APOSTILA DE MATEMTICA PARAESCRITURRIO DO BANCO DO BRASILEncontre o material de estudo para seu concurso preferido emwww.baixebr.orgContedo: 1. Nmeros inteiros, racionais e reais; problemas de contagem 2. Sistema legal de medidas 3. Razes e propores; diviso proporcional; regras de trs simples e compostas; porcentagens 4. Equaes e inequaes de 1 e 2 graus; sistemas lineares 5. Funes; grficos 6. Seqncias numricas 7. Funes exponenciais e logartimicas 8. Noes de probabilidade e estatstica 9. Juros simples e compostos: capitalizao e descontos 10. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente 11. Rendas uniformes e variveis 12. Planos de amortizao de emprstimos e financiamentos 13. Clculo financeiro: custo real efetivo de operaes de financiamento, emprstimo e investimento 14. Avaliao de alternativas de investimento 15. Taxas de retornoNMEROS INTEIROS - OPERAES E PROPRIEDADES Neste captulo ser feita uma reviso dos aspectos mais importantes sobre as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso com nmeros inteiros. ADIO Os termos da adio so chamados parcelas e o resultado da operao de adio denominado soma ou total. 1 parcela + 2 parcela = soma ou total A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adio: a+b=b+a O zero elemento neutro da adio: 0+a=a+0=a SUBTRAO O primeiro termo de uma subtrao chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operao de subtrao denominado resto ou diferena. minuendo - subtraendo = resto ou diferena A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtrao: a - b b - a (sempre que a b) Se adicionarmos uma constante k ao minuendo , o resto ser adicionado de k. Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto ser subtrado de k. A subtrao a operao inversa da adio: M-S = R R+S = M A soma do minuendo com o subtraendo e o resto sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R=2 x M Valor absoluto O valor absoluto de um nmero inteiro indica a distncia deste nmero at o zero quando consideramos a representao dele na reta numrica. Ateno: O valor absoluto de um nmero nunca negativo, pois representa uma distncia. A representao do valor absoluto de um nmero n I n I. (L-se "valor absoluto de n" ou "mdulo de n".) Nmeros simtricos Dois nmeros a e b so ditos simtricos ou opostos quando: a+b=0 Exemplos: -3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0. O oposto de 5 -5. O simtrico de 6 -6. O oposto de zero o prprio zero.Dois nmeros simtricos sempre tm o mesmo mdulo. Exemplo: I-3I=3 e I3I=31Operaes com nmeros inteiros (Z) Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmeros inteiros sempre resulta tambm um nmero inteiro. Dizemos ento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z fechado para qualquer uma destas trs operaes. As divises, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tm resultado inteiro. Assim,dizemos que estas trs operaes no esto operaes. Z no fechado para qualquer uma destas trs bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Adies e subtraes com nmeros inteiros Existe um processo que simplifica o clculo de adies e subtraes com nmeros inteiros. Observe os exemplos seguintes:Exemplo1 :Calcular o valor da seguinte expresso: 10 -7-9+15 -3+4 Soluo: Faremos duas somas separadas - uma s com os nmeros positivos: 10+ 15+4=+29 - outra s com os nmeros negativos: (-7)+(-9)+(-3)= -19 Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados. +29 -19=+10 Ateno! preciso dar sempre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto!Exemplo2 :Calcular o valor da seguinte expresso: -10+4 -7 8 +3 -2 1 passo: Achar os totais (+) e (-): (+): +4 + 3 = +7 (-): -10 -7 -8 -2= -27 2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo: -27+7=-20 MULTIPLICAO Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado da operao de multiplicao denominado produto. 1 fator x 2 fator = produto O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador . A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao: axb=bxa O nmero 1 elemento neutro da multiplicao: 1xa=ax1=a Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto ser adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c (a + k)x b = c+(k x b) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto ser multiplicado por k. a x b = c (a x k)x b = k x c Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adio ou subtrao qualquer: a x(b c) = (a x b) (a x c)2DIVISO INTEIRA Na diviso inteira de N por D 0, existir um nico par de inteiros, Q e R, tais que: Q x D + R = N e 0 = R < IDI (onde IDI o valor absoluto de D) A segunda condio significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro nmeros envolvidos na diviso inteira so assim denominados: N o dividendo; D o divisor (sempre diferente de zero); Q o quociente; R o resto (nunca negativo). Exemplos: 1) Na diviso inteira de 60 por 7 o dividendo 60, o divisor 7, o quociente 8 e o resto 4. 8 x 7 + 4= 60 e 0 = 4 < I7I 2) Na diviso inteira de -60 por 7 o dividendo -60, o divisor 7, o quociente -9 e o resto 3. -9 x 7 + 3= -60 e 0 = 3 < I7I Quando ocorrer R = 0 na diviso de N por D, teremos Q x D = N e diremos que a diviso exata indicando-a como N D = Q. Quando a diviso de N por D for exata diremos que N divisvel por D e D divisor de N ou, equivalentemente, que N mltiplo de D e D fator de N. O zero divisvel por qualquer nmero no nulo: D 0 0 D = 0. Todo nmero inteiro divisvel por 1: N, N 1 = N. Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma diviso por uma constante k 0, o quociente (Q) no ser alterado mas o resto (R) ficar multiplicado por k, se R x k < D, ou ser igual ao resto da diviso de R x k por D, se R x k = D. Multiplicaes e divises com nmeros inteiros Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros preciso observar os sinais dos dois termos da operao: Exemplos: SINAIS IGUAIS (+) SINAIS OPOSTOS (-)(+5) x (+2) = +10 (+5) x (-2) = -10 (-5) x (-2) = +10 (-5) x (+2) = -10 (+8) - (+2) = +4 (+8) - (-2) = -4 (-8) - (-2) = +4 (-8) - (+2) = -4 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrer com o total? Soluo: Seja t o total da adio inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades: t+8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o to tal reduzido de 5 unidades: t+8-5 = t+3 Portanto o total ficar acrescido de 3 unidades. 2. Numa subtrao, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto igual a 264. Qual o valor do minuendo? Soluo: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtrao qualquer, sempre verdade que: m - s = r s + r =m (a soma de s com r nos d m)3Ao somarmos os trs termos da subtrao, m+s+r , observamos que a adio das duas ltimas parcelas, s + r , resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever: m+(s + r)= m + m =2m O total ser sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m+s+r=264 2m = 264 m =264 2= 132 Resp.: O minuendo ser 132. 3. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente 5 e o resto o maior possvel. Qual o dividendo? Soluo: Se o divisor 12, ento o maior resto possvel 11, pois o resto no pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) x (divisor) + (resto) n=5x12+11 n=60+11 n=71 O dividendo procurado 71. EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Numa adio com trs parcelas, o total era 58. Somando-se 13 primeira parcela, 21 segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual ser o novo total? 2. Numa subtrao a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do minuendo? 3. O produto de dois nmeros 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais so os dois fatores? 4. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual o valor do dividendo? 5. Certo prmio ser distribudo entre trs vendedores de modo que o primeiro receber R$ 325,00; o segundo receber R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receber R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prmio repartido entre os trs vendedores? 6. Um dicionrio tem 950 pginas; cada pgina dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em mdia, 35 letras. Quantas letras h nesse dicionrio? 7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por ms. Quanto ela economizar em um ano se ela trabalhar, em mdia, 23 dias por ms? 8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica? 9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em trs montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina? 10. Marta, Marisa e Yara tm, juntas, R$ 275,00. Marisa tem R$ 15,00 mais do que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das trs meninas? 11. Do salrio de R$ 3.302,00, Seu Jos transferiu uma parte para uma conta de poupana. J a caminho de casa, Seu Jos considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salrio em conta corrente. De quanto foi o depsito feito? 12. Renato e Flvia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flvia, eles ficariam com o mesmo nmero de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?NMEROS RACIONAIS OPERAES E PROPRIEDADES4CONCEITODados dois nmeros inteiros a e b, com b 0, denominamos nmero racional a todo nmero xb ,= que talx x b=a.a() b x b = a com a Z e b a REPRESENTAO FRACIONRIAx= a. na forma bZ*Denominamos representao fracionria ou simplesmente frao expresso de um nmero racional aREPRESENTAO DECIMAL DE UM NMERO RACIONAL A representao decimal de um nmero racional poder resultar em um do trs casos seguintes: Inteiro Neste caso, a frao correspondente ao inteiro denominada frao aparente. 14 = -9 0 =7 =-1 2 9 13 Expanso Decimal Finita Neste caso, h sempre uma quantidade finita de algarismos na representao decimal. -3 = - 1,5 = 2 0Expanso Decimal Infinita Peridica Esta representao tambm conhecida como dzima peridica pois, nela, sempre ocorre alguma seqncia finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqncia denominada perodo. 1666 3 = 0,333... 1=4= 1,25 58 30 375 ,DETERMINAO DE UMA FRAO GERATRIZ Todos os nmeros com expanso decimal finita ou infinita e peridica sempre so nmeros racionais. Isto significa que sempre existem fraes capazes de represent-los. Estas fraes so denominadas fraes geratrizes. Como determinar uma frao geratriz 1 Caso - Nmeros com expanso decimal finita A quantidade de algarismos depois da vrgula dar o nmero de "zeros" do denominador: 8,16 = 52,4 =6 10,...100 816 5241035 = 1000 1000 0035 2 Caso - Dzimas Peridicas 0, 035 = Seja a,bc...nppp... uma dzima peridica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a , b , c...n , no fazem parte do perodo p. abc...np - ab...n A frao 0 ... 99...900 uma geratriz da dzima peridica a,bc...nppp... se: ser 1- o nmero de `noves' no denominador for igual quantidade de algarismos do perodo; 2- houver um `zero' no denominador para cada algarismo aperidico (bc...n)aps a vrgula.5Exemplo:perodo: 32 (dois "noves" no denominador) atraso de 1 casa (1 "zero" no denominador) 5832 -.58 5 774 parte no-peridica: 58 frao geratriz: 990 = 990 perodo: 4 (1 "nove" no denominador) atraso de duas casas (2 "ze ros") parte no-peridica: 073 frao geratriz: 0734 -=073 734 - 73 661 900 = 900 900 perodo: 034 (trs "noves" no denominador) no houve atraso do perodo (no haver "zeros" no denominador) parte no-peridica: 6 6034 - 6 frao geratriz: 999 perodo: 52 (dois "noves") no houve atraso do perodo (no haver "zeros" no denominador) parte no-peridica: 0 052 -= 0 52 frao geratriz: 99 99 NMEROS MISTOS Dados trs nmeros inteiros n, a, e b, com n 0 e 0 < a < b, denomina-se nmero misto representao de um nmero racional escrito sob a forma n b=n +Se numa diviso inteira no exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, ento, pode-se representar o seu resultado por um nmero misto. Exemplo: A diviso inteira de 30 por 7 no exata, dando quociente 4 e resto 2. Ento, pode-se escrever: 30 = 47 7 ADIO E SUBTRAO DE FRAES Com Denominadores Iguais Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores. 3= 5 7 3 +5 - 7 1 + = 20 20 20 20 20 Com Denominadores Diferentes Substituem-se as fraes dadas por outras, equivalentes, cujo denominador ser o MMC dos denominadores dados:ab a246 1 1 23+=2 9 6 2+9- 6 5 + = = 12 12 12 12 12 3 6 10 + 3 - 6 7 6+ 4- 2= 12 + 12 - 12 = 12 = 12m. m. c (6, 4, ) 21 25 1 1 10MULTIPLICAO DE FRAES Para multiplicar duas ou mais fraes deve-se: 1) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 2) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.6DIVISO ENVOLVENDO FRAES Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dos nmeros envolvidos uma frao, devemos multiplicar o primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).po 3 7 = 3x 4 = 3x4 = 12 si mp li f. r 2 6 =1 6 2 2 7 = x 14 1x5 = 5 7 1 3 5 3 4= 3x4 12 1 4 1 5 2 x5 =10 2 5= 1x 3= 1x3 3 1 3 2 5 1x1 1 5 = 6x 5= = 6 6x5 30 1 1c. 5x 4x 6 = 5x4x6 = 120 si mp l i fipo r 6 2x 2 x 1 = 1x2x7 = 14 si mp l i fipo r 2 3 c. 6 5 4 6x5x4 120 1 x 7 x = x x = 1x2x1 = 2 3 2 5 3 1 5 3x1x5 15 1 1 1 212x3x161 20 7 6042x7Ateno: No faa contas com dzimas peridicas. Troque todas as dzimas peridicas por fraes geratrizes antes de fazer qualquer conta. Exemplo: Calcular: 0,6 0 ,222... = ? 6 = 10 9 6 2 = x 2= 20 =2 ,7 10 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular os resultados das expresses abaixo: 2 a) 5 2 3 8+ b) 15 6 2 4 c) 5 3x 29 5413543d) 4 1 21Solues:18a)() 2 + 3 5 = 8 +3 + 2 5 = 1 2 5 4 1 2 + + 11 9 11+ 2 5+= 11+ = 10 10 10 1 2 +15b)+ 13 ++ 12 12 =1312 10 -6 5- 2 94 3(= 15) 2 +1+-6 4= 5 372 c)4 7x4 + = 15 = 1 + 15 =1 15 3x528 13 131 2x3+ 1 x = x 5= 3 5 33x 5= 4 7 4 4= 7d)2. Determinar a frao geratriz de 0,272727... . Soluo: 0,272727 = = ...2 1 4 1x = 3 + 4 2 7 14 1 4=2 4 1 si mpl i f.1x4+ 3 1 = 2p or 27 23. Quanto valem dois teros de 360? Soluo:99 = 99 9 27 2793 11Ento, dois teros de 360 so 240. 4. Se trs quartos de x valem 360, ento quanto vale x? Soluo:3de360 = 3x 360 = 2 22 x 360 = 240 34de x = 360 3 3 x = 4 x 3603x = 360 4 4 x 360 x= = 480 3Ento, x vale 480. 5. Determinar uma frao que corresponda a dois teros de quatro quintos. Soluo:3 de 5= 3x 5 = 3 x 5 2= 4 2 42x 48 15 8.Ento, uma frao correspondente ser 156. Cnthia gastou em compras trs quintos da quantia que levava e ainda lhe sobraram R$ 90,00. Quanto levava Cnthia, inicialmente? Soluo: O problema menciona quintos da quantia que Cnthia levava. Pode-se indicar a quantia inicial por 5x (pois 5x tem quintos exatos). (Inicial) gastos 5de 5x 3x 5x sobram :90,00 3 Assim, tem-se:in} } } g as to icial res to=5x - 3x = 90 2x = 90 x =458Como a quantia inicial foi representada por 5x, tem-se: 5x = 5 x 45 = 225,00 Cnthia levava, inicialmente, R$ 225,00. 7. Um rapaz separou 1/10 do que possua para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda, R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha? Soluo: Seja 10x a quantia inicial (pois tem dcimos e tem quintos exatos) 1 de10x = x 10 3 10x roupas : de10x = 6x 5 restante: 180,00 sapatos : } } 6as 8 s res to g 7 to 10x - x - 6x = 180 3x 180 x = 60in ici alPortanto, o valor inicial era: 10x = 10 x 60 = 600,00 reais O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00. 1 do volume e, em seguida, mais 21 litros. Restaram, ento 8. De um reservatrio, inicialmente cheio, retirou-se 4 5 2 do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatrio? Soluo: Seja 20x o volume do reservatrio (pois tem quartos e quintos exatos). 1 retirada : de 20x = 5x 20x=4 2 retirada : 21 litros 16tirad in icial re2 8 as } } 8x7resto : 5de 20x = 8x 20x - 5x - 21 =res toisolando os termos em "x" tem-se: 20x-5x-8x=21 7x=21 x=3 Como a capacidade do reservatrio foi representada por 20x, tem-se: 20x = 20 x 3 = 60 litros 9. Rogrio gastou 3 2 do que tinha e, em seguida, 4 1 do resto, ficando ainda com R$ 300,00. QuantoRogrio possua inicialmente?9Soluo: Seja 12x a quantia inicial de Rogrio: - de 12x 4 3 12x 4x 3x = 300,00 (resto) (-8x) (-x) 3x = 300 x = 100 Logo, a quantia inicial de Rogrio era: 12x = 12 x 100 = 1.200 reais Rogrio possua, inicialmente, R$ 1.200,00. 10. Um estojo custa 3 objeto? Soluo: Como o preo do estojo foi indicado para dois teros a mais que o preo da caneta, faremos: caneta: 3x estojo: 5x + 3de 3x = 3x + 2x 3x = Juntos eles valem R$ 16,00:cane ta1 - de 4x22 a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada2} } es to jo 3x + 5x = 16 8x = 16 x =2Ento: a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais 1 do total, a 11. Um pai distribui certo nmero de balas entre suas trs filhas de tal modo que a do meio recebe 3 mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas? Soluo: Seja o total de balas representado por 3x: a do meio: 3de 3x = x a mais velha: x +2 1 a mais nova: 25(total )3xJuntando todas as balas tem-se: 3x=x+x+2=2510isolando "x" na igualdade tem-se: 3x-x-x=2+25 x=27 Logo, o total de balas : 3x = 3 x 27 = 81 balas. EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Efetue as expresses abaixo. 3 a) 4 + 32 1-2 1 b) 2 3+ 2 5 4 5-2. Efetue as multiplicaes abaixo. 15 a) 16x 5 b) 1 3x 2 21 1123. Efetue as divises abaixo. 6 a) 7 b) 2 1 3214 3 14. Julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F). 107 ( ) 0,321321321...= 333 1 ( ) 0,00333 ...= 300 1.114 = ( ) 12,37777...= 45 90 55715. Quanto valem trs quintos de 1.500 ? 6. Se cinco oitavos de x so 350, ento, qual o valor de x? 7. Que frao restar de x se subtrairmos trs stimos do seu valor? 8. Se subtrairmos trs stimos do valor de x e, em seguida, retirarmos metade do restante, que frao restar de x ? 9. Determine o valor da expresso 6,666... x 0,6. 10. Determine o valor da expresso 0,5 0,16666... . 2 da altura de seu pai que correspondem a 3 4 da altura de seu irmo mais moo. Qual a 11. Um garoto possui 3 altura deste ltimo se a altura do pai 180 cm? 12. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez 5 3 do percurso. No segundo dia, andou 3 1 do restante.Quanto falta para completar a jornada se o percurso completo de 750 km? 13. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em trs partes, sendo a primeira igual tera parte e a segunda igual metade do total, ento a terceira parte ser de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz? 1 da idade de Benedito, Csar tem metade da idade de Antnio e Dilson tem tantos 14. A idade de Antnio 6 anos quantos Csar e Antnio juntos. Quais so as idades de cada um deles se a soma das quatro idades 54 anos?1115. A soma de trs nmeros 110. Determinar o maior deles sabendo que o segundo um tero do primeiro e 3 da soma dos dois primeiros. que o terceiro 8 16. Dividir R$ 270,00 em trs partes tais que a segunda seja um tero da primeira e a terceira seja igual soma de um duodcimo da primeira com um quarto da segunda. 1 do preo de custo se ela 17. Determine o preo de custo de uma mercadoria sabendo que haveria um lucro de 5 fosse vendida por R$ 60,00. 1 do que tinha em sua conta corrente. Em seguida, gastou 7 18. Um comerciante gastou 5 ainda com um saldo de R$ 2.000,00. Considerando que havia inicialmente na conta corrente 6 2 do restante ficando 5 do total que ocomerciante possua entre uma conta de poupana e a conta corrente, determine o valor que havia na conta de poupana. 19. Se adicionarmos a tera parte de um nmero sua metade o resultado obtido ser 3 unidades menor que o nmero inicial. Qual este nmero? 20. Mrcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da cala que usava. Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a stima parte do que havia no bolso direito restariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso? CONJUNTO DOS NMEROS REAIS O conjunto dos nmeros reais compreende todos os nmeros que permitam representao na forma decimal, peridica ou no peridica. Isto compreende todos os nmeros inteiros, todos os nmeros racionais e mais os nmeros com representao decimal no peridica. So exemplos de nmeros reais: 2 = 2,000... 1/5 = 0,2000... 4/9 = 0,444... = 3,141592653... 2 =1,414213... Nmeros Irracionais Alguns nmeros tm representao decimal infinita e aperidica no sendo, portanto, nmeros racionais. A estes nmeros denominamos nmeros irracionais. Nmeros Irracionais: tm representao decimal... ... infinita e ... aperidica. O conjunto dos nmeros irracionais usualmente representado por I. So exemplos de nmeros irracionais: = 3,14159265358979323846... e = 2,71828182846... 2 = 1,41421356237... A operao de radiciao produz, freqentemente, nmeros irracionais. A raiz de um nmero natural qualquer, ou resultar tambm nmero natural ou ser um nmero irracional. nm. natural nm. natural = ou nm. irracional 12 um nmero irracional3 10nExemplos : um nmeroirracional12Representao dos Nmeros por Pontos da Reta Podemos representar todos os nmeros reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numrica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o nmero zero.0RDepois, marcam-se os demais nmeros inteiros, mantendo sempre a mesma distncia entre dois inteiros consecutivos quaisquer, sendo: os positivos, direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita; e os negativos esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;Todos os demais nmeros reais no inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre dois nmeros inteiros. Observe, por exemplo, onde esto localizados os nmeros : - 2, 3/5 e - =-1,41421356237... 2 3/5 = 0,6 = 3,1415926535...Intervalos de Nmeros Reais comum designarmos por intervalo a qualquer subconjunto de R que corresponda a segmentos ou a semiretas ou a qualquer reunio entre segmentos ou semi-retas da reta dos nmeros reais. Exemplos:a) Representao Grfica: Notao de Conjuntos: R } - 5 = x 2 x { / =Notao de Intervalos: [-5; 2]b) Representao Grfica: Notao de Conjuntos: R } - 5 = x 2 x { / Notao de Intervalos: ]-5; + 8 [ Observe: Na notao de intervalos, o colchete que est do lado de - 8 ou de + 8 fica sempre voltado para fora.13RAZES E PROPORES Chama-se razo de dois nmeros, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razo entre os nmeros a e b pode ser dita "razo de a para b" e representada como:Onde a chamado antecedente enquanto b chamado conseqente da razo dada. Ao representar uma razo freqentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possvel, torn-los inteiros. Exemplos: A razo entre 0,25 e 2 :b aou a : b1) 2 = 4 2 8( para 8 4 11 1 1 1 5 12 () A razoentre e : 5 = 6 = 5 2 para 5 6 12 5 2 12 6 1 1 30 ( )0 ,25 = = 25 1 Proporo a expresso que indica uma igualdade entre duas ou mais razes. 6A proporo dA razo6 e : =5 1= 61 5130 para1c b a: b: c: d. Nesta a = pode ser lida como "aeest para extremos e os nmeros b e ceso os meios .como proporo, os nmeros a d so os b assim como c est para d' representada Em toda proporo o produto dos extremos igual ao produto dos meios. Quarta proporcional de trs nmeros dados a, b e c nesta ordem, o nmero x que completa com os outros trs uma proporo tal que:Exemplo:b x a=cDeterminar a quarta proporcional dos nmeros 3 , 4 e 6 nesta ordem. Soluo:Proporo contnua aquela que tem meios iguais. Exemplo: A proporo 9 : 6 : : 6 : 4 contnua pois tem os seus meios iguais a 6. Numa proporo contnua temos: O valor comum dos meios chamado mdia proporcional (ou mdia geomtrica ) dos extremos. Ex.: 4 a mdia proporcional entre 2 e 8, pois 2:4::4:8 O ltimo termo chamado terceira proporcional. Ex.: 5 a terceira proporcional dos nmeros 20 e 10, pois 20:10::10:54 = x 3x = 4 x 6 3=6x814Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs ou mais razes. Exemplo:Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1. Exemplo: 3 =10 ento dizemos que "3 est para 5 na razo inversa de 10 para 6" ou ento que "3/5 est x 1 5 6 na razo inversa de 10/6" ou ainda que "3/5 e 10/6 so razes inversas". Quando duas razes so inversas, qualquer uma delas forma uma proporo com o inverso da outra. Exemplo: 3/5 e 10/6 so razes inversas. Ento, 3/5 faz proporo com 6/10 (que o inverso de 10/6) enquanto 10/6 faz proporo com 5/3 (que o in verso de 3/5). EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Numa prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual a razo do nmero de questes certas para o de erradas? Resoluo: Das 50 questes, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco. Logo, o nmero de questes erradas : 50-35-5= 10 Assim, a razo do nmero de questes certas (35) para o de erradas (10) 2.4 = 6= 8 10 2=3 452. Calcular dois nmeros positivos na proporo de 2 para 5 sabendo que a diferena do maior para o menor 42. Resoluo: Sejam x o menor e y o maior dos nmeros procurados. A proporo nos mostra que x est para 2 assim como y est para 5. Ento, podemos dizer que: x tem 2 partes ....................... (x = 2p) enquanto y tem 5 partes ......... (y = 5p) Mas como a diferena y -x deve valer 42, teremos: 5p{- 2p = 42 {y x10 2ou 7 para 35 = 73p = 42p=42 3p = 14Agora que descobrimos que cada parte vale 14 (p = 14), podemos concluir que: o valor de x o valor de y x = 2p = 2 (14) y = 5p = 5 (14) = 28 70z 3. Na proporo mltipla36 ,5 = determinar os valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z = 112. Resoluo: A proporo mltipla nos mostra que: x tem 3 partes .......................... (x = 3p) enquanto y tem 5 partes.......... (y = 5p) e z tem 6 partes ..................... (z = 6p)x=y15Como a soma das trs partes vale 112, temos: 3p+5p +6p= 112 14p = 112 p = 112 14 p=8 Agora que descobrimos que cada parte vale 8, podemos concluir que: o valor de x o valor de y o valor de z x = 3p = 3 (8) 24 y = 5p = 5 (8) 40 z = 6p = 6 (8) 484. Sabendo que a est para b assim como 8 est para 5 e que 3a - 2b = 140, calcular a e b. Resoluo: Pela proporo apresentada, a tem 8 partes enquanto b tem 5 partes: a=8p e b=5p ento teremos: 3a = 3 x (8p) = 24p e 2b = 2 x (5p) = 10p portanto: 3a - 2b = 140 24p - 10p = 140 14p= 140 p= 10como p = 10 temos: a = 8p = 8 x 10 = 80 e b = 5p = 5 x 10 = 50 5. Dois nmeros positivos esto entre si assim como 3 est para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados igual a 100. Resoluo: Se os nmeros esto entre si na proporo de 3 para 4, ento um deles 3p e o outro 4p. Deste modo, a soma dos quadrados fica sendo: (3p)2 + (4p)2 = 100 9p2 + 16p2 = 100 25p2 = 100 p2 =4 p = 2 (pois os nmeros so positivos) Portanto, os dois nmeros so: 3p=3x2=6 e 4p=4x2=8 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Calcule a quarta proporcional dos nmeros dados: a) 2;5 e 10 b) 3;4 e 5 1 c) 4 3e 2 2. Calcule a terceira proporcional dos nmeros dados: a) 3 e 6 b) 4 e 12 1 c) 4 e 2 3. Calcule a mdia proporcional entre os nmeros dados: a) 3 e 12 b) 6 e 24 c) 128 2e1 ;111164. Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que a soma deles 48. 5. Determine dois nmeros na proporo de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades. 6. A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72. 7. A razo entre dois nmeros igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12 unidades. 8. Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do segundo resulta igual a 100. 9. Determine dois nmeros na proporo de 2 para 7 sabendo que o quntuplo do primeiro supera o segundo em 48 unidades. 10. Dois nmeros positivos encontram-se na proporo de 11 para 13. Determine-os sabendo que a soma de seus quadrados resulta igual a 29.000. 11. Dois nmeros negativos encontram-se na proporo de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do primeiro supera o quadrado do segundo em 360. 12. Dois nmeros inteiros encontram-se na proporo de 3 para 5. Determine-os sabendo que o produto deles igual a 60. 13. Encontre os trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7, sabendo que a soma dos dois menores igual a 132. 14. Encontre os trs nmeros proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferena entre o maior deles e o menor igual a 40. 15. Trs nmeros proporcionais a 5, 6 e 7 so tais que a diferena do maior para o menor supera em 7 unidades a diferena entre os dois maiores. Quais so estes nmeros? 16. Trs nmeros so tais que o primeiro est para o segundo assim como 2 est para 5 enquanto a razo do terceiro para o primeiro 7/2. Quais so estes nmeros, se a soma dos dois menores igual a 49? 17. Para usar certo tipo de tinta concentrada, necessrio dilu-Ia em gua na proporo de 3 : 2 (proporo de tinta concentrada para gua). Sabendo que oram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta sero obtidos aps a diluio na proporo recomendada? 18. Trs nmeros so proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quntuplo do primeiro, mais o triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles? 19. Dois nmeros esto entre si na razo inversa de 4 para 5. Determine-os sabendo que a soma deles 36. 20. A diferena entre dois nmeros 22. Encontre estes nmeros, sabendo que eles esto entre si na razo inversa de 5 para 7. DIVISO PROPORCIONAL Grandezas diretamente proporcionais Dada a sucesso de valores (a1, a2 , a 3, a4, ... ), dizemos que estes valores so diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucesso (b1, b2 , b 3, b 4, ...) quando forem iguais as razes entre cada valor de uma das sucesses e o valor correspondente da outra.O resultado constante das razes obtidas de duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais chamado de fator de proporcionalidade. Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, so diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 6 , 7 10 15 1 o fator de proporcionalidade respectivamente, pois as razes 30 , so todas iguais, sendo igual a 2 e 12 14 20 da primeira para a segunda.b = b = b = ..... 1 2 3 a a2 a 1 317Como se pode observar, as sucesses de nmeros diretamente proporcionais formam propores mltiplas (j vistas no captulo de razes e propores). Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicas estudadas no captulo sobre propores para resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais. Grandezas inversamente proporcionais Dada a sucesso de valores (a1, a2 , a3, a4, ... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores so inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucesso b1, b2, b3, b4 , ... ), todos tambm diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucesses e o valor correspondente da outra. Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais. Relao entre proporo inversa e proporo direta Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentes de zero. Se os nmeros de uma so inversamente proporcionais aos nmeros da outra, ento os nmeros de uma delas sero diretamente proporcionais aos inversos dos nmeros da outra. Esta relao nos permite trabalhar com sucesses de nmeros inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais. Diviso em portes proporcionais 1caso: Diviso em partes diretamente proporcionais Dividir um nmero N em partes diretamente proporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrar os nmeros A, B, C, ..., tais que A B C = ... = = a b c A + B + C + ... =N EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Dividir o nmero 72 em trs partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: A=3p, B=4p, C=5p e A+B+C=72 portanto: 3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6 valor de A 3p = 3 x 6 = 18 valor de B 4p = 4 x 6 = 24 valor de C 5p = 5 x 6 = 30 Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30. 2. Dividir o nmero 46 em partes diretamente proporcionais aos nmeros, .3e 24 Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos: 6, 8 9 e 12 12 12 Desprezar os denominadores (iguais) no afetar os resultados finais, pois a proporo ser mantida e ainda simplificar nossos clculos. Ento, poderemos dividir 46 em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9 (os numeradores). Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos: A=6p, B=8p, C=9p A+B+C=46 6p+8p+9p = 46 23p = 46 p=2 31218Assim, conclumos que: A = 6p = 6 x 2 = 12, B = 8p = 8 x 2 = 16 e C = 9p = 9 x 2 = 18 As partes procuradas so 12, 16e 18. 3. Dividir o nmero 45 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 200, 300 e 400. Inicialmente dividiremos todos os nmeros dados por 100. Isto no alterar a proporo com as partes procuradas, mas simplificar os nossos clculos. (200, 300, 400) 100 = (2, 3, 4) Ento poderemos dividir 45 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. Indicando as partes procuradas por: A = 2p, B = 3p e C= 4p A+B+C=45 2p+3p+4p=45 9p = 45 p=5 Assim, conclumos que: A = 2p = 2 x 5 = 10, B = 3p = 3 x 5 = 15 e C = 4p = 4 x 5 = 20 2 caso: Diviso em partes inversamente proporcionais Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significa encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que a x A = b x B = c x C =... e A+B+C+...= N 4. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 12. Usando a relao entre proporo inversa e proporo direta vista na pgina 70, podemos afirmar que as 1 partes procuradas sero diretamente proporcionais a . 12 3, 4e Reduzindo as fraes ao mesmo denominador, teremos: 4, 3 1 e 12 12 12 Desprezar os denominadores (iguais) manter as propores e ainda simplificar nossos clculos. Ento, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, teremos: A = 4p, B = 3p, C = 1p A + B + C = 72 4p + 3p + 1p = 72 8p = 72 P = 9 Assim, conclumos que: A = 4p = 4 x 9 = 36, B = 3p = 3 x 9 = 27 e C = 1p = 1 x 9 = 9. Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9. 3 caso: Diviso composta direta Chamamos de diviso composta direta diviso de um nmero em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucesses de nmeros dados, cada uma. Para efetuarmos a diviso composta direta, devemos: 1) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser o produto dos valores correspondentes das sucesses dadas; 2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucesso encontrada.11195. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter: A ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p B ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9p C ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p A+B+C=270 8p + 9p + 10p =270 27p = 270 p = 10 A = 8p = 8 x 10 = 80 B = 9p = 9 x 10 = 90 C=10p = 10 x 10 = 100 Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100. 4 caso: Diviso composta mista Chamamos de diviso composta mista diviso de um nmero em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucesso dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucesso dada. Para efetuarmos uma diviso composta mista, devemos 1) inverter os valores da sucesso que indica proporo inversa, recaindo assim num caso de diviso composta direta; 2) aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divises compostas diretas. 6. Dividir o nmero 690 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros l, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4, respectivamente. Invertendo os valores da sucesso que indica proporo inversa, obtemos:Reduzindo as fraes a um denominador comum, teremos: 6, 4 3 , e 12 12 12 6 4 e32 3e 4 1 ,1 1Ento, indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter: A ser proporcional a 1 e 6 1 x 6 = 6 A = 6p B ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 13=8p C ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 C = 9p A + B +C = 690 6p + 8p + 9p =690 23p=690 p=30 A =6p = 6 x 30 =180, B = 8p = 8 x 30 =240 e C = 9p = 9 x 30 =270 Portanto, as trs partes procuradas so: 180, 240 e 270. EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (15, X, Y, Z) e (3, 8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais. 2. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais. 3. Determine X e Y de modo que as sucesses (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais. 4. Determine X, Y e Z de modo que as sucesses (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente proporcionais. 5. Determine X e Y de modo que as sucesses (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam inversamente proporcionais. 6. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.207. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40. 8. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais 1,28.5e a ; 9. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. 10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. 11. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a3,. 5e212. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6. 13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2. 14. Repartir uma herana de R$ 460.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos de cada uma e na razo inversa das idades delas. As trs pessoas tm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas so 24, 32 e 45 anos. 15. Dois irmos repartiram uma herana em partes diretamente proporcionais s suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual a idade de cada um deles? REGRA DE TRS Chamamos de regras de trs ao processo de clculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve somente duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trs simples. Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, ento, quanto custaro 6 bilhetes? As grandezas so: o nmero de bilhetes e o preo dos bilhetes. Um automvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilmetros ele percorrer em 4 horas? As grandezas so: distncia percorrida e tempo necessrio. Poderemos chamar a regra de trs simples de direta ou inversa, dependendo da relao existente entre as duas grandezas envolvidas no problema. Quando o problema envolve mais de duas grandezas costume denomin-lo de problema de regra de trs composta. Exemplo: Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constrem 300m de uma cerca, quantos homens sero necessrios para construir mais 600rn desta cerca em 8 dias? A grandezas so: o nmero de homens, a durao do trabalho e o comprimento da parte construda. Para resolver um problema qualquer de regra de trs devemos inicialmente determinar que tipo de relao de proporo existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas. Relao de proporo direto Duas grandezas variveis mantm relao de proporo direta quando aumentando uma delas para duas, trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra tambm aumenta respectivamente para duas, trs, quatro, etc. vezes o seu valor. Exemplo: Considere as duas grandezas variveis: (comprimento de um tecido) (preo de venda da pea) 1 metro............. custa........................ R$ 10,00 2 metros ...........custam .....................R$ 20,00 3 metros .......... custam..................... R$ 30,00 4 metros .......... custam..................... R$ 40,008 24 721Observamos que quando o comprimento do tecido tornou-se o dobro, o triplo etc., o preo de venda da pea tambm aumentou na mesma proporo. Portanto as grandezas "comprimento do tecido" e "preo de venda da pea" so diretamente proporcionais . Relao de proporo inversa Duas grandezas variveis mantm relao de proporo inversa quando aumentando uma delas para duas, trs, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminuir respectivamente para metade, um tero, um quarto, etc. do seu valor. Exemplo: Considere as duas grandezas variveis: Velocidade de Tempo de durao um automvel da viagem A 20 km/h ........ a viagem dura ........ 6 horas A 40 km/h........ a viagem dura ....... 3 horas A 60 km/h........ a viagem dura ....... 2 horas Observamos que quando a velocidade tornou-se o dobro, o triplo do que era, o tempo de durao da viagem tornou-se correspondentemente a metade , a tera parte do que era. Portanto, as grandezas "velocidade " e "tempo de durao da viagem" so inversamente proporcionais. Cuidado! No basta que o aumento de uma das grandezas implique no aumento da outra. preciso que exista proporo. Por exemplo, aumentando o lado de um quadrado, a rea do mesmo tambm aumenta. Mas no h proporo, pois ao dobrarmos o valor do lado, a rea no dobra e sim quadruplica! Grandezas proporcionais a vrias outras Uma grandeza varivel proporcional a vrias outras se for diretamente ou inversamente proporcional a cada uma dessas outras, quando as demais no variam. Exemplo: O tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao nmero de operrios que nele trabalham. Observe: 1) Vamos fixar o comprimento do trecho feito. Em 30 dias, 10 operrios fazem 6 km. Em 15 dias, 20 operrios tambm fazem 6 km. Em 10 dias, 30 operrios tambm fazem 6 km. Aqui, observa-se que o tempo inversamente proporcional ao nmero de operrios. 2) Agora vamos fixar o nmero de operrios. 30 operrios, em 10 dias, fazem 6 km. 30 operrios, em 20 dias, faro 12 km. 30 operrios, em 30 dias, faro 18 km. Agora, vemos que o tempo diretamente proporcional ao comprimento do trecho feito. PROPRIEDADE Se uma grandeza for diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras, ento, a razo entre dois dos seus valores ser igual: ao produto das razes dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais a ela... ... multiplicado pelo produto das razes inversas dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais a ela. Exemplo: Vimos no exemplo anterior que o tempo necessrio para construir certo trecho de uma ferrovia diretamente proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao nmero de operrios que nele trabalham. Vimos tambm, entre outros, os seguintes valores correspondentes:22(Tempo (Comprimento do (Nmero de necessrio) trecho construdo) operrios) 30 dias 6 km 10 20 dias 12 km 30Aplicando a propriedade vista acima, teremos: x (verifiquea igualdade! ) 20 12 10 30 = 30 6EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto custaro 33 metros do mesmo tecido? Soluo: O problema envolve duas grandezas, quantidade de tecido comprada e preo total da compra. Podemos, ento, montar a seguinte tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Quant. de tecido Preo total (em metros) (em R$) 5 .................................... 30,00 33 ...................................... x Na coluna onde a incgnita x aparece, vamos colocar uma flecha: Quant. de tecido Preo total (em metros) (em R$) 5 ..................................30,00 33 .................................... x Note que a flecha foi apontada para o R$ 30,00 que o valor inicial do x indicando que se a quantidade de tecido comprado no fosse alterada, o preo total da compra, x, continuaria sendo R$ 30,00. Agora devemos avaliar o modo como a variao na quantidade de tecido afetar o preo total: - Quanto mais tecido comprssemos, proporcionalmente maior seria o preo total da compra. Assim as grandezas preo total e quantidade de tecido so diretamente proporcionais. Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flecha na coluna da quantidade de tecido no mesmo sentido da flecha do x. Quant. de tecido Preo total (em metros) (em R$) 5 .................................. 30,00 33 .................................... x A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era R$ 30,00: inicialmente tinha-se x = 30 A outra flecha (a da quantidade de tecido) indica uma frao, apontando sempre do numerador para o 33 Esta frao nos d a variao denominador. Como neste exemplo a flecha aponta do 33 para o 5 a frao . 5 causada em x (o preo) pela mudana da outra grandeza (a quantidade de tecido comprado). Multiplicando o valor inicial de x por esta frao podemos armar a igualdade que nos dar o valor final de x: x = 30x 33 5 x 198Portanto, os 33 metros de tecido custaro R$ 198,00. 2. Em 180 dias 24 operrios constroem uma casa. Quantos operrios sero necessrios para fazer uma casa igual em 120 dias?23Soluo: O problema envolve duas grandezas, tempo de construo e nmero de operrios necessrios. Montaremos, ento uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Tempo (em dias) N de operrios 180 .................................. 24 120................................... x Na coluna onde a incgnita x aparece, vamos colocar uma flecha apontada para o valor inicial do x que 24: Tempo (em dias) N de operrios 180 .................................. 24 120................................... x Lembre-se que esta flecha est indicando que se o tempo de construo permanecesse o mesmo, o nmero de operrios necessrios, x, continuaria sendo 24. Agora, devemos avaliar o modo como a variao no tempo de construo afetar o nmero de operrios necessrios: - Quanto menos tempo houver para realizar a obra, proporcionalmente maior ser o nmero de operrios necessrios. Assim as grandezas tempo de construo e nmero de operrios so inversamente proporcionais. Na tabela onde estamos representando as variaes das grandezas, isto ser indicado colocando-se uma flecha na coluna da quantidade de tecido no sentido inverso ao da flecha do x. Tempo (em dias) ............ N de operrios 180 ............................... 24 120................................. x A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era 24: inicialmente, tinha-se x = 24 Como no exerccio anterior, a outra flecha indica uma frao que nos d a variao causada em x (o nmero de operrios) pela mudana da outra grandeza (o tempo) apontando sempre do numerador para o denominador. Como neste exemplo a flecha aponta do 180 para o 120 frao .Multiplicando o valor inicial de x por esta frao, armamos a seguinte igualdade que nos dar o valor final de x: x = 24x120 180Portanto, sero necessrios 36 operrios para fazer a casa em 120 dias. 3. Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calas. Em quantos dias 12 costureiras podero fazer 600 calas iguais s primeiras? Soluo: O problema envolve trs grandezas, tempo necessrio para fazer o trabalho, nmero de costureiras empregadas e quantidade de calas produzidas. Podemos, ento, montar uma tabela com trs colunas, uma para cada grandeza: Tempo N de Quantidade (em dias) costureiras de calas 12 16 960 x 12 600 Para orientar as flechas das outras duas grandezas preciso compar-las uma de cada vez com a grandeza do x e de tal forma que, em cada comparao, consideraremos como se as demais grandezas permanecessem constantes. - Quanto menos costureiras forem empregadas maior ser o tempo necessrio para fazer um mesmo servio. Portanto, nmero de costureiras inversamente proporcional ao tempo.120 180x 3624- Quanto menor a quantidade de calas a serem feitas menor tambm ser o tempo necessrio para produzi-Ias com uma mesma equipe. Portanto, a quantidade de calas produzidas e o tempo necessrio para faz-las so diretamente proporcionais. Tempo N de Quantidade (em dias) costureiras de calas 12 16 960 x 12 600 A flecha do x, como sempre, est indicando o seu valor inicial (x = 12). As outras duas flechas indicam fraes que nos do as variaes causadas em x (o tempo) pelas mudanas das outras grandezas (o nmero de costureiras e a quantidade de calas). Lembre-se de que elas apontam sempre do numerador para o denominador. Multiplicando o valor inicial de x por estas fraes, temos a igualdade que nos dar o valor final de x: x = 12 12x xPortanto, sero necessrios 10 dias para fazer o servio nas novas condies do problema. EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados. ( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra tambm aumenta na mesma proporo. ( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporo. ( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporo. ( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra tambm diminui na mesma proporo. 2. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados. ( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao duplicarmos o valor de A, o valor de B tambm duplica ento A e B so grandezas diretamente proporcionais. ( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao reduzirmos para um tero o valor de A, o valor de B tambm reduzse para um tero, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais. ( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao triplicarmos o valor de A, o valor de B fica reduzido para um tero do que era, ento A e B so grandezas inversamente proporcionais. ( ) Se A uma grandeza inversamente proporcional grandeza B, ento B diretamente proporcional a A. ( ) Se duas grandezas A e B so tais que ao aumentarmos o valor de A em x unidades, o valor de B tambm aumenta em x unidades ento A e B so grandezas diretamente proporcionais. 3. Determine, em cada caso, se a relao entre as grandezas de proporo direta (D) ou inversa ( I ). a) O nmero de mquinas funcionando e a quantidade de peas que elas produzem durante um ms. ( ) b) O nmero de operrios trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km. ( ) c) A velocidade de um nibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Braslia a So Paulo.( ) d) A velocidade de um nibus e a distncia percorrida por ele em trs horas. ( ) e) A quantidade de rao e o nmero de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana. ( ) f) O tamanho de um tanque e o tempo necessrio para ench-lo. ( ) g) O nmero de linhas por pgina e o total de pginas de um livro. ( ) h) A eficincia de um grupo de operrios e o tempo necessrio para executarem certo servio. ( ) i) A dificuldade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( ) j) A facilidade de uma tarefa e o tempo necessrio para uma pessoa execut-la. ( ) k) O nmero de horas trabalhadas por dia e a quantidade de trabalho feito em uma semana. ( ) 4. O nmero de horas trabalhadascomum em nosso cotidiano surgirem situaes-problema que envolvem I) (CESPE/96-MPU-Assistente) por dia e o nmero de dias necessrio para fazer certo trabalho. ( ) relaes entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comida, a quantidade de p necessria para o caf, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma rua, etc., est-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporo. Em relao s propores, julgue os itens abaixo. ( ) A quantidade de tinta necessria para fazer uma pintura depende diretamente da rea da regio a ser pintada. ( ) O nmero de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prdio so grandezas inversamente proporcionais. ( ) A medida do lado de um tringulo equiltero e o seu permetro so grandezas diretamente proporcionais. 25900 16 600x 10( ) O nmero de ganhadores de um nico prmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador so grandezas inversamente proporcionais. ( ) A velocidade desenvolvida por um automvel e o tempo gasto para percorrer certa distncia so grandezas diretamente proporcionais. 5. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custaro 5 kg deste queijo? 6. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30? 7. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca sero necessrios para produzir 300 kg de arroz sem casca? 8. Em 8 dias 5 pintores pintam um prdio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessrios para pintar o mesmo prdio? 9. Um veculo trafegando com uma velocidade mdia de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo levaria um outro veculo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade mdia de 80 km/h? 10. Uma roda-d'gua d 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas ter dado em uma hora e meia? 11. Duas rodas dentadas esto engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. Quantas voltas ter dado a menor quando a maior der 10 voltas? 12. Qual a altura de um edifcio que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical de 1,5m projeta uma sombra de 0,5m? 13. Se um relgio adianta 18 minutos por dia, quanto ter adiantado ao longo de 4h 40min? 14. Um relgio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa s 7h da manh de um certo dia. Qual ser a hora certa quando, neste mesmo dia, este relgio estiver marcando 15h 5min? 15. Um comerciante comprou duas peas de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 enquanto a outra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida? 16. Um navio tinha vveres para uma viagem de 15 dias. Trs dias aps o incio da viagem, contudo, o capito do navio recebe a notcia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atras-la em mais 4 dias. Para quanto ter de ser reduzida a rao de cada tripulante? 17. Um rato est 30 metros frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m. Qual a distncia que o gato ter de percorrer para alcanar o rato? 18. Um gato est 72m frente de um co que o persegue. Enquanto o gato corre 7m, o co corre 9rn. Quantos metros o co dever percorrer para diminuir a metade da tera parte da distncia que o separa do gato? 19. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato d dois pulos, o rato d 3, mas, cada pulo do gato vale dois pulos do rato. Se a distncia entre eles, inicialmente, de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato ter dado at alcanar o rato? 20. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comero uma dzia e meia de sardinhas? 21. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios que trabalhavam 7 horas por dia, ento quantos dias sero necessrios para terminar o trabalho, sabendo que 4 operrios foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? 22. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvo. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo sero extrados 7 toneladas de carvo? 23. Dois cavalos, cujos valores so considerados como diretamente proporcionais s suas foras de trabalho e inversamente proporcionais s suas idades, tm o primeiro, 3 anos e 9 meses e o segundo, 5 anos e 4 meses de idade. Se o primeiro, que tem 3/4 da fora do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve ser o preo de venda do segundo? 24. Se 27 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato retangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operrios sero necessrios para construir um outro parque, tambm retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas por dia?2625. Uma turma de 15 operrios pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, fizeram somente 1/3 da obra. Com quantos operrios a turma original dever ser reforada para que a obra seja concluda no tempo fixado? EQUAES DO 1 GRAU Denominamos equaes do primeiro grau s equaes redutveis forma: ax + b = 0 (com a 0)Exemplos: 5x + 10 = 0 5x + 2 = 2x+21 Raiz de uma Equao Raiz de uma equao qualquer valor para x que satisfaa a equao. Resolver uma equao significa encontrar o conjunto de todas as suas razes. As equaes do 1 grau tm sempre uma nica raiz real. Pode-se encontrar a raiz, de uma equao do primeiro grau isolando a varivel. Exemplos: Para encontrar a raiz de 5x + 10 = 0, fazemos: 5x + 10 = 0 5x = -10 x =(-10) 5 x = -2 raiz: -2 Para resolver a equao 5x + 2 = 2x + 23, fazemos: 5x + 2 = 2x + 23 5x - 2x = 23 2 3x = 21 x = 21 3 x=7 raiz: 7 EXERCCIOS PROPOSTOS Nos exerccios 1 a 10, resolva as equaes do 1 grau. 1. 5x + 8 = 2x - 25 2. 3x - 42 = 7x - 78 3. -3(3x - 42) = 2(7x - 52) 4. 2 + 2 1- x 5 1x=3x = 6 5x - 9 5. 3 2 x+ 3 x+ 2 1 6. 2 + = 2 3 1+x 2 -x = 7. 0 + 6 3 3+ x 8. ( )=4 - 1+ x 22 1x-19.3x -= 4x + 2 2x- 4 1 2 4 3x- 5 6x -1 10. 2 )x( ) + 3 1 + x = (- -1 2 3 3 2127SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS VARIVEIS Um sistema de equaes com duas variveis, x e y, um conjunto de equaes do tipo ax + by = c (a, b, c R)ou de equaes redutveis a esta forma. Exemplo: 2x - 3y = 1 3x + 3y = 9 Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y satisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmo tempo. Exemplo: No sistema indicado no exemplo anterior, o nico par ordenado capaz de satisfazer s duas equaes simultaneamente (x; y) = (2; 1) Ou seja, x = 2 e y = 1 Resoluo algbrica Dentre os vrios mtodos de resoluo algbrica aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois: mtodo da adio mtodo da substituio Para exemplific-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois mtodos: 2x + y = 7 (I) 3x + 2y =12 (II) A) Mtodo da Adio 1 passo: Multiplicamos as equaes por nmeros escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variveis. No caso, poderemos multiplicar a equao (I) por -2:2x x( -2)+ y =7- 4 - 2y =- 14 - 4x - 2y =-14 3x + 2y = 12 (II)(I)Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos. 2 passo: Somamos membro a membro as equaes encontradas: - 4x - 2y =- 14 + 3x + 2y = 12 -1x + 0 =- 2 A varivel y foi cancelada restando apenas a varivel x na ltima equao. 3 passo: Resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel: -1x = -2 x=2284 passo: O valor da varivel encontrada substitudo numa das equaes iniciais que contenha tambm a outra varivel e, ento, resolvemos a equao resultante: 2x + y = 7 2(2) + y = 7 4+y=7 y = 7 -4 y=3 5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo: S = {(2; 3)} B) Mtodo da Substituio 1 passo: Isolamos uma das variveis em uma das equaes dadas: 2x + y = 7 y =7 - 2x 3x + 2y =12 2 passo: a varivel isolada substituda na outra equao e, ento, resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel: 3x +2y = 12 3x + 2(7 - 2x) = 12 3x +14 - 4x = 12 3x 4x = 12- 14 -1x = -2 x=2 3 passo: Levamos o valor encontrado para a equao que tem a varivel isolada e calculamos o valor desta: y = 7 -2x y = 7 -2 (2) y = 7 -4 y=3 4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo: S = {(2; 3)} Sistema indeterminado Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo 0=0 ou 3=3 ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre verdadeira, o sistema ter infinitas solues e diremos que ele possvel mas indeterminado. Sistema impossvel Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo 0=3 ou 2=5 ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre falsa, o sistema no ter qualquer soluo e diremos que ele impossvel. O conjunto-soluo de um sistema impossvel vazio.29Resoluo grfica Vamos considerar um sistema do 1 grau com duas variveis e duas equaes: ax + by =c (r) mx + ny =p (s) Cada equaodo sistema representauma reta. Cada ponto comum s retas do sistema corresponde a uma soluo. Ento, as pergunta-chaves so: As retas do sistema tm algum ponto em comum? Quantos? Graficamente, existiro trs situaes possveis: 1) Retas ConcorrentesSe as retas forem concorrentes o sistema ter uma nica soluo. Ser um sistema possvel e determinado. 2) Retas Paralelas Coincidentes Se as retas forem coincidentes o sistema ter infinitas solues. Ser um sistema possvel mas indeterminado.3) Retas Paralelas Distintas Se as retas forem paralelas e distintas o sistema no ter qualquer soluo. Ser um sistema impossvel.EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Resolva os seguintes sistemas: a) x+ y= 5 x - y =130b)x + 2y= 7 x - 2y = 3 x + 2y = 11 x - y =5 2x +y = 11 2x - 3y =- 1 x + 2y = 1 2x - y = 7 x + 3y = - 4 2x- y = 6 3x - 7y = 13 4x - 5y = 3 2x + 5y = 17 3x - 2y =16c)d)e)f)g)h)2. Dividir o numero 85 em duas partes, tais que a maior exceda a menor em 21 unidades. 3. Dois nmeros so tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos sero iguais. O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminudo de 2 unidades. Quais so estes nmeros? 4. Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos para cada resposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe s conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas ela acertou? 5. Somando-se 8 ao numerador, uma frao fica eqivalendo a 1. Se, em vez disso, somssemos 7 ao 1 . Qual a frao original? denominador, a frao ficaria equivalente a 2 6. Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os ps seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas esto no quintal? 7. Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o nmero de professores presentes ficou igual ao triplo do nmero de professoras. Se, juntamente com o professor, entrasse tambm uma professora, o nmero destas seria a metade do nmero de professores (homens). Quantos professores (homens e mulheres) estavam na sala aps a chegada do professor Oliveira? 8. A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um nmero 9. Somado com 27, totaliza outro nmero, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual este nmero? 9. Um colgio tem 525 alunos, entre moas e rapazes. A soma dos quocientes do nmero de rapazes por 25 e do nmero de moas por 30 igual a 20. Quantos so os rapazes e quantas so as moas do colgio? 10. Jos Antnio tem o dobro da idade que Antonio Jos tinha quando Jos Antnio tinha a idade que Antonio Jos tem. Quando Antnio Jos tiver a idade que Jos Antnio tem, a soma das idades deles ser 63 anos. Quantos anos tem cada um deles? EQUAES DO 2 GRAU Denominamos equao do 2 grau a toda equao da formaax2 + bx + e = 0, (a 0)ou qualquer equao redutvel a esta forma. Exemplos:a) x2 - 5x + 6 = 0 b)3x2 + 2 = 0 c)-3x2 + 27 = 031Resolver uma equao do 2 grau significa determinar valores da incgnita que tornem a equao verdadeira. Cada valor nestas condies ser ento chamado raiz da equao. Resoluo Algbrica A determinao algbrica das razes de uma equao na forma ax2 + bx + c = 0, com a 0, pode ser obtida com a frmula de Bskara: x= - b 2aonde = b 2 - 4ac (discriminante da equao)O sinal do discriminante, >0 =0 0 a funo ser crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, maior ser tambm o valor correspondente de y e o grfico vai ficando mais alto para a direita.Se a < 0 a funo ser decrescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, menor ser o valor correspondente de y e o grfico vai ficando mais baixo para a direita.36EXERCCIOS PROPOSTOS 1. O grfico da funo f(x) = 3x - 9 encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x igual a a) -9 b) -3 c) 0 d) 3 e) 9 2. O grfico da funo f(x) = -2x -14 encontra o eixo das ordenadas (vertical) quando y igual a a) -14 b) -7 c) 0 d) 7 e) 14 3. A funo do primeiro grau f(x) = ax + 8 crescente e encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x igual a - 4. Ento o valor de a : a) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 8 4. Considere que a funo do primeiro grau definida por f(x) = ax + 10 seja crescente. Assinale a opo que indica um valor impossvel para a raiz desta funo. a) -25 b) 4 c) -3 d) 2 e) 4 5. (CESCEM) Para que os pares (1; 3) e (3; -1) pertenam ao grfico da funo dada por f (x) = ax + b, o valor de b - a deve ser: a) 7 b) 5 c) 3 d) -3 e) -7 6. Uma funo real f do 1 grau tal que f (0) = 1 + f (1) e f (-1) = 2 - f (0). Ento, f (3) : a) -3 5 b) 2 c) 1 d) 0 7 e) 2 7. Para que a funo do 1 grau dada por f (x) = (2 - 3k) x + 2 seja crescente devemos ter: 2 a) k = 3 b) 3 =< k c) k > 3 2 2 2 2d) 3 < k e) 3 > k8. (UnB/95-STJ) Um passageiro recebe de uma companhia area a seguinte informao em relao bagagem a ser despachada: por passageiro, permitido despachar gratuitamente uma bagagem de at 20kg; para qualquer quantidade que ultrapasse os 20kg, ser paga a quantia de R$ 8,00 por quilo excedente. Sendo P o valor pago pelo despacho da bagagem, em reais, e M a massa da bagagem, em kg, em que M > 20, ento: a) P = 8M b) P = 8M - 2037c) P = 20 - 8M d) P = 8(M - 20) e) P = 8(M + 20) FUNO DO 2 GRAU Denominamos funo do segundo grau a qualquer funo f: R R, tal que:f(x) = ax2 + bx + c(com 0)Os grficos das funes do 2 grau so sempre parbolas.O que exatamente uma parbola? As parbolas so curvas especiais construdas de uma tal maneira que cada um dos infinitos pontos que formam a parbola ficam mesma distncia de uma certa reta (reta diretriz da parbola) e de um certo ponto (foco da parbola) que est fora da reta diretriz. = -4 Na funo f(x) = ax2 + bx + c, o valor ac 2 b chamado discriminante da expresso quadrtica.Dependendo do sinal do discriminante ( ) e tambm do sinal de a, teremos uma das seis situaes descritas abaixo, que mostram a posio da parbola em relao ao eixo horizontal:1- Se > 0 h duas razes reais e a parbola encontrar o eixo horizontal (x) em dois pontos distintos (que so as razes de ax2 + b x + c = 0).2- Se = 0 h uma s raiz real e a parbola encontrar o eixo horizontal em um nico ponto (que a nica raiz de ax2 + b x + c = 0).3 - Se < 0 no h razes reais e o grfico no encontrar o eixo horizontal.Vrtice da Parbola O vrtice de uma parbola um ponto da parbola com vrias caractersticas interessantes. Ele ser o ponto mais alto (ponto de mximo) ou o ponto mais baixo (ponto de mnimo) da parbola. Alm disto, o vrtice da parbola divide a parbola em duas partes, sendo uma crescente e outra decrescente.38Coordenadas do Vrtice As coordenadas do vrtice podem ser obtidas com as seguintes expresses: xvyv2a -b ==Uma forma alternativa de se conseguir estas coordenadas fazendo: 1 - Conhecidas as razes da funo, o x do vrtice pode ser calculado como a mdia aritmtica das razes da funo.x2v4a -=r +r 1 22 - Conhecido o valor de x, pode-se calcular o y do vrtice como o valor que a funo assume para x = x y: yv = a(xv)2 + b(xv) + cO vrtice da parbola ser: - ponto de mnimo sempre que a > 0; - ponto de mximo sempre que a < 0. EXERCCIOS PROPOSTOS 1. A funo do segundo grau f(x) =x2 + bx + c encontra o eixo horizontal para x = 2 e para x = 5. Ento os valores de b e de c so, respectivamente: a) -7 e -10 b) 7 e 10 c) -7 e 10 d) 7 e -10 e) 10 e 7 2. O grfico de f(x) = x2 + bx + 9 encontra o eixo das abscissas em um nico ponto. Ento o valor de b : a) 36 b) 6 c) 36 d) 6 e) - 6 3. As razes de f(x) = 2x2 + bx + c tm sinais opostos. Logo: a) b 2 - 8c igual a zero. b) b 2 - 8c negativo. c) c < 0. d) b < 0. e) b < c. 4. As razes de f(x) =-3x2 + bx + c so positivas e distintas. Logo: a) b 2 - 8c igual a zero. b) b 2 - 8c negativo. c) c > 0. d) b > 0. e) b < c. INEQUAES DO 1 E DO 2 GRAUS Resolver uma inequao num dado conjunto numrico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os valores de U que tornam verdadeira a inequao. Este subconjunto de U chamado conjunto-soluo ou conjunto-verdade da inequao. Inequaes do 1 grau Denominamos inequaes do primeiro grau s inequaes redutveis a uma das seguintes formas: ax + b < 0 ax + b < 0 ax + b > 039ax + b > 0 ax + b 0 (todas com a 0) Obs.: sempre possvel multiplicar os dois lados de uma inequao por -1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequao por -1 os sinais > e < sero sempre trocados um pelo outro. Sendo a > 0, teremos: ax + b < 0 x < -b/a ax + b = 0 x = -b/a ax + b > 0 x > -b/a ax + b = 0 x = -b/a ax + b 0 x -b/a EXERCCIOS PROPOSTOS Nos exerccios 1 a 10, resolva as inequaes do 1 grau no universo dos nmeros reais: 1. 2x +16 < 0 2. -5x+10 = 0 3. 3x + 4 = 2x+5 4. 9x + 4 > 11x -3 5. 3x -2 > 20 6. 8(1 -2x) = 6 -3x 7. 7x - 1 = 27 3x - 6 5x - 9 8. 6 4 1- x 1 9. 2 + 2 5 10.x>Inequaes do 2 Grau2 x 3 - 1< - 5 2 1+ x 1 1 -1Denominamos inequaes do segundo grau s inequaes redutveis a uma das seguintes formas:ax2 ax2 ax2 ax2 ax2 + bx + c < 0 + bx + c = 0 + bx + c > 0 + bx + c = 0 + bx + c 0(todas com a 0)Sejam a > 0 e = b2 - 4ac, tem-se:positiva, para todo x fora do intervalo limitado pelas duas razes; igual a zero, para x igual a qualquer uma das duas razes; negativa, para todo x dentro do intervalo limitado pelas duas razes. igual a zero quando x for a raiz; positiva para todos os outros valores de x.0 ax2 + b x + c ser:EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Resolver a inequao x2 - 3x + 2 >0Soluo: J temos a > 0.= (-3)2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 (positivo duas razes)Ento f(x) > 0 ocorrer para todo x fora do intervalo limitado pelas razes.40Como as razes so 1 e 2, teremos: x < 1 ou x > 2. S={x R/x < 1 ou x > 2}2. Resolver a inequao - 4x2 + 4x - 1 < 0Soluo: Multiplicando a inequao por -1, faremos a > 0:4x2 - 4x + 1 > 0 = (- 4)2 - 4(4)(1) = 16 -16 = 0 (nulo uma s raiz)Ento f(x) > 0 ocorrer para todo x diferente da raiz. Como a raiz 1/2, teremos: x 1/2. S={x R/x 1/2}3. Resolvera inequao x2 - 5x +8 < 0Soluo: J temos a > 0:= (-5)2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = - 7 (negativos no h razes)Ento f(x) ser sempre positiva (pois a > 0) Como o pedido foi f(x) < 0 (que nunca ocorrer) teremos um conjunto-soluo vazio, pois no h qualquer valor que satisfaa f(x) < 0. S= EXERCCIOS PROPOSTOS Nos exerccios 1 a 5, resolver as inequaes do 2 grau.1. x2 + 11x - 12 > 0 2. -x2 + x + 12 = 0 3. x2 - 6x + 9 > 0 4. -x2 - 16x 64 = 0 5. 3x2 + 42 < 0FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS FUNO EXPONENCIAL toda funo f de R em R tal que:f(x) = ax , com o < a 1 (a positivo e diferente de 1)Exemplos:f(x) = 3 x - funo exponencial com base a = 3.f(x) = x -funo exponencial com base a = 1/5.5 1A funo exponencial ser crescente sempre que a > 1.41Portanto, sempre que a > 1 teremos:ax > az ax < az x>z x 1) A funo exponencial ser decrescente sempre que 0 < a < 1.Portanto, sempre que 0 < a < 1 teremos:ax > az ax < az xz(o sinal da desigualdade ser sempre invertido quando 0 < a < 1 ) Resoluo de Equaes Exponenciais Observe algumas das equaes exponenciais mais comuns e suas solues:1) 2x = 64 2x = 26 x=62) 32 x-2 = 8132 x - 2 = 343) 3 4x + 1 = 27x +22x 2 =4 2x = 6x=334 x +1 = (33 )x+ 24x + 1 = 3x + 6 4x - 3x = 6 - 1 x=534 x+ 1 = 33 x +64 ) 4x - 5 2 x + 4 = 0 22 x - 5 2 x + 4 = 0( x)2 0 5 2x + 4 = 2 Chamando a expresso 2 x de y, teremos y -5y + 4 = 0 (eq. do 2 grau) que nos d: y = 4 ou y = 1 2x = 4 ou 2x = 1 2x = 4 2x = 22 x = 2 ou 2x = 1 2x = 20 x=0EXERCCIOS PROPOSTOSx , 1. Se 1282- = ento: 22 a) x = 3 b) x = 2 ou x = 1 c) x = 81 d) x = 3 ou x = -3 e) a equao no tem razes em R. 2. O valor de x que satisfaz a equao 3x -1 = 81 : a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6423. O valor de x que satisfaz a equao 8x -1 = 4 x : a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4. O valor de x que satisfaz a equao 2x - 1 + 2x +1 = 80 : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 62x= = 5. Uma das solues da equao exponencial 0 2 x - 6 2 x+ 5 0. A outra soluo, que no inteira, um nmero real compreendido entre: a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 4 e 5 2x + y 16 so razes da equao: 2 x y =86. As solues do sistema ( )=a) a 2 + 3a - 4 = 0 b) a 2 - 3a - 4 = 0 c) a2 - 4a - 3 = 0 d) a 2 - 4a + 3 = 0 e) a 2 + 4a + 3 = 07. O conjunto-soluo da inequao 3 2 x: 7 7 a) {x R/x > 8} + b) {x R/x > 2} c) {x R/x < 8) d) {x R/x > 8/3} e) {x R/x < 2} 8. O conjunto-soluo da inequao 5 x- 3 > 0 : a) {x R/x > 3} b) {x R/x < 3} e) {x c= R} c) {x R/x > 0} d) {x R/x > -3} e) {x R}x 353 4 b) a < 3 c) a > 3 d) a < -3 e) a < 0 10. Para que a funo exponencial f(x) = (a-3)x seja crescente, suficiente, mas no necessrio que: a) a > 5 b) a < 5 c) a > 3 d) a < 3 e) a > 0 LOGARITMOS Denomina-se logaritmo a todo e qualquer expoente cuja base seja positiva e diferente de 1. Exemplos:32 = 92 o logaritmo de 9 na base 343log3 9 = 2 2- 3 = 1/8 log2 -3 -3 o logaritmo de 1/8 na base 28 1=Na expresso log b (a) = x, a o logaritmando - o resultado da potncia bx ; b a base; x o logaritmo - o expoente da potncia b x.Condies de Existncia dos Logaritmos O logaritmando e a base de um logaritmo devem ser sempre positivos e a base ainda deve ser sempre diferente de 1.logb (a) existe se e somente se:a>0 b>0 b 1Exemplos:1 Determinar x para que exista log2(2x -10).2x -10 > 0 x>52 Determinar o valor de x para que exista logx- 9 (8).x -9 > 0 e x -9 1 x > 9 e x 10Propriedades dos Logaritmos Sejam M, N e b positivos e b1a) logb (b) = 11, tem-se:2) logb (1) = 0 3) logb (M) = logb (N) 4) logb (bk) = k 5) logb (MXN) = Iogb (M) + logb (N) 6) logb (M N) =logb (M) - logb( N) 7) logb (Mk) = kxlogb (M) Cologaritmo Chama-se cologaritmo de um nmero ao oposto do logaritmo deste nmero.Cologb (N) = -logb (N) M=NAntilogaritmo Chama-se antilogaritmo de k na base b k-sima potncia da base b.antilogb (k) = b kRepresentao de logaritmos Decimais Chamam-se logaritmos decimais aos logaritmos de base dez. A representao dos logaritmos decimais feita indicando-se apenas log (x).44EXERCCIOS PROPOSTOS1. Calcular log2(326). 2. Calcular Iog8(2). 3. Calcular log (26) + log (56). 4. Resolva a equao logartmica log3 (2x+5) = 2.5. Resolva a equao logartmica log (2x+6) = 2.6. Dados log(x) = 5 e log(y) =8, calcule log(x3 xy2). 7. Sabendo que log (x) = 2 e log (y) = 5, calcule log (X8 y3 ).PROGRESSES ARITMTICAS E GEOMTRICAS Progresses Aritmticos Definio Dados os nmeros reais a e r, denominamos progresso aritmtica (P.A.) a toda seqncia (a, , a2 , a3 , ...) tal que: a = a 1 () a = a + r para n =n+11 nOnde r chamado razo da P.A. Exemplos: 1) A seqncia (3, 7, 11, 15, 19) uma P.A. com 5 termos onde a1 = 3, a2 = 7, a3 =11,a 4 = 15, a5 = 19 e a razo 4.2) Numa P.A. de 20 termos onde a1 = 50 e r = -2, os quatro primeiros termos so a1 = 50, a2 = 48, a 3 = 46 e a 4 = 44.Propriedades A diferena entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo anterior igual razo da P.A.an+ 1 an = r Qualquer termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica dos termos vizinhos a ele (antecedente e sucessor).a1n=an -1+ a 2n+ Considerando n termos consecutivos de uma P.A., a soma de dois termos eqidistantes dos extremos igual soma dos termos extremos. Termo geral de urna P.A. Numa P.A. de razo r, vale a seguinte igualdade: a k = a + (n - k) rnExemplos: 1 Numa P.A. de razo 3, cujo 8 termo vale 10, o valor do 15 termo : a = a + (15 - 8) 3 a a a1515= 10 + 7 3 = 10 + 21 =31815 15452 Se o 5 termo de uma P.A. 13 e o 9 termo 45, pode-se determinar a razo da seguinte forma: a 9 = a + (9 - 5) r 5 45= 13+ 4 r 45- 13= 4r 32 = 4r r = 8 3 Numa P.A. de razo 6, o valor do 8 termo 40 e o ltimo termo vale 106. Pode-se determinar o nmero de termos da P.A. como segue: ltimotermo: a = 106 n dados oitavo termo: a = 40 8 razo: 6 a = a + (n - 8) r n 8 106 = 40 + (n - 8) 6 66 = (n - 8) 6 11 = n - 8 n = 19Soma de n termos consecutivos de uma P.A. (Sn )Para calcularmos a soma de n termos consecutivos de uma P.A., devemos: 1 Calcular a mdia aritmtica dos dois extremos; 2 Multiplicar a mdia pelo nmero de termos somados. a a n S n = 1 2 n Exemplo: Numa P.A. com 30 termos o primeiro 12 e o ltimo, 58. Qual o valor da soma de todos eles?+Soluo: S = S = 12 2 70 + 58 30 30 2 S = 35 30 = 1.050 S = 1.05030 30 30 EXERCCIOS PROPOSTOS 30 1. Determine a razo de cada uma das seguintes progresses aritmticas: a) (34, 41, 48, 55, 62) b) (78, 83, 88, 93, 98) c) (19, 17, 15, 13, 11) d) (-30, -27, -24, -21) e) (4/3, 5/3, 2, 7/3) 2. Determine o 10 termo de cada uma das progresses aritmticas do exerccio anterior.3. Determine o termo indicado em cada uma das seguintes progresses aritmticas: a) a 6 = 2, r = 2, a2 0 = ? b) a 1 0 = 15, r = 3, a 30 = ? c) a 8 = 100,r = 5,a 18 =? d) a 2 0 = 40, r = -l0, a1 0 0 = ? e) a 4 0 = 18, r = 20, a8 0 = ? f) a37 = 56, r = 12, a4 9 = ? 4. Determine o primeiro termo das progresses aritmticas em cada caso: a) a 1 0 =190 e r = 8 b) a 1 5 = 580 e r = 10 c) a 20 = 120 e r = 5 d) a 8 = 70 e r = 7 e) a 10 0 = 750 e r = -2 f) a 46 = 280 e r = -2 g) a 1 0 = -30 e r = -346h) a 8 = 0 e r = -5 5. Determine a razo de cada P.A. seguinte: a) a 1 = 5 e a11 = 85 b) a 1 = 10 e a2 6 = 135 c) a1 = 100 e a 16 = 40 d) a 1 = 50 e a 13 = -10 e) a 5 = 50 e a1 5 = 150 f) a10 = 105 e a2 5 = 135 g) a 20 = 200 e a1 00 = 240 h) a45 = 300 e a100 = 1906. Determine o nmero de termos de cada uma das progresses aritmticas seguintes: a) (1, 7, 13, ..., 121) b) (74, 95, ..., 200) c) (-3,0, ..., 39) d) (108, 117, ... 999) e) (1, 3, 5, ..., 99) f) (2, 4, 6, ..., 100) 7. Determine o quarto termo de cada seqncia resultante nas seguintes interpolaes aritmticas: a) Interpolar 3 meios aritmticos entre 12 e 28. b) Inserir 5 meios aritmticos entre 10 e 40. c) Interpolar 6 meios aritmticos entre 20 e 90. d) Inserir 10 meios aritmticos entre 10 e 109. e) Interpolar 5 meios aritmticos entre 40 e 10. 8. Sabendo que os trs primeiros termos de uma P.A. so, respectivamente, x - 1, x + 5 e 4x - 4, encontre o valor numrico do quarto termo. 9. Determine a razo da P.A. (5 - x, x + 1, 3x - 3) em funo de x. 10. Determine o valor da soma dos 100 primeiros nmeros inteiros positivos. 11. Determine o valor da soma dos 30 primeiros nmeros mpares positivos. 12. Determine o valor da soma dos 20 primeiros termos da sucesso (10, 13, 16, 19, ...). 13. Determine o valor da soma de todos os mltiplos de 7 compreendidos entre 10 e 100. 14. Determine o valor da soma de todos os mltiplos de 11 compreendidos entre 30 e 200. 15. Numa urna h 1000 bolinhas. Retirando 3 bolinhas na primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, e assim por diante, quantas bolinhas restaro na urna aps a vigsima retirada? Progresses Geomtricas Definio Dados os nmeros reais no nulos a e q, denominamos progresso geomtrica (P.G.) a toda seqncia (a1 , a2 , a3 , ...) tal que: a = a 1 () a = a q paran =n+11 nOnde q chamado razo da P.G.Exemplos: 1 A seqncia (3, 6, 12, 24) uma P.G. onde a1 = 3, a2 = 6, a3 = 12, a4 = 24 e a razo q = 2. 2 Numa P.G. onde a1 = 320 e q = 2 a4 = 40 1 , os quatro primeiros termos so a1 = 320, a2 = 160, a3 = 80 ePropriedades o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo anterior igual razo da P.G.; a n += 1 anq47 qualquer termo, a partir do segundo, , em mdulo, a mdia geomtrica dos termos vizinhos a ele (antecedente e sucessor);a n a= +an- 1xn 1 considerando n termos consecutivos de uma P.G., o produto de dois termos eqidistantes dos extremos igual ao produto dos termos extremos.a1 x an = a1 +k x an -kTermo geral de uma P.G. Numa P.G. de razo q, vale a seguinte igualdade: a =anqk n- kExemplo: Numa P.G. de razo 3, cujo 5 termo vale 8, o valor do 9 termo : a a9 9Soma de n termos consecutivos de uma P.G. A soma de n termos consecutivos de uma P.G. dada pela seguinte expresso: =a 1=85x 34 =a x q- 5 9 =648Sn nq - 1 () paraq 1 q -1Exemplo: Numa P.G. com 10 termos, o primeiro vale 25 e a razo 2. Determinar a soma destes termos. Soluo: 21 0 - 1 = 25 1023 2-1 S = 25 1.023 S = 25.575 S = 251010 10Soma-limite de uma P.G. infinita Numa P.G. onde o mdulo da razo seja menor que 1, a soma dos seus infinitos termos ser um nmero finito dado por: = S1 30) no h diferena significativa entre os valores obtidos por S2 e por 2 possibilitando, assim, que desprezemos o uso do fator de correo. Entretanto, deve-se dar preferncia ao clculo de 2 S - sempre que estivermos trabalhando com uma amostra com menos de 30 elementos, pois desta1forma teremos uma estimativa melhor para a varincia. Propriedades da Varincia 1 Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma srie, a varincia permanecer inalterada. Exemplo: Calcular a varincia da seguinte amostra de idades num grupo de funcionrios de certa empresa: 46 anos, 48 anos, 52 anos, 55 anos. Soluo: Subtraindo 50 de cada um dos valores da amostra obteremos a nova srie: (-4, -2, 2, 5) Nela, a varincia ser a mesma da srie original mas os clculos sero bem mais "confortveis". Usando a frmula breve (2 frmula) para o clculo da varincia teremos: Mdia dos quadrados das idades: x2== 16 + 4 + 4 + 25 49 = 12,25 anos 2 4 4n1Quadrado da mdia de idades:( )= x2- 4- 2+ 2 452=Varincia: S2+= x2 x2 4 12=1 =0,0625 anos 2 16()n- 1n 49 1 195 = = =16,25 anos 2 n- 1 4 16 3 12Observe que a unidade de medida que indicou a varincia anos2 (anos ao quadrado).A unidade de medida que expressa uma varincia sempre o quadrado da unidade de medida da varivel estudada. 2 Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os valores de uma srie por uma mesma constante, a varincia ficar multiplicada (ou dividida) pelo quadrado do valor daquela constante. Exemplo: Considere as sries A = (1, 3, 6, 8) e B = (10, 30, 60, 80). Se o valor da varincia da srie A for igual a 9, 667, qual ser o valor da varincia da srie B? Soluo:A srie B pode ser obtida multiplicando-se todos os valores da srie A por 10. Deste modo, a varincia da srie B ser igual varincia da srie A multiplicada por 102, ou seja: (Varincia da srie B) = 102 x (Varincia da srie A)-4(Varincia da srie B) = 100 x 9,667 = 966,7 Desvio Padro (S) Vimos que a unidade de medida de uma varincia igual ao quadrado da unidade de medida da varivel estudada. A fim de eliminarmos este inconveniente, criamos uma nova medida de disperso, o desvio padro, que definido como sendo a raiz quadrada da varincia, e representado por Sn- 1, ou por S, conforme seu clculo use o fator de correo ou no, respectivamente.119S= e Sn -1S 2 = S 2n -1O desvio padro indica, em termos absolutos, o afastamento dos valores observados e relao mdia aritmtica da srie estudada. Propriedades do Desvio Padro 1 Se adicionarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante a todos os valores de uma srie, o desvio padro permanecer inalterado. Exemplo: As sries (2, 3, 5, 8, 10) e (40, 41, 43, 46, 48) tm desvios padres iguais, pois os elementos da segunda podem ser obtidos dos elementos da primeira, adicionando-se 38 a cada um deles. 2 Se multiplicarmos (ou dividirmos) por uma mesma constante todos os elementos de uma srie, o desvio padro ficar multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto daquela constante. Exemplo: Calcular o desvio padro da distribuio de dimetros fornecida na tabela abaixo: Dimetros Freq. Absolutas (cm) simples 10 I 15 I 20 I 25 I 30 I 15 2 20 4 25 6 30 5 35 3Soluo: Como se trata de uma tabela de distribuio de freqncias com dados agrupados em classes, os clculos devem ser executados utilizando-se os pontos mdios dos intervalos de classes (12,5 , 17,5 , 22,5 , 27,5 e 32,5), com suas respectivas freqncias simples como pesos para os clculos de mdia. Se subtrairmos 22,5 de todos os valores dos pontos mdios, o desvio padro no ser alterado. Dividindo, em seguida, todos os resultados por 5 (que a amplitude dos intervalos de classe), o desvio padro ficar igualmente dividido por 5, mas nossos clculos sero menos trabalhosos. Assim, teremos a seguinte tabela: Freq. absolutas (X-22,5) 5 SimplesMdia dos quadrados: x2 = 2 (- 2)2 + 4 ( - 1)2 + 6 (0)2 + 5 (1)2 + 3 (2) 2 20 2 4 + 4 1 + 6 0 + 5 1+ 3 4 = 20-2 2 -1 4 06 15 23x2 =Quadrado da mdia:20 =1,45 cm2 29( )= x22 ( - 2) + 4 (- 1) + 6 (0) + 5 (1) + 3 (2) 2 3 = 20 202=0,0225 cm2120Varincia: S2n1= x2x( )2n n -1 20 19Sn 1= ( ) - 0,0225 1,45-S2n- =1,4275x 1,05263 cm 2 1 2Desvio Padro: S S S 2Ento o desvio padro da srie dada ser o produto do valor encontrado por 5, ou seja: 5 x 1,2258 = 6,129 cm EXERCCIOS - DESVIO PADRO1. Determinar o desvio padro da amostra (10, 10, 11, 11). a) 31n -1 = 1,50263 =1,2258 cm n- 1 = n- 1b) 41c) 510, 1 d) 3 1 e) 4 2. Dados os conjuntos A = (-2, -1, 0, 1, 2) e B = (30, 35, 40, 45, 50), pode-se afirmar em relao ao desvio padro em B: a) igual ao desvio padro em A; b) o quntuplo do valor do desvio padro de A; c) o quntuplo do valor do desvio padro de A, somado com 40; d) 40 unidades maior que o desvio padro de A; e) no pode ser avaliado a partir do desvio padro de A. 3. (BACEN-94) Em certa empresa o salrio mdio era de $ 90.000,00, com desvio padro de $ 10.000,00. Todos os salrios receberam um aumento de 10%. Ento o desvio padro dos novos salrios passou a ser: a) $10.000,00 b) $10.100,00 c) $10.500,00 d) $10.900,00 e) $11.000,00 SISTEMAS LINEARES todo sistema de m equaes a n incgnitas do tipo: a x 11 1 a x 21 1 a x 31 1 a xm1 1S=+a x 12 2 +a x 22 2 +a x 32 2 +a xm2 2..... + a x = b 1n n 1 ..... + a x = b 2 n n 2 ..... + a x = b 3n n 3 ..... + a x = bmn n m121onde:x1 , x2 , ... , xn - so as incgnitas ai j - so os coeficientes das incgnitas b1 , b2 , ... , b n - so os termos independentes.Exemplos:1 - O sistema S1, abaixo, um sistema linear com 3 equaes e 3 variveis.3x +2y -zS1 = -2x +3y + 4z = 7=2x +y+5z = 92 - O sistema S2, abaixo, um sistema linear com 4 equaes e 3 variveis.3x +2y - z = 2 -2x +3y +4z = 7 S =2x 4x+y +y+5z = 9 - 3z = 113 - O sistema S3, abaixo, um sistema linear homogneo com 3 equaes e 3 variveis.2x +3yS3 = -2x +4y-z=0+2z = 0X +y+3z = 0Este sistema dito homogneo pois todos os termos independentes so nulos. Solues de um Sistema Linear Dizemos que um sistema de equaes lineares com n incgnitas, x1, x2, x3, ..., xn , admite como soluo a seqncia ordenada ( r1 , r2 , r3 , ... rn ) se, e somente se, substituindo x1 = r1 , x2 = r2, x3 = r3 ..... xn = rn em todas as equaes do sistema, elas se tornarem todas verdadeiras. Exemplo: O sistema x + y = 10 x -y=4 tem uma soluo igual a (7, 3) pois substituindo x = 7 e y = 3 em cada uma das duas equaes do sistema teremos: (7) + (3) = 10 (verdadeiro) (7) - (3) = 4 (verdadeiro) Um sistema linear pode ter mais de uma soluo e pode at no ter soluo alguma. Se um sistema linear qualquer: tem uma nica soluo - chamado determinado; tem vrias solues - chamado indeterminado; no tem soluo - chamado impossvel. Propriedades 1 - Um sistema linear homogneo tem, sempre, pelo menos uma soluo pois x1 =0, x2 = 0, x3 = 0, ... xn = 0 sempre tornar todas as equaes do sistema homogneo verdadeiras. A soluo (0, 0, 0, ..., 0) chamada soluo trivial. 2 - Um sistema com n equaes e n variveis ter uma nica soluo (sistema determinado) se e somente se o determinante formado pelos coeficientes do sistema for diferente de zero.122EXERCCIOS 1. Resolva os seguintes sistemas: a) x+ y =5 x - y =1 x + 2y = 7 x - 2y = 3 x + 2y = 11 x- y =5 2x + y = 11 2x + 3y = - 1 x + 2y = 1 2x - y = 7 x + 3y = - 4 2x - y = 6 3x - 7y = 13 4x + 5y = 3 2x + 5y = 17 3x + 2y = 16b)c)d)e)f)g)h)Considere o sistema abaixo, nas incgnitas x e y, para responder as questes 2 a 4. 2x +y = 5 6x +py = q 2. O sistema ser indeterminado se e somente se a) p = 3 e q = 15 b) p = 3 e q 15 c) p 3 e q = 15 d) p 3 e q 15 e) p 3 e qualquer que seja o valor de q. 3. O sistema ser impossvel se e somente se a) p = 3 e q = 15 b) p = 3 e q 15 c) p 3 e q = 15 d) p 3 e q 15 e) p 3 e qualquer que seja o valor de q. 4. O sistema ser determinado se e somente se a) p = 3 e q = 15 b) p = 3 e q 15 c) p 3 e q = 15 d) p 3 e q 15 e) p 3 e qualquer que seja o valor de q. 5. Resolvendo o sistema abaixo x + y = 27 x + z = 35 y + z = 38 encontraremos a) x = 15123b) y = 12 c) z = 15 d) x = 12 e) y = 23 6. Resolvendo o sistema abaixo x +y +z = 6 3x -y +z = 8 x +y +2z = 7 encontraremos a) x = 3 b) y = 1 c) z = 2 d) x = 1 e) y = 3 7. Dois nmeros so tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos sero iguais. O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior diminudo de 2 unidades. Ento, a) o produto deles igual a 300. b) cada um deles maior que 20. c) os dois nmeros so mpares. d) os dois nmeros so pares. e) a soma deles igual a 33. 8. Numa gincana cultural cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos a cada resposta errada. Em 20 perguntas uma equipe conseguiu uma pontuao final de 44 pontos. Quantas perguntas esta equipe acertou? a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 9. Um colgio tem 525 alunos, entre moas e rapazes. A soma dos quocientes do nmero de rapazes por 25 e do nmero de moas por 30 igual a 20. Quantas so as moas do colgio? a) 150 b) 225 c) 250 d) 325 c) 375 10. Somando-se 8 ao numerador, uma frao ficaria equivalendo a 1. Se, em vez disso, somssemos 7 ao denominador da mesma frao, ela ficaria equivalendo a 1/2. A soma do numerador e do denominador desta frao igual a a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44 11. Somando-se 8 ao numerador, uma frao fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somssemos 7 ao 1 . Qual a frao original? denominador, a frao ficaria equivalente a 2 12. Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os ps seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas esto no quintal? 13. A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um nmero 9. Somado com 27, totaliza outro nmero, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual este nmero? 14. O mago Paulo Coelho tem em seu "laboratrio" algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo so 14 cabeas, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada tipo esto no laboratrio? 15. Calcular trs nmeros tais que a soma do 1 com o 2 40, a soma do 2 com o 3 70 e a soma do 1 com o 3 60.12416. Jos Antnio tem o dobro da idade que Antnio Jos tinha quando Jos Antnio tinha a idade que Antnio Jos tem. Quando Antnio Jos tiver a idade que Jos Antnio tem, a soma das idades deles ser 63 anos. Quantos anos tem cada um deles? 17. Uma rao para canrios composta por dois tipos de sementes, A e B. Cada uma delas contm trs nutrientes importantes, x, y e z, em quantidades diferentes, conforme mostrado na tabela abaixo. A x 5 y 3 z 1B462Se a rao for preparada com 2 partes da semente A e 3 partes da semente B, qual a quantidade que encontraremos para cada um dos trs nutrientes? Enunciado para as questes 18 e 19. Ao se compararem 3 projetos diferentes para residncias, constatou-se que as quantidades utilizadas para 4 materiais de acabamento variavam de um projeto para outro de acordo com a tabela abaixo que mostra as quantidades utilizadas para cada um deles. Tintas Pr