matematica i -semana 05

Matemtica I

Semana 5

Matemtica IMatriz InversaSistemas de ecuaciones: Mtodos

matricialesAnlisis del conjunto solucin de un

sistema de ecuaciones

Inversa de una matriz

Definicin. Sean A y B matrices cuadradas que conmutan

y sea I la matriz identidad.

Si AB=BA = I, entonces se dice que A es la inversa de B

(o B es la matriz inversa de A), y se denota como:

-1AB = se lee

- 1A es la inversa de A

Luego, afirmamos que-1

A A = I-1

A= A

Observacin

Solo las matrices cuadradas tienen inversa, pero

no toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Propiedad fundamental.

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si

Ejemplos

Determine si A y B son matrices invertibles.

Rpta. Ambas son invertibles. 2 1 1 1

A = , B =-1 -1 -1 -2

a)

b)1 3

C2 5

Halle la inversa, si existe, de la matriz:

.0A

Propiedades.

Sean A y B matrices invertibles. Luego se cumple:

a) 1 1(A ) A

b)

c) 1 1 1(AB) B A

d) t 1 1 t(A ) (A )

e)

}0{;1 11 RrAr

Ar

II 1

Matriz de Cofactores

Definicin:

Se llama menor del elemento aij de la matriz A aldeterminante de la matriz Mij de orden n-1 que resultade suprimir en A la fila i y la columna j.

El cofactor cij del elemento aij es el nmero real:

cij = (-1)i+j Det(Mij)

Matriz de los cofactores: Cof ( A )

Es la matriz cuadrada formada por todos loscofactores

de una matriz. Cof (A) = [cij]nxn

Matriz Adjunta:

Definicin: La matriz Adj (A) = (Cof (A))T

Sea la matriz

Cof (A)

La Matriz Adjunta de A, denotada

por Adj(A) es la transpuesta

de la matriz de los cofactores.

Adj A = ( Cof (A) )T

Matriz Adjunta

)();(;

100

210

321

: AAdjACofHalleASeaEjem

220

311

5

32 c

110

311

4

22 c

010

201

3

12 c

121

32)1(

4

31 c

210

32)1(

3

21 c

110

21)1(

2

11 c

33][)(: xijcACofSol

000

101

4

13 c

000

211

5

23 c

110

211

6

33 c

100

210

121

))(()(

121

012

001

)(

TAcofAAdj

ACof

Procedimientos para el clculo de la inversa de una matriz:

Mtodo de la Matriz Adjunta

Si |A| 0, entonces A es invertible y se cumple:

A

AAdjA

)(1

100

210

321

Halle la inversa de A =

Sol.

1;

100

210

121

;1

AAAdjA

AAdjA

Entonces:

100

210

121

1A

Ejercicios:

dc

baBA

52

21

1. Hallar la matriz inversa de A en los siguientes casos:

121

011

322

C

2. Hallar a y b para que A sea la inversa de B, donde:

231

610

421

8/18/18/1

4/1

112

BbaA

3. Sea Calcular (C . CT ) - 1

310

412C

14

Matriz InversaSistemas de ecuaciones: Mtodos



REPRESENTACIN MATRICIAL DE UN SEL

Cmo representara el siguiente sistema en forma matricial?

2 3 -1

3 -1 1

1 5 2

Solucin

Observa que separamos los coeficientes de las variables:

x

y

z

20

= 22

13

Coeficientes de x

Coeficientes de z

Matriz de coeficientes : A Matriz de

Variables: X

Matriz de trminos

independientes: B

1325

223

2032

zyx

zyx

zyx

2 3 -1

3 -1 1

1 5 2

x

y

z

20

= 22

13

Luego : 3x3 3x1 3x1A X = B

A 3x3 X 3x1 B 3x1

Los coeficientes de cada ecuacin lineal representan

una fila y viceversa.

Cada columna representa los coeficientes de una variable.

En general, cualquier sistema de n ecuaciones con m

incgnitas se puede representar como: nxm mx1 nx1A X = B

Resolucin de un sistema de ecuaciones lineales (SEL)

Tenemos tres mtodos fundamentales para resolver

sistemas de ecuaciones lineales:

Mtodos particulares . Se aplican cuando el nmero de

ecuaciones es igual al nmero de variables, requirindose

adems que I A I 0, donde A es la matriz de los

coeficientes. Hay dos tipos de mtodos:

Primer mtodo. Mtodo de la inversin

Para el sistema de n ecuaciones con n incgnitas,

representado matricialmente como: Anxn Xnx1 = Bnx1

Obtenemos la solucin a partir del siguiente proceso:

AX = B despejamos X:

A-1 (AX) = A-1 BAX = B (A-1 A)X = A-1 B

I X = A-1 B X = A-1 B

Ejemplo

Utilice el mtodo la matriz inversa para resolver

el siguiente sistema de ecuaciones:

4x 3y + 3z = 06x + y 9z = 92x 5y 6z = 5

Solucin

Sabemos AX = B X = A-1 B

X = A-1 B

, entonces existe A-1Calculamos

4 3 3

A 6 1 9 354 0

2 5 6

Calculamos A-1 117 / 118 11/ 118 4 / 59

: A 3 / 59 5 / 59 9 / 59

16 / 177 7 / 177 11/ 177

Por ltimo

17 / 118 11/ 118 4 / 59 0

3 / 59 5 / 59 9 / 59 9

16 / 177 7 / 177 11/ 177 5

Entonces:

x 1/ 2

y =X = 0

z -2 / 3

x = 1/ 2 , y = 0 , z = -2 / 3.

Ejemplo

Una compaa de artculos electrodomsticos

produce tres modelos de cocina: Los modelos A, B y

C que pueden ser entregados por camin, camioneta,

o vagoneta. Un camin tiene capacidad para 2 cajas

de modelo A, 1 del modelo B y 3 del modelo C.

Una camioneta tiene capacidad para 1 caja del modelo A,

3 cajas del modelo B y 2 cajas del modelo C. Una vagoneta

tiene capacidad para 1 caja del modelo A, 3 cajas del

modelo B y 1 caja del modelo C.

Si se deben entregarse 14 cajas el modelo A, 27 cajas del

modelo B y 18 del modelo C, cuntos vehculos de cada

tipo deben usarse de manera que operen a capacidad

plena?

Segundo mtodo. Regla de Cramer

Para el sistema de n ecuaciones con n incgnitas,

representado matricialmente como: Anxn Xnx1 = Bnx1

ii

Ax = , i= 1,2,...., n

ALa solucin esta dada por

donde Ai representa la matriz obtenida a partir de A,

sustituyendo la columna i de A por la columna B de los

trminos independientes.

2x + y + z = 0

4x + 3y + 2z = 2

2x - y - 3z = 0

Resuelva el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer:

Ejemplo 1

Solucin

, podemos aplicar CramerComo

2 1 1

A = 4 3 2 = - 8 0

2 -1 -3

Calculo de: 11

Ax =

A, donde i = 1

012

234

012

3

A

Pero 1

0 1 1

A 2 3 2 4

0 1 3

14

x = = -1/ 2-8

Calculo de: 22A

x =A

, donde i = 2

Pero 2

2 0 1

A 4 2 2 16

2 0 3

216

x = = 2-8

Calculo de:3

3

Ax =

A 3

8x = = -1

-8, con

La solucin es x = - , y = 2 , z = - 1.

2 1 1

A = 4 3 2

2 -1 -3

0

B = 2

0

8

EJERCICIOS

1. El administrador de una cuenta de inversin tiene

$1 000 000 para invertir en tres cuentas diferentes.

Las cuentas pagan 6%, 8% y 10%, respectivamente.

El objetivo es generar un inters de $86 000, de modo

que la cantidad invertida con una tasa de inters de

10% sea igual a la suma de la otras inversiones.

Encuentre cunto se debe invertir en cada cuenta

para satisfacer las condiciones.

2. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos,

Deluxe, Premium y Ultimate, que se deben pintar,

ensamblar y empacar para su distribucin. La tabla da

el nmero de horas requeridas en cada una de estas

operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el

fabricante tiene 96 horas disponibles por da para

pintar, 156 horas para ensamblar y 37 horas para

empacar, cuntas sierras de cada tipo se deben

producir al da, si se desea aprovechar todas las horas

disponibles? Deluxe Premium UltimatePintura 1,6 2 2,4Ensamble 2 3 4Empaque 0,5 0,5 1

3. Durante los aos 2009; 2010 y 2011, la empresa PEMEX

ha importado 2k; 3k y 5k miles de barriles de petrleo,respectivamente. Esos mismos aos, la empresa

PETROCH ha importado 3k; 5k y k miles de barriles,respectivamente, mientras que VOLMEX import 2k; 4k y7k miles de barriles. Si el ingreso total de PEMEX duranteesos aos fue de 260 millones de dlares, mientras que

los de PETROCH y VOLMEX fueron de 280 y 340

millones de dlares, respectivamente. Utilice operaciones

matriciales para encontrar cul fue el precio por barril

durante cada uno de esos tres aos.

Rpta: El precio en el 2009, 2010 y 2011 fue de 20/k,

40/k, y 20/k miles de dlares, respectivamente.

Tercer mtodo: Mtodo general . Se aplica sin restriccin

alguna, en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales.

La ventaja de este mtodo radica en que nos permite

obtener todas las soluciones a la vez.

Para efectuar su estudio desarrollamos los siguientes

conceptos previos.

1. Sistemas equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones son

equivalentes si y solo si cada solucin del primer sistema

es solucin del segundo y viceversa

Ejemplo.

Los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:

3x + y + 2z = 3

x + y + 3z = 0

2x + 3y - z = 9

x + y + 3z = 0

3x + y + 2z = 3

2x + 3y - z = 9

x + y + 3z = 0

- 2y - 7z = 3

2x + 3y - z = 9

x + y + 3z = 0

y - 7z = 9

- 2 y - 7z = 3

x + y + 3z = 0

y - 7z = 9

- 21z = 21

x + y + 3z = 0

y - 7z = 9

z = -1

x = 1

y = 2

z = -1

x y 3z 0

2y 7z 3

y 7z 9

Intercambiamos

ecuaciones (1) y (2)

A la ecuac. (2) le

agregamos la ecuac. (1) por (- 3)

ecuacin (3) por 1/21

bsicamente de tres tipos:

1. Intercambiamos dos ecuaciones

2. Multiplicar una ecuacin por un numero distinto de cero

3. Agregar a una ecuacin un mltiplo de otra ecuacin

Las operaciones empleadas para resolver este sistema

de ecuaciones, conocidas desde la secundaria, son

Estas operaciones no son otras que las llamadas

operaciones elementales por fila, las cuales enunciadas

para matrices quedan:

1. Intercambiamos dos filas (ecuaciones)

2. Multiplicar una fila (ecuacin) por un nmero distinto de cero

3. Agregar a una fila (ecuacin) un mltiplo de otra fila (ecuacin)

2. Matriz ampliada. Un sistema de ecuaciones lineales es

de la forma:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 mn n m

a x + a x + a x + a x = b

a x + a x + a x + a x = b

a x + a x + a x + a x = b

Matricialmente se escribe:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m m3 mn

a a a a

a a a a

a a a a

1

2

n

x

x

x

1

2

m

b

b

b

A B

Es decir:

La matriz ampliada o aumentada se define como: aA = A B

11 12 13 1n 1

21 22 23 2n 2

a

m1 m m3 mn m

a a a a b

a a a a b

A A B

a a a a b

Ejemplo

2x + y = 4

x - 4y = -7

Para el SEL: a2 1 4

A = A B =1 - 4 -7

Mtodo de Gauss para resolver un sistema de

ecuaciones lineales

El mtodo de Gauss consiste en aplicar operaciones

elementales a una matriz aumentada formando una matriz

escalonada: matriz con una disposicin triangular inferior

de elementos nulos.

Pasos para la aplicacin del mtodo de Gauss:

a) Escribir la matriz ampliada del sistema.

b) Aplicar las operaciones elementales a las filas para

cambiar la matriz aumentada a la forma escalonada.

c) Escribir el sistema de ecuaciones siguiendo esta forma

escalonada y resolver por sustitucin.

Ejemplo. Resolver por el mtodo de Gauss:

4x + 8y - 4z = 4

3x + 8y + 5z = -11

- 2x + y + 12z = -17

Solucin

a

4 8 -4 4

A = 3 8 5 -11

-2 1 12 -17

1 2 -1 1

3 8 5 -11

-2 1 12 -17

11

f4 2 1f - 3f

3 1f + 2f2

1f

2

31

f5

3 2f - f

31

- f2

1 2 -1 1

0 2 8 -14

-2 1 12 -17

1 2 -1 1

0 2 8 -14

0 5 10 -15

1 2 -1 1

0 1 4 -7

0 1 2 -3

1 2 -1 1

0 1 4 -7

0 0 - 2 4

1 2 -1 1

0 1 4 -7

0 0 1 - 2

x + 2y - z =1

y + 4z =- 7

z = -2

El sistema ahora queda en la forma:

Sustituyendo consecutivamente:

1 2 -1 1

0 1 4 -7

0 0 1 - 2

x y z

z = - 2, y = 1, x = - 3

Finalmente: C:S = {(- 3, 1, - 2)}

Matemtica IMatriz InversaSistemas de ecuaciones: Mtodos



Clasificacin de un sistema de ecuaciones por el

criterio del rango.

Para efectuar el estudio, necesitamos definir :

Rango de una matriz A : r(A). El rango de una matriz

A es el nmero de filas no nulas que se obtienen

luego de llevar dicha matriz a la forma escalonada.

Ejemplo4 8 4

A = 3 8 5

2 1 12

La matriz llevada a la forma escalonada es

A1 2 1

E 0 1 4

0 0 1

la cual tiene tres filas no nulas.

Luego el rango de la matriz A es: r(A) = 3

3 6 3

-1 -2 -1A =

5 9 6

0 -1 1

Ejemplo

Determinar el rango de

Solucin

3 6 3

1 2 1

5 9 6

0 1 1

11

f3 2 1f + f

1 2 1

1 2 1

5 9 6

0 1 1

1 2 1

0 0 0

5 9 6

0 1 1

Observamos que hay 2 filas no nulas en la matriz escalonada, y

por lo tanto: r(A) = 2

3 1f - 5f 2 4f x f

A

1 2 1

0 1 1E

0 0 0

0 0 0

1 2 1

0 0 0

5 9 6

0 1 1

1 2 1

0 0 0

0 1 1

0 1 1

1 2 1

0 1 1

0 1 1

0 0 0

23 ff

Anlisis de la clasificacin de la solucin de un SEL

Dado el SEL en forma matricial AX = B, mediante

operaciones elementales de fila desarrollamos el siguiente

esquema:

AX = B a A = [A B] E = [ E E ] A B a

Operaciones elementales

de fila

Escalonada de matriz Aa

Escalonada de matriz A

r(A )ar(A)

Sistema compatible determinado. (Solucin nica):

Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes A

es igual al rango de la matriz ampliada A y es igual al

nmero de variables: r(A) = r(A ) = N de variables.

a

a

Sistema compatible indeterminado (Muchas soluciones)

Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes A es

igual al rango de la matriz ampliada A y es menor que

el nmero de variables: r(A) = r(A ) < N de variables.

a

a

Sistema incompatible. ( No existe solucin): Ocurre

cuando el rango de la matriz de coeficientes A es diferente

del rango de la matriz ampliada Aa : r(A) r(Aa)

Ejemplos

3x 5y 36z 10

x 7z 5

x y 10z 4

Solucin

1. Dado el sistema de ecuaciones, discutir su carcter por

el criterio del rango y resolverlo, si es posible.

Partimos de

1 1 -10 -4

-1 0 7 5

-3 -5 36 10

a

3 5 36 10

A [A B] 1 0 7 5

1 1 10 4

1 3f x f 2 1f + f

3 1f + 3f

1 1 10 4

0 1 3 1

0 2 6 2

3 2f + 2f

Ocurre que r(A) = 2 = r(A ) < 3 = N de variables.a

a

1 1 -10 -4

0 1 -3 1 E

0 0 0 0

EA

r(A) = 2

r(A ) = 2 a

Luego el sistema es compatible indeterminado.

Nos queda el sistema de ecuaciones:x + y - 10z = - 4

y -3z = 1

Por ejemplo, hacemos z = t, en cuyo caso nos queda:

y = 1 + 3t, x = - 5 + 7t, donde tR

El conjunto solucin es: C.S. = {(-5 + 7t, 1 + 3t, t) donde tR}

Solucin



Partimos de

x - 3y + 2z = 12

2x - 5y + 5z = 14

x - 2y + 3z = 20

a

1 -3 2 12

A = [A B] = 2 -5 5 14

1 -2 3 20

3 1f - f

2 1f - 2f1 -3 2 12

2 -5 5 14

1 -2 3 20

1 -3 2 12

0 1 1 -10

0 1 1 8

3 2f - f

EA

a

1 - 3 2 12

0 1 1 -10 E

0 0 0 18

r(A) = 2 r(A ) = 3 a

Ocurre que r(A) = 2 r(A ) = 3.a

Luego el sistema es incompatible.

No existe solucin

Ejercicios



x 2y 11z 5

2x 3y z 4

x y 2z 1

2. Dado el sistema de ecuaciones, discutir su carcter

para todos los valores de a reales.

x + 3y - z = -2

a) 2x + ay = 0

x - 2y + z = 3

x - 3y + 5z = 2

b) 2x - 4y + 2z = 1

5x -11y + 9z = a

3. Se vende tres tipos de arroz por bolsas de 1 Kg. el

especial, superior y extra.

Cada bolsa de arroz especial se vende a S/. 4.00, el

superior por S/. 2.00 y el extra por S/. 0.50. Si se vende 100

bolsas en total y se obtiene S/. 100.00 por la venta.

cuntos bolsas de cada tipo se venden?

4. Una empresa tiene tres minas, las que producen

minerales que contienen tres componentes:

Mina Nquel (%) Cobre (%) Hierro (%)

A 1 2 3

B 2 5 7

C 1 3 1

Cuntas toneladas de cada mina deben utilizarse para

obtener 7 toneladas de nquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

5. Una compaa constructora ofrece tres tipos de casas.

El primero requiere de 3 unidades de concreto, 2

unidades de madera para cancelera y 5 unidades de

madera para estructuras; el segundo requiere de 2

unidades de concreto, 3 unidades de madera para

cancelera y 5 unidades de madera para estructuras y

el tercero requiere de 4 unidades de concreto, 2

unidades de madera para cancelera y 6 unidades de

madera para estructuras. Determine el nmero de

diferentes tipos de casas que la compaa podr

construir si dispone de 150 unidades de concreto,

100 de madera para cancelera y 250 de madera

para estructuras, utilizando totalmente todos estos

materiales.

matematica i -semana 05

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