MATEMÁTICA II

Gonzales Caicedo Walter Orlando

Pimentel, Febrero de 2010

www.goncaiwo.wordpress.com

Producto Cartesiano

• Definición• Relación binaria• Algunas relaciones notables.

¿Qué es un producto cartesiano?

Sean A y B conjuntos no vacíos

Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B.

A x B = {(a,b) / a A y b A }

Ejemplo:

Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}

Entonces:

A x B = {(1, a);(2, a);(3, a);(1, b);(2, b);(3, b)}

Producto cartesiano

Los pares ordenados (a,b) A B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B.

Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo se muestra a continuación

B

A 1 2 3

b

a

Solución:

1) No son iguales ... Ejemplo: sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }

2) n(A x B)= n(A). n(B) (¿Puedes decir por qué?) Además n(A). n(B) = n(B). n(A) = n(B x A) Entonces: n(A x B)= n(B x A)

Reflexiona

1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A?

2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de

n(A x B)? Piénsalo y contesta

B

1

2

3

0

Ejemplo

1) Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B.

2) Representa gráficamente al subconjunto

R = { (a, b) A x B / a + b 3}

1 2 3 A

Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano

¿Qué es una relación binaria?Sean A y B conjuntos no vacíos

Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B.

En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A.

Ejemplo:

Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u}

A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)}

Son relaciones de A en B:

1) Ø 2) {(a,i), (a,u)}

3) {(a, i)} 4) A x B

Notación

Ejemplos: 1) En N definimos la relación R así:

“a R b sii a es el doble de b”.

Algunos elementos de la relación son:

(2, 1) (8, 4) (2500, 1250), (120, 60)

2) En N se define la relación R por:

“x R y sii x divide a y”

Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18,

3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

Si (a,b) R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b.

Conteo de relaciones

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2} calcular n[P(AxB)].

Entonces: n[P(AxB)] = 23.2 = 26 = 64

hay 64 relaciones de A en B.

Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B?

Sí !. Supongamos n(A)=m y n(B)=r. Sabemos que n(AxB)=m.r, por lo tanto, n[P(AxB)] = 2m.r

Entonces pueden definirse hasta 2m.r relaciones incluyendo Ø.

Ejemplo: Sea

Dominio y rango de una relación

x} y R y R / xy){(x,S

Gráficamente:

D(S) = R

R(S) = R

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3}

Gráficamente:

D(R) = {1,2} R(S) = {2,3}

y} x B yA / x AxB y){(x,R

Sea R la relación:

Entonces: R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}

Relaciones definidas en R

Sea la siguiente relación en R: R1 = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0} Calcular el dominio y rango.

Ejemplos:

Solución:• Si x = 0 2(0) – 3y – 12 = 0 y = -4. El par (0, -4) R•Si y = 0 2x – 3(0) – 12 = 0 x = 6. El par (6, 0) R

Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0) se tiene: Dom(R1) = y Ran(R1) =

Sea la siguiente relación en R: R2 = {(x, y) / x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0} Calcular el dominio y rango.

Solución:•x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22

•La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio mide 2.

Dom(R2) = [0, 4]

Ran(R2) = [-1, -5]

Sea la siguiente relación en R: R3 = {(x, y) / x = -y2 + 4y – 10} Calcular el dominio y rango.

Solución:Tenemos:• x = -y2 + 4y – 10 x + 6 = -(y2 – 4y + 4) x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6, 2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda

Dom(R3) = <-, -6]

Ran(R3) =

CLASES DE RELACIÓN RELACIÓN REFLEXIVA: R es una relación refleja en un conjunto A

no vacío , si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo: 

a A a R a

Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACIÓN SIMÉTRICA: R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

a, b A a R b b R a 

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente: 

a, b A a R b b R a a = b 

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }

RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente: 

a, b, c A a R b b R c a R c 

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: f AxB.(x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).

FUNCIONES

Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

DEFINICIONES:

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada. Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) }Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ xA}

ab

cd

e

A

B

Dominio

ab

cd

e

Codominio

DominioCodominio

ed

cb

a

Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

A

parcial

nabla

raíz

existe

B

El elemento en no tiene ningún elemento

asociado en

A

B

FUNCIONES ESPECIALES

F. LINEAL

Regla de Correspondencia: y = f(x) = ax+bDonde a, b son constantes. Df = R

Rf = R

F. CONSTANTE

Regla de Correspondencia: y = f(x) = b Df = R

Rf = {b}

F. IDENTIDAD

Regla de Correspondencia: y=f(x)=xEs una función lineal donde a=1, b=0 Df = R

Rf = R

F. VALOR ABSOLUTO

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

0 xsi x;

0 xsi x;f(x)y

F. RAÍZ CUADRADA

0f

0f

R R

R D

x f(x) y

:enciacorrespond de Regla

F. CUADRÁTICA

Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c.La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k

Clasificación de las Funciones

BA

1234

abc

f

Inyectiva: es cuando cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el codominio o de otra manera cuando los elementos del codominio tienen una o ninguna contra imagen.

BA

1234

abc

f

Sobreyectiva: es cuando el rango es igual al codominio o de otra forma, cuando todos los elementos del codominio tienen una o más contra imágenes.

BA

abc

f

123

Biyectiva: es cuando cada uno de los elementos del codominio tiene una contra imagen y nada más que una. Una función es biyectiva si es sobreinyectiva e inyectiva al mismo tiempo.

BA

abc

f

123

Función Directa Función Inversa

Función Inversa: si f es una función biyectiva de A en B, es decir, f:A B entonces cada elemento de B tiene una y nada mas que una contra imagen en A, por lo tanto la relación de B con A es una función denominada función inversa de la anterior y se denota f-1:A B

A

123

f-1

abc

B

THANKS