-cidad de análisis.

Consciente el autor de esta realidad y con el ánimo de que el lector pueda abordar sin prejuicios el estudio de este texto, se propone exponer en este capítulo, en una forma clara y resumida, las operaciones fundamentales de la Aritmética, haciendo referencia a ��| �� \��]��Financieras, aunque lo ideal sería que el lector hiciera un repaso general y concienzudo de esta materia utilizando cualquiera de los tantos textos que sobre este tema existen.

1

CCCCAAPPÍÍÍÍÍTTTUUUUULLLLOO 0

LaLa MMata emátáticicaa ees l llaa rereinina de las ciienciiasy la AAriritttmtmététicicaa lalala reinna dde e la Matemática.

C.C F FF. GGGAUSSAUSSSS

1. IINTRODUUCCCCIIÓNÓÓN

Ha sido evidente para el autor, por su experiencia como docente universitario en el]�� K��! � �� Z� �� | �! �� W��!! �@}��una buena parte del alumnado quq e asasisistete a all cucursrsoo dede M Matateemátátiicas Financieras, no obs-tatantntee hahabeberr ccurs dado las matemáticas básicas en los primeros semestres de educación superior. Las causas son diversas, entre las que se destacan circunstancias sicológicas y, sobre todo, metodológicas. En primer lugar, poco es lo que se ha hecho por desa-rraigar la prevención de que la ciencia matemática es demasiado difícil y está destinada a personas dotadas de condiciones excepcionalmente especiales. Y, por otra parte, la metodología desarrollada por algunos docentes no despiertan el entusiasmo y el interés hacia esta ciencia.

La Matemática Financiera es una rama de la matemática básica cuyo soporte es � /�� $�� ! | � �� | � �� llamarse Aritmética Financiera,a ya que para su manejo y comprensión sólo es necesarioaplicar las operaciones fundamentales de la aritmética, algo de sentido común y capa-cidad de análisis.

Consciente el autor de esta realidad y con el ánimo de que el lector pueda abordar sin prejuicios el estudio de este texto, se propone exponer en este capítulo, en una forma clara y resumida, las operaciones fundamentales de la Aritmética, haciendo referencia a� �� | � �� \��]��Financieras, aunque lo ideal sería que el lector hiciera un repaso general y concienzudode esta materia utilizando cualquiera de los tantos textos que sobre este tema existen.

1

2


/��@�� que contienen programas y comandos que permiten la solución rápida de las operaciones fundamentales de la Aritmética, es conveniente revisar los conceptos básicos de esta ��w��K��!�� ]�� tal simplicidad que posibiliten su comprensión total.

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se acostumbran representar por las últimas letras del alfabeto: x, y, z.

Así: x � 4 � 9 es una ecuación que sólo es verdadera para x � 5. En efecto, si re-emplazamos x por 5, obtenemos 9 � 9.

Hay varias clases de ecuaciones: la ecuación numérica, que es aquella que no tiene más letras que la incógnita y la ecuación literal, o sea, aquella que además de la letra de las incógnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas.

2x � 45 � x � 6 es una ecuación numérica 2x � b � 4x � c es una ecuación literal

El grado de una ecuación viene determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación. Así, la ecuación: x � 6 � 24, es una ecuación de primer grado, porque el mayor exponente de x es 1. La ecuación: 2x2 � 4x � 12 � 0, es una ecuación de segundo grado, porque el mayor exponente de x es 2.

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor o los valores de las incógnitas que cumplan la igualdad.

2.1 Principios fundamentales de las ecuaciones�� Si a los dos miembros de una ecuación se suma, o resta, una misma cantidad, se

conserva la igualdad.

Si a � b ��a � 1 � b � 1 a � b � a � 1 � b � 1

�� Si los dos miembros de una ecuación se multiplican, o dividen, por una misma cantidad, se conserva la igualdad.

Si a � b � a � 6 � b � 6 a � b � a b6 6

�

�� Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o se les extrae la misma raíz, se conserva la igualdad.

Si a � b � a2 � b2 a � b �� a b�

3

Preliminares

Ejemplo 0.1

�� Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 5x � 8 � 2x � 3.

Haciendo transposición de términos se agrupan los semejantes:

5x � 2x � 3 � 8 � 3x � 11 � x �113

�� Desarrollar la siguiente ecuación: x x5

34

� � x � 6x � 40.

Un primer procedimiento consiste en reducir todos los términos a un común deno-minador por medio del m.c.m. Para este ejercicio el m.c.m se puede hallar por simple inspección y es igual a 20.

La ecuación quedaría: 420

1520

2020

20 6 40

20x x x x

� � ��( )

��

��x x

20

20 6 40

20( )

Desarrollando la ecuación, se tiene: �x � 20(6x � 40) ��x � 120x � 800

Agrupando términos comunes, se tiene: 121x � 800 ��x � �800121

6 61.

El segundo procedimiento consiste en convertir cada quebrado en número decimal:

x x x5

15

0 20� � . 34

34

0 75x x x� � .

La ecuación queda: 0.20x � 0.75x � x � 6x � 40.

Agrupando términos semejantes: 6x � 0.20x � 0.75x � x � 40 6.05x � 40.

x � �40

6 056 61

..

�� Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 2 12

1 34564

1 23265

x x x�

� �( )

. .

En Matemáticas Financieras, por lo general, se trabaja con ecuaciones fraccionarias de primer grado en las que el denominador es un número decimal. En estos casos se recomienda convertir cada fracción en un número decimal y desarrollar la ecuación siguiendo el segundo procedimiento del ejemplo anterior.

Analicemos cada fracción en forma independiente:

El término 2 12

1 3456

x �( ).

lo podemos asimilar como el resultado de sumar dos quebra-

dos de igual denominador, por lo tanto, se puede descomponer de la siguiente forma:

2 12

1 34562

1 345612

1 3456

x x��

( ). . .

La ecuación quedaría de la siguiente forma: 21 3456

121 3456

41 2326

5x x x. . .

� � �

4


Convirtiendo los quebrados en números decimales, se tiene:

1.4863x � 8.9179 � 3.2452x � 5x

Agrupando términos semejantes, se tiene: 5x � 1.4863x � 3.2452x � 8.9179

6.7589x � 8.9179 � x � �8 91796 7589

1 3194..

.

Sustituyendo en la ecuación x por 1.3194, se comprueba la igualdad.

( . ).

..

. . .2 1 3194 12

1 34564 1 3194

1 23265 1 3194 10 8790 4 2817

� ��

�� 6 5970.

3. POTENCIACIÓN

Una potencia es el resultado de multiplicar una cantidad por sí misma dos o más veces. Así, por ser 5 � 5 � 25, resulta que 25 es una potencia de 5; por ser 2 � 2 � 2 � 8, el 8 es una potencia de 2. La potencia se designa indicando el número de veces que se usa el factor. En 5 � 5 � 25, como el 5 se usa dos veces como factor, se dice que 25 es la segunda potencia de 5. En el caso de 2 � 2 � 2 � 8, el 8 es la tercera potencia de 2. También se dice que 5 está elevado a la segunda potencia, y en forma análoga, que 2 está elevado a la tercera potencia.

Para evitar escribir el producto de factores como: 5 � 5 � 25, 2 � 2 � 2 � 8, la eleva-ción a potencias se indica escribiendo el número que se desea elevar, llamado base, con un número más pequeño encima y a la derecha, llamado exponente, el cual indica el número de veces que se debe multiplicar la base por sí misma. Así, en 23 � 2 � 2 � 2 � 8, el 2 es la base, el 3 es el exponente que indica el número de veces que se debe multiplicar el 2 por sí mismo y el 8 es la potencia. Los exponentes no se deben confundir con los factores. Así, 52�� 2 = 10, sino 5 � 5 � 25.

En la práctica se acostumbra designar la segunda potencia de un número como cuadrado y la tercera potencia como cubo, de tal forma que:

a2 � a elevado al cuadrado

a3 � a elevado al cubo

Para otras potencias no existen nombres análogos correspondientes.

3.1 Operaciones con potencias�� Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo 0.2

a5 � a4 � a5�4 � a9 (1 � i) � (1 � i)2 � (1 � i)1�2 � (1 � i)3 35 � 32 � 37

�� Producto de potencias de igual exponente y distinta basePara multiplicar potencias de igual exponente y distinta base, se coloca como base

el producto de las bases y por exponente el mismo.

5

Preliminares

Ejemplo 0.3

32 � 42 � (3 � 4)2 am � bm � (a � b)m

�� Cociente de potencias de igual basePara dividir potencias de la misma base, se pone la misma base y se restan los ex-

po nentes.

Ejemplo 0.4

44

4 46

36 3 3� �� a

aa a

5

35 3 2� ��

1

11 1

3

2

3 2�

��

�i

ii i

( )( )

( ) ( )

De esta regla provienen el exponente cero y el exponente negativo

Exponente cero. Resulta de dividir dos potencias de igual base e igual exponente.

aa

a a2

22 2 0 1� � �� 4

444

4 4 11

11 1 0� � � ��

En efecto, a2 entre a2 es igual a 1, y en general, toda cantidad dividida por sí misma es igual a 1.

Exponente negativo. Resulta de dividir dos potencias de la misma base cuando el ex-po nen te del dividendo (numerador) es menor que el exponente del divisor (denomi nador).

aa

a a2

32 3 1� ��

El resultado se interpreta de la siguiente forma: toda cantidad elevada a un expo-nente negativo es igual a un quebrado cuyo numerador es 1 y su denominador es la misma cantidad con el exponente positivo.

a aa

a aa a a a

aa

nn

� ��

� �� 1

2

3 1

1 1�

�� Cociente de potencias del mismo exponente y diferentes basesPara dividir potencias del mismo exponente y diferentes bases, se coloca por base

el cociente de las bases y por exponente el mismo.

Ejemplo 0.5

45

45

3

3

3

�⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ a

bab

6

6

6

�⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

6


�� Potencia de un fraccionarioPara elevar un número fraccionario a una potencia, se eleva el numerador y el de-

nominador a la potencia.

Ejemplo 0.6

45

45

3 3

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ � a

bab

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

6 6

6�

Nótese que es el caso contrario al anterior.

�� Potencia de una potenciaPara elevar una potencia a otra potencia, se coloca por base la misma potencia y

por exponente el producto de los exponentes.

Ejemplo 0.7

(43)2 � (4)3�2 � 46 (am)n � (a)m�n � amn a a a13

23 1

323

29

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ � �

�

�� Cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidadesElevar al cuadrado (a � b) equivale a multiplicar esta suma por sí misma.

(a � b)2 � (a � b) (a � b)

Desarrollando el producto, se tiene: (a � b)2 � a2 � 2ab � b2

Análogamente: (a � b)2 � a2 � 2ab � b2

Las dos operaciones se pueden agrupar en un enunciado único, diciendo: el cuadrado de una suma o diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera, más el cuadrado de la segunda, más o menos el doble de la primera cantidad por la segunda.

�� Diferencia de cuadradosResulta de multiplicar la suma de dos cantidades por su diferencia.

Si desarrollamos (a � b) (a � b), se obtiene: a2 � b2

3.2 Operaciones inversas de la potenciaciónAsí como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la

multiplicación, la potenciación tiene dos operaciones inversas: radicación y loga rit mación.

En la igualdad: 23 �� W��;��G!��base; el 3, llamado exponente y el 8 que es la potencia. Conocidos dos de estos tres números existe una operación que permite determinar el tercero. Los casos que se pueden presentar son los siguientes:

�� Conocida la base y el exponente, determinar la potenciaEsta operación se llama potenciación y se considera una operación directa. La base

y el exponente son los datos conocidos y la potencia es el resultado de la operación. Esta operación ya fue resuelta en los párrafos anteriores.

7

Preliminares

�� Conocida la potencia y el exponente, determinar la base.Esta operación se llama radicación.

Si se tiene: 23 � 8 � 83 � 2

La potencia conocida, el 8, se llama radicando, el exponente conocido, el 3, se llama

índice, la base desconocida se llama raíz y el símbolo se llama radical. Para el ejemplo,

se dice que 2 es la raíz tercera de 8, o también, 2 es la raíz cúbica de 8. En la práctica se

omite el índice cuando la raíz es cuadrada.

4 42 �

�� Conocida la potencia y la base, determinar el exponenteEsta operación se llama logaritmación, pero bien podría llamarse exponenciación,

porque la incógnita es el exponente.

La base y la potencia son los datos conocidos y se pide determinar el exponente. El exponente que hay que hallar se llama logaritmo de la potencia con base dada.

Para el ejemplo, la operación se indica así: 3 � Log2 8 (léase: tres igual al logaritmo de ocho en base 2).

La potenciación tiene dos operaciones inversas (radicación y logaritmación) en lugar de una, como ocurre para la suma y la multiplicación. Esto es así, debido a que en la potenciación la base y el exponente no siempre son conmutables, como si lo son los sumandos en la suma y los factores en la multiplicación.

Así, por ejemplo: en la suma: a � b � b � a

en la multiplicación: a � b � b � a

en la potenciación: ab ba

En la potenciación hay casos en que el exponente se puede permutar por la base, pero esta condición no siempre se cumple. 24 � 42 � 16, pero 32 � 9 es diferente a 23 � 8.

RadicaciónLa raíz de una cantidad es toda cantidad que elevada a una potencia nos da la

primera cantidad.

Como 23 � 8, el 2 es la raíz cúbica de 8, porque 2 elevado al cubo es igual a 8, por lo tanto, se puede plantear la siguiente notación:

23 � 8 �� 83 � 2

En la expresión anterior, el 2 es la raíz, el 8 es el radicando (potencia) y el 3 es el grado o índice del radical.

8


Operaciones con radicales�� Supresión del índice y el exponente

Cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, ambos se suprimen.

Ejemplo 0.8

8 844 � , porque el índice y el exponente de la potencia son iguales y se anulan.

1 13

3 � � �i i( ) ( ), por la misma razón del ejemplo anterior.

�� Raíz de una potenciaLa raíz de una potencia es igual a la potencia elevada a un quebrado cuyo numerador

es el exponente de la potencia y el denominador es el índice de la raíz.

Ejemplo 0.9

4 4313� � 5

24 1 1

2� � �i i( ) ( )

El tercer ejemplo hace más explícito el caso de supresión de índice y exponente, expuesto en el caso anterior:

1 1 1 12 2

21

� � � � � � �i i i i( ) ( ) ( ) ( )La regla de la raíz de una potencia da origen al exponente fraccionario, que proviene

de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del radicando no es divisible por el índice de la raíz.

En el caso 1 12

� � �i i( ) ( )= (1 + i), el exponente del radicando, 2, es divisible

por el índice de la raíz que es también 2. Pero cuando el exponente no es divisible por

el índice, hay que dejar indicada la división y se origina el exponente fraccionario.

b b�12 1 1

12� � �i i( ) ( ) 1 1

23

23� � �i i( ) ( )

�� Raíz de otra raízPara extraer una raíz a un radical, se multiplica el índice del radical por el índice de

la raíz.

Si se tiene: a a a� �12

12 1

4⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ , que es la aplicación, también, de la potencia

de una potencia.

9

Preliminares

Ejemplo 0.10

1 1 14313

14

112� � � � �

�i i i( ) ( ) ( ) 1 1 1 1

43

12

43

46

23� � � � � � �

�i i i i( ) ( ) ( ) ( )

�� Raíz de un quebradoLa raíz de un quebrado se obtiene hallándole la raíz a sus dos términos.

Ejemplo 0.11

415

415

215

� � 58

58

5

8

33

3

13

13

� �

4. LOGARITMOS

Los logaritmos, una de las contribuciones más geniales a las matemáticas, fueron inventados por el escocés John Napier o Neper, Barón de Merchiston, en el año 1614, ��@�� w�� Z�� muchísimo un gran número de los cálculos aritméticos ordinarios, sobre todo cuando los números de que se trata son números enteros o fraccionarios que constan de mu-chas cifras. En los primeros tiempos de las matemáticas todos esos cálculos se hacían aplicando los métodos ordinarios y exigían enormes cantidades de tiempo y trabajo. Así, las operaciones de multiplicación, división, extracción de raíces y la elevación a potencias se convierten en simples sumas y restas, multiplicaciones y divisiones de logaritmos. Por esta razón, los logaritmos tuvieron un éxito inmediato. Actualmente, con la aparición de las calculadoras electrónicas, los logaritmos como instrumentos de cálculo han perdido importancia; pero, aún así, tienen amplia aplicación en economía, ��!��K��!��

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar una cantidad positiva, llamada base, para obtener un número determinado, llamado potencia. El vocablo logaritmo, proviene del griego logos!�| �� !��arithmos que quiere decir número. Por lo tanto, logaritmo ��W��

Si se tiene: 30 � 1, el logaritmo de 1 es 0, porque 0 es el exponente al que hay que elevar la base 3 para obtener 1, y se denota así: Log de 1 en base 3 es igual a 0.

30 � 1 ��Log3 1 � 0 32 � 9 ��Log3 9 � 2

31 � 3 ��Log3 3 � 1 33 � 27 ��Log3 27 � 3, etc.

4.1 Propiedades de los logaritmos�� La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. Por la regla de los signos,

si la base es negativa, sus potencias pares son positivas y las impares negativas, y en consecuencia, algunos números positivos no tendrían logaritmos.

�24 � 16 � Log�2 16 � 4

�23 � �8 ��Log�2 �8 � 3, luego el Log de 8 en base �2 no existe, porque no hay

un número a que se eleve �2 que dé como resultado 8.

10


�� Los números negativos no tienen logaritmos. Al ser la base positiva para cualquier sistema de logaritmos, todas sus potencias, pares e impares, son positivas. Las cal-culadoras electrónicas ya vienen programadas y marcan error cuando se solicita el cálculo del logaritmo de un número negativo.

�� En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. Para que la potencia sea igual a la base, se requiere que el exponente de la base sea igual a 1.

Si se tiene: 41 � 4 � Log4 4 � 1

�� En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es igual a cero. Se mencionó en una de las operaciones de los quebrados, desarrollada en párrafos anteriores, que el exponente cero proviene de dividir dos quebrados con la misma base y el mismo exponente, en consecuencia, todo número dividido por sí mismo es igual a 1. Cualquier base elevada al exponente cero siempre será igual a 1, porque resulta de dividirla por sí misma. 30 � 1 � Log3 1 � 0 50 � 1 � Log5 1 � 0

�� Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo y los menores que 1, tienen logaritmo negativo. Si Log 1 � 0 Log de un número menor que 1 será negativo, y log de un número

mayor que 1 será positivo.

4.2 Operaciones con logaritmos�� Logaritmo de un producto

El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los loga-ritmos de dichos números.

Log (A � B) � Log A � Log B

�� Logaritmo de un cocienteEl logaritmo de un cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del

dividendo (numerador) menos el logaritmo del divisor (denominador).

Log AB

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ � Log A � Log B

�� Logaritmo de una potenciaEl logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo

de la base.

Log An � n Log A

�� Logaritmo de una raízEl logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice

de la raíz.

Log � AA

nn �

Log

11

Preliminares

4.3 Sistemas de logaritmos��!�� @��!��| �� | ��

número positivo, excepto el 1, puede ser tomado como base. Sin embargo, son dos los sistemas que se utilizan generalmente: el sistema de logaritmos vulgares o decimales, cuya base es 10 y el sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número de Euler (e � 2.718281...). Cuando Neper inventó los logaritmos la base que uso no fue el 10, sino que originalmente utilizó el número irracional e � 2.718281...., y en su honor se da el nombre de logaritmos neperianos a los logaritmos naturales. Hacia el año 1617 fue adoptado como base el número 10 por Briggs, profesor de matemáticas en la universidad de Oxford, Inglaterra, el cual era amigo de Neper; por esta razón se le da, también, el nombre de logaritmos de Briggs a los logaritmos decimales o vulgares.

El número 1 no puede ser tomado como base de un sistema de logaritmos porque � ��Z��

120 � 1 luego Log 1 en base 1 � 20

150 � 1 luego Log 1 en base 1 � 50

Lo que indica que el logaritmo de 1 con base 1 será cualquier valor a que se eleve 1.

Logaritmos decimales o vulgares. (Logaritmos de Briggs)Según hemos visto, cualquier número positivo, distinto de 1, puede usarse como

base de logaritmos. No obstante, si la base es pequeña el logaritmo de un número de-terminado puede ser muy grande. Por ejemplo, Log2 1.073.741.824 � 30 y para números mayores el logaritmo es mucho mayor. Si se utiliza como base un número mayor, el logaritmo de cualquier número determinado será más pequeño. Así, si se toma como base 10, Log10 1.000.000 � 6, porque 106 � 1.000.000. En la matemática elemental se utiliza siempre como base el número 10 y los logaritmos con base 10 se llaman logarit-mos vulgares o decimales.

Cuando se usa el 10 como base no es necesario indicarlo al escribir los logaritmos, sobreentendiéndose que 10 es la base común. Así, en lugar de Log10 1.000 � 3, basta escribir Log 1.000 � 3, y así análogamente para el logaritmo vulgar de cualquier número.

w��@��!��]�� tabla siguiente de logaritmos vulgares, en la que se observa que los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son las potencias enteras de 10.

100 � 1 por tanto Log 1 � 0 101 � 10 por tanto Log 10 � 1 102 � 100 por tanto Log 100 � 2 103 � 1.000 por tanto Log 1.000 � 3 104 � 10.000 por tanto Log 10.000 � 4 105 � 100.000 por tanto Log 100.000 � 5 etc etc

100 � 1 por tanto Log 1 � 0 10�1 � 1/10 � 0.1 por tanto Log 0.1 � �1 10�2 � 1/100 � 0.01 por tanto Log 0.01 � �2 10�3 � 1/1.000 � 0.001 por tanto Log 0.001 � �3

12


Se observa en la tabla que los números mayores que 1 tienen logaritmos positivos, mientras que los números que se encuentran entre 0 y 1, tienen logaritmos negativos. Los números comprendidos entre 1 y 10, entre 10 y 100, entre 100 y 1.000, entre 1.000 y 10.000, etc, o entre 0.1 y 0.01, entre 0.01 y 0.001, etc, no tendrán logaritmos enteros, ya que estos números no son potencias exactas de 10, positivas o negativas. Así, puesto que Log 100 � 2 y Log de 1.000 � 3, los logaritmos de números comprendidos entre 100 y 1.000 estarán comprendidos entre 2 y 3, y cada uno de ellos será igual a 2 más una fracción. Por otro lado, puesto que Log 0.01 � �2 y Log 0.001 � �3, los logaritmos de fracciones decimales comprendidas entre 0.01 y 0.001 estarán comprendidos entre �2 y �3. La parte entera de un logaritmo de esta clase se denomina la característica y la parte decimal se llama mantisa. Por ejemplo, el número 1.645 está comprendido entre 1.000 y 10.000 y, por lo tanto, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4; al calcularlo se encuentra que su valor es de 3.2126. El 3 es la característica y 0.2126 es la mantisa. Más adelante, se estudiará la forma de calcular logaritmos con la calculadora electrónica.

La característica de un logaritmo se puede determinar por simple observación y puede ser cero si el número está comprendido entre 1 y 10, negativa si el número es menor que 1, o positiva si el número es mayor que 10. La mantisa siempre es positiva y es la parte del logaritmo que se obtiene mediante las tablas de logaritmos. Al utilizar una calculadora no se hace necesario calcular por separado la característica y la mantisa, ya que ella proporciona ambas al efectuar el cálculo de un logaritmo.

Logaritmos naturales o neperianosEste sistema utiliza como base el número irracional e conocido como número de

Euler, en honor al matemático suizo Leonardo Euler, y cuyo valor aproximado es 2.718281...

El logaritmo natural se representa utilizando la siguiente notación: Loge N que se lee logaritmo de N en base e, o también logaritmo natural o neperiano de N. Se acostumbra escribir Ln en lugar de Loge N.

Las propiedades y operaciones de los logaritmos vulgares son también aplicables a los logaritmos naturales, puesto que lo único que los diferencia es la base; los loga-ritmos vulgares son los que usan la base 10, y los logaritmos naturales usan como base el número e.

AntilogaritmosEn el uso de los logaritmos se presentan situaciones como la siguiente: si el logaritmo

de un número es 1.3979, ¿cuál es el número? Es evidente que para hallar el número es necesario invertir el procedimiento expuesto en los artículos anteriores. Si el logaritmo es el exponente que hay que calcular conocida la base y la potencia, el antilogaritmo ��]��!��@��!��!��antilogaritmo como el número que corresponde a un logaritmo dado.

Así, por ejemplo: 102 � 100 Log 100 � 2, luego 100 es el antilogaritmo de 2.

Dependiendo del sistema de logaritmos que se use, existirán antilogaritmos deci-males o vulgares y antilogaritmos naturales o neperianos.

��W�� Z��]� ��numé ricos. Los logaritmos no pueden usarse en la suma y la resta, pero son muy útiles en la multi plicación, división, la extracción de raíces y la elevación a potencias.

13

Preliminares

5. ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones en las que la incógnita es el exponente de una cantidad. Para resol-verlas se aplican logaritmos a ambos miembros de la igualdad y se despeja la incógnita.

Ejemplo 0.12

Calcular el valor de x, en la siguiente ecuación: 3(x�1) � 24

Aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad, ésta subsiste.

Log 3(x +1) � (x � 1) Log 3, que es el logaritmo de una potencia.

Log 24 � Log 24

(x � 1) Log 3 � Log 24

Haciendo transposición de factores: x � �LogLog

243

1 x � � �1 38020 4771

1 1 8929..

.

Al aplicar logaritmos a ambos miembros de una igualdad, éstos pueden ser de cualquier base.

Para esta ecuación, aplicando ahora, logaritmos naturales, se tiene:

x � �LnLn

243

1 x � � �3 17811 0986

1 1 8929..

.

�� El número de meses (n) que es necesario esperar para que una inversión de $1.500.000 se convierta en $ 2.412.655.87, viene dado por la siguiente ecuación:

2.412.655.87 � 1.500.000 (1.02)n

Calcular el valor de n.

Haciendo transposición de factores, se tiene:

2 412 655 871 500 000

1 02 1 6084 1 02. . .. .

. . .� �( ) ⇒ ( )n n

Aplicando logaritmos vulgares, aunque pueden ser logaritmos naturales, se tiene:

Log 1.6084 � n Log 1.02

Despejando n, se tiene: n � � �Log

Logmeses

1 60841 02

0 20640 0086

24.

...

CAPÍTULO 1

Conceptos fundamentalesEl tiempo es dinero

BULWER LYTTON

0. INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo es el estudio y análisis de los conceptos sobre los cuales se apoyan las Matemáticas Financieras. Su comprensión es de trascendental importancia para el dominio de la materia. Es una costumbre entre los estudiantes de matemáticas, ante la formulación de cualquier ejercicio, aplicar en forma mecánica las fórmulas diseñadas para su solución sin antes realizar un análisis de la información dada. Los problemas que se estudian en este texto tienen una secuencia lógica y una aplicación práctica inmediata; son adaptaciones de la teoría a la realidad con soluciones factibles. Por lo tanto, cuando se plantee un problema, la información suministrada se debe analizar a la luz de los principios que rigen las Matemáticas Financieras.

Los conceptos fundamentales son en su orden:

�� Valor del dinero en el tiempo.

�� Interés.

�� Equivalencia.

15

CCCCAAPPÍÍÍÍÍTTTUUUUULLLLOO 1

ElEl tiempo es ddiinero

BBULWULWERER LYTTON

00. IINTNTRORODUDUCCCCIIÓNÓNÓ

El propósito de este capítít lulo es el estudio y análálisisisis de lolos conceptos sobre los cuales se apoyan las Matemáticas Financieras. Su comprensión es de trascendentalimportancia para el dominio de la materia. Es una costumbre entre los estudiantes dedematemáticas, ante la formulación de cuualalququieierr ejejerercicicicioo, a aplplicicar en fforma mecánica las fófórmrmululasas d disiseñeñ dadas para su solución sin antes realizar un análisis de la información dada. Los problemas que se estudian en este texto tienen una secuencia lógica y unaaplicación práctica inmediata; son adaptaciones de la teoría a la realidad con solucionesfactibles. Por lo tanto, cuando se plantee un problema, la información suministrada se debe analizar a la luz de los principios que rigen las Matemáticas Financieras.

Los conceptos fundamentales son en su orden:

�� Valor del dinero en el tiempo.

�� Interés.

�� Equivalencia.

15

16


TEMA DE INTERÉS

INFLACIÓN

En una economía de mercado, es decir, en la cual los precios se establecen en el libre juego de la oferta y la demanda de bienes y servicios, éstos no tienen una variación estable. Por el contrario, tienden a desbordarse, especialmente en las economías subdesarrolladas, en �� }�� Z��en la producción.

� ��!��!��+��!�| �� -sistente, a través del tiempo, del nivel general de precios, el cual produce una disminución del poder adquisitivo del dinero.

<��+�� | ��Z��Este fenómeno tiene distintos orígenes:

INFLACIÓN DE DEMANDA

Ocurre cuando la capacidad monetaria de la población y del gobierno resulta excesiva frente �� Z��de alimentos, vestuario, vivienda, salud, educación, transporte o servicios públicos, que no es atendida por el sector productivo induce a un incremento de los precios porque como hay menos productos y más dinero éstos pueden venderse más caros.

INFLACIÓN DE COSTOS

Se origina por el lado de la oferta de productos y servicios, los cuales suben de precio en razón de un encarecimiento de las materias primas y de la mano de obra que se utiliza.

EXPANSIÓN MONETARIA

��/��<��!�� ̀ ��!� ��| ��]��}��+ ��+��!�� !��!��;�� W-blico, los gobiernos acuden a la emisión de dinero, la cual eleva la demanda de productos y servicios que el aparato productivo no alcanza a atender. En Colombia se presenta la ��+�� !��| ��| ��@�� -��+��

FUENTE: Economía y Política, Editorial Norma

1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Para entender este concepto, considerado el más importante en las Matemáticas Financieras, podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Es lo mismo recibir $ 1.000.000 dentro de un año que recibirlos hoy? Lógicamente que no, por las siguientes razones:

�� . Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisi ti vo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un año se recibirá el

17

Conceptos fundamentales

mismo $ 1.000.000 pero con un menor poder de compra de bienes y servicios. Analizado desde un punto de vista más sencillo, con el $ 1.000.000 que se recibirá dentro de un año se comprará una cantidad menor de bienes y servicios que la | ��}�!��| ��+��}��| �� su poder de compra.

�� Se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando que ��+��| �� K�� K��costo de oportunidad.

�� | ��| �� Cual quier persona, por ejemplo, puede optar por descansar en lugar de trabajar. No se tiene que pagar por ello, pero en realidad si tiene un costo, que llamamos costo de oportunidad�� | �� K��}��cosa. El costo verdadero de este descanso será el valor que represente para esta persona las otras cosas que podría haber producido durante el tiempo que estuvo descansando. Por eso, cuando se toman decisiones cotidianas, es necesario pensar en los costos de oportunidad. ¿Debería ir al cine? En primer lugar, cuesta $5.000 la entrada y con este dinero se pueden comprar otras cosas. En segundo lugar, cuesta dos o tres horas que las puedo emplear en otra actividad productiva. La decisión de entrar al cine, además del precio de la entrada tiene, entonces, un costo de oportunidad. Existe, también, un costo de oportunidad asociado al costo del dinero. Vélez (1999)!��de la mejor alternativa que se desecha. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de oportunidad. Este es el máximo interés que puede obtener una persona dentro del mercado en que se desenvuelve. Si una persona tiene su dinero depositado en una cuenta de ahorros que le paga el 1% mensual y le proponen un negocio; cuando decide retirarlo para invertirlo en el negocio que le han propuesto, está incurriendo en un costo de oportunidad al desprenderse del rendimiento que está obteniendo, con ��K�� !�� !��los que ya recibía. Se dice, entonces, que el costo de oportunidad para esa persona es del 1% mensual.

�� Se asume el riesgo que quien deba entregar el $ 1.000.000 hoy, ya no esté en condi-ciones de hacerlo dentro de un año. En todas las actividades económicas en las que el hombre realiza inversiones está implícito el riesgo y aunque se ha comprobado sociológicamente que las personas tienden a pensar que deben asumir riesgos, porque de lo contrario se sentirían cobardes ante la vida, es necesario pensar en ��| �� + ��costo del dinero.

�� El dinero es un bien económico que tiene la capacidad intrínseca de generar más dinero. Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo, cuando de-��W�� }�� de algún tiempo al ir a retirarlo se encuentra con que sus ahorros han crecido, en forma mágica, al recibir una cantidad de dinero mayor.

Por ese poder mágico de crecer que el tiempo le proporciona al dinero, debemos pensar permanentemente que el tiempo es dinero.

Ahora, si la opción que se tiene es recibir el $ 1.000.000 dentro de un año, se aceptaría solamente si se entregara una cantidad adicional que compense las razones anteriores.

18


Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempo determinado es lo que se llama valor del dinero en el tiempo ��Z��

`�� | ��!��-ciero debe tener presente el momento en que suceden los hechos económicos ya que una misma unidad monetaria colocada en diferentes fechas, desde el punto de vista ��!�� Z��/��!�� | ��}��HH�HHH��dentro de 3 meses cancelamos otros $ 500.000, no podemos decir que hemos cancela-do $ 1.000.000. Con frecuencia se observa el error de cálculo en los montos de dinero que se pagan, por ejemplo, en un crédito comercial cuando personas desprevenidas �� | �� G� � �� $ 100.000 cada una, por el electrodoméstico que adquirieron a crédito, están pagando $ 1.200.000, que es la suma aritmética de las 12 cuotas. Al hacer esta consideración se viola el principio del valor del dinero en el tiempo, ya que no se pueden sumar valores ubicados en diferentes fechas.

Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el futuro.

2. INTERÉSAl analizar el concepto del valor del dinero en el tiempo se llega a la conclusión de

que el uso del dinero, por las razones expuestas, no puede ser gratuito. Si aceptamos la opción de recibir $ 1.000.000 dentro de un año a no recibirlos en el día de hoy, estamos aceptando que se use nuestro dinero y, por tal razón, se debe reconocer una cantidad adicional que llamamos valor del dinero en el tiempo. La medida de ese incremento del dinero en un tiempo determinado se llama interés. Es decir, que el interés es la medida o manifestación del valor del dinero en el tiempo. Así como no puede ser gratuito el uso de una máquina, de una casa tomada en arriendo, o de un vehículo utilizado por un corto período de tiempo, tampoco puede ser gratuito el uso del dinero. De serlo, estaríamos aceptando que el dinero no tiene ningún valor para su dueño. En conclu-sión, el interés es simplemente un arriendo pagado por un dinero tomado en préstamo durante un tiempo determinado.

Si se presta hoy una cantidad de dinero (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I). La operación se representa mediante la siguiente expresión:

I � F � P (1.1)

Para algunos autores, las expresiones: interés, utilidad, variación del dinero en el tiempo, rentabilidad, valor en el tiempo del dinero, valor del dinero en el tiempo, son comunes. En este texto, de aquí en adelante, llamaremos a la diferencia entre el valor futuro y el valor presente, simplemente interés, entendido como la medida del valor del dinero en el tiempo.

19


Ejemplo 1.1

Si se depositan en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $ 580.000, calcular el valor de los intereses.

I � F � P (1.1)

I � $ 580.000 � $ 500.000

I � $ 80.000

El dinero depositado sufrió una variación al cabo de 6 meses de $ 80.000. La varia-ción en el valor del dinero después de 6 meses se llama valor del dinero en el tiempo y su medida, o sea, los $ 80.000 son los intereses.

2.1 Tasa de interés=��W�!�� K�� !��@��Z��

intereses recibidos en cifras monetarias. Por ejemplo, no son comunes expresiones como: le presté a un amigo $100.000 durante 1 mes y me gané $ 5.000 de intereses, sino que se utiliza un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los intereses, llamado tasa de interés. La palabra tasa��Z��Z��| ��Como expresión matemática la tasa de interés (i) es la relación entre lo que se recibe de intereses (I) y la cantidad prestada o invertida (P).

i �IP

(1.2)

La tasa de interés se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo determinado. Al desarrollar la ecuación (1.2), el resultado será un número decimal que se multiplica por 100 para llevarlo a porcentaje. En forma inversa, cuando la tasa de interés, expresada como porcentaje, se utiliza en cualquier ecuación matemática se hace necesario convertirla en número decimal. Así por ejemplo, una tasa de interés del 3% mensual, al emplearla en cualquier ecuación, debemos expresarla como 0.03, que resulta de dividir 3 sobre 100.

Ejemplo 1.2

�� HHH�HHH��retira $ 1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.

P � $ 1.000.000

F � $ 1.030.000

La diferencia entre el valor futuro (F) y el valor presente (P) es el valor de los inte-reses (I):

I � F � P (1.1)

I � $ 1.030.000 � $ 1.000.000

I � $ 30.000

20


La tasa de interés (i) es igual a la relación entre los intereses (I) y el valor depositado (P).

i � � �IP

30 0001 000 000

0 03.. .

.

La tasa de interés obtenida está expresada como decimal, por lo tanto, tenemos que convertirla en porcentaje multiplicando el resultado por 100. La tasa de interés es igual al 3% mensual.

La tasa de interés, expresada como porcentaje, debe estar siempre acompañada del período de liquidación de los intereses, ya que por sí sola no indica nada. Son comunes las expresiones: presté mi dinero al 4% mensual, indicando que recibo $ 4 mensuales por cada $ 100 prestados. Recibo sobre mi dinero un rendimiento del 20% anual, para indicar que me están pagando $ 20 anuales por cada $ 100 invertidos.

De la ecuación de la tasa de interés (1.2), despejamos el valor de (I), quedando la siguiente expresión matemática que calcula para un período el valor de los intereses cuando se conoce el valor prestado o invertido (P) y la tasa de interés (i):

I � P � i (1.3)

Ejemplo 1.3

¿Cuál será el valor de los intereses devengados trimestralmente, si deposito durante 3 meses $ 2.500.000 en una entidad que me reconoce el 8% trimestral?

I � P � i

I � $ 2.500.000 � 0.08

I � $ 200.000

Se observa que al aplicar la fórmula, la tasa de interés se expresa como factor o decimal.

3. EQUIVALENCIA

Dos cantidades diferentes ubicadas en diferentes fechas son equivalentes, aunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100 de hoy son equiva-lentes a $ 140 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por el inversionista.

Como conclusión de este principio, podemos decir que si para un inversionista es indiferente en términos económicos recibir hoy $ 100 que $ 140 dentro de un año, estos ��Z��| �Z��<��| �Z�� | ��valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año.

El concepto de equivalencia es relativo dado que las expectativas de rendimiento del dinero de cada persona es diferente. Para el señor Pérez $ 100 de hoy pueden ser �| �Z��#H�� "!��"��>�� !��que sus expectativas de rendimiento pueden ser diferentes.

21


Todas las personas y empresas que en algún momento están dispuestas a entre-gar su dinero en préstamo, manejan el criterio de equivalencia. Cuando un ahorrador �� Z�� }�� `�$!��una determinada tasa de interés, está aplicando el criterio de equivalencia porque está aceptando entregar una cantidad (P) para recibir después de un tiempo una cantidad acumulada (F); para este ahorrador (P) y (F) son valores equivalentes. Igualmente, una �� W��equivalencia.

Después de analizados los conceptos fundamentales sobre los cuales se apoyan las Matemáticas Financieras podemos concluir que el dinero está sometido a un doble proceso, cada uno con efectos diferentes: uno de valorización producido por la aplicación de una tasa de interés, que se traduce en un aumento del valor inicial del dinero por la adición de los intereses, y otro de pérdida de poder adquisitivo o pérdida de poder de ��Z�� +��&Arboleda, 1980). La tasa de interés cobrada por el uso del dinero tiene, entonces, que ser mayor que la tasa ��+��| ��K��!��]��Así, por ejemplo, si se prestan $ 100 durante un año a una tasa de interés del 10% anual ��+��"��!��!��H�!��"��]��H�(capital más intereses) que tendrán el mismo poder adquisitivo de los $ 100 prestados; en este caso el dinero no ha crecido en términos reales, porque con el dinero recibido ��"��Z��| ��en el momento del préstamo. Se reciben más pesos de bolsillo pero los mismos pesos prestados en términos de poder de compra. La valorización real o crecimiento real del dinero se mide por medio de la tasa real��| �� se produce una valorización nominal del dinero, pero no siempre hay valorización real, es decir, se pueden recibir intereses y al mismo tiempo perder dinero en términos reales. En el capítulo 4 de este texto analizaremos en detalle este concepto, y al retomar este ��]�� | �� +��!�la tasa real es neutra y, por lo tanto, ni se gana ni se pierde dinero; simplemente el valor de los intereses ganados compensa la pérdida del poder adquisitivo del valor del préstamo.

4. RESUMEN DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES

�� Por el solo hecho que transcurra el tiempo el dinero cambia de valor, medido a través de su poder adquisitivo.

�� Valores ubicados en diferentes fechas no se pueden sumar

�� La variación del dinero en un tiempo determinado se llama valor del dinero en el tiempo.

�� El valor del dinero en el tiempo se mide por medio de los intereses.

�� La tasa de interés mide el valor de los intereses.

�� Valores diferentes ubicados en diferentes fechas son equivalentes si producen el mismo efecto económico.

�� El concepto de equivalencia es relativo ya que depende de las expectativas de rendimiento de cada inversionista.

22


5. SÍMBOLOS Y SU SIGNIFICADO

��\��]��%��@��| ��| �� para expresar las relaciones matemáticas. Diferentes autores manejan diferentes símbolos. En este texto se utilizarán los símbolos que a continuación se detallan, y fueron elegidos de tal manera que cada uno de ellos sea la letra inicial de la palabra clave, asociada con ��]��W��

P � representa una suma presente de dinero.

F � representa una suma futura de dinero después de n períodos.

A � representa una suma de dinero periódica e igual correspondiente a la cuota de una anualidad.

I � representa el valor de los intereses.

i � representa una tasa de interés por período de interés.

n � representa el número de períodos de interés.

� >�� variación de una cuota con respecto a la anterior. Proviene de la palabra gra-diente.

Los problemas de Matemáticas Financieras deben incluir por lo menos 4 de los símbolos anotados arriba y para su solución se deben conocer por lo menos tres de ellos.

Ejemplo 1.4

Se recibe un préstamo de $ 30.000.000 a una tasa de interés del 4% mensual. Se desea calcular el valor a pagar dentro de 6 meses. Hacer una lista de los valores de los símbolos.

P � $ 30.000.000 F � ?

n � 6 meses i � 4% mensual

Ejemplo 1.5

¿De cuánto debe ser el valor de cada depósito mensual que debe hacer en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual, para tener acumulado ��"� �� HHH�HHH{�� Z��

A � ? n � 12

i � 3% mensual F � $ 5.000.000

Ejemplo 1.6

Si se depositan en el día de hoy $ 500.000 y después de año y medio se tienen acumulados $ 850.000. Elabore una lista de los valores de los símbolos.

P � $ 500.000 F � $ 850.000

n � 18 meses i � ?

23


6. FLUJO DE CAJA$��K��

valores se pueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duración de la ope-��/��]�� | �� tiempo. w��W��}��"�� +��}��}�� +��}��}��

w��Z��]��!��| �K]��]�� + ��!��| ��]��claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para su solución.

Ejemplo 1.7

��"��w�� GHH*��suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir ��+ ��

�� K��G�� Z��;��+ ��&��w��'��&��'�

1. Punto de vista del prestamista.

�� El momento en que el señor Picapiedra deposita el dinero se denomina el presente o momento cero.

�� El valor del depósito inicial se conoce como valor presente o simplemente (P).

�� &n). En este ��!��

�� El valor del dinero retirado después de los 6 meses se denomina valor futuro o simple-mente (F).

2. Punto de vista del prestatario.

1.000.000

1 enero/06 1 julio/06

1.075.000

1.000.000

1 enero/06 1 julio/06

1.075.000

24


Ejemplo 1.8

El señor Pedro Picapiedra compra una casa por $ 10.000.000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: una cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 3 cuotas �� ?!�*��Y��Z��?�HHH�HHH�� `�� + ��para el señor Picapiedra.

$�� + ��Z��| ��cero existen dos valores diferentes ubicados en la misma fecha que son comparables a la luz del principio del valor del dinero en el tiempo. Si el señor Picapiedra recibe un préstamo (representado en el valor de la casa) y el mismo día paga una cuota inicial, se � ��+ �� ;

3.000.000 3.000.000 3.000.000

0 3 6 9 meses

8.000.000

2.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000

0 3 6 9 meses

10.000.000

25


TEMA DE INTERÉS

EL CRÉDITO

Ante la necesidad de recursos (dinero) por parte de las personas, las familias, las organi-zaciones, empresas y los gobiernos de los países para poder llevar a cabo sus actividades ��!��}��}��que permiten la obtención de dichos recursos. La herramienta más común es el Crédito.

` ��}��!�� ;��| ��-��| ��&w��'!�| ��!��| �� Z��!�� <��| ��| ��&w��'!��| �� !��

<��Z �� ;��K�!�� Z��del latín creditum, | ��!��

Los créditos tienen los siguientes elementos comunes:

Monto: es la cantidad de dinero que se solicita en préstamo.

Plazo: corresponde al tiempo durante el cual será retornado el total del valor del crédito y los intereses correspondientes.

Intereses: es la cantidad de dinero que se paga a quien otorgó el préstamo, por el derecho �� K��

Abono a capital: son los pagos que se hacen, diferentes a los intereses, para reducir el monto del dinero tomado en préstamo.

Garantías: los prestamistas generalmente exigen unas garantías que respondan por el dinero prestado.

Existen créditos a corto, mediano y largo plazo, créditos de consumo, créditos para la producción, créditos hipotecarios, créditos de libre inversión etc.

<�� >��!��-sonas, las empresas y los gobiernos pueden tener acceso a recursos que, de otra forma, serían difíciles de obtener.

Ejemplo 1.9

��>��"��w��K� ��Z��H�HHH�HHH�con plazo de un año. La tasa de interés trimestral es del 9%. El banco le exige al señor w��K�� "��̀ �� + ��"��w��K�

El valor de los intereses trimestrales que tiene que pagar el señor Pérez no están dados en el problema, pero lo podemos calcular aplicando la fórmula I � P � i (1.3).

I � $ 10.000.000 � 0.09 � $ 900.000

26


��+ �� ;

Ejemplo 1.10

Consideremos el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Pérez la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre saldos.

El Banco exige la devolución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales. La parte de la cuota que corresponde únicamente a la restitución del capital, será igual a:

Abono a capital � �10 000 000

42 500 000. . $ . .

El valor total de la cuota a pagar por el señor Pérez cada trimestre será igual a $ 2.500.000 de abono a capital más los intereses causados en cada período. El valor de los intereses se calculará para cada período trimestral teniendo en cuenta que éstos se liquidan sobre el dinero que se usa cada período, es decir, sobre el saldo insoluto.

ABONO INTERÉS CUOTA

Cuota primer trimestre � 2.500.000 � 900.000 � $ 3.400.000

Cuota segundo trimestre � 2.500.000 � 675.000 � $ 3.175.000

Cuota tercer trimestre � 2.500.000 � 450.000 � $ 2.950.000

Cuota cuarto trimestre � 2.500.000 � 225.000 � $ 2.725.000

Con la solución de los dos ejercicios anteriores se logran conclusiones importantes cuyas explicaciones las encontrará el lector en la medida en que avance en el estudio del texto:�� Existen diferentes formas equivalentes para amortizar una deuda (pagar la deuda

�� '��w�� !��!��Z��de las cuotas varía de acuerdo a la forma como se restituya el capital prestado.

900.000 900.000 900.000

0 1 2 3 4 trim.

10.000.000

10.900.000

3.400.000 3.175.000 2.725.000

0 1 2 3 4

10.000.000

2.950.000

27


�� Los intereses se calculan sobre el saldo insoluto, es decir, sobre lo que se queda debiendo después hacer el abono al capital. Por esto, las cuotas trimestrales son diferentes, porque al abonar trimestralmente $ 2.500.000 el saldo de la deuda cada trimestre es menor.

Cuestionario

1. ¿Qué es el interés?

2. Explique el concepto de equivalencia.

?�� _� ��+��{

#�� _` ]�� +��{

5. ¿Qué es un crédito?

6. Mencione algunas clases de créditos

-�� _� �� + ��{

8. ¿Cuáles son las partes que intervienen en un crédito?

9. ¿Cuál es la importancia del crédito para una empresa?

10. ¿Qué es el saldo de un crédito?

28

Solucionario capítulo 1

EJERCICIO 1. Expresar como número decimal las siguientes tasas de interés:

a. 20% anual 20100

� 0.20

b. 3% mensual 3100

� 0.03

c. 18.50% trimestral 18 5100

. � 0.185

d. 65% semestral 65100

� 0.65

e. 1% diario 1100

� 0.01

f. 23.65% anual 23 65100

. � 0.2365

EJERCICIO 2. Una inversión de $ 235.000 produce después de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular:

a. Valor de los intereses ganados: I � F � P � $ 389.560 � $ 235.000 � $ 154.560

�� $��;

i � � �IP

154 560235 000

65 77..

. % semestral

EJERCICIO 3. ¿Cuánto se debe invertir hoy para tener dentro de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor de $ 250.000?

I � F � P P � F � I � $ 10.500.000 � $ 250.000 � $ 10.250.000

EJERCICIO 4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés:

a. 3% mensual I � P * i � $ 5.000.000 * 0.03 � $ 150.000 mensuales

b. 1.50% quincenal I � P * i � $ 5.000.000 * 0.015 � $ 75.000 quincenales

c. 18 % semestral I � P * i � $ 5.000.000 * 0.18 � $ 900.000 semestrales

d. 0.25% diario I � P * i � $ 5.000.000 * 0.0025 � $ 12.500 diarios

d. 25% anual I � P * i � $ 5.000.000 * 0.25 � $ 1.250.000 anuales

EJERCICIO 5. Sí depositamos hoy $ 500.000 en una cuenta de ahorros y esperamos ��*��HHH�� !�_� ]��]��"{

F � P � I � $ 500.000 � $ 65.000 � $ 565.000

EJERCICIO 6. Usted le presta a un amigo $ 10.000.000 a una tasa de interés del 2.5% mensual, quien le propone cancelarle mensualmente $ 250.000. ¿Cuándo terminará de pagarle la deuda? Si le propone pagarle mensualmente $ 200.000, ¿la deuda crece o disminuye?

Calculamos el valor de los intereses: I � P * i � $ 10.000.000 * 0.025 � $ 250.000

a. Al comparar el valor de los intereses con el valor de la cuota, observamos que es igual, lo que indica que no hay amortización a capital y, por lo tanto, el valor de la deuda permanece constante.

b. Si el valor de la cuota mensual es de $ 200.000, el valor de la deuda crece por efecto de la capitalización de los intereses dejados de pagar cada mes

EJERCICIO 7. Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente forma: cuota inicial del 10% y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una. A la luz del principio del valor del dinero en el tiempo, ¿usted puede decir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000? `�� + ��

Cantidades de dinero ubicadas en fechas diferentes no son comparables, entre otras cosas, por ser de diferente poder adquisitivo. Al no ser comparables, no se pueden su-mar, por lo tanto, no podemos sumar las 6 cuotas mensuales de $ 300.000 y sumarle a este valor el de la cuota inicial.

EJERCICIO 8.��Z�}�� | �� Z��?H�HHH�HHH�� ;�cuota inicial igual al 10%, 12 cuotas mensuales iguales de $ 2.000.000 y una cuota extraor-��*��?�HHH�HHH��_� ��}�K��| ��Z�}�� {

La empresa perdió dinero, porque aún violando el principio del valor del dinero en el tiempo, la suma de las 12 cuotas mensuales y la cuota inicial arroja un valor menor al valor del vehículo. Se está cancelando un valor menor a los $ 30.000.000.

EJERCICIO 9. Se recibe un crédito bancario por $ 30.000.000 con un plazo de un año, a una tasa de interés del 8.5% trimestral pagadera en forma vencida y el valor del crédito ��"��`�� + ��

29

0 1 2 3 4 5 6 meses

1.500.000

150.000

300.000

0 1 2 6 10 11 12 meses

30.000.000

3.000.0002.000.000

3.000.000

Calculamos el valor de los intereses trimestrales:

I � P * i � $ 30.000.000 * 0.085 � $ 2.550.000

EJERCICIO 10.�`�� + ��Y!�� | ��-reses trimestrales se pagan en forma anticipada.

30

0 1 2 3 4 trimestres30.000.000

2.550.000 2.550.000 2.550.000

32.550.000

0 1 2 3 4 trimestres

30.000.000

2.550.0002.550.000 2.550.000 2.550.000

30.000.000

3131

CAPÍTULO 2

Interés simpleNo pongas tu interés en el dinero,

pero pon tu dinero al interés.

O. W. HOLMES

0. INTRODUCCIÓN

En el capítulo primero se analizaron los conceptos fundamentales sobre los cuales se apoyan las Matemáticas Financieras y se llegó a la conclusión de que son muchas las ��K��| �� @��!��través de la tasa de interés, que evidencia el valor del dinero en el tiempo. Por esto, en ��Z��Z ��es costumbre pagar un interés por el dinero prestado. Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un interés y a restituir el valor prestado en un tiempo ��W�� | ��!�]��Z��!��]��del valor del dinero en el tiempo a través del interés que se paga.

��W��!��-��!�� contraídas. También se presenta con frecuencia la necesidad de elegir la mejor alternativa ��Z��Z�� equivalentes, esto es, que en tiempo y valor produzcan el mismo resultado económico. Estas soluciones se logran por medio del planteamiento de equivalencias de valores en una misma fecha, llamadas ecuaciones de valor.

�� !�� ]��presentes la tasa de interés y otras variables como el valor presente (valor inicial), valor futuro (valor acumulado) y el tiempo de negociación, es el propósito de este capítulo. Así mismo, el análisis de casos de aplicación de las ecuaciones de valor en situaciones

32


�� !��una deuda inicial con pagos futuros en los cuales se involucra el valor de los intereses, �� !��

1. DEFINICIÓN DE INTERÉS SIMPLE

Se llama interés simple aquél en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no. Únicamente sobre el capital principal se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.

1.1 Características del interés simple�� Z�� | ��

los intereses no se capitalizan. Esta condición se cumple siempre que no se haga abono al capital principal. En caso de pagos sobre el capital inicial, los intereses se calcularán sobre el capital insoluto.

�� Como consecuencia de la característica anterior, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el mismo capital, es decir, sobre el capital inicial o sobre el capital insoluto.

�� Por la misma razón, puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada período, o menores si hay abonos al capital principal.

2. CÁLCULO DEL INTERÉS

En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses.

Aplicando el concepto de función: I � f (P, n)

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando a cada cantidad de A corresponde una cantidad de B y, además, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número y dividiendo una de ellas por un nú-mero la otra queda dividida por el mismo número. Dicho número K, se llama constante o razón de proporcionalidad.

Para el interés simple, podemos expresar:

I � KPn (2.1)

En donde: I � valor del interés

K � constante de proporcionalidad

P � capital (variable)

n � tiempo (variable)

Supongamos el siguiente ejemplo: calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 1.000.000 durante 6 meses, a una tasa de interés del 2.0% mensual simple.

33

Interés simple

Una tasa de interés del 2% mensual indica que por cada $ 100 prestados se de-berán pagar $ 2.0 cada mes; por cada $ 1.000.000 se deberán pagar $ 20.000 mensuales. Puesto que el préstamo tiene una duración de 6 meses, por este tiempo se deben pagar 6 � $ 20.000 � $ 120.000 (relación directamente proporcional). Una forma directa de encontrar este mismo valor es apli cando la expresión (2.1), en la que la constante o razón de proporcionalidad sea la tasa de interés expresada como decimal:

I � 0.02 � 1.000.000 � 6 � $ 120.000

¿Qué sucede si se aumenta el tiempo del préstamo a 9 meses?

I � 0.02 � 1.000.000 � 9 � $ 180.000

Al aumentar una de las variables en cierta proporción, la otra también se incrementa en la misma proporción. El tiempo se incrementó de 6 a 9 meses, o sea, en un 50%, y el valor de los intereses también sufrió un incremento del 50% al pasar de $ 120.000 a $ 180.000.

¿Qué sucede si se prestan $ 1.500.000 en lugar de $ 1.000.000 y el tiempo es de 6 meses?

En este caso se está incrementando la variable capital.

I � 0.02 � 1.500.000 � 6 � $ 180.000

Se observa que al incrementarse el capital en un 50%, al pasar de $ 1.000.000 a $ 1.500.000, el valor de los intereses se incrementa, también, en ese mismo porcentaje.

Se puede expresar en una forma general la fórmula (2.1), de la siguiente manera:

I � P i n (2.2)

En donde:

I � valor de los intereses P � capital

n � tiempo i � tasa de interés, expresada como decimal.

La ecuación (2.2) es la fórmula general del interés simple.

Ejemplo 2.1

Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales simples.

El 60% de $ 2.000.000 � 0.60 � 2.000.000 � $ 1.200.000

Juan David invierte su capital de la siguiente forma:

$ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.

$ 800.000 a una tasa del 2.0% mensual simple.

�� Cálculo del interés mensual simple de $ 1.2000.000.

I 1 200 000 0 3612

1 36 000� � � �. . . $ .

34


�� Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000.

I � 800.000 � 0.02 � 1 � $ 16.000

El interés total recibido cada mes es igual a la suma de los intereses parciales:

Interés total mensual: $ 36.000 � $ 16.000 � $ 52.000

TEMA DE INTERÉS

Antiguamente se creía que las estaciones se repetían cada 340 días, esto es, que el año se componía de 340 días. Este cálculo no se basaba en la traslación de la tierra, fenómeno que se desconocía entonces, sino en la llamada periodicidad de las estaciones y en los movimientos aparentes de los cuerpos celestes. Este intervalo de tiempo se dividió en pe-ríodos más cortos que correspondían al ciclo completo de las fases de la luna y se llamaron meses. Cada uno de esos períodos abarcaba 28, 29, o 30 días y, solía haber doce meses en un año. Más adelante, observaciones más minuciosas de los cuerpos celestes hechas por los babilonios les hizo ver que el año se componía de 360 días aproximadamente. Esta se consideró durante mucho tiempo la duración del año y se dividió en 10 períodos de 36 días cada uno. Aunque esos períodos no coincidían con las fases de la luna, se siguieron llamando meses. Los primeros meses del año se designaron con los nombres de los dioses y las diosas de las diversas razas y pueblos, aplicando los romanos al sexto el nombre de su diosa principal Juno. A partir del séptimo, los romanos designaron los cuatro meses restantes con el nombre latino del lugar que ocupan en el calendario. Estos nombres fueron:

Septiembre (septem, siete) Octubre (octo, ocho)

Noviembre (novem, nueve) Diciembre (decem, diez)

En tiempos del emperador romano Julio César se sabía ya que el año se componía de 36514

días, y por esto, el emperador decretó que el año legal se debía componer de 365 días. Este

emperador, en su reforma del calendario dispuso, también, que el año debía dividirse en

11 meses en lugar de 10, insertándose el nuevo mes entre el 6° y 7° antiguos, y dándose

el nombre del emperador, Julius. De aquí se ha derivado el nombre de Julio. Se atribuye

al emperador César Augusto, que sucedió a Julio César y que gobernó prácticamente a

todo el mundo civilizado de esa época, el decreto según el cual el año debía dividirse en

12 meses y que el nuevo mes llevaría su nombre, Augustus, de donde se ha derivado el

nombre de agosto. Este mes se puso entre los meses 7° y 8° anteriores, después de julio.

De esta manera se completó la lista actual de meses y las palabras septem, octo, novem,

decem!��

Tomado del texto: Aritmética de J. E. Thompson, Ed Uteha, 1949

35

Interés simple

3. INTERÉS COMERCIAL Y REAL1

` ��K��]� ��| ��Z ��Z��de interés, surge la duda sobre qué número de días se toma para el año, es decir, si se toman 365 o 360 días. Esto da origen a dos tipos de interés: el interés ordinario o comer-cial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días; y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 días si se trata de año bisiesto.

Ejemplo 2.2

Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $ 1.500.000 a una tasa de interés del 36% anual simple durante 45 días.

�� Interés comercial: año de 360 días.

Se observa que no hay correspondencia entre la tasa de interés y el tiempo, por lo tanto, se convierte la tasa anual a tasa diaria o el número de días a años.

I � P i n � � � �1 500 000 0 36360

45 67 500. . . $ .

I � P i n � � � �1 500 000 0 36 45360

67 500. . . $ .

�� Interés real o exacto: 365 días o 366, si es año bisiesto.

I � P i n � � � �1 500 000 0 36365

45 66 575 34. . . $ . .

I � P i n � � � �1 500 000 0 36 45365

66 575 34. . . $ . .

Nótese que el interés comercial resulta más alto que el interés real o exacto.

4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE DÍAS ENTRE FECHAS

/��K��Z��@��W-mero de días, meses o años, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular el número de días transcurridos entre las dos fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma en cuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza con el apoyo ��

1 ��K��W��polisemia�&� �� '��@�!��-terés real o exacto es el que resulta de tomar el año de 365 días, o 366 si es año bisiesto; y el interés ��| �� +��

36


Tabla para calcular el número exacto de días

DíaMes Ene. Feb. Mar. Abril Mayo Junio Julio Agost. Sept. Oct. Nov. Dic.

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 (60) 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365

(366)

37

Interés simple

<�� K�� ?�� ?G��<��columna presenta el número de días del mes contados desde el 1 hasta el 31. Cada celda de las columnas de los meses presenta el número de días de cada fecha, transcurridos desde el primero de enero. La intersección del día del mes con el número de la celda de la fecha seleccionada representa el número de días transcurridos desde el primero de enero hasta la fecha seleccionada; así, por ejemplo, la celda 179 es la intersección del día 28 con la columna del mes de junio, lo que indica que al 28 de junio han trans-currido 179 días desde el primero de enero. Los días entre dos fechas se calculan por la diferencia entre los días transcurridos desde el primero de enero. Así, por ejemplo, los días calendario transcurridos entre el 25 de marzo y el 12 de octubre del mismo año, se calculan así: se busca en la tabla el número de la celda que corresponde a la intersección del día 12 y el mes de octubre, que es 285; se busca en la tabla el número de la celda que corresponde a la intersección del día 25 y el mes de marzo, que es 84. Los días calendario transcurridos son: 285 � 84 � 201 días. Al calcular el número de días trans-curridos entre dos fechas empleando esta tabla, se excluye el primer día y se incluye el último día. Así, para una obligación contraída el 12 de marzo y pagada el 28 del mismo mes, transcurrieron 16 días; si se contara el primer día, los días transcurridos serían 17.

Ejemplo 2.3

Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre de 2003.

�� Año comercial. Procedimiento aproximado, considerando año de 360 días y meses de 30 días.

AÑO MES DÍA

Fecha actual: 2003 10 23 Menos: Fecha inicial: 2003 01 12 0 9 11

Son 9 meses y once días: 9 � 30 � 11 � 281 días

�� Año real o exacto. Días calendario.

Procedimiento con la tabla

23 de octubre 296 (�) 12 de enero 12 � 284 días

Ejemplo 2.4

<�� \��!�� > ��\��!� ��entre el 18 de octubre de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. ¿Cuántos días realmente duró la guerra?

38


�� Año comercial

AÑO MES DÍA

Fecha actual: 1902 11 21 Menos: Fecha inicial 1899 10 18 03 01 03

Son 3 años, un mes y 3 días: 3 � 360 � 1 � 30 � 3 � 1.113 días.

�� Año real o exacto. 18 de octubre a 31 de dic/1899: 365 � 291 � 74 días

Días del año 1900: 365 días

Días del año 1901: 365 días

21 de nov a 1 de enero/1902 325 � 1 � 324 días

Total días: 1.128 días

Cuando el cálculo de días entre fechas implique períodos anuales intermedios completos, se sigue el mismo procedimiento seguido en el ejercicio anterior sumándole 365 por el número de años completos.

Ejemplo 2.5

��`��$�&��'�� H��K��un plazo de 90 días. ¿Cuándo vence el C.D.T.?

Es necesario calcular el número de días exactos o calendarios, para lo cual utiliza-mos la tabla.

10 de marzo 69 � 90

159 � 8 de junio.

Se busca en la tabla del número de días calendario

El procedimiento es el siguiente: se busca en la tabla el número de días calendarios transcurridos desde el primero de enero hasta el 10 de marzo, para lo cual encontramos el número de la celda que corresponde a la intersección del día 10 (primera columna) y la columna del mes marzo y obtenemos 69; a este número le sumamos los 90 días del plazo del título y obtenemos 159; en la tabla encontramos que este número corresponde al 8 de junio, que viene a ser la fecha de vencimiento del C.D.T.

39

Interés simple

0 1 2 3 4 n � 1 n

P

F1 F2 F3 F4 Fn�1 Fn

5. VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE

Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa de interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses.

��+ �� ;

Donde: F � valor acumulado o valor futuro. P � valor inicial o valor presente.

n � número de períodos. i � tasa de interés simple por período.

Período Capital Interés ��

0–1 P I1 � P � iF1 � P � I1F1 � P � Pi

1–2 P I2 � P � i

F2 � F1 � I2F2 � P � Pi � Pi

F2 �P � 2Pi

2–3 P I3 � P � i

F3 � F2 � I3F3 � P � 2Pi � Pi

F3 � P � 3Pi

.... .... .... ....

(n � 1) � n P In � P � iFn � P � nPi

Fn � P(1 � ni)

Por lo tanto, el valor futuro equivalente de un valor presente dado, está dado por:

F � P(1 � ni) (2.3)

<��@��&G�?'��| �� w��Z�� n, a una tasa de interés simple de i, entonces, el capital P se transforma en una cantidad %��n (Vidaurri, 1997). Debido a esto se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Aplicando el concepto de equivalencia, la expresión (2.3) también indica que es equivalente P en el día de hoy (momento cero) que F dentro de n períodos a una tasa de interés simple i.

Al utilizar la ecuación (2.3), la tasa de interés y el número de períodos deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. Al plantearse un problema y si la unidad de

40


0 10 mesesi � 3.5% mensual simple

F � ?

5.000.000

tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de tiempo empleada en el plazo, uno de ellos tiene que ser convertido para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Asimismo, es importante tener en cuenta que si la tasa de interés se da sin ��@�� !�� | �� interés anual (Vidaurri, 1997).

6. DESVENTAJAS DEL INTERÉS SIMPLE��

�� Desconoce el valor del dinero en el tiempo.

�� No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.

Ejemplo 2.6

¿Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 3.5% mensual simple?

�� + ��

��;

P � $ 5.000.000 i � 3.5% mensual simple

n � 10 meses. F � ?

La tasa de interés como el número de períodos están en la misma unidad de tiempo.

F � P (1 � ni) (2.3)

F � 5.000.000(1 � 10 � 0.035)

F � $ 6.750.000

El mismo resultado se obtiene al sumarle al capital inicial el valor de los 10 meses de intereses.

F � P � Pin F � 5.000.000 � 10 � 175.000

F � 5.000.000 � 1.750.000 F � $ 6.750.000

El valor de Pin es la suma de los 10 meses de intereses por valor de $ 175.000 cada mes y esto viola el principio del valor del dinero en el tiempo, porque se suman valores de diferentes fechas. Se está considerando que $ 175.000 de intereses del primer mes son comparables con $ 175.000 de intereses del mes 10.

41

Interés simple

TEMA DE INTERÉS

LA USURA

Cuando se habla de usura, se está hablando del cobro excesivamente alto de intereses en un préstamo que otorga una persona o entidad a la cual se le llamaría usurero.

Cuando se solicita un crédito, éste tendrá unas condiciones bajo las cuales ha de ser paga-do. Estas condiciones son: el plazo, forma y períodos en los que éste debe ser retornado (mensual, trimestral, anual, etc) y el costo que, por tomarlo, asume la otra persona a quien se le otorga, costo que viene determinado por una tasa de interés.

Los intereses que se cobran en los préstamos o créditos, tienen incorporada dentro de ellos la teoría de que ha de haber un precio justo y razonable a la hora de cobrarlos y que, por lo tanto, no se determina exclusivamente con base en la oferta y demanda de los créditos. Es por esta la razón que los gobiernos de algunos países hayan establecido un límite máximo para el cobro de intereses en los préstamos, límite que recibe el nombre de tasa de usura. Esta tasa, si no es adecuada, puede propiciar el desarrollo de mercados no legales para los préstamos, sin embargo, su función principal es la de evitar que se cobren intereses muy altos a todas aquellas personas o empresas que soliciten créditos o préstamos.

�� `�� %�� equivale a 1.5 veces los intereses bancarios corrientes, que resultan de hacer un promedio ponderado de las tasas de interés que cobran los bancos por sus préstamos.

FUENTE: COLOMBIALINK

7. INTERESES MORATORIOS

Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar inte-reses llamados intereses de mora, los cuales se calculan con base en el capital prestado o sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago. Por lo general, la tasa de interés moratoria es un 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento, sin que exceda el límite máximo2 permitido por la ley.

Ejemplo 2.7

Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2.0% mensual simple y tiene un plazo de vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3.0% mensual simple.

Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es:

F � P (1 � ni)

F � � � �500 000 1 4530

0 02 515 000. . $ .⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3.0% mensual simple.

2 Este límite máximo permitido por la ley, es la tasa de usura, que en Colombia la establece cada 3 meses la Superintendencia Financiera.

42


I � Pin

Intereses moratorios � � � �500 000 1530

0 03 7 500. . $ .

La cantidad total a pagar es igual al capital más los intereses corrientes más los intereses moratorios.

Cantidad total a pagar � F � intereses moratorios

Cantidad total a pagar � $ 515.000 � $ 7.500 � $ 522.500

En los créditos bancarios y comerciales los intereses de mora se cobran sobre el mismo capital que genera los intereses corrientes, como se aprecia en el ejemplo anterior. Pero, generalmente, estos créditos se amortizan por medio de cuotas periódicas que contienen capital e intereses, calculados éstos últimos sobre saldos insolutos. Lo que a juicio del autor resulta abusivo y oneroso para el deudor es que al entrar en mora, des-pués de pagadas algunas cuotas, se cobren intereses moratorios sobre el saldo insoluto y no sobre el valor de la cuota en mora.

8. VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLEConsiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n

períodos adelante a una tasa de interés simple de i.

De la expresión F � P (1 � ni) se despeja el valor de P:

P F�

�1 ni( ) (2.4)

Ejemplo 2.8

El señor Pedro Picapiedra tiene que cancelar dentro de año y medio un valor de $ 2.500.000. Si la tasa de interés es del 3% mensual simple ¿cuál es el valor inicial de la obligación?

La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar la fórmula (2.4) se convierten los años a meses.

P F�

�1 ni( ) (2.4)

P 2.500.000�

� �1 18 0 03.( )P � $ 1.623. 376.62

La respuesta nos indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de año y medio, a una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre $ 2.500.000 y $ 1.623.376.62 es igual a $ 876.623.38, que es el valor de los intereses que producen $ 2.500.000 durante año y medio a una tasa de interés del 3% mensual simple.

43

Interés simple

6 meses0

1.000.000

1.250.000

9. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLEConsiste en calcular la tasa de interés simple (i), que arroja una inversión inicial (P)

y después de (n) períodos se recibe una cantidad acumulada (F).

Partiendo de la expresión (2.3), se tiene:

F � P(1 � ni)

FP

� �1 ni( )

FP

� �1 ni

i � �1 1n

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (2.5)

Ejemplo 2.9

Un inversionista deposita en el día de hoy en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses retira $ 1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada.

��+ �� ;

i � �16

1 250 0001 000 000

1. .. .

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

i � 0.0417 � 4.17% mensual

Al expresar en meses el número de períodos (n) en la ecuación (2.5), la tasa obtenida es mensual. Se conserva la condición que la tasa de interés y el número de períodos deben estar expresados en la misma unidad de tiempo.

10. CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F).

De la misma forma como se llegó a la fórmula (2.5), podemos calcular el número de períodos (n).

FP

� �1 ni n � �1 1i

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (2.6)

44


n0

100

200

Ejemplo 2.10

¿Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $ 100 se convierta en $ 200, si la operación se realiza al 4% mensual simple?

P � $ 100 F � $ 200

i � 4% mensual simple n � ?

n � �1

0 04200100

1.

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

n � 25 meses

Sobre los $ 100 iniciales se aplica la tasa de interés del 4% mensual y se obtiene un valor de 100 � 0.04 � $ 4 mensuales de intereses. Si multiplicamos $ 4 por 25 meses de intereses se obtiene un valor acumulado de $ 100, que sumados al capital inicial de $ 100 arroja un valor futuro acumulado de $ 200.

Hemos analizado diferentes ejercicios de aplicación de la fórmula F � P(1 � ni) en la que conocidas tres variables se puede calcular la variable restante. En cada ejercicio se ha observado cómo la tasa de interés sólo se aplica sobre el capital inicial y los intereses periódicos causados no generan nuevos intereses, sino que van quedando estáticos per-diendo poder de compra, constituyéndose así en la principal desventaja del interés simple.

11. OPERACIONES DE DESCUENTO�� | ��Z��

un título o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En nuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el mismo momento en que se recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vez descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagaré.

El valor nominal es el monto que aparece en el pagaré. Se presentan dos situacio-nes con el manejo del valor nominal sobre el cual se aplica el descuento. La primera de ellas ocurre cuando en el pagaré aparece el valor del título y se indica que ganará unos �� w��!��]��Z�� -ses simples durante todo el tiempo hasta la fecha de vencimiento, lo que se traduce en calcular el valor futuro a interés simple. Una segunda situación se presenta cuando se

45

Interés simple

12 meses0

Ve � ?

$ 100

��| ��Z�� !��| ��| ��Z��valor a pagar en la fecha de vencimiento.

Al vender un pagaré antes de su fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento sobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuentos: el descuento comercial y el descuento racional o justo.

11.1 Descuento comercialEn una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre

el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagaré.

Supóngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por valor de $ 100, que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en el día de hoy. El �� G�H�� -nocer el valor efectivo.

Los intereses simples se calculan sobre el valor nominal:

I � Vn*i*n

I � 100 � 0.02 � 12

I � $ 24

El valor efectivo a recibir, que corresponde al valor presente, será igual a:

Ve � $ 100 � $ 24 � $ 76

Con el razonamiento anterior podemos deducir una fórmula para calcular el valor efectivo del documento en una forma directa.

Ve � Vn � I

Ve � Vn � Vn ni,

sacando factor común: Ve � Vn(1 � ni)

Calculamos el valor efectivo, aplicando directamente la fórmula:

Ve � 100 (1 � 12 � 0.02)

Ve � $ 76

46


11.2 Descuento racional o justoEn una operación con descuento racional los intereses simples se calculan sobre

el valor efectivo.

I � Ve in

Pero Ve � Vn � I

Luego Ve � Vn � Ve in

Ve � Ve in � Vn

Factor común Ve(1 � in) � Vn

Ve ��

Vnni1( )

Se observa que el valor efectivo resulta de calcular el valor presente, con interés simple, conocido un valor futuro.

Para el ejemplo que venimos analizando, tenemos:

Ve ��

��

�Vn

ni1100

1 12 0 0280 64

( ) ( ).$ .

El valor del descuento es igual al valor nominal menos el valor efectivo.

Descuento comercial � $ 100 � $ 76 � $ 24

Descuento racional � $ 100 � $ 80.64 � $ 19.36

��Z��| �� !�� -mercial que el descuento racional.

Si comparamos el valor efectivo con descuento comercial y descuento racional, observamos que es menor el valor efectivo con descuento comercial, lo que nos indica que el tenedor del pagaré recibe un menor valor al venderlo, al hacérsele un mayor descuento. Esto explica por qué las operaciones de descuento se realizan con descuento comercial y no racional. A juicio del autor se debe aplicar el descuento racional al realizar una operación de descuento por la misma concepción de lo que es el interés, puesto que los intereses se deben pagar sobre el dinero recibido en préstamo.

Ejemplo 2.11

Se tiene un pagaré por valor de $ 50.000.000, con fecha de vencimiento dentro de 6 meses. El dueño del título lo ofrece en venta porque necesita dinero para cumplir �� Z��]�� descuento del 2.0% mensual simple. Calcular el valor que recibirá el dueño del título.

a. Con descuento comercial

b. Con descuento racional

47

Interés simple

El ejercicio consiste en calcular el valor efectivo utilizando los dos tipos de des-cuento. En este caso se supone que el valor del pagaré (valor nominal) en su fecha de vencimiento ya tiene incluido los intereses.

a. Cálculo del valor efectivo con descuento comercial.

Ve � Vn(1 � ni)

Ve � 50.000.000(1 � 6 � 0.02)

Ve � $ 44.000.000

b. Cálculo del valor efectivo con descuento racional.

Ve Vnni1

50 0001 6 0 02

44 642 857.14� � � �

. 000..

$ . .

Ejemplo 2.12

Se desea vender una letra por valor de $ 10.000.000 con una fecha de vencimiento dentro de 3 meses, y que gana intereses al 2.5% mensual simple. El comprador se lo negocia con una tasa de descuento del 2.0% mensual. Calcular el valor efectivo con descuento comercial.

En este caso el valor nominal sobre el cual se aplica la tasa de descuento es igual al valor de la letra más los intereses a una tasa del 2.5% mensual simple. Lo primero que debemos hacer es calcular el valor futuro.

F � 10.000.000 (1 � 3 � 0.025) � $ 10.750.000

El valor efectivo con descuento comercial, es igual a:

Ve � Vn(1 � ni)

Ve � 10.750.000 (1 � 3 � 0.02)

Ve � $ 10.105.000

Cuestionario

�� _� �� {�_`��{

G�� _� ��{�_`��{

3. ¿Qué son intereses moratorios? ¿Cómo se calculan?

4. ¿Qué es el interés simple?

5. ¿Qué es el valor nominal de un pagaré?

6. ¿Qué diferencia existe entre el descuento comercial y el descuento racional?

48


EJERCICIO 1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de año y medio un valor de $ 3.285.000. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual simple, hallar el valor inicial de la obligación.

P � ? n � 18 meses F � $ 3.285.000 i � 1.5 % mensual simple

F � P (1 � n * i) P F�

��

��

13 285 000

1 18 0 0152 586 614 17

n i*. .

* .$ . . .

( ) ( )EJERCICIO 2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $ 85.000.000. ¿Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si se cobra una tasa de interés de 18% semestral simple?

P � ? n � 7 semestres F � $ 85.000.000 i � 18 % semestral simple

F � P (1 � n * i) P F�

��

��

185 000 0001 7 0 18

37 610 619 47n i*

. .* .

$ . . .( ) ( )

EJERCICIO 3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000 y al cabo de 10 meses podemos retirar $ 311.650.

F � P (1 � n * i)

i � � � � �1 1 1

10311 650210 000

1 4 84n

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

.

.. % mensual

EJERCICIO 4. Se compra un terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año por $ 12.000.000, ¿cuál es la tasa de interés mensual simple a que rendiría la inversión?

i � � � � �1 1 1

1212 000 0009 000 000

1 2 78n

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

. .. .

. % mensual

EJERCICIO 5. Una caja de ahorros reconoce una tasa del 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000, ¿cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000?

n � � � � �1 1 1

0 05325 000250 000

1 6i

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

.

. trimestres

EJERCICIO 6. ¿Cuánto tiempo debo esperar para que se duplique una inversión, si me pagan el 2,5% mensual simple?

Se asumen valores para P y F: P � $ 100 F � $ 200 i � 2.5% mensual simple n � ?

n � � � � �1 1 1

0 025200100

1 40i

FP⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

meses

49

EJERCICIO 7. Se tienen dos documentos por cobrar, así: dentro de 6 meses uno por Z��?�HHH�HHH��"� ��Z��HHH�HHH�� se venden hoy con una tasa de descuento del 1.50% mensual simple. Calcular el valor efectivo a recibir, utilizando el descuento racional.

P ��

��

��

�Vn

n i13 000 000

1 6 0 0155 000 000

1 12 0 0156

*. .

* .. .

* .$ .

( ) ( ) ( )9989 581 72. .

EJERCICIO 8. Resuelva el ejercicio anterior, utilizando el descuento comercial

P � Vn(1 � n * i)

P � $ 3.000.000 (1 � 6 * 0.015) � 5.000.000 (1 � 12 * 0.015) � $ 6.830.000

EJERCICIO 9. Se hace un préstamo de $ 10.000.000 a una tasa del 2.0 % mensual simple con un plazo de 2 meses. Si la obligación se cancela 23 días después de la fecha de vencimiento, calcular los intereses moratorios, con una tasa moratoria igual a 1.2 veces la tasa de interés del crédito.

Tasa moratoria � 2.0% * 1.2 � 2.40% mensual simple

Intereses moratorios � P*i*n � $ 10.000.000 * 0.024 * 23/30 � $ 184.000

5151

CAPÍTULO 3

Interés compuestoEn una ocasión le preguntaron al barón de Rothschild,

un rico banquero, si recordaba las 7 maravillas del mundo. Contestó que no, pero que sí recordaba

la octava maravilla: El interés compuesto, y dijo: esta maravilla deberíamos utilizarla todos

para lograr lo que nos proponemos.

0. INTRODUCCIÓN

En el interés simple los intereses período a período se calculan sobre el mismo capital ��}��!��| ��| ��constante. Así los intereses no se paguen, el capital que genera los intereses no sufrirá ninguna variación. Pero, si en cada período de tiempo pactado en una obligación los intereses periódicos se van sumando al capital, formando un nuevo capital sobre el cual se calcularán los nuevos intereses, se dice que los intereses se van capitalizando y que ��interés compuesto.

La diferencia básica entre el interés simple y el compuesto está en lo que se haga con los intereses causados periódicamente. Si se abre una cuenta de ahorros en un banco, el cual liquida los intereses trimestralmente y éstos no son retirados, automáticamente se reinvierten. Aquí empieza a funcionar el interés compuesto. Pero, si el dueño de la cuenta de ahorros está pendiente de la liquidación de los intereses y los retira, le quedará el mismo capital y sobre él le seguirán liquidando los intereses. Allí está operando el interés simple. En el caso de un préstamo personal en el que se hacen abonos al capital principal, los intereses se calcularán sobre el saldo insoluto. Que opere uno u otro tipo de interés depende, también, del destino de los intereses y del capital abonado. Si pe-riódicamente se pagan intereses y parte del capital y estos valores se reinvierten, así sea

52


en otros medios diferentes, funciona el interés compuesto. Si tanto el capital abonado como los intereses se usan para satisfacer necesidades personales, está operando el interés simple. Así podríamos seguir enumerando situaciones en las cuales puede operar uno u otro tipo de interés.

En este capítulo se resuelven y plantean ejercicios de la experiencia diaria y para su solución se propone lo que algunos autores llaman el principio de la Equidad Financiera, que consiste en establecer una igualdad entre los egresos e ingresos que intervienen �� | ��!�� }��W��-da fecha focal. Su planteamiento, por consiguiente, se apoya en el principio del valor del dinero en el tiempo y su fácil comprensión nos permitirá desarrollar casi todos los problemas de las Matemáticas Financieras. Para resolver los ejercicios, utilizaremos la técnica de las ecuaciones de valor.

1. DEFINICIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto�&��'!��| ��| ��pe río do capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior. En el �� !��| ��se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses.

1.1 CAPITALIZACIÓN

Proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior.

1.2 PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

Período pactado para convertir el interés en capital. Así, por ejemplo, existe capi-��K�� /��K�� ]��| ��se suman los intereses al capital anterior. Es importante establecer la diferencia entre período de capitalización y período de pago, porque no siempre coinciden. Los intere-�� período de capitalización es diario y el período de pago mensual. Se suele mencionar el ��K��@�� caso contrario se supone que la tasa de interés es anual.

0 1 2 3 4 n � 1 n

P

F1 F2 F3 F4 Fn�1 Fn

53

Interés compuesto

2. VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO

Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ga-nando intereses por n períodos, a una tasa de interés i��<��]��;

F � valor acumulado o valor futuro. i � tasa de interés periódica.

P � valor presente de la obligación n � número de períodos.

Analicemos qué sucede período a período:

Período Capital Interés/Período ��

0–1 P I1 � P � i

F1 � P � I1 F1 � P � P � iF1 � P(1 � i)

1–2 P(1 � i)I2 � P(1 � i) � i

I2 � pi(1 � i)

F2 � F1 � I2F2 � P(1 � i) � Pi(1 � i)

F2 � P (1 � i)2

2–3 P(1 � i)2I3 � P(1 � i)2 iI3 � Pi(1 � i)2

F3 � F2 � I3F3 � P(1 � i)2 � Pi(1 � i)2

F3 � P(1 � i)3

.... .... .... ....

(n � 1) � n P(1 � i)n�1 In � Pi(1 � i)n�1 Fn � P(1 � i)n

Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por la si-guiente fórmula:

F � P(1 � i)n (3.1)

<��@��| ��| �Z��w��}��%��a una tasa de interés de i por período.

Esta fórmula es conocida como la fórmula básica de las Matemáticas Financieras y el lector podrá apreciar en el desarrollo del texto, que la mayoría de las operaciones ��K��

0

1.000.000

1 2 3 5 6 meses4

F1 F2 F3 F4 F5 F6

54


El factor (1 � i)n se conoce con el nombre de “Factor de capitalización en pago único”.

El cálculo del factor (1 � i)n por productos sucesivos resulta trabajoso, al tener que multiplicar el factor (1 � i) por sí mismo un número de veces igual al exponente. Con el uso de los logaritmos se calcularon los valores futuros o montos de un peso para diferentes tasas y períodos y los resultados se dieron en las tablas de interés compuesto. Para utilizar estas tablas sólo era necesario buscar en ellas el monto de un peso para �� W��!�� | �� `�� -��!�� }��!�� entraron en desuso, razón por la cual no se utilizarán en este libro.

Las Matemáticas Financieras evolucionan con el tiempo y los avances tecnológicos y nuevos sistemas operacionales exigen una revisión de conceptos y modos de operar. Por esta razón, este libro se ha preparado para que el lector disponga de los métodos ��&�� ]��'!�� }��]� �Excel, estas últimas como herramientas modernas de cálculo.

3. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO

�� El capital inicial cambia en cada período porque los intereses que se causan se capitalizan, o sea, se convierten en capital.

�� La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente.

�� Los intereses periódicos siempre serán mayores.

El siguiente ejemplo muestra lo que sucede período a período, hasta llegar a la fórmula básica: F � P(1 � i)n.

Ejemplo 3.1

Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual1. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado ��@��{

Final del primer mes: F1 � 1.000.000 � 1.000.000 � 0.03 � $ 1.030.000

Final del segundo mes: F2 � 1.030.000 � 1.030.000 � 0.03 � $ 1.060.900

Final del tercer mes: F3 � 1.060.900 � 1.060.900 � 0.03 � $ 1.092.727

Final del cuarto mes: F4 � 1.092.727 � 1.092.727 � 0.03 � $ 1.125.508.81

1 Al darse una tasa periódica y si no expresa que es simple, se supone que es compuesta.

55

Interés compuesto

Final del quinto mes: F5 � 1.125.508.81 � 1.125.508.81 � 0.03 � $ 1.159.274.07

Final del sexto mes: F6 � 1.159.274.07 � 1.159.274.07 � 0.03 � $ 1.194.052.29

��Z�� @�� fórmula (3.1).

F � P(1 � i)n (3.1)

F � 1.000.000 (1 � 0.03)6

F � $ 1.194.052.29

Son equivalentes $ 1.000.000 en el día de hoy que $ 1.194.052.29 dentro de 6 meses a una tasa de interés del 3% mensual, asumiendo que los intereses causados mensual-mente se van capitalizando o reinvirtiendo.

Al aplicar la fórmula (3.1), el valor futuro se halla multiplicando el valor presente por (1 � i), tantas veces como períodos de capitalización hay. Esto es, que el capital se multiplica por el multiplicador (1 � i); este producto se multiplica por el mismo multi-plicador; este producto se multiplica por el mismo multiplicador y así sucesivamente.

F � P(1 � i)(1 � i)(1 � i)...(1 � i)

TEMA DE INTERÉS

ESQUEMA DE PONZI

Un esquema en el cual un deudor asume una deuda excesiva (por ejemplo, para incrementar el consumo corriente) y propone pagarla pidiendo prestado el dinero necesario para el servicio de la deuda (pago de interés mas capital) se conoce como esquema de ponzi. Su-pongamos que el deudor debe $ 100 a una tasa de interés del 5% mensual; cuando vence el mes el deudor debe $ 105. Si contrata un nuevo préstamo igual a $ 105 para pagar a su acreedor anterior, ahora queda debiendo un monto mayor al nuevo acreedor. En el próximo periodo el deudor tendrá que pagar $ 110.25. En cada periodo, entonces, la deuda crecerá a la razón geométrica (1 � 0.05). Este ejemplo muestra como opera el interés compuesto.

4. ANÁLISIS DE LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO

w ��| �� ]� ��!��Z��K��

¿Qué supone la fórmula F � P(1 � i)n? El procedimiento matemático seguido en la sección 2, de este capítulo, para encontrar el valor futuro equivalente a un valor presente después de n períodos a una tasa de interés i, se basa en las dos condiciones siguientes:

�� Los intereses que se causan período a período se capitalizan, o sea, no se pagan sino que se suman al capital anterior para formar un nuevo capital. Observamos en ��!�| �� Z��

�� Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés i.

0

1.000.000

1 2 3 4 trimestres

90.000 90.000 90.000 1.090.000

56


Esto da como origen al supuesto básico de las Matemáticas Financieras, llamado el Supuesto de la reinversión, que entramos a analizar al hacernos la siguiente pregunta: ¿cuándo los intereses se pagan periódicamente, la operación se hace con interés simple o con interés compuesto?

Cuando los intereses se pagan periódicamente, el acreedor recibe un pago que pue-de usar de inmediato. Asimismo, el prestatario, al pagar los intereses periódicamente, está perdiendo la oportunidad de utilizar el dinero que paga al acreedor (Grant; Ireson y Leavenworth, 1960). En consecuencia, tanto para el prestamista como para el prestatario aplica el interés simple y el interés compuesto.

Analicemos esta situación con un ejemplo práctico:

Ejemplo 3.2

Se concede un crédito bancario a un año por $ 1.000.000 al 36% trimestre vencido (el banco presta su dinero a una tasa del 36% anual, pero los intereses tienen que ser pagados cada trimestre). La pregunta que surge es: ¿por qué si se pagan los intereses pe-riódicamente la operación se hace con interés simple y con interés compuesto?

La tasa de interés pagada sobre saldos es del 9% trimestral, y suponemos que el Z��"��| ��K��de un año.

Valor de los intereses trimestrales � $ 1.000.000 � 0.09 � $ 90.000

Situación 1

La operación se hace con interés simple porque se cumplen las tres condiciones que lo caracterizan: el capital inicial no cambia, la tasa de interés se aplica período a período sobre el capital inicial y el valor de los intereses es igual en cada trimestre, $ 90.000 en este caso.

La operación se hace con interés compuesto tanto para el banco como para el pres-tatario por la siguiente razón: el banco al recibir los $ 90.000 por concepto de intereses, cada vez que se cumple el trimestre, tiene la posibilidad inmediata de reinvertirlos a la misma tasa de interés, en este caso el 9% trimestral. Aplica el interés compuesto porque los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés y esto es lo que supone la fórmula básica F � P(1 � i)n. La reinversión de los $ 90.000 es repetitiva, es decir, los intereses que se pagan trimestralmente y los intereses causados por los intereses trimestrales se ��Z��}��K��"�

57

Interés compuesto

Analicemos esta situación:

Final del primer trimestre.

El prestatario paga los primeros $ 90.000 de intereses. Al recibirlos, el banco inme-diatamente los presta a la misma tasa de interés (9% trimestral).

Final del segundo trimestre.

El banco recibe los $90.000 correspondientes a los intereses del segundo trimestre y $ 98.100 que corresponden a los $ 90.000 del trimestre anterior más los intereses que �� YH�HHH!��!��HH��!��K�� trimestre: 90.000 � 90.000 � 8.100 � $ 188.100. Este valor los presta a la misma tasa del 9% trimestral.

Final del tercer trimestre.

El banco recibe los $ 90.000 correspondientes a los intereses causados durante el tercer trimestre más $ 188.100 que prestó el trimestre anterior más los intereses que �� HH!��!��*�YGY��K��trimestre: 90.000 � 188.100 � 16.929 � 295.029. Este valor los presta a la misma tasa del 9% trimestral.

Final del cuarto trimestre.

El banco recibe $ 90.000 correspondientes a los intereses causados durante el cuarto trimestre, más $ 1.000.000 que devuelve al banco, más $ 295.029 que prestó en el trimestre anterior y más los intereses causados por los $ 295.029, o sea, $ 26.552. En ��K��K��;�YH�HHH � 1.000.000 � 295.029 � 26.652 � $ 1.411.581.

Ahora miremos la operación de crédito para el prestatario:

El prestatario, al cancelarle al banco los intereses incurre en un costo de oportuni-dad, porque si no los cancelara tendría la oportunidad de reinvertirlos a la misma tasa de interés o dejarlos en su actividad productiva, que se supone rinden al menos esta tasa de interés (9% trimestral). En otras palabras, el prestatario al cancelar los intereses pierde la oportunidad de hacer la misma operación que hace el banco.

/��K�� -� ��;��Z��HHH�HHH��]��"�� Z�� acumulado:

F � 90.000(1+0.09)3 � 90.000(1 � 0.09)2 � 90.000(1 � 0.09)1 � 1.090.000

F � 116.552.61 � 106.929 � 98.100 � 1.090.000

F � $ 1.411.581

Este valor también se obtiene aplicando la fórmula básica (3.1)

F � 1.000.000 (1 � 0.09)4

F � $ 1.411.581

1 año0

1.000.000

1.411.581

0 1 año

1.360.000

1.000.000

58


�� + �� Z��banco.

El banco presta $ 1.000.000 y después de un año tiene acumulado $ 1.411.581, pro-ducto de los intereses y reinversión de los mismos, por lo tanto, su rendimiento efectivo es:

i � �FP

1

i � �1 411 5811 000 000

1. .. .

i � 0.4116 � 41.16% efectivo anual.

El resultado de 41.16% que expresa el rendimiento efectivo anual para el banco, así como el costo efectivo anual para el prestatario, permite hacer una consideración preli-minar entre lo que es una tasa nominal�&��| �� '!��este caso el 36% anual con pago de intereses cada trimestre y una tasa efectiva (la que realmente se paga), en este caso el 41.16%. Cuando se pacta una tasa de interés en una ��&��'��| ��&��capitalización) es menor que el tiempo en que está expresada la tasa nominal, la tasa que realmente se paga (tasa efectiva) es mayor que la tasa nominal. Para el ejemplo que estamos analizando, la tasa pactada para el préstamo fue del 36% anual con pago de intereses cada trimestre. Esta tasa es equivalente a una tasa efectiva del 41.16%, que resulta de considerar que los intereses que se pagan trimes tralmente se van capitali-zando o reinvirtiendo y van generando nuevos intereses. Además, podemos asumir que el rendimiento efectivo para el banco constituye el costo efectivo para el prestatario. �� Z�� ; el prestamista que recibe un rendimiento sobre su inversión y el prestatario que paga un costo sobre el préstamo.

Asumamos ahora, el mismo préstamo con el mismo plazo y a la misma tasa de ��!�� | ��"�

Situación 2

59

Interés compuesto

El rendimiento para el banco y el costo para el prestatario será el siguiente:

i � �FP

1

i � �1 360 0001 000 000

1. .. .

i � 36% anual

¿Por qué, si el valor del préstamo es el mismo, con el mismo plazo y a la misma tasa de interés el rendimiento para el banco, así como el costo para el prestatario, es diferente como lo plantean la situación 1 y la situación 2? La situación 1 plantea la posibilidad que tiene el banco de reinvertir los intereses recibidos del prestatario y el costo de oportu-nidad en que incurre el prestatario al pagarle los intereses al banco. En la situación 2, el banco no tiene posibilidades de reinversión y el prestatario no incurre en ningún costo de oportunidad porque trabaja durante todo el año el valor del préstamo.

`�� !�� ;

Cuando el prestamista tiene la posibilidad de reinvertir los intereses recibidos del prestatario, obtiene un rendimiento mayor que la tasa pactada en el préstamo. Cuando el prestatario cancela intereses en un tiempo menor al tiempo en que se expresa la tasa del préstamo, paga un costo mayor por el costo de oportunidad.

El supuesto de la reinversión (supuesto básico de las Matemáticas Financieras) con-sidera que todos los fondos que libera un proyecto o préstamo, para nuestro caso los intereses, son reinvertidos a la misma tasa de interés. La consideración anterior tiene en la práctica sus limitaciones. Luis Fernando Gutiérrez (1994), al respecto, señala lo siguiente:

�� Para que la reinversión suceda se debe dar la posibilidad inmediata de hacerlo en el momento en que ocurre el desembolso. Esto en el mundo de los negocios es impráctico y solamente esta posibilidad se podría presentar en el sistema bancario que tiene la mecánica de la reinversión.

�� Mucho más complicado que contar con la posibilidad inmediata de la reinversión, es poder hacerlo a la misma tasa de interés. Este es el supuesto más limitante. Una inversión podría resultar muy alta en rentabilidad sin que sea posible, con su producido, repetir el esquema de la reinversión a la misma tasa. Así, por ejemplo, un proyecto que rente el 80% anual, es probable que la única posibilidad práctica sea utilizar el efectivo que genera en la colocación en un depósito a término con una tasa del 25%. En un caso como éste, no se podría aplicar la fórmula de interés compuesto, sino que se debería deducir una en particular, en la cual la reinversión de intereses se haga a una tasa de mercado.

Después de analizadas las limitaciones del supuesto de la reinversión, pode-mos concluir que la reinversión de intereses tal y como lo plantea la fórmula básica F � P(1 � i)n�� ]��Z��| ��efectiva anual obtenida (41.16%) se puede considerar como una tasa efectiva ideal. En `��+ �� al mismo comportamiento de la economía. El banco al tener la posibilidad de reinvertir los intereses que recibe, lo puede hacer a una tasa mayor o una menor de la pactada y para este caso no aplica la ecuación (3.1).

MODE 4

CF

2

LR

6

NOR

1

FIN

5

FIX

3

SD

7

365

8

360

60


5. INTRODUCCIÓN AL MANEJO DE LA CALCULADORA FINANCIERA

<�� !� ��}��]��]� ��Z��!��Z��<��calculadora no nos ayuda a entender conceptos o a desarrollar habilidades matemáti-cas; es simplemente una herramienta útil empleada para reducir el tiempo dedicado a tediosos cálculos, que anteriormente estaban reservados a los expertos en el manejo ��&Vidaurri, 1997). Todas las operaciones inherentes a las Matemáticas Financieras se realizan en una forma rápida y precisa con la calculadora ��}��

<�� ]�� ;��-��Y��Hewlett Packard, la FC 100, FC 200, FC 1.000, FC 100 V y FC 200 V de Casio. Por razones de costo, la gran mayoría de los usuarios poseen los modelos de la marca Casio. En este libro ��K��-��

<�� -ferente, de tal manera que dependiendo de la marca y del modelo surgen pequeñas diferencias. Por esta razón, vamos a explicar el procedimiento de cálculo por modelo y marca. Al adquirir cada usuario cualquier calculadora recibe el manual del propietario, en el cual encuentra la reseña de todas las características y una guía general en la que se le explica la función de cada tecla.

Calculadora Casio FC 100w��]� ��&�� !��Z��-

terés, anualidades, amortizaciones), con esta calculadora, a excepción de los cálculos de �Z� ��!�� \��W��w��K��]� ��Z� ��+ ��&`%'!�� MODE y el número 4, y aparece en la parte superior de la pantalla CF. Antes de iniciar � �| ��]� ��!��SHIFT AC; si presiona solamente AC se borra la información de la pantalla, pero no así ��

El siguiente esquema muestra la parte superior de la pantalla de la calculadora FC 100, que muestra los diferentes modos de operación. Para nuestro propósito, solamente ��K��&\��'��+ ��&\��#'�

FINANCIAL CONSULTANT

PV

PV

PV

F3 F5

n

n

n

F1COMP

FV

FV

FV

COMP

COMP

PMT

PMT

PMT

F4 MENÚ

I %

I %

i %

F2

61

Interés compuesto

Para hacer cálculos de interés compuesto, se cuenta con las siguientes teclas que aparecen en el cuerpo de la calculadora.

La fórmula de interés compuesto F � P(1 � i)n tiene 4 variables (P, F, i y n), de tal forma que si conocemos 3 de ellas podemos calcular la restante, para ello ingresamos el valor de las variables conocidas, en cualquier orden, y pedimos el valor de la variable desconocida oprimiendo la tecla que la distingue, oprimiendo antes la tecla COMP que �� !�| ��]��K| ��n. Conviene advertir que en esta calculadora las variables se manejan en el idioma inglés. Observando las teclas del menú, aparece la tecla PMT que corresponde al valor de la cuota de una anualidad, ��| ��K��]��

Calculadora Casio FC 200�� %`�GHH��

��%`��HH!��| �� ]��de presionar la tecla COMP, se debe presionar la tecla EXE, que aparece de última en el � �� w��]� ��&�� !��-versión de tasas de interés, anualida des, amortizaciones), incluyendo los de evaluación ��!��\��W��#��/�� | ��]� ��!��%$�/`��/`��/`��!��/��!�se debe indicar el modo de interés con que se va a trabajar; cada vez que se presiona MODE y el número 0, la calculadora cambia entre los modos de intereses simples(S) �� &`'��w�� ]� ��interés compuesto, y al seleccionarlo aparece en la pantalla el símbolo C.

Se observa en el esquema que para hacer cálculos de interés compuesto se cuenta con las mismas teclas que presenta la calculadora FC 100.

Calculadora FC 1.000w��]� �� !��\�=��

y la tecla F2 (COMPOUND) y AC, y aparece el siguiente cuadro de diálogo:

62


/�� | ��]� ��-cieras, presionando SHIFT AC EXE AC. Las teclas que aparecen en la parte inferior de la pantalla las llamaremos rótulos de menú y las que están debajo de éstas, las llamare-mos teclas de menú. Existe una relación funcional entre los rótulos de menú y las teclas de menú, de tal forma que para ingresar el valor de una variable conocida, primero se presiona el valor de la variable y luego la tecla que está debajo de ella. Por ejemplo, si queremos ingresar $ 1.000.000 como valor presente, primero escribimos 1.000.000 y luego presionamos la tecla F3 que está debajo de la variable PV. Adicionalmente, se debe indicar el modo de interés con que se va a trabajar; para lo cual se oprime MODE y el número 4 para entrar a un cuadro de diálogo encabezado por MODE. Cada vez que se presiona MODE y el número 0, la calculadora cambia entre los modos de intereses simples (SMP) �� &`\w'��w�� ]� ��interés compuesto, y al seleccionarlo aparece en el cuadro de diálogo ADD PERIOD: CMP.

Calculadora FC 100V y FC 200V

Para iniciar los cálculos de interés compuesto (comunes para ambos modelos) se oprime la tecla CMPD y aparece el siguiente cuadro de diálogo:

Compound int��;��=��>�=

n �

I% �

PV �

PMT �

FV �

P/Y �

C/Y �

`��+��}��^�w</�� Luego seleccionamos la variable que deseamos calcular y oprimimos la tecla SOLVE que se encuentra en la parte superior derecha del teclado. Se debe tener en cuenta, al �� ]�!�� w��`��

Calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 B II/��]� ��

los parámetros básicos que orientarán la forma como se trabajará:

�� Se utiliza el modo de idioma español. La calculadora puede presentar información en seis idiomas diferentes. Para cambiar el idioma, oprima la tecla anaranjada y ��w!��=$<�� idioma español.

�� W��]�� ]��%�=�&��K��'�

�� Para el inicio de cada ejercicio se supone que se está en el menú principal (MAIN), y que la calculadora está libre de cualquier información anterior. Como norma,

FIN COM SUMA CALEN RESOL TEXTO

63

Interés compuesto

��Z�K�| ��}��W��]� ��!��anterior por medio de CLEAR DATA, pues la calculadora tiene memoria continua.

�� Para salir al menú principal basta oprimir la tecla EXIT, tantas veces como sea nece-sario hasta llegar a este menú, o MAIN para llegar al menú principal directamente desde cualquier menú.

�� `�� | �� !��!�� Z��más de una función. La función marcada sobre la tecla recibe el nombre de función primaria, y las funciones impresas arriba de las teclas se llaman funciones secun-darias. Las funciones secundarias se eligen presionando antes la tecla de cambio o tecla de doble función, que en estas calculadoras es la tecla de color amarillo; y para operarlas es necesario presionar primero la tecla amarilla y luego oprimir la tecla correspondiente a la función deseada.

�� El lector deberá consultar en el manual del fabricante las indicaciones básicas para el manejo de la calculadora.

Menú principal (MAIN)

Entre las seis teclas de la parte superior del teclado (teclas de color gris) y los seis rótulos de la parte inferior de la pantalla existe una relación funcional. Los rótulos indican la función de las teclas. Las seis teclas se llaman teclas de menú; los rótulos se llaman rótulos de menú. Cuando se desea entrar a un menú, por ejemplo FIN, se oprime la tecla ��W�| ��]��!��+��}��

El menú main de la calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 B II.

El menú MAIN (menú principal), contiene las siguientes funciones:

FIN: (Finanzas) Valor del dinero en el tiempo.

Conversiones de tasas de interés

Flujos de caja, tasa interna de retorno, valor presente neto

Bonos, depreciación

COM: (Comercio) Porcentajes comerciales

Cambio de moneda

Conversión de unidades

SUMA: Estadística

CALEN: Reloj, calendario, alarmas, aritmética con fechas

FIN

N

VDT

COM

%IA

CONVI

SUMA

V.A.

F. CAJA

CALEN

w/>�

BONO

RESOL

V.F.

DEPR

TEXTO

OTRO

64


RESOL: Creación y uso de menús propios a través del registro de fórmulas.

TEXTO: Almacenamiento de información textual.

Menú del VDT de la calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 B IIEl menú del valor del dinero en el tiempo (VDT) se utiliza para realizar ciertos cál-

� �� !�� + ��( dinero recibido o pagado) y:

�� El valor de cada pago o ingreso es igual. Este menú se utiliza para operaciones en interés compuesto en las que intervienen un pago y un ingreso, o cuando se realiza �� Z��!� �| ��corresponde a una serie uniforme o anualidad. En el caso de pagos o ingresos de diferentes valores se utiliza el menú F. CAJA.

�� Los períodos de pago coinciden con los períodos de capitalización. Se realizan pagos mensuales a una tasa de interés mensual, pagos trimestrales a una tasa de interés trimestral.

�� Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas a la calculadora con el signo adecuado, � (más) o � (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido, se ingresa como valor positivo. El ��Z��Z��w�� + ��!��| �� | �� Z��&+ ��Z'�� + ��Z�� + �� Z��&Bodie y Merton, 1999), habríamos creado una máquina de hacer dinero y eso, desgra cia damente, es imposible.

El siguiente diagrama muestra la secuencia que se debe seguir para llegar al menú k�$��<��+��}��| ��

MENÚ PRINCIPAL

MENÚ BÁSICO

MENÚ DEL VDT

>�KM"O(JU"��!"#"�WXYJZ

P/AÑO INIC FINAL AMRTOTRO

65

Interés compuesto

Los rótulos de menú que presenta el menú VDT y que aparecen en la parte inferior de la pantalla, son los que se utilizan para realizar las operaciones en interés compuesto. Estos rótulos se describen así:

�� N: número total de pagos o de períodos de capitalización. N puede expresarse en cualquier unidad de tiempo, por ejemplo: años, meses, trimestres o días.

�� /;�� w��!��K��una tasa del 3% mensual, la tasa %IA a ingresar será igual a 3% � 12 � 36% IA.

�� V.A: es el valor actual o valor presente de la operación. Corresponde a P de la no-tación que utilizamos en este texto.

�� w/>�;�Z�� | �� <�� período.

�� V.F: valor futuro o valor acumulado después de n períodos de pago. Corresponde a F de la notación de este texto.

�� La tecla OTRO presenta un menú secundario que se utiliza para cambiar las condicio-nes de pago y para presentar el menú de amortización (AMRT). El menú de amorti-zación será utilizado en el capítulo 7 dedicado a este tema. El mensaje que aparece en la parte superior de la pantalla indica el modo de pago y debe corresponder al período de capitalización de intereses: así, si la tasa de la operación es una tasa �� !��G�w>��/��;�\��%�=/<��!��#�w/>��/��;�\��%�=/<��

Con el siguiente diagrama se ilustra el procedimiento para cambiar la forma de capitalización de los intereses.

MENÚ SECUNDARIO

>�KM"O(JU"��!"#"�WXYJZ

��W�k�$�� G�w/>��/��;�\��%�=/<!�� Z��Z��K�� Y��!��#�w/>��/��;�\��%�=/<!�de la siguiente manera:

�� Oprima OTRO

�� #�w/>��/��

�� Oprima EXIT para salir al menú VDT.

Este procedimiento de cambio de las condiciones de pago puede resultar engorro-�!��| ��Z�K�| �� al mensaje de la forma de pago que aparece en la parte superior de la pantalla. Sí la �� !��G�w>��

66


AÑO. Al realizarse una nueva operación con una tasa de interés trimestral, utilizando el ��!��#�w>��/�� Z��w>��/��!�pero teniendo en cuenta que la tasa de interés que se debe ingresar es la tasa perió-dica. Así por ejemplo, si la operación se hace con una tasa de interés del 2% mensual, ��w>��/��!��G��/��@�� K��w>��/��!��!��!��Z��!�� W�k�$!��ingresar la tasa periódica.

5.1 LA HOJA DE CÁLCULO EXCELCon el propósito de familiarizar al lector con esta herramienta computacional y

con la intención de enseñar las instrucciones básicas para la construcción de una hoja ��]� �� K��}��]� ��]��!��continuación se exponen algunas de las características de la aplicación de la hoja de de cálculo EXCEL.

El término “hoja electrónica” (hoja de cálculo) proviene de las hojas verdes que algunos contadores todavía utilizan para registrar la información contable. Las formas ��| �"�� de datos. Básicamente una hoja de cálculo es una gran tabla con datos dispersos por toda la página, que pueden contabilizarse de alguna manera. Una hoja electrónica es un �� !�� | �"��cuadros a los que llamamos celdas��<��W�� por letras. Cada celda tiene una dirección, la cual está integrada por su letra de columna y �� W��w��!��H�� H��

Excel puede aceptar casi cualquier tipo de datos, pero lo que más nos interesa para nuestro propósito son los números y las fórmulas. Los números son los datos sin procesar | ��@��!�� en orden. Las fórmulas son entradas que le indican a Excel que desarrolle cálculos. Todas las fórmulas empiezan con un signo igual y utilizan celdas de dirección para obtener valores de otras celdas. Por ejemplo, la fórmula � A1 � D3 calcula la suma de los valores de las celdas A1 y D3. Las fórmulas se pueden introducir escribiéndolas o seleccionando las referencias de celdas. Para escribir una fórmula se procede de la siguiente forma: se-leccione la celda donde quiera que aparezcan los cálculos de la fórmula, escriba el signo igual y escriba la fórmula utilizando los símbolos � (suma), � (resta), * (multiplicación), / (división) y ^ (elevar a la potencia). El programa interno de Excel está estructurado de ��| ��}�� Por ejemplo, si desea multiplicar el número 2 (ubicado en la celda B3) por el número 10 (ubicado en la celda C4) escriba � B3 * C4 en la celda donde usted desea que aparezca el resultado (por ejemplo, la celda D3). Sí se variara cualquiera de las cantidades en las ��?��`#!��?��]�� ]��+��K��

En Excel (en español), para hacer operaciones con interés compuesto como, por ejemplo, hacer el cálculo de cada una de las variables de la fórmula básica, se utilizan las siguientes funciones:

67

Interés compuesto

NOTACIÓN TEXTO SIGNIFICADO NOTACIÓN EXCEL

P Valor presente VA

F Valor futuro VF

n Número de períodos NPER

i Tasa de interés TASA

Para calcular cada una de las variables de la fórmula del interés compuesto, basta con incluir en la celda en que queremos que aparezca el resultado, la función que se va a calcular precedido del signo � (igual) para indicar que es una fórmula. Por ejemplo, si queremos calcular el valor futuro equivalente a un valor presente, dada una tasa de interés y dado el número de períodos, se procede así: � VF y se abre paréntesis. Al abrir el paréntesis aparecen los argumentos (variables) que se deben reemplazar por los va-lores conocidos. De todos los argumentos que aparecen dentro del paréntesis algunos no aplican para el cálculo de la función, por lo cual se deben dejar sin valor o se le co-loca el valor de cero. Cada argumento se separa de otro con un punto y coma, o coma &�� Z'��< ��los valores se oprime ENTER y aparece el resultado.

Existe otro procedimiento para calcular una variable, utilizando el cuadro de diálogo de la función Argumentos de función, que se abre a partir de la ventana Insertar función (fx), u oprimiendo su botón a la izquierda de la barra de fórmulas (fx). Sin embargo, en este texto utilizaremos el procedimiento que acabamos de describir arriba.

A continuación se resuelve una tanda de ejercicios de aplicación de la fórmula básica:

F � P(1 � i)n, en los cuales se propone el cálculo de cada una de las variables que ésta contiene.

Ejemplo 3.3

Se depositan $ 1.000.000 durante un año, en una corporación que reconoce el 3% �� `�� Z�� "�

�� Con interés simple (sin reinversión de intereses)

�� Con interés compuesto (con reinversión de intereses)

1. Con interés simple: F � P(1 � ni) (2.1) F � 1.000.000(1 � 12 � 0.03) F � $ 1.360.000

Es equivalente $ 1.000.000 hoy a $ 1.360.000 dentro de 12 meses a una tasa del 3% mensual simple.

2. Con interés compuesto

Aplicando la fórmula: F � P(1 � i)n (3.1) F � 1.000.000(1 � 0.03)12

F � $ 1.425.760.88

68


Son equivalentes $ 1.425.760.88 dentro de 12 meses a $ 1.000.000 en el día de hoy a una tasa de interés del 3% mensual.

La diferencia entre el valor futuro con interés simple y con interés compuesto plan-tea, al mismo tiempo, la diferencia entre lo que es la acumulación y la capitalización de intereses. Con interés simple, los intereses causados y no pagados se acumulan sin ge-nerar nuevos intereses. El interés compuesto supone la capitalización de los intereses no pagados y, por consiguiente, intereses sobre intereses. Visto el problema de otra forma, se podría expresar que el valor de $ 1.425.760.88 obtenido con interés compuesto está dividido en tres componentes: el capital original de $ 1.000.000, los intereses simples de 12 meses por un valor de $ 360.000, generados al aplicar la tasa del 3% sobre el ca-pital inicial, y los intereses compuestos por valor de $ 65.760.88 que resultan de aplicarle a los intereses dejados de pagar la misma tasa de interés. Sin embargo, en la práctica poco nos interesa conocer qué parte del valor de los intereses es interés simple y qué es interés compuesto. Lo importante es comprender que el interés com puesto corrige la desvalorización que sufren los intereses con el interés simple.

A continuación presentamos el cuadro de cálculo del valor futuro utilizando los �� | ��}��

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC1.000.000 �/� PV3 i%12 nCOMP FV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 1.000.000 PV3 i%12 nCOMP FV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 1.000.000 F33 F212 F1COMP F5

CMPD(�) 1.000.000 PV EXE3 I% EXE12 n EXE0 PMT EXEFV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA1.000.000 �/� VA3% IA12 NVF

En Excel: � VF (tasa; nper; pago; VA; tipo) � VF (3%; 12; 0; �1000000)

Aquí no aplica el argumento pago, que es el valor de la cuota de una serie uniforme o anualidad, por lo tanto ingresamos un valor de cero o simplemente lo dejamos en blanco pero escribiendo el punto y coma. La tasa de interés se puede ingresar como �� $��| ��}��-rencia a si es una cuota anticipada o vencida. Si la cuota es vencida se omite el valor tipo. Si es anticipada se ingresa el número 1. Este parámetro no aplica para la resolución de la fórmula del interés compuesto, por lo tanto, se omite.

Para los ejercicios siguientes obviaremos el procedimiento de la progresión geomé-trica en el cálculo de las variables que contiene la fórmula básica, debido a que su uso es poco frecuente y sólo pretendíamos ilustrar al lector sobre los diferentes métodos de resolución de la fórmula.

Ejemplo 3.4

Calcular el valor acumulado después de 38 días, si se depositan $ 25.000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 3% mensual.

38 días0

25.000.000

F � ?

69

Interés compuesto

�� + ��

Aplicando la fórmula:

F � P(1 � i)n (3.1)

F � 25.000.000 (1 � 0.03)38/30

F � $ 25.953.772.49

La tasa de interés (i) y el número de períodos (n) deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. A una tasa mensual corresponde un número de períodos mensuales. En la aplicación de la fórmula (3.1) el valor de n, expresado en meses, será igual a 38/30.

La pequeña diferencia observada en los resultados se debe al ajuste de los decimales.

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC25.000.000 �/� PV3 i%38/30 nCOMP FV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 25.000.000 PV3 i%38/30 nCOMP FV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 25.000.000 F3 25.000.000�/� VA3 F238/30 F1COMP F5

CMPD(�) 25.000.000 PV EXE3 I % EXE38/30 n EXE0 PMT EXEFV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA

3% IA38/30 NVF

En Excel: � VF (tasa; nper; pago; VA; tipo)

� VF (3%; 38/30; 0; �25.000.000)

Ejemplo 3.5

El señor Pérez entra a trabajar a una empresa ganando un sueldo mensual de $ 200.000 y espera recibir un aumento anual promedio del 20%. ¿Cuánto quedará ga-nando después de 5 años?

Cada año se incrementará el sueldo en 20% sobre el sueldo devengado el año an-terior, por ello, la operación se asimila al interés compuesto. De esta manera se deben reajustar los sueldos de los empleados tanto en el sector privado como en el público; lo que sucede es que la mayoría de las veces el porcentaje de incremento anual se hace ��+��!�� empleado al perder poder adquisitivo, es decir, cada año comprará una cantidad menor de lo que compraba en años anteriores.

70



F � P(1 � i)n (3.1)

F � 200.000 (1 � 0.20)5

F � $ 497.664

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC200.000 �/� PV20 i%5 nCOMP FV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 200.000 PV20 i%5 nCOMP FV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 200.000 F320 F25 F1COMP F5

CMPD(�) 200.000 PV EXE20 I % EXE5 n EXE0 PMT EXEFV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA200.000 �/� VA20% IA5 NVF


� VF (20%; 5; 0; �200000)

6. VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE

Tal como se analizó en el inciso 4, la fórmula básica F � P(1 � i)n presenta una importante limitación y es que la reinversión de los intereses a la misma tasa de interés, tal como lo plantea el factor (1 � i)n, no es siempre posible en la práctica. En otras pa-labras, la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por ejemplo, las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDTs ��+ �� !��| ��]� ��realizados con la aplicación de la fórmula básica F � P(1 � i)n resultan ser irreales.

La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa de interés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

F � P(1 � i1)(1 � i2)(1 � i3)…(1 � in) 3.1.1

Siendo: F � valor futuro

P � valor presente

i1 � tasa de interés del primer período

i2 � tasa de interés del segundo período

i3 � tasa de interés del tercer período

Ejemplo 3.6

Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es del 1.0% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés � ��H�GH�!�_� ]��]��{

En este caso no podemos aplicar la fórmula básica F � P(1 � i)n debido a que la tasa de interés no permanece constante, es decir, la reinversión de intereses a la misma tasa de interés supuesta en la fórmula (3.1) no se da.

71

Interés compuesto

Para solucionar el ejercicio partimos de la siguiente información:

P � $ 2.500.000

i1 � 1.00%, i2 � 1.20%, i3 � 1.40%, i4 � 1.60%, i5 � 1.80%, i6 � 2.00%

Aplicando la fórmula 3.1.1., tenemos:

F � 2.500.000 (1.010)(1.012)(1.014)(1.016)(1.018)(1.020)

F � $ 2.733.515.29

En Excel podemos hacer el cálculo directo utilizando la función VF.PLAN. Esta fun-ción sólo tiene dos argumentos: Principal y Programación (rango de tasas de interés). Para resolver el ejercicio, en la hoja de cálculo Excel registramos $ 2.500.000 en la celda B1 y en las celdas B2 hasta B7 las tasas de interés; hacemos clic en fx y buscamos en � ��k%�w</=!��Z�� ]��casillas: Principal que corresponde al valor presente y Programación que corresponde al rango de tasas. En la casilla Principal escribimos 2.500.000 y en la casilla Programación ��G;�-��&k�� ?��'�

Figura 3.1

Ejemplo 3.7

Las ventas de una estación de gasolina en los últimos 2 años aumentaron así: para el primer año se incrementaron en 15% y en el segundo año 23%. Si se tuvieron ventas hace dos años por $ 50.000.000, ¿a cuánto ascienden las ventas hoy?

72


Las ventas no tuvieron un aumento constante en los dos años. Como se explicó en el ejercicio 3.5, los aumentos se hacen a interés compuesto (sin ser interés compuesto), es decir, sobre el valor acumulado cada año. Es necesario calcular primero el valor de las ventas para el primer año a una tasa del 15% y sobre este valor de ventas aplicar un incremento del 23% para el segundo año.

F1 � 50.000.000 (1 � 0.15 )1 (3.1) F1 � $ 57.500.000

F2 � 57.500.000 (1 � 0.23 )1

F2 � $ 70.725.000

Este resultado también se obtiene si se conoce el aumento promedio de las ventas para los dos años, para lo cual es necesario apoyarse en índices de crecimiento, partiendo de un índice base (I0) al que le asignamos un valor arbitrario, por ejemplo, 100.

I0 � 100

I1 � 115

I2 � 141.45

Los índices I1 y I2, se obtuvieron así: I1 � 100 � 1.15 � 115

I2 � 115 � 1.23 � 141.45

Se observa que para el cálculo de I1 y I2 aplica el interés compuesto; el valor de I1 se calcula con base en I0 y el valor de I2 se calcula con base en I1.

Si se asume que I0 � P y I2 � F, aplicando la expresión (3.1) calculamos la tasa de interés que corresponde al incremento promedio en los dos años.

F � P(1 � i)n (3.1)

141.45 � 100(1 � i)2

i � 18.9328% anual

Conocida la tasa de incremento promedio en las ventas en los dos años, calculamos el valor de las ventas actuales, aplicando la expresión (3.1)

F � 50.000.000 (1 � 0.189328)2

F � $ 70.725.054

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC50.000.000 �/� PV18.9328 i%2 nCOMP FV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 50.000.000 PV18.9328 i%2 nCOMP FV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 50.000.000 F318.9328 F22 F1COMP F5

CMPD(�) 50.000.000 PV EXE18.9328 I % EXE2 n EXE0 PMT EXEFV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA50.000.000 �/� VA18.9328% IA2 NVF


� VF (18,9328%; 2; 0; �50.000.000)

0

P � ?

1 2 3 n � 1 n

F1 F2 F3 F4 Fn

73

Interés compuesto

Al no ser constantes las tasas de incremento no aplica directamente la fórmula básica, como lo acabamos de apreciar en las soluciones matemáticas anteriores. Utilizando la función de Excel VF.PLAN podemos hacer el cálculo directo del valor futuro. En la hoja de cálculo Excel escribimos en la celda B1 el valor de $ 50.000.000 que corresponde al valor de las ventas y en las celdas B2 y B3 escribimos las tasas de incremento anuales; hacemos clic en Fx y activamos VF.PLAN y llenamos las casillas Principal con 50.000.000 y Programación con el rango B2:B3, damos aceptar y encontramos el valor de $ 70.725.000. &k�� ?�G'�

Figura 3.2

7. VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO

Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada n períodos adelante (en el futuro), considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivalente a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda.

De la expresión F � P(1 � i)n (3.1) , se despeja P: P F�

�1 in( )

(3.2)

6 meses0

P � ?

300.000

i � 3.5% mensual

74


La fórmula (3.2) también se puede expresar en forma algebraica de la siguiente manera:

P F F��

� ��

11

ii

n

n

( )( ) (véase exponente negativo)

El factor (1 � i)�n se conoce como “factor de descuento”.

Ejemplo 3.8

El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

F � $ 300.000 n � 6 meses i � 3.5% mensual P � ?

�� + ��;


P F�

�1 in( )

(3.2)

P ��

300 000

1 0 0356

.

.( ) P � $ 244.050.19

El ejercicio supone que los intereses que se van causando cada mes se van capi-talizando.

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC300.000 �/� FV3.5 i%6 nCOMP VA EXE

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 300.000 FV3.5 i%6 nCOMP VA EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 300.000 F53.5 F26 F1COMP F3

CMPD(�) 300.000 FV EXE3.5 I% EXE6 n EXE0 PMT EXEPV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA300.000 �/� VF3.5% IA6 NVA

En Excel: � VA (tasa; nper; pago; VF; tipo) � VA (3,5%; 6; 0; �300.000)

75

Interés compuesto

Ejemplo 3.9

Un inversionista aceptó, inicialmente, recibir $ 50.000.000 después de dos años, por la venta de una propiedad. Recibe dos ofertas: Pedro y Juan le ofrecen pagarle hoy un valor equivalente, calculado así: Pedro, con una tasa del 2.0% mensual, y Juan, con una tasa del 3.0% mensual. ¿Qué oferta debe aceptar y por qué?

Oferta de Pedro: Oferta de Juan:

P ��

�50 000 000

1 0 0231 086 074 40

24

. .

.$ . . .

( ) P �

��

50 000 000

1 0 0324 596 686 82

24

. .

.$ . . .

( )

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC50.000.000 �/� FV2 i%24 nCOMP PV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 50.000.000 FV2 i%

3 i% 3 i%

24 nCOMP PV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 50.000.000 F52 F224 F1COMP F3

(�) 50.000.000 FV EXECMPD

2 I% EXE24 n EXEPMT 0 EXEPV SOLVE3 I%

FINVDTCLEAR DATA50.000.000 �/� VF2% IA24 NVA

COMP PV COMP PV EXE 3 F2COMP F3

PV SOLVE 3 I% IAVA

En Excel: � VA (tasa; nper; pago; VF; tipo) � VA (2%; 24; 0; �50.000.000)

Para calcular el valor presente con una tasa del 3.0% mensual, cambiamos en la barra de fórmulas la tasa de interés.

Por los resultados obtenidos, el inversionista debe aceptar la propuesta de Pedro por tener un mayor valor presente. Se concluye que: el valor presente es inversamente proporcional a la tasa de interés.

TEMA DE INTERÉS

ACEPTACIONES BANCARIAS

�� Z��&<��`��'�| �� se garantizan operaciones de pagos entre un comprador y un vendedor.

Características:Emisión:��Z�� | ��+�� ¢Z��Monto: �� Plazo: hasta 180 días es el más común, pero se puede expedir hasta un año en casos especiales.Costos: se cobra una comisión por emisión y en el evento en que el cliente no cancele la aceptación en el plazo estipulado se le cobran intereses de mora.Descuento: al ser un título valor, la aceptación bancaria puede ser vendida en el mercado secundario (Bolsa de Valores) o en la mesa de dinero del mismo banco.

76


��K��!��Z��Z�!�� }��-cepto del valor presente y su relación de dependencia con la tasa de interés. El valor �� | ��Z��&/��!��!�`�$'!� ��!��W�!� ��Z�� K�� | ��!��Z��+ ��Z�| ��| �� K��Z�&Weston y Brigham, 1995). Así, por ejemplo, si una persona posee una aceptación bancaria y necesita venderla en el mercado secundario (bolsa de valores), en una fecha anterior a su vencimiento a través de un comisionista de bolsa, su precio de venta viene determi-nado por el valor presente del valor de la aceptación bancaria a una tasa de interés de mercado pactada con el comisio nista. Es evidente que este valor total dependerá de la ��| ��Z��<��Z��Z��&�| ��| �� Z�� '!��| ��Z��-derlos, y así, obtener un mayor precio de venta.

Ejemplo 3.10

Blanca Helena tiene una aceptación bancaria por $ 20.000.000 a 180 días y necesita negociarla faltando 72 días para su vencimiento con un comisionista de bolsa que le cobra una tasa del 18% anual. ¿Cuánto recibirá Blanca Helena?

P �

�

�20 000 000

1 0 1819 348 780 34

72360

. .

.$ . . .

( )

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC20.000.000 �/� FV18 i%72/360 nCOMP PV

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 20.000.000 FV18 i%72/360 nCOMP PV EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 20.000.000 F518 F272/360 F1COMP F3

(�) 20.000.000 FV EXECMPD

18 I% EXE72/360 n EXEPMT 0 EXEPV SOLVE

FINVDTCLEAR DATA20.000.000 �/� VF18% IA72/360 NVA

En Excel: � VA (18%; 72/360; 0; 20.000.000)

7.1 VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE

En forma similar a lo explicado en el estudio del valor futuro con tasa variable, in-ciso 6, al hacer cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo que nos indica que la fórmula básica F � P(1 � i)n no es aplicable.

Para este nuevo caso la fórmula matemática es:

P F�

� � �1 1 11 2i i in( )( ) ( )... (3.2.1)

77

Interés compuesto

Donde:

P � Valor Presente

F � Valor Futuro

i1 � Tasa del primer período

i2 � Tasa del segundo período

in � tasa del período n

Ejemplo 3.11

Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses.

MES MES 1 MES 2 MES 3 MES 4 MES 5 MES 6TASA 0.50% 0.60% 0,70% 0,80% 0,90% 1,00%

La solución matemática del problema es:

P ��

2 000 0001 0 005 1 0 006 1 0 007 1 0 008 1 0 009 1

. .. . . . .( )( )( )( )( ) 00 01.( )

P � $ 1.912.332.52

El Excel no trae ninguna función que resuelva el ejercicio en forma directa, sin em-bargo, haciendo algunas operaciones en la hoja de cálculo podemos llegar al resultado.

En la hoja de cálculo Excel, en la celda B1 escribimos $ 2.000.000 que corresponde ��Z�� ?�}��>?��*�� #�}��>#�� igual a la tasa de interés sumada más el número 1, que corresponde a cada factor del denominador de la fórmula 3.2.1; es decir, en la celda B4 escribimos � 1 � B3, en la celda C4 escribimos � 1 � C3 y así sucesivamente. Sí copiamos horizontalmente la celda B4 obtenemos el mismo resultado. En la celda B5 calculamos el producto de los factores utilizando la función PRODUCTO de Excel, para lo cual simplemente escribimos el si-gno igual (para indicarle al Excel que es una fórmula), escribimos PRODUCTO, abrimos paréntesis y escribimos en número 1��#;>#��| �Z��}��cálculo del denominador de la fórmula 3.2.1. En la celda B6 calculamos el valor presente dividiendo el valor futuro (B1) entre el producto de los factores (B5) y obtenemos un Z��Y�G�??G��G��&k�� ?�?'�

1.5 años0

100

200

i � ?

78


Figura 3.3

8. TASA DE INTERÉS COMPUESTA

En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un núme-ro de períodos determinado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y una cantidad única recibida, la tasa de interés se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación básica F � P(1 � i)n.

Ejemplo 3.12

Si en el día de hoy se invierten $ 100 y después de año y medio se tienen acumu-lados $ 200, ¿qué tasa de interés arrojó la operación?

P � $ 100 F � $ 200

n � 1.5 años i � ?

��+ �� ;

79

Interés compuesto

Aplicando la fórmula: F � P(1 � i)n (3.1)

200 � 100(1 � i)18

2 � (1 � i)18

Sacando raíz 18 a ambos miembros de la igualdad, esta subsiste:

�� 2 00 2 00181

18. .� ( ) , que es la raíz de una potencia.

�� 1 118

18 � � �i i( ) ( ), que es la raíz de una potencia.

(2.00)1/18 � 1 � i

1.0393 � 1 � i

1.0393 � 1 � i

i � 0.0393 � 3.93% mensual.

En Excel: � TASA (nper; pago; VA; VF; tipo)

� TASA (18; 0; �100; 200)

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC100 �/� PV200 FV18 nCOMP i%

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 100 PV200 FV18 nCOMP i% EXE

MENÚF2 (COMPOUND)SHIFT AC EXE AC(�) 100 F3200 F518 F1COMP F2

18 n EXECMPD

(�) 100 PV EXE200 FV EXE0 PMT EXEI% SOLVE

FINVDTCLEAR DATA100 �/� VA200 FV18 N%IA

w��}��]� �� K�� | ��| ��al ingresar la información se tenga en cuenta la regla de los signos: egresos con signo negativo e ingresos con signo positivo. Si le ingresa el valor presente y futuro con el mismo signo, la calculadora le marca error. En este ejercicio, también puede apreciar el lector ��K��]� �� K�� £��w��¤��-��Y��w>��/��!��| �� K��G�w>��/��!�� !�la que tendría que dividirse entre 12 para obtener la tasa mensual.

En la solución del problema se observó que al expresar el número de períodos en meses, la tasa de interés obtenida es mensual. Se conserva la condición de que: el número de períodos y la tasa de interés deben estar expresados en la misma unidad de tiempo.

Ahora, si se aplica la fórmula básica considerando el número de períodos anuales, se tiene:

F � P(1 � i)n (3.1)

200 � 100 (1 � i)1.5

2.0 � (1 � i)1.5

80


Aplicando radicales a ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera:

2 0 11 5 1 51 5.. ..� � i( )

(2)1/1.5 � 1 � i

(2)0.6667 � 1 � i

1.5874 � 1 � i

i � 0.5874 � 58.74% anual


� TASA (1,5; 0; �100; 200)

Observación. Una tasa del 3.93% mensual es equivalente a una tasa del 58.74% efectiva anual. Esta equivalencia se demostrará en el capítulo 4 dedicado a las tasas de interés.

9. TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde el punto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el valor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n).

Ejemplo 3.13

�� K�� #�� !�¿cuánto tiempo se debe esperar para que $ 500.000 de hoy se conviertan en $ 711.656?

F � $ 711.656 P � $ 500.000

i � 4% mensual n � ?

n0

500.000

711.656

i � 4% mensual

81

Interés compuesto

�� + ��;

F � P(1 � i)n (3.1)

711.656 � 500.000(1 � 0.04)n

711 656500 000

1 0 04..

.� �( )n

1.4233 � (1 � 0.04)n

La anterior es una ecuación exponencial, que se resuelve aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad.

Log 1.4233 � n Log 1.04 n �LogLog

1 42331 04..

n �0 15330 0170

.

. n � 9 meses

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC500.000 �/� PV711.656 FV4 i%COMP n

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 500.000 PV711.656 FV4 i%COMP n EXE


(�) 500.000 PV EXECMPD

711.656 FV EXE4 I% EXE0 PMT EXEn SOLVE

FINVDTCLEAR DATA500.000 �/� VA711.656 FV4 I%N

En Excel: � NPER (Tasa; pago; VA; VF; tipo)

� NPER (4%; 0; �500000; 711.656)

Las calculadoras FC 200 y FC 1.000, redondean el valor de n, por lo tanto, para obtener su valor exacto se debe oprimir RCL n EXE.

Ejemplo 3.14

Se emprende hoy un negocio que da un rendimiento del 2% mensual. ¿Cuánto tiempo tomará en incrementarse la inversión en un 100%?

El ejercicio no suministra información sobre el valor de la inversión inicial, pero por la condición de que debe incrementarse en un 100%, podemos asumir valores para P y F.

P � $ 150.000 F � $ 300.000

i � 2% mensual n � ?

82


F � P(1 � i)n (3.1)

300.000 � 150.000(1 � 0.02 )n

2 � (1.02)n

Resolviendo la ecuación exponencial aplicando, ahora, logaritmos naturales, se tiene:

Ln 2 � n Ln(1.02) n � �Ln

Ln2

1 020 69310 0198.

.

. n � 35 meses

Esto indica que si se realiza hoy una inversión P, con un rendimiento del 2% mensual, después de 35 meses se incrementa en un 100%.

MODE 1

H.P.17BII Y 19BII

CASIOFC 100V Y 200V

CASIOFC 1.000

CASIOFC 200

CASIOFC 100

SHIFT AC150.000 �/� PV300.000 FV2 i%COMP n

MODE 4SHIFT AC EXE AC(�) 150.000 PV300.000 FV2 i%COMP n EXE


(�) 150.000 PV EXECMPD

300.000 FV EXE2 I% EXE0 PMT EXEn SOLVE

FINVDTCLEAR DATA150.000 �/� VA300.000 FV2% IAN


� NPER (2%; 0; �150.000; 300.000)

10. ECUACIONES DE VALOR

Es común en el mundo de los negocios que una persona decida en determinado ��!�� !�� | ��haya sido pactada inicialmente, mediante el pago de otra(s) obligación(es) en fechas diferentes con la condición de que sean equivalentes en valor a la obligación inicial.

Por ejemplo, si se recibe un préstamo (P) hoy para cancelarlo por medio de un pago en el mes 6 por valor de $ 500.000 y otro pago en el mes 12 por valor de $ 700.000, sería absurdo hacerlo hoy por $ 1.200.000 que resultaría de sumar $ 500.000 del mes 6 con $ 700.000 del mes 12. Al estar ubicados en fechas diferentes son valores de diferentes poder adquisitivo y, por lo tanto, no son comparables. Si las partes (acreedor-deudor) �� }�� !�� tasa de interés, por ejemplo el 2% mensual, y sumar el valor presente de $ 500.000 con vencimiento dentro de 6 meses con el valor presente de $ 700.000 con vencimiento dentro de un año.

P ��

��

500 000

1 0 02

700 000

1 0 026 12

.

.

.

.( ) ( )

P � $ 995.930,91

Al hacer esta operación se les están descontando a los valores ubicados en el futuro, el efecto de los intereses.

83

Interés compuesto

Para este mismo ejemplo, supongamos ahora que el deudor no dispone del dinero en efectivo para cancelar hoy $ 995.930,91 y solicita al acreedor que le permita hacer un solo pago dentro de dos años. Si la tasa de interés sigue siendo el 2,0% mensual, el valor a pagar sería:

F � $ 995.930,91(1 � 0.02)24 � $ 1.601.892.37

Podemos concluir que para una misma obligación se están dando tres alternativas de pago equivalentes, a saber:

$ 995.930,91 en el día de hoy

$ 500.000 dentro de 6 meses y $ 700.000 dentro de un año

$ 1.601.892.37 dentro de dos años

Situaciones similares a ésta se presentan cada día en el manejo de los créditos. Para plantear situaciones equivalentes se utilizan las ecuaciones de valor, que se apoyan en �� ;�para comparar sumas de dinero ubicadas en fechas diferentes, deberán trasladarse todas ellas a una misma fecha, denominada fecha focal. O como lo ilustran Bodie y Merton (1999): dos cosas diferentes no se pueden com-parar; y dos cantidades de dinero ubicadas en fechas diferentes, son dos cosas diferentes.

` ��K�� !�� | ��traslada cantidades de dinero a través del tiempo a valores equivalentes es la fórmula básica F � P(1 � i)n.

Cuando se calcula F, se traslada un valor presente (P) a un valor futuro equivalente y cuando se calcula P, se traslada un valor futuro (F) a un valor presente equivalente. Calcular valores futuros es lo contrario de calcular valores presentes (Bodie Merton, 1999). De tal forma que, si los valores están antes de la fecha focal se trasladan a sus valores futuros equivalentes y si están después de la fecha focal se traen a sus valores presentes equivalentes.

`�� @�� !� �� ecuación de valor como una igualdad que se establece entre ingresos y egresos, ambos ubicados en una misma fecha, llamada fecha focal. La fecha focal es una fecha elegida en forma arbitraria, que �� | ��}��+ ��| �� ecuación de valor.

10.1 PASOS PARA CONSTRUIR UNA ECUACIÓN DE VALOR

�'� �� + ��!��Z��}��ingresos y valores hacia abajo como egresos. En casos excepcionales no habrá ingresos, como al considerar solo gastos, en cuyo caso el valor de arriba es cero.

�'� �� }�� | ��}��+ ��

c) Se trasladan los ingresos y egresos a la fecha focal aplicando la fórmula básica F � P(1 � i)n y se igualan. La ecuación resultante es la ecuación de valor. Recuérdese que valores que se encuentran antes de la fecha focal, son valores presentes con respecto a ésta, los cuales hay que trasladarlos calculando su valor futuro equivalente y valores que se encuentran después de la fecha focal son valores futuros con res-pecto a ésta, los cuales hay que trasladarlos calculando su valor presente equivalente.

0

500.000 X

4 8 12 meses

f.f.200.000 600.000

84


� �� + �� !�� de interés del 2,0% mensual:

Se observa que los ingresos son diferentes a los egresos y, además, que están ubi-cados en fechas diferentes, por lo tanto, no son comparables. El valor de X lo podemos calcular construyendo una ecuación de valor. Para este caso ubiquemos la fecha focal en el mes 12:

200.000(1 � 0.02)8 � 600.000(1 � 0.02)4 � 500.000(1 � 0.02)12 � X

234.331.88 � 649.459.30 � 634.120.89 � X

X � $ 249.670.29

¿Qué sucede si se ubica la fecha focal, ahora, en el mes 8?

Se plantea la ecuación de valor de la siguiente forma:

200 000 1 0 02 600 000 500 000 1 0 021 0 02

4 8

4. . . . .

.� � � � �

�( ) ( )

( )X

216.486.43 � 600.000 � 585.829.69 � 0.9238X

X � $ 249.670.29

��Z��| ��}�� !�� -cia, puede seleccionarse cualquier fecha para efectuar la igualdad de las obligaciones.

De la aplicación de las ecuaciones de valor se puede plantear lo siguiente: lo que se debe es exactamente igual a lo que se tiene que pagar. Si se paga de contado las cantidades (lo recibido y lo pagado) son exactamente las mismas. Si se paga a plazos las cantidades parecerán diferentes por los intereses que se pagarán, pero si esas cantidades con intereses se trasladan a una misma fecha, la fecha focal, las cantidades que se deben y las que se pagarán serán las mismas (Baca, 1994).

Las ecuaciones de valor se constituyen en una de las técnicas más útiles de las \��]��%�� Z��

` �| ��| �� + ��caja, se resuelve con una ecuación de valor.

A continuación se presenta una tanda de ejercicios resueltos cuya solución se logra con una ecuación de valor. Como se comentó en un acápite anterior, en Matemáticas Financieras el primer paso y quizás el más importante para la solución de los problemas �� + ��!��| ��Z�� K��| ��

0

P

50.000 200.000 350.000

5 8 meses

0

498.814.99

f.f. X X

6 12 meses

85

Interés compuesto

se está realizando. En los ejercicios que el lector encontrará resueltos a continuación ��]�| �� + ��

Ejemplo 3.15

Pablo se comprometió a cancelar una deuda con los siguientes pagos: un pago en el día de hoy por valor de $ 50.000, un pago dentro de 5 meses por valor de $ 200.000 y un pago dentro de 8 meses por valor de $ 350.000. Posteriormente, convino con el acreedor en cancelarle la deuda con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Calcular el valor de ��!��K�� ?��

��w��}��| ��| �� !�| �� calcular por medio de una ecuación de valor.

Se elige como fecha focal el período cero (fecha focal natural).

P � ��

��

50 000 200 000

1 0 03

350 000

1 0 035 8

. .

.

.

.( ) ( ) P � 50.000 � 172.521.76 � 276.293.23

P � $ 498.814.99

Esta deuda inicial se va a cancelar con dos pagos iguales en los meses 6 y 12:

Se escoge como fecha focal el momento cero para plantear la ecuación de valor.

498 814 991 0 03 1 0 03

6 12. .

. .�

��

�

X X

( ) ( ) 498 814 99

1 19405 1 42576. .

. .� �

X X

498.814.99 � 0.837486X � 0.701380X

498.814.99 � 1.538866X

X �498 814 991 538866

. ..

X � $ 324.144.53

0

1.000.000 f.f.

X X

6 10 12 meses

86


La solución dada al ejercicio plantea tres soluciones de pagos equivalentes para una misma deuda: es equivalente pagar hoy la suma de $ 498.814.99, que pagar una cuota ini-cial de $ 50.000 y dos pagos por $ 200.000 y $ 350.000 en los meses 5 y 8 respectivamente y que hacer dos pagos iguales en los meses 6 y 12 por valor de $ 324.144.53 cada uno.

Prueba. La deuda inicial de $ 498.814.99 transcurridos 6 meses tendrá un valor equivalente a:

F � 498.814.99 (1 � 0.03)6

F � $ 595.611.18

En el mes 6 se pagan $ 324.144.53; se quedan debiendo:595.611.18 � 324.144.53 � $ 271.466.65

Los $ 271.466.65, transcurridos los 6 meses restantes, tendrán un valor equivalente a: F � 271.466.65 (1 � 0.03)6

F � $ 324.145.38 = $ 324.144.53, que es lo que se paga en el mes 12.

Ejemplo 3.16

Un electrodoméstico tiene un valor de contado2��HHH�HHH��con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Hallar el valor de estos pagos, si la tasa de interés que se cobra es del 2% mensual.

Se eligió el mes 10 como fecha focal para plantear la ecuación de valor.

1 000 000 1 0 02 1 0 021 0 02

10 4

2. . . .

.� � � �

�( ) ( )

( )X X

1 218 994 42 1 08241 0404

. . . ..

� �X X

1.218.994.42 � 1.0824X � 0.9612X

1.218.994.42 � 2.0436X

X �1.218.994.42

2 0436. X � $ 596.493.65

2 La Superintendencia de Industria y Comercio (Colombia) expidió la resolución No 19907 del 24 de � ��G�HHG!�� servicios. De acuerdo a la disposición, las casas comerciales tienen la obligación de suministrarle a los clientes, entre otras informaciones, el valor de contado del electrodoméstico, plazo y tasa de in-terés del crédito. Esta reglamentación tiene como propósito evitar que al cliente le sigan cobrando intereses por encima de los límites que establece la ley colombiana.

0

1.000.000 f.f.

X X

4 6 12 meses

0

P � ?

f.f.

6 8 10 11 12 meses

300.00075.000 45.000 P/2

87

Interés compuesto

También podemos resolver el ejercicio eligiendo otra fecha focal, por ejemplo, el mes 4:

1 000 000 1 0 021 0 02 1 0 02

4

2 8. . .

. .� �

��

�( )

( ) ( )X X

1.082.432.16 � 0.9612X � 0.8535X

1.082.432.16 � 1.8147X

X �1 082 432 16

1 8147. . .

.

X � $ 596.493.65

Los resultados coinciden. No obstante, antes de resolver un ejercicio que implique formar una ecuación de valor es recomendable analizar con qué fecha focal se plantea una ecuación fácil de resolver.

Ejemplo 3.17

¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual, para poder retirar $ 75.000 dentro de seis meses, $ 45.000 dentro de ocho meses, la mitad de lo depositado dentro de diez meses y aún se tenga un saldo de $ 300.000 dentro de 12 meses?3

Con fecha focal en el mes 11 se plantea la ecuación de valor.

3 �� ¥��>��!�� \��]��%��

0

13.500.000

6 8 10 meses

1.350.000 X X � 50.000 X � 150.000

88


P P1 0 02 75 000 1 0 02 45 000 1 0 02 0 5 1 0 0211 5 3 1

� � � � � � � �. . . . . . .( ) ( ) ( ) ( ) 3300 000

1 0 021

.

.�( )

1.243374 P � 82.806.06 � 47.754.36 � 0.51 P � 294.117.65

0.733374 P � 424.678.07

P �424 678 070 733374

. ..

P � $ 579.074.35

Ejemplo 3.18

��| ��| ��Z��?��HH�HHH��Z�� del 2% mensual por medio de una cuota inicial del 10% y tres pagos en los meses 6, 8 y 10 respectivamente, de tal forma que el segundo pago sea $ 50.000 menos que el pri-mero y el tercer pago sea $ 200.000 más que el segundo. Calcular el valor de los pagos.

La composición de los pagos es la siguiente:

Pago en el mes 6: X

Pago en el mes 8: X � $ 50.000

Pago en el mes 10: X � $ 50.000 � $ 200.000 � X � $ 150.000

Se plantea la ecuación de valor con fecha focal en el momento cero.

13 500 000 1 350 0001 02

50 000

1 02

150 0006 8

. . . ..

.

.

.� � �

��

�X X X

( )( )

( )( ))

( )1 0210

.

12.150.000 � 0.88797X � 0.85349(X � 50.000) � 0.82035 (X � 150.000)

12.069.622 � 2.56181X

X � $ 4.711.365.01

Los pagos a realizar serán:

Pago en el mes 6: $ 4.711,365.01

Pago en el mes 8: $ 4.711.365.01 � $ 50.000 � $ 4.661.365.01

Pago en el mes 10: $ 4.711.365.01 � $ 150.000 � $ 4.861.365.01

0

1.000.000 850.000f.f.

4 6 10 15 30 meses

250.000 350.000 F � ?

89

Interés compuesto

Ejemplo 3.19

Un ahorrador deposita hoy la suma de $ 1.000.000 en una corporación que paga un interés del 2% mensual, retira $ 250.000 dentro de 6 meses, $ 350.000 dentro de 10 meses, hace un nuevo depósito en el mes 15 por valor de $ 850.000. ¿Qué saldo tendrá en la cuenta de ahorros dentro de 2.5 años?

Se eligió el mes 4 como fecha focal para plantear la ecuación de valor.

1 000 000 1 0 02 850 000

1 0 02

250 000

1 0 02

3504

11 2. . . .

.

.

.

.� ��

0000

1 0 02 1 0 026 26

. .� � � �F

1.082.432.16 � 683.623.58 � 240.292.19 � 310.789.98 � 0.5976 F

1.214.973.52 � 0.5976F

F �1 214 973 52

0 5976. . .

.

F � $ 2.033.088.30

Prueba

Si se deposita en el día de hoy $ 1.000.000 a una tasa de interés del 2% mensual, el ahorrador tendrá en la cuenta después de 6 meses:

F � 1.000.000(1 � 0.02)6

F � $ 1.126.162.42

Si en esta fecha (sexto mes), retira $ 250.000, le queda un saldo de:

$ 1.126.162.42 � $ 250.000 � $ 876.162.42

�� Z�� #��!��!�}��H��/��del mes 10, tendrá en la cuenta:

F � 876.162.42 (1 � 0.02)4

F � $ 948.386.38

Si en esta fecha retira $ 350.000, le queda un saldo de:

$ 948.386.38 � $ 350.000 � $ 598.386.38

0

3.000.000 4.500.000 10.000.000

P � ?

6 12 meses

90


�� Z��G�� /��15 tendrá un saldo de:

F � 598.386.38 (1 � 0.02)5

F � $ 660.666.91

En esta fecha deposita $ 850.000, quedando un saldo de:

Saldo � $ 660.666.91 � $ 850.000 � $1.510.666.91

�� Z�� /��?H!��]� ��nuevo saldo a su favor de:

F � 1.510.666.91 (1 � 0.02)15

F � $ 2.033.158.76

Ejemplo 3.20

El señor Pedro Picapiedra tiene dos opciones para vender su casa:

Primera opción: una cuota inicial de $ 3.000.000, un pago de $ 4.500.000 dentro de 6 meses y un pago de $ 10.000.000 dentro de 1 año.

Segunda opción: venderla de contado por $ 14.500.000.

��"��w�� _� ��!��él está dispuesto a prestar su dinero al 3% mensual?

Comparemos las dos opciones en el presente (momento cero).

Veamos qué sucede con la primera opción: al ubicar la fecha focal en el momento cero, y al trasladar todos los valores a esta fecha, a una tasa de interés del 3% mensual, se está calculando el valor de contado para esta alternativa.

Se elige el momento cero para plantear la ecuación de valor.

P � ��

��

3 000 000 4 500 000

1 0 03

10 000 000

1 0 036 12

. . . .

.

. .

.( ) ( )P � 3.000.000 � 3.768.679.15 � 7.013.798.80

P � $ 13.782.477.95

Este valor indica que es equivalente vender la casa por un valor de contado de $ 13.782.477.95.

Al comparar las dos opciones de venta, el señor Picapiedra debe elegir la segunda opción.

0

200.000 f.f.

P � ?

3

P/3 P/2

5 7 meses

91

Interés compuesto

Ejemplo 3.21

`�� Z�� Z�| �� ;� �� GHH�HHH!�� Z��-� �� Z��<��que le cobraron fue del 3% mensual.

Se plantea la ecuación de valor con fecha focal en el mes 3.

P P P1 0 03 200 000 1 0 03 0 3333

1 0 03

0 5

1 0 03

3 3

2 4� � � �

��

�. . . .

.

.

.( ) ( )

( ) ( ) 1.0927P � 218.545.40 � 0.3142P � 0.4442P

0.3343P � 218.545.40

P �218 545 40

0 3343. ..

P � $ 653.740.35

El valor de contado del activo es de $ 653.740.35.

��Z��!��| ��;

cuota inicial: $ 200.000

Pago dentro de 5 meses: P/3 � 653.740.35/3 � $ 217.913.45

Pago dentro de 7 meses: P/2 � 653.740.35/2 � $ 326.870.17

Los dos esquemas son equivalentes. Es equivalente pagar hoy por el activo $ 653.740.35, que pagar hoy una cuota inicial de $ 200.000, un pago dentro de 5 meses de $ 217.913.45 y un pago dentro de 7 meses de $ 326.870.17.

Prueba

Si el activo vale de contado $ 653.740.35 y se paga una cuota inicial hoy de $ 200.000, se quedan debiendo $ 453.740.35.

��#�?�-#H�?��?�� /��tercer mes, se tendrá una deuda acumulada de:

F � 453.740.35(1 � 0.03)5 � $ 526.009.42

En esta fecha se abonan $ 217.913.45, quedando un saldo de:

$ 526.009.42 � $ 217.913.45 � $ 308.095.97

0 4 5 6 n

900.000f.f.

8 meses

200.000 300.000 600.000

92


��?�� G��/��-!�� saldo de:

F � 308.095.97(1 � 0.03)2 ��?G*��-H�H�!�| ��Z��| ��mes 7.

11. CÁLCULO DE FECHAS DESCONOCIDAS

En los ejercicios precedentes, dentro de los planes de reestructuración de créditos, ��K��Z�� | �Z�� Z��}��}��pagos. Algunas veces se propone cambiar los pagos pactados inicialmente por nuevos pagos conocidos, pero es necesario establecer fechas que cumplan con la equivalencia de valores. El procedimiento para calcular estas fechas se desarrolla con el mismo plan-teamiento de las ecuaciones de valor aplicando el teorema fundamental.

Ejemplo 3.22

Usted tiene tres documentos por cobrar así: uno por $ 200.000 dentro de 4 meses, otro por $ 300.000 dentro de 6 meses y el último por $ 600.000 dentro de 8 meses. Pacta �� YHH�HHH��se realiza con una tasa de interés del 4% mensual, ¿en qué fecha se debe pagar?


200 000 1 0 04 300 000

1 0 04

600 000

1 0 04

900 0001

1 3. . .

.

.

.

.� �

��

��( )

( ) ( ) 11 0 045

��

.( )n

208 000 288 461 54 533 397 81 900 000

1 0 045

. . . . . .

.� � �

��( )n

1 029 859 35 900 000

1 0 045

. . . .

.�

��( )n

1 04 900 0001 029 859 35

5. .

. . .( )n�

�

(1.04)n�5 � 0.873906 (véase ecuación exponencial)

(n � 5) Log (1.04) � Log(0.873906)

n n� � � ��5

0 873906

1 045 0 058535

0 017033

Log

Log

.

..

.( )( )

n � �3.436496 � 5 n � 1.5635 meses

0

f.f.

P � ?

4 6 8 meses

200.000 300.000 600.000

0

f.f.

846.469.32

F � ?

47 días

93

Interés compuesto

La respuesta indica que los $ 900.000, equivalentes a los tres pagos en sus respectivas fechas, se deben pagar en un mes más una fracción de 0.5635 meses. Para conocer la fecha más exacta se convierte el resultado a días, de la siguiente manera:

Si un mes tiene 30 días, ¿cuántos días tienen 0.5635 meses?

1 mes 30 días

0.5635 mes X

X � 17 días; luego 1.5635 meses � 47 días

Es equivalente pagar $ 900.000 dentro de 47 días, contados a partir del momento cero, que pagar: $ 200.000 dentro de 4 meses, $ 300.000 dentro de 6 meses y $ 600.000 dentro de 8 meses.

Prueba. El tener 3 documentos por cobrar indica que existió un préstamo inicial.

Se calcula el valor del préstamo inicial equivalente a los tres pagos. Para plantear la ecuación de valor se elige como fecha focal el momento cero, como se observa en ��+ ��

P ��

��

��

200 000

1 0 04

300 000

1 0 04

600 000

1 0 044 6 8

.

.

.

.

.

.( ) ( ) ( )P � 170.960.84 � 237.094.36 � 438.414.12

P � $ 846.469.32

Se traslada el valor del préstamo inicial a su valor equivalente dentro de 47 días.

846 469 321

. . ��

F

in( )

94


Se observa que la tasa de interés está expresada en forma mensual y F está ubicado en 47 días, por lo tanto, es necesario expresar los días en meses en la fórmula:

846 469 321 0 04

4730

. ..

�

�

F

( ) 846 469 32

1 063373. .

.�

F

F � 846.469.32 � 1.063373

F � $ 900.000

<�� !��| �� | �Z�� ;��| �Z��hoy $ 846.469.32, que pagar $ 900.000 dentro de 47 días, que pagar: $ 200.000 dentro de 4 meses, $ 300.000 dentro de 6 meses y $ 600.000 dentro de 8 meses.

La fecha en la cual un conjunto de deudas, con fechas de vencimiento diferentes, puede ser pagado mediante un valor único equivalente a la suma de las distintas deudas, se llama fecha equivalente. El tiempo que debe transcurrir desde el momento actual hasta la fecha equivalente se conoce como tiempo equivalente (Vidaurri, 1997).

Ejemplo 3.23

Calcular el tiempo equivalente4 para el siguiente conjunto de obligaciones:

$ 200.000 a pagar dentro de 4 meses



La tasa de interés es del 4% mensual.

El problema consiste en encontrar el tiempo en el cual es equivalente cancelar $ 1.500.000 a cancelar las tres obligaciones en sus fechas respectivas. Al plantearse una serie de obligaciones como la del ejercicio, es común que personas sin formación ��@��| ��Z�� Z��obligaciones, desconociendo que son valores diferentes ubicados en diferentes fechas y, por lo tanto, no son comparables. Para este caso, es un error decir que al cancelarse las 3 obligaciones en sus fechas respectivas, se han cancelado $ 1.500.000. Miremos con el resultado obtenido al desarrollar una ecuación de valor, en qué fecha es equivalente cancelar $ 1.500.000 a cancelar las 3 obligaciones en sus fechas correspondientes.

4 Algunos autores denominan vencimiento medio al tiempo equivalente.

0 4 6 n 8 meses

f.f.1.500.000

200.000 500.000 800.000

95

Interés compuesto

��+ �� !��+��}��}��Z��| ��K�!��+��}��}��

200.000(1.04)4 � 500.000 (1.04)2 � 800.000 � 1.500.000 (1.04)8�n

233.971.71 � 540.800 � 800.000 � 1.500.000 (1.04)8�n

(1.04)8�n � 1.0498

La anterior es una ecuación exponencial, que se resuelve aplicando logaritmos:

(8 � n) Log(1.04) � Log(1.0498)

81 0498

1 04� �n( ) ( )

( )Log

Log

.

.

8 � n � 1.2391

n � 6.76 meses

El resultado indica que aproximadamente en 6.8 meses es equivalente cancelar $ 1.5000.000 a cancelar las tres obligaciones en las fechas indicadas. Si se desea obtener un resultado más claro y exacto, se expresan los meses en días, haciendo los siguientes cálculos:

6.76 meses � 6 meses � 0.76 meses

6.76 meses � 180 días � 23 días (30 días � 0.76) � 203 días

El tiempo equivalente para el pago de un conjunto de deudas se puede calcular en una forma aproximada aplicando la siguiente regla, la cual se anunciará sin demostra-ción (Vidaurri, 1997): el tiempo equivalente es aproximadamente igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar el valor de las obligaciones por sus respectivos plazos y dividiendo este resultado por la suma de los valores de las obligaciones. Esto es, si F1, F2, F3...Fn son los valores de las obligaciones, y n1, n2, n3,...nn son los plazos correspondientes, entonces el tiempo equivalente, n, viene dado por:

nF n F n F n F n

F F F Fn n

n

��

� � � �1 1 2 2 3 3

1 2 3

......

Reemplazando los valores del ejercicio, se tiene:

n ��

� ��

200 000 4 500 000 6 800 000 8200 000 500 000 800 000

6 8. . .

. . .. 00 meses

0

5.000.000 10.000.000 10.131.325

20.000.000

8 n meses

96


Este resultado es bastante aproximado al que se obtuvo arriba planteando la ecua-ción de valor, lo que demuestra la validez de la fórmula.

Supongamos ahora que se propone cambiar las tres obligaciones por un valor equivalente de $ 1.400.000. En este caso, el valor equivalente no es la suma de los valores nominales de las tres obligaciones, por lo tanto, no aplica la regla anterior. La solución se logra por medio de una ecuación de valor.

Tomando como fecha focal el mes 8, se tiene:

200.000(1.04)4 � 500.000(1.04)2 � 800.000 � 1.400.000(1.04)8�n

1.574.771.71 � 1.400.000 (1.04)8�n

1.1248 � (1.04)8�n

Resolviendo la ecuación exponencial por logaritmos, se tiene:

Log 1.1248 � (8 � n) Log 1.04

81 12481 04

� �n( ) LogLog

..

8 0 05110 0170

� �n( ) ..

(8 � n) � 3

n � 5 meses

Este tiempo equivalente en el que el valor nominal de la nueva obligación es dife-rente a la suma de los valores nominales de las obligaciones que se desean reemplazar, se denomina vencimiento común. �� !�| ��| �Z�-lente cancelar $200.000, $ 500.000 y $ 800.000 en los meses 4, 6 y 8 respectivamente, a cancelar $ 1.500.000 dentro de 203 días, a cancelar $ 1.400.000 dentro de 5 meses.

Ejemplo 3.24

El señor Pedro Picapiedra compra una casa por $ 20.000.000 y se compromete a pagarla de la siguiente forma: una cuota inicial de $ 5.000.000, un pago de $ 10.000.000 dentro de 8 meses y un último pago por valor de $ 10.131.325. Si le cobran el 3% men-sual, calcular la fecha de este pago.

Se escoge como fecha focal el momento cero (fecha focal natural).

97

Interés compuesto

20 000 000 5 000 000 10 000 000

1 0 03

10 131 325

1 0 038

. . . . . .

.

. .

.� �

��

�( ) ( ))n

15 000 000 7 894 092 34 10 131 325

1 03. . . . . . .

.� �

( )n

7 105 907 66 10 131 325

1 03. . . . .

.�

( )n

1 03 10 131 3257 105 907 66

. . .. . .( )n �

(1.03)n � 1.425761

n Log (1.03) � Log 1.425761

n � 0.012837 � 0.154047

n �0 1540470 012837..

n � 12 meses a partir del momento cero.

Prueba. En el momento cero (hoy) el señor Pedro Picapiedra está debiendo $ 15.000.000.

Dentro de 8 meses estará debiendo: F � $ 15.000.000 (1 � 0.03)8

F � $ 19.001.551

En esta fecha paga $ 10.000.000, luego quedará debiendo:

19.001.551 � 10.000.000 � $ 9.001.551

Dentro de 4 meses más (mes 12) estará debiendo: F � 9.001.551(1 � 0.03)4

F � $ 10.131.325

En esta fecha cancela este mismo valor quedando un saldo de 0.

Al resolver ejercicios que requieran el cálculo de una fecha desconocida, se pueden obtener tres respuestas diferentes: si n�� W��H!��| ��propuesto se debe realizar en la fecha obtenida, contada a partir del momento cero. Si n��!��| ��@��| �Z�� planteada inicialmente y la propuesta. Y cuando n�� !��| ��se debe hacer en el momento cero, lo que equivaldría al pago de una cuota inicial.

Ejemplo 3.25

Usted le debe hoy a un amigo $ 10.000.000 al 2.5% mensual y al mismo tiempo a usted le deben $ 8.000.000, prestados al 2.8% mensual. ¿En qué tiempo logrará tener el �� {

98


Se podrá cancelar la deuda cuando el valor futuro de lo que debe sea igual al valor futuro de lo que tiene prestado.

F1 � 10.000.000 (1 � 0.025)n

F2 � 8.000.000 (1 � 0.028)n

F1 � F2 � 10.000.000 (1 � 0.025)n � 8.000.000(1.028)n

1 251 028

1 025.

.

.�

( )( )

n

n

El segundo miembro de la igualdad es el cociente de potencias de diferentes bases y el mismo exponente, que se resuelve de la siguiente manera:

1 028

1 025

1 0281 025

.

.

.

.( )( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

n

n

� 1.25 � (1.0029)n

La anterior es una ecuación exponencial que la resolvemos aplicando logaritmos.

Log 1.25 � n Log (1.0029) n �Log

Log

1 25

1 0029

.

.( )( ) n � 76.27 meses

12. ECUACIONES DE VALOR CON BUSCAR OBJETIVO DE EXCEL

Buscar objetivo es una herramienta de Excel que resuelve una ecuación de primer �� K��}��Z�� Z�� en una fórmula, igualando ésta última a un resultado determinado que generalmente es cero.

Las ecuaciones que resuelven los problemas de las Matemáticas Financieras son precisamente ecuaciones de este orden, por lo tanto, los podemos resolver aplicando correctamente Buscar objetivo y construyendo la tabla de amortización del crédito. Para que el lector pueda asimilar esta nueva herramienta con una mayor coherencia, le daremos solución a los ejemplos de ecuaciones de valor que fueron resueltos en este capítulo, en páginas anteriores.

Referencias relativas y referencias absolutasEn Excel, al escribir fórmulas que posteriormente se vayan a copiar, es importante

��=��@��con direcciones relativas cuya notación se crea tecleando la letra de la columna seguida ��W��w��!��HH��/�� relativa, que indica que el valor de 100 está en la celda que intercepta la columna A con ��w��!��@�� Z�� &k�� ?�#'�

99

Interés compuesto

Hoja de cálculo Excel

Figura 3.4

A B C

1 10.000.000 3.00% REFERENCIA RELATIVA

2 �A1*B1

3 �A2*B2

4 �A3*B3

5 �A4*B4

En la celda C2 escribimos la fórmula � A1*B1 que multiplica 10.000.000 (A1) por la tasa de interés del 3.00% (B1). En la celda C2 obtenemos un resultado de $ 300.000. Pero al copiar esta fórmula en las celdas C3, C4 y C5 observamos que el resultado en estas celdas es cero, debido a que el Excel ajusta las referencias relativas a la nueva posición de la fórmula. Es decir, al copiar A1*B1 de la celda C2 a la celda C3 el Excel ajusta las ��Z��/G¦�G�� Z��&k�� ?�#'�

En muchos casos, cuando se hacen cálculos en Excel, al copiar una fórmula se re-quiere conservar la referencia de una celda, es decir, mantener constante el valor de la celda. En este caso se utiliza la referencia absoluta, para lo cual se escribe el signo pesos antes y después de la letra de la columna, o, simplemente, se coloca el cursor antes de �� %#��&k�� ?��'�


Figura 3.5

A B C

1 10.000.000 3.00% REFERENCIA ABSOLUTA

2 �A1*$B$1

3 �A2*$B$1

4 �A3*$B$1

5 �A4*$B$1

Al copiar la fórmula A1*B1 en las celdas C3, C4 y C5 se mantiene constante el valor de la celda B1.

Amortización<��K��

una deuda, junto con sus respectivos intereses, mediante una serie de pagos en un tiem-po determinado. La palabra amortización proviene del latín mors!�| �� !�por lo tanto, la amortización es el proceso con el que se mata una deuda. En términos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses.

100


Composición de los pagosPor lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes:

interés y abono al capital. Existen casos especiales en los cuales al principio del plazo del crédito las cuotas periódicas no cubren el valor de los intereses y, entonces, el saldo del crédito aumenta; ejemplo de estos casos fueron los sistemas de amortización de los créditos de vivienda en el sistema UPAC y algunos sistemas de pago de largo plazo que consideran cuotas crecientes cada período.

Tabla de amortizaciónAl diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla

de amortización, que registra período a período la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor de los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra �� &k�� ?�*'�

Figura 3.6

No. CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

A continuación resolvemos los ejemplos de ecuaciones de valor desarrollados en este capítulo, utilizando Buscar objetivo de Excel.

Ejemplo 3.26

Pablo se comprometió a cancelar una deuda con los siguientes pagos: un pago en el día de hoy por valor de $ 50.000, un pago dentro de 5 meses por valor de $ 200.000 y un pago dentro de 8 meses por valor de $ 350.000. Posteriormente convino con el acreedor en cancelarle la deuda con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Calcular el valor de ��!��K�� ?��

En primer lugar calculamos el valor de la deuda en el momento cero. Este cálculo lo vamos a realizar con la ayuda de Buscar objetivo apoyándonos en una tabla de amor-tización de la deuda.

101

Interés compuesto

Solución con Buscar objetivo de Excel

Figura 3.7

A B C D E

1 100 3.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 50.000 �A1�B3

4 1 0 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 06 3 07 4 08 5 200.0009 6 010 7 011 8 350.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100 (siempre la incógnita tiene que ser un número), que es la incógnita del problema y corresponde al valor de la deuda, ��?�HH�� G�� Z�� K��&Z�� ?�-'��?�registramos el pago inicial de $ 50.000, en la celda B8 registramos el pago de $ 200.000 y en la celda B11 registramos el pago de $ 350.000; en las períodos en los cuales no hay pagos escribimos el número cero (el Excel ignora la celda que no contenga algún valor). En la celda C4 calculamos los intereses multiplicando el saldo inicial (E3) por la tasa de interés (B1 con referencia absoluta), en la celda D4 calculamos el abono a capital restando de la cuota (B4) el valor de los intereses (C4) y en la celda E4 calculamos el ��&�?'��&�#'��procedimiento de cálculo de intereses, abono a capital y saldo es igual para cualquier ��K��&k�� ?�-'�

Para completar las celdas en blanco (rango C5:E11) copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 hasta C11, D11 y E11. Hacemos clic en C4 y barremos hasta E4 y soltamos el ratón; aparece en la esquina inferior de la celda E4 un pequeño cuadro llamado controlador de relleno. Al colocar el puntero del ratón en el cuadro toma la forma de una cruz. Arrastre la cruz sobre las celdas que desea rellenar y luego suelte el botón del ratón. Se observa que la tabla de amortización resultante está desajustada ��| ��!��| �� !�� de la tabla de amortización y el cálculo de la incógnita del ejercicio (valor de A1), que corresponde al valor inicial de la deuda lo logramos con Buscar objetivo. Hacemos clic en DATOS y en Análisis Y si, y en Buscar objetivo (en el caso de utilizar Excel 2.003 haga clic en Herramientas y clic en Buscar objetivo) y aparece un cuadro diálogo que tenemos que rellenar. En la casilla �� se indica la celda que queremos tome cierto valor, ��| ��Con el valor se indica el valor que se desea tome la casilla anterior, en este caso un valor de cero para

102


que la obligación se amortice, y en la casilla Para cambiar la celda se indica la celda que debe tomar un valor, que en este caso es la celda A1 que es la incógnita y corresponde al valor de la deuda. Se oprime aceptar y el programa hace iteraciones hasta que apa-rece el mensaje La búsqueda con la celda E11 ha encontrado una solución y hacemos ��K��Z��/�� Z�� #Y��#�YY�| ��Z��Z��&k�� ?��'�

Figura 3.8

Este valor de $ 498.814.99 corresponde al valor inicial de la deuda, el cual se va a cancelar con dos pagos iguales en los meses 6 y 12.

Para calcular el valor de las dos cuotas iguales que amortizan la deuda de ��#Y��#�YY�� Z��K��&k�� ?�Y'�

En la celda A1 registramos 498.814.99 como valor de la deuda, en B1 la tasa de interés del 3.00% y en C1 escribimos un valor arbitrario de 100, como la incógnita del ejercicio. En la celda B9 y B15 escribimos � C1 y procedemos a completar la tabla de amortización con el procedimiento descrito anteriormente. En las celdas C4, D4 y E4 �� !��

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en la celda C1 un valor de $ 324.144.53, que corresponde al Z�� *��G��&k�� ?�Y'�

103

Interés compuesto

Figura 3.9

Ejemplo 3.27

�� Z��HHH�HHH��con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Hallar el valor de estos pagos, si la tasa de interés que se cobra es del 2% mensual.


Figura 3.10

A B C D E

1 1.000.000 2.00% 1002 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4..... ............. ............. ............. ............. .............

9 6 �C110 7..... ............. ............. ............. ............. .............

15 12 �C1

104


En la celda A1 registramos 1.000.000 como valor del electrodoméstico, en la B1 la tasa de interés del 2.00% y en la C1 un valor arbitrario de 100. En la celda B9 y B15 escribimos � C1 y procedemos a completar la tabla de amortización. En las celdas C4, �#��#�� !�� &k�� ?��H'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo��`�� Z��Y*�#Y?�*��&k�� ?��'�

Figura 3.11

Ejemplo 3.28

¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual, para poder retirar $ 75.000 dentro de 6 meses, $ 45.000 dentro de 8 meses, la mitad de lo depositado dentro de 10 meses y aún se tenga un saldo de $ 300.000 dentro de 12 meses?

105

Interés compuesto

Solución con Buscar objetivo de Excel. Punto de vista del banco

Figura 3.12

A B C D E


3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2..... ............. ............. ............. ............. .............8 59 6 75.00010 711 8 45.00012 9

13 10 �A1/214 1115 12 300.000

�� Z�� @��]!��!� ��+ ��| �Z��

��K�� Z��-tatario quien recibe un préstamo y tiene que amortizarlo.

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100 que corresponde al valor del depósito inicial y en B1 registramos la tasa de interés del 2.00%. En la celda B9 registra-mos el valor del retiro por valor de $ 75.000, en B11 el retiro por valor de $ 45.000, en la B13 registramos el retiro por la mitad del valor depositado escribiendo � A1/2 (A1 es el valor inicial depositado que vamos a calcular y al que le hemos dado un valor arbitrario ��HH'��Z��?HH�HHH��`#!��#��#�� !�� &k�� ?��G'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo��/�� Z��-Y�H-#��&k�� ?��?'�

106


Figura 3.13

Ejemplo 3.29

��| ��| ��Z��?��HH�HHH��Z�� del 2% mensual por medio de una cuota inicial del 10% y tres pagos en los meses 6, 8 y 10 respectivamente, de tal forma que el segundo pago sea $ 50.000 menos que el primero y el tercer pago sea $ 200.000 más que el segundo. Calcular el valor de estos pagos.

Solución con Buscar objetivo de ExcelFigura 3.14

A B C D E

1 13.500.000 2.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �0.10*A1 � A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2..... ............. ............. ............. .............9 6 10010 7

11 8 � B9�50.00012 9

13 10 � B11 �200.000

107

Interés compuesto

��/��?��HH�HHH�| ��Z��| ��| ��Z��-ciar y en la B1 la tasa de interés del 2.00%. En la celda B3 registramos el valor de la cuota inicial y en la E3 calculamos el saldo. En la celda B9 escribimos un número arbitrario de 100, que corresponde al valor del primer pago y que se constituye en la incógnita del ejercicio. En la celda B11 calculamos la cuota del mes 8 y en la B13 calculamos la cuota del mes 10. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo. &k�� ?��#'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E13 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en la celda B9 un valor de $ 4.711.365.01, en la celda B11 un Z��#�**��?*��H��?��#��*��?*��H��&k�� ?��'�

Figura 3.15

Ejemplo 3.30

Un ahorrador deposita hoy la suma de $ 1.000.000 en una corporación que paga un interés del 2% mensual, retira $ 250.000 dentro de 6 meses, retira $ 350.000 dentro de 10 meses, hace un nuevo depósito en el mes 12 por valor de $ 850.000. ¿Qué saldo tendrá en la cuenta de ahorros a los 18 meses?

Este ejercicio plantea una situación diferente a la de los ejemplos anteriores y nos muestra como operan los depósitos en las cuentas bancarias.

108



Figura 3.16

A B C D E

1 2.00%

2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO

3 0 1.000.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2..... ............. ............. ............. ............. .............

9 6 �250.000..... ............. ............. ............. .............

13 10 �350.000..... ............. ............. ............. .............15 12 850.000..... ............. ............. ............. .............21 18 SALDO FINAL

En la celda B1 registramos la tasa de interés del 2.00%, que es la tasa que recono-��G��| ��amortización: número de depósitos (o retiros), valor de los depósitos (o retiros), interés, �� ]�� ?� �� $ 1.000.000, en las celdas B9 y B13 los retiros (con signo negativo) y en la celda B15 el valor del nuevo depósito. Calculamos los intereses del primer depósito en la celda C4 y en la celda D4 sumamos el valor del segundo depósito (B4), en este caso no lo hay pero se escribe para crear la fórmula, más los intereses del primer depósito (C4). En la celda E4 sumamos el saldo anterior (E3, valor del primer depósito) más D4 (segundo depósito �]��'��&k�� ?��*'�

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en ��`�;�G��G�� *��?#?�H-��&k�� ?��-'�

109

Interés compuesto

Figura 3.17

Ejemplo 3.31

`�� Z�� Z�| �� ;� �� GHH�HHH!�� Z��-� �� Z��<��que le cobraron fue del 3% mensual.


Figura 3.18

A B C D E


3 0 200.000 �A1�B3

4 1 � E3*$B$1 � B4�C4 �E3�D45 2..... ............. ............. ............. ............. .............

8 5 �A1/39 6

10 7 �A1/2

110


En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, que corresponde al valor del activo y es la incógnita del ejercicio, y en la B1 registramos la tasa de interés del 3.00%. En la celda B3 registramos 200.000 como cuota inicial y en la E3 calculamos el saldo in-soluto. En la celda B8 calculamos el pago en el mes 6 y en la B10 el pago en el mes 7. En ��`#!��#��#�� !��&k�� ?��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E10 y aplicando Buscar objetivo��/�� Z��*�?�-#H�?��&k�� ?��Y'�

Figura 3.19

Cuestionario

1. Explique la diferencia entre el interés simple y compuesto.

2. ¿Qué es la capitalización de intereses?

3. Explique los tres pasos para construir una ecuación de valor.

4. ¿Qué es el tiempo equivalente?

5. ¿Qué es el vencimiento común?

6. ¿Qué diferencia existe entre período de pago y período de capitalización?

7. En la construcción de una ecuación de valor, ¿para qué sirve la fecha focal?

�� _� ��| ��Z�� Z�� interés? Explique mediante un ejemplo práctico.

9. Explique la diferencia entre la capitalización de intereses y la acumulación de inte-reses.

111


NOTA ACLARATORIA:

�� Los cálculos para la solución de los ejercicios se harán en la hoja de cálculo Excel.

�� Por razones de espacio en la presentación del pantallazo en Excel, el tiempo máximo ��!��!��]�de 12 meses.

�� Con la consideración de que se debe construir una ecuación de valor la más fácil de ��Z��!��}��!��@�� !��}��focal se puede ubicar en cualquier fecha y el resultado es el mismo.

EJERCICIO 1. Blanca Elena hace los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa del 1.0% mensual: $ 500.000 dentro de 5 meses, $ 800.000 dentro de 7 meses y $ 1.000.000 dentro de 10 meses. Calcular:

�'� �� "�

Ecuación de valor con fecha focal en el mes 12:

S � 500.000(1 � 0.01)7 � 800.000(1 � 0.01)5 � 1.000.000(1 � 0.01)2

S � $ 2.396.975.72


A B C D E

1 1,0%

2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO � INTERÉS SALDO

3 0

…. ……. ………. ………….. …………….. …………….

8 5 500.000 �B8

9 6 � E8*$B$1 � B9�C9 � E8�D9

10 7 800.000

…. ……. ………… ……………. ……………… ……………

13 10 1.000.000

14 11

15 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés y en las celdas B8, B10 y B13 registramos los depósitos. En las celdas C9, D9 y E9 calculamos intereses, depósito más interés y saldo ��̀ �� ̀ Y!��Y��Y��̀ �H;�� "��Z��G�?Y*�Y-��-G�

112

�'� ��Z��}��"�

Dado el valor futuro (F) de $ 2.396.975,72, la tasa de interés (i) del 1,0 % y el número de períodos (n) de 12, se calcula su valor presente equivalente.

P F�

��

��

1

2 396 975 72

1 0 012 127 194 25

12i

n( ) ( ). . .

.$ . . .

En Excel: � VA (1,0%; 12; 0; �2396975,72)EJERCICIO 2. Una obligación de $ 5.000.000 al 2,0% mensual, se desea pagar con dos � �� *��!��| ��"�| �� -diente de pago de $ 500.000. Calcular el valor de las dos cuotas iguales.Ecuación de valor con fecha focal en el mes 12:

5.000.000 (1 � 0.02)12 � X(1 � 0.02)6 � X(1 � 0.02)4 + 500.000X � $ 262.89


A B C D E1 5.000.000 2,0%2 N° CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 29 6 10010 7

11 8 �B6

………… ………… …………….. …………….. ……………..15 12

113

Calculamos en las celdas C4, D4 y E4 intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo. Se obtiene un valor de las cuotas en los meses 6 y 8 de $ 2.644.762.89.

EJERCICIO 3. Calcular la tasa de interés mensual compuesta equivalente a una tasa del 6% mensual simple, durante 2.5 años.

Para que una operación con interés simple sea equivalente a una con interés compuesto, el valor futuro tiene que ser igual.

Interés simple: F � P(1 � n*is)

Interés compuesto: F � P(1 � ic)n

Igualando las dos ecuaciones, tenemos: 1 � n*is = (1 � ic)n, reemplazando valores:

(1 � 30*0,06) � (1 � ic)30

2.80 � (1 � ic)30

ic � (2.80)(1/30) � 1

ic � 3.49% mensual

EJERCICIO 4. ¿Cuánto tiempo debe esperar un inversionista para que una inversión de $ 500.000 se convierta en $ 1.631.018.89, si el rendimiento es del 3% mensual?

P � $ 500.000 F � $ 1.631.018.89 i � 3% mensual n � ?

F � P(1 � i)n

1.631.018.89 � 500.000(1 � 0.03)n

3.2620 � (1.03)n

Log 3.2620 � n Log 1.03

n � �Log

Log3 26201 03

40..

meses

114

En Excel: � nper (tasa; pago; va; vf; tipo)

� nper(3%; 0; �500000; 1631018,89)

EJERCICIO 5. Una persona debe pagar $ 10.000.000 dentro de 2 años y $ 20.000.000 ��"��w�� W��?��"��tasa del 15% semestral. Calcular el valor único de pago a los 3 años.

Calculamos el valor de la obligación (P) con una ecuación de valor con fecha focal en el momento 0:

P ��

��

�10 000 000

1 0 15

20 000 000

1 0 1510 661 226 58

4 10

. .

.

. .

.$ . . .

( ) ( )La tasa de interés y el número de períodos deben estar en la misma unidad de tiempo. Convertimos los años a semestres.

Conocido este valor presente, calculamos su valor futuro equivalente a los 3 años.

F � P(1 � i)n � 10.661.226.58(1 � 0.15)6

F � $ 24.660.064.92


A B C D E1 100 15%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……….. ………. ……….. ………… ………….6 37 4 10.000.000

……. ……….. ………… ………… ………… …………..13 10 20.000.000

La incógnita es el valor de la obligación (A1) a la cual le asignamos un valor arbitrario. Calculamos en las celdas C4, D4 y E4 intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E13 y aplicamos Buscar objetivo. Se obtiene un valor de $ 10.661.226.58.

115

Conocido el valor presente de la obligación, calculamos su valor futuro equivalente a los 3 años.

� VF (15%; 6; 0; �10661226,58)

F � $ 24.660.064.92

EJERCICIO 6. ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que una inversión al 1,89 % mensual se incremente en un 40?

El ejercicio no suministra los valores de P y F, pero los podemos asumir bajo la condición que P se incremente en un 40%.

P � 100 F � 140 i � 1,89% mensual n � ?


F � P(1 � i)n

140 � 100(1 � 0,0189)n

1.4 � (1.0189)n Log 1.4 � nLog 1.0189

n � �Log

Log1 4

1 018918

..

meses

En Excel: � NPER (1,89%; 0; �100 ;140)

EJERCICIO 7. Jose Luis está vendiendo su casa y recibe las siguientes ofertas:

A) Un empleado del gobierno le ofrece $ 100.000.000 de contado.

B) Un familiar le ofrece pagarle dentro de un año la suma de $ 137.000.000.

C) Juan David le ofrece pagarle hoy $ 70.000.000 y dentro de 10 meses la suma de $ 39.000.000.

Si José Luis puede invertir su dinero a una tasa del 2.50% mensual. ¿Cuál oferta le conviene?

116

Para escoger la mejor oferta es necesario compararlas en una misma fecha, que para este caso se elige el momento cero.

Primera oferta: recibir hoy $ 100.000.000.

Segunda oferta: calculamos el valor presente de $ 137.000.000 al 2.50% mensual, que es la tasa de oportunidad de José Luis.

P ��

�137 000 000

1 0 025101 867 156 25

12

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA (2,50%; 12; 0; �137000000)

Tercera oferta: se calcula el valor presente de $ 39.000.000 y se le suman los $ 70.000.000 pagados en el día de hoy.

P ��

�39 000 000

1 0 02530 466 737 67

10

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA (2,50%; 10; 0; �39000000)

El valor total de la tercera oferta es de $ 100.466.737.67

Al comparar las tres ofertas en una misma fecha (momento cero) y teniendo en cuenta el costo de oportunidad del dinero y el riesgo, la mejor sería la oferta A.

EJERCICIO 8. Una persona debe pagar $ 5.000.000 dentro de 2 años. El acreedor acepta ��}��G�HHH�HHH�� Z��"��Z�� Z�pago con la tasa de interés del 2.0% mensual.

Calculamos el valor presente de la obligación:

P ��

�5 000 000

1 0 023 108 607 44

24

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA(2%; 24; 0; �5000000)

Este valor corresponde al valor inicial de la obligación, el cual se va a cancelar mediante ��}��G�HHH�HHH��"�


3.108.607.44 (1 � 0.02)12 � 2.000.000(1 � 0.02)12 � X

X � $ 1.405.982.29

117


A B C D E1 3.108.607.44 2,0 %2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 2.000.000 �A1�B34 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

………… ……….. ………….. …………. ………….15 12 100

En la celda A1 escribimos el valor de la obligación inicial y en la celda B1 la tasa de inte-rés. En la celda B3 escribimos 200.000, que corresponde al pago de hoy, en la celda B15 escribimos un valor arbitrario que es la incógnita y en la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15. Aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 9. Se depositan $ 3.000.000 en una cuenta de ahorros que paga el 0.45% �� _` ]�� *�� "�de $ 800.000?


3.000.000(1 � 0.0045)12 � X(1 � 0.0045)6 � 800.000

X � $ 2.303.180.58

118


A B C D E1 0,45 %


3 0 3.000.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……. ………. …………. ……………. …………….9 6 (100)10 7…… ……… ………….. ………………. …………….. ……………..15 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 0.45%. En la celda B3 escribimos el valor del depósito inicial y en la celda B9 escribimos un valor arbitrario, con signo negativo porque es un retiro. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés ��`�� `#!��#��#��C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 10. ��| �� Z��G��HH�HHH��de la siguiente forma: cuota inicial del 20% y el saldo con dos pagos iguales en los meses #��-�� W��G�H�HHH��"��̀ �� Z�� G!��


2.500.000(1�0.025)12 � 500.000(1�0.025)12 � X(1�0.025)8 � X(1�0.025)5 � 250.000

X � $ 1.038.286.71

119


A B C D E1 2.500.000 2,5%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �0,20%*A1 �A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ………… ………… …………. …………. …………….7 4 100…. ……….. ……….. ………. ………… ……………

10 7 �B7…. ……….. ………… ………… …………. ………….15 12 250.000

En la celda A1 escribimos el valor de la obligación inicial y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 11. Jhonny Alberto me debe pagar dentro de 8 meses la suma de $ 20.000.000. Me ofrece pagar hoy la suma de $ 17.500.000. Si mi tasa de oportunidad es del 2.0% mensual, ¿me conviene aceptar el pago?

Conocidos F � $ 20.000.000, n � 8 meses e i � 2.0% mensual, se calcula el valor pre-sente equivalente P.

P ��

�20 000 000

1 0 0217 069 807 42

8

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA (2%; 8; 0; �20000000)

120

El resultado indica que para mi es equivalente recibir hoy $ 17.069.807.42 que recibir dentro de 8 meses $ 20.000.000, por lo tanto debo aceptar el pago.

EJERCICIO 12. Deposito hoy $ 2.500.000 en una cuenta de ahorros que me paga una tasa del 0.5% mensual. Deseo hacer retiros en los meses 4 y 8 tales que el retiro del mes ��#��̀ �� Z��del año un saldo en la cuenta de $ 1.000.000.


2X(1 � 0.005)8 � X(1 � 0.005)4 � 1.000.000 � 2.500.000(1 � 0.005)12

X � 533.341.96 � retiro en el mes 8

2X � $ 1.066.683.92 � retiro en el mes 4


A B C D E

1 0,5%


3 0 2.500.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……….. ………… …………… …………….. …………..

7 4 �100

…. …….. ………… ……….. …………… …………….

11 8 �B7/2

…. ……… ……….. ………… ………….. ………….

15 12 �1.000.000

121

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 0.5%. En la celda B3 escribimos el valor del depósito inicial y en la celda B7 escribimos un valor arbitrario, con signo negativo porque es un retiro. En las celdas B11 y B15 (el saldo se asume como retiro) registramos los retiros. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y saldo ��`�� `#!��#��#��`�;��y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 13. Me deben pagar durante los próximos 4 meses la suma de $ 500.000 cada mes. Calcular el tiempo equivalente (vencimiento medio) considerando una tasa de interés del 3.0% mensual.

La solución consiste en calcular en que tiempo sería equivalente cancelar $ 2.000.000 (resultado de sumar 4 meses de $ 500.000) a cancelar 4 pagos de $ 500.000 cada mes.


500.000(1�0.03)3 � 500.000(1�0.03)2 � 500.000(1�0.03) � 500.000 � 2.000.000(1�0.03)4�n

n � 2.48 meses

EJERCICIO 14. Calcular el valor del depósito inicial en una cuenta de ahorros que reco-noce una tasa del 0.5%, para poder retirar dentro de 6 meses la suma de $ 1.000.000, ��H�� G�H�HHH��"��Z�� equivalente a la mitad del depósito inicial.


1.000.000(1 � 0.005)6 � 250.000(1 � 0.005)2 � 0.5X � X(1 � 0.005)12

X � $ 2.284.020.72

122


A B C D E1 0,5%


3 0 100 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. …….. ………… …………. …………….. …………8 59 6 (1.000.000)…. …….. ……….. ………….. ………….. ……………..13 10 (250.000)14 11

15 12 �(B3/2)

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 0.5%. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario (por ejemplo, 100) que es el valor del depósito inicial. En las celdas C4, D4 y �#�� !��]��B9, B13 y B15 registramos los retiros. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 15. /��"��w��K�� ?�?��mensual mediante tres pagos así: $ 550.000 dentro de tres meses, $ 700.000 dentro de ocho meses y $ 1.280.000 dentro de un año. El acreedor acepta que la deuda de hoy se cancele con un único pago dentro de 15 meses y con una tasa de interés del 2.0% mensual. Hallar el valor de este pago único.

Se calcula el valor inicial de la deuda.

123


P(1 � 0.033)12 � 550.000(1 � 0.033)9 � 700.000(1 � 0.033)4 � 1.280.000

P � $ 1.905.807.27

Este valor presente de la deuda se va a cancelar, ahora, con un pago dentro de 15 meses a una tasa de interés del 2.0% mensual.

F � 1.905.807.27(1 � 0.02)15 � $ 2.564.965.66


A B C D E1 100 3,3%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 26 3 550.000…. ……….. …………… ………… ………….. …………11 8 700.000…. ……… ……….. ………… ………….. ………….15 12 1.280.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario, correspondiente a la deuda inicial y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En las celdas B6, B11 y B15 registramos los pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, E4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

Calculamos el valor futuro equivalente de la obligación inicial, con una tasa de interés del 2.0% a los 15 meses. � VF (2,0%; 15; 0; �1905807,66)

124

EJERCICIO 16. Se estima que una casa que vale hoy $ 70.000.000 incrementa su valor así: el primer año un 20%, el segundo año un 18% y el tercer año un 22%. ¿Cuál es el valor de la casa después de 3 años?

Calculamos el valor futuro de $ 70.000.000 a una tasa variable.

F � P (1 � i1)(1 � i2)(1 � i3)

F � 70.000.000(1 � 0.20)(1 � 0.18)(1 � 0.22) � $ 120.926.400


EJERCICIO 17. Los gastos anuales de una empresa tienen la siguiente variación:

Primer año � $ 300.000, Segundo año � $ 360.000, Tercer año � $ 432.000, Cuarto año � $ 518.400. ¿Cuál fue la variación porcentual anual de los gastos de la empresa?

Para calcular la variación porcentual anual se compara cada valor siguiente (F) con el anterior (P).

La variación porcentual anual del segundo año (F) con respecto al primero (P), es igual a:

i � � � �FP

1 360 000300 000

1..

i � 20%

Lo que indica que los gastos del segundo año con respecto al primero aumentaron en un 20%.

Si relacionamos los gastos anuales de los siguientes años con respecto al año anterior, observamos que se obtiene una variación del 20% anual.

EJERCICIO 18. � �� | ��?�� tres pagos así: uno por $ 100.000 para hoy, otro por $ 150.000 para dentro de 5 meses y otro por $ 180.000 para dentro de un año, por su equivalente en cuatro pagos a 6, 8, 10 y 12 meses tales que cada uno sea la mitad del anterior. Hallar el valor de cada uno de los pagos.

125

Calculamos el valor de la obligación inicial.Ecuación de valor con fecha focal en el mes 12:

P(1 � 0.03)12 � 100.000(1 � 0.03)12 � 150.000(1 � 0.03)7 � 180.000 P � $ 355.639.70



3 0 100.000 �A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ………. …………. ………….. ………….. ……………8 5 150.000…. ……….. ………… …………. ………… …………..…. ……… …………… ………… ………….. ………….15 12 180.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario, correspondiente a la deuda inicial y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En las celdas B3, B8 y B15 registramos los pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, E4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

Conocida la obligación inicial se calcula el nuevo plan de pagos.


355.639.70(1 � 0.03)12 � 8X(1 � 0.03)6 � 4X(1 � 0.03)4 � 2X(1 � 0.03)2 � X

8X � $ 236.166.70 � pago en el mes 6 4X � $ 118.083.30 � pago en el mes 8

2X � $ 59.041.65 � pago en el mes 10 X � $ 29.520.82 � pago en el mes 12

126


A B C D E1 355.639.70 3,0 %2 NO CUOTA INTERES ABONO SALDO

3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……….. ………….. ………… …………. …………….9 6 10010 7

11 8 �B9/212 9

13 10 �B11/214 11

15 12 �B13/2

EJERCICIO 19.��Z�� | ��se adquiere con el siguiente plan: una cuota inicial de $ 50.000, tres pagos de $ 60.000, $ 80.000 y $ 90.000 a cinco, diez y doce meses respectivamente. La tasa de interés que se carga es del 2.8% mensual.


P(1 � 0.028)12 � 50.000(1 � 0.028)12 � 60.000(1 � 0.028)7 � 80.000(1 � 0.028)2 � 90.000

P � $ 227.571.56

127



3 0 50.000 �A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……… ………… ………… …………. …………….8 5 60.000…. ………… …………… …………. …………. ……………13 10 80.00014 1115 12 90.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario, correspondiente al valor del artículo y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En las celdas B3, B8, B13 y B15 registramos los pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, E4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 20. Un ahorrador deposita hoy la suma de $ 350.000 en una institución que paga un interés del 2% mensual. Si retira $ 130.000 al cabo de 6 meses y $ 190.000 dos meses más tarde, ¿qué saldo tendrá en la cuenta de ahorros a los 10 meses?


130.000(1 � 0.02)4 � 190.000(1 � 0.02)2 � S � 350.000(1 � 0.02)10

S � $ 88.255.87

128


A B C D E1 2,0%


3 0 350.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. …….. ……….. ………… ……………… …………….9 6 (130.000)10 711 8 (190.000)12 913 10

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2,0%. En la celda B3 escribimos el valor del depósito inicial. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y ��Y��`�� `#!�D4 y E4 en el rango C5:E13 y se obtiene un valor en la celda E13, que corresponde al saldo.

EJERCICIO 21. Inicio una cuenta de ahorros con un depósito inicial de $ 5.000.000. En los próximos 3 meses aspiro a hacer retiros de $ 1.250.000 cada mes. ¿Qué depósito ��}��H�� "��G�HHH�HHH��cuenta de ahorros reconoce una tasa de interés del 0.35% mensual?


5.000.000(1.0035)12 � X(1.0035)2 � 1.250.000(1.0035)11 � 1.250.000(1.0035)10 � 1.250.000(1.0035)9 � 2.000.000

X � $ 664.602.01

129


A B C D E1 0,35%


3 0 5.000.000 �B3

4 1 (1.250.000) �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 (1.250.000)6 3 (1.250.000)…. ……… …………. ……………. …………… …………………13 10 10014 1115 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 0,35%. En la celda B3 escribimos el valor del depósito inicial y en las celdas B4, B5 y B6 registramos los retiros y en la celda B13 escribimos un valor arbitrario que es la incógnita. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!��]��`�� las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 22. Un lote de terreno tiene un precio de contado de $ 30.000.000. El dueño ��]�� | �� negociación y acepta que el saldo se pague con un plazo máximo de un año. Sí usted tiene capacidad para pagar dos cuotas iguales en los meses 6 y 12 de $ 12.000.000 cada ��!�� Z��G!��


30.000.000(1 � 0.025)12 � X(1 � 0.025)12 � 12.000.000(1 � 0.025)6 � 12.000.000

X � $ 10.729.766.99

130



3 0 100 �A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……… ………… ………… …………. …………….9 6 12.000.000…. ………… …………… …………. …………. ……………15 12 12.000.000

En la celda A1 escribimos el valor del lote de terreno y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario que corresponde al pago inicial y es la incógnita. En las celdas B9 y B15 registramos los pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 23. Un concesionario de autos vende un motor de camión en $ 12.000.000. Financiado exige una cuota inicial del 20% y el saldo en tres cuotas en los meses 4, 6 y 12 respectivamente, de tal forma que el segundo pago sea $ 200.000 más que el primero y el tercer pago sea $ 100.000 más que el segundo. Si se cobra una tasa de interés del 3% mensual, ¿cuál es el valor de los pagos?


12.000.000(1.03)12 � 2.400.000(1.03)12 � X(1.03)8 � (X � 200.000)(1.03)6 � (X � 300.000)

Pago en el mes 4 � $ 3.799.239.78 Pago en el mes 6 � $ 3.999.239.78

Pago en el mes 12 � $ 4.099.239.78

131



3 0 �0.20*A1 �A1�B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……….. ………….. ………… ………….. …………..7 4 100…. ………. ………… ………… …………. …………

9 6 �B7�200.000…. ……….. ………… ………. ………… ………….

15 12 �B9�100.000

En la celda A1 escribimos el valor del motor, en la celda B1 la tasa de interés y en B3 el valor de la cuota inicial. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En la celda B7 escribimos un valor arbitrario que corresponde al primer pago y en las celdas B9 y B15 registramos los otros pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 24. Un inversionista deposita hoy en una cuenta de ahorros $ 1.000.000. A los 3 meses retira $ 500.000 y a los 5 meses deposita $ 250.000. Calcular el saldo disponible dentro de 12 meses, si le reconocen una tasa de interés del 2% mensual.


500.000(1 � 0.02)9 � S � 1.000.000(1 � 0.02)12 � 250.000(1 � 0.02)7

S � $ 957.866.93

132


A B C D E1 2%


3 0 1.000.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 26 3 (500.000)7 48 5 250.000…. ……… …………. …………… …………….. ……………..15 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2,0%. En la celda B3 escribimos el valor del depósito inicial, en la celda B6 registramos el retiro de $ 500.000 y en la celda B8 escribimos el valor del nuevo depósito. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, ��]��`�� C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y encontramos en la celda E15 un saldo de $ 957.866.93.

EJERCICIO 25. Dos meses después de abrir una cuenta de ahorros, un cliente deposita $ 800.000, retira $ 200.000 a los 6 meses y hace un nuevo depósito dentro de 8 meses de $ 150.000. ¿En cuánto tiempo tendrá disponible $ 975.872.78 si le pagan una tasa de interés del 3% mensual?

Ecuación de valor con fecha focal en el momento 0.

133

En este caso, como la incógnita es el exponente n correspondiente a la fecha del saldo, se ubica la fecha focal en el momento cero. La única ecuación de valor que se puede resolver fácilmente es la planteada en esta fecha.

800 000

1 0 03

150 000

1 0 03

200 000

1 0 03

975 8722 8 6

.

.

.

.

.

.

.

��

��

��

( ) ( ) ( )..

.

78

1 0 03�( )n

n � 11 meses


A B C D E

1 3%

2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO INTERÉS SALDO

3 0

4 1

5 2 800.000 �B5

6 3 �E5*$B$1 �B6�C6 �E5�D6

7 4

8 5

9 6 (200.000)

10 7

11 8 150.000

.... ......... .......... ........... ................ ...............

15 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 3%. En la celda B5 escribimos el depósito inicial de $ 800.000, en la celda B9 registramos el retiro de $ 200.000 y en la celda B11 el depósito de $ 150.000. En las celdas C6, D6 y E6 calculamos intereses, depósito más ��`�� `*!��*�}��encontrar la fecha en que el saldo sea igual a $ 975.872.78.

134

EJERCICIO 26. El señor Pedro Picapiedra tiene en venta su vivienda que tiene un valor de $ 50.000.000 y recibe dos ofertas:La primera oferta es: una cuota inicial de $ 10.000.000 y dos pagos iguales en los meses 6 y 12 por $ 22.500.000.La segunda oferta consiste en recibir un pago único dentro de un año de $ 67.244.441.¿Qué oferta debe aceptar el señor Picapiedra, si su tasa de oportunidad es del 3% mensual?Para poder tomar una decisión se requiere comparar las ofertas en una misma fecha. Para este caso hemos escogido el momento cero.Primera oferta: calculamos el valor presente equivalente.Ecuación de valor con fecha focal en el mes 12:

P(1 � 0.03)12 � 10.000.000(1 � 0.03)12 � 22.500.000(1 � 0.03)6 � 22.500.000 P � $ 44.624.443.08Este valor corresponde al valor presente equivalente a los tres pagos de $ 10.000.000 en el día de hoy y dos pagos de $ 22.500.000 en los meses 6 y 12 respectivamente.


A B C D E1 100 3,0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 10.000.000 �A1�B34 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……….. ………….. ………… ………….. …………..9 6 22.500.000…. ………. ………… ………… …………. …………15 12 22.500.000

135

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario que corresponde al valor de la vivienda y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En las celdas B3, B9 y B15 escribimos los pagos. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

Segunda oferta: calculamos el valor presente equivalente.

P ��

�67 244 441

1 0 0347 163 897 97

12

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA (3%; 12; 0; �67.244.441)

Los resultados obtenidos nos indican que ninguna de las dos ofertas le conviene al señor Picapiedra.

EJERCICIO 27. Un inversionista tiene una aceptación bancaria por $ 10.000.000 a 90 días y faltando 36 días para su vencimiento la vende a un comisionista de bolsa, quien le cobra una tasa del 17% anual. ¿Cuánto recibirá el inversionista por la venta de la aceptación bancaria?

P �

�

�10 000 000

1 0 179 844 222 34

36360

. .

.$ . . .

( )En Excel: � VA (17%; 36/360; 0; �10.000.000)

136

EJERCICIO 28. Calcular el valor futuro de $ 30.000.000 prestados a 4 meses, si la tasa de interés del primer mes es del 1.50% y se espera que aumente cada mes un 0.10%.

Este es el caso del cálculo del valor futuro con tasa variable.

Primer mes: i � 1.50% Tercer mes: i � 1.70%

Segundo mes: i � 1.60% Cuarto mes: i � 1.80%

F � P (1 � i1)(1 � i2)(1 � i3)(1 � i4)

F � 30.000.000(1 � 0.015)(1 � 0.016)(1 � 0.017)(1 � 0.018)

F � $ 32.029.468.78


137137

CAPÍTULO 4

Tasas de interésLos cínicos son los que conocen

el precio de todo, pero no conocen el valor de nada.

OSCAR WILDE

Si quieres conocer el valor del dinero, trata

de conseguirlo prestado.

BENJAMÍN FRANKLIN

0. INTRODUCCIÓN

En términos prácticos, la tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. El dinero es una “mercancía” que tiene un ��!��!�� Z�� oferta y demanda.

La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crédito, o se hace un préstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupa-ción diaria de cualquier persona o empresa, porque mide tanto el rendimiento como el costo del dinero.

��Z��]��Z��Z��!��;��+��!�la devaluación, la oferta y demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero.

138


1. TASA NOMINALLa tasa nominal, como su nombre lo indica, es una tasa de referencia que existe

solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés que se cobra en ��

1.1 FORMAS DE EXPRESAR LA TASA NOMINAL

��@��formas:

1.1.1 En Bancos Comerciales, Compañías de Financiamiento Comercial y Corporaciones Financieras:

�� K�� tasas de interés en sus operaciones de ahorro y crédito;es asi como en algunos créditos expresan la tasa de interés para un período anual e indican cada cuanto tiempo menor de un año se van a hacer las liquidaciones de los intereses. Visto de otra forma, expresan la tasa anual e indican que parte de ella se va a liquidar periódicamente. Por ejemplo:

24% nominal anual con capitalización trimestral.

24% anual capitalizable trimestralmente.

24% capitalizable trimestralmente.

24% trimestre vencido. (24% TV)

Las expresiones anteriores son equivalentes, a saber: indudablemente, la primera ��]��!��| �� }��Z�� @�� se eliminó el término nominal porque se entiende que si la tasa es capitalizable se trata de una nominal ya que las efectivas no se capitalizan sino que resultan de capitalizar las nominales. En la tercera expresión se eliminó el término anual, porque si no se dice �� | �� <�� @��]��]�� @��| �Z��| ��!�| �� }��o de crédito, se realiza a una tasa de interés anual del 24% pero se cobrará la cuarta ��&*�'��estre.

La tasa nominal expresada de esta forma, comprende:

1. Valor anual de la tasa

2. Frecuencia de liquidación de los intereses (día, mes, trimestre, etc)

3. Modalidad de liquidación de intereses (vencidos o anticipados).

1.1.2 Tasa nominal referenciada con la D.T.F.En julio de 1988 el gobierno colombiano consideró necesario calcular un indicador

| ��| ��| ��W��!��| ��}��

139

Tasas de interés

Colombia, que es la D.T.F. Esta es la principal tasa de referencia para las transacciones �� W�!��!�� crédito bancario o comercial encontrar que la tasa del crédito aparece referenciada con la D.T.F. más unos puntos porcentuales, por ejemplo, (DTF � 4%), siendo la DTF el ��!��#�� -mediación. Debido a su importancia, este tema se tratará en detalle en el apartado 14, de este capítulo.

1.1.3 Tasa nominal referenciada con la UVREn Colombia, en la mayoría de los créditos de vivienda, la tasa de interés viene

referenciada con la UVR. Por ejemplo:

UVR � 12% siendo UVR ��+�� W��G��

12% � tasa remuneratoria.

2. TASA EFECTIVA1

Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir los intereses que se causan cada período. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto del interés compuesto, ya que ésta resulta de la reinversión periódica de los intereses.

��w/`�&�Y-G'!��sólo se utilizaban las tasas de interés nominales anuales con períodos de liquidación de intereses menores al año. La tasa efectiva sólo era una curiosidad de los estudiosos de las Matemáticas Financieras. La necesidad de calcular el valor de la UPAC todos los días, �� Z��]� ��<��Z�� los ahorradores. En el decreto no��GGY��Y-G��Z��aquella que, aplicada con periodicidad diferente a un año, de acuerdo con las fórmulas de interés compuesto, produce exactamente el mismo resultado que la tasa anual (Icav, 1992).

La relación que existe entre la tasa nominal y la tasa efectiva, es la misma que existe entre el interés simple y el interés compuesto.

3. TASA PERIÓDICAEs la tasa de interés que se aplica al valor del crédito, en consecuencia, es la tasa

de interés que se utiliza para calcular los intereses para un periódo determinado. Son ejemplos de tasas periódicas: 1% diario, 2% mensual, 10% trimestral, 15% semestral y 20% anual. Como veremos más adelante la tasa periódica la podemos calcular con base en la tasa nominal y con base en la tasa efectiva.

1 La tasa nominal es la que pacta, mientras que la tasa efectiva es la que paga.

140


0 1 2 3 12 meses

1.000.000

1.030.000 1.060.000 1.360.0001.090.000

12 meses0

1.000.000

1.360.000

Ejemplo 4.1

Se deposita $ 1.000.000 en el día de hoy, en una entidad que reconoce una tasa de interés del 3% mensual. ¿Cuánto se tendrá acumulado después de 12 meses, si los in te reses no se retiran?

Conocemos del problema la siguiente información:

P � $1.000.000 i � 3% mensual

n � 12 meses F � ?

Análisis del problema con interés simpleAplicamos la fórmula de interés simple:

F � P ( 1 � ni) (1.4)

F � 1.000.000 (1 � 12 � 0.03)

F � $ 1.360.000

`�� + ��;

En el interés simple los intereses causados y no pagados en cada período no generan � �Z��`��Z��+ ��!�� $ 30.000 que se van acumulando pero sin generar nuevos intereses, por lo tanto, los intereses de los 12 meses serán de $ 360.000 que sumados al capital inicial de $ 1.000.000 dan un valor acumulado de $ 1.360.000. Se observa que los $ 360.000 de intereses re-sultan de sumar $ 30.000 doce veces, que implica, a su vez, sumar valores ubicados en diferentes fechas y esto viola el principio del valor del dinero en el tiempo, porque son valores con diferente poder adquisitivo.

Para esta operación hacemos el siguiente razonamiento: si se depositan $ 1.000.000 y después de 12 meses se tienen acumulados $ 1.360.000, el rendimiento anual es el siguiente:

141

Tasas de interés

i � �FP

1 que resulta de i � ��F

PF P

P

i � �1 360 0001 000 000

1. .. .

i � 0.36 � 36% anual nominal

Visto de otra forma, la tasa de interés del 36% anual nominal resulta de multiplicar la tasa de interés periódica (3% mensual) por el número de períodos al año (12). De este razonamiento resulta la ecuación de la tasa nominal.

J � Tasa periódica (i) � no. de períodos (n) (4.1)

Donde: J � tasa nominal i � tasa periódica n = no. de períodos

4. RELACIÓN ENTRE LA TASA NOMINAL Y LA TASA PERIÓDICATal como se observó en el análisis anterior, existe una relación directa y sencilla

entre la tasa nominal y la tasa periódica. La tasa nominal la podemos calcular a partir de una tasa de interés periódica, simplemente multiplicando ésta última por el número de períodos que haya en el lapso que se ha estipulado para la tasa nominal. Por ejem-plo, si la tasa periódica es del 2% mensual, la tasa nominal será del 24% anual MV, que resulta de multiplicar 2% por 12 períodos mensuales. Haciendo la operación inversa, la tasa periódica se puede calcular a partir de la tasa nominal dividiéndola entre el número de períodos. Por ejemplo, una tasa nominal del 24% anual MV da origen a una tasa del 2.0% mensual, que resulta de dividir 24% entre 12 períodos mensuales.

Análisis del problema con interés compuestoAplicamos la fórmula del interés compuesto.

F � P(1 � i)n (3.1)

F � 1.000.000(1 � 0.03)12

F � $ 1.425.760.89


� VF (3%; 12; 0; �1.000.000)

142


12 meses0

1.000.000

1.425.760.89

��+ ��;

Para esta situación hacemos el siguiente razonamiento: si se invierten en el día de hoy $ 1.000.000 y después de 12 meses se tiene un valor acumulado de $ 1.425.760.89, el rendimiento efectivo es:

i � �FP

1

i � �1 425 760 89

1 000 0001. . .

. .

i � 0.4258 � 42.58% efectiva anual.

La tasa de interés obtenida es diferente al 36% anual. ¿Cuál es la explicación, si es la ��!��!��mismo número de períodos? La explicación la proporciona el tratamiento que se le da a los intereses. El interés simple supone que los intereses se acumulan si no se pagan, pero no generan nuevos intereses, mientras que el interés compuesto supone su capitalización o reinversión periódica y, por consiguiente, generación de interés sobre interés. Por esta razón, la tasa nominal supone interés simple y la tasa efectiva supone interés compuesto.

5. DIFERENCIA ENTRE LA TASA NOMINAL Y LA TASA EFECTIVA

Para entender mejor la diferencia entre tasa nominal y tasa efectiva solamente tenemos que preguntarnos: ¿qué sucede con los intereses cuando se liquidan? Si los intereses al momento de recibirlos se reinvierten, se hace referencia a la tasa efectiva, pero si el inversionista está esperando su fecha de liquidación para gastárselos, se hace referencia a la tasa nominal o de interés simple, porque los intereses de los períodos siguientes serán liquidados sobre el mismo capital.

Bajo el esquema prestamista � prestatario, la diferencia entre la tasa nominal y la tasa efec ti va está en que para el prestamista existe la posibilidad de reinvertir los intereses que recibe y para el prestatario se presenta un costo de oportunidad al no poder trabajar los intereses que le paga al prestamista, tal como se explicó en el inciso 4, cap. 3 de interés compuesto. Este razo namiento implica que cuando una persona acude a un crédito, sea bancario o comercial, el he cho de tener que pagar intereses en períodos menores al �"!��}�� | ��+��valor de la tasa nominal y la tasa efectiva. Nos atrevemos a decir que la diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva es el costo de oportunidad.

Suponer que el 3% mensual es equivalente al 36% anual, es ignorar el potencial de reinversión de los intereses, en el que se basa el interés compuesto.

143

Tasas de interés

1 año0

1.000.000

1.425.760.89

6. ECUACIÓN DE LA TASA EFECTIVAUna vez establecida la relación directa entre la tasa nominal y la tasa periódica, nos

interesa, ahora, desarrollar una ecuación que nos permita hacer equivalencias entre las tasas periódicas.

Supongamos que se deposita $ 1.000.000 durante un año, en una cuenta que reconoce el 36% capitalizable mensualmente. Se desea conocer el valor acumulado después del año.

Conocemos: P � $ 1.000.000 n � 1 año

i � � �0 3612

0 03 3. . %mensual F � ?

F � 1.000.000 (1 � 0.03)12

F � $ 1.425,760.89

Con el siguiente razonamiento calculamos el rendimiento efectivo de la operación: si se invierten $ 1.000.000 y después de 1 año se tiene un valor futuro acumulado de $ 1.425.760, podemos calcular el rendimiento efectivo anual:

i � �FP

1

i � �1 425 760 89

1 000 0001. . .

. .

i � 0.4258 � 42.58% efectivo anual.

Podemos decir entonces: 1.425.760.89 � 1.000.000(1 � 0.03)12.

La cual se puede descomponer en: 1.000.000 � 425.760.89 � 1.000.000( 1 � 0.03 )12.

Donde 425.760.89 es el resultado de multiplicar 1.000.000 por la tasa efectiva del 0.4258, es decir:

1.000.000 � 1.000.000 � 0.4258 � 1.000.000(1 � 0.03)12

144


Si se reemplazan estos valores por los símbolos, tenemos:

P � P(TE) � P(1 � i)n

P(1 � TE) � P(1 � i)n

1 � TE � (1 � i)n

TE � (1 � i)n � 1 (4.2)

Donde: TE � tasa efectiva a calcular.

i � tasa periódica.

n � número de veces que se liquida la tasa periódica en el período ex-presado en la tasa efectiva a calcular.

Esta fórmula (4.2) es conocida como la ecuación de la tasa efectiva y es la que per-mite calcular equivalencias entre tasas de interés periódicas.

TEMA DE INTERÉS

TASA EFECTIVA

En referencia al tema de la tasa efectiva de interés, es importante tener la posibilidad ��| �� sobre las tasas de interés.

Algunos sectores conciben la tasa efectiva anual como única tasa de interés efectiva y las tasas aplicadas en períodos de menor duración al año, simplemente como tasas periódicas (por ejemplo, 1% diario, 2% mensual, 7% trimestral, 18% semestral, etc.). Sin embargo, si la tasa efectiva es la que resulta de capitalizar una tasa de interés en períodos de menor duración que el estipulado para la tasa efectiva, las tasas periódicas también son tasas efectivas. Así, por ejemplo, al darse para un crédito una tasa del 2% mensual surge la pregunta: ¿Cuál tasa periódica diaria se utilizó para llegar a la tasa del 2% mensual? aplicando la ecuación de la tasa efectiva, en la que TE � 2% mensual y n � 30 días, se obtiene una tasa efectiva diaria igual a 0.066%, lo que indica que si se aplica esta tasa diaria sobre una inversión y los intereses diarios se capitalizan durante 30 días obtendríamos un rendimiento del 2% mensual. En consecuencia, en este texto a la tasa periódica, que es la que se utiliza para calcular los intereses para un período determinado, la denominaremos tasa efectiva periódica y no solamente tasa periódica, como hasta ahora la hemos venido utilizando.

7. RELACIÓN ENTRE LAS TASAS EFECTIVAS PERIÓDICASA diferencia de las tasas nominales, las tasas efectivas periódicas no se fraccionan

(no se dividen entre el número de períodos), ni se pueden obtener multiplicando la tasa efectiva periódica de menor período por el número de períodos. La tasa efectiva periódica resulta de hacer la capitalización real o virtual de los intereses periódicos. La forma de calcular una tasa efectiva periódica equivalente a otra efectiva periódica, co-rresponde a los casos de equivalencia de intereses, o tasas equivalentes, que pasamos a analizar a continuación.

145

Tasas de interés

3 meses0

1.000.000

1.092.727

Para desarrollar los ejercicios aplicando la ecuación de la tasa efectiva (4.2) utiliza-remos los siguientes símbolos:

TEA � tasa efectiva anual.

TES � tasa efectiva semestral.

TET � tasa efectiva trimestral

TEM � tasa efectiva mensual

TED � tasa efectiva diaria

Ejemplo 4.2

El señor Pérez le presta a un amigo $ 1.000.000 durante tres meses a una tasa de interés del 36% con capitalización mensual. Se acuerda cancelar el valor del préstamo �]��̀ �� Z�� ¿Qué tasa de interés efectiva trimestral arrojó la operación?

Calculamos la tasa efectiva periódica (i) dividiendo la tasa nominal.

i � � �0 3612

0 03 3. . % mensual

F � P(1 � i)n (3.1)

F � 1.000.000(1 � 0.03)3

F � 1.000.000(1.0927)

F � $ 1.092.727


� VF (3%; 3; 0; �1.000.000)

Si se invierten $ 1.000.000 y después de tres meses se reciben $ 1.092.727, el ren-dimiento efectivo es:

146


i � �FP

1

i � �1 092 7271 000 000

1. .. .

i � 0.0927 � 9.27% trimestral.

Esto indica que la tasa efectiva del 3% mensual es equivalente a una tasa efectiva del 9.27% trimestral.

Apliquemos la ecuación de la tasa efectiva para encontrar directamente la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva mensual.

TET � (1 � i)n � 1 (4.2) TET � (1 � 0.03)3 � 1

TET � 9.27% trimestral.

_� ��!��"��w��K��solamente $ 1.090.000? Simplemente le estaría proponiendo realizar una operación con interés simple. En este caso el señor Pérez incurriría en un costo de oportunidad al no tener la posibilidad de reinvertir el valor de los intereses mensuales, al menos, a la misma tasa de interés del 3% mensual. Si el señor Pérez acepta recibir $ 1.090.000 en lugar de $ 1.092.727 se ganaría el 9% tri mestral, que es una tasa nominal y no el 9.27% trimestral que es una tasa efectiva. Además, el hecho de recibir el señor Pérez un solo pago de ��HYG�-*-��!��| �Z��?H�HHH�� | �� Z��?�� !��| ��| ��Z��la capitalización (convertir los intereses en capital para que generen nuevos intereses) de los intereses en los períodos en que no se pagan.

8. TASAS EQUIVALENTESDos tasas de interés son equivalentes cuando ambas, obrando en condiciones dife-

rentes, producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro (García, 1997). El concepto de “operar en condiciones diferentes” hace referencia a que ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada. Esto indica, por ejemplo, que para una tasa mensual existe una mensual anticipada equivalente, una tasa trimestral vencida equivalente, una tasa trimestral anticipada equivalente, etc. Esta equivalencia de tasas también se presenta entre tasas efectivas y nominales, o entre tasas nominales, es decir, para una tasa mes vencido, existirá una tasa trimestre vencido equivalente, una tasa trimestre anticipado equivalente, etc.

Si sobre una inversión se aplica una tasa mensual durante 12 meses y nos produce el mismo resultado que aplicar sobre la misma inversión una tasa anual durante un año, estas dos tasas (la mensual y la anual) son tasas equivalentes. Esta operación también es conocida como equivalencia de intereses.

��!�� de interés: nominales, efectivas, DTF, tasas anticipadas, etc, que constituyen el marco de referencia del costo de los créditos, es importante tener una manera de hacerlas se-mejantes. Esto se hace calculando una tasa efectiva anual (TEA),�| ��tasa equivalente, si la capitalización se hiciera sólo una vez al año (Bodie y Merton, 1999).

147

Tasas de interés

Jaime García (1997), propone los siguientes casos, cuando dada una tasa de interés se trata de hallar otra tasa equivalente:

Dada Hallar

Caso 1. Efectiva Efectiva

Caso 2. Efectiva Nominal

Caso 3. Nominal Efectiva

Caso 4. Nominal Nominal

Cada uno de estos casos se analizarán con un ejemplo, y para cada uno de ellos ��K�� Z�� w��!��en la necesidad de tener claros los conceptos sobre la tasa nominal y la tasa efectiva, y así mismo, conocer el correcto empleo de la ecuación de la tasa nominal y de la ecuación de la tasa efectiva.

8.1 CASO 1 (EFECTIVA ��EFECTIVA)Conocida una tasa efectiva se necesita calcular otra efectiva equivalente. Puede ser

el caso de una tasa efectiva menor a una tasa efectiva mayor o viceversa. Esta es una �� | �� | ��inician en el estudio de las Matemáticas Financieras, debido a que no se acostumbran a manejar mentalmente el concepto de la reinversión de los intereses, que puede ser real o virtual. En una forma desprevenida, si conocen una tasa periódica del 2% mensual y necesitan calcular la tasa anual equivalente, simplemente la multiplican por 12. En for-ma contraria, lo que es peor aún, si conocen una tasa efectiva anual del 30% y desean calcular su tasa mensual equivalente, la dividen entre 12. Estos dos cálculos ignoran la reinversión real o virtual de los intereses en que se apoya la tasa efectiva. Si se produce la reinversión real de los intereses periódicos la tasa efectiva anual siempre será mayor que la tasa nominal, que es la que resulta de multiplicar la tasa periódica por el número de períodos. Si no se da la reinversión real de los intereses la tasa efectiva, todavía supone la reinversión virtual o implícita.

8.1.2 Conversión de efectiva periódica menor a efectiva periódica mayor

Ejemplo 4.3

¿Qué tasa trimestral es equivalente al 2.20% mensual?

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva: TET � (1 � 0.022)3 � 1 (4.2)

TET � 0.06746 � 6.75%

Esto indica que es equivalente aplicar una tasa del 2.20% mensual sobre una inversión durante 3 meses que aplicar una tasa del 6.75% trimestral sobre la misma inversión en un trimestre.

Para entender de una forma más clara el concepto de equivalencia entre tasas efectivas, consideremos la siguiente situación: Blanca Elena le presta a usted $ 1.000.000 �� G�GH�� !�� ?��`��| ��

148


le cancele los intereses mensuales por valor de $ 22.000, que resultan de multiplicar el valor del préstamo por la tasa de interés ($ 1.000.000 ��H�HGG'�� | ��| �� momento de vencerse el plazo del préstamo, ella al hacer el cálculo de la tasa trimestral equivalente a una tasa del 2.2% mensual, utilizando la ecuación de la tasa efectiva, llega a un valor de 6.75% trimestral. Indica esto que usted tendrá que cancelarle intereses por Z��*-��HH��w��!��!��| �Z��| ��usted le cancele intereses mensuales por valor de $ 22.000 a que le cancele intereses trimestrales de $ 67.500. Analizada la situación bajo el punto de vista de la equivalencia de intereses, es equivalente para Blanca Elena que le paguen una tasa del 2.20% mensual a que le paguen una tasa del 6.75% trimestral. Entendamos esto: ¿por qué es equivalente para Blanca Elena este esquema de pagos? Se supone que al recibir los intereses men-suales los reinvierte a la misma tasa de interés, y por efectos de la reinversión tendrá al �� Z�� H*-��HH��/�}��| ��prestó y lo que tiene acumulado, se obtiene una tasa de interés del 6.75% trimestral. Si no recibe los intereses mensualmente, éstos se capitalizan. En otras palabras, hay una reinversión virtual de los intereses, expresada a través de la tasa efectiva.

Al aplicar la ecuación de la tasa efectiva (4.2), el factor (1 � i)n supone la reinversión de los intereses. En muchos casos esta reinversión no se da en la práctica, al realizarse �� !��Pero, sin embargo, para estas operaciones se calcula la tasa efectiva anual equivalente, suponiendo la reinversión virtual de los intereses, lo que quiere decir, que aún si los in-tereses no se capitalizan se puede concebir la tasa de interés efectiva como el porcentaje que resulta si se hubieran capitalizado.

Esta equivalencia entre tasas efectivas periódicas también la podemos realizar con �� K�� consiste en asumir una inversión (P) de $ 1.0, que corresponde al valor presente, durante 3 meses a una tasa de interés del 2.20% mensual y al calcular el valor futuro obtenemos un valor de $1.0675. La diferencia entre el valor futuro y el valor presente de $ 1.0 es de $ 0.0675 que son los intereses, que al dividirlos entre la inversión de $ 1.0 nos da un ��Z��*�-��de que la tasa efectiva2 resulta de la reinversión de los intereses periódicos. Al analizar la fórmula de la tasa efectiva TE � $ 1.0(1 � i)n � 1, observamos en el segundo miembro de la ecuación que se le aplica a un $ 1.0 la reinversión de los intereses periódicos y luego se le resta el $ 1.0 a los intereses capitalizados.

2 Para algunos autores, la tasa de interés efectiva anual�� ]��!�| ��Z��para hacer comparables tasas de interés.

149

Tasas de interés

Antes de entrar a hacer cálculos de equivalencia de intereses en Excel, debemos recordar el procedimiento explicado en el párrafo anterior, según el cual la tasa efectiva resulta de la reinversión periódica de los intereses. Para calcular, en Excel, una tasa efec-tiva mayor dada una tasa efectiva menor aplicamos este procedimiento con la función VF, que al considerar una inversión de $1, se reduce a restarle al valor futuro el valor de la inversión: Intereses � P(1 � i)n � P.

En Excel: � VF (tasa; nper; pago; VA; tipo) � 1

� VF (2,20%; 3; 0; �1) � 1

Al obtener el resultado de la tasa en Excel, ésta se debe expresar con 2 decimales, para lo cual en la barra de herramientas oprimimos aumentar decimales y oprimimos estilo millares para que no aparezca expresada en pesos.

NORMA PRÁCTICA PARA HACER EQUIVALENCIAS DE TASAS EFECTIVAS PERIODICAS

Como norma práctica para hacer equivalencia de tasas de interés, aplíquese lo siguiente: la tasa efectiva periódica ni se multiplica ni se divide para encontrar una tasa efectiva periódica equivalente. Al multiplicar la tasa efectiva periódica por el número de períodos, se obtiene una tasa nominal; en forma contraria, al dividir la tasa nominal entre el número de períodos, se obtiene una tasa efectiva periódica.

8.1.3 Caso de efectiva periódica mayor a efectiva periódica menor�� W�� !��

(por ejemplo, para un CDT) y las tasas de los créditos bancarios generalmente se expre-san como efectivas anuales, pero los intereses se deben liquidar en períodos menores al año, por lo tanto, se hace necesario conocer la tasa efectiva periódica equivalente.

Ejemplo 4.4

¿Qué tasa mensual es equivalente a una tasa del 40% efectiva anual?

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva.

TEA � (1 � TEM)12 � 1 (3.1)

0.40 � (1 � TEM)12 � 1

1.40 � (1 � TEM)12

Aplicando radicales a ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera.

1 40 112 1212. � � TEM( ) (véase operaciones con radicales)

(1.40)0.083333 � 1 � TEM

1.0284 � 1 � TEM

TEM � 0.028436 � 2.84% mensual

150


También podemos lograr la solución a esta clase de problemas aplicando logaritmos.

1.40 � (1 � TEM)12

Log 1.40 � 12 Log(1 � TEM)

0.1461 � 12 Log(1 � TEM)

Log TEM1 0 146112

0 0122� � �( ) . .

(1 � TEM) � Antilogaritmo 0.0122

(1 � TEM) � 1.0284

TEM � 0.0284 � 2.84% mensual

��| �� Z�� #H��| �Z�� G��#�� /��K�� ]��!��| �Z��una misma inversión una tasa de interés del 2.84% mensual durante 12 meses, que una tasa del 40% anual durante un año. En otras palabras, es equivalente prestar un dinero al 2.84% mensual durante 12 meses que al 40% anual durante un año. Nótese que la tasa del 2.84% mensual obtenida, equivalente al 40% efectiva anual, no resulta de dividir 40% entre 12 períodos mensuales, que es lo que generalmente se hace al desconocer el potencial de reinversión de los intereses.

k��| ��]��;

Calculemos el valor futuro que produce una inversión de $ 1.000.000, durante 12 meses, a cada una de estas tasas

�� A una tasa del 2.8436% mensual.

F � 1.000.000(1 � 0.028436)12 � $ 1.399.997 $ 1.400.000

�� A una tasa del 40% anual.

F � 1.000.000(1 � 0.40)1 � $ 1.400.000

��Z��| �� "��

`�� }��Z�� Z��a una tasa efectiva menor utilizando la fórmula del interés compuesto, al calcular la tasa que convierte una inversión de $ 1.0 (valor presente) durante n períodos en 1 � la tasa efectiva (valor futuro).

En Excel, para calcular una tasa efectiva menor equivalente a una tasa efectiva mayor aplicamos el mismo procedimiento anterior utilizando la función TASA.

151

Tasas de interés

En Excel: � TASA (nper; pago; VA; VF; tipo; estimar)

� TASA (nper; pago; VA; (1 � TE); tipo; estimar)

� TASA (12; 0; �1; 1,40) � 2.84% mensual

En estimar se puede colocar cualquier tasa de interés o se puede omitir. En el último caso, Excel asume una tasa del 10%. En este libro, en adelante, omitiremos el parámetro estimar.

TEMA DE INTERÉS

CERTIFICADO DE DEPÓSITO A TÉRMINO (CDT)

�� Z��@�� dinero a un plazo y tasa determinada. Los plazos pueden ser de 30 días en adelante, siendo los más comunes los de 30, 60, 90, 180 y 360 días. Un CDT es una alternativa de inversión por excelencia, adecuada para quienes buscan liquidez en el corto plazo y para aquellas personas que requieren certeza en los rendimientos que van a percibir. La tasa de interés por su depósito está determinada por el monto, el plazo y las condiciones existentes en el momento de su constitución.

CARACTERÍSTICAS:

1. Emisor:��!��̀ ��"��de Financiamiento Comercial.

2. Clase de título: son títulos nominativos, se emiten a nombre de una o varias personas.

3. Ley de circulación;��

4. Plazo: el plazo mínimo de un CDT es de un mes. Son prorrogables por un término igual al pactado inicialmente, de lo contrario se redimen en el plazo previsto.

5. Liquidez: gozan de liquidez secundaria antes de su vencimiento y son fácilmente ne-gociables en el mercado secundario (Bolsa de Valores).

6. Valor nominal: se expiden en cuantías mínimas determinadas por la entidad emisora.

7. Rendimiento: la tasa de interés que devengan los CDTs se pacta con la entidad emiso-ra, dependiendo de las condiciones del mercado de capitales, el monto y el plazo del depósito.

�� : están sujetos a un 7% de retención en la fuente sobre los intereses devengados.

Ejemplo 4.5

Blanca Helena constituye un CDT en el Banco Popular, por valor de $ 10.000.000 a una tasa del 7% EA, con un plazo de 90 días. Si Blanca Helena requiere del pago de intereses mensuales, calcular la tasa mensual equivalente y el valor de los intereses mensuales.

152


La tasa del CDT está expresada como efectiva anual, lo que indica que si el plazo del CDT fuera de un año, le liquidarían sobre los $ 10.000.000 una tasa del 7%, pero como Blanca Helena solicita el pago de intereses mensuales se hace necesario calcular la tasa efectiva mensual equivalente al 7% EA.

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva:

TEA � (1 � TEM)12 � 1

0.07 � (1 � TEM)12 � 1

TEM � (1.07)1/12 � 1

TEM � 0.57% mensual

Esta es la tasa efectiva periódica mensual que le aplicará el banco a los $ 10.000.000.

Valor de los intereses mensuales � P � i

Valor de intereses mensuales � $ 10.000.000 � 0.0057 � $ 57.000


� TASA (12; 0; �1; 1,07)

Ejemplo 4.6

El Banco de Bogotá le aprueba a la empresa Omega Ltda un préstamo por valor de $ 50.000.000 a una tasa del 18% EA con intereses pagaderos trimestralmente. Calcular la tasa trimestral equivalente y el valor de los intereses del primer trimestre.

Calculamos la tasa efectiva trimestral equivalente al 18% EA, que es la tasa de interés que se aplicará sobre el monto del crédito.

TEA � (1 � TET)4 � 1

0.18 � (1 � TET)4 � 1

TET � (1.18)1/4 � 1

TEM � 4.22% Trimestral

Valor de los intereses primer trimestre � P � i

Valor de intereses primer trimestre � $ 50.000.000 � 0.0422 � $2.110.000

Para conocer el valor de los intereses de los subsiguientes trimestres se hace ne-��K��&��'�� y el plazo. Lo importante es comprender que la tasa de interés del 4.22% trimestral se aplicará en los próximos trimestres sobre el saldo insoluto del préstamo.

153

Tasas de interés


� TASA (4; 0 ; �1; 1,18)

Ejemplo 4.7

Un crédito bancario por valor de $ 5.000.000 se está cancelando con cuotas mensua-les iguales de $ 450.000 con una tasa del 20% EA con intereses pagaderos mensualmente. El deudor demora 43 días en cancelar la primera cuota. Calcular los intereses moratorios.

En el capítulo 2, se explicó ampliamente el tema de los intereses moratorios y se llegó a la conclusión que constituyen una penalización por el incumplimiento en el pago de una obligación. Es decir, si el deudor no cumple con el pago de las cuotas pactadas con su acreedor, desde el momento del incumplimiento se comienzan a cobrar unos in-tereses de mora que son, por lo general, 1.5 veces el interés corriente, siendo éste último el interés pactado con el acreedor, sin que excedan el interés máximo permito por la ley que es la tasa de usura. Otro aspecto importante es que los intereses moratorios3 son intereses simples calculados con la expresión: I � Pin. La tasa de interés moratoria es la tasa de usura, que se calcula en Colombia para un período trimestral y viene expresada como una tasa efectiva anual.

Tasa moratoria � tasa de usuraSi para el período de análisis la tasa de usura es del 21.32% EA, calculamos la tasa

efectiva diaria equivalente.

TEA � (1 � TED)365 � 1

TED � (1.2132)1/365 � 1

TED � 0.053% diaria

Intereses moratorios � $ 5.000.000 � 0.00053 � 43 días

Intereses moratorios � $ 113.950

Notará el lector que los intereses moratorios fueron calculados con base en el saldo insoluto y no sobre el valor de la cuota en mora. Esta ha sido una de las discusiones planteadas alrededor del cálculo de los intereses de mora de un crédito y ya existe legis-lación al respecto de los intereses moratorios de los créditos de vivienda en Colombia. En éstos últimos los intereses moratorios se deben cobrar sobre el valor de la cuota en mora y no sobre el saldo insoluto. Lamentablemente, en el caso de los créditos bancarios y los créditos comerciales se siguen cobrando sobre el saldo insoluto.

3 Los intereses moratorios se cobran por cada día de retardo en el pago, de tal forma que para calcu-lar la tasa diaria equivalente a la tasa de usura, que viene expresada como efectiva anual, se tiene en cuenta el año de 365 días o 366 días si es bisiesto.

154



� TASA (365; 0 ; �1; 1,2132)

8.2 CASO 2 (EFECTIVA ��NOMINAL)Conocida una tasa efectiva se pide calcular una tasa nominal equivalente.

Ejemplo 4.8

A partir de una tasa efectiva anual del 40%, calcular la tasa nominal con capitaliza-ción trimestral equivalente.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva, que también se puede expresar así:

TEA � (1 � J/n)n � 1 (4.3)

0.40 � (1 � J/4)4 � 1

1.40 � (1 � j/4)4

Aplicando radicales, se tiene:

(1.40)1/4 � 1 � J/4

1.08776 � 1 � J/4 0.08776 � 4 � J

j � 35.10% TV

Lo que indica que una tasa efectiva anual del 40% es equivalente a una tasa nominal del 35.10% con capitalización trimestral.

Otro procedimiento

A partir de la tasa efectiva anual calculamos la tasa efectiva periódica trimestral, para lo cual aplicamos la ecuación de la tasa efectiva.

TEA � (1 � TET)4 � 1 (4.2)

0.40 � (1 � TET)4 � 1

1 40 14 44. � � TET( )

(1.40)1/4 � 1 � TET

TET � 0.087757 � 8.7757% trimestral.

155

Tasas de interés

Conocida la tasa efectiva trimestral se calcula la tasa nominal capitalizable trimes-tralmente, aplicando la ecuación de la tasa nominal.

J � Tasa periódica � Número de períodos. (4.1)

J � 8.7757% � 4 � 35.10% TV

En Excel se utiliza la función TASA.NOMINAL, que sí no aparece en las funciones ��Z�� Insertar función debemos instalarla. Para ello, en la hoja de cálculo elija Herramientas y elija Complementos y active Herramientas para análisis y aceptar. Con esta operación ha quedado instalada la función y se puede utilizar entrando a la ventana Insertar función.

En Excel: � TASA.NOMINAL (tasa efectiva; No períodos) � TASA NOMINAL (40%; 4)

o también: � n*TASA (nper; pago; VA; VF; tipo; estimar)

� 4*TASA(4; 0; �1; 1,40)

8.3 CASO 3 (NOMINAL � EFECTIVA)Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica

�| �Z�� !��| �� @��!��!��en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa efectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crédito.

Ejemplo 4.9

Al señor Pedro Picapiedra le conceden un crédito en el Banco Cafetero por valor de $ 20.000.000 a una tasa del 30% TV. Calcular la tasa efectiva trimestral que le cobran y el valor de los intereses del primer trimestre.

Le prestan al 30% anual y le van a liquidar la cuarta parte cada trimestre. Se hace necesario calcular la tasa efectiva trimestral equivalente.

Dividimos la tasa nominal. i � � �0 30

40 075 7 5. . . % trimestral

Valor de los intereses. I � P � i � 20.000.000 � 0.075 � $ 1.500.000 trimestrales

Las tasas nominales son engañosas porque no expresan la verdadera tasa de interés y crean confusión tanto en el ahorrador como en el prestatario. En el siguiente ejemplo se podrá observar esta situación.

156


Ejemplo 4.10

��}�� GG��capitalizable mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. ¿Qué opción se debe elegir?

A simple vista da la impresión que para el ahorrador la mejor opción es la segunda. Sin embargo, al calcular las tasas efectivas anuales equivalentes para cada tasa de interés nos encontramos que la mejor opción es la primera.

Primera opción: 22% MV Al calcular su tasa efectiva anual equivalente se obtiene un resultado de 24.36% EA.

Segunda opción: 23% SV Al calcular su tasa efectiva anual equivalente se obtiene un resultado de 24.32% EA.

Para calcular una tasa efectiva anual conocida una tasa nominal, en Excel se utiliza �� =$��%�`$�k�!�| �� Z��Insertar función debemos instalarla. Para ello, en la hoja de trabajo elija Herramientas y elija Complementos y active Herramientas para análisis y aceptar. Con esta operación ha quedado instalada la función y se puede utilizar entrando a la ventana Insertar función.

En Excel: � INT.EFECTIVO (tasa nominal; No períodos) � INT.EFECTIVO (22%; 12) � INT.EFECTIVO (23%; 2)

o también: � VF (Nom/n; nper; pago; VA; tipo) � 1 � VF (22%/12; 12; 0; �1) � 1 � VF (23%/2; 2; 0; �1) � 1

Ejemplo 4.11

A partir de una tasa nominal del 36%, calcular la tasa efectiva anual, si:

1. La capitalización es mensual. (36% MV)

2. La capitalización es bimestral. (36% BV)

3. La capitalización es trimestral. (36% TV)

4. La capitalización es semestral. (36% SV)

5. La capitalización es anual. (36% AV)

157

Tasas de interés

1. Cuando la capitalización es mensual. i � � � �Jn

0 3612

0 03 3. . % mensual.

Conocida la tasa efectiva mensual podemos calcular la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � 0.03)12 � 1 (4.2)

TEA � 42.58%

2. Cuando la capitalización es bimestral. i � � � �Jn

0 366

0 06 6. . % bimestral.

Conocida la tasa efectiva bimestral se calcula la tasa efectiva anual.

TEA � (1 � 0.06)6 � 1 (4.2)

TEA � 41.85%

3. Cuando la capitalización es trimestral. i � � � �Jn

0 364

0 09 9. . % trimestral.

Conocida la tasa efectiva trimestral, calculamos la tasa efectiva anual.

TEA � (1 � 0.09)4 � 1 (4.2)

TEA � 41.16%

4. Cuando la capitalización es semestral. i � � � �Jn

0 362

0 18 18. . % semestral.

Conocida la tasa efectiva semestral calculamos la tasa efectiva anual.

TEA � (1 � 0.18)2 � 1 (4.2)

TEA � 39.24%

5. Cuando la capitalización es anual. i � � � �Jn

0 361

0 36 36. . % anual.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � 0.36)1 � 1 (4.2)

TEA � 36%

158


En Excel: � INT.EFECTIVO (tasa nominal; No períodos) � INT.EFECTIVO (36%; 12) � INT.EFECTIVO (36%; 6) � INT.EFECTIVO (36%; 4) � INT.EFECTIVO (36%; 2) � INT.EFECTIVO (36%; 1)

o también: � VF (Nom/n; nper; pago; VA; tipo) � 1 � VF (36%/12; 12; 0; �1) � 1 � VF (36%/6; 6; 0; �1) � 1 � VF (36%/4; 4; 0; �1) � 1 � VF (36%/2; 2; 0; �1) � 1 � VF (36%/1; 1; 0; �1) � 1

Resumen del ejemplo. 36% MV � TEA � 42.58%

36% BV � TEA � 41.85%

36% TV � TEA � 41.16%

36% SV � TEA � 39.24%

36% AV � TEA � 36.00%

Conclusiones:

1. Cuando el período de capitalización es menor de un año, la tasa efectiva anual es mayor que la tasa nominal anual.

2. A medida que aumenta la frecuencia de liquidación de intereses aumenta la tasa efectiva anual, por la mayor posibilidad de reinversión de los intereses.

3. Cuando el período de capitalización es un año, la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal anual. En cualquier otro caso la tasa efectiva anual siempre será mayor a la tasa nominal anual.

4. La tasa efectiva está compuesta de dos partes: la tasa nominal que es la que de-termina el valor de los intereses que se registran en los libros de contabilidad y el costo de oportunidad en que se incurre al tener que pagar intereses periódicos. Es lo mismo, contablemente, pagar un préstamo de $ 1.000.000 al 36% MV que pagarlo al 36% TV. En el Estado de Resultados en los dos casos se registrarán, como ��!��?*H�HHH�� !�� Z��]��costosa una tasa del 36% MV que una tasa del 36% TV por el costo de oportunidad del dinero, como se demostró en este ejercicio. La diferencia entre la tasa efectiva y la tasa nominal es el costo de oportunidad.

Ejemplo 4.12

Se pide elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 30% MV o 30% TV.

159

Tasas de interés

Se observa que las tasas nominales son iguales en valor pero con diferentes períodos de capitalización. Tasas nominales con diferentes períodos de capitalización no son compa-rables. Con base en las conclusiones del ejemplo anterior sabemos que a mayor número de capitaliza ciones la tasa efectiva es mayor, por ello, podemos concluir que la mejor opción es la tasa del 30% TV.

8.4 CASO 4 (NOMINAL � NOMINAL)Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el

período de capitalización de la tasa de interés nominal con que se pactó una operación ��

Ejemplo 4.13

��>�� "��w�� ?*��capitalización mensual (36% MV), quien solicita le conviertan esa tasa en una nominal ca pi talizable trimestralmente equivalente. Hallar esta tasa equivalente.

Con la información de la primera tasa podemos calcular la tasa efectiva anual.

TEA � (1 � J/n)n � 1 (4.3)

TEA � (1 � 0.36/12)12 � 1

TEA � 0.4258 � 42.58%

Conocida la tasa efectiva anual, podemos calcular la tasa nominal capitalizable trimestral mente equivalente.

TEA � (1 � J/n)n � 1 (4.3)

0.4258 � (1 � J/4)4 � 1

1.4258 � (1 � J/4)4

1 4258 14

44

4. � �J⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(1.4258)1/4 � (1 � J/4)

1.092734 � 1 � J/4

0.092734 � J/4

J � 0.092734 � 4 � 0.3709 � 37.09% nominal T.V.

Otro procedimiento

Dividimos la tasa nominal. i � � � �Jn

0 3612

0 03 3. . % mensual

Conocida la tasa efectiva mensual, calculamos la tasa efectiva trimestral equivalente.

TET � (1 � TEM)3 � 1 (4.2)

TET � (1 � 0.03)3 � 1

TET � 0.0927 � 9.27% trimestral.

160


Conocida la tasa efectiva trimestral calculamos la tasa nominal capitalizable trimes-tralmente, aplicando la ecuación de la tasa nominal.

J � 0.0927 � 4 � 0.3708 � 37.09% capitalizable trimestralmente.

Para hacer la conversión de una tasa nominal a otra tasa nominal conocida, Excel no tiene una única función. Se deben trabajar las funciones INT.EFECTIVO y TASA NOMINAL, explicadas en ejercicios anteriores.

En Excel: � INT.EFECTIVO (tasa nominal; No períodos) � TASA.NOMINAL (tasa efectiva; No períodos)

� INT.EFECTIVO (36%; 12) � TASA.NOMINAL (42,58%; 4)

En este libro proponemos un procedimiento alternativo que consiste en calcular la tasa nominal en función de la tasa periódica, utilizando la función VF.

En Excel: � n*(VF (Nom/n; nper; pago; �VA; tipo) �1)

� 4*(VF (36%/12; 3; 0; �1,0) �1)

VF (36%/12; 3; 0; �1) � 1, convierte la tasa nominal del 36% MV en una tasa efectiva del 9.27% trimestral, la que luego se multiplica (aplicando la ecuación de la tasa nominal) por 4 períodos para encontrar la tasa nominal TV.

En la función que acabamos de utilizar, que acepta Excel, se observa el uso de pa-réntesis con los cuales, es posible que el lector no esté familiarizado. Por esta razón, a continuación explicamos la aplicación de los operadores aritméticos que maneja el Excel. Los operadores son signos que se utilizan para estructurar una operación o fórmula. Son operadores aritméticos: división (/), resta (�), suma (�), multiplicación (*), porcentaje (%) y exponente (^). Si en la introducción de las fórmulas se combinan varios operadores sin utilizar paréntesis, Excel realiza primero las operaciones con mayor prioridad, es decir, las de mayor importancia (teniendo en cuenta que dará máxima prioridad a cualquier operador si lo ponemos entre paréntesis). En su orden los operadores de mayor prioridad son: igual (�), porcentaje (%), exponente (^), multiplicación y división (* /) y suma y resta (� �). Si se necesita que en una fórmula se realice primero una operación con menos prioridad que otra se utiliza el paréntesis. Con base en lo anterior, si la operación VF (36%/12; 3; 0; �1,0) � 1 no la encerramos en un paréntesis, el Excel primero multiplica 4*(VF(36%/12; 3; 0; �1,0) y después le resta el 1.

En el caso de una tasa nominal con capitalización mayor a una tasa nominal con capitalización menor, se procede así:

� n*TASA (nper; pago; VA; Nom /n � 1)

161

Tasas de interés

Ejemplo 4.14

Dada una tasa nominal del 30% TV calcular una tasa nominal MV equivalente. Utilice el Excel.

� 12*TASA (3; 0; �1; 30%/4 � 1)

En este caso, haciendo referencia al uso de los operadores aritméticos, en el último parámetro dentro del paréntesis el Excel primero divide 30%/4 y luego le suma el 1. Asimismo, primero desarrolla el paréntesis y luego lo multiplica por 12.

Los resultados del ejemplo 4.13 son importantes porque aportan claridad sobre la ��K�� K�� !��| ��}��venido considerando durante todo el desarrollo del texto. La ley prohíbe corrientemente en forma expresa cobrar en un crédito intereses sobre intereses, si no se pactan pre-viamente, lo que en el argot jurídico se conoce como ANATOCISMO. El lector en este momento entrará en un estado de confusión, entendible para el autor, porque hemos ��| �� ]��\��]��%��-��| ��K�� ]��| ��presenta a continuación aclarará esta situación.

Miremos los resultados del ejemplo 4.13.

Una tasa nominal del 36% MV es equivalente al 3% mensual, equivalente al 9,27% ��?-�HY��$k��_� ��{��| �Z��| ��le pague sobre el valor del crédito el 3% mensual, a que le pague el 9.27% trimestral, ¿y esto qué es? interés compuesto.

��"��w��>��HHH�HHH��?*��\k!��Z��los intereses mensuales es de $ 30.000. Si el banco acepta que le paguen los intereses cada trimestre, su valor sería de $ 92.700 que resultarían de aplicarle a $1.000.000 una tasa del 9.27% trimestral. Este mismo resultado lo obtendría el banco si el señor Pablo le pagara $ 30.000 mensuales y los reinvirtiera al mismo 3% mensual durante tres meses.

36% mes vencido 37.09% trimestre vencido

3% mensual 9.27% trimestral

Un préstamo de $ 1.000.000 al 3% mensual durante tres meses arroja un valor futuro de:

F � 1.000.000 (1 � 0.03)3

F � $ 1.092.727

El rendimiento del banco es: i � � � � �FP

1 1 092 7271 000 000

1 9 27. .. .

. % trimestral.

��K��| �!��}��intereses sobre intereses, esta situación se presenta al aplicar las tasas efectivas equi-valentes. En consecuencia, no debe ser motivo de preocupación cuando se obra como

162


1 año0

$ 100

$ 130

��!�| �� K��@��K��de los intereses, sino que se cobren tasas efectivas equivalentes que involucran, en forma implícita, el interés compuesto.

La tasa efectiva considera la capitalización de los intereses para los períodos en los cuales no se hace ningún pago.

9. TASA DE INTERÉS ANTICIPADA

<�� -nanciero. Surgieron como una argucia de los banqueros para evadir el cumplimiento de las normas sobre tasas máximas (Gutiérrez, 1994). Estas normas estipulaban topes ��!�� en día, las normas precisan las tasas efectivas máximas, pero los intereses anticipados ��| �� engañosa de presentar las tasas de interés, muy común en los préstamos bancarios a ��K��/ �| ��}�� K��cada período, por ejemplo, el trimestre o el mes, los intereses se cobran por adelantado por cada período de utilización del dinero.

Existe una diferencia grande entre cobrar tasas de interés en forma vencida y an-�� !�| �� de interés de la operación. Una operación de crédito, por ejemplo, a una tasa de interés del 9% trimestral, indica que por cada $ 100 que se utilicen en el trimestre se deben pagar $ 9 de intereses. Si la tasa de interés es del 9% trimestral anticipada el costo del crédito es mayor, porque en el mismo momento del desembolso del préstamo se cobran ��Y��!��| ��| ��]�� !�para este caso $ 91 en lugar de $ 100. La relación entre lo verdaderamente recibido en �� Y��/�cobrarse una tasa vencida, se presta el dinero para usarlo durante un período determi-��Z �Z�� ` ��en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite usar el dinero, �| ��| �� !�� mayor costo del crédito.

^��;�_| �� | ��?H�� Z��{�`�� + ��!�� | ��HH��día de hoy, durante un año.

163

Tasas de interés

0

$ 30$ 100

1 año

$ 100

1 año0

$ 70

$ 70

$ 30

Aplicando la fórmula básica: F � P(1 � i)n (3.1) F � P(1 � 0.30)1

F � 100(1 � 0.30) F � $ 130

��HH��}��?H�� !��"��]��?H�

¿Qué sucede, si se prestan los mismos $ 100 a la misma tasa de interés del 30% anual du rante un año, pero los intereses se reciben en forma anticipada?

�� Z�+ ��;

w��HH�| ��?H��del año se devuelven los $ 100 prestados. Realmente se están prestando $ 70 y después del año se reciben $ 100.

F � P (1 � i)n (3.1)

100 � 70(1 � i)n pero n � 1

100 � 70(1 � i)

10070

1� � i

i � 0.4286 � 42.86% anual.

Se observa que al cobrarse una tasa anticipada del 30% anual, el costo del crédito se aumenta al 42.86% anual.

<�� Z��;

^�� ]�� -H� | �� Z �Z�� "!� �]�� Z��?H��-H��"��intereses por $ 30 sobre los $ 70 del préstamo.

i � �3070

42 86. % anual

164


0

100500

1 año

500

9.1 CONVERSIÓN DE UNA TASA ANTICIPADA EN VENCIDA

Consiste en diseñar una expresión que permita calcular la tasa periódica vencida equivalente a una tasa periódica anticipada.

Consideremos que se prestan $ 500 al 20% anual anticipado durante un año. Utili-zando el procedimiento anterior, tenemos:

La tasa de interés vencida del préstamo es igual a:

i � �IP

InteresesCapital prestado

ii i

��

��

�

PP

PF I

i ��

� �

500 0 20500 500 0 20

..

i ��

��

�

500 0 20500 1 0 20

0 201 0 20

..

..( )

iv iaia

��1( )

(4.4)

Donde: iv � tasa efectiva periódica vencida (por ejemplo, 2% mensual, 10% trimestral)

ia � tasa efectiva periódica anticipada ( por ejemplo, 2% mensual anticipada)

Con la fórmula (4.4) se puede convertir cualquier tasa de interés anticipada en una tasa de interés vencida equivalente, aunque conviene advertir que la conversión sólo aplica para tasas efectivas, ya que muchas veces se comete el error de aplicar la fórmu-la para hacer conversiones con tasas nominales. El lector debe recordar que las tasas nominales son sólo tasas que referencian el costo de un crédito, pero que no lo miden.

A esta expresión le podemos hallar una aplicación práctica inmediata, si pensamos en la siguiente situación: le ofrecen un préstamo de $ 100.000 que debe pagar después de un mes, pero le cobran intereses del 5% mensual pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $ 100.000, le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados sólo recibiría $ 95.000. Se necesita conocer, en tonces, ¿qué tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual anticipada se debe cobrar?

Este cálculo se realiza aplicando la expresión (4.4): iv iaia1

0 051 0 05

5 26..

. %mensual.

165

Tasas de interés

Al hacer la operación con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibiría los $ 100.000 ��K��H��G*H!�Z��| ��HH�HHH�de capital más $ 5.260 de intereses (100.000 � 0.0526).

`�� Z��la tasa periódica anticipada, utilizando la fórmula del interés compuesto e ingresando la tasa y el número de períodos con signo negativo.

Aunque Excel no tiene una función que calcule una tasa vencida a partir de una tasa anticipada, podemos utilizar la función VF ingresando los valores de tasas y períodos con signo negativo.

En Excel: � VF (�tasa;- nper; pago;VA; tipo) � 1

� VF (�5%; �1; 0; �1) � 1

�� !�� por un préstamo, si los intereses se van a cobrar en forma vencida o anticipada, porque se podrían crear sobrecostos invisibles en el préstamo. Con el ejemplo que acabamos de desarrollar podemos concluir que no es lo mismo prestar dinero a una tasa de interés del 3% mensual anticipado que al 3% mensual. Si le prestan al 3% mensual anticipado, le están prestando al 3.09% mensual vencido.

Los intereses anticipados usualmente se cobran por un sólo período, por ejemplo, el mes o el trimestre. Pero, para comprender lo abusivo que resultan piénsese que, en virtud de lo dicho arriba, se pretenda cobrarlos por varios períodos. El valor del descuento (intereses anticipados) podría llegar a ser igual al valor del préstamo y en este caso el deudor no recibiría nada pero quedaría debiendo la totalidad del préstamo; y para un número de períodos mayor, aún tendría que darle al acreedor dinero encima. A guisa de ejemplo, si le prestan $ 120.000 a una tasa del 5% mensual anticipado y le cobran intereses de 20 períodos, el valor de los intereses anticipados sería igual a: $ 120.000 � 0.05 � 20 � $ 120.000; de tal forma que no recibiría nada, pero quedaría debiendo $ 120.000. Si se aumentara a 22 el número de períodos, debería pagar por anticipado: $ 120.000 � 0.05 � 22 � $ 132.000, lo que indica que tendría que sacar de su bolsillo $ 12.000 y quedaría debiendo $ 120.000.

De ahí, que en la mayoría de los países esté expresamente prohibido cobrar intere-ses anticipados en cualquier sistema de créditos. Desafortunadamente, en varios países, Colombia por ejemplo, es lo más común en los créditos a corto plazo, lo que nos obliga a tratarlos en detalle.

166


9.2 CONVERSIÓN DE UNA TASA VENCIDA EN ANTICIPADA

Ahora, estamos ante la situación contraria analizada en el acápite 9.1, cap. 4. Al conocerse una tasa periódica vencida se necesita calcular la tasa periódica anticipada equivalente.

Despejando de la ecuación (4.4), calculamos la tasa anticipada conocida la tasa vencida.

iv(1 � ia) � ia

iv � i � ia � ia

iv � i � ia � ia

iv � ia(i � 1)

ia iviv

��1( ) (4.5)

Esta expresión es la misma (4.4), simplemente que se propone encontrar una tasa periódica anticipada en función de la tasa periódica vencida.

Bajo el esquema prestamista � prestatario, es lógico suponer que cuando se obra �� ]��Z��!��| ��liquidez por costo. En el caso contrario, cuando se actúa como prestamista, el plantear préstamos con tasas anticipadas puede acarrear sobrecostos invisibles para el deudor. Por ejemplo, si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige el pago de intereses anticipados, para que no haya un sobrecosto debe cobrarle una tasa del 1.96% mensual anticipada, que resulta de aplicar la expre-sión (4.5). Si le cobra el 2% mensual anticipado, le está cobrando el 2.04% mensual, que resulta de aplicar la expresión (4.4).

ia iviv

��

��

�1

0 021 0 02

1 96..

. % mensual anticipada (4.5)

iv iaia

��

��

�1

0 021 0 02

2 04..

. % mensual (4.4)

Las tasas anticipadas también se presentan en forma nominal, y es así como se habla, por ejemplo, del 32% nominal trimestre anticipado, 32% trimestre anticipado o, simplemente, 32% T.A., para indicar que esta es una tasa del 32% anual y que la cuarta parte de ella se cobrará al principio del trimestre (García, 1994). También, al igual que la tasa nominal con capitalización vencida, la nominal con capitalización anticipada se divide por el número de períodos de capitalización al año para obtener la tasa efectiva anticipada. Así, por ejemplo, del 32% nominal trimestre anticipado se obtiene el 8% efectiva trimestral anticipada al dividir 32% entre 4 trimestres. De la misma forma, al tenerse una tasa periódica anticipada y al multiplicarla por el número de períodos se obtiene la tasa nominal anual con capitalización anticipada.

A continuación se resuelve una tanda de ejercicios que consideran diferentes si-� ��

167

Tasas de interés

Ejemplo 4.15

Calcular la tasa trimestral anticipada equivalente a una tasa del 2.0% mensual an-ticipada.

Se convierte la tasa del 2.0% mensual anticipada en mensual vencida equivalente.

TEM ��

��

iaia1

0 021 0 02( ) ( )

..

(4.4)

TEM � 0.0204 � 2.04% mensual.

Calculamos la tasa trimestral vencida, aplicando la ecuación de la tasa efectiva:

TET � (1 � 0.0204 )3 � 1 (4.2)

TET � 0.0625 � 6.25% efectiva trimestral.

Calculamos la efectiva trimestral anticipada:

TETA ��

��

iviv1

0 06251 0 0625( ) ( )

..

(4.5)

TETA � 0.0588 � 5.88% trimestral anticipada.

�� !� ��K��]� �� del interés compuesto obtenemos un valor indeterminado, debido a que no considera ��Z��K��W��Z��| ��

Al multiplicar la tasa del 2.0% mensual anticipada por 3 (número de períodos men-suales) obtenemos la tasa nominal trimestral mes anticipado. Luego pedimos la tasa nominal trimestral anticipada. Al realizarse este procedimiento se podría presentar alguna confusión en el último paso, al calcularse la tasa nominal cuando se trata de encontrar la tasa efectiva trimestral anticipada. Esta confusión se despeja si entendemos que para un solo período la tasa nominal y la efectiva son iguales. Recuérdese que para un solo período, el interés simple es igual al interés compuesto y la relación entre estas dos tasas es la misma que existe entre estos dos tipos de interés. Este es el procedimiento que ��

Aunque Excel no tiene una función que haga equivalencia entre tasas anticipadas, proponemos el siguiente procedimiento: con la función VF calculamos la tasa trimestral vencida para lo cual tenemos que ingresar la tasa periódica y el número de períodos con signo negativo. Una vez calculada la tasa trimestral vencida la pasamos a anticipada

168


utilizando la función TASA ingresando el número de períodos con signo negativo. Se obtiene una tasa negativa a la cual hemos de cambiarle el signo.

En Excel: � VF (�tasa; �nper; pago; VA; tipo) � 1

� VF (�2%; �3; 0; �1) � 1 � 6.25% trimestral

� TASA (�nper; pago; VA; 1 � TE)

� TASA (�1; 0; �1; 1,0625) � �5.88%, y le cambiamos el signo

��@��| ��@�� como funciones principales, nos evidencian que esta modalidad de cobro de intereses anticipados no se usa en otros países. Lamentablemente en nuestro país es una práctica normal en los créditos bancarios.

Ejemplo 4.16

A partir de una tasa nominal del 36% trimestre anticipado (36% TA), calcular la tasa efectiva anual.

Se divide la tasa nominal. i � � � �Jn

0 364

0 09 9. . % trimestral anticipada.

Se convierte la tasa trimestral anticipada en trimestral vencida.

iv iaia

��

��10 09

1 0 09( ) ( ).

. (4.4)

i � 0.0989 � 9.89% trimestral.


TEA � (1 � 0.0989)4 � 1 (4.2)

TEA � 0.4583 � 45.83% efectiva anual

`�� Z�� tasa nominal con capitalización anticipada, utilizando la fórmula del interés compuesto e ingresando la tasa y el número de períodos con signo negativo.


� VF (�36%/4; �4; 0; �1) � 1

169

Tasas de interés

Ejemplo 4.17

¿Qué tasa nominal anual con capitalización trimestral anticipada es equivalente a una tasa del 38% nominal capitalizable mensualmente (38% MV)?

A partir de la tasa nominal del 38% capitalizable mensualmente, calculamos la tasa efectiva anual.

TEA � (1 � 0.38 /12)12 � 1 (4.3)

TEA � 0.4537 � 45.37% efectiva anual

Conocida la tasa efectiva anual, se calcula la tasa efectiva trimestral.

TEA � (1 � TET)4 � 1 (4.2)

0.4537 � (1 � TET)4 � 1

1.4537 � (1 � TET)4

Aplicando radicales, se tiene: 1 4537 14 44. � � TET( )

(1.4537)1/4 � 1 � TET TET � 0.098 � 9.8% trimestral

Calculamos la tasa trimestral anticipada. ia iviv

��

��10 098

1 0 098( ) ( ).

. (4.5)

ia � 0.089 � 8.9% trimestral anticipada.

Aplicamos la ecuación de la tasa nominal:

tasa nominal � 0.089 � 4 � 0.3560 � 35.60% nominal T.A.

Otro procedimiento

Calculamos la tasa efectiva mensual:

i � � � �Jn

0 3812

0 03167 3 167. . . % efectiva mensual.

A partir de la tasa efectiva mensual, encontramos la efectiva trimestral:

TET � (1 � TEM)3 � 1 (4.2)

TET � (1 � 0.03167)3 � 1

TET � 0.098 � 9.8% efectiva trimestral.

Calculamos la tasa trimestral anticipada.

TETA ��

��

iviv1

0 0981 0 098( ) ( )

..

(4.5)

TETA � 0.089 � 8.90%

La tasa nominal trimestre anticipado la calculamos aplicando la ecuación de la tasa nominal:

Tasa nominal � 0.089 � 4 � 0.356 � 35.60% T.A.

170


2 años0

350.000

486.000i � ?

Tal como se explicó en el ejercicio 4.16, utilizando el interes compuesto con la cal-� �� Z��$��| �� K��W��Z��| ��

En Excel: � VF ( tasa; nper; pago; VA; tipo) � 1

� VF (38%/12; 3; 0; �1) � 1 � 9.80% trimestral

� n*TASA (�nper; pago; VA; 1 � TE)

� 4*TASA (�1; 0; �1; 1,098)

Ejemplo 4.18

¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente convertirá a $ 350.000 de hoy en $ 486.000 dentro de 2 años?

F � P(1 � i)n (3.1)

486.000 � 350.000(1 � i)2

486 000350 000

12.

.� � i( )

1.388571 � (1 � i)2

Aplicando radicales, se tiene: 1 388571 12

. � � i( ) (1.388571)1/2 � 1+i

1.178377 � 1 � i

1.178377 � 1 � i

0.178377 � i

i � 17.84% efectiva anual.

171

Tasas de interés

Conocida la tasa efectiva anual, calculamos la tasa nominal capitalizable mensual-mente equivalente.

Se aplica la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � J/n)n � 1 (4.3)

0.1784 � (1 � J/12)12 � 1

1.1784 � (1 � J/12)12

Aplicando radicales a ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera.

1 1784 112

1212

12. � �J⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(1.1784)1/12 � 1 � J/12

1.013774 � 1 � J/12

1.013774 � 1 � J/12

0.013774 � J/12

J � 0.013774 X 12

J � 0.1653 � 16.53% capitalizable mensualmente.

Otro procedimiento

`��Z�� -��#��| ��!��-demos calcular la tasa efectiva mensual equivalente.

TEA � (1 � TEM)12 � 1 (4.2)

0.1784 � (1 � TEM)12 � 1

1 1784 112 1212. � � TEM( )

(1.1784)1/12 � 1 � TEM


Se calcula la tasa nominal capitalizable mensualmente aplicando la ecuación de la tasa no mi nal.

J � 0.013774 � 12 � 16.53% nominal MV (4.1)

Otro procedimiento

Al aplicar la fórmula básica F � P(1 � i)n, la tasa de interés (i) y el número de pe-ríodos (n) se expresan en la misma unidad de tiempo. En el ejercicio aparece expresado el número de períodos en años, por lo tanto, al calcular la tasa de interés (i) esta será una tasa efectiva anual.

Consideremos, ahora, que el número de períodos se expresa en meses (24 meses):

F � P(1 � i)n

486.000 � 350.000(1 � i)24

1.388571 � (1 � i)24

172


Aplicando radicales, se tiene: 1 388571 124 2424. � � i( )

(1.388571)1/24 � 1 � i

1.013772 � 1 � i

i � 0.013772 � 1.3772% mensual.

Conocida la tasa efectiva mensual se calcula la tasa nominal capitalizable mensual-mente.

J � 0.013772 � 12 � 0.1653 � 16.53% capitalizable mensualmente.

En Excel: � n*TASA (nper; pago; VA; VF)

� 12*TASA (24; 0; �350.000; 486.000)

Ejemplo 4.19

��>�� GH�HHH�HHH��?*��(36% TA). Para que no le deduzcan los intereses trimestrales por adelantado, solicita que le conviertan la tasa de interés aprobada en una tasa nominal anual mes anticipado. Calcular esta tasa equivalente.

Dividimos la tasa del 36% TA. in

� �J 0 36

4.

i � 0.09 � 9% trimestral anticipada.

La tasa trimestral anticipada la convertimos en trimestral vencida equivalente:

TET ��

��

� �ia

ia10 09

1 0 090 0989 9 89

( ) ( ).

.. . % trimestral. (4.4)

Conocida la tasa trimestral calculamos la tasa mensual equivalente, aplicando la ecuación de la tasa efectiva.

TET � (1 � TEM)3 � 1 (4.2)

0.0989 � (1 � TEM)3 � 1

1 0989 13 33. � � TEM( )

(1.0989)1/3 � (1 � TEM)

1.031936 � (1 � TEM)

TEM � 0.031936 � 3.19% mensual

173

Tasas de interés

Calculamos la tasa efectiva mensual anticipada.

TEMA ��

��

iviv1

0 0319361 0 031936( ) ( )

..

(4.5)

TEMA � 0.030948 � 3.09% mensual anticipada.

Aplicamos la ecuación de la tasa nominal para calcular la tasa nominal con capita-lización mensual anticipada.

J � tasa periódica � No de períodos. (4.1)J � 0.0309 � 12 � 0.3714 � 37.14% MA

��Z�� K�� utilizando el interés compuesto. Utilizamos para este caso el menú de conversión de ��| ��

En Excel: � VF (�tasa; �nper; pago; VA; tipo) � 1 � VF (�36%/4; �4; 0; �1) � 1 � 45.83% efectiva anual � n*TASA (�nper; pago; VA; 1 � TE) � 12*TASA (�12; 0; �1; 1,4583) � �37.14%, y le cambiamos el signo

Ejemplo 4.20

De las siguientes opciones que tiene usted para aceptar un crédito bancario, ¿cuál escogería?

Primera opción: 36% trimestre anticipado Segunda opción: 36.5% mes vencido

A simple vista no es posible determinar cuál de estas dos tasas de interés es la más barata para usted. Para ello, se deben convertir a una base común, que se acostumbra sea la tasa efectiva anual.

Primera opción: Dividimos la tasa nominal.

i � � � �Jn

0 364

0 09 9 0. . . % trimestral anticipada.

Calculamos la tasa trimestral vencida equivalente a la tasa del 9.0% trimestral an-ticipada.

TET ��

��

iaia1

0 091 0 09( ) ( )

..

(4.4)

TET � 0.0989 � 9.89% trimestral

174


Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva para calcular la tasa efectiva anual equi-valente.

TEA � (1 � 0.0989)4 � 1 (4.2)

TEA � 0.4583 � 45.83% efectiva anual.

Segunda opción. Dividimos la tasa del 36.5% mes vencido.

i � � � �Jn

0 36512

0 03042 3 042. . . % mensual.

Calculamos la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � 0.03042)12 � 1 (4.2)


Se debe aceptar la segunda opción porque tiene un costo efectivo anual menor. Este tipo de análisis se debe complementar considerando unos factores dinámicos que inciden en la decisión que se debe tomar, como son el plazo y el sistema de pago del crédito. Sería importante que el lector se preguntara, qué pasaría con la decisión anterior si para la primera opción (que tiene una TEA mayor) se otorga un plazo de 3 años y para la segunda opción apenas un plazo de un año.

`�� }��| �Z��interés, utilizando la fórmula del interés compuesto.


� VF (�36%/4; �4; 0; �1) � 1 � 45.83% efectiva anual

� VF (tasa; nper; pago; VA; tipo) � 1

� VF (36.5%/12; 12; 0; �1) � 1 � 43.27% efectiva anual

Ejemplo 4.21

Calcular la tasa efectiva anual, a partir de una tasa nominal anual del 36%, si:

1. Las capitalizaciones son mensuales anticipadas (36% MA).

2. Las capitalizaciones son trimestrales anticipadas (36% TA).

3. Las capitalizaciones son semestrales anticipadas (36% SA).

4. Las capitalizaciones son anuales anticipadas (36% AA).

175

Tasas de interés

1. Calculamos la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal del 36% MA.

Se divide la tasa nominal.

i � � � �Jn

0 3612

0 03 3. . % mensual anticipada.

Calculamos la tasa efectiva mensual equivalente.

iv iaia

��

��10 03

1 0 03( ) ( ).

. (4.4)

i � 0.0309 � 3.09% mensual

Conocida la tasa efectiva mensual, calculamos la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � TEM)12 � 1 (4.2)

TEA � (1 � 0.0309)12 � 1


2. Calculamos la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal del 36% TA.

Dividimos la tasa nominal del 36% TA.

i � � � �Jn

0 364

0 09 9. . % trimestral anticipada

Se calcula la tasa efectiva trimestral equivalente.

iv iaia

��

��10 09

1 0 09( ) ( ).

. (4.4)

i � 0.0989 � 9.89% trimestral

Conocida la tasa efectiva trimestral, calculamos la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � TET)4 � 1 (4.2)

TEA � (1 � 0.0989)4 � 1


3. Calculamos la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal del 36% SA.

Dividimos la tasa de interés nominal.

i � � � �Jn

0 362

0 18 18. . % semestral anticipada.

Calculamos la tasa efectiva semestral.

iv iaia

��

��10 18

1 0 18( ) ( ).

. (4.4)

i � 0.2195 � 21.95% semestral

176


Conocida la tasa efectiva semestral calculamos la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � TES)2 � 1 (4.2)

TEA � (1 � 0.2195)2 � 1


4. Calculamos la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal del 36% año antici-pado.

Dividimos la tasa nominal.

i � � � �Jn

0 361

0 36 36. . % efectiva anual anticipada.

Conocida la tasa efectiva anual anticipada calculamos la tasa efectiva anual.

iv iaia

��

��10 36

1 0 36( ) ( ).

. (4.4)

i � 0.5625 � 56.25% efectiva anual

Resumen del ejemplo: 36% MA � 44.12% efectiva anual.

36% TA � 45.83% efectiva anual.

36% SA � 48.72% efectiva anual.

36% AA � 56.25% efectiva anual.

Con las tasas efectivas anuales obtenidas se concluye que, cuando las capitalizacio-nes son anticipadas, a menor número de capitalizaciones la tasa efectiva se hace mayor, porque los pagos de intereses se anticipan más; y que cuando la capitalización es anual anticipada, la tasa efectiva anual es mayor que la tasa nominal.

En Excel: � VF (�Nom/n; �nper; pago; VA; tipo) � 1 � VF (�36%/12; �12; 0; �1)�1 � VF (�36%/6; �6; 0; �1) � 1 � VF (�36%/4; �4; 0; �1) � 1 � VF (�36%/2; �2; 0; �1) � 1 � VF (�36%/1; �1; 0; �1) � 1

177

Tasas de interés

Después de analizar las tasas de interés en sus diferentes modalidades de expresión es importante recordar que para cada tasa de interés, sea vencida o anticipada, existirán ��| �Z��!��!�| �� | �!�� Z�� Z��siempre que sean equivalentes, pero sin dejar al azar el efecto de la liquidez y el costo de oportunidad tan olvidado por las ciencias contables pero tan importante para las ��K��w��K��!��!�� Z��!��Z��| ��+ ��| ��permitan cumplir con el servicio de la deuda, es decir, pagar intereses y hacer abonos al capital prestado; y tener presente que el hecho de pagar intereses anticipados origina un costo de oportunidad mayor al dejar de trabajar estos intereses que le descuentan ��K��

10. ECUACIÓN DE LA TASA EFECTIVA EN FUNCIÓN DE LA TASA EFECTIVA PERIÓDICA ANTICIPADA

La ecuación de la tasa efectiva también se puede expresar en función de la tasa efectiva periódica anticipada. A partir de la ecuación de la tasa efectiva (4.2), se realiza la siguiente deducción matemática.

TE � (1 � i)n � 1 (4.2)

Conocida la tasa efectiva periódica anticipada (ia), calculamos la tasa efectiva pe-riódica vencida equivalente (i) :

iv iaia

��1( ) (4.4)

Reemplazando en (4.2), se tiene: TE � ��

�11

1iaia

n

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

TE ��

��

11

1ia ia

ia

n

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

TE ��

�1

11

ia

n

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

El término 1

1 � ia

n

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

, corresponde a la potencia de un quebrado, que se desarrolla

elevando el numerador y el denominador a la potencia:

178


11

1

1

1

1��

��

�ia ia ia

nn

n n( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ( ) ( )

; el último término 1

1 � ian( )

se desarrolla

utilizando el concepto del exponente negativo: 1 1

11

aa

iaia

nn

n

n�

��

⇒( )

( ) .

� ��Z�� @��;

TE � (1 � ia)�n � 1 (4.6)

Donde: TE � tasa efectiva a calcular.

ia � tasa efectiva periódica anticipada.

n � número de veces que capitaliza la tasa efectiva periódica anticipada en la tasa efectiva a calcular.

Ejemplo 4.22

A partir de una tasa del 3% mensual anticipada, calcular la tasa efectiva trimestral equivalente.

TET � (1 � 0.03)�3 � 1 (4.6)

TET � (0.97) –3 – 1

TET � 0.095683 � 9.57% trimestral.

`�� !� ��K�� ;


� VF (�3%; �3; 0; �1) � 1

Ejemplo 4.23

A partir de una tasa efectiva anual del 45.83%, calcular la tasa nominal trimestre anticipado.

TEA � (1 � ia)�n � 1 (4.6)

0.4583 � (1 � ia)–4 � 1

(1.4583)�1/4 � 1 � �ia

�0.0900 � �ia multiplicando por �1

0.0900 � ia � 9% trimestral anticipada.

179

Tasas de interés

Tasaefectivaanual

Tasa efectivaperiódica anticipada

Tasa efectivaperiódica vencida

Tasa nominalanticipada

Tasa nominalvencida

i�(1�TEA)1/n�1

J � ia � n

J � ia � nJ � iv � n

i�(1�TEA)1/n�1 TEA�(1�i)n�1

J�iv � n;

TEA�(1�i)n�1ia

iv

iv�

�1

ivia

ia�

�1( )

iaiv

iv�

�1

iv n�J

iv n�J

ia n�J

ia n�J

;iaiv

iv�

�1

ivia

ia1� � ;

ivia

ia�

�1( )

Aplicamos la ecuación de la tasa nominal (4.1)

J � 0.0900 � 4 � 36% trimestre anticipado (36% TA)

En Excel: � n*TASA (-nper; pago; VA; 1 � TE)

� 4*TASA (�4; 0; �1; 1,4583) � �36.00%, y le cambiamos el signo

11. DIAGRAMA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS

El diagrama resume todas las posibles conversiones y equivalencias entre tasas de interés. Para aprenderlo a manejar es necesario tener en cuenta que las equivalencias se realizan para tasas de igual periodicidad. Por ejemplo, para una tasa nominal trimestre anticipado su tasa efectiva periódica equivalente será una tasa trimestral anticipada; para una tasa nominal mes anticipado, su equivalente será una tasa mensual anticipada.

180


Cuando se desea calcular equivalencias de tasas con diferente periodicidad, es necesario realizar las correspondientes conversiones. También es imprescindible para el manejo ��}��Z��!��interés, y así saber cuándo una tasa es nominal, cuándo es efectiva vencida, cuándo es efectiva anticipada, etc. Es decir, el lector debe saber dónde está y a dónde quiere llegar, de modo que las transformaciones entre las diferentes tasas se haga muy fácil.

��+��}�� &�'��&��'�| ��se deben realizar.

En forma análoga, la ecuación básica de las Matemáticas Financieras F � P(1 � i)n podemos expresarla, también, en función de la tasa efectiva periódica anticipada.

F � P (1 � ia)�n (4.7) Donde: F � valor futuro después de n períodos

P � valor presente o valor inicial de la obligación

ia � tasa efectiva periódica anticipada

n � número de períodos

12. APLICACIÓN DE LA TASA ANTICIPADA CON INTERÉS COMPUESTO

Ejemplo 4.24

Deposito hoy $ 4.000.000 durante un año, en una entidad que me reconoce el 20%TA ��}��`�� Z�� "�

La tasa está expresada en forma nominal con capitalización trimestral anticipada. Se capitaliza la tasa nominal para conocer la tasa efectiva periódica.

in

� � � �J 0 20

40 05 5. . % trimestral anticipada.

Aplicamos la ecuación. (4.7) F � P(1 � ia)�n

F � 4.000.000(1 � 0.05)�4

F � $ 4.910.950

Para calcular el valor futuro aplicando la fórmula básica F � P(1 � i)n, como la i está expresada como tasa efectiva periódica vencida, es necesario calcular la tasa trimestral equivalente a una tasa del 5% trimestral anticipada.

iv iaia

��

��

� �1

0 051 0 05

0 0526 5 26( ) ( )

..

. . % trimestral

Aplicamos la fórmula básica: F � P(1 � i)n (3.1)

F � 4.000.000(1 � 0.0526)4

F � $ 4.910.950

181

Tasas de interés

En resumen, la ecuación básica se puede expresar de dos formas:

�� En función de la tasa periódica vencida: F � P(1 � i)n

�� En función de la tasa periódica anticipada: F � P(1 � ia)�n

En excel: � VF (tasa; nper; pago; va; tipo)

� VF (�20%/4; �4; 0; �4.000.000)

Ejemplo 4.25

��GHH�HHH�HHH��Z��>��se los presta al 30% TA. ¿Cuánto debe solicitar la empresa para que una vez deducidos los intereses anticipados le entreguen efectivamente los $ 200.000.000?

Como la empresa necesita recibir $ 200.000.000 este valor corresponde al valor presente (P).

Dividimos la tasa nominal. in

� � � �J 0 30

40 075 7 5. . . % trimestral anticipada.

Aplicamos la ecuación: F � P(1 � ia)�n (4.7)

F � 200.000.000 (1 � 0.075)�1

F � $ 216.216.216

Prueba. Al prestarle el banco $ 216.216.216 al 30% TA, al momento del desembolso del préstamo, le deduce por anticipado el valor de los intereses del primer trimestre a una tasa de interés del 7.5% trimestral. El valor de los intereses será igual:

I � P � i

I � 216.216.216 � 0.075 � $ 16.216.216

Al restarle al valor del préstamo los intereses anticipados, se recibirán netos $ 200.000.000.

En excel: � VF (tasa; nper; pago; VF; tipo)

� VF (�7,5%; �1; 0; �200.000.000)

182


100

95

0 30 días

13. DESCUENTOS POR PRONTO PAGO

<��Z�� plazo para cualquier empresa. Evidentemente, el crédito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las empresas comerciales y manufactureras sería vender los productos al contado, ya se ha constituido en una práctica comercial no exigirle a los compradores que paguen por las mercancías al momento de su entrega, sino que se les concede un corto período de aplazamiento para hacerlo.

/��@��Z�� !�� Z��}�� que estos ofrecen, sino que se paga el último día del plazo concedido. Sí no se ofrece descuento por pronto pago no hay costo alguno por la utilización del crédito durante el período neto. Por la misma razón, si se aprovecha el descuento ofrecido por el provee-dor, tampoco hay costo por el uso del crédito comercial. Sin embargo, si se ofrece un �� Z��}�!��@��

Con los ejercicios que desarrollaremos a continuación, que son de la experiencia diaria, el lector se sorprenderá, cuando compruebe que posiblemente uno de ellos coincide con su caso, y cuánto dinero pudo haber perdido al no acogerse a los descuentos ofrecidos por sus pro veedores.

Ejemplo 4.26

Omega Ltda compra a crédito su materia prima. Su proveedor le plantea un des-cuento del 5% por compra de contado. Si la empresa no se acoge al descuento por pronto pago, calcular el costo efectivo anual.

Si los proveedores no otorgan descuentos por pronto pago, ni tampoco cargan ��!��}�� W��$��]��proveedores conceden descuentos por pronto pago y la empresa los aprovecha. Pero, si se desaprovechan, dichos descuentos por pronto pago representan un costo elevado, como se apreciará en el presente ejercicio.

Vamos a suponer que la mercancía que suministra el proveedor vale $ 100 a 30 �� k��+ ��;

El esquema del negocio nos indica que si la empresa no compra de contado la ��Y��?H��HH!��intereses sobre los $ 95 en 30 días, que representa una tasa de interés mensual de:

i � �FP

1

i � � � �10095

1 0 0526 5 26. . % mensual

183

Tasas de interés

500.000

480.000

10 30 días

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva, podemos calcular el costo efectivo anual:

TEA � (1 � 0.0526)12 � 1 (4.2)

TEA � 85.06%

En excel: � TASA (nper; pago; VA; VF)

� TASA (30/360; 0; �95; 100)

��Z�� | �� -to, se observa que representa un costo muy alto. Sería preferible acudir a un préstamo ��!�� | �� por pronto pago.

Existe otra forma como los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos. Indican los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador ��"�� el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento señalado en el numerador. Por medio del siguiente ejercicio apreciaremos esta situación:

Ejemplo 4.27

Un proveedor factura una mercancía por valor de $ 500.000 con el siguien te plan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo efectivo para el comprador si no se acoge al descuento por pronto pago.

<��@��#��H��?H��| ��de los primeros 10 días tendrá derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor neto de la factura.

El comprador, si se acoge al descuento por pronto pago, lógicamente, esperará hasta el décimo día para pagar los $ 480.000 del valor de la factura. Si no lo hace está reconociendo un interés de $20.000 sobre los $ 480.000 durante 20 días.

184


La tasa de interés será igual a: i � � � �FP

1 500 000480 000

1..

i � 0.041667 � 4.1667% en 20 días.

Conocida la tasa efectiva periódica para 20 días se calcula la tasa efectiva anual, aplicando la ecuación de la tasa efectiva.

TEA � (1 � 0.041667)360/20 � 1 (4.2)

TEA � 1.085068 � 108.51% anual.

La tasa de interés del 4.1667% corresponde a un período de 20 días. Como el número de períodos debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa de interés, al dividir 360/20 estamos calculando el número de períodos de 20 días en un año.

En Excel: � TASA (nper; pago; VA; VF)

� TASA (20/360; 0; �480.000; 500.000)

>��Z�� | ��tasas de descuento según el plazo. Se trata, entonces, de calcular el costo para cada plazo y elegir el menos oneroso para el comprador. Además, el ejercicio que se desarrolla a continuación permite diseñar políticas de créditos coherentes con las circunstancias ��

Ejemplo 4.28

Un fabricante de electrodomésticos ofrece a sus clientes la siguiente tabla de des-cuentos:

De 0 a 30 días 10%

De 30 a 60 días 12%

De 60 a 90 días NETO

¿Cuál es la mejor opción para el cliente?

Asumimos que el valor de la mercancía entregada es de $ 100, y con base en este valor se trabaja el problema.

De la información que suministra el ejemplo, podemos extractar lo siguiente:

�� La fábrica vende a sus clientes con un plazo de 90 días.

�� Los clientes que paguen entre 0 y 30 días, contados a partir de la fecha de pre-sentación de la factura, obtienen un descuento del 10%. Es lógico suponer que la totalidad de los clientes de aceptar este descuento, preferirán pagar sobre el día 30.

185

Tasas de interés

$ 100

$ 90

30 90 días

Es decir, a los clientes que renuncien a 60 días del plazo concedido, se les reconoce un descuento del 10%. Expresado en otros términos, se recibe un descuento del 10% por un período de 60 días.

�� Los clientes que paguen entre 30 y 60 días reciben un descuento del 12%. Es decir, se recibe un descuento del 12% por un período de 30 días.

Pasemos a analizar cada una de las ofertas de descuento:

Primera oferta. Tomando $ 100 como valor de la mercancía, el cliente está ante la ��YH��?H��HH�� YH��al descuento, está asumiendo un costo representado en $ 10 de intereses durante un período de 60 días.

El costo de no acogerse al descuento por pronto pago, viene determinado por:

i � � � �FP

1 10090

1 i � 11.11% bimestral

<�| ��| ��?H�� $ 90, el cliente incurre en un costo del 11.11% bimestral. Esta tasa periódica es equiva-lente a una tasa del 88.17% efectiva anual.

En excel: � TASA ( nper; pago; VA; VF)

� TASA (60/360; 0; �90; 100)

Si desea calcular la tasa bimestral con la misma información, proceda así:

En excel: � TASA (nper; pago; VA; VF)

� TASA (1; 0; �90; 100)

186


$ 100

$ 88

60 90 días

Segunda oferta. Se plantea la opción de pagar $ 88 al cumplirse 60 días de recibida la factura o pagar $ 100 netos a los 90 días. Es decir, se reconocen $ 12 de intereses sobre $ 88 en un período de 30 días, si el cliente no se acoge al descuento.

i � � � �FP

1 10088

1

i � 13.64% mensual

El cliente incurre en un costo del 13.64% mensual por no comprar de contado la ��*H�� | �Z�� ?*?�*-��efectiva anual.


� TASA (30/360; 0; �88; 100)

Si desea obtener el valor de la tasa mensual con la misma información, proceda así:


� TASA (1; 0; �88; 100)

Según los cálculos realizados es mejor para el cliente la segunda oferta, porque de �� G��*H!��

�� Z��&Ortiz, 1998), tendría sentido que en forma deli-berada no se aprovecharan los descuentos por pronto pago si durante el tiempo acor-dado con los proveedores para cancelar las obligaciones, los recursos disponibles para atenderlas se invirtieran a una tasa de rendimiento superior al porcentaje de descuento

187

Tasas de interés

ofrecido bajo la condición del pago previo. Así, por ejemplo, si el descuento que ofrece el proveedor por pago de contado es del 8% y se acuerda en 30 días el plazo para can-celar la deuda en el caso de no acogerse al pronto pago, es preferible aplazar el pago a los 30 días si durante ese tiempo los fondos se invirtieran a una tasa mayor que el 8% �� /�� Z��| ��costo de oportunidad del dinero.

Para tomar una decisión de compra es necesario analizar a la luz de las Matemáticas Financieras la conveniencia de comprar al contado o a crédito.

14. D.T.F. (DEPÓSITO A TÉRMINO FIJO)<�� -

��W�� /�� de ejemplo, un Banco reconocerá una tasa de interés mayor sobre el dinero que le presta un cliente corporativo, que la tasa de interés que le paga a una persona na-tural con un saldo modesto. En consecuencia, existen tantas tasas de interés como �� w�� K��!� �� @�� K��!��}�K��un indicador que determinara el precio del dinero. Este indicador se conoce como ��$�%��| �� YH��depósito a término (CDTs'��!��/��| ��envían diariamente a la Superintendencia Financiera sobre sus captaciones, el Banco de la República realiza el cálculo con las captaciones a 90 días e informa el valor de la DTF al mercado. Las entidades cuyas captaciones entran en el cálculo son Bancos, Corporaciones Financieras y Compañías de Financiamiento Comercial.

El período de vigencia de la DTF es de una semana, y para su cálculo se toman las operaciones ocurridas desde el viernes de una semana hasta el jueves de la semana siguiente, de tal forma que el viernes siguiente el Banco de la República da a conocer la DTF que estará vigente del lunes al domingo próximo.

En medio del alto número de tasas de interés que se utilizan en nuestro sistema ��!��$%��}��Z��Z ��costo del dinero en la economía colombiana.

Ejemplo 4.29

��>�� Z��H�HHH�HHH��$%�� 8%. Calcular el costo del crédito, si la DTF � 8.75% EA.

La tasa DTF la expresa el Banco de la República como nominal trimestre anticipado y como efectiva anual, y los puntos porcentuales adicionales son efectivos anuales.

Costo del crédito � 8.75% � 8% � 16.75% EA

Es de anotar que en nuestro país, por lo general, los intereses de un crédito son pagaderos en períodos menores al año, y que, por lo general, éstos van acompañados �� !��| ��| ��

188


con la DTF se debe indicar el período de pago de las cuotas. En este ejemplo sólo conocemos el costo del crédito, expresado como efectivo anual, del crédito.

Para el ejemplo anterior supóngase que los intereses son pagaderos mensual-mente. Calcule el costo del crédito y el valor de los intereses del primer mes.

Costo del crédito � 16.75% EA

Conocida la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva mensual equivalente.

TEA � (1 � TEM)12 � 1

0.1675 � (1 � TEM)12 � 1

TEM � (1.1675)1/12 � 1


La tasa de interés del 1.30% mensual representa el costo inicial del crédito, y es la tasa de interés que se aplica para calcular los intereses del primer mes. Para calcular los intereses de los meses subsiguientes, entendiendo que éstos se calculan sobre saldos, la tasa de interés será diferente dependiendo del valor de la DTF que varía semanalmente. En el capítulo 7, Sistemas de amortización, se analiza un caso práctico sobre un crédito referenciado con la DTF y se estudia el procedimiento para el cálculo de las cuotas y la construcción de la tabla de amortización del crédito.

En Excel: � TASA (nper; pago; va; vf; tipo; estimar)

� TASA (12; 0; �1; 1,1675)

15. UNIDAD DE VALOR REAL (UVR)<��k^�� | ��+��| ��Z��

se calcula con base, exclusivamente, en el IPC que suministra el DANE.

La UVR fue creada por el Congreso de la República mediante la Ley 546 de 1999, ��K��GHHH�

La UVR se utiliza para la actualización de los créditos de largo plazo. Esta unidad permite ajustar el valor de los créditos en el tiempo de acuerdo con el costo de vida del país (IPC). El valor de la UVR es calculado, actualmente, por el Banco de la República �� "��+��!�� que comienzan el día 16 de un mes y el día 15 del mes siguiente.

189

Tasas de interés

15.1 CARACTERÍSTICAS DE LA UVR�� Es una unidad de cuenta expresada en pesos.

�� Se liquida y abona día vencido sobre saldos.

La UVR se calcula mediante la siguiente fórmula: UVRt � UVR15* (1 � i)t/d

Donde:

UVRt � valor en moneda legal de la UVR el día t del período de cálculo.

i � variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes del inicio del período de cálculo.

UVR15 � valor en moneda legal de la UVR el último día del período de cálculo anterior.

t � número de días calendario transcurridos desde el inicio de un período de cálculo hasta el día de cálculo de la UVR. Por lo tanto t tendrá valores entre 1 y 31, de acuerdo con el número de días calendario del respectivo período de cálculo.

d � número de días calendario del respectivo período de cálculo, y tendrá valores entre 28 y 31.

15.2 CÁLCULO DE LA UVREl valor de la UVR se calcula cada mes con base en el IPC (índice de precios al con-

su midor) del mes anterior, para cada uno de los días del mes comprendidos entre el día 16, inclusive, y el día 15, inclusive, del mes siguiente. Por ejemplo, el valor de la UVR ��G��K��G�HHH�� H*�#*�*��+��fue del 2.30% mensual. El valor de la UVR para el día 29 de marzo de 2000, se calcula aplicando la expresión:

UVR29 � UVR28(1 � INF)t/d

UVR29 � 106.4656(1 � 0.023)1/31 � $ 106.5437

El valor de d puede tomar valores entre 28 y 31 días, dependiendo del período de cálculo. Para este caso, estamos calculando el valor de la UVR en el período comprendido entre el 16 de marzo y el 15 de abril, por lo tanto, d toma un valor de 31 días.

Ejemplo 4.30

Si el valor de la UVR el día 15 de febrero es de $ 103.56, calcular el valor de la UVR ��-��!��+��

El período de cálculo corresponde al 16 de febrero y el 15 de marzo, lo que indica que el valor de d es igual a 28 días y el valor de t es igual a 2.

UVR17 � UVR28(1 � INF)t/d

UVR17 � 106.4656(1 � 0.023)1/31 � $ 106.5437

190


Comentario: ��Z��k^�� +��mes anterior, aplicada sobre el valor del día anterior. Esto indica que podemos calcular el valor de la UVR para cualquier día del período de cálculo si se conoce el valor de la UVR del día anterior, o de cualquier otro día dentro del período de cálculo, sin que sea necesario apoyarse en el valor del día 15, como lo indica la fórmula. Por ejemplo, si el valor de la UVR del día 23 de febrero es de $ 103.8548 y se desea conocer el valor de la UVR del día 24 de febrero, el cálculo puede realizarse de la siguiente forma:

UVR24 � UVR15(1.01)9/28

UVR24 � 103.56(1.01)9/28 � $ 103.8917

O también:

UVR24 � UVR23(1.01)1/28

UVR24 � UVR23(1.01)1/28

UVR24 � 103.8548(1.01)1/28 � $ 103.8917

16. TASA DE INFLACIÓN��K��}��| �� -

��!��!��+�� Z��| �"��| ��afecta el nivel de precios de los bienes o servicios. Pero nuestra realidad es otra, porque �� +��!��K��!��Z ��+�� ]��

<��+�� Z��producidos por la economía de un país, lo que conlleva a la pérdida del poder adquisi-��Z��<��+�� !��]��aumento del dinero circulante sin un aumento equivalente de la producción de bienes y servicios. Al aumentar la cantidad de moneda en circulación la gente tiene más dinero en su poder para consumir y la tendencia es a gastarlo, aumentando de esta manera la demanda de bienes y servicios, y al no haber un aumento de la oferta, los precios suben.

<��+�� -cios de los bienes y servicios a través del tiempo (García, 1997). Se aplica sobre el precio inmediatamente anterior y por esta razón opera como una tasa de interés compuesto. /��!��!��| ��+�� meses de un cierto año fue del 2.5% mensual, un artículo que al principio del primer ��Z��HH��]� ��Z��| ��;

F � 100 (1 + 0.025)5 (3.1)

F � $ 113.14

/��K��+��]� ��!��-Z��Z��| ��]�� +��pura, o sea, asumiendo que la variación de los precios de todos los bienes y servicios ��!��]�!�| �� +��Z��!��| ��Z��| ��+��en forma diferencial a cada uno de los sectores de la economía y que el aumento de �� +��Z��| ��+��H�� "��

191

Tasas de interés

particular, se puede esperar que algunos precios se elevarán en más del 10% y otros en ��H��}��}!��+�� gran variedad de bienes y servicios y la presión que ejerce, por ejemplo, sobre el sector de la construcción es diferente a la del sector laboral. Lo que si viene a ser importante es ��| ��@��+��}�� !��| ��existe un cambio diferencial de precios por el hecho real de que los bienes y servicios no aumentan de precios en una misma proporción.

Ejemplo 4.31

��| ��+�� GG��"��siguientes, una vivienda que vale hoy $ 10.000.000, ¿cuánto costará dentro de 2 años?

F � P( 1 � i)n (3.1)

F � 10.000.000(1 � 0.22)2

F � $ 14.884.000

El valor futuro calculado es el valor de la vivienda en pesos corrientes, después de 2 años.

Este valor futuro se obtiene también aplicando directamente la siguiente expresión general:

F � P(1 � Inf 1)(1 � Inf 2)(1 � Inf 3)... (1 � Inf n) (4.17)

F � 10.000.000(1 � 0.22)(1 � 0.22) � $ 14.884.000

A este último valor se le conoce como el valor del activo en pesos nominales o corrientes. También existe la operación inversa como es la de calcular el valor del activo al cabo de 2 años, medidos en pesos de hoy. Esta operación consiste en quitarle al valor futuro la ��+��G��"��

F � P(1 � i)n (3.1)

P F�

�1 in( )

P 14.884.000�

�1 0 222

.( ) P � $ 10.000.000

192


En Excel: � VF (tasa; nper; pago;VA;tipo)

� VF (22%; 2; 0; �10.000.000)

� VA (tasa; nper; pago;VF; tipo)

� VA (22%; 2; 0; �14884000)

O también despejando de la expresión (4.17) el valor de P que corresponde al valor ��+��

P FInf Inf

�� 1 1 1 2( )( )

P ��

14 884 0001 0 22 1 0 22

. .. .( )( )

P � $ 10.000.000

A este valor se le conoce como el valor del activo dentro de 2 años medidos en pesos constantes o reales7, y a la operación de cálculo se le conoce como ��

Con frecuencia queremos comparar el precio que tiene hoy un bien con el que te-nía, o con el que es probable que tenga en el futuro. Para que esta comparación tenga sentido es necesario medir los precios en términos reales o constantes y no en términos corrientes. (Pindyck, 1995). El precio nominal o corriente de un bien es simplemente su precio absoluto. Por ejemplo, si el precio de una docena de huevos en 2000 era de $1.000 y de $ 2.500 en 2003, estos son los precios que habríamos visto en los estantes de los supermercados en esos años. El precio real o constante es el precio una vez descontada ��+��!��!��Z��

En Matemáticas Financieras estos conceptos son importantes porque a la gente le interesa el valor adquisitivo que tiene el dinero (valor real), no su valor nominal. Para entender esto, asumamos que usted. presta $ 100.000 a un amigo. Con este dinero puede comprar hoy una cantidad de bienes y servicios. ¿De qué le valdría a usted. recibir después de un año $ 500.000, si con esta cantidad de dinero compra una cantidad menor que la que compraba hace un año con los $ 100.000? Simplemente usted ha perdido dinero porque lo que recibe tiene menor po der adquisitivo que lo que prestó. Considerar que obtuvo una ganancia de $ 400.000 se conoce común mente como “ilusión monetaria”.

Cuando se realiza un estudio de precios y sus variaciones, generalmente, se parte de un índice base que se hace igual a 100 y luego al compararlo con índices de años ��K��Z��!�| ��Z��+��]�la desvalorización del dinero o pérdida de su poder de compra. Así, por ejemplo, si el índice inicial o base (I0) es 100 y al año siguiente (I1'��H!��| ��de vida aumentó en un 10%. En otros términos, es necesario desembolsar 110 unidades monetarias para poder adquirir los mismos bienes y servicios que se adquirían con 100 unidades monetarias en el año base.

Llamemos: I0 � Índice del año base

I1 � Índice del año uno

I2 � Índice del año dos

193

Tasas de interés

Asumamos los siguientes valores para cada índice: I0 � 100

I1 � 110

I2 � 121

Analizando los valores de los índices se observa que la variación anual, y para los dos años es del 10%. Esto quiere decir que si un artículo costaba en el año base $ 100, al año cuesta $ 110 y a los dos años $ 121. Analizando los valores acumulados se ob-serva, también, que la variación del precio del artículo es del 21% y no del 20%, porque estas variaciones operan en forma compuesta, o sea, que el aumento de precios (10%) se hace sobre el precio anterior.


� VF (10%; 1; 0; �100)

� VF (10%; 2; 0; �100)

Esta operación se puede realizar una sola vez con la misma función VF, cambiando el número de períodos en la barra de fórmulas.

<��Z��!��!��+�-ción promedio, que nos muestra la desvalorización de la moneda o pérdida de su poder adquisitivo.

`�� ;�� +�� "�!��!�� !�¿cómo se obtienen los índices y cómo podemos hacer proyecciones? Ciertamente, la ��+�� Z�� !��| ��| �� se hace sobre el valor anterior, que a su vez es un acumulado de otros valores anteriores.

Así por ejemplo, si tenemos: I0 � 100

I1 � 115

I2 � 138

I3 � 162.84

Para calcular las variaciones anuales se divide el índice de cada año por el índice anterior. Los aumentos son: el primer año el 15%, el segundo año el 20% y el tercer año el 18%.

Sobre estos tres aumentos diferentes cada año, podemos calcular un aumento promedio anual para los tres años, aplicando la fórmula básica F � P(1 � i)n.

162.84 � 100(1 � i)3

i � 17.65% anual

194



� TASA (3; 0; �100; 162,84)

Al utilizarse los índices de precios suele cometerse el error de considerar su promedio aritmético como la tasa promedio. Esto es así cuando las variaciones de precios no son ��!��| ��+��Z�� período anterior y, por lo tanto, obra como interés compuesto (sin ser interés compuesto), por lo que la tasa promedio resulta ser una tasa promedio ponderada.

Ejemplo 4.32

`�� +�� !��+�� ;��"��GH�!�segundo año del 30% y tercer año del 35%.

��+��"��;

20 30 353

28 33� �

� . %

El promedio ponderado obtenido por medio de los índices es: I0 � 100

I1 � 120

I2 � 156

I3 � 210.60

Considerando I0 � 100 y I3 ��G�H�*H!��+�� ecuación básica F � P(1 � i)n.

210.60 � 100(1 � i)3

Despejando el valor de i!�| ��+��!�� valor de 28.18% anual. Se observa la diferencia entre los dos promedios.

Ejemplo 4.33

��Z��G�HHH�HHH�� ?��G��HH�HHH��+��del primer mes fue del 1.8%, la del segundo mes del 1.2% y la del tercer mes del 2.0%, calcular si el dinero inicial invertido aumentó o disminuyó en términos reales.

La solución más sencilla se plantea comparando el valor recibido después de los ��Z��Z��!��@��!��trimestre. Si el valor recibido es menor que el valor proyectado, no hay crecimiento real y se pierde dinero, porque ni siquiera se recupera su poder adquisitivo. Si los valores son iguales, apenas se recupera el poder adquisitivo y no existe ni pérdida ni ganancia.

195

Tasas de interés

Pero, si el valor proyectado en pesos corrientes es menor que el valor recibido se gana dinero y éste crece en términos reales. Como veremos más adelante, con el cálculo de la tasa real se determina en forma exacta el porcentaje de crecimiento real del dinero.

�� | ��-servar el poder adquisitivo del dinero, es decir, para tener el mismo dinero.

F � P(1 � Inf 1)(1 � Inf 2)(1 � Inf 3) (4.17)F � 2.000.000 (1 � 0.018)(1 � 0.012)(1 � 0.02)

F � $ 2.101.640.64

El resultado indica que no hubo crecimiento real del dinero, porque con lo que se recibe no se recupera ni siquiera el poder adquisitivo de la inversión inicial. En otras palabras, se perdió dinero en la inversión que se hizo.

Ejemplo 4.34

<��+��GHH*�� ?��+��!�_� ]��+��"{

Primera solución. Aplicando la ecuación de la tasa efectiva (4.2) que supone que la ��!��+��!��Z��

TEA � (1 � i)n � 1 (4.2)TEA � (1 � 0.0135 )12 � 1

TEA � 17.46% anual

Segunda solución. La solución consiste en aplicarle a un producto conocido (P) un ��?�� !�� Z��w��Z��%!�calcular el incremento que sufrió el producto después de un año, que corresponde a la ��+��

P � 100 i � 1.35% n � 12 F � ? F � P(1 � i)n (3.1)

F � 100 (1+0.0135)12

F � $ 117.46

�� "� �� HH��"�� -�#*!��| �� -�#*�� !�| ��+�� "�

Ejemplo 4.35

Pedro le vende hoy a usted una motocicleta por $ 2.500.000 y acepta que le pague después de 6 meses, sin intereses. ¿Cuánto debe entregarle para que reciba el mismo ��| ��!��+�� H�{

196


��Z��!��+��<�� que, así no tenga que pagar intereses, usted devuelva el mismo poder de compra que w��<�� ]�� +��

F � P(1 � i)n

F � 2.500.000(1 � 0.01)6

F � $ 2.653.800.37

_` ]�� !�� | ��+�� H��Z�{

Al aplicar la fórmula básica F � P(1 � i)n, la tasa de interés es negativa.

F � 2.500.000(1 � 0.01)6 � $ 2.353.700.37

��} ��+�� (disminución de precios en bienes y servicios). Una motocicleta que costaba hace 6 meses $ 2.500.000, hoy tiene un valor de $ 2.353.700.37.

Lo mencionado en este ejercicio para el caso de un producto, es válido aplicarlo �� +��| �� !��!�� +��!��| �� !�| �� para mantener el nivel de vida acostumbrado. Esta consideración nos permite concluir, | �� }��+�� y no sobre ��+��

Ejemplo 4.36

Un empleado de la empresa Omega Ltda gana actualmente $ 450.000 mensuales y }��#��"��G�H�HHH��<��+��"�� GH�!�� año del 21%, la del tercer año del 18% y la del cuarto año del 17%.

1. ¿Cuál debe ser el valor del sueldo actual?

2. Determinar, en términos reales, si su sueldo ha aumentado o disminuido.

`��Z��+��!��| �� +��promedio para los 4 años, utilizando los índices de precios. Asumimos un índice base de 100, aunque podemos asumir un valor diferente.

I0 � 100

I1 � 120

I2 � 145.20

I3 � 171.34

I4 � 200.47

�� Z��]��+��para cada período, siendo el índice anterior un valor acumulado.

197

Tasas de interés

`�� +�� ]��

F � P(1 � i)n (3.1)

200.47 � 100 (1 � i)4

i � 18.99% anual

�� Z�� ]�� -miendo que el sueldo de hace cuatro años es un valor presente (P).

F � P(1 � i)n

F � 280.000(1 � 0.1899)4

F � $ 561.306.26

Este valor obtenido es el sueldo que debería estar ganando el empleado actual-mente, que comparado con lo que realmente está devengando representa una pérdida de $111.316.26 en pesos corrientes, es decir, en pesos actuales.


� VF (18,99%; 4; 0; �280.000)

La solución a este primer punto del ejercicio también la plantea la expresión (4.17).

F � 280.000(1.20)(1.21)(1.18)(1.17) � $ 561.316.26

w�� !��+��Z�� actual ($450.000) expresado en pesos corrientes. En otras palabras, le descontamos al � �� +��

Pi

n�

��

�

F

1

450 000

1 0 18994( ) ( )

.

.

P � $ 224.472.49

Quiere decir que el sueldo actual equivale a $ 224.472.49 del sueldo de hace tres años, lo que indica, que ganaba más hace tres años pues su sueldo era de $ 280.000.

El problema también lo podemos resolver comparando el incremento porcentual que debió sufrir el sueldo, con el porcentaje que realmente subió. Sabemos que la tasa ��+�� YY�� !��| ��| ��debió aumentar el sueldo del empleado. Miremos en que porcentaje subió el sueldo.

F � P(1 � i)n

450.000 � 280.000(1 � i)4

i � 12.59% anual

198


Otro procedimiento. Podemos llegar a los mismos resultados y conclusiones utili-zando los índices del año base (I0'��"��&�4).

Calculamos el valor del sueldo en pesos corrientes después de 4 años, partiendo �� Z��G�H�HHH�� +��YY�� !��siguiente expresión.

Sueldo � �280 000 4

0

.II

Sueldo � �280 000 200 47100

. .

Sueldo � $ 561.316.26

Calculamos el sueldo actual en pesos constantes o reales, pesos de hace 4 años, por medio de la siguiente expresión.

Sueldo actual � �450 000 0

4

.II

Sueldo actual � �450 000 100200 47

..

Sueldo actual � $ 224.472.49

Como conclusión del ejercicio establecemos dos expresiones para calcular valores corrientes y constantes, conocidos los índices de precios:

�� Para pasar un precio corriente a precio constante, se hace la siguiente operación.

Precio constante (P0) � Precio corriente (Pn) � II0

n

�� Para proyectar precios corrientes, se procede así:

Precio Corriente (Pn) � Precio corriente (P0) � IIn

0

��Z��| �� | ��Z!�� Z��&Portus, 1997). El empleado, por ��!�| �� HH�HHH�Z�� -�� HHH!��@��!�� +�� H�!��K]�� "�� !��!�� +��"�� w��"��inicia con un poder de compra que se va reduciendo cada mes hasta cuando le reajustan el salario. El siguiente ejercicio puede mostrar cómo pierde cada mes poder adquisitivo el salario de un empleado.

199

Tasas de interés

Ejemplo 4.37

��HH�HHH�� +�� 1.0%, diseñe una tabla que muestre la desvalorización de su sueldo durante el año.

<�� +�� Z�� !��| �� Z��ingreso real (ver tabla página siguiente).

La segunda columna de la tabla corresponde al ingreso nominal y la cuarta columna ��}��Z��| �� -��!��| ��+��}��| ��Z�� !��K��Z��| �� del año es $ 56.275.39 menor en poder de compra que al principio del año. Desde otro � ��Z��!��"� ��-#�� | ��"��"�� | �Z��+��H�� !��!�� G�*�� (1.0% mensual � 12.68% anual), le queda un sueldo de $ 563.412.51, que es equivalente a $ 500.000 de hace un año. Es decir, no recibe aumento de sueldo sino que recupera su poder de compra, el cual se va deteriorando con el transcurrir de los meses hasta llegar � �Z��"�� Z��K��Z��| ��| �� !�en cubrir los gastos familiares al perder su salario, en forma paulatina, poder de compra.

200


Mes Sueldo Factor Sueldo real

1 $ 500.0001

1 0 011

� .( ) $ 495.049.50

2 $ 500.0001

1 0 012

� .( ) $ 490.148.02

3 $ 500.0001

1 0 013

� .( ) $ 485.295.07

4 $ 500.0001

1 0 014

� .( ) $ 480.490.17

5 $ 500.0001

1 0 015

� .( ) $ 475.732.84

6 $ 500.0001

1 0 016

� .( ) $ 471.022.62

7 $ 500.0001

1 0 017

� .( ) $ 466.359.03

8 $ 500.0001

1 0 018

� .( ) $ 461.741.61

9 $ 500.0001

1 0 019

� .( ) $ 457.169.91

10 $ 500.0001

1 0 0110

� .( ) $ 452.643.48

11 $ 500.0001

1 0 0111

� .( ) $ 448.161.86

12 $ 500.0001

1 0 0112

� .( ) $ 443.724.62

201

Tasas de interés

Ejemplo 4.38

��"��>�� G�HHH�HHH��ZZ��-��!��!�� *��+�� 12%, calcular:

a. El valor real del dinero devuelto.

� ��Z��| �� Z�K��+��!��!��Z��| �Z��G�HHH�HHH�� +��

P �2 000 000

1 12. .

.

P � $ 1.785.714.29

�� ;��"��>�� $ 2.000.000 que le entregó el familiar lo que compraba con $ 1.785.714.91 hace 6 me-��!�� !��+��Z��| �� desvalorizado. Analizado el ejercicio de otra forma, el familiar devuelve solamente ��-��-�#�Y��G�HHH�HHH�| ��"��>��

�� Z��el sentido de que el interés es un factor que compensa la pérdida del valor adquisitivo del dinero.

b. Pérdida de valor, expresada en porcentaje.

El dinero prestado sufrió una pérdida de valor real igual a $ 2.000.000 � $ 1.785.714.29 � $ 214. 285.71, que expresada en porcentaje es:

214 285 712 000 000

10 71. .. .

. %�

��| ��"��>�� del 10.71% sobre los $ 2.000.000 prestados.

w��| ��"��>��| �� Z��&��G�HHH�HHH'�� +��

F � 2.000.000(1 � 0.12) � $ 2.240.000

Los $ 2.240.000 tienen el mismo poder adquisitivo de $ 2.000.000 de 6 meses atrás, ��!��G�G#H�HHH��"��>��]��Z��que compraba hace 6 meses con $ 2.000.000.

Ejemplo 4.39

¿A cuánto equivalen $ 2.000.000 de febrero de 2003 en términos de pesos de marzo de 1999, si el índice de precios para marzo de 1999 es igual a 100 y el índice de precios para febrero de 2003 es igual a 187?

I0 � 100

I4 � 187

202


<��Z��G��| ��+��#��"�� 16.94% anual. Este valor de i se calculó aplicando F � P (1 � i)n, asumiendo P � 100, F � 187 y n � 4.

Precio1999 � �2 000 000 100187

. .

Precio1999 � $ 1.069.518.72

Lo que en marzo de 1999 costaba $ 1.069.518.72, cuesta $ 2.000.000 en febrero de 2003.

�� Para proyectar precios corrientes, simplemente se hace la operación contraria.

Precio corriente (Pn) � Precio nominal PII00

( )� n

Si se tiene una cantidad de dinero por valor de $ 1.069.518.72 de febrero de 1999 y �� | �Z��K��GHH?!�� +��del 16.94% anual, hacemos el siguiente cálculo aplicando la ecuación básica.

F � P (1 � i)n (3.1)

F � 1.069.518.72(1 � 0.1694)4

F � $ 2.000.000

Por medio de los índices: I0 � 100

I4 � 187

Precio2003 � Precio1999 � II2003

1999

Precio2003 � 1.069.518.72 � 187100

Precio2003 � $ 2.000.000

Esto indica que $ 1.069.518.72 de febrero de 1999 son equivalentes a $ 2.000.000 de marzo de 2003. En otras palabras, lo que se compraba en febrero de 1999 con $ 1.069.518.72 se compra en marzo de 2003 con $ 2.000.000.

El DANE (Departamento Administrativo Nacional de Estadísticas) calcula para cada uno de los meses, de un determinado período, el IPC (Índice de Precios al Consumidor), por medio de una tabla llamada Series de empalme, de tal forma, que para proyectar precios corrientes basta con conocer el IPC del mes base y del mes terminal y aplicar las expresiones analizadas en el ejercicio 4.37.

17. TASA REAL O TASA DEFLACTADA

��| ��| �� | ��Z�� +��!�| ��+��/��K�� | ��| ��Z ��Z��| �� +��!�� !��debe ser la preocupación perma nente de todo inversionista que aspire a ver crecer su

203

Tasas de interés

P

0IMPTO � I � R.F.

P � I

P � (P � TE)

dinero en términos reales, ya que nada gana con obtener un rendimiento sobre una ��Z��+��

Al realizarse una inversión se presentan tres tipos de rendimientos: el rendimiento efectivo que es el que aspira obtener el inversionista al pactar la tasa de interés con su deudor. El rendimiento neto, que resulta de descontarle a la tasa efectiva el valor de los impuestos, y el rendimiento real que resulta de descontarle al rendimiento neto la tasa ��+��<��Z�� !��!��]��!�� !�� +��

En forma análoga, al contratarse un crédito existirán, también, tres tipos de costos: ��Z!�| ��Z�� Z�� !�| �� &�� '��| �� +�� !�� +�� Z��!�� +��

17.1 RENTABILIDAD NETA DE UNA INVERSIÓN

La rentabilidad neta de una inversión es la rentabilidad efectiva corregida por los �� >��!��&��'�| �� }�� retención en la fuente, que consiste en deducir de los intereses devengados un porcentaje, que pasa �� w��de los intereses, este porcentaje es del 7%. Es evidente que esta deducción afecta el ��!��| �� | ��los esperados. Por esta razón, cuando se realizan análisis de rendimientos no se puede desconocer el efecto que ejercen los impuestos (retención en la fuente) sobre una inver-sión. Al establecerse la relación entre los intereses netos recibidos (intereses devengados menos la retención en la fuente) y la inversión, resulta la rentabilidad neta.

Consideremos que se invierte un capital P durante un período de tiempo n a una tasa efectiva TE:

P � Capital invertido.

RN � Rentabilidad neta.

TE � Costo efectivo o rendimiento efectivo.

I � Intereses.

IN � Intereses netos.

R.F. � Retención en la fuente.

IMPTO � Valor de los impuestos.

204


Se calcula el valor de los intereses devengados. I � P � TE

El valor de los impuestos anticipados es: IMPTO � I � R.F.

Los intereses netos resultan de restarle al valor de los intereses devengados el valor de los impuestos.

IN � I � IMPTO. (1)

Reemplazando en (1) I � P � TE, se tiene: IN � P � TE � I � R.F.

IN � P � TE � P � TE � R.F.

Factorizando P. IN � P(TE � TE � R.F)

El rendimiento neto de una inversión es igual a los intereses netos (IN) sobre el capital invertido (P).

INP

RN TE TE R.F.� � � � RN � TE(1 � R.F.) (4.18)

��!�� monto total de impuestos, sino apenas un anticipo sobre su pago. Por esta razón, con la expresión (4.18) se calcula el rendimiento neto después de aplicada la retención en la fuente, no el rendimiento neto después de impuestos.

Observemos, por medio de un ejemplo, el cálculo del rendimiento de una opera-��!�� ;

Ejemplo 4.40

Blanca Elena constituye un CDT en el Banco Davivienda por valor de $ 3.000.000 a una tasa de interés del 3.50% EA, con un plazo de 90 días. Calcular:

a) Valor neto a recibir (capital � intereses netos)

b) Rendimiento neto (después de impuestos)

<�� | �� ]� ��]��@��efectiva anual, lo que indica que si el plazo del CDT fuera de un año le aplicarían el 3.50% sobre los $ 3.000.000. Pero el plazo es de 90 días correspondiente a un trimestre, por lo tanto, es necesario calcular la tasa de interés trimestral equivalente al 3.50% EA.

TEA � (1 � TET)4 � 1

TET � (1.035)1/4 � 1

TET � 0.86% trimestral

En Excel: � TASA (4; 0; �1; 1,035)

La tasa de interés del 0.86 % trimestral corresponde al rendimiento efectivo para Blanca Elena.

/��K��| ��Z��;

I � P * i

I � $ 3.000.000 * 0,0086 � $ 25.800

205

Tasas de interés

90 días0

$ 3.000.000

$ 3.025.800

$ 3.000.000

0

RF � $ 25.800 * 0.07 � $ 1.806

$ 3.025.800

90 días

k��+ ��;

Los intereses recibidos son gravados con el 7% de retención en la fuente, como anticipo del pago de impuestos.

<�� +��Z�� + ��caja:

Blanca Elena recibe después de los 90 días $ 3.023.994, que resultan de descontarle a los $ 3.025.800 el valor de la retención en la fuente. El valor de los intereses netos será igual $ 23.994.

Calculamos el rendimiento neto (después de aplicada la retención en la fuente).

i � �FP

1

i � �3 023 9943 000 000

1. .. .

i � 0.80 % trimestral

Este rendimiento después de aplicada la retención en la fuente (después de im-puestos) también se puede obtener aplicando la fórmula:

RN � RE(1 � RF)

Siendo: RN � rentabilidad neta

RE � rentabilidad efectiva

RF � retención en la fuente

RN � 0.0086(1 � 0.07)

RN � 0.80% trimestral

206


17.2 COSTO DE LA DEUDA DESPUÉS DE IMPUESTOS Cuando se toma un crédito, los intereses que se pagan son deducibles, como gastos

��!�� w��de intereses que se paga se ahorra en impuestos un monto determinado por la tasa de impuestos, lo que se traduce en que el gobierno asuma parte del costo de la deuda.

La mayoría de las legislaciones tributarias, consideran los intereses como un gasto del período que afecta la utilidad antes de impuestos.

Algunos empresarios miran el crédito como una varita mágica que les ayuda a resolver los problemas de liquidez y a aumentar el rendimiento de su inversión. En contraposición, existen otros que no quieren saber nada del crédito. ¿De qué depende una u otra visión? ¿No será que ambos casos carecen de una adecuada perspectiva de lo que el crédito puede hacer por las empresas que ellos representan? (Gallardo, 1998). �Z��!�� -tario (deducibilidad de intereses como gasto) y por la oportunidad que tiene el deudor de cancelar el dinero tomado en préstamo con pesos de menor valor, lo que se traduce en un costo real muy bajo, o negativo en algunos casos. Pero, al mismo tiempo, en la medida en que aumenta la proporción de deuda en una empresa, también aumenta el ��Z�� Z��!��ejemplo, se podría estar en la imposibilidad de cubrir el servicio de la deuda (intereses y capital), lo que acarrearía, en consecuencia, problemas de tipo legal, disminución de la ��| ��<��deuda para mejorar la rentabilidad siempre que el dinero tomado en préstamo produzca �]��| �� !��Z��@��en relación a cuál debe ser el nivel de endeudamiento óptimo de una empresa. Tampoco se puede desconocer que trabajar sin deuda implica realizar una administración menos ��̀ �� Z�� !�� !� ��| �� En este curso, nos interesa conocer los efectos positivos que sobre el costo del dinero ��!�� +��<�� &��}��'��| �� @��K��

A continuación analizaremos un caso práctico que nos permitirá conocer el valor del ahorro en impuestos y, en consecuencia, la reducción en el costo del crédito por el hecho de tener deuda.

Ejemplo 4.41

Los directivos de una empresa, aunque reacios a contratar deuda, están conside-rando la posibilidad de aceptar un crédito de $ 100.000.000 que les ofrece un banco a ��?H��\k!�� K�� "��}�� K�� !��

Se asume una utilidad operativa (U.A.I.I.) de $ 60.000.000 y que el capital prestado ��"��<��Z��G��mensual, que resulta de capitalizar la tasa nominal del 30% MV, equivalente al 34.49% EA, que sería el costo del crédito antes de impuestos. La tasa de impuestos es del 35%.

207

Tasas de interés

El valor de los intereses mensuales es igual a: I � 100.000.000 � 0.025 � $ 2.500.000.

Calculamos la utilidad neta a partir de la utilidad operativa, suponiendo dos situa-ciones: con deuda y sin deuda. La utilidad operativa para las dos situaciones es la misma, ��| ��

Con deuda Sin deuda

U.A.I.I. $ 60.000.000 $ 60.000.000 Intereses $ 30.000.000 $ 0

U.A.I. $ 30.000.000 $ 60.000.000 IMPTO (35%) $ 10.500.000 $ 21.000.000

Utilidad neta $ 19.500.000 $ 39.000.000

Se observa:

�� Cuando se trabaja sin deuda, se paga mayor impuesto.

�� Por el hecho de trabajar con deuda, se pagan intereses.

�� La utilidad neta disminuyó en $ 19.500.000. Esto nos indica que el costo nominal de la deuda fue de 19.50% MV, que resulta de hacer la relación entre la diferencia de las dos utilidades netas y el valor de la deuda.

�� /�� }�� &�� '!�| ��resulta de multiplicar el valor de los intereses por la tasa de impuestos. Se observa que el valor de los impuestos disminuyó en $ 10.500.000, que resultan de multiplicar $ 30.000.000 � 0.35.

<��!�� !��Y��H�� efectivo del 21.34% EA, menor que la tasa del 34.49% EA pactada al inicio del préstamo. El costo efectivo del crédito se redujo9 en 13.15%, por efecto de la deducibilidad de los ��

Desarrollemos una ecuación universal con la cual se pueda conocer el costo de la deuda después de impuestos, cualquiera sean los parámetros de tasa de interés y tasa de impuestos.

Con el razonamiento numérico de este ejercicio, podemos plantear la siguiente ecuación:

Kd ��Valor de intereses Ahorro en impuestos

Deuda

Kdi i

�� P P IMPTOS

P

Kdi

�� P IMPTOS

P

1( )

Sacando factor común P � i, en el numerador, se tiene:

Kdi

�� P IMPTOS

P

1( ) Kd � i(1 � IMPTOS) (4.20)

208


Donde: Kd � costo de la deuda después de impuestos

i � tasa efectiva periódica

IMPTOS � tasa de tributación.

El costo después de impuestos para este ejercicio es: Kd � 0.025(1 � 0.35 )

Kd � 0.0163 � 1.63% mensual

TEA � (1 � 0.0163)12 � 1

TEA � 21.34% EA

`�Z��| �!�� @��K��Z��K�� del inglés, se observa que el factor impuestos (1-IMPTOS) se aplica sobre la tasa efectiva anual del crédito. Esta situación es válida en economías en las que se cobran tasas de interés por año vencido no aplicable, donde se pactan tasas de interés para períodos menores de un año. Por nuestras circunstancias particulares, el factor impuestos debe aplicarse sobre la tasa efectiva periódica, como lo hicimos arriba, y no sobre la tasa efectiva anual. Para el ejercicio que estamos analizando, es incorrecto anualizar la tasa periódica y luego aplicarle el factor impuestos:

TEA � (1 � 0.025)12 � 1 TEA � 34.49% EA Kd � 0.3449 (1 � 0.35)

Kd � 22.42% EA 21.34% EA

Además, la fórmula (4.20), que acabamos de utilizar, sólo permite una aproximación en sentido estricto, porque supone, por deducción, que los impuestos se pagan en el mismo período en que se causan y en la realidad esto ocurre al año siguiente. El aho-�� !��!��+ �� momento en que, efectivamente, se pagan los impuestos.

17.3 RENTABILIDAD REAL DE UNA INVERSIÓN

En la sección 14, cap. 4, se expuso en una forma amplia lo que es la tasa real y se llegó a la conclusión de que es la que queda después de descontarle a la tasa de ��+��/}��!�� !��K�� cálculo desde el punto de vista matemático, aplicada a una inversión. Antes de entrar a hacer este análisis, es pertinente aclararle al lector que bajo el esquema prestamista � prestatario, cuando se realiza una inversión el prestamista obtiene una rentabilidad y cuando se actúa como prestatario, a través de un crédito, se asume un costo. Pero ambos conceptos: rentabilidad y costo, hacen referencia a una misma tasa de interés.

`�� | ��| �� +��/��| ��+��Bodie y Merton (1999) ilustran el siguiente caso: ¿cuál será la tasa real de rendimiento si la tasa �� +��!��de precios, es del 5% anual? La intuición revela que es simplemente la diferencia entre ��+��!�| ��?��!��no exactamente.

209

Tasas de interés

Para entender por qué, desarrollemos mediante el siguiente ejercicio, una expresión universal que nos permita calcular con exactitud la tasa real.

Ejemplo 4.42

��"��w��w��Z��HH��"��G��_� ��rentabilidad real anual obtuvo?

F � $125

P � $100

I � $25

i � � � � �IP

RN25100

0 25 25. %

�� +��GH��| ��la rentabilidad real (RR) sea igual al 5%, que resultaría de restarle al rendimiento neto ��+��!�Z��;

Con los $ 100 que el señor Picapiedra invirtió al principio del año podía comprar �HH�� `�� +�� GH�!�� Z��]��";

valor artículo � 1.00 (1 � 0.20)1

valor artículo � $ 1.20

/��"��;� % � $ 125

_` ]�� ]��"��w��"{

cantidad de artículos � 1251 20.

cantidad de artículos � 104.17

El rendimiento real para el período es:

RR FP

� � 1

RR � � �104 17

1001 4 17. . % anual

El dinero creció en términos reales en un 4.17% anual. Este resultado es diferente al | ��&G��'��+��"�&GH�'�

/��K�� Z��!��| ��+��/��+��Z�� +��GH�� !��Z�� "!��@��pesos del momento cero.

P ��

��

1001 0 20

251 0 20. .( ) ( )

P � 83.3333 � 20.8333 � $ 104.17

210


Al invertir $ 100 y recibir después de un año $ 104.17 (medidos en pesos de hoy), el crecimiento real del dinero es del 4.17% anual.

Por las consideraciones anteriores, es importante establecer la diferencia entre la tasa de interés efectiva y la tasa de interés real. La primera mide el retorno de los ahorros en términos de cantidad de dinero, que se obtiene en el futuro con un monto de ahorro actual. La tasa de interés real mide el retorno en términos de cantidad de bienes, que se pueden adquirir en el futuro con un monto de ahorro actual (Sachs y Larraín, 1994). La tasa real mide la capacidad de compra de un dinero futuro obtenido con una cantidad de dinero que se ahorró en el presente, mientras que la tasa efectiva mide la cantidad de dinero que se recibe en el futuro después de realizada una inversión inicial.

Con el razonamiento anterior podemos llegar a una expresión que nos permita �� +��

RR � � �4 17 104 17100

1. % .

RR � �

1251 20100

1.⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

104 17 1251 20

..

� (1)

Los $125 son el resultado de invertir $ 100 a una tasa del 25% anual. Esto quiere decir que los $125 son iguales a $ 100(1 � 0.25) � $ 100(1 � RN). Durante el año de la ��Z��+�� GH�!��!��GH�� &� � INF).

Reemplazando en (1), tenemos: RR

RN

INF�

�

��

100 1

1

1001

1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Desarrollando la expresión y eliminando 100, tenemos:

RRRN

INF�

�

��

1

11

( )( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

RRRN INF

INF�

� � �

�

1 1 1

1( ) ( )

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

RRRN INF

INF�

�

�1 (4.22)

211

Tasas de interés

1 año0

2.500.000

3.250.000

Donde: RR � rendimiento real (tasa real).

RN � rendimiento neto.

INF � ��+��

En todas las operaciones que involucran el manejo del dinero no se cobrará la re-tención en la fuente, en consecuencia, se hace necesario generalizar la expresión (4.22) �� Z��+��

TRTE INF

INF�

�

�1 (4.23)

Donde: TE � tasa efectiva o tasa corriente

INF � ��+��

Esta expresión se conoce como la fórmula de Fisher en honor del matemático y economista Irving Fisher (1867 1947).

Aplicando la expresión (4.22) para el ejemplo 4.43 RN � 25% INF � 20%

RR ��

�

0 25 0 201 0 20. .

.

RR � 0.0417 � 4.17% anual

Una alternativa de ahorro debe generar un retorno que cubra la pérdida de poder adquisitivo del dinero en el tiempo, y que adicionalmente premie el ahorro y cubra el riesgo de sacar el dinero del bolsillo y entregarlo a otros que lo necesitan. Para el ejemplo 4.53 la tasa real del 0.1143% trimestral fue el premio al riesgo del inversionista. De esto surge la siguiente regla práctica: �� que dan una tasa real igual a cero, conservamos el valor de nuestro dinero. Si la tasa real es mayor que cero, se acrecenta el valor de nuestro dinero. Pero, si la tasa real es menor que cero, entonces tenemos una pérdida.

Ejemplo 4.43

¿Cuál es la tasa real anual que rindió un pagaré bancario por la suma de $ 2.500.000, ��"� ��?�G�H�HHH��+�� GG�{

El rendimiento efectivo se calcula con la siguiente expresión: RE FP

� � 1

RE 3.250.000� � �

2 500 0001 30

. .% anual

212


Por medio de la expresión (4.23) se calcula el rendimiento real de la inversión.

RRRE INF1 INF

��

��

�0 30 0 221 22

. ..

RR � 6.56% anual

El dinero del inversionista creció en términos reales 6.56% anual.

Conviene recordar que bajo el esquema prestamista prestatario, el prestamista ob-tiene un rendimiento sobre la inversión y el prestatario paga un costo sobre el crédito, pero tanto el rendimiento real como el costo real se expresan por medio de la tasa real.

Ejemplo 4.44

El señor Rojas recibió $ 15.000.000 por la venta de una propiedad. Decidió invertir el dinero en una cuenta de ahorros en el Banco de los Andes durante año y medio, a una ��?H��K�� +��en un 1.5% mensual, calcular:

�� k��

b. Rendimiento real de la inversión

Con los datos del ejercicio se puede deducir que hay un crecimiento real del dinero, ��| ��| �� }��| ��+��lector observa que la tasa de interés está expresada en forma nominal, que al capitalizarla es equivalente al 2.5% mensual.

F � P(1 � i)n (3.1)

F � 15.000.000(1 � 0.025)18

F � $ 23.394.880.76

�� Z��w�� Z��+��

P ��

23 394 880 76

1 0 01518

. . .

.( )P � $ 17.895.015.36

��Z��}��"��!��| ��| ��hubo crecimiento real del dinero.

Si se inicia la cuenta de ahorros con $ 15.000.000 y después de año y medio se llega �� Z��-��Y��H��?*!�� la fórmula del interés compuesto.

F � P(1 � i)n (3.1)

17.895.015.36 � 15.000.000(1 � i)18

i � 0.99% mensual

213

Tasas de interés

También podemos llegar a este resultado aplicando la expresión (4.22).

RR ��

�

0 025 0 0151 0 015

. ..

RR � 0.99% mensual

Este resultado indica que los ahorros que tiene el señor Rojas, depositados en la cuenta, crecen 0.99% mensualmente en términos reales.

17.4 COSTO REAL DE UN CRÉDITO

Con la solución del ejercicio anterior se llegó a una conclusión importante: los im-� ��!��| ��+��!�� }��cuando el análisis se hace en términos reales. Pero, así mismo, como se apreciará en ��!�� +��!�� del crédito para el prestatario. En consecuencia, las aparentemente altas tasas de interés �� +�� (Grant e Ireson, 1960). El costo real de un crédito pasa a ser, el costo que paga un cliente �� }�� +��

� �� (Modie y Merton, 1999). Supóngase que obtiene un préstamo de $ 1.000.000 a una tasa de interés del 3% mensual y que dentro de un ��| ��+�� del 3%, la tasa real sobre el préstamo será cero. Aunque habrá que pagar $ 1.030.000 en pesos de bolsillo, su valor real es de $ 1.000.000. Los $ 30.000 de intereses apenas �� | ��Z��HHH�HHH��que el deudor gana porque devuelve el dinero recibido con pesos desvalorizados, y también, que se pueden ganar intereses y perder dinero al mismo tiempo. Por esta razón, es necesario distinguir entre lo que es la valorización nominal del dinero, que se produce al devengar intereses, y la valorización real del mismo, que se genera cuando ��/��!��!��+��mensual es del 4.0% la tasa real será negativa y, no obstante, haber ganado intereses por $ 30.000 el dueño del dinero obtiene una pérdida, porque para recuperar el mismo poder de compra debería recibir $ 1.040.000.

Entremos, ahora si, a demostrar con unos ejercicios de la vida real como los im-� ��+�� la expresión (4.23) la tasa efectiva o tasa corriente, como forma inicial de la fórmula de %��}��!�� +��

TRTE INF1 INF

��

�

214


Aplicando la regla derivada del axioma fundamental de las ecuaciones: si a los dos miembros de una igualdad se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste, se tiene:

TRTE INF1 INF

� ��

��1 1

TRTE INF 1 INF

1 INF� �

� � �

�1( ) ( ) ( )

( ) (TR � 1)(1 � INF) � (TE � 1)

TE � (1 � TR)(1 � INF) � 1 (4.24)

Donde: TE � tasa efectiva o tasa corriente

TR � tasa real

INF � ��+��

Ejemplo 4.45

¿A qué tasa de interés mensual debe un inversionista prestar su dinero, si desea �� G�� +��mensual?

Se aplica la ecuación (4.24) TE � (1 � 0.025)(1 � 0.015) � 1

TE � 4.04% mensual

`��| ��| �� w��!��Z��K�� G�� !��+��es del 1.5% y presta su dinero al 4.04% mensual.

Así como en ejercicios precedentes hemos calculado el rendimiento real de una inversión, es necesario entrar, ahora, a analizar el cálculo del costo real de un crédito.

Ejemplo 4.46

��>�� ?*��Z��K�de un año. Se desea calcular el costo real del crédito.

La tasa de interés del crédito está expresada como tasa nominal. Para conocer el costo efectivo es necesario dividirla entre 12 períodos.

in

� � �J 0 36

123. % mensual

La tasa obtenida es una tasa efectiva periódica expresada en términos corrientes. ��!��| �� -��+��

215

Tasas de interés

Calculamos el costo después de impuestos del crédito, aplicando la expresión (4.20).

Kd � i(1 � IMPTO)

Kd � 0.03 (1 � 0.35) TEA � (1 � 0.0195)12 � 1

Kd � 1.95% mensual TEA � 26.08% EA

La tasa obtenida sigue siendo una tasa corriente, sólo que está expresada como ��Z�� | ��+��"��!��!��calculado será un costo real esperado.

Costo real ��

�

Costo después de impuestos InflaciónInflación1

Costo real ��

�

0 2608 0 181 0 18

. ..

Costo real � 6.85% anual

APÉNDICE:

Factores que determinan el costo del dineroA este nivel del texto, cuando ya el lector maneja algunos de los conceptos fun-

damentales de las Matemáticas Financieras, como son las tasas de interés nominales, efectivas, tasa real, etc, conviene tratar un tema que preocupa a las personas naturales y/o jurídicas (empresas) que tienen la necesidad de acudir a conseguir dinero para �� Z��}��Z��!��que es lo mismo, al costo del dinero. Estas personas se preguntan: ¿por qué las tasas de interés son tan altas en el país? y establecen comparaciones con el costo del dinero en otras partes del mundo.

Antes de entrar a describir los factores que determinan el costo del dinero es pre-ciso señalar que las tasas de interés, desde el punto de vista de la entidad crediticia, se dividen en dos grandes grupos:

�� Tasas de captación��<��&]��!�̀ ��Financieras, Compañías de Financiamiento Comercial o Corporaciones de Ahorro y Vivienda) captan los recursos de las personas y empresas que tienen excedentes de dinero y les ofrecen una tasa de interés para que aquellos acepten entregarles su dinero, llamada tasa de captación o tasa pasiva. Esta tasa de interés de captación es ��!��| ��| ��por su materia prima, el dinero. El procedimiento de captación de recursos lo hacen ��Z�� de ahorros (CDT, cuentas de ahorros, cuentas corriente, bonos, etc.).

�� Tasa de colocación. `��!� ��recuperar en el precio de sus productos los costos en que incurren y buscar una rentabilidad o ganancia. De allí surge la tasa de interés de colocación o tasa activa, que es el precio que cobran por prestar el dinero. Esta tasa constituye el precio ��| ��

216


Intermediarios financieros

AHORRO INVERSIÓN

Tasa de colocaciónTasa de captación

BANCOSC.F.C.CAVsC.F.

captación (costo del dinero para los intermediarios) y la tasa de colocación (costo del dinero para el usuario del crédito) surge el margen de intermediación (utilidad �� '�

Los altos niveles de las tasas de colocación son los que constituyen el mayor motivo de preocupación de todos los empresarios. Observemos a través del siguiente esquema el proceso que acabamos de describir:

<��}��Z��-sión. Siempre, en toda economía de mercado existirán personas naturales y/o jurídicas dispuestas a ahorrar o prestar su dinero y personas naturales y/o jurídicas que necesi-��K�� Z��<��!��Z��| ��!�� + ��Además, son transformadores de plazos porque captan a corto plazo y colocan a largo plazo, y de tasas de interés porque captan el dinero a una tasa de interés y la colocan a una tasa mayor.

Comenzaremos, entonces, por describir brevemente cuales son los elementos que, �� !�� !��!�| ��;

�� Z��+��+��| ��!��-��!�� | �� Z��K��| �� !��}��]�� | �� +�� | ��| �� K��en términos reales. Este es el primer piso de donde parten todas las captaciones.

�� Los rendimientos que el público desea percibir por prestar su dinero, no pueden ser inferiores a los que podría obtener en instrumentos de inversión similares, dentro o por fuera del país. Al existir tasas de rendimiento más atractivas por fuera del país se produce la fuga de capitales.

�� Z��| ��]��-nadas por sus competidores, entre ellos el mismo gobierno a través de la emisión de Títulos de Tesorería (TES). El ahorrador busca mayor rendimiento y menor riesgo. Lo que indica que el gobierno, a través del Banco de la Republica, puede darle señales ��Z��

Hasta aquí llegan los costos totales de las tasas de interés que pagan los interme-diarios por captar dinero de los ahorradores y que tienen que trasladar, por necesidad, a � ��<�� | ��;�compran y venden pro ductos; ellas compran y venden dinero; y en ese proceso, la tasa de captación viene a ser el costo del producto y la tasa de colocación es el precio de venta.

217

Tasas de interés

Ahora bien, los intereses de colo cación resultan de los costos de captación más el margen de intermediación (utilidad) que cobran los intermediarios por su gestión. Estos costos los podemos resumir en los siguientes puntos:

�� <��;��@�� !��]��

�� <��Z� ��| �� una cartera de difícil o imposible recaudo. Esta pérdida por los malos créditos deben cubrirse con las utilidades provenientes de intereses percibidos por créditos sanos.

�� Las inevitables e indispensables regulaciones gubernamentales, referentes a los encajes bancarios y reservas de cartera.

Esta explicación somera basta para entender todo el conjunto de variables que ��!��| ��Estado tiene una enorme res-ponsabilidad , por cuanto las tasas de interés podrían reducirse si se lograra bajar la ��+��Z�� K��̀ �� Z��+��!��Z�� Z��y se traduce en una reducción automática de sus márgenes de intermediación.

Podemos concluir que el elemento principal en el nivel de las tasas de interés es ��+��!�� | ��@��Z� ��!��!��| ��| ��+��las tasas de interés tendrán que llegar a niveles de un dígito.

218


NOTA ACLARATORIA:

La conversión de tasas de interés se realizará de las siguientes formas:

�� Utilizando las ecuaciones de la tasa nominal y la tasa efectiva.

�� Con las funciones de Excel: valor futuro (VF) y tasa.

�� Con el aplicativo de conversión de tasas que aparece como complemento en el SIL.

Para utilizar el aplicativo, proceda de la siguiente forma:

1. Abra el archivo “conversión de tasas de interés” y haga click en opciones de adver-tencia de seguridad (en el caso de que se hayan deshabilitado las macros).

2. Después debe seleccionar la casilla de “Habilitar este contenido” y luego en aceptar (en el caso de que se hayan deshabilitado las macros).

3. Después de esto, debe dar click en “fx” para activar la función.

#�� W��§��por el usuario” y damos click en aceptar.

EJERCICIO 1. A partir de una tasa de interés del 34 % con capitalización mensual, calcular la tasa efectiva anual equivalente.

in

� � �J 0 34

122 83. . % mensual

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � TEM)12 � 1 � (1 � 0.0283)12 � 1 � 39.83% EA.En Excel: � VF (34%/12; 12; 0; �1) � 1

Con el archivo: nominal anual vencida a efectiva anual:

EJERCICIO 2. Calcular la tasa efectiva anual partiendo de una tasa del 36% con capita-lización trimestral.

in

� � �J 0 36

49 0. . % trimestral

219

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � TET)4 � 1 � (1 � 0.09)4 � 1 � 41.16% EA.

En Excel: � VF (36%/4; 4; 0;-1)-1


EJERCICIO 3. ¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa del 35% capita-lizable mensualmente?

in

� � �J 0 35

122 92. . % mensual

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TET � (1 � TEM)3 � 1 � (1 � 0.0292)3 � 1 � 9.02% trimestral.

En Excel: � VF (35%/12; 3; 0; �1) � 1

Con el archivo: efectiva vencida menor a efectiva vencida mayor

220

EJERCICIO 4. Conocida la tasa nominal del 45% con capitalización mensual, hallar:

a) La tasa efectiva trimestral.

in

� � �J 0 45

123 75. . % mensual

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TET � (1 � TEM)3 � 1 � (1 � 0.0375)3 � 1 � 11.68% trimestral.

En Excel: � VF (45%/12; 3; 0; �1) � 1

Con el archivo: efectiva vencida menor a efectiva vencida mayor:

b) La tasa efectiva semestral. Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TES � (1 � TEM)6 � 1 � (1 � 0.0375)6 �

1 � 24.72% trimestral.

En Excel: � VF (45%/12; 6; 0; �1) � 1


221

c) La tasa efectiva bimestral.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TEB � (1 � TEM)2 � 1 � (1 � 0.0375)2 � 1 � 7.64% trimestral.

En Excel: � VF (45%/12; 2; 0; �1) � 1


d) La tasa efectiva anual.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � TEM)12 � 1 � (1 � 0.0375)12 � 1 � 55.55% trimestral.

En Excel: � VF (45%/12; 12 ;0; � 1) � 1


222

EJERCICIO 5. A partir de la tasa efectiva anual del 33%, hallar:

a) La tasa efectiva semestral.


TEA � (1 � TES)2 � 1

TES � (1 � TEA)1/2 � 1

TES � (1 � 0.33)1/2 � 1 � 15.33% semestral

En Excel: � TASA (2; 0; �1; 1,33)

Con el archivo: efectiva vencida mayor a efectiva vencida menor:

b) La tasa efectiva mensual:

TEA � (1 � TEM)12 � 1

TEM � (1 � TEA)1/12 � 1

TEM � (1 � 0.33)1/12 � 1 � 2.40% mensual

En Excel: � TASA (12; 0; �1; 1,33)

223


c) La tasa efectiva trimestral:

TEA � (1 � TET)4 � 1

TET � (1 � TEA)1/4 � 1

TET � (1 � 0.33)1/4 � 1 � 7.39% trimestral

En Excel: TASA (4; 0; �1; 1,33)


224

d) La tasa efectiva bimestral:

TEA � (1 � TEB)6 � 1

TEB � (1 � TEA)1/6 � 1

TEB � (1 � 0.33)1/6 � 1 � 4.87% bimestral

En Excel: � TASA (6; 0; �1; 1,33)


EJERCICIO 6. Un capital de $ 5.000.000 se invierte a una tasa de interés del 28% capita-�K�� G��"��+�� G?��mensual, calcular:

a) Valor futuro en términos nominales o corrientes.

in

� � �J 0 28

122 33. . % mensual

F � P(1 � i)n � 5.000.000 (1 � 0.0233)24 � $ 8.690.432.35

En Excel: � VF (2,33%; 24; 0; �5000000)

b) Valor futuro en términos reales o constantes.

� ��+��G�??��

TRTE INFLACIÓN

INFLACIÓN�

�

��

�

��

10 0233 0 0123

1 0 01231 09

( ) ( ). .

.. % mensual

F � P(1 � i)n � 5.000.000 (1 � 0.0109)24 � $ 6.485.847.33

En Excel: � VF (1,09%; 24; 0; �5.000.000)

225

EJERCICIO 7.��"��>��Z��GH�HHH�HHH�� G�� "�� +�� H*�!�� G�?��}��+�� Z�� H�Y��"��>��_w��| �{

�� +�� tasa de interés del 2% mensual. Nos apoyamos en los índices de precios, para lo cual asumimos un índice inicial de 100.

I0 � 100 I1 � 101.60 I2 � 103.94 I3 � 104.87 I4 � 105.82 I5 � 106.77 I6 � 107.73

I7 � 108.70 I8 � 109.68 I9 � 110.67 I10 � 111.66 I11 � 112.67 I12 � 114.71

Asumiendo: P � 100 F � 114.71 n � 12 i � ?

F � P(1 � i)n, despejando i, tenemos:

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 112

1 114 71100

1 1 15. . %�� &��+�� '

��"��>��| ��| ��Z�� | ��+��

EJERCICIO 8. Qué tasa de interés nominal anual capitalizable mensualmente equivale a:

a) 33% Efectiva anual.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva anual para calcular la tasa efectiva mensual.

TEA � (1 � TEM)12 � 1

TEM � (1 � TEA)1/12 � 1

TEM � (1 � 0.33)1/12 � 1 � 2.40%

En Excel: � TASA (12; 0; �1; 1,33)

Para calcular la tasa nominal capitalizable mensualmente aplicamos la ecuación de la tasa nominal.

J � i * n � 2.40% * 12 � 28.86 % MV

En Excel: � (TASA (12; 0; �1; 1,33))*12

226

Con el archivo: efectiva anual a nominal anual vencida:

b) 34% nominal anual capitalizable trimestralmente.

in

� � �J 0 34


Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva para calcular la tasa efectiva mensual TEM � (1 � TET)1/3 � 1

TEM � (1 � 0.085)1/3 � 1 � 2.76% mensual Aplicamos la ecuación de la tasa nominal:

J � i * n � 2.76% * 12 � 33.08% MVEn Excel: � ((TASA (3; 0; �1; 1,085)*12))


Esta tasa efectiva mensual se multiplica por 12 períodos y obtenemos 33.08% MV.

227

EJERCICIO 9. Con base en las tasas efectivas, ¿qué es más conveniente?

a) Invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital en 36 meses.

Se calcula la tasa efectiva anual equivalente.

No se suministra datos sobre F y P, pero se pueden asumir

P � $ 100 F � $ 200 n � 36 meses (12 trimestres) i � ?

Aplicando la fórmula básica F � P(1 � i)n, se tiene:

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 112

1 200100

1 5 95. % trimestral

b) Prestar el dinero al 34% TV.

in

� � �J 0 34

48 50. . % trimestral.

Con base en los resultados es más conveniente la opción B, por arrojar una tasa efectiva mayor.

EJERCICIO 10. ¿En cuánto tiempo debemos retirar una inversión realizada en el día de hoy, a una tasa nominal del 41.91% capitalizable mensualmente, si deseamos que se triplique?

Asumimos valores para P y F:

P � $ 100 F � $ 300 in

� � �J 0 4191

123 49. . % mensual n � ?

Aplicando la fórmula básica F � P(1 � i)n, tenemos:

ni

��

��

�

Log FP

Log

Log 300

Log

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )1100

1 0 034932

. meses

En Excel: � NPER (41,91%/12; 0; �100; 300)

EJERCICIO 11. Su empresa necesita $ 3.000.000 para comprar inventarios. Usted en-� ��?��"��| ��en las siguientes condiciones:

Compañía A:��@�� W��?��HH�HHH��K��el año.

P � $ 3.000.000 F � $ 3.800.000 n � 12 meses i � ?

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 112

1 3 800 0003 000 000

1 1 99. .. .

. % mensual

228

En Excel: � TASA(12; 0; �3.000.000; 3.800.000)

Compañía B: cobra una tasa del 34% anual capitalizable mensualmente.

in

� � �J 0 34

122 83. . % mensual.

Compañía C: cobra una tasa de 3.5% mensual anticipada.

Iva

a

ii

��

��

�1

0 0351 0 035

3 63..

. % mensual.

En Excel: � VF (�3,50%; �1; 0; �1) � 1

Con el archivo: efectiva anticipada menor a efectiva vencida mayor:

Con base en los resultados podemos concluir que la mejor opción es la de la compañía A, por cobrar una menor tasa efectiva mensual.

EJERCICIO 12. Un inversionista realiza una inversión de $ 20.000.000 durante 6 meses a ��G�� <��+��?�� del 1.5% mensual y en los otros 3 meses del 2% mensual. Calcular:

a) Rendimiento real.

� `�� !�� !��+��

I0 � 100 I1 � 101.50 I2 � 103.02 I3 � 104.57 I4 � 106.66 I5 � 108.79 I6 � 110.97

Asumiendo: P � 100 F � 110.97 n � 6 i � ?

F � P(1 � i)n, despejando i, tenemos:

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 16

1 110 97100

1 1 75. . %�� &��+�� '

229

Calculamos la tasa real:

TRTE INFLACIÓN

INFLACIÓN�

�

��

�

��

10 02 0 0175

1 0 01750 25

( ) ( ). .

.. % mensual

�'� _� �� +�� W��3.5%?

� ��Z��!��}��W��]� !�| ��+��-medio mensual es mayor que la tasa de interés del 2% mensual a la cual invierte los $ 20.000.000, por lo tanto, pierde dinero en términos reales.

EJERCICIO 13. Usted tiene 3 opciones para aceptar un crédito bancario:

1. A una tasa del 36% trimestre anticipado.

in

� � �J 0 36

49 0. . % trimestral anticipada

Conocida la tasa efectiva trimestral anticipada, calculamos la tasa efectiva anual equivalente.

TEA � (1 � ia)�n � 1 � (1 � 0.09)�4 � 1 � 45.83% EA

En Excel: � VF (�36%/4; �4; 0; �1) � 1

Con el archivo: nominal anual anticipada a efectiva anual:

2. A una tasa del 38% trimestre vencido.

in

� � �J 0 38

49 5. . % trimestral vencida

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � 0.095)4 � 1 � 43.77% EA.

En Excel: � VF (38%/4; 4; 0; �1) � 1

230


3. A una tasa del 38.5% mes vencido.

in

� � �J 0 385

123 21. . % mensual

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva: TEA � (1 � 0.0321)12 � 1 � 46.08 % EA

En Excel: � VF (38,5%/12; 12; 0; �1) � 1


Con base en las tasas efectivas anuales se concluye que la segunda opción es la que más le conviene.

231

EJERCICIO 14. El señor Pérez compró una casa en 1998 por $ 100.000.000 y después de 5 �"��Z��H�HHH�HHH��+��"�� GH�� ;

a. ¿Cuánto ganó o perdió en el negocio en pesos corrientes?

� ��+��Z��YY�!�� "�;

F � 100.000.000(1 � 0.20)5 � $ 248.832.000

En Excel: � VF (20%; 5; 0; �100000000)

� <�| ��| ��*��?G�HHH

b. ¿En cuánto debió vender la casa para recuperar su dinero?

F � $ 248.320.000

c. Calcule en pesos de 1.998 (pesos reales), el valor de venta de la casa.

� ��+��Z��Z�� "��

P FINFLACIÓN

��

��

�1

180 000 000

1 0 2072 337 962 96

5( ) ( ). .

.$ . . .

En Excel: � VA (20%; 5; 0; �180.000.000)

EJERCICIO 15. ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente convertirá $ 450.000 de hoy en $ 678.000 al cabo de dos años y medio?

P � $ 450.000 F � $ 678.000 n � 30 meses i � ?

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 130

1 678 000450 000

1 1 38..

. % mensual


J � i * n � 1.38% * 12 � 16.51% MV

En Excel: � ((TASA (30; 0; �450.000; 678.000)*12))

EJERCICIO 16.�̀ �� | �� +��GHHY!��+�� ;

Enero � 2.37% Febrero � 1.09% Marzo � 2.34%

Abril � 1.65% Mayo � 0.46% Junio � 3.21%

<��+��Z�� sin ser interés compuesto.

F � 100(1.0237)(1.0109)(1.0234)(1.0165)(1.0046)(1.0321) � 111.62

Si asumimos: P � 100 F � 111.62

i � � � � �FP

1 111 62100

1 11 62. . % semestral

232

EJERCICIO 17. El valor de la UVR el día 18 de junio es de $ 104.48. Calcule el valor de ��k^!��!��?��!��+�� H�*��

UVRt � UVR 15*(1 � i)t/d

UVR19 junio � 104.48(1 � 0.006)1/30 � $ 104.5008

UVR20 junio � 104.48(1 � 0.006)2/30 � $ 104.5217

UVR21 junio � 104.48(1 � 0.006)3/30 � $ 104.5425

En Excel: � VF(0,6%; 1/30; 0; �104,48)

� VF(0,6%; 2/30; 0; �104,48)

� VF(0,6%; 3/30; 0; �104,48)

NOTA: el valor de la UVR se expresa con 4 decimales.

EJERCICIO 18. ¿Qué tasa nominal mes anticipado equivale al 38% nominal trimestre vencido?

in

� � �J 0 38


Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva, para calcular la tasa efectiva mensual.

TET � (1 � TEM)3 � 1

TEM � (1 � TET)1/3 � 1

TEM � (1 � 0.095)1/3 � 1 � 3.07 % mensual

Calculamos la tasa mensual anticipada equivalente:

Iav

v

ii

��

��

�1

0 03071 0 0307

2 98..

. % mensual anticipada


J � ia * n � 2.98 % * 12 � 35.76% MA

En Excel: � TASA (3; 0; �1; 1 � 0.38%/4)

� ((VF (3,07%; �1; 0; �1) � 1)*12) y se le cambia el signo

233

Con el archivo: efectiva vencida mayor a efectiva anticipada menor:

El resultado lo multiplicamos por 12 períodos, aplicando la ecuación de la tasa nominal.

EJERCICIO 19. ¿Qué tasa trimestral anticipada equivale al 2.5% mensual anticipada?

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva en función de la tasa anticipada:

TET � (1 � TEMA)�3 � 1

TET � (1 � 0.025)�3 � 1 � 7.89% trimestral

Calculamos la tasa efectiva trimestral anticipada:

ii

iav

v

��

��

�1

0 07891 0 0789

7 31..

. % trimestral anticipada

En Excel: � VF (�2,5%; �3; 0; �1) � 1 � 7.89% trimestral

� TASA (�1; 0; �1; 1,0789) � �7.31% y le cambiamos el signo

Con el archivo: efectiva anticipada menor a efectiva anticipada mayor:

234

EJERCICIO 20. Invierte hoy $ 200.000 y después de 3 años recibe $ 500.000. Calcular la tasa nominal mes anticipado que obtuvo como rendimiento.

P � $ 200.000 F � $ 500.000 n � 36 meses i � ?

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 136

1 500 000200 000

1 2 58..

. % mensual

Calculamos la tasa efectiva mensual anticipada equivalente:

Iav

v

ii

��

��

�1

0 02581 0 0258

2 52..

. % mensual anticipada


J � ia * n � 2.52% * 12 � 30.18% MA

En Excel: � TASA (36; 0; �200000; 500000)

� ((VF (2,58%; �1; 0; �1) � 1)*12) y se le cambia el signo

Con el archivo: efectiva vencida menor a efectiva anticipada mayor:

El resultado lo multiplicamos por 12 períodos, aplicando la ecuación de la tasa nominal.

EJERCICIO 21. Un banco le concede un préstamo de $ 100.000.000 con un plazo de un año a una tasa del 34% TA. Usted logra que el banco le cambie la tasa por una nominal mes vencido. Calcular esta tasa equivalente y los intereses del primer mes.

in

� � �J 0 34

48 50. . % trimestral anticipada

Calculamos la tasa trimestral vencida equivalente:

Iva

a

ii

��

��

�1

0 08501 0 0850

9 29..

. % trimestral

235

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva para calcular la tasa efectiva mensual:

TET � (1 � TEM)3 � 1

TEM � (1 � TET)1/3 - 1

TEM � (1 � 0.0929)1/3 � 1 � 3.01% mensual


J � i * n � 3.01% * 12 � 36.07% MV

Calculamos los intereses del primer mes:

I � P * i � 100.000.000 * 0.0301 � $ 3.005.833.33

En Excel: � VF (�34%/4; �4; 0; �1) � 1 � 42,66 % EA

� 12*TASA (12; 0; �1; 1,4266)

Con el archivo: nominal anual anticipada a efectiva anual:

Conocida la tasa efectiva anual equivalente, calculamos la tasa nominal capitalizable mensualmente con el archivo efectiva anual a nominal anual vencida:

236

EJERCICIO 22. Usted va a constituir un CDT por 90 días por valor de $ 10.000.000y el Banco Cafetero le ofrece una tasa del 7.5% EA. Si usted solicita recibir los intereses cada mes, ¿cuál es el valor de los intereses mensuales?

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva para calcular la tasa efectiva mensual equiva-lente al 7.5% EA:

TEA � (1 � TEM)12 � 1

TEM � (1 � TEA)1/12 � 1

TEM � (1 � 0.075)1/12 � 1 � 0.60 % mensual

En Excel: � TASA (12; 0; �1; 1,075)


Calculamos los intereses mensuales:

I � P * I � $ 10.000.000 * 0.006 � $ 60.000

EJERCICIO 23. El señor Pedro Picapiedra necesita $ 50.000.000 para realizar un ensanche en su planta de triturado. El Banco de Crédito se los presta a una tasa del 32% mes antici-pado. ¿Cuál debe ser el valor del préstamo solicitado para que después de descontados los intereses del primer mes, realmente reciba los $ 50.000.000?

in

� � �J 0 32

122 67. . % mensual anticipado

Aplicando la fórmula del valor futuro en función de la tasa anticipada:

F � P(1 � ia)�n � 50.000.000(1 � 0.0267)�1 � $ 51.371.622.32

En Excel: � VF (�2,67%; �1; 0; �50.000.000)

237

EJERCICIO 24. Una empresa proveedora de materia prima le ofrece el siguiente plan de pagos por la venta de sus productos: 10/10 neto 30. Calcular el costo efectivo, si usted no se acoge al descuento por pronto pago.

El esquema de pagos queda de la siguiente forma: si se paga en los 10 primeros días se recibe un descuento del 10%, es decir, se pagaría $ 90 si asumimos un valor de $ 100 a los 30 días; en caso contrario se paga neto a los 30 días.

i � � � � �FP

1 10090

1 11 11. % en 20 días

Calculamos la tasa efectiva anual equivalente:

TEA � (1 � TEM)18 � 1 � (1 � 0.1111)18 � 1 � 566.13 % EA

Nota: se eleva a la 18 porque el año tiene 18 períodos de 20 días.

En Excel: � VF (11,11%; 18; 0; �1) � 1


EJERCICIO 25. Usted le presta a un amigo $ 5.000.000 por 4 meses sin cobrarle intereses. <��+��#�� ;��H�Y�!�� 1.2%, para el tercer mes de 2.2% y para el cuarto mes de 1.5%. Calcular:

Valor real pagado.

P ��

�5 000 000

1 0 009 1 0 012 1 0 022 1 0 0154 720 543. .

. . . .$ . .

( )( )( )( )..81

De los $ 5.000.000 que prestó, apenas recibe $ 4.720.543.81. Para no perder ni ganar dinero, es decir, para recibir el mismo dinero que prestó, debe recibir:

F � 5.000.000(1 � 0.009)(1 � 0.012)(1 � 0.022)(1 � 0.015) � $ 5.296.129.81

238

EJERCICIO 26. Usted deposita en el Banco Agrario $ 2.000.000 a una tasa de interés del 3.5% efectivo anual durante 90 días. Calcular:

�� Valor de los intereses trimestrales:

TEA � (1 � TET)4 � 1

TET � (1 � TEA)1/4 � 1

TET � (1 � 0.035)1/4 � 1 � 0.86 % trimestral

En Excel: � TASA (4; 0; �1; 1,035)


Calculamos los intereses: I � P * I � $ 2.000.000 * 0.0086 � $ 17.200

�� Valor de los intereses netos

El valor de los intereses netos es igual al valor de los intereses menos la retención en la fuente del 7%.

RF � $ 17.200 * 0.07 � $ 1.204

Intereses netos: Inetos � $ 17.200 � $ 1.204 � $ 15.996

�� Rendimiento neto

El rendimiento neto es igual a los intereses netos sobre la inversión:

RN IP

0.80%� � �15 996

2 000 000.

. . trimestral

�� ^��+�� H�Y��

� /��+��| ��!��-miento real es negativo.

239

EJERCICIO 27. ¿Cuánto tiempo debe esperar para que una inversión realizada hoy por $ 15.000.000 se le convierta en $ 18.600.000, si le reconocen una tasa de interés del 29% TV?

i � �0 29


ni

��

��

Log FP

Log

Log

Log

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

18 600 00015 000 0001 0

. .

. ..00725

3 07( )

� . trimestres

En Excel: � NPER (29%/4; 0; �15000000; 18600000)

EJERCICIO 28. Un fabricante de ropa femenina ofrece a sus clientes la siguiente escala de descuentos, con plazo máximo de pago a 90 días.

De 0 a 30 días 12%

<�| ��| �� }�� del 12%. Si asumimos que el producto se lo facturan a 30 días por $ 100, el valor de contado sería de $ 88. En caso de no acogerse al descuento incurriría en un costo de:

i � � � � �FP

1 10088

1 13 64. % bimestral (durante 60 días)


TEA � (1 � TEB)6 � 1 � (1 � 0.1364)6 � 1 � 115.37%

En Excel: � VF (13,64%; 6; 0; �1) � 1


De 30 a 60 días 8%

240

<�| ��| �� }�� 8%. Si asumimos que el producto se lo facturan a 30 días por $ 100, el valor de contado sería de $ 92. En caso de no acogerse al descuento incurriría en un costo de:

i � � � � �FP

1 10092

1 8 70. % mensual


TEA � (1 � TEM)12 � 1 � (1 � 0.0870)12 � 1 � 172.12% EA

En Excel: � VF (8,70%; 12; 0; �1) � 1


Los resultados de las tasas efectivas anuales de las dos opciones nos indican que la opción más conveniente es la segunda, por tener una tasa efectiva anual mayor y representar un mayor costo.

EJERCICIO 29. Katya Elena necesita $ 20.000.000 para comprar un vehículo. Va a un �� G*��\k��/� �� | ��prestarle esa cantidad si le paga $ 32.000.000 en un plazo de 2 años. ¿Cuál de los dos préstamos le conviene?

Primera opción: i � �0 2612

2 17. . % mensual

Segunda opción: P � $ 20.000.000 F � $ 32.000.000 n � 24 meses i � ?

in

� � � � �FP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 124

1 32 000 00020 000 000

1 1 98. .. .

. % mensual

Con base en las tasas efectivas mensuales se concluye que el mejor préstamo es el del amigo.

241

EJERCICIO 30. Una comercializadora desea obtener una utilidad real del 7.0% sobre ��Z�� | �� GH�HHH��+��Y�H�!�_�� ]��debe venderlo?

Calculamos la tasa de incremento sobre el precio de compra:

TE � (1 � TR)(1 � INF) � 1 � (1 � 0.07)(1 � 0.09) � 16.63 %

Lo que indica que debe incrementar un 16.63% sobre el precio de compra:

F � $ 20.000 * 1.1663 � $ 23.326

EJERCICIO 31. Una obligación bancaria presenta una mora de 32 días sobre un saldo de $ 2.500.000. Calcular los intereses moratorios si la tasa de usura es del 20.45% EA.

Calculamos la tasa efectiva diaria equivalente a la tasa de usura, teniendo en cuenta que para el cálculo de intereses moratorios se toma el año de 365 días (Superintendencia Financiera).


TEA � (1 � TED)365 � 1

TED � (1 � TEA)1/365 � 1

TED � (1 � 0.2045)1/365 � 1 � 0.05 % diaria

En Excel: � TASA (365; 0; �1; 1,2045)


Calculamos los intereses moratorios:

I � P * i * n � $ 2.500.000 * 0.0005 * 32 � $ 40.000

243243

CAPÍTULO 5

Anualidades o series uniformesNi tengo que pagar

ni me quedas a deber; si yo te enseñé a querer

tu me enseñaste a olvidar.RAMÓN DE CAMPOAMOR

�� compra doblado.

G. FANDIÑO

0. INTRODUCCIÓN

�� ?��K��+ ��por un pago único y un ingreso único, o de pagos e ingresos diferentes ubicados en diferentes fechas, sin ninguna periodicidad; para esta clase de ejercicios, con la aplicación de una ecuación de valor, calculamos el valor presente y el valor futuro equivalentes a esa serie de pagos. También, en algunos casos, se calculó la tasa de interés de una operación ��!��]��!��!��W��Z��través de una serie de pagos que tienen la característica de ser iguales y periódicos. Tales pagos iguales y periódicos se llaman anualidades, series uniformes o rentas uniformes. Son casos de anualidades las cuotas periódicas para el pago de un electrodoméstico, de un vehículo, los sueldos mensuales, las cuotas de seguros, los pagos de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando, no cambien de valor durante algún tiempo.

En este capítulo se aborda el estudio de las anualidades más comunes y de mayor aplicación en la vida práctica. Para su estudio calcularemos el valor presente

244


f.f.

0 1

A

2

A

3

A

4 meses

A

2.000.000

equivalente a la anualidad, valor futuro equivalente, el valor de la cuota igual y periódica y el número de pagos o tiempo de negociación. Haremos el cálculo de la tasa de interés ��+ ��| ��Z�� K��ensayo y error, �� }��@��

Con la solución del siguiente ejercicio podemos hacer la introducción a este tema:

Ejemplo 5.1

Una persona compra un juego de muebles, cuyo valor de contado es de $ 2.000.000. Si le dan la facilidad para pagarlo en 4 cuotas mensuales iguales de A cada una, pagaderas ��!�� ?*��K�� !�¿cuál es el valor de las cuotas?

��+ �� | �� ;

El comprador recibe un crédito de $ 2.000.000 para pagarlo con 4 cuotas mensuales iguales. La tasa de interés de la operación está expresada en forma nominal, por lo tanto, se debe capitalizar para conocer la tasa efectiva del crédito.

in

� � � �J 0 36

120 03 3. . % mensual.

Planteamos la ecuación de valor con fecha focal en el momento cero.

2 000 0001 0 03 1 0 03 1 0 03 1 0 03

1 2 3 4. .

. . . .�

��

��

��

�

A A A A

( ) ( ) ( ) ( )

2 000 0001 03 1 0609 1 0927 1 1255

. .. . . .

� � � �A A A A

Factorizando A, tenemos:

2.000.000 � A(0.9709 � 0.9426 � 0.9151 � 0.8885)

2.000.000 � A(3.7171)

A � $ 538.054.09

245

Anualidades o series uniformes

Si hubiésemos planteado la ecuación con fecha focal en el mes tres, tendríamos:

2.000.00 (1 � 0.03)3 � A (1 � 0.03)2 � A (1 � 0.03)1 � A � A

1 0 031

� .( ) 2 .185.454 � 1.0609A � 1.03A � A � A

1 03. 2.185.454 � 4.0618A

A � $ 538.054.09

Utilizando la técnica de la ecuación de valor se logró fácilmente la solución de este ejercicio. Pero, si el número de pagos hubiese aumentado considerablemente la solución no habría sido tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante cuotas men-� �� H��"��+��| �� W��grande de cuotas creó la ne ce sidad de diseñar un modelo matemático que planteara una solución lógica y sencilla, llamado Anualidad.

1. DEFINICIÓN DE ANUALIDAD

Una anualidad es un conjunto de pagos iguales1 hechos a intervalos iguales de �� | ��}�� el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamente así. En Matemáticas Fi-nancieras, anualidad��}��}��Z�� !�| �� ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc.

�� }�� K��!��razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, ��Z�Z��| ��!��Z�K�| ��recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.

/�� !�� términos:

1.1 RENTA O PAGO

Es el pago periódico y de igual valor.

1.2 PERÍODO DE RENTA

Es el tiempo que transcurre entre dos pagos.

2. CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDAD

Para que un conjunto de pagos se considere una anualidad debe cumplir con las siguientes condiciones:

�� Todos los pagos deben ser iguales.

�� Todos los pagos deben ser periódicos.

1� �� !��

246


0 1

A

2

A

n

A

P

�� $��Z��!��!�� valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener un valor presente equivalente y un valor futuro equivalente.

�� El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

3. CLASES DE ANUALIDADES

Las clases de anualidades más comunes, son las siguientes:

�� Anualidad vencida.

�� Anualidad anticipada.

�� Anualidad diferida.

�� Anualidad perpetua.

4. ANUALIDAD VENCIDA��| ��| ��}��/��!��!��-

rio mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, son casos de anualidades vencidas.

��+ �� Z��!��w��Z��de la obligación y A es el valor de los pagos iguales y periódicos.

4.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

Es un valor, ubicado un período anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos. Desde el punto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos.

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.1)

Con la expresión (5.1) se calcula un valor presente equivalente (P) a una serie de pagos iguales y periódicos, conocidos el número de pagos (n), el valor de cada pago (A) y la tasa de interés (i). En otros términos, reemplaza una serie de pagos iguales llamada anualidad, por un valor presente equivalente P.

El error más frecuente que se comete al trabajar problemas de anualidades es la colocación incorrecta de P, razón por la cual, es importante recordar la siguiente regla: el valor presente (P) estará ubicado al principio del período en que se hace el primer pago

247


(A).�w��+ �� K��!�� }��!��Z��-sente quedará ubicado en el momento cero. ¿Por qué? porque se dedujo con P en el ��/��&Blank y Tarquin, 1992).

�� Para realizar los cálculos de las anualidades se utiliza una nueva tecla, de las utiliza-

�� ;�w\$��`��w/>��£��Packard. Esta tecla corresponde al valor de la cuota de la anualidad, cualquiera que sea su clase (vencida o anticipada), y aparece en el mismo menú con que se trabaja el interés compuesto. Puesto que existen anualidades vencidas y anticipadas, antes de hacer los �]� �� w�� `��>=!�| ��K��`��%`��HH!��Z��>=�| �� `��%`�GHH!��>=�aparece como segunda función de la tecla MODE, por lo tanto, se requiere para activar-la, oprimir primero SHIFT y luego la tecla MODE. En la calculadora FC 1.000, se oprime \��#��Z��| ��K��w/�\�=$;��>=��| ��K��w/�\�=$;�END, se oprime SHIFT MODE. Para las calculadoras Hewlett Packard 17 B II y 19 B II, el ��Z��W��$^�!�| ��W�k�$��al oprimir OTRO se debe oprimir a continuación INIC y aparece en la parte superior de la ��w>��/��;�\��=�`�/<!� ��$��W�k�$��

Para trabajar las anualidades vencidas, en las Casio FC 100 y FC 200 no debe apa-��>=��%`��HHH!��\��#��PAYMENT: END.

En la calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 B II debe aparecer en la parte supe-��!��Z��W�k�$!��w>��/��;�\��%�=/<�� propietario indica que el % IA corresponde a una tasa nominal anual. Es decir, al hacer una operación con una tasa mensual del 3%, se debe ingresar una tasa del 36% IA y �� G�w>��/��;�\��%�=/<��=�-CIAL, dependiendo de que la anualidad sea vencida o anticipada. De la misma forma, para una operación con una tasa del 9% trimestral, se debe ingresar una tasa del 36% �/��#�w>��/��w��Z��!�� Z��w>��/��;�\��%�=/<��=�`�/<!��}��!��| ��se ingresa como % IA es la tasa periódica: 3%, 9%, por ejemplo.

Para el cálculo de las anualidades Excel tiene las mismas funciones que se utilizan para �� !�� | ��w/>��| ��}��Z��la cuota.

NOTACIÓN TEXTO SIGNIFICADO NOTACIÓN EXCELP Valor presente VAF Valor futuro VFn Número de períodos NPERi Tasa de interés TASAA Valor de la cuota w/>�

248


0

P

1.000.000 200.000 200.000 200.000 200.000

1 2 3 12 meses

Ejemplo 5.2

Se compró un vehículo con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

Cuota inicial � $ 1.000.000 A � $ 200.000 n � 12

i � 2.5% mensual P � ?

��+ ��

Tal como se mencionó en el ejemplo (5.1), la solución primaria a este problema se logra planteando una ecuación de valor con fecha focal en el momento cero, de la siguiente forma:

P 200.000 200.000 200.000� � � �1 000 000

1 025 1 025 1 0251 2

. .. . .( ) ( ) ( )33 12

1 025� �...

.

200.000

( )Este procedimiento resulta tedioso porque implica trasladar en forma individual 12

valores del futuro al presente. Aplicando la fórmula (5.1) se calcula el valor presente de las 12 cuotas iguales, que quedará ubicado al principio del período en el que se hace el primer pago.

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.1)

P 200.0000.025 1 0.025

��

�

1 0 025 112

12

.( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 2.051.552.92

El valor del vehículo será igual al valor presente de los 12 pagos iguales más la cuota inicial.

Valor del vehículo � $ 1.000.000 � $ 2.051.552.92

Valor del vehículo � $ 3.051.552.92

Es equivalente pagar en el día de hoy la suma de $ 3.051.552.92, que cancelar hoy una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 200.000, si la tasa de interés es del 2.5% mensual.

249


No obstante lo anterior, las anualidades consideran una diversidad de situaciones en ��| �� + �� Z��individuales, además de la serie de pagos iguales y periódicos. La solución a esta clase de ejercicios se logra con una ecuación de valor, en la que las fórmulas se constituyen en ��}��| ��través el tiempo. Por ejemplo, este ejercicio también se puede resolver planteando una ecuación de valor con fecha focal en el momento cero, de la siguiente forma:

P 1.000.000 200.0000.025

0.� �

� �

�

1 1

025 1 0 025

12

12

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥.

P � $ 3.051.552.92

En Excel: � VA (tasa; nper; pago; VF; tipo)

� VA (2,5%; 12; �200000; 0)

En este caso no aplica el valor futuro, por lo tanto se ingresa un valor de cero. El �� $��| ��}�� anticipada o vencida. Si la cuota es vencida se omite el valor tipo. Si es anticipada se ingresa el número 1.


Figura 5.1

A B C D E

1 100 2.50%

2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 1.000.000 �A1�B3

4 1 200.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 200.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 200.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario, de 100, que es la incógnita del ejercicio y corresponde al valor del vehículo y en la B1 la tasa de interés del 2.50%. En la celda B3 escribimos 1.000.000 como valor de la cuota inicial y en la celda E3 registramos el valor

250


��]��Z��Z�}�� #�}��B15 escribimos 200.000 como valor de las cuotas mensuales. En la celda C4 calculamos los intereses, escribiendo �E3*$B$1 (la tasa de interés con referencia absoluta). En la celda D4 calculamos el abono a capital escribiendo �B4�C4 y en la celda E4 calculamos el saldo insoluto escribiendo �E3��#��&k�� '�

Rellenamos las celdas en blanco (rango C5:E15) copiando las fórmulas en C4, D4 y �#��Z��| ��K��]�� | �� =�� !�| ��!�}��clic en DATOS y en Análisis Y si, y en Buscar Objetivo (en el caso de utilizar Excel 2.003 haga clic en Herramientas y clic en Buscar Objetivo) y aparece un cuadro diálogo que ��| ��| ��| ��Z��!��| ��`��el valor se indica el valor que se desea tome la casilla anterior, en este caso un valor de cero para que la obligación se amortice y en la casilla Para cambiar la celda se indica la celda que debe tomar un valor, que en este caso es la celda A1 que es la incógnita y corresponde al valor del vehículo. Se oprime aceptar y el programa hace iteraciones hasta que aparece el mensaje La búsqueda con la celda E15 ha encontrado una solución ��}��K��Z��/�� Z��?�H��G�YG��&k�� G'�

Figura 5.1

Al analizar la ecuación de valor mencionamos que su aplicación permitía la solu-ción de la mayor parte de los problemas de Matemáticas Financieras. En el caso de las anualidades también es aplicable. Cuando se utiliza la fórmula (5.1), se traslada cada uno de los valores que conforman la anualidad a un valor presente equivalente ubicado en una fecha anterior a la del primer pago; y al igualar este valor con el que los genera

251


0

P � ?

0.2 P800.000

1 2 3 4 5 6 7 24 meses

se crea una ecuación de valor. Como se dijo en el párrafo anterior, la fórmula única-��!��conserva. No pecamos de atrevidos si asimilamos la fórmula (5.1) a una ecuación de Z�� | �� !��!��Z��la cuota de un crédito de $ 50.000.000 que se va a amortizar con 60 cuotas mensuales, si no existiera la fórmula (5.1). Nos tocaría plantear una ecuación de valor, y al ubicar la fecha focal en el momento cero, por ejemplo, tendríamos que hacer 60 cálculos de valor presente.

Ejemplo 5.3

`�� Z�� Z�| �� | ��siguiente forma: cuota inicial equivalente al 20% del valor de contado y 24 cuotas men-� ��HH�HHH��<��?��

Con fecha focal en el momento cero se plantea la ecuación de valor.

P P A� ��

�0 2

1 1

1.

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P P 800.000� ��

�0 2

1 03 1

0 03 1 0 03

24

24.

.

. .

0( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 16.935.542.12


� VA (3%; 24; �800.000; 0)/0,80

252



Figura 5.3

A B C D E

1 100 3.0%


3 0 �0.20*A1 �A1�B3

4 1 800.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 800.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 800.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en B1 escribimos la tasa de interés del 3.0%. En la celda B3 escribimos �0,20*A1 para calcular el valor de la cuota inicial y en la celda E3 escribimos �A1�B3 para indicar que el saldo en el momento cero es igual al valor del activo menos la cuota inicial. Desde la celda B4 hasta la celda B27 escribimos 800.000 como valor de cada una de las 24 cuotas mensuales. En la celda C4 calculamos los intereses, escribiendo �E3*$B$1 (la tasa de interés con referencia absoluta). En la celda D4 calculamos el abono a capital escribiendo �B4�C4 y en la celda E4 calculamos el saldo insoluto escribiendo �E3��#��&k�� ?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda A1 un valor de $ 16.935.542.12 que corresponde ��Z��Z��&k�� #'�

Figura 5.4

253


4.2 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLE

En los ejemplos 5.2 y 5.3 hemos calculado el valor presente de un conjunto de valores periódicos y de igual monto (Anualidad) bajo el supuesto de que la tasa de interés para cada período permanece constante, que es lo que supone el factor (1+i)n de la fórmula del valor presente de una anualidad vencida. En muchas ocasiones se deben calcular valores presentes de cuotas uniformes con tasas variables y en estos casos no aplica la fórmula 5.1, de tal forma que debemos diseñar un procedimiento con la hoja de cálculo Excel para poder encontrar una solución.

Ejemplo 5.4

Calcular el valor presente de 4 cuotas mensuales de $ 200 dadas las siguientes tasas de interés:

Tabla de datos

MES 1 2 3 4TASA 1.0% 1.2% 0.8% 1.5%

Se observa que las tasas de interés son diferentes para cada período, de tal forma

que la fórmula P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ no aplica. La solución matemática sería:

P ��

��

��

2001 0 01

2001 0 01 1 0 012

2001 0 01 1 0 012 1 0. . . . .( ) ( )( ) ( )( ) ..008( )

� 200

1 0 01 1 0 012 1 0 008 1 0 015� � � �. . . .( )( )( )( ) P � $ 779.06

<�� W��W��

Solución con la hoja de cálculo Excel

A B C D E

1 MES 1 2 3 4

2 FLUJO 200 200 200 200

3 TASA 1.0% 1.2% 0.8% 1.5%

4 P ��

�

B C

B

2 4

1 3

( )( )

��

�

C D

C

2 4

1 3

( )( )

��

�

D E

D

2 4

1 3

( )( )

��

�

E F

E

2 4

1 3

( )( )

254


Para calcular el valor presente se hace necesario construir una fórmula, de los pe-ríodos más lejanos hasta los más cercanos, en cuyo numerador se sume lo que viene ��&%#'��+ ��&�G'!�� tasa del período. Esta fórmula se copia para los períodos anteriores, lográndose el efecto acumulativo, de tal forma que en la celda B4 obtenemos el valor presente equivalente. (Ver tabla de datos y hoja de cálculo en excel de este ejemplo).

4.3 VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE

Conocidos el valor presente (P), la tasa de interés (i) y el número de pagos (n), po-demos calcular el valor de la cuota. Si de la fórmula del valor presente (5.1) despejamos el valor de la cuota A, tenemos:

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.2)

El valor entre llaves se denomina factor de recuperación de capital.

Ejemplo 5.5

Un lote de terreno que cuesta $ 20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

255


0

20.000.000

2.000.000A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 meses

Al restarle al valor del terreno la cuota inicial de $ 2.000.000 queda el saldo de la �� | ��Z��G��

k�� $ 20.000.000 � $ 2.000.000 � $ 18.000.000

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.2)

A 18.000.000��

0 02 1 02

1 02 1

12

12

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 1.702.072.74

Cada mes, durante 12 meses, se deben pagar $ 1.702.072.74 para cancelar el saldo de la deuda de $ 18.000.000.

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��G��18.000.000; 0)


A B C D E1 20.000.000 2.0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �0.10*A1 �A1�B34 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................15 12

256


En la celda A1 escribimos 20.000.000, que corresponde al valor del lote de terreno y en la B1 2.0%, que es la tasa de interés. En la celda B3 escribimos � 0,10*A1 para calcu-lar el valor de la cuota inicial y en la celda E3 escribimos � A1 � B3 para indicar que el saldo en el momento cero es igual al valor del lote menos la cuota inicial. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y que corresponde a cada una de las 12 cuotas. En la celda B5 escribimos � B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos la celda B5 hasta la celda B15. En las celdas C4, �#��#�� !�� &k�� '.

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 1.702.072.74 que corresponde ��Z�� &k�� *'�

Figura 5.6

Ejemplo 5.6

Se tiene un crédito de $ 5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 �]�� @��*��G��K�� interés del 3% mensual, calcular el valor de las cuotas extras.

257


0

f.f.

1 2 6 7 8 11 12 13 17 18 meses

X

5.000.000

50.000X

Se elige el momento cero para plantear la ecuación de valor. Las cuotas extras son adicionales a las cuotas normales de $ 50.000.

P A X X�

� �

��

��

�

1 1

1 1 1

i

i i i i

n

n n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )

5 000 000 50 0001 0 03 1

0 03 1 0 03 1 0 03

18

18. . .

.

. . .�

� �

��

�

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

X

(( ) ( )6 121 0 03

��

X

.

5.000.000 � 687.675.65 � 0.8375X � 0.7014X

4.312.324.35 � 1.54X

X � $ 2.802.212.20

��Z��| �� -cieras cuya solución no se logra con la simple aplicación de una fórmula, sino que es necesario plantear una ecuación de valor.


� VA (3%; 18; �50000; 0)

��Z�� Z��anualidad. La ecuación de valor, conocido este resultado, se plantea de la siguiente forma:

500 000 687 675 651 0 03 1 0 03

6 12. . .

. .� �

��

�

X X

( ) ( )Resolviendo la ecuación se obtiene un valor de X � $ 2.802.212.20.

258



A B C D E

1 5.000.000 3.0% 100


3 0 �A1

4 1 50.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................

8 5 50.000

9 6 �50.000�$C$1 ................ ................

10 7 50.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

14 11 50.000

15 12 �50.000�$C$1

16 13 50.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18 50.000 SALDO FINAL

En la celda A1 escribimos 5.000.000, que corresponde al valor del crédito, en la B1 escribimos 3.0% como tasa de interés y en la C1 escribimos un valor arbitrario, 100 en este caso, que corresponde al valor de las cuotas extras que vamos a calcular. En la celda E3 escribimos �A1 para indicar el saldo del crédito en el momento cero. Desde B4 hasta B21, a excepción de B9 y B15, registramos las cuotas mensuales de 50.000. En las celdas B9 y B15 escribimos 50.000 más $C$1 para indicar que en estos meses se paga la cuota normal de $ 50.000 más la cuota extra (C1) que vamos a calcular. En las celdas `#!��#��#�� !�� &k�� -'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda C1 un valor de $ 2.802.212.20 que corresponde ��Z�� @��&k�� '�

259


0 1 2 3

F � ?

Figura 5.8

4.4 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

Es un valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos �� ]��!��Z��| �� Z��Z�� + ��| ��K�� ?�� de A, y se desea calcular su valor futuro equivalente ubicado en la fecha del último pago.

F A�� 1 1i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.3)

Por medio de la fórmula (5.3) se calcula el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales, conocidos el valor de cada pago (A), la tasa de interés (i) y el número de pagos o ingresos (n). Por la forma como se dedujo, el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales vencidos queda ubicado en la fecha en que se hace el último pago.

Ejemplo 5.7

��¥ ��Z��G�HHH��!�� "!�� | �� ?�H�� _` ]��]�� {

260


12.000

10 2 3 4 5 6 11

F � ?

12 meses

En forma análoga a lo expuesto en el análisis del valor presente, la solución primaria a este ejercicio la proporciona una ecuación de valor, con fecha focal en el mes 12, de la siguiente forma:

F � 12.000 (1.03)11 � 12.000 (1.03)10 � 12.000 (1.03)9 � .... � 12.000(1.03) � 12.000

Que al resolver resulta: F � $ 170.304.35. Pero, para un número de depósitos muy grande, el método anterior para obtener el valor futuro resulta trabajoso. Por lo tanto, en aras de la simplicidad se emplea la expresión (5.3), que al aplicarla traslada en forma rápida y efectiva valores iguales y periódicos a un valor futuro equivalente ubicado en la fecha del último pago.

F A�� 1 1i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.3)

F 12.000�� 1 0 03 1

0 03

12.

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 170.304.35

`��Z��+ ��!��K��<��primeros $ 12.000 ganarán intereses durante 11 meses, los segundos $ 12.000 ganarán intereses durante 10 meses, etc. El último depósito no gana intereses y teóricamente se retira el mismo día que se deposita, junto con el resto del dinero acumulado, lo cual no es razonable ni sucede en la práctica. ¿Por qué se da esta situación? ¿Por qué la fórmula resuelve esta situación y no otra? (García, 1999). Como se anotó en un párrafo anterior, el valor futuro de una anualidad vencida está ubicado en la fecha del último pago. Además, la costumbre es hacer depósitos al principio del período, pero esta situación se resolverá cuando se analicen las anualidades anticipadas.


� VF (3%; 12; �12000; 0)

261



A B C D E

1 3.0%


3 0

4 1 12.000 �B4

5 2 12.000 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

......... ................ ................ ................ ................ ................

14 11 12.000


En la celda B1 escribimos 3% que es la tasa de interés que van a reconocer por los depósitos mensuales. En la celda B4 escribimos 12.000 como valor del primer depósito y copiamos este valor hasta la celda B15. Calculamos los intereses del primer depósito en la celda C5 escribiendo �E4*$B$1 (la tasa de interés con referencia absoluta) y en la celda D5 sumamos el valor del segundo depósito más los intereses del primer de-pósito. En la celda E5 sumamos el saldo anterior (E4) más D5 (segundo depósito más intereses del primer depósito). Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas �� `�!�� `*;�� -H�?H#�?��&k�� Y'�

Figura 5.9

262


/��]�� Z��&��G�HHH'��/�� ]�� Z��]��el valor acumulado del mes anterior con sus respectivos intereses ($ 12.000 � $ 12.000 � 0.03 ��G�HHH'��Z�� "��]�� Z�� el onceavo mes, más los intereses sobre este valor acumulado, más el último depósito ($ 153.693.55 � $ 153.693.55 � 0.03 � $ 12.000). Indica lo anterior que el último de-pósito no gana intereses.

4.4.1 Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variableAl realizar el procedimiento de cálculo del ejercicio anterior asumimos que en la

�� G�HHH��del 3% mensual, a excepción del depósito número 12 que no gana intereses. Esto es ��]��| �� + �� -�� !��| ��| ��!��}��!��reconocerán una tasa de interés diferente.

Ejemplo 5.8

Supóngase que para el ejemplo 5.7 la tasa de interés del 3.0% mensual no perma-nece constante en los próximos meses sino que se prevén las siguientes tasas. Calcular ��Z�� "�

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11TASA 3.0% 2.9% 3.1% 2.5% 2.7% 2.8% 3.0% 3.1% 3.2% 3.3% 3.2%

Nota: aparecen en la tabla 11 tasas de interés debido a que el depósito número 12 ��!��Z��+ ��-�

La fórmula 5.3 del valor futuro, que tiene implícita la reinversión de intereses a la misma tasa de interés con el factor (1 � i)n, no aplica para este caso. Las calculadoras �� | ��}��]� ��w��realizar un procedimiento coherente en la hoja de cálculo Excel.

263



A B C D E F1 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO TASA2 03 1 12.000 �B3 3.00%4 2 12.000 �E3*F3 �B4�C4 �E3�D4 2.90%5 3 12.000 3.10%6 4 12.000 2.50%7 5 12.000 2.70%8 6 12.000 2.80%9 7 12.000 3.00%10 8 12.000 3.10%11 9 12.000 3.20%12 10 12.000 3.30%13 11 12.000 3.20%14 12 12.000 SALDO FINAL

En las celdas B3 hasta B14 escribimos 12.000 como valor de los depósitos mensuales. En las celdas F3 hasta F13 escribimos las tasas de interés previstas para los próximos 11 meses. En la celda C4 calculamos el valor de los intereses del primer depósito escri-biendo ��?¦%?�&��Z��| �� !�debido a que ésta cambia de valor cada período) y en la celda D4 sumamos el valor del segundo depósito más los intereses del primer depósito escribiendo �B4 � C4. En la celda E4 sumamos el saldo anterior (E3) más D4 (segundo depósito más intereses del primer depósito). Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas y obtenemos ��#� ��-H�-HY��&k�� Y�'�

Figura 5.9a

264


0 1 2 3 4 5 6 87

F � ?

12 meses

200.000

2.000.000

500.000

Ejemplo 5.9

Un padre de familia inicia una cuenta de ahorros con $ 500.000 en una entidad �� | �� G�� `�� -�� GHH�HHH!� � �� G� �� *� }�� @�� G�HHH�HHH!�� Z�� "�

�� + ��+��| �� ción de ahorro.

Con fecha focal en el mes 12 planteamos la ecuación de valor.

F 500.000� � ��

�1 0 02 200 0001 02 1

0 022 000 00

1212

. ..

.. .( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

00 1 0 026

� .( )

F � $ 5.568.863.68


A B C D E

1 2.00%


3 0 500.000 �B3

4 1 200.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 200.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

9 6 2.200.000

10 7 200.000

......... ................ ................ ................ ................ ................


En la celda B1 escribimos 2% que es la tasa de interés que van a reconocer por los depósitos mensuales en la entidad bancaria. En la celda B3 escribimos 500.000 como depósito inicial. Desde la celda B4 hasta la celda B15 registramos 200.000 como valor de

265


0

1.500.000

1 10 1172 3 5 6 8 94

F � ?

12 meses

1.000.000

los depósitos mensuales, excluyendo la celda B9 donde escribimos 2.200.000 (depósito mensual más depósito extra). En la celda C4 calculamos los intereses del depósito inicial. En la celda D4 registramos el valor del primer depósito mensual más los intereses que genera el depósito inicial. En la celda E4 sumamos el saldo anterior E3 (valor del depósito inicial) más D4 (primer depósito mensual más intereses del depósito inicial). Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 �� *��*?�*��&k�� H'�

Figura 5.10

Ejemplo 5.10

Un ahorrador decide hacer depósitos de $1.000.000 por mes vencido, durante un año, en una entidad que le paga una tasa de interés del 1.8% mensual. Al llegar a hacer el séptimo depósito le informan que la tasa de interés ha aumentado al 2% mensual, por ello, decide aumentar a $ 1.500.000 el valor de los depósitos. ¿Qué valor tiene acu-� ��"{

�� Z�� }��mes 7, antes de realizar el respectivo depósito, a una tasa de interés del 1.8% mensual.

266


0 10 1176 8 9

F � ?

12 meses

1.500.000

6.389.546.34

F A�� 1 1i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.3)

F ��

1 000 0001 018 1

0 018

6

. ..

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 6.276.568.11

Al aplicar la fórmula (5.3) el valor futuro que se obtiene corresponde al valor acu-� ��*��̀ �� Z��!��K��-!��!��Z�� *��durante un mes a una tasa de interés del 1.8% mensual.

F � $ 6.276.568.11(1 � 0.018) � $ 6.389.546.34

�� | �� !�| ��]�intereses del 2% mensual durante los 5 meses restantes.

�� Z�+ ��| �� ;

Con fecha focal en el mes 12 se plantea la siguiente ecuación de valor.

F02

� ��

6 389 546 34 1 02 1 500 0001 02 1

05

6

. . . . . ..

.( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 16.516.756.90

267



A B C D E F1 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO TASA2 03 1 1.000.000 �B3 1.80%4 2 1.000.000 �E3*F3 �B4�C4 �E3�D4 1.80%5 3 1.000.000 1.80%6 4 1.000.000 1.80%7 5 1.000.000 1.80%8 6 1.000.000 1.80%9 7 1.500.000 2.00%10 8 1.500.000 2.00%11 9 1.500.000 2.00%12 10 1.500.000 2.00%13 11 1.500.000 2.00%14 12 1.500.000 SALDO FINAL

En las celdas B3 hasta B2 registramos los depósitos. En las celdas F3 hasta F8 escribimos 1.80% que es la tasa de interés que le reconocerán al ahorrador durante los 6 primeros meses y en las celdas F9 hasta F13 escribimos 2.00% que es la tasa de interés que pagará la entidad durante los siguientes 5 meses. En la celda C4 calculamos el valor de los inte-reses del primer depósito escribiendo ��?¦%?�&��Z��| ��!�escribiendo la referencia absoluta, debido a que ésta cambia de valor cada período) y en la celda D4 sumamos el valor del segundo depósito más los intereses del primer depósito. En la celda E4 sumamos el saldo anterior (E3) más D4 (segundo depósito más intereses del primer depósito). Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas `#!��#��#�� Z��*��*�-�*�YH��#��&k�� '�

Figura 5.11

268


1 2 3 5 6 740

8.500.000

24 meses

A

4.5 VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO

Conocidos el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efectiva periódica (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. De la fórmula (5.3) despejamos el valor de A y se obtiene:

A F��

i

in

1 1( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.4)

Ejemplo 5.11

_` ]��!�� "�!�� ahorros que reconoce una tasa del 2.50% mensual para reunir la suma de $ 8.500.000?

A F��

i

in

1 1( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.4)

A 8.500.000��

0 025

1 0 025 124

.

.( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 262.758.97

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G!��G#��H��HH�HHH'

269



Figura 5.12

A B C D E

1 2.50%


3 0

4 1 100.00 �B4

5 2 �B4 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

6 3

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 SALDO FINAL

En la celda B1 escribimos 2.5% como tasa de interés que van a reconocer en la en-tidad bancaria por los depósitos mensuales. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100, como valor del depósito mensual, que corresponde a la incógnita del ejercicio. Como los depósitos a calcular son de igual valor copiamos la celda B4 hasta la celda �G-�� !�por lo tanto, escribimos �B4 en la celda E4. En la celda C5 calculamos los intereses del primer depósito. En la celda D5 registramos el valor del segundo depósito mensual más los intereses que genera el depósito del primer mes. En la celda E5 sumamos el saldo anterior E4 (valor del primer depósito) más D5 (segundo depósito más intereses del ��'��&k�� G'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 en el rango C6:E27 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��G*G�-��Y-��&k�� ?'�

270


0

A

1 10 1172 3 5 6 8 94

4.500.000

12 meses

335.518.18

Figura 5.13

Ejemplo 5.12

��"��#��HH�HHH!��K��}��??�� | ��paga el 2% mensual. Al llegar a la entidad a hacer el noveno depósito le informan que la tasa de interés ha bajado al 1.6% mensual. ¿De qué valor deben ser los nuevos depósitos?

Si la tasa de interés no hubiera cambiado, el padre de familia hubiera seguido de-��??��"�� #��HH�HHH!��la disminución en la tasa de interés debe aumentar el valor de los depósitos.

�� | �� Esta cantidad se representará por F1.

F 335.518.180 021

81 02 1

��.

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F1 � $ 2.879.742.15

271


A

10 1198

4.500.000

12 meses

2.937.336.99

��Z�� !�| �� al 2% mensual.

F � 2.879.742.15 (1.02) � $ 2.937.336.99

�� + �� | ��]��Y�}��"�

Tomando el mes 12 como fecha focal se plantea la siguiente ecuación de valor, con la nueva tasa de interés (1.6% mensual).

2 937 336 99 1 0161 016 1

0 0164 500 000

34

. . . ..

.. .( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

�A

A � $ 346.446.96

El padre de familia deberá depositar $ 346.446.97 cada mes durante 4 meses, em-pezando en el mes 9.


Figura 5.14

A B C D E F

1 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO TASA

2 0

3 1 335.518.18 �B3 2.0%

4 2 335.518.18 �E3*F3 �B4�C4 �E3�D4 2.0%

5 3 335.518.18 2.0%

......... ......... ................ ................ ................ ................ ................

10 8 335.518.18 2.0%

11 9 100 1.6%

12 10 �B11 1.6%

13 11 ................ ................ ................ 1.6%

14 12

272


En las celdas B3 hasta B10 registramos los depósitos de 335.518.18 y en la celda B11 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y corresponde al valor de los nuevos depósitos; copiamos la celda B11 hasta la celda B14 a partir de B12. ��]�� Z��?��%?�}��F10 registramos la tasa del 2.0% que reconocerá la entidad hasta el octavo depósito y en las celdas F11 hasta F13 registramos la nueva tasa del 1.6%. En la celda C4 calculamos �� &�?'��la tasa de interés (F3). En la celda D4 registramos el valor del segundo depósito (B4) más los intereses que genera el primer depósito (C4). En la celda E4 sumamos el saldo anterior E3 (valor del primer depósito) más D4 (segundo depósito más intereses del ��'��&k�� #'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicando Buscar objetivo�� Z��?#*�##*�Y*��&k�� 5.15).

Figura 5.15

4.6 CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualida-des vencidas, el tiempo de la operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación lo podemos calcular a partir del valor presente o del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conozca en la operación.

273


0 1 2 3 5 6 n4

f.f.

1.000.000

100.000

ni

i�

� �

�

Log A Log A P

Log 1( )

( ) (5.5)

ni

i�

� �

�

Log F A Log A

Log 1( )

( ) (5.6)

Ejemplo 5.13

Una deuda de $ 1.000.000 se debe cancelar con cuotas mensuales iguales de $ 100.000 cada una. Si la tasa de interés cobrada es del 36% capitalizable mensualmente, ¿con cuántos pagos se cancela la deuda?

Se capitaliza la tasa nominal para conocer la tasa efectiva mensual equivalente.

in

� � � �J mensual0 36

120 03 3. . %

��+ ��

ni

i�

� �

�

Log A Log A P

Log 1( )

( ) (5.5)

Aplicando la fórmula (5.5) para los datos del ejemplo, se tiene:

n ��

�

Log 100.000 Log

Log 1

100 000 30 000

0 03

. .

.( )

( )

n ��

�5 4 845098

0 01283712

..

CUOTAS

>��!� �� | �Z�� siempre con el número de períodos. Cuando el resultado es un número entero, éste co-rresponde tanto al número de cuotas como al número de períodos. Para este ejercicio, podemos decir que la obligación se cancela en 12 meses o con 12 cuotas mensuales de $ 100.000. Pero, en el caso de que el resultado no sea un número entero, por ejemplo, n � 12.70, contrario a lo que podría pensarse, este no indica que la obligación se cancela en 12 meses y 21 días (30 días � 0.70 fracción de mes). Una interpretación preliminar es que la obligación se cancela con 13 cuotas mensuales, de las cuales 12 cuotas son de $ 100.000 y una cuota de un valor menor pagada en el mes 13 por valor de $ 70.000 ($ 100.000 � 0.70). En los ejercicios siguientes se analizarán otras soluciones posibles a este problema.

274



� NPER (3%; �100.000; 1.000.000)


Figura 5.16

A B C D E

1 1.000.000 3.0%


3 0 �A1

4 1 100.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 100.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18 100.000

En la celda A1 escribimos 1.000.000, que corresponde al valor del crédito, y en B1 escribimos 3.0% como tasa de interés. Desde la celda B4 hasta la celda B21 registramos el valor de los pagos de $ 100.000. Como se trata de calcular el número de pagos men-suales de $ 100.000, podemos registrar un mayor número sin que afecte el resultado ��| ��Z��Z��!�� | ��| �� `#!��#��#�� Z��!��Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el ��`�;�G��&k�� *'�

/��K�� -��Z�� *��-�Y?�&��Z'�� saldo en E16 de $ 93.245.33 (negativo) lo que indica que el número de pagos está en-tre 12 y 13, más cerca de 12 que de 13 porque $ 6.557.93 está más cerca de cero que $ 93.245.33. Podemos concluir que el número de pagos mensuales de $ 100.000 es de 12 y fracción. Sí revisamos el resultado obtenido al hacer el cálculo matemático y con la �� !��Z�� G�H*�| ��@��G�

275


543210

1.500.000

n

156.325

Figura 5.17

Observa el lector lo aproximado de este procedimiento de cálculo cuando se trata de conocer el número de cuotas que amortizan una obligación. Su importancia estriba en que por medio de la tabla de amortización se logra apreciar la evolución del crédito.

Ejemplo 5.14

¿Cuántos depósitos mensuales vencidos de $ 156.325 se deben hacer en una insti-� ��| ��G�� !�� Z�� HH�HHH{

ni

i�

� �

�

Log F A Log A

Log 1( )

( ) (5.6)

Si aplicamos la fórmula (5.6) para los datos del ejemplo, tenemos:

n ��Log Log

Log 1.02

186 325 156 325. .( ) ( )( )

n � 8.8654 pagos mensuales.

276



� NPER (2%; �156.325; 0; 1.500.000)

w ��| ��Z�� ]��!�optamos por redondear el número de depósitos.

El resultado obtenido se redondea a un entero y se ajusta el valor de los depósitos (A) de la anualidad.

F � 1.500.000

i � 2% mensual

n � 9 (valor redondeado)

A � ?

A F��

i

in

1 1( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

1 500 000 0 02

1 0 02 19

. . .

.( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 153.773.16

Se deben realizar 9 depósitos mensuales de $ 153.773.16 cada uno, para acumular $ 1.500.000.

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��Y��H��HH�HHH'

277



A B C D E

1 1.000.000 2.0%

2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO� INTERÉS SALDO

3 0

4 1 156.325 �B4

5 2 156.325 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

......... ................ ................ ................ ................ ................

12 9 156.325

En las celdas B4 hasta B12 (aunque pueden ser más períodos) registramos los depó-sitos de 156.325. En las celdas C5, D5 y E5 calculamos los intereses, depósito más interés ��̂ �� `�!��`*;��G��/��K�� Y��Z�� E11 de $ 1.341.732.64 y un saldo en E12 de $ 1.524.892.29 lo que indica que el número ��]��Y��K�� HH�HHH!��]��9 que de 8 porque $ 1.524.892.29 está más cerca de $ 1.500.000 que $ 1.341.732.64. Podemos concluir que el número de depósitos está cercano a 9. Sí revisamos el resultado ��}��]� ��]�� !��Z��el resultado es igual a 8.86.

278


100.000300.000

2 3 5 6 8 n41 70

1.460.670.43

Ejemplo 5.15

Adriana inicia una cuenta en un banco con $ 300.000 y al mes comienza a hacer depósitos de $ 100.000 cada mes vencido. ¿Qué tiempo debe esperar para tener acu-mulados $ 1.460.670.43, si le pagan una tasa de interés del 2% mensual?

Con fecha focal en el mes n se plantea la ecuación de valor.

300 000 1 0 02 100 0001 02 1

0 021 460 670 43. . .

.

.. . .� �

��( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

nn

Desarrollando la ecuación para encontrar el valor de n, se tiene:

300 000 1 02100 000 1 02 100 000

0 021 460 670 43. .

. . .

.. . .( ) ( )n

n

��

�

6.000(1.02)n � 100.000(1.02)n � 100.000 � 29.213.41

106.000(1.02)n � 129.213.43

(1.02)n � 1.2190

Resolvemos la ecuación exponencial aplicando logaritmos.

n Log 1.02 � Log 1.2190

n � �Log

Log1 2190

1 020 08600 0086

..

.

.

n � 10

Adriana debe esperar 10 meses para tener acumulados en su cuenta un valor de $1.460.670.43.

En Excel: � NPER (Tasa; pago; VA; VF; tipo) � NPER (2%; �100.000; �300.000; 1.460.670,43)

279



A B C D E

1 2.0%


3 0 300.000 �B3

4 1 100.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 100.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

14 11 100.000

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2.00%. En la celda B3 escribimos 300.000 como valor del depósito inicial y copiamos la celda B3 en la celda E3 para in-��| �� B4 hasta B14 (aunque pueden ser más períodos) registramos los depósitos de 100.000 ��`#!��#��#�� !��]��del período. Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, �#��#��`�;��#��/��K�� GH��Z�� ?�� $ 1.460.670.43, lo que indica que el número de depósitos es igual a 10.

Figura 5.20

280


Ejemplo 5.16

(Un ejercicio similar a éste fue presentado por Héctor Vidaurri, en su texto Matemáti-��%��'��"��>��Z�� H�HHH�HHH��w��este dinero en un banco que le paga el 2.5% mensual, e ir retirando $ 1.000.000 men-� ��Z�Z�� !�}��| ��_` ]��retiros podrá hacer?

��+ �� Z�� datos:

P � $ 50.000.000

i � 2.5% mensual

A � 1.000.000

n � ?

nPi

i�

� �

�

Log A Log A

Log 1( )

( )

n �� Log Log

Log

1 000 000 1 000 000 50 000 000 0 025

1 025

. . . . . . .

.( ) ( )

( )

n �� 6 250 000

1 025

Log

Log

.

.( )( )

Al intentar obtener Log de �250.000, la calculadora marca error. El lector recordará que el logaritmo de un número negativo no existe, en consecuencia, el ejercicio no tiene solución.

¿Por qué no tiene solución el ejercicio? Los intereses que causan $ 50.000.000 a una tasa de interés del 2.5% mensual tienen un valor de:

I � P � i � $ 50.000.000 � 0.025 � $ 1.250.000

Al retirar $ 1.000.000 después de un mes, se está retirando una cantidad menor que el interés generado por el capital inicial. El capital nunca se agotará sino que, al contrario, irá creciendo, como lo aprecia el lector en la siguiente tabla.


A B C D1 50.000.000 2.50%

2 NO INTERÉS RETIRO SALDO

3 0 �A14 1 �D3*$B$1 1.000.000 �D3�B4�C4

......... ................ ................ ................ ................................

8 5

281


En la celda A1 registramos el valor de venta de la propiedad y en la B1 escribimos la tasa de interés del 2.50%. En la celda B4 calculamos los intereses y en la C4 registramos el valor del retiro mensual. En la celda D4 le sumamos al saldo anterior (D3) el valor de los intereses del primer mes (B4) y restamos el valor del retiro (C4). Se observa que el saldo ��| ��Z��&/�'��/��blanco, copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango B5:D8 observamos �� Z�� &k�� G�'�

Figura 5.21

��"��>��G�H�HHH��!��-��"��>��!��]��más de $ 1.250.000. Por ejemplo, si retira $ 1.600.000 cada mes, el dinero se agota en aproximadamente 5 años.

Del análisis de este ejercicio surge la siguiente regla práctica: �� -ro (intereses) es mayor que la cuota que se paga, el capital inicial aumenta. Si el costo �� !�� "��#�� que queda en cero.

4.7 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS

Cuando se acude a los créditos comerciales para la compra de electrodomésticos, Z�}�� Z�!�� !��no se le informa al cliente su costo, que viene a ser la tasa de interés cobrada.

282


0 1 2 7 8 34 35 36 meses3 5 64

f.f.

21.000.000

961.879.68

Ejemplo 5.17

��Z�}�� Z��?H�HHH�HHH��Z��-guiente forma: una cuota inicial del 30% de su valor y 36 cuotas mensuales iguales por valor de $ 961.879.68. Calcular la tasa de interés cobrada.

Para calcular el costo del crédito es necesario determinar, en primer lugar, el valor exacto de la deuda, que resulta de descontarle al valor del vehículo la cuota inicial.

Cuota inicial � $ 30.000.000 � 0.30 � $ 9.000.000

Valor de la deuda � $ 30.000.000 � $ 9.000.000 � $ 21.000.000

��+ �� ;

La ecuación de valor se plantea con fecha focal en el momento cero.

21 000 0001 1

1. . �

� �

�A

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

21 000 000 961 879 681 1

1

36

36. . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Ordenando la ecuación:

21 000 000 961 879 681 1

10

36

36. . . .�

� �

��

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

<��Z�}�� | ��hace la función igual a cero. Le damos valores a la tasa de interés al azar hasta encon-trar una tasa de interés que haga la función mayor que cero, y otra que haga la función menor que cero, y se procede a hacer la interpolación lineal.

Se escoge una tasa del 3.5% al azar y se reemplaza en la ecuación de valor.

21 000 000 961 879 681 035 1

0 035 1 0 0350

36

36. . . .

.

. .�

�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

21.000.000 � 19.517.378.92 � 0

1.482.621.08 0

283


Elegimos ahora una tasa del 2.8%.

21 000 000 961 879 681 028 1

0 028 1 0280

36

36. . . .

.

. .�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

21.000.000 � 21.640.942.10 � 0

�640.942.10 0

Ya se conocen las dos tasas de interés: una que hace la función mayor que cero (3.5%) y la otra que hace la función menor que cero (2.8%). Podemos concluir que la tasa que hace la función igual a cero está entre 3.5% y 2.8% y que está más cerca de 2.8% que de 3.5%.

Reducimos el margen de las tasas de interés para lograr que con una sola inter-polación encontremos la tasa que hace la función igual a cero. Utilizando el mismo procedimiento, se encuentra para otras tasas de interés el valor de la función:

3.5% 1.482.621.08 3.1% 309.875.04 2.9% �316.875.62 2.8% 640.942.10

Se procede a hacer la interpolación con la tasa de interés del 3.1% y 2.9%.Si 3.1% hace la función igual a 309.875.04.¿Qué tasa hace la función igual a 0?Si 2.9% hace la función igual a �316.875.62.

�� Z��?�� k��es la tasa que hace la función igual a cero.

21 000 000 961 879 681 03 1

0 03 1 030

36

36. . . .

.

. .�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

21.000.000 � 21.000.000 � 0

Para calcular la tasa de interés de una anualidad vencida, utilizando la calculadora �� W�� W�%��`/¥/�

Utilizando el menú del interés compuesto.

En Excel: � TASA (nper; pago; VA; VF; tipo) � TASA (36; �961879,68; 21.000.000; 0)

284



Figura 5.22

A B C D E

1 30.000.000 2.0%


3 0 �0.30*A1 �A1�B3

4 1 961.879.68 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

39 36

En la celda A1 escribimos 30.000.000, que corresponde al valor del vehículo. En la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria del 2.0% por ejemplo, que es la incógnita del ejercicio. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial y en la E3 escribimos �A1�B3 para indicar que el saldo en el momento cero es igual al valor del vehículo menos la cuota inicial. En las celdas B4 hasta B39 registramos las cuotas de $ 961.879.68. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, el abono a capital y el ��&k�� GG'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E39 y aplicando Buscar objetivo�� Z��?�H��&k�� G?'�

Figura 5.23

285


5 643210

13.500.000

36 meses

250.000

Ejemplo 5.18

�� !�� el pago de su salario, la suma de $ 250.000. Al cabo de 3 años tiene un saldo disponible de $ 13.500.000. ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente ha ganado?

��+ �� ;


13 500 000 250 0001 1

36

. . .�� i

i( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Resolviendo por interpolación lineal se encuentra un valor de i � 2.20% mensual.

Conocida la tasa efectiva mensual se aplica la ecuación de la tasa nominal.

J � i � n

J � 0.022 � 12 � 26.40% mes vencido

En Excel: � n*TASA (nper; pago; VA; VF; tipo)

� 12*TASA (36; �250000; 0; 13.500.000)

286



Figura 5.24

A B C D E

1 2.00%


3 0

4 1 250.000 �B4

5 2 250.000 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

......... ................ ................ ................ ................ ................

39 36 250.000

En la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria del 2.00%. Desde la celda B4 hasta la celda B39 anotamos los depósitos de $ 250.000. En las celdas C5, D5 y E5 �� !��]��&k�� G#'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 en el rango C5:E39 y aplicando Buscar objetivo�� Z��G�GH��&k�� G�'�

Figura 5.25

287


4 5 6 8 9

12 13 14 15

70

2.500.000

24 meses

300.000

150.000

Ejemplo 5.19

��>��K��*�� ?HH�HHH!��-zando en el mes 4. Posteriormente hace 4 retiros de $ 150.000 mensuales empezando en el mes 12. Si dispone en su cuenta de $ 2.500.000 después de 2 años, ¿qué tasa de interés le reconocieron?

Se plantea una ecuación de valor con fecha focal en el mes 24.

300 0001 1

1 150 0001 1

16

154

. .� �

� ��

�i

ii

i

i( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

ii( )9 2 500� . .000

Resolviendo por interpolación lineal se obtiene una tasa de interés de 3.65% mensual.


Figura 5.26

A B C D E

1 2.00%


3 0

......... ................ ................ ................ ................

7 4 300.000 �B7

8 5 300.000 �E7*$B$1 �B8�C8 �E7�D8

......... ................ ................ ................ ................ ................

12 9 300.000

13 10

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 �150.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

18 15 �150.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 SALDO FINAL

288


En la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria del 2.00%. Desde la celda B7 hasta la celda B12 anotamos los depósitos de $ 300.000 (con signo positivo). Desde la celda B15 hasta la celda B18 registramos los retiros de $ 150.000 (con signo negativo). ��`�!�� !��]��&k�� G*'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C8, D8 y E8 en el rango C9:E27 y aplicando Buscar objetivo�� Z��?�*��&k�� G-'�

Figura 5.27

5. ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL

<��| ��| ��-trodomésticos diseñan, en forma permanente, sistemas de amortización de créditos que en últimas persiguen crear sobrecostos invisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de interés y cobrarles en realidad una tasa mayor. Es el caso del sistema de amortización de créditos con interés global, que supone el pago de cuotas periódicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestado inicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada período. El valor de la cuota periódica (A) tiene dos componentes: el abono al capital y el pago de intereses, pero en este caso los intereses no disminuyen al ir bajando el saldo insoluto por efecto del abono periódico, sino que permanecen constantes todos los períodos, lo que conlleva al cobro de una tasa de interés mayor. El siguiente ejercicio muestra la forma de cálculo de la cuota (A) y como cada período, a pesar de darse el abono al capital, los intereses no disminuyen.

Ejemplo 5.20

/�� Z��| ��HHH�HHH�| �� de interés del 4% mensual por medio de 4 pagos mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global.

289


La cuota mensual, con interés global, resulta de sumarle a la deuda inicial el valor de los 4 meses de intereses, a interés simple, y este valor total dividirlo por el número de cuotas.

Valor de los intereses de 4 meses � 4 � $ 200.000 � $ 800.000

Valor de la cuota A( )��5 000 000 800 0004

. . .

A � $ 1.450.000

Con el mismo razonamiento se logra una expresión para el cálculo de A en una forma directa.

AP P

�� n i

n( )

A P P� �n

i (5.7)

Donde: A � valor de cuota n � número de pagos

P � valor de la obligación i � tasa efectiva

Solución con Buscar objetivo de ExcelEste sistema de pagos tiene la característica que no obstante el abono a capital

que se hace cada vez que se paga la cuota, los intereses se siguen calculando sobre el capital inicial, de tal forma que su valor para cada período es igual.

Figura 5.28

A B C D E

1 5.000.000 4.0%


3 0 �A1

4 1 100.00 �$A$1*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

6 3 �B5

7 4 �B6

En la celda A1 escribimos 5.000.000, que corresponde al valor de la lavadora y en la B1 la tasa de interés del 4,00%. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en la celda B5 escribimos �B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos B5 hasta B7. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!��Z��]� ��los intereses que tanto la tasa de interés como el valor que los genera se escriben con �� | ��Z��&k�� G�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E7 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��#�H�HHH�&k�� GY'�

290


0

5.000.000

1 2 3 4 meses

f.f.

1.450.000

Figura 5.29

Al pagar la primera cuota de $ 1.450.000 (y cuotas subsecuentes), la deuda se reduce en $ 1.250.000, pero el deudor sigue pagando los mismos intereses por valor de $ 200.000, �| ��}��| �� w��!��es el arriendo que se paga por el uso del dinero tomado en préstamo. Si se hacen abonos al capital, la tasa de interés del crédito se debe aplicar sobre el saldo insoluto. En el cuadro de amortización del crédito se observa que se desconoce el abono al capital cada vez que se cancela la cuota, y los intereses siempre se calculan sobre el capital inicial. Solamente en el pago de la primera cuota se paga la tasa de interés pactada en el crédito.

Calculemos la tasa de interés con intereses sobre saldos.

5 000 000 1 450 0001 1

1

4

4. . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

5 000 000 1 450 0001 1

10

4

4. . . .�

� �

��

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

291


La tasa de interés que hace la función igual a cero es 6.21% mensual, que es la tasa del crédito.

En Excel: � TASA (nper; pago; VA; VF; tipo) � TASA (4; �1.450.000; 5.000.000; 0)

Solución con Buscar objetivo de ExcelConocidos el valor de la lavadora (A1), la tasa de interés (B1) y el valor de las cuotas

mensuales, podemos calcular la verdadera tasa de interés cobrada sobre saldos, utilizando Buscar objetivo��@��&k�� ?H'�

Figura 5.30

Ejemplo 5.21

��Z��| �� Z��G�HHH�HHH!�� 2.5% mensual por medio de una cuota inicial del 20% y 24 pagos mensuales vencidos. Calcular el valor de los pagos:

292


0 1 7 24 meses2 3 5 64

2.400.000

12.000.000

A

1. Con interés global

2. Con intereses sobre saldos

3. Explicar la diferencia de resultados.

�� + ��

�� Z�� Y�*HH�HHH� | �� $ 12.000.000 menos el valor de la cuota inicial de $ 2.400.000.

1. Con interés global. La cuota (A) es igual a la cuota de amortización a capital más los intereses sobre el capital inicial.

A P P� �n

i

A 9.600.000� � �

249 600 000 0 025. . .

A � $ 640.000


Figura 5.31

A B C D E

1 12.000.000 2.50%


3 0 �0.20*A1 �A1�B3

4 1 100.00 �$E$3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24

En la celda A1 escribimos 12.000.000, que corresponde al valor de la lavadora y en la B1 la tasa de interés del 2,50%. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial y en la E3 el valor del saldo insoluto. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en la B5 escribimos �B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos B5 hasta B24. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!��Z��]� �

293


de los intereses que tanto la tasa de interés como el valor que los genera se escriben con referencias absolutas para que el valor de los intereses sea constante, es decir, los �� &�?'��&k�� ?�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��*#H�HHH��&k�� ?G'�

Figura 5.32

2. Con interés sobre saldos. Esto equivale a calcular el valor de la cuota (A) de una anualidad vencida.

A ��

9 600 0000 025 1 025

1 025 1

24

24. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 536.763.07

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G!��G#��Y�*HH�HHH��H'

294



Figura 5.33

A B C D E1 12.000.000 2.50%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �0.20*A1 �A1�B34 1 100.00 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................27 24

En la celda A1 escribimos 12.000.000, que corresponde al valor de la lavadora y en la B1 la tasa de interés del 2,50%. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial y en la E3 calculamos el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en la B5 escribimos �B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos B5 hasta B24. En las celdas C4, D4 y E4 �� !��Z��el cálculo de los intereses que sólo la tasa de interés se escribe con referencia absoluta para indicar que los intereses para los períodos subsiguientes se calcularán sobre saldos. &k�� ??'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��?*�-*?�H��&k�� ?#'�

Figura 5.34

295


Se observa la diferencia en el valor de los pagos mensuales comparando las dos modalidades de crédito. Con interés global se pagan cuotas de $ 640.000 y con intereses sobre saldos cuotas de $ 536.763.07.

3. El cálculo de la cuota con interés global ignora la amortización a capital que se pro-duce cada vez que se hace un pago. A pesar de ir haciendo abonos al capital cada período, el deudor habrá de continuar pagando intereses sobre el capital inicial. En la anualidad con intereses sobre saldos, los intereses disminuyen en cada período, pues la tasa de interés se aplica sobre el saldo insoluto. En el capítulo primero se ��K�� @��que se paga por el uso del dinero tomado en préstamo. Esto indica que lo justo es pagar intereses sobre el dinero que se usa en un período determinado. Se llega a la conclusión que el procedimiento correcto para calcular el valor de pagos periódicos, en el proceso de amortización de una deuda, es el de intereses sobre saldos.

En adelante, si no se expresa lo contrario, todos los cálculos suponen intereses sobre saldos insolutos.

6. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO

El saldo es lo que se debe de una obligación en cualquier momento dentro de su ��K��̀ �� !��K��el prepago de una deuda.

Para determinar el valor del saldo insoluto de una obligación en cualquier momento, proponemos dos procedimientos:

a. El valor del saldo insoluto es igual al valor presente de las cuotas por pagar, calculado a la tasa de interés de la obligación. Puesto que la deuda inicial es el valor presente de todos los pagos necesarios para amortizar la cantidad total a deber, entonces, en � �| ��!�� &�� '��Z��+ ��residual de pagos.

b. El saldo insoluto es igual a la diferencia entre el valor futuro de la deuda inicial, me-nos el valor futuro de las cuotas pagadas hasta ese momento. Consiste en calcular, cuánto se deberá si los pagos no se realizan y restarle a este valor el valor futuro de los pagos efectuados.

Podemos resumir que en el primer procedimiento, el saldo se calcula en función de las cuotas por pagar, y en el segundo procedimiento, el saldo se calcula en función de las cuotas pagadas.

Ejemplo 5.22

��| �� Z��#��HH�HHH!��G#�� G*��-�?�?-!�� 3% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota 17.

Primer procedimiento. `�� + �� -�

296


265.713.37

0 17 18 19 20 24 meses

P

5 6 1743210

4.500.000 F1

F2

265.713.48

El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7 pagos mensuales iguales de $ 265.713.37, a una tasa de interés del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al número de cuotas que faltan por pagar.

S P A171 1

1� �

� �

�

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S P17 265 713 371 03 1

0 03 1 03

7

7� �

�. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S17 � P � $ 1.655.469.53


� VA (3%; 7; �265713,37; 0)

Segundo procedimiento

El saldo de la deuda es igual a F1 menos F2, que corresponde al valor futuro de la deuda original (F1) menos el valor futuro de las cuotas pagadas (F2).

297


S P A17 11 1

� � ��

ii

in

n

( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S17 4 500 000 1 03 265 713 481 03 1

0 0317

17

� ��

. . . . ..

.( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S17 � $ 1.655.469.48

��


� VF (3%; 17; �265713,37; 4.500.000)

Utilizando el menú del interés compuesto, si solamente se ingresa el valor de la cuota de $ 265.713.48, la tasa de interés del 3% mensual y el número de cuotas, 17, la calculadora arroja el valor futuro equivalente a los 17 pagos � ($ 5.782.347.21). Pero al ingresar el valor inicial de la deuda de $ 4.500.000, en el mismo cálculo, como valor presente, la calculadora proyecta el valor presente a los 17 meses y el valor futuro que arroja es el valor neto, que corresponde al saldo de la deuda.


Figura 5.35

A B C D E1 4.500.000 3.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 265.713.37 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................27 24

En la celda A1 escribimos 4.500.000, que corresponde al valor del electrodoméstico y en la B1 la tasa de interés del 3,00%. Desde la celda B4 hasta la celda B27 registramos el valor de la cuota mensual de $ 265.713.37. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los ��!��&k�� ?�'�

298


Las celdas en blanco (rango C5:E27) las rellenamos copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4. Se observa un saldo de cero en la celda E27, lo que indica que la �� K��!��GH� ��*��#*Y��?��&k�� ?*'�

Figura 5.36

Los dos procedimientos expuestos, no obstante ser equivalentes, no siempre se � ��!��| ��@�� no se conoce el número de pagos. El siguiente ejercicio aclara esta situación.

Ejemplo 5.23

Un lote que tiene un valor de contado de $ 20.000.000 se está pagando con cuotas men-� �� H?H��?G�*#��| ��?�� !�¿cuál es el saldo de la deuda después de pagada la cuota 15?

En este caso se desconoce el número de cuotas mensuales que se están pagando, por lo tanto, no es aplicable el primer procedimiento. Aplicando el segundo procedimiento, plantea-mos la ecuación de valor así:

S P A15 11 1

� � ��

ii

in

n

( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S15 20 000 000 1 03 1 030 132 641 03 1

0 0315

15

� ��

. . . . . ..

.( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S15 � $ 12.000.000

299

1 2 3 4

S

n15 160

20.000.000

1.030.132.64

299



� VF (3%; 15; �1030132,64; 20.000.000)


Figura 5.37

A B C D E

1 20.000.000 3.00%


3 0 �A1

4 1 1.030.132.64 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2

......... ................ ................ ................ ................ ................

20 17

En la celda A1 escribimos 20.000.000, que corresponde al valor del lote y en la B1 la tasa de interés del 3,00%. Desde la celda B4 hasta la celda B17 (puede ser hasta la ceda B18) registramos el valor de la cuota mensual de $ 1.030.132.64. En las celdas C4, D4 y E4 �� !��&k�� ?-'��

Las celdas en blanco (rango C5:E20) las rellenamos copiando las fórmulas de las ��̀ #!��#��#��Z�� G�HHH�HHH��&k�� ?�'�

3 5 6 87

F

4

12 13 14 15 16 17 18 24

500.000

350.000

300


Figura 5.38

Ejemplo 5.24

Se comienzan a hacer depósitos de $ 500.000 desde el mes 3 al mes 8, y retiros de $ 350.000 del mes 12 al mes 18. Si pagan un interés del 2% mensual, ¿qué saldo dispo-��]��G��"�{

��G��"��]�� Z�� fecha. En este ejercicio se aprecia la importancia de conocer con precisión la fecha de ubicación del valor futuro de una anualidad vencida, calculado con la expresión (5.3). Para recordarle al lector, este se encuentra ubicado en la fecha del último pago (ingreso).

La solución más simple consiste en plantear una ecuación de valor con fecha focal en el mes 24.

F ��

��

350 0001 02 1

0 021 02 500 000

1 02 1

0 02

76

6

..

.. .

.

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )⎡⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )1 02

16.

F � 2.930.273.69 � 4.329.862.69

F � $ 1.399.575.45

301

301


Al calcular el valor futuro de la primera anualidad, éste se ubica en el mes 8, por lo tanto, tenemos que trasladarlo al mes 24. El valor futuro de la segunda anualidad se ubica en el mes 18, el que se traslada al mes 24.


Figura 5.39

A B C D E

1 2.00%


3 0

......... ................ ................ ................ ................ ................

6 3 500.000 �B6

7 4 500.000 �E6*$B$1 �B7�C7 �E6�D7

8 5 500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

11 8 500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 - 350.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18 - 350.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 SALDO

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2,00%. Desde la celda B6 hasta B11 registramos el valor de los depósitos de $ 500.000 (con signo positivo). Desde la celda B15 hasta la celda B21 registramos los retiros de $ 350.000 (con signo negativo). En las ��̀ -!��-��-�� !��]��&k�� ?Y'��

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C7, D7 y E7 en ��̀ �;�G-��G-��Z�� ?YY��-��#��&k�� #H'�

1 2 3 4 14 15 24 meses

S

0

10.000.000

A

302


Figura 5.40

Ejemplo 5.25

Se consigue un préstamo bancario por $ 10.000.000 al 2% mensual para cance-larlo con 24 cuotas mensuales iguales. Si después de cancelada la cuota 14 se abonan $ 800.000 y el plazo sigue siendo igual, ¿en cuánto queda la cuota mensual, después de realizado el abono?

En primer lugar se necesita conocer el valor de la cuota mensual, que corresponde al valor de A de una anualidad vencida, que se calcula con la expresión (5.2)

A ��

10 000 0000 02 1 02

1 02 1

24

24. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 528.710.97

303

303


Se calcula el valor del saldo del crédito después de pagada la cuota 14. Se utiliza indistinta mente cualquiera de los dos procedimientos vistos en el apartado 6. Para este caso, en parti cular, aplicamos el primer procedimiento (saldo en función de las cuotas por pagar).

S14

10

10528 710 97

1 02 1

0 02 1 02�

�. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

S14 � $ 4.749.191.24

Este es el valor de la deuda una vez cancelada la cuota 14. El valor del saldo neto resulta de restarle a este valor el abono de $ 800.000.

Saldo neto � $ 4.749.191.24 � $ 800.000 � $ 3.949.191.24

Este valor se va a cancelar con 10 cuotas mensuales.

A ��

3 949 191 250 02 1 02

1 02 1

10

10. . .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 439.649.75


Figura 5.41

A B C D E

1 10.000.000 2.0%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24

En la celda A1 escribimos 10.000.000, que corresponde al valor del préstamo bancario y en la celda B1 escribimos 2.0%, que es la tasa de interés. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario, 100 en este caso, que es la incógnita del ejercicio y que corresponde a cada una de las 24 cuotas. En la celda B5 escribimos �B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera y copiamos la celda B5 hasta la celda B27. En las celdas C4, �#��#�� !�� &k�� #�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y con Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 528.710.97 que corresponde al valor �� &k�� #G'�

304


Figura 5.42

Con el saldo neto de $ 3.949.191.25, calculamos las cuotas restantes.

/�� + �� Z��!��que el lector podrá apreciar claramente el sitio de ubicación tanto del valor presente como del valor futuro.

305

1 2 3 54 n0

P

A F

0 1

30.000.000

2 3 4 5 24 meses

FA

305


=��+ ��!�| ��Z��&w'��]� �� }��w ��| ��!��!��]� ��del período uno, el valor presente está ubicado en el momento cero. El valor futuro (F) | �� }��W��+ �� -��| �Z�� Z��;��| �Z��}��w!�que pagar n cuotas de un valor de A, que pagar un valor futuro F después de n períodos.

Con el ejercicio que desarrollamos a continuación, considerado por el autor como clave en el manejo de las anualidades vencidas, el lector comprenderá en una forma �]��+�@��

Ejemplo 5.26

��Z�}�� | �� Z��?H�HHH�HHH!��Z��medio de 24 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular:1. Valor de las cuotas mensuales.2. Valor futuro equivalente.

��+ �� ;

1. Para el cálculo del valor de las cuotas nos apoyamos en la expresión (5.2).

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A 30.000.000��

0 02 1 02

1 02 1

24

24

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 1.586.132.92

306


En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��G#��?H�HHH�HHH��H'


Figura 5.45

A B C D E

1 30.000.000 2.0%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24

En la celda A1 escribimos 30.000.000, que corresponde al valor del vehículo y en la B1 2.0%, que es la tasa de interés. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario, 100, que es la incógnita del ejercicio y que corresponde a cada una de las 24 cuotas. En la celda B5 escribimos = B4 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera y copiamos la celda B5 hasta la celda B27. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a �� &k�� #�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y con Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 1.586.132.92 que corresponde al valor �� &k�� #*'�

307

307


Figura 5.46

2. Calculamos el valor futuro equivalente. Este valor lo podemos calcular de dos formas equivalentes: en función de las cuotas mensuales, como un valor futuro equivalente a un número de cuotas iguales, es decir, el valor futuro de una anualidad vencida; o como el valor futuro equivalente a un valor presente.

F A�� 1 1i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F ��

1 586 132 921 02 1

0 02

24

. . ..

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 48.253.117.56


� VF (2%; 24; �1586132,92; 0)

Este es el valor futuro equivalente a 24 pagos mensuales de $ 1.586.132.92.

308


Este valor futuro también lo podemos calcular aplicando la fórmula del interés compuesto, como el equivalente a un valor presente de $ 30.000.000 después de 24 meses a una tasa de interés del 2% mensual.

F � P (1 � i)n

F � 30.000.000 (1 � 0.02)24

F � $ 48.253.117.56


� VF (2%; 24; 0; 30.000.000)


Figura 5.47

A B C D E1 2.00%2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO� INTERÉS SALDO3 04 1 1.586.132.92 �B45 2 1.586.132.92 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

......... ................ ................ ................ ................ ................26 23 1.586.132.9227 24 1.586.132.92 SALDO FINAL

En la celda B1 escribimos 2.0% como tasa de interés. En la celda B4 escribimos 1.586.132.92 como valor de la primera cuota (esta cuota producirá el efecto de un de-pósito, es decir, la primera cuota ganará intereses durante 23 meses, la segunda cuota ganará intereses durante 22 meses y así sucesivamente) y en la celda E4 escribimos ��#��| �� Z�� En las celdas B5 hasta la celda B27 escribimos el valor de las cuotas mensuales de $ 1.586.132.92. En las celdas C5, D5 y E5 calculamos los intereses, el abono a capital y �� &k�� #-'�

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 en ��`*;�G-��G-� ��#��G�?��-��*�| ��Z�� &k�� #�'�

309

1 2

AA A A

0

P

n

309


Figura 5.48

Como conclusión del ejercicio, podemos resumir lo siguiente:

�� Los cálculos que se realizan en las Matemáticas Financieras se apoyan en el con-cepto de equivalencia.

�� La solución del ejercicio plantea tres formas equivalentes, aunque no iguales, de pago por el mismo vehículo:

Hoy $ 30.000.000.00

24 cuotas mensuales de $ 1.586.132.92

Después de 24 meses $ 48.253.117.56

7. ANUALIDAD ANTICIPADA

Es aquella en la cual los pagos se hacen al principio de cada período. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas �� | ��| ��no le cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar.

�� + ��

0 1 42 3 5 15 16 17 meses6

P � ?

15.000

0�1 1 2 3 4 5 16 17 meses

P1 P

15.000

310


Se observa que las cuotas se pagan al principio del período. Se presenta alguna con-fusión entre las personas que se inician en el tema de las anualidades anticipadas, en lo | ��W�� w��!��Z��+ ��| ��Z��w��]�� !�� período 2. En realidad, se paga con tres cuotas. En las anualidades anticipadas las cuotas ��!��G�

Para resolver problemas de anualidades anticipadas se pueden utilizar las mismas fórmulas empleadas en las anualidades vencidas, sólo que hay que tener cuidado en determinar en qué período se está calculando el valor presente o el valor futuro, y cuál es ��W��!��@�!� ��K��| ��Z��anualidades anticipadas en vencidas, se desarrollan expresiones propias para resolverlas.

7.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en ��K��!��| �Z��párrafo siguiente, a través de un ejercicio, se explicarán los procedimientos más sencillos para el cálculo del valor presente de una anualidad anticipada.

Ejemplo 5.272

Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado. Se decide, a última hora, cancelarla de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual, hallar este valor.

Hasta este nivel del texto, sólo conocemos las fórmulas para realizar cálculos con las anualidades vencidas. Lo recomendable, inicialmente, para trabajar con anualidades an-��Z��!� ��K��W��!�� vencida. Para tal efecto, existen varios procedimientos, de los cuales se proporcionarán dos de ellos, considerados los más simples.

Procedimiento 1.��"��!��+ ��!� ��K| ��

2� �� ¥��>�� Matemáticas Financieras y desarrollado por el autor.

311

311


��w��+ ��!��Z��| �� Z��en la que el presente es P1 ubicado en �1.

Calculamos P1 aplicando la fórmula del valor presente (5.1) en función de A.

P A1

1 1

1�

� �

�

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P 15.0001

18

18

1 0 03 1

0 03 1 0 03�

� �

�

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P1 � $ 206.302.67

Este es el valor presente equivalente a 18 pagos mensuales de $ 15.000, a una tasa de in terés del 3% mensual, pero ubicado en el momento – 1. Como nos interesa conocer el valor presente equivalente en el momento cero, trasladamos a esta fecha el valor pre-sente en 1. Para esto aplicamos la fórmula básica F � P(1 � i)n, en la que P � P1 y F � P.

F � P1(1 � i)n

P � 206.302.68(1 � 0.03)1

P � $ 212.491.72

Con el procedimiento desarrollado podemos lograr una expresión que nos permita calcular el valor presente de la anualidad anticipada en una forma directa.

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.8a)

Con la fórmula desarrollada podemos plantear la siguiente regla general: el valor presente de una anualidad anticipada, ubicado en el momento en que se paga la primera cuota, resulta de multiplicar el valor presente de una anualidad vencida por (1 � i).

Reemplazando en la fórmula los valores del ejercicio, se tiene:

P ��

15 000 1 031 03 1

0 03 1 03

18

18. .

.

. .( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 212.491.78Recordemos que las operaciones de las anualidades anticipadas, con la calculadora

��!� ��K��W�� !��K��| ��en las anualidades vencidas, teniendo la precaución de cambiar el modo de pago. En las calculadoras Casio FC 100, FC 200, FC 100V y FC 200V, debe aparecer en la parte � ��>=!�� >=�| ��%`��HH��W�� !��%`�GHH�� \��!� ��%`��HHH��\��W��#�� ]��w/�\�=$;��>=��

P � 15.000

1 2 3 5 6 16 17 meses40

15.000

312


��| ��K��w/�\�=$;��=�!��%$�\��w/�\�=$;��>=��En la calculadora Hewlett Packard debe aparecer en el menú VDT, en la parte superior ��w>��/��;�\��=�`�/<��-culadora se realiza en el menú secundario OTRO, que se activa al oprimir la última tecla del menú VDT. Si se desea trabajar con anualidades anticipadas se oprime la tecla INIC y para anualidades vencidas la tecla FINAL; para salir nuevamente al menú VDT oprima la tecla EXIT.

En Excel, para el cálculo de las anualidades anticipadas se utilizan las mismas fun-ciones de las anualidades vencidas, teniendo la precaución de colocar el número 1 en el parámetro tipo.


� VA (3%; 18; �15000; 0; 1)

Se ingresa el valor de 1 en el parámetro tipo, para indicar que los pagos son anti-cipados.

Procedimiento 2. Le restamos al valor presente (P) el valor de la primera cuota.

En Matemáticas Financieras, así como no son comparables valores ubicados en diferentes fechas porque son diferentes, si se pueden comparar valores de la misma fecha. Los valores de P y la primera cuota están en la misma fecha (momento cero), y se supone que P es mayor que $ 15.000, en consecuencia, es válido restarle a P el valor de ��HHH!��+ ��/�� | ��-�pagos de una anualidad vencida.

P � ��

�15 000 15 000

1 0 03 1

0 03 1 0 03

17

17. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � 15.000 � 197.491.78

P � $ 212.491.78

313

P � A

1 2 3 5 n � 140

A

313


Utilizando este mismo procedimiento se puede deducir una fórmula para calcular directamente el valor presente (P) conocidos el valor de la cuota anticipada (A), la tasa de interés (i) y el número de pagos anticipados (n'!��]��+ ��

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.8)

La expresión obtenida indica que: el valor presente de una anualidad anticipada es igual al valor de la cuota (A) más el valor presente de la anualidad vencida, calculado con n � 1 cuotas.

Reemplazando en la fórmula (5.8) los valores del ejercicio, tenemos:

P 15.000 15.000� ��

�

1 0 03 1

0 03 1 0 03

17

17

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 212.491.78

Hemos expuesto dos procedimientos equivalentes para calcular el valor presente de una anualidad anticipada, de los que, al mismo tiempo, resultaron dos expresiones equivalentes, a saber:

�� El valor presente de una anualidad anticipada es igual al valor presente de una anualidad vencida multiplicado por (1 � i).

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

�� El valor presente de una anualidad anticipada es igual al valor de la cuota más el valor presente de la anualidad vencida con n � 1 cuotas.

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

314


Le queda al lector la opción de utilizar una u otra expresión, cuando se le planteen problemas de anualidades anticipadas.


Figura 5.49

A B C D E

1 100 3.00%


3 0 15.000 �A1�B3

4 1 15.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 15.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

20 17 15.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, y en la celda B1 la tasa de interés del 3,00%. En la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En las celdas B3 hasta B20 registramos $ 15.000 como valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 cal-� ��!��&k�� #Y'��

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E20 y con Buscar objetivo encontramos en la celda A1 un valor de $ 212.491.78 que corresponde al valor ��&k�� H'�

Figura 5.50

315

0 1 42 3 5 6 8 11 12 13 177

500.000

1.000.0001.000.000

5.000.000

P � ?

0 1 2 3 4 5 6 17

P � 500.000

f.f.

500.000

315


Ejemplo 5.28

/��"��w��w�� Z�}�� \�� <��!��-guientes condiciones: una cuota inicial de $ 5.000.000, 18 cuotas mensuales iguales de $ 500.000 pagaderas en forma anticipada y dos cuotas extraordinarias de $ 1.000.000 �� !��*��G��| ��#�� !�se pide calcular el valor de contado del vehículo.

Se elige el momento cero como fecha focal para plantear la ecuación de valor.

El valor del vehículo (P) será igual a la cuota inicial, más el valor presente de la anualidad anticipada, más el valor presente de cada una de las cuotas extraordinarias.

P � C.I. � Vpanualidad � Vpcuota 6 � Vpcuota 12

Se calcula primero el valor presente de la anualidad anticipada. Utilizamos cualquiera de los dos procedimientos anteriormente descritos:

�� + �� Z��

316



P A� ��

�

�

�500 000

1 1

1

1

1.

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � ��

�500 000 500 000

1 0 04 1

0 04 1 0 04

17

17. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 6.582.834.43

Conocido el valor presente de la anualidad anticipada, planteamos la ecuación de valor de la siguiente forma:

P � C.I. � VPanualidad � Vpcuota 6 � Vpcuota 12

P � � ��

��

5 000 000 6 582 834 43 1 000 000

1 0 04

1 000 000

1 0 06

. . . . . . .

.

. .

.( ) 4412( )

P � $ 12.997.746


Figura 5.51

A B C D E

1 100 4.00%


3 0 5.500.000 �A1�B3

4 1 500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

9 6 1.500.000

10 7 500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 1.500.000

16 13 500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

20 17 500.000

317

0

P

1 2 3 4 5 11 meses

800.000

317


En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, que corresponde al valor del vehículo y en la B1 la tasa de interés del 4,00%. En la celda B3 (momento cero) registra-mos el valor de la cuota inicial más el valor de la primera cuota mensual. Desde la celda B4 hasta B8 escribimos el valor de las cuotas mensuales de $ 500.000 y en la celdas B9 y B15 registramos el valor de la cuota mensual más la cuota extraordinaria. En el resto de las celdas hasta B20 escribimos el valor de la cuota mensual. En la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, el abono a capital ��&k�� '�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E20 y con Buscar objetivo encontramos en la celda A1 un valor de $ 12.997.746 que corresponde al valor ��Z�}�� &k�� G'�

Figura 5.52

Ejemplo 5.29

A un amigo le ofrecen arrendarle un negocio por un año pagándole un canon mensual anticipado de $ 800.000. Si solicita un solo pago en el momento de arrendarla, ¿cuánto debe recibir si su tasa de oportunidad es del 2% mensual?

318


Se trata de reemplazar por un solo pago el día que se arrienda el negocio, el valor de 12 mensualidades anticipadas de $ 800.000.

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.8)

P 800.000 800.000� ��

�

�

1 02 1

0 02 1 02

12 1

12 1

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 8.629.478.44

O también, aplicando la expresión (5.8a):

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P 800.000��

1 021 02 1

0 02 1 02

12

12.

.

. .( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 8.629.478.44

En Excel: � VA (tasa; nper; pago; VF; tipo) � VA (2%; 12; �800000; 0; 1)



A B C D E1 100 2.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 800.000 �A1�B34 1 800.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 800.000

......... ................ ................ ................ ................ ................14 11 800.000

319

319


En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, y en la B1 la tasa de interés del 2,00%. En la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En las celdas B3 hasta B14 registra-mos $ 800.000 como valor del canon mensual. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los ��!��&k�� ?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y con Buscar objetivo��/�� Z��*GY�#-��##��&k�� #'�

Figura 5.54

Ejemplo 5.30

El dueño de una propiedad recibe tres ofertas de compra.

�� Primera oferta: $ 32.000.000 de contado.

�� Segunda oferta: cuota inicial de $ 5.000.000, 24 pagos mensuales vencidos de $ 1.500.000 y un pago único dentro de 30 meses por $ 2.500.000.

�� Tercera oferta: 12 pagos mensuales anticipados de $ 2.500.000 y un pago único de $ 5.000.000 en el mes 18.

Si la tasa de interés de oportunidad es del 2% mensual, ¿qué opción se debe aceptar?

Las tres ofertas se deben analizar en forma independiente utilizando una misma fecha de comparación. Es indiferente compararlas en la fecha focal natural (momento cero), o en cualquiera otra fecha focal, porque la decisión será siempre la misma.

Como ya la primera oferta está en el momento cero (precio de contado), para sim-�� !��}��

0

5.000.000 2.500.000

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 30 meses

1.500.000

320


Análisis de la segunda oferta

La ecuación de valor se plantea de la siguiente forma:

P 5.000.000� ��

�1 500 0001 02 1

0 02 1 02

2 50024

24. .

.

. .

. .( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

0000

1 0230

.( ) P � $ 34.751.065.63


Figura 5.55

A B C D E

1 100 2.0%


3 0 5.000.000 �A1�B3

4 1 1.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 1.500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

33 30 2.500.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2,0%. En la celda B3 registramos la cuota inicial de $ 5.000.000 y en la E3 calculamos el saldo insoluto. Desde la celda B4 hasta la B27 registramos los pagos mensuales de $ 1.500.000 y en la celda B33 escribimos el pago único de $ 2.500.000. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, el abono �� &k�� '�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E33 para relle-nar las celdas en blanco y aplicando Buscar objetivo, obtenemos en A1 un valor de ��?#�-��H*��*?��&k�� *'�

321

0

P

1 2 3 4 5 6 11 18 meses

2.500.0005.000.000

321


Figura 5.56

Análisis de la tercera oferta

Planteamos la ecuación de valor en el momento cero.

P 2.500.000� ��

�

�

�2 500 000

1 02 1

0 02 1 02

512 1

12 1. .

.

. .

.( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

0000 000

1 0218

.

.( ) P � $ 30.467.917.00

322



Figura 5.57

A B C D E

1 100 2.0%


3 0 2.500.000 �A1�B3

4 1 2.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 2.500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

14 11 2.500.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18 5.000.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, que es la incógnita del ejercicio y en la B1 la tasa de interés del 2.0%. Desde la celda B3 hasta la celda B14 registramos los pagos mensuales de $ 2.500.000 y en la celda B21 escribimos el pago único de $ 5.000.000. En la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En las celdas C4, D4 y E4 cal-� ��!��&k�� -'��

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 para rellenar las celdas en blanco y aplicando Buscar objetivo, obtenemos en A1 un valor de $ 30.467.917. &k�� '�

Figura 5.58

323

0

10.000.000

1 2 3 4 5 6 11 meses

A

0

P

1 2 3 5 11 meses4

10.000.000

A

�1

P1

323


Resumen de ofertas:

Primera oferta: $ 32.000.000.00

Segunda oferta: $ 34.751.065.63

Tercera oferta: $ 30.467.917.00

Se debe aceptar la segunda oferta por tener un valor presente mayor.

7.2 VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del período. Para lograr una expresión que nos permita calcular su valor desarrollaremos el siguiente ejercicio, en el que aplicaremos los mismos procedimientos que utilizamos en el cálculo del valor presente.

Ejemplo 5.31

Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés, calcular el valor de las cuotas.

Procedimiento 1. Se convierte la anualidad anticipada en vencida agregando un período a la izquierda y calculando un valor equivalente a $ 10.000.000, ubicado en �1.

��Z��w��+ ��!�� Z�� por 12 pagos en la que el valor presente se encuentra ubicado en 1. Se calcula el valor de P1, ubicado en el momento �1, equivalente a P en el momento 0.

P F�

��

�1

10 000 000

1 0 041

in( ) ( )

. .

.

P1 � $ 9.615.384.61

0

P � A

1 2 3 4 5 11 meses

A

324


Una vez convertida la anualidad anticipada en vencida y conocidos el valor presente (P1), la tasa de interés (4%) y el número de pagos (12), podemos calcular el valor de la cuota (A), aplicando la fórmula (5.2):

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.2)

A ��

� �9 615 384 61

0 04 1 0 04

1 0 04 1

12

12. . .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 1.024.540.12

Todo este procedimiento se reduce a despejar el valor de A de la expresión (5.8 a).

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Despejando A, se tiene:

A P�

��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(5.9 a)

Reemplazando en la fórmula los valores del ejercicio, se tiene:

A 10.000.000�

�1 04

1 04 1

0 04 1 04

12

12.

.

. .( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 1.024.540.12

Procedimiento 2. w��+ �� !�� !�| �� Z�+ �� ;

325

325


/��]��+ �� Z��!�con fecha focal en el momento cero.

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P A A� ��

�

�

�

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

que corresponde a una de las expresiones diseñadas en acápite 7.1 para calcular el valor presente de la anualidad anticipada. Despejando A, se tiene:

P A� ��

�

�

�1

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A P�

��

�

�

�1

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.9)

En la expresión (5.9), A es el valor de la cuota anticipada, P es el valor inicial de la obligación, i es la tasa de interés efectiva por período y n es el número de cuotas.

Reemplazando los valores del ejercicio en la expresión (5.9), se tiene:

A �

��

�

�

10 000 000

11 04 1

0 04 1 04

12 1

12 1

. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A � $ 1.024.540.12

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&#��G��H�HHH�HHH��H��'

326



De los dos procedimientos desarrollados arriba resultaron dos expresiones equi-valentes que permiten calcular el valor de la cuota de una anualidad anticipada, que el lector podrá utilizar indistintamente, a saber:

�� La cuota de una anualidad anticipada es igual a:

A P�

��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

�� La cuota de una anualidad anticipada es igual a:

A P�

��

�

�

�1

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Figura 5.59

A B C D E

1 10.000.000 4.00%


3 0 100 �A1�B3

4 1 �B3 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2

......... ................ ................ ................ ................ ................

14 11

En la celda A1 registramos el valor del préstamo y en la B1 la tasa de interés del 4,00%. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario, 100, que pasa a ser la incógnita del ejercicio y en la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos � B3 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos la celda B4 hasta B14. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, el abono a capital y el saldo al ��&k�� Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y con Buscar objetivo encontramos en la celda B3 un valor de $ 1.024.540.12 que corresponde al valor �� &k�� *H'�

327

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 47 48 meses

50.000.000

A 10.000.000

327


Figura 5.60

Ejemplo 5.32

Al comprar una vivienda se quedan debiendo $ 50.000.000 para pagarlos en 4 años, �� W��K��H�HHH�HHH��?�� !�� Z��


50 000 0001 03 1

0 03 1 03

10 000 0048 1

48 1. .

.

. .

. .� �

��

�

�A A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

00

1 0348

.( )

A � $ 1.828.263.06

328



Figura 5.61

A B C D E1 50.000.000 3.00%


3 0 100 �A1�B34 1 �B3 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

50 47 �B4951 48 10.000.000

En la celda A1 registramos el valor de la vivienda y en la B1 la tasa de interés del 4,00%. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario, 100, que pasa a ser la incógnita del ejercicio y en la celda E3 calculamos el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos �B3 para indicar que la segunda cuota es igual a la primera, y copiamos la celda B4 hasta B50. En la celda B51 registramos $ 10.000.000 como valor de la cuota única. En las celdas C4, D4 y E4 �� !��&k�� *�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E51 y con Buscar objetivo encontramos en la celda B3 un valor de $ 1.828.263.06 que corresponde al valor �� &k�� *G'�

Figura 5.62

329

0 1 2 n

2.000.000

358.441.75

329


7.3 CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Es el número de pagos, pagaderos al principio del período, necesarios para amor-tizar una obligación. Se puede calcular en función del valor presente o del valor futuro.

��!��!��K��]�� | ��| ��]��cálculo del número de cuotas en función del valor de la obligación (P), el valor de la cuota anticipada (A) y la tasa de interés efectiva periódica (i). Posteriormente se analizarán las concernientes al cálculo del número de cuotas, conocido el valor futuro.

Ejemplo 5.33

Una obligación de $ 2.000.000 se va a cancelar con pagos mensuales iguales an-ticipados de $358.441.75. Si se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla.

��+ �� ;

ni

i�

� � �

��

Log A Log A P A

Log

( )⎡⎣ ⎤⎦( )1

1 (5.10)

Reemplazando los valores del ejercicio en la fórmula, (5.10) se tiene:

n �� Log Log358 441 75 358 441 75 0 03 2 000 000 358 441 75. . . . . . . . .( ) ( )⎡⎡⎣ ⎤⎦

( )Log 1 031

.�

n ��

�5 55442 5 49023

0 012841

. ..

n � 6 pagos

330


En Excel: � NPER (Tasa; pago; VA; VF; tipo) � NPER (3%; �358441,75; 2.000.000; 0; 1)


Figura 5.63

A B C D E

1 2.000.000 3.00%


3 0 358.441.75 �A1�B3

4 1 358.441.75 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 358.441.75

......... ................ ................ ................ ................ ................

11 8 358.441.75

En la celda A1 registramos el valor de la obligación y en la B1 la tasa de interés del 3,00%. Desde la celda B3 hasta la B11 registramos los pagos mensuales de $ 358.441.75 (aunque podrían ser más períodos). En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, ��&k�� *?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E11 y observamos que en la celda E8 el saldo es igual a cero, lo que indica que la obligación se amortiza ��*��&k�� *#'�

331

331


Figura 5.64

7.4 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

>��!��| ��Z�� !�desconociendo el costo del crédito, que viene a ser la tasa de interés cobrada. En el acápite 6, cap. 4 se explicó en detalle el efecto que produce cobrar en un crédito una �� Z��| �!�� artículo a una tasa de interés del 2.0% mensual anticipada, realmente se cobra una tasa del 2.04% mensual. Ahora nos interesa conocer el efecto análogo que produce pagar por un mismo crédito cuotas anticipadas en lugar de vencidas. Este es el propósito de este párrafo. Para ello se ilustrará un ejercicio en el que se hará el cálculo de la tasa de interés cuando las cuotas son vencidas y cuando son anticipadas, con el ánimo de que el lector aprecie la diferencia sustantiva entre las dos tasas de interés. Algunas veces se presenta la confusión de creer que al pagar cuotas anticipadas en un crédito, al mismo tiempo se está pagando una tasa anticipada3. Esto, por supuesto, es un error craso. Al aplicar las fórmulas de las anualidades, tanto vencidas como anticipadas, aparece el factor (1 � i)n, en el que la tasa de interés i es una tasa vencida, por deducción. En las anualidades anticipadas, al pagar la primera cuota en el momento en que se recibe el préstamo se aumenta el costo del crédito, debido a que se presta una cantidad menor.

3 Al hacer la deducción de la fórmula básica F � P(1 � i)n resulta de capitalizar la tasa vencida (i) durante n períodos. Véase valor futuro a interés compuesto, acápite 3.2.

0

3.000.000

1 2 3 4 5 6 24

180.000

332


Ejemplo 5.34

�� | �� ?�HHH�HHH��Z��G#�� -� ��H�HHH��`�� ;

a. Las cuotas son vencidas

Para el cálculo de la tasa de interés es necesario plantear una ecuación de valor, que para este caso corresponde a la aplicación de la expresión (5.2).

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.2)

180 000 3 000 0001

1 1

24

24. . .�

�

� �

i i

i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Resolviendo por interpolación lineal se obtiene un valor de i � 3.15% mensual.

En Excel: � TASA (nper; pago;VA; VF; tipo)

� TASA (24; �180000; 3000000; 0)

Se omite el parámetro tipo, porque las cuotas son vencidas.

333

333



Figura 5.65

A B C D E

1 3.000.000 1.0%


3 0 �A1

4 1 180.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 180.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 180.000

En la celda A1 escribimos 3.000.000, que corresponde al valor del artículo. En la celda B1 escribimos una tasa arbitraria, 1.0% en este caso. Desde la celda B4 hasta la B27 registramos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!�� &k�� *�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B1 un valor de 3.15% que corresponde al valor ��&k�� **'�

Figura 5.66

0 1 2 3 4 5 6 7 8 23

3.000.000

180.000

334


b. Las cuotas son anticipadas.

Para calcular la tasa de interés cuando las cuotas son anticipadas se plantea una ecuación de valor apoyándonos en la expresión (5.7).

3 000 000 180 000 180 0001 1

1

24 1

24 1. . . .� �

� �

�

�

�

i i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Resolviendo por interpolación lineal se obtiene una tasa de interés de 3.47% mensual.


� TASA (24; �180.000; 3.000.000; 0; 1)


Se observa que, por el sólo hecho de cancelar las cuotas anticipadas, la tasa de interés de la negociación pasa del 3,15% mensual a una tasa de 3.47% mensual.


A B C D E1 3.000.000 1.0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 180.000 �A1�B34 1 180.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 180.000

......... ................ ................ ................ ................ ................26 23 180.000

335

0 2 3 4 5 6 8 91 7

6.000.000

24 meses

200.000

335


En la celda A1 escribimos 3.000.000, que corresponde al valor del artículo, en B1 una tasa arbitraria de 1.0%. Desde la celda B3 hasta la B26 registramos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y �� &k�� *-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E26 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B1 un valor de 3.47% que corresponde al valor ��&k�� *�'�

Figura 5.68

Ejemplo 5.35

Un cliente hace 10 depósitos mensuales de $ 200.000 al principio de cada mes, iniciando hoy, y después de 2 años tiene disponible en su cuenta $ 6.000.000. ¿Qué tasa de interés le pagaron?

Se plantea la ecuación de valor con fecha focal en el mes 24.

336


200 0001 1

1 6 000 00010

15. . .

� ��

i

ii

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )

Por interpolación lineal se obtiene una tasa de 5.73% mensual.

En este ejercicio no se puede utilizar el menú del interés compuesto de la calcula-��!��| ��| �� !��Z��del ingreso (valor futuro) aparece períodos después del último depósito, rompiendo el concepto de la anualidad. Para que se conforme una anualidad vencida, el ingreso de-bería estar en el mes 9, y para que sea una anualidad anticipada el valor futuro debería estar ubicado en el mes 10.

Al ubicar la fecha focal en el momento cero, la ecuación de valor puede plantearse de la siguiente forma y el resultado que se obtendría sería exactamente igual:

200 000 200 0001 1

1

6 000 000

1

10 1

10 1. . . .

��

��

�

�

�

i

i i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ))24

Por la misma razón explicada en el párrafo anterior, aquí no aplica la función de Excel TASA.


Figura 5.69

A B C D E

1 2.00%


3 0 200.000 �B3

4 1 200.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 200.000

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24

337

10 118 9 12 meses

250.000

374.605.38

0 1 2 3 54

337


En la celda B1 escribimos una tasa arbitraria del 2%, que es la incógnita del ejer-cicio. Desde la celda B3 hasta la B12 escribimos 200.000 como valor de los depósitos mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, el abono a capital y el �� &k�� *Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo�� Z��-?��&k�� -H'�

Figura 5.70

Ejemplo 5.36

Pedro ahorra, a partir de hoy y durante 6 meses, $ 250.000 cada mes. Desde el mes ��}��G��?-#�*H��?��| �� año. ¿Qué tasa de interés le pagaron?

Colocando la fecha focal en el momento cero se plantea la ecuación de valor.

338


250 000 250 0001 1

1

374 605 381

6 1

6 1. .

. .

��

��

�

�

�

i

i i

i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )555

7

1

1

1

�

�

�

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )( )

i i

i

Resolviendo por interpolación lineal se obtiene una tasa de interés del 3% mensual.


Figura 5.71

A B C D E

1 2.00%


3 0 250.000 �B3

4 1 250.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................

11 8 �374.605.38

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 �374.605.38

En la celda B1 escribimos un valor arbitrario del 2,00%. Desde la celda B3 hasta B8 registramos el valor de los depósitos de $ 250.000 (con signo positivo). Desde la celda B11 hasta la celda B15 registramos los retiros de $ 374.605.38 (con signo negativo). En ��`#!��#��#�� !��]�� &k�� -�'�

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y con Buscar objetivo�� Z��?�HH��&k�� -G'�

339

0 1 2 3 4

F

A A A A

0 1 2 3 4

F

A A A A

339


Figura 5.72

7.5 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

En el inciso 4.3 se determinó la forma de calcular el valor futuro de una anualidad vencida, llegando a una expresión que presupone que el valor futuro se encuentra en la fecha del último pago (ingreso), con la limitación de que el último pago no devenga intereses. Se trata ahora de calcular el valor futuro de una anualidad en la que los pagos &��'��}��+ ��| �� el lector observará que: el valor futuro de la anualidad anticipada aparece un período des-pués de realizado el último pago (ingreso), lo que indica que este pago sí devenga intereses.

Anualidad vencida Anualidad anticipada

Se observa que la anualidad vencida comienza con período y termina con pago, y la anualidad anticipada comienza con pago y termina con período.

F A��

�1 1

1i i

i

n( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.11)

50.000

0 2 3 5 11 12 meses1 4

F

340


Ejemplo 5.37

Katya Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés ��?�H�� ]��]�� "�

��+ �� ;

F ��

�

50 0001 03 1 03

0 03

12 1

.. .

.( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.11)

F � $ 730.889.52


� VF (3%; 12; �50.000; 0; 1)



Figura 5.73

A B C D E1 3.00%2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO� INTERÉS SALDO3 0 50.000 �B34 1 50.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................14 11 50.00015 12 ................ ................ SALDO

341

341


En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 3.0%. Desde la celda B3 hasta B14 registramos el valor de los depósitos de $ 50.000. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!��]��&k�� -?'�

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 ��`�;�� Z��-?H��Y��G��&k�� -#'�

Figura 5.74

8. ANUALIDAD DIFERIDAEs aquella en la que el primer pago se realiza unos períodos después de realizada

��| ��| ��K��se llama momento de convenio. Es un ejemplo de una anualidad diferida, un préstamo bancario en el que el pago de las cuotas se inicia un año después de recibir el desem-bolso del préstamo.

En las anualidades diferidas el tiempo que transcurre sin amortización de capital se llama período de gracia o tiempo muerto. No obstante, durante el período de gracia hay causación de intereses. Este sistema de pagos causa cierta confusión, porque se piensa que durante el tiempo muerto o período de gracia no hay pago de intereses. Por esto, es necesario diferenciar entre el pago de intereses y la causación de los mismos. Durante el tiempo muerto siempre habrá causación de intereses que se originan por el uso del dinero tomado en préstamo. Si los intereses no se pagan durante este período, se capitalizan y, en �� !��Z��]��decir que los intereses se causaron pero no se pagaron. Si los intereses se pagan perió-dicamente durante el tiempo muerto, el capital inicial permanece constante. En este caso podemos decir que los intereses se causaron y se pagaron. En los casos que se analizarán a continuación el lector podrá entender claramente cómo funciona este sistema de pagos.

0

P

54

P1

6 7 8 21 22 meses

150.000

342


En las anualidades diferidas, se pueden presentar dos casos:

�� Cuando durante el período de gracia los intereses causados no se cancelan periódi-��!��| ��Z��K��!��capital habrá aumentado y, por lo tanto, para calcular el valor de los pagos iguales se debe tener en cuenta este valor equivalente.

�� Cuando durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamen-��!��

Ejemplo del primer caso. Cuando los intereses causados no se pagan.

Ejemplo 5.38

��| ��}�� de $ 150.000 cada una, debiendo cancelar la primera cuota dentro de 5 meses. Si la ��K��?�� !�� Z��

Se calcula el valor presente de la serie de pagos iguales, aplicando la fórmula (5.1); esto es, calcular P conocidos el pago igual (A), la tasa de interés (i) y el número de pagos (n).

P A1

1 1

1�

� �

�

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (5.1)

P1

18

18150 000

1 0 03 1

0 03 1 0 03�

� �

�.

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P1 � $ 2.063.026.96

El valor presente de una anualidad vencida queda ubicado al principio del período en que se hace el primer pago, o sea, que el valor P1 obtenido, está ubicado en el mes 4. Como se pide calcular el valor del electrodoméstico, tenemos que calcular el valor presente en el momento cero. Para calcularlo aplicamos la fórmula básica, P � F/(1 � i)n, que nos permite traer el dinero del futuro al presente.

P F�

�1 in( )

P ��

2 063 026 96

1 0 034

. . .

.( ) P � $ 1.832.972.73

343

343


En las anualidades diferidas, algunas veces, el interés que se cobra durante el tiem-�� ]� �� necesario hacer los ajustes correspondientes.


Figura 5.77

A B C D E1 3.000.000 3.0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................8 5 150.000

......... ................ ................ ................ ................ ................25 22 150.000

En la celda A1 escribimos 100 como valor arbitrario, que corresponde al valor del elec-trodoméstico que vamos a calcular. En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 3%. Desde la celda B8 hasta la B25 registramos el valor de las cuotas mensuales de $ 150.000. En las ��̀ #!��#��#�� !�� &k�� --'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E25 y Buscar objetivo encontramos en la celda A1 un valor de $ 1.832.972.73 que corresponde al valor del ��&k�� -�'�

Figura 5.78

0 6 7 8 9 10 11 12 18 meses

750.000 X

50.000.000

344


Ejemplo del segundo caso. Cuando los intereses causados se pagan.

Cuando los intereses se pagan, el valor de P1 es igual a P, ya que lo único que hace diferente una unidad monetaria a otra es el valor de los intereses. Como los intereses se van pagando durante el período de gracia el valor del electrodoméstico no cambia. Es decir, para este caso, el valor del electrodoméstico es de $ 2.063.026.96.

Ejemplo 5.39

Una deuda de $ 50.000.000 se debe cancelar con pagos desde el mes 6 al mes 12 de $ 750.000 y un pago adicional en el mes 18. Si se cobra una tasa de interés del 3% mensual, ¿cuál es el valor del pago adicional?


50 000 000

750 0001 03 1

0 03 1 03

1 03 1 0

7

7

5. .

..

. .

. .�

�

�

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )X

3318( )

X � $ 78.259.617.64

El valor presente de la anualidad formada por 7 pagos de $ 750.000 queda ubicado en el mes 5, pero como la fecha focal está en el momento cero, se hace necesario trasladar el valor presente obtenido en el mes 5 a la fecha focal. Por esta razón, en la ecuación de valor, el primer término del segundo miembro de la ecuación se divide entre (1.03)5.

A simple vista, el resultado es exagerado, porque el valor del pago adicional resulta mayor que la misma deuda. ¿Cuál es la explicación? El valor de las cuotas no alcanza a � ��!��!��Z�K�| �� y, además, durante el período de gracia, porque no se dijo lo contrario, los intereses no se pagaron sino que se capitalizaron.

345

345



Figura 5.79


......... ................ ................ ................ ................ ................9 6 750.000

......... ................ ................ ................ ................ ................15 12 750.000

......... ................ ................ ................ ................21 18 100

En la celda A1 escribimos $ 50.000.000 como valor de la deuda y en la B1 la tasa de interés del 3%. Desde la celda B9 hasta la B15 registramos el valor de $ 750.000 que corresponde a los pagos mensuales. En la celda B21 escribimos 100 como valor arbitrario que corresponde a la incógnita del ejercicio. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los ��!�� &k�� -Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B21 un valor de $ 78.259.617.64 que corresponde ��Z��&k�� H'�

Figura 5.80

0

3.800.000

4 9 meses5 6 7 8

A

346


Ejemplo 5.40

Se están debiendo $ 3.800.000 a una tasa de interés del 2.0% mensual, para cance-larlos por medio de 6 cuotas mensuales iguales, pagándose la primera 4 meses después de adquirida la obligación. Calcular el valor de las cuotas.

�� + ��;

Para plantear la ecuación de valor se escoge como fecha focal el momento cero.

3 800 000

1 02 1

0 02 1 02

1 02

6

6

3. .

.

. .

.�

�A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) A � $ 719.921.48


Figura 5.81


......... ................ ................ ................ ................ ................7 4 1008 5 �B7 ................ ................ ................12 9 100

En la celda A1 escribimos $ 3.800.000 como valor de la deuda y en la B1 la tasa de interés del 2.0%. En la celda B7 escribimos 100 como valor arbitrario, que corresponde a la incógnita del ejercicio, y calculamos la cuota en B8 y copiamos hasta B12. En las celdas `#!��#��#�� !�� &k�� '�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E12 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B7 un valor de $ 719.921.48 que corresponde ��Z�� &k�� G'�

347

0 1 2 3 4

P

A A A A

�

347


Figura 5.82

9. ANUALIDAD PERPETUA

��| ��| ��@��W��!��| �� K��̀ ��Z�� !��| �� ]�conformada por muchos pagos, como por ejemplo, un préstamo a largo plazo en el que solamente se pagan los intereses; cuotas de mantenimiento de una carretera; el pago de un arriendo para quien nunca podrá comprar la propiedad, etc. Como la anualidad �� | ��!��@��]�Z��

9.1 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PERPETUA

��Z�� | �Z�� Z��se calcula mediante la siguiente fórmula:

P A�

i (5.15)

Donde: P � valor presente A � pago igual y periódico i � tasa de interés.

348


Ejemplo 5.41

El señor Pedro Picapiedra paga durante 2 años intereses por valor de $ 500.000 mensuales, a una tasa de interés del 4% mensual. Calcular el valor del préstamo.

P � �500 000

0 0412 500 000.

.$ . .

Ejemplo 5.42

Un inversionista decide arrendar una propiedad por $ 450.000 mensuales anticipa-��!��^�� | �� día de hoy, equivalente a toda la serie de pagos. Si su tasa de oportunidad es del 3.50% mensual, ¿ qué pago único debe aceptar?

El ejercicio hace referencia a una anualidad perpetua anticipada. Para plantear la solución, nos apoyamos inicialmente en la expresión (5.15) que permite calcular el valor presente de una anualidad perpetua vencida. Para convertir la anualidad anticipada en vencida, utilicemos el procedimiento que consiste en eliminar la primera cuota:

P A A� �

i

De donde: P A A� �

i (5.16)

Reemplazando los valores en la fórmula, se tiene:

P � �450 000 450 0000 035

. ..

P � $ 13.307.142.86

El resultado indica la equivalencia entre recibir hoy un pago único de $ 13.307.142.86, �� #�H�HHH!��K��}��

Ejemplo 5.43

Al morir, una persona deja un capital de $ 200.000.000 a favor de un ancianato, para que reciba el valor de los intereses únicamente, sin tocar el capital. Si una entidad �� H��H�� !�_� ]��]��-nato permanentemente?

P A�

i

Despejando A, se tiene: A � P � i

A � 200.000.000 � 0.008 � $ 1.600.000

349

349


10. ANUALIDAD GENERALEn las anualidades estudiadas hasta el momento, el período de pago coincide con

el período de capitalización de intereses. Todas ellas se llaman anualidades simples. Hablamos, entonces, de pagos mensuales y conocemos la tasa de interés mensual, o pagos trimestrales y conocemos la tasa efectiva trimestral. En el caso de las anualidades generales, los períodos de pago no coinciden con los períodos de interés, por ejemplo, pagos mensuales con una tasa efectiva anual, etc.

/��Z��!��| ��-ceptos impor tantes:

10.1 PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

Es el período convenido para convertir el interés en capital. Cuando en una operación ��@�� ?�� !��| ��-zación es el mes.

10.2 PERÍODO DE PAGO

�� ser del 3% mensual, pero si las cuotas se reciben o pagan trimestralmente, el período de pago es un trimestre.

Para resolver ejercicios de anualidades generales el sistema más práctico consiste en ajustar la tasa:

�� Ajustar la tasa de interés. Es decir, hacer que coincidan los períodos de interés con los períodos de pago.

Ejemplo 5.44

Hallar el valor acumulado de 20 pagos trimestrales vencidos de $ 50.000 cada uno suponiendo una tasa de interés del 36% capitalizable mensualmente.

Primera solución. Se ajusta la tasa de interés.

in

� � � �J 0 36

120 03 3. . % mensual

Conocida la tasa efectiva mensual, calculamos la tasa efectiva trimestral equivalente.

TET � ( 1 � TEM )3 � 1

TET � ( 1 � 0.03 )3 � 1


Aplicamos la fórmula para calcular el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales, o sea, calculamos F conocidos la tasa de interés efectiva (i), valor de la cuota (A) y el número de pagos (n).

350


F A�� 1 1i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F ��

50 0001 0 0927 1

0 0927

20

..

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 2.636.835.11

En Excel: � VF (Nom/n; nper; pago; VA; tipo) � 1

� VF (36%/12; 3; 0; �1) � 1

� VF (tasa; nper; pago; VA; tipo)

� VF (9,27%; 20; �50000; 0;)


Figura 5.81

A B C D E

1 �VF(36%/12; 3; 0; �1) �1


3 0

4 1 50.000 �B4

5 2 50.000 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5

23 20 50.000

En este ejercicio la tasa de interés no está expresada como tasa efectiva periódica, por lo tanto, tenemos que hacer la respectiva conversión, tal como aparece en la celda B1. Ver Capítulo 4, caso de efectiva periódica menor a efectiva periódica mayor. Desde la celda B4 hasta B23 registramos el valor de los depósitos de $ 50.000. En las celdas

351

351


`�!�� !��]��&k�� '�

Rellenamos las celdas en blanco copiando las fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 ��`*;�G?�� G?��G�*?*��?��&k�� G'�

Figura 5.82

Ejemplo 5.45

�� Z��!�� K��!�� Z��;

� Z�� $ 1.400.000

tasa de interés � 3% mensual

número de pagos � 4 pagos trimestrales.

Se pide calcular el valor de cada pago trimestral.

Se observa que el período de capitalización es diferente al período de pago. Utili-zamos el primer sistema, que consiste en ajustar la tasa de interés.

Conocida la tasa efectiva mensual se calcula la tasa efectiva trimestral equivalente.

TET � (1 � TEM)3 � 1

TET � (1 � 0.03)3 � 1


352


Calculamos el valor de A, conocidos P, i, n.

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

� �1 400 000

0 0927 1 0 0927

1 0 0927 1

4

4. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 434.699.89

En Excel: � VF (tasa; nper; pago; VA; tipo) �1

� VF (3%; 3; 0; �1) � 1

��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&Y!G-��#��#HH�HHH��H'

Solución con Buscar objetivo de excel

Figura 5.83

A B C D E

1 1.400.000 �VF(3%; 3; 0; �1)�1


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4 ................ ................ ................

7 4 100

353

0

10.000.000

3 4 5 12 meses1 2

A

353


En este ejercicio la tasa de interés está expresada en un período menor (mensual) al de las cuotas (trimestrales), por lo tanto, se requiere hacer el ajuste de la tasa de inte-rés, tal como aparece en la celda B1. Ver Capítulo 4, caso de efectiva periódica menor a ��Z��/��Z��#HH�HHH��En la celda B4 escribimos 100 como valor arbitrario y calculamos el segundo pago en B5, y copiamos B5 hasta B7. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital ��&k�� ?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E7 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en B4 un valor de $ 434.699.90, que corresponde al valor de �� &k�� #'�

Figura 5.84

Ejemplo 5.46

El señor Pedro Picapiedra recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo con 12 cuotas mensuales iguales. Si le cobran una tasa de interés del 38% efectivo anual, calcular el valor de las cuotas.

�� + ��;

354


Se observa que la tasa de interés está expresada como efectiva anual y que los pagos son mensuales, por lo tanto, es necesario ajustar la tasa de interés.

Aplicamos la ecuación de la tasa efectiva. TEA � (1 � TEM)n � 1

0.38 � (1 � TEM)12 � 1

(1.38)(1/12) � 1 � TEM


Calculamos el valor de la cuota (A) aplicando la fórmula del valor presente, conocidos: la tasa de interés, el valor presente del préstamo y el número de pagos.

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A 10.000.000��

� �

0 0272 1 0 0272

1 0 0272 1

12

12

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 987.925.25


� TASA (12; 0; �1; 1,38)

��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G!-G��G��H�HHH�HHH��H'

355

355



Figura 5.85

A B C D E1 10.000.000 �TASA(12; 0; �1; 1; 38)2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO

3 0 �A14 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12

En este ejercicio la tasa de interés está expresada como efectiva anual y las cuotas de pago son mensuales, por lo tanto, se requiere convertirla en una tasa efectiva mensual equivalente, tal como aparece en la celda B1. Ver Capítulo 4, caso de efectiva periódica ��Z�� /�� Z�� $ 10.000.000. En la celda B4 escribimos 100, como valor arbitrario, y calculamos la se-gunda cuota en B5 y copiamos hasta B5. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, ��&k�� '�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en B4 un valor de $ 987.925.17, que corresponde al valor de �� &k�� *'�

Figura 5.86

356


APÉNDICE:

�� LEASING)��}��| �� W��

años. El Leasing es un contrato mediante el cual el dueño de un activo (el arrendador) le otorga a otra parte (el arrendatario) el derecho exclusivo de utilizarlo, normalmente por un período de tiempo convenido, a cambio del pago de un alquiler (Van Horne, 1988).

Básicamente existen dos tipos de leasing: el operativo y el �� . En el leasing operativo el arrendatario utiliza los servicios del activo durante el tiempo convenido, pero ��Z��Z ��| ��!��K�� Z��K��Z��!�� de su costo inicial, cuyo valor generalmente es del 10%. Nuestro interés en este texto se ��

Con el sistema de leasing se pueden adquirir toda clase de activos generadores de renta, ya sean muebles o inmuebles, por ejemplo: maquinaria para construcción, equipos ��!��!��| �� !�Z�}��

El leasing opera mediante un sencillo contrato de arrendamiento, en el que el cliente elige el activo que necesita y el proveedor del mismo. La compañía de leasing compra el activo y lo entrega al cliente en calidad de arrendamiento durante un plazo pactado; durante este plazo, el cliente paga un canon periódico de arrendamiento por el uso y ��Z��/��!��| ��Z�� costo inicial. Para el pago del canon periódico existen diferentes modalidades de pago, | �� Z��;�� !��Z�� $%!��]��]��Z��&��Z��el plazo o el último canon). En este apéndice sólo abordaremos la modalidad de pago �� !��]�� K��

Algunas ventajas del leasing

�� Las tasas de interés cobradas por las compañías de leasing son competitivas en el ��!��!��Z�� !�� ser menor que el de otros sistemas tradicionales.

�� El nivel de endeudamiento del cliente no se afecta al adquirir un activo, debido a que su valor no se constituye en pasivo.

�� No se afecta la liquidez del cliente, porque el activo se adquiere sin necesidad de desembol sar ninguna cantidad inicial de dinero.

�� A diferencia del crédito tradicional, que sólo contempla la deducción de los in-��!�� todo el canon de arrendamiento. La Legislación colombiana actual es selectiva, dependiendo del tamaño de la empresa. Para empresas pequeñas se mantiene el esquema de deducir todo el canon como gasto del período; para las demás, sólo la parte correspondiente a los intereses4.

4 Para las grandes empresas en Colombia (patrimonio bruto igual o superior a $ 8.012.300.000), sólo ��

357

0

VP

1 2 3 4 5 6 7 n

VC

A

357


Cálculo del canon de arrendamiento vencidoEl cálculo del canon periódico corresponde a la cuota de una anualidad vencida,

�� &��'��

��+ �� | ��}��Z��!��| ��


VP VC A��

��

�1

1 1

1i

i

i in

n

n( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

VP VC A��

��

�1

1 1

1i

i

i in

n

n( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

VP VC A1 11 1

1� � � �

� �

�i i

i

i i

n nn

n( ) ( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

i[VP(1 � i)n � VC] � A[(1 � i)n � 1]

A VP VC��

� � �i

ii

n

n

1 11

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Siendo:

A � valor del canon de arrendamiento

n � número de cuotas

i � tasa de interés

VP � valor del activo

VC � valor de la opción de compra

358


Ejemplo 5.47

��| �� Z�}�� !��las siguientes condiciones:

�� Valor del vehículo: $ 25.000.000�� Plazo: 36 meses�� \��;� � �� Z�� Tasa de interés: 2.0% mensual�� Opción de compra: 10%

Se pide calcular el valor del canon mensual.

Antes de entrar a aplicar la fórmula que realiza el cálculo directo del canon, proce-demos a exponer el procedimiento que la genera:

�� Se calcula el valor presente de la opción de compra (P).

P � �2 500 000

1 021 225 557 87

36

. .

.$ . . .

( )�� Se calcula el valor base (VP) para determinar el canon mensual.

VP � valor del activo valor presente opción de compra VP � $ 25.000.000 � $ 1.225.557.87 VP � $ 23.774.442.12

�� Se calcula el canon de arrendamiento mensual.

A VP��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

23 774 442 120 02 1 02

1 02 1

36

36. . .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 932.739.18

Aplicando, ahora, la expresión diseñada para tal efecto, se tiene:

A VP VC��

� � �i

ii

n

n

1 11

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

A ��

� � �0 02

1 0 02 125 000 000 1 0 02 2 500 000

36

36.

.. . . . .

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )⎡

⎣⎣⎢⎤⎦⎥

A � $ 932.739.18

359

359


La empresa tiene que pagar durante 36 meses un canon mensual de $ 932.739.18 ��K!��]��!��| ��por $ 2.500.000.

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��?*��G��HHH�HHH��2.500.000)

`��Z�}�� <�� crédito tradicional, se podría observar la diferencia en el valor de las cuotas mensuales.

En el crédito tradicional, el valor de las cuotas corresponde a la cuota de una anua-lidad vencida.

A P1

1 1

ii

i

n

n

� ��

�

�

��

�

�

��

A 25.000.0000 02 1 0 02

1 0 02 1

36

36

. .

.

� ��

�

�

��

�

�

��

A � $ 980.821.31

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��?*��G��HHH�HHH��H'

La cuota en un crédito tradicional resulta ser mayor debido a que en el sistema de <��Z��Z�}�� &��'��!��| ��Z��Z�}�� las cuotas.

360



Figura 5.87

A B C D E

1 25.000.000 2.00%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

39 36 �B38�2.500.000

En la celda A1 escribimos $ 25.000.000 que corresponde al valor del vehículo y en la B1 la tasa de interés del 2.00%. En las celdas B4 hasta B38 escribimos un valor arbitrario de 100, y en la celda B39 escribimos �B38�2.500.000 (cuota�opción de compra). En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo insoluto. (Ver �� -'�

Copiamos las fórmulas en C4, D4 y E4 en el rango C5:E39 y aplicando Buscar objetivo de Excel encontramos un valor de $ 932.739.18 en la celda B4, que corresponde al canon �� /��?*��]��]��&k�� '�

Figura 5.88

361

A

0

VP

1 2 3 4 5 6 7 n

VC

361


Cálculo del canon de arrendamiento anticipadoEl primer canon de arrendamiento, pagado en el momento cero, se aplica en un

100% al capital.

Se plantea en el momento cero la ecuación de valor.

VP A VC� �

� �

��

�1

1 1

1 1i

i

i i i

n

n n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )

La primera parte de la ecuación de valor corresponde a la expresión (5.8 a), que calcula el valor presente de una anualidad anticipada, y la segunda parte es el valor presente equivalente al VC ubicado n períodos después de la fecha focal.

VP VC A��

� ��

�11

1 1

1ii

i

i in

n

n( )( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

VP VC A1 1 11 1

1� � � � �

� �

�i i i

i

i i

n nn

n( ) ( )( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

i[VP(1 � i)n � VC] � A(1 � i)[(1 � i)n � 1]

A

VP VC

��

� �

�

i

ii

i

n

n

1 11

1

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )

Ejemplo 5.48

Con los mismos datos del ejemplo anterior, calcule el canon mensual anticipado.

Análogamente, desarrollemos, en primer lugar, el procedimiento para calcular el canon anticipado sin utilizar la fórmula.

�� Se calcula el valor presente de la opción de compra (P).

P � �2 500 000

1 021 225 557 87

36

. .

.$ . . .

( )

362


�� Se calcula el valor base (VP) para determinar el canon mensual.

VP � valor del activo valor presente opción de compra

VP � $ 25.000.000 � $ 1.225.557.87

VP � $ 23.774.442.12

�� Se calcula el canon de arrendamiento mensual. Como el primer canon se cancela en el momento cero, el problema se reduce a calcular el valor de la cuota de una anualidad anticipada, para lo cual utilizamos cualquiera de las dos expresiones diseñadas para tal efecto en el acápite 7.2.

A VP�

��

�

�

�1

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A �

��

�

�

�

23 774 442 12

11 0 02 1

0 02 1 0 02

36 1

36 1

. . .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A � $ 914.450.18

Aplicando, ahora, la fórmula para calcular el canon, se tiene:

A ��

� �0 02

1 0 02 125 000 000 1 0 02 2 500 000

36

36.

.. . . . .

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥

( )1 0 02� .

A � $ 914.450.18

La empresa debe cancelar 36 cuotas mensuales anticipadas de $ 914.450.18 y al ��K��G��HH�HHH�


En Excel: ��w/>��&��k/��k%��' ��w/>��&G��?*��G��HHH�HHH��2.500.000; 1)

363

363



Figura 5.89

A B C D E1 25.000.000 2.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 100 �A1�B34 1 �B3 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2

......... ................ ................ ................ ................ ................38 3539 36 2.500.000

En la celda A1 escribimos $ 25.000.000 que corresponde al valor del vehículo y en la B1 la tasa de interés del 2.00%. En las celdas B3 escribimos un valor arbitrario de 100, y en la celda B4 colocamos la segunda cuota. En la celda B39 escribimos la opción de com-pra. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo insoluto. &k�� Y'�

Copiamos las fórmulas en C4, D4 y E4 en el rango C5:E39 y aplicando Buscar objetivo de Excel encontramos un valor de $ 914.450.18 en la celda B4, que corresponde al canon de arrendamiento mensual. En el mes 36 se pagará la opción de compra por valor de ��G��HH�HHH��&k�� YH'�

Figura 5.90

364


EJERCICIO 1. Una empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de $ 500.000 y 12 cuotas mensuales de $ 185.500. Si se carga el 30% con capitalización mensual, hallar el valor de contado.

in

� � �J mensual0 30

122 50. . %


P 1 0 025 500 000 1 0 025 185 5001 0 025 1

0 02512 12

12

� � � ��

. . . ..

.( ) ( ) ( )⎡

⎣⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 2. 402.815.33


A B C D E

1 100 2,50%


3 0 500.000 �A1�B3

4 1 185.500 =E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……….. ………….. ………… ………….. …………..

15 12 185.500

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B3 registramos el valor de la cuota inicial. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Desde la celda B4 hasta la B15 escribimos el valor de la cuota mensual. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar Objetivo.

365

EJERCICIO 2. Calcular el valor de los depósitos semestrales necesarios, en una cuenta de ahorros que paga el 30% con capitalización semestral, para tener en 5 años un capital de $ 19.560.000.

Calculamos A en función del valor futuro.

A F��

��

i

in

1 119 560 000 0 15

1 0 15 110( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

. . .

.

A � $ 963.370.34

En Excel: ��w/>��&��H��H��19.560.000)


A B C D E1 15%


3 0

4 1 100 �B4

5 2 �B4 �E4*$B$1 �B5�C5 �E4�D5…. …….. …………. ………….. …………….. …………….13 10

En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 15%. En la celda B4 escribimos como depósito un valor arbitrario y lo copiamos hasta la celda B13. En las celdas C5, D5 y E5 �� !��]��`��fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 en el rango C6:E13 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 3. El propietario de un activo tiene las siguientes alternativas:

a) Venderlo hoy de contado por $ 3.500.000.

b) Arrendarlo por $ 400.000 mensuales vencidos durante un año.

366

Si la tasa de interés es del 48% capitalizable mensualmente, ¿cuál decisión debe tomar?

in


124 00. . %

Opción b: Calculamos el valor presente de los arriendos:

P A��

��

� �

�

1 1

1400 000

1 0 04 1

0 04 1 0 04

12i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( )

..

. .112

3 754 029 50⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

� $ . . .


A B C D E1 100 4,00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 400.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……….. ………….. ………… ………….. …………..15 12 400.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B4 hasta la celda B15 escribimos el valor del arriendo mensual. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar Objetivo.

Según los resultados obtenidos, el propietario del activo debe aceptar la segunda al-ternativa.

EJERCICIO 4. Usted desea comprar un vehículo que vale de contado $ 25.000.000. El �� G�� !�cobrando una tasa de interés del 3.5% mensual. Usted solamente dispone de $ 600.000 mensuales. Calcule el valor de la cuota inicial.

367


25 000 000 1 0 035 1 0 035 600 0001 0 035 1

012 12

12

. . . . ..

.� � � �

� �( ) ( ) ( )

Cl0035

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

CI � $ 19.201.999.40


A B C D E

1 25.000.000 3,50%


3 0 100 �A1�B3

4 1 600.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……….. ………….. ………… ………….. …………..

15 12 600.000

En la celda A1 escribimos el valor del activo y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario que corresponde a la incógnita. Desde la celda B4 hasta la celda B15 escribimos el valor de la cuota mensual. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 5.�̀ �� Z�� Z�| �� | ��así: una cuota inicial equivalente al 20% del valor de contado y 12 cuotas mensuales de $ 800.000, más una cuota extraordinaria de $ 2.000.000 pagadera en el mes 6. La tasa ��?H��K��

in


122 50. . %

368


P P1 0 025 0 20 1 0 025 800 0001 0 025 1

0 02512 12

12

� � � ��

. . . ..

.( ) ( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )� �2 000 000 1 0 025

6. . .

P � $ 12.413.506.76


A B C D E

1 100 2,50%


3 0 0,20*A1 �A1�B3

4 1 800.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 800.000

…. ……… ………… ……….. …………. …………

9 6 2.800.000

10 7 800.000

…. ……….. …………. ……….. ………… ………….

15 12 800.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial. Desde la celda B4 hasta la celda B15 escribi-mos el valor de la cuota mensual, teniendo en cuenta que en la celda B9 adicionamos el valor de la cuota extraordinaria. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

369

EJERCICIO 6. Hoy adquiere un equipo de sonido y se compromete a cancelarlo con 12 cuotas mensuales anticipadas, cada una por valor de $ 85.000. Si le cobran una tasa de interés del 3% mensual, ¿cuánto le cuesta el equipo de contado?

P A� ��

��

� �1

1 1

185 000 1 0 03

1 0 03 112

ii

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )

. ..

00 03 1 0 03871 473 05

12. .

$ . .�

�

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

En Excel: � VA (3%; 12; �85.000; 0; 1)


A B C D E

1 100 3,0%


3 0 85.000 �A1�B3

4 1 85.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……… ……….. …………. …………

14 11 85.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B3 hasta la celda B14, escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 7. Se desea comprar una nevera y el cliente se encuentra ante dos opciones:

a) Compra a crédito bajo las siguientes condiciones: 12 cuotas mensuales anticipadas de $ 140.000.

b) Compra de contado por $ 1.400.000.

370

El rendimiento del dinero es del 4% mensual. ¿Cuál opción le conviene al cliente?

Primera opción: Calculamos el valor presente equivalente:

P A� ��

��

� �1

1 1

1140 000 1 0 04

1 0 0412

ii

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )

. .. 11

0 04 1 0 041 366 466 74

12. .

$ . . .�

�

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

En Excel: � VA (4%; 12; �140.000; 0; 1)

Comparando los valores presentes de las dos opciones, concluimos que la mejor opción es la primera.


A B C D E

1 100 4,0%


3 0 140.000 �A1�B3

4 1 140.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……… ………… ……….. …………. …………

14 11 140.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B3 hasta la celda B14, escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicamos Buscar Objetivo.

EJERCICIO 8. Una compañía vende un juego de muebles que tiene un valor de contado de $ 12.000.000. Se conviene en pagar cuotas mensuales iguales de $ 847.091, pagaderas

371

��?*��K�� !�¿con cuántas cuotas se cancela el crédito?

in


123 0. . %

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12 000 000 847 091 1 0 031 0 03 1

0 03 1 0 03. . . .

.

. .� �

� �

�( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n

n

n � 18 cuotas

En Excel: � NPER (3%; �847091; 12.000.000; 0; 1)


A B C D E

1 12.000.000 3,0%


3 0 847.091 �A1�B3

4 1 847.091 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……… ………… ……….. …………. …………

24 21 847.091

En la celda A1 escribimos el valor del juego de muebles y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B3 hasta la celda B24 (por ejemplo) escribimos el valor de las cuotas men-suales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 hasta cuando encontremos un saldo igual a cero.

372

EJERCICIO 9. Usted tiene un crédito de $ 5.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales de $ 50.000 más dos cuotas extras iguales, pagaderas en los meses 6 y 12. Si la operación ��K�� G�� !�_� ]��Z�� {


5 000 000 1 0 025 50 0001 0 025 1

0 0251 0

1212

. . . ..

.� �

� �� ( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

X ..0256( ) � X

X � $ 2.794.223.67


A B C D E1 5.000.000 2,5% 1002 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 50.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 50.000…. ……… ………… ………. ……….. ……………9 6 =50.000�C110 7 50.00011 8 50.000…. ……….. …………. ………. ……… …………..15 12 =50.000�C1

373

En la celda A1 escribimos el valor del crédito, en la celda B1 la tasa de interés y en la celda C1 un valor arbitrario. Desde la celda B4 hasta la celda B15, escribimos el valor de las cuotas mensuales, con excepción de las celdas B9 y B15 en las cuales a la cuota le agregamos el valor de la cuota extraordinaria que vamos a calcular (C1). En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 10. Una compañía debe comprar un terreno para la ampliación de su plan-ta. Lo puede adquirir con una cuota inicial de $ 15.000.000 y 8 pagos trimestrales de $ 1.000.000 cada uno, haciendo el primer pago dentro de un año. Determinar el valor ��!��| �� ?#��nominal con capitalización trimestral.

in

� � �J trimestral0 34

48 50. . %

Ecuación de valor con fecha focal en el trimestre 12:

P 1 0 085 15 000 000 1 0 085 1 000 0001 0 085 1

011 11

8

� � � ��

. . . . . ..

.( ) ( ) ( )

0085

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 19.414.962.01


A B C D E1 100 8,5%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 15.000.000 �A1�B34 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 26 37 4 1.000.000…. ………. ………… ……….. ……….. …………..14 11 1.000.000

374

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B7 hasta la celda B14, escribimos el valor de las cuotas trimestrales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 11. Dos personas (Juan y Pedro) deciden ahorrar dinero durante 2 años. Juan hace depósitos mensuales de $ 50.000 y le reconocen una tasa de interés del 30% capitalizable mensualmente. Pedro hace depósitos de $ 95.000 trimestrales a una tasa de interés del 33% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál de las dos personas tiene más ��"�{

Calculamos el valor futuro a los 2 años de los depósitos de Juan:

in


122 50. . %

F A��

��

�1 1

50 0001 0 025 1

0 0251 6

24i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

..

.$ . 117 451 90. .

En Excel: � VF (2,5%; 24; �50.000)

Calculamos el valor futuro a los 2 años de los depósitos de Pedro:

in

� � �J trimestral0 33

48 25. . %

F A��

��

�1 1

95 0001 0 0825 1

0 08251

8i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

..

.$ .0019 650 19. .

En Excel: � VF (8,25%; 8; �95.000)

¥ ��]��]��"�

375

EJERCICIO 12. Un terreno que tiene un valor de contado de $ 100.000.000 se puede ad-| �� ;�� H�HHH�HHH!��G�� @��GH�HHH�HHH��`�� Z�� !��| ��?G��\k�

in


122 67. . %


100 000 000 1 0267 10 000 000 1 0267 20 000 000 1 02612 12

. . . . . . . . .( ) ( )� � 771 0267 1

0 02674

12

( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

A.

.

A � $ 7.268.929.93


A B C D E

1 100.000.000 2,67%


3 0 10.000.000 �A1�B3

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

6 3 �B5

7 4 �B6

…. ………. …………. ………. ………… …………

11 8 �B10�20.000.000

12 9 �B10

15 12 �B14

En la celda A1 escribimos el valor del terreno y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B3 escribimos el valor de la cuota inicial. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario y lo copiamos a partir de la celda B5, con excepción de la celda B11 al que le agregamos el valor de la cuota extraordinaria, hasta la celda B15. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

376

EJERCICIO 13. ¿A qué tasa nominal capitalizable mensualmente se está pagando una deuda de $ 30.000.000, mediante pagos mensuales de $ 3.013.862.56 durante 1 año?

P � $ 30.000.000 A � $ 3.013.862.56 n � 12 meses

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

30 000 000 3 013 862 561 1

1

12

12. . . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal: i � 3% mensual

Aplicando la ecuación de la tasa nominal: J � i * n � 3% * 12 � 36% MV

En Excel: � (TASA (12; �3013862,56; 30.000.000)*12)


A B C D E

1 30.000.000 5%


3 0 �A1

4 1 3.013.862.56 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ………… ……………. ………. ………. ………..

15 12 3.013.862.56

377

En la celda A1 escribimos el valor de la deuda y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B4 hasta la celda B15 escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copia-mos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 14.� <�� | �� Z�� $ 3.500.000 en 12 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada de $ 332.882.87. Calcular la tasa nominal mes vencido que le están cobrando.

P � $ 3.500.000 A � $ 332.882.87 n � 12 meses i nominal � ?

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

3 500 000 332 882 87 11 1

1

12

12. . . .� �

� �

�i

i

i i( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal: i � 2.5% mensual

Aplicando la ecuación de la tasa nominal: J � i * n � 2.5% * 12 � 30% MV

En Excel: � (TASA (12; �332882,87; 3.500.000; 0; 1)*12)


A B C D E1 3.500.000 5%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 332.882,87 �A1�B34 1 332.882,87 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ………… ……………. ………. ………. ………..14 11 332.882,87

378

En la celda A1 escribimos el valor del electrodoméstico y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B3 hasta la celda B14 escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 15. Le arriendan un local comercial por 8 meses con pagos mensuales ven-cidos de $ 200.000. Usted ofrece un solo pago en el día de hoy. ¿Cuánto deberá pagar al inicio del contrato si la tasa de interés del arrendador es del 3% mensual?

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P ��

��200 000

1 0 03 1

0 03 1 0 031 403 938 44

8

8.

.

. .$ . . .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

En Excel: � VA (3%; 8; �200.000)


A B C D E

1 100 3%


3 0 �A1

4 1 200.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ………… ……………. ………. ………. ………..

11 8 200.000

379

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 escribimos la tasa de interés. Desde la celda B4 hasta la celda B11 escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E11 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 16.�/� ��Z�� | �� contado de $ 5.000.000, de la siguiente forma: cuota inicial del 30% y 10 cuotas men-suales iguales por valor de $ 410.306.77. Si usted solo puede pagar cuotas mensuales de $ 352.000, calcular el número de cuotas enteras necesarias para cancelar el crédito. <��?��

P � $ 3.500.000 (Valor del electrodoméstico menos la cuota inicial)

i � 3 % mensual A � $ 352.000

ni

i�

� �

�

Log A Log A P

Log( )

( )1

n ��

��

Log 352.000 Log

Log

352 000 3 500 000 0 03

1 0 0311 98

. . . * .

..

( )( )

≈ 112 cuotas mensuales

En Excel: � NPER (3%; �352000; 3.500.000)


A B C D E1 3.500.000 3%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 352.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 352.000…. ……….. …………. ……….. ……….. ………….18 15

380

��/��Z��-rés. Desde la celda B4 hasta la celda B15 (por ejemplo) escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 hasta encontrar un saldo igual a cero.

EJERCICIO 17. El señor Pérez compró un apartamento que tiene un valor de contado de $ 150.000.000, de la siguiente forma: cuota inicial de $ 40.000.000 y cuotas mensuales iguales de $ 6.000.000. Después de cancelada la cuota 10, solicita el saldo de la deuda para hacer un solo pago y le informan que es de $ 80.000.000. Calcular la tasa de interés que le están cobrando.


150 000 000 1 40 000 000 1 80 000 000 6 000 000110 10

. . . . . . . .� � � � �i i( ) ( )�� i

i( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

101

Por interpolación lineal obtenemos una tasa de interés del 3.085% mensual.


A B C D E

1 150.000.000 5%


3 0 40.000.000 �A1�B3

4 1 6.000.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……….. …………. ……….. ……….. ………….

13 10

381

En la celda A1 escribimos el valor del apartamento y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B4 hasta la celda B13 escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E13 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 18. Un activo tiene un valor de contado de $ 2.500.000 y se adquiere con el siguiente plan de pagos: cuota inicial del 20%, 12 cuotas mensuales iguales y dos pagos adicionales en los meses 6 y 12 de $ 200.000 cada uno. Calcular el valor de las cuotas �� !��G��


2 500 000 1 0 02 500 000 1 0 0212 12

12

. . . . .1 5 1 1 1� � � � ��

�

��

�

�

��

A�1+0.02� - 1

0.022200 000 1 0 02 200 000

6. . .1 1� �

A � $ 157.414.03


A B C D E1 2.500.000 2%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �0,20*A1 �A1�B34 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4…. …………. …………. ………. ………. …………9 6 �B8�200.00010 7 �B8…. ……….. …………… ………. ……….. …………15 12 �B14�200.000

382

En la celda A1 escribimos el valor del activo y en la celda B1 escribimos la tasa de interés. Desde la celda B4 hasta la celda B15 escribimos el valor de las cuotas mensuales, con ex-cepción de las celdas B9 y B15, en las cuales sumamos al valor de la cuota mensual la cuota adicional. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 19.��"��w��K��"��>��G��HHH�HHH�� del 3% mensual y le propone pagarle todos los meses $ 650.000. ¿En cuántos meses le habrá cancelado totalmente la deuda?Calculamos el valor de los intereses: I � P * i � $ 25.000.000 * 0.03 � $ 750.000El valor de la cuota es menor que el valor de los intereses, por lo tanto, la deuda crece cada día. El ejercicio no tiene solución.EJERCICIO 20. Se había pactado el pago de una obligación por medio de 8 cuotas trimestrales anticipadas de $ 3.315.126, con una tasa de interés del 4.66% trimestral. �� Z��W��}�� "��`�� Z��"�

Calculamos el valor de la obligación inicial:

P A� ��

��

�1

1 1

13 315 126 1 0 0466

1 0 046i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ). . .

. 66 1

0 0466 1 0 046622 736 301

8

8

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

�

��

. .$ . .

P � $ 22.736.301En Excel: � VA (4,66%; 8; �3315126; 0; 1)


A B C D E1 100 4,66%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 3.315.126 �A1�B34 1 3.315.326 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4…. ……… ………… ……….. …………. …………10 7 3.315.126

383


`�� ";

F � P (1 � i)n � $ 22.736.301(1 � 0.0466)4 � $ 27.279.091.62

En Excel: � VF (4,66%; 4; 0; �22.736.301)

EJERCICIO 21. Un lote que tiene un valor de contado de $ 20.000.000 se está pagando con cuotas mensuales iguales. El saldo después de pagada la cuota 15 es de $ 12.000.000. Si ��]�� ?�� !�_� ]��Z�� {

Ecuación de valor en el mes 15:

20 000 000 1 0 031 0 03 1

0 0312 000 000

1515

. . ..

.. .� �

� ��( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A

A � $ 1.030.132.64


A B C D E

1 20.000.000 3%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

…. ……… ………… ………… ………… ………….

18 15 �B17

384

En la celda A1 escribimos el valor del lote y en la celda B1 la tasa de interés. Desde la celda B4 hasta la celda B18, escribimos el valor de las cuotas mensuales. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E18 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 22.��Z�| �� Z��H�HHH�HHH�� forma: cuota inicial del 20%, 10 cuotas mensuales iguales por valor de $ 4.570.350.53, con una tasa de interés del 2.5% mensual. Después de pagada la cuota 6, se resuelve cancelar el saldo con 3 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas trimestrales.

Calculamos el saldo después de pagada la cuota 6. El saldo de una obligación es igual al valor presente de las cuotas que faltan por pagar:

S6

4

44 570 350 53

1 0 025 1

0 025 1 0 02517 193�

� �

��. . .

.

. .$ .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

.. .540 85

En Excel: � VA (2,50%; 4; �4570350,53)


A B C D E

1 100 2,5%


3 0 �A1

4 1 4.570.350.53 �E3*$B$1 �B4�4 �E3�D4

5 2 4.570.350.53

6 3 4.570.350.53

7 4 4.570.350.53

385


Calculamos el valor de las cuotas trimestrales:

TET � (1 � TEM)3 � 1 � (1 � 0.025)3 � 1 � 7.69% trimestral

A P��

� ��

�i i

i

n

n

1

1 117 193 540 85

0 0769 1 0 0769( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ). . .

. .33

31 0 0769 1

6 634 383 92� �

�.

$ . . .( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

En Excel: ��w/>��&-!*Y��?��17193540,85)


A B C D E

1 17.193.540.85 7,69%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

6 3 �B5

En la celda A1 escribimos el valor del saldo y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario y lo copiamos hasta la celda B6. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E6 y aplicamos Buscar objetivo.

386

EJERCICIO 23. Una obligación que inicialmente se había pactado con un pago de $ 2.000.000 dentro de 8 meses y otro pago de $ 3.250.000 para dentro de 10 meses, se ��Z�� ?��mensual, calcular el valor de las cuotas trimestrales.

Calculamos el valor de la obligación inicial.


P(1 � 0.03)10 � 2.000.000(1 � 0.03)2 � 3.250.000

P � $ 3.997.123.69


A B C D E

1 100 3%


3 0 �A1

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

….. ……. ………… ……….. ……….. ……….

11 8 2.000.000

12 9

13 10 3.250.000

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 la tasa de interés. En las celdas B11 y B13 escribimos el valor de las cuotas. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E13 y aplicamos Buscar objetivo.

387

Conocido el valor de la obligación, calculamos el valor de las 8 cuotas trimestrales iguales.

Calculamos la tasa efectiva trimestral equivalente al 3% mensual:

TET � (1 � TEM)3 � 1 � (1 � 0.03)3 � 1 � 9.27% trimestral

A P��

� ��

�

�

i i

i

n

n

1

1 13 997 123 69

0 0927 1 0 0927

1

8( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ). . .

. .

00 0927 1729 440 89

8.

$ . .( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥�

�

En Excel: ��w/>��&Y!G-��3997123,69)


A B C D E

1 3.997.123.69 9,27%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

6 3 �B5

….. …………. ……… ………… …………. …………

11 8

En la celda A1 escribimos el valor de la obligación y en la celda B1 la tasa de interés. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario y lo copiamos hasta la celda B11. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E11 y aplicamos Buscar objetivo.

388

EJERCICIO 24.�� !��!�� #��GHH�HHH��`�� !�� tasas de interés:

MES 1 2 3

TASA 0.5% 0.8% 0.4%

Este es el caso del cálculo del valor futuro de una anualidad con tasa variable, en el cual no aplica la fórmula tradicional de las Matemáticas Financieras, que supone que la tasa ��


A B C D E F

1 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO TASA

2 0

3 1 200.000 �B3 0.5%

4 2 200.000 �E3*F3 �B4�C4 �E3�D4 0.8%

5 3 200.000 �E4*F4 �B5�C5 �E4�D5 0.4%

6 4 200.000 �E5*F5 �B6�C6 �E5�D6

389

EJERCICIO 25. Una pareja de recién casados compra un apartamento en $ 50.000.000 pagando una tasa de interés del 3% mensual. Si la pareja puede hacer pagos mensuales vencidos de $ 1.806.648, ¿cuándo terminan de pagar el apartamento?

ni

i�

� �

��

� �Log A Log A P

Log

Log Log( )( )1

1 806 648 1 806 648 50 000. . . . . .0000 0 03

1 0 035

* .

.( )( )Log

años�

�

En Excel: � NPER (3 %; �1806648; 50.000.000)

EJERCICIO 26. Se abre una cuenta de ahorros con $ 10.000.000 en una entidad que paga el 0.4% mensual. Se desean hacer 5 retiros mensuales iguales empezando 6 meses �� _��| ��Z�� del año de $ 1.500.000?


10 000 000 1 0 0041 0 004 1

0 0041 0 004

125

2. . .

.

..� �

� ��( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )A �� 1 500 000. .

A � $ 1.769.627.38


A B C D E

1 0.40%


3 0 10.000.000 �B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

….. ….. ………… ………… ……………. ……..

9 6 (100)

10 7 (100)

11 8 (100)

12 9 (100)

13 10 (100)

14 11

15 12

En la celda B1 registramos la tasa de interés y en la celda B3 el valor del depósito inicial. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y saldo. En las celdas B9 hasta la B13 escribimos los retiros. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

390

EJERCICIO 27.��}�� }��mes 4 de $ 350.000. Luego se hacen retiros desde el mes 7 hasta el mes 10 de $ 125.000 �� "��G#��HHH!�_| ��reconocieron?


350 0001 1

1 125 0001 1

14

84

. .� �

� ��

�i

ii

i

ii

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (( )2 1 245 000� . .

Por interpolación lineal, i � 2.63 % mensual.


A B C D E1 1.0%2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO3 04 1 350.000 �B45 2 350.000 �E4*$B$1 �B4�C4 �E4�D56 3 350.0007 4 350.000

….. ….. ………. ……….. ……………. …………10 7 (125.000)11 8 (125.000)12 9 (125.000)13 10 (125.000)14 1115 12

391

En la celda B1 escribimos una tasa arbitraria la tasa de interés. Desde la celda B4 a B7 registramos los depósitos y desde la B10 a la B13 registramos los retiros. En las celdas C5, D5 y E5 calculamos intereses, depósito más interés y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C5, D5 y E5 en el rango C6:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 28. Para usted, ¿qué resulta mejor negocio para comprar un electrodoméstico que cuesta $ 2.000.000?

a) Pagar 12 cuotas mensuales de $ 189.119.19.

b) Pagar 4 cuotas trimestrales de $ 578.769.79.

Opción a. Calculamos la tasa de interés mensual.

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2 000 000 189 119 191 1

1

12

12. . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 2,0% mensual

En Excel: � TASA (12; �189119,19; 2.000.000)


A B C D E1 2.000.000 3%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 189.119.19 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

….. ……. ………… ……….. ……….. ……….15 12 189.119.19

392

En la celda A1 escribimos el valor del electrodoméstico y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B4 hasta la B15 escribimos el valor de la cuota mensual. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

Opción b. Calculamos la tasa de interés trimestral.

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

2 000 000 578 769 791 1

1

4

4. . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 6.12% trimestral

En Excel: � TASA (4; �578769,79; 2000000)


A B C D E

1 2.000.000 3%


3 0 �A1

4 1 578.769.79 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

….. ……. ………… ……….. ……….. ……….

7 4 578.769.79

393

En la celda A1 escribimos el valor del electrodoméstico y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B4 hasta la B7 escribimos el valor de la cuota trimestral. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copia-mos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E7 y aplicamos Buscar objetivo.

Comparando las tasas de interés obtenidas para cada opción (2.0% mensual y 6.12% trimestral), se concluye que las dos opciones son equivalentes porque estas dos tasas son equivalentes.

EJERCICIO 29.��K�� <��¥��< ��un local comercial, por valor de $ 80.000.000 con un plazo de 1 año mediante el pago de un canon mensual vencido de $ 7.500.000 y una opción de compra del 10%. ¿Qué tasa de interés le cobraron?


80 000 000 1 7 500 0001 1

8 000 00012

12

. . . . . .� ��

�ii

i( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 3,05% mensual

En Excel: � TASA (12; �7500000; 80.000.000; �8.000.000)


A B C D E

1 80.000.000 2%


3 0 �A1

4 1 7.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

…. ……. ………… ……….. ……….. ……….

15 12 15.500.000

394

En la celda A1 escribimos el valor del Leasing y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. Desde la celda B4 hasta la B15 escribimos el valor del canon mensual, con excepción de la celda B15 en la que agregamos al valor del canon mensual la op-ción de compra.. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 30. Un Banco aprueba un crédito por valor de $ 18.000.000 con una tasa de interés del 14% EA con intereses pagaderos trimestre vencido y plazo de un año, para amortizarlo con cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas trimestrales

TEA � (1 � TET)4 � 1

TET � (1 � TEA)1/4 � 1 � (1 � 0.14)1/4 � 1 � 3.33 % trimestral

A P��

� ��

�

�

i i

i

n

n

1

1 118 000 000

0 0333 1 0 0333

1 0

4( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ). .

. .

.00333 14 880 759 04

4( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥�

� $ . . .

En Excel: � w/>��&?!??��#��HHHHHH'


A B C D E

1 18.000.000 3,33%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

6 3 �B5

7 4 �B6

395

En la celda A1 escribimos el valor del préstamo y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del crédito. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario y lo copiamos hasta la celda B7. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copia-mos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E7 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 31. Se inicia una cuenta de ahorros con un depósito inicial P. Desde el mes 2 hasta el mes 5 se hacen depósitos adicionales de $ 600.000 cada mes. Si desde el mes 7 hasta el mes 11 se hacen retiros de $ 125.000 cada mes, calcular el valor del depósito �� "��HHH�HHH��<��| ��-conocen es del 0.4% mensual.


P 1 004 600 0001 004 1

0 0041 004 125 000

1124

7. .

.

.. .( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )�

��

..

.. . .

004 1

0 0041 004 5 000 000

5( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )

��

P � $ 3.002.354.56


A B C D E1 0.4%2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO+INTERÉS SALDO3 0 100 �B34 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 600.0006 3 600.0007 4 600.0008 5 600.0009 610 7 (125.000)11 8 (125.000)12 9 (125.000)13 10 (125.000)14 11 (125.000)15 12

396

En la celda B3 escribimos un valor arbitrario, que corresponde al depósito inicial, y en la celda B1 escribimos la tasa de interés. Desde la celda B5 a B8 registramos los depósitos adicionales y desde la B10 a la B14 registramos los retiros. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D45 y E45 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

397397

CAPÍTULO 6

Gradientes o series variablesAprende a conocer el verdadero valor del tiempo: arrebata, coge y aprovecha cada

momento. Nada de ociosidad; fuera pereza; nada de aplazamientos; nunca dejes para

mañana lo que puedas hacer hoy.

LORD CHESTERFIELD

0. INTRODUCCIÓN

��+�� Z�� !��| ��]��en la posibilidad de liquidar sus deudas con dinero más barato, razón por la cual los acreedores no recuperan totalmente el dinero prestado. El otorgamiento de créditos �� ]��Z�� &Zarruk,1986). Por esta razón, el pres-tamista necesita recuperar lo antes posible el dinero dado en préstamo. De otra parte, los usuarios de créditos a largo plazo, por su limitada disponibilidad de dinero, también necesitan contar con sistemas de amortización de créditos que se inicien con cuotas bajas que se vayan incrementando al ritmo de sus ingresos. Estas circunstancias que rodean ��"��]��| ��+ �� | �� !��que aumenten o disminuyan periódicamente, llamados Gradientes o Series Variables.

Estos modelos matemáticos también se basan en la suposición teórica de que valores como el mantenimiento de un vehículo, gastos operativos de una empresa, aumentan �� @�� | �� -rica porque en la vida real, en lo que hace referencia a estos gastos, es imposible que se puedan prever aumentos o disminuciones periódicos constantes. Sin embargo, la serie de gradientes también analizan estas situaciones.

398


0

P

1 2 3 4 5 6 meses

100.000105.000

110.000 115.000120.000 125.000

El propósito de este capítulo es, precisamente, el análisis de este modelo matemático llamado Gradientes o series variables. Es así como analizaremos una serie de pagos que aumentan o disminuyen cada uno con respecto al anterior en una cantidad constante de dinero, la que llamaremos gradiente lineal o aritmético, y la serie de pagos que aumen-tan o disminuyen en un porcentaje constante la que llamaremos gradiente geométrico. Analizaremos, como caso especial, un tipo de gradiente llamado gradiente escalonado, | ��| �� &�� "'�� !��

Como introducción a este tema desarrollemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 6.1

Una deuda se está cancelando con 6 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ 5.000. El valor de la primera cuota es de $ 100.000. Si la tasa de interés que se cobra en la operación es del 3% mensual, calcular el valor inicial de la deuda.

��+ ��


P � � � �100 000

1 03

105 000

1 03

110 000

1 03

115 000

1 031 2 3

.

.

.

.

.

.

.

.( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )4 5 6

120 000

1 03

125 000

1 03� �

.

.

.

.

P � $ 607.100.13

<�� -��| �� K��Z��+ ��Z��individuales vistos en el capítulo 3, y el mismo con que hicimos la introducción al tema de las anualidades. Pero, si el ejercicio supusiera no 6 pagos mensuales sino, por ejemplo, 60 pagos mensuales, la solución del ejercicio utilizando este procedimiento se tornaría largo y tedioso. Por esta razón, se hace necesario entrar a estudiar el modelo matemático llamado Gradientes o Series variables que analiza esta situación. El modelo suministra expresiones para hacer movimientos del dinero en una forma directa, sin tener que acudir al procedimiento del ejemplo 6.1.

399

Gradientes o series variables

1. DEFINICIÓN

Se llama gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación. Esta ley de formación hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje.

2. CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE

Para que una serie de pagos periódicos se considere un sistema de gradientes, debe cumplir con las siguientes condiciones.

�� Los pagos deben tener una ley de formación.

�� Los pagos deben ser periódicos.

�� La serie de pagos debe tener un valor presente (P) equivalente y un valor futuro (F) equivalente.

�� El número de períodos debe ser igual al número de pagos.

Si comparamos estas 4 condiciones con las que caracterizan el sistema de anuali-dades, notamos que la única diferencia entre los dos modelos matemáticos está en la primera condición. Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales, en el sistema de gradientes los pagos tienen una ley de formación. Una anualidad, enton-ces, es un caso especial de gradientes en el cual la variación de una cuota con respecto a la otra es cero. Por esta razón, el tratamiento que se le da a los gradientes es igual al de las anualidades.

Se pueden presentar combinaciones, tanto en el gradiente aritmético como en el geométrico, como las analizadas en las anualidades. En el caso de cuotas que crecen en ��!�� Z��!�� !�� se cancelan al principio del período y gradiente lineal creciente diferido, si el pago de la primera cuota se posterga en el tiempo. Estas combinaciones también se presentan para el gradiente lineal decreciente. En el caso en que las cuotas aumenten cada período en �� creciente vencido. Si el pago de las cuotas es anticipado se tiene un gradiente geomé-trico creciente anticipado, y si las cuotas se cancelan períodos posteriores a la fecha de ��K��!��<�mismo sucede con el gradiente geométrico decreciente.

3. GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO

Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente. Por ejemplo, si una deuda se está cancelando con cuotas mensuales que crecen cada mes en $ 5.000, la serie de pagos conforman un gradiente lineal creciente. Si los pagos disminuyen en $ 5.000 cada mes, su conjunto constituye un gradiente lineal decreciente.

400


A � GA

A � 2GA � 3G

0

P

1 2 3 4

0

P

1 2 3 4 5 6 7 24 meses

150.000160.000

170.000

150.000 �(n � 1) 10.000

3.1 GRADIENTE LINEAL CRECIENTE

Valor presente de un gradiente lineal creciente

Es un valor ubicado en el presente, que resulta de sumar los valores presentes de ��| �� &>'�

/�� + ��| �� | ��

P A G�

� �

��

� �

��

�

1 1

1

1 1

1 1

i

i i i

i

i i

n

i

n

n

n

n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ (6.1)

Donde: P � valor presente de la serie de gradientes

A � valor de la primera cuota de la serie

i � tasa de interés de la operación

n � número de pagos o ingresos

� >�� constante en que aumenta cada cuota

Ejemplo 6.2

El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas men-suales, que aumentan cada mes en $ 10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.

401


P ��

�150 0001 03 1

0 03 1 03

10 0000 03

1 0324

24

24

..

. .

.

.

.( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ��

�

1

0 03 1 03

24

124 24

. .( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥i

P � $ 4.250.042.13

Es equivalente cancelar hoy $ 4.250.042.13 que cancelar 24 pagos mensuales, que aumenten cada mes en $ 10.000, siendo el primer pago de $ 150.000, a una tasa de interés del 3% mensual.

<�� de gradientes, pero afortunadamente las calculadoras Hewlett Packard 19 B II y 17 B II tiene un programa llamado solucionador (RESOL) que permite registrar, en una forma muy sencilla, las fórmulas de ese modelo y realizar cálculos de las variables que contienen. Para tal efecto, basta con registrar cada una de las fórmulas de los gradientes en el menú RESOL, y al aceptarla se crean unos rótulos de menú de aplicación de cada variable de la fórmula registrada. Las calculadoras FC 200 y FC 1.000 traen, también, incorporados 10 programas que permiten almacenar fórmulas. Cada fórmula se constituye en uno de los 10 programas. El procedimiento con estas últimas calcu ladoras no es tan sencillo como en las Hewlett Packard; para el cálculo de cualquier varia ble de una fórmula se requiere programar la calculadora, para lo cual se necesitan conoci mientos básicos de programación. Por esta razón y en aras de la simplicidad, en este capítulo los cálculos de los ejercicios solamente los haremos con la calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 BII.

Hoy día con el uso de la hoja electrónica Excel los cálculos propios de los gradientes ��}�� Buscar objetivo de Excel que resuelve en una forma sencilla y práctica cualquier ejercicio de gradientes.

El menú resol de la calculadora Hewlett Packard 17 B II y 19 B IIEste menú es una potente herramienta que permite registrar fórmulas, que luego

podemos emplear para calcular el valor de cualquiera de las variables que ésta contiene.

Para ingresar las fórmulas comenzando desde el menú principal (MAIN) se oprime RESOL, se registra la fórmula, asignándole un nombre abreviado seguido por dos puntos, y se oprime INPUT para guardarla en la memoria del RESOL. Al ingresar la fórmula la calculadora presenta en la pantalla el siguiente mensaje: VERIFICANDO FÓRMULA... para indicar que el solucionador está comprobando la fórmula. Si esta no puede ser interpre-tada, la calculadora exhibe entonces brevemente el mensaje: FÓRMULA INCORRECTA y el cursor se coloca delante del primer carácter que el solucionador no pudo interpretar. Una vez aceptada la fórmula se oprime CALC y la calculadora muestra el menú de variables correspondiente a la fórmula en uso. Basta luego con ingresar el valor de las variables que suministra el ejercicio y oprimir la variable solicitada. El nombre de la fórmula puede tener cualquier número de caracteres, con la condición de que deben ser continuos.

La expresión (6.1), que calcula el valor presente equivalente de un gradiente lineal creciente la registramos en el menú RESOL, de la siguiente manera:

>^/<�=�/<`^�;�w><` � A � ((1 � i) ^ n � 1)/(i � (1 � i) ^ n) � &>�i)

� (((1 � i) ^ n � 1)/(i � (1 � i) ^ n) � n /(1 � i) ^ n)

402


Utilizando el menú RESOL, ya con la fórmula del valor presente registrada, podemos calcular para el ejercicio el valor de la máquina con el siguiente procedimiento:

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/<�=�/<`^�

�� Oprima CALC

�� Aparece en pantalla VERIFICANDO FÖRMULA

�� Aparece en la parte inferior de la pantalla un menú de variables de la fórmula en uso

�� Ingrese 150.000 A

�� Ingrese 0.03 i

�� Ingrese 24 N

�� H�HHH�>

�� w><`�� Z��#�G�H�H#G��?

Con esta fórmula, utilizando el menú RESOL, podemos calcular cualquiera de sus variables, siguiendo un procedimiento similar al anterior, teniendo en cuenta que la tasa de interés se debe ingresar como número decimal.

Para el ejemplo 6.2, la cuota aumenta $ 10.000 cada mes. Si la primera cuota es A, la cuota del segundo mes será A � 10.000, la tercera cuota será A � 20.000, la cuarta cuota será A � 30.000, la enésima cuota será A � (n ��'�>�

Para este ejercicio, la cuota número 24 será igual a:

Cuota n � A � (n ��'>

Cuota 24 � 150.000 � (24 � 1) � 10.000

Cuota 24 � $ 380.000

Por lo tanto, la expresión para calcular el valor de cualquier cuota es la siguiente:

Cn � A � (n ��'>� &*�G'

Siendo: Cn � valor de la cuota n

n � número de la cuota

A � valor de la primera cuota

� >� � variación de cada cuota

En el menú RESOL se registra la expresión (6.2), de la siguiente forma:

`��$/>^/<�`^�;�`><`�� A ��>�� (n � 1)

Si se desea calcular para el ejemplo 6.2 el valor de la cuota No 24, utilizando el menú RESOL, se aplica el siguiente procedimiento:

403


�� Oprima RESOL

�� <�� `��$/>^/<�`^�

�� Oprima CALC


�� H�HHH�>

�� Ingrese 24 N

�� `><`�� Z��?�H�HHH


Figura 6.1

A B C D E

1 100 3% 10.000


3 0 �A1

4 1 150.00 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4�$C$1

6 ................ ................ ................ ................ ................

27 24

A la celda A1 le asignamos un valor arbitrario de 100. En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 3% y en la C1 el aumento mensual de las cuotas. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en la B5 calculamos la segunda que es igual a la primera (B4) incrementada en $ 10.000 (C1) y copiamos B5 hasta B27. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo insoluto. (Ver Figura 6.1)

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo��/�� Z��#�G�H�H#G��?��&k�� *�G'�

404


0 4 5

500 500 500600

700

6 11 meses8 9 10

800900

Figura 6.2

Ejemplo 6.3

�� + ��!�� Z��| �Z�� interés del 2% mensual.

��+ ��]�� ;� �� | ��-mienza en el mes 4 y termina en el mes 6, y por una serie de gradientes lineal creciente que comienza en el mes 8 y termina en el mes 11. La solución más sencilla se plantea analizando las dos series en forma independiente y luego sumando los dos valores presentes.

�� Cálculo del valor presente de la primera serie de ingresos.

El valor presente de la anualidad estará ubicado en el mes 3, si la tomamos como una anualidad vencida. Recuerde el lector que el valor presente de una anualidad vencida está ubicado un período anterior a la fecha del primer pago (ingreso).

405


P A1 1

1

i

i i

n

n

� ��

�

�

��

�

�

��

P ��

5001 02 1

0 02 1 02

3

3

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � 1.441.94

Este es el valor presente de la anualidad en el mes 3, el que tenemos que trasladar al momento cero.

P � �1 441 94

1 021 358 77

3

. .

.. .

( )�� Cálculo del valor presente de la segunda serie de ingresos. Esta serie corresponde

a un gradiente lineal creciente, en el que A ��*HH!�>�� 100, i � 2% y n � 4.

P ��

��

6001 02 1

0 02 1 02

1000 02

1 02 1

0 02 1 02

4

4

4.

. . .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )(( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥4 4

4

1 02�

.

P � 2.846.37

Este valor obtenido corresponde al presente del gradiente en el mes 7, por tal razón, tenemos que trasladarlo al momento cero.

P �2 846 37

1 027

. .

.( )

P � 2.477.94

El valor presente de toda la serie será igual a la suma de los dos valores presentes.

P � 2.477.94 � 1.358.77

P � 3.836.71

406



Figura 6.3

A B C D E

1 100 2%


3 0 �A1

4 1 0 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 0

6 3 0 ................ ................ ................

7 4 500

8 5 500

9 6 500

10 7 0

11 8 600

12 9 700

13 10 800

14 11 900

En la columna B registramos los ingresos que plantea el ejercicio, así: en las celdas B4, B5 y B6 escribimos cero (es necesario escribir cero porque Excel no reconoce es-pacios en blanco como cero), en las celdas B7, B8 y B9 escribimos 500, en la celda B10 escribimos cero y, en las celdas B11, B12, B13 y B14 escribimos los valores 600, 700, 800 y 900 respectivamente. A la celda A1, que es la incógnita, le asignamos un valor arbitrario de 100. En la celda B1 escribimos la tasa de interés del 2%. En las celdas C4, D4 Y E4 �� !�� &k�� *�?'�

Copiando las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E14 y aplicando Buscar objetivo!��/�� Z��?��?*�-��&k�� *�#'�

407


0

50.000.000

1 2 3 4 5 6 12 meses

A � 20.000A

A �(n � 1) 20.000

Figura 6.4

Ejemplo 6.4

Después de la liquidación de una empresa queda una deuda de $ 50.000.000 que se va ��G�� !�| �� GH�HHH��interés es del 2.5% mensual, calcular el valor de la primera cuota y el valor de la cuota No 12.

En este caso se conoce el valor presente (P), el número de pagos (n), la tasa de in-terés periódica (i'��Z�� &>'!�� Z��cuota (A). La solución al ejercicio se encuentra aplicando la expresión (6.1).

50 000 0001 025 1

0 025 1 025

20 0000 025

112

12. .

.

. .

..

��

�A( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

..

. . .

025 1

0 025 1 025

12

1 025

12

12 12

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

A � $ 4.770.232.77

408


Este valor de A corresponde a la primera cuota.

La cuota No. 12 será igual a:

C12 � A � (n ��'>� &*�G'

C12 � 4.770.232.77 � (12 � 1)20.000

C12 � $ 4.990.232.77

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/<�=�/<`^�

�� Oprima CALC

�� H�HHH�HHH�w><`

�� Ingrese 0.025 I

�� Ingrese 12 N

�� GH�HHH�>

�� Oprima A y se obtiene un valor de 4.770.232.77

Para el cálculo de la cuota No 12, utilizan do el menú RESOL, se procede así:

�� Oprima RESOL

�� <�� `��$/>^/<�`^�

�� Oprima CALC

�� Ingrese 4.770.232.77 A

�� GH�HHH�>

�� Ingrese 12 N

�� `><`�� Z��#�YYH�G?G�--


Figura 6.5

A B C D E

1 50.000.000 2.5% 20.000


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4�$C$1

6 ................ ................ ................ ................ ................

15 12

409


En la celda A1 escribimos 50.000.000, en la B1 2.5%, que es la tasa de interés y en la C1 20.000 que es el aumento mensual de las cuotas. En la celda B4, que corresponde a la incógnita, escribimos un valor arbitrario de 100 y en la celda B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera (B4) incrementada en $ 20.000 (C1). Copiamos la celda B5 hasta la celda B15. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y �� &k�� *��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 4.770.232.77, que corresponde a la primera cuota y en la celda B15 un valor de $ 4.990.232.77 que corresponde al valor �� G��&k�� *�*'�

Figura 6.6

Ejemplo 6.5

¿Con cuántos pagos mensuales, que aumenten en $ 13.500 cada mes, se cancela el valor de una obligación de $ 75.000.000, si se cobra una tasa de interés del 3% mensual y la primera cuota es de $ 8.042.291.95? ¿Cuál será el valor de la última cuota?

��+ �� | �� (A) tiene un valor de $ 8.042.291.95 y la cuota crece en $ 13.500 cada mes, con respecto a la cuota del mes anterior. La solución del ejercicio consiste en calcular el número de cuotas mensuales necesarias para la cancelación de la deuda.

P A G�

� �

��

� �

��

�

1 1

1

1 1

1 1

i

i i i

i

i i

n

i

n

n

n

n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ (6.1)

410


75 000 000 8 042 291 951 03 1

0 03 1 03

13 500. . . . ..

. .

.�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n

n 00 03

1 03 1

0 03 1 03 1 03.

.

. . .

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n

n n

n��

Por el método de interpolación lineal, se obtiene un valor de n igual a 11.

Cuando se calcula el número de pagos en un sistema de gradientes y éste no co-rresponde a un número entero, la solución más sencilla se logra redondeando el número de cuotas y recalculando el valor de la primera cuota.

Para el cálculo de la última cuota, que corresponde a la cuota No. 11, aplicamos la expresión:

Cn � A � (n ��'>� &*�G'

C11 � 8.042.291.95 � (11 � 1)13.500

C11 � $ 8.177.291.95

Con la expresión diseñada para el cálculo del valor presente de un gradiente lineal ��!��W�^��<��>^/<�=�/<`^�!�� valor de (n) en una forma directa.

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/<�=�/<`^�

�� Oprima CALC

�� -��HHH�HHH�w><`

�� Ingrese 8.042.291.95 A


�� ?��HH�>

�� Oprima N y se obtiene un valor de 11.

Para el cálculo de la cuota No 11, utili zan do el menú RESOL, se procede de la si-guiente manera:

�� Oprima RESOL

�� <�� `��$/>^/<�`^�

�� Oprima CALC

�� Ingrese 8.042.291.95 A

�� ?��HH�>

�� Ingrese 11 N

�� `><`�� Z��--�GY��Y�

411



Figura 6.7

A B C D E

1 75.000.000 3.00% 13.500


3 0 �A1

4 1 8.042.291.95 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4�$C$1

6 ................ ................ ................ ................ ................

16 13

En la celda A1 escribimos 75.000.000, en la B1 la tasa de interés del 3.0% y en la C1 $ 13.500 que es el aumento mensual de las cuotas. En la celda B4 registramos $ 8.042.291.95 que corresponde al valor de la primera cuota y en la celda B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera (B4) incrementada en $ 13.500 (C1). Copia-mos la celda B5 hasta B16 (aunque pueden ser más períodos). En las celdas C4, D4 y E4 �� !�� &k�� *�-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E16 y observamos en la tabla de amortización que el saldo en la celda E14 es igual a cero, es decir, que la obligación se amortiza con 11 cuotas. El valor de la cuota 11 (última cuota) la encontra-��#�� Z��--�GY��Y��&k�� *��'�

Figura 6.8

412


Ejemplo 6.6

¿En qué cantidad debe aumentar el valor de las 12 cuotas mensuales, con que se está �� Z�� | �� Z��HHH�HHH!��Z��@�� Z��?HH�HHH��una tasa de interés del 2% mensual?

��+ ��!��!�� creciente en el que se conoce:

P � $ 5.000.000 i ��G�� >�� ? n � 12 A � $ 300.000

El cálculo del gradiente se obtiene aplicando la expresión (6.1).

5 000 000 300 0001 02 1

0 02 1 02 0 02

1 0212

12. . .

.

. . .

.�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(G ))( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

12 12

1

0 02 1 02

12

1 02

��

. . . (6.1)

�� Z��>�� $ 32.824.86

��K��W�̂ ��<!�� Z��>�� procedimiento:

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/<�=�/<`^�

�� Oprima CALC

�� HHH�HHH�w><`



�� Ingrese 12 N

�� >�� Z��?G��G#��*


A B C D E1 5.000.000 2.0% 1002 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 300.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4�$C$1

......... ................ ................ ................ ................ ................15 12

413


En la celda A1 escribimos 5.000.000, en la B1 la tasa de interés del 2.0% y en la C1 un valor arbitrario de 100, que corresponde al aumento en el valor de las cuotas. En la celda B4 escribimos 300.000 que corresponde a la primera cuota y en la celda B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera (B4) incrementada en la cantidad a calcular (C1). Copiamos la celda B5 hasta B15. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo insoluto. (Ver Figura 6.9).

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo de Excel encontramos en C1 un valor de $ 32.824.86, que corresponde �� Z�� &k�� *��H'�

Figura 6.10

Ejemplo 6.7

A un constructor le proponen comprarle una propiedad que tiene un valor de $ 30.000.000 con el siguiente plan de pagos: 18 cuotas mensuales que aumenten $ 15.000 cada mes, siendo la primera de $ 2.000.000. Si el está dispuesto a prestar su dinero siempre que obtenga un rendimiento del 4% mensual, ¿qué decisión debe tomar?

��+ �� -ciente donde:

P � $ 30.000.000 A � $ 2.000.000

n �� >�� 15.000

i � ?

414


�� la tasa de oportunidad del constructor.

30 000 000 2 000 0001 1

1

15 000 118

18. . . . .

��

��

�i

i i i

i( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )118

18 18

1

1

18

1

�

��

�i i i i( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (6.1)

Utilizando el método de interpolación lineal se obtiene una tasa de interés de 2.65% �� !�| ��<��-sión que debe adoptar el constructor es la de no aceptar la oferta, porque la tasa de la ��| ��

`�� Z��!� ��K��menú RESOL, de la siguiente manera:

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/<�=�/<`^�

�� Oprima CALC

�� ?H�HHH�HHH�w><`

�� Ingrese 2.000.000 A

�� Ingrese 18 N

�� HHH�>

�� Oprima i y se obtiene un valor de 2.65% mensual.


Figura 6.11

A B C D E

1 30.000.000 2.0% 15.000


3 0 �A1

4 1 2.000.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4�$C$1

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18

En la celda A1 escribimos 30.000.000 y en la B1 una tasa arbitraria del 2.0%. En la celda B4 escribimos 2.000.000 como primera cuota y en la B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera (B4) incrementada en $ 15.000 (C1). Copiamos la celda B5 hasta B21. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los intereses, abono a capital y saldo �� &k�� *��'�

415


0

P

1 2 3 4 n

A � GA � 2G

A � 3G

A

A �(n � 1) G

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 y aplicando Buscar objetivo�� Z��G�*��&k�� *��G'�

Figura 6.12

4. GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE

4.1 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE

Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de pagos periódicos que tienen la característica de disminuir, cada uno con respecto al anterior, en una cantidad ��&>'�

��+ �� ;

Si se compara una serie de gradiente lineal creciente con la serie de gradiente lineal decreciente, se llega a la conclusión que la única diferencia que los caracteriza ��>��w��Z��decreciente es negativa. Para lograr, entonces, una expresión que nos permita calcular

416


0

P � ?

1 2 3 4 5 18 meses

A �(n � 1)G

2.500.0002.490.000

el valor presente de un gradiente lineal decreciente, simplemente se ajusta la ecuación (6.1), sin necesidad de realizar ninguna deducción matemática, cambiando únicamente ��>��]��

P A G�

� �

��

� �

��

�

1 1

1

1 1

1 1

i

i i i

i

i i

n

i

n

n

n

n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ (6.3)

Donde: P � valor presente de la serie de gradientes


i � tasa de interés efectiva periódica

n � número de pagos o ingresos

� >�� constante en que disminuye cada cuota

El valor presente de esta serie de gradientes calculado con la expresión (6.3), también queda ubicado un período anterior al primer pago.

Ejemplo 6.8

Una vivienda se está cancelando con 18 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 ��!�� G��HH�HHH��| ��]�cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.

El valor presente se calcula aplicando la expresión (6.3), que equivale a una ecuación de valor con fecha focal en el momento cero.

P ��

�2 500 0001 03 1

0 03 1 03

10 0000 03

1 0318

18. .

.

. .

.

.

.( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )118

18 18

1

0 03 1 03

18

1 03

��

. . .( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (6.6)

P � $ 33.323.645.98

La fórmula del valor presente de un gradiente lineal decreciente, la registramos en el menú RESOL de la siguiente manera:

>^/<�=�/<��`^�;

w><��A�((1�i)^n�1)/(i�(1�i)^n)�&>�i)�(((1�i)^n�1)/(i�(1�i)^n)�n/(1�i)^n)

417


�� Oprima RESOL�� <�� >^/<�=�/<��`^�� Oprima CALC�� Ingrese 2.500.000 A�� Ingrese 0.03 I�� Ingrese 18 N�� H�HHH�>�� w><�� Z��??�?G?�*#��Y�

Al registrar la fórmula del valor presente de una serie de gradientes lineal decre-ciente en el menú RESOL y al activar la fórmula oprimiendo CALC, la calculadora crea unos menús con las variables que contiene la fórmula. Esto indica que cualquiera de las variables de la fórmula se puede calcular si se conocen las restantes. Se puede calcular el valor presente de la serie (P), la primera cuota (A), la tasa de interés de la operación ��&i), el número de pagos necesarios para cancelar una obligación (n) y el valor ��| �� &>'�

Para este ejemplo las cuotas disminuyen en $ 10.000 cada mes. Si la primera cuota es A, la cuota del segundo mes será A � 10.000, la tercera cuota será A � 20.000, la cuarta cuota será A � 30.000 y la enésima cuota será A � (n ��'>�

El valor de la cuota número 18 es:

Cuota n � A � (n ��'> Cuota 18 � 2.500.000 � (18 � 1) � 10.000 Cuota 18 � $ 2.330.000

La expresión para calcular el valor de cualquier cuota es:

Cn � A � (n ��'>� &*�#'

Siendo: Cn � valor de la cuota n n � número de la cuota� >� � disminución en el valor de cada cuota

En el solucionador (RESOL) registramos la expresión (6.7) de la siguiente forma:

`��$/>^/<��`^�;�`><�� A ��>�� (n � 1)

Para calcular el valor de la cuota No 180, utilizando el menú RESOL, se procede de la siguiente forma:

�� Oprima RESOL�� <�� `��$/>^/<��`^�� Oprima CALC�� Ingrese 2.500.000 A

418


�� H�HHH�>

�� Ingrese 18 N

�� `><�� Z��G�??H�HHH


A B C D E1 100 3.00% 10.0002 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 2.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4�$C$1

......... ................ ................ ................ ................ ................21 18

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de 100, en la B1 la tasa de interés y en la C1 el valor del gradiente. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en B5 se calcula la segunda que es igual a la primera (B4) menos el gradiente (C1). Copiamos B5 hasta B21. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo al ��&k�� *�G-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 y aplicando Buscar objetivo��/�� Z��??�?G?�*#��Y��&k�� *�G�'�

Figura 6.28

419


0

120.000.000

1 2 3 12 trimestres

A �(n � 1) G

20.800.00019.900.000

Ejemplo 6.9

Al señor Pedro Picapiedra el Banco de Colombia le concede un préstamo por valor de $ 120.000.000 a una tasa de interés del 36% TV, con un plazo de 3 años. La amorti-zación del capital se hará en cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de la primera, segunda, tercera, octava y última cuota.

Esta forma de pagar un crédito es ampliamente utilizado por los bancos comercia-les y corresponde al sistema de amortización con abono constante a capital. La cuota periódica la conforma una cantidad constante de capital que resulta de dividir el valor del crédito entre el número de cuotas, sumada al valor de los intereses sobre saldos, lo que indica que cada vez que se cancela una cuota el saldo disminuye en una cantidad constante. Como sistema de amortización, se analizará con mayor detalle en el capítulo 7.

Para este ejercicio, el valor de la cuota trimestral está compuesta por el valor de los intereses sobre saldos más la doceava parte del capital.

primera cuota � � �120 000 000

1210 800 000 20 800 000. . . . $ . .

segunda cuota � � �120 000 000

129 900 000 19 900 000. . . . $ . .

tercera cuota � � �120 000 000

129 000 000 19 000 000. . . . $ . .

El valor del abono al capital es constante ($ 10.000.000) pero los intereses disminuyen �� &��YHH�HHH'!��| ��

Para obviar este proceso de cálculo engorroso se le da al ejercicio el tratamiento de un gradiente lineal decreciente, en el que se conoce el valor de la primera cuota, el valor del gradiente, la tasa de interés y el número de cuotas.

`�� + ��

El valor de la cuota No. 8 será igual a:

Cn � A � (n ��'>� &*�#'

C8 � 20.800.000 � (8 � 1)900.000

C8 � $ 14.500.000

420


El valor de la cuota No 12 será igual a:

C12 � 20.800.000 � (12 � 1)900.000

C12 � $ 10.900.000

Utilizando el menú RESOL, se calcula el valor de las cuotas utilizando el siguiente procedimiento:

�� Oprima RESOL

�� <�� `��$/>^/<��`^�

�� Oprima CALC

�� Ingrese 20.800.000 A

�� YHH�HHH�>

�� Ingrese 2 N

�� `><�� Z��Y�YHH�HHH

�� Ingrese 8 N

�� `><�� Z��#��HH�HHH

�� Ingrese 12 N

�� `><�� Z��H�YHH�HHH


Figura 6.31

A B C D E1 120.000.000 9.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 �C4�D4 �E3*$B$1 �$E$3/12 �E3�D45 2 �C5�D5 �$E$3/12

......... ................ ................ ................ ................ ................15 12 �C15�D15 �$E$3/12

En la celda A1 escribimos el valor del préstamo y en la B1 la tasa de interés. En la celda D4 calculamos el valor del abono constante a capital, dividiendo el valor del préstamo (E3) entre el número de cuotas (12) y copiamos D4 hasta D15. En la celda C4 calculamos los intereses y en la celda B4 calculamos el valor de la cuota sumando intereses (C4) más ��&�#'��&k�� *�?�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas B4, C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y obtenemos �� &��#!��«��G'��Z�� &k�� *�?G'�

421


0

P

1

A

2 3 4

A(1 � J) A(1 � J)2

A(1 � J)3

Figura 6.32

�@�� | �� decreciente anticipado, o gradiente lineal decreciente diferido. Estas situaciones se ma-nejan de la misma forma que los gradientes lineales crecientes, con la única diferencia ��| ��Z��>��Z��

5. GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada �� de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente, dependiendo de que las cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje.

5.1 GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE

Valor presente de un gradiente geométrico crecienteEs un valor ubicado en el presente, equivalente a una serie de pagos periódicos que

� �� !��!��

��+ �� ;

422


P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i para i J (6.5)

Donde: P � valor presente de la serie de gradiente geométrico


J � variación porcentual de la cuota con respecto a la anterior

i ��

n ��W��

`��Z��+ ��!��Z��| �Z��| �� !��]� ��la variación de la cuota comienza en el segundo período. En una forma general, al aplicar la expresión (6.5), el valor presente de una serie de pagos que aumentan periódicamente �� !��"��

Para i � J, reemplazamos en (1) i por J y se tiene:

P A��

��

��

�

��

�

�

1

1

1

1

1

1

1

11 2

2

3

3

4i

i

i

i

i

i

i( )( )( )

( )( )

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P A�

�

41 i( )

Para un número n de pagos o ingresos se tiene:

P A�

�

ni1( )

para J � i (6.6)

Donde: n � número de pagos o ingresos

i � ��


Ejemplo 6.10

Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $ 5.000.000 y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $ 1.500.000 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual, calcular:

�� El valor de la obligación

�� El valor de la cuota 22

423


0

P

1 2 3 4 24 meses

1.500.0001.500.000(1.05)

1.500.000(1.05)24�1

La tasa de interés de la negociación es diferente a la tasa de crecimiento de las cuotas, en consecuencia, se aplica la expresión (6.7) para el cálculo del valor presente de la obligación.

P 5 12

25 000 000 1 500 000

1 05 1 04

0 05 0 04 1 04

24 24

24. . . .

. .

. . .

� � � ��

��

�

��

�

�

��

P � $ 43.727.111.74

La fórmula del valor presente de un gradiente geométrico creciente que se ingresa en el menú RESOL o solucionador, es la siguiente:

>^/>��`^�;�w>>`�� A � ((1 � J) ^ n � (1 � i)^ n) / ((J � i) � (1 � i) ^ n)

�� Oprima RESOL

�� <�� >^/>��`^�

�� Oprima CALC

�� Ingrese 1.500.000 A

�� Ingrese 0.05 J


�� Ingrese 24 N

�� w>>`�� Z��?��-G-��-#!�| �� Z��cuota inicial de 5.000.000 arroja un valor de 43.727.111.74.

Para este ejemplo, la cuota aumenta en un 5% (J) cada mes. Si la primera cuota es de $ 1.500.000 y la llamamos A, la segunda cuota será A (1 � J), la tercera cuota será igual a A (1 � J)2, la cuarta cuota será igual a A (1 � J)3 y la enésima cuota será igual a A (1 � J)n�1.

El valor de la cuota No 22 es: Cuota 22 � 1.500.000 (1 � 0.05)22�1

Cuota 22 � $ 4.178.943.88

424


La expresión para calcular el valor de cualquier cuota es:

Cn � A (1 � J)n-1 (6.7)

Donde: Cn � valor de la cuota n A � valor de la primera cuota J � porcentaje de incremento de cada cuota

En el solucionador (RESOL) se registra la expresión (6.9) de la siguiente forma:

`��$/>^/>��`^�;�`>>`�� A � (1 � J)^(N � 1)

Para el cálculo de la cuota 22 del ejemplo, utilizando el solucionador, se procede así:

�� Oprima RESOL�� <�� `��$/>^/>��`^�� Oprima CALC�� Ingrese 1.500.000 A�� Ingrese 0.05 J�� Ingrese 22 N�� `>>`�� Z��#��-��Y#?��


Figura 6.37

A B C D E1 50 4.00% 5.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 5.000.000 �A1�B34 1 1.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4*(1�$C$1)

......... ................ ................ ................ ................ ................27 24

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de $ 50, en la B1 la tasa de interés y en C1 el valor del aumento mensual de las cuotas. En la celda B3 registramos el valor de la cuota inicial y en E3 el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en B5 calculamos la segunda, que es igual a la primera (B4) incrementada en 5% (C1) y copiamos B5 hasta B27. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono ��&k�� *�?-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en A1 un valor de $ 43.727.111.74 y en B25 una cuota de ��#��-��Y#?��&k�� *�?�'�

425


0

9.000.000

45.000.000

1 2 3 4 5 18 meses

A A(1 � J)A(1 � J)2

A(1 � J)3

A(1 � J)18�1

2.000.000

Figura 6.38

Ejemplo 6.11

��| �� | �� Z��#��HHH�HHH��<��-�� ;�� GH�!�� que aumenten cada mes en un 2% y una cuota extraordinaria pagadera en el mes 18 por Z��G�HHH�HHH��| ��?�� !�� el valor de la primera cuota.

La cuota extraordinaria por valor de $ 2.000.000 pagadera en el mes 24 es una cuota adicional a las cuotas normales de pago. La solución a este ejercicio no la plantea la simple aplicación de la fórmula del valor presente de un gradiente geométrico creciente, porque existe una cuota extraordinaria. Es necesario plantear una ecuación de valor que agrupe la cuota inicial, la cuota extraordinaria y las cuotas normales de pago.

426


Planteamos la ecuación de valor tomando como fecha focal el momento cero. Se ��Z��| ��-to de las cuotas, por lo tanto, para calcular el valor presente del sistema de gradientes utilizamos la expresión (6.7).

45 000 000 9 000 000 2 000 000

1 03

1 02 1 03

018

18 18

. . . . . .

.

. .� � �

�

( )( ) ( )

A.. . .02 0 03 1 03

18�( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 2.162.304.60


Figura 6.39

A B C D E

1 45.000.000 3.00% 2.00%


3 0 0.20*A1 �A1�B3

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4*(1�$C$1)

......... ................ ................ ................ ................ ................

21 18 �B20*(1�$C$1)�2.000.000

/��/��Z��!��`��la tasa de incremento de las cuotas mensuales. En la celda B3 calculamos la cuota inicial y en la E3 el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100 y en la B5 calculamos el segundo pago que es igual al primero (B4) incrementado en un 2,00% (C1). Copiamos la celda B5 hasta B20. En la celda B21 calculamos el pago del mes 18, que es igual al pago del mes anterior (B20) incrementado en un 2,00% más la cuota extraordinaria de $ 2.000.000. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses abono a �� &k�� *�?Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E21 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��G��*G�?H*�#H��&k�� *�#H'�

427


0 1 2 3 4

P

A

A(1 � J)A(1 � J)2

A(1 � J)3

Figura 6.40

5.2 GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un porcentaje constante.

Valor presente de un gradiente geométrico decrecienteEl valor presente de un gradiente geométrico decreciente es un valor, ubicado un

período anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos o ingresos | �� &¥'�

Donde: P � Valor presente J � tasa de incremento de las cuotas A � valor de la primera cuota n � número de cuotas i � tasa de interés de la operación

428


P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

i

i i

n n

n

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (6.8)

El valor presente equivalente calculado con la expresión (6.8) se encuentra ubicado ��!��Z��+ ��!��esta fórmula, el valor presente calculado está ubicado un período anterior al pago de la primera cuota.

La expresión (6.8) se registra de la siguiente forma en el menú RESOL de la calcu-��

>^/>��`^�;�w>>�� A � ((1 � I)^N � (1 � J)^N)/((J � I) � (1 � I)^N)

La ecuación (6.8) calcula el valor presente cuando la tasa de decrecimiento de las cuotas (J) es diferente a la tasa de interés de la operación (i). Para J � i, la expresión (6.8) se convierte en:

P A�

�1 i( ) para J � i (6.9)

Ejemplo 6.12

Calcular el valor presente de 12 pagos trimestrales que disminuyen cada trimestre en 2%, siendo el primer pago de $ 500.000. La tasa de interés es del 32% capitalizable trimestralmente.

��+ �� decreciente, en el que $ 500.000 es el valor de la primera cuota (A), el número de pagos (n) es igual a 12, las cuotas disminuyen en un porcentaje del 2% (J) y la tasa de interés es del 8% trimestral.

`�� Z��

in

� � � �J trimestral0 32

40 08 8. . %

Calculamos el valor presente equivalente a los 12 pagos trimestrales. Para este ejercicio, la tasa de interés (i) es diferente a la tasa de decrecimiento de las cuotas (J), por esta razón aplica la expresión (6.8).

P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

i

i i

n n

n

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (6.8)

P ��

� �500 000

1 0 08 1 0 02

0 02 0 08 1 0 08

12 12

12.

. .

. . .

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

P � $ 3.441.890.96

429


�� Oprima RESOL

�� <�� >^/>��`^�

�� Oprima CALC


�� Ingrese 12 N


�� Ingrese 0.02 J

�� w>>�� Z��?�##��YH�Y*

En el gradiente geométrico decreciente las cuotas disminuyen periódicamente en un porcentaje constante (J). La primera cuota es A, la segunda cuota es A(1–J), la tercera cuota es A(1 � J)2, la enésima cuota será A(1 � J)n�1.

Con el anterior análisis se llega a una expresión general para realizar el cálculo de cualquier cuota.

Cn � A(1 � J)n�1 (6.10)

En el menú RESOL registramos la expresión (6.10) de la siguiente forma.

`��$/>^/>��`^�;�`>>�� A � (1 � J)^(N � 1)


Figura 6.45

A B C D E1 100 8.00% 2.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4*(1�$C$1)

......... ................ ................ ................ ................ ................15 12

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario de $ 100, en la B1 la tasa de interés y en C1 el valor del decrecimiento mensual de las cuotas. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en B5 calculamos la segunda, que es igual a la primera (B4) disminuida en 2% (C1), y copiamos B5 hasta B15. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!��&k�� *�#�'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo��@��/�� Z��?�##��YH�Y*��&k�� *�#*'�

430


0

P

1 2 3 4 12 13 14 15 16 24 25 26 27 28 36

A1A2

A3

Figura 6.46

6. GRADIENTE ESCALONADO O EN ESCALERA

Es una serie de pagos que permanecen iguales durante un tiempo (generalmente un año) y luego aumentan en una cantidad en pesos, o en un porcentaje, cada período. El gradiente escalonado puede ser lineal o geométrico, dependiendo de que el incre-mento periódico sea en pesos o en porcentaje. Cuando los pagos iguales aumentan �� !��!��cuando aumentan en un porcentaje constante se da el gradiente geométrico escalonado.

6.1 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO

Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de cuotas que permanecen constantes durante un período determinado, generalmente un año, y luego aumentan ��

� ��| �� + ��]�� "��| ��"�� &¥'�

431


w��+ �!��;

P � valor inicial de la obligación i � tasa de interés periódican � número de cuotas mensuales al añoTEA � tasa efectiva anual equivalente a la tasa de interés periódicaJ � tasa de incremento de las cuotas cada añoE � plazo, en años, de la obligaciónA1 � valor de la cuotas mensuales del primer período

P ATEA J

TEA TEA J

E

E�

� � � � �

� �1

1 1 1 1

1

i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (6.11)

Con esta fórmula se calcula un valor presente equivalente (P) a una serie de pagos periódicos, iguales durante un tiempo determinado (generalmente un año), que aumentan �� &�"'

En el menú RESOL, registramos la expresión de la siguiente manera:

>^/>��`/<�=/��;

w>>�� A � ((1 � I)^N � 1)/I � (((1 � TEA)Ê � (1 � J)Ê) / ((1 � TEA)Ê � (TEA � J)))

Ejemplo 6.13

Una obligación hipotecaria de $ 60.000.000 se va a cancelar por medio de 24 cuotas mensuales, que aumentan cada año en un 20%. Si la tasa de interés que se cobra es del 3% mensual, calcule el valor de las cuotas del primer año.

��+ �� !�en el que:

P � $ 60.000.000 E � 2 años n � 12

J � 20% anual i � 3% mensual A1 � ?

Se necesita, en primer lugar, calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva del 3% mensual. Para tal efecto, aplicamos el procedimiento analítico de equi-valencia de tasas analizado en el capítulo cuarto.

TEA � (1 � TEM)n � 1

TEA � (1 � 0.03)12 � 1

TEA � 42.58% anual

Al aplicar la expresión (6.15) del valor presente de un gradiente geométrico esca-lonado, tenemos:

P ATEA J

TEA TEA J

E

E�

� � � � �

� �1

1 1 1 1

1

i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

432


60 000 0001 0 03 1

0 03

1 0 4258 1 0 201

12 2 2

. ..

.

. .�

� � � � �A

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )11 0 4258 0 4258 0 20

2� �. . .( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A1 � $ 3.272.992.13

De acuerdo con el resultado obtenido, el valor de las cuotas mensuales del primer año es de $3.272.992.13. Como cada año estas aumentan en un 20%, el valor de las cuotas anuales conforman un gradiente geométrico creciente. Se calcula, entonces, el valor de las cuotas para el año siguiente, aplicando la expresión Cn � A1(1 � J)n�1.

Valor de las cuotas segundo año � 3.272.992.13(1.20)1 � $ 3.927.590.56

Con la calculadora Hewlett Packard 17 BII y 19BII, se procede así:�� Entre al menú principal�� Oprima RESOL�� <�� >^/>��`/<�=/�� Oprima CALC�� *H�HHH�HHH�w>>�� Ingrese 0.03 I�� Ingrese 12 N�� Ingrese 0.4258 TEA�� Oprima OTROS�� Ingrese 2 E�� Ingrese 0.20 J�� Oprima OTROS�� Oprima A y obtiene un valor de 1.652.427.96


Figura 6.51

A B C D E1 60.000.000 3.00% 20.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B415 12 �B1416 13 �B15*(1�$C$1)17 14 �B16

......... ................ ................ ................ ................ ................27 24 �B26

433


En la celda A1 escribimos el valor de la obligación hipotecaria, en B1 la tasa de interés y en C1 el valor del incremento anual de las cuotas. En la celda B4 escribimos 100 como valor arbitrario, calculamos la cuota 2 y copiamos hasta B15. En la celda B16 calculamos la cuota del mes 13 (segundo año) incrementando la cuota del mes 12 (B15) en un 20% (C1) calculamos la cuota 14 y copiamos B17 hasta B27. En las celdas C4, D4 ��#�� !��&k�� *��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en B4 un valor de $ 3.272.992.13 que corresponde a las cuotas mensuales del primer año y en B16 un valor de $ 3.927.590.56 de las cuotas mensuales �� "��k�� *��G'�

Figura 6.52

Ejemplo resumen

��Z��H�HHH�HHH!�� G�H�� cancelarla de la siguiente forma:

�� "�

2. Con 2 pagos iguales en los meses 4 y 10.

3. Con 12 pagos mensuales iguales.

4. Con 12 pagos mensuales iguales anticipados.

5. Con 12 pagos mensuales que aumentan $ 20.000 cada mes.

6. Con 12 pagos mensuales que decrecen $ 20.000 cada mes.

434


0 12 meses

10.000.000

F � ?

0 4

X X

10 meses

10.000.000

7. Con 12 pagos mensuales que aumentan que en un 3.0% cada mes.

8. Con 12 pagos mensuales que decrecen en un 3.0% cada mes.

Y�� G��"�!�� | ��"��un 10%.

El lector resolverá cada uno de estos casos con Buscar objetivo de Excel:

�� `�� "�| ��| �Z��!�� !�a los $ 10.000.000 de hoy, a una tasa de interés del 2.0% mensual.

F � P(1 � i)n

F � 10.000.000(1 � 0.02)12

F � $ 12.682.417.94

2. Este es un sistema de pagos analizado en el capítulo 3, en el cual los pagos no son periódicos y, por lo tanto, se trabajan como pagos individuales a través de una ecuación de valor.

Se plantea una ecuación de valor con fecha focal en el momento cero, aunque puede ser en cualquiera otra fecha.

10 000 0001 0 02 1 0 02

4 10. .

. .�

��

�

X X

( ) ( ) X � $ 5.733.308.09

� <�| ��| �� H�HHH�HHH�� G�H�� !�se cancela por medio de dos cuotas iguales de $ 5.733.308.09 pagaderas en los meses 4 y 10.

3. Para este caso se propone cancelar la obligación con 12 cuotas mensuales iguales. La solución a este caso se logra calculando la cuota de una anualidad vencida.

435


0 1 2 3 4 5 6

A

12 meses

10.000.000

0 1

A

11 meses2 3 4 5

10.000.000

10 000 0000.02

. .A�

�

��

�

�

��

1.0212

� �1.02

12

� � 1�

A � $ 945.595.97

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��G��10.000.000; 0)

4. Se propone cancelar la obligación por medio de 12 cuotas mensuales anticipadas. La solución se logra calculando la cuota de una anualidad anticipada.

A P�

��

�

�

�1

1 1

1

1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A �

��

�

�

10 000 000

11 02 1

0 02 1 02

12 1

12 1

. .

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

A � $ 927.054.87

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��'

��w/>��&G��G��10.000.000; 0, 1)


436


0 1 2 3 12 meses

10.000.000

AA � 20.000

A �(12 � 1)20.000

0 1 2 3 12 meses

10.000.000

AA � 20.000

A �(12 � 1)20.000

5. Cancelar la obligación con 12 pagos que aumentan en $ 20.000 cada mes. Este ��

P A G�

� �

��

� �

��

�

1 1

1

1 1

1 1

i

i i i

i

i i

n

i

n

n

n

n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

10 000 0001 02 1

0 02 1 02

20 0000 02

1 0212

12. .

.

. .

.

.

.�

��A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ))( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

12 12

1

0 02 1 02

12

1 02

��

. . .

Despejando el valor de A, se obtiene un valor de $ 840.311.12, que corresponde a la primera cuota. Cada mes las cuotas aumentarán en $ 20.000.

6. Cancelar la obligación con 12 cuotas mensuales que disminuyen en $ 20.000 cada mes. Este caso hace referencia a un sistema de gradiente lineal decreciente.

10 000 0001 02 1

0 02 1 02

20 0000 02

1 0212

12. .

.

. .

.

.

.�

��A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ))( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

12

12 12

1

0 02 1 02

12

1 02

��

. . .

Despejando el valor de A, se obtiene un valor de $ 1.050.880.51, que corresponde a la primera de las doce cuotas. Cada mes las cuotas disminuirán en $ 20.000.

7. Cancelar la obligación con 12 cuotas mensuales que crecen un 3% cada mes. Este ��

437


0 1 2 3 12 meses

10.000.000

AA(1 � 0.03)

A(1 � 0.03)12�1

0 1 2 3 12 meses

10.000.000

AA(1 � 0.03)

A(1 � 0.03)12�1

P ��/¬1 1

1

� � �

� �

J

J

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i

10 000 0001 03 1 02

0 03 0 02 1 02

12 12

12. .

. .

. . .�

�

�A

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 805.135.28

Este es el valor de la primera de las doce cuotas. Las cuotas siguientes aumentarán en un 3% mensual.

8. Pagar la obligación con doce cuotas que decrecen en un 3% cada mes. Este es el caso de un gradiente geométrico decreciente.

P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

i

i i

n n

n

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

10 000 0001 02 1 03

0 03 0 02 1 02

12 12

12. .

. .

. . .�

�

�A

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 1.103.972.01

Este es el valor de la primera de las doce cuotas. Las cuotas siguientes disminuyen en un 3% cada mes.

9. Cancelar la obligación en dos años, con cuotas mensuales iguales el primer año y | �� "�� H�� escalonado.

438


0 12 24 meses

10.000.000

A

A(1 � 0.10)

P ATEA J

TEA TEA J

E E

E E�

� � � � �

� �

1 1 1 1

1

i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Una tasa del 2.0% mensual es equivalente a una tasa del 26.82% EA.

10.000.000 A0.2682

0.2�

� � �

�

1 02 1

0 02

1 1 10

1

12 2 2.

.

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )6682( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥2

0 2682 0 10. .�

A � $ 506.361.49

Durante el primer año se pagarán cuotas mensuales de $ 506.361.49, que aumen-tarán en un 10% para el segundo año.

Conclusiones del ejemplo resumen�� !�� }��K�� /| �!��!�}��

presentado diez soluciones de pagos equivalentes, aunque no iguales, para cancelar una obligación de $ 10.000.000, que se resumen de la siguiente forma:

1. Pagar hoy $ 10.000.000.

2. Un pago de $ 12.682.417.94 dentro de 12 meses.

3. Dos pagos iguales por valor de $ 5.733.308.09 en los meses 4 y 10.

4. Doce pagos mensuales de $ 945.595.97.

5. Doce pagos mensuales anticipados de $ 927.054.87.

6. Doce cuotas mensuales que aumentan en $ 20.000 cada mes, siendo la primera de $840.311.12.

7. Doce cuotas mensuales que disminuyen en $ 20.000 cada mes, siendo la primera de $1.050.880.51.

8. Doce cuotas mensuales que crecen cada mes en un 3%, siendo la primera de $ 805.135.28.

9. Doce cuotas mensuales que decrecen cada mes en un 3%, siendo la primera de $1.103.972.01.

10. En dos años, con 12 cuotas mensuales por valor de $ 506.361.49 el primer año y que se incrementan en un 10% para el segundo año.

439


�� ¿Cuál forma de pago le conviene más al deudor? Depende de muchos factores, esencial mente de su tasa de oportunidad, o sea, aquella tasa máxima a la que podría invertir su dinero. Si esta tasa es mayor que la tasa del crédito, al deudor le convendría la opción que más demore la entrega del capital. Además, como se �� ]��!�� +��!��| ��está en la oportunidad de cancelar la obligación con pesos desvalorizados. Usted, señor lector, nunca se ha preguntado: ¿por qué los bancos no hacen préstamos a ��K!��@�� Z��{�_w��| ��Z�}�� K{�� ]��+��+��al prestamista le conviene diseñar sistemas de pagos que le devuel van lo antes ��| ��/��K��+�� !��G�� !��K�opciones que plantea este ejercicio, ¿cuál le conviene más?

�� Mientras no se cambie la tasa de interés cualquier sistema de pagos que se diseñe es equi valente a los otros. Esta equivalencia se demuestra trayendo, para cada caso, al presente los pagos futuros con la certeza que el valor será igual a $ 10.000.000. Para tal efecto, cada modelo matemático suministra una serie de fórmulas que hacen posible en una forma ágil esta operación.

�� Se podría pensar, al mismo tiempo, que dadas las diferencias en el comportamiento de las cuotas en las diferentes formas de pago, el usuario incurriría en un costo si ��K�� | ��de pagos fuera uno de cuotas crecientes. Esta aseveración no tiene ningún funda-mento (Zarruk, 1986'��!� ��Z�K��}��del préstamo (tasa de interés), éste no sufre ninguna alteración cualquiera que sea el sistema que se utilice para su pago.

�� Contrario a lo que muchas personas profanas del tema piensan, ningún sistema es más costoso que otro medido su valor en pesos. O sea, no podemos apoyarnos en la suma aritmética de las doce cuotas mensuales de cada sistema de pago para opinar sobre cuál es el más costoso. Si elegimos los sistemas de cuotas constantes (anualidades), el de cuotas crecientes en $ 20.000 mensuales y el de cuotas crecientes en un 3% mensual, podemos hacer el siguiente análisis:

Al sumar el valor de las doce cuotas mensuales, violando el principio del valor del dinero en el tiempo, tendríamos:

440


No. de la cuota Cuota constante Cuota creciente en $ 20.000

Cuota creciente en un 3%

1 $ 945.595.97 $ 840.311.12 $ 805.135.282 $ 945.595.97 $ 860.311.12 $ 829.289.343 $ 945.595.97 $ 880.311.12 $ 854.168.024 $ 945.595.97 $ 900.311.12 $ 879.793.065 $ 945.595.97 $ 920.311.12 $ 906.186.856 $ 945.595.97 $ 940.311.12 $ 933.372.467 $ 945.595.97 $ 960.311.12 $ 961.373.638 $ 945.595.97 $ 980.311.12 $ 990.214.849 $ 945.595.97 $ 1.000.311.12 $ 1.019.921.2810 $ 945.595.97 $ 1.020.311.12 $ 1.050.518.9211 $ 945.595.97 $ 1.040.311.12 $ 1.082.034.4912 $ 945.595.97 $ 1.060.311.12 $ 1.114.495.52

Valor total pagado $ 11.347.151.64 $ 11.403.733.44 $ 11.426.503.69

��K��!��]��!�y por lo tanto, el que debe elegir el cliente sería el de las cuotas constantes. Y, el más caro sería el de cuotas crecientes en un 3% mensual. Pero, razonando con las herramientas que aportan las Matemáticas Financieras, podemos apreciar que los tres sistemas de pago tienen el mismo costo y, por ende, un mismo valor futuro. Para demostrar esto, calculemos el valor futuro equivalente en cada uno de los sistemas de pago.

�� Valor futuro del préstamo.

F � 10.000.000(1 � 0.02)12

F � $ 12.682.417.90

�� Valor futuro de las cuotas constantes:

F A��

��1 1

945 595 971 02 1

0 02

12i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

. ..

.

F � $ 12.682.417.90

�� Valor futuro de las cuotas que crecen en $ 20.000 cada mes:

F A G�

� ��

� ��

1 1 1 1i

i i

i

in

n n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F 840.311.12��

��1 02 1

0 0220 000

0 02

1 02 1

0 0

12 12.

...

.

.( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )22

12�⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 12.682.417.90

441


�� Valor futuro de cuotas que crecen un 3% cada mes.

F AJ

J�

� � �

��

�1 1805 135 28

1 03 1 02

0

12 12( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )n ni

i. .

. .

.. .03 0 02�( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

F � $ 12.682.417.90

Observamos que los valores futuros de las cuotas en los tres sistemas son iguales �� Z�� _� �� {�En primer lugar, veamos qué quiere decir el hecho de que el valor futuro de las cuotas de cada sistema de amortización sea igual al valor futuro del préstamo. Al trasladar el valor ��}��"!�� G�!�� de $ 12.682.417.90 equivalente a la suma del capital inicial originalmente recibido en préstamo más los intereses causados durante el año a la tasa del 2% mensual. O sea, que si la suma de los valores futuros de las cuotas es igual al valor futuro del préstamo, ��| �� ]�� | �� Z��préstamo y el valor de los intereses que causa la colocación del capital a la tasa de interés establecida (Zarruk, 1986'��!��!��!�| �� los tres sistemas son tales que pagan el valor de $ 10.000.000 y el valor de los intereses causados a una tasa mensual del 2%, o lo que es equivalente a una tasa del 26.82% EA. Al hacer la operación contraria, es decir, si sumamos el valor presente de las cuotas de cada sistema de pagos, se obtendrían $ 10.000.000 que es el valor del préstamo. Al convertir a valor presente todos los pagos mensuales lo que se está haciendo es quitarle a las cuotas el valor de los intereses, o la valorización nominal causada por los intereses. ��!��!�| ��es diferente la suma aritmética total de los pagos que el valor del dinero pagado. Para el caso de las cuotas mensuales constantes, la suma aritmética de las doce cuotas pagadas es de $ 11.347.151.64, mientras que el valor pagado es el valor futuro equivalente del dinero de $ 12.682.417.90. Considerar la suma aritmética como el valor total pagado sería desconocer el costo de oportunidad que tiene el dinero.

442


EJERCICIO 1.��| �� Z��H�HHH�HHH�� ;�� GH�!� ��G�� $ 5.000.000 y una serie de 10 pagos que aumentan cada mes en $ 5.000, desde el mes 3 hasta el mes 12. Calcular el valor de la primera cuota de la serie de pagos, si la tasa de ��G�H��

Ecuación de valor en el momento cero:

��Z�� HHH�HHH�

PPago mes

A G

��

�

� �

��

� �

�2

1

1 1

1

1 1

12

i

i

i i ii

i i

n

n

n

( )

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( )nn n

n

i�

�

�

1

1 0 022

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ).

8.000.000

A

��

�

� �

�5 000 000

1 0 02

1 0 02 1

0 02 1 0 022

10

10

. .

.

.

. .

( )

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

��

��

�

5 0000 02

1 0 02 1

0 02 1 0 02

10

1 0 02

10

10 10

..

.

. . .⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )1 0 022

� .

El valor presente de la serie de pagos crecientes en $ 5.000 cada mes, se encuentra ubicado en el mes 2, por lo tanto, tenemos que trasladarlo al momento cero.

A � $ 348.276.64


A B C D E

1 10.000.000 2,0%


3 0 �0,20*A1 �A1-B3

4 1 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 5.000.000

6 3 100

7 4 �B6�5.000

....... ......... .......... .......... .......... ..........

15 12

En la celda A1 escribimos el valor del lote de terreno y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del crédito. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial y en la E3 el ��̀ #!��#��#�� !��y saldo. En la celda B5 escribimos el pago de $ 5.000.000, en la celda B6 escribimos un valor arbitrario y en la celda B7 escribimos �B6 � 5.000, para indicar que esta cuota es $ 5.000 más que la cuota anterior. Copiamos la celda B7 hasta la celda B15. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

443

EJERCICIO 2.��Z��GG�HHH�HHH�� del 2.5% mensual, por medio de una cuota inicial y 12 cuotas mensuales crecientes cada mes en un 1.0%. Si la primera cuota es de $ 2.000.000, calcular el valor de la cuota inicial.


P Cl AJ

J� �

� � �

� �

1 1

1

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i

22 000 000 2 000 0001 0 01 1 0 025

0 01 0 025 1

12 12

. . . .. .

. .� �

� � �

�Cl

( ) ( )( ) �� 0 025

12.( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 380.984.34


A B C D E1 22.000.000 2,5%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 100 �A1�B34 1 2.000.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4 *1,01

….. ………. ………. ………… ……….. ………….15 12

En la celda A1 escribimos el valor de la propiedad y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del crédito. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En la celda B4 escribimos el valor de

444

la primera cuota y en la celda B5 escribimos �B4*1.01, para indicar que esta cuota es 1% más que la cuota anterior. Copiamos la celda B5 hasta la celda B15. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 3.�_� �� ]| ��| ��un valor de contado de $ 25.000.000, por medio de una cuota inicial del 10% y 8 cuo-tas mensuales decrecientes en 50.000 cada mes, si el valor de la primera cuota es de $ 3.600.000?


P Cl A G� �

� �

��

� �

��

�

1 1

1

1 1

1 1

i

i i i

i

i i

n

i

n

n

n

n n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

25 000 000 2 500 000 3 600 0001 1

1

50 08

. . . . . . .5 1

1 2

12

i

i i8

� ��

�

�

��

�

�

��

000 1 1

1

8

1

8

8 8i

i

i i i

1 2

12

1

� ��

�

�

��

�

�

��

Por interpolación lineal, i � 4.68% mensual.


A B C D E1 25.000.000 2,5%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �0.10*A1 �A1�B34 1 3.600.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4�50.000

….. ………. ………. ………… ……….. ………….11 8

445

En la celda A1 escribimos el valor de la máquina y en la celda B1 escribimos una tasa de interés arbitraria. En la celda B3 calculamos el valor de la cuota inicial En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en la celda B5 escribimos �B4�50.000, para indicar que esta cuota es 50.000 menos que la cuota anterior. Copiamos la celda B5 hasta la celda B11. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E11 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 4. Un vehículo se está pagando con 12 cuotas mensuales crecientes cada mes en $ 100.000 y 2 cuotas extraordinarias en los meses 6 y 12 de $ 500.000 cada una, a una tasa de interés del 30% MV. Si la primera cuota tiene un valor de $ 1.850.000, calcular el valor del vehículo.

i � �0 3012

2 50. . % mensual


P��

�1 850 0001 025 1

0 025 1 025

100 0000 025

112

12. .

.

. .

..

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

..

. . .

.

.

025 1

0 025 1 025

12

1 025

500 000

1 025

12

12 12

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

(( ) ( )6 12

500 000

1 025�

.

.

P � $ 25.120.166.79


A B C D E1 100 2.5% 100.0002 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 1.850.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4�$C$16 3 �B5�$C$1

….. …….. …………. ……….. …………. …………..9 6 �B8�$C$1�500.00010 7 �B9�$C$1�500.00011 8 �B10�$C$1….. …….. …………. ………… …………. ………….15 12 �B14�$C$1�500.000

446

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario y en la celda B1 escribimos la tasa de inte-rés. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en la B5 calculamos el valor de la segunda cuota, la cual copiamos hasta B15, con excepción de las celdas B9 y B15 en las cuales agregamos el valor de la cuota extraordinaria. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

EJERCICIO 5. El dueño de una bodega desea arrendarla durante un año por $ 500.000 mensuales y aumentar cada mes el valor del arriendo en un 0.50%. Como presume que � �| ��!�_� ]��Z�� arriendo, si su tasa de oportunidad es del 2,0% mensual?

Calculamos el valor presente de los arriendos del primer sistema de pagos:

P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i

P 500.000��

� � �

1 0 005 1 0 02

0 005 0 02 1 0 02

12 12

12

. .

. . .

( ) ( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤⎤

⎦

⎥⎥

P � $ 5.429.143.02

Calculamos el valor de las cuotas mensuales iguales equivalentes:

A P��

� �

i i

in

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A 5.429.143.02��

� �

0 02 1 0 02

1 0 02 1

12

12

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 513.377.57

447

En Excel: ��w/>��&G��G��#GY�#?!HG'

<�| �� | �� | �Z�� G� �� ?�?--��-!�que pagar 12 arriendos mensuales crecientes en un 0.5% empezando con un valor de $ 500.000.


A B C D E

1 100 2.0%


3 0 �A1

4 1 500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4 * 1.005

….. ………. ………. ………… ……….. ………….

15 12

En la celda A1 escribimos un valor arbitrario, que corresponde al valor presente de los 12 arriendos crecientes y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del crédito. En la celda B4 escribimos el valor del primer arriendo y en la B5 calculamos el del segundo arriendo y lo copiamos hasta B15. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicamos Buscar objetivo.

Calculamos el valor de los arriendos mensuales iguales:

448


EJERCICIO 6. ¿Cuántos pagos que aumenten en un 5% cada mes, serán necesarios para cancelar una deuda de $ 3.000.000, si el primer pago es de $ 473.767.55 y se cobra una tasa de interés del 2% mensual?

P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i

3 000 000 473 767 551 0 05 1 0 02

0 05 0 02 1 0 02. . . .

. .

. . .�

� � �

� �

( ) ( )( )( )

n n

nn

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, n � 6 pagos.


A B C D E1 3.000.000 2,0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 473.767.55 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4*1.05

….. ………. ………… ………… ………… ………….12 9

En la celda A1 escribimos el valor de la deuda y en la celda B1 escribimos la tasa de interés del crédito. En la celda B4 escribimos el valor de la primera cuota y en la celda B5 calculamos el valor de la segunda cuota, la cual copiamos hasta la celda B12, por ejem-plo. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, abono a capital y saldo. Copiamos

449

las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E12 y chequeamos hasta cuando encontremos un saldo igual a cero.

EJERCICIO 7. Un padre de familia necesita disponer de $ 5.000.000 para pagar la matrícula de su hijo, para tal efecto abre una cuenta de ahorros con $ 200.000 y está dispuesto a aumentar el valor de los depósitos mensuales en $ 50.000. Si le reconocen una tasa de interés del 0.26% mensual, ¿en cuánto tiempo tendrá el valor requerido? Utilice la hoja de cálculo Excel.


A B C D E1 0.26%2 NO DEPÓSITO INTERÉS DEPÓSITO�INTERÉS SALDO

3 0 200.000 �A14 1 �B3�50.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

….. …… ………… ……….. ……………… ………….15 12

En la celda B1 escribimos la tasa de interés. En la celda B3 registramos el valor del depó-sito inicial y en la celda B4 calculamos el valor del segundo depósito, el cual copiamos hasta la celda B15, por ejemplo. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y saldo y copiamos las fórmulas en el rango C5:E15. Chequeamos la celda E14 y encontramos un saldo de $ 5.000.000, lo que indica que a los 11 meses se tendrá el saldo requerido.

450

EJERCICIO 8. Katya Elena inicia hoy una cuenta de ahorros con $ 800.000 y en los próximos 4 meses deposita $ 200.000 cada mes. En el mes 6 deposita $ 400.000 y en los próximos 3 meses incrementa el valor de los depósitos en un 2%. Calcular el saldo a ��"!�� H��


800 000 200 0001 0 005 1

0 005 1 0 005

400 0004

4. .

.

. .

.

��

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

11 0 02 1 0 005

0 02 0 005 1 0 005

1 0 005

4 4

4

� � �

� �

�

. .

. . .

.

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(( ) ( )5 121 005

�S

.

S � $ 3.374.054.65

451


A B C D E1 0.50%


3 0 800.000 �A14 1 200.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 200.000

6 3 200.000

7 4 200.000

8 5

9 6 400.000

10 7 �B9*1.0211 8 �B10*1.0212 9 �B11*1.02….. …… ………… ………… …………….. …………

15

En la celda B1 escribimos la tasa de interés. En la celda B3 registramos el valor del de-pósito inicial y en las celdas B4, B5, B6 y B7 escribimos los depósitos de $ 200.000. En la celda B9 escribimos el valor del nuevo depósito de $ 400.000 y en las celdas B10, B11 y B12 calculamos los nuevos depósitos. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, depósito más interés y saldo y copiamos las fórmulas en el rango C5:E15 y encontramos en la celda E15 un valor de $ 3.374.054.65, que corresponde al saldo.

452

EJERCICIO 9. Se reciben dos ofertas de pago por una propiedad que tiene un valor de ��H�HHH�HHH�� G�� ;

a) 12 cuotas mensuales iguales de $ 4.727.979.83.

b) 12 cuotas mensuales crecientes en $ 50.000 cada mes, siendo la primera cuota de $ 4.370.208.13.

¿Qué oferta aceptaría usted?

Oferta a: Calculamos el valor presente equivalente de las 12 cuotas mensuales iguales:

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P ��

��4 727 979 83

1 0 02 1

0 02 1 0 0250 000 0

12

12. . .

.

. .$ . .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

000

En Excel: � VA (2%; 12; �4727979,83)


Oferta b: Calculamos el valor presente equivalente de las 12 cuotas mensuales crecientes.

P ��

�4 370 208 131 02 1

0 02 1 02

50 0000 02

1 012

12. . .

.

. .

.

.

.( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

22 1

0 02 1 02

12

1 02

12

12 12

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

. . .

P � $ 49.000.000

453

Con base en los resultados de los valores presentes equivalentes, se concluye que la mejor oferta es la primera.


455455

CAPÍTULO 7

Sistemas de amortizaciónEl dinero y el tiempo son las cargas más

pesadas de la vida, y los más infelices de los mortales son aquellos que les

sobran las dos cosas, y no tienen tiempo para disfrutarlas.

SAMUEL JOHNSON

0. DEFINICIÓN

La amortización*��!�� Z��!�� deuda y sus intereses mediante una serie de cuotas (periódicas o no), en un tiempo determinado. La palabra amortización proviene del latín mors, | �� !��lo tanto, la amortización es el proceso con el que se “mata” una deuda.

1. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN

Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condicio-nes mínimas que determinan el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortización, es necesario conocer cuatro datos básicos:

�� Valor de la deuda.

�� Plazo durante el cual estará vigente la obligación.

* Existe también la amortización contable que hace referencia a la recuperación de una inversión en activos diferidos.

456


�� `��| ��

��

A partir de los datos anteriores se puede conocer en cualquier momento el estado del crédito: valor de las cuotas por pagar, composición de la cuota y el saldo insoluto de la deuda.

Aunque, en teoría, pueden existir imnumerables sistemas para amortizar una deuda dependiendo de la creatividad del deudor y el acreedor, se estudiarán en este capítulo ��]�� !��$��K��]�!�� !��K��de créditos de vivienda aprobados por la Superintendencia Financiera.

1.1 COMPOSICIÓN DE LOS PAGOS

Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: interés y abono al capital. Existen casos especiales en los cuales al principio del plazo ��!�� !��!��Z�Z��de la deuda crece en lugar de bajar. Para que la deuda se amortice se requiere que, al ��!�� }�� La razón �� `�� intereses son deducibles de impuestos en un 100% y, por esta razón, interesa saber de cada cuota que se paga, qué porción corresponde a los intereses. El valor de los intereses �� ^�� !�reduciendo la utilidad sobre la cual se liquidan los impuestos.

1.2 TABLA DE AMORTIZACIÓN

Al diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla de amor ti zación, que registra período a período la forma como va evolucionando el pago de la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota perió-dica, la tercera el valor de los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de la deuda. Es importante aclarar que no es imprescindible construir una tabla de amortización para conocer la composición de una cuota; basta con calcularle los intereses al capital insoluto del período inmediatamente anterior y restárselos al valor de la cuota, para conocer que parte corresponde a la amortización. Este procedimiento será analizado más adelante al desarrollar los ejercicios.

1.3 CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO

El saldo de una deuda es lo que se está debiendo en cualquier momento, dentro del plazo. Conocer el saldo de una deuda, en cualquier momento, es de mucha importancia ��!��K�� !��}��!�}�� !�� deuda totalmente.

457

Sistemas de amortización

Como se trató en el capítulo 5, sección 6, son 2 los procedimientos equivalentes para calcular el saldo de una deuda en cualquier momento, que aplicaremos en este capítulo en el desarrollo de algunos ejercicios.

2. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN

En el pago de un crédito, cualquiera sea su naturaleza, el deudor se compromete �� ;��!�� &�� '!�| ��por el uso del dinero tomado en préstamo durante el plazo pactado. El segundo, es la restitución del capital recibido en préstamo. De las múltiples formas que existen para restituir el capital prestado, acordadas libremente entre el deudor y el acreedor, surgen los diferentes sistemas o formas de amortización de un préstamo. Para entender éstos, se ��

Supóngase el caso de un préstamo por valor de $ 10.000.000, a una tasa de interés del 3% mensual. El valor de los intereses del primer mes, es igual al capital multiplicado por la tasa de interés.

Intereses � P � i � $ 10.000.000 � 0.03 � $ 300.000

�� Primera situación;��Z�� | ��!��-plo, una cuota de $350.000. En este caso el saldo de la deuda comienza a disminuir a partir del pago de la primera cuota, porque esta cubre el valor de los intereses y el remanente constituye un abono al capital. Llegará un momento en que el saldo quedará en cero. Este es el caso común de una anualidad, llamado sistema de cuota ��| ��K��G�G�

�� Segunda situación;��Z�� caso, el valor de la cuota es igual a $ 300.000. Aquí, la deuda permanece constante y de no existir un pago extraordinario, la deuda nunca se amortizará. Es el caso de una anualidad perpetua.

�� Tercera situación: el valor de las primeras cuotas es menor que el valor de los in-tereses. En este caso el saldo de la deuda comienza a subir. Se requiere, entonces, diseñar un sistema de cuotas que también aumenten periódicamente hasta el mo-mento en que su valor sobrepase el valor de los intereses y abone algo al capital.

No obstante que para el uso de Buscar objetivo de Excel ya hemos utilizado las tablas de amortización, a continuación se desarrollarán los sistemas de amortización �]�� K��

2.1 AMORTIZACIÓN CON PAGO ÚNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO

��!��K��se devuelve el capital prestado.

0 1

500.000

20.000.000

20.500.000

2 3 4 5 6 meses

458


Ejemplo 7.1

�� GH�HHH�HHH��Z��*�� G��mensual. Los pagos mensuales serán únicamente de intereses y el capital se pagará al ��K��`�� K��

Se calcula el valor de los intereses mensuales.

I � P � i

I � $ 20.000.000 � 0.025 � $ 500.000

��+ �� ;

La tabla de amortización es la siguiente:

No. Cuota Interés Amortización Saldo1 $ 500.000 $ 500.000 0 20.000.0002 $ 500.000 $ 500.000 0 20.000.0003 $ 500.000 $ 500.000 0 20.000.0004 $ 500.000 $ 500.000 0 20.000.0005 $ 500.000 $ 500.000 0 20.000.0006 $ 20.500.000 $ 500.000 20.000.000 0

2.2 SISTEMA DE CUOTA FIJA

Este sistema, llamado también sistema de amortización simple o crédito plano, tiene la característica que los pagos son iguales y periódicos, o sea, que hace referencia a una anualidad o serie uniforme. En la vida práctica es el sistema más utilizado por los �� !��bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de la deuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el Z��

Ejemplo 7.2

��| ��Z��HHH�HHH�� forma: una cuota inicial de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa ��| ��?H��K�� !�� el valor de las cuotas. Construya la tabla de amortización.

0 1

A

5.000.000

500.000

2 3 4 5 6 meses

459


`�� + ��


5 000 000 500 0001 1

1. . .� �

� �

�A

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

La tasa de interés de la operación está expresada en forma nominal, por lo tanto, tenemos que dividirla para conocer la tasa efectiva periódica equivalente.

in

� � � �J mensual0 30

120 025 2 5. . . %

5 000 000 500 0001 0 025 1

0 025 1 0 025

6

6. . .

.

. .� �

� �

�A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 816.974.87

En Excel: ��w/>��&��k/��k%��' ��w/>��&G!��*��4.500.000; 0)


A B C D E1 5.000.000 2.5%2 N° CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 500.000 �A1�B34 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................9 6

460


En la celda A1 escribimos el valor del electrodoméstico y en la B1 la tasa de interés. En la celda B3 registramos la cuota inicial y en la E3 calculamos el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 100 y en B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera. Copiamos B5 hasta B9. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos los ��!�� &k�� -��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E9 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 816.974.87 que corresponde al valor �� &k�� -�G'�

Figura 7.2

Nótese que desde el pago de la primera cuota el saldo de la deuda comienza a �� !��| ��Z�� -terística hace que este sistema de amortización sea el más utilizado universalmente, ya que el deudor se estimula al observar que cada vez que paga una cuota el saldo de la deuda es menor. El valor de la amortización a la deuda cada mes, resulta de restarle al valor de la cuota el valor de los intereses del período, que a su vez resultan de aplicarle al saldo insoluto la tasa de interés. Es importante recordar que la tasa de interés se aplica sobre el saldo insoluto al principio de cada período.

2.3 SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS

�]��K�� !��K��sección 2.2, pero con la diferencia de que en el plazo del crédito se hacen abonos adi-cionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas periódicas.

0 1

1.500.000

20.000.000

2.000.000

2 3 4 5 6 7 9 10 118 12 meses

X X

461


Ejemplo 7.3

��Z�}�� | �� Z��GH�HHH�HHH� ��de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales �� H��?�-��#!�� ?�� en la compra del vehículo sólo tiene capacidad para cancelar $ 1.500.000 mensuales y 2 cuotas extraordinarias en los meses 6 y 12. Calcular el valor de las dos cuotas y construir la tabla de amortización.

`�� + ��

Se elige el momento cero como fecha focal para plantear la ecuación de valor.

18 000 000 1 500 0001 0 03 1

0 03 1 0 03 1

12

12. . . .

.

. .�

� �

��

�

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

X

00 03 1 0 036 12

. .( ) ( )�

�

X

18.000.000 � 14.931.005.99 � 0.8375X � 0.7014X

3.068.994.01 � 1.5389X

X � $ 1.994.324.21


A B C D E

1 20.000.000 3.0% 100


3 0 2.000.000 �A1�B3

4 1 1.500.000 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

9 6 �B8�C1

10 7 �B8

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 �B14�C1

462


En la celda A1 escribimos el valor del vehículo, en la B1 la tasa de interés y en la C1 un valor arbitrario de 100 que representa la cuota extraordinaria. En la celda B3 regis-tramos la cuota inicial y en E3 calculamos el saldo insoluto. En la celda B4 escribimos la cuota de $ 1.500.000 y copiamos B4 hasta B8. En la celda B9 calculamos la sexta cuota que es igual a la cuota normal de $ 1.500.000 (B8) más la cuota extraordinaria (C1). En la celda B10 registramos la cuota normal de pago y copiamos B10 hasta B14. La cuota 12 la calculamos sumándole a la cuota anterior (B14) la cuota extraordinaria (C1). En las celdas `#!��#��#�� !�� &k�� -�?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E15 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda C1 un valor de $ 1.994.324.21 que corres-ponde al valor de las cuotas extraordinarias. En los meses 6 y 12, además de la cuo-ta normal de $ 1.500.000 se paga la cuota extraordinaria, para una cuota total de ��?�#Y#�?G#�G��&k�� -�#'�

Figura 7.4

2.4 SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERÍODO DE GRACIA

El período de gracia o tiempo muerto es un período en el cual no hay amortización de capital, pero si hay causación de intereses. Si los intereses se pagan periódicamente, el capital inicial permanece constante y sobre éste mismo se calculan las cuotas. Si los �� !��K�� }��]�� del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortización.

0 3 6 18 meses12 15

20.000.000 20.000.000

1.800.000 1.800.000

9

A

463


Ejemplo 7.4

Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa de interés del 9% trimestral, con un período de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortización, suponiendo:

a. Durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamente

b. Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan.

Primer caso: los intereses se pagan periódicamente. En este caso, cada trimestre se deben pagar los intereses causados por la obligación inicial a la tasa de interés pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia.

El valor de los intereses pagados durante el período de gracia es igual a:

I � P � i

I � 20.000.000 � 0.09

I � $ 1.800.000 trimestrales

Calculamos el valor de la cuota trimestral (A):

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

� �20 000 000

0 09 1 0 09

1 0 09 1

4

4. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 6.173.373.24

464



Figura 7.5

A B C D E1 20.000.000 9.0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 �C4 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �C46 3 1007 4 �B68 59 6

En la celda A1 escribimos el valor de la deuda y en la B1la tasa de interés. Durante el período de gracia se paga solamente el valor de los intereses, de tal forma que en las celdas B4 y B5, como valor de la cuota, debe aparecer el valor de los intereses. En la celda B6 escribimos un valor arbitrario de 100 y en la celda B7 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera, y copiamos B7 hasta B9. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos ��!�� &k�� -��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E9 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B6 un valor de $ 6.173.373.24 que corresponde ��Z�� &k�� -�*'�

Figura 7.6

18 meses12 15

20.000.000 23.762.000

9

A

0

6

465


Segundo caso: los intereses causados periódicamente se capitalizan. Este caso despierta confusión entre los usuarios de un préstamo, porque al no hacer el pago periódico de cuotas durante el período de gracia creen que siempre están debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el período de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del préstamo sobre el cual se hará el cálculo de las cuotas periódicas. Los economistas dicen que no hay almuerzo gratis. /| �� !��| ��!��| �� !�� | ��Z��Z�� de algún período se le deba el mismo valor nominal.

Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan de tal forma que, ��*��}��G?�-*G�HHH�

F � P(1 � i)n

F � 20.000.000(1 � 0.09)2

F � $ 23.762.000

Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

� �23 762 000

0 09 1 0 09

1 0 09 1

4

4. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 7.334.584.75

466



Figura 7.7

A B C D E1 20.000.000 9.0%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 0 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 06 3 1007 4 �B68 59 6

En la celda A1 escribimos el valor de la deuda y en la B1 la tasa de interés. En las celdas B4 y B5 escribimos cero, para indicar que en estos períodos no hay pago de intereses ni de capital. En la celda B6 escribimos un valor arbitrario de 100 y en la B7 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera, y copiamos B7 hasta B9. En las celdas C4, D4 y �#�� !�� &k�� -�-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E9 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B6 un valor de $ 7.334.584.75 que corresponde ��Z�� &k�� -��'�

Figura 7.8

467


2.5 SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL

Este es uno de los sistemas de amortización utilizados por los bancos para sus créditos ordinarios y de consumo, como también para la amortización de los créditos de vivienda. Aunque los intereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada, la amortización al capital es constante, es decir, cada período se abona al capital una cantidad constante igual al monto del préstamo dividido entre el número de períodos de pago.

Con un mismo ejemplo, analizaremos los dos casos que se presentan con relación al pago de intereses, es decir, cuando los intereses se pagan en forma vencida y en forma anticipada.

Con intereses vencidos

Ejemplo 7.5

��>�� Z��HH�HHH�HHH�� interés del 36% trimestre vencido, con un plazo de 1 año. La restitución del capital se hará en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización.

�� La cuota de amortización a capital es igual a:

Cuota P� � �

n100 000 000

425 000 000. . $ . .

Este es el valor que se le paga al banco cada trimestre como abono al capital

�� Dividimos la tasa nominal del préstamo para conocer la tasa efectiva periódica.

in

� � � �J trimestral0 36

40 09 9. . %

�� La primera cuota es igual:

C P P1 � �n

i

C1 � 25.000.000 � 100.000.000 � 0.09

C1 � $ 34.000.000

�� La segunda cuota es igual:

C P P P2 � � �

n ni⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C P P 1 12 � � �

ni

n⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C2 25 000 000 100 000 000 0 09 1 14

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C2 � $ 31.750.000

468


�� La tercera cuota es igual:

C P P P3

2� � �

n ni⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C P P 132

� � �n

in

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C 13 25 000 000 100 000 000 0 09 24

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C3 � $ 29.500.000

�� <�� ;

C P P P4

3� � �

n ni⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C P P 143

� � �n

in

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C4 25 000 000 100 000 000 0 09 1 34

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C4 � $ 27.250.000

Apoyados en la forma de cálculo de cada una de las cuotas, podemos diseñar una expresión general, así:

C P P 1K

K ni

n� � �

� 1( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ (7.1)

Registramos la expresión (7.1) en el menú RESOL:

CUOTABONOCONSTANTE: CK � (P/N) � P � i � (1 � (K � 1)/N)

�� Oprima RESOL

�� Localice la fórmula CUOTABONOCONSTANTE

�� Oprima CALC

�� Ingrese 100.000.000 P

�� Ingrese 4 N


�� Ingrese 1K

�� Oprima CK y obtiene un valor de 34.000.000

�� Ingrese 2 K

469



�� Ingrese 3 K


�� Ingrese 4 K


La primera parte de la expresión (7.1) corresponde al valor de amortización del capital y la segunda parte al valor de los intereses, por lo tanto, el valor de los intere-ses de cada cuota, para un préstamo con n cuotas de amortización, viene dado por la siguiente expresión.

IK P 1K

� ��

in

1( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ (7.2)

^��@��&-�G'��W�^��<��

INTERESABONOCONSTANTE: IK � P � i � (1 � (K � 1)/N)

Ejemplo 7.6

Para el ejemplo 7.5, calcular el valor de los intereses de cada cuota, utilizando la ��

Los intereses pagados por un crédito son deducibles de impuestos en un 100%, razón por la cual es importante conocer de la cuota que se paga periódicamente, cuál es la parte que corresponde a los intereses. Este cálculo se realiza aplicando la fórmula (7.2) o directamente utilizando el menú RESOL, como se propone en este ejercicio.

�� Oprima RESOL�� Localice la fórmula INTERESABONOCONSTANTE�� Oprima CALC�� Ingrese 100.000.000 P�� Ingrese 0.09 I�� Ingrese 4 N�� Ingrese 1 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 9.000.000 que son los intereses de la primera cuota�� Ingrese 2 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 6.750.000 que son los intereses de la segunda cuota�� Ingrese 3 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 4.500.000 que son los intereses de la tercera cuota�� Ingrese 4 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 2.250.000 que son los intereses de la cuarta cuota.

470


Por razones expuestas anteriormente, es im por tante conocer el saldo de la deuda des pués de pagada cualquier cuota. Nos apoya mos en el ejercicio y con el siguiente análisis lograremos diseñar una expresión para el cálculo del saldo en cualquier momento.

S P P1 4

� �

S P 2P2 4

� �

S P 3P3 4

� �

S P 4P4 4

� �

Para un préstamo con n cuotas de amortización:

Siendo: S � saldo de la deuda

K � número de cuota

P � valor del préstamo

n � número de cuotas de amortización

SK P KP� �

n (7.3)

<�� &-�?'��W�^��<�� !��siguiente forma:

SALDOABONOCONSTANTE:SK � P � K � P/n

Para el ejercicio 7.5, calcular el saldo después de pagada cada una de las cuotas.

S1 100 000 000 1 100 000 0004

� � �. . . . S1 � $ 75.000.000

S2 100 000 000 2 100 000 0004

� � �. . . . S2 � $ 50.000.000

S3 100 000 000 3 100 000 0004

� � �. . . . S3 � $ 25.000.000

S4 100 000 000 4 100 000 0004

� � �. . . . S4 � 0

�� Oprima RESOL

�� Localice la fórmula SALDOABONOCONSTANTE

�� Oprima CALC

471


�� Ingrese 100.000.000 P

�� Ingrese 4 N

�� Ingrese 1 K

�� Oprima SK y obtiene un valor de 75.000.000

�� Ingrese 2 K

�� Oprima SK y obtiene un valor de 50.000.000

�� Ingrese 3 K


�� Ingrese 4 K

�� Oprima CK y obtiene un valor de 0


Figura 7.9

A B C D E

1 100.000.000 36%/4


3 0 �A1

4 1 �C4�D4 �E3*$B$1 �$E$3/4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................

7 4 �C7�D7

En la celda A1 escribimos el valor del préstamo y en la B1 la tasa de interés. En la celda D4 calculamos el valor del abono constante a capital, dividiendo el valor del prés-tamo (E3) entre el número de cuotas (4) y copiamos hasta D7. En la celda C4 calculamos los intereses y en la B4 el valor de la cuota sumando intereses (C4) más abono a capital &�#'��&k�� -�Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas B4, C4, D4 y E4 en el rango B5:E7 y obtenemos �� &��#!��«��-'��Z�� &k�� -��H'�

472


Figura 7.10

Con intereses anticipados

Ejemplo 7.7

Con los datos del ejemplo 7.5, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortización, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado.

Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los créditos a corto plazo. La amortización del capital se hace con cuotas constantes paga-��!��

�� Dividimos la tasa nominal.

in

� � �J trimestral anticipada0 36

49. %

�� En el momento de hacer el desembolso del préstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es:

I � Pi � 100.000.000 � 0.09 � $ 9.000.000

Puesto que en este momento no hay abono al capital, el valor de la cuota es el mismo valor de los intereses.

�� /��!��Z�� ]�� ]��los intereses antici pa dos del saldo del préstamo en ese momento.

473


C P P P1 � � �

n ni⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C P P 111

� � �n

in

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C 11 25 000 000 100 000 000 0 09 14

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C1 � $ 31.750.000

�� Z�� ]�� ;

C P P 122

� � �n

in

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C2 25 000 000 100 000 000 0 09 1 24

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C2 � $ 29.500.000

�� Z�� ]�� ;

C P P 133

� � �n

in

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C3 25 000 000 100 000 000 0 09 1 34

� � � �. . . . . ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C3 � $ 27.250.000

�� El valor de la cuarta cuota será igual al abono al capital.

C4 � $ 25.000.000

�� >��K�� | ��W�� K��análisis del ejercicio, el valor de cualquier cuota será igual a:

CK P P 1 K� � �

ni

n⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (7.4)

En el menú RESOL, registramos la fórmula (7.4) de la siguiente manera:

CUOTABONOCONSTANTEANTICIPADO: CK � (P/N) � P � i � (1 � (K/N))

Procedimiento con la calculadora Hewlett Packard 17 y 19 B II�� Oprima RESOL�� Localice la fórmula CUOTABONOCONSTANTEANTICIPADA�� Oprima CAL�� Ingrese 100.000.000 P

474


�� Ingrese 4 N�� Ingrese 0.09 I�� Ingrese 1 K�� Oprima CK y obtiene un valor de 31.750.000�� Ingrese 2 K�� Oprima CK y obtiene un valor de 29.500.000�� Ingrese 3 K�� Oprima CK y obtiene un valor de 27.250.000�� Ingrese 4 K�� Oprima CK y obtiene un valor de 25.000.000

El valor de los intereses de cada cuota, para cualquier préstamo con n cuotas de amortización, es:

IK P 1 K� �i

n⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (7.5)

En el menú RESOL, registramos la expresión (7.5) de la siguiente forma:

INTERESABONOCONSTANTEANT: IK � P � i � (1 � (K/N))

Procedimiento con la calculadora Hewlett Packard 17 y 19 B II�� Oprima RESOL�� Localice la fórmula INTERESABONOCONSTANTEANT�� Oprima CALC�� Ingrese 100.000.000 P�� Ingrese 0.09 I�� Ingrese 4 N�� Ingrese 0 K �� Oprima IK y obtiene un valor de 9.000.000, que corresponde a los intereses antici-

pados cobrados en el momento del desem bolso del préstamo.�� Ingrese 1 K�� Z��*�-�H�HHH�| ��

del primer trimestre como parte de C1 � 31.750.000�� Ingrese 2 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 4.500.000 que corresponden a los intereses pagados

�� `2 � 29.500.000�� Ingrese 3 K�� Z��G�G�H�HHH�| ��

del tercer trimestre como parte de C3 � 27.250.000�� Ingrese 4 K�� Oprima IK y obtiene un valor de 0, porque la cuarta cuota sólo tiene abono al capital

de 25.000.000

475


El procedimiento de cálculo de saldos, cuando el préstamo se hace con una tasa de interés anticipada, es similar al procedimiento utilizado en el ejercicio 7.5, porque el cobro de la tasa de interés no afecta la forma de abono al capital principal.


Figura 7.11

A B C D E1 100.000.000 36%/42 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �E3*$B$1 0 �A14 1 �C4�D4 �E4*$B$1 �$E$3/4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................7 4 �C7�D7

En la celda A1 escribimos el valor del préstamo y en la B1 la tasa de interés. En la celda D4 calculamos el valor del abono constante a capital, dividiendo el valor del préstamo (E3) entre el número de cuotas (4) y copiamos D4 hasta D7. En la celda C3 calculamos los intereses anticipados del primer trimestre. En la celda C4 calculamos los intereses anticipados del segundo trimestre y en la B4 el valor de la cuota sumando intereses (C4) �]��&�#'��&k�� -��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas B4, C4, D4 y E4 en el rango B5:E7 y obtenemos �� &��#!��«��-'��Z�� &k�� -��G'�

Figura 7.12

476


2.6 SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL

Este sistema de pagos ya fue analizado ampliamente en el capítulo de anualidades, en el acápite 5. Se mencionó que su principal defecto está en que a pesar que en cada pago periódico se abonaba una porción al capital, los intereses se seguían cobrando sobre el capital prestado inicialmente. Ahora es importante diseñar la tabla de amorti-zación para observar el comportamiento del crédito.

Ejemplo 7.8

Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelarlos por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con interés global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización.

El valor de las cuotas trimestrales viene dado por la siguiente expresión:

A P P� � � � �n

i 10 000 0004

10 000 000 0 06. . . . .

A � $ 3.100.000


Figura 7.13

A B C D E

1 100.000.000 6%


3 0 �A1

4 1 �C4�D4 �$E$3*$B$1 �$E$3/4 �E3�D4

......... ................ ................ ................ ................ ................

7 4 �C7�D7

En la celda A1 escribimos el valor del préstamo y en la B1 la tasa de interés. En la celda D4 calculamos el valor del abono constante a capital, dividiendo el valor del préstamo (E3) entre el número de cuotas (4) y copiamos D4 hasta D7. En la celda C4 calculamos los intereses (para cada período se calculan sobre el capital inicial) y en la B4 ��Z�� &`#'��]��&�#'��&k�� -��?'�

Copiamos las fórmulas de las celdas B4, C4, D4 y E4 en el rango B5:E7 y obtenemos �� &��#!��«��-'��Z�� &k�� -��#'�

477


Figura 7.14

Nótese que los intereses tienen el mismo valor, calculado sobre el capital prestado, a pesar que en cada período se abonan al capital $ 2.500.000.

A continuación se presenta la relación existente entre los sistemas de amortización: ` ��!��

�� Interés global Abono constante a capitalCuota Igual Igual Decreciente

Intereses Sobre saldos Sobre capital inicial Sobre saldosAbono a capital Variable Constante Constante

2.7 SISTEMA DE CUOTAS CRECIENTES EN FORMA LINEAL

Hace referencia al sistema de un gradiente lineal creciente, en el que las cuotas au-�� K�� W�� !�� general, los sistemas de cuotas crecientes no tienen aceptación entre los colombianos, que más bien los miran como sistemas usurarios.

Ejemplo 7.9

Una deuda por valor de $ 10.000.000 a una tasa del 2.5% mensual, se va a cancelar con 6 cuotas mensuales que crecen $ 10.000 cada mes. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización.

Recordemos que el sistema de gradientes está en función de la primera cuota. Para calcularla recurrimos a la expresión (6.1).

478


10 000 0001 025 1

0 025 1 025

10 0000 025

1 06

6. .

.

. .

..

.�

��A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

225 1

0 025 1 025

6

1 025

6

6 6

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

. . .

A � $ 1.791.219.64

Este valor corresponde a la primera cuota. Las cuotas restantes se calculan aplicando la expresión (6.1).

C2 � 1.791.219.64 � (2 � 1)10.000

C2 � $ 1.801.219.64

C3 � $ 1.811.219.64

C4 � $ 1.821.219.64

C5 � $ 1.831.219.64

C6 � $ 1.841.219.64


Figura 7.15

A B C D E

1 10.000.000 2.5% 10.000


3 0 �A1

4 1 150 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4�$C$1

6 ................ ................ ................ ................ ................

9 6

En la celda A1 escribimos 10.000.000, en la B1 2.5%, que es la tasa de interés y en la C1 escribimos 10.000 que es el aumento mensual de las cuotas. En la celda B4 escribimos un valor arbitrario de 150 y en la B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la pri-mera (B4) incrementada en $ 10.000 (C1). Copiamos la celda B5 hasta la celda B9. En las ��̀ #!��#��#�� !�� &k�� -��'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E9 y aplicando Buscar objetivo encontramos en la celda B4 un valor de $ 1.791.219.64 y en las celdas B5 hasta �Y��Z�� &k�� -��*'�

479


Figura 7.16

Observamos que las cuotas crecen cada mes en $ 10.000 y que el saldo de la deuda baja desde el pago de la primera cuota. El comportamiento del saldo no siempre es así. Antes por el contrario, este sistema de cuotas crecientes se utiliza para la amortización de créditos a largo plazo en los que el saldo de la obligación comienza a crecer, a pesar de que las cuotas aumentan cada mes. Esto es precisamente lo que despierta confusión entre los usuarios de los créditos. El cliente se pregunta: Si cada mes pago $ 10.000 más, ¿por qué aumenta, al mismo tiempo, el saldo de la deuda? Para resolver esta inquietud, aumentemos el plazo del crédito, por ejemplo, a 60 meses?

10 000 0001 025 1

0 025 1 025

10 0000 025

160

60. .

.

. .

..

��

�A( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

..

. . .

025 1

0 025 1 025

120

1 025

60

60 60

( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

��

A � $ 100.015.46

Resuelva el lector este caso utilizando Buscar objetivo de Excel

El cliente comienza pagando una cuota por valor de $ 100.015.46, que ni siquiera cubre el valor de los intereses ($ 250.000). En consecuencia, el saldo de la deuda empieza a crecer debido a la capitalización de los intereses dejados de pagar, hasta el momento en | �� }�� Z��| ��a bajar hasta llegar a cero. Miremos la tabla de amortización para las 10 primeras cuotas.

480


No. Cuota Interés Amortización Saldo

0 10.000.000.00

1 100.015.46 250.000.00 (149.984.54) 10.149.984.54

2 110.015.46 253.749.61 (143.734.15) 10.293.718.69

3 120.015.46 257.342.97 (137.327.51) 10.431.046.20

4 130.015.46 260.776.15 (130.769.69) 10.561.806.89

5 140.015.46 264.045.17 (124.029.71) 10.685.836.60

6 150.015.46 267.145.91 (117.130.45) 10.802.967.05

7 160.015.46 270.074.18 (110.058.72) 10.913.025.77

8 170.015.46 272.825.64 (102.810.18) 11.015.835.95

9 180.015.46 275.395.90 (95.380.44) 11.111.216.39

10 190.015.46 277.780.41 (87.764.95) 11.198.981.34

El saldo de la deuda comienza a crecer y surge nuevamente una preocupación para el cliente: Si cada vez pago más y la deuda en lugar de bajar, crece cada mes; ¿cuándo termino de pagar la deuda? En el plazo pactado, 60 meses en este caso. Las fórmulas matemáticas diseñadas para calcular las cuotas tienen en cuenta este hecho. Cuando se presenta la tercera situación analizada en la sección 2, es decir, cuando el valor de las � �� K��/��]�!�como notamos en este ejercicio, este hecho se produjo al aumentar el plazo del crédito. Podemos concluir, que en los sistemas de pagos con cuotas crecientes no siempre hay capitalización de intereses, sino que esta es función del plazo del crédito y del gradiente (variación de las cuotas). En este ejercicio, para plazos mayores a 38 meses hay capi-talización de intereses. Si las cuotas aumentaran $ 20.000 en lugar de $ 10.000, habría capitalización de intereses para un plazo mayor a 28 meses. Para plazos menores, desde el pago de la primera cuota hay amortización al capital y, por consiguiente, el saldo comienza a bajar hasta llegar a cero. A continuación, en la sección 2.8, se desarrolla un ejemplo similar, pero asumiendo un incremento porcentual en las cuotas, con el ánimo de darle al lector una visión más amplia sobre este tema tan controvertido.

2.8 SISTEMA DE CUOTAS CRECIENTES EN FORMA GEOMÉTRICA

Hace referencia al sistema de un gradiente geométrico creciente, ampliamente analizado en la sección 5, cap. 6, y que corresponde a una serie de cuotas periódicas que � �� <�� o exponencial. Cuando el plazo del crédito es muy largo, las primeras cuotas son bajas �� | �� K�� En comparación con el sistema de cuotas crecientes en forma lineal, éste último tuvo mayor aplicación en el sistema de vivienda UPAC como sistema de amortización de los créditos de vivienda.

481


Ejemplo 7.10

Construya la tabla de amortización que muestre el comportamiento de un crédito ��Z��HHH�HHH�� G�H�� !��de 8 cuotas mensuales que crecen un 1.0% cada mes.

Es necesario, en primer lugar, calcular el valor de la primera cuota del sistema de pagos. Reconoce el lector que se hace referencia a la primera cuota de un gradiente geométrico creciente.

P AJ

J�

� � �

� �

1 1

1

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n n

n

i

i i

5 000 0001 01 1 02

0 01 0 02 1 02

8 8

8. .

. .

. . .�

�

�A

( ) ( )( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 659.698.24

El valor de las cuotas restantes se calcula aplicando un incremento del 1.0% sobre la cuota anterior. O, simplemente con la fórmula (6.9):

Cn � A (1 � J)n�1

C2 � 659.698.24(1 � 0.01)2�1 � $ 666.295.22

C3 � $ 672.958.17

C4 � $ 679.687.76

C5 � $ 686.484.63

C6 � $ 693.349.48

C7 � $ 700.282.97

C8 � $ 707.285.80


Figura 7.17

A B C D E1 5.000.000 2.00% 1.00%2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO3 0 �A14 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D45 2 �B4*(1�$C$1)

......... ................ ................ ................ ................ ................11 8

482


A la celda A1 le asignamos el valor del crédito, a la B1 la tasa de interés y a la C1 la tasa de incremento de las cuotas mensuales. En la celda B4 escribimos un valor ar-bitrario de 100 y en la B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera (B4) incrementada en un 2,00% (C1). Copiamos la celda B5 hasta B11. En las celdas C4, D4 y �#�� !��&k�� -��-'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E11 y aplicando Buscar objetivo��#� ��Z��*�Y�*Y��G#��&k�� -��'�

Figura 7.18

Las cuotas se incrementan en un 1.0% cada mes y el saldo de la deuda baja desde el pago de la primera cuota, lo que indica que no hay capitalización de intereses. Lo mismo que en el sistema de amortización con cuotas crecientes en forma lineal, explicado en la sección anterior, al aumentar el número de cuotas de amortización se puede presentar la capitalización de intereses. Por ejemplo, para este caso en particular, para un plazo de 71 meses, la primera cuota tendría un valor de $ 99.369.44 que es inferior al costo ��&��HH�HHH'��!��!�� K��de los intereses.

2.9 AMORTIZACIÓN CON CUOTAS MENSUALES FIJAS, CRECIENTES ANUALMENTE EN UN PORCENTAJE FIJO

Hace referencia al gradiente escalonado o en escalera, analizado en el acápite 6, ��*�� K��@�� &� ��mensuales) y un gradiente geométrico creciente (cuotas que aumentan en un porcentaje ��"'��w�� !��@��}��K��en los créditos de vivienda, este sistema sería el ideal para los empleados remunerados

483


�� <�� se analiza la posibilidad de conceder un crédito de vivienda. Se estima que el empleado debe dedicar entre un 25% y un 33% del valor de su salario para el pago de la cuota. `��| ��Z�� "�� +��!�� !�� | ��su salario también debe ser incrementado en esa misma proporción.

Ejemplo 7.11

�� Z��?H�HHH�HHH�� ?�H�� G��"�!�� | ��"� ��H��Calcular el valor de las cuotas y construya la tabla de amortización.

Para el cálculo de las cuotas del primer año aplicamos la expresión (6.15)

P ATEA J

TEA TEA J

E E

E�

� � � � �

� �

1 1 1 1

1

i

i

n( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( )( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

30 000 0001 03 1

0 03

1 0 4258 1 0 10

1 0

12 2 2

. ..

.

. .�

� � � �

�A

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( ) ( ).. . .4258 0 4258 0 10

2( ) ( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥�

A � $ 1.701.288.27

Este es el valor de las cuotas del primer año. En el segundo año se pagarán cuotas de $ 1.701.288.27 � 1.10 � $ 1.871.417.09.


Figura 7.19

A B C D E

1 30.000.000 3.00% 10.00%


3 0 �A1

4 1 100 �E3*$B$1 �B4�C4 �E3�D4

5 2 �B4

......... ................ ................ ................ ................ ................

15 12 �B14

16 13 �B15*(1�$C$1)

17 14 �B16

......... ................ ................ ................ ................ ................

27 24 �B26

484


En la celda A1 escribimos el valor de la propiedad, en B1 la tasa de interés y en C1 el valor del incremento anual de las cuotas. En la celda B4 escribimos 100 como valor arbitrario y en B5 calculamos la segunda cuota que es igual a la primera. Copiamos B5 hasta B15. En la celda B16 calculamos la cuota del mes 13 (segundo año) incrementando la cuota del mes 12 (B15) en un 10% (C1) y calculamos la cuota del mes 14 que es igual a la cuota 13. Copiamos B17 hasta B27. En las celdas C4, D4 y E4 calculamos intereses, ��&k�� -��Y'�

Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E27 y aplicando Buscar objetivo obtenemos en B4 un valor de $ 1.701.355.27 que corresponde a las cuotas mensuales del primer año y en B16 un valor de $ 1.871.490.80 de las cuotas mensuales �� "��&k�� -�GH'�

Figura 7.20

En los ejemplos anteriores hemos analizado diferentes sistemas de amortización de créditos en los cuales la tasa de interés cobrada cada período permanece constante. ��]�� | ��Z��-��+ �� /�� a desarrollar dos sistemas de amortización de créditos, ya analizados en los acápites anteriores, pero ahora suponiendo una tasa variable.

2.10 SISTEMA DE CUOTA FIJA CON TASA VARIABLE (D.T.F.)En Colombia, la gran mayoría de los créditos bancarios y comerciales se pactan

con la tasa D.T.F y ésta cambia de valor cada semana según el comportamiento de las ��| ��}��Z��`�$s a 90 días. Esta situación presupone que la cuota de pago periódica no puede ser constante porque la tasa de ��| ��Z��!��

485


��K�� }��W��una cuota de ajuste en el último.

Ejemplo 7.12

Se concede un crédito bancario por $ 5.000.000 a la DTF � 10% (EA) con un plazo ��*��!��K�� `�� mensuales y construya la tabla de amortización. La tasa DTF, expresada como tasa efectiva periódica mensual y su variación esperada se presentan en la siguiente tabla:

Figura 1

PERÍODO 1 2 3 4 5 6TASA 1.50% 1.60% 1.70% 1.80% 1.90% 2.00%

NOTA: La tasa DTF la calcula semanalmente el Banco de la República y la expresa ��Z�� @��la DTF como tasa efectiva periódica mensual, ya realizada la respectiva conversión. Para conocer la tasa efectiva periódica que aplicará para cada período tenemos que sumarle a la DTF los puntos porcentuales adicionales (10% EA) expresados en términos efectivos mensuales. Haciendo la conversión, una tasa del 10% EA es equivalente a 0.80% mensual, de tal forma que la tasa que aplicará para cada período mensual resulta de sumar 0.8% más la DTF de cada período, según aparece en la siguiente tabla:

Tasa del crédito

PERÍODO 1 2 3 4 5 6

TASA 2.30% 2.40% 2.50% 2.60% 2.70% 2.80%

Para construir la tabla de amortización del crédito, en primer lugar, calculamos el Z��*�� K��como sí la tasa fuera a permanecer constante durante todo el plazo del crédito. Es el caso común de una anualidad vencida.

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A 5.000.000��

� �

0 023 1 0 023

1 0 023 1

6

6

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 901.687.46

En Excel: � w/>� (tasa; nper; va; vf, tipo)

� w/>� (2,30%; 6; �5.000.000) � $ 901.687.46

486



Figura 7.21

A B C D E F

1 5.000.000 3.00% 10.00%

2 NO CUOTA INTERÉS ABONO SALDO TASA

3 0 �A1

4 1 $ 901.687.46 �E3*F4 �B4�C4 �E3�D4 2.30%

5 2 $ 901.687.46 2.40%

6 3 $ 901.687.46 2.50%

7 4 $ 901.687.46 2.60%

8 5 $ 901.687.46 2.70%

9 6�C9�D9CUOTA DE

AJUSTE�E8*F9

�E8ABONO

�E8�D9 2.80%

Se construye la tabla de amortización normalmente desde el primer período hasta el penúltimo. Desde la celda B4 hasta la celda B8 (penúltimo período) escribimos $ 901.687.46 como valor de la cuota. En la celda C4 calculamos los intereses del primer período multiplicando el valor del préstamo (E3) por la tasa de interés del primer período (F4) y en las celdas C5 hasta C8 calculamos los intereses multiplicando el saldo del período anterior por la tasa de cada período (esto lo podemos hacer copiando la fórmula de la ��̀ #'��̀ �� #��#��̀ �;��&k�� -�G�'�

Para calcular la cuota 6 (cuota de ajuste) procedemos de la siguiente forma: el abono a capital del último período (D9) será igual al saldo del período anterior (E8) y la cuota 6 (B9) será igual al abono a capital (D9) más los intereses del período 6 (C9) con un valor ��Y??��G�G?��&k�� -�GG'�

487


Figura 7.22

2.11 SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL CON TASA VARIABLE (D.T.F.)��

constante a capital con la tasa D.T.F. En este sistema de amortización lo que permanece constante cada período es el abono a capital, mientras que la tasa de interés cambia cada período dependiendo del comportamiento de la tasa D.T.F.

Ejemplo 7.13

Con la misma información del ejemplo 7.12, calcular el valor de las cuotas para cada uno de los 6 meses.

Tasa del crédito

PERÍODO 1 2 3 4 5 6

TASA 2.30 % 2.40% 2.50 % 2.60 % 2.70 % 2.80 %

488



Figura 7.22

A B C D E F

1 5.000.000


3 0 �A1

4 1 �C4�D4 �E3*F4 �$E$3/6 �E3�D4 2.30%

5 2 2.40%

6 3 2.50%

7 4 2.60%

8 5 2.70%

9 6 2.80%

En la celda C4 calculamos los intereses del primer mes multiplicando el valor del préstamo (E3) por la tasa de interés del primer período (F4). El abono a capital para cada �� a capital. El valor de cada cuota es igual al valor de los intereses más el abono a capital. k�� &-�GG'�

Copiamos las fórmulas de las celdas B4, C4, D4 y E4 en el rango B5:E9, y obtenemos ��Z�� | ��K��&k�� -�G?'�

Figura 7.23

489


EJERCICIO 1.� �� ]�� G� � ��mensuales de $ 1.000.000 cada. Si la tasa de interés cobrada es del 20% capitalizable mensualmente, calcular el valor de la obligación y diseñar la tabla de amortización.

Calculamos la tasa efectiva de la obligación:

in


121 67. . %

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

P 1.000.000��

�

1 0 0167 1

0 0167 1 0 0167

12

12

.

. .

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 10.792.882.85

En Excel: � VA (1,67%; 12; �1.000.000)


EJERCICIO 2. Le aprueban un crédito de vivienda por valor de $ 50.000.000 a la UVR ��G��/!�� K��"�!�� k^��Calcular el valor de la cuota en UVR y construya la tabla de amortización, en UVR, para los primeros 9 meses.

El valor de la UVR el día del desembolso del crédito � $ 190.4324

Calculamos el valor del crédito en UVR: P 50.000.000 UVR� �190 4324

262 560 36.

. .

490

Le están haciendo un crédito de 262.560.36 UVR al 12% EA (equivalente al 0.95% efectiva mensual) durante 15 años (180 meses).

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A0.0095

��

� �262 560 36

1 0 0095

1 0 0095 1

180

180. .

.

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � 3.050.53 UVR

En Excel: � w/>��&H!Y��H��262560,36)

��| �� | �� ?�H�H��?��k^!�� H�meses.


EJERCICIO 3. Con la misma información del ejercicio anterior, calcular el valor de las tres primeras cuotas y la cuota No 180 pero, ahora, bajo el sistema de pago de abono constante a capital en UVR. Construya la tabla de amortización para el primer año.

C P P *K

K � � ��

ni

n1

1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Cuota 1: C1 � � ��

�262 560 36

180262 560 36 0 0095 1

1 1

1803 952. . . . * . .

( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

..99 UVR

Cuota 2: C2262 560 36

180262 560 36 0 0095 1

2 1

1803 939� � �

��

. . . . * . .( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

..13 UVR

491

Cuota 3: C3262 560 36

180262 560 36 0 0095 1

3 1

1803 925� � �

��

. . . . * . .( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

..28 UVR

Cuota 180: C180262 560 36

180262 560 36 0 0095 1

180 1

1801� � �

��

. . . . * .( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

.. .472 53 UVR


EJERCICIO 4. Se aprueba un crédito bancario por $ 2.000.000 a la D.T.F. � 10 % EA, con un plazo de 8 meses. Calcular el valor de las cuotas mensuales, utilizando el sistema de � ��!��$�%��?�#��/�� 0.2% cada mes.

Calculamos el costo inicial del crédito: 3.4% EA � 10% EA � 13.40% EA, equivalente al 1.05% mensual.

PERÍODO 1 2 3 4 5 6 7 8

TASA 1.05% 1.25% 1.45% 1.65% 1.85% 2.05% 2.25% 2.45%

`�� Z�� K��!��si la tasa fuera a permanecer constante durante todo el plazo del crédito.

A 2.000.000��

� ��

�i i

i

n

n

1

1 12 000 000

0 0105 1 0 0105( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

. .. .(( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

8

81 0 0105 1� �.

A � $ 261.956.43

En Excel: ��w/>��&�!H��2.000.000)

492


A B C D E F

1 2.000.000


3 0 �A1

4 1 261.956.43 �E3*F4 B4�C4 E3�D4 1.05%

5 2 261.956.43 1.25%

6 3 261.956.43 1.45%

7 4 261.956.43 1.65%

8 5 261.956.43 1.85%

9 6 261.956.43 2.05%

10 7 261.956.43 2.25%

11 8 �C11�D11 �E10*F11 �E10 E10�D11 2.45%

Cuota de ajuste

Se construye la tabla de amortización normalmente desde el primer período hasta el penúltimo. Desde la celda B4 hasta la B10 escribimos el valor de la cuota mensual. En ��`#!��#��#�� !��Copiamos las fórmulas de las celdas C4, D4 y E4 en el rango C5:E10. Para calcular la cuota de ajuste (cuota del mes 8) procedemos de la siguiente forma: el abono a capital del último período (D11) será igual al saldo del mes anterior (E10) y la cuota 8(B11) será igual al abono a capital (D11) más el valor de los intereses del mes 8 (C11). La cuota del mes 8 (cuota de ajuste) es de $ 307.673.15.

493

EJERCICIO 5. Con la misma información del ejercicio anterior, calcular el valor de las cuotas si el sistema de amortización es el del abono constante a capital.


A B C D E F

1 2.000.000

2 NO CUOTA INTERES ABONO SALDO TASA

3 0 �A1

4 1 �C4�D4 �E3*F4 �$A$1/8 E3�D4 1.05%

5 2 1.25%

6 3 1.45%

7 4 1.65%

8 5 1.85%

9 6 2.05%

10 7 2.25%

11 8 2.45%

En la celda A1 escribimos el valor del crédito. En la celda D4 calculamos el abono a capital y lo copiamos hasta la celda D11. En la celda C4 calculamos los intereses y copiamos la fórmula hasta la celda C11. En la celda B4 calculamos el valor de la primera cuota y copiamos hasta la celda B11. En la celda E4 calculamos el saldo y lo copiamos hasta la celda E11.

495495

CAPÍTULO 8

Evaluación de alternativas de inversión

¿Dónde está la utilidad de nuestras utilidades?

volvamos a la verdad vanidad de vanidades.

ANTONIO MACHADO

0. INTRODUCCIÓN

��Z��!�� Z��!�� &k��K!��YY�'��/��!�� -cebir como inversión no sólo el hecho de desembolsar una determinada cantidad de dinero sino también, por ejemplo, el tiempo que alguien dedica a formarse en una universidad.

Las decisiones de inversión son muy importantes pues implican la asignación de grandes sumas de dinero y por un plazo largo (García, 1998). Estas decisiones pueden �� @�� Z�� también, porque resulta difícil retractarse ante una decisión de esta índole, en contraste ��

En la mente de cualquier inversionista, el esquema que se plantea para tomar la decisión de invertir es: ¿Convendrá la inversión? Una inversión conviene a menos que �� @��| ��Z��necesita, en primer lugar, recuperar la inversión inicial que realiza y obtener sobre ella ��| �� @��Z��| �� @��para que aumente su riqueza. Para tomar esta importante decisión de inversión, el in-versionista debe contar:

496


�� Con una tasa de interés que le sirva como referencia para poder decidir si invierte o no. Esta tasa de interés se conoce como tasa de oportunidad del inversionista, o sea, aquella tasa máxima que podría obtener dentro de las diversas posibilidades que se le presentan para invertir su dinero.

�� Con técnicas o métodos de análisis que le permitan comprobar que con la inversión | ��}�� !��Z��!��!�� oportunidad (Baca, 1994).

Este es el propósito del presente capítulo: desarrollar las técnicas necesarias para realizar este tipo de análisis y poder tomar decisiones de inversión en forma acertada.

Aunque debemos asumir que muchos de los proyectos que adelantan los inversio-nistas son como apuestas, por estar sujetos a la incertidumbre de los resultados, existen dos métodos de reconocida aceptación universal utilizados para evaluar proyectos de inversión: valor presente neto (VPN) y la tasa interna de retorno (TIR).

1. TASA DE DESCUENTOLa tasa de descuento es el precio que se paga por los fondos requeridos para cubrir

la inversión de un proyecto (Zapag, 2000). El valor de la inversión inicial de un proyecto tiene un costo, cualquiera sea la fuente de donde provenga, que es la tasa de descuento. Un proyecto de inversión convencional o normal está constituido por una inversión inicial �� / �| ��K��Z�!��Z��| �� Z�� | ��!�� fecha, que convencional mente se ha elegido el momento de la inversión inicial o mo-mento cero. La tasa de interés que se utiliza para trasladar los ingresos y/o egresos al momento cero, es la que denominamos tasa de descuento.

Los fondos requeridos para cubrir la inversión inicial pueden provenir de diferentes fuentes:

�� Recursos propios. El costo de su utilización corresponde al costo de oportunidad del dinero del inversionista o tasa de oportunidad, que es la mayor rentabilidad que dejaría de obtener por invertir en el proyecto.

�� Préstamo de terceros. Su costo corresponde a la tasa de interés que pagaría el in-Z��su totalidad por recursos externos se conocen como proyectos de saliva.

�� Combinación de recursos propios y préstamo de terceros. Esta es la forma que ge-�� K�� Z�� corresponde a una tasa de interés promedio ponderada, que involucra la tasa de oportunidad del inversionista y el costo del préstamo. Esta tasa se conoce como Costo de Capital.

2. VALOR PRESENTE NETO (VPN)El valor presente neto es una cifra monetaria que resulta de comparar el valor pre-

sente de los ingresos con el valor presente de los egresos. En términos concretos, calcular el valor presente neto consiste en comparar los ingresos con los egresos en pesos de la misma fecha. Por convencionalismo, se ha determinado el momento cero para hacer esta comparación, pero es perfectamente válido hacerla en cualquiera otra fecha.

497

497


0

P

1

FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNEn

2 3 4 n

No basta con que las empresas generen utilidades, ya que esto no garantiza su permanencia en el mercado. Las utilidades, por si solas, son una medida engañosa sobre su desempeño, porque no tienen en cuenta el monto de la inversión que las genera. En una economía capitalista solamente sobreviven en el largo plazo las empresas rentables y líquidas. ¿Cómo se sabe si una empresa es rentable? aparentemente, cuando al com-parar las utilidades obtenidas en un período contable con la inversión que las genera, el resultado obtenido (rentabilidad operativa) es al menos igual al costo de la inversión. w��]��<��K��&Sallenave, 1994) evitan la trampa de las medidas estáticas, buscando índices dinámicos de desempeño que consideren ��Z�� ]� ��+ ��Z1. De estos índices, uno de los más utilizados es el VPN.

�� Z��w�� + ��Z�&%=�'!��+ ��caja sería el siguiente:

La ecuación del VPN se plantea de la siguiente forma:

VPN PFNE

T.O

FNE

T.O

FNE

T.OT.O( ) ( ) ( ) ( )

� � ��

��

� ��

11

22

1 1 1... n

n (8.1)

Al plantear la ecuación del VPN observamos lo siguiente:

�� Estamos comparando el valor de los egresos (inversión inicial P) con los ingresos futuros (FNE) en una misma fecha; para este caso, en el momento cero por conve-niencia. Estamos midiendo el proyecto en pesos del mismo día.

�� La tasa de descuento utilizada para trasladar los FNE del futuro al presente es la tasa de oportunidad del inversionista, llamada también costo de capital simple. Estamos asumiendo que el inversionista aporta todos los recursos que requiere la inversión ��@��Z�� se reemplaza por el costo de capital

�� Estamos planteando un proyecto convencional o normal: proyecto con inversión ��

Una forma más sencilla de expresar la ecuación para el cálculo del VPN, es la si-guiente:

VPN (T.O.) � VPI � VPE

1 ��Z� ��!�� | �� contables sino Flujos Netos de Efectivo (FNE), que constituyen la disponibilidad real de efectivo de cada período.

498


0

1.000

1 2 3 4 años

350 380 400 500

Donde: VPI � Valor presente de ingresos. Representa en la ecuación el valor �� K��+ ��Z�

VPE � Valor presente de egresos, representado en la ecuación (8.1) por la inversión inicial P.

T.O. � Tasa de oportunidad del inversionista.

Ejemplo 8.1

&��>�� % ��Ingeniería Económica). A dos inversionistas, en forma independiente, se les plantea la posi bi li dad de emprender un proyecto de inversión, que requiere de una inversión inicial ��HHH��| �� + ��Z!��"!�� + ��_� ��Z��{

La tasa de oportunidad del inversionista A � 20% anual y la del inversionista B � 30% anual.

El inversionista A estaría dispuesto a invertir su dinero siempre y cuando el proyecto de inversión le arroje un rendimiento mínimo del 20% anual, que es la máxima rentabi-��| ��| ��Z �Z��<��plantea el inversionista B; él estaría dispuesto a invertir su dinero si el proyecto le arroja un rendimiento mínimo del 30% anual.

La pregunta que se hace cada inversionista individualmente es: ¿me conviene in-vertir en este proyecto?

Si estuviéramos en la época de Adán y Eva2!�� @��+��!��-terés, el costo de oportunidad y el riesgo, podríamos tomar una decisión calculando la utilidad que arroja el proyecto restándole a la suma aritmética de los ingresos el valor de la inversión inicial, obteniendo el siguiente resultado:

Utilidad neta � (350 � 380 � 400 � 500)1.000 � 630

El proyecto debería ser aceptado por cualquier inversionista, dado que se obtie-ne una utilidad de $ 630, después de recuperar la inversión de $ 1.000. Pero hoy las condiciones son totalmente diferentes, ya que existen todos los factores mencionados arriba, que hemos supuesto no existían en la época del paraíso terrenal. Los recursos necesarios para hacer la inversión inicial tienen un costo, el cual se le cobra al proyecto de inversión. Este costo es del 20% anual para el inversionista A y del 30% anual para el inversionista B. En la época de Adán y Eva, como no existía la escasez, los recursos no tenían ningún valor.

2 �� ^��>��k�]�| �K!�� %��K��!��Norma,1991.

499

499


Para responderles esta pregunta a los inversionistas utilicemos el VPN como criterio de análisis.

�� Calculamos el VPN para el inversionista A:

VPN 1.0000 20 1 2 3

350

1 0 20

380

1 0 20

400

1 0 20

50.

. . .( ) ( ) ( ) ( )

� � ��

��

��

�00

1 0 204

� .( ) VPN � �1.000 � 291.67 � 263.89 � 231.48 � 241.13

VPN � $ 28.16

�� w�� kw=�� K��W�% ��`��

Calculadora FC 100En la Casio FC 100, para hacer el cálculo del VPN se debe oprimir la tecla MODE y

el número 4, y debe aparecer en la parte superior de la pantalla el símbolo CF. Antes de ��!�� %$�/`��<��`%��=�!� �� -��!�� + ��Z��`%��Z��+ ��Z� i Nj es el número de veces que se repite. Si ��+ ��Z��W�� Z��`%��<��Z��Z��<�� información que se le ingresa, lo que indica que para obtener una respuesta exacta se le debe ingresar correctamente la información; en los períodos donde no haya egresos ni ingresos se debe ingresar el número 0. Antes de pedir el cálculo del VPN, se debe ingresar la tasa de descuento.

Calculadora FC 200En esta calculadora el cálculo del VPN se realiza en el menú FIN, de tal forma que

��\��W��#��w��+ ��efectivo se dispone de las mismas teclas CFj y Nj. El procedimiento de ingreso de datos y de cálculo es exactamente igual al de la calculadora FC 100.

Calculadora FC 1.000��]� ��kw=�� K��W��`�%�&+ ��

descontado), para lo cual se debe oprimir la tecla MENU y F5. En la parte inferior de la pantalla aparecen los rótulos i% (F1), CFj (F2), Nj (F3) y NXT (F5). Los datos se ingresan de la misma forma que en las anteriores calculadoras. Para calcular el VPN, luego de ��+ ��Z!��%��y aparecen nuevos rótulos en la parte inferior de la pantalla, entre los cuales está NPV (F3) que corresponde al VPN. Recuérdese que en las calculadoras FC 200 y FC 1.000 es necesario oprimir la tecla COMP (computar, calcular) antes de pedir el resultado de la variable desconocida.

500


Calculadoras FC 100V y FC 200VPara hacer el cálculo del VPN en las calculadoras Casio 100V y Casio 200V, se entra

al menú Flujo de Caja (CASH FLOW) oprimiendo la tecla CASH. Con la tecla REPLAY nos ubicamos en Csh�D. Editor x y oprimimos EXE para entrar a la matriz de datos. Se registran los ingresos con signo positivo y los egresos con signo negativo. En la matriz, ��K�� + ��oprime la tecla CASH y con la tecla REPLAY nos ubicamos en NPV y oprimimos la tecla ��<k�!��Z��kw=��/��K�� | ��]� ��necesario borrar la lista anterior, para lo cual debe seguir el siguiente procedimiento: oprima SHIFT 9 y D. EDITOR EXE, EXE y AC.

Calculadora Hewlett Packard 17 BII y 19 B IIw��W�+ �� w��-��Y��W�

principal, oprimimos FIN y luego F. CAJA. Si no ha usado previamente el menú F. CAJA, la calculadora exhibe una lista vacía, pero si se ha realizado un cálculo anterior es necesario ��!�� ̀ <�/^��/$/�� w��+ ��Z!�}�� ;��Z��+ ��de efectivo inicial, que corres ponde a la inversión inicial acompañado del signo �/� por ser un egreso, seguido de IMPUT. Aparece en pantalla F.CAJA(1), que corresponde al valor �� + ��&� ��Z��Z!��!��recordar las convenciones de signos, negativo para egreso y positivo para ingreso). El � ��"��}��W��Z��| ��+ ��Z�� Z�� + ��W�� Z��\w�$�&��W��Z��'��+ ��Z� ��número de veces, es necesario indicarlo oprimiendo ese número de veces e IMPUT. El ��}��+ ��< ��!��̀ /<`��la tasa de descuento oprimiendo el valor de ésta y oprimiendo % I, y luego se pide el valor del VAN (valor actual neto o valor presente neto).

A continuación presentamos el cuadro de cálculo del VPN, utilizando las diferentes calculadoras.

�� Calculamos el VPN para el inversionista B:

En la misma ecuación del VPN para el inversionista A, reemplazamos la tasa de oportunidad por el 30%.

501

501


VPN 1.0000 30 1 2 3

350

1 0 30

380

1 0 30

400

1 0 30

50.

. . .( ) ( ) ( ) ( )

� � ��

��

��

�00

1 0 304

� .( )

VPN � �1.000 � 269.23 � 224.85 � 182.07 � 175.06

VPN � $ �148.79

`��+ �� !��;

��| ��inversión inicial, debido a que el uso del dinero no es gratuito; vale decir, emprender un proyecto de inversión consiste en prestarle dinero al interés a una cosa que se llama proyecto. En el proceso de descuento, que consiste en calcular el valor presente de los + ��Z�� !��

Para el cálculo del VPN, Excel tiene la función VNA. Para su correcta aplicación se ��}��]� ��+ ��valores, teniendo en cuenta que Excel es consistente con la convención de los signos: ingresos con signo positivo y egresos (inversión) con signo negativo.

La sintaxis es:

VNA (tasa; valores) � P

El rango de valores debe iniciarse en la celda correspondiente al período 1 y terminar ��+ ��K�� Z��!�debe escribirse como tal, ya que Excel no considera una celda en blanco como cero. El Z�� k=/�� Z��+ �� !�de tal forma que para encontrar el valor del VPN se debe restar el valor de la inversión ��k��

502



Figura 8.1

2.1 CRITERIOS PARA SELECCIONAR ALTERNATIVAS USANDO EL VPN�� Cuando el VPN es mayor que cero la alternativa se debe aceptar.

�� Cuando el VPN es igual a cero es indiferente aceptar o no la alternativa

�� Cuando el VPN es menor que cero, la alternativa se debe rechazar.

Según estos criterios de selección, el inversionista A debe aceptar el proyecto, mientras que el inversionista B debe rechazarlo. Esto nos indica que un proyecto de inversión no es ni bueno ni malo en si, sino que depende de las exigencias económicas del inversionista.

Ejemplo 8.2

��"��w��Z��}��?��HH�HHH��"��#�GHH�HHH�� tasa de oportunidad es del 2.5% mensual, ¿hizo buen negocio?

Por solución directa, aplicando la fórmula del interés compuesto, se tiene que la tasa de interés corriente que se gana el inversionista es del 1.53% mensual.

503

503


F � P(1 � i)n

4.200.000 � 3.500.000(1 � i)12

i � 1.53% mensual


� TASA (12; 0; �3.500.000; 4.200.000)

Lo que indica que el señor Pablo debe rechazar el proyecto, porque el rendimiento que alcanza es inferior a su tasa de oportunidad, que es del 2.5% mensual.

La tasa de rendimiento obtenida se conoce como la TIR (tasa interna de rendimiento), la cual será analizada en la sección siguiente.

Utilizando el método del VPN, se tiene:

VPN 0 025 123 500 000 4 200 000

1 0 025. . . . .

.( ) ( )

� � ��

VPN � $ �377.065.28

NOTA: En las calculadoras FC 100V y FC 200V en la matriz de valores (Csh � D. EDITOR X) no existe período cero, sino que el rango de valores comienza en 1, de tal forma que si son 11 pe-ríodos en los cuales no hay ingresos ni egresos, el último cero debe registrarse en 12 y no en 11.

El señor Pablo hizo un mal negocio, porque el VPN es menor que cero. Conviene aclarar que cuando se obtiene un valor del VPN menor que cero, esto no indica ninguna pérdida económica, simplemente, el inversionista además de recuperar su inversión no obtiene el rendimiento deseado. Para este ejercicio, faltan $ 377.065.28 en pesos del momento cero, para que el inversionista recupere su inversión y obtenga un rendimiento ��G�� k�� G�

504


0

10.000.000

3.000.000

1 2 3 4 5 años


Figura 8.2

Ejemplo 8.3

A un inversionista le proponen invertir $ 10.000.000 y le aseguran que en los próxi-mos 5 años recibirá $ 3.000.000 cada año. Si su tasa de oportunidad es del 20% anual, ¿le conviene aceptar el negocio?

��Z��| �� Z��!�� valor presente está dado por la fórmula 5.2, analizada ampliamente en el capítulo 5, sección 4.1.

VPN 0 20

5

510 000 000 3 000 000

1 20 1

0 20 1 20. . . . .

.

. .( )

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥� � ��

⎥⎥

VPN � $ �1.028.163.58

505

505


Por ser el VPN menor que cero, el proyecto se debe rechazar.

NOTA: En las calculadoras FC 100V y FC 200V en la matriz de valores (Csh � D. EDITOR X) no existe período cero, sino que el rango de valores comienza en 1, de tal forma que si son 5 períodos en los cuales el ingreso es de $ 3.000.000, este valor debe registrarse hasta 6.


Figura 8.3

506


0

30.000.000

25.000.000

800.000

1 2 3 4 5 6 7 12 meses

Ejemplo 8.4

Pedro compra un camión de carga hoy por $ 30.000.000 para arrendárselo a una empresa de transporte durante un año por $ 800.000 mensuales, libres de gastos de ��"��G��HHH�HHH��su tasa de oportunidad es del 3.0% mensual, ¿debe aceptar el negocio?

��+ �� ;

Para tomar una decisión, nos apoyamos en el valor presente neto.

VPN (T.O) � VPI � VPE

El valor presente de los egresos es el valor de compra del camión.

VPE � $ 30.000.000

El valor presente de los ingresos es el valor presente de la anualidad conformada por los 12 pagos mensuales de arriendo, más el valor presente de la venta del camión.

VPI ��

�800 0001 03 1

0 03 1 03

25 000 000

1 03

12

12.

.

. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )112

VPI � $ 25.497.700.20

VPN (0.03) � $ 25.497.700.20 � $ 30.000.000

VPN (0.03) � $ �4.502.299.80 menor que cero

El negocio debe ser rechazado por Pedro, porque no satisface sus expectativas de rendimiento.

507

507


Solución con la hoja de cálculo ExcelFigura 8.4

�_` ]��"��| ��w��el negocio?

La solución la plantea una ecuación de valor que haga el valor presente neto (VPN) � 0, en la que la incógnita sea el valor del camión.

VPN(3%) � VPI � VPE

Haciendo el VPN � 0, se tiene:

30 000 000 800 0001 03 1

0 03 1 03 1 03

12

12 12. . .

.

. . .�

��

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )

X

X � $ 31.419.202.96


A B C1 PERÍODO VALORES PRECIO DEL CAMIÓN2 0 30.000.000 1003 1 800.0004 2 800.0005 3 800.000

......... ................ ................ ................13 11 800.00014 12 �800.000�C2

508


En la columna A registramos los períodos y en la B los valores. En la celda B2 escri-bimos el valor del camión. Desde la celda B3 hasta B13 registramos el valor del arriendo mensual. En la celda C2 escribimos un valor arbitrario de 100 que corresponde al precio ��"��#��Z��]��precio del camión (C2). Aplicando la función VNA se obtiene un VPN de $ �22.036.726.67. Aplicando Buscar objetivo y haciendo el VPN igual a cero encontramos en C2 un precio ��"��?��#�Y�GHG�Y*��&k�� #�G'�

Figura 8.4.2

��Z��"��G��HHH�HHH!�_� ]��Z��del arriendo mensual para aceptar el negocio?

Nuevamente la solución al problema la plantea una ecuación de valor que iguale el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos, es decir, que haga el VPN � 0 y en la que la incógnita sea el valor del arriendo (A).

30 000 0001 03 1

0 03 1 03

25 000 000

1 03

12

12. .

.

. .

. .

.�

��A

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( ))12

A � $ 1.252.310

509

509



A B C1 PERÍODO VALORES PRECIO DEL CAMIÓN2 0 30.000.000 25.000.0003 1 1004 2 �B35 3 �B4

......... ................ ................ ................13 11 �B1214 12 �B13�C2

En la columna A registramos los períodos y en la B los valores. En la celda C2 re-gistramos el precio del camión. En la celda B3 escribimos un valor arbitrario de 100, que corresponde al valor del arriendo mensual que vamos a calcular y en la celda B4 calculamos el arriendo del segundo mes que es igual al primero, y copiamos B4 hasta B13. En la celda B14 calculamos el valor del ingreso que es igual al valor del arriendo más el precio de venta del camión (C2). Con Buscar objetivo de Excel, haciendo el VPN igual a cero encontramos en B3 un valor de $ 1.252.310, que corresponde al valor del �� &k�� #�?'�

Figura 8.4.3

510


3

50.000.000 5.000.000

35.000.000

1.500.000

4 5 6 24

10

Ejemplo 8.5

Se compra una bodega por $ 50.000.000 y en el primer mes se le hacen reparaciones por $ 5.000.000. Se espera arrendarla a partir del tercer mes por $ 1.500.000 mensuales }�� "!�� Z��?��HHH�HHH��de oportunidad es del 20% efectiva anual, ¿se hizo un buen negocio?

��+ �� ;

/��Z� ��Z��!��+��perío do en que se presentan.

La tasa de interés está expresada como efectiva anual. Utilizando el procedimiento ��Z��| �Z��!�� !�� tasa de l .53% mensual ��20% E.A.

Para determinar si se hizo un buen o mal negocio nos apoyamos en el criterio del VPN.

Elegimos como fecha focal el momento cero para comparar los ingresos con los egresos.

Cálculo del valor presente de los ingresos: es igual al valor presente del valor de venta de la bodega más el valor presente de los arriendos. Estos últimos conforman una anualidad diferida, porque el primer ingreso se encuentra en el mes 3 y la fecha focal la hemos tomado en el momento cero. Al calcular el valor presente de la anualidad, este queda ubicado en el mes 2, por lo tanto, este valor debemos trasladarlo al momento cero.

VPI ��

�

� �

�35 000 000

1 0 0153

1 500 0001 0 0153 1

0 0153 124

22

. .

.

. ..

.

( )

( )00 0153

1 0 0153

22

2

.

.

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )�

VPI � 24.305.825.88 � 27.005.613.93

VPI � $ 51.311.439.81

Cálculo del valor presente de los egresos: es igual al valor de compra de la bodega, que ya está ubicado en el momento cero, más el valor presente del valor de las repara-ciones realizadas en el primer mes.

511

511


VPE � ��

50 000 000 5 000 0001 0 0153

. . . ..( )

VPE � $ 54.924.652.81

El VPN es igual al valor presente de los ingresos menos el valor presente de los egresos:

VPN � $ 51.311.439.81 � $ 54.924.652.81

VPN � $ �3.613.213

Por ser negativo el VPN, se hizo un mal negocio.

Solución con la hoja de cálculo ExcelEl Excel es consistente con la convención de los signos: ingresos con signo positivo

y egresos con signo negativo. En este ejercicio, además de la inversión inicial existe una ��Z��| ��+ �� !��K��?��Z��&k�� '�

Figura 8.5

512


2.2 ¿QUÉ MUESTRA EL VPN?>��!�� kw=!�| �� Z�K!�

conllevan a tomar decisiones de inversión equivocadas.

Analicemos las más relevantes.

�� El rendimiento que el inversionista exige no se recibe sobre la inversión inicial, sino sobre el saldo de la inversión no recuperado. En el caso del inversionista A (Ejemplo 8.1), el 20% de rendimiento que exige como mínimo sobre su inversión de $ 1.000, lo obtiene sobre el saldo no recuperado de su inversión.

�� Si el VPN es igual a cero, el inversionista gana lo que quería ganar después de recuperar la inversión.

�� Si el VPN es mayor que cero, el inversionista gana más de lo que quería ganar. El VPN le muestra en pesos del presente, cuanto más ganó sobre lo que quería ganar.

�� Si el VPN es menor que cero, esto no indica ninguna pérdida, sino la cantidad de dinero en pesos de hoy que faltó para que el inversionista ganara lo que quería ganar.

Demostremos que el rendimiento que obtiene el inversionista es sobre el saldo pendiente de recuperar y no sobre la inversión inicial. Para este propósito, analicemos ��+ ��!�� Z��/�| ��una tasa de oportunidad igual al 20% anual. Para esta demostración nos apoyamos en la siguiente tabla de amortización.

No. CUOTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

0 1.000.00

1 350.00 200.00 150.00 850.00

2 380.00 170.00 210.00 640.00

3 400.00 128.00 272.00 368.00

4 500.00 73.60 426.40 �58.40

EXCEDENTE 58.40

A primera vista, el excedente de $ 58.40 no coincide con el VPN de $ 28.16. La diferencia está solamente en que el VPN se expresó en el momento cero, mientras que el excedente está en el año 4. Pero si calculamos el valor presente de $ 58.40 en el momento cero, se obtendrá:

P F�

�14

i( )

P ��

58 40

1 0 204

.

.( )

P � $ 28.16

513

513


2.3 CONCLUSIONES SOBRE EL VPN�� Es un método de fácil aplicación.

�� <��Z�� &+ ��Z'!��hoy y así se puede ver si los ingresos son mayores que los egresos.

�� Considera el valor del dinero en el tiempo.

�� Se necesita conocer la tasa de descuento para poder evaluar los proyectos. Este es el factor determinante en la aplicación del método. Cualquier error en su determi-nación repercute en la decisión de aceptar o rechazar un proyecto.

2.4 VALOR PRESENTE NETO NO PERIÓDICO (VPN.NO.PER)�� | �!�� !��

Z�� Z�� + ��Z��| ��necesariamente periódicos.

En los ejercicios precedentes hemos calculado el VPN, conocida la tasa de descuento �� + ��Z��!�es decir, que se presentan a intervalos iguales de tiempo. En algunos de ellos la tasa de �� + ��Z��conceptos de conversión de tasas de interés calculamos la tasa equivalente para llevarla ��+ ��/��!��+ ��Z�� !��tasa de descuento tiene que ser efectiva mensual, etc. Es práctico suponer que durante la vida útil de una inversión se presentarán ingresos y egresos en períodos menores al año y que, generalmente, no se presentan con la misma periodicidad. En este último caso, el VPN recibe el nombre de VPN.NO.PER.

Ejemplo 8.6

Se hizo una inversión por $ 500.000 el 11 de febrero de 1953 y se recibieron los �� ;

Fecha Valor 06/04/53 $ 280.900 10/06/53 $ 154.786 11/09/53 $ 223.650 23/12/53 $ 300.560

Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 18% EA, diga si fue acertada la inversión.

��Z��| ��+ ��Z��<�� ]��!�� Z��!��+ ��efectivo a la fecha inicial de la inversión y compararla con ésta. Debemos usar el interés real (año de 365 días) para ser consistentes con el tipo de interés utilizado por Excel. Se hace necesario, además, calcular el número de días calendarios que hay entre la fecha ��+ ��Z��}��Z��&Z�� G!��calcular el número exacto de días).

514


11/02/1953

280.900 154.786 223.650 300.560

500.000

06/04/1953 10/06/1953 11/09/1953 23/12/1953

VPI � 500.000

VPI �

�

�

�

�

�

280 900

1 0 18

154 786

1 0 18

223 650

1 054365

119365

.

.

.

.

.

.( ) ( ) 118

300 560

1 0 18212365

315365( ) ( )

�

�

.

.

VPI � $ 884.463.52

VPN � VPI � VPE

VPN � $ 884.463.52 � $ 500.000

VPN � $384.463.52 mayor que cero, la inversión fue acertada

Para calcular el VPN no periódico el Excel tiene la función VNA.NO.PER, cuya sin-taxis es:

VNA.NO.PER (tasa; valores; fechas)

Para aplicarla en la hoja de cálculo, registramos las fechas que deben estar en el formato números y no en el formato de fechas, porque nos permite usar cómodamente rangos; registramos los valores (que no tienen que ser necesariamente periódicos) que ��+ ��Z!�� Z��&��signo positivo y egresos con signo negativo) y registramos la tasa de descuento que tiene que ser una tasa efectiva anual. Aplicamos la función VNA.NO.PER escribiendo el signo igual y su notación, abrimos paréntesis y escribimos la tasa, el rango de valo-res y el rango de fechas y cerramos paréntesis. Al dar ENTER, obtenemos un valor de ��?�#�#*?��G��&k�� *'�

515

515



Figura 8.6

��]� ��kw=��+ ��Z��!��este caso en el rango de valores se incluye la inversión inicial con signo negativo.

Ejemplo 8.7

El día 11 de Febrero de 1953 Juan David compró una máquina recolectora de al-godón por $ 35.000.000. Para poderla poner en operación se le hicieron reparaciones el ��G#��/��Y�?��HH�HHH�� respectivas fechas:

��

12/06/53 $ 2.300.000

30/08/53 $ 4.500.000

25/10/53 $ 6.000.000

20/11/53 $ 4.800.000

516


24/04/1953

12/06/53

2.300.000 4.500.000 6.000.000 4.800.000 25.000.000

30/08/53 25/10/53 20/11/53 30/12/5311/02/53

35.000.000 1.500.000

El día 30 de Diciembre de 1953 se vendió por $ 25.000.000. Si la tasa de oportunidad de Juan David es del 14% EA, diga si hizo un buen negocio. Utilice la hoja de cálculo Excel.

Calculamos el VPN utilizando la hoja de cálculo Excel. El valor de compra de la �]| ��Z��&k�� -'�

Figura 8.7

El VPN es igual a $ 2.010.764.24, mayor que cero, lo que indica que Juan David hizo un buen negocio.

3. TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)Al analizar el VPN pudimos observar que su resultado dependía fundamentalmente

de la tasa de descuento. Esto lo apreciamos al desarrollar el ejemplo de los dos inver-sionistas. Un mismo proyecto era recomendable para el inversionista A y no lo era para el inversionista B. La selección del proyecto depende, entonces, de la tasa de descuento cuando utilizamos el método del VPN.

517

517


0

$ 200.000

$ 220.000

1 año

Vamos a analizar, ahora, un indicador que es independiente de la tasa de descuento para su cálculo, y es una característica propia del proyecto.

En el ejemplo de los dos inversionistas (Ejemplo 8.1) pudimos apreciar que el in-versionista A exigía un rendimiento del 20% y el proyecto le entregaba eso y $ 28.16 más, medidos en pesos del momento cero, o sea, que el proyecto le entregaba un ren-dimiento mayor. El inversionista B exigía un rendimiento del 30% y el proyecto no se lo podía entregar. Probablemente, si el inversionista A exigiera un rendimiento mayor, el proyecto se lo podría dar. La TIR indica hasta cuánto podría el inversionista A aumentar su rendimiento exigido, para ello se buscará aquella tasa que haga el VPN � 0 y para | ��!��Z��+ ��Z��-��Z��!�� !��!��Z��+ ��descontados debe ser igual a la inversión.

w��!��!��$�^��| ��}��kw=�� 0 o, ��!��| �� Z��+ ��la inversión.

Una interpretación importante de la TIR es que ella es la máxima tasa de interés a la | �� Z�� !��&+ ��Z'��y de sus intereses, sin perder un sólo centavo.

Para el caso de los dos inversionistas del ejemplo 8.1, esa tasa de interés debe estar entre el 20% y el 30%. Más cerca del 20% que del 30%, porque $ 28.17 está más cerca a cero que $ 148.79.

Podemos, entonces, plantear la ecuación de la TIR de la siguiente forma

VPN 0 PFNE

TIR

FNE

TIR

FNE

TIR� � � �

��

��

�

11

22

1 1 1( ) ( ) ( )... n

n

Ordenando la ecuación, se tiene:

PFNE

TIR

FNE

TIR

FNE

TIR�

��

��

�

11

22

1 1 1( ) ( ) ( )... n

n

En efecto, los siguientes casos ilustran lo anterior.

Ejemplo 8.8

Se invierten $ 200.000 y después de un año se reciben $ 220.000. Calcular la TIR anual.

518


La TIR es la tasa de interés que hace el VPN � 0

Se plantea la ecuación del VPN.

VPN � � ��

200 000 220 000

11

. .

i( ) (8.1)

Haciendo el VPN � 0, se tiene:

200 000 220 0001

. .�

� i( )

1 220 000200 000

1 10� � �i( ) ..

.

i � 0.10 � 10% anual � TIR

Se observa que al hacer el VPN � 0, la ecuación resultante es una ecuación de valor con fecha focal en el momento 0.

En Excel, la TIR se calcula utilizando la función TIR, para lo cual se recomienda �� + ��Z��Al utilizar la función TIR en la hoja de cálculo se ingresan las celdas y no los valores.

Su sintaxis es: TIR (rango; estimar)

Para el cálculo de la TIR, el rango se inicia con el valor del momento cero y en el paréntesis podemos omitir el parámetro estimar, porque el programa asume una tasa ��H��}��+ ��K�� valor cero, debe escribirse como tal, ya que Excel no considera una celda en blanco como cero. Los signos de los valores involucrados en el cálculo deben ser consistentes con el + ��!��| �� Z�� Z��un ingreso debe tener signo positivo.

Solución con la hoja de cálculo ExcelPara el cálculo del VPN con la hoja de cálculo Excel, el rango de valores comienza

en el período 1, tal como lo observamos en los ejemplos precedentes, mientras que para el cálculo de la TIR comienza en el período cero y la inversión inicial se debe registrar ��Z��k�� *�

519

519


110.000 110.000

0 1 2 años

f.f.

200.000

Figura 8.6

Ejemplo 8.9

��"��w��K��Z��GHH�HHH��"��H�HHH��del segundo año $ 110.000. Calcular la TIR.

��+ �� ;


200 000 110 000

1

110 000

11 2

. . .�

��

�i i( ) ( )Quitando denominadores, se tiene: 200.000(1 � i)2 � 110.000(1 � i) � 110.000.

520


Ordenando la ecuación, se tiene: 200.000(1 � i)2 � 110.000(1 � i) � 110.000 � 0

que corresponde a una ecuación de segundo grado del tipo: ax2 � bx � c � 0.

que se resuelve aplicando la siguiente fórmula: xb b ac

a�

� � �2 42

.

Resolviendo la ecuación:

x i� � ��

1110 000 110 000 4 200 000 110 000

2 200 000

2

( ) ( ) ( )( )( )

. . . .

.

1110 000 100 100 000

400 000� �

�i( ) . . .

.

1110 000 316 385 84

400 000� �

�i( ) . . .

.

i1110 000 316 385 84

400 0001�

��

. . ..

i1 � 6.60% anual

i2110 000 316 385 84

400 0001�

��

. . ..

i2 � �151.60% anual

En este caso hay dos soluciones reales que satisfacen matemáticamente el problema, pero optamos por la solución positiva considerando que es la solución que tiene sentido económico real.

Como se aprecia en los ejemplos 8.8 y 8.9, en la medida en que el horizonte del proyecto tiende a ser mayor a dos períodos, la ecuación para encontrar la TIR se vuelve ��]��Z�� w��Z�� la exactitud que el método analítico proporciona, se ha diseñado un algoritmo de solu-ción denominado “ensayo y error”(popularmente conocido como el método del tanteo),. Este procedimiento, aunque ya entrado en desuso por la existencia de las calculadoras ��}��]� ��@��!�}��K�� !��GH��Para efectos académicos s e recomienda al lector su consulta.

521

521


0

5.000.000

20.000.000

3.500.000 5.500.000

4 6

10.000.000

12 meses


Ejemplo 8.10

El señor Pedro le compró a ORBE LTDA un lote de terreno por valor de $ 20.000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: una cuota inicial de $ 5.000.000, un pago de $ 3.500.000 dentro de 4 meses, un pago de $ 5.500.000 dentro de 6 meses y ��H�HHH�HHH��G��`�� hoja de cálculo Excel.

��Z��!��!��Z��Z�� &k�� H'�

522


500.000 2.000.000

0 2

5

7 meses

200.0002.000.000


Figura 8.10

<��G�-��&��'!�| ��$�^��

Ejemplo 8.11

El señor Pedro Pablo abre una cuenta de ahorros en el Banco de Colombia con $ 2.000.000. Transcurridos 2 meses retira $ 500.000, en el mes 5 hace un nuevo depósito ��GHH�HHH��-�� G�HHH�HHH��̀ �� que le reconocieron. Utilice la hoja de cálculo Excel.

En la hoja de cálculo, los depósitos se ingresan con signo negativo y los retiros con ��Z��&k�� '�

523

523


Figura 8.11

La tasa de interés que le reconocieron a Pedro Pablo fue del 2.34% mensual (D7).

!"� � �#�$� ��%�&La TIR es la tasa de interés que hace el VPN � 0. Una vez construida la ecuación

��kw=!��Z�� diferentes valores del VPN, partiendo de una tasa del 0%. Mediante este procedimiento ��"�� ]��| ��§��$�%&�

��K��+ ��!�� ;

Tasa 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%VPN 630.00 434.89 274.26 140.56 28.16 �67.20 �148.79 �219.12

'�*� ��#��+�-�� + ��Z��| ��!�

en forma exacta, los ingresos y egresos.

�� Las ordenadas del plano cartesiano corresponderán al valor del VPN y las abscisas a la tasa de descuento.

�� Se calcula el valor del VPN para diferentes tasas de descuento, partiendo de una tasa del 0%. Para una tasa de descuento del 0%, el valor del VPN se calcula sumando ��+ ��!�� | ��

524


800,00

600,00

400,00

200,00

0,00

�200,000% 5% 10% 20% 30%25%

TIR � 21.39%

15%

VPN

5.000.000

0 1 2 3 4 5 6 meses

922.987.50

valores negativos y los ingresos son positivos. La forma más práctica es con la hoja de cálculo Excel.

Al obtener valores del VPN positivos y negativos, se puede dibujar el ��$�%.

��+�-

Tabla de descuento

��K�� | ��!��Z��!��observa que la curva corta la abscisa en un punto que corresponde a la tasa de descuento del 21.39%, que pasa a ser el valor de la TIR.

;�#�� %�&` ��K�� !��!��| ��

interés obtenida (TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversión inicial. La TIR es la tasa de interés pagada sobre los saldos de dinero tomado en préstamo o la tasa de rendimiento ganada sobre el saldo no recuperado de la inversión.

Ejemplo 8.12

/� �� | �� HHH�HHH!��medio de 6 cuotas mensuales, a una tasa del 3.0% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

A P��

� �

i i

i

n

n

1

1 1

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A ��

� �5 000 000

0 03 1 0 03

1 0 03 1

6

6. .

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A � $ 922.987.50

525

525


En Excel: � w/>��&��k/��k%��'

� w/>��&?��*��HHH�HHH��H'

Mes Cuota Pago por interés Abono a capital Saldo

0 5.000.000.00

1 922.987.50 150.000.000 772.987.50 4.227.012.50

2 922.987.50 126.810.37 796.177.13 3.430.835.37

3 922.987.50 102.925.06 820.062.44 2.610.772.93

4 922.987.50 78.323.18 844.664.31 1.766.108.61

5 922.987.50 52.983.26 870.004.24 896.104.37

6 922.987.50 26.883.13 896.104.37 0

Como se puede apreciar en la tabla de amortización, la aplicación de la tasa de interés del 3% mensual (TIR) se hace sobre el saldo pendiente de pago al principio de cada mes. Igualmente se observa que los intereses se calculan sobre saldos y que con el último pago de $ 922.987.50 el saldo queda en cero.

��]��}�� Z��!��| ��un rendimiento sobre la inversión no amortizada al principio de cada mes del 3% y que con el último ingreso de $ 922.987.50 recupera su inversión, además de los rendimientos �� Z��!��| ��paga el 3% sobre el saldo no amortizado.

Podemos concluir que la TIR es la tasa de interés a que rinden los dineros que permanecen invertidos en un proyecto de inversión. En una forma más amplia, la TIR es la tasa de interés pagada por un crédito, cualquiera sea su naturaleza, pero no sobre su valor inicial sino sobre saldos insolutos.

Solamente existe una sola situación en la cual la TIR mide la rentabilidad sobre la ��Z�� &��Z��'�� /��!��!��Z��}��HH��año $120, la TIR es igual al 20% anual y en este caso la rentabilidad del 20% se obtiene sobre los $100, que es la inversión inicial. Para cualquier otro caso, siempre y cuando el proyecto tenga una duración mayor de un período, la TIR mide la rentabilidad sobre los saldos insolutos y no sobre la inversión inicial.

526


Criterios de selección de alternativas usando la TIRCuando se utiliza el método de la TIR para evaluar proyectos de inversión, los cri-

terios de aceptación o rechazo de un proyecto, son los siguientes:

�� Cuando la TIR es mayor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe aceptar. El inversionista obtiene un rendimiento mayor del exigido; el inversionista gana más de lo que quería ganar.

�� Cuando la TIR es igual a la tasa de oportunidad, es indiferente emprender o no el proyecto de inversión.

�� Cuando la TIR es menor que la tasa de oportunidad, el proyecto se debe rechazar. El inversionista gana menos de lo que quería ganar.

Tanto el VPN como la TIR son indicadores que permiten evaluar proyectos de inver-sión. Cuando empleamos el VPN estamos calculando en pesos del presente el rendimiento de los dineros involucrados en el proyecto. La TIR mide también la rentabilidad de un proyecto sobre los dineros que todavía permanecen invertidos en él, pero expresada como tasa de interés. Aunque el cálculo del VPN es mucho más sencillo que el de la TIR, ésta última es más comprensible. Cuando hablamos de un proyecto que rinde el 20% anual, todo el mundo sabe lo que se quiere decir.

En el cálculo del VPN la variable determinante es la tasa de descuento. Podemos decir que el VPN es una función de esta tasa. A medida que ésta cambia, el VPN tam-bién cambia. No podemos calcular el VPN si no está determinada con anterioridad la tasa de descuento, mientras que la TIR no depende de esta tasa para su cálculo. Son � �}��Z��| ��$�^��kw=!��Z� ��proyectos de inversión.

4. TASA VERDADERA DE RENTABILIDAD (TIR MODIFICADA)��]��]� ��$�^�� | ��+ ��| ��-

yecto son reinvertidos a la misma TIR y esta suposición es irreal cuando la TIR es mayor o menor que la tasa de oportunidad del inversionista. Precisamente, por esta suposición se llama a la TIR, tasa interna de retorno, debido a que no considera factores económicos externos al proyecto.

Supóngase que un proyecto de inversión tiene una TIR del 40% anual. Cada año el proyecto libera fondos, porque no los necesita, que no se pueden reinvertir por fuera del proyecto al 40% anual, sino a la tasa de oportunidad del inversionista que es del 20% anual. En este caso se presenta una dualidad: la TIR del proyecto como caracterís-tica propia de él, que sigue siendo el 40%, y la verdadera rentabilidad del inversionista, | �� Z��+ ��| ��!�� mínima igual a su tasa de oportunidad. El proyecto no puede responder por el buen uso que el inversionista le dé a los recursos producidos por él (Varela, 1989).

Ejemplo 8.13

Pedro Pérez invierte hoy $ 12.000.000 en un negocio de repuestos y después de 2 años recibe $ 15.600.000. Calcular la TIR.

527

527


0

12.000.000

15.600.000

2 años

��+ ��!�� ;

Planteamos la ecuación de valor, ubicando la fecha focal en el año 2.

15.600.000 � 12.000.000(1 � i)2

i � 14.02% anual

En este caso la tasa del 14.02% anual corresponde a la TIR del proyecto y al mismo tiempo es la rentabilidad que obtiene el señor Pedro Pérez, debido a que no existe la posi-��Z��+ �� Z��!�� ZZ��Z�� + ��W��*HH�HHH�� "�


� TASA (2; 0; �12.000.000; 15.600.000)


528


1

20.000.000

0

6.000.000

2 3 4 5 años

Ejemplo 8.14

Unos alumnos universitarios aportan $ 20.000.000 para instalar al frente de su uni-versidad un negocio de computadores. Al realizar su estudio económico, esperan recibir ��"��*�HHH�HHH�� "��anuales los pueden reinvertir a una tasa del 10% anual, calcular:

a. La TIR del proyecto.

b. La verdadera tasa de rendimiento de los alumnos.

��+ �� Z�� Z��inicial de $ 20.000.000 y 5 ingresos de $ 6.000.000.

Utilizando cualquier método para el cálculo de la TIR encontramos que para este proyecto es del 15.24% anual.


529

529


0

20.000.000

40.648.661

5 años

0

20.000.000

36.630.600

5 años

Si le aplicamos a la inversión inicial de $ 20.000.000 una tasa de interés del 15.24% anual, el valor de los intereses es de $ 3.048.000 y observamos que el proyecto devuelve ��"� ��Z��*�HHH�HHH��| �� + ��*�HHH�HHH��"!�� ]��ZZ�� Z�� $ 2.952.000 de la inversión inicial que ya no los necesita, quedando un saldo de $ 17.048.000. Sobre este saldo, el proyecto le da una rentabilidad del 15.24% anual durante el segundo año, y así sucesivamente Esto indica que la TIR mide la rentabilidad que produ-cen los dineros que aún permanecen invertidos en el proyecto y no sobre la inversión inicial.

\��| �� + ��| ��Z��a la misma TIR.

F�6.000.000(1.1524)4�6.000.000(1.1524)3�6.000.000(1.1524)2�6.000.000(1.1524)1�6.000.000

F�$ 40.648.661

<�| ��| �� "�!��Z��+ ��| ��-yecto a una tasa del 15.24% anual, los alumnos tienen un valor terminal de $ 40.648.661.

Aplicando la ecuación básica, se tiene:

40.648.661 � 20.000.000(1 � i)5

2.032 � (1 � i)5

(2.032)1/5 � (1 � i)

i � 15.24% anual

Pero, el ejercicio supone que los alumnos pueden reinvertir los fondos que libera el proyecto a una tasa del 10% anual. En este caso el valor acumulado después de los 5 años es:

F � 6.000.000(1.10)4�6.000.000(1.10)3�6.000.000(1.10)2�6.000.000(1.10)1�6.000.000

F � $ 36.630.600

`�� + �� !��;

530


Aplicando la ecuación básica, se tiene: 36.630.600 � 20.000.000(1 � i)5

i � 12.87% anual � tasa verdadera de rentabilidad de los alumnos

Excel tiene una función para calcular la tasa verdadera de rentabilidad (TIR MODI-FICADA) que se llama TIRM, cuya sintaxis es:

$�^\�&Z��&$�^'��Z��'

5. TASA INTERNA DE RETORNO NO PERIÓDICA (TIR.NO.PER)�� | ��

��Z�� + ��Z��| ��

El cálculo de la TIR en los ejercicios anteriores lo hemos realizado bajo la condición ��| ��+ ��Z��]��]�� que durante la vida útil de una inversión se presentarán ingresos y egresos en períodos menores al año y que, generalmente, no se presentan con la misma periodicidad. En este último caso, la TIR recibe el nombre de TIR.NO.PER.

Ejemplo 8.15

Se hizo una inversión por $ 900.000 el 11 de febrero de 1953 y se recibieron los �� ;

531

531


11/02/1953

280.900 154.786 223.650 300.560

900.000

06/04/1953 10/06/1953 11/09/1953 23/12/1953

Fecha Valor

06/04/53 $ 280.900

10/06/53 $ 154.786

11/09/53 $ 223.650

23/12/53 $ 300.560

Calcular la TIR

��Z��| ��+ ��Z��<�� -mática consiste en construir una ecuación que iguale los ingresos con los egresos a una determinada tasa (TIR), es decir, que haga el VPN igual a cero. Para construir la ecuación se hace necesario, además, calcular el número de días calendarios que hay entre la fecha ��+ ��Z��}��Z��&Z�� G!��calcular el número exacto de días.).

VPE � 900.000 VPI �

�

�

�

�

�

280 900

1

154 786

1

223 650

154365

119365

21236

. . .

i i i( ) ( ) ( ) 55315365

300 560

1�

�

.

i( )Haciendo el VPN igual a cero, tenemos:

900.000 �

�

�

�

�

�

280 900

1

154 786

1

223 650

154365

119365

2

. . .

i i i( ) ( ) ( )112

365315365

300 560

1�

�

.

i( )Por interpolación lineal obtenemos un valor de 13.87% EA. Este método de cálculo

complejo y tedioso, hoy en día está en desuso.

Para calcular la TIR no periódica el Excel tiene la función TIR.NO.PER, cuya sintaxis es:

TIR.NO.PER (valores; fechas; estimar)

Para aplicarla en la hoja de cálculo, registramos las fechas que deben estar en el formato números y no en el formato de fechas, porque nos permite usar cómodamente rangos; registramos los valores (que no tienen que ser necesariamente periódicos) que ��+ ��Z!�� Z��&��signo positivo y egresos con signo negativo). Estimar es un valor aproximado al resultado que sirve de referencia inicial para el cálculo iterativo de la función, el cual podemos omitir. Aplicamos la función TIR.NO.PER escribiendo el signo igual y su notación, abrimos paréntesis y escribimos el rango de valores y el rango de fechas y cerramos paréntesis. Al dar ENTER, obtenemos un valor de 13.87% EA.

532


Cuestionario

1. ¿A medida que aumenta la tasa de descuento disminuye el valor del VPN?

2. ¿El inconveniente del método del VPN es que su valor depende de la tasa de des-cuento?

3. ¿Qué es la tasa de descuento?

4. ¿Un VPN negativo indica que se pierde dinero en el proyecto?

�� /�� ;��$�^��| ��Z��inicial de un proyecto de inversión

6. ¿Qué es la TIR?

7. ¿La tasa de descuento es la misma TIR?

�� _<�� +�� Z��{

Y�� _w��| ��@�� $�^��| ��| �� | ��la inversión inicial de un proyecto?

533


EJERCICIO 1. Se va a montar un almacén que requiere una inversión inicial de $ 50.000.000 �� Z��HH�HHH�� }�� !�� !��!��HHH�HHH�� *�� !�¿se recomienda el proyecto? Utilice el método del VPN.

Calculamos el valor presente de los egresos:

VPE � �

� �

�

�50 000 000 500 000

1 0 06 1

0 06 1 0 06

1 0

8

8

. . .

.

. .

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

00652 763 347 19

2( )� $ . . .

Calculamos el valor presente de los ingresos:

VPI

A

��

��

�ii1

1 000 0000 060 06

15 723 270 441 1( ) ( )

. ...

$ . . .

VPN(6%) � VPI � VPE � $ 15.723.270.44 � $ 52.763.347.19 � $ �37.040.076.75. Por ser el VPN menor que cero se rechaza el proyecto.

EJERCICIO 2. Pedro compró una casa por $ 25.000.000 y espera arrendarla por $ 500.000 mensuales pagados en forma vencida, a partir del segundo mes y durante 12 meses, cuando espera venderla por $ 40.000.000. Si su tasa de oportunidad es del 2.0% mensual, ¿hizo buen negocio?

VPE � $ 25.000.000

VPI �

� �

�

��500 000

1 0 02 1

0 02 1 0 02

1 0 02

40

12

12

1.

.

. .

.

.

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )0000 000

1 0 0236 105 291 80

13

.

.$ . . .

��

( )

VPN(2%) � VPI � VPE � $ 36.105.291.80 � $ 25.000.000 � $ 11.105.291.80, mayor que cero, lo que indica que hizo un buen negocio.

534

EJERCICIO 3.��Z��HH��@��Z��H�� de los siguientes 8 años. Calcular la TIR.

P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

500 801 1

1

8

8�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 5.84% anual � TIR

En Excel: � TASA (8; �80; 500)


535

EJERCICIO 4. Un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $ 1.500.000, se ��G�� ?�*��_� ��{

P A� ��

�1

1 1

1i

i

i i

n

n( ) ( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1 500 000 153 681 11 1

1

12

12. . .� �

� �

�i

i

i i( ) ( )

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 4.0% mensual

En Excel: � TASA (12; �153681; 1.500.000; 0, 1)


EJERCICIO 5. Elija la mejor de las siguientes alternativas, utilizando el VPN:

AÑO 0 1 2 3ALTERNATIVA A �500 130 280 350

ALTERNATIVA B �450 100 70 580

Asuma una tasa de oportunidad del 10% anual.

ALTERNATIVA A:

VPE � $ 500

VPI ��

��

��

�130

1 0 10280

1 0 10

350

1 0 10612 55

2 3. . .$ .

( ) ( ) ( ) VPN � VPI � VPE � $ 612.55 � $ 500 � $ 112.55

536


ALTERNATIVA B:

VPE � $ 450

VPI ��

��

��

�100

1 0 1070

1 0 10

580

1 0 10584 52

2 3. . .$ .

( ) ( ) ( ) VPN � VPI � VPE � $ 584.52 � $ 450 � $ 134.52


Comparando los valores del VPN para cada alternativa, concluimos que la mejor alter-nativa es la B, por tener un mayor VPN.

EJERCICIO 6.��Z�}�� | �� GH�HHH�HHH!��la siguiente forma: cuota inicial de $ 5.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales vencidas ��*##�YYG��`��

537

Ecuación de valor con fecha focal en el momento cero:

20 000 000 5 000 000 1 644 9921 1

1

12

12. . . . . .� �

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 4.50% mensual

En Excel: � TASA (12; �1.644.992; 15.000.000)

EJERCICIO 7. Se realiza una inversión el 12/04/2007 por valor de $ 20.000.000 y se �� ;

Fecha Valor 09/06/2007 $ 5.400.000 20/09/2007 $ 7.000.000 18/12/2007 $ 9.800.000

Calcular la TIR.

20 000 000 5 400 000

1

7 000 000

1

9 80058365

161365

. . . . . . . .�

�

�

�

�

i i( ) ( )0000

1250365� i( )

Por interpolación lineal, TIR � 24.56% EA.

538

EJERCICIO 8. Con la misma información del ejercicio 7, diga si la inversión le conviene o no a un inversionista que tiene una tasa de oportunidad del 23% EA.

VPE � $ 20.000.000

VPI �

�

�

�

�5 400 000

1 0 23

7 000 000

1 0 23

9 800 058365

161365

. .

.

. .

.

. .

( ) ( )000

1 0 2320 118 847 56

250365�

�

.$ . . .

( ) VPN(23%) � VPI � VPE � $ 20.118.847.56 � $ 20.000.000 � $ 118.847.56

/�� kw=��Z!��| ��Z��Z��Z��


EJERCICIO 9.��Z�| �� Z��GH�HHH�HHH!��Z��con 9 cuotas mensuales iguales $ 2.568.677, cargándole una tasa de interés del 3% mensual. Usted consigue con su acreedor comenzar a pagarle las cuotas 3 meses des-pués de celebrada la negociación. Calcular la tasa de interés que le cobraron realmente.


20 000 000

2 568 6771 1

1

12 11

9

9

2. .

. .

. %�

� �

�

��

i

i i

i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )menssual

Por interporlación lineal: i � 2.11% mensual

539


EJERCICIO 10. ¿Qué tasa de interés le reconocen a un inversionista si deposita hoy en una cuenta $ 2.000.000, retira en cada uno de los 3 meses siguientes la cuarta parte de lo depositado y todavía en el mes 6 tiene un saldo de $ 646.000?


2 000 0000 1 500 0001 1

1 646 0006

33

. . . .� ��

� �ii

ii( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )



EJERCICIO 11. Usted abre una cuenta de ahorros con $ 10.000.000 y después de 4 meses ��HHH�HHH��/��*�� ?�� Z��HH�HHH��`�� | ��!��"�� retirar de la cuenta $ 4.965.480.

540


8 000 000 1 4 965 480 10 000 000 1 500 00018 12

3

. . . . . . .� � � � ��

i ii

( ) ( ) ( ) 111

4

ii

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )�



EJERCICIO 12. El señor Pedro Pablo compró un vehículo por $ 25.000.000 para arrendarlo a una empresa de transporte. Deducidos los gastos de mantenimiento, el vehículo pro-� �� HH�HHH�� #��!�� venderlo por $ 23.000.000. ¿Cuál fue el rendimiento obtenido?


25 000 000 800 0001 1

1

23 000 000

1

4

4 4. . . . .

��

��

�

i

i i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )



541

EJERCICIO 13. Un Banco otorga un crédito por valor de $ 40.000.000 con un plazo de un año para amortizarlo con cuotas trimestrales iguales de $ 10.632.715. Calcular:

a) La tasa de interés del crédito (TIR).

40 000 000 10 632 7151 1

1

4

4. . . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 2.50% trimestral

En Excel: � TASA (4; �10632715; 40.000.000)


�'� <��Z��&$�^��'!�� Z��valor de las cuotas a una tasa de interés del 1,8% trimestral.

F A��

��

�1 1

10 632 7151 0 018 1

0 018

4 4i

i( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

. ..

.$ 443 693 035 22. . .

P � $ 40.000.000 F � $ 43.693.035.22 n � 4 i � ?

in

� �FP

1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

i � � �43 693 035 22

40 000 0001 2 23

14. . .

. .. %⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ trimestral

En Excel: � TASA (4; 0; �40.000.000; 43.693.035.22)

542

EJERCICIO 14.��"��¥ ��Z�� #�HHH�HHH��G��HH�HHH��*��HH�HHH��G��_w��{��@��| ��


4.000.000(1 � i)12 � 2.500.000(1 � i)6 � 1.500.000

Por interpolación lineal, i � 0%, por lo tanto, se pierde dinero en términos reales, porque no se está reconociendo el valor del dinero en el tiempo. Si el señor Juan acepta este sistema de pagos no le está dando valor a su dinero.


543

EJERCICIO 15. ¿Qué resulta mejor negocio?

a) Invertir $ 1.000.000 y recibir después de 6 meses $ 2.000.000

P � $ 1.000.000 F � $ 2.000.000 n � 6 meses i � ?

in

� �FP

1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

i � � �2 000 0001 000 000

1 12 25

16. .

. .. %⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ mensual

En Excel: � TASA (6; 0; �1.000.000; 2.000.000)

b) Invertir $ 1.000.000 y recibir después de 6 meses $ 500.000 y después de 12 meses $ 1.800.00.


1.000.000(1 � i)12 � 500.000(1 � i)6 � 1.800.000


544

Con base en los resultados de las tasas de interés obtenidas, concluimos que la mejor opción de negocio es la A.

EJERCICIO 16. Un proyecto requiere de las siguientes inversiones: inversión inicial de $ 3.000.000, desde el primer mes y durante 6 meses consecutivos una inversión mensual de ��?�H�HHH��"��*�G�H�HHH!�_� ]�� {


3 000 000 1 350 0001 1

1 6 250 00012

66

. . . . .� ��

� �ii

ii( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ( )



545

EJERCICIO 17. Un estudiante recibe un préstamo de $ 5.000.000 para el pago de la �� K�� | ��#�cuotas mensuales de $ 1.800.000, comenzando a pagarlas a partir del mes 6. ¿Qué tasa de interés le cobraron?

5 000 000 1 1 800 0001 19

4

. . . .� ��

ii

i( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 5,0% mensual.


EJERCICIO 18. Para usted como cliente, ¿qué resulta mejor?

a) Cancelar una obligación de $ 5.000.000 por medio de 9 cuotas mensuales de $ 650.000, comenzando a pagarlas dentro de 4 meses.

b) Cancelar la misma obligación por medio de 12 cuotas de $ 530.000 pagadas a partir del primer mes

Opción a: Ecuación de valor con fecha focal en el mes 12:

5 000 000 1 650 0001 112

9

. . .� ��

ii

i( ) ( )⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Por interpolación lineal, i � 2,0% mensual.

546


Opción B: P A��

�

1 1

1

i

i i

n

n

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

5 000 000 530 0001 1

1

12

12. . .�

� �

�

i

i i

( )( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥


En Excel: � TASA (12; �530.000; 5.000.000)


La mejor opción es la primera.

547

EJERCICIO 19. El señor Pedro le compró a ORBE LTDA un lote de terreno que tiene un valor de contado de $ 20.000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: una cuota inicial de $ 5.000.000, un pago de $ 3.500.000 dentro de 4 meses, un pago de $ 5.500.000 dentro de 6 meses y un pago de $ 10.000.000 dentro de 12 meses. Si la tasa de oportunidad de ORBE LTDA es del 3.0% mensual, diga si hizo un buen o mal negocio. Utilice el método del VPN.

VPE � $ 20.000.000

VPI � ��

��

�5 000 000 3 500 000

1 0 03

5 500 000

1 0 03

10 0004 6

. . . .

.

. .

.

.

( ) ( )..

.$ . . .000

1 0 0319 729 666 88

12�

�

( )VPN(3%) � VPI � VPE � $ 19.729.666.88 � $ 20.000.000 � $ �270.333.12, menor que cero, por lo tanto, ORBE LTDA hizo un mal negocio.


EJERCICIO 20. Se compra una bodega por $ 50.000.000 y en el primer mes se le hacen ��HHH�HHH��}��del año, cuando se estima venderla por $ 35.000.000. Si la tasa de oportunidad es del 1.53% mensual, ¿en cuánto se debe arrendar la bodega, para que sea un buen negocio? Utilice Buscar objetivo de Excel.

Con la información suministrada y asumiendo un valor arbitrario (por ejemplo, 100) para las cuotas, se calcula la TIR y luego aplicando Buscar objetivo se calcula el valor de las cuotas. Para que sea un buen negocio, como mínimo el valor de la TIR debe ser igual a la tasa de oportunidad del 1.53% mensual.

548


La bodega debe arrendarse por $ 2.878.482.24 mensuales.

EJERCICIO 21. Un cliente le propone comprarle una vivienda que tiene un valor de contado de $ 55.000.000, con el siguiente plan de pagos: cuota inicial del 20%, un pago dentro de 6 meses de $ 10.000.000 y un pago de $ 40.000.000 a los 10 meses. Si usted está dis-puesto a prestar su dinero a una tasa de interés del 3% mensual, ¿aceptaría el negocio?


55.000.000(1 � i)10 � 11.000.000(1 � i)10 � 10.000.000(1 � i)4 � 40.000.000

Por interpolación lineal, i � 1.40% mensual, menor que la tasa de oportunidad, por lo tanto, el negocio no se debe aceptar.


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ZARRUK, Carlos Alberto. La corrección monetaria y el crédito en UPAC, ICAV, 1986.

Otros títulos de interés:

∙ Evaluación financiera de proyectos, Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Didáctica de las matemáticas, Robinson Castro Puche

∙ Fundamentos de cálculo,con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas,

Francisco Soler y Reinaldo Núñez

∙ Gráficas y tablas estadísticas en Excel, Héctor Daniel Lerma González

∙ Matemáticas financieras empresariales, Juan Antonio Flórez Uribe

∙ Matemáticas básicas, Rafael A. Álvarez Horacio Fernández C. José Alberto Rúa Vásquez

∙ Matemática para informática, Ismael Gutiérrez García

Es común para cualquier persona que abre una cuenta de ahorros,

constituye un CDT o solicita un crédito bancario, comercial o de vivienda,

sentirse agobiado por la dificultad de comprender los indicadores y

sistemas de amortización propios de nuestro sistema financiero y comercial,

tales como la DTF, la UVR, tasas nominales y efectivas, tasas variables, TIR,

VPN, sistema de cuota fija, sistema de abono constante a capital, etc.

La enseñanza de las finanzas, en general, ha tenido una importante

evolución con el desarrollo de nuevas tecnologías. En esta cuarta edición se

tratan estos temas propios de las Matemáticas Financieras utilizando,

además de los procedimientos matemáticos tradicionales, los equivalentes

con las calculadoras financieras y, especialmente, la hoja de cálculo Excel.

Como material de enseñanza complementario, el lector podrá descargar del

SIL (Sistema de Información en Línea) aplicativos en Excel relacionados: uno,

con el cálculo de intereses moratorios para deudas bancarias y tributarias

vencidas y, el otro, con la conversión de tasas de interés; así mismo, ejercicios para resolver propuestos por el autor.

El texto está orientado más al aprendizaje que a la enseñanza, de tal forma

que cualquier persona con los fundamentos matemáticos básicos y con

deseos de aprender el tema, pueda abordarlo sin dificultad.

Colección: Textos Universitarios

Área: Economía y finanzas.

Excel

matematica financiera johnny mezza 4ta edicion

Economy & Finance