matematica manual do aluno 12 ano timor leste

Repblica Democr ca de Timor-LesteMinistrio da Educao

Manual do AlunoMATEMTICA12. ano de escolaridade

x

y

Projeto - Reestruturao Curricular do Ensino Secundrio Geral em Timor-Leste

Cooperao entre:Ministrio da Educao de Timor-Leste | Cames - Instituto da Cooperao e da Lngua | Fundao Calouste Gulbenkian | Universidade de Aveiro

Financiamento do Fundo da Lngua Portuguesa

Manual do AlunoMATEMTICA12.o ano de escolaridade

Este manual do aluno propriedade do Ministrio da Educao da Repblica Democrtica de Timor-Leste, estando proibida a sua utilizao para fins comerciais.

Os stios da Internet referidos ao longo deste livro encontram-se ativos data de publicao. Considerando a existncia de alguma volatilidade na Internet, o seu contedo e acessibilidade podero sofrer eventuais alteraes. Caso tenha sido inadvertidamente esquecido o pedido de autorizao de uso de algum material protegido por copyright, agradece-se que seja comunicado, a fim de serem tomadas as providncias adequadas.

TtuloMatemtica - Manual do Aluno

Ano de escolaridade12.o Ano

AutoresJos BessaLucinda SerraTeresa Neto

Coordenadora de disciplinaTeresa Neto

Consultor cientficoJoo Pedro da Ponte

Colaborao das equipas tcnicas timorenses da disciplina Este manual foi elaborado com a colaborao de equipas tcnicas timorenses da disciplina,sob a superviso do Ministrio da Educao de Timor-Leste.

IlustraoPlural Design Unipessoal, Lda.

Design e PaginaoEsfera Crtica Unipessoal, Lda.Plural Design Unipessoal, Lda.Manuela Soares de Almeida

1 Edio

Conceo e elaboraoUniversidade de Aveiro

Coordenao geral do ProjetoIsabel P. Martinsngelo Ferreira

Ministrio da Educao de Timor-Leste

2014

3

ndice

Unidade Temtica

1 Clculo diferencial e integralDerivadas e aplicaesConceito de derivada de uma funo num pontoInterpretao geomtricaInterpretao fsicaDerivadas lateraisDerivabilidade e continuidadeFuno derivadaRegras de derivaoDerivao de uma funo compostaSegunda derivada de uma funoAplicaes das derivadas na fsica

Aplicao na economiaOtimizaoMximos e mnimosExtremos de uma funo (teste da 1 derivada)Concavidades do grfico e inflexesExtremos de uma funo (teste da 2 derivada)Esboo do grfico de funesIndeterminaes

Clculo de reas e volumesFuno primitivaMtodos de primitivao

Primitivao imediataPrimitivao por decomposioPrimitivao por mudana de varivelPrimitivao por partes

Noo de soma integralrea sob uma curva: Integral definidaPropriedades da integral definida de RiemannTeorema Fundamental do clculo integralAplicaes do clculo integral

a) Clculo de reas de figuras planasb) Clculo de volumes de slidos de revoluo

81012141516172021232526262931333436

42434344464849505557596061

4

Cnicas

Elipse, Parbola, Hiprbole e Superfcies cnicasA elipse

Esboo da elipseAs equaes paramtricas da elipse

Traado da elipseA parbolaA hiprbole

Esboo da hiprboleHiprboles equilteras

Superfcies cnicas e cilndricas

687076777881828586

Organizao e tratamento de dados

ProbabilidadesIntroduo ao clculo de probabilidades

Experincias aleatrias e experincias deterministasConjunto de resultados ou espao amostralOperaes com acontecimentosAcontecimentos incompatveisAcontecimento contrrio ou complementarAcontecimento diferenaLeis de MorganTeoria frequencista de probabilidadePropriedades da frequncia relativa de um acontecimentoLei dos grandes nmerosDefinio frequencista de probabilidade ou lei dos grandes nmeros

Definio clssica de propabilidade ou de LaplaceLei de LaplacePrincpio fundamental de contagem

Definio axiomtica de probabilidadeProbabilidade condicionadaAcontecimentos independentes

96969799

100101101102103104104104106106108111113114

Unidade Temtica

Unidade Temtica

2

3

5

Estatstica descritiva e indutivaIntroduoRecenseamento e sondagem

Estatstica descritiva e estatstica indutivaAtributos estatsticos

Organizao de dadosTabelas de frequnciasDistribuies estatsticasFrequncias absolutasFrequncias acumuladasFuno cumulativa

Dados agrupados em classesRepresentaes grficas

Diagrama de barrasDiagrama circularPictogramasHistogramasPolgono de frequncias

Medidas de localizaoMdiaPropriedades da MdiaModaMediana

QuartisDiagrama de extremos e quartisMedidas de dispersoAmplitude total e amplitude interquartis

Varincia e desvio padroDesvio padroPropriedades

Distribuies bidimensionaisReta de regressoCoeficiente de correlao

Distribuies de probabilidadeValor mdio de uma varivel aleatriaDesvio padro de uma varivel aleatria

Variveis aleatrias discretasDistribuio binominal ou modelo binominal

Modelo de PoissonVariveis aleatrias contnuas

Distribuio normalCaratersticas da curva normal

118118120120121121121122124126126128128129131131132133133135136137141142143144144145146147148150151153153154154156158158159

3

M E T A S

Determinar a derivada de uma funo num ponto dado, aplicando a definio;

Aplicar as regras das derivadas para o estudo grfico e analtico de uma funo e na resoluo de problemas prticos de otimizao;

Definir primitiva de uma funo;

Calcular primitivas usando os mtodos de primitivao por decomposio, por partes e por mudana de varivel;

Determinar a rea de figuras planas irregulares e o volume de um slido de revoluo, utilizando a integral definida.

Unidade Temtica 1 | Clculo diferencial e integral

Subtema 1 - Derivadas e aplicaesSubtema 2 - Clculo de reas e volumes


8

iContedosConceito de derivada de uma

funo num ponto

Interpretao geomtrica

Interpretao fsica

Derivadas laterais

Derivabilidade e continuidade

Funo derivvel

Regras de derivao de uma

funo

Derivao de uma funo

composta

Segunda derivada de uma

funo

Aplicaes das derivadas

Referncia histrica

Isaac Newton (1642-1727 e

Gottfried Leibniz (1646-1716),

de forma quase simultnea

e independente, descobrem

um mtodo geral para a

resoluo de problemas

associados ao problema da

tangente a uma dada curva

(Clculo Diferencial) e, por

outro lado, aos problemas

de reas delimitadas por

curvas e volumes de slidos

gerados por revoluo (Clculo

Integral).

Subtema 1 - Derivadas e aplicaes

Conceito de derivada de uma funo num ponto

A noo de derivada de uma funo e as regras da sua aplicao constituem

o que conhecido por clculo diferencial que tem a sua origem, no sculo

XVII, com Leibniz (1646-1716) e Newton (1642-1727).

O conceito de derivada est presente, por exemplo, na determinao

da evoluo do crescimento de uma certa populao, nos ndices de

desenvolvimento econmico de um pas ou, na determinao das

variaes das temperaturas ou, no clculo das velocidades de corpos ou

objetos em movimento.

Considera uma funo real de varivel real definida por y = f (x) e x0 um ponto qualquer do seu domnio Df .

Seja x Df ( x x0 ),

Chama-se acrscimo ou incremento da varivel no ponto x0

diferena x = x x0 (tambm se escreve h = x x0 ).

Chama-se acrscimo ou incremento da funo no ponto x0

diferena y = f (x) f (x0 ) ou f (x0 ) = f (x0 + h) f (x0 ) .

Considera a curva que representa o grfico de uma funo contnua f num

ponto P de abcissa x0 Df .

Seja agora outro ponto Q do grfico de f, cujas coordenadas so

(x0 + h, f (x0 + h)) , onde h o acrscimo da varivel no ponto de abcissa

x0 , ocorrido do ponto P ao ponto Q.

Derivadas e aplicaes | 9

Recorda:

Uma funo diz-se contnua

num ponto x = a do seu domnio se e s se existe

limxaf ( x )e lim

xaf ( x )= f ( a ) .

Outras notaes

y '(x0 ) ou dydx

x=x0

ou yx

x=x0

Dx f (x0 ) ou dfdx

(x0 )

...l-se derivada de y ou,

derivada da funo f , no

ponto 0x .

Regra de Ruffini

2 0 1 3

-1 -2 2 -3

2 -2 3 0=Resto

A reta que passa por P e Q secante curva representativa de y = f x( ). O declive desta reta determinado pela razo dos acrscimos (razo

incremental) da funo f com respeito varivel x , no ponto x0 conhecida por:

Quociente de Newton: Q(x0 ,h) =f (x0 + h) f (x0 )

h.

Derivada de uma funo, definida por y = f (x) , num ponto

x0 Df o limite (se existe) da razo N (x0 ,h) , quando o acrscimo da varivel tende para zero e escreve-se:

f '(x0 ) = limh0Q(x0 ,h) = limh0f (x0 + h) f (x0 )

h .

Se o limite existe e finito, a funo diz-se diferencivel e a diferena

x x0 representa uma pequena variao de x , prxima de x0 , ou seja

h = x x0 ou, x = x0 + h e a derivada da funo f em x0 Df pode ser

tambm expressa por: f '(x0 ) = limxx0f (x) f (x0 )x x0

Exemplo:

Usando a definio de derivada de uma funo num ponto, calcular:

a) f '(1) , sendo f (x) = 2x3 + x+1 .

Temos f '(1) = limx1

f (x) f (1)x (1)

= limx1

2x3 + x+1+ 2x+1

= limx1

2x3 + x+3x+1

Que uma indeterminao do tipo 00

que pode ser levantada, usando

a regra de Ruffini para fatorizar o polinmio do numerador. Ou seja,

10 | Clculo diferencial e integral

Tarefa 1

Usando a definio de derivada

de uma funo num ponto

calcula:

a) f '(1) , sendo 2( ) 1f x x= +

b) '(2)f , sendo 1( )f xx

=

Recorda:

o limite notvel

limx0

ex 1x

=1

Ento, f ' 1( ) = 7 .

b) f '(0) , sendo f (x) =1x+ 2

.

Temos, f '(0) = limh0

f (0+ h) f (0)h

= limh0

1h+ 2

12

h

. Ento, f '(0) = 14

.

c) f '(1) , sendo f (x) = e2x .

Temos, f '(1) = limh0

f (1+ h) f (1)h

= limh0

e2(1+h) e2

h

= limh0

e2(1+h) e2

h= limh0

e2.e2h e2

h= e2.lim

h0

e2h 1h

= 2e2 limh0

e2h 12h

Fazendo uma mudana de varvel y = 2h ,

2e2 limh0

e2h 12h

= 2e2 limy0

e y 1y

limite notvel

= 2e2 1= 2e2 .

Interpretao geomtrica da derivada

Vejamos como a derivada representa o declive da reta tangente curva

que representa o grfico de uma funo num ponto do seu domnio.

Fixe-se um ponto qualquer (arbitrrio) P1 cujas coordenadas so

(x0 + h1, f (x0 + h1)) sobre a curva que representa a funo. A reta que passa por P e P1 secante curva.


Nota:

A reta tangente curva no

ponto P aquela que contm

o ponto e que melhor

aproxima o grfico da funo

na vizinhana deste ponto.

Nota

A reta normal ao grfico de

f no ponto P(x0 , y0 ) uma reta perpendicular reta

tangente neste ponto.

A equao da reta normal

(y y0 ) = 1m(x x0 ) , sendo

m o declive (coeficiente angular) da reta tangente t .

Na figura:

Os pontos P1,P2,P3,... pertencem ao grfico de f e as suas abcissas

esto cada vez mais prximas de x0 .

Os declives das retas secantes definidas pelos pontos

PP1,PP2,,PPi , esto cada vez mais prximas do declive da reta r, tangente ao grfico de f no ponto P.

Fazer os Pi se aproximarem de P consiste em fazer os valores de

h1, h2, h3, tenderem para zero, isto , tomar os valores de h arbitrariamente prximos de 0.

Observamos que:

1. Quando os Pi esto prximos de P , o declive da reta secante deve estar prximo do declive limite da reta tangente ao grfico no ponto P . Ou seja, quando h 0 e a razo incremental se aproxima do valor finito m, dizemos que m o limite (se existe) da razo incremental

com h tendendo para zero e escrevemos:

m = limh0

f (x0 + h) f (x0 )h

= limxx 0

f (x) f (x0 )x x0

.

2. Se a funo f for contnua num ponto P(x0 , f (x0 )) ento a reta tangente curva que representa o grfico da funo no ponto P , tem

equao y f x0( ) =m x x0( ), onde m = f '(x0 ) o declive da reta.

Exemplo:

O declive da reta tangente ao grfico da funo quadrtica f x( ) = x , no ponto de coordenadas (1,1), dado por:

Logo, a reta tangente ao grfico da funo em (1,1) tem de equao

.


Exemplo:

Dada a funo f x( ) = x , o declive m da reta tangente ao grfico da funo no ponto de coordenadas (1,1) dado por

mt = f '(1) = limh01+ h 1h

.

Este limite uma indeterminao do tipo 00

. Para resolver esta

indeterminao, podemos racionalizar o numerador, multiplicando e

dividindo a fraco pela expresso conjugada do denominador (ver nota

ao lado).

Logo, a reta tangente ao grfico da funo em (1,1) tem de equao

.

Em resumo, a derivada de uma funo f em um ponto x0 pode ser interpretada geometricamente como o declive da reta tangente ao

grfico de f no ponto (x0 , f (x0 )) .

Interpretao fsica da derivada

Velocidade e acelerao so noes conhecidas da Fsica.

Quando dirigimos um veculo, podemos medir a distncia percorrida num

certo intervalo de tempo. O velocmetro de um automvel marca, a cada

instante, a variao da distncia percorrida e a velocidade. Se pisarmos

no acelerador ou no travo, percebemos que a velocidade muda. Ento

sentimos a acelerao.

Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s t( ) representa o espao percorrido pelo mvel at ao instante t . No intervalo de tempo

t,t +t o corpo sofre um deslocamento que pode ser representado por:

s = s t + t( ) s t( ) .

Tarefa 2

Dada a funo f x( ) = x3 , determina a equao da reta

tangente ao grfico de f , no ponto P(1,1) .

Nota:

Se para cada valor de t

(tempo), f (t) representar a distncia percorrida por um

corpo em movimento at ao

instante t, ento a velocidade

do mvel no instante t0 ,

a derivada da funo f

no ponto t0 , tal como a acelerao a derivada da

velocidade no mesmo instante

t0 .


O quociente entre o espao percorrido e o tempo gasto em percorr-

-lo, ou seja vm =s(t +t) s(t)

t, corresponde velocidade mdia nesse

intervalo de tempo.

De modo geral, a velocidade mdia nada nos diz sobre a velocidade do

corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantnea do corpo no

instante t, calculamos sua velocidade mdia em instantes de tempo t cada

vez menores.

A velocidade instantnea (ou velocidade no instante t) o limite

das velocidades mdias quando t se aproxima de zero, isto ,

v(t) = limt0

st

= limt0

s(t +t) s(t)t

.

A derivada de uma funo f em um ponto x0 pode ser interpretada, na Fsica, como a velocidade instantnea de um corpo em

deslocamento dado pela funo f no instante de tempo x0 .

Exemplo:

Um pndulo de um relgio oscila para a esquerda e para a direita. A funo

posio dada por p t( ) = t 2 6t , onde p t( ) medida em metros e em t segundos. Determina:

a) Qual a variao num instante t = t0 qualquer?

A variao mdia do pndulo no intervalo de tempo t dada por:

VM =p(t0 +t) p(t0 )

t=(t0 +t)

2 6(t0 +t) (t02 6t0 )

t=

t02 + 2t0tt

2 6t0 6t t02 +6t0

t 2=2t0t +t

2 6tt

= 2t0 +t 6

A variao no instante t = t0 dada por:

V (t0 ) = limt0p(t0 +t) p(t0 )

t= limt0(2t0 +t 6) = 2t0 6 .

b) Qual a variao instantnea do pndulo em t = 0 e t = 4?

Se t0 = 0V (0) = 206 = 6 metros/segundo

Se t0 = 4V (4) = 246 = 2 metros/segundo

Tarefa 3

Admite que a altura h (em

metros), t segundos aps

ter sido disparada uma bala,

de uma arma na vertical, de

baixo para cima. dada pela

expresso h(t) = 410t t 2 .

Qual a velocidade (em

metros por segundo) da bala,

dois segundos aps o disparo?


c) Em que instante a variao nula?

Como V (t0 ) = 0 t0 = 3 , o pndulo no est em movimento no instante 3 segundos.

Derivadas laterais

Recorda que o limite de uma funo num ponto existe se e s se os limites

laterais existem e so iguais. Como a derivada de uma funo num ponto

um limite, esta derivada somente existir em condies anlogas.

Seja uma funo definida por y = f (x) e x0 Df um ponto do seu

domnio tal que x0 x,x0 para um x IR+ .

A derivada lateral esquerda (ou derivada esquerda) de f em x0 dada

por: f '(x0 ) = limxx0f (x) f (x0 )x x0

.

De modo anlogo, se x0 Df um ponto do seu domnio tal que

x0 ,x0 + x para um x IR+ , ento a derivada lateral direita (ou derivada

direita) de f em x0 dada por: f+ '(x0 ) = limxx0+f (x) f (x0 )x x0

.

Exemplo:

Determina, usando a definio de derivada de uma funo num ponto,

f '(1) , sendo f (x) = 2x1 se x 1x2 se x< 1{ .

.

f+(1) = lim

x1+

f (x) f (1)x 1

= limx1+

2x 11x 1

= limx1+

2(x 1)x 1

= 2 .

Como f(1) = 2 = f+(1) , ento f derivvel e f (1) = 2 .

Exemplo:

Mostra que a funo definida por f (x) = x+1 no derivvel no ponto de abcissa x = 1.

Escrevemos f (x) = x+1 = x1 x


tangentes ao grfico no ponto 1,0( ) so diferentes. Analiticamente:

f(1) = lim

x1

f (x) f (1)x+1

= limx1

x 10x+1

= 1

f+(1) = lim

x1+

f (x) f (1)x+1

= limx1+

x+10x+1

=1

Repara que as derivadas laterais existem, mas so diferentes.

Logo no existe a derivada f '(1) .

Uma funo tem derivada ( derivvel) num ponto quando as

derivadas laterais (a direita e a esquerda), neste ponto, existem e

so iguais.

Se no existem as derivadas laterais num ponto ou, se existem e so

diferentes ento a funo no derivvel nesse ponto.

Derivabilidade e continuidade

A continuidade e a derivabilidade de uma funo esto relacionadas. Uma

funo pode ser contnua num ponto e no ter derivada nesse ponto, mas

uma funo descontnua num ponto no derivvel nesse ponto.

Toda a funo derivvel num ponto contnua nesse ponto.

Desta afirmao tambm se conclui que (regra de converso), se uma

funo descontnua num ponto, ento no derivvel nesse ponto.

Tarefa 5

Considera a funo de domnio

representada no grfico:

1. Determina os limites:

a) limxa+

f (x) f (a)x a

b) limh0

f (b+ h) f (b)h

2. Indica, se existirem, valores

para f (a) de modo que:

a) f seja contnua em x = a

b) f seja derivvel em x = a

Regra de converso:

a b verdadeira, ento tambm verdadeira a

afirmao que ~ b~ a .


Exemplo:

Considera a funo definida por f (x) = { 0 se x=3 (x3)2+2 se x3

.

Verifica-se que quando x se aproxima de 3, temos que:

limx3

f (x) = limx3[(x 3)2 + 2]= (33)2 + 2 = 2 .

Ento, f no contnua para x = 3 porque 2 f (3) = 0 .

Por outro lado, derivando esquerda do ponto x = 3 , temos:

f '(3) = limx3f (x) f (3)x 3

= limx3

(x 3)2 + 20x 3

= limx3

x2 6x+11x 3

=918+110

=

Ou, derivando direita do ponto,

f+ '(3) = limx3+f (x) f (3)x 3

= limx3+

(x 3)2 + 20x 3

= limx3+

x2 6x+11x 3

=918+110+

= +

Logo, a funo no derivvel no ponto de abcissa x = 3 .

Funo derivada

Para todo o x Df em que a funo derivvel, chama-se funo

derivada de f funo definida por: f (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

Exemplo:

Dada a funo f (x) = 3x2 , definida em IR , calcular a expresso da sua funo derivada.

f (x) = limh0

3(x+ h)2 3x2

h= limh0

3 x2 + 2xh+ h( )2

3x2

h=

limh0

3x2 +6xh+3(h)2 3x2

h= limh0

h 6x 3h( )h

= 6x

Ou seja, f (x) = 6x, x IR .

Tarefa 6

Verifica se cada uma das

funes contnua e tem

derivada no ponto indicado.

a) f (x) =x2 , x > 02x 1 , x 0

,

em 0 0x =

b) g(x) = 2 x 1 ,

b.1 em 0 1x =

b.2 em x0 = 3

Nota:

A funo derivada de ( )y f x=

tambm pode ser indicada por:

dfdx , ,

dydx (l- se, derivada

de y em relao a x ).

Tarefa 7

Determina qual a funo

derivada de cada uma das

funes reais de varivel real

definidas por:

a) 3( )f x x=

b) 1( )g xx

=


Exemplo:

Dada a funo g(x) = ex , definida em IR , calcular a expresso da sua funo derivada.

Ora, g '(x) = limh0

ex+h ex

h= limh0

ex .eh ex

h= ex lim

h0

eh 1h

= ex 1

Ou seja, g '(x) = ex , x IR .

Regras de derivao:

O clculo da derivada atravs da sua definio nem sempre simples,

pois envolve o clculo do limite de uma razo incremental (quociente de

Newton). Para minimizar este problema, utilizamos algumas propriedades

das derivadas, que chamamos regras de derivao.

Exemplos:

a) Recorrendo regra (de uma potncia) temos:

(x3) ' = 3x31 = 3x2 ou (x5) ' = 5x51= 5x6 = 5x6

b) Recorrendo regra (derivada da

exponencial) temos que (5x ) ' = 5x ln 5 .

c) Recorrendo regra (derivada do logaritmo

natural) temos que (log2 x) ' =1x ln 2

.

Usando as propriedades das funes e as proposies anteriores possvel

demonstrar outras regras de derivao que resultam das operaes

algbricas com funes.

Vejamos as seguintes:

Regras prticas:

Seja ( )y f x= uma funo

derivvel em x Df e ' '( )y f x= a expresso da sua

derivada. Ento:

y k= (k IR) y'=0

y x= y'=1n y=x (k IR) n-1 y'=nx

y=xk (k 0) y'=kxk-1

y=sen(x) y'=cos(x)

y=cos(x) - ( ) y'= sen x

y=ln(x) (a > 0,a 1) y ' =1x

x y=a .lnx y'=a a

a y=log (x) 1ln

y'=x a


Sejam f , g duas funes derivveis em x (Df Dg) e f '(x) e g '(x)

as expresses das respetivas derivadas. Ento:

O produto de uma constante por uma funo derivvel e:

(k. f ) '(x) = k. f '(x) (k 0)

A soma ( f + g) derivvel e temos a regra:

( f + g) '(x) = f '(x)+ g '(x)

A diferena ( f g) derivvel e temos a regra:

( f g) '(x) = f '(x) g '(x)

O produto ( f .g) derivvel e temos a regra:

( f g) '(x) = f '(x) g(x)+ f (x) g '(x)

O quociente ( fg

), g(x) 0 derivvel e temos a regra:

( fg) '(x) = f '(x) g(x) f (x) g '(x)

g(x) 2

Exemplo:

Determina a expresso da derivada da funo afim definida por

f (x) = ax+b (a,b IR) .

Seja x0 Df , um ponto arbitrrio.

1. Usando as regras de derivao,

f '(x) = (ax+b) ' = (ax) '+b ' = a+0 = a .

2. Por definio,

f '(x0 ) = limh0f (x0 + h) f (x0 )

h= limh0

ax0 + ah+b (ax0 +b)h

= limh0

ahh= a .

Tarefa 8

Usa as regras para obter as

derivadas:

a) (x2 +3x 1) '

b) (x7 2x3) '

c) (4 ) 'xe

d) ln( )xx

e) (log2 x x) '

f) (2sin x cos x) '

Tarefa 9

Seja f (x) = xe a expresso de uma funo real de varivel

real.

a) Determina '( )f x

b) Escreve a equao da reta

tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 1x = .


Exemplo:

Usar as regras prticas de derivao para obter as expresses das derivadas

das funes definidas por:

a) f (x) = x4 2x3

f '(x) = (x4 2x3) ' = (x4 ) ' (2x3) ' (pela regra da derivada da soma)

= 4x3 [2' (x3)+ 2 (x3) '] (pela regra da derivada do produto)

= 4x3 (0+ 23x2) (pela regra da derivada de uma constante)

= 4x3 6x2 .

b) f (x) = x2 +3x

(Recorrendo derivada do quociente de funes e)

f '(x) = ( x2 +3x) ' = (x

2 +3) '.x (x2 +3).x 'x2

=

=2x.x x2 3

x2=x2 3x2

c) f (x) = 5x4 (x 1)

(Recorrendo derivada do produto de funes e)

f '(x) = (5x4 ) '.(x 1)+5x4.(x 1) ' =

= 54x3(x 1)+5x.(x '1') = 20x3(x 1)+5x .

Exemplo:

Uma partcula de poeira desloca-se de acordo com a lei e(t) = 5t 2 + 20t ,

sendo e(t) a distncia percorrida em metros ao fim de t segundos.

Calcula a velocidade instantnea aos 3 segundos.

Ora, como a velocidade dada pela derivada, temos que

e '(t) = 5t 2 + 20t( )'=10t + 20 . Logo, e '(3) =103+ 20 .

A velocidade aos 3 segundos de 50 m/s.

Tarefa 10

Um balo meteorolgico

solto e sobe verticalmente de

modo que a sua distncia d (t) ao solo durante os primeiros

10 segundos de subida dada

por 2( ) 6 2d t t t= + + , na qual ( )d t medido em metros e t

em segundos.

a) Determina a velocidade

mdia do balo durante os

dois primeiros segundos da

subida.

b) Determina a velocidade

instantnea do balo quando

t=1 segundo.


Derivao de uma funo composta

Dadas duas funes f e g , a composta f g (l-se f composta com g), uma funo definida por:

Dfog = x IR : x Dgg(x) Df{ }

( f g)(x) = f g(x) ,x Df g

Exemplo:

Sendo f (x) = 3x2 e g(x) = 5x 1 , ento:

( f g)(x) = f (g(x)) = f (5x 1) = 3(5x 1)2, x IR

Teorema da derivada da funo composta:

Sejam f e g duas funes reais de varivel real tais que Df CDg e f '(x) e g '(x) as expresses das respetivas derivadas.

Se g derivvel no ponto x e f derivvel no ponto y = g(x), ento a funo composta f g derivvel em x e tem-se a

seguinte regra prtica: ( f g) '(x) = f ' g(x) g '(x), x Df g .

Exemplo:

Sejam as funes definidas por f (x) = 3x2 e g(x) = 5x 1 , ento,

( f g) '(x) = f '(5x 1).(5x 1) ' = 6(5x 1)5= 30 (5x 1)

Tarefa 11

Determina as expresses

das derivadas das funes

compostas:

a) 3( ) cos(2 )h x x=

b) 23 2( ) x xh x e +=

c) h(x) = ln(x2 1)

d) h(x) = 3x2 +5x 1x 1

e) h(x) = (3x2 +6x 2)23

f) 2cos(2 )( ) xh x e=

Tarefa 12

Usa as regras prticas de

derivao para obter as

expresses das derivadas das

funes definidas por:

a) y = (ex + x 1)3

b) 25 (ln )y x x x= +

c) 21 logy x= +

d) 3 2xy e=

e) 22

1

xeyx

=+

f) y = 2x1 ln x

g) y = 2ex2

h) y = ln(2 xx+1

)

i) y = (x+1)3x2

j) 1

2 12

x

xy ++

=

k) y = log2x+1x 1

l) 1lnyx

=


Exemplo:

Seja h(x) = x3 + 2x .

x g(x) = x3 + 2x h(x)= x3 + 2x ,x D( fog)

g f

Pela composta, h(x) = ( f g)(x) , sendo f (x) = x e g(x) = x3 + 2x

Pela regra de derivao da composta, temos h '(x) = g '(x). f '(g(x))

Ou seja, como f '(x) = 12 x

e g '(x) = 3x2 2 , ento h '(x) = 3x2 2

2 x3 2x.

Exemplo:

Seja i(x) = ecos x . Pela composta, i(x) = ( f g)(x) , sendo f (x) = ex e g(x) = cos x .

Sendo f '(x) = ex e g '(x) = senx , ento,

pela regra de derivao da composta, temos:

i '(x) = f '(g(x)).g '(x) = senx ecos x ,x IR .

Segunda derivada de uma funo

Seja f uma funo real de varivel real e f ' a sua funo derivada num

ponto x0 do seu domnio. Se f ' admite tambm derivada no ponto x0 ,

ento diz-se que f duas vezes derivvel no ponto x0 e tem-se:

f (x) = limh0

f (x0 + h) f '(x0 )h .

Chama-se funo segunda derivada (ou funo derivada de ordem 2) de

uma funo f a uma nova funo tal que:

Domnio de f '' o conjunto em que f ' tem derivada;

A cada ponto do domnio faz corresponder a derivada da derivada da

funo nesse ponto.

Exemplo:

Definir as expresses da primeira e a segunda derivada das funes

definidas em IR por:

a) f (x) = (2x 1)3

A primeira derivada dada por: f '(x) = 32 (2x 1)2

Regras prticas das derivadas

Seja ( )u f x= uma funo

derivvel em x Df e '( )u x a expresso da sua derivada.

Ento:

(u+ v) ' = u '+ v '

(k.u) ' = k.u ' k IR

(u.v) ' = u 'v u.v '

(uv) ' = u 'v uv '

v2

(un ) ' = nun1.u '

') '2u ( u

u=

( un ) ' = u '2 un1n

( ) ' 'u ue u e=

( ) ' ' cossen u u u=

(cos u) ' = u 'sen u

(tgu) ' = u 'cos2 u

'u (ln u)'=u

(logau)'=u '

u.lna (a > 0,a 1)

) ' . lnu u (a u a a=


A 2 derivada a derivada da primeira derivada, ou seja:

f ''(x) =122 (2x 1) = 48x 24 .

b) g(x) = 1x

Ora, g '(x) = (1x)= (x1) ' = 1 x11 = x2 = 1

x2.

Para a 2 derivada, usamos a regra da derivada de um quociente. Ou

seja, g ''(x) = 1x2= 1' x2 1 (x2 ) '

(x2 )2=2xx4

=2x3

.

c) h(x) = xln x

Ora, h '(x) = x ' ln x x (ln x) '(ln x)2

=1 ln x x 1

xln2 x

=ln x 1ln2 x

Para a 2 derivada, usamos a regra da derivada de um quociente. Ou

seja, h ''(x) =

1x ln2 x 2

xln x (ln x 1)

(ln2 x)2=ln2 x 2ln2 x+ 2ln x

x ln4 x

Simplificando a expresso, temos: h ''(x) = 2 ln xx ln3 x

,x > 0 .

d) i(x) = x log2 x

Pela regra da derivada de um produto, temos:

i '(x) = x ' log2 x x(log2 x) ' . Ou seja,

.

E a 2 derivada dada por: i ''(x) = 1x ln 2

( 1ln 2) ' . E, como ( 1

ln 2) ' = 0

ento, i ''(x) = 1x ln 2

.

Exemplo:

Encontrar as primeiras derivadas de ordem n das funes definidas por:

a) f (x) = 8x4 +5x3 x2 +7

Ora,

f '(x) = 32x3 +15x2 2x

f ''(x) = 96x2 +30x 2

f '''(x) =192x+30

Derivadas sucessivas

De modo similar a derivada da

segunda derivada chamada

de terceira derivada. Podemos

nos referir s derivadas

sequentes terceira derivada

de f por: quarta, quinta, sexta, e sucessivamente.

, ( ), ( ( )),...df d df d d dfdx dx dx dx dx dx

ou, ainda,2 3

2 3, , ,..., ,...n

n

df d f d f d fdx dx dx dxn IN

A notao mais usual para as

derivadas de ordem superior :( ) ( )'( ), ''( ), '''( ), ( ),..., ( )iv nf x f x f x f x f x

n IN( ) ( )nf x (l-se derivada de

ordem n )

Tarefa 13

Define a primeira e a segunda

derivada das funes definidas

por:

a) f x( ) = 2x 33x+ 2b) g x( ) = x 4 x2

c) h x( ) = log x2 5x+6

d) i(x) = e2x .ln x

e) 2( ) (ln 2 )j x x=


f iv (x) =192

f v (x) = f vi (x) = ...= f n (x) = 0 , n IN

b) f (x) = ex2

Ora,

f '(x) = 12ex2

f ''(x) = 14ex2

f '''(x) = 18ex2

f iv (x) = 116ex2

sucessivamente

f n (x) = 12nex2 , n IN

Aplicao das derivadas na fsica

Se uma funo s t( ) descreve a posio de um corpo em movimento, no instante t , ento s ' t( ) fornece a taxa de variao instantnea do movimento, isto , a velocidade deste corpo no instante t .

Por sua vez, a segunda derivada s '' t( ) fornece a taxa de variao instantnea de s ' t( ) , ou seja, a taxa de variao da velocidade, que conhecida como acelerao no instante t .

Exemplo:

Uma partcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a seguinte

equao de movimento:

s(t) = t2

2+4tt +1

, onde s (centmetro) a distncia orientada da partcula

at a origem em t (segundos).

Se v (em cm por segundo) for a velocidade instantnea e se a (em cm por segundo quadrado) for a acelerao, determina: t,s,v quando a acelerao nula.

Tarefa 14

Calcula as derivadas sucessivas

at ordem n indicada.

a)

f (x) = 3x4 sen(2x) ; n = 5

b) 1( ) ; 4xg x ne

= =

c) h x( ) = x2ex ; n = 4

Nota

Se s t( ) > 0 , o corpo est em acelerao e se s t( ) < 0 , o corpo est em desacelerao.

Tarefa 15

Uma bola de futebol chutada

para cima na vertical a uma

velocidade de 80 ps/segundo.

A sua altura t segundos aps o chute dada por

a(t) = 80t 16t 2 .

a) Qual a velocidade da bola

quando atingir 96 ps de

altura acima do solo?

b) Qual a desacelerao

da bola nos dois primeiros

segundos aps o chute?

c) Qual a altura mxima

atingida pela bola? Em que

instante isso ocorre?


Resoluo:

Sabemos que:

v(t) = ( t2

2+4tt +1

) ' = ( t2

2) '+ ( 4t

t +1) ' = 1

22t + 4(t +1) 4t(t +1) '

(t +1)2=

t + 4t + 4 4t(t +1)2

= t + 4(t +1)2

a(t) = (t + 4(t +1)2

) ' = (t ')+ ( 4(t +1)2

) ' =1 8(t +1)(t +1)4

=

=1 8(t +1)3

,com t +1 0

Tomando a = 0 teremos:

1 8(t +1)3

= 0 (t +1)3 8

(t +1)3= 0 (t +1)3 8 = 0(t +1)3 0

t +1= 2 t 1 t =1

Quando t =1, temos: s(1) = 12+41+1

=52

e v(1) =1+ 4(1+1)2

= 2 .

Portanto, a acelerao nula 1 segundo aps o incio do movimento,

quando a partcula est a cm da origem, movendo-se para a direita, com

uma velocidade de 2 cm/seg.

Exemplo:

A distncia percorrida por um paraquedista t (segundos) aps ter aberto o seu paraquedas dada, em metros, aproximadamente, por:

d(t) = 25+6t 25e1,7t . Determina a desacelerao na queda, trs segundos aps a abrir o paraquedas (arredondado s centsimas).

Resoluo:

A acelerao obtida atravs do estudo da 2derivada. Assim,

d '(t) = 6 25 (e1,7t ) ' = 6 25 (1,7t) ' e1,7t

= 6 25 (1,7) e1.7t = 6+ 42,5e1,7t

E a segunda derivada,

d ''(t) = (6+ 42,5e1,7t ) ' = 42,5 (1,7)e1,7t = 72,25e1,7t

Ento, aps 3 segundos temos, d ''(3) = 72,25e1,73 0,4404 .

Ou seja, a desacelerao , aproximadamente, 0,44 m / s

Tarefa 16

Um Distrito atingido por

uma doena epidmica. O

Ministrio da Sade calcula

que o nmero de pessoas

atingidas pela molstia

depois de um tempo t

(medido em dias a partir do

primeiro dia da epidemia) ,

aproximadamente, dado por:

e(t) = 64t t3

3.

a) Qual a variao da

epidemia no 4dia? E, no 8

dia?

b) Qual o nmero mximo

de pessoas atingidas pela

doena?

c) Ao fim de quanto tempo j

no havia pessoas doentes?

Tarefa 17

Um Taxi seguia a uma

velocidade dada em cada

instante pela expresso

V (t) = 3t 2 + 24t .

A sinalizao existente em

todo o percurso no permite

exceder os 60km/h. Verifica,

por processos analticos, se

o Taxi excedeu a velocidade

permitida.


Aplicao na economia

Em economia e contabilidade, dada uma funo y = f (x) costuma-se utilizar o conceito de funo marginal para avaliar o efeito causado em

f (x) por uma pequena variao de x unidades. Ou seja:

Custo marginal (Cmg) Variao do custo total decorrente da variao de

uma unidade na quantidade produzida.

Receita marginal (Rmg) Variao na receita total gerada pela venda de

uma unidade na quantidade vendida do bem. R(x)x

= p , onde p a demanda da produo e x o nmero de unidades produzidas.

Lucro marginal (Lmg) Variao do lucro/prejuzo total. L(x) = R(x)C(x) gerado na comercializao das unidades.

Exemplo:

Supe que a funo custo (em dlares) de x unidades de um produto

C(x) =10000+5x+0,01x2 . Ento, a funo derivada C '(x) = 5+0,02x representa o custo marginal para um nvel de produo de x unidades.

Ou seja, se forem produzidas 500 unidades, o custo marginal ser de

c '(500) = 5+0,02500 =15 dlares (por item).

Exemplo:

Se x unidades de um produto so vendidas a um preo p (dlares) por unidade, ento a receita de faturao dada por R(x) = x p(x) dlares

Ora, sabe-se que a equao da procura de um certo produto

p(x) = 600,05x .

A receita de faturao para este produto dada por:

R(x) = x(600,05x) e a respectiva receita marginal dada por:

R '(x) = 600,1x ,

Sabemos que R '(x) = 0 600,1x = 0 x = 600 .

Logo, para x = 600 unidades temos R(600) = 600(600,05600) =18000 (dlares) - valor de receita de faturao extrema (mximo).

Tarefa 18

18.1) Considera, em $US, a

funo custo:

C(x) = 0,01x3 0,5x2 +300x+100

Determina o custo marginal

para 10 unidades de um certo

produto.

18.2) Dada a funo receita,

em $US R(x) = 2x2 +1000x ,

determina a receita marginal

para 50 unidades.

18.3) A empresa tem uma

capacidade de produo

mxima de 200 unidades por

semana. A funo procura do

produto p = 0,2x+900 e a funo custo semanal

C(x) = 5008x+ x2 . Qual o preo que deve ser cobrado

para maximizar o lucro?


Otimizao

A otimizao est relacionada com a escolha da melhor alternativa

para a resoluo de um problema com base em critrios especficos de

maximizao ou minimizao. Por exemplo, quando um mdico pretende

conhecer a quantidade mnima de droga que produzir o efeito desejado

nos seus pacientes; quando um produtor necessita determinar a frequncia

com que equipamentos devem ser substitudos de forma a minimizar os

custos de manuteno; ou, na maximizao/minimizao de reas, etc.

Exemplo:

Uma lata cilndrica produzida a fim de conter 1 litro de leo. O objetivo

minimizar a quantidade de metal gasto no seu fabrico. Quais devem ser

as dimenses da lata?

Resoluo:

Ora, sabemos que um cilindro de raio r, (r > 0) e altura h , tem como

volume: V = r2h .

Como 1 litro =1 dm3 , temos que 1= r2h h = 1r2

.

A rea total do cilindro, em funo do seu raio, dada por

Atotal = 2rh+ 2r2 . Sabendo que h = 1

r2 ento,

Atotal =2rr2

+ 2r2 Atotal =2r

+ 2r2

Derivando, A 'total = 2r2

+ 4r e igualando a zero, vem que:

A '(r) = 0 2r2

+ 4r = 0 r = 12

.

Sendo 3,1416(4cd ) , temos que a altura h = 1

( 12)2= 4 12,566

Logo, uma lata cilndrica com altura aproximada de 12,566 cm e dimetro

0,318 cm, a quantidade de metal gasta mnima.

Mximos e mnimos

No grfico ao lado, percebemos que a parte circulada em vermelho a

mais baixa de sua vizinhana que est dentro do crculo vermelho mas

no a mais baixa do grfico existe outra bem menor direita!

Tarefa 19

Um agricultor quer vedar com

rede um terreno retangular

encostado a um dos lados

da sua casa. Calcula quais as

dimenses do terreno com

maior rea a ser vedado,

usando 40 metros de rede.

Tarefa 20

Encontra dois nmeros x e y cuja soma seja um dado nmero positivo S e cujo

produto P seja o maior

possvel.

Tarefa 21

Uma caixa sem tampa deve ser

construda com base quadrada

e rea total constante C.

Determine os lados da caixa

de modo que o volume seja

mximo.


Ou seja, diz-se que uma funo y = f (x) possui pontos extremos de

mnimo (mximo) relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo

x0 tal que f (x0 ) menor (maior) ou igual a qualquer outro f (x) nesse intervalo.

Nota que os extremos relativos apenas ocorrem nos chamados pontos

crticos, que so aqueles onde a derivada da funo zero ou onde a

funo no derivvel (o que pode ocorrer em pontos angulosos ou em

descontinuidades).

Considera a figura que representa o grfico de uma funo y = f (x) ,

onde assinalamos os pontos de abscissa x1,x2 ,x3,x4 .

Os pontos assinalados so chamados pontos extremos da funo.

Os pontos x1 e x3 so pontos de mximo relativo (ou local), enquanto

que f (x1) e f (x3) so valores mximos relativos.

Os pontos x2 e x4 so chamados pontos de mnimo relativo (ou

local), enquanto f (x2 ) e f (x4 ) so os valores mnimos relativos.

Exemplo:

A funo definida por f (x) = x4 4x2 tem um ponto de mximo relativo

em x = 0 e dois pontos de mnimos relativos em x = 2 . O valor mximo

relativo e o valor mnimo relativo f ( 2) = f ( 2) = 4 .

Considera a figura que representa o grfico de uma funo y = f (x) ,

onde assinalamos os pontos de abcissa x1,x2 ,x3,x4 ,x5,x6 ,x7 . Os valores de m representam os declives das retas tangentes ao grfico da funo em alguns pontos do seu domnio.

Nota

A parte circulada a vermelho

indica um ponto de mnimo

relativo, pois possui o menor

valor da funo na sua

proximidade.

A parte circulada a verde indica

um ponto demximorelativo,

pois possui o maior valor da

funo na sua proximidade.


Observamos que:

f contnua no intervalo x1,x7

f no derivvel nos pontos x3,x4 ,x5 e x6 .

f '(x) > 0 x ( x1,x2 x5,x6 ) f estritamente crescente,

neste intervalo. O declive das retas positivo (m > 0 ).

f '(x) < 0 x ( x2 ,x3 x4 ,x5 x6 ,x7 ) f estritamente

decrescente, neste intervalo . O declive negativo (m < 0 ).

f '(x) = 0 x ( x2{ } x3,x4 ) f constante em x3,x4 e tem um extremo (mximo) relativo no ponto de abcissa x2 , porque a derivada existe neste ponto e muda de positiva para negativa.

O ponto de abcissa x5 um extremo (mnimo) relativo da funo, porque a derivada existe neste ponto e muda de negativa para

positiva, neste ponto.

O ponto de abcissa x6 um extremo (mximo) relativo da funo, porque a derivada existe e neste ponto e muda de positiva para

negativa.

Conclumos que existe uma relao entre o sinal da derivada e a

monotonia da funo.

Exemplo:

Determina os intervalos de monotonia e os extremos relativos (se existem)

da funo definida, em IR , por h(x) = 2x(x 1)4 .

Ora, a funo contnua em IR , pelo que os pontos crticos verificam a

condio h '(x) = 0 2(x 1)4 +8x(x 1)3 = 0

2(x 1)3(x 1+ 4x) = 0

Tarefa 22

Encontra os valores mnimos

e mximos, se existirem,

da funo definida por

f (x) = 2x3 15x2 + 24x+19 , para x 0

Tarefa 23

Determina os intervalos de

monotonia e extremos de cada

uma das funes definidas em

IR por:

a) f (x) = (x 2)2(x+1)

b) g(x) = ex x2ex

c) ( ) lnh x x x=

d) i x( ) = ln cos x( )


(x 1)3 = 0(5x 1) = 0

x =1 x = 15

Logo, os pontos crticos so x =1 ou x = 15

.

Por observao do quadro de sinal da derivada conclumos quais os

intervalos em que esta positiva e negativa e que correspondem aos

intervalos de monotonia da funo. Ou seja:

h '(x) positiva e h estritamente crescente em ],15] 1,+ ;

h '(x) negativa e h estritamente decrescente em [15,1] ;

Nos pontos crticos, h(15) mximo relativo h(1) mnimo relativo

Extremos de uma funo (Teste da primeira derivada):

Seja c Df um ponto crtico e x um qualquer outro ponto do domnio da funo, na proximidade de c.

a) Se f '(x) muda de positiva esquerda para negativa direita, no ponto c , ento f (c) diz-se um mximo relativo (ou local) da funo.

Tarefa 24

Aplica o teste da primeira

derivada para determinados

extremos relativos de cada

uma das funes definidas em

IR por:

a) f x( ) = 2x 33x+ 2b) g x( ) = 4 x2

c) h x( ) =2+ x

2 ,x 0

2 2x ,0 < x


b) Se f '(x) muda de negativa esquerda para positiva direita, no ponto c , ento f (c) diz-se um mnimo relativo (ou local) da funo.

c) Se f '(x) no muda de sinal, no ponto c , ento f (c) no extremo da funo.

Exemplo:

Aplica o teste da primeira derivada para determinar os pontos crticos e

verificar se so extremos do grfico da funo.

a) f (x) = x3 +1

Verificamos pelo grfico que a funo contnua em IR

A expresso da sua derivada f '(x) = 3x2 ,x IR .

f '(x) = 0 x = 0 , zero o nico ponto crtico e tendo em conta que

3x2 0,x , conclumos que a funo sempre crescente.

b) f (x) = x2 x+5

A funo contnua em IR e temos que f '(x) = 2x 5,x IR .

Ento, 2x 1= 0 x = 12

, um ponto crtico

2x 1> 0 x > 12

, a funo crescente

2x 1< 0 x < 12

, a funo decrescente.

O ponto crtico x = 12

um minimizante relativo, logo f (12) = 4,75

um mnimo relativo da funo.


c) f (x) =x1 se x


Se a segunda derivada existe no ponto de inflexo, o seu valor tem que ser

zero. No entanto, os pontos de inflexo podem ocorrer onde a segunda

derivada no existe (pontos crticos de segunda ordem).

Um ponto P(c, f (c)) do grfico de uma funo contnua uma inflexo (ou ponto de inflexo) se o sentido da concavidade do

grfico muda neste ponto crtico.

Na figura, os pontos de abcissa c1,c2,c3 e c4 so pontos de inflexo.

Observa que:

Os pontos c2 e c3 so pontos extremos relativos de f ( f no derivvel nestes pontos).

Nos pontos c1 e c4 existem as derivadas f '(c1) e f '(c4) .

Nos correspondentes pontos (c1, f (c1)) e (c4, f (c4)) a reta tangente corta o grfico da funo f .

Exemplo:

Estudar a concavidade e as inflexes do grfico da funo definida por

f (x) = x3

352x2 14x+10

Resoluo:

f '(x) = x2 5x 14f "(x) = 2x 5

f "(x)= 0 2x 5= 0 x = 52

(ponto crtico de 2ordem)

Tarefa 25

Estuda as concavidades do

grfico das funes definidas,

em IR por:

a) f (x) = x3 2x2 + x

b) ( ) xf x x e= +

c) f (x) = (x 3).ln x


Para x > 52 f "(x) > 0 A curva do grfico de f cncava

Para x< 52 f " x( ) < 0 A curva do grfico de f convexa

O ponto( 52

, f (52

))uma inflexo do grfico de f

Extremos de uma funo (Teste da segunda derivada):

Sejam f uma funo derivvel num intervalo a,b e c a,b um ponto crtico da funo f , ou seja f (c) = 0 .

Se f admite segunda derivada em a,b ento temos:

a) Se f ''(c) < 0 , f (c) um mximo relativo.

b) Se f ''(c) > 0 , f (c) um mnimo relativo.

Exemplo:

Encontrar os mximos e mnimos relativos de f , aplicando o teste da segunda derivada:

a) f (x) =18x+3x2 4x3 .

Temos, f '(x) =18+6x 12x2 e f ''(x) = 6 24x .

Fazendo f '(x) = 018+6x 12x2 = 0 x = 1 x = 32

.

Logo, x = 1 x = 32

so pontos criticos de f .

Como, f ''(1) = 6 24 (1) = 30 , positivo, ento x = 1 abcissa de

um ponto de mnimo relativo de f .

Modo anlogo, f ''( 32) = 6 24 (3

2) = 30 , negativo, ento x = 3

2

abcissa de um ponto de mximo relativo de f .

b) f (x) = 6x 3x2 + 12x3 .

Temos, f '(x) = 66x+ 32x2 e f ''(x) = 6+3x .

Fazendo f '(x) = 0 e resolvendo a equao, obtemos x = 2 como nico

ponto crtico de f . Como, f ''(2) = 0 e f '' uma funo contnua que

Tarefa 26

Aplicando o teste da primeira

e da segunda derivada, indica

se existem, os extremos

relativos, pontos de inflexo

e concavidades do grfico das


a) 13)( 23 ++= xxxf

b) f (x) = (x2 1)3

c) f (x) = (x 3)ex

d) ( ) lnf x x x= , 0x >

e) 1( )f x xx

= + , x 0

f) f (x) = x2

x 1, x 1


muda de sinal neste ponto, ento x = 2 um ponto de inflexo do grfico de f . Usando o teste da primeira derivada, conclumos que a funo sempre crescente em IR , logo no existem extremos.

Esboo do grfico de funes

No estudo de uma funo deves comear por identificar se a funo

pertence a alguma das famlias estudadas (quadrticas, polinomiais,

racionais, exponenciais, logartmicas, trigonomtricas,) e obter uma

representao grfica, caso disponhas de uma calculadora ou computador.

Em seguida, deves abordar os seguintes itens:

Domnio: Pode ser dado na caracterizao da funo, pode ser determinado pelas condies do problema ou pode ser o domnio de

existncia da expresso analtica y = f (x) que define a funo;

Continuidade e paridade: Dentro de domnio importa procurar se existem pontos de descontinuidade. E til saber se a funo par eu mpar

pois, em caso afirmativo, simplifica o estudo de muitas caractersticas;

Assintotas: Imprescindveis para a compreenso do comportamento da funo, devem ser determinadas e caracterizadas pelas suas equaes;

Limites: H que calcular os limites laterais em pontos de descontinuidade, de mudana de definio da funo e em pontos que no pertencem ao

domnio mas so seus pontos de acumulao. Estudar os limites da funo

quando a varivel tende para infinito;

Interseco com eixos e variao de sinal: Determinar, se existem, as coordenadas dos pontos de interseco do grfico com os eixos e quais os

intervalos de variao de sinal positivo ou negativo da funo;

1 derivada : O sinal e os zeros da 1 derivada indicam-nos os intervalos de monotonia e as abcissas dos possveis extremos relativos.

A derivada explica a variao da funo. No esqueas que pode

Tarefa 27

Esboa o grfico de uma

funo f que verifica as seguintes propriedades:

Df = IR+

(3) 4f =

f (x) > 0 x < 3

'(3) 0f =

f '(x) < 0 x > 3


haver mximos ou mnimos em pontos onde no h derivada ou nas

fronteiras do domnio.

2 derivada: O sinal e os zeros da segunda derivada indicam o sentido da concavidade do grfico e possveis pontos de inflexo. Estes podem

identificar onde o crescimento (decrescimento) foi mximo ou mnimo.

Esboo do grfico e contradomnio: O estudo analtico dever permitir esboar uma representao grfica da funo que considere todas as

caractersticas obtidas. A representao grfica permite, por sua vez, a

leitura do contradomnio. A imagem geomtrica da funo a forma mais

sugestiva e eficaz de apresentar globalmente o comportamento de uma

funo.

Exemplo:

Esboar o grfico da funo, definida em IR , por f (x) = 1x+ 2

.

Ora, a funo a estudar uma funo racional de domnio

Df = x IR : x+ 2 0}= IR{ \ 2{ } e contradomnio CDf = IR \ 0{ }

A funo no par porque, f (x) f (x) nem mpar ( f (x) f (x) )

A funo descontnua para x = 2 ( (2 Df ) e a reta de equao x = 2

uma assintota vertical porque, limx2

f (x) = e limx2+

f (x) = + ,

O eixo Oy uma assintota horizontal porque,

limx

f (x) = 0 e limx+

f (x) = 0 ,

A funo no intersecta o eixo Ox (no tem zeros), mas interseta o eixo

Oy no ponto de ordenada 12

.

A primeira derivada tambm uma funo racional, definida por

f '(x) = 1(x+ 2)2

x 2 e f '(x) < 0 x 2 , logo f estritamente

decrescente. A funo no tem pontos extremos.

A segunda derivada dada por f ''(x) = 2(x+ 2)2

x 2 e

f ''(x) > 0 x 2 , logo o grfico de f tem concavidade voltada para cima (cncava) e no tem inflexes.

Tarefa 28

Esboa o grfico de uma

funo f que verifica as seguintes propriedades:

Os pontos

(2,3), (4,5), (6, 7)pertencem ao grfico

f contnua

'(6) 0f = e '(2) 0f =

f ''(x) > 0 x < 4

f ''(x) < 0 x > 4

''(4) 0f =

Tarefa 29

Esboa o grfico das funes

reais de varivel real definidas

por:

a) y = 13x3 +3x2 5x

b) y = x4 2x


O grfico de y = f (x) uma hiprbole:

Indeterminaes

As derivadas podem ser muito teis no clculo de limites de quocientes

f (x)g(x)

que assumem indeterminaes, na forma 00

ou

.

Regra de Cauchy:

Sejam f e g duas funes derivveis em um intervalo aberto I contido nos respetivos domnios, tais que g '(x) 0 x I .

Se quando x tende para a ( x a ), f (x) e g(x) tendem para

0 ou para e se existe limxa

f '(x)g '(x)

= L , ento tambm existe

limxa

f (x)g(x)

e tem-se que limxa

f '(x)g '(x)

= limxa

f (x)g(x)

= L

Exemplo:

Calcular limx0

senxx

.

Ao calcular limx0

senxx

encontramos a indeterminao 00

.

Sejam f (x) = senx e g(x) = x para qualquer x 0 .

As funes so derivveis e f '(x) = (senx) ' = cos x e g '(x) = x ' =1 .

Nota

A Regra de Cauchy ainda

aplicvel na resoluo de

indeterminaes 00

ou

quando x .


Ento limx0

f '(x)g '(x)

=cos x1

= cos0 =1 .

Estamos em condies de aplicar a regra de Cauchy para concluir que

limx0

senxx

= limx0

cos x1

=1 .

Exemplo:

Calcular limx+

x2

ex.

Ora, limx+

x2

ex uma indeterminao do tipo

.

Sejam f (x) = x2 e g(x) = ex . Ento, o limite das respectivas derivadas,

limx+

f '(x)g '(x)

= limx+

2xex

ainda uma indeterminao do mesmo tipo.

Derivando novamente, limx+

f ''(x)g ''(x)

= limx+

2ex

=2+

= 0 .

Pela regra de Cauchy conclumos que limx+

x2

ex= 0 .

Exemplo:

Mostra que limx0

ex 1x

=1 .

Ora, (ex 1) ' = ex e (x) ' =1 , nas condies para aplicao da regra de

Cauchy, temos que limx0

ex 1x

= limx0

ex

1= e0 =1 .

Exemplo:

Calcular limx0

3x 2x

x.

Este limite uma indeterminao 00

. Consideramos f (x) = 3x 2x e

g(x) = x , em condies de aplicar a regra de Cauchy e obter:

limx0

3x 2x

x= limx0

3x ln3 2x ln 21

= ln3 ln 2 = ln(32) .

Tarefa 30

Calcula os seguintes limites

a) limx0

ln(x+1)x

b) limx9

x 3x 9

c) limx1

x3 11 x

d) limx+

x+1 x( )e) lim

x02log (x+1)x

f) limx+

xex


Exerccios e Problemas

1. Usa a definio para determinar a derivada de cada uma das seguintes funes:

a) f (x) = x

b) g(x) =1 4x2

c) h(x) = 12x 1

2. Calcula as derivadas laterais nos pontos do domnio em que a funo no derivvel.

a) f (x) = 2 | x 3 |

b) f (x) = 2x1 x1x x


5. Determina as derivadas sucessivas at a ordem n indicada.

a) y = 1x

, n = 6

b) y = 3x4 2x, n = 5

c) y = sen(2x), n = 4

6. Uma empresa possui a Receita e o Custo dados pelas expresses:

Receita R(x) = x2 +11 ;

Custo C(x) = 296x+1 .

Para um intervalo de produo de zero a seis unidades, determina:

a) A produo para que o Custo seja mnimo;

b) Os intervalos em que a funo Custo cresce ou decresce;

c) A produo para que a Receita seja mxima;

d) Os intervalos em que a Receita cresce ou decresce;

e) A produo para que o Lucro seja mximo.

7. Um projtil lanado na vertical de baixo para cima a uma velocidade inicial de 140 m/segundo. A distncia,

em metros, a que encontra do solo decorrido t segundos dada por d(t) =140t 20t 2 .

7.1 Decorridos 5 segundos, a que distncia do solo se encontra o projtil?

7.2 Escreve a expresso da velocidade (1derivada) e da acelerao (2derivada) do projtil ao fim de t segundos.

7.3 Qual a altura mxima atingida pelo projtil? Em que instante isso ocorre?

7.4 Passado quanto tempo o projtil atinge o solo?

8. Uma empresa descobre que t dias aps terminada uma campanha publicitria dum determinado produto,

o nmero de vendas dirias dado em funo de t por: s(t) =100+800e0,2t .

8.1 Determina:

a) O nmero de vendas no instante em que terminou a campanha.

b) O nmero de dias que se seguiram ao final da campanha e durante os quais o nmero de vendas foi

superior a 500.

8.2 Esboa graficamente ( )s t e explica como foi variando o nmero de vendas dirias com o decorrer do tempo aps ter terminado a campanha publicitria do produto.

8.3 Calcula e estuda o sinal de '( )s t . Com base nos resultados interpreta a forma como evoluiu o nmero de vendas e compara com as concluses tiradas antes.


8.4 Se no for feita mais nenhuma campanha publicitria em que valor tender a estabilizar o nmero de

vendas dirias do produto?

9. A equao T (t) = 30+ 250tt 2 +10

relaciona a Temperatura T (em graus Celcius) de uma reao qumica com o

tempo da experincia (em minutos). Sabendo que experincia durou 60 minutos:

9.1 Calcula e explica o significado do quociente T (2)T (0)2

.

9.2 Qual o significado de limt2

T (t)T (2)t 2

no contexto da experincia?

9.3 Determina em que instante t se registou a temperatura mxima.

9.4 Existe alguma inflexo na curva da temperatura da experincia? Justifica a tua resposta e determina

qual o significado no contexto da situao.

10. Supondo que a equao de procura de um artigo comercial p =1000,01x e custo deste artigo C(x) = 50x+10000 dlares.

10.1 Determina o nmero de unidades que maximiza o lucro e qual o lucro total para esse valor de produo.

10.2 Supondo que cobrada uma taxa de valor igual a 10 dlares por unidade, qual ser ento o nmero

de unidades correspondente ao lucro mximo.

11.

11.1 O custo C para se beneficiar um produto alimentar base de trigo dado por: C = x2 + 4000 , onde C dado em dlares e x a quantidade de trigo (em toneladas).

a) Determina a taxa de variao mdia do custo para o intervalo 1 x 5 . Qual o significado geomtrico

desse resultado obtido?

b) Calcula a derivada do custo no ponto correspondente a x = 2 . O que significa este resultado no

contexto da situao?

11.2 Para o mesmo produto, a receita R, em dlares, ao se comercializar a quantidade y , em unidades, dada pela funo: R = 2y2 +1000y .

a) Esboa o grfico de R, assinalando os seus principais pontos de referncia.

b) Calcula a derivada R '(100) . Qual a unidade dessa derivada? O que representa no contexto da

situao?

c) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja mxima? Qual o valor desta

receita mxima?

d) Calcula R '(200) e '(300)R . O que significa o sinal do resultado obtido, no contexto da situao?


12. Esboa o grfico e faz um estudo das funes, indicando o domnio, pontos crticos, extremos, intervalos de

crescimento e decrescimento, concavidades e inflexes do grfico das funes definidas em IR por:

a) f (x) = 4 x2

b) f (x) = x3 +1

c) f (x) = 2ex

d) f (x) = ln(2x+3)

e) f (x) = x3

3 9x + 2

f) f (x) = 3 (x +1)3


42

Subtema 2 - Clculo de reas e volumes

Primitivas e integrais so noes fundamentais para o clculo e a anlise

matemtica.

Conhecida a derivada de uma funo pode ser importante saber qual

a funo que lhe corresponde. A primitivao o processo inverso da

derivao.

Por sua vez, a integral definida surge relacionada com o problema de

determinar a rea de certas figuras irregulares planas e o volume de

slidos de revoluo, mas tambm possui muitas outras interpretaes

possveis. Permite por exemplo, determinar a posio futura de um corpo

a partir da sua posio atual e do conhecimento das foras que atuam

sobre ele.

Funo primitiva

Determinar uma primitiva de uma funo envolve o processo inverso da

derivao.

Uma primitiva para uma funo real de varivel real f uma outra funo real de varivel real derivvel F , cuja derivada coincide

com f , isto , F ' x( ) = f x( ).

Exemplo: Para a funo definida por f (x) = x2

, so suas primitivas as


F(x) = x3

3 , pois F '(x) = ( x

3

3) ' = 1

33x2 = x2

F(x) = x3

3+ 2

, pois F '(x) = ( x

3

3+ 2) ' = 1

33x2 +0 = x2

F(x) = x3

3+ c (c IR)

, pois F '(x) = ( x

3

3+ c) ' = x2

A constante c da ltima primitiva to geral, que se F (x) e G(x) so duas quaisquer primitivas de uma funo f ento, para todo x Df , c = F (x)G(x) . Ou seja, todas as primitivas de uma funo diferem por uma constante.

iContedosFuno primitiva

Primitivas. Mtodos de

primitivao

Teorema fundamental do

clculo

Regra de Barrow

Noo de soma integral

Integral definida. Propriedades

Aplicaes do clculo integral:

a) reas de figuras planas

b) Volumes de slidos de

revoluo

Nota

Para primitivar uma funo

f deves pensar qual a funo cuja derivada ( )f x ?...

? f

Clculo de reas e volumes | 43

Exemplo:

Todas as primitivas para a funo f (x) = x2 so da forma:

F(x) = x3

3+ c (c IR) .

Se F(x) uma primitiva para f (x) ento P[ f (x)]= F(x)+ c a expresso geral de todas as primitivas para a funo f , qualquer que seja c IR .

Exemplo:

A primitiva de uma funo uma inversa da funo derivada.

Se a derivada (x3) ' = 3x2 , ento sabemos que 3x2 uma primitiva de x3 .

Indicando por P a operao inversa da derivao (primitivao), temos

que P(3x2 ) = x3 + c (c IR) .

Mtodos de primitivao

Uma funo f diz-se primitivvel se admite uma primitiva. Para obter uma primitiva para uma funo h tcnicas de primitivao que podem

ser desenvolvidas. Vejamos algumas testas tcnicas:

Primitivao imediata

O mtodo de primitivao imediata consiste em verificar se a expresso a

primitivar define a derivada de alguma funo conhecida.

Exemplo:

(x) ' =1 P(1) = x + c, c IR ;

(x2 ) ' = 2x P(x) =12x2 + c, c IR ;

(x3) ' = 3x2 P(x2 ) =13x3 + c, c IR ;

(x5) ' = 5x4 P(x4 ) =15 x5 + c, c IR ;

Estes exemplos levam-nos a estabelecer a seguinte regra de clculo para a

primitiva de uma funo potncia:

Recorda

A regra de derivao de uma

potncia: (un ) ' = nun1 u ' .


Se n 1 , P(nxn1) = xn + c , c IR . Ou seja,

P(xn ) = xn+1

n+1+ c, c IR

Se n = 1, como (ln x) ' = 1x

ento P(x1) = P(1x

) = ln | x |+c, c IR .

Nota que esta regra aplicvel a todo tipo de potncias de expoente

natural, inteiro ou racional.

Exemplo:

P(x7 ) = x7+1

7+1+ c = x

6

6+ c, c IR

P( 1x

) = P(x

12 ) = x

12+1

12+1+ c = 2 x + c, c IR

P( 1x 2

)=ln | x 2 |+c, c IR

P( 12x+1

) = 12P( 1

x+ 12

)= 12

ln | x+ 12

|+c, c IR

Se k uma constante real no nula e f uma funo que admite primitiva, ento:

P(k) = kx+ c, c IR

P[k. f (x)]= k.P[ f (x)] .

Primitivao por decomposio

A primitiva de uma soma de funes igual soma das primitivas das

funes. Ou seja,

P[( f1 + f2 + ...+ fn )(x)]= P[ f1(x)]+ P[ f2 (x)]+ ...+ P[ fn (x)]

Exemplo:

P(6x 1) = 6P(x) P(1) = 6 12x2 x+ c, c IR

Exemplo:

P(3x2 5x+ 4) = P(3x2 ) P(5x)+ P(4) = x3 52x2 + 4x+ c, c IR

Recorda

A derivada da raiz quadrada:

( u )= u '2 u

(u > 0) .

Recorda

A derivada do logaritmo

natural: (lnu)= u 'u

,u > 0 .

Tarefa 31

Calcula as seguintes primitivas:

a) cos(4 )P x

b) P(3x4 )

c) (6 )P x

d) 7( )P x

e) 31( )

2P

x

f) P( 2x3)

g) 3( )P x

h) P(13x

43 )

Recorda

A regra da derivada de

uma soma de funes:

f1 + f2 + ...+ fn ' = f1 '+ f2+...+ fn '


Exemplo:

P(senx+ cos x) = P(senx)+ P(cos x) = cos x+ senx + c, c IR

Exemplo:

Se (6x+1)3 ' = 3(6x+1)2.(6x+1) ' = 36 (6x+1)2 , ento

P[18 (6x+1)2]= 6x+1( )3+ c, c IR

Se (x3 + x2 )4 ' = 4 (x3 + x2 )3.(3x2 + 2x) , ento

P[4 x3 + x2( ) 3x2 + 2x2( )]= x3 + x2( )4+ c, c IR

Nas situaes gerais, a regra da derivada da composta permite-nos

generalizar algumas das mais usuais regras prticas de primitivao.

Seja u = f (x) . Ento:

P(un . u ') = un+1

n+1+ c, c IR (n 1)

P(u1. u ') = P(u 'u

) = ln |u |+c, c IR (n = 1)

P(eu . u ') = eu + c, c IR

P(sen(u). u ') = cos(u)+ c, c IR

P(cos(u). u ') = sen(u)+ c, c IR

P( u 'cos2 (u)

) = tan(u)+ c, c IR

P( u 'sen2 (u)

) = cot g(u)+ c, c IR

a > 0a 1, P(au . u ') = au

lna+ c, c IR

Exemplos:

P(2x ) =1

ln 2

.2x + c, c IR

Tarefa 32


a) P x7 6x+8( )b) P(x4 + 2x+3)

c) (3 )P senx

d) ( 5)P x +

e) P(x3 6x2 + 4x)

f) P(12x4 + x3 + 2)

Recorda

As regras de derivao:

( u) ' ' cos sen u u=

(cos u) ' = usen(u)

(eu ) ' = eu

(au ) ' = u. au .lna


P[cos( x2

)]= P[cos(12x)]=

sen 12x

12

+ c = 2sen x2+ c, c IR

Primitivao por mudana de varivel

Por vezes, h necessidade de proceder a pequenas transformaes

algbricas de modo a identificar mais facilmente a derivada de alguma

funo. Esta tcnica consiste em substituir a varivel na funo a primitivar,

transformando-a em outra mais facilmente primitivvel.

Exemplos:

a) P(e5x )

Fazendo u = 5x u ' = 5 e primitivando em ordem a esta varivel,

temos: P(15eu ) = 1

5eu + c,c IR

Voltando varivel original,

P(e5x ) = 15e5x + c, c IR

Tarefa 33


a) P[.sen x( ) ]b) 2 1(2 )tP te +

c) P( x3 + x 2 x 3

x2)

d) P(x3 1x3)

e) 1( )P xx

+

f) P( x3 + 2xx2 1

)

g) P(e2x 2x 5)

h) [ (2 1) cos(3 2)]P sen x x+ + +


b) P[(x2 +3x)2 (2x+3)]

Fazendo u = x2 +3x e u ' = 2x+3 , temos que,

P(u2 ) = u3

3+ c, c IR ,

P = (x2 +3x)3

3+c, c IR

c) P( 5xx2 +1

)

Fazendo u = (x2 +1) e u ' = 2x , temos que,

P(duu

) = ln |u |+c, c IR

P( 5xx2 +1

) = 52Px (

2xx2 +1

) = ln(x2 +1)+ c, c IR

d) P(cos(5x))

Fazendo u = 5x u ' = 5 , temos:

15P(cosu) = senu+ c, c IR

Px (cos(5x)) =15sen(5x), c IR

e) P( x1 x2

)

Fazendo u =1 x2 u ' = 2x , temos:

P( x1 x2

) = P(x(1 x2 )12 )

P( 12u

12 ) = P( 1

2 u) = u + c, c IR

P( x1 x2

) = 1 x2 + c, c IR

f) P( 2+ ln xx

)

Fazendo u = 2+ ln x u ' = 1x

Tarefa 34

Usa a tcnica de primitivao

por mudana da varivel para

calcular:

a) 2(2 1 )P x x+

b) ( 1 )P x+

c) 2( cos )P sen x x

d) P( x +3)4 )

e) 5( )xP e

f) 2

( )xP x e

g) 2[ cos (3 )]P x x


23P(u

12 ) = u

32

32

+ c, c IR

P( 2+ ln xx

) = 23

(2+ ln x)32 + c, c IR

g) P(x3ex4

+ 2)

Fazendo u = ex4

u ' = 4x3ex4

P(x3ex4

+ 2) = P(x3ex4

)+ P(2) = 14ex

4

+ 2x+ c, c IR

h) P( x1+ x

)

Fazendo u = 1+ x u2 1= x 2uu ' =1

2P(u2 1u

.u.) = 2P(u2 ) P(1) = ...= 23

( 1+ x )3 1+ x + c, c IR

Primitivao por partes

Primitivando a regra da derivada do produto de duas funes, temos:

P( f .g) '(x) = P[ f (x).g(x)]+ P[ f (x).g(x)]

Ou seja, ( f .g)(x) = P[ f (x).g(x)]+ P[ f (x).g(x)] , que equivalente a:

P[ f (x).g(x)]= ( f .g)(x) P[ f (x).g(x)] .

Esta igualdade til quando se verifica que mais fcil obter uma primitiva

imediata para o produto ( f .g ')(x) do que para o produto ( f '.g)(x) .

Regra prtica

Para aplicar esta tcnica, escolhe-se uma das funes para primitivar

(por exemplo, f (x) ) e deriva-se a outra (funo g(x) ) e usa-se a regra P( f g) = f .g P( f .g) .

Exemplo:

Para calcular P(x ln x ) , tomamos f (x) = x e g(x) = ln x . Assim, uma

primitiva para P(x) a funo F(x) = x2

2 e a derivada g(x) = 1

x.

Recorda

A regra da derivada de um

produto de funes:

( . ) . . f g f g f g= +


Aplicando a regra da primitivao por partes, temos:

P(x ln x ) = x2

2ln x P( x

2

2. 1x

) = x2

2ln x 1

2P(x) = x

2

2ln x x

2

2+ c, c IR

Nota que a constante c IR s foi colocada no final para no atrapalhar os clculos intermedirios.

Exemplo:

Usar sucessivamente a tcnica da primitivao por partes para calcular

I = P(x2 cos x) .

Tomamos P (g(x ))=P (cos x ) g (x )=senx

f (x )=x2 f '(x )=2x

Primitivando por partes, obtemos:

I =()

x2senx P(2xsenx)

Tomamos P (g '(x ))=P (senx ) g (x )=cos x

f (x )=x f '(x )=dx

I =()

x2senx 2 xcos x P(cos x) .

Ou seja,

I = x2senx+ 2xcos x 2senx+ c, c IR

Noo de soma integral

A noo de soma integral assenta no mtodo da exausto atribudo a

Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeioado por Arquimedes

(287-212 a.C.). Este mtodo consiste em aproximaes sucessivas da

figura dada por meio de outras de reas e volumes conhecidos.

O caso mais conhecido o famoso problema da quadratura do crculo, isto

, o problema de obter um quadrado com a mesma rea de um crculo de

raio r dado.

Exemplo:

Uma primeira aproximao para a rea do crculo dada pela rea do

quadrado inscrito no crculo. Com o acrscimo de quatro tringulos

Tarefa 35

Usa a tcnica de primitivao

por partes para calcular:

a) (ln )P x

b) ( sin(2 ))P x x

c) ( )xP xe

d) P( ln xx2)

Referncia histrica

Arquimedes de Siracusa (287

212 aC), pela originalidade

de seus mtodos e pelo rigor

de suas demonstraes,

considerado um dos mais

ilustres matemticos da

antiguidade. Interessava-se

tanto pela matemtica pura

quanto pela aplicada e criou

dois ramos da fsica (esttica

e hidrodinmica). Tornou-se

famoso por suas invenes

mecnicas, algumas delas

utilizadas na defesa da cidade

de Siracusa.


issceles convenientes, obtemos o octgono regular inscrito no crculo,

cuja rea fornece uma aproximao melhor rea do crculo.

Do ponto de vista geomtrico, possvel aproximar a rea do crculo com

polgonos regulares inscritos de 2n lados, obtendo aproximaes cada vez

melhores para a rea do crculo.

Usando um procedimento similar a este, com polgonos inscritos e

circunscritos, Arquimedes calculou a rea do crculo de raio unitrio

mostrando que a rea A = (l-se pi) um valor real compreendido entre 3 +10/71 (por defeito) e 3 + 1/7 (por excesso).

Ou seja: 3,140485 < < 3,142857 (prximo com 6 casas decimais).

rea sob uma curva: Integral definida

O que permitiu a passagem do mtodo de exausto de Arquimedes para

o conceito de integral foi a noo que, em certos casos, a rea da regio

pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximao por reas

de retngulos.

Uma partio de um intervalo a,b da reta real um conjunto finito

de pontos xo ,x1,...,xn{ } em IR tal que: a = x0 < x1 < ... < xn = b .


Dado um intervalo a,b , podemos tomar uma partio muito particular, como aquela que toma pontos de modo que os sub intervalos da partio

tenham comprimentos iguais. Seja, I j = x j ,x j+1 o j-simo subintervalo da partio.

Definio de Cauchy- Riemann

Seja f : a,b IR limitada e tal que f (x) 0, x a,b .

Considere-se uma partio: a = x0 < x1 < ... < xn = b do intervalo a,b que contenha todos os n sub intervalos com o mesmo comprimento

x =b a( )n

.

Tomamos apenas os primeiros pontos da partio e fazemos uma

anlise geomtrica da curva no sub-intervalo x0 ,x1 (para os outros sub intervalos ocorre uma situao similar).

Ento, a rea sob a curva no intervalo x0 ,x1 pode ser obtida atravs

da rea S1 do retngulo cuja base mede x = x1 xo e a altura a linha

tracejada cuja medida dada por f c1( ) , onde c1 um ponto em x0 ,x1

Existe uma diferena residual entre as reas que ficam acima da curva e

dentro do retngulo e abaixo da curva e fora do retngulo.

Em cada sub intervalo I j = x j ,x j+1 desta partio tomamos um ponto

genrico qualquer c j e formamos n retngulos, todos com as bases de

medida x e alturas dadas por, f c1( ), f c2( ), ..., f cn( )

Referncia histrica

Os estudos do matemtico

francs Augustin Cauchy

(1789-1857) foram muito

importantes por terem

dado incio investigao

sobre os fundamentos do

Clculo Integral, levando ao

desenvolvimento da anlise

matemtica e da teoria das

funes.

O matemtico alemo

Bernhard Riemann (1826-

1866) realizou um estudo bem

mais aprofundado sobre a

integral e em sua homenagem

a integral estudada por ele

passou a receber o nome de

Integral de Riemann.


Se a partio tem n sub intervalos, seja Sn a soma das reas dos n retngulos.

Temos que:

Sn = f c1( )x+ f c2( )x+ ...,+ f cn( )x = f (c j )xj=1

n

Para todos os valores de n possvel formar uma sucesso numrica

{S1, S2, ..., Sn ,...} de todas as somas parciais que correspondem, cada uma

rea do retngulo de base x e altura f (c j ), j =1,2,3,...,n .

Se esta sucesso convergente para um nmero real bem definido,

obtemos uma estimativa para a rea da regio delimitada pelo grfico da

funo f e pelo eixo Ox , entre as retas x = a e x = b .

Neste caso,

f integrvel no intervalo a,b e o limite desta sequncia a soma integral das reas de todos os retngulos,

s = limn+

f (c j )xj=1

n

= f (x)dxa

b

A expresso limn+

f (c j )xj=1

n

o limite da sequncia das somas

parciais Sn , tambm chamadas de somas de Darboux-Riemann.

Se a funo f integrvel, a soma f (x)dxa

b

chamada

integral definida de Riemann, no intervalo a,b .


Exemplo:

Calcular 3.dx1

1

, c IR

Representando graficamente a funo integranda, definida por f (x) = 3 ,

(funo constante) verificamos que podemos obter a rea do retngulo

limitado pelas retas y = 3 , y = 0 , x = 1 e x =1 .

Sabemos que a rea A =|1 (1) |3= 6 .

Vamos calcular a rea, tendo em conta a definio de integral definida:

3 dx1

1

= limx j0

f (c j )j=1

n

x j

= limx0

3j=1

n

x j = 3limx0 x jj=1

n

= 3limx0(1 (1)) = 3(1+1) = 6

Ou seja, 3dx1

1

= 6 unidades de rea.

Observaes:

A integral definida de Riemann corresponde rea da figura

delimitada pelo grfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b .

A existncia e o valor do limite s deve ser independente da escolha

dos pontos c1, ..., cn nos sub intervalos de a,b .

O limite s da sequncia das somas Sn pode existir ou no.

Determinar condies necessrias e suficientes para que uma

funo seja integrvel (segundo Riemann) uma questo que requer

conceitos que so abordados num nvel mais avanado da anlise

matemtica e no so do mbito do programa.

Toda a funo contnua definida num intervalo limitado e fechado

integrvel, segundo Riemann.

Uma funo limitada definida num conjunto fechado e limitado

a,b integrvel, segundo Riemann, se o nmero de pontos de descontinuidade da funo neste intervalo for finito.

Se f no necessariamente positiva em a,b , a integral de f pode tambm ser definida da mesma forma, mas alguns cuidados

devem ser tomados quanto sua interpretao.

Nota

No caso geral, sendo

a,b,c IR

Se b > a ,c 0 , ento

cdxa

b

= c(b a)

Tarefa 36

Calcula as integrais definidas:

a) 2 dx1

3

b) ( 13

)dx1

2

c) x dx1

2

d) senx dx0

2


Exemplo:

Seja a seguinte situao:

Consideremos o ponto c a,b como um dos pontos da partio. Caso

exista a integral de f sobre a,b , verifica-se pelas propriedades das somas integrais que:

f (x) > 0,x a,c e f (x)dxa

c

> 0 , coincide com a rea (regio rosa)

f (x) < 0,x c,b e, ento f (x)dxc

b

< 0 , pelo que a rea (regio azul)

dada por f (x)dxc

b

= f (x)dxc

b

= f (x)dxb

c

, (c < b)

A rea delimitada pelo grfico de uma funo y = f (x) e pelo eixo Ox , no intervalo a,b dada por:

rea = f (x)dxa

b

= f (x)dxa

c

f (x)dxc

b

,

ou seja: rea = f (x)dxa

c

+ f (x)dxb

c

Exemplo:

Para calcular a rea da figura delimitada pela parbola y = x2 o eixo Ox e

a reta vertical x =1 , comeamos por dividir o intervalo 0,1 em n partes

iguais de comprimento x = 1n

.

Tomemos os pontos c j como os extremos esquerdos de cada j -simo intervalo, de forma que:


c1 = 0, c2 = x, c3 = 2 x, ..., cn = n1( )x

Para f (x) = x2 , tomamos o comprimento x = 1n

e escrevemos a soma

Sn = f c1( )1n

+ f c2( )1n

+ ... + f cn( )1n

na forma:

Sn = 02 + (1

n)2 + (2 1

n)2 + ...+ (n 1

n

1n

)2

1n=

Sn = 12 + 22 +32 + ...+ (n1)2

n3=

(n1).n.(2n1)6n3

Sn =

n3

3n2

2+n6

n3=1312n

+16n2

Quando n , a soma s = limn+

Sn =13

e, ento conclumos que a rea da

figura aproxima-se de s = x2 dx = 130

1 (unidades de rea).

Propriedades da integral definida de Riemann

Seja f (x)dxa

b

uma integral de Riemann.

A funo f designada por funo integranda e os nmeros reais a (limite inferior) e b (limite superior) por extremos ou limites de integrao.

O intervalo a,b designado por intervalo de integrao.

Considera-se ainda que:

f (x)dxa

a

= 0 , quando a = b

f (x)dxa

b

= f (x)dxb

a

, quando b < a

Nas propriedades seguintes, supondo que a funo integranda uma

funo contnua no intervalo de integrao, admitimos sem mostrar a

veracidade da seguinte proposio:

Toda a funo contnua num intervalo fechado a,b integrvel, segundo Riemann, nesse intervalo.

Considera que

i2i=1

n

=1+ 22 +32 + ...+ n2 =

= n(n+1)(2n+1)6


Propriedade 1:

Se f uma funo integrvel no intervalo a,b e k uma constante

qualquer, ento a funo kf integrvel em a,b e

k. f (x)dx = k. f (x)dxa

b

a

b

Propriedade 2:

Se f e g so duas funes integrveis no intervalo a,b , ento f + g integrvel no mesmo intervalo e alm disso:

( f + g)(x)dx = f (x)dx+ g(x)dxa

b

a

b

a

b

As duas proposies acima constituem as propriedades lineares da integral

definida, sendo que as demonstraes das mesmas so relativamente

simples, com o uso da definio de integral apresentada.

Propriedade 3:

Se f uma funo integrvel nos intervalos a,c e c,b sendo a < c < b

ento f integrvel em a,b e alm disso:

f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dxc

b

a

c

a

b

Propriedade 4:

Sendo m e M , respetivamente, o menor e o maior valor da funo

integrvel no intervalo a,b , ento:

m(b a) f (x)dx M (b a)a

b

Propriedade 5 (Teorema da mdia):

Seja f uma funo contnua num intervalo a,b . Pelo teorema de Bolzano-

Cauchy, existe c a,b tal que: f (x)dx = f (c).(b a)a

b

Prova: Se f uma funo contnua em a,b podemos falar no menor e no maior valor que a funo assume neste intervalo.

Sejam

m =min f x( ) : x a,b { } e M =max f x( ) : x a,b { } .


Existem x = x0 e x = x1 tal que m = f (x0 ) e M = f (x1) , os quais para

todo ci ,i =1,2,...,n , do intervalo a,b , temos:

m f ci( ) MDonde, realizando a soma relativa aos ndices de ci ,i =1,2,...,n obtemos:

mdxi=1

n

f (ci )i=1

n

dx Mdx1=1

n

Logo, m(b a) f (ci )i=1

n

dx M (b a)

Tomando o limite com n nas trs expresses das desigualdades,

sendo, limn

f (ci )dxi=1

n

= f (x)dxa

b

, temos:

m(b a) f (x)dxa

b

M (b a)

isto : m 1b a

f (x)dxa

b

M

Portanto, o termo intermdio das desigualdades est entre f (x0 ) e

f (x1) . Segue pelo Teorema de Bolzano-Cauchy que existe pelo menos

um c a,b tal que: f (c) =1b a

f (x)dxa

b

.

Teorema Fundamental do clculo integral

Seja f uma funo integrvel num intervalo a,b e seja F a

funo definida por F(x) = f (t)dta

x

.

Ento, em todos os pontos x ]a,b[ tem-se que:

F uma funo contnua;

Se f contnua, ento F uma funo derivvel e F '(x) = f (x) .

Prova: Considera um acrscimo h varivel x , poderemos escrever:

F(x+ h) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = F(x)+x

x+h

a

x

a

x+h

f (t)dtx

x+h


Pelo teorema da mdia, existe um valor c x,x+ h , tal que:

f (t)dt = f (c).hx

x+h

Ento, F(x+ h) = F(x)+ f (c).h .

Dividindo ambos os membros por h e fazendo h 0 , temos a definio de derivada da funo. Ou seja,

limh0

F(x+ h) F(x)h

= f (x) F '(x) = f (c) .

O clculo deste limite garante que c tende para x e pela continuidade da funo, f (c) tende para f (x) e F '(x) = f (x) .

Assim: F(x) = f (t)dta

x

uma primitiva para a funo f .

O teorema fundamental do clculo integral permite exprimir a integral

definida de uma funo em termos de uma sua funo primitiva.

Em consequncia deste teorema podemos obter uma frmula para o

clculo da integral definida, conhecida por Regra de Barrow:

Seja f uma funo contnua num intervalo a,b e F uma

primitiva de f , ento, f (x)dx = F(x) b= F(b) F(a)

a

b

.

Exemplo:

Usando a frmula de Barrow, calcular a rea da figura delimitada pela

parbola y = x2 , o eixo Ox e as retas verticais x =1 e x = 2 .

Sugesto: comea por fazer um esboo do grfico que ilustra a situao.

Referncia histrica

Isaac Barrow (1630 1677)

no seu estudo do movimento

com velocidades variadas,

fez uma abordagem muito

prxima do processo moderno

de diferenciao, mediante

o uso do chamado tringulo

diferencial. A derivada da

distncia era a velocidade e

a operao inversa, partindo

da velocidade, levava

distncia. Assim, Barrow foi

dos primeiros matemticos a

perceber que a diferenciao

e a integrao so operaes

inversas uma da outra.

Esta relao est na base do

Teorema Fundamental do

Clculo integral estabelecido

mais tarde por Newton e

Leibniz.

Tarefa 37

Usa a regra de Barrow para

calcular as seguintes integrais

definidas:

a) (2x+1)dx1

1

b) x3 dx1

3

c) x dx1

2

d) cos xdx0

e) sen2xdx0

4


Uma primitiva para f (x) = x2 a funo F(x) = x3

3, logo, pela frmula

de Barrow, temos que:

x2 dx1

2

= F(2) F(1) = x3

3

1

2

=8313=73

. A rea 73

unidades de rea.

Exemplo:

Calcular a rea da regio limitada pela parbola y = x2 e a reta de equao y = 2x+3 .

rea= (2x+3) x2 dx = (2x+3)dx x23

1

3

1

3

1

dx

(2x+3 x2 )dx =3

1

2 x2

2+3x x

3

3

3

1

=

= (3)2 +3 (2)(3)3

313+ 1

3=323

A rea 323

unidades de rea.

Exemplo:

Um estudo indica que, daqui t anos, a populao de um dado municpio crescer taxa de 117+ 200t pessoas por ano. Qual ser o aumento populacional deste municpio nos prximos 10 anos?

Seja P = P(t) a populao para cada t anos, ento P '(t) =117+ 200t a variao mdia da populao em t anos.

Seja P1(t) =117t +100t2 P1 '(t) = (117t +100t

2 ) ' =117+ 200t . Ento,

uma primitiva para P '(t) P1(t) =117t +100t2 , logo o aumento

populacional nos prximos 10 anos ser dado por:

P1(10) P1(0) = (117+ 200t)dt =111700

10

pessoas.

Aplicaes do clculo integral

A interpretao geomtrica da integral definida permite uma aplicao

imediata no clculo de reas planas, na determinao do volume de

alguns slidos geomtricos ou ainda, no clculo do comprimento de arcos

e curvas. Vejamos os seguintes exemplos:

Tarefa 38

Uma populao de

5000 indivduos tem

uma variao dada por,

VM 0,x = 2+6 x , (x em anos)

Determina qual a populao

daqui a 9 anos.


a) Clculo de reas de figuras planas

A rea limitada por uma curva y = f (x) e as retas de equao x = a e x = b e pelo eixo Ox dada por:

Se f (x) 0 em a,b ,

A = f (x)dxa

b

Se f (x) 0 em a,b

A = f (x)dxa

b

= f (x)dxb

a

A rea limitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x) e pelas retas de equao x = a e x = b dada por:

A = f (x)dxa

b

g(x)dxb

c

Exemplo:

Calcular a rea limitada pelo grfico da funo definida por f (x) = x3 x ,

o eixo Ox e as retas verticais x = 2 e x = 2 .

Como f (x) muda de sinal em x = 1, x = 0

matematica manual do aluno 12 ano timor leste

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