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MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI

© GSCATULLO

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Propedeutica alle Funzioni Premessa

Questo documento vuole essere una preparazione per lo studio delle funzioni, comprendendo tutte quelle

nozioni fondamentali che tornano necessarie allo studente. La presentazione di esse è graduale, partendo

dalle disequazioni ed introducendo il concetto di funzione e di dominio.

Lo studio del segno

Disequazioni di I° Grado

Una disequazione è una diseguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite (x, y, z, …). Questa

diseguaglianza è espressa da alcuni simboli, posti tra le due espressioni:

> ≥ < ≤ Maggiore Maggiore o

uguale Minore Minore o uguale

Questi segni si pongono tra le due espressioni in questo modo: 𝑎 > 𝑏

Le disequazioni di primo grado sono quelle disequazioni le cui incognite compaiono solamente al primo

grado. La loro risoluzione è molto semplice e tiene conto di tre regole:

1. Si può sommare o sottrarre ad entrambi i membri della disequazione una qualsiasi quantità senza

alterarne il risultato.

2. Si può moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione una quantità positiva senza

alterarne il risultato.

3. Si può moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione una quantità negativa a patto

che si cambi il verso della disequazione per non alterarne il risultato.

Di seguito degli esempi di quanto affermato. Gli esempi su queste tre regole, per chiarezza, non contengono

incognite, sono dunque in realtà diseguaglianze:

Svolgimento Commento

1 3 > 2 Consideriamo una diseguaglianza tra due numeri reali.

2 3 > 2 𝟓 + 3 > 2 + 𝟓 8 > 7

Alla diseguaglianza considerata aggiungiamo ad entrambi i membri una quantità positiva (5). La diseguaglianza continua ad essere vera.

3 3 > 2 3 − 𝟐 > 2 − 𝟐 1 > 0

Adesso aggiungiamo ad entrambi i membri una quantità negativa (-2), quindi la sottraiamo. La diseguaglianza continua ad essere vera.

4 3 > 2 4 ∗ 3 > 2 ∗ 4 12 > 8

Moltiplichiamo entrambi i membri per una quantità positiva e la diseguaglianza continua ad essere vera.

5 3 > 2 3

4>

2

4

0,75 > 0,5

Dividiamo entrambi i membri per una quantità positiva, e la diseguaglianza non cambia.

6 3 > 2 −1 ∗ 3 > 2 ∗ (−1) 𝐍𝐎 − 3 > −2

Se moltiplicassimo i membri della diseguaglianza per un numero negativo

3

𝐕𝐄𝐑𝐎 − 3 < −2 senza cambiare il segno essa risulterebbe falsa!

7 3 > 2 3

−4>

2

−4

𝐍𝐎 − 0,75 > −0,50 𝐕𝐄𝐑𝐎 − 0,75 < −0,50

Lo stesso accadrebbe se li dividessimo per un numero negativo.

Risolvere una disequazione significa determinare quali valori può assumere l’incognita. Per far questo nelle

disequazioni di primo grado bisogna “isolarla”, portando tutti i termini noti in un membro e l’incognita

nell’altro.


1 2𝑥 + 1 > 2 Consideriamo una disequazione di primo grado.

2 2𝑥 + 1 − 𝟏 > 2 − 𝟏 2𝑥 > 1

Portiamo il termine noto 1 al secondo membro. Per far questo lo sottraiamo ad entrambi i membri.

2𝑥 + 1 > 2 2𝑥 > 2 − 1

È chiaro che questo passaggio può essere sottinteso e per portarlo all’altro membro sarà sufficiente cambiarlo di segno.

3 2

2𝑥 >

1

2

Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x, così da “isolare” l’incognita.

4 𝑥 >

1

2

Otteniamo il risultato della disequazione: l’incognita può assumere tutti i valori maggiori di ½ .

Studio del segno di un polinomio di primo grado

Le disequazioni tornano utili nello studio del segno di un polinomio di primo grado. Cioè quando dato un

polinomio nella forma 𝑃𝑥 = 𝑥 ci si domanda per quali valori di 𝑥 il polinomio 𝑃𝑥 risulti positivo, e per quali

risulti negativo. Per far questo si utilizzerà una disequazione, impostandola sotto forma di domanda (per

quali valori 𝑃𝑥 > 0? o per quali valori 𝑃𝑥 < 0?) che ha per risposta la soluzione della disequazione.


1 𝑃𝑥 = 4𝑥 + 1 Consideriamo un polinomio di primo grado.

2 𝑃𝑥 > 0 4𝑥 + 1 > 0

Per determinarne il segno ci domandiamo per quali valori il polinomio è (per esempio) positivo.

3 4𝑥 > −1 4

4𝑥 > −

1

4

Risolviamo la disequazione.

4 𝑥 > −

1

4

Il polinomio è positivo per quei valori

dell’incognita maggiori di −1

4

5 𝑥 > −

1

4

Disegniamo la soluzione grafica della disequazione. Sull’asse orientato dei numeri reali poniamo la soluzione. Scriviamo per quali valori l’incognita è negativa (con dei meno) e per quali è positiva (con dei più).

4

Fa attenzione: per trovare il segno di 𝑃𝑥 ci siamo chiesti per quali valori di x il polinomio sia negativo, ma ci

si sarebbe potuto chiedere anche per quali valori il polinomio risulti essere negativo. Conoscendo per quali

valori sia negativo conosco automaticamente anche per quali sia positivo!


1 𝑃𝑥 = 4𝑥 + 1 Consideriamo un polinomio di primo grado.

2 𝑃𝑥 < 0 4𝑥 + 1 < 0

Per determinarne il segno ci domandiamo per quali valori il polinomio è (per esempio) negativo.

3 4𝑥 < −1 4

4𝑥 < −

1

4


4 𝑥 < −

1

4

Il polinomio è negativo per quei valori

dell’incognita minori di −1

4

5 𝑥 < −

1

4

Disegniamo la soluzione grafica della disequazione. Sull’asse orientato dei numeri reali poniamo la soluzione. Scriviamo per quali valori l’incognita è negativa (con dei meno) e per quali è positiva (con dei più).

Studio del segno di una frazione

Con lo stesso metodo è possibile studiare il segno di una frazione del tipo 𝐹𝑥 =𝑃𝑥

𝑄𝑥 contenente cioè due

polinomi di primo grado. Bisognerà però avere qualche accortezza in più:

1. Prima si studi il segno del Numeratore.

2. Poi quello del Denominatore.

3. Infine si confrontino le soluzioni, con la regola dei segni.


1 𝐹𝑥 =

2𝑥 + 1

4𝑥 + 8

Consideriamo una frazione composta da due polinomi di primo grado.

2 Studio il segno di N. 2𝑥 + 1 > 0

Studiamo il segno del numeratore, chiedendoci (per esempio) per quali valori dell’incognita il polinomio è positivo.

3 2𝑥 > −1 2

2𝑥 > −

1

2

𝑥 > −1

2


4 𝑥 > −

1

2

Rappresentiamo la soluzione su un grafico.

5

Nota bene: in corrispondenza di 𝑥 = −1

2

il polinomio vale zero! Bisogna scriverlo!

5

6 Studio il segno di D. 4𝑥 + 8 < 0

Studiamo il segno del denominatore, chiedendoci (per esempio) per quali valori dell’incognita il polinomio è negativo.

7 4𝑥 < −8 4

4𝑥 < −

8

4

𝑥 < −2


8 𝑥 < −2

Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico di prima. Attenzione anche in questo caso in corrispondenza di x=-2 il polinomio assume valore di zero.

9

Studiamo il segno della frazione, mettendo a confronto i segni dei singoli polinomi ed applicando la regola dei segni. Consideriamo le tre sezioni

(−∞; −2), (−2; −1

2), (−

1

2; ∞) con i

rispettivi segni.

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Dividiamo il segno del numeratore per quello del denominatore per ogni sezione. Ricorda: meno/meno=più, meno/più=meno ecc. Segni concordi = +, segni discordi = -.

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In corrispondenza di -2, dove lo zero figura al denominatore la frazione non esiste! (Non è possibile dividere per zero), per questo lo si segnala con un pallino vuoto. In corrispondenza di – ½ assume valore di zero, perché zero diviso un numero positivo da zero.

12 𝐹𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (−

1

2; +∞)

𝐹𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (−2; −1

2)

Determinato il segno della frazione scriviamo la soluzione.

La Parabola

Si definisce equazione della parabola quell’equazione in due variabili di cui almeno una è al secondo grado.

Generalmente si trova nella forma:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Per esempio:

𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10

L’equazione della parabola ci consente di individuare coppie di numeri reali che rappresentano le coordinate

di punti che appartengono ad una parabola.

È possibile disegnare la parabola in modo qualitativo in pochi passaggi:

1. Osserviamo a. Se 𝑎 > 0 la parabola è rivolta verso l’alto. Se 𝑎 < 0 è rivolta verso il basso.

6

2. Individuiamo l’intersezione con l’asse delle ordinate (y), che ha coordinate (0; c), dove c è il valore

del termine noto.

3. Individuiamo l’intersezione con l’asse delle ascisse (x), ponendo la quota 𝑦 = 0 dunque 0 = 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐. Risolviamo l’equazione di secondo grado trovando due valori di x, che saranno le ascisse di

due punti: A (x; 0) e B (x; 0)

4. Individuiamo l’ascissa (x) del vertice della parabola con la formula 𝑥𝑉 = −𝑏

2𝑎


1 𝑦 = −𝑥2 + 5𝑥 + 4 Consideriamo l’equazione di una parabola.

2 −𝑥2 → −1 −1 < 0

Individuiamo il verso: ∩ (verso il basso)

3 𝑦 = −𝑥2 + 5𝑥 + 4 con 𝑥 = 0 𝑦 = 4

Individuiamo l’intersezione con le ordinate.

4 𝑦 = −𝑥2 + 5𝑥 + 4 −𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 0

Per individuare l’intersezione con le ascisse poniamo y = 0.

5 𝑥1;2 =

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1;2 =−5 ± √25 + 16

−2=

−5 ± √41

−2

𝑥1 =−5 + √41

−2≅ −0,75

𝑥2 =−5 − √41

−2≅ 5,6

Utilizzando la formula risolutiva troviamo i valori di x.

6 𝑥𝑉 = −

−5

2= 5/2

Trovo l’ascissa del vertice.

7

Con i dati raccolti proviamo a disegnare qualitativamente la parabola.

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

L’equazione della parabola può essere utilizzata per risolvere le disequazioni di secondo grado ed individuare

il segno dei polinomi di secondo grado. È sufficiente a questo scopo considerare la disequazione come

un’equazione di una parabola per individuare i due valori di x, e disegnarli sul piano cartesiano.

Il polinomio di secondo grado è positivo ogni qual volta ad un valore di x corrisponde un valore positivo di y.

Nel caso delle parabole rivolte verso l’alto (∪) avranno questa caratteristica tutti i valori di x “esterni” a quelli

individuati con la formula risolutiva, mentre per quelle rivolte verso il basso (∩), quelli interni.

È opportuno per capire meglio un esempio:


1 𝑃𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 + 16 Consideriamo un polinomio di secondo grado. Vogliamo determinarne il segno.

7

2 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 16 Consideriamo l’equazione come quella di una parabola.

3 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑜 ∪ 𝑦 = 16

𝑥𝑉 =10

2= 5

Individuiamo il verso, l’intersezione con le ordinate e l’ascissa del vertice.

4 𝑥1;2 =

10 ± √100 − 64

2=

10 ± 6

2

𝑥1 =10 + 6

2=

16

2= 8

𝑥2 =10 − 6

2= 2

Individuiamo l’intersezione con le ascisse utilizzando la formula risolutiva.

5

Disegniamo la parabola in maniera qualitativa.

6

Individuo i valori positivi, “esterni” alle due soluzioni, e quelli negativi, “interni” alle due soluzioni. In corrispondenza delle due soluzioni x = 0.

7

Rappresentiamo su un grafico la soluzione.

8 𝑃𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (8; +∞) Scriviamo la soluzione.

Disequazioni fratte con polinomi di secondo grado.

È possibile combinando questo metodo di risoluzione con quello delle disequazioni fratte, disequazioni nella

quale compare l’incognita al denominatore, risolverne di più complesse. Di seguito un esempio.


1 𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑥 − 2≥ 0

Prendiamo il caso di una disequazione fratta contenente un polinomio di secondo grado.

2 Studio il segno di N.

𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑜 ∪ 𝑦 = 1

𝑥𝑉 −2

2= −1

Studiamo il segno del numeratore risolvendo l’equazione della parabola.

8

3 𝑥1;2 =

−2 ± √4 − 4

2= −

2

2= −1

Utilizziamo la formula risolutiva. NB: è possibile utilizzare anche il prodotto notevole (quadrato di binomio) in questo caso.

4

Disegno qualitativamente la parabola.

5

Poiché la parabola, tangente all’asse delle ascisse, non ha nessun punto in cui y < 0, il polinomio è sempre positivo. Quando 𝑥 = 1 allora assumerà valore di zero.

6 Studio il segno di D. 𝑥 − 2 > 0 𝑥 > 2

Per studiare il segno del denominatore mi chiedo per quali valori di x il polinomio assumerà valore positivo.

7

Rappresento la risposta sul grafico di prima.

8

Applico la regola dei segni ed individuo le soluzioni della disequazione. Poiché la disequazione ammette per soluzione i valori maggiori o uguali a zero, segniamo l’1 come soluzione accettabile.

9 𝑆: ∀𝑥 ∈ (2; +∞) ∪ {1} Scriviamo la soluzione.

Sistemi di disequazioni

È possibile studiare anche sistemi di disequazioni. Le soluzioni di un sistema di disequazioni saranno le

soluzioni comuni ai polinomi che compongono il sistema.


1 {𝑥 + 3 > 0

−𝑥 + 6 ≤ 1 Consideriamo un sistema di disequazioni

composto da due polinomi.

2 Risolvo d1. 𝑥 + 3 > 0 𝑥 > −3

Risolviamo la prima disequazione, individuando quei valori di x che rendono il polinomio maggiore di zero.

3

Rappresentiamo la soluzione su un grafico.

4 Risolvo d2. −𝑥 + 6 ≤ 1 −𝑥 ≤ 1 − 6

Risolviamo la seconda disequazione.

9

−𝑥 ≤ −5 𝑥 ≥ 5

5

Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico.

6

Confrontiamo i grafici e consideriamo vere solo le soluzioni comuni.

𝑆: ∀𝑥 ∈ [5; ∞) Scriviamo la soluzione.

Le Funzioni

Definizioni

La corrispondenza è un’associazione di uno o più elementi di un insieme A, con uno o più elementi di un insieme B, eseguita mediante una regola

La funzione (o applicazione) è una particolare corrispondenza in cui ad un elemento di A viene associato uno ed un solo elemento di B. L’elemento di B associato ad un elemento di A, tramite una regola, è immagine di quell’elemento.

La funzione è iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

La funzione è suriettiva (o surgettiva) se ogni elemento di B è immagine di un elemento di A.

La funzione è biunivoca (o biettiva) se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ed ogni elemento di B è immagine di un elemento di A. È cioè contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

La funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca.

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑓: 𝐵 → 𝐴

10

Il codominio o insieme immagine è l’insieme formato da quegli elementi di B che sono immagine di un qualche elemento di A. Nel caso delle funzioni suriettive 𝐼 ≡ 𝐵

𝐼: {𝑏1; 𝑏2; 𝑏3}

Il Dominio

Il dominio di una funzione è costituito dall’insieme degli elementi di A che possono essere associati, mediante

una legge stabilita, ad un elemento di B. Per consuetudine data una funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 si considera 𝐴 ≡ 𝐷.

Data una funzione 𝑓: ℝ → ℝ è fondamentale prima di studiarla stabilirne il dominio, ovvero escludere dai

numeri reali dell’insieme A quelli che annullerebbero la funzione. Di seguito riportiamo nei diversi casi quale

operazione è necessaria per individuare il dominio.

Funzione Dominio

Razionale intera Nessuna operazione

Razionale fratta Porre il denominatore ≠ 0

Irrazionale intera, con indice dispari Nessuna operazione

Irrazionale intera, con indice pari Porre il radicando ≥ 0

Irrazionale fratta, con indice dispari Porre il denominatore del radicando ≠ 0

Irrazionale fratta, con indice pari In un sistema porre le seguenti condizioni:

radicando ≥ 0

denominatore del radicando ≠ 0 (Quest’ultima operazione potrà non essere svolta, perché già considerata nella prima)

Logaritmo Porre la base > 0

Nel caso di una funzione sotto forma di espressione, tutte le condizioni del dominio devono essere poste in

un sistema.

Alcuni esempi di come si determina il dominio:


1

𝑓𝑥 = √3𝑥2 − 6𝑥

2 − 𝑥

Consideriamo una funzione 𝑓: ℝ → ℝ

2 {3𝑥2 − 6𝑥

2 − 𝑥≥ 0

2 − 𝑥 ≠ 0

Individuiamo il campo di esistenza, tramite un sistema.

3 Risolvo la 1d. Studio N.

𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑜 ∪ 𝑦 = 0

𝑥𝑉 =6

6= 1

Risolviamo la prima disequazione ed iniziamo con lo studiare il nominatore. È una parabola rivolta verso l’alto, che interseca l’asse delle y nell’origine.

4 3𝑥2 − 6𝑥 = 0 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 𝑥1 = 0 𝑥2 = 2

Troviamo l’intersezione con le ascisse. I valori esterni sono positivi, quelli interni negativi.

5

Rappresentiamo le soluzioni su un grafico.

11

6 Studio D. 2 − 𝑥 < 0 −𝑥 < −2 𝑥 > 2

Studiamo il denominatore e mi chiedo (per esempio) quand’è che la x assume valori negativi.

7

Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico.

8

Confrontiamo le soluzioni. In

corrispondenza di 2 ho 0

0 il cui risultato è

indeterminato, perciò non la considero come soluzione.

9 Studio d2. 2 − 𝑥 ≠ 0 𝑥 ≠ 2

Risolviamo la seconda disequazione, mi rendo conto però che il risultato è già stato considerato nella risoluzione della prima.

10

Confronto le due soluzioni. La soluzione del sistema coincide con quella della disequazione del radicando.

11 𝐷: (−∞; 0] Scrivo il campo di esistenza, ovvero il dominio della funzione.

12

Rappresento sul cartesiano il dominio: escludo le aree in cui la funzione non può esistere. Nel primo e nel quarto non può esistere come risultato della nostra disequazione. Nel terzo perché una radice con indice pari non può mai assumere valore negativo.


1 𝑓𝑥 = √4𝑥 − 24

+ √𝑥 − 13

− ℓn(𝑥2 − 7𝑥 + 3) Consideriamo una funzione 𝑓: ℝ → ℝ complessa con diversi polinomi.

2 {4𝑥 − 2 ≥ 0

𝑥2 − 7𝑥 + 3 > 0 Cerchiamo il campo di esistenza della

funzione mettendo a sistema le diverse condizioni richieste.

3 Studio d1. 4𝑥 − 2 ≥ 0 4𝑥 ≥ 2 4

4𝑥 ≥

2

4

Studiamo la prima disequazione.

12

4

Rappresentiamo la prima soluzione su di un grafico.

5 Studio d2. 𝑥2 − 7𝑥 + 3 > 0 → 𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0

𝑥1;2 =7 ± √49 − 12

2=

7 ± √37

2

𝑥1 =7 + √37

2≅ 6,54

𝑥2 =7 − √37

2≅ 0,45

Studiamo la seconda disequazione, risolvendo l’equazione associata. Consideriamo i valori “esterni” alle ascisse trovate.

6

Rappresentiamo anche la seconda soluzione.

7

Determiniamo la soluzione dell’intero sistema, ovvero il dominio della funzione.

8 𝐷: (

7 + √37

2; ∞)

Scriviamo la soluzione

9

Rappresentiamo il dominio sul piano cartesiano.

Realizzato il 07/11/2015 da Paolo Franchi, 5BC (A.S. 2015/2016) per Sapere Aude! (gscatullo.altervista.org)

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