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5/9/2018 MATEMATICAS 1 - slidepdf.com

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MATEMATICAS 1

UNIDAD 1: ARITMÉTICA

SISTEMAS NUMERICOS

Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal,hexadecimal, romano, etc. Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base(número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciseis respectivamente) mientras queel sistema romano no posee base y resulta más complicado su manejo tanto connúmeros, así como en las operaciones básicas.

Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir conla notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el

primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b

veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn

) * A

donde: b = valor de la base del sisteman = número del dígito o posición del mismoA = dígito.

Por ejemplo:

digitos: 1 2 4 9 5 3 . 3 2 4 posicion 5 4 3 2 1 0 . -1 -2 -3

NUMEROS NATURALES

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un ciertoconjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,«, 10, 11, 12,«}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),«, 16º (decimosexto),«



Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, yaque las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar enel tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un

número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dosnúmeros naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo esmayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el quese puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos númerosnaturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplodel divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puededividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo dedivisión peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene

un resto

Propiedades de la adicion de Numeros Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa yelemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7



Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número

natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa,elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa


(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30


(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el númeronatural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma




a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55


5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Unaforma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiesecontado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver acontar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (lasovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Division de Numeros Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosasentre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (elnúmero de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (loque sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.



NUMEROS ENTEROS

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales ysus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {«, -11, -10,«, -2, -1, -0, 1, 2,«, 10, 11,«}Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldosdeudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (lastemperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o

por debajo de la entrada al mismo«).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| yque es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

� si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;� si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operacionesinternas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos númerosenteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Numeros Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

� Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el

signo que tenían los sumandos:� 7 + 11 = 18� -7 - 11 = -18� Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, serestan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:� 7 + (-5) = 7 - 5 = 2� -7 + 5 = - (7 - 5) = -2� 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:(a + b) + c = a + (b + c)Conmutativa:a + b = b + aElemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,a + 0 = aElemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto ±a,a + (-a) = 0



Multiplicacion de Numeros Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultadose deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signomenos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo

de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y sesintetiza del siguiente modo:

+ · + = ++ · - = -- · + = -- · - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:a · b = b · aElemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,a · 1 = aDistributiva de la multiplicación respecto de la suma:a · (b + c) = a · b + a · c

R esta de Numeros Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

NUMEROS RACIONALES

Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones.

Los números racionales representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales.Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos tomamos tres trozos de latarta nos hemos comido 3/4 de la tarta.

Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3, ... También son números racionales losnúmeros enteros 2 = 2/1, 5 = 10/2, ...



Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo: 1/2,se puede expresar como 1/2, 2/4, 3/6, ... De todas estas formas, la primera se llamafracción irreducible y las demás fracciones equivalentes.

Hay infinitos números racionales. Aunque parezca increíble, podemos 'contar' (asociar un número natural a cada número racional) los números racionales.

Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75.

Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se puedenclasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.

Los números racionales limitados son los que en su representación decimal tienen unnúmero fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25.

Los números racionales periódicos son los que en su representación decimal tienen unnúmero ilimitado de números.

Hay dos tipos de números racionales periódicos: Los periódicos puros: Un número, ogrupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo:3,838383...) y los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repiteilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...).

A veces, nos dan el número decimal y nos piden que calculemos el número fraccionario.Si quieres saber cómo se calcula dicha fracción visita la página: Fracción generatriz deun número decimal.

NUMEROS IRRACIONALES

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas,

por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación

entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración

radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en

los tendidos eléctricos.



e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,

Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

NUMEROS REALES

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los

números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto

en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto

de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e

son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de

sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es

numerable. (una demostración).



RAZONES Y PROPORCIONES

Se llama razón a un número de la forma- -a- -que se lee a es b y que significa que alnúmero a le- -b- -

corresponde el número b- - - -

En una aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de alumnos es 16¿Cuántas alumnas tiene el aula?

-La razón- -4- -se lee 4 es a 7- -entonces:- - -7- - - -

4- -8- -12- -16- ---=----=----=---- -por lo tanto hay 28 alumnas7- -14- -21- -28- -

Se llama proporción a la igualdad de dos razones:

a- -c- ---=--- -que se lee a es a b como c es a d

b- -d- -

- -5- -40- -La proporción - ---=---- -se lee 5 es 9 como 40 es a 72- -9- -72- -

La proporción se obtiene de multiplica por 8 tanto al numerador como al denominador

UNIDAD 2: ALGEBRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico

En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al±khwarizmi, al cual se leconsidera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabetoy algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico esestructurar un idioma queayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra aindique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera quea significa un número cualquiera de la numeración.



También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento deproblemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Lenguaje Álgebraico.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir,

cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o

expresión álgebraica.

Operaciones con Lenguaje Álgebraico

Aqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes queinvolucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico; cualquier razonamiento extra oformulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:

un número cualquiera

se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

a = un número cualquiera

b = un número cualquiera

c = un número cualquiera

... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

la suma de dos números cualesquiera

a+b = la suma de dos números cualesquiera

x+y = la suma de dos números cualesquiera

la resta de dos números cualesquiera

a-b = la resta de dos números cualesquiera

m-n = la resta de dos números cualesquiera

la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

el producto de dos números cualesquiera

ab = el producto de dos números cualesquiera

el cociente de dos números cualesquiera (la división dedos números cualesquiera)

a/b= el cociente de dos números cualesquiera

la semisuma de dos números cualesquiera



(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera

el semiproducto de dos números cualesquiera

(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama

lenguaje numérico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operacionesaritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como númerosen operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados deuna forma más breve.

El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 � = {

5,

10,

15, ...}.

En lenguaje algebraico se expresa 5 � n, con n un número entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresa a � b = b � a, donde a y b son dos númeroscualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticascon ellos.

El doble de un número es seis se expresa 2 � x = 6.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de lasoperaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentesy bases.

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de labase, la cualindica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x4

= x4

+ x4

+ x4

+ x4

+ x4

+ x4

+ x4

3x2

=

x2

x2

x2

Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica lacantidad de veces que la base se toma como producto.

Ejemplos:

5x3

= 5 (x) (x) (x)

8(

x + 5)2

= 8(

x + 5) (

x + 5)



Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican.

Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable.

A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas auna expresión algebraica:

Frase Expresión algebraicaLa suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)3 más que un número x + 3La diferencia entre un número y 5 a - 54 menos que n 4 - nUn número aumentado en 1 k + 1Un número disminuido en 10 z - 10El producto de dos números a � bDos veces la suma de dos números 2 ( a + b)Dos veces un número sumado a otro 2a + bCinco veces un número 5xEne veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocidoEl cociente de dos números abLa suma de dos números x + y

10 más que n n + 10Un número aumentado en 3 a + 3Un número disminuido en 2 a ± 2El producto de p y q p � qUno restado a un número n ± 1El antecesor de un número cualquiera x ± 1El sucesor de un número cualquiera x + 13 veces la diferencia de dos números 3(a ± b)10 más que 3 veces un número 10 + 3bLa diferencia de dos números a ± bLa suma de 24 y 19 24 + 19 = 4319 más que 33 33 + 19 = 52Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 ± 4) = 18 ± 8 = 10El producto de 6 y 16 6 � 16 = 963 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 ± 21) = 81 ± 63 = 18La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 9

2± 4

2= 81 ± 16 = 65

El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 312 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 12

2÷ (8 � 12) = 144 ÷ 96 = 1,5

INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y lascantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de lamatemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría denúmeros.

La palabra álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (enárabe ) (que significa "Compendio de cálculo por el método decompletado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para lasolución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabraálgebra» ( yabr) , proviene del árabe y significa "reducción".

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, endonde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, í , × , ÷), en



álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a , b , c , x , y , z). Esto esútil porque:

y Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), yesto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de losnúmeros reales.

y Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio decómo resolverlas.

y Permite la formulación de relaciones Funcionales.y Si bien la palabra álgebra viene del vocablo árabe (al-Jabr, ), sus orígenes

se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzadosistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una formaalgebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas ysoluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelenresolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado yecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de estaépoca, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos

geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, SulbaSutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Cap

¡

tulos sobre el Arte de las

Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio elmarco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los

problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

y Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron lastradiciones de Egipto y Babilonia, pero el Diophantus del libro Arithmetica estáen un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanesdesarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodosespeciales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero enresolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado deecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas desegundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

y La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, " en eltítulo del libro al-Kitab al-mutaar fi al-Gabr isb wa-l-muqbala, , el sentido del Resumen del libro se refierea la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por elmatemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwrizm (consideradoel "padre del álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". Elmatemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el"padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si

al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar.Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que seencuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebraArithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmenteretórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que

presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términosrestará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a amboslados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y quedio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas,



apoyada por las pruebas geométr i as, mientras que el tratamiento de álgebracomo una disci plina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampocotratar ía "con una ser ie de los problemas por resol er ", sino con una "exposici nque empieza con lo pr imiti o en el que las combinaciones deben dar todos los

posi bles prototi pos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero ob jeto de estudio". También estudi una ecuaci n para su propio bien

y "de forma genér ica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la soluciónde un problema, sino que específ icamente en la llamada para def inir unainf inidad de problemas de clase".

y El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometr ía algebraica yencontró la solución geométr ica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa,Sharaf Al in al Tusi, encontró la solución numér ica y algebraica a diversoscasos de ecuaciones cúbicas. Él también desarrolló el concepto de una función.Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al Kara ji,y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron var ios casos de cúbicos, quar tic,quintic y ecuaciones polinómicas de orden super ior mediante métodosnumér icos.

y Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica

de las ecuaciones cúbicas y quár ticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. Laidea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés KowaSeki en el siglo XVII, seguido por ottfr ied Lei bniz diez años más tarde, con el f in de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matr ices.

abr iel Cramer también hizo un traba jo sobre matr ices y determinantes en el siglo XVIII. R esumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándoseinicialmente en lo que ahora se llama la teor ía de

alois, y en cuestiones deconstructi bilidad.

y En matemáticas, una estructura algebraica es un con junto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que def ine a la estructuradel con junto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos dedicho con junto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen.Un ob jeto matemático constituido por un con junto no vacío y algunas leyes decomposición interna def inida en él es una estructura algebraica. Las estructurasalgebraicas más impor tantes son:

Estr ct ra Ley i terna sociati i ad e tronverso on tatividad

Magma Semigrupo Monoide Monoide abeliano

rupo

rupo abeliano

y

Estr ct ra ( ,+,·) ( ,+)( ,·)

Semianillo Monoide abeliano Monoide



Anillo Grupo abelianoSemigrupo

Cuerpo Grupo abeliano Grupo abeliano

y

y En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría deconjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras sonllamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

y Aquí algunos ejemplos:

NOTACION ALGEBRAICAS

El sistema de notación algebraica es una forma de representar la secuencia demovimientos de una partida de ajedrez. Desde 1997 es el único sistema de notaciónoficial en ajedrez, reemplazando al sistema de notación descriptiva. Variantes deajedrez, como el ajedrez aleatorio de Fischer , utilizan únicamente esta notación.

PRODUCTOS Y COCIENTES DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podíansumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

E jemplo 8.- Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

Signos Símbolos

Expresión Uso

+ Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias

c ó k Expresan Términos constantes Primeras letras del abecedarioa , b , c ,... Se utilizan para expresar cantidades conocidas

Últimas letras del abecedario..., x , y , z Se utilizan para expresar incógnitas

n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)

Exponentes y subíndices

Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.



b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de elloses un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras,mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sóloconsta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el

caso a)

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x+ 3 son dos binomios

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.

Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los gradosde los monomios que lo forman.

Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.

En el caso b) el grado es 4.

Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios),se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en elcaso b).

Suma resta de polinomios

La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podránsumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de lasuma.

"A partir de este momento trabajaremos a sólo con polinomios con una sola letra x) por considerar que son los más utilizados en la práctica "

E jemplo 9.- Para calcular la suma de los polinomios:

(4x4

- 2x3

+ 3x2

- 2x + 5 ) + ( 5x3

- x2

+ 2x )

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de lostérminos del primero como está.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5+ --- 5x3 --- x2 +2x



_____________________ 4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo atodos los términos del segundo y sumar los resultados.

E jemplo 10.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x+ 5

La escena siguiente presenta la suma y la resta de dos polinomios de grado máximo 3,siendo posible cambiar los coeficientes de cada uno de ellos. Téngase en cuenta que siun coeficiente es 0, el término correspondiente vale 0, luego no suma ni resta yviceversa, si "falta" un término podemos suponer que el coeficiente es 0.

-E jercicio 6.- Calcula en tu cuaderno de trabajo la suma y la resta de los dos siguientes polinomios.

a) ( - x3 + 5x2 - x + 1 ) +( 5x2 - x - 3 )

b) ( 6x2 - x + 4 ) + ( 5x3 - x - 1)La suma del caso a) es la que se presenta en la escena adjunta. Cambia después los

valores de los coeficientes (se llaman c1 a c4 para el primer polinomio y c5 a c8 para elsegundo) de la escena para realizar la resta del caso y la suma y resta del caso b).

producto de polinomios

para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro sumar los resultados. "atención especial al producto de potencias de la misma base")

si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

en el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar lamultiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras,cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

en la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.

ejemplo 11.-



en la práctica no suele indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelencolocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. así:

ejemplo 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x 4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5)= - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5.

igualdades notables

se denominan así a algunas operaciones con polinomios de especial interés ya queaparecerán frecuentemente en los cálculos.

las más usuales son:

cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2

naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:

(a b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 2ab b2

" el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces elprimero por el segundo más el cuadrado del segundo "

de modo similar: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el signocentral).

"en cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central". "en general se puede considerar siemprecomo una suma y para cada término asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo 13 -

b)

ejemplo 13.-

a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2

b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9

suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por ladiferencia de ellos mismos:



(a b) (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" .

otras igualdades importantes pero menos utilizadas pueden son:

cubo de una suma: (a b)3 = a

3 3a2b 3ab2 b3

cuadrado de un trinomio: (a b c)2 = a

2 b2 c2 2ab+ 2ac + 2bc

-ejercicio 7.- calcula los siguientes productos notables:

a) (x + 2y)2

b) (2x2 - y)2

"el resultado del apartado a) puedes verlo en la escena. cambia los coeficientes en la parte inferior de la escena y los exponentes de las letras en la parte superior paracomprobar el b) y otros resultados que desees".

-ejercicio 8.- calcula los siguientes productos notables:

a) (2a + 3b) (2a - 3b)

b) (-3a + b2) (-3a - b2)

"el resultado del apartado a) puedes verlo en la siguiente escena. cambia los coeficientesen la parte inferior de la escena y los exponentes de las letras en la parte superior para

comprobar el b) y otros resultados que desees"

división de polinomios

la división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números devarias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, conlos polinomios las vamos indicando. el proceso es el siguiente:

con los polinomios dividendo divisor ordenados de mayor a menor grado:

- se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al

primer término del cociente

- se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con lossignos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante

- se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de gradomenor al inicial



- se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

normalmente se dividen polinomios con una sola var iable (x) tanto en el dividendocomo en el divisor. en la imagen siguiente se puede ver una división completa:

eje plo 4.-

como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto- 3x + 2.

ejercicio .- realizar la división del polinomio 3x3 - 2x2 - 4x - 4 entre el binomio x - 2

(se debe obtener de cociente 3x2 + 4x + 4 y de resto 4)

precisamente el ti po de cocientes del e jercicio 9 es el más usual en la división de polinomios y a él dedicaremos el apar tado siguiente

PR ODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reci ben aquellas multi plicaciones con expresionesalgebraicas cuyo resultado puede ser escr ito por simple inspección, sin ver if icar lamulti plicación que cumplen cier tas reglas f ijas. Su aplicación simplif ica y sistematiza laresolución de muchas multi plicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factor ización. Por e jemplo, lafactor ización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomioscon jugados y recí procamente.

El resultado de multi plicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distr i butiva:

Esta operación tiene una interpretación geométr ica ilustrada en la f igura. El área del rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenersecomo la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).



E jemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multi plicar lo por sí mismo), se suman loscuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir :

un tr inomio de la forma: , se conoce como tr inomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

E jemplo

simplif icando:

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multi plican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadradodel término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

E jemplo

agrupando términos:

luego:



Producto de dos binomios con jugados

Dos binomios con jugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de laoperación. Para multi plicar binomios con jugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restar los, obteniendo una diferencia de cuadrados

E jemplo


A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadradosde cada término individual y luego se añade el doble de la sumade los productos decada posi ble par de términos.

E jemplo

multi plicando los monomios:


luego:



Binomio al cubo o cubo de un binomio

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del pr imer término, con el tr i ple producto del cuadrado del pr imero por el segundo, más el tr i ple producto del pr imero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Identidades de C auchy:

E jemplo


Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del pr imer término,menos el tr i ple producto del cuadrado del pr imero por el segundo, más el tr i ple productodel pr imero por el cuadrado del segundo,menos el cubo del segundo término.

Identidades de C auchy:

E jemplo


Identidad de Argand



FACTORIZACION

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un númerocompuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños(factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, almultiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza ennúmeros primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamentalde la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teoremafundamental del álgebra.

FACTORIZAR UN POLINOMIO

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizandonúmeros reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos defactorización, para algunos casos especiales.

y Binomios

1. Diferencia de cuadrados2. Suma o diferencia de cubos3. Suma o diferencia de potencias impares iguales

y T rinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto2. Trinomio de la forma x²+bx+c

3. Trinomio de la forma ax²+bx+c

y P olinomios

1. Factor común

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio,con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hayuna regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadradodel segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos

que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, serásumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos



y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Pr imero hay que determinar el factor común de los coef icientes junto con el de lasvar iables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor comúnno solo cuenta con un término, sino con dos.

un e jemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio(x- y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio or iginal, es

decir :

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número1, por e jemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso - actor co n por a r paci n de tér inos

Para traba jar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que sondos caracter ísticas las que se repiten. Se identif ica porque es un número par de términos.

Un e jemplo numér ico puede ser :

entonces puedes agrupar los de la siguiente manera:



Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso - Trino io Cuadrado Perfecto

Se identif ica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, yel restante equivale al doble producto de las raíces del pr imero por el segundo. Parasolucionar un Tr inomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos de jando de

pr imero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raízcuadrada del pr imer y tercer término y los escr i bimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el

binomio al cuadrado.

E jemplo 1:

E jemplo 2:

E jemplo 3:

E jemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del pr imer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nosqueda:



Al ver if icar que el doble producto del pr imero por el segundo término es-20x y determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicar ía.

Caso V - iferencia d e cuadrados

Se identif ica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos.

Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a- b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más genera l para exponentes pares:

Y utilizando una productor ia podemos def inir una factor ización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

E jemplo 1:

E jemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este e jemplo.

La fact or i¢ ación de l a d i ferencia o rest a de cuadrados consi st e en obt ener l as raíz

cuadrada de cada tér mino y represent ar est as como el product o de binomiosconjugados.

Caso V - Trino io cuadrado perfecto por adici n y sustracci n

Se identif ica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completar lo mediante la suma para que sea el doble producto de susraíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el e jercicio or iginal nocambie.



N £

tese que los par ¤

ntesis en " ( xy-xy)" est án a modo de aclaraci£

n visual .

Caso I - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno deellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales

se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados dencomo resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos)den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Ejemplo:

Caso II - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempreque n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar.Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de estageneralización.



Caso V - Trino io de la for a ax¥

+ b x + c

En este caso se tienen 3 términos: El pr imer término tiene un coef iciente distinto deuno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anter ior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una par te literal, así:

Para factor izar una expresión de esta forma, se multi plica el término independiente por el coef iciente del pr imer término(4x2) :

Luego debemos encontrar dos números que multi plicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coef iciente del término x :

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubier tos anter iormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coef iciente del término x2 :

:

Queda así terminada la factor ización :

:

Caso X - Cubo perfecto de Tetrano ios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:



OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES

Para realizar operaciones con fracciones racionales usaremos los procedimientosutilizados para realizar operaciones con números racionales. Así:

Si y son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientesigualdades:

1.

2.

3.

4.

Notación

por lo que

E jemplo

Sean ;

Determine:

En cada caso exprese el resultado como una fracción racional en su forma más simple.

Solución:

- -- -

- -- -



- -- -

- -

- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -

E jemplo

Realice las operaciones indicadas en cada una de las expresiones siguientes y escriba lafracción racional resultante en su forma más simple:

Solución:

Por lo que:



- -- -

- -- -

- -- -

- -

- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

Por lo que:

A continuación enunciaremos un resultado que puede ser usado para sumar y restar fracciones racionales.

-R esultado:

-Si y son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientesigualdades:



i.)

ii.)

Justificación del resultado:

i.)

Por lo que:

ii.) Justificación análoga a la anterior.

Nota:

El resultado enunciado anteriormente se generaliza al caso en que se suman o restan treso más fracciones racionales.

En los ejemplos siguientes ilustraremos el uso de este resultado al sumar o restar fracciones racionales.

E jemplo

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba lafracción racional resultante en su forma más simple.

a)

b)



c)

d)

e)

f)

g)

Solución:

- -

- -

- -- -- -

Por lo que:

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -



- -- -

Por lo que:

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -

- -

- -- -

- -- -

- -

Por lo que:

- -



- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -

Por lo que:

e)



Por lo que:

-

--

-

-

--

--

--

--

-

-

Por lo que:



-

--

no es factorizable en el conjunto de los números reales.

-

--

--

--

--

-

--

Por lo que:

E jemplo Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba lafracción racional resultante en su forma más simple:



Solución:

- -

- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

Por lo que:

- -- -

- -- -



- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

Por lo que:

A continuación nuestro objetivo es efectuar operaciones con expresiones algebraicasque involucran potencias enteras negativas y con expresiones algebraicas de varias

variables.Para esto, haremos uso de las propiedades de las potencias, y de los procedimientos quese usan para realizar operaciones con fracciones racionales, como se ilustra en losejemplos que siguen.

E jemplo

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba elresultado en su forma más simple:

a) -b)

c) -d)

e) -f)



Solución

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

Por lo que:

- -- -

- -- -

- -- -



- -- -

- -

- -

- -- -

Por lo que:

-

--

--

--

--

-

Por lo que:

-



--

-

-

--

--

-

Por lo que:

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -



Por lo que:

- -- -

- -- -

- -- -

- -- -

- -

- -

- -- -

- -- -

Por lo que:



SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o másfactores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: Simplificar

Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar

Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes desimplificar hay que factorizarlo.

En este caso el método adecuado es sacar factor común así

Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, bastadividir numerador y denominador por los factores comunes

2

2

33

6

x x y

x x y

!

x x y

3

x y

.2. x . x x y 2

x y

x

!

x x y

3

2 3

x

x x

2 x

3 3 2

2 3 2 1

x x x

x x x x! !

2

. x

x 11

x

x x!

2

31525

a

a

2

3

15 3.5

25

a

a!

2. a

5.5 2. a

3

5. aa!



2.

3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el

denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador

4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero eldenominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.

5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de unadiferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia

PRODUCTOS Y COCIENTES DE FRACCIONES

ALGEBRAICAS

El cociente de dos f racciones algebraicas es otra f racción

algebraica con numerador el producto del numerador de la

primera por el denominador de la segunda, y con denominador el

producto del denominador de la primera por el numerador de la

segunda.

Dividir las f racciones algebraicas:

3

4 2

212

18

xy

x y!

.2.3. x 2. y .

2

y

.3.3. x 3 2. . x y3

2

3

y

x!

2 x x

yx y

x y

2 1 x x x x

yx y

!

1 y x

x

y!

2

1

2 1

x

x x

22

1 1 1

2 1 1

x x x

x x x

! !

1 x

1

11 x x!

2

1

1

x

x

2

1 1

1

x x

x

!

1 x

1

11 x x!



ECUACIONES

Para las matemáticas, una ecuación (del latín aequato) es una igualdad que contieneuna o más incógnitas. Se conoce como miembros a las expresiones algebraicas que

presentan los datos (los valores conocidos) y las incógnitas (los valores desconocidos)

relacionados a través de operaciones matemáticas.

Los datos presentados en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes ovariables. Las incógnitas, por su parte, aparecen representadas por letras quereemplazan al valor que se intenta hallar.

Una ecuación sencilla es la siguiente:

4 + x = 9

En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma:

4 + x = 9 x = 9 ± 4 x = 5

El valor de la incógnita, por lo tanto, es 5.

Para la química, una ecuación es la expresión simbólica de una reacción química queseñala las cantidades relativas de reactantes y productos.

En el campo de la astrologí a, una ecuación es la diferencia que existe entre elmovimiento medio y el verdadero o aparente de un astro.

Cabe destacar, por último, que se utiliza el término ecuación en el lenguaje cotidiano para hacer referencia a fórmulas o cálculos que implican distintas variables. Por ejemplo: ³Si compro un coche nuevo de 30.000 dólares y no me ascienden en el trabajo,la ecuación no va a funcionar´, ³La ecuación, en mi opinión, es simple: te convienerenunciar a tu puesto actual, invertir la plata que tienes ahorrada y abrir tu propiaempresa´.



ECUACIONES LINEALES CON UNA INCO NITA

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocidocomo sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un con junto deecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un e jemplo de sistema

lineal de ecuaciones ser ía el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las var iables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de lamatemática y tiene una inf inidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de

señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisisnumér ico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escr ito enforma ordinar ia como:

Donde son las incógnitas y los números son los coef icientes del

sistema sobre el cuerpo . Es posi ble reescr i bir el sistema separandocon coef icientes con notación matr icial:

(1)

Si representamos cada matr iz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matr iz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de auss-Jordan se aplica a este ti pode sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coef icientes.



En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobreel cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los coef icientes de las ecuaciones sonnúmeros reales.

R epresentación gráf ica

La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será elplano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por unarecta,si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde seintersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existeningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema esincompati ble, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tr idimensional,siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en unúnico punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrar io, laintersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá inf initassoluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superf icie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráf ica no existe, por lo quedichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Ti pos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasif icar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

y Sistema incompati ble si no tiene ninguna solución.y Sistema compati ble si tiene alguna solución, en este caso además puede

distinguirse entre: o Sistema compati ble determinado cuando tiene un número f inito de

soluciones.o Sistema compati ble indeterminado cuando admite un con junto inf inito de

soluciones.

Quedando así la clasif icación:



Los sistemas incompati bles geométr icamente se caracter izan por (hi per)planos o rectasque se cruzan sin cor tarse. Los sistemas compati bles determinados se caracter izan por un con junto de (hi per)planos o rectas que se cor tan en un único punto. Los sistemascompati bles indeterminados se caracter izan por (hi per)planos que se cor tan a lo largo deuna recta [o más generalmente un hi perplano de dimensión menor]. Desde un punto devista algebraico los sistemas compati bles determinados se caracter izan porque el

determinante de la matr iz es diferente de cero:

Sistemas compati bles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compati ble indeterminado cuando posee un númeroinf inito de soluciones. Por e jemplo, el siguiente sistema:

Tanto la pr imera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente

es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compati ble por haber solución o intersección entrelas rectas, pero es indeterminado al ocurr ir esto en inf initos puntos.

y En este ti po de sistemas, la solución genér ica consiste en expresar una o másvar iables como función matemática del resto. En los sistemas linealescompati bles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

y Una condición necesar ia para que un sistema sea compati ble indeterminado esque el determinante de la matr iz del sistema sea cero (y por tanto uno de susautovalores será 0):

y De hecho, de las dos condiciones anter iores se desprende, que el con junto desoluciones de un sistema compati ble indeterminado es un subespacio vector ial.Y la dimensión de ese espacio vector ial coincidirá con la multi plicidadgeométr ica del autovalor cero.

Sistemas incompati bles

De un sistema se dice que es incompati ble cuando no presenta ninguna solución. Por e jemplo, supongamos el siguiente sistema:



Las ecuaciones se corresponden gráf icamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cor tan en ningún punto, es decir, no existe ningúnvalor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompati ble cuando el rango de la matr iz del sistema es infer ior al rango de la matr iz ampliada. Una condición necesar ia para que

esto suceda es que el determinante de la matr iz del sistema sea cero:

Sustitución

El método de sustitución consiste en despe jar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, prefer i blemente la que tenga menor coef iciente, para, a continuación,sustituir la en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despe jado. Enese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por e jemplo,supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la pr imera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coef iciente yque posi blemente nos facilite más las operaciones, y la despe jamos, obteniendo lasiguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones or iginales obtendremos , conlo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso par ticular del método desustitución en el que se despe ja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuaciónse igualan entre sí la par te derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como e jemplo para el método de sustitución, si despe jamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:



Como se puede observar, ambas ecuaciones compar ten la misma par te izquierda, por lo

que podemos af irmar que las par tes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de lasecuaciones or iginales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio paradespe jar x después de aver iguar el valor de la y.

R educción

Este método suele emplearse mayor itar iamente en los sistemas lineales, siendo pocoslos casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado

para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de lasecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dosecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coef iciente y distintosigno. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción ocancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,donde el método de resolución es simple.

Por e jemplo, en el sistema:

no tenemos más que multi plicar la pr imera ecuación por para poder cancelar laincógnita . Al multi plicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema or iginal, obtenemos una nuevaecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente

el valor de la incógnita :



El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita encualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

Método de auss

La eliminación de auss-Jordan, más conocida como método de auss, es un métodoaplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en tr iangular lamatr iz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coef iciente situado en lamisma f ila de la matr iz. Este procedimiento es similar al anter ior de reducción, peroe jecutado de manera reiterada y siguiendo un cier to orden algor ítmico.

El Método de auss consiste en conver tir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3incognitas en uno escalonado, en la que la pr imera ecuación tiene 3 incógnitas, lasegunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De estaforma será fácil a par tir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tresincógnitas.

En pr imer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda f ila, la pr imera

multi plicada por , y a la tercera, la pr imera f ila. La matr iz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la pr imera y tercera f ila, para locual les sumamos la segunda multi plicada por y por , respectivamente.

Por último, eliminamos la , tanto de la pr imera como de la segunda f ila, sumándoles la

tercera multi plicada por y por , respectivamente:



Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo prefer imos, podemos multi plicar las tres f ilas de la matr iz por : , yrespectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en laúltima columna.

Pongamos un e jemplo del calculo de un sistema de ecuaciones por el método de auss:

Se reúnen 30 personas entre hombres, mu jeres y niños. Se sabe que entre loshombres y el tr i ple de mu jeres exceden en 20 el doble de los niños. Tambien sesabe que entre hombres y mu jeres se duplican al número de niños. Plantear yresolver el sistema de ecuaciones.

y Se reúnen 30 personas entre hombres, mu jeres y niños:

y Se sabe que entre los hombres y el tr i ple de mu jeres exceden en 20 el doble delos niños:

y Tambien se sabe que entre hombres y mu jeres se duplican al número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenadoresulta:



Aplicamos auss, restando la pr imera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesar iohacer mas operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la pr imera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

R egla de Cramer Ar tículo pr inci pal: R egla de Cramer

La regla de Cramer da una solución para sistemas compati bles determinados entérminos de determinantes y ad juntos dada por :

Donde A j es la matr iz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:



La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante or iginal det(A) el resultado es 0, el sistema indicamúlti ples o sin coincidencia.

SISTEMA DE DOS Y TR ES ECUACIONES LINEALES CONDOS Y TR ES INCO NITAS R ESPECTIVAME NTE

Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos var iables, podemos usar el métodode eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adicióno sustracción).El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matr ices que se estudia en esta sección.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres var iables tiene una solución única, unnúmero inf inito de soluciones o no tiene solución.

Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales: E jemplo: R esuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 ................................... (pr imer ecuación)4x + 5y + 6z = 24 ............................... (segunda ecuación)3x + y - 2z = 4 .................................. (tercera ecuación)

Solución: Suma -4 veces la " pr imera ecuación" a la "segunda":x + 2y + 3z = 9-3y - 6z = -123x + y - 2z = 4

Suma -3 veces la " pr imera ecuación" a la "tercera":x + 2y + 3z = 9-3y - 6z = -12-5y - 11z = -23



Multiplica por -(1÷ 3) la "segunda ecuación":x + 2y + 3z = 9y + 2z = 4-5y -11z = -23

Multiplica por -1 la "tercera ecuación":x + 2y + 3z = 9y + 2z = 45y +11z = 23

Suma -5 veces la "segunda ecuación" a la "tercera":x + 2y + 3z = 9y + 2z = 4z = 3

Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución. De la "terceraecuación", vemos que z = 3. Al sustituir "z" con 3 en la "segunda ecuación", y + 2z = 4obtenemos y = -2. Por último, encontramos el valor de "x" al sustituir y = -2 y z= 3, en la "primera ecuación", x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4. Por tanto, hay unasolución:

x = 4,y = -2,z = 3.

Si analizamos el método de solución, vemos que los símbolos usados para las variablescarecen de importancia; debemos tomar en cuenta los coeficientes de las variables.

Puesto que esto es verdadero, es posible simplificar el proceso. En particular,introducimos un esquema a fin de seguir los coeficientes en forma tal que no hayanecesidad de escribir las variables.

Con referencia al sistema anterior, primero comprobamos que las variables aparezcan enel mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha delos signos de igualdad. En seguida anotamos los números que intervienen en lasecuaciones de esta forma:

Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.

Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuacióndel otro en sentido horizontal:1-2-3-4-primer renglón R1



4-5-6-24-segundo renglón R23-1--2-4-tercer renglón R3Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentidoverticalPrimera columna C1-Segunda columna C2-Tercera columna C3-Cuarta columna C4

1-2-3-94-5-6-243-1--2-4La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz delsistema. Si borramos la última columna, la restante ordenación es la matriz decoeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matrizcoeficiente agregando una columna, le decimos matriz coeficiente aumentada osimplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar lassoluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de líneavertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos deigualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente.

Sistema-Matriz coeficiente-Matriz aumentada

- -

Antes de estudiar un método de matrices para resolver un sistema de ecuacioneslineales, daremos una definición general de matriz.

ECUACIONES CUADRATICAS

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura queexista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuacionescuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del

tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos lossiguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmulacuadrática.

Factorización:



Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luegoexpresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) x2 - 4x = 02) x2 - 4x = 123) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porqueeste método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otrosmétodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k esequivalente a :

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método deraíz cuadrada:

1) x2 - 9 = 02) 2x2 - 1 = 03) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomiocuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término delmedio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomiocuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número quecompleta el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

x k ! s .

x bxb2

2

2

¨ª©

¸ º¹ .



Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método decompletar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 02) x2 ± 10x + 5 = 03) 2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por lafórmula cuadrática:

La expresión:

conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla acontinuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución deacuerdo con el valor del discriminante.

xb b ac

a!

s 2 4

2.

b ac2 4

matematicas 1

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