(matematica generale)esercizi svolti di geometria analitica con impostazione dall'algebra lineare(1)

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Universita di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica Quaderno # 38Aprile 2006 PAOLA FAVRO - ANDREANA ZUCCO Esercizi di Geometria Analitica I PREFAZIONE Inquestoquadernosonoraccoltieserciziassegnatinelleprovescrittedell`esamedi Geometria I per il Corso di Laurea di I livello in Matematica negli anni 2002-2005. Gli esercizi si riIeriscono agli argomenti trattati nel Quaderno Didattico del Diparti-mento di Matematica #25 delle stesse Autrici. Ogni esercizio viene completamente svolto e vengono talvolta presentati piu metodi di soluzione. Sono inoltre segnalati gli errori piu Irequentamente riscontrati nella correzio-ne, allo scopo di agevolare gli studenti nella preparazione della prova scritta. Torino, Marzo 2006 INDICE PREFAZIONE - INDICE.............................................................................I CAPITOLO I - CALCOLO VETTORIALE.......................................................................... 1 Soluzioni........................................................................................................... 5 CAPITOLO II - GEOMETRIA ANALITICA PIANA ....................................................... 19 Soluzioni ...................................................................................................... 21 CAPITOLO III - PIANI E RETTE ....................................................................................... 33 Soluzioni ...................................................................................................... 35 CAPITOLO IV - SUPERFICIE NOTEVOLI ...................................................................... 47 Soluzioni ...................................................................................................... 51 CAPITOLO V - CONICHE................................................................................................... 73 Soluzioni ...................................................................................................... 75 II Favro - Zucco, Esercizi di Geometria Analitica1 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica CAPITOLO I CALCOLO VETTORIALE 1.1 - Nello spazio vettoriale M2,2 delle matrici quadrate di ordine due sui reali con le con-suete operazioni, sono dati i sottoinsiemi: H1 R b , a /1 ba 0H2 R b , a /b b a0 a. Dire quale e sottospazio vettoriale e determinarne una base. 1.2 - Quali tra i seguenti insiemi Iormano una base di R3? i)B1 (1, 2, 0), (2, 1, 3)}; ii)B2 (1, 2, 2), (0, 0, 0), (1, 3, 1)}; iii)B3 (1, 2, 1), (0, 2, 5), (1, 1, 0), (6, 0, 2)}; iv)B4 (2, 1, 1), (6, 3, 3), (1, 1, 5)}; v)B5 (1, 2, 1), (2, 1, 3), (3, 3, 0)}. 1.3 - Nello spazio vettoriale reale delle matrici M2,2 ad elementi in R e dato il sottoinsieme H delle matrici del tipo b 3 a 0b a+: i)veriIicare che e sottospazio vettoriale e trovarne una base; ii)consideratelematrici 4 02 2, 2 02 1 direqualedelledueappartieneadHed esprimerla come combinazione lineare della base scelta. 1.4 - Nello spazio vettoriale R3 sui reali con le consuete operazioni si considerino i vettori: (1, 0, 2) (1, 3, 0) (0, 1, 2) (2, 1, 4). i)Dire se sono linearmente indipendenti. ii)A partire da tali vettori costruire una base di R3. iii)Esprimere il vettore (1, 0, 1) nella base scelta. 1.5 -Nello spazio vettoriale R4sui reali con le consuete operazioni sono dati i sottospazi vettoriali : i)H1 {(a1,a1, a1, 0) / a1 R}; ii)H2 {(a1, a2, a3, a4) / a1 a2a3 0, a22a3 0}; iii)H3 L (0, 2, 1, 1), (1, -2, 1, 1), (1, 0, 2, 0) ~. Scriverne una base ed individuarne la dimensione. 1.6 - Nello spazio vettoriale R2|t| dei polinomi di grado minore od uguale a 2 a coeIIicienti reali su R con le consuete operazioni si considerino i seguenti sottoinsiemi: i)A 1 t, 2t t2, 1 3t t2}; ii)B 1 2t, 3 t2, 1 t t2}; iii)C 3 2tt2, 2t t2}; iv)D 32t t2, 5 t, 2 3tt2, 2 4t2}. Di ciascuno dire se l`insieme e Iormato da vettori linearmente indipendenti, se e un insie-me di generatori, se e una base di R2|t|. Capitolo I - Calcolo Vettoriale Universita di Torino 21.7 - Nello spazio vettoriale reale M2,2 delle matrici quadrate di ordine 2 a coeIIicienti reali con le consuete operazioni si considerino i sottoinsiemi: A +R b , a /b 2 a b0 aB +R y , x /2 y 0y x. Diciascunodireseesottospaziovettorialeindividuandone,intalcaso,unabaseeladi-mensione. 1.8 - Nello spazio vettoriale reale M2,2 delle matrici quadrate di ordine 2 a coeIIicienti reali con le consuete operazioni si consideri il sottospazio: A L2 11 0,2 31 0,1 12 0,3 21 0 ~: i)determinare una base e la dimensione di A; ii)veriIicare che la matrice 3 1 13 0+ appartiene ad A esprimerla nella base scelta. 1.9 - Nello spazio vettoriale reale R3|t| dei polinomi di grado minore od uguale a 3 nell'in-determinata t con le consuete operazioni si consideri il sottoinsieme: A p(t) p0 p1t (2p1 p0)t3 / p0, p1 R}. i)VeriIicare che A e sottospazio vettoriale di R3|t|. ii)Determinare una base di A. 1.10-NellospaziovettorialerealeM2,2dellematriciquadratediordine2acoeIIicienti reali con le consuete operazioni si consideri il sottospazio: A L2 02 0,1 01 2,1 03 2~. i)Determinare una base e la dimensione di A. ii)Considerata la matrice 2 01 3 appartenente ad A esprimerla nella base trovata. 1.11 - Nello spazio vettoriale R4 sui reali con le consuete operazioni, sono dati i sottospazi vettoriali: H {(a1, a2, a3, a4) / 2a1a3 0}; K L(1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (3, 1, 6, 1)~. i)Determinare una base e la dimensione di H e di K. ii)E` possibile aggiungere alla base di K un vettore di H in modo da avere una base di R4? 1.12-NellospaziovettorialeR4suirealiconleconsueteoperazioni,sonodatiisottoin-siemi: i)H1 {(a1, a2, a3, a4) / a2a3 a4 0}; ii)H2 {(a1, a2, a3, a4) / a1 a4 1 0}. Dire quale e sottospazio vettoriale e determinarne una base. 1.13 - Sia V uno spazio vettoriale: i)dare la deIinizione di sistema di vettori linearmente indipendenti; ii)dare la deIinizione di sistema di generatori; iii)dare la deIinizione di base di uno spazio vettoriale; iv)dimostrare che se ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione Favro - Zucco, Esercizi di Geometria Analitica3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica lineare di {v1,.,vn} allora {v1,.,vn} e una base di V; v)dimostrare che se {v1,.,vn} e una base di V, ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare di {v1,.,vn}. 1.14 - Sia V uno spazio vettoriale su R. Fissati m vettori di V, v1, v2,., vm, viene indicato con L v1, v2,., vm~ l`insieme delle loro combinazioni lineari. Dimostrare che L v1, v2,., vm~ e un sottospazio vettoriale di V. 1.15 - Sia V uno spazio vettoriale su R e siano H e K due suoi sottospazi vettoriali. Il sot-toinsiemeSicuielementisonodeltipoxydovexvariainHedyvariainKsidice somma di H e K. Dimostrare che S e un sottospazio vettoriale di V. 1.16 - Enunciare i due criteri per stabilire se un sottoinsieme non vuoto di uno spazio vetto-riale e un sottospazio vettoriale e dimostrarne l`equivalenza. 1.17 - Siano u, v, w tre vettori aIIini. Dire quali delle seguenti espressioni sono vere: i)u ( v) v u; ii)u (v + w) (u v) w; iii)u 2 v 2(u v); iv)u v w u v w; v)u v w v u w; vi)u2 u u. 1.18 - Dati nella base ortonormale (i, j, k) i vettori:u 2ij 3k , v i 2j 2k: i)calcolare |(u3v) v| u; ii)trovare un vettore parallelo e concorde al vettore u e di modulo coincidente con il modulo di v. 1.19 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari, rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori : u 2ij 21k, v 21i j k, w 2i4j2k. i)VeriIicare se u, v, w Iormano una base di S3; ii)costruire un vettore ortogonale a u e v; iii)trovare un vettore parallelo a v, concorde con v e di norma 3. 1.20 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari, rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u 2i3j k, v 3j k, w i j3k i)Calcolare ((u2v) v) w; ii)costruire un vettore ortogonale a u e v; iii)dire se i tre vettori sono linearmente indipendenti. 1.21 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari, rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u 2ijk, v i 3j - k, w j 3k. i)Dire quali sono ortogonali Ira loro; ii)considerati due vettori ortogonali costruirne un terzo in modo da Iormare una base ortogonale. Capitolo I - Calcolo Vettoriale Universita di Torino 41.22 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u 2i j3k, v 6ij, w i jk. i)Dire se sono linearmente indipendenti; ii)calcolare (2u v) (v w); iii)trovare un vettore ortogonale ad u ed a v ed avente lo stesso modulo di w. 1.23 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u i jk, v 3i j k. Trovare un vettore parallelo ad u ed avente lo stesso modulo di u v. 1.24 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u i 2jk, v 3ij k, w ij k. i)Calcolare (u3v) .w; ii)determinare il volume del tetraedro individuato da u, v, w. 1.25 - Nello spazio S3 dei vettori ordinari, rispetto alla base ortonormale (i, j, k) sono dati i vettori: u i2j, v 3i 4k, w i j k. i)VeriIicare che Iormano una base B' di S3 ed esprimere il vettore k nella base B'; ii)calcolare il modulo del vettore (u v) w. Favro - Zucco, Esercizi di Geometria Analitica5 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica Soluzioni 1.1 Nello spazio vettoriale M2, 2 sui reali con le consuete operazioni un sottoinsieme non vuoto H e sottospazio vettoriale se soddisIa, ad esempio, al primo criterio dei sottospazi, cioe: 1)per ogni x ed y appartenenti ad H anche x + y appartiene ad H; 2)per ogni x appartenente ad H ed ogni reale anche x appartiene ad H. i)il sottoinsieme H1 R b , a /1 ba 0 e Iormato da matrici aventi termine a11 0 e a22 1. H1 non sottospazio in quanto, ad esempio, non contiene il vettore nullo, cioe la matrice nulla 0 00 0,