Matemática

Fabiano Bernardes

Geometria Analítica

x

y

A

B

C

D

2 3-1

-2

1

2

-2

-3

A (2 , 2)

B (- 2 , 1)

C (- 1, - 3)

D (3 , - 2)

Ponto Médio

x

y

A

B

2-2

1

2A (2 , 2)

B (- 2 , 1)

2

A BM

X XX

2

A BM

Y YY

2 20

2MX

2 1 3

2 2MY

Ex.: O ponto médio entre A (2 ,5) e B (x , y) tem

coordenadas iguais a (4 , 2). O valor de 2x + 5y é igual a

(A) 3.

(B) 5.

(C) 7.

(D) 9.

(E) 11.

2

24

2

8 2

6

A BM

B

B

B

X XX

X

X

X

2

52

2

4 5

1

A BM

B

B

B

Y YY

Y

Y

Y

2 5

2 6 5 1

12 5 7

x y

Distância entre 2 Pontos

x

y

A

B

2-2

1

2

d(AB)

2 2

2 2

a b a bd AB x x y y

d AB x y

Ex.: A distância entre os pontos A(3 , 1) e B(- 1 , y)

é 5. Um possível valor de y é

(A) 4

(B) 6

(C) 8

(D) 9

(E) 10

2 2

a b a bd AB x x y y

2 2

5 3 1 1 y

2 2

5 3 1 1 y

2 225 3 1 1 y

2225 4 1 y

2

25 16 1 y

2

9 1 y

9 1 y

' 4y

" 2y

Alinhamento de 3 Pontos

A(2 , 3)

B(3 , 5)

C(0 , - 1)0

10

- 3

0 1

2 3

3 5

0 1

7

2

- 9

0

- 7

Como 7 – 7 = 0 concluímos que os pontos estão alinhados

Considere os pontos: A(2 , 3), B (5 , - 1) e C (1 , 3)

A(2 , 3)

B(5 , - 1)

C(1 , 3)- 2

15

3

16

- 15

1

- 6

- 20

Como – 20 + 16 = - 4 concluímos que os pontos formam

um triângulo

2 3

5 1

1 3

2 3

A área do triângulo anterior vai ser calculada

por:

det

2A

Assim: 4

22

A

Equações da Reta

Pelos pontos A (1 , 5) e B (3 , 2) passa uma

reta cujas equações são:

5x

2

3y

5x + 3y + 2

- y

- 15

- 2x

– 2x – y – 15

1 5

3 2

x y

x y

5x + 3y + 2 – 2x – y – 15 = 0

Somando as duas expressões obtidas, e

igualando a zero encontramos:

5x – 2x + 3y – y + 2 – 15 = 0

3x + 2y – 13 = 0 Equação Geral da Reta

2y = – 3x + 13

y = – 3x + 13

2Equação Reduzida da Reta

UFRGS: Considere a figura abaixo (Dado: )

x

y

30º

0

r

Uma equação cartesiana da reta r é

3

3y x

3

13

y x

1 3y x

3 1y x

3 1y x (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

3tan 30º

3

1

x

y

30º

0

r1

tan30º tan150º tan30ºCO

CA

3

3 1

CO

3

3CO

3

3

y mx n 3 3

3 3y x

31

3y x

3

13

y x

E se o questionamento anterior fosse a equação

geral da reta?

3

13

y x 3 3

3 3y x

3 30

3 3y x

3 3 3 0x y

3 3 3 0y x

Distância Ponto-Reta

x

y

0

r

0 0

2 2,

Ax By Cd P r

A B

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0.

Estabeleça a distância entre A e r utilizando a

expressão dada anteriormente.

0 0

2 2,

Ax By Cd P r

A B

2 2

4 3 6 6 2,

4 6d P r

12 36 2

,16 36

d P r

22

,52

d P r

22

,52

d P r

22 52

,52 52

d P r

11 13

,13

d P r

22 52

,52

d P r 11 4 13

,26

d P r

Geometria Plana

Triângulos

Isósceles Retângulo Equilátero

x

y

x x xx

xy

Área dos Triângulos

2

b hA

2

a bA sen

2 3

4

aA

Triângulo Equilátero

h

l

l /2

h

l

l /2

60

tan 60 3

3

2

3

2

h

l

h l

2 3

4

lA

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são chamados de semelhantes se possuírem os

mesmos valores numéricos de ângulos

x

y

y

A

BC

D

E

AB BC AC

BD BE DE

Quadrado

2

2

2

2

A a

d a

dA

Losango

d

D

2

d DA

Trapézio

B

b

h

2

B bA h

Hexágono Regular

2 36

4

aA

Círculo e Circunferência

R2

2

2

D R

A R

C R

Triângulo inscrito em semicírculo

AB

C

Triângulo Equilátero Inscrito em uma

circunferência

apótema

3

3 6

2 3

3 3

h aapótema ap

araio R h R

Triângulo Equilátero circunscrito em uma

circunferência

3

6

raio apótema

aR

Geometria Espacial

Área Lateral de “Prismas”

lA Perímetro da Base Altura do sólido

Área Total de “Prismas”

2 tA Área Lateral Área da Base

Volume de “Prismas”

V Área da Base Altura

Área Lateral de “Pirâmides”

2

l

Perímetro da base AlturaA

Área Total de “Pirâmides”

T l bA A A

Volume de “Pirâmides”

2

bA HV

Tetraedro Regular

2

3

3

6

3

2

12

Superfície a

aAltura

aVolume

Esfera

34

3Volume R

24Superfície R