matematica - martin gardner - circo matematico

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  • Ttulo original: Mathematical Circus Traduccin publicada por acuerdo con Alfred A. Knopf, Inc. Traductor: Luis Bou Primera edicin en El Libro de Bolsillo: 1983 Segunda edicin en El Libro de Bolsillo: 1985 1968, 1969, 1970, 1971, 1979 by Martin Gardner Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1983, 1985 Calle Miln, 38; Telfono 200 00 45 ISBN. 84-206-1937-X Depsito legal: M. 4.344-1985 Papel fabricado por Sniace, S. A. Fotocomposicin: EFCA, S. A. Impreso en Closas-Orcoyen, S. L. Polgono Igarsa Paracuellos del Jarama (Madrid) Printed in Spain Escaneado por Dom

  • Para Donald E. Knoth, extraordinario matemtico, cientfico de computadores, escritor, msico, humorista, entusiasta de las matemticas recreativas y mucho ms.

  • Circo matemtico

    Martin Gardner

    Introduccin A veces estas reflexiones asombran todava la noche

    conturbada o el reposo a medioda. -T. S. Eliot

    Los captulos que componen este libro fueron antes publicados en la seccin mensual, fija, Juegos Matemticos de la revista Scientific American. Los matemticos me preguntan a veces, qu significa para m semejante titulo. No es fcil de explicar. Ya Ludwig Wingenstein utiliz la palabra juego para ejemplificar la nocin de palabras-familia, imposibles de definir unvocamente. La idea de juego conlleva muchos significados, enlazados entre s un poco a la manera en que lo estn los miembros de una familia humana, significados que han ido concatenndose al tiempo que evolucionaba el lenguaje. Podemos decir que los juegos matemticos o las matemticas recreativas son matemticas -no importa de qu tipo- cargadas de un fuerte componente ldico: pero poco aclaramos as, porque las ideas de juego, recreacin y ldico son aproximadamente sinnimas. En ltimo extremo nos encontramos con peticiones de principio, como al decir que la poesa es la obra de los poetas, o que la msica de jazz es lo que los msicos de jazz componen o interpretan. Las matemticas recreativas seran as la clase de matemticas que hace disfrutar a los recreativistas. Aunque no puedo definir los juegos matemticos ms rigurosamente que la poesa, s mantengo que, sean lo que fueren, las matemticas recreativas proporcionan el mejor camino para captar el inters de los jvenes durante la enseanza de la matemtica elemental. Un buen rompecabezas matemtico, una paradoja o un truco de apariencia mgica pueden excitar mucho ms la imaginacin de los nios que las aplicaciones prcticas, sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de las experiencias vividas por ellos. Y si el juego se elige y prepara con cuidado, puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemticas de importancia. No slo los nios, sino tambin los adultos pueden quedar arrobados por uno de estos rompecabezas sin utilidad previsible, y la historia de las matemticas est llena de trabajos sobre tales rompecabezas -tanto de profesionales como de aficionados- que han conducido hasta inesperados desarrollos. En su libro Mathematics: Queen and Servant of Science, Eric Temple Bell cuenta que los primeros trabajos sobre clasificacin y enumeracin de nudos apenas fueron considerados otra cosa que curiosidades y rompecabezas. La teora de nudos ha venido, con el tiempo, a convertirse en rama floreciente de la Topologa:

    As pues, los problemas de nudos resultaron ser mucho ms que meros rompecabezas. Y es frecuente que esto suceda en matemticas, en parte porque los matemticos replantean -no sin cierta perversidad- difciles problemas que confiaron (mas no supieron) resolver, dndoles la forma de acertijos y charadas de apariencia

  • trivial, pero en el fondo, con idntica estructura que el problema original. Esta jugarreta ha hecho picar e interesarse a personas ajenas a las matemticas, quienes, atemorizados ante la dificultad del problema, se haban inhibido o echado atrs. Y as, muchos aficionados han hecho a la matemtica ricas aportaciones sin sospecharlo. Tenemos un ejemplo en el problema de los quince escolares (1850) de T. P. Kirkman, que frecuentemente presentan los libros de matemticas recreativas.

    Tampoco faltan rompecabezas matemticos que -por ser en realidad triviales- no conducen a desarrollos interesantes. Empero, ambos tipos tienen algo en comn, que nadie ha expresado mejor que el distinguido matemtico Stanislaw Ulam en su autobiografa, Adventures of a Mathematician:

    Las matemticas, con sus grandiosas panormicas su apreciacin de la belleza y su percepcin de nuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menos evidente y saludable, afn en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El ms nimio problema, an siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puede ejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastrados es comenzar a resolverlos. Recuerdo que Mathematical Monthly publicaba de cuando en cuando unos problemas enviados por un matemtico francs, relativos a ciertas configuraciones banales de circunferencias, rectas y tringulos del plano. Belanglos (sin importancia), como dicen los alemanes; empero, con estas figuritas corrase el riesgo de quedar atrapado tan pronto se comenzaba a resolverlas, a pesar de saber perfectamente que no podran conducirnos a campos nuevos, ms generales ni ms estimulantes. Mucho contrasta esto con cuanto he dicho acerca de la historia del teorema de Fermat, que ha suscitado la creacin de nuevas y vastas concepciones algebraicas. La diferencia tal vez resida en que para resolver un pequeo problema puede bastar un esfuerzo moderado, mientras que el teorema de Fermat sigue sin estar resuelto, desafiando al mundo matemtico. No obstante, ambos tipos de curiosidades matemticas tienen una fuerte componente adictiva para el matemtico en potencia, cualidad que existe a todos los niveles de la matemtica, desde las bagatelas a los aspectos ms inspirados.

    Martin Gardner Marzo de 1979

  • Captulo 1

    Ilusiones pticas Las ilusiones pticas -figuras, objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos- han tenido y tienen todava importante papel en las bellas artes, en matemticas, en psicologa e incluso en filosofa. Los antiguos griegos deformaron las columnas del Partenn con el fin de que parecieran perfectamente rectas al ser vistas desde el suelo por la gente. En sus grandes obras murales, los pintores renacentistas solan distorsionar las figuras con objeto de que, miradas desde abajo, parecieran ser de proporciones normales. El inters de los matemticos por las ilusiones pticas se debe a que muchas de ellas guardan relacin con la perspectiva (una rama de la geometra proyectiva) y con otras cuestiones geomtricas. Los psiclogos estudian las ilusiones para saber cmo interpreta el cerebro los datos que le llegan a travs de los sentidos. Y los filsofos de diversas escuelas de realismo directo, que mantienen que nosotros percibimos objetos reales externos a nuestras mentes, tienen el problema de explicar cmo pueden entonces presentarse errores de percepcin. Consideradas en su aspecto menos serio, las ilusiones visuales son, sencillamente, divertidas. Disfrutamos sabindonos engaados por ellas, por motivos que no se diferencian mucho del placer de ser confundidos por un ilusionista. Las ilusiones nos recuerdan que el ancho mundo exterior no siempre es lo que parece. Nos fijaremos en este captulo en unas cuantas ilusiones pticas no demasiado conocidas, que exhalan todas ellas fuerte aroma matemtico. Los procesos de que el cerebro se vale para interpretar los datos visuales son tan complejos y poco conocidos, que no es milagro que en sus explicaciones los psiclogos mantengan opiniones divergentes, cuando no contradictorias, incluso para las ilusiones ms sencillas. Entre las ms clsicas estn el aumento aparente del sol, la luna y las constelaciones cuando estn cerca del horizonte. El difunto Edwin G. Boring, de la Universidad Harvard escribi numerosos artculos explicando que la flusin de la luna se debe fundamentalmente a la accin de alzar la mirada. Una opinin diferente, que se remonta hasta Ptolomeo, es defendida por Lloyd Kaufman e Irvin Rock en su artculo The Moon Illusion, en Scientific American de julio de 1962. Su teora, basada en el efecto de distancia aparente, es a su vez refutada por Frank Restle en un trabajo publicado en Science del 20 de febrero de 1970. La opinin actual es que casi todas las ilusiones pticas se originan en el cerebro, cuando ste va explorando su memoria en busca de lo que Richard L. Gregory denomina la apuesta ptima, es decir, la interpretacin que mejor explique los datos visuales a partir de las experiencias acumuladas por el cerebro. Tal punto de vista est sustentado por el reciente descubrimiento de que muchos animales, entre ellos aves y peces, sufren ilusiones que podran ser explicadas de esta forma y tambin, por trabajos de antropologa en culturas marcadamente diferentes de la nuestra. Los zules, por ejemplo, viven inmersos en un mundo de formas redondeadas. Las cabaas son redondas, y tambin lo son sus puertas. Al arar, sus surcos trazan lneas curvas. Raramente tienen ocasin de ver lneas o ngulos rectos, y su idioma no contiene ningn vocablo que signifique cuadrado. As nos lo dice John Updike en la segunda estrofa de su poema Zulus Live in Land Without a Square:

  • Cuando los zules sonreir no pueden, ceudos fingen enojos, para siempre tener curvas frente a los ojos. Y las distancias entre lugares y cosas se calculan a vuelo de mariposa...

    Diversos estudios recientes han mostrado que ciertas ilusiones relativas a rectas paralelas y esquinas en ngulo, figuras que con tanta frecuencia observamos en el mundo rectangular de las sociedades tecnolgicamente adelantadas, difcilmente son percibidas por los zules. Los filsofos John Locke y George Berkeley se preguntaron ambos si un ciego de nacimiento que sbitamente recuperase la vista sabra distinguir, sin tocarlos, cul de dos objetos era u