matemáticas 5° tomo ii

TOMO IIMatemática

TOMO II

° 5TOMO II

Matemáticabásico5°TOMO II

El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didáctica de las páginas de resolución de problemas basadas en el Método Gráfico Singapur propuestas en los textos de Matemática del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.

¿Qué pasos me permiten resolver de manera

ordenada un problema?

Dirección editorial

Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

Jefatura de área

Mg. Cristian Gúmera Valenzuela

Edición

Mg. Patricio Loyola Martínez

Autoría

Prof. Jaime Ávila HidalgoProf. Cristina Fuenzalida GuzmánProf. María José Jiménez RobledoProf. Paola Ramírez González

Asesoría pedagógica y de contenidos

Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloDr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar RoblesProf. Pedro Marchant Olea

Asesoría en didáctica

Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barbé FarréMg. Enrique González LaussubeProf. Dinko Mitrovich García

Primero, debes leer y comprender la situación y la

pregunta asociada a ella.

Luego, debes seleccionar los datos que te permitan

responder la pregunta.

Una vez seleccionados los datos, encontrarás la solución del

problema utilizando una estrategia.

Finalmente, debes comprobarla solución y responder

la pregunta del problema.

Pasos para

Resolver problemas

Resolución de problemas

Problema

Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.

Datos: El área del rectángulo es 36 cm2.

El largo del rectángulo mide 9 cm.

Estrategia: Representación gráfica.

Comprobación y respuesta:

(9 • x) cm2 = 36 cm2

x = 4 El ancho del rectángulo mide 4 cm.

Pas

os

Pa

Ra

Res

olv

eR s

itu

ac

ion

es P

Ro

ble

ma

Comprensión de la situación y la pregunta

Explica con tus palabras la situación y la interrogante que debes responder.

Selección de los datos

Selecciona solo aquellos datos de la situación que te permitan dar respuesta a la pregunta.

Utilización de una estrategia

En esta etapa, busca una estrategia para resolver la situación problema.

Comprobación y respuesta

Analiza la solución encontrada y responde en forma completa la pregunta del problema.

est

Ra

teg

ias

Pa

Ra

Res

olv

eR P

Ro

ble

ma

s

Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.

Hacer una representación gráfica utilizando cuadrículas Se tienen 36 .

Hacer una lista con las posibles medidas

El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulomide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?

Largo Ancho

36 cm 1 cm

18 cm 2 cm

12 cm 3 cm

9 cm 4 cm

6 cm 6 cm

1 cm

1 cm

9 cm

x cm

El Tomo II del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdirección de contenidos: Ana María Anwandter RodríguezAsistente de edición: Eder Pinto MarínSolucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,Aldo Ramírez MarchantCorrección de estilo: Patricio Varetto Cabré Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarríaGestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga

Subdirección de arte: María Verónica Román SotoJefatura de arte: Raúl Urbano CornejoDiseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta Moscoso Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga, Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera PortillaFotografías: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustración de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcónProducción: Germán Urrutia Garín

Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total

o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares

de ella mediante alquiler o présta mo público.

© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).

PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2138-4 – Inscripción N° 218.133

www.santillana.cl [email protected]® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.

Todos los derechos reservados.

El texto escolar que tienes en tus manos es mucho más que un buen texto:

Plataforma en línea disponible 24 horas al día con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.

2.240 horas de investigación y análisis para la elaboración de esta sólida propuesta educativa.

Más de 40 años de experiencia al servicio de la educación de calidad en Chile.

320 profesionales de primer nivel pensando día a día en cómo mejorar la educación de nuestro país.

Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educación, la cultura y la vida saludable.

Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el país.

Comprometidos socialmente con el futuro de más de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.

PresentaciónEste libro forma parte del proyecto la Casa del Saber, que es un espacio

educativo donde podrás desarrollar las capacidades necesarias para

tu formación personal y social. ¿Qué encontrarás en la Casa del Saber?

• Es una casa donde todos tenemos cabida. Aquí encontrarás

contenidos, textos, imágenes y actividades escritas de una

manera sencilla y amigable, para que descubras que aprender

es entretenido.

• Es un espacio donde todos aprendemos a compartir y a convivir,

por medio de actividades que nos invitan a reflexionar sobre los

valores y a relacionarnos mejor con los demás.

• Es una casa abierta al mundo, donde podrás aprender más y de

manera interactiva gracias a la tecnología.

• Es una casa llena de desafíos que te pondrán a prueba y que

junto con tus compañeras y compañeros, deberán enfrentar para

encontrar soluciones, desarrollando habilidades matemáticas y

aplicando diferentes estrategias de cálculo y de resolución de

problemas.

Nosotros avanzaremos con ustedes en todo momento,

solo necesitan curiosidad y ganas de aprender.

Casa del Saber 3

¿Cómo se organiza tu texto? El texto Matemática 5º básico Casa del Saber se organiza en 7 unidades y en cada unidad encontrarás:

¿Qué sabes? Evaluación inicial

Considerando la situación anterior, responde.

1.¿Cuál es el título del gráfico que mostró la profesora?

2.¿Qué representa cada barra en el gráfico? Explica.

3.Marca con un si la afirmación es correcta y con una , si no lo es.

a. El eje horizontal del gráfico representa los años del estudio.

b. Del gráfico se puede concluir que la cantidad de residuos entre un año y otro aumentó.

c. Todas las barras del gráfico deben tener el mismo ancho.

d. Todas las barras del gráfico deben tener la misma altura.

4.Analiza la siguiente tabla que representa la información obtenida por los estudiantes de 5° básico. Luego, completa el gráfico de barras correspondiente.

Cantidad de residuosdesechados en una semana

Día Cantidad de residuos (kg)

Lunes 150

Martes 135

Miércoles 148

Jueves 160

Viernes 155

TOTAL 748

Cantidad de residuos desechados en una semana

Cantidad de residuos (kg)

Día

263

Datos y probabilidadesUnidad

Datos y probabilidades7

En esta unidad aprenderás a:• Resolver situaciones problema mediante el análisis de tablas, gráficos de barras

y de líneas, comunicando tus conclusiones.

• Representar datos mediante diagramas de tallo y hojas.

• Resolver distintas situaciones mediante el cálculo del promedio de datos, e interpretar su resultado.

• Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento respecto de un experimento aleatorio.

• Comparar probabilidades de distintos eventos.

• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.

Fuente: www.conama.cl

Año

Tone

lada

s

2006

237.574 239.254252.750 249.755

2007 2008 2009

300.000

250.000

200.000

150.000

100.000

50.000

0

Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile

262

Páginas de inicio de unidad

• Número y título de la unidad

• Objetivos de aprendizaje

• Evaluación inicial

• Observa y responde

• Lee y responde

• Analiza y responde

• Aprende

• Practica

• Ponte a prueba

Practica

Conocer las unidades de superfi cie

1.Remarca la unidad más apropiada para medir las siguientes superficies. Justifica tu respuesta. Identificar

2.Encierra con color rojo la medida que representa una superficie mayor y con color verde la que representa una superficie menor. Analizar

a. b.

Justificación: Justificación:

cm2 mm2

m2 m2

km2 dam2

a. b. c.

51.000 cm2

4,9 hm2

5.200 dm2

0,5 km2

9 dam2

9 m2

9 km2

9 hm2

800 km2

3.000 hm2

650 mm2

30 m2

PonteapruebaJuan necesita cubrir una pared de 18 m2 con papel mural y recibe ofertas de dos casas comerciales, tal como se presenta.

¿Cuál de las dos ofertas es más económica, según las necesidades de Juan? Explica.

Dimensiones: 50 cm x 150 cm Dimensiones: 1 m x 3 m

229Unidad 6 / Medición

Módulo 1 / Unidades de longitud y superficie

Aprende

Observayresponde

Unidadesdesuperficie

• Marca con un la afirmación correcta.

El cerro Santa Lucía tiene una superficie menor que el Parque Forestal.

El Parque Forestal tiene una superficie mayor que 180.000 m2.

El cerro Santa Lucía tiene una superficie de

65.300 metros cuadrados (m2).

El Parque Forestal de Santiago tiene una superficie

de 171.910 metros cuadrados (m2).

Fuente: http://www.municipalidaddesantiago.cl

• El metro cuadrado (m2) es la unidad básica de las medidas de superficie utilizado en el Sistema Internacional de Unidades.

• Su nombre se obtiene de un cuadrado cuyos lados miden un metro cada uno.

Ejemplos:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

• 100

: 100

• 100

: 100

• 100

: 100

• 100

: 100

• 100

: 100

• 100

: 100

Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica.

Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide.

• 1 kilómetro cuadrado (km2) equivale a 1.000.000 m2.

• 1 hectómetro cuadrado (hm2) equivale a 10.000 m2.

• 1 decámetro cuadrado (dam2) equivale a 100 m2.

• 1 decímetro cuadrado (dm2) equivale a 0,01 m2.

• 1 centímetro cuadrado (cm2) equivale a 0,0001 m2.

• 1 milímetro cuadrado (mm2) equivale a 0,000001 m2.

228

Módulos organizados por objetivos de aprendizaje

• Educando en valores

• ¿Sabías que…?

• Conectad@s

• Recuerda que...

• Ojo con...

Secciones de cada unidad

Practica

Calcular el área de rombos y de romboides

1.Calcula el área de los siguientes cuadriláteros. Aplicar

2.Resuelve el siguiente problema. Analizar

Si la base de un romboide mide 20 cm y la medida de su superficie es 100 cm2, ¿cuál es la medida de su altura?

3.Analiza el siguiente problema y luego responde. Analizar

a. Antes de responder la pregunta, ¿qué es lo primero que debes calcular?

b. Responde la pregunta y comparte tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros.

m(AB) = 20 cm

¿Cuál es la medida de la superficie que se puede cubrir con 8 de estos paralelógramos?

A

D C

B

12 cm

A

D C

B

11 cm

A

a. b.H

m(EG) = 15 m y m(FH) = 10 m

F

GEEducando en valoresEl trabajo en equipo nos permite comprender el punto de vista de otros y desarrollar estrategias en común para resolver un problema.

20 cm

245

Practica

Clasificar diferentes tipos de rectas

a. L1 L2

b. L2 L3

c. L4 L3

d. L1 L3

e. L2 L1

f. L4 L2

• Escribe2paresderectassecantes.

1.Enestacanchadefútbol,remarcatresparesdesegmentosquecumplancadacondición.Identificar

Segmentosparalelos

Segmentosperpendiculares

2.Observacadaparderectas.Luego,escribelaspalabrasoblicuas,paralelasoperpendiculares,segúncorresponda. Comprender

a. GK es aOU .

b. PL es aAM .

c. ZR es aFT .

3.Encierralaopciónquerepresentalarelaciónentrelasrectas. Comprender

4.Observaeldibujo,ycompletacon//o=encadacaso.Luego,respondeAnalizar

L1

L2

L4

L3

Una recta corresponde a un conjunto infinito de puntos que se extiende en ambas direcciones.Un segmento es una “parte” de una recta que se encuentra limitada en sus extremos.

Recuerda que...

O

KG

U A

P

M

L

T

FZ R

a. b. c.L2

L1

K

J

E

G H

F

A

BC

D

AB //CD AB =CD L1//L2L1=L2 GH //EF GH =JK

179

Organización del texto

Matemáticabásico5°TOMO II

El Centro Félix Klein de la UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, ha revisado y validado la propuesta didáctica de las páginas de resolución de problemas basadas en el Método Grá� co Singapur propuestas en los textos de Matemática del proyecto Casa del Saber de Editorial Santillana.

¿Qué pasos me permiten resolver de manera

ordenada un problema?

Dirección editorial

Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile

Jefatura de área

Mg. Cristian Gúmera Valenzuela

Edición

Mg. Patricio Loyola Martínez

Autoría

Prof. Jaime Ávila HidalgoProf. Cristina Fuenzalida GuzmánProf. María José Jiménez RobledoProf. Paola Ramírez González

Asesoría pedagógica y de contenidos

Dra. Elizabeth Montoya DelgadilloDr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar RoblesProf. Pedro Marchant Olea

Asesoría en didáctica

Dra. Lorena Espinoza SalfateDr. Joaquim Barbé FarréMg. Enrique González LaussubeProf. Dinko Mitrovich García

Primero, debes leer y comprender la situación y la

pregunta asociada a ella.

Luego, debes seleccionar los datos que te permitan

responder la pregunta.

Una vez seleccionados los datos, encontrarás la solución del

problema utilizando una estrategia.

Finalmente, debes comprobarla solución y responder

la pregunta del problema.

Pasos para

Resolver problemas

Páginas de apoyo

• Desarrollo de la autonomía (Agenda)

• Desplegable de habilidades

Resolución de problemas

Problema

Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.

Datos: El área del rectángulo es 36 cm2.

El largo del rectángulo mide 9 cm.

Estrategia: Representación grá� ca.

Comprobación y respuesta:

(9 • x) cm2 = 36 cm2

x = 4 El ancho del rectángulo mide 4 cm.

PAS

OS

PA

RA

RES

OLV

ER S

ITU

AC

ION

ES P

RO

BLE

MA

Comprensión de la situación y la pregunta

Explica con tus palabras la situación y la interrogante que debes responder.

Selección de los datos

Selecciona solo aquellos datos de la situación que tepermitan dar respuesta a la pregunta.

Utilización de una estrategia

En esta etapa, busca una estrategia para resolver lasituación problema.

Comprobación y respuesta

Analiza la solución encontrada y responde en formacompleta la pregunta del problema.

EST

RA

TEG

IAS

PA

RA

RES

OLV

ER P

RO

BLE

MA

S

Puedes seleccionar la estrategia que te facilite resolver el problema. Aquí, te presentamos algunas de ellas.

Hacer una representación grá� ca utilizando cuadrículas Se tienen 36 .

Hacer una lista con las posibles medidas

El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulomide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?

Largo Ancho

36 cm 1 cm

18 cm 2 cm

12 cm 3 cm

9 cm 4 cm

6 cm 6 cm

1 cm

1 cm

9 cm

x cm

El Tomo II del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo CaprileSubdirección de contenidos: Ana María Anwandter RodríguezAsistente de edición: Eder Pinto MarínSolucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez,Aldo Ramírez MarchantCorrección de estilo: Patricio Varetto Cabré Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos ChavarríaGestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga

Subdirección de arte: María Verónica Román SotoJefatura de arte: Raúl Urbano CornejoDiseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta Moscoso Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga, Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera PortillaFotografías: Archivo SantillanaCubierta: Alfredo Galdames CidIlustración de cubierta: Sandra Caloguerea AlarcónProducción: Germán Urrutia Garín

Que dan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total

o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares

de ella mediante alquiler o présta mo público.

© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile).

PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/GraphicsISBN: 978-956-15-2138-4 – Inscripción N° 218.133

www.santillana.cl [email protected]® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L.

Todos los derechos reservados.

El texto escolar que tienes en tus manos es mucho más que un buen texto:

Plataforma en línea disponible 24 horas al día con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.

2.240 horas de investigación y análisis para la elaboración de esta sólida propuesta educativa.

Más de 40 años de experiencia al servicio de la educación de calidad en Chile.

320 profesionales de primer nivel pensando día a día en cómo mejorar la educación de nuestro país.

Múltiples alianzas con organizaciones relacionadas con la educación, la cultura y la vida saludable.

Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el país.

Comprometidos socialmente con el futuro de más de 25.000 niños y niñas chilenos, pertenecientes a nuestra red de responsabilidad social.

Páginas de evaluación

Quinto básico

4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?

A. (4, 2)

B. (2, 4)

C. (3, 4)

D. (4, 3)

5. Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?

A. Trapecio.

B. Triángulo.

C. Trapezoide.

D. Paralelógramo.

6. Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?

A. Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.

B. Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se obtiene el punto M.

C. Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.

D. Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.

7. ¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje de simetría en el plano cartesiano?

A. Rotación.

B. Reflexión.

C. Traslación.

D. Simetría central.

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 X0

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 X0

Y

W

P

M

WA

H H’

G G’F

Eje de simetría

F’

E E’

0

Y

X

303

Completa tus datos.

Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.

Nombre:

Curso: Fecha:

Marca con una la alternativa correcta.

Observa las siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.

1.¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares?

A.PQ y RP

B. RQ y MP

C. MR y QR

D. MP y PQ

2.¿Cómo se clasifica el polígono PQRM?

A.Triángulo.

B. Trapecio.

C.Trapezoide.

D.Paralelógramo.

3.¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?

A. B. C. D.

M R

P Q

302

Unidad 5

Evaluación intermedia

Cuerpos geométricos: poliedros

4.Observa el siguiente poliedro y luego responde.

a. Escribe la cantidad de vértices y de aristas.

Aristas Vértices

b. Escribe el número de caras del poliedro.

Caras laterales Caras basales

Cuerpos geométricos: paralelepípedos

5.A partir del poliedro que se muestra, realiza un dibujo en el que resulten 2 paralelepípedos. Observa el ejemplo.

Intersección en figuras y cuerpos geométricos

6.El poliedro representado a continuación se obtuvo al realizar cortes a un paralelepípedo recto.

puntos

4

puntos

4

puntos

6

a. Escribe 4 caras que sean paralelas.

b. Escribe 4 caras que, al intersectarse, no formen un ángulo recto.

c. Escribe 4 caras que sean perpendiculares.

Poliedro Ejemplo Dibuja

A

BF

O M

P

QS

G H

Z

D

C

LKJ

T

R

E

195

4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?

A. (4, 2)

B. (2, 4)

C. (3, 4)

D. (4, 3)

5. Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?

A. Trapecio.

B. Triángulo.

C. Trapezoide.

D. Paralelógramo.

6. Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?

A. Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.


C. Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.

D. Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.


A. Rotación.

B. Reflexión.

C. Traslación.

D. Simetría central.0

Y

Fecha:


¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?

D.

R

Q

Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 0

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 0

Y

HH

GG

Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

¿Cómovas?Intersección de rectas

1.Observalassiguientesrectasyluegoescribeoblicua,paralelaoperpendicular,segúncorresponda.

Polígonos

2.Observalaseñaldetránsitoyluegoresponde.

a. Escribelacantidaddevérticesyladosquetienelafigura.

Vértices Lados

b. Escribelacantidaddediagonalesquetiene.

c. Escribeelnombredelafigurageométricaconlaqueserelacionaestaseñal.

Cuadriláteros

3.Observalafigurayclasificacadacuadriláteroenparalelógramo,trapeciootrapezoide.

puntos

4

puntos

4

puntos

4

a. L1es L2.

b. L3es L1.

c. L4es L3.

d. L2es L4.

a. EADHesun .

b. CADHesun .

c. CEDBesun .

d. HBJWesun .

AE

G

V

B

D

F

J

W

H

C

L2

L1

L3

L4

194

¿Quéaprendiste? Evaluación fi nal

Unidad 5

puntos

4

puntos

4

puntos

4

1.Dadalafigura,completaconlossímbolos=y//.

2.Leeymarcaconun elcasillerocorrespondiente.

Todos sus ladosson de igual medida

Solo sus lados opuestos son

de igual medida

Todos susángulos interiores

son rectos

Ninguno de sus ángulos interiores

es recto

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

3.Observaelsiguienteprismarecto.Luego,responde.

a. ¿Conquépolígonorelacionaslascaraslateralesybasales?

Carasbasales Caraslaterales

b. ¿Cuántasaristasyvérticestieneelprismarecto?

Cantidaddearistas Cantidaddevértices

c. Escribetodaslascarasparalelasdelpoliedro.

d. Escribetodaslascarasperpendicularesdelpoliedro.

a. DB HG

b. EA BA

c. CG EA

d. FB JI

e. EJ DB

f. JI KL

g. HC CG

h. IB JF

F D

A B

C

E

A F

H

K

J

L

I

D

B

C

GE

217

EstrategiasparaprepararelSimce MR SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.

C DE

G

BA B

C DE

G180º

BA B

216

Análisis de las aternativas

Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple

Porlotanto,laalternativaBeslacorrecta. 1. A DB C

A.LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGyángulo de 180°,node90°.

B. SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.

C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.

D.LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.

C DE

G

FA B

C DE

G

FA B

C DE

FA B

G

C DE

FA B

G

180º

1. Respectodelasiguientefigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?

A.EltriánguloEDGescongruenteconeltriánguloFGAporlarotaciónenelcentroGyelángulode90°ensentidohorario.

B. UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .

C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAG.

D.EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.

216

¿Quéaprendiste? Evaluación fi nalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple

CC

AA

verdadera?

UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .

¿Quéaprendiste? Evaluación fi nalAnaliza cómo responder una pregunta de selección múltiple

CC

AA

Prepara la prueba 5 • Síntesis Nombre: Curso:

Casa del Saber

Módulo 2

Módulo 3Plano cartesiano

Puntos en el plano cartesiano Figuras en el plano cartesiano

Módulo 4

Módulo 1

Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos

Intersección en figuras geométricasy en cuerpos geométricos

Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos

Paralelismo e intersección

Poliedros

El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.

• 7 vértices• 12 aristas• 1 cara basal• 6 caras laterales

La pirámide tiene:

Perpendicularidad de figuras y cuerpos

La imagen se relaciona con el paralelepípedo.

En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un ángulo diedro recto.

Congruencia de figuras geométricas

En el triángulo EFG se realiza una traslación de3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo y se obtiene que:

El triángulo EFG es congruente con el triángulo E’F’G’.

Plano cartesiano

Los vértices del cuadrilátero son:

Al representarlo en el plano cartesiano, se obtieneun romboide.

Rectas, figuras ycuerpos geométricos

Intersección de rectas Poliedros

ParalelepípedosCuadriláteros

Polígonos

Congruencia defiguras geométricas

ReflexiónTraslación Rotación

Transformaciones isométricas

Cara lateral

Cara basal

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

• A(1, 1)• B(7, 1)

• C(8, 4)• D(2, 4)

A

D

B

C

G’

G

E’

E

F’

F

Páginas especiales

7 vértices12 aristas1 cara basal6 caras laterales

En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 vértices12 aristas1 cara basal6 caras laterales

En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fuente: Ministerio de Obras Públicas, Gobierno de Chile.

Reflexiona y comenta.

• ¿Cuál de los puentes mostrados en las fotografías se encuentra más al norte?

• Comenta con tus compañeras y compañeros los distintos puentes que conocen. Nombra tres.

• Nombra 3 aspectos que se debería tomar en cuenta para diseñar un puente del modo más aproximado a la realidad.


Competencia cultural y artística

Nombre: Puente Presidente Ibáñez

Ubicación: Región de Aysén del General Carlos Ibáñez del Campo

Longitud: 200 metros.

Nombre: Puente Llacolén

Ubicación: Región del Biobío

Longitud: 2.157 metros

255

Módulo 2


Puntos en el plano cartesiano

Módulo 4



Intersección de rectas

Cuadriláteros

Polígonos


ReflexiónTraslación



Porlotanto,laalternativaPorlotanto,laalternativaPorlotanto,laalternativaBBBeslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta.eslacorrecta. 1. A BB C

LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGy,node90°.

SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.

LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.

LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.

EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.

D

SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.

LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexióncon

CC

AA

CC

AA

CC

AA


SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea la


Plano cartesiano

Intersección en figuras geométricas

Perpendicularidad en figuras geométricas


Cuadriláteros

Polígonos


Reflexión


Plano cartesiano

Intersección en figuras geométricas

Perpendicularidad en figuras geométricas


figuras geométricas


CompetenciasparalavidaLa longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexiónvial de nuestro paísNuestro país tiene aproximadamente 12 mil estructuras de conexión viales ubicadas en diferentes rutas del país. De este total, 7.250 corresponden a puentes y el resto, a pasarelas.

A partir de la información anterior, responde.

• ¿Cuál es la longitud de cada puente expresada en centímetros?

Viaducto Malleco: cm Puente Presidente Ibáñez: cm

Puente Llacolén: cm

• ¿Cuántas pasarelas hay en nuestro país?


Competencia matemática

Nombre: Viaducto Malleco

Ubicación: Región de La Araucanía

Longitud: 345 metros

254

• Competencias para la vida

• Resolución de problemas

• Estrategias para preparar el Simce MR

• Prepara la prueba (Síntesis y repaso para que

pegues en tu cuaderno)

• ¿Qué sabes? Evaluación inicial

• ¿Cómo vas? Evaluación intermedia

• ¿Qué aprendiste? Evaluación final

• Evaluación integradora tipo Simce MR

Índice

Unidad Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4

Geometría

Rectas, figuras y cuerpos geométricos

Intersección de rectaspág. 178

Polígonospág. 180

Cuadriláterospág. 182


pág. 184Cuerpos geométricos: paralelepípedos

pág. 186

Educando en valores: optimización de los recursos

pág. 187Ponte a prueba

pág. 187



pág. 188

Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos

pág. 190


pág. 192

Ponte a prueba pág. 193

Plano cartesiano


pág. 196

Figuras en el plano cartesiano

pág. 198




pág. 200Traslación

pág. 202Reflexión

pág. 204Rotación

pág. 206

Congruenciapág. 208

Utilización de software geométrico

pág. 211


Medición

Unidades de longitud y superficie

Medidas de longitudpág. 224

Conversión entre unidades de longitud

pág. 226

Unidades de superficiepág. 228


Perímetro y área de rectángulos

Perímetro de figuras geométricas

pág. 230

Área de un rectángulopág. 232

Representación de rectángulos

pág. 234


Área de figuras geométricas

Área de triángulos ocupando cuadrículas

pág. 238

Área de triángulospág. 240

Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas

pág. 242

Área de rombos y de romboidespág. 244

Área de trapecios ocupando cuadrículas

pág. 246

Área de trapeciospág. 248

Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas

pág. 250

Educando en valores: trabajo en equipo

pág. 245


Resolución de problemas Competencias Simce Evaluaciones Síntesis y repaso

Estrategia

Ubicar puntos en el plano cartesiano

pág. 212

La geometría me ayuda a comprender la arquitectura antigua

Competencias:matemática, cultural y artística

pág. 214

Análisis de una pregunta de selección múltiple

pág. 216

¿Qué sabes?Evaluación inicial

pág. 177

¿Cómo vas?Evaluación intermedia

pág. 194

¿Qué aprendiste?Evaluación final

pág. 217

Prepara la prueba 5

Estrategia

Representar gráficamente el área de una figura

pág. 252

La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión vial de nuestro país


pág. 254


pág. 256


pág. 223


pág. 236


pág. 257

Prepara a prueba 6

5

págs. 176 - 221

págs. 222 - 261

6


Geometría


Intersección de rectaspág. 178

Polígonospág. 180

Cuadriláterospág. 182


pág. 184Cuerpos geométricos: paralelepípedos

pág. 186

Educando en valores: optimización de los recursos

pág. 187Ponte a prueba

pág. 187



pág. 188


pág. 190


pág. 192


Plano cartesiano


pág. 196


pág. 198




pág. 200Traslación

pág. 202Reflexión

pág. 204Rotación

pág. 206

Congruenciapág. 208

Utilización de software geométrico

pág. 211


Medición

Unidades de longitud y superficie

Medidas de longitudpág. 224


pág. 226

Unidades de superficiepág. 228




pág. 230

Área de un rectángulopág. 232


pág. 234




pág. 238

Área de triángulospág. 240


pág. 242

Área de rombos y de romboidespág. 244


pág. 246

Área de trapeciospág. 248


pág. 250

Educando en valores: trabajo en equipo

pág. 245


Resolución de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Síntesis y repaso

Estrategia

Ubicar puntos en el plano cartesiano

pág. 212

La geometría me ayuda a comprender la arquitectura antigua


pág. 214


pág. 216


pág. 177


pág. 194


pág. 217

Prepara la prueba 5

Estrategia

Representar gráficamente el área de una figura

pág. 252

La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión vial de nuestro país


pág. 254


pág. 256


pág. 223


pág. 236


pág. 257

Prepara a prueba 6

Matemática 5º básico - Tomo II

Índice


Datos y probabilildades

Tratamiento de la información

Conceptos básicospág. 264

Lectura e interpretación de tablas de frecuencias

pág. 266

Lectura e interpretación de gráficos de barras

pág. 268

Lectura e interpretación de gráficos de líneas

pág. 270

Construcción de gráficos de barras y de líneas

pág. 272

Representación en un diagrama de tallo y hojas

pág. 274

Educando en valores: vida saludable

pág. 269


Promedio de datos

Cálculo de promedio de datospág. 278

Cálculo de promedio en gráficos

pág. 280

Ventajas y desventajas del promedio de datos

pág. 282

Ponte a pruebapág. 283

Introducción a la probabilidad

Experimentos aleatoriospág. 284

Espacio muestralpág. 286

Comparación de posibilidadespág. 288

Probabilidad y comparaciónpág. 290


Resolución de problemas Competencias Simce Evaluaciones Síntesis y repaso

Estrategia

Extraer información de un gráfico de barras

pág. 292

La información estadística me ayuda a comprender situaciones sociales

Competencias:matemática, social y ciudadana

pág. 294


pág. 296


pág. 263


pág. 276


pág. 297

Prepara la prueba 7

págs. 262 – 301

7

Evaluación integradora págs. 302 - 307


Datos y probabilildades


Conceptos básicospág. 264


pág. 266


pág. 268


pág. 270


pág. 272


pág. 274

Educando en valores: vida saludable

pág. 269


Promedio de datos

Cálculo de promedio de datospág. 278


pág. 280


pág. 282

Ponte a pruebapág. 283


Experimentos aleatoriospág. 284

Espacio muestralpág. 286

Comparación de posibilidadespág. 288

Probabilidad y comparaciónpág. 290


Resolución de problemas Competencias Simce MR Evaluaciones Síntesis y repaso

Estrategia

Extraer información de un gráfico de barras

pág. 292

La información estadística me ayuda a comprender situaciones sociales

Competencias:matemática, social y ciudadana

pág. 294


pág. 296


pág. 263


pág. 276


pág. 297

Prepara la prueba 7

Evaluación integradora págs. 302 - 307

Matemática 5º básico - Tomo II

Desarrollo de la autonomía

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Marzo

Día

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Abril

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Mayo

Día

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Junio

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Julio

131415161718192021222324252627282930

15161718192021222324252627282930

3456

Día

1234567891010

11121314151617

Prueba Traer materialesTarea para la casa

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Agosto

Día

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Septiembre

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Octubre

Día

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Noviembre

Día

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

Diciembre

Prueba Traer materialesTarea para la casa

Unidad 5

En esta unidad aprenderás a:• Clasificardistintostiposderectas,polígonosypoliedros.

• Reconocerposicionesrelativasdeladosenfigurasgeométricas.

• Reconocerposicionesrelativasdearistasycarasencuerposgeométricos.

• Ubicarpuntosyfigurasenelplanocartesiano.

• Aplicartransformacionesisométricasadistintasfigurasenelplanocartesiano.

• Comprenderelconceptodecongruencia.

• Manifestarunestilodetrabajoordenadoymetódico.

Geometría

176

www.casadelsaber.cl/cont/ppt/m5/ppt5.html

www.casadelsaber.cl/cont/planificaciones/m5/p5.html

¿Quésabes? Evaluación inicial

A partir de la imagen, responde.

1.Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.

Losmurosdelacasatienenformadecuadrado.

Losmurosdelacasatienenformarectangular.

Losmurosdelacasatienenformatriangular.

2.Completacadaafirmaciónconlassiguientespalabras.

refleja traslada rota

a. Elautose desdelacallehaciaelgaraje.

b. Laniñase enelaguadelapiscina.

c. Lamascota alrededordelniño.

3.Encierralaimagenquerelacionesconlavistadesdearribadelacasa.

4.Delassiguientesfiguras,¿encuálserepresentóunejedesimetría?Enciérralayjustificatuelección.

Justificación:

Figura1 Figura2

177

Módulo

1

Unidad 5 / Geometría

Aprende

Intersección de rectas

• Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,silaafirmaciónesincorrecta.

LarectaCD ,alintersectaralarectaAB ,forma4ángulosrectos.

LarectaCD ,alintersectaralarectaL1,forma4ángulosrectos.

LarectaL1cortaenunpuntoalarectaL2.


Observa y responde

Siladistanciaqueseparadosomásrectasessiemprelamisma,osiseprolonganindefinidamente,nunca se intersectan.Estasrectassonparalelas,loqueserepresentacomo“//”.Ejemplo:larectaEFesparalelaalarectaGH.

Sitodoslospuntosdeunarectasoncomunesconotrarecta,sedicequesoncoincidentes.

Ejemplo: PA escoincidenteconLM .

Sidosrectasse intersectanosecortanenunpunto,estassonsecantes.Además,sedanlossiguientescasos:

•siforman4ángulosrectos(90º),estasrectassonperpendiculares,loqueserepresentacomo“=”.

Ejemplo:larectaL1esperpendicularalarectaL2.

•siforman2ángulosagudos(mayorque0ºymenorque90º)sellamanrectasoblicuas.

Ejemplo:lasrectasL3yL4sonoblicuas.

Simbología

• Lasrectasdecolorazulyrojosesimbolizancomo:CD yAB .

• LasrectastambiénsepuedenrepresentarcomoL1,queselee“eleuno”.

• LossegmentosEFyGHsesimbolizanpor:EFyGH.

A

B

DH

E

G

FC

L1

L2

G

E

H

F

L1

L2

L1=L2oL2=L1

EF //GH

L4 L3

PL

MA

90º

178

Practica

Clasificar diferentes tipos de rectas

a. L1 L2

b. L2 L3

c. L4 L3

d. L1 L3

e. L2 L1

f. L4 L2

• Escribe2paresderectassecantes.

1.Enestacanchadefútbol,remarcatresparesdesegmentosquecumplancadacondición.Identificar

Segmentosparalelos

Segmentosperpendiculares

2.Observacadaparderectas.Luego,escribelaspalabrasoblicuas,paralelasoperpendiculares,segúncorresponda. Comprender

a. GK es aOU .

b. PL es aAM .

c. ZR es aFT .

3.Encierralaopciónquerepresentalarelaciónentrelasrectas. Comprender

4.Observaeldibujo,ycompletacon//o=encadacaso.Luego,respondeAnalizar

L1

L2

L4

L3

Una recta corresponde a un conjunto infinito de puntos que se extiende en ambas direcciones.Un segmento es una “parte” de una recta que se encuentra limitada en sus extremos.

Recuerda que...

O

KG

U A

P

M

L

T

FZ R

a. b. c.L2

L1

K

J

E

G H

F

A

BC

D

AB //CD AB =CD L1//L2L1=L2 GH //EF GH =JK

179


Lee y responde

Polígonos

Laarquitecturadeestaviviendasedestacaporlasformasinnovadorasquetienensusmuros.Estosseasemejanadiferentesfigurasgeométricas.

• Relacionacadafiguraquesemuestracon los ladospintadosde lacasarepresentadosconlasletrasA,ByC.Paraello,escribeenelrecuadrodelantedecadafiguralaletracorrespondiente.

• Completaconlacantidaddelados,vérticesyángulosdelasfigurasdescritas.

Figura Cantidad de lados Cantidad de vértices Cantidad de ángulos interiores

A

B

C

Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos

Lospolígonossonfigurasgeométricasplanaslimitadassoloporsegmentosderecta.Generalmente,seusanlasletrasmayúsculasdesusvérticesparanombrarlos.

Ejemplo: elpentágonoABCDEtiene5vértices,5lados,5ángulosinterioresy5diagonales.

Aprende

Lospolígonossepuedenclasificarsegúnlacantidaddelados.

Nombre Cantidad de lados

Heptágono 7

Octágono 8

Eneágono 9

Decágono 10

Nombre Cantidad de lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

E

A

B

C

Lado

Vértice

DiagonalÁngulointerior

D

A

B

C

180

Practica

1.Encierralasfigurasgeométricasquesonpolígonos. Clasificar

2.Escribeelnombredecadapolígonosegúnlacantidaddelados.Clasificar

3.Observalossiguientespolígonos.Luego,responde.Analizar

a. ¿CuántosvérticestieneelpolígonoJKLI?

b. ¿CuántosángulosinteriorestieneelpolígonoABCDE?

c. ¿CuántasdiagonalestieneelpolígonoABCDE?¿YelpolígonoGHF?

d. Deacuerdoconlacantidaddelados,¿cómoseclasificacadapolígono?

ABCDE GFH JKLI

Identificar los elementos de un polígono

a. b. c. d. e.

a. b.I

E

J G

H R

O

Q

PF

H

G

F

JK A B

CE

DL

I

El matemático griego Euclides(330 a. C. - 275 a. C.), en su obra Los elementos define varios postulados que hasta el día de hoy sustentan la base del conocimiento geométrico.

¿Sabías que...?

181


Loscuadriláterossonpolígonosdecuatroladosqueseclasificanen:

Aprende

Observa y responde

Cuadriláteros

Enunaconstrucción,sedistribuyeronunasvigasmetálicascomosemuestraenlaimagen.

• ConsiderandolasfigurasqueestánrepresentadasporlospolígonosABCDyEGIL,encierralaafirmacióncorrecta.

ElladoDA esperpendicularalladoEG . ElladoBC esparaleloalladoLE .

• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.

ElpolígonoABCDtiene4lados. EnelpolígonoPZJY,todoslosladostienenigualmedida.


• Paralelógramo:susladosopuestossonparalelos.

• Trapecio:tienedosladosparalelos.

• Trapezoide:notieneladosparalelos.

Deltoide

Isósceles Escaleno Rectángulo

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

A

B C G I P Z

D E L Y J

182

Practica

Reconocer los diferentes tipos de cuadriláteros

1.Pintaloscuadriláterosconelcolorcorrespondiente.Clasificar

Paralelógramo Trapecio Trapezoide

2.Siguelaspistasydescubreelnombredelapersonaquearreglaráelvidrioroto.Analizar

Pista 1

Hayuncuadriláteroqueaparece6veces.

• Escribesunombre.

• Escribelasegundayterceraletradesunombre.

Pista 2

Hayuncuadriláteroqueaparece4vecesmenosqueelcuadriláteroanterior.

• Escribesunombre.

• Escribelaprimeraconsonantedesuúltimasílaba.

Pista 3Hayuncuadriláteroqueaparece4veces.

•Escribelasvocalesdesuúltimasílaba.Escribeenordenlasletrasqueobtuvisteydescubrequiénarreglaráelvidrio.

arreglaráelvidrio.

R

paralelógramotrapecio

trapecio

trapecio

trap

ecio

trap

ezoi

de

trapezoide

trapezoide

trapezoidetra

pezo

ide

trapezoide

paraleló

gramo

183


Observa y responde


Losedificiosdelaimagensepuedenrelacionarconuncuerpogeométricocuyasbasestienenformahexagonal.

• Encierraelnombredelafiguraconlaqueserelacionanlascaraslateralesdeestosedificios.

Rectángulo Rombo Cuadrado

• Marcaconun elcuerpogeométricoconelcualrepresentarías laestructuradeledificio.

• Entotal,¿cuántascarastieneelcuerporepresentado?


Lospoliedrossoncuerposgeométricoslimitadossoloporcarasplanaspoligonalesquepuedenserbasalesolaterales.Losladosdelascarascorrespondenalasaristasylainterseccióndelasaristascorrespondealosvértices.Además,lospoliedrossepuedenclasificarenprismasopirámides.

Aprende

Pirámides:tienenunacarabasalysuscaraslateralessontriángulos.

Ejemplo: pirámidedebaserectangular.

Tiene4caraslaterales,1carabasal,5vérticesy8aristas.

Prismas:tienendoscarasbasalesigualesysuscaraslateralessonparalelógramos.

Ejemplo: prismadebasetriangular.

Tiene2carasbasales,3caraslaterales,6vérticesy9aristas.

Vértice Vértice

Arista

Cara basal

Cara basalCara lateral

Caralateral

Arista

Por convención, las caras de un cuerpo geométrico pueden clasificarse en basales o laterales, dependiendo del punto de vista del observador.

Ojo con...

184

Practica

Reconocer los diferentes tipos de poliedros

1.Relacionacadafiguraconunpoliedro.Luego,pintasicorrespondeaunprismaounapirámide.Clasificar

2.Observacadapoliedroyluegoresponde. Analizar

a. •¿Cuántosvérticestiene?

•¿Cuántasaristastiene?

•¿Cuántascarasbasalestiene?

•¿Cuántascaraslateralestiene?

•¿QuépolígonoserelacionaconlacaraLEHJ?

b.

•¿Cuántosvérticestiene?

•¿Cuántasaristastiene?

•¿Cuántascarasbasalestiene?

•¿Cuántascaraslateralestiene?

•¿QuépolígonoserelacionaconlacaraEDCBF?

3.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaencadacaso. Evaluar

a. Unpoliedrotiene5carascomomínimo.

Justificación:

b. Todaslascaraslateralesenunapirámidesontriángulos.

Justificación:

Prisma Pirámide Prisma Pirámide Prisma Pirámide

a. b. c.

E

D C

A

F

B

E

LK

F

G

I

H

J

185


Losparalelepípedossonpoliedrosquetienenseiscarasycadaunadeellasesunparalelógramo.Sisuscarassonrectángulosocuadrados,correspondenaparalelepípedos rectos;mientrasquesisuscarassonrombosoromboides,seconocencomoparalelepípedos oblicuos.

Aprende


Muchosobjetosdenuestroentornoseasemejanauncuerpogeométrico,como lacarcasadelPCquesemuestra.Por laformaquetiene,sepuederelacionarconuncuerpogeométrico.

• EncierralaopciónquerepresentalaformadelacarcasadelPC.

Opción1 Opción2

• Entotal,¿cuántascarastieneelcuerpogeométricoqueseasemejaalacarcasadelPC?


LascarasdelacarcasadelPCseasemejanauntrapecio.

LascarasdelacarcasadelPCseasemejanaunrectángulo.

• ¿Quéotroselementosdetuentornoseasemejanaestecuerpogeométrico?Nombra2.


Paralelepípedos oblicuosParalelepípedos rectos

Observa y responde

186

Practica

1.Marcaconun losobjetosqueseasemejenaunparalelepípedo,yconuna ,losqueno.Luego,justificatuelección.Reconocer

Justificación:

2.Dibujacadacuerpogeométrico,segúnlascaracterísticasdadas.Analizar

Analizar distintos paralelepípedos

a. b. c. d.

a. Paralelepípedorectode6carasy8vértices.

b. Paralelepípedooblicuode8vérticesy6caras.

Ponte a pruebaEscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaturespuesta.

a. Lascarasdeunparalelepípedonosonsolocuadriláteros.

Justificación:

b. Lascarasdelosparalelepípedosoblicuossonsolorombosyromboides.

Justificación:

Educando en valoresUna vez que el computador pierde su vida útil, sus piezas se pueden reciclar; de esta forma se les da una nueva utilidad y se evita que dañen el entorno.

187

Módulo


Enunprisma,ladistanciaentrelascaras opuestasessiemprelamisma,osiseprolonganindefinidamenteencualquierdirección,estasnoseintersectan.Estascarassedicequesonparalelas.

Aprende

Ejemplo:enelsiguienteparalelepípedorecto,seobservaque:

• ADHEesunparalelógramo,luegoAD // EH .• ABFEesunparalelógramo,luegoAB // EF .• Lascarasbasalessonparalelas.

Ejemplo:enelsiguientepoliedrorecto,seobservaquesuscarasbasalesnosonparalelas,yaqueladistanciadelamedidadeAP esdistintadeladistanciadelamedidadeML .

2 Paralelismo e intersección

Observa y responde


• Encierralaopcióncorrecta.

Opción1 Losladosdelcuadradonosonparalelos.Opción2 Lascaraspintadasenelcubosonparalelas.

• Completaconlaspalabras paralelas,perpendicularesyparalelógramos,segúncorresponda.

Todaslascarasdelcuboson .

Lascarasdelcuboquenotienenunaaristaencomúndelcuboson .

A

E G

C

D

F

HB

El objeto se representapor medio de un cubo.

CuboCuadrado

Las caras pintadas corresponden a un cuadrado.

A

P

D

L

I

M

G

H

3 cm2 cm

188

Reconocer el paralelismo en figuras y cuerpos geométricos

Practica

1.Observaelsiguienteparalelepípedooblicuoyrealizalasactividadespropuestas.Analizar

a. Completaconlasaristasquesonparalelas.

• GH //

• HE //

• GF //

• BC //

• //CD

• //DA

b. Escribetodaslascarasparalelas.Observaelejemplo.

ElparalelógramoBCFEesparaleloalparalelógramoADGH.

2.Leelasiguientesituaciónyresponde.Analizar

Enelladoizquierdohayunapirámidecuyabaseesunrectángulo.ElcuadriláteroHEFGcortaaestapirámide,resultandolafiguraquesemuestra.

Unestudianteafirmaquelascaraspintadasenelcuerpogeométricosonparalelas,yaquenoseintersectan.¿Escorrectaestaafirmación?Justificaturespuesta.

H

A

E

B

F

C

G

D

A B

CD

A B

CD

K

H HE E

F FG G

Pirámide Figura

189


Sienuncuerpogeométricoseintersectan dos caras,estasformanunaarista,mientrasquesiseintersectan dos ladosenunafigura,estosformanunvértice.

Ejemplo:enelcuboseobservaque:

•LosladosDA yAB seintersectanenelvérticeA.

•LascaraspintadasseintersectanyformanlaaristaHC .

Aprende

Observa y responde



Elparalelepípedotiene8aristas.

Lasaristasdeunparalelepípedoqueseintersectanformanunaarista.

Cuandoseintersectanlosladosdeunrectánguloformanunvértice.

• Completaconlaspalabrasuna aristaoun vértice,segúncorresponda.

Alintersectarsedosladosenunrectánguloseforma .

Alintersectarsedoscarasenunparalelepípedoseforma .

Módulo 2 / Paralelismo e intersección

D

E

A

F

B

G

C

H

Las caras pintadas se relacionan con rectángulos.

El objeto se puede representar como un paralelepípedo recto.

190

Practica

Reconocer la intersección en figuras y cuerpos geométricos

1.En lassiguientes imágenes,marcaconcolorrojo todas lasaristasquetienenencomúnelpunto indicado.Identificar

2.Remarcaconcolorrojolasaristasqueseintersectanenelpuntodadoyconcolorazullascarasqueseintersectanenelsegmentodado.Observaelejemplo.Identificar

3.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaturespuesta.Evaluar

a. Entodopoliedrosenecesitancuatroaristascomomínimoparaformarunvértice.

Justificación:

b. Enunpoliedro,lainterseccióndedoscarasformaunaarista.

Justificación:

a. b.

a. PuntoJyaristaEG. b. PuntoQyaristaLS.

D D

B BC C

A A

MR

SL

T

KO

NQ

P

H

EJ

I

G

F

Punto D y arista AC.

b.

191


Módulo 2 / Paralelismo e intersección

Sialintersectarsedoscarasdeunpoliedroformanunángulodiedrorecto(90º),sedicequesuscarassonperpendiculares.

Ejemplo:enelparalelepípedorectoseobservaque:

•EFBAesrectángulo,luegoAE =EF .•AEHDesrectángulo,luegoAE =EH .

ComolacaraAEHDcontieneelsegmentoA’E’perpendicularalsegmentoE’F’,sepuedeafirmarqueenelparalelepípedorectolascarasAEHDyEFGHsonperpendiculares.

Aprende

Observa y responde


• Considerandolarepresentacióndelacasa,encierralaopcióncorrecta.

Opción1 Lainterseccióndelascaraspintadastienedosvérticesencomún.

Opción2 Lainterseccióndelascaraspintadastienedosaristasencomún.

Observalasiguientefigura.

¿Quémedidatieneel“ángulodiedro”delascaraspintadasenlaimageninicial?

A

A’

EE’

G

C

D

FF’

HB

La forma de una parte de la casa se asemeja a un paralelepípedo recto.

Ángulo diedro. •

192

Practica

Reconocer la perpendicularidad en figuras y cuerpos geométricos

1.Marcaconun lasimágenesenquelascarasAyBrepresentanlaperpendicularidad,yconuna ,aquellasquenolarepresentan.Reconocer

2.Leeyluegoresponde.Analizar

Elsiguientecubosedivide,demaneraqueseformandosparalelepípedosrectos.

a. ¿Quépolígonorepresentalacaradecolorceleste?

b. Lacaradecolorceleste,¿acuántascarasesperpendicular?Remárcalas.

c. Escribetodaslasaristasperpendicularesa:

Ponte a pruebaObservaelsiguientepoliedro,luegoresponde:

• ¿Conquécuadriláterosserelacionanlascaraslateralesybasales?

• Pintaconcolorverdeunpardecarasqueseanparalelasyconcolorazulunpardecarasqueseintersecten.

• KL

• IJ

• JK

• LI

a. b. c.

F

LE H

K

G

B

CD

IJ

A

A B

C

H

GF

E

D

AA BA B

B

193

¿Cómovas?Intersección de rectas

1.Observalassiguientesrectasyluegoescribeoblicua,paralelaoperpendicular,segúncorresponda.

Polígonos

2.Observalaseñaldetránsitoyluegoresponde.

a. Escribelacantidaddevérticesyladosquetienelafigura.

Vértices Lados

b. Escribelacantidaddediagonalesquetiene.

c. Escribeelnombredelafigurageométricaconlaqueserelacionaestaseñal.

Cuadriláteros

3.Observalafigurayclasificacadacuadriláteroenparalelógramo,trapeciootrapezoide.

puntos

4

puntos

4

puntos

4

a. L1es L2.

b. L3es L1.

c. L4es L3.

d. L2es L4.

a. EADHesun .

b. CADHesun .

c. CEDBesun .

d. HBJWesun .

AE

G

V

B

D

F

J

W

H

C

L2

L1

L3

L4

194

Unidad 5



4.Observaelsiguientepoliedroyluegoresponde.

a. Escribelacantidaddevérticesydearistas.

Aristas Vértices

b. Escribeelnúmerodecarasdelpoliedro.

Caraslaterales Carasbasales


5.Apartirdelpoliedroquesemuestra,realizaundibujoenelqueresulten2paralelepípedos.Observaelejemplo.

Intersección en figuras y cuerpos geométricos

6.Elpoliedrorepresentadoacontinuaciónseobtuvoalrealizarcortesaunparalelepípedorecto.

puntos

4

puntos

4

puntos

6

a. Escribe4carasqueseanparalelas.

b. Escribe4carasque,alintersectarse,noformenunángulorecto.

c. Escribe4carasqueseanperpendiculares.

Poliedro Ejemplo Dibuja

A

BF

O M

P

QS

G H

Z

D

C

LKJ

T

R

E

195

Módulo



Estebanesunapersonaresponsableysolocruzalacalle

porlospasosdecebra().Élestáensucasa(A)yquiere

iralparque(B)siguiendolarutaqueindicanlasflechas.

• Deacuerdoconlagraduacióndelosejes(XeY),elparqueseubicaenelpunto(7,6).Encierralaopciónquerepresentalaubicacióndelacasa.

Opción1 (3,3)Opción2 (2,3)Opción3 (3,2)

• Marcaconuna elolospuntosquenopertenecenaltrayectohechoporEsteban.

(3,4) (3,2) (6,5) (7,6)

Elplano cartesianoestádeterminadopordosrectasperpendiculares,llamadasejes de coordenadas,yporcuatrocuadrantes.Eleje horizontalsellamaeje Xodelasabscisas,mientrasqueeleje verticalrecibeelnombredeeje Yodelasordenadas.Cadapuntoserepresentaporelpar ordenado(a,b),dondea(primeracoordenada)correspondealosvaloresdelasabscisasyb(segundacoordenada),aldelasordenadas.

Ejemplo:enelplanocartesianoseubicaránlossiguientespuntos:A(3,4),B(0,2)yC(4,3).

Aprende

Analiza y responde

Plano cartesiano3

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 80

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7

A

C

B

0

Y

X

0

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Primer cuadrante

Cuarto cuadrante

Y

Xa

b P(a, b) Coordenadas(a, b)

A

B

Y

X

196

Practica

Identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano

(2,3) (1,4) (3,3) (1,1) (5,4) (6,5) (8,2)

1.TrazaelrecorridoquesigueAlejandra.Luego,escribeellugaralquellega.Aplicar

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (4,2) (5,2) (6,2) (6,3) (6,4) (7,4)

2.Escribesobrecadaparordenadodelatablalaletraquelecorresponda.Luego,descubrequépalabraseforma.Analizar

3.Resuelvelossiguientesproblemas.Aplicar

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Y

0

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Y

0

U

R N

P O

T I A

FM

a. UnpuntoPseubicaenlascoordenadas(3,5).Sisedesplazaen3unidadesaladerechay2unidadeshaciaabajo,¿cuálessonsusnuevascoordenadas?

b. UnpuntoQsetraslada3unidadeshaciaabajoy7unidadesaladerecha,quedandoenelpunto(10,5).¿Cuálessonlascoordenadasdelpuntoinicial?

Casa

Circo

Lapalabrasecretaes:

Llegóa: .

197


Paraubicareidentificarfiguras geométricasenelplanocartesiano,esnecesariotenerencuentasuscaracterísticas.

Ejemplo:dosvérticesconsecutivosdeuncuadradotienencoordenadas(2,2)y(2,4),respectivamente.¿Cuálessonlascoordenadasdelosotrosdosvérticessielpunto(3,3)esexterioralcuadrado?

Aprende

Observa y responde


EnelplanocartesianosemarcanlospuntosAyB.

• Escribelascoordenadasdecadapunto.

A( , )

B( , )

• ¿Cuántosvérticestieneuncuadrilátero?

• SiseubicanenelplanocartesianolospuntosD(3,5)yC(7,5),encierralaopciónquerepresentalafiguradevérticesA,B,CyD.

Opción1 Opción2 Opción3

Módulo 3 / Plano cartesiano

Primeroseubicanlosvérticesysedibujaellado.

Luego,sedibujanloscuadradosconeseladoencomún.

Considerandoque(3,3)esunpuntoexterior,lasoluciónes(0,2)y(0,4).

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 X

(2, 2)

(2, 4)

0

Y

5

4

3

2

1

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 X

(2, 2) (2, 2)

(2, 4) (2, 4)

(3, 3)

(0, 4)

(0, 2)

0 0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

A B

D

A A A

D

B

CD

B

CC

B

198

Practica

1.Dadoslosvértices,dibujaelpolígonoqueseformayescribesunombre.Representar

2.Analizacadasituaciónyresponde.Analizar

Representarfigurasenelplanocartesiano

a. Losvérticesson(1,2);(4,2);(3,4)y(2,4).

Elcuadriláteroesun .

b. Losvérticesson(3,5);(4,7);(6,5)y(7,7).

Elcuadriláteroesun .

a. DosdelosvérticesdeunrectángulotienencoordenadasA(1,1)yC(3,5).EscribelascoordenadasByD.

B( , )yD( , )

b. Escribelascoordenadasdetodoslosvérticesdecuadradosquesepuedenformarconlospuntos(5,5)y(5,8).

Ponte a prueba

• Dibujalosejescoordenados.

• UbicaelpuntoB(2,2).

• Conlospuntosanteriores,dibujauncuadradoABCDyescribelascoordenadasdetodossusvértices.

A( , ) C( , )

B( , ) D( , )

A(2,5)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

199

Módulo


4 Congruencia de figuras geométricasTransformaciones isométricas

• Encierralaopciónincorrecta.

Lamontañasereflejaenellago.

Alrotarsobresuejeimaginario,elplanetaTierracambiadeforma.

Aldesplazarse,elinsectosolamentecambiadelugar.

• Marcaconun laafirmaciónqueserelacionaconlasimágenespresentadas.

Lamontaña,elinsectoylaTierracambiandeforma.

Lamontaña,elinsectoylaTierranocambiandeforma.

Unatransformación isométricaesunmovimientoqueserealizaaunafiguraplana,demaneraqueestamantienesuformaysutamaño.Alafiguraresultantedelatransformaciónisométricaselellamafiguraimagen.

Ejemplos:

Aprende

Observa y responde

E

E’

Figura imagen

Figura imagen

Figura original Figura original

SS’

L

L’

S’

SL’

L

E’

E

200

Practica

Reconocerunatransformaciónisométrica

a.

b.

c.

d.

a. b.

1.Marcaconun lasimágenesqueserelacionanconunatransformaciónisométrica,yconuna ,lasqueno.Justificaencadacaso.Reconocer

Justificación:

2.Acadafiguraseleaplicóunatransformaciónisométrica.Completasobrelafiguraimagenlospuntosseñaladosencadacaso.Analizar

K

T B

L

BE

G

K

G

VU

D

Z

Z’

B’

L’

F

Figura imagenFigura original

Figura original

Figura imagen

básico°

Matemática 5 TOMO ITOMO I

básico°

Matemática 5TOMO ITOMO I

201


Observa y responde

Traslación

EnelpuntoAdelacuadrículaserepresentaunpajaritocomiendomaíz.

LuegodecomerenA,elpajaritosetrasladaráacomerelmaízubicadoenB.


Elpajaritosedesplaza2unidadeshaciaabajoyluego7unidadesalaizquierda.

Elpajaritosedesplaza2unidadeshaciaabajoyluego7unidadesaladerecha.

• Encierralaopciónquerepresentalatraslacióndelpajarito.

Opción1 Opción2

Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas

Latraslaciónesunatransformaciónisométricadeunafiguraplanaquedescribemediantesegmentosorientados.Cadasegmentocorrespondeaunmovimientoenlínearectaquetieneunadistanciayuna dirección.

Ejemplo:elpolígonoABCDsetraslada3unidadeshaciaarriba( )y9unidadeshacialaderecha( ).

Aprende

A

A’

B

B’C

C’

D

D’

Figura imagen

Figura original

A

B

A A

B B

Pajarito

Maíz

202

Practica

Aplicar una traslación a figuras planas

1.Trasladacadafigurasegúncadaindicación.Aplicar

2.Completasegúncorresponda.Analizar

3.Trasladalafigurasegúnlaindicaciónpresentada.Aplicar

a. 10unidadeshacialaderechay3unidadeshaciaarriba.

b. 2unidadeshaciaarribay9unidadeshacialaizquierda.

a.

ElpolígonoABCDEsedesplazó1unidadhacia

y unidadesala

izquierda,resultandoelpolígonoA’B’C’D’E’.

b.

ElpolígonoFGHsedesplazó unidades

hacia y unidades

hacialaderecha,resultandoelpolígonoF’G’H’.

a. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoL’?

L’(6, )

b. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoN’?

N’( , )

c. Marcaenelplanotodas lascoordenadasde lafiguraimagenydibújala.

B

A

A’

A

C’

C

B’

B

D’

D

E’

E

CA

H

H’

G

G’F

F’

BC

D

Figura imagen

Figura original

Figura original

Figura imagen

O

PQ

L

M

N

Y

X

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

203



Observa y responde

Reflexión

LuishadobladounahojadepapelyenunodesusladoshadibujadountriánguloABC.

Conunalfilerperforólosvérticesdeltriángulo.Deestemodo,enelotroladodelpapelquedaronlastresperforacionesy,alunirlas,formóeltriánguloA’B’C’.

Alrepresentarestasituación,setieneque:


LadistanciamínimaentrelarectaLyelvérticeBesdistintaaladistanciamínimaentreelvérticeB’yestarecta.

LadistanciadelarectaLalvérticeCesigualaladistanciaentreelejeyelvérticeC’.

Lareflexiónrespectodeunarectallamadaeje de simetríaesunatransformaciónisométricatalqueacadapuntoAdelafiguraoriginal,lecorrespondeunpuntoA’delafiguraimagen.Ladistanciadecadaunodeestospuntosalejedesimetríaeslamisma.Estatransformaciónisométricatambiénseconocecomosimetría axial.

Aprende

Ejemplo 1:Reflexióndeunpunto.

Ejemplo 2:Reflexióndeunsegmento.

Ejemplo 3:Reflexióndeunafigura.

M’

M D G

G’

D’Eje desimetría

Eje de simetría

A’

B’

C’

A

B

C

L

B’

C’

A’

B

C

A

E’

D’

G’

C’

C

EDEje desimetría

G

204

Practica

1.Dibujalafiguraimagenalaplicarunareflexiónsegúnelejedesimetría(L)representadoconcolorrojo.Luego,completa.Aplicar

A’( , ) C’( , ) E’( , ) G’( , )

B’( , ) D’( , ) F’( , )

2.Analizalasiguienteinformación.Analizar

Realizaencadafiguraunasimetríacentralrespectoalcentro(O)indicado.

Aplicar una reflexión a figuras planas

Unasimetría centralesunatransformaciónenlacual,acadapuntodeunafiguraseleasociaotropunto,llamadoimagen,quecumplelassiguientescondiciones:

• Elpuntoysuimagenestánaigualdistanciadeunpuntodado,llamadocentro de simetría (O).• Elsegmentoqueuneunpuntoconsuimagencontienealcentrodesimetría.

Ejemplo:

Enlaimagen,eltriánguloA’B’C’eslaimagendeltriánguloABCconrespectoalcentrodesimetríaO.

a. b.

a. b.

A B

O

B’ A’

C’

C

A

A

C B

B O O

C D

EF

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0

Y8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0

Y

A E F

G

B

CD

LL

205


Unarotacióneslatransformacióndecualquierpuntoofiguraenelplanoenotropuntoofigurasegúnuncentro de rotaciónyun ángulo.

Aprende

Observa y responde

Rotación

Cuandolaruedagira:

Elúnicopuntofijoestáenelcentrodelarueda.Eseeselcentroderotación(O).

Todoslosotrospuntosdelaruedacambiandeposición.Además:

–Lossegmentosqueunenelpuntoconelcentroderotación(O)nocambiansulongitud.

–Entreestossegmentosseformaunángulo.

• Paradenotarunarotación,seescribeelpuntofijoderotación(O)yelánguloderotación.Enlailustración,larotacióndelpuntoAseindicamediante(O,45º).


Opción1 Alrotarcualquierfigura,suformaymedidassiemprecambia.

Opción2 Alrotarcualquierfigura,suformaymedidasnocambia.


Ejemplo 2: alrealizarunarotacióndecentroOyángulo90°ensentidohorario,laimagendeCesC’.

Ejemplo 1: alrealizarunarotacióndecentroOyángulo90°ensentidoantihorario,laimagendeBesB’.

O A45º

A’

O B

C

sentido antihorario

B’

B’

A’

A

B

C’ O C

sentido horario90º

90º

C’

O

D’ A’

A

D

206

Practica

1.Rotacadaunadelassiguientesfigurassegúnelcentro,elánguloyelsentidoderotacióndados.Aplicar

2.Rotacadafigurasegúnlaindicaciónpresentada.Luego,escribelascoordenadasdesuimagen.Aplicar

O’( , ) F’( , ) X’( , ) Z’( , )

E’( , ) G’( , ) Y’( , ) W’( , )

3.Escribeelcentroyelánguloconlosqueserotólafigura1paraobtenerlafigura2.Analizar

Aplicar una rotación a figuras planas

a. RealizaunarotaciónalafiguradecentroJyángulo90°ensentidoantihorario.

b. RotaelcuadradodecentroPen180°yensentidohorario.

a. (O,90°)ensentidoantihorario. b. (P,180°)ensentidohorario.

a.

Centro: Ángulo:

b.

Centro: Ángulo:

JK

I

O

B C

DB’C’

D’

G’

F’ E’

I

HG

F’

H’E

A

P X

E

YF

Z

G

W

P D A

BC

F’F’

Y Y

X X

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140 0

207


Observa y responde

Congruencia

Observalasimágenesyluegoresponde.

• MidelossegmentosACyCE.Luego,encierralaopcióncorrecta.

Opción1 Ambossegmentostienenigualmedida.Opción2 Ambossegmentostienendistintamedida.

• Enlaimagencopiaunadelasfigurasdecolorverdeyluegodibújalaencimadelotrocuadrado.Marcaconun laafirmacióncorrecta.

Tienendistintaformaytamaño. Tienenigualformaytamaño.

• Remarcalatransformaciónisométricaqueserelacionaconamboscuadrados.


Traslación Reflexión Rotación

Dosfigurassoncongruentes(,)siysolosiunafiguraeslaimagendelaotramedianteunatransformación isométrica,esdecir,lasfigurastienenlamisma formaytamaño.

Ejemplo:sobreelcuadriláteroABCDsehaaplicadounarotación(O,180º),resultandoelcuadriláteroEFGH.SepuedeafirmarentoncesqueelcuadriláteroABCDescongruenteconelcuadriláteroEFGH.

Aprende

A

B

F

C

E

D

O A B

D C

H

E F

G

Además,setienelosiguiente:

• AB ,GH

• BC ,HE

• CD ,EF

• DA ,FG

Todossusángulosinteriores tienen igual medida.

Imagen 1

Imagen 2

208

Practica

Comprender el concepto de congruencia

1.Marcaconun silafiguraanaranjadaescongruenteconlafiguradecolorrojo.Reconocer

2.DibujauntriánguloA’B’C’congruenteconeltriánguloABC.Luego,responde.Analizar

a. ¿Quétransformaciónisométricaaplicaste?

b. ¿Quéocurreconlasmedidasdesuslados?

c. ¿Quéocurreconlasmedidasdelosángulosinteriores?

3.ABCDesuncuadrado.TrazalasdiagonalesyllamaOalainterseccióndeellas;luego,responde.Analizar

a. ¿Cuáleslamedidadelánguloseformaconlainterseccióndeambasdiagonales?

b. ¿QuépuedesdecirdelostriángulosAOD,OCD,COByBOA?¿Soncongruentes?Justifica.

a.

b.

c.

d.

A

B C

D

A

A’

B

C

C’

209


4.EnelplanocartesianosehaubicadoeltrapecioABCD.Refléjaloconrespectoalejedesimetríaquesemuestraconcolorrojo,yluegoresponde.Analizar

a. Escribelasnuevascoordenadasqueseforman.

A’( , )B’( , )C’( , )D’( , )

b. UtilizaunareglaymidelosladosdeltrapecioABCDydelaimagenA’B’C’D’.Paraello,completasegúncorresponda.

• LamedidadelladoABes yladelladoA’B’es .

• LamedidadelladoBCes yladelladoB’C’es .

• LamedidadelladoCDes yladelladoC’D’es .

• LamedidadelladoDAes yladelladoD’A’es .

c. UtilizauntransportadorymidelosángulosinterioresdeltrapecioABCDydelaimagenA’B’C’D’.Luego,completasegúncorresponda.

• LamedidadelánguloDABes yladelánguloD’A’B’es .

• LamedidadelánguloABCes yladelánguloA’B’C’es .

• LamedidadelánguloBCDes yladelánguloB’C’D’es .

• LamedidadelánguloCDAes yladelánguloC’D’A’es .

d. Justificalaafirmación“EltrapecioABCDescongruenteconeltrapecioA’B’C’D’”.


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10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Y

0

B

CD

A

210

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Comprender el concepto de congruencia

5. UtilizaelsoftwaregeométricoGeoGebrapararealizarlasiguienteactividad.Luego,responde.Analiza

¿PuedesconcluirqueeltriánguloABCescongruenteconeltriánguloA’B’C’?Justificaturespuesta.

Ponte a prueba

UtilizaelsoftwareGeoGebrapararealizarlosiguiente.Luego,responde.

a. ¿Quétransformaciónisométricaseaplicó?

b. ¿Ambasfigurassoncongruentes?Justifica.

Nota:laaplicaciónGeoGebra(www.geogebra.org)creadaporMarkusHohenwarter,fueincluidaenestetextoconfinesdeenseñanzayatítulomeramenteejemplar.

1°HazclicenymarcaenelplanocartesianolospuntosA(2,1),B(4,1)yC(2,3),quesonlosvérticesdeltriángulo.

3°HazclicenymarcaenelplanolospuntosD(2,4)yE(5,4),quecorrespondenalatraslacióndelas3unidadesquesemoveráeltriángulo.

2° Luego,utilizandoelbotón,marcaeneltriángulocadaunodelosvértices.

4°Hazclicenymarcaunvértice.LuegomarcalospuntosDyE.Elvérticequehasmarcadose“trasladará”;repiteestoconcadavértice.Luego,presionaydibujaeltriánguloA’B’C’.

211

www.geogebra.org


Resolucióndeproblemas

Observa la resolución del siguiente problema

EduardoyAngélicaestánjugandoalanzardardosenuntableroquedibujansobreunplanocartesiano.Cadaunohalanzadotresdardosysuslanzamientossehanrepresentadoenlassiguientescoordenadas:

Dardo 1 2 3

Angélica (5,4) (7,6) (6,7)

Eduardo (5,3) (4,2) (6,2)

¿Quiénobtuvomayorpuntaje?

PASO 1 Explica con tu palabras la pregunta del problema.

Sequieresaberquiéndeellosobtuvomayorpuntaje.

PASO 2 Identifica los datos importantes.

LosparesordenadosquerepresentanlaubicacióndelosdardoslanzadosporAngélicayEduardo.

PASO 3 Calcula y escribe la solución.

Angélica Eduardo

Angélicaobtuvo39+23+23=85puntos. Eduardoobtuvo23+24+23=70puntos.

Porlotanto,Angélicaobtuvomayorpuntuación.

PASO 4 Revisa la solución.

DardoslanzadosporAngélica: DardoslanzadosporEduardo:• (5,4)correspondea39puntos. • (5,3)correspondea24puntos.• (7,6)correspondea23puntos. • (4,2)correspondea23puntos.• (6,7)correspondea23puntos. • (6,2)correspondea23puntos.

Total:85puntos. Total:70puntos.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

40

39

24

23

17

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

40

39

24

23

179

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

40

39

24

23

17

212

Unidad 5

Calcula y escribe la solución.PASO 3

Identifica los datos importantes.PASO 2

Explica con tu palabras la pregunta del problema.PASO 1


Ahora hazlo tú

¿CuálessonlascoordenadasdelasimágenesdelospuntosA,B,C,D,EyF,luegodeaplicarunareflexiónrespectodelejedesimetríadecolorrojo?

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0

Y

B

CF

E

DA

213

Competencias para la vidaLageometríameayudaacomprenderlaarquitecturaantigua

Muchasciudadestienenformaspoligonales,comolafortalezaNeuf-Brisach,queesunpueblofrancésdelaregióndeAlsacia,ubicadoamenosde2,5kmdelafronteraconAlemania.

Responde, según la información entregada.

• ¿Cuáleselnombredelpolígonoocupadoenel“baluarte”?Justifica.

• SienlaimagenquerepresentalaciudaddeNeuf-BrisachsetrazaelsegmentoCI,¿conquétransformaciónisométricasepodríarelacionar?¿CuálesseríanlasimágenesdelospuntosA,ByH?


Competenciamatemática

A

B

C

D

E

F

GI

H

214

El“baluarte”esunaconstruccióngeométrica,generalmentepentagonal,unidaalalíneadelasmurallas,perosalienteconrespectoaella,cuyaprincipalfinalidadfuedefenderlaspuertasdeloscastillosmedievales,queeraelpuntomásdébildeestasconstrucciones.


• ¿EnquéregióndeFranciaseencuentralaciudaddeNeuf-Brisach?

• ¿Conquéfigurageométricarelacionasel“baluarte”?

• ¿Quérelacióncreesqueexisteentrelageometríaylaarquitecturaactual?

• Nombradiferentesconstruccionesconformapoligonalqueconozcas.


Competenciaculturalyartística

A

B

C

D

E

F

H

I

J

G

215

EstrategiasparaprepararelSimce MR

SimceesmarcaregistradadelMinisteriodeEducación.

C DE

G

BA B

C DE

G180º

BA B

216



Porlotanto,laalternativaBeslacorrecta. 1. A DB C

A.LostriángulossoncongruentesporunarotacióndecentroGyángulo de 180°,node90°.

B. SiseconsideraEFcomoejedesimetría,alaplicar la transformación isométricacorrespondientea lareflexión,elpuntoCtienecomoimagenD,yelpuntoAtienecomoimagenB.

C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAE,representadoconcolorazulenlafigura.

D.LatransformaciónqueimplicalacongruenciadelostriángulosCDByBACcorrespondeaunarotacióndecentroGyángulo180°,noalareflexiónconelejedesimetríaCB.

C DE

G

FA B

C DE

G

FA B

C DE

FA B

G

C DE

FA B

G

180º

1. Respectodelasiguientefigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?

A.EltriánguloEDGescongruenteconeltriánguloFGAporlarotaciónenelcentroGyelángulode90°ensentidohorario.

B. UnodelosejesdesimetríaqueseidentificanenlafiguracorrespondeaEF .

C.LadiagonaldelcuadriláteroAFECcorrespondealsegmentoAG.

D.EltriánguloCDBescongruenteconeltriánguloBACporunareflexiónconejedesimetríaCB.

216

www.casadelsaber.cl/cont/video_tutorial/m5/v5.html

¿Quéaprendiste? Evaluación final

Unidad 5

puntos

4

puntos

4

puntos

4

1.Dadalafigura,completaconlossímbolos=y//.

2.Leeymarcaconun elcasillerocorrespondiente.

Todos sus lados son de igual medida

Solo sus lados opuestos son

de igual medida

Todos sus ángulos interiores

son rectos

Ninguno de sus ángulos interiores

es recto

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

3.Observaelsiguienteprismarecto.Luego,responde.

a. ¿Conquépolígonorelacionaslascaraslateralesybasales?

Carasbasales Caraslaterales

b. ¿Cuántasaristasyvérticestieneelprismarecto?

Cantidaddearistas Cantidaddevértices

c. Escribetodaslascarasparalelasdelpoliedro.

d. Escribetodaslascarasperpendicularesdelpoliedro.

a. DB HG

b. EA BA

c. CG EA

d. FB JI

e. EJ DB

f. JI KL

g. HC CG

h. IB JF

F D

A B

C

E

A F

H

K

J

L

I

D

B

C

GE

217

¿Qué aprendiste?

218

puntos

4

puntos

6

puntos

4

4.Realizaenelplanolastransformacionespedidas.

5.Utilizandolassiguientespiezasderompecabezas,armaunrectánguloydibújaloenlacuadrícula.Luego,transformaelrectánguloenunromboideyelromboideenuntrapeciomoviendounsolotriángulo.

6.¿QuéfiguraescongruenteconeltrapecioABCD?Justificaturespuestaconunatransformaciónisométrica.

a. Dibujalafiguraimagendelafigura1luegodeaplicarunareflexiónrespectodelejedesimetríadado.

b. Dibujalafiguraimagendelafigura2luegodeaplicarunarotacióndecentroByángulode90ºensentidohorario.

Rectángulo Romboide Trapecio

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X0

Y

A

E

X

B

F

YC

G

Z

D

H

W

B

Figura 1 Figura 2

B

Y YY

X X

9

8

7

6

5

4

3

2

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130 0

218

Unidad 5

Marca con una X la alternativa correcta.

Observalasiguientefigurayluegorespondelaspreguntas7y8.

7. ¿Quéafirmaciónesverdadera?

A.WZ //ZY

B. ZW //XY

C. YZ =ZW

D. ZY =XY

8. ¿CómoseclasificaelcuadriláteroWXYZ?

A.Cuadrado.

B. Rectángulo.

C.Trapecio.

D.Trapezoide.

9. RespectodelparalelepípedorectoKLMNOPQR,¿cuálde lassiguientescarasnoesperpendicularaPLMQ?

A.ORNK

B. OPLK

C.MNKL

D.QPOR

10. Enlaimagensemarcarondosplanosdecolorrojo.¿Cuáleslaposiciónrelativaentreellos?

A.Sonparalelos.

B. Sonperpendiculares.

C.Soloseintersectan.

D.Noseintersectan.

puntos

4Z Y

XW

K L

R

P

Q

O

N M

219

¿Qué aprendiste?

220

puntos

4

11. ¿CuálessonlascoordenadasdelpuntoX?

A.(4,2)

B. (2,4)

C. (1,4)

D. (4,1)

12. Sisobreelplanocartesianosedibujóuncuadriláterocuyosvérticesson(3,0);(5,2);(1,2)y(3,4),¿quétipodecuadriláteroes?

A.Rombo.

B. Romboide.

C.Cuadrado.

D.Rectángulo.

13. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera,segúnlossegmentosmostradosenelplanocartesiano?

A.Alrotaren90ºelsegmentoEF,conrespectoalpuntoE,seobtieneelsegmentoIH.

B. AltrasladarelpuntoEdosunidadesaladerechaydosunidadeshaciaarribaseobtieneelpuntoI.

C.AltrasladarelpuntoFtresunidadesaladerechayunaunidadhaciaarribaseobtieneelpuntoH.

D.Alrotaren180ºelsegmentoHI,conrespectoalpuntoH,seobtieneelsegmentoEF.

14. Sofíautilizósolounatransformaciónisométricaparamostrarquelafigura1escongruenteconlafigura2.¿Quétransformaciónisométricaaplicó?

A.Rotación.

B. Traslación.

C.Reflexión.

D.Noaplicóunatransformaciónisométrica.

Figura 1 Figura 2

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 X0

X

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

F

E

H

I

Y

Y

220

Unidad 5

puntos

4

15. SiABCDesunrectángulo,¿quéparesdetriángulosnosoncongruentes?

A.LostriángulosDOAyOCB.

B. LostriángulosABCyADC.

C.LostriángulosBCOyAOB.

D.LostriángulosCODyBOA.

16. Silasfigurasdecolorazulyrojosoncongruentes,¿quéafirmaciónesfalsa?

A.LaimagendelpuntoUeselpuntoE.

B. LaimagendelpuntoTeselpuntoF.

C. LaimagendelladoTUcorrespondealladoFG.

D. LaimagendelladoWVcorrespondealladoGH.

17. Alaplicarunatraslación,S’yR’sonlasimágenesdelospuntosSyRrespectivamente.SieltriánguloQRSescongruenteconQ’R’S’,¿cuálessonlascoordenadasdeQ’?

A.(9,2)

B. (9,3)

C. (5,2)

D. (5,3)

18. Respectodelafigura,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?

A.ElcuadradoABCDescongruenteconelcuadradoEFGHporlareflexióndeejeIJ.

B. EltriánguloCBKescongruenteconeltriánguloEKHporlarotacióndecentroKyángulo90°ensentidohorario.

C.ElsegmentoDCescongruenteconelsegmentoEFporlarotacióndecentroJyángulo180°.

D.ElsegmentoEFescongruenteconelsegmentoHG.

BuscaPreparalaprueba5

D C

O

A

T

F

W

G

V

H

U

E

B

Q

R R’

S S’5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X0

Y

D FC

B

EJ

HI

K

A G

221

www.casadelsaber.cl/cont/complementarias/m5/f5.html

Unidad 6

En esta unidad aprenderás a:• Medirlalongitudconunidadesestandarizadas.

• Realizartransformacionesentreunidadesdemedidasdelongitud.

• Calcularelperímetrodefigurasgeométricas.

• Calculareláreaderectángulos.

• Representarydiseñardiferentesrectángulos,apartirdelasuperficiey/operímetro.

• Calculareláreadetriángulos,paralelógramosytrapecios,ocupandoconteodecuadrículas,lacomparaciónconeláreaderectángulosylacompletacióndefigurasportraslación.

• ManifestarinterésycuriosidadporelaprendizajedelaMatemática.

MediciónChile sudamericano tiene una forma única: es el país más largo del mundo, con 4.337 kilómetros de longitud y una superficiede 755.776 km2.El océano Pacífico baña sus costas en una extensión de más de 83.850 kilómetros.

Información importante de nuestro país

Ancho mínimo

Elanchomínimoesde90km,yseubicafrenteaIllapel.

Ancho máximo

Elanchomáximoesde360km,yseubicafrenteaMejillones.

A3.700kmdelcontinenteseubicaIsladePascua.

Fuente:IGM,2010.

222




Considerando la información anterior, responde.

1.EltiempoaproximadoquedemoraunaviónenrecorrerladistanciaentreAricayPuntaArenasesde5horasy30minutos.¿Cuántosminutosdemoraenrecorrerdichadistancia?(Recuerdaque1horacorrespondea60minutos)

2.Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.Encasocontrario,marcaconuna .

a. LadistanciadesdeIsladePascuaalcontinenteseencuentraexpresadaenkilómetros.

b. LadistanciaentrelaIsladePascuayChileesmenoralalongituddeChile.

c. Elanchomáximopuedeserexpresadoenmetros.

d. ElocéanoPacíficobañalascostasdeChileenunaextensióndemásde83.850m.

3.Considerandoque1.000.000m2equivalena1km2,¿quéprocedimientopodríasutilizarparaexpresarla

superficiedeChileenm2?Explica.

4.¿Porquélaunidaddemedidaenlaqueseexpresóel“anchomínimo”fueelkilómetroynoelmetro?Justificaturespuesta.

223

Módulo

Unidad 6 / Medición

Aprende

1 Unidades de longitud y superficieMedidas de longitud

Midelossegmentosquesemuestranyluegoresponde.

• Completaconlamedidaquecorrespondeacadaunodelossegmentos.

Segmentoa cmSegmentob cmSegmentoc cm

• Encierraelsegmentocuyamedidaencentímetroscorrespondeaunnúmerodecimal.

Segmentoa. Segmentob. Segmentoc.

• Marcaconun silaafirmaciónescorrecta.Encasocontrario,marcaconuna .

Elsegmentobmidelacuartapartedelsegmentoa.

Elsegmentocmidelacuartapartedelsegmentob.

Observa y responde

• Elmetro(m)eslaunidadbásicademedidadelongitudutilizadaenelSistemaInternacionaldeUnidades.

• Algunasequivalenciasenlasunidadesdelongitudson:

Kilómetro(km)=1.000m

Hectómetro(hm)=100m

Decámetro(dam)=10m

Decímetro(dm)=0,1m

Centímetro(cm)=0,01m

Milímetro(mm)=0,001m

Ejemplo: unestudiantemide1my50cm,quetambiénsepuederepresentarcomo1,5m.

c

b

a

puede representar 1,5

224

Practica

Conocer diferentes unidades de medida de longitud

1.Mideconunareglaellargoyelanchodelassiguientesfiguras.Luego,responde.Analizar

• Simidesestosmismosobjetosreales,¿seasemejanestasmedidasalasobtenidasenlaactividad?Justifica.

2.Resuelvelossiguientesproblemas.Analizar

a. Paracalcularladistanciaentrediferentesciudades,¿quéunidaddemedidaocuparías?Justifica.

b. SimideselanchoyelaltodelcuadernodeMatemática,¿quéunidaddemedidaeslamásapropiada:elmetro,elcentímetrooelmilímetro?Justificaturespuesta.

c. TutextoescolardeMatemática,¿tienesololargoyancho?,¿ofaltaalgunamedida?Coméntalocontuscompañerasycompañeros.

a.

Largo: cm

Ancho: cm

b.

Largo: mm

Ancho: mm

c.

Largo: cm

Ancho: cm

Un metro es la medida aproximada de un cuarto de meridiano terrestre dividido en 10 millones de partes iguales.

¿Sabías que...?

c.b.

Largo

Ancho

Largo

AnchoAncho

una regla el largo y

Largo:

Ancho

Largo

225



Paraconvertir unidades de longitudsetomacomoreferenciaelmetro (m).Lasunidadesmáspequeñasqueelmetroseobtienenaldividirloen10partesiguales(omúltiplosde10);ylasunidadesmayoresqueelmetroseobtienenalmultiplicarlopormúltiplosde10.Estoseresumeenelsiguienteesquema:

Aprende


Antofagastaseencuentraaproximadamentea700kilómetrosdeArica.SiSandraestáenAricayrecorre1.000metrosparallegaralaeropuertoytomarelvueloquelallevaráaAntofagasta,¿cuántosmetrosrecorreentreestetrayectoysuvueloaArica?

• Hayunidadesdelongitudcuyovalores:10,100o1.000vecesmásqueelmetro.Larelaciónquecorrespondeaestecasoes:

• Considerandoloanterior,encierralarelacióncorrecta.

700km=7.000m 700km=70.000m 700km=700.000m

• Marcaconun laafirmaciónquerespondelapreguntaplanteada.

Sandrarecorre710.000m. Sandrarecorre701.000m. Sandrarecorre700.001m.

Lee y responde

Ejemplos:

• 8km=8.000m,yaque8•1.000m=8.000m.

• 25dam=250m,yaque25•10m=250m.

• 9.300m=9,3km,yaque9.300m:1.000=9,3km.

• 250m=25dam,yaque250m:10=25dam.

km hm dam m dm cm mm

•10

:10

•10

:10

•10

:10

•10

:10

•10

:10

•10

:10

Parapasardeunaunidadaotramenor,semultiplica.

Parapasardeunaunidadaotramayor,sedivide.

1kilómetro(km)=1.000metros(m)

226

Relacionar las unidades de longitud

1. Completacon laoperaciónquesedeberealizaryelvalorporelquesemultiplicaodividepararealizar lasconversionesentreunidadesdelongitud.Observaelejemplo.Analizar

Dedamacmmultiplicopor1.000.

a. Decmam por .

b. Dekmadm por .

c. Dekmam por .

d. Demmahm por .

2. Expresaenmetroslalongituddecadatramo.Luego,encierralamenordistanciaobtenida.Aplicar

3. Leelassiguientessituacionesyresponde.Analizar

4. Explicaquéestrategiaocuparíasparaexpresar7,52menmilímetrosyenkilómetros.Coméntalocontuscompañeros.Analizar

Practica

a. Delapartidaalatienda.

b. Delatiendaalrestorán.

c. Delrestoránalacasa.

d. Dalacasaaledificio.

a. Lalongituddeunapistadeatletismoesde400m.¿Cuántasvueltascompletassedanalapistaenunacarrerade10km?

b. ElañopasadoLorenamedía1,58myesteañomide1,65m.¿CuántoscentímetroshacrecidoLorenaenelúltimoaño?

Conectad@sIngresa a



PARTIDA

4kmy2dam 2kmy4dam 6damy7km 4hmy6dam

Tienda

Restorán

Casa

Edificio

227





Aprende

Observa y responde

Unidades de superficie

• Marcaconun laafirmacióncorrecta.

ElcerroSantaLucíatieneunasuperficiemenorqueelParqueForestal.

ElParqueForestaltieneunasuperficiemayorque180.000m2.

ElcerroSantaLucíatieneunasuperficiede

65.300metroscuadrados(m2).

ElParqueForestaldeSantiagotieneunasuperficie

de171.910metroscuadrados(m2).

Fuente:http://www.municipalidaddesantiago.cl

• Elmetro cuadrado(m2)eslaunidadbásicadelasmedidasdesuperficieutilizadoenelSistemaInternacionaldeUnidades.

• Sunombreseobtienedeuncuadradocuyosladosmidenunmetrocadauno.

Ejemplos:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

•100

:100

•100

:100

•100

:100

•100

:100

•100

:100

•100

:100

Parapasardeunaunidadaotramenor,semultiplica.

Parapasardeunaunidadaotramayor,sedivide.

• 1kilómetrocuadrado(km2)equivalea1.000.000m2.

• 1hectómetrocuadrado(hm2)equivalea10.000m2.

• 1decámetrocuadrado(dam2)equivalea100m2.

• 1decímetrocuadrado(dm2)equivalea0,01m2.

• 1centímetrocuadrado(cm2)equivalea0,0001m2.

• 1milímetrocuadrado(mm2)equivalea0,000001m2.

228

Practica

Conocer las unidades de superficie

1.Remarcalaunidadmásapropiadaparamedirlassiguientessuperficies.Justificaturespuesta.Identificar

2.Encierraconcolorrojolamedidaquerepresentaunasuperficiemayoryconcolorverdelaquerepresentaunasuperficiemenor. Analizar

a. b.

Justificación: Justificación:

cm2 mm2

m2 m2

km2 dam2

a. b. c.

51.000cm2

4,9hm2

5.200dm2

0,5km2

9dam2

9m2

9km2

9hm2

800km2

3.000hm2

650mm2

30m2

Ponte a pruebaJuannecesitacubrirunaparedde18m2conpapelmuralyrecibeofertasdedoscasascomerciales,talcomosepresenta.

¿Cuáldelasdosofertasesmáseconómica,segúnlasnecesidadesdeJuan?Explica.

Dimensiones: 50 cm x 150 cm Dimensiones: 1 m x 3 m

229

Módulo


Elperímetro(P)deunafigurageométricacorrespondealamedidadelalongituddesucontorno.

2Perímetro de figuras geométricas

Daniel,Andrés,CarlayVerónicaformanconcuatrocuerdasungrancuadradode10mdelado.¿Cuántosmetrosdecuerdanecesitaronparaformarelcuadrado?


Opción1 Losladosdelcuadradotienendistintalongitud.

Opción2 Losladosdelcuadradotieneniguallongitud.

• Completalasiguienteafirmaciónconlaspalabras:cuadradoosumar,segúncorresponda:

Paracalcularlosmetrosdecuerdaqueformanel sedeben todaslaslongitudesdelacuerdaqueloconforman.

• Marcaconun laafirmaciónquemuestrelarespuestaalproblema.

Senecesitan20mdecuerda. Senecesitan40mdecuerda.

Aprende

Observa y responde


Ejemplo 1:

• Calcularelperímetrodelrectángulo.

Loslados“opuestos”tieneniguallongitud.Porlotanto,setieneque:

P=(3+3+2+2)cm=10cm

Ejemplo 2:

• Sielperímetrodeunrectánguloes20cmyunodesusladoses3cm,¿cuáleslamedidadelotrolado?

Alrepresentarloanteriorsetiene:

Losotrosladosdebensumar14cmydebentener

iguallongitud,esdecir,cadaladomide7cm.

un

longitud.

cuadrado o sumar según corresponda:

3 cm

2 cm2 cm

2 cm

3 cm

3 cm

3 cm3 cm

3 cm3 cm

7 cm

7 cm

230

Practica

Calcular el perímetro de figuras geométricas

1.Calculaelperímetro(P)delossiguientescuadriláteros.Aplicar

2.Calculalamedidadelladoquefalta,segúncadacondición.Analizar


a. Ungranjeroponeunarejaalrededordeunterrenoquetieneformarectangular.Siellargodelterrenoesde350mysuanchomidelamitaddellargo,¿cuántosmetrosderejaocuparáelgranjero?

b. Conlacondicióndequelamedidadelosladosdeunrectángulosolosepuedanrepresentarconnúmerosnaturales,¿cuántosrectángulosdeperímetroiguala16cmexisten?Escribesusmedidas.

a. b. c.

a. b. c.

P= cm P= m P= km

3 cm 3 cm 3 m 3 m 2 km 2 km

2 km

2 km

4 cm

2 cm 10 m

10 m

MedidadeAB m MedidadeHE cm MedidadeKL dm

Perímetro:56m Perímetro:20cm Perímetro:30dm

3 cm 5 dm

12 dm

8 m 8 m

4 cm

8 cm

D C H G

FE J K

L

BA

231


Módulo 2 / Perímetro y área de rectángulos

Elárea(A)deunafiguracorrespondeala

medidadelasuperficiequeocupa.Paramedir

lassuperficiesdefigurasplanassepueden

utilizarunidadesdemedidacomo:elcentímetro

cuadrado(cm2),eldecímetrocuadrado(dm2),el

metrocuadrado(m2),entreotras.

Elárea de un rectángulocorrespondealproductoentrelasmedidasdedosladosconsecutivos.

Aprende

Observa y responde

Área de un rectángulo

ElpisodelashabitacionesdeCamilaySebastiántieneformarectangular.Ambosquierenremodelarelpisoyparaellorealizarondiferentestrazadosenelsuelo,considerandocomomedidadeseparación1metro.

HabitacióndeCamila HabitacióndeSebastián

• ¿Quiénrealizaunacantidadmayordetrazados?

• Escribelasmedidasdellargoydelanchodelashabitacionesdecadauno.

Camila Largo Ancho

Sebastián Largo Ancho

• ¿Cuántoscuadradosdelado1mseformanenambashabitaciones?

Camila Sebastián

Ejemplo: alcalculareláreadelrectánguloEFGHsetieneque:

A=7cm•4cm=28cm2

1 m

1 m

1 m

1 m

G

F

H

E

4 cm

7 cm

232

1.Calculaeláreadecadafigura,considerandoque1 tieneunasuperficieiguala1cm2.Aplicar

2.Completasegúncorresponda.Aplicar

a.

b.


Calcular el área en diferentes rectángulos

Practica

Rectángulo Expresión numérica de cáculo de área Área

a. Ellargodeunrectánguloesiguala10cm.Sisu

superficiemide50cm2,¿cuáleslamedidade

longituddelancho?

b. Considerandoquelosladosdeunrectánguloson

solonúmerosnaturales,¿cuántosrectángulosde

superficiequemiden15cm2sepuedenformar?

Escribelasmedidas.

3 cm

7 cm

4 m

15 m

a. b. c. d.

Área= cm2 Área= cm2 Área= cm2 Área= cm2

233


Observa y responde


Carloscompróunalambrede300mparacercarunterrenorectangularcuyaáreaesde5.000m2.Acontinuación,semuestran3opcionesquepuedenrepresentarelterrenodeCarlos.

Opción 1 Opción 2 Opción 3


Eláreadetodaslasopcionesesdistintade5.000m2. Eláreadetodaslasopcionesesiguala5.000m2.

• Calculaelperímetroencadacaso.

Opción1 mOpción2 mOpción3 m

• ¿CuálopciónrepresentaelterrenodeCarlos?Justificaturespuesta.

Módulo 2 / Perímetro y área de rectángulos

20 m

50 m250 m

100 m40 m

125 m

Aprende

Pararepresentar diferentes rectángulossedebetenerpresentelosiguiente:

• Enelcasoderectánguloscuyasmedidasdelosladosserepresentanconnúmerosnaturalesyseconozcaelárea.

Ejemplo: sieláreaesiguala10cm2,sebuscantodoslosdivisoresde10,esdecir,1y10,2y5.Entotalsetienen2rectángulos.

• Enelcasoderectángulosdistintosydeigualperímetro,sedebenencontrar2númerosdemaneraquelasumasealamitaddelperímetro.

Ejemplo: sielperímetroes10cm,losrectánguloscuyasmedidasdelosladosseannúmerosnaturalesson:

5 cm

2 cm

3 cm

2 cm

1 cm10 cm

1 cm4 cm

234

Practica

Representar las medidas de diferentes rectángulos

1.Representalassituacionesenlascuadrículas.Consideraquecadacuadradotieneunasuperficieiguala1cm2.Aplicar

a. 2rectángulosdiferentesquetenganáreaiguala8cm2.

b. 1rectángulocuyoperímetroseade18cmycuyolargoseaeldobledelancho.

2.Resuelveelsiguienteproblema.Analizar

Sielperímetrodeunrectánguloesiguala14cmysuáreaes10cm2,¿cuálessonlasmedidasdesulargoysuancho?

Largo cmAncho cm

Ponte a pruebaLee la siguiente situación. Luego, responde.

Sequiereremodelarlacanchadeunestadioyparaellosedebencomprarpastelonesdepastode300cmdelargoy200cmdeancho.

• ¿Cuántospastelonesdepastoseutilizaránparacubrirlacancha?

• ¿Enquédisposiciónsedebenponerlospastelonesdemododenocortarninguno?Explica.

ello se deben comprar pastelones de pasto de

cubrir la cancha?

de modo

60 m

100 m

235

¿Cómovas?

puntos

3

puntos

3

puntos

4

Medidas de longitud

1.Leelasiguienteinformaciónyluegoresponde.

•LagranjadeAnitamide35hmdelargo.•EllargodelagranjadeNataliamide5hmmásquelagranjadeAnita.•EllargodelagranjadeNormamide2hmmenosqueellargodelagranjadeNatalia.•Lagranjaquetiene40hmseocupaprincipalmenteparalaganadería.

a. ¿CuántoshectómetrosmideellargodelagranjadeNatalia?

b. ¿CuántomideellargodelagranjadeNorma?

c. ¿ParaquéseocupalagranjadeNatalia?


2.Resuelveelsiguienteproblema.

EnunacompetenciaJuanrecorrió1.500m,Ana15.000damyRodolfo1.500.000cm.Escribedemenoramayorlasdistanciasrecorridasporcadauno.

Unidades de superficie

3.Remarcalaunidadmásapropiadaparamedirlassiguientessuperficies.Justificaturespuesta.

a.

Justificación:

b.

Justificación:

cm2 m2 km2

m2 hm2 km2Pisodelmuseo

236

Unidad 6


puntos

4

puntos

4

puntos

3


4.Resuelvelossiguientesproblemas.

a. Elperímetrodeunrectángulomide 100cmysuanchoesde23cm.¿Cuáleslamedidadellargodelrectángulo?

b. Sielanchodeunrectánguloes20mysulargoestresvecessuancho,¿cuáleslamedidadelperímetro?

Área del rectángulo

5.EscribeVsilaafirmaciónesverdaderaoF,siesfalsa.Justificaencadacaso.

a. Sielanchodeunrectángulomide5cmysuáreaes15cm2,ellargomide10cm.

Justificación:

b. Eláreadeunrectángulocuyosladosmiden8my3mes24m2.

Justificación:


6.Leelosiguienteyluegoresponde.

Enelsiguientecuadriculado,cada tieneunasuperficiequemide1cm2.Eláreadel

rectánguloABCDes6cm2.

¿Quésepuedededucirconrespectoaláreayelperímetrodelosrectángulosdibujados?Explica.

A D

B C

N

M

O

P I

J

L

K

237

Módulo



EnlacuadrículasehadibujadoeltriánguloCDE.

• Completasegúncorresponda.

MedidadelladoCD =

MedidadelladoEC =

• EnlacuadrículasehanremarcadoconcolorrojolossegmentosqueformanelcuadriláteroCDHE.¿Conquéfigurageométricaserelaciona?,¿cuálessuárea?

• Apartirdeloanterior,¿cómocalcularíaseláreadeltriánguloCDE?

Paracalcularelárea(A)decualquier triángulo,estasepuederelacionarconlamitaddeláreadelrectánguloquelocontieneoenmarcausandocualquierladocomobase.

Ejemplo: enlacuadrículasedibujaeltriánguloABC,dondecada tiene1cmdelado.

Enestecaso,eláreadelrectánguloABDEes12cm2;luego,eláreadeltriánguloABCcorrespondealamitad

deestamedida,esdecir,6cm2.

Aprende

Observa y responde

3 Área de figuras geométricas

1 cm

1 cmE

C D

E

C D

H

Figurageométrica

Área=

A B

C

3 cm

4 cm

A

E C

B

D

238

Practica

Calcular el área de triángulos ocupando cuadrículas

a. b. c.

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0

Y

1.Considerandoquecadaladodel mide10cm,calculaeláreadecadatriángulo.Aplicar

2.Observaelsiguienterectángulo.Luego,calculaeláreadecadatriángulo.Analizar

3.Analizalosiguienteyluegoresponde.Consideraquecadaladodel es1cm. Analizar

a. b.

1 cm

1 cm

1 cm

1 cmC C

D

B

1 cm

1 cmC

D

B

A A A

A

BC

AD E

B

C F J I

H

a. Calculaelárea,segúncorresponda.

FiguraA cm2

FiguraB cm2

FiguraC cm2

b. SilafiguraBsetraslada3unidadeshaciaabajoylafiguraCsetraslada4unidadeshaciaabajoy5unidadeshacialaizquierda,¿cuáleseláreadecadafiguraimagen?

239


Paracalcularelárea de un triángulodebestenerpresentelosiguiente:

Base:b

Altura:hcorrespondealsegmentoperpendicularquevadesdeelvérticesuperiorhastalabase.

Eláreadeltriángulosepuedecalcularmediantelaexpresión:

ÁreadeltriánguloDEF=b h2:

Módulo 3 / Área de figuras geométricas

Aprende

Área de triángulos

ConsiderandolarepresentaciónenlacuadrículadeltriánguloABC,dibujaconcolorrojoelrectánguloABDEquesepuedeformar,demaneraqueelpuntoCpertenezcaaDE .

Utilizandounaregla,completalosiguiente:

• ¿CuáleseláreadelrectánguloABDE?

• ¿CuáleseláreadeltriánguloABC?

• DesignacomohlaimagenqueresultaaltrasladarelladoBDdelrectángulo,conlacondicióndequehintersecteelvérticeCyelladoABdeformaperpendicular.¿Cuáleslamedidadeh?

cm.

• Siserepresentaporm(AB) la medida del segmento AByporm(h) la medida del segmento h,marcaconun laexpresiónquepermitecalculareláreadeltriánguloABC.

( ) ( )m AB m h

2:

( ) : ( )m AB m h

2

( ) ( )m AB m h2+

Lee y responde

Ejemplo: eneltriánguloACBsetiene:

h=5cm

b=4cm

EláreadeltriánguloACBsecalculacomo:

24 5:

cm2=2

20cm2=10cm2

A B

C

D E

F

A C

B

b

4 cm

5 cm

h

240

Practica

1.Mideconunareglalabaseylaalturadecadatriángulo.Luego,calculasuárea(A).Aplicar

2.Calculaelárea(A)delossiguientestriángulos.Aplicar

3.Apartirdelassiguientesfiguras,completaconlamedidaquefalta.Analizar

4.Observalassiguientesfigurasyresponde.Analizar

Calcular el área de triángulos

a. b. c.

a. b. c.

a. b. c.

¿Quétriángulodibujadotieneunáreamayor?Justificaturespuesta.

9 cm

DE

F

A B

C

h

P L

M

h

A B

E D C

A=16cm2

h=

A=14mm2

m(DE)=

A=40m2

h=

8 cm

8 cm

25 cm

10 m

4 cm8 cm

8 cm

13 cm

A= A= A=

A= A= A=

3,5 cm

4 mm

241


Paracalcularelárea(A)derombosoderomboides,estossepuedendescomponerendistintostriángulosorectángulos.Luego,secalculaeláreadecadafigurageométricaquecomponeelromboyelromboideysesumandichasmedidas.Tambiénsepuedencalcularsusáreasaplicandoalgunatransformación isométrica.

Ejemplo:

Aprende

Observa y responde


Parahermosearunjardín,sesembrarándiferentessemillasdefloresdemaneraquelasuperficiesembradatengaunaformaqueseasemejeaunrombo.Siserepresentaenunacuadrículadondecadacuadradotieneunladode10cm,setieneque:

• Comosepuedeobservar,seforman4triángulosrectángulos.Encierralaopciónquecorrespondealáreadecadaunodeestostriángulos.

15cm2 1.500cm2 15.000cm2

• Marcaconun laafirmaciónquecorrespondaaláreaqueeljardinerosembrará.

Sembrará6.000cm2. Sembrará60.000cm2.


3 cm 3 cm3 cm

6 cm 6 cm 6 cm

El área del romboide es18 cm2.

El triángulo se traslada. Utilizando el conteo de cuadrículas.

tiene que:

puede observar, se forman 4 triángulos rectángulos.

Orquídeas

Lirios

Rosas

Claveles

10 cm

10 cm

242

Calcular el área de rombos y de romboides utilizando diferentes estrategias

1.Calculaeláreadelassiguientesfigurasgeométricas.Consideracada conunaáreade1cm2.Aplicar

2.Observalasiguientefigura.Luego,responde.Analizar

Practica

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Área cm2 Área cm2 Área cm2

Área cm2 Área cm2 Área cm2

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0

Y

A

C

D

B

1 cm

1 cm

a. ¿CuáleseláreadelcuadriláteroD?

b. SilostriángulosAyBsetrasladan3unidadesaladerecha,¿cuáleslamedidadelasuperficiedelcuadriláteroqueforman?

243



Paracalcularelárea de un rombo ode unromboidedebesconsiderarlosiguiente:

Aprende

Observa y responde

Área de rombos y de romboides

EnclasesdeMatemática,laprofesoraproyectalassiguientesimágenes,dondecada tiene1cmdelado.

• Completalaafirmaciónconlaspalabras.

trasladatriángulo

Enlaimagen2sedestacaun ,quese 6unidadesaladerecha,

loqueserepresentaenlaimagen3.

• Marcaconun elnombredelafigurageométricarepresentadaenlaimagen3.

Rombo Romboide

• Eláreadelafiguraenlaimagen3es cm2.

Área de rombo:correspondealproductoentrelasmedidasdesusdiagonales.

Rombod:diagonalmenor

D:diagonalmayor

Ejemplo:A=

D d2:

A=cm cm

27 4:

A=14cm2

Área del romboide:correspondealproductoentrelamedidadesualturahylamedidadesubaseb.

Romboideh:altura

b:base

Ejemplo:A=b•h

A=6cm•5cm

A=30cm2

Imagen1 Imagen2 Imagen3

d = 4 cm D = 7 cm

h = 5 cm

b = 6 cm

dh

D

b

244

Practica

Calcular el área de rombos y de romboides

1.Calculaeláreadelossiguientescuadriláteros.Aplicar

2.Resuelveelsiguienteproblema.Analizar

Silabasedeunromboidemide20cmylamedidadesusuperficiees100cm2,¿cuáleslamedidadesualtura?

3.Analizaelsiguienteproblemayluegoresponde.Analizar

a. Antesderesponderlapregunta,¿quéesloprimeroquedebescalcular?

b. Respondelapreguntaycomparteturespuestaconlasdetuscompañerasycompañeros.

m(AB)=20cm

¿Cuáleslamedidadelasuperficiequesepuedecubrircon8deestosparalelógramos?

A

D C

B

12 cm

A

D C

B

11 cm

A

a. b.H

m(EG)=15mym(FH)=10m

F

GEEducando en valoresEl trabajo en equipo nos permite comprender el punto de vista de otros y desarrollar estrategias en común para resolver un problema.

20 cm

245


Paracalcularelárea de untrapecio,puedesdescomponerlafiguraenrectángulosytriángulos,paraluegocalculareláreadeestasysumarlas.

Aprende

Observa y responde


Enlacuadrícula,sedibujóeltriánguloABC,elrectánguloDEFGyeltrapecioHIJK.

• Completalaafirmaciónconlassiguientespalabras.

derecha trasladarse congruente

Paraobtenerunafigura coneltrapecio,eltriángulodebe

9unidadesala .

• Calculaelárea,segúnlosdatosyaentregados.

TriánguloABC RectánguloDEFG


Eláreadeltrapecioes20cm2. Eláreadeltrapecioes21cm2.


Siseaplicantransformacionesisométricasseobtieneel

trapecioHIJK.

A B D

G

K J

H I

E

FC

1 cm

1 cm

Ejemplo:paracalculareláreadeltrapecioABCD,sepuededescomponerenunrectánguloy2triángulos,comosemuestraenlaimagen.

Luego,alcontarlascuadrículaseláreadeltrapecioABCDes28cm2.

obtiene el

Eláreadeltrapeciocorrespondealasumadelasáreasdelrectángulo

yeltriángulo.rectángulo

246

4 cm

5 cm

2 cmA B

CD

2 cm

5 cm

4 cm

2 cm

4 cm

Practica

1.Calculaeláreadecadatrapecio.Consideraqueloscuadradosencadacuadrículatienen1cm2desuperficie.Aplicar

2.Analizalasiguientefigurayluegoresponde.Consideraquecadacuadrículatiene1cm2desuperficie.Analizar

a. Paraobtenerlafiguraenelplano2,¿quétransformaciónisométricaselepuedeaplicaraunapartedelafiguradelplano1?Justificaturespuesta.

b. Calculaeláreadelasfigurasrepresentadasenambosplanos.Explicaporquéseobtienenesosresultados.

Calcular el área de trapecios utilizando diferentes estrategias

a. b.

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0

Y Plano17

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X0

Y Plano2

247


Sisetieneuntrapecio,sepuederepresentarotroidénticoaél,paraformarunromboide,talcomomuestralafigura:

Eláreadelromboidesecalculacomo:(B+b)•h.Luego,eláreadecadaunodelostrapeciosesigualalamitaddeláreadelromboide,esdecir:

Área del trapecio=( )B b h

2:+

Ejemplo:alcalculareláreadeltrapecio,setieneque:

Aprende

Área de trapecios

Enunafábrica,senecesitaconfeccionarunamesa,paraquesucubiertatengaformadetrapecio.

Paradeterminarlasuperficiedelacubiertadelamesa,sepuededescomponerlafiguraquerepresenta lacubierta,delasiguienteforma.

• Calculaeláreadecadaunadelasfigurasquecomponeneltrapecio.

Lee y responde


11 cm

60 cm

11 cm

60 cm

68 cm

60 cm

68 cm

90 cm

60 cm

3 cm

15 cmA B

CD 7 cm

Áreadeltrapecio=( )

215 37 :+

cm2=2

2 32 :cm2=

266

cm2=33cm2

h

Bb

B b

248

Practica

Calcular el área de trapecios

1.Calculaeláreadelossiguientestrapecios.Aplicar


a. Lasbasesdeuntrapeciomiden10my5mcadauna.Silaalturamide4m,¿cuáleslamedidadesusuperficie?

b. Lamitaddelasuperficiedeuntrapeciomide270m2.¿Cuáleseláreadeltrapecio?

c. Silasumadelasmedidasdelasbasesdeuntrapecioes120cmyeláreaesde480cm2,¿cuáleslamedidadesualtura?

a. b. c.

6 cm

2 cm

3 cm

4 cm

7 cm

5 cm

8 cm

2 cm

3 cm

249




LosabuelosdeAlejandrotienenunterrenoirregularyquierensaberlamedidadesusuperficie.Alejandrohaceunesquemadelterrenoenpapelcuadriculado,lodivideendiferentestriángulosrectángulosyanotalasmedidasquetomósuabuelo.

• Marcaconun laexpresiónquepermitecalculareláreadelterreno.

2

70 202

60 302

60 70: : :+ +d nm2

270 20

260 30

260 70+

++

++f pm2

• EscribeeláreadelterrenodelosabuelosdeAlejandro.

Lee y responde

20 m

30 m

60 m

70 m

Eláreadeunafigura compuestaporpolígonossepuedeobtenerdividiendoelpolígonoenfigurasconocidas,talescomotriángulos, trapecios o paralelógramos.Luego,sedeterminacadaunadesusrespectivasáreasyestassesumanparaobtenereláreapedida.

Ejemplo:paracalculareláreadelsiguientepolígono:

Alcontarlascuadrículasenelpolígonose

tienequesuáreaes29cm2.

Sisecalculaeláreadecadafiguraseobtienen:

Áreadelrectángulo:(4•3)cm2=12cm2

Áreadeltrapecio:( )

210 7 2:+

cm2=17cm2

Áreadelpolígono:(12+17)cm2=29cm2

Aprende

3 cm

2 cm4 cm 7 cm

13 cm

3 cm

2 cm4 cm 7 cm

13 cm

2 cm

250

Practica

Calcular el área de figuras compuestas

1.Calculaeláreadelassiguientesfiguras.Consideraquecadacuadradoquecomponelacuadrículatieneunárea

de1cm2.Aplicar

a. b. c.

Ponte a pruebaSenecesitaestimareláreaquesemuestrayparaellosepresentan2opciones,enlascualesselimitalafigurapordentroyporfuera.

• Estimaeláreadelafigurarepresentadaencadaopción.

Opción1 Opción2

• ¿Cuáldelasdosestimacionesesmáscercanaalárearealdelafigura?Explica.

1 m

1 m

1 m

1 m

Opción1 Opción2

251



Patricionecesitacubrirunmurocomoeldelaimagenconcerámicasdeformacuadradadelado20cm.¿Cuáleseláreadelaparedquesenecesitacubrir?

PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.

SepreguntaporeláreadelaparedquenecesitacubrirPatricio.


•Hay8cerámicasaloanchodelaparedy13cerámicasalolargo.

•Deldibujosepuedededucirquelaparedmide2,6mdelargoy1,6mdeancho.


•Elanchodelaparedmide 8•20cm=160cm

•Ellargodelaparedmide 13•20cm=260cm

•Apartirdeloanterior,paracalculareláreadelaparedsemultiplicaellargoporelancho,yseobtienelosiguiente:

Áreadelapared (160•260)cm2=41.600cm2


•Cantidaddecerámicas 8•13=104

•Áreadeunacerámica (20•20)cm2=400cm2

•Áreatotaldelascerámicasenlapared (400•104)cm2=41.600cm2

•Finalmente,eláreatotaldelaparedes41.600cm2.

Cerámicaspuestas,aloancho.

Cerámicaspuestas,alolargo.

Ladodelacerámica.

Ladodelacerámica.

252

ancho

largo

Unidad 6

Ahora hazlo tú

Sieláreadeuncuadradocorrespondealatercerapartedeláreadeunromboidedebase9cmyaltura3cm,¿cuáleselperímetrodelcuadrado?


Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1



253

Competencias para la vidaLalongituddelospuenteschilenosmeayudaacomprenderlaconexiónvialdenuestropaísNuestropaístieneaproximadamente12milestructurasdeconexiónvialesubicadasendiferentesrutasdelpaís.Deestetotal,7.250correspondenapuentesyelresto,apasarelas.


• ¿Cuáleslalongituddecadapuenteexpresadaencentímetros?

ViaductoMalleco: cm PuentePresidenteIbáñez: cm

PuenteLlacolén: cm

• ¿Cuántaspasarelashayennuestropaís?



Nombre:ViaductoMalleco

Ubicación:RegióndeLaAraucanía

Longitud:345metros

254

Lalongituddelospuenteschilenosmeayudaacomprenderlaconexión

Fuente:MinisteriodeObrasPúblicas,GobiernodeChile.


• ¿Cuáldelospuentesmostradosenlasfotografíasseencuentramásalnorte?

• Comentacontuscompañerasycompañeroslosdistintospuentesqueconocen.Nombratres.

• Nombra3aspectosquesedeberíatomarencuentaparadiseñarunpuentedelmodomásaproximadoalarealidad.


Competenciaculturalyartística

Nombre:PuentePresidenteIbáñez

Ubicación:RegióndeAyséndelGeneralCarlosIbáñezdelCampo

Longitud:200metros.

Nombre:PuenteLlacolén

Ubicación:RegióndelBiobío

Longitud: 2.157metros

255

EstrategiasparaprepararelSimce

256


MR


Porlotanto,laalternativaCeslacorrecta. 1. A B D

A.Enestaalternativa,secalculóeláreadelpisodelacasa,perosepreguntaporeláreadesusparedes.

B.Enestecaso,secalculaeláreadelaparedlateral(103m2)ydelrectánguloquesepuedeformarenlapared

frontal(39m2).Faltaobtenereláreadeltriánguloqueseformabajoeltecho.

D.Secalculaeláreatotaldelasparedessinrestareláreadelasventanas(2m2)yel áreadelaspuertas(3m2).

C.Enestecaso,seobtieneeláreadelasparedesdelasiguientemanera:

Pared A ((6•7)–3) m2=39m2

Pared B2

6 4:f pm2=12m2

Pared C ((15•7)–2•1)m2=103 m2

Área total (39+12+103)m2= 154m2

Análisis de las alternativas

1. Sarapintarálasparedesexternasdesucasayparaellonecesitaconocercuáleslamedidadelasuperficie

delasparedes.Sicadaventanatieneunáreade1m2,¿cuáleseláreaquepintarádelasdosparedes

quesemuestranenlaimagen?

A. 90m2

B.142m2

C.154m2

D.159m2

Área de la puerta

Área total de la pared

Área de las ventanas

Área total de la pared

C

11 m

11 m

6 m

6 m

15 m

15 m

7 m

7 m

5 m

5 m

1 m

1 m

3 m

3 m

A

B

12 m2

39 m2

103 m2

C

256



Unidad 6

puntos

4

puntos

6

puntos

4

1.Midelossiguientessegmentosyresponde.

a.

Medidaencm Medidaenmm

b.

Medidaencm Medidaenmm

2.Completalosrecuadrosconlasequivalenciasquefaltan.


7.000

30

400.000

80.000

20

3.540

3.Calculaelperímetroyeláreadelossiguientesparalelógramos.

a.

Perímetro

Área

b.

Perímetro

Área

3 m

7 m

2 cm

2 cm

A B

C D

257

¿Qué aprendiste?

258

puntos

4

puntos

2

puntos

2

4.Determinaeláreadelassiguientesfiguras,utilizandolacuadrícula.

a. ÁreadelafiguraA

b. ÁreadelafiguraB

c. ÁreadelafiguraC

d. ÁreadelafiguraD

5.Calculaeláreadelafigura.

6.Observaelplanodeunacasaycalculaeláreadecadaelementosegúncorresponde.Considera

cadaáreade iguala40cm2.

Áreaestimadadelsofágrande.

Áreaestimadadelamesadecentro.

A

BD

C

1 cm

1 cm

4 cm

4 cm

6 cm

3 cm

258

Unidad 6

puntos

5


7. ¿Aquémedidaequivalen15km?

A. 150hm

B. 1.500dm

C. 15.000dam

D. 150.000cm

8. ¿Aquémedidanoequivalen34dam?

A. 340m

B. 3.400dm

C. 34.000cm

D.3.400.000mm

9. Siunladodeuncuadradomide1m,¿cuálessusuperficie?

A. 10m2

B. 10.000cm2

C. 10.000dm2

D. 100.000mm2

10. Sia=7cm,¿cuáleselperímetrodelasiguientefigura?

A. 32cm

B. 34cm

C. 222 cm

D. 22 4cm

11. Sieláreadeunrectánguloes24cm2,¿cuálesdelassiguientesmedidascorrespondenasulargoysuancho,respectivamente?

A.6cmy4cm.

B. 4cmy3cm.

C.20cmy4cm.

D.12cmy12cm.

8a

8a

6a

4a

259

¿Qué aprendiste?

260

puntos

5

12. Unrectángulotieneunáreade117cm2ysulargomide13cm.¿Cuáleslamedidadesuancho?

A. 3cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 13cm

13. Enlasiguientecuadrícula,¿cuántoscuadradosde1cm2tienelasuperficiedeltriángulo?

A.20

B. 21

C.22

D.42

14. ¿Cuáleslamedidadelaalturadeuntriángulo,silabasees42cmyeláreaesde756cm2?

A.18cm

B. 30cm

C.36cm

D.40cm

15. ¿Cuáleseláreadelrombo?

A. 57cm2

B. 340cm2

C. 680cm2

D. 1.360cm2

16. Sielsiguientetrapeciotieneunáreade384cm2,¿cuáleslasumadelasmedidasdesusbases?

A.12cm

B. 24cm

C.36cm

D.48cm

16 cm

1 cm

1 cm

40 cm

17 cm

260

Unidad 6

puntos

4

17. Respectodelafigurarepresentadaenlacuadrícula,¿quéafirmaciónesfalsa?

A.Unodesusladosmide11cm.

B. Tieneunasuperficiede50cm2.

C.Laalturadelparalelógramoes5cm.

D.Lafiguraquesemuestraesunparalelógramo.

18. Sieláreadeunromboidees320km2ysubasemide32km,¿cuáleslamedidadesualtura?

A. 5km

B. 10km

C. 100km

D. 288km

19. ¿Cuáleseláreadeltrapecio?

A.10cm2

B. 35cm2

C. 45cm2

D.55cm2

20. Lasiguientefiguraestácompuestasoloporparalelógramos.¿Cuáleseláreatotaldelafigura?

A.16cm2

B. 24cm2

C.72cm2

D.68cm2

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

8 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

4 c

m4

cm

4 c

m BuscaPreparalaprueba6

261


Datos y probabilidadesUnidad

Datos y probabilidades7

En esta unidad aprenderás a:• Resolversituacionesproblemamedianteelanálisisdetablas,gráficosdebarras

ydelíneas,comunicandotusconclusiones.

• Representardatosmediantediagramasdetalloyhojas.

• Resolverdistintassituacionesmedianteelcálculodelpromediodedatos,einterpretarsuresultado.

• Describirlaposibilidaddeocurrenciadeuneventorespectodeunexperimentoaleatorio.

• Compararprobabilidadesdedistintoseventos.

• Abordardemaneraflexibleycreativalabúsquedadesolucionesaproblemas.

A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.

Fuente:www.conama.cl

Año

Tone

lada

s

2006

237.574 239.254252.750 249.755

2007 2008 2009

300.000

250.000

200.000

150.000

100.000

50.000

0

Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile

262




Considerando la situación anterior, responde.

1.¿Cuáleseltítulodelgráficoquemostrólaprofesora?

2.¿Quérepresentacadabarraenelgráfico?Explica.

3.Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,sinoloes.

a. Elejehorizontaldelgráficorepresentalosañosdelestudio.

b. Delgráficosepuedeconcluirquelacantidadderesiduosentreunañoyotroaumentó.

c. Todaslasbarrasdelgráficodebentenerelmismoancho.

d. Todaslasbarrasdelgráficodebentenerlamismaaltura.

4.Analizalasiguientetablaquerepresentalainformaciónobtenidaporlosestudiantesde5°básico.Luego,completaelgráficodebarrascorrespondiente.


Día Cantidad de residuos (kg)

Lunes 150

Martes 135

Miércoles 148

Jueves 160

Viernes 155

TOTAL 748


Cantidad de residuos (kg)

Día

263

Módulo

Unidad 7 / Datos y probabilidades

1 Tratamiento de la informaciónConceptos básicos

Enunafábricadefósforosseproducen1.000cajascon40unidadescadauna,duranteundíadetrabajo.Conelfindeanalizarlaproduccióndiaria,eldepartamentodecontroldecalidadseleccionadiariamenteunamuestra al azarde30cajasparaverificarlacantidaddefósforosqueestascontienen.

Losdatosqueobtuvieronenundíafueronlossiguientes:

39 40 42 38 40 40 40 39 38 37 40 41 42 40 4040 40 41 36 40 36 41 43 43 40 41 41 40 40 40

• ¿Porquécreesquelamuestradecajasdefósforosseseleccionóalazar?

• ¿Quéseanalizóenlascajasseleccionadas?

• Marcaconun laafirmacióncorrectarespectodelobjetivodelanálisis.

Elobjetivoessaberquétansegurossonlosfósforosquesefabricanadiario.

Elobjetivoessaberlacantidaddefósforosdecadacajaessiemprelamisma.

Lee y responde

Laestadísticaesunacienciarelacionadaconrecolección,organización,análisiseinterpretacióndedatos.Suobjetivoestomardecisionesapartirdeunestudioquepuederealizarserespectoaunapoblaciónorespectodeunsubconjuntodeestaquesedenominamuestra, laquedebeserrepresentativaenrelaciónconunavariableobservableymedible.

Ejemplo:conelfindeproponerunmejoramientodelaalimentacióndelosestudiantes,enuncolegiodecidenrealizarunaencuestaa50deellosseleccionadosalazar,parasabercuántasvecesalasemanaconsumencomida“chatarra”.

Enestecaso:•Lapoblacióncorrespondealacantidadtotaldelosestudiantesdelcolegio.•Lamuestraestácompuestapor50estudiantesseleccionadosalazar.•Lacantidaddevecesqueseconsumecomida"chatarra"alasemanacorrespondealavariabledelestudio.•Losdatossonlosvaloresquerepresentanlacantidaddevecesqueconsumencomidadeestetipo.•Elobjetivodelestudioesproponerestrategiasdemejoramientoalimenticioenelestablecimiento.

Aprende

264

Reconocer elementos básicos de un estudio estadístico

1.Completaconlainformaciónquecorresponda.Interpretar

a. Enciertacomunasenecesitanconocer losdistintosdeportesquepracticanlasniñasylosniños,parapoderfinanciarunacampañaafavordelaactividadfísica.Conestefinseencuestaráalazara70niñasy70niñosdelacomuna.

Población

Muestra

Variable

Datos

Objetivo

b. Conlafinalidaddemejorarlostiemposdeatenciónalosclientesdeunatienda,susejecutivosproponenrealizarunaencuestaa60delaspersonasqueundíadeterminadocompranenella.

Población

Muestra

Variable

Datos

Objetivo

2.Analizalasiguienteinformación.Luego,responde.Analizar

a. ¿Cómoclasificaríaslavariable“masacorporal”enunestudioqueserealizaaungrupodepersonas?Justifica.

b. ¿Cómoclasificaríaslavariable“fruta”enunestudiorelacionadoconfrutasfavoritas?Justifica.

Practica

Unavariableescualitativa(atributos)cuandocorrespondeaunadescripciónocaracterísticadeunelementodelapoblaciónodeunamuestra.Porejemplo,elcolordepelooeldeportepreferido.

Porotraparte,unavariableescuantitativa(numérica)cuandoentregaunacaracterísticacuantificabledeunelementodelapoblaciónounamuestra.Porejemplo,laedadolaaltura.

Una muestra aleatoria es aquella que tiene la misma posibilidad de ser escogida que cualquier otra y cuyos elementos deben ser elegidos independientemente uno de otros, con la misma posibilidad.

¿Sabías que...?

265


Módulo 1 / Tratamiento de la información


Enlasiguientetablasemuestranlosdatosobtenidosalencuestara60personas,respectodelacantidaddecomputadoresquehayensushogares.

• ¿Quéserepresentóenestatabla?Explica.

• Enestecaso,¿quévalorestomalavariable“Cantidaddecomputadores”?

• ¿Cuáleseldatoquemásserepitióenlaencuesta?Explica.

Lee y responde

Unatabla de frecuenciastienelafinalidaddemostrarlosdatosrecopiladosenformaordenada.Medianteestarepresentación,esposibleextraerinformacióndemaneramássimple.

Loselementosbásicosquesepuedenreconocerenlastablasestadísticasson:lapoblación,lamuestra,lavariable,lascategoríasdeestaylafrecuenciaconqueellasaparecen.

Ejemplo:enlasiguientetablasemuestranloscolorespreferidosporlosestudiantesdeuncursoparaconfeccionarunpolerón.

Población y muestra:enestecaso,porserpocosestudiantesseestudióalapoblacióncompleta,quecorrespondealtotaldeestudiantesdelcurso.

Variable:color.

Categorías de la variable:verde,azul,amarilloyrojo.

Frecuencia:cantidaddevecesqueserepitiócadaunadelasvariables.Lafrecuenciadelcolorverdefue3,delazul12,delamarillo14ydelrojo8.

Objetivo:confeccionarunpoleróndelcolorpreferidoporlamayoríadelosestudiantes.

Aprende

Colores preferidos

Color Frecuencia

Verde 3

Azul 12

Amarillo 14

Rojo 8

¿Cuántos computadores hay en tu hogar?

Cantidad de computadores Número de hogares

0 5

1 26

2 19

3 10

266

Leer e interpretar información representada en tablas

1.Identificaydescribeloselementosestadísticosenlasiguientetabla.Luego,responde.Interpretar

LaprofesoradeMatemáticamuestraasusestudiantesunatabladondeorganizalascalificacionesqueellosobtuvieronenunaprueba.

Población

Muestra

Variableytipodevariable

Datos

Objetivo

a. ¿Cuántosestudiantesrindieronlaprueba? estudiantesrindieronlaprueba.

b. ¿Cuántosestudiantesobtuvieronmenosdeun6comocalificación? estudiantesobtuvieronmenosdeun6.

2.Construyeunatabladefrecuenciasparaorganizarlosdatosmostrados.Luego,responde.Aplicar

Lossiguientesdatosrepresentanlacantidaddehabitantesquevivenencadadepartamentodeuncondominio.

341214332345123334524311340122355325345210

a. ¿Cuántosdepartamentosnoestánhabitados? .

b. ¿Cuántosdepartamentoshayenelcondominio? .

c. ¿Cuántaspersonasvivenenelcondominio? .

Practica

Hay estudios que se aplican a toda la población. En estos casos no se considera una muestra.

Ojo con...

Título

Frecuencia

Variable

Distribución de las calificaciones en la prueba de Matemática

Calificación 3 4 5 6 7

Cantidad de estudiantes 2 5 15 7 2

267


Losgráficos de barrassonrepresentacionesqueentreganinformación,medianterectánguloscuyostamañossonproporcionalesa lascantidadesquecadaunorepresenta.Estosrectángulospuedendisponerseenformaverticaluhorizontalrespectodedosejesperpendicularesalosqueselesasignanlasvariablesdelestudioqueserealiza.

Ejemplo:enuncolegioelegiránelcentrodealumnospormediodeunaelecciónalaquesepresentaron5listasconcandidatospara losdiferentescargos.Parasondear loquepodríapasareldíadelaelección,seorganizóunaencuestabasadaenunamuestrade50estudiantesdelcolegioelegidaalazar.

Apartirdelgráfico,lalista4aparececonunamayor preferenciaenestaencuesta,yaquetiene17preferencias.


Aprende


Enunestablecimientoeducacional,atodoslosestudiantesselesdaunafrutaencadarecreoparapromoverunaalimentaciónsaludable.Conelfindeevaluarlacampaña,registraronenungráficodebarraslainformacióndelos5primerosmesesdelañoescolar.

• Apartirdelgráfico,¿sepuedeconcluirquelacampañahasidoexitosa?,¿porqué?

Lee y responde

Listas postulantes

Lista 1

Lista2

Lista3

Lista4

Lista5

20

1517

10

53

0

Can

tidad

de

pref

erec

ias

Preferencia de 50 estudiantes para la elección del centro de alumnos

MesMar Abr May Jun Jul

50

40

30

20

10

0

Cantidad de kg de frutas

Kilógramos de frutas consumidas

• ¿Quérepresentalaalturadecadabarrarectangular?

• ¿Enquémesseconsumióunacantidadmayordefrutas?

• ¿Enquémesseconsumióunacantidadmenordefrutas?

268

Leer e interpretar información representada en gráficos de barras

1.Analizaelgráficodebarras.Luego,responde.Analizar

a. ¿Cuántosestudiantesprefiereneltallerdeteatro?

b. ¿Quétallerfuepreferidopor30estudiantes?

c. ¿Cuántosestudiantesmenosprefirierondanzaque

fútbol?

d. ¿Cuálpuedeserelobjetivoderealizarestaconsultaalosestudiantesdeestenivel?Explica.

2.Analizaelsiguientegráficodebarrasconlosresultadosdeunaencuestarealizadaparaconocerlaeficaciadeunprogramadealimentaciónsaludableimplementadoenelcasinodeunaempresa.Luego,responde.Analizar

a. ¿Cuántaspersonasrespondieronlaencuesta?

b. ¿Quéplatofueelmenospreferido?

c. ¿Cuántaspersonasmásescogieron“ensaladaconpescado”que“polloconarroz”?

d. ¿Creesqueelplandealimentaciónsaludablediobuenosresultados?Explica.

PracticaTalleres preferidos por los estudiantes de 5o básico

Cantidad de estudiantes5 10 15 20 25 30

Vóleibol

Fútbol

Teatro

Pintura

Música

Danza

0

Talleres

Educando en valores

Recuerda alimentartede manera saludable. Asícrecerás fuerte y sano.

Platos preferidos

Ensaladas Arroz con carne

Pollo con arroz

Ensalada con pescado

16

12

4

8

0

Cantidad de personasPreferencias alimenticias

10

14

6

2

269


Losgráficos de líneassonrepresentacionesqueentreganinformaciónutilizandopuntosqueseunenporlíneas.Lasalturasdelospuntossonproporcionalesalasmagnitudesquerepresentan.Sonmuyutilizadosparacomunicarinformaciónreferidaavaloresnuméricosquevaríaneneltiempo.

Ejemplo:enelsiguientegráficosepuedeobtener informaciónrespectodelacantidaddelibrosvendidosytambiénsobreelcomportamientodelaventaeneltiempo.


Aprende


Elgráficodelíneasrepresentalastemperaturasmáximasregistradasenunaciudaddurantelosprimerosdíasdeenerodelaño2012,quevariaronentre18ºCy28ºC.

• ¿Quétemperaturaseregistróel5deenerodel2012enunaciudad?

• ¿Quédíaseregistróunatemperaturade22ºC?

• ¿Cuálfuelamayorvariacióndetemperaturaentredosdíasseguidos?Justifica.

• ¿Cuántoslibrossevendieronenabril?

Laalturaenqueseubicaelpuntodelmesdeabrilcorrespondea4.000libros.

• ¿Enquémesseproducelamayoralzaenlaventadelibros?

Enjulio,yaquelaventaaumentóen5.000unidades.

• ¿Cuántoslibrossevendieronentotal?

Sesumanlascantidadesdelibrosquesevendieronencadames,esdecir:5.000+3.000+7.000+4.000+2.000+1.000+6.000=28.000libros.

Libros vendidos en 6 meses

Mes

8.000

7.000

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

0

Can

tidad

de

libro

s ve

ndid

os

Ene Feb Mar JunAbr JulMay

Observa y responde

30

20

10

0

Tem

pera

tura

Co

Temperatura máxima de los ocho primeros días de enero del 2012 en una ciudad

Día1 2 3 64 75 8

270

Leer e interpretar información representada en gráficos de líneas

1.Observaelsiguientegráficodelíneas.Luego,responde.Interpretar

2.Analizaelsiguientegráficodelíneasyluegoresponde.Analizar

Practica

a. ¿Enquéciudadcayeron21milímetrosdeagua?

b. ¿Quéciudadhatenidolamenorprecipitaciónhastalafechaindicada?

c. ¿Enquéciudadesprecipitómásde30milímetros?

d. ¿Enquéciudadeselaguacaídafuemenoroiguala21milímetros?

e. ¿CuántosmilímetrosdeaguacaídasumanlasprecipitacionesenlasciudadesdeOsorno,CoyhaiqueyBalmaceda?

Fuente:http://www.meteochile.cl/precipitacion.html

Precipitaciones caídas al 2 de febrero del 2012

40

70

30

60

20

50

10

Milí

met

ros

de a

gua

caíd

a

Ciudad0

Con

cepc

ión

Tem

uco

Vald

ivia

Oso

rno

Coy

haiq

ue

Bal

mac

eda

Pun

ta A

rena

s

a. Enelperíodooctubre–febrero,¿cuáleslaclasedeautomóvilmáscontrolado?

b. ¿Enquémessecontrolaronmásautomóviles?

c. ¿EnquémesessecontrolanmásautomóvilesdeclaseAqueautosdeclaseB

Vehículos controlados en una planta de revisión técnica

Mes

60

40

20

0

Cantidad

Oct Nov Dic Ene Feb

AutomóvilclaseA

AutomóvilclaseB

271



Aprende


Paracelebrarelaniversariodeuncolegio,eldirectorpideadosgruposdeestudiantesquerealicen,unaencuestasobrelaspreferenciasquetienen70estudiantesde5ºbásicorespectodelassiguientesactividadespropuestas:convivencia,salidaalcine,fiestadedisfraces,concursodecantoydeportivas.

Ambosgruposrepresentaronlainformaciónobtenidaendosregistrosdistintos.

Lee y responde

Paraconstruir gráficos de barras o de líneassedebe:

1. Decidireltipodegráficomásadecuadoalestudio.

2. Poneruntítuloalgráfico.

3. Establecerlasvariablesdecadaejeygraduarlo.

4. Dibujar las barrasolos puntoscuyasalturassonproporcionalesa losvaloresnuméricosde lasfrecuencias;y,enelcasodelgráficodelíneas,unir los puntosconsecutivos.

Utilidades de cada tipo de gráfico

Elgráfico de barrasesunarepresentaciónútilparavisualizarvariablescuyosvalorespuedencorresponderanúmerosnaturales,ypor logeneralsemuestrainformacióncomparativadeunavariable.

Elgráfico de líneasesunarepresentaciónútilparaestudiarlatendenciadeunavariableenunestudio.

Actividades

• Enestecaso,¿quégráficoesmásconvenienteutilizar?,¿porqué?

Preferencia de los estudiantes como actividades de aniversario

Actividad Frecuencia

Convivencia 8

Salidaalcine 12

Deportivas 15

Concursodecanto 13

Fiestadedisfraces 22

Grupo 1 y 2:Resultadosregistradosenunatabladefrecuencias.

ActividadesCon

vive

ncia

Sal

ida

al c

ine

Dep

ortiv

as

Con

curs

o de

can

to

Fies

ta d

e di

sfra

ces

20

15

10

5

0

Frec

uenc

ia

Preferencia de los estudiantescomo actividades de aniversario

Con

vive

ncia

Sal

ida

al c

ine

Dep

ortiv

as

Con

curs

o de

can

to

Fies

ta d

e di

sfra

ces

20

15

10

5

0

Frec

uenc

ia

Grupo 1: gráfico de barras

Preferencia de los estudiantes como actividades de aniversario

Grupo 2: gráfico de líneas

272

Construir gráficos de barras y de líneas

1.Construyeungráficodebarrasapartirdelosdatosentregadosenlasiguientetabla.Luego,responde.Representar

a. ¿Quégénerodepelículatienemayorpreferencia?¿Ycuáltienemenorpreferencia?

b. ¿Quéconclusiónsepuedehacerapartirdelarepresentacióngráfica?

2.Analizalasiguientetablayconstruyeungráficodelíneasquerepresentelainformación.Luego,responde.Analizar

Losdatosmuestranlostiempos,ensegundos,alcanzadosporunjovenenlos100metrosplanos.

a. ¿Enquécarreraobtuvosumejorrendimiento?

b. ¿Cuálesfueronsusdospeorestiempos?

c. ¿Aquéconclusiónpuedesllegarrespectodelamejoradesustiempos?

Practica

Tiempos obtenidos por el joven

Carrera Tiempo logrado (s)

1 18

2 18

3 17

4 15

5 13

6 14

¿Qué género de películas prefieres?

Género Preferencias

Drama 12

Terror 15

Suspenso 18

Comedia 10

Cienciaficción 13

273


Losdiagramas de tallo y hojassonrepresentacionesgráficasenlasquepuedeobservarseladistribucióndefrecuenciasdeunavariablecuantitativa(numérica).Enestosdiagramas,losnúmerossedividenenuna“hoja”quecorresponde,porlogeneral,alacifradelasunidades,yun“tallo”quecorrespondealascifrasrestantes.

Ejemplo:enlasituaciónplanteadaanteriormente,elnúmero26correspondeaunadelasedadesdelosparticipantesdeltorneo;estaserepresentaeneldiagramaconsiderandocomotallolacifra2ycomohojalacifra 6.

Conclusión:entrelos11ylos27añosseconcentralamayorcantidaddeparticipantesydesdelos40añoshaciaarribasolohay3participantes.


Aprende


Auntorneodekarateasisten46participantes.Paraformarlascategoríasdelacompetencia,seconsideralaedaddelosparticipantescomounadelasvariables.Estasedadessonlassiguientes:

812402518617157111581612151272318233041142234263431232527231721341941343617212734121118

Unorganizadordeltorneodisponelosdatosen5categorías,delasiguientemanera:

Edades de los participantes

• ¿Quérelacióntienenlasedadesdelosparticipantesmayoresde30añosymenoresde40añosconlosdatosencerradosconcolorrojoenlarepresentaciónanterior?Justifica.

Observa y responde

0 677881 1122224555677788892 1125333356773 014444464 011

Tallo Hojas

0 67788

1 112222455567778889

2 112533335677

3 01444446

4 011

274

Analizar información representada en diagramas de tallo y hojas

1.Observaelsiguientediagramadetalloyhojas.Luego,responde.Analizar

Masascorporalesaproximadas,enkilógramos,delospacientesmenoresde15añosatendidosenunserviciodesalud.

a. ¿Cuántospacientestienenunamasacorporaliguala39kilógramos?

b. ¿Cuántaspersonasmenoresde15añosfueronatendidasenelserviciodesalud?

c. ¿Cuántosdeestospacientestienenunamasacorporalmenora17kilógramos?

d. ¿Cuántospacientesmenoresde15añosregistraronunamasamenoroiguala53kilógramos?

e. ¿Cuálcreesqueeselobjetivodeesteestudio?

Practica

Ponte a pruebaAnaliza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.

a. ¿Cuáldelasdosempresasvendiómásenelaño?

b. ¿Enquémeslograronlasmismasventas?

c. ¿Entrequémeseslaempresa1tuvomenoresventasquelaempresa2?

d. ¿Aquéconclusionespuedesllegarapartirdelainformacióndelgráfico?Escribealmenosdos.

Ventas anuales de dos concesionarios de vehículos

Mes

140

120

60

100

8090

110

70

50

20

40

0

Can

tidad

de

vehí

culo

s

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

0 45578

1 013346

2 12556678

3 022489999

4 34566788

5 23334567

6 001378

Tallo Hojas

Empresa1 Empresa2

Masas corporales (kg)

275

¿Cómovas?puntos

2

puntos

4

puntos

4

Conceptos básicos

1.Analiza la siguiente situación. Luego, responde.

En una campaña cultural, los directores de museos de una ciudad encuestan a 80 personas seleccionadas al azar entre las que asisten durante un fin de semana a una galería de arte. Se les consulta por la cantidad de museos que han visitado durante el último año.

a. ¿Cuáleslamuestraconsiderada?

b. ¿Cuáleslavariabledelestudio?

Leer e interpretar tablas de frecuencias

2.Analiza la siguiente tabla y luego responde.

a. ¿Cuáleseldeportemáspreferidoyelmenospreferido?

b. ¿Cuántaspersonasrespondieronestaencuesta?

Leer e interpretar gráficos

3.Analiza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.

a. ¿Enquémesesdelañoseregistrómenorproduccióndecemento?

b. ¿Entrequémeseshubounamayorvariacióndelaproducción?

Deportes preferidos

Deporte Preferencias

Básquetbol 15

Fútbol 18

Rugby 5

Tenis 22

Producción de cemento durante el año 2010

Mes

350

300

150

250

200

50

100

0

Tone

lada

s

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

276

Unidad 7


puntos

4

puntos

4

Construcción de gráficos

4.Ordena los datos y construye un gráfico que los represente. Luego, responde.

El guardaparques de un bosque realiza un catastro anual de los árboles que hay. Este año obtuvo los siguientes datos:

P A A P E R C P E C P A A C P A C R E E A A P C E P P E P P E A P R R E P R C E P C C A A A A C E E A A C E P P P E C A R R R R A R P P R R C R C A A A A P C R R C P C A A C E E E A P R

A: Araucaria

C: Ciprés

E: Espino

P: Peumo

R: Raulí

a. ¿Cuántosárboles,entotal,hayenelbosque?

b. ¿Quéárbolpredominaenestebosque?

Diagramas de tallo y hojas

5.Representa los siguientes datos en un diagrama de tallo y hojas. Luego, responde.

a. ¿Quéventajatieneenestecasoutilizarundiagramadetalloyhojasenvezdeungráfico

debarras?

b. Enestecaso,¿sepodríahaberrepresentadolainformaciónenungráficodelíneas?Explica.

12 15 25 17 24 18

21 35 42 12 21 25

17 16 31 29 18 32

45 23 21 32 21 23

15 34 25 32 29 32

Cantidad de prendas vendidas diariamente

277

Módulo


2 Promedio de datosCálculo de promedio de datos

LascalificacionesobtenidasporlosdosquintosbásicosenelexamensemestraldeMatemáticason:

5° A:222537347344534345454347547322

5° B:264555676356656543264577

Juanafirmaqueel5°Atieneunmejorrendimientoqueel5°B,yaquehay4calificacionessietey,encambio,el5°Btienesolo3.

Pedrodicequesisumanlascalificacionesdel5°Aylasdividenporlacantidadtotaldecalificaciones,obtendríanunnúmeroquerepresentaríaelrendimientodelcurso.Yquealhacerlomismoconlasnotasdel5°B,podríancompararestosresultados.

• Calculalasumadetodaslascalificacionesdecadacurso.

Sumadelascalificacionesdel5°A Sumadelascalificacionesdel5°B

• Estenúmerosedivideporlacantidaddecalificacionesdecadacurso.

(Sumadelascalificacionesdel5°A):30= (Sumadelascalificacionesdel5°B):24=

Porlotanto,el5°Atuvo rendimientoqueel5°Benesteexamen.

Lee y responde

Elpromedioomedia aritmética(x )correspondealcocienteentrelasumadelosvaloresnuméricosdelavariableyelnúmerototaldedatos.

Ejemplo:losdatoscorrespondenalasestaturas,encentímetros,delosjugadoresdeunequipodefútbol.

174169179184175168177182176181178174179182186

Sisesumanlasestaturasysedivideelresultadoporeltotaldejugadoresresulta:

x15

174 169 179 184 175 168 177 182 176 181 178 174 179 182 186=

+ + + + + + + + + + + + + +

.,x

152 664

177 6= =

Porlotanto,elpromediodelasestaturasdelosjugadoreses177,6cm.

Aprende

278

Calcular el promedio de datos e interpretar su resultado

1.Calculaelpromediodelossiguientesconjuntosdedatos.Aplicar

2.Determinaelvalorquefaltaencadacasoparaqueresulteelpromediodado.Analizar

3.Resuelvelossiguientesproblemas.Aplicar

a. Lasedadesde5amigosson13,15,13,12y12años.¿Cuáleselpromediodesusedades?

b. Latablamuestralasventasdeverdurashechasenunnegocio.¿Cuántasverdurassevendieronenpromedio?

c. JavieraobtuvolassiguientescalificacionesenlaasignaturadeMatemática:6;4;4y5.¿Quénotadebeobtenerenlaúltimapruebaparaterminarelañoconun5comopromedio?

Practica

Verduras vendidas

Verdura Cantidad vendida

Lechuga 18

Zanahoria 9

Cebolla 15

Acelga 9

a. 4,5,7,10y12

x =

b. 4,6,8,13,16,40,35y54

x =

c. 45,54,63,103y110

x =

d. 500,400,200,350y450

x =

a. 8,8,8,8,8,8,8, x =8

b. 12,3,4,5,7, ,9,8 x =6

c. 7,6,12, ,8,17,3 x =8

d. ,100,110,240 x =125

279



Enelsiguientegráficosemuestralacantidaddecobre(enkilógramos)extraídadiariamenteporungrupodepirquinerosenlaZonaNortedelpaís.

• Paracalcularelpromedio,serealizalosiguiente:x6

125 150 100 140 115 90+ + + + += = =

Porlotanto,durantelasemanaseextrajounpromediode kilógramosdecobre.

Módulo 2 / Promedio de datos

Paracalcularelpromedio de datos en un gráfico,sedebensumarlosvaloresdelavariablequerepresentanlasbarrasolaslíneas,yluegodividirestevalorporlacantidadtotaldedatos.

Ejemplo:enelsiguientegráfico,elpromediodelosdatoses:

. . . . . . . . . . . .x

64 000 000 00 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 6 00 0005 0 0

=+ + + + +

=. .

630 000 000

=5.000.000

Porlotanto,$5.000.000eselpromedio mensualdeventaenelminimarketduranteelprimersemestre.

Aprende

Lee y responde

DíaLun Mar Miér Jue Vie Sáb

175

125

150

100

25

50

75

0

Kilógramos Extracción de cobre diaria

Venta mensual de un minimarket durante el primer semestre

Mes

76

3

54

12

0

Millones de pesos

Ene Feb Mar Abr JunMay

280

Calcular el promedio de datos entregados gráficamente

1.Calculaelpromediopedidoencadacaso.Aplicar

a. ¿Cuántasmonedasde$100,enpromedio,recolectócadaamigo?

b. Enpromedio,¿cuántasherramientasseprodujerondiariamente?

c. Enpromedio,¿cuántasempanadasdetodoslostipossefabricanenundía?

Practica

Producción en miles de herramientas fabricadas en una semana

Día

6

3

5

4

1

2

0

Cantidad de herramientas (en miles)

Lun Mar Miér VieJue Sab Dom

Champiñón Empanada

25

30

20

15

10

5

0

Cantidad de empanadas

Napolitana Camarón queso

Pino Queso

Empanadas fabricadas en un día

Juan Pedro Sandra Ana Patricio

5055

4045

30

20

10

0

Cantidad de monedas

Persona

Monedas de $ 100 recolectadaspor un grupo de amigos

281


Módulo 2 / Promedio de datos

Aprende


Unturistaextranjeroquisorecorrernuestropaís.Paraello,se informódeque la temperaturapromedioenundíadelmesdemayo,enChile,esde17°C,por loquedecidiótomarciertasprecauciones.CuandollegóaPuntaArenas,enelmesdemayo,sellevóunagransorpresa:latemperaturaerade0°C.

• Compruebaqueelpromediodelastemperaturasrepresentadasenlatablaesde17°C.

• Enestecaso,¿elpromediodelastemperaturasfueunbuenindicadordelaqueseregistróenPuntaArenas?Remarcaturespuesta.

Lee y responde

Elpromedioomedia aritméticadeunconjuntodedatosnuméricospresentaventajasydesventajas:

Ventajas•Eselvalornuméricomásutilizadopara

representarunconjuntodedatosnuméricos.•Seexpresaenlasmismasunidadesquela

variable.•Esunvalornuméricoúnico.•Cambiarespectoacualquiervariaciónde

losdatos.

Desventajas•Nosepuedecalcularcondatoscualitativos

(nonuméricos).•Seveafectadoporvaloresnuméricosmuy

altosomuypequeñosdeladistribucióndedatos,pudiendonoserrepresentativo.

Respectodelasituaciónanterior,setienelosiguiente:

Ventajas•Elpromedioes17°Cytienelamismaunidaddemedida

quecadaunadelastemperaturasregistradas.•Noexisteotronúmeroquerepresenteelpromediodelas

temperaturas.•Siseagregaunanuevaestacióndemonitoreoyelpromedio

subea20°C,sesabeinmediatamentequelaestacióndemonitoreoharegistradounatemperaturamásalta.

Desventajas•Sieldatoregistradohubiesesidoeltipodeclimadelpaís

(mediterráneo,desértico,etc.)nosehabríapodidoobtenerelpromedio,yaquenoesundatonumérico.

•ElpromediodelastemperaturasnolesirvióalturistaextranjeroparatomarlasprecaucionesnecesariasensuvisitaaChile;estosedebeaqueesepromedionofuerepresentativodelosdatos.

Estación Temperatura

Curicó 16°C

Chillán 17°C

Concepción 17°C

Temuco 16°C

Valdivia 16°C

Osorno 15°C

PuertoMontt 13°C

Coyhaique 10°C

Balmaceda 4°C

PuntaArenas 0°C

Estación Temperatura

Arica 22°C

Iquique 22°C

Calama 26°C

Antofagasta 22°C

Caldera 18°C

LaSerena 26°C

Valparaíso 21°C

Pudahuel 20°C

QuintaNormal 21°C

JuanFernández 18°CSí No

282

Identificar las ventajas y desventajas respecto del promedio de datos

1.Marcaconun silaafirmaciónescorrectayconuna ,siesincorrecta.Justificaencadacaso.Evaluar

a. Sielpromediodelasedadesde10personases27años,entoncestodaslaspersonastienenmásde10años.

Justificación:

b. Rodrigotiene15añosymide1my65cm,ysereuniráconungrupode8personascuyopromediodeestaturaes1m58cm,demodoqueseráelmásaltodelgrupo.

Justificación:

c. Paraunacampañasolidaria,ungrupodeamigosrecolectatodoslosañosunpromediode$50.000.Silorecaudadoesteañopromedialos$51.000,entoncesmejoróelaportedelgrupodeamigos.

Justificación:

2.Analizalasituaciónyresponde.Analizar

Lospuntosobtenidosporunequipodebásquetbol,enlosprimeros5partidosdelatemporada,fueron:65,48,63,59y80.

a. ¿Cuáleselpromediodepuntosobtenidoporpartido?

b. Siconlospuntosobtenidosenelúltimopartidoelpromediovaríaa54puntos,¿quépuedesafirmarrespectodelospuntosobtenidosenesteúltimopartido?

Practica

Ponte a pruebaElpromediodelassuperficiesde999terrenoses2.000m2;siseleagregaunnuevoterrenode

200.000m2,elnuevopromedioseríade2.198m2.Porotrolado,sielpromediodelassuperficies

deotros9terrenoses2.000m2yselesagregaotroterrenode200.000m2,elnuevopromedio

seríade21.800m2.

• ¿Porquécreesqueencadagrupodedatosinfluyódedistintaformaelhechodeagregarelterrenode200.000m2?

283

Módulo


3 Introducción a la probabilidadExperimentos aleatorios

Silanzasundadode6caraspuedesasegurarquecaerá,yaquetuobservaciónsefijaenloqueocurriráconsuposición,peronopodríasdeterminarelpuntajequetendrálacarasuperiorcuandocaigasobreunasuperficiehorizontal.

Estaimposibilidadserelacionaconlosseisposiblesvaloresquesepodríaobtenerallanzarundado.

• Sitereúnesconunaamigaounamigoyjuegasaadivinarelpuntajequeresultaráallanzarundado,¿quénúmeroelegirías?,¿yporqué?

Aprende

Unexperimentoes determinístico,sialejecutarlovariasvecesbajolasmismascondiciones,setienecerteza de lo que ocurrirá.

Ejemplo:siseponeunvasoconaguaenuncongelador,luegodeuntiempodeterminadoelaguasecongelará.Porlotanto,hayciertacertezadequeestoocurrirá.

Unexperimento es aleatorio,esquelquedependedelazar,esdecir,nosetienecertezadeloqueocurrirá.Porlotanto,no se puede predecir su resultado.

Ejemplo: siseextraesinmirarunabolitadeunabolsaquecontiene3bolitas,dosdecolorverdeyunadecolorrojo,nosepuedetenercertezadelcolordelabolitaextraída.

Observa y responde

284

Identificar experimentos aleatorios y sus posibles resultados

1.Clasificacadaexperimentoenaleatorioodeterminístico.Observaelejemplo.Clasificar

Lanzarunapelotadesdeunaaltura. Determinístico

a. Lanzarunamonedaalaire.

b. Observarelgénero(masculinoofemenino)delasiguiente

personaqueentraráaunatienda.

c. Exponerunpapelalfuego.

d. Sacarunhielodelrefrigeradoryponerloalsol.

e. Elegirelnúmeroganadordeunalotería.

2.Analizacadaunodelossiguientesexperimentosaleatoriosyescribesusposiblesresultados.Analizar

a. Lanzarunamoneda.

b. Sacarunabolitadeunacajaconbolitasnumeradasdel1al10.

c. Sacaralazarunadelas9tarjetas,cadaunadelascualestieneimpresaunaletradelapalabraALEATORIO.

3.Realizaelsiguienteexperimentoaleatorioyresponde.Aplicar

Lanzaunamoneda40veces.

a. ¿Cuántasvecesobtuvistecara?

b. ¿Cuántasvecesobtuvistesello?

Practica

285


Módulo 3 / Introducción a la probabilidad

Cuandoserealizaunexperimentoaleatorio,elconjuntoformadoportodoslosposiblesresultadoscorrespondealespacio muestralysesimbolizaporlaletragriegaX(omega).

Unsubconjuntodelespaciomuestralserelacionaconlossucesosoeventosdelexperimentoaleatorio.

Ejemplo:Luisysupadreestánjugandoalanzarunamonedade$500.Entonceslleganaunacuerdo:lanzaránlamoneda,ysisalecaralamonedaserádelpadrey,sisalesello,serádeLuis.

Porlotanto,elespacio muestralserá:

Enestecaso,dosposibleseventososucesos,serían:

•quesalgacara,elqueserepresentacomo:S1={cara}.

•quesalgasello,elqueserepresentacomo:S2={sello}.

Aprende

Espacio muestral

Laprofesorade5°añobásicoproponeasusestudiantesrealizarlasiguienteactividad:

• ¿Cuálessonlosposiblesresultadosquesepuedenobtenerallanzarestedado?Justifica.

• ¿Creesquehayalgúnresultadoquetienemásposibilidadesdeaparecer?

Analiza y responde

1. Formengruposde5integrantes.2. Dibujenlosiguienteensuscuadernos.

3. Recórtenloyconstruyanundado,encuyascarasaparezcanlosnombresdeloscontinentes.4. Lancen10vecescadadadoyregistrenloscontinentesqueaparecenenlacarasuperior.

cuadernos.

América

ÁfricaAsia

Antártica

Oceanía

Europa

X= {cara, sello}

Entonces lleganLuis.

286

Identificar el espacio muestral asociado a un experimento

1.Escribeelespaciomuestralquecorrespondeacadaexperimentoaleatorio.Interpretar

a. Extraerunatarjetadeungrupode10tarjetasnumeradas(del1al10).

b. Lanzardosmonedasalavez.

c. Lanzardosdados.

2.Analizalasiguientesituación.Luego,responde.Analizar

Enungrupode10estudiantesdeuncursoseregistróelcolordepelodecadaunodeellos:

C:CaféN:NegroR:Rubio

Losresultadosfueronlossiguientes:

C C C N C N C N R N

Experimentoaleatorio:“elegiralazartresestudiantesyregistrarsucolordepelo”.

a. ¿Cuáleselespaciomuestral? X=

b. Escribetresposibleseventos.

3.Observalaimagen.Luego,responde.Analizar

a. Defineunposibleexperimentoaleatorio.

b. ¿Cuáleselespaciomuestral?

c. Identificaquéeventoeselquetienemayorposibilidaddeocurrir.

Practica

X=

X=

X=

287



Enunexperimento aleatorio,losresultadospuedentenermayoromenorposibilidaddeocurrencia.Losdistintoseventososucesoscorrespondientesaestosresultados,sepuedenclasificarcomo:

• Seguros

• Posibles

• Imposibles

Aprende

Comparación de posibilidades

Dentrodelacajahay8bolitas,todasdeigualtamaño.

Siseextraeunabolitaalazardelacaja,¿cuálseríaelespaciomuestral(X)asociadoaesteexperimentoaleatorio?Escríbelo.

X={ }

• Alextraerunabolita,¿esposiblequeseadecolorverde?Explica.

• ¿Esigualmenteposibleextraerunabolitadecolorazul,yunadecoloramarillo?Justifica.

• ¿Esciertoquetodaslasbolitastienenlamismaposibilidaddeserescogidas?Justifica.

Observa y responde

Ejemplo:enlatómbolahay12pelotitas.Alextraeralazarunadeellas,setieneque:

Evento seguro• Obtenerunadecolorazul, unaamarilla,unaverdeounaroja.

Eventos posibles• Obtenerunadecolorazul.

• Obtenerunadecolorrojo.

• Obtenerunadecolorverde.

Evento imposible• Obtenerunadecolorcafé.

roja.

288

Determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio

1.Observalasiguientesituación.Luego,responde.Comprender

a. Siseextraealazarunabolitadelabolsa2,¿dequécolorserá?

b. Obtenerunabolitadecolorrojodelabolsa2,¿esunsucesoseguro?

c. Siseextraealazarunabolitadelabolsa1,¿dequécolorserá?

d. Obtenerunabolitadecolorverdedelabolsa1,¿esunsucesoposibleoseguro?

e. ¿Esunsucesoposibleobtenerunabolitadecoloramarillodelabolsa1?

2.Clasificalossiguienteseventosenseguro,posibleoimposible,encadacaso.Clasificar

a. Obtenercaraenellanzamientodeunamonedaesunevento .

b. Obtener10puntosenellanzamientodeundadodeseiscarasesunevento .

c. Elegirunjugadorhombreenunequipodebásquetbolmasculinoesunevento .

3.Analizacadasituación.Luego,pintacadarepresentaciónparaquesecumplalacondición.Analizar

Practica

a. Extraerunabolitadecolorazulesunsucesoimposible.

b. Extraerunabolitadecolorrojoesunsucesoposible.

c. Extraerunabolitadecolorverdeesunsucesoseguro.

Bolsa 1 Bolsa 2

289



Aprende

Probabilidad y comparación

Enunatienda,porcada$10.000decompra,cadaclientetienelaposibilidaddegirarlaruletaunavezyganarunpremio.

• Algirarlaruleta,¿quéresultadossepuedenobtener?

• Completaloscasillerosconlacantidaddesectoresdelaruletacorrespondienteacadacolor.

• ¿Quécoloresmásprobablequeresultealgirarlaruleta?¿Ycuálmenos?

Analiza y responde

Loseventosdeunoovariosexperimentos aleatoriossepuedencompararrespectodesuocurrencia:

• Siuneventotienemásposibilidadesdeocurrirqueotro,sedicequetienemayor probabilidaddeocurrencia.

• Alcontrario,sitienemenosposibilidades,sedicequetienemenor probabilidaddeocurrencia.

Ejemplo:enunacajahay12pelotas:tresverdes,tresamarillas,cincorosadasyunaazul,comosemuestraenlailustración.Siseextraealazarunapelotasinver,¿quéresultadossepuedenobtener?

Resultados probables:verde,azul,amarilloyrosado.

Alpredecirlosresultados,setieneque:

Más probable:pelotarosada.

Menos probable:pelotaazul.

Igualmente probable:pelotaamarillaypelotaverde.

Rojo Amarillo

Azul Verde

Conectad@sIngresa a



290


Comparar probabilidades de eventos mediante la posibilidad de ocurrencia

1.Comparalaprobabilidaddeocurrenciadelossiguienteseventosydeterminacuáltienemayorprobabilidad.Interpretar

a. Enellanzamientodeundado.

A:obtenerunnúmeropardepuntos. B:obtenerunnúmerodepuntosmenorque5.

b. Sacaralazarunadelasseistarjetas,talquecadaunatieneimpresaunaletradelapalabraSUCESO.

A:obtenerunavocal. B:obtenerunaconsonante.

Practica

Ponte a pruebaAnaliza la situación y luego responde.

Algirarlatómbolayextraerunabolita,¿cuáleslaprobabilidaddequesalgaunadecolorrojo?

Comoenlatómbolahay10bolitasy5deellassondecolorrojo,laprobabilidaddeobtenerunabolita

decolorrojoes105

.

510

CantidaddebolitasdecolorrojoCantidadtotaldebolitas

a. ¿Cuálseríalaprobabilidaddeobtenerunabolitade

colorazul?

b. ¿Cuálseríalaprobabilidaddeobtenerunabolitade

coloramarillo?

c. Apartirdeloanterior,¿québolitaesmásprobableobtener?

una bolita

291



EnestegráficosemuestralacantidaddeniñosqueparticipaenlasOlimpíadasdeMatemática.Siseeligeaunodeloscompetidoresalazar,¿cuáldelossiguienteseventostienemayorprobabilidaddeocurrir?

A:quetenga15años.

B:quetenga10o12años.

PASO 1 Explica con tus palabras la pregunta del problema.

• Enelproblemasepreguntaquéevento,entreAyB,tienemayorprobabilidaddeocurrencia.


• 30delosniñostienen15años.




• Comoloseventossedefinenrespectodeunmismoexperimentoaleatorio,esposiblecompararlascantidadesdecasosfavorablesacadaevento.

Loscasosfavorablesparacadaeventoson:

ParaeleventoAson30casosfavorables.ParaeleventoBson10casosfavorablesenrelaciónalaedadde10añosmáslos25casosrelacionadosalaedadde12años.Porlotanto,entotalson35casoslosfavorables.Finalmente,eleventoBtienemayorprobabilidaddeocurrirqueeleventoA.


CasosfavorablesparaeleventoA:30casos.CasosfavorablesparaeleventoB:10+25=35casos.Como35>30,escorrectodecirqueeleventoBtienemayorprobabilidaddeocurrenciaqueeleventoA.

Participantes de las Olimpíadas de Matemática

50 10 15 20 25 30

15

14

1312

11

10

Cantidad de niños

Edades

292

Unidad 7

Ahora hazlo tú

Elsiguientegráficomuestralacantidaddelatasrecolectadasporuncursoenlosúltimosseismesesdelaño.Luego,estassemarcanparasabercuántasserecolectaronpormes.Siseeligieraunadeellasalazarpararevisarsuestado,¿cuáldelossiguienteseventostienemenorprobabilidaddeocurrir?

A:quelalatasehayarecolectadoenunodelosdosúltimosmeses.B:quesehayarecolectadoenjuliooseptiembre.


Revisa la solución.PASO 4

Latas recolectadas en los últimos 6 meses del 2012

Mes

70

60

30

50

40

10

20

0

Can

tidad

de

lata

s

Ago Sept Oct Nov DicJul

55

45

35


Explica con tus palabras la pregunta del problema.PASO 1

293

Competencias para la vidaLainformaciónestadísticameayudaacomprendersituacionessociales

LosJuegosParaolímpicossonlacompetenciaolímpicaoficialdelosatletasdiscapacitados.Participanpersonascondiscapacidadesmotoras,amputaciones,ceguerayparálisiscerebral.Acontinuación,sepresentaunatablaqueregistralacantidaddemedallasdeoro,plataybroncequeobtuvocadapaísenlosJuegosParaolímpicosdePekín2008.


• ¿QuépaísobtuvomásmedallasdeoroenPekín2008?

• ¿QuépaísobtuvoentotalmásmedallasenPekín2008?

• SiSudáfricaganómenosmedallasqueotrospaísescomoCanadáyEspaña,¿porquérazóncreesqueseencuentramásarribaenlatabla?

• SituvierasquerepresentarenungráficolacantidadtotaldemedallasobtenidasporlospaísesparticipantesenPekín2008,¿quétipodegráficoutilizarías:debarraodepuntos?Justifica.



Medallero Paraolímpico Pekín 2008

Número País Oro Plata Bronce Total1 China 89 70 52 2112 GranBretaña 42 29 31 1023 EstadosUnidos 36 35 28 994 Ucrania 24 18 32 745 Australia 23 29 27 796 Sudáfrica 21 3 6 307 Canadá 19 10 21 508 Rusia 18 23 22 639 Brasil 16 14 17 4710 España 15 21 22 5811 Alemania 14 25 20 5912 Francia 12 21 19 5213 RepúblicadeCorea 10 8 13 3114 México 10 3 7 20

294

Segúnelcensorealizadoelaño2002enChile,el2,2%delapoblacióntienealgúngradodediscapacidad.Lasiguientetablaloresume:


• ¿Quéenseñanzatedejaestainformación?

• ¿EnChileexistealgunacampañaparaayudaralagentequetienealgúngradodediscapacidad?

• ¿Dequémaneracolaborastú?


Competenciasocialyciudadana

Personas con discapacidades Total Hombres Mujeres

Personascondiscapacidades 334.377 178.563 155.814

Cegueratotal 42.931 20.341 22.590

Sorderatotal 66.524 35.280 31.244

Mudez 11.060 6.037 5.023

Parálisis/lisiado 135.389 73.988 61.401

Deficienciamental 98.149 53.041 45.108

Totaldiscapacidades 354.053 188.687 165.366

Personasconmásdeunadiscapacidad 19.676 10.124 9.552

Fuente:http://www.ine.cl/cd2002/sintesiscensal.pdf

295

www.ine.cl/cd2002/sintesiscensal.pdf

EstrategiasparaprepararelSimce MR



Análisis de las alternativas

1. Lasiguientetablamuestralacantidaddepersonasporcursoyporgéneroqueasistieronaunconciertoenuncolegio.Siseeligealazaraunapersona,¿cuántoscasosfavorablestieneeleventoenelcuallapersonaseleccionadaseadesexofemeninoyde4°medio?

Asistentes a un concierto en un colegio2o medio 3o medio 4o medio

Mujeres 60 40 75

Hombres 50 80 90

Total 110 120 165

A.75casosfavorables.

B.90casosfavorables.

C.165casosfavorables.

D.175casosfavorables.

A.Seconsideraqueloscasosfavorablescorrespondenalacantidaddepersonasquecumplenconlacondicióndesermujeryestaren4°medio.Porlotanto,elnúmerodecasosfavorablesaleventoencuestiónes75.

B.Seconfundeelgénero,porloqueseconsideraaloshombresde4°medio,queson90,yserelacionaestenúmeroconeldeloscasosfavorablesaleventoporelquesepregunta.

C.Enestecaso,seconsideraerróneamentequeloscasosfavorablescorrespondensoloaleventoquelapersonaseade4°medio,sinconsiderarelgénero.

296

D.Enestaalternativa,loscasosfavorablescorrespondensoloaleventodequelapersonaseadesexofemenino,sinconsiderarqueademásdebeserde4°medio.

Porlotanto,laalternativaAeslacorrecta. 1. C DBA

NivelSexo

296296



puntos

3

puntos

4

1.Analizalasiguientetablayluegoresponde.

a. ¿Cuántosintegrantesentotaltieneestaorquestadevientos?

b. ¿Cuántosintegrantestienelaorquestaentrelosquetocantubayclarinete?

c. ¿Encuántosintegrantessuperanlosquetocanflautatraversaconrespectoalosque

tocantrompeta?

2.Analizaelsiguientegráficodebarrasyluegoresponde.

a. ¿Cuáleseltipodepinturamásvendido?

b. ¿Cuántosumanlosgalonesdebarnizyesmaltesintéticovendidosenundía?

c. ¿Cuántosgalonesmásdelátexsedebenvenderparaalcanzarlaventadeesmaltealagua?

d. Planteaunasituaciónparalacualfuenecesarioconstruirelgráfico.

297

Tipo de pintura

100

607080

40

20

0

Can

tidad

de

galo

nes

Látex Esmaltesintético

Esmalte al agua

Barniz

Tipos de galones de pintura vendidos en un día

Integrantes de una orquesta de vientos por instrumento

Instrumento Cantidad

Trompeta 5

Trombón 2

Saxofón 4

Clarinete 4

Flautatraversa 6

Tuba 2

Trompa 2

luego responde.

total tiene esta orquesta de vientos?

la orquesta entre los que tocan tuba y clarinete?

Integrantes de una orquesta de vientos por instrumento

Cantidad

5

2

4

4

6

2

2

Unidad 7

puntos

3

Tuba

Trompa

SaxofónClarinete

Trombón

Flauta traversa

Trompeta

297

3.Analizaelsiguientegráficodelíneasyluegoresponde.

a. ¿CuántoscentímetrosmedíaRobertoalos17años?

b. ¿Encuántoscentímetrosaumentósuestaturaentrelos14añosylos20años?Justifica.

c. ¿EntrequéedadesseguidasRobertotuvounaumentomayordesuestatura?Justifica.

4.Calculaelpromediodecadaunodelossiguientesconjuntosdedatos.

a. Edades,enaños,deunosamigos:15,14,12,16,15y12.

b. Cantidaddeproductosvendidosporunapersona:23,54,31,19,26,42y29.

c. Temperaturasmáximas,engrados,Celsiusdelosdíasdeunasemana:5,7,3,5,3,1y4.

Variación de la estatura de Robertoentre los 10 y los 20 años

Edad

180

175

160

170

165

155

150

145140

135

Estatura en centímetros

11 1312 16 17 18 19 2014 1510

puntos

3

puntos

3

¿Qué aprendiste?

298

Unidad 7

puntos

4


Losdirectivosdeuncolegioencuestarána40padresyapoderados,aquienesselesconsultarásobrelacantidaddehorassemanalesquededicanaestudiarconsushijos.Lafinalidaddeestaencuestaesdetectarnecesidadesyproponertalleresdemétodosdeestudioenlasreunionesconlospadresyapoderados.

Considerandoloanterior,respondelaspreguntas5y6.

5.¿Cuáleslapoblaciónconsideradaenelestudiodescritoanteriormente?

A.Lospadresdelosestudiantesdelcolegio.

B. Losmétodosdeestudiodelospadresconsushijos.

C.Los40padresencuestados.

D.Lashorasquelospadresestudiansemanalmenteconsushijos.

6.¿Cuáleselobjetivodelaencuesta?

A.Recopilardatos.

B. Proponerestrategiasdeestudio.

C.Encuestara40padresdelcolegio.

D.Aumentarlashorasdeestudiodelosestudiantes.

7. Respectodelasiguientetabla,¿cuántosgruposdepersonasasistieronconmásde2niñosaverunapelícula?

A. 8

B. 12

C. 16

D. 28

8.Segúnlosdatosexpuestosenlatabladelapreguntaanterior,¿cuáldelassiguientesexpresionesesverdadera?

A.Cincogruposdepersonasfueroncontresniños.

B. Quincefueronlosniñosquevieronlapelícula.

C.Cuarentayochogruposdepersonasfueronconsideradosenlatabla.

D.Lavariableconsideradaenelestudioesgrupodepersonas.

Grupos de personas que asistieron con niños a ver una película

Número de niños Grupos de personas1 20

2 12

3 8

4 5

5 3

299

¿Qué aprendiste?

9. Segúnelgráfico,¿cuántosgatossedeberíanatenderparaigualareltotaldecaballosyperrosatendidos?

A. 8

B. 17

C.25

D.33

Analizaelsiguientegráficoyluegorespondelaspreguntas10,11y12.

10. ¿Encuántosobrepasanlasventasdeltercerdíaalasventasdelquintodía?

A. 6

B.11

C.16

D.22

Animales atendidos en una clínica veterinaria

Tipo de animalVaca Gato Caballo Perro Otros

20

15

10

58

0Can

tidad

de

anim

ales

Ventas de bicicletas realizadas en los primeros días de un mes

10

20

0 1 2 3 54 86 7 Día del mes

Número de bicicletas

puntos

2

300

Unidad 7

11. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?

A.Eltercerdíasevendieronmásbicicletas.

B. Enlos8primerosdíasdelmessevendieron114bicicletas.

C.Lamayordiferenciadeventasentredíasseguidosseobservaentrelosdías5y6.

D.Lacantidaddebicicletasvendidastiendealabajaamedidaquetranscurrenlosdías.

12. Paraqueelpromediodeventasdiariasdurantelosochoprimerosdíasfuesede15bicicletas,¿cuántasmásdeberíanhabersevendido?

A.1diaria.

B. 6más.

C.6diarias.

D.120diarias.

Respectodelexperimentodegirarlaruleta,respondelaspreguntas13y14.

13. ¿Cuáleselespaciomuestral?

A.{1,2,3,9}

B. {númerosmenoresque9}

C. {1,1,2,2,3,3,3,8}

D.Nosepuededeterminar.

14. ¿Quénúmeroesmásprobableobtener?

A.1

B. 2

C.3

D.9

2 311

9233

puntos

4

BuscaPreparalaprueba7

301


Completa tus datos.

Evaluación integradora tipo SimceEvaluación integradora tipo Simce MR Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.

Nombre:

Curso: Fecha:



1.¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares?

A.PQ y RP

B. RQ y MP

C. MR y QR

D. MP y PQ

2.¿Cómo se clasifica el polígono PQRM?

A.Triángulo.

B. Trapecio.

C.Trapezoide.

D.Paralelógramo.

3.¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular?

A. B. C. D.

M R

P Q

302

Quinto básico

4.¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el plano cartesiano?

A.(4, 2)

B. (2, 4)

C. (3, 4)

D. (4, 3)

5.Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría?

A.Trapecio.

B. Triángulo.

C.Trapezoide.

D.Paralelógramo.

6.Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?

A.Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.


C.Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.

D.Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.


A.Rotación.

B. Reflexión.

C.Traslación.

D.Simetría central.

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 X0

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 X0

Y

W

P

M

WA

H H’

G G’F

Eje de simetría

F’

E E’

0

Y

X

303

Evaluación integradora tipo Simce MR

8.¿En qué alternativa se muestran dos figuras congruentes?

9.¿A cuántos milímetros equivalen 4 metros?

A. 40

B. 400

C. 4.000

D. 40.000

10. ¿Cuál es el perímetro del siguiente polígono?

A.15 cm

B. 32 cm

C.24 cm

D.60 cm

11. Si el área de un rectángulo es 72 m2 y uno de sus lados mide 8 m, ¿cuál es la medida de su perímetro?

A. 9 m

B. 17 m

C.22 m

D.34 m

A.

B.

C.

D.

3 cm

3 cm

3 cm3 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

0

0

0

0

Y Y

Y Y

X X

X X

304

Quinto básico

12. ¿Cuál es el área del cuadrilátero que se muestra en la cuadrícula?

A.18 m2

B. 30 m2

C.54 m2

D.60 m2

13. En el plano cartesiano se asume que la medida de la

superficie de cada es 1 cm2, y se representan diferentes

figuras geométricas. ¿Qué afirmación es verdadera?

A.La medida de la superficie del triángulo B es 4 cm2.

B. La medida de la superficie del rectángulo C es 8 cm2.

C.Al sumar las áreas de ambos triángulos se obtiene la superficie del rectángulo.

D.La medida de la superficie del triángulo A corresponde a la mitad de la superficie del rectángulo C.

14. ¿Cuál es el área de la siguiente figura?

A. 7 cm2

B. 10 cm2

C.14 cm2

D.48 cm2

15. De las siguientes alternativas, ¿cuál no corresponde a una variable cuantitativa?

A.La estatura de un grupo de estudiantes.

B. Las frutas que consumen en el recreo.

C.La masa corporal de diferentes estudiantes.

D.La cantidad de hermanos de diferentes personas.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0

Y

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

3 cm 1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

B

C

A

305

Evaluación integradora tipo Simce MR

En un colegio se encuestó a 150 apoderados, preguntándoles cuántos libros habían leído en los últimos tres meses. La información se ordenó en la siguiente tabla.

Libros leídos por apoderados en 3 meses

Cantidad de libros leídos Frecuencia

0 40

1 70

2 30

3 10

Lee la siguiente situación y responde las preguntas 16 y 17.

16. ¿Cuántos apoderados han leído más de 1 libro?

A.110 padres.

B. 70 padres.

C.40 padres.

D.30 padres.

17. ¿Qué gráfico representa la información de la tabla?

A.

B.

C.

D.

706050403020100

Cantidad de libros leídos

0 1 2 3

706050403020100


0 1 2 3

70

60

50

40

30

20

10

0


0 1 2 3

706050403020100


0 1 2 3


Frec

uenc

ia


Frec

uenc

ia


Frec

uenc

ia


Frec

uenc

ia

306

Quinto básico

18. Con el fin de tener un mejor control de los aviones que aterrizan diariamente en un aeropuerto, la información recopilada durante una semana se registró en un gráfico de líneas. Respecto de este, ¿qué afirmación es falsa?

A.El día viernes aterrizaron 10 aviones.

B. El día jueves aterrizó una mayor cantidad de aviones.

C.El día lunes aterrizaron más aviones que el día miércoles.

D.El día domingo aterrizaron menos aviones que el día sábado.

19. En el gráfico se muestra la cantidad de estudiantes que asisten a un taller. ¿Cuántos estudiantes asistieron en promedio?

A.85

B. 100

C.185

D.425

20. De un portalápices, como el de la imagen, se extrae un lápiz al azar. ¿Qué alternativa corresponde a un evento imposible?

A.Obtener un lápiz rojo.

B. Obtener un lápiz verde.

C.Obtener un lápiz azul.

D.Obtener un lápiz negro.

21. En el siguiente diagrama de tallo y hojas se registran las edades de un grupo de personas que asisten al cine. ¿Qué alternativa es falsa?

A.Asistió 1 persona de 39 años.

B. Asistieron 5 personas de 29 años.

C.La edad mínima de la persona que asistió es 8 años.

D.La edad máxima de la persona que asistió es 55 años.

Y

16

14

12

10

8

6

4

2

Lun Mar Miér Jue Vier Sab Dom X0

Cantidad de aviones que aterrizan diariamente en un aeropuerto

Día

DíaC

antida

d de

avi

ones

Lun Mar Miér Jue Vier X

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

85

Can

tida

d de

est

udia

ntes

Asistencia de estudiantes

15

9

7

Tallo Hojas

0 8 9 9 1 1 1 1 2 2 3 4 5 9 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 9 9 9 9 9 3 1 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 4 1 1 2 2 3 4 5 6 5 1 2 3 5

307


Casa del Saber

Módulo 2


Puntos en el plano cartesiano Figuras en el plano cartesiano

Módulo 4

Módulo 1


Intersección en figuras geométricasy en cuerpos geométricos



Poliedros

El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.

• 7 vértices• 12 aristas• 1 cara basal• 6 caras laterales

La pirámide tiene:

Perpendicularidad de figuras y cuerpos

La imagen se relaciona con el paralelepípedo.

En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un ángulo diedro recto.


En el triángulo EFG se realiza una traslación de 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo y se obtiene que:

El triángulo EFG es congruente con el triángulo E’F’G’.

Plano cartesiano

Los vértices del cuadrilátero son:

Al representarlo en el plano cartesiano, se obtiene un romboide.


Intersección de rectas Poliedros

ParalelepípedosCuadriláteros

Polígonos


ReflexiónTraslación Rotación


Cara lateral

Cara basal

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X0

Y

• A(1, 1)• B(7, 1)

• C(8, 4)• D(2, 4)

A

D

B

C

G’

G

E’

E

F’

F

La imagen se relaciona

Casa del Saber

Prepara la prueba 5 • RepasoMódulo 3: Plano cartesiano

5.Si el punto Z(3, 4) se desplaza 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto?

6.Representa en el plano cartesiano todos los cuadrados de lado 5 unidades que se pueden formar teniendo como uno de sus vértices el punto B(6, 5). Luego, escribe los vértices.

Módulo 4: Congruencia de figuras geométricas

7. Realiza la transformación isométrica. Luego, responde.

Con centro en A, rota en 180º el polígono y nombra a la imagen por B’C’D’E’.

¿Qué concluyes acerca de los lados y ángulos interiores de la imagen del polígono BCDE?

Módulo 1: Rectas, figuras y cuerpos geométricos

Observa la siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2.

1.Escribe: oblicua, perpendicular o paralela,según corresponda.

a. L1 es a L2.

b. L4 es a L1.

c. L5 es a L6.

d. L5 es a L3.

2.Considerando la figura geométrica que forman las rectas L1, L2, L3 y L4, ¿a qué cuadrilátero corresponde? Explica.

3.¿Cuántas caras laterales y basales tiene un paralelepípedo?

Caras laterales: Caras basales:

Módulo 2: Paralelismo e intersección

4.Colorea según sea el caso.

b. Unidad de millón

Desprende,respondeypegaentucuaderno

a. Poliedro ZWVUQTSR b. Paralelepípedo BCGFIADH

Caras paralelas 4 caras perpendiculares

Coordenadas de cada cuadrado.

L6

L1

L2 L3

L4

L5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0

Y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X0

Y

AB C

DE

Q

A DF

HI

G

B C

R

VU

T S

WZ

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

í


Casa del Saber

Módulo 1

Módulo 2

Módulo 3


En la tabla se presentan las siguientes equivalencias.


9 90 900 9.000 90.000 900.000 9.000.000

0,005 0,05 0,5 5 50 500 5.000


El área de la figura mostrada en la cuadrícula, en la que cada cuadrado tiene una superficie de 1 cm2, se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo.

Medidas de longitud Unidades desuperficie


Unidades de longitudy superficie

Utilizando cuadrículas

Triángulos Paralelógramos Trapecios

Área de paralelógramos

Área de triángulos

Área de trapecios


Área de un rectánguloPerímetro de figuras geométricas


Representaciónde rectángulos

Área de un rectángulo

El área de un rectángulo es 32 km2 y las medidas de sus lados solo se pueden representar con números naturales. ¿Cuáles son los posibles medidas de los lados del rectángulo?

Debido a que el área del rectángulo se calcula multiplicando la medida de su base por la medida de su altura, las posibles medidas son los números naturales que, al multiplicarse, resultan 32. Es decir:

(1 • 32) km2 = 32 km2 (2 • 16) km2 = 32 km2 (4 • 8) km2 = 32 km2

Luego, los lados del rectángulo pueden ser: 1 km y 32 km, 2 km y 16 km, 4 km y 8 km.

El área del triángulo es

4 cm2 y la del rectángulo,

20 cm2. Luego, el área total

de la figura es 24 cm2.

Casa del Saber

Prepara la prueba 6 • Repaso4.Resuelve los siguientes problemas.

a. Si el perímetro de un rectángulo es 20 cm y uno de sus lados tiene una longitud de 3 cm, ¿cuál es el área del rectángulo?

b. Si el área de un rectángulo es 15 m2 y uno de sus lados mide 5 m, ¿cuál es su perímetro?

Módulo 3: Área de figuras geométricas

5.Analiza las siguientes representaciones y luego responde.

a. Calcula el área de cada polígono:

b. Explica qué relación existe entre la medida del área de cada polígono en el plano 1 y en el plano 2.

Módulo 1: Unidades de longitud y superficie

1.Utilizando una regla, mide el triángulo rectángulo. Luego, completa:

a. m (AB) = cm

b. m (BC) = cm

c. m (CA) = cm

2.Completa con las equivalencias que correspondan.

Módulo 2: Perímetro y área de rectángulos

3.Calcula el perímetro (P) de las siguientes figuras geométricas.

a.

P =

b.

P =

a. 20 m = cm

b. 35 km = dam

c. 7 hm = dm

d. 4 dam = m

e. 5 mm = m

f. 4 dm = dam

BCDE

CZW

PALM

QNO


A

7 km

5 km5 km

B

C

12 m

4 m

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0

Y

E

B

D

C

Plano 1 1 cm

1 cm10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X0

Y

W

C

M L

O

Q NP A

Z

Plano 2 1 cm

1 cm

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

í

Prepara la prueba 7 • Síntesis • Nombre: Curso:

Casa del Saber

Cálculo de promedios de datos

Pablo es meteorólogo y anotó la temperatura máxima y la temperatura mínima que se registró durante una semana.

La temperatura máxima promedio fue: La temperatura mínima promedio fue:

Módulo 1

Módulo 2

Módulo 3

Conceptos básicos



Promedio de datos

Experimentos aleatorios

Espacio muestral Probabilidad y comparación

Comparación de posibilidades


En un curso se realizó una encuesta sobre el deporte favorito de los estudiantes. Los resultados se representan en el gráfico de barras.

Del gráfico se deduce que:

• Se encuestó a 15 estudiantes.

• El deporte que más practican los estudiantes es la natación.

De acuerdo con la ruleta que se muestra:

• Es más posible que salga el color rojo en lugar del color celeste.

• Es imposible que salga el color negro.

• Es seguro que salga el color rojo, celeste o blanco.

Cálculo de promedio de datos




Construcción de gráficos de barras

y de líneas

Lectura e interpretación de:

• tablas de frecuencias• gráfico de barras • gráfico de líneas

Deportes

Can

tidad

de

estu

dian

tes

Fútbol Natación Tenis

7

5

6

1

4

2

3

0

Deporte favorito

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Máxima 21 °C 24 °C 21 °C 18 °C 18 °C 21 °C 24 °C

Mínima 15 °C 17 °C 12 °C 10 °C 12 °C 15 °C 17 °C

x =21 + 24 + 21+ 18 + 18 + 21 + 24

=147

= 217 7 x =

15 + 17 + 12 + 10 + 12 + 15 + 17=

98= 14

7 7

Comparación de posibilidadesComparación de posibilidadesComparación de posibilidades

Casa del Saber

Prepara la prueba 7 • RepasoMódulo 2: Promedio de datos

3.Observa la información y luego responde.

El gráfico muestra la cantidad de camarones exportados en una empresa durante los primeros6 meses del año. Calcula el promedio de camarones exportados durante los seis meses.

Módulo 3: Introducción a la probabilidad

4.Remarca, en cada caso, aleatorio o determinístico, según sea el experimento.

a. Lanzar una moneda. Aleatorio Determinístico

b. Exponer un papel al fuego. Aleatorio Determinístico

c. Extraer una bolita de un caja. Aleatorio Determinístico

5.Completa con: seguro, posible o imposible, según el experimento aleatorio mencionado.

a. Seleccionar un día de la semana al azar.

b. Obtener 7 puntos al lanzar un dado de 6 caras.

c. Lanzar un dado dos veces y que la suma de sus. puntos sea menor que 13.

Módulo 1: Tratamiento de la información

1.Observa el siguiente gráfico y luego responde.

a. ¿Qué día visitaron la exposición más personas?

b. ¿Cuántas personas visitaron la exposición el cuarto día?

c. En total, ¿cuántas personas visitaron la exposición?

2.Construye el gráfico de barras con los datos entregados en la tabla.


Visita a la exposición

20

1°0 2° 3° 4° 5°

40

60

80

100

120

140

Can

tidad

de

pers

onas

Día

Can

tidad

7

8

6

3

5

4

1

2

0

Alimentos consumidos

Colación Cantidad

Frutas 7

Galletas 5

Leche 4

Jugos 8

Sándwich 6

Ene Feb Mar Abr May JunMeses

Camarones exportados

5

0

10

15

20

25

30

35

40

Tone

lada

s ex

port

adas

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

íPega aq

uí

Pega aqu

í

Matemática básico

La salud y la seguridadtambién son parte de tu educación

5°

matemáticas 5° tomo ii

Education