UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE NICARAGUARECINTO UNIVERSITARIO RUBN DAROFACULTAD DE EDUCACIN E IDIOMASDEPARTAMENTO DE MATEMTICAMATEMTICA MAYA:OPERACIONES FUNDAMENTALES EN LA ARITMTICA MAYAAUTORES:Bra. Silvia Mara Poveda PilarteBr. Jos David Alemn PrezTUTORMSc. Enrique Prez valosMANAGUA O6 DE OCTUBRE DE 2006 0n!"#ndice.......................................................................................................................................1Matemtica Maya:...................................................................................................................2Agradecimientos.....................................................................................................................3Dedicatoria..............................................................................................................................4Objetivos.................................................................................................................................5!sti"icaci#n............................................................................................................................$%ntrod!cci#n............................................................................................................................&'ivi(i)aci#n Maya.................................................................................................................10'a(endario Maya...............................................................................................................11*scrit!ra y Matemtica Maya...........................................................................................13Matemtica Maya..................................................................................................................14Or+genes De ,a -!meraci#n Maya..................................................................................14,os -.meros /agrados.....................................................................................................15-!mera(es Mayas..............................................................................................................15/istema de -!meraci#n Maya..........................................................................................1$'ambios De 0ase..............................................................................................................20'ambio De 0ase De( /istema Decima( A( /istema Maya............................................20'ambio De 0ase De /istema Maya A Decima(............................................................22O1eraciones Aritm2ticas *n *( /istema De -!meraci#n Maya...........................................23*( 'ero..............................................................................................................................24Adici#n 'on -!meraci#n Maya.......................................................................................2$/!stracci#n *n *( /istema 3igesima(...............................................................................30M!(ti1(icaci#n *n *( /istema De -!meraci#n Maya.......................................................33Divisi#n *n *( /istema Maya...........................................................................................41'onc(!siones.........................................................................................................................444ecomendaciones..................................................................................................................454e"erencias............................................................................................................................4$Ane5os..................................................................................................................................4&Ane5o 1: *jercicios 6ro1!estos........................................................................................47Ane5o 2: 'a(endario Maya...............................................................................................50Ane5o 3: 8(osario.............................................................................................................521Matemtica Maya:2AgradecimientosA Dios padre, por darnos la vida, la fuerza y la salud para poder llevar a cabonuestros proyectos.A nuestros padres por su ayuda, su apoyo incondicional y sus sabios consejos.A los maestros del departamento de matemtica, especialmente al MSc. EnriquePrez valos, nuestro tutor, quien nos motiv a realizar esta investigacin y a laprofesora, MS". Mara Jos Lpez, quien nos ayudara a mejorar la redaccin denuestro trabajo.A los coordinadores de la ! "ornada #niversitaria de Desarrollo $ient%fico porbrindarnos la oportunidad de participar en este evento e incentivar en losestudiantes el esp%ritu investigativo.A los esposos Merlyn &ilva y 'illiam (rrez por su paciencia y apoyo brindadodurante la edicin de este documento.A todas aquellas persona que de alguna manera )an influido en nuestraformacin.3DedicatoriaDedicamos el presente trabajo a Dios y a nuestros padres porque en conjunto nosdieron el privilegio de e*istir y )an guiado nuestros pasos por el camino del bien.Adems, dedicamos este trabajo a todas aquellas personas que gustan de lasmatemticas y desean conocer algunas )uellas importantes que nuestros abuelosamericanos )an asentado en ella +la matemtica,.4-bjetivosG#n#$%&: Analizaralgunos rasgos importantes de la civilizacin maya principalmenteen cuanto a los conceptos y prcticas generales que plasmaron en lamatemtica.E'(#")*!"+': .dentificar el tipo de sistema de numeracin empleado por los mayas. &e/alar las reglas para la escritura de los n0meros mayas y los s%mbolosque 1stos +los mayas, usaban para representarlos. 2stablecerunalgoritmoparaconvertirunn0mero, dadoenel sistemadenumeracin maya, al sistema decimal +cambio de base, y viceversa. Determinar los algoritmos para efectuar las operaciones fundamentales+suma, resta, multiplicacin y divisin, de la aritm1tica en el sistema denumeracin maya, a trav1s de algunos ejemplos. 3roporcionar algunas alternativas que contribuyan al estudio del sistema denumeracin utilizado por los mayas.5"ustificacin4as contribucionesquedistintascivilizaciones )andejadoal desarrollodela)umanidad son muc)as y en distintas disciplinas, principalmente en el rea de lamatemtica. 3or otro lado, investigaciones realizadas apuntan que el desarrollo dela )istoria de los conceptos de la ciencia contribuye en la ense/anza y elaprendizaje de los mismos.Muc)os )an asumido la misin de recopilar, de modo general, los aportes de lasdiversasculturas+egipcia, babilnica, griega, etc., ydetallarcmolosdistintosconceptos )an evolucionado con el paso del tiempo, pero )an olvidado el trabajorealizado por las culturas americanas, especialmente la de los M%,%'.3or lo e*presado anteriormente nos propusimos y nos empe/amos en realizar lapresenterecopilacin+investigacin,paratenerunciertoconocimientosobrelacultura de la civilizacin maya, especialmente en cuanto a sus conceptosmatemticos, para ver la manera de mejorar la ense/anza y el aprendizaje de lossistemas de numeracin en el nivelcorrespondiente y lo llamativo que resulta elque )acer matemtico de esta cultura.$.ntroduccin2l que)acer Matemtico, o bien, la matemtica misma, queda muy limitado si se ledefine, como en el pasado, como la ciencia del nmero y la magnitud ya que1sta, llamada por muc)os $#!n% # &%' "!#n"!%' comprende una amplia y ricatarea cuya ejecucin )a dejado diversos resultados en todos los aspectos de lavida del ser )umano.&onmuc)oslosbeneficiosquelasdistintascivilizaciones)anbrindadoala)umanidad y mediante sus aportes se )a logrado ir construyendo esta ciencia +lamatemtica,lacual,estamosseguros, tienemuc)oquedarenel futuro.(alesaportes los encontramos registrados en distintas fuentes y de diversas maneras, lacual algunos escritores )an tratado de recopilarlas en los libros de 5istoria de lasMatemticas, noobstante, demaneraintuitivapodemosafirmar quemuc)ayvaliosa informacin que por alguna u otra razn no )a sido posible plasmarlas entales te*tos.#n ejemplo claro de lo anterior es la carencia de informacin acerca de los aportesmatemticos ofrecidos por algunas civilizaciones precolombinas de Am1rica. 2ntreellas nosencontramos a laC!-!&!.%"!/n M%,%la cualsus or%genes datanentorno al a/o 6788 antes de $risto y que sobrevivi a la conquista, a la colonia yque )ay indicios de su e*istencia en la actualidad. 2sta cultura tuvo desarrollomuyimportante en las ciencias y las artes que fueron de suma importancia. 3ero endonde se desarroll notablemente fue en el campo astronmico y eran muc)o mse*actos que los de los europeos en el momento de la invasin. 9o podemos dejarde mencionar su contribucin a las matemticas, que es precisamente el objeto denuestro trabajo. Mostramos en forma breve, algunos rasgos importantes de esta civilizacin comopor ejemplo: suaportealaastronom%a, invencindel calendariomaya y laescritura que utilizaban, as% tambi1n, algo acerca de sus cdices.&2s as% que el presente te*to contiene temas de suma importancia +el origen de losn0meros mayas, los n0meros sagrados, los n0meros ordinalesy cardinales y porsupuesto operaciones bsicas mayas: suma, resta, multiplicacin y divisin, queservir de apoyo y de anlisis, como tambi1n para promover en el estudiante lainquietud de la investigacin en especial para aquellos que gustan de esta cienciay por qu1 no a maestros de matemticas de distintos niveles: primario, secundarioy universitario.2l presente trabajo consiste principalmente en presentar el sistema de numeracincreadopor losmayas, as% como, lasoperacionesfundamentales: sumaresta,multiplicacin y divisin, dando a este 0ltimo aspecto mayor amplitud.3or 0ltimo, en los ane*os, plantearemos una serie de ejercicios con el propsitoque ellector pruebe sugrado deasimilacin conla temtica abordadaen estedocumento y las )abilidades y destrezas para efectuar las operacioneselementales de la aritm1tica maya. Adems, incluiremos un mapa que nosse/alarlaubicacingeogrficadeestacultura, as% comoalgunasfigurasdefragmentos de los cdices mayas.2speramosqueel paseopor laspginasdeestedocumentoseademuc)oagrado y sobre todo de muc)o provec)o para todos.7DESARROO9$ivilizacin Maya4a cultura Maya estuvo viva durante miles de a/os antes de la conquistaespa/ola, durante la conquista espa/ola, durante la colonia, despu1s de la coloniayestvivaa)oramismo. Actualmentee*istenmillonesdemayas, derazaycultura, en :uatemala y parte de M1*ico. 4a mayor%a de ellos )an conservado losaspectoscotidianosdelaculturaMaya, otrostambi1nel idiomaya0notroslatotalidad de la cultura general maya. Durante los siglos !. y !.. conquistadores,frailesdelasrdenesmendicantes, funcionariosdela$oronayviajerosdelmundo occidental dieron las primeras visiones de las culturas americanas. 4a cultura Maya forma parte del contenido de los libros de Diego de 4anda, Diego4pez de $ogolludo, ;rancisco imenez, ood, Desir1$)arnay, AlfredMaudslaydanaconocer lasgrandes construcciones, los espacios naturales y una gente del todo e*tra/a paralos europeos y norteamericanos que se sintieron atra%dos por estas culturas.Desde muc)o tiempo atrs, los mayas sab%an de la llegada de los conquistadoresespa/oles, )ec)o consignado en sus profec%as como el comienzo de una era deoscuridad que durar%a apro*imadamente 788 a/os. 3or estarazn, variosdecenios antes delaconquistacomenzaronaprepararseparapreservar suasombrosa cultura. Ancianos sabios, depositarios de losconocimientos msprofundos, setrasladaronconpeque/ascomunidadesasitiosapartados, enloprofundo de la selva y en lo alto de las monta/as, llevando consigo los profundos yamplios conocimientos de la cultura maya para ser preservados en la tradicin deestas apartadas comunidades.10A diferencia de la cultura m1*ica +o azteca, y la inca, la civilizacin maya no logrlaunidadmilitar ypol%ticaperos% consiguiundesarrollocultural ycient%ficonotable.2n el terreno cultural, los mayas elaboraron una cosmovisin de alta sofisticacindentro de un marco religioso polite%sta. Asimismo, la culturamayaprodujo unaarquitecturadegrandesproporcionesdelaqueseconservanlasruinasentreotras de 3alenque, #*mal, Mayapn, $opn, (i?al, #a*act0n, @uirigu, #1"%"!/n'#"1n%$!%9D1cimaedicinYed. esZpara9icaragua. (rillas, M1*ico

Dado que fue imposible encontrar suficiente informacin acerca del tema en libros de te*to, nuestra principal )erramienta de informacin fue el .nternet.4$Ane*os4&An#?+ 6: E:#$"!"!+' P$+(1#'0+'I9 $ambiedelabasedecimal abasedesistemamayacadaunodelossiguientes n0meros.a. H7b. BD7c. 7ED6Bd. HF7He. 7GBDDCf. 6FFB7g. F). H77GDi. G7DII9 $adan0merodadoenel sistemadebaseF8, e*pr1seloenel sistemadecimal.a. FBb. H7c. H7Gd. 6FBe. 6HFEf. 6888888g. H7DED). H7GGHi. 6F47III9=ealice las operaciones indicadas con los siguientes n0meros utilizando losreticuladosocuadr%culasquemostramosenlosejemplos+lascantidadesestn dadas en el sistema de numeracin maya,.a. HF ms GBb. 6F ms FBc. H7D menos BG7d. 6GI HI H menos HI 6FI HIe. Multiplicar E8por FI por BI por 7I por 68. +&igael procesoqueaplicamos en ejemplo,f. Multiplicar B7 por F8 +Aplique el algoritmo propuesto,g. Dividir 6F entre F). Dividir H7G entre 68 IV9 2fect0e las operaciones que se indican y escriba el resultado en el sistemadecimala, c,b, d,49An#?+ 2: C%n%$!+ M%,%4ascivilizacionesantiguasdeMesoAm1ricadesarrollaroncalendariosescritosprecisos y de estos el calendario de los mayas es el ms sofisticado. ;ue el centrode su vida y su mayor logro cultural. &u precisin deriva del )ec)o de que se basaenunacuenta continuaeininterrumpidade losd%as+llamados(inenmaya, apartir de und%a ceroinicial. A lo largode la )istoria los pueblos)ansentido lanecesidad de contar con un punto fijo donde iniciar sus clculos del tiempo. $oneste fin, generalmente se )a determinado el punto inicial o bien usando un evento)istrico +el nacimiento de 9uestro &e/or "esucristo, o por un evento )ipot1tico +lafec)a de la creacin del mundo,. 4os mayas tambi1n descubrieron la necesidad detal fec)a y as%, probablemente usando un evento astronmico significativo,ubicaron ese d%a inicial el 6B de agosto de B66H a.$.2l conocimiento ancestral del calendario guiaba la e*istencia de los mayas a partirdelmomento de su nacimiento y era muy poco lo que escapaba a la influenciacalendrica. &abemos que los mayas llevaban varias cuentas calendricasindependientesdelos(inqueestabansincronizadas,siendolasdeFG8yBG7d%as las ms importantes. 4as cuentas mayas de los d%as se escriben combinandon0meros con glifos.EL CALENDARIO DE 260 DIAS - TZOLKIN2l calendario)zol*indeFG8d%asesel msusadoporlospueblosdel mundomaya. 4o usaban para regir los tiempos de su que)acer agr%cola, su ceremonialreligiosoysuscostumbresfamiliares, pueslavidadel )ombremaya estabapredestinada por el d%a del )zol*in que correspond%a a la fec)a de su nacimiento.2stacuentaconstadelosn0merosdel 6al 6ByF8nombresparalosd%asrepresentados asimismopor glifos individuales. Alllegaraldecimocuarto d%a, eln0mero del d%a regresa al 6 continuando la sucesin del 6 al 6B una y otra vez. 2ld%aF6serepitelasucesindelosnombresdelosd%asyas% sucesivamente.Ambos ciclos contin0an de esta manera )asta los FG8 d%as sin que se repita lacombinacin de n0mero y nombre pues FG8 es el m%nimo com0n m0ltiplo de 6B y50F8. Despu1s el ciclo de FG8 d%as a su vez se repite. 4os glifos y los nombres de los(in o d%as son: EL CALENDARIO DE 365 DIAS - HAAB2l calendario llamado +aa$ se basa en el recorrido anual de la (ierra alrededor del&ol en BG7 d%as. 4os mayas dividieron el a/o de BG7 d%as en 6D MmesesM llamados,inalde F8 d%as cada uno y 7 d%as sobrantes que se les denominaba,aye$.$adad%aseescribeusandounn0merodel 8al 6Cyunnombredel,inalrepresentado por unglifo, con lae*cepcinde los d%as del,aye$queseacompa/an de n0meros del8 alH. 4os glifos y nombres de los ,inalo mesesmayas son:51EL CICLO DE 18,980 DIAS - LA RUEDA CALENDARICA4acombinacindeloscalendariosdeFG8yBG7d%ascreaunciclomayor de6D,CD8 d%as +el m%nimo com0n m0ltiplo de FG8 y BG7,, a esta combinacin se le )allamado la =ueda $alendrica. &us cuatro elementos +numeralAglifo (in y numeralAglifo,inal, juntos solo se repiten cada 6D,CD8 d%as. #na gran cantidad demonumentos mayas solamente registran la fec)a de la =ueda $alendrica. Aqu%sevenloscuatroelementosdela=ueda$alendricaparael ,uinalmayallamado Popque corresponde a las fec)as del E al FG de abril del a/o F888 y elprimer d%a del siguiente ,inal maya llamado -o.Anexo 3: GlosarioC!*$%' + G1%$!'2+' @%&4%$!'2+'A:&on los signos que se emplean pararepresentar los n0meros.S!'0#2% # n12#$%"!/n:2s un conjunto de reglas que sirven para e*presar yescribir los n0meros.B%'# # 1n '!'0#2% # n12#$%"!/n: 2s el n0mero de unidades de un orden queforman una unidad del orden inmediato superior. 2n el sistema maya +vigesimal,F8 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.B%'# "+25nB: 4a base de todos los sistemas se escriben del mismo modo: 68.R#4&% (%$% "+n-#$0!$ #& '!'0#2% #"!2%& % "1%&C1!#$ +0$+ '!'0#2%: &e divideel n0mero dado en el sistema decimal entre el n0mero que corresponde al de la52base del nuevo n0mero, )asta llegar a un cociente menor que el divisor. 2l nuevon0mero se forma escribiendo de izquierda a derec)a el 0ltimo cociente y todos losresiduos colocados a su derec)a, de uno en uno, aunque sean ceros.R#4&% (%$% "+n-#$0!$ 1n n52#$+%+ #n "1%&C1!#$ '!'0#2% %& '!'0#2%#"!2%&:&e multiplicalaprimeracifradelaizquierdadel n0merodado, porlabase de 1ste y se suma con este producto la cifra siguiente. 2l resultado de estasuma se multiplica por la base y a este producto se le suma la tercera cifra y as%sucesivamente )asta )aber sumado la 0ltima cifra del n0mero.S!'0#2% (+'!"!+n%&:&e llama sistema posicional a aquellos sistemas denumeracin en que los s%mbolos que representan un n0mero, deben ser escritosen un orden que es inalterable. &i el orden de escritura se cambia, el n0mero sealtera.Nota:Algunas imgenes fueron eliminadas por ocupar muchoespacio en disco.53