1. M a t e m t i c a s a v a n z a d a s p a r a i n g e n i e r a 2C l c u l o v e c t o r i a l ,ANLISIS DE FOURIERY ANLISIS COMPLEJODENN1S G. Z1LLJACQEIELIINE M. U E W A R uSM Tercera edicin

2. El v o lu m e n de M a te m tic a s avanza das p a ra in g e n ie ra 2 tra talos tem as relacionados con el clculo ve ctoria l, las fu n cio n e sortogonales, las series de Fourier y el anlisis com plejo.Caractersticas sobresalientes de esta obra: Aborda las ecuaciones diferenciales parciales, lo que perm ite que este verstil textopueda ser utilizado prcticam ente en cualquier curso de matemticas avanzadaso clculo avanzado. Supera a cualquier otro libro sobre el tema no slo por la claridad con la que losautores exponen los conceptos, sino por los recursos pedaggicos empleados, entrelos cuales se tienen: Secciones introductorias de cada captulo. Ejercicios por seccin. Ejercicios de repaso general, Una serie de proyectos de ingeniera y ciencia relacionados con los temas deltexto aportados por im portantes matemticos. Un m todo distinto para la resolucin de problemas de valores en la frontera nohomogneos. Problemas aadidos. Grupos de ejercicios que enfatizan la creacin de conceptos y le dan continuidada los desarrollos tericos presentados en las secciones y facilitan la asignacinde tareas.V i McGraw-Hill lw McGraw-Hill Congiurin InteramericanaISBN -13: 978-970-10-6510-5ISBN-10: 970-10-6510-7Visite nuestra pgina WEBwww.nicgraw-hill-educacion.com978970106510500000 3. M a t e m t ic a s a v a n z a d a s para in g e n ie r a 2 :C lc u lo w ecto iial, a n l is is de Fo u r ie rY ANLISIS COMPLEJO f 4. M a t e m t ic a s a v a n z a d a s para in g e n ie r a 2 :Clculo v e c t o r ia l / a n l is is de Fo u r ie rY ANLISIS COMPLEJO'X-L. -VTV -. V .*Tercera edicinDennis G. Zillj j p> # r ^m x Loyola Marymount UniversityMichael R. Cullen (finado)Loyola Marymount UniversityTraduccin tcnica:Dr. Em ilio Sordo ZabayUniversidad Autnoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoRevisin tcnica:Juan Carlos del Valle SoteloDepartamento de Fsica y MatemticasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, campus Estado de MxicoIgnacio Ram rez VargasDepartamento de IngenieraInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, campus HidalgoH eriberto A guilar JurezDivisin de Ciencias BsicasFacultad de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de MxicoJos M artn Villegas GonzlezCentro Universitario de Ciencias Exactase Ingenieras (CUCEI),Universidad de GuadalajaraM eG ra wMEXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLANDLONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SO PAULOSINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO 5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaTraductor: Carlos Roberto Cordero PedrazaMATEMTICAS AVANZADAS PARA INGENIERA 2:CLCULO VECTORIAL, ANLISIS DE FOURIER Y ANLISIS COMPLEJOTercera edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.KM McGraw-Hillm u InteramericanaDERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a la primera edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary o f The McGraw-Hill Companies, Inc.Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN-10: 970-10-6510-7ISBN-13: 978-970-10-6510-5Traducido de la tercera edicin en ingls de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zilland Michael R. Cullen. Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., pgs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566,651-929, app-9-app-14, ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved.ISBN-10: 0-7637-4591-XISBN-13: 978-0-7637-4591-21234567890 09765432108Impreso en Mxico Printed in MexicoImpreso por Litografica Ingramex Printed by Litografica IngramexThe McGraw-Hill Companies W m m 6. Prefacio a la terceraedicin en inglsA diferencia de un curso de clculo o de ecuaciones diferenciales, donde el contenidodel curso est muy estandarizado, el contenido de un curso titulado matemticaspara ingeniera algunas veces vara de forma considerable entre dos instituciones acadmicasdistintas. Por lo tanto, un texto sobre matemticas avanzadas para ingenieraes un compendio de muchos tems matemticos, todos los cuales estn relacionados entrminos generales por la conveniencia de su necesidad o su utilidad en cursos y carrerassubsiguientes de ciencia e ingeniera. En realidad, no hay un lmite para la cantidad detemas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia,este libro representa la opinin de los autores, en este momento, acerca de lo que constituyenlas matemticas de ingeniera.Contenido del textoEl presente tomo fue dividido en tres partes, en las cuales sigue manifiesta nuestracreencia de que la columna vertebral de las matemticas relacionadas con la ciencia yla ingeniera es la teora y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias yparciales.Parte I: Clculo vectorial (captulos 1 a 3)El captulo 1,Vectores, y el 3, Clculo vectorial, incluyen muchos de los temas que secubren en el tercer semestre de una secuencia de clculo: vectores geomtricos, funcionesvectoriales, derivadas direccionales, integrales de lnea, integrales dobles y triples, integralesde1 superficie, y los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia. El captulo 2,Matrices, es una introduccin a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantesy el lgebra matricial con nfasis especial en aquellos tipos de matrices tiles en la resolucinde sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre criptografa,cdigos para la,correccin de errores, el mtodo de los mnimos cuadrados y los modeloscompartimentales discretos se presentan como aplicaciones del lgebra matricial.Parte II: Anlisis de Fourier y ecuaciones diferencialesparciales (captulos 4 a 8)En esta seccin se presenta el material medular de las series de Fourier y de los problemassobre valores en la frontera. En el captulo 4, Funciones ortogonales y series de 7. Fourier, se presentan los temas fundamentales de los conjuntos de funciones ortogonalesy la expansin de funciones en trminos de una serie infinita de funciones ortogonales.Estos temas se utilizan ms adelante en los captulos 5 y 6, donde se resuelven problemasde valor en la frontera en distintos sistemas de coordenadas: rectangulares, polares,cilindricas y esfricas, mediante la aplicacin del mtodo de separacin de variables. Enel captulo 7, Mtodo de la transformada integral, los problemas de valor en la fronterase resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier.Parte III: Anlisis com plejo (captulos 9 a 12)Los captulos 9, 10, 11 y 12 cubren los temas elementales de los nmeros complejos atravs de la aplicacin de transformaciones conformes en la solucin del problema deDirichlet. Este material en s mismo puede cubrir fcilmente un curso trimestrl de introduccina variables complejas.Principales caractersticas de Matemticasavanzadas I I Todo el texto se moderniz a fondo para preparar a los ingenieros y cientficos con lashabilidades matemticas requeridas para estar a la altura de los desafos tecnolgicosactuales. Se han agregado, al inicio del libro, nuevos proyectos de ciencia e ingeniera aportadospor importantes matemticos. Estos proyectos estn relacionados con los temas deltexto. Se han aadido muchos problemas. Adems, fueron reorganizados muchos grupos deejercicios y, en algunos casos, se reescribieron por completo para seguir el flujo del desarrollopresentado en la seccin y facilitar ms la asignacin de tareas. Los grupos deejercicios tambin enfatizan la elaboracin de conceptos. Hay un gran nfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos matemticos.La nocin de un modelo matemtico est entretejida a lo largo de todo el texto, y seanaliza la construccin y las desventajas de diferentes modelos. En la seccin 5.6 se agreg otro mtodo para resolver problemas de valor en la frontera nohomogneos. En los captulos 5 y 6 se concede mayor nfasis al problema de Neumann. A lo largo de los captulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla, de smbolos como A2 y V A en lasolucin de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reemplazado por el usoconsistente de A. A lo largo del anlisis se hace nfasis en los tres casos A = a 2, A = 0 yA= a 2.Diseo del textoEl texto cuenta con un formato ms amplio y un diseo atractivo, lo cual hace que seaplacentero leer y aprender de l.Todas las figuras cuentan con textos explicativos. Se han agregado ms comentariosy anotaciones al margen en todo el libro. Cada captulo tiene una pgina de presentacinque incluye una tabla de contenidos y una breve introduccin al material que se estudiar.Al final de cada captulo se incluyen ejercicios de revisin. Despus de los apndicesse proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados.PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS 8. A gradecim ientosDeseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de susocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto:Antn M. Jopko, Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster University.Warren S. Wright, Departamento de Matemticas, Loyola Marymount University.Gareth Williams, Departamento de Matemticas y Ciencias Computacionales,Stetson University.Jeff Dodd, Departamento de Computacin y Ciencias de la Informacin, Jack-sonvilleState University.Matheus Grasselli, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University.Dmitry Pelinovsky, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University.Tambin es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comentariosy sugerencias de mejora:Sonia Henckel, Lawrence Technological University.Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo.Jeff Dodd, Jacksonville State University.Vctor Elias, University of Western Ontario.Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology.William Crimnale, University of Washington.Stan Freidlander, Bronx Community College.Hermn Gollwitzer, Drexel University.Robert Hunt, Humboldt State University.Ronald Guenther, Oregon State University.Noel Harbertson, California State University.Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania.La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y difcil.A lo largo del proceso de pasar cientos de pginas manuscritas por muchas manos, esindudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por lo cual me disculpode antemano.Dennis G. ZillLos AngelesPREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS v ii 9. Prlogo a la edicin en espaolPara que la seleccin de temas pudiera ser flexible, el texto original en ingls fue divididoen cinco partes o subdivisiones principales. Para la edicin en espaol, se opt pordividir el texto en dos volmenes que se pueden manejar de manera independiente. Elprimero aborda principalmente las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Eneste segundo tomo se renen los temas relacionados con el clculo vectorial, sin dejar aun lado el anlisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas parciales. Esto es lo que haceque, aunque los dos tomos se complementen perfectamente, tambin puedan funcionarde manera independiente de acuerdo con las caractersticas y necesidades del curso.Queremos agradecer de manera especial las valiosas aportaciones y comentarios delos siguientes profesores, que sin duda alguna han enriquecido esta edicin:ngel Varela, ITECArturo Patrn, ITECAureliano Castro, UAS, Escuela de IngenieraEduardo Soberanes, ITESM CuliacnJos Caldern Lamas, ITECJos Carlos Aragn Hernndez, ITECJos Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Qumico BiolgicasJuan Castaeda, VAS, Facultad de Ciencias Qumico BiolgicasJuana Murillo Castro, UAS, Escuela de IngenieraLuis Felipe Flores, ITLMManuel Ramn Apodaca Snchez, ITLMMarcial Arrambi Daz, ITCMarco Antonio Rodrguez Rodrguez, ITLMOscar Guerrero, ITESM CuliacnRamn Duarte, UAS, Escuela de IngenieraRal Soto Lpez, UDO Culiacn 10. ContenidoPrefacio a la tercera edicin en ingls vPrlogo a la edicin en espaol ixProyecto para la seccin 2.1 Red de dos puertos en circuitosGareth Williams, Ph.D. elctricos xvProyecto para la seccin 2.2 Flujo de trfico xviiGareth Williams, Ph.D.Proyecto para la seccin 2.15 Dependencia de la resistividadAnton M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xixProyecto para la seccin 3.16 Superficies mnimas xxJeff Dodd, Ph.D.Proyecto para la seccin 6.3 El tomo de hidrgeno xxiiMatheus Grasselli, Ph.D.Proyecto para la seccin 7.4 La desigualdad deJeff Dodd, Ph.D. incertidumbre en elprocesamiento de seales xxvProyecto para la seccin 7.4 Difraccin de FraunhoferAnton M. Jopko, Ph.D. a travs de una aberturacircular xxviiProyecto para la seccin 8.2 Inestabilidades en mtodosDmitry Pelinovsky, Ph.D. numricos xxixParte 1 Vectores, matrices y clculo vectorial 3C aptulo 1 Vectores 41.1 Vectores en el espacio 2D 51.2 Vectores en el espacio 3D 111.3 Producto escalar 161.4 Producto vectorial 231.5 Lneas y planos en el espacio 3D 281.6 Espacios vectoriales 351.7 Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt 44Ejercicios de repaso del captulo 1 49 11. C aptuloC aptuloParte 2C aptulo2 Matrices 512.1 lgebra matricial 522.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 612.3 Rango de una matriz 722.4 Determinantes 772.5 Propiedades de los determinantes 822.6 Inversa de una matriz 892.6.1 Clculo de la inversa 892.6.2 Utilizacin de la inversa para resolversistemas 952.7 Regla de Cramer 992.8 El problema del valor propio 1022.9 Potencias de las matrices 1082.10 Matrices ortogonales 1122.11 Aproximacin de valores propios 1192.12 Diagonalizacin 1262.13 Criptografa 1352.14 Cdigo corrector de errores 1382.15 Mtodo de los mnimos cuadrados 1442.16 Modelos discretos de compartimiento 147Ejercicios de repaso del captulo 2 1513 Clculo vectorial 1553.1 Funciones vectoriales 1563.2 Movimiento sobre una curva 1623.3 Curvatura y componentes de la aceleracin 1673.4 Derivadas parciales 1713.5 Derivada direccional 1783.6 Planos tangentes y lneas normales 1843.7 Divergencia y rotacional 1873.8 Integrales de lnea 1933.9 Independencia de la trayectoria 2023.10 Integrales dobles 2093.11 Integrales dobles en coordenadas polares 2183.12 Teorema de Green 2233.13 Integrales de superficie 2283.14 Teorema de Stokes 2373.15 Integrales triples 2433.16 Teorema de la divergencia 2543.17 Cambio de variables en integrales mltiples 260Ejercicios de repaso del captulo 3 267Series de Fourier y ecuaciones diferencialesparciales 2714 Funciones ortogonales y seriesde Fourier 2724.1 Funciones ortogonales 2734.2 Series de Fourier 278CONTENIDO 12. 4.3 Series de Fourier de cosenos y senos 2834.4 Series complejas de Fourier 2904.5 Problema de Sturm-Liouville 2944.6 Series de Bessel y de Legendre 3014.6.1 Serie de Fourier-Bessel 3024.6.2 Serie de Fourier-Legendre 305Ejercicios de repaso del captulo 4 308C aptulo 5 Problemas de valores en la fronteraen coordenadas rectangulares 3095.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 3105.2 Ecuaciones clsicas y problemas de valores en lafrontera 3145.3 La ecuacin de calor 3195.4 La ecuacin de onda 3225.5 La ecuacin de Laplace 3275.6 Problemas de valores en la fronterahomogneos 332no5.7 Desarrollos en series ortogonales 3395.8 Serie de Fourier con dos variables 343Ejercicios de repaso del captulo 5 346C aptulo 6 Problemas de valores en la frontera en otrossistemas coordenados 3486.1 Problemas en coordenadas polares 3496.2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas:funciones de Bessel 3546.3 Problemas en coordenadas esfricas: polinomios deLegendre 360Ejercicios de repaso del captulo 6 363C aptulo 7 Mtodo de la transformada integral 3657.1 Funcin de error 3667.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace 3677.3 Integral de Fourier 3757.4 Transformadas de Fourier 3807.5 Transformada rpida de Fourier 386Ejercicios de repaso del captulo 7 395C aptulo 8 Soluciones numricas de ecuaciones diferencialesparciales 3978.1 La ecuacin de Laplace 3988.2 La ecuacin de calor 4038.3 La ecuacin de onda 409Ejercicios de repaso del captulo 8 412CONTENIDO x iii 13. Parte 3 Anlisis complejo 415Captulo 9C aptulo 10C aptulo 11C aptulo 12Funciones de una variable compleja 4169.1 Nmeros complejos 4179.2 Potencias y races 4219.3 Conjuntos en el plano complejo 4259.4 Funciones de una variable compleja 4289.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 4349.6 Funciones exponenciales y logartmicas 4399.7 Funciones trigonomtricas e hiperblicas 4459.8 Funciones trigonomtricas e hiperblicasinversas 449Ejercicios de repaso del captulo 9 452Integracin en el plano complejo 45310.1 Integrales de contorno 45410.2 Teorema de Cauchy-Goursat 45910.3 Independencia de la trayectoria 46410.4 Frmulas integrales de Cauchy 470Ejercicios de repaso del captulo 10 475Series y residuos 47711.1 Sucesiones y series 47811.2 Serie de Taylor 48311.3 Series de Laurent 48911.4 Ceros y polos 49711.5 Residuos y teorema del residuo 50011.6 Clculo de integrales reales 506Ejercicios de repaso captulo 11 512Transformaciones conformes 51412 .1 Funciones complejas como transformaciones 51512.2 Transformaciones conformes 51912.3 Transformaciones racionales lineales 52612.4 Transformaciones de Schwarz-Christoffel 53212.5 Frmulas integrales de Poisson 53712.6 Aplicaciones 541Ejercicios de repaso del captulo 12 548Apndice Transformaciones conformes AP-1Respuestas a los problemas seleccionadosde nmero impar RESP-1ndice l-lx iv CONTENIDO 14. Matemticas avanzadas paraingeniera II: 1'Clculo vectorial, anlisis de Fouriery anlisis complejo 15. - f o r D a y e t PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1Red de dos puertosen circuitos elctricosGareth Williams, Ph.D.Departamento de Matemticas y CienciasComputacionales, Stetson UniversityMuchas redes elctricas estn diseadas para aceptarseales en ciertos puntos y producir una versin modificadade stas. El arreglo general se ilustra en la figura 1.A ArVj Red de dos puertos1 t , iA AFigura 1 Red elctricaUna comente /, a un voltaje Vt se enva sobre una redde dos puertos, y sta determina de alguna forma lacorriente de salida I2 al voltaje V2. En la prctica, la relacinentre las comentes y voltajes de entrada y salidapor lo general es lineal, y se encuentran relacionadaspor una ecuacin matricial:a a2a l2a22aLa matriz de coeficientes ( | se denomina ma-^a2 a22triz de transmisin del puerto. La matriz define a lared de dos puertos.En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red dedos puertos. La parte interior consiste en una resistenciaR conectada como se muestra. Podemos demostrar quelas corrientes y los voltajes en efecto se comportan deFigura 2 Red de dos puertosuna forma lineal y determinan la matriz de transmisin.Nuestro mtodo ser construir dos ecuaciones:; una queexprese a V2 en trminos de Vt e /,, y la otra qi)e expresea I2 en trminos de V, e /,. Posteriormente combinaremosestas dos ecuaciones en una sola ecuacin matricial.Utilizamos la siguiente ley:Ley de Ohm: La cada de voltaje a travs de una resistenciaes equivalente a la corriente multiplicadapor la resistencia. jjLa cada de voltaje a travs de la resistencia serV, V2. La corriente a travs de la resistencia es /,.Por tanto, la ley de Ohm establece que V[ V2 = /,/t.La corriente /, pasa a travs de la resistencia R y existecomo 7,. De esta forma, I2 = 7,. Primero escribimosestas dos ecuaciones en la forma estndar,V2 = V, - 7771 :I2 = OU, + 7 ,y luego como una ecuacin matricial, |'V,A1 - R ''vO 1,La matriz de transmisin es . De estaforma si R equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente deentrada son V, = 5 volts e 7, = 1 ampere, rspectiva-mente,obtenemosEl voltaje y la corriente de salida sern 3 volts y 1 ampererespectivamente.En la prctica, se colocan en serie variasj redes dedos puertos estndar como la que se describi arribapara obtener un cambio de voltaje y corriente deseado.Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3,cuyas matrices de transmisin son A, B y C .Al considerar cada red de forma independiente, tenemosque= AA /B = cAl sustituir | ^ ) de la primera ecuacin en la ;segundaobtenemos ) - *2Vi% 11th hFigura 5 Red de dos puertos para el problem a 23. La corriente a travs de R, es /,. La cada de voltaje atravs de R, es V V2. La corriente a travs de R2 es7, - 72. La cada de voltaje a travs de R2 es V2.h ht 14 A V V a V 2fV, 1I ] hFigura 6 Red de dos puertos para el problem a 34. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tresredes de dos puertos colocadas en serie. Las matricesde transmisin son las que se muestran.a) Cul es la matriz de transmisin de la red de dospuertos compuesta?b) Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y la corrientea 2 amperes, determine el voltaje y la corrientede salida.amperes h h h h u12 voltst ,. V ,( i ? )1 "< Calle HoganX C35v 1 ^2 uCalle Monroe uv4300 vphD x3, Ck 250 vph 600 vphFigura 1 Centro de la ciudad de Jacksonville, FloridaSuponga que se aplican las siguientes leyes de trfico:Todo el trfico que ingresa a una interseccin debeabandonarla.Esta restriccin de la conservacin del flujo (comprelacon la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva aun sistema de ecuaciones lineales:Interseccin A: Trfico de entrada = x + x 2.Trfico de salida = 400 + 225. Por tanto, Aq +a2 = 625.Interseccin B Trfico de entrada = 350 + 125.Trfico de salida = Aj + x4. Por tanto, a, + a 4 = 475.Interseccin C: Trfico de entrada = x3 + x4.Trfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3, +x4 = 900.Interseccin D: Trfico de entrada = 800 + 25Q.T rfico de salida = x2 + x3. Por tanto x2 +x3 =1 050. j! Estas restricciones sobre el trfico se describen empleandoel siguiente sistema de ecuaciones lineales:;X| + x2 = 625a, + x4 = 475 ,x3 + x4 = 900 ; ^x2 + a3 = 1 050 j: Puede emplearse el mtodo de elim inacin deGauss-Jordan para resolver este sistema de ecuaciones.La matriz aumentada y la forma reducida escalonadapor rengln son las siguientes:/ 1 1 0 0 625 Operacionesde renglones/ I 0 0 1 ! 415 1 0 0 1 475 0 1 0 1 1500 0 1 1 900 =4> 0 0 1oo GV 0 1 1 0 1 0 5 0 /0 0 0 0 ( ) /El sistema de ecuaciones que corresponde con qstaforma reducida escalonada por rengln esa, + x4 = 475x2 - x4 = 150x3 + x4 = 900. Al expresar cada variable principal en trminos! de lavariable, restante, obtenemosa, = x4 + 475x2 = a4 + 150x3 = x4 + 900.Como podra esperarse, el sistema de ecuacionescuenta con varias soluciones, por lo que es posible tenervrios flujos de trfico. Un conductor cuenta con, unacierta cantidad de opciones en las intersecciones. Ahorautilicemos este modelo matemtico para obtener msinformacin sobre el flujo de trfico. Suponga que serequiere realizar trabajos de mantenimiento en el segmentoDC de Calle Monroe. Es deseable contkr conun flujo de trfico x3 lo ms pequeo posible pra estesegmento de calle. Los flujos pueden controlarse a lolargo de diversas bifurcaciones por medio de semforos.Cul sera el valor mnimo de x3 sobre DC que b ocasioneuna congestin de trfico? Para resolver esta pregunta,emplearemos el sistema de ecuaciones anterior.Los flujos de trfico no deben ser negativos (un flujonegativo podra interpretarse como trfico que se desplazaen la direccin incorrecta en una calle de un soloPROYECTO PARA LA SECCIN 2.2 Flujo de trfico 18. sentido). La tercera ecuacin en el sistema nos indicaque X3 ser un mnimo cuando x4 sea lo ms grandeposible, siempre que no exceda de 900. El valor msgrande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valoresnegativos de x x o de x2 es 475. De este modo, el valorms pequeo de x3 ser 475 + 900, o 425. Todo trabajode mantenimiento sobre la Calle Monroe deberpermitir un volumen de trfico de al menos 425 vph.En la prctica, las redes son mucho ms vastas quela analizada aqu, llevando a sistemas de ecuacioneslineales ms grandes, que son manipuladas mediantecomputadoras. Es posible ingresar diversos valorespara las variables en una computadora con el fin decrear escenarios distintos.Problemas relacionados1. Construya un modelo matemtico que describa el flujode trfico en la red de calles sealada en la figura 2.Todas las avenidas son calles de un solo sentido en lasdirecciones indicadas. Las unidades estn dadas envehculos por hora (vph). Proporcione dos flujos detrfico posibles. Cul es el flujo mnimo posible quepuede esperarse sobre el tramo AB1> -1 5 0100Figura 2 Flujo de tr fico del problema 12. La figura 3 representa el trfico que ingresa y salede una glorieta. Tales intersecciones son muy comunesen Europa. Construya un modelo matemtico quedescriba el flujo del trfico sobre las diversas bifurcaciones.Cul es el flujo mnimo posible terico sobrela rama SC? Cules son los otros flujos en dicho100-50t>f.. LDK B;A150200Figura 3 Flujo de tr fico del problem a 2momento? (Las unidades de flujo estn dadas en vehculospor hora.)3. La figura 4 representa el trfico que ingresa y salede otro tipo de glorieta usada en Europa continental.Tales glorietas aseguran el flujo continuo de trficoen las intersecciones de calles. Construya ecuacioneslineales que describan el flujo del trfico sobre lasdistintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones paradeterminar el flujo mnimo posible sobre x. Culesson los dems flujos en este momento? (No es necesariocalcular la forma reducida escalonada por renglones.Utilice el hecho de que el flujo de trfico nopuede ser negativo.)90 100130-110Y -v2VA KY x4N XYx 615512080 75Figura 4 Flujo de tr fico del problem a 34. La figura 5 describe un flujo de trfico, con las unidadesen vehculos por hora (vph).)b)Construya un sistema de ecuaciones lineales quedescriba este flujo.El tiempo total que toma a los vehculos recorrercualquier segmento de calle es proporcionalal trfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, eltiempo total que toma a x vehculos recorrer ABsern kx minutos. Suponiendo que la constantees la misma para todas las secciones de calles, eltiempo total para que 200 vehculos recorran estared ser Lr, T 2kx2 + kx3 + 2fcc4 + kx5. Culser el tiempo total si k = 4? Proporcione un tiempopromedio para cada automvil.Figura 5 Flujo de tr fico para el problem a 4x v iii PROYECTO PARA LA SECCIN 2.2 Flujo de trfico 19. L2.15PROYECTO PARA LA SECCINDependencia de la resistividaden la temperaturaAntn M. Jopko, Ph.D.Departamento de Fsica y Astronoma,McMaster UniversityJUn conductor de longitud L y rea transversal uniformeA tiene una resistencia R dada por R = pL/A, pues elconductor est hecho de un material con resistividad p.Sin embargo, la resistividad no es constante para todaslas temperaturas del conductor. Cuando la corriente fluyea travs del conductor, se genera calor, lo que eleva sutemperatura. A este proceso se le conoce como calentamientode Joule.. En general, mientras ms alta sea latemperatura, ms alta ser la resistividad y en ltima instanciala resistencia. Esto significa que debe conocersela resistividad a la temperatura de trabajo del conductor.Modelamos la resistividad a la temperatura 7j. del conductorpor medio de la funcin cuadrtica dada porp(Tc) = p0 + a (T c - T0) + (3(Tc - T0fdonde Tc representa la temperatura del conductor engrados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y p0 esla resistividad a temperatura ambiente. Los coeficientesp0, a y 3 se determinan por medio de la experimentacin.El tungsteno es un conductorcon un punto de fusin muy elevado,que se utiliza para fabricarlos filamentos de las lmparas incandescentes.Suponga que la informacinen la tabla est medidapara la resistividad del tungsteno.En los problemas siguientes,presentamos un procedimientode mnimos cuadrados para encontrarlos valores de p0, a y /3.Asumiremos que T0 = 20C.Tc (C) Resistividad (l-m ) X 10 820 5.6Q40 5.6580 5.70200 7.82500 11.1700 20.21000 30.5Problemas relacionadosDeseamos ajustar puntos de informacin (x, y) utilizandola ecuacin cuadrtica general y = ctx2 + bx + cen el sentido de mnimos cuadrados. Con tan splo trespuntos de informacin no sera necesario el procedimientode mnimos cuadrados. En nuestro caso, contamoscon siete puntos de informacin./III1. Construya el vector columna Y = y* : y la matriz d h )./ *i *i i A =x * 2 * i| | .*7 1 //n Ia V2. Haga que el vector columna X = contengaV e Jlos coeficientes mnimos cuadrados. Calcle el vectorX* = (A7A) ~ 1 ArY.3. Utilizando la ecuacin cuadrtica de mnimbs cuadrados,prediga la resistividad del tungsteno a300C.4. Si un conductor de tungsteno a temperatura ambientetiene una resistencia de 5 ohms, utilice el resultadodel problema 3 para predecir su resistencia a una temperaturade 300C.5. Encuentre el error RMS (raz cuadrada de la media delos cuadrados) de la ecuacin cuadrtica ce mnimoscuadrados, i.Vi oo. Demuestre que e Cr, donde2 mET 2c = J r 1 (7)es una solucin de esta ecuacin limitante.Con base en el ejercicio anterior, considere una solucingeneral de la forma R(r) = f( r ) e ~ pa(a unafuncin analtica/(r). Mediante procedimientos'!analticos,la funcin/(r) posee una expansin de series/ ( r ) = aQ + ar + a2i2 + Sustituya esta serie en la ecuacin (6) (con k = 0) ydeduzca que los coeficientes a satisfacen la relacinrecursiva j;C - B ::aj = 27 T ^ ' - " j = i 2 - 1 (8)me2donde BA t t e J i 17. Demuestre que el lmite de la ecuacin (8) para2C !valores grandes de j es a, = -------- a -> que. es lia sene,7 + 1de potencia para la funcin e2Cr. Concluya que lanica forma de hacer que la funcin R(r) disminuyaa cero a medida que r se vuelve ms grande'es quela serie de potencias para /(/-) termine despus de unnmero finito de trminos. Por ltimo, observe queesto sucede si y slo si nC - B para algn entero n.Nuestra problema final en este proyecto ser generarlos niveles de energa del tomo de hidrgenocomo una consecuencia del trabajo realizado- hastaaqu. Deber observar que la existencia de niveles deenerga cuantizados no necesitan ser postulados, sinoms bien deducidos a partir del anlisis matemticode la ecuacin de Schrdinger. Mientras que los pasosPROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tom o de hidrgeno x x iii 24. de deduccin son ms complicados que los seguidospor Bohr, debe ser evidente que la eliminacin de losaxiomas de cuantizacin especficos de Bohr fue unlogro importante alcanzado por Schrdinger, raznpor la cual recibi el Premio Nobel de fsica en 1933.8. Utilice la condicin expresada en el ejercicio previo ylas frmulas obtenidas para C y B para concluir quelas energas permitidas para el tomo de hidrgeno enun estado con momento angular cero son 4" (4/7re0)22 2n2 ^que deben coincidir con los niveles de energa que encontrpara el tomo de Bohr del problema 2.x x iv PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tom o de hidrgeno 25. 7.4I > PROYECTO PARA LA SECCINLa desigualdadde incertidumbre en elprocesamiento de sealesJeff Dodd, Ph.D.Departamento de Matemticas, Computaciny Ciencias de la Inform acin,Jacksonville State University_____________________________________________JLos ingenieros en comunicaciones interpretan a la transformadade Fourier como la descomposicin de una sealfix) que lleva informacin, donde x representa al tiempo,en una superposicin de tonos sinusoidales puros quetienen frecuencias representadas por una variable real.De hecho, los ingenieros usualmente consideran la representacinen el dominio de la frecuencia resultante,tanto o ms que la representacin en el dominio deltiempo (esto es, la seal misma!). Un aspecto fundamentaldel procesamiento de seales eS que cuanto msestrecha es una seal en el dominio del tiempo, ms ampliaes en el dominio de la frecuencia. Tambin, cuantoms estrecha es una seal en el dominio de la frecuencia,ms amplia es en el dominio del tiempo. Este efectoes importante porque, en la prctica, una seal debeenviarse en un tiempo limitado y utilizando un intervalolimitado o banda de frecuencias. En este proyectose describe e investiga este equilibrio entre duracin yancho de banda, tanto cualitativa como cuantitativamente.Los resultados de esta investigacin respaldanuna regla prctica comnmente citada: una cierta bandade frecuencias es proporcional al producto de la duracinen tiempo por el ancho de la banda de frecuencias.Problemas relacionadosSe emplean la forma compleja de la transformada deFourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en(5) y (6) de la seccin 7.4. Se utiliza la notacin f ( a )para denotar la transformada de Fourier de una funcinf(x ) en una forma compacta que explcita su dependenciade /, esto es, / ( a ) = F {f(x)}. Se considera que f e suna funcin real, y se comienza revisando dos propiedadessimples de / .1. Mostrar que si a > 0, entonces / ( a ) = /() As,para cualquier a, | / ( a )| = |/( a ) |. (Aqu, las notacionesz y |z| representan el conjugado y el mdulo deun nmero complejo z, respectivamente.)2. Si k es un nmero real, supngase que f k(x) = f ( x k ). Mostrar que/* ( ) = eiakf{ o )De manera que recorrer una seal en el tiempo noafecta a los valores de |/( a ) | en el dominio de lasfrecuencias.Tomando en cuenta estos hechos, ahora se procedea considerar el efecto de estrechar o ampliar unaseal en el dominio del tiempo simplemente scala-dola variable temporal.3. Si c es un nmero positivo, considrese que/r(x)-f(c x ).Muestre queDe forma que al estrechar la funcin seal / e p el dominiodel tiempo (c> 1), se ensancha su transformadaen el dominio de la frecuencia, y al ampliar la funcins e a l/e n el dominio del tiempo (c < 1), se estrechasu transformada en el dominio de la frecuencia.Para cuantificar el efecto que se observa en el problema3, se necesita establecer una medida del anchode la grfica de una funcin. La medida ms comnmenteutilizada es el ancho de la raz cuadrada de lamedia de los cuadrados, que cuando se aplica a unase a l/e n los dominios del tiempo y de la frecuencia,conduce a un valor cuadrtico medio (o faz cuadrada dela media de los cuadrados) de duracin D (f) y un valorcuadrtico medio de ancho de banda B (f), dados porx 2[f{ x )] 2 dx2 _[ f ( x ) f d x-oo 2 | / ( a ) | 2 doW ) VDe manera que el ancho de banda y la duracin secalculan en relacin a los centros de a = 0 y x = 0debido a que, segn los problemas 1 y 2, la grfica de|/ ( a )|2 es simtrica con respecto a a = 0 en el dominiode la frecuencia, y la seal puede recorrerse horizontalmenteen el dominio del tiempo sin' afectar lagrfica de |/( a :)|2 en el dominio de las frecuencias.4. Muestre que para una familia de funciones f.(x ) definidaen el problema 3, D (fc) B (fc) es independiente de c.5. Muestre que para la familia de funciones f c(x) =V 2D (fc) /?(/.) = . [Sugerencia: Segn el:problema4, f( x ) = / (x). La integral de Fourier necesariapuede obtenerse rpidamente del ejemplo 3 de la seccin7.3. Para calcular las integrales para D{f) y B(f),considere la integracin por partes y por fraccionesparciales, respectivamente.]La duracin y el ancho de banda de una seal sonen. cierta forma inversamente proporcionales entre scuando se escala la variable de tiempo. Qu se puedePROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La desigualdad de incertidum bre en el procesam iento de seales XXV 26. decir al respecto de la constante de proporcionalidad?Qu tan pequeo puede ser D ( f ) B ( f ) l Es de destacarque existe un lmite inferior para este producto.6. Deducir la desigualdad de la incertidumbre: si[ / ( * ) ] 2 dx < oo, f(a)2 da < oo,l m |a | [ / ( a ) ] 2 = O, X> OO Ientonces D ( f ) /? ( / ) S: Seguir estos pasos.a) Establezca la frmula de Parseval:I2-77 .[Sugerencia: Aplique el teorema de convolucindado en el problema 20, ejercicios 7.4 con g(x) =/ ( - a ).]Especficamente, aplique la frmula para latransformada inversa de Fourier dada en (6) de laseccin 7,4, y muestre que g(a) = f ( a ) , y entoncesfije a = 0.]b) Establezca la desigualdad de Schwartz: para funcionesreales h t y h2,li{s)h2{s)ds ' A i f r , .donde la igualdad existe nicamente cuando h2 =ch, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir[A /7 ,() - /72(^ ) ] 2 dscomo una expresin cuadrtica A2 + B+ Cde la variable real . Observe que la cuadrticaes no negativa para toda y considere el discriminanteB2 4AC.]c) Establezca la desigualdad de la incertidumbre.[Sugerencia: En primer lugar, aplique la desigualdadde Schwartz como sigue:* /(* )/'(* ) dx [xf (x)]2dx [ f ( x ) f d xba la segunda integral que aparece en el lado derechode la desigualdad, utilizando la propiedadoperacional (11) de la seccin 7.4 y la frmulade Parseval.]7. a) Mostrar que si/proporciona el valor mnimo posiblede D( f ) B(f), entoncesf (x) = cxf(x)donde c es una constante. Resuelva esta ecuacindiferencial para mostrar que / ( a ) = decx!2 parac < 0 y d = a constante. (Dicha funcin se denominafuncin gaussiana. Las funciones gaussia-nasjuegan un papel importante en la teora deprobabilidad.)b) Utilice la transformada de Fourier que est a amboslados de la ecuacin diferencial de la parte a)para obtener una ecuacin diferencial para / ( a )y mostrar que f ( a ) = / ( 0)ea ,{2c donde c es lamisma que en la parte a). Se necesita conocer lasiguiente informacin:/ ( a ) eiax dx =Oixf(x)eiax dx = ixj{x) / ( x )e iCLX dxda K (Del problema 35 de los ejercicios 3.11, se tiene quedx = tt. De esta expresin puedededucir que / (O) = s/ 2 tt/c d.)As es que el valor mnimo posible de D ( f ) B ( f ) sealcanza para una funcin gaussiana, cuya transformadade Fourier es otra funcin gaussiana!La palabra incertidumbre se asocia con la desigualdadpresentada en el problema 6 dado que, desde unpunto de vista ms abstracto, es matem ticam enteanlogo al famoso principio de incertidumbre deHeisenberg de la mecnica cuntica. (La interpretacinde este principio de mecnica cuntica es un tema sutil,pero comnmente se entiende como mientras mayorsea la precisin con la que se determine la posicin deuna partcula, su momentum se conoce con menor precisin,y viceversa.)Utilice la integracin por partes para mostrar quel - oox fx ) f ( x ) d x = ~ 2J co00[ f(x )] 1dx. Reescri-xxviPROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La desigualdad de incertidum bre en el procesam iento de seales 27. PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4Difraccin de Fraunhofera travs de una aberturacircularAnton M. Jopko, Ph.D.Departamento de Fsica y Astronoma,McMaster UniverstyLas estrellas del firmamento se encuentran a una distanciaenorme de nosotros, de forma que pueden considerarsecomo fuentes puntuales de luz. Si se observauna de estas estrellas a travs de un telescopio, se esperaraver nicamente otro punto de luz, aunque unomucho ms brillante. Sin embargo, ste no es el caso.Dado que es una onda, la luz se refracta al pasar a travsde la abertura circular del telescopio, de forma quela luz se extiende sobre una pequea regin difusa quese denomina patrn de difraccin. Este proyecto investigala forma del patrn de difraccin para la luz quepasa a travs de una abertura circular de radio R.Por simplicidad, se considera que la luz tiene unalongitud de onda nica A, o color. Esta luz tiene laforma de un frente de ondas esfrico cerca de la estrella,pero cuando nos alcanza, llega como un frente de ondasplano. Todos los puntos del frente de ondas tienen lamisma fase. A continuacin, se apunta el telescopio consu abertura circular directamente hacia la estrella, demanera que los frentes de ondas planas inciden desde laizquierda, como se muestra en la figura 1.Figura 1 Difraccin de la luzA partir del principio de Huygen, cada punto de laabertura circular emite una onda en todas las direcciones.La difraccin de Fraunhofer requiere que lasondas abandonen la abertura en un conjunto casi paraleloque viaja hacia un punto muy distante P. El nicopropsito del lente es formar una imagen puntual deeste conjunto paralelo a una distancia mucho ms cercanaa la abertura. La difraccin ocurrira incluso sinel lente. La lnea discontinua que une los dos orgeneses tambin el eje de abertura y del lente. El sistema decoordenadas LM est en el plano focal del lente,| y suorigen est donde toda la luz de la estrella apareceraen ausencia de difraccin. Debido a la difraccin, sinembargo, algo de luz tambin aparece en P. El punto Pes un punto general, pero muy cercano a O, nicamentea arco-segundos de distancia!En la figura 2, se han unido la abertura y el lente,dado que en la prctica el borde del lente tambin definela abertura. Debido a la simetra circular del lente yal patrn de difraccin, es muy deseable utilizar coordenadaspolares. Suponga que una onda es emitida enun punto S del lente con coordenadas (X , y) o (p, 6)y que llega a P con coordenadas (L, M) o coordenadasangulares (w, i). Entonces X = p eos 9 ,Y = p sen 9,y L 'W eos i/j y M = w sen /r. Aqu, p es la distanciaradial del centro del lente a la fuente S de la ondaemitida y 9 es su ngulo polar; w es el radio angularde P y t// es su ngulo polar.Las ondas emitidas en la abertura estn en fase ytienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan distanciasdiferentes hacia el punto P, de forma que lleganah desfasadas. La intensidad de la luz en P es proporcionalal cuadrado de la amplitud resultante de todaslas ondas que llegan. Ahora se necesita calcular estaamplitud resultante tomando en cuenta las difrenciasde fase de las ondas.Se define el nmero de onda de las ondas incidentesy emitidas como k = 2tt/ A. Entonces, de acuerdo aPrincipies ofOptics, sptima edicin, de Bom y Wolf, laamplitud resultante en P de todas las ondas emitidas en laabertura es slo la transformada de Fourier de la abertura:U(P) = C- ik ( L X + M Y )dXdYabertura ;donde C es una constante, proporcional en paite a labrillantez de la estrella. La intensidad de P viene entoncesdada por U{P)2. ste es el patrn de difraccinpara la estrella en funcin del radio angular w. , -Problemas relacionadosl . Muestre que la amplitud resultante en P utilizando losdos sistemas de coordenadas polares puede escribirsecomoU{P) = C 0 ik p w e os ( 0 - rtpdddpPROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular x x v ii 28. 2. Utilizando la identidadr 2tti2tte ix cos c e na d a = j0donde J es la funcin de Bessel de primer tipo, muestreque la amplitud resultante se reduce aU{P) = 2itC J0(kpw)p dppara cualquier i//. Se elige = 0. (Esta expresin estambin conocida como transformacin de Haitkel deuna abertura circular.)3. Utilizando la relacin de recurrencia^ - [ u " +' j n+i(u)] =dumuestre que, 2JAkRw)4. Muestre que U(P) = CsRr rr- : Por tanto, lakRwintensidad viene dada porU(P)2 =27j (kRw)kRw2 JA kRw)5. Qu es l m --------------?ivlo kRw6. Cul es el significado fsico de /0?7. Cul es el valor de la raz no nula ms pequea de7,? Utilizando A = 550 nm, R = 10 cm y la raz mspequea que se acaba de encontrar, calcular el radioangular w (en arco-segundos) del disco central de difraccin.2J,{kRw)8. Dibujar una grfica d e -------------en funcin de kRwkRwas como de la intensidad, que es su cuadrado. El patrnde difraccin de la estrella consiste en un discocentral brillante rodeado por varios anillos concntricosdelgados tenues. Este disco se denomina el discode Airy en honor de G. B. Airy, quien fue el primeroen calcular el patrn de difraccin de una aberturacircular en 1826.9. Qu sucede con el ancho angular del patrn de difraccinsi el radio R de la abertura se duplica?10. Qu sucede con el ancho angular del patrn de difraccinsi la longitud de ondade la luz se duplica?11. Qu sucede con el ancho angular del patrn de difraccinsi la longitud focal del lente se duplica?12. Suponga que una abertura circular tiene forma de anillocon radio interno a y radio externo b. EncuentreU(P). (Este resultado es de importancia prctica, dadoque los telescopios de reflexin casi siempre tienenuna obstruccin en la parte central de la abertura.)13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy estrecho,de forma que b = a + A a, donde A a es pequeopero no infinitesimal. Muestre entonces quela amplitud resultante aproximada viene dada porU(P) = C(2.iraha)J0(kwa). [Sugerencia: Interpretarel resultado U(P) del problema 12 como aproxima-d(u J x{u ))cion paradu= uJQ{u) con u = kwa.]x x v iii PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular 29. PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2Inestabilidades enmtodos numricosDmitry Pelinovsky, Ph.D.Departamento de Matemticas y Estadstica,McMaster UniversityLos mtodos de diferencias finitas para la solucin numricade ecuaciones diferenciales parciales puedenser sorpresivamente inadecuados para aproximacionesnumricas. El problema principal con los mtodos dediferencias finitas (especialmente aquellos con esquemasde iteracin explcita) es que pueden amplificar elruido de redondeo numrico debido a inestabilidadesintrnsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy frecuentementeen el trabajo de investigacin. Un ingenierodebera estar preparado para esta situacin. Despusde emplear muchas horas en el desarrollo de un nuevomtodo numrico para el modelado de un problema yen la escritura cuidadosa del mtodo en un lenguaje decomputadora, el programa de computadora puede llegara volverse intil debido a sus inestabilidades dinmicas.La figura 1 ilustra una solucin numrica de laecuacin de calor con un mtodo explcito de diferenciasfinitas, donde el paso k del tiempo excede la mitaddel tamao del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de laseccin 8.2). Es de esperarse que una solucin de laecuacin de calor para una barra de longitud finita contemperaturas de cero en los puntos extremos deberaexhibir un decaimiento suave de una distribucin inicialde calor hacia el nivel constante de temperaturascero. Sin embargo, la superficie de la figura 1 muestraque el decaimiento suave esperado se rompe por elo oFigura 1 Superficie de la solucin numricaruido que crece rpidamente debido a inestabilidadesdinmicas del mtodo explcito.Las inestabilidades de los mtodos numricos de diferenciasfinitas pueden entenderse mediantejla aplicacinelemental de la transformada discreta de Fourier,que se estudia en la seccin 7.5. El principip de superposicinlineal y la transformada discreta de Fourierpermiten separar variables en un mtodo numrico dediferencias finitas, y estudiar la evolucin individual enel tiempo (iteraciones) de cada modo de Foujrer de lasolucin numrica.Por simplicidad, se considera el mtodo explcito dediferencias finitas para la ecuacin del calor u, = uxx enel intervalo 0 < x < a sujeto a condiciones de fronteranulas en los puntos extremos x = 0 y x = a y una condicininicial no nula en el instante t = 0. La discretizacinnumrica conduce al esquema de iteracin explcito:i1uiJ + 1 = Au-lwj + (1 - 2A)u j + Xm;+i,j , ( 1)Donde u j es una aproximacin numrica de la solucinu(x, t) en el punto de la retcula x = x y en elinstante t = t, mientras que A = k /h 2 es el parmetrode discretizacin. Si se observa el instante de tiempot = tj, j ^ 0 y se expande el vector numrico(u0 j, U j, . . . , un j) definido en la malla igualmenteespaciada x = ih, i = 0, 1 donde nlv= a, en latransformada sinusoidal de Fourier discreta:" i r i l;,ruj = 2 j I, i sen 1 = > 11 > > n (2)Las condiciones de frontera u0 - 1, j = 0 se satisfacenpara cualquier j > 0. Debido al principio; de superposicinlineal, se considera cada trmino de la sumade la ecuacin (2) por separado. Entonces se sustituyeu j = a j sen (k), k = irl/n en el mtodo:explcito( 1) y se obtiene j:1alJ+1 sen (k,) = (1 2A)aj sen (k,) + ;Aa, J sen (k,( + 1)) + sen (k,( 1)) J. (3)Utilizando la identidad trigonomtrica,sen (ki( + 1)) + sen (k,( - 1)) = 2 eos (/q)sen (k;),el factor sen (k,) se cancela en la ecuacin; (3), y seobtiene una frmula de iteracin simple para al .ai,j+1 = Qiai,jidonde iQ, = 1 - 2A + 2Acos (k,) ; (4)Dado que el factor Q es independiente de j, es claro quela amplitud a, j del modo de Fourier sen ( k ) cambia enj & 0, de acuerdo con la potencia del factor Qf.aij = Qim.o, 7 0La amplitud a, j crece en j si | U y est acotada odecae si |)/| 1- Por tanto, la estabilidad del mtodoPROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos numricos xx ix 30. de iteracin explcito se define a partir de la condicinQi ^ I, para todo l = 1, 2, . . . , n (5)Dado que Q < 1 para A > 0, la restriccin para laestabilidad (5) puede reescribirse como1 4Asen2f y - J s 1, / = 1, 2, . . . , n (6)que resulta en la estabilidad condicional del mtodoexplcito para 0 < A < 0.5. Cuando A > 0.5, el primermodo de Fourier inestable corresponde a I = n, que esel responsable de un patrn de secuencia alternativa enel espacio creciente en el tiempo de uj. Este patrn seobserva claramente en la figura 1.As, se pueden estudiar las inestabilidades de losmtodos de diferencias finitas utilizando la transformadadiscreta de Fourier, el principio de superposicinlineal, y los factores de iteracin explcita en el tiempo.El mismo mtodo puede aplicarse a otros mtodos dediferencias finitas para ecuaciones de calor y de onda,y en general a una discretizacin de cualquier ecuacindiferencial parcial lineal con coeficientes constantes.Problemas relacionados1. Considere el mtodo implcito de Crank-Nicholsonpara la ecuacin de calor u, = uxx (ver ejemplo 2 de laseccin 8.2):~ M/-i,y+i + au,j+1 u+,j'+i = u-i,j- [3uu + ui+1J (7)dondea = 2(1 + l/A ),/3 = 2(1 1 / A), y A = k /h 2.Encuentre la frmula explcita para Q en la ecuacin(4) y demuestre que el mtodo implcito de Crank-Nicholson (7) es estable incondicionalmente paracualquier A > 0.2. Considere el mtodo explcito de diferencias centralespara la ecuacin de calor u, = uxx.u,j+1 = 2K ut-i.j ~ 2u.j + u+i,j) + Uu - 1- (8)Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 1,reduzca la ecuacin (8) a un esquema de iteracin endos pasos:i =r 4A(cos (k) - 1 )au + a , ^ x. (9)Utilizando el esquema de iteracin explcito (4), encuentreuna ecuacin cuadrtica para Q, y resulvalacon la frmula cuadrtica (puede consultar el ejemplo1 de la seccin 9.2 del tomo I). Demuestre que el mtodoexplcito de diferencias centrales (8) es incondicionalmenteinestable para cualquier A > 0.3. Considere el mtodo explcito de diferencias centralespara la ecuacin de onda u = c2u (ver ejemplo 1 dela seccin 8.3 del presente libro):j+ i = + 2(1 - A2)uj + A2i/+ j - tiij-y,( 10)donde A = ck/h es el nmero de Courant. Utilizandoel mismo algoritmo que en el problema 2, encuentrey resuelva la ecuacin cuadrtica para Q,. Demuestreque 2,| = 1 cuando ambas races de la ecuacin cuadrticason complejas. Demuestre que la constriccinpara la estabilidad (5) se viola cuando ambas racesde la ecuacin cuadrtica son distintas y reales.Demuestre que el mtodo explcito de diferenciascentrales (10) es estable para 0 < A2 S 1 e inestablepara A2 > 1.4. Considere el mtodo de retroceso en el espacio yavance en el tiempo para la ecuacin de transporteii, + cux = 0 :u,j+1 = ( I A )k Uj + A w ,_ u (1 1 )donde A = ck/h. Considere la transformada discreta deFourier compleja con el modo, de Fourier,u j = a , je 'K, donde k = t t I / h , i = V Ty encuentre el factor complejo Q, en el esquema deiteracin de un paso (4). Pruebe que el mtodo de retrocesode espacio y avance en el tiempo (11) es establepara 0 < A l e inestable para A > 1.5. Considere el mtodo espacio central y retroceso en eltiempo para la ecuacin de transporte u, + cux = 0 :A+i,y+i "F 2iijj+ , Au,_1; + | = 2u j (12)Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 4,demuestre que el mtodo de espacio central y retrocesoen el tiempo ( 12) es incondicionalmente establepara cualquier A > 0.XXX PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en m todos numricos 31. Por bayetPor Dayet 32. ' ^1 Vectores2 Matrices3 Clculo vectorial3 33. C A P T U L O1VectoresEstructura del captulo1.1 Vectores en el espacio 2D1.2 Vectores en el espacio 3D1.3 Producto escalar1.4 Producto vectorial1.5 Lneas y planos en el espacio 3D1.6 Espacios vectoriales1.7 Proceso de ortogonalizacin de Gram-SchmidtEjercicios de repaso del captulo 1El co ncep to de v ec to r suele abordarse en p rc tic a m e n te todos loscursos de clculo, as com o en los de fsica e in g e n ie ra . Para lam ayora de los lectores este c a p tu lo rep resen ta, por lo ta n to , unrepaso de tem as fa m ilia re s com o los productos escalar y v e c to ria l.De c u alq u ier fo rm a, en la seccin 1 .6 se p lan tea e l concep toab stra cto de vector.4 34. 1.1 Vectores en el espacio 2D0 Introduccin En ciencias, matemticas e ingeniera, se distinguen dos cantidadesimportantes: los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un nmero real ouna cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud, la temperatura y la presinsangunea se representan con nmeros como 80 m, 20C y la relacin sistlica/diastlica120/80. Por su paite, un vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tantomagnitud como direccin.M Vectores geomtricos Geomtricamente, un vector se representa por medio de unsegmento de lnea dirigido esto es, por una flecha y se denota con un smbolo en negritaso mediante un smbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B . La figura 1.1muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el peso w, la velocidad v y la fuerza retardantede friccin Fy.a) b) c)Figura 1.1 Ejemplos de cantidades vectorialesII Notacin y terminologa Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo puntoterminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un vector se escribe || AB ||.Cuando dos vectores tienen la misma magnitud y la misma direccin se dice que soniguales. As, en la figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cualsignifica que un vector puede moverse de una posicin a otra siempre y cuando su magnitudy direccin no varen. El negativo de un vector AB , denotado como -A B , es unvector que tiene la misma magnitud que AB pero posee direccin opuesta. Si Z: A 0 es unescalar, el mltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es k veces ms largoque AB . Si k > 0, entonces kA B tiene la misma direccin que el vector AB ; si k < 0,entonces kA B tiene direccin opuesta a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y slo si, entre ellos son mltiplos escalaresdiferentes de cero. Vase la figura 1.3.H Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial comn, como el puntoA de la figura 1 Aa). As, si los vectores no paralelos AB y AC son los lados de un parale-logramocomo el de la figura 1 Ab), se dice que el vector que se halla en la diagonal principal,o A D , es la suma de AB y A C . Se escribeAD = AB + A C .La diferencia entre los vectores AB y AC se define comoAB - A C = AB + ( - A C ) .*Cuando se pregunta cul es la direccin de 0 normalmente se responde que al vector cero se le puede asignarcualquier direccin. Especficamente, se necesita el 0 para poder tener un lgebra vectorial.A CFigura 1.2 Vectores igualasFigura 1.3 Vectores paralelosBa)b)Figura 1.4 El ve cto r AD es lasuma de AB y AC 11.1 Vectores en el espacio 2D 5 35. a)b)Figura 1.5 El vector CB es laresta de AB menos ACComo se ve en la figura 1.5a), la resta AB - AC se inteipreta como la diagonal principaldel paralelogramo cuyos lados son B y - A C . Sin embargo, como se muestra en la figura1.5>), tambin es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado deltringulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretacin, se observa que la restavectorial CB = AB - A C apunta hacia el punto terminal del vector del cual se estrestando el segundo vector. Si AB = AC entoncesAB - A C = 0 . Vectores en un plano coordenado Para describir analticamente n vector, supngasepara el resto de esta seccin que los vectores considerados se encuentran enun plano coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el planose le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen Oy punto terminal P(x, yj), se denomina el vector de posicin del punto P y se escribecomoO P = ( x u y l). Componentes En general, un vector a en R2 es cualquier par ordenado de nmerosreales,a = (a u a 2).Los nmeros a { y a2 se conocen como los componentes del vector a.Como se mostrar en el primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vectorde posicin.b)Figura 1.7 Los vectores en a) y b)son los mismosEjemplo 1 Vector de posicinEl desplazamiento entre los puntos (*, y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1 Ja ) se escribe (4, 3).Como se ve en la figura 1.7>), el vector de posicin de (4, 3) es el vector que inicia en elorigen y termina en el punto P(4, 3). Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicacin de vectores por escalares,etc., se definqn en funcin de sus componentes.D E F I N I C I N 1.1 Suma, multiplicacin escalar, igualdadSean a = (a u a2) y b = (b u b2) vectores en R2.i) Suma: a + b = (a^ + b, a2 + b2) (1)ii) Multiplicacin escalar: ka = (k a h ka2) (2)iii) Igualdad: a = b si, y slo si, a, = b u a2 = b2 (3) Resta Utilizando (2), se define el negativo de un vector b como-b = ( - l) b = ( - b l, - b 2).La resta o diferencia de dos vectores se define entonces comoa - b = a + (b) = (a - b u a2 - b2). (4)CAPITULO 1 Vectores 36. En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores OPt y OP2 . En la figura 1.8>), el 'vector PP2, con punto inicial P, y punto terminal P2, es la resta de los vectores de posicinP tP2 = OP2 - OP, = {x2 - x u y 2- y i).Como se muestra en la figura 1.8>), el vector PP2 puede dibujarse comenzando por elpunto terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o tambin como elvector de posicin OP cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2- x ,y 2- y l). Recurdeseque OP y PP2 se consideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la mismadireccin.Ejemplo 2 Suma y resta de dos vectoresSi a = (1, 4) y b = ( - 6, 3), encuentre a + b, a - b y 2a + 3b.Solucin Se utilizan (1), (2) y (4).a + b = ( 1 4 ( - 6), 4 + 3) = . As, un vector unitariocon la misma direccin que a es el mltiplo escalaru = : v l a = v ^ 2 , ~ ^ ( v t v f ) 'Un vector unitario con la direccin opuesta a a es el negativo de u:V s ' V s / Si a y b son vectores y cq y c2 son escalares, entonces la expresin c,a + c2b se denominauna combinacin lineal de a y b. Como se muestra a Continuacin, cualquiervector en R2 puede escribirse como una combinacin lineal de dos vectores especiales.I Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a, a2) puede escribirsecomo una suma:(a h a2) = (a, 0) + ( 0, a2) = a ^ l , 0) + a 2. (5)A los vectores unitarios ( 1, 0) y (0, 1) usualmente se les asignan los smbolos especialesi y j. Vase la figura 1.10). As, sii = y j = ,Entonces (5) se convierte en a = a i + a2j. (6)Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidi-mensionales,puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinacin linealnica de i y j. Si a = i + a2j es un vector de posicin, entonces la figura 1.10b) muestraque a es la suma de los vectores qi y a2j, que tienen al origen como punto inicial comn yse halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a, se llama la componente horizontalde a, y el escalar a2 se denomina l componente vertical de a.Ejemplo 4 Operaciones vectoriales utilizando i y ja) , b = (0, -5>4- a = i j, b = 2 i + 6 J5. a = - 3 i + 2j, b = 7j6. a = (1,3), b = -5 a7. a = -b , b = 2i - 9j8. a = (7, 10), b = (1, 2)En los problemas 9-14, encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b.9. a = (1 ,-3 ), b = (-1 ,1 )10. a = i + j, b = 3i - 2j 11. a = i - j, b = -3 i + 4j12. a = (2,0), b = (0, -3 ) 13. a = ), se considera que elpeso del semforo se representa por w y las fuerzas enlos dos cables por Fj y F2. De la figura 1.19c), se observaque una condicin de equilibrio esw + Fj + F 2 0. (7)Observe el problema 39. Siw = - 200jF, = (||F,|| eos 20)i + (||F,|| sen 20)jF2 = (||F2|| eos 15)i + (||F2|| sen 15)j,utilice (7) para determinar las magnitudes de F, y F2.[Sugerencia: Vuelva a leer el inciso ii) de la definicin1.1.]b)t > .c)Figura 1.19 Tres vectores de fuerza del problem a 4647. Una carga elctrica Q se distribuye uniformemente a lolargo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20.1 0 CAPTULO 1 Vectores 40. La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x debidaa la carga Q es F = Fxi + Fy j dondeF = M .47re0 .F31 47780L dy_a 2a(L2 + y2)3' 2y d y_a 2a(L2 + y2)3'2'Determine F.. . QL qFigura 1.20 Carga sobre el eje x del problem a 4748. Utilizando vectores, muestre que las diagonales de unparalelogramo se bisecan entre s. [Sugerencia: Supongaque M es el punto medio, de una diagonal y N, el puntomedio de la otra.]49.50.Utilizando vectores, muestre que el segmento de lneaque se encuentra entre los puntos medios de dos lados deun tringulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad desu longitud. I:Un avin sale de un aeropuerto localizado en el origenO y vuela 150 millas en la direccin 20 norte, desdeel este, hacia la ciudad A. Desde A, el aeroplano vuelaentonces 200 millas en la direccin 23 oeste, desde elnorte, hacia la ciudad B. Desde B, el avin vuela 240millas en la direccin 10 sur, desde el oeste, hqJcia laciudad C. Exprese la ubicacin de la ciudad C.corno unvector r tal como se muestra en la figura 1.21. Encuentrela distancia desde O hasta C.N 1Figura 1.21 Avin del problem a 50I 1.2 Vectores en el espacio 3D Introduccin En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posicin de unpunto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales, o perpendiculares,llamados los ejes y y x. Si P es el punto de interseccin entre la lnea x = a(perpendicular al eje x) y la lnea y - b (perpendicular- al eje y), se dice entonces que el parordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Vase lafigura 1.22. En esta seccin se amplan los conceptos de coordenadas cartesianas y vectoresa tres dimensiones. 5istema coordenado rectangular en el espacio 3D E ntres dimensiones, o espacio3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutuamenteortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O.Estos ejes, mostrados en la figura 1.23), se nombran de acuerdo con la llamada reglaplano !b)Figura 1.22 Coordenadas ||:rectangulares en el espacio 2DFigura 1.23 Coordenadas rectangulares en e l espacio 3D1.2 Vectores en el espacio 3D i: 1 1 41. de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha apuntando en la direccin deleje x positivo se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntar en la direccinde un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se nombracomo eje z. Las lneas punteadas de la figura 1.23) representan al eje negativo. Ahora, six = a, y = b, z = cFigura 1 .2 4 Octantesson planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto Pen el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de nmeros(a, b, c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Losnmeros a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura1.23b).Ll Octantes Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. Como semuestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinanal plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidascomo octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas sedenomina el primer octante. No existe consenso para la denominacin de los otros sieteoctantes.La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado oen un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se describe tambin, por ejemplo, el planoxy a travs de la sencilla ecuacin z = 0. Anlogamente, el plano xz es y = 0 y el plano yzes x = 0.Ejes Coordenadas Plano Coordenadasx (a, 0, 0) xy (a, b, 0)y (0, b, 0) XZ (a, 0, c)z (0, 0, c) yz (0, b, c)Ejemplo 1 Grficas de tres puntosGrafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1) y (-2, -2, 0).Figura 1.25 Puntos del ejem plo 1Figura 1.26 Distancia d entre dospuntos del espacio 3DSolucin De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, nicamente (4, 5, 6) se encuentraen el primer octante. El punto (-2, -2, 0) se encuentra en el plano xy. O Frmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P|(x,, y,, z) yP2(x2, y2, Z) del espacio 3D, considrese su proyeccin sobre el plano xy. Como se muestraen la figura 1.26, la distancia entre (x, y!, 0) y (x2, y2, 0) se deduce a partir de laconocida frmula de la distancia en el plano, y es igual a/'(x2 Xj)2 + (y2 yi)2.Si las coordenadas de P3 son (x2, y2, Zj), entonces el teorema de Pitgoras aplicado al tringulorectngulo PP2P3 lleva a[d{Px,P 2) f = [ V ( x 2 - x,)2 + (y2 - y,)2]2 + Iz2 ~ Z2o d(P h P2) = V ( x 2 - x)2 + (y2 - y ,)2 + (z2 ~ z t)2. (i)Ejemplo 2 Distancia entre dos puntosEncuentre la distancia entre (2, -3 , 6) y (-1, -7, 4).Solucin Al seleccionar P2 como (2, -3, 6) y P como (-1, -7, 4), la frmula (1) dad = V ( 2 - ( - 1))2 + ( - 3 - (7))2 + (6 - 4)2 = V 2 9 . ' II Frmula del punto medio La frmula para determinar el punto medio de un segmentode lnea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma anloga a la del1 2 CAPTULO 1 Vectores 42. espacio 2D. Si P,{x,, y u Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordenadasdel punto medio del segmento de lnea que existe entre ellos sonx, + x2 y + y2 z, + z2(2)Ejemplo 3 Coordenadas de un punto medioEncuentre las coordenadas del punto medio del segmento de lnea entre los dos puntos delejemplo 2.Solucin De (2) se obtiene'2 + ( - 1 ) - 3 + ( - 7 ) 6 + 42 5 ,5 . Vectores en el espacio 3D Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta ordenadade nmeros realesa =l (fll> a2> ^ 3),donde a,, a2 y a3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores delespacio 3D se denota por el smbolo R3. El vector de posicin de un punto P(x, y,, Zj) enel espacio es el vector OP = (jq, y, z) cuyo punto inicial es el origen O y cuyo puntoterminal es P. Ver la figura 1.27.Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicacin escalar, etc', songeneralizaciones naturales de aqullas para vectores en R2.D E F I N I C I O N 1.2 Definiciones por componentesen el espacio 3DSea a = (a,, a2, a 3) y b = (bh b2, b3) vectores en R2.i) Suma: a + b = (a, + b u a2 + b2, a3 + b3)ii) Multiplicacin escalar: ka = (ka,, ka2, ka2)iii) Igualdad: a = b si, y slo si, a = b, a2 = b2, a3 = b3iv) Negativo: - b = (- l) b = (->,, - b 2, - b 3)v) Resta: a - b = a + (-b ) = {al - b u a2 - b2, a3 - b3)vi) Vector cero: 0 = ,(*, 2, 3), P2(2, 1, 1); d(Px, P2) = V 2T32. P x(x, x , 1), P2(0, 3, 5); d(Pu P2) = 51.2 Vectores en el espacio 3D 45. En los problemas 33 y 34, encuentre las coordenadas del puntomedio del segmento de lnea quenealos puntos proporcionados.33. (1,3, {), (7 ,-2 , f ) 34. (0, 5, - 8), (4, 1, - 6)35. Las coordenadas del punto medio del segmento de lneaque une a P x(xu y lt z) y P2(2, 3, 6) son (-1, -4 , 8).Encuentre las coordenadas de P.36. Sea P3 el punto medio del segmento de lnea entrePi(-3, 4, 1) y P2(-5, 8, 3). Encuentre las coordenadasdel punto medio del segmento de lnea que une a lospuntos a) P y P3y b) Py y P2.En los problemas 37-40, encuentre el vector PP2 37. />,(3, 4, 5), P2(0, -2, 6)38. P ,(-2, 4, 0), P2(6, | , 8)39. /y o , - 1, 0). P2(2, 0, 1)40. / y U , 5 ) , P 2( - f , - f , 1 2 )En los problemas 41-48, a = (1, -3 , 2), b = (-1, 1, 1) yc = (2, 6, 9). Encuentre el vector o el escalar indicados.41. a + (b + c)43. b + 2(a - 3c)45. ||a + c||42. 2a - (b - c)44. 4(a + 2c) - 6b46. ||c|| ||2b||a ba + 5 INI47.48. ||b||a + ||a||b49. Encuentre un vector unitario cuya direccin sea opuestaa a = .50. Encuentre un vector unitario con la misma direccinque a = i - 3j + 2k.51. Encuentre un vector b que sea 4 veces ms largo quea = i - j + k y tenga su misma direccin.52. Encuentre un vector b para el cual ||b|| = 2 y sea paraleloa a = ( - 6, 3, -2) pero con direccin opuesta.53. Utilizando los vectores a y b que se muestran en la figura1.31, dibuje el vector promedio(a + b).Figura 1.31 Vectores para e l problem a 53b)a bc)Figura 1.32 ngulo 8 en (1)1.3 Producto escalarH Introduccin En esta seccin y la siguiente, se, consideran dos tipos de productoentre vectores, consecuencia del estudio de la mecnica y tambin la electricidad y elmagnetismo. El primero de estos productos se conoce como producto escalar, productopunto o producto interior.11 Una definicin El producto escalar entre dos vectores a y b resulta ser un escalar yse denota comnmente como a b.D E F I N I C I N 1.3 Producto escalar de dos vectoresEl producto escalar de dos vectores a y b es el escalara b = ||a||||b|| eos 9,donde 9 es el ngulo entre los vectores, de forma que 0 s 0 < tt.( 1)La figura 1.32 ilustra el ngulo 6 en tres casos. Si los vectores a y b no son paralelos,entonces 6 es el ms pequeo de los dos ngulos posibles entre ellos.Ejemplo 1 Producto escalar utilizando (1)De (1) se obtienePuesto que ||i|| = ||j|| =i i = 1, j j = 1, k k = 1,( 2 )j| = 1, y, en cada caso, eos 0 = 1 . 1 6 CAPTULO 1 Vectores 46. Formulacin por componentes del producto escalar El producto escalar puedeexpresarse en funcin de los componentes de dos vectores. Suponga que 0 es el ngulocomprendido entre los vectores a = a,i + a2j + q k y b = b,i + 2j + b3k. Entonces el vectorc = b - a = (>, - a,)i + (b2 - a2)j + (b3 - a 3)kes el tercer lado del tringulo indicado en la figura 1.33. Por la ley de cosenos, se escribe||c||2 = ||b||2 + ||a||2 - 2||a|| ||b|| eos 6 o ||a|| ||b|| eos 6 = (||b||2 + ||a|2 - ||c||2). (3)Utilizando ||a||2 = a,2 + a2 + a 3 , ||b||2 = b + b2 + >32, ||b - a||2 = (b] - a ,) 2 + (b2 - a2) 2 +(b) - a 3)2, se simplifica el lado derecho de la segunda ecuacin en (3) para obtener 0 es cualquier vector, entonces kx = xk > 0.As, V est cerrado bajo la multiplicacin escalar.vil) Si k es cualquier escalar, entoncesk(x + y) = (xy)k = x*yk = kx + lcy.viii) Para los escalares k y k2,(ki + k2)x = x ik'+k2> = x*'x*2 = k xx + k2x.ix) Para los escalares k x y k2,k x{k 2x) = (x*2)*1 = X**2 = (A:i/c2)x -x) lx = x 1 = x = x.Puesto que todos los axiomas de la definicin 1.5 se satisfacen, se concluye que V es unespacio vectorial. OA continuacin se mencionan algunos espacios vectoriales importantes; se hanmencionado ya algunos de estos anteriormente. Las operaciones de suma vectorial y multiplicacinescalar son las operaciones usuales asociadas con el conjunto. El conjunto R de nmeros reales El conjunto R2 de pares ordenados El conjunto R3 de tripletas ordenadas El conjunto R" de n-uplas ordenadas El conjunto P de polinomios de grado menor o igual a n El conjunto P de todos los polinomios El conjunto de funciones/definidas sobre la lnea real completa El conjunto C[a, b de funciones reales/continuas en el intervalo cerrado. < x< b El conjunto C(-, ) de funciones reales/continuas sobre la lnea real completa El conjunto C"[a, b] de todas las funciones reales/para las cuales e x is te n /,/',/" ,...,/ (' y son continuas en el intervalo [a, b]I Subespacio Puede suceder que un subconjunto de vectores W de un espacio vectorialV sea en s mismo un espacio vectorial.SubespacioD E F I N I C I N 1.6Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en s mismo un espacio vectorialbajo las operaciones de suma vectorial y multiplicacin escalar definidas en V, entoncesW se denomina un subespacio de V., : JCada espacio vectorial V tiene por lo menos dos subespacios: el mismo V y elsubespacio cero {0}; {0} es un subespacio ya que el vector cero debe ser un elemento encualquier espacio vectorial.3 8 CAPTULO 1 Vectores 68. Para mostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio,no es preciso demostrar que los diez axiomas de la definicin 1.5 se satisfacen. Comotodos los vectores de W estn tambin en V, deben satisfacer axiomas tales como ii) y iii).En otras palabras, W hereda de V la mayora de las propiedades de un espacio vectorial.Como lo indica el prximo teorema, nicamente se necesitan comprobar los dos axiomasde clausura para demostrar que un subconjunto W es un subespacio de V.Criterios para un subespacioT E O R E M A 1.4Un subconjunto no vaco W de un espacio vectorial V es un subespacio de V si, y slosi, W est cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicacin escalar definidas en V:i) Si x y y estn en W, entonces x + y est en W.ii) Si x est en W y k es cualquier escalar, entonces kx est en W.)Ejemplo 3 SubespacioSupngase que f y g son funciones continuas reales definidas en la lnea real completa.Entonces se sabe, a partir del clculo, que f + g y kf, para cualquier nmero real k, sonfunciones continuas reales. De esto se puede concluir que C(-, ) es un subespacio delespacio vectorial de funciones reales definidas en la lnea real completa. Ejemplo 4 SubespacioEl conjunto P de polinomios de grado menor o igual a n es un subespacio de C(-, ),es decir, el conjunto de funciones reales continuas sobre la lnea real completa, Siempre es una buena idea tener visualizaciones concretas de los espacios vectorialesy los subespacios. Los subespacios del espacio vectorial R3 de vectores tridimensionalespueden visualizarse fcilmente pensando en un vector como un punto (], a2, fl3). Desdeluego, {0} y el mismo R3 son subespacios; otros subespacios son todas las lneas quepasan por el origen, y todos los planos que tambin pasan por el origen. Las lneas ylos planos deben pasar por el origen ya que 0 = (0, 0, 0) tiene que ser un elemento decualquier subespacio.De maner semejante a como se puede stablecer un criterio para las solucioneslinealmente independientes de una funcin, es posible definir los vectores linealmenteindependientes.Independencia LinealD E F I N I C I N 1.7Se dice que un conjunto de vectores {*,, x 2 *} es linealmente independiente silas nicas constantes que satisfacen la ecuacin&,X| + k2x 2 + + kxn = 0 (3)son k = k2 = = k = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente,entonces se dice que es linealmente dependiente.i )En R3, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0} y k = (0, 0, 1} son linealmente independientespuesto que la ecuacin fcp + k2 j + k3k = 0 es la misma que*1 + *2 + *3. .., x} de un espaciovectorial V, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores x hx2;. .., x en S,{kx i + k2x 2 + --- + knx},donde k, i = 1 ,2 ,..., son escalares, se denomina claro de los vectores y se escribeClaro(S) o Claro(x,, x2,..., x). Se deja como ejercicio demostrar que Claro(S) es unsubespacio del espacio vectorial V. Vase el problema 33 en los ejercicios 1.6. Se diceque Claro(S) es un subespacio del claro de los vectores x,, x2)..., x. Si V = Claro(S), entoncesse dice que S es un conjunto puente para el espacio vectorial V, o que S funcionacomo claro de V. Por ejemplo, cada uno de los tres conjuntos(i, j, k }, {i, i + j, i + j + k} e {i, j, k, i + j, i + j + k}1.6 Espacios vectoriales 71. son conjuntos puente para el espacio vectorial R 3. Obsrvese sin embargo que los primerosdos conjuntos son linealmente independientes, mientras que el tercer conjunto esdependiente. Con estos nuevos conceptos, se pueden replantear las definiciones 1.8 y 1.9de la siguiente forma:Un conjunto S de vectores {xb x2, ..., x} de un espacio vectorial V es una base paraV si S es linealmente independiente, y adems es un conjunto puente para V. El nmerode vectores de este conjunto puente S es la dimensin del espacio V.Comentariosi) Supngase que V es un espacio vectorial real arbitrario. Si existe un producto interiordefinido sobre V, no necesita parecerse en lo ms mnimo al producto interior estndar, oeuclidiano, definido sobre Rn. Por ejemplo, en el captulo 4 se trabajar con un productointerior que es una integral definida. Un producto interior que no es el euclidiano se denotaa travs del smbolo (u, v). Vanse los problemas 30, 31 y 38>) en los ejercicios 1.6.ii) Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definido un producto interior se denominaun espacio con producto interior. Un espacio vectorial V puede tener ms de un productointerior definido en l. Por ejemplo, un producto interior no euclidiano definidosobre R2 sera (u, v) = uv + 4u2v2, donde u = (u, u2) y v = (vb v2). Vanse los problemas37 y 38a) en los ejercicios 1.6.iii) Gran parte de los desarrollos en los ltimos captulos de este texto se realizan en unespacio vectorial de dimensin infinita. Como tal, se necesita ampliar la definicin deindependencia lineal de un conjunto finito de vectores S = {xb x2,..., x} dada en ladefinicin 1.7 para un conjunto infinito:Se dice que un conjunto infinito de vectores S = {xb x2,...} es linealmenteindependiente si todos los subconjuntos finitos del conjunto S son linealmenteindependientes. Si el conjunto S no es linealmente independiente entonces es linealmente dependiente.Se observa que si S contiene un subconjunto linealmente dependiente, entonces todo elconjunto S es linealmente dependiente.El espacio vectorial P de todos los polinomios tiene la base estndar B = {1, x,x2, ...} la cual es un conjunto infinito linealmente independiente.EJERCICIOS 1.6 Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la pgina RESP-3.En los problemas 1-10, determine si el conjunto proporcionadoes un espacio vectorial. Si no, mencione por lo menos unaxioma que no se satisfaga. Considere que la suma vectorial yla multiplicacin escalar son las operaciones ordinarias definidasen cada conjunto, a menos que se indique lo contrario.1. El conjunto de vectores (ab a2), donde a, > 0, 2 ^ 02. El conjunto de vectores (ax, a2), donde a2 = 3a, + 13. El conjunto de vectores (a b a2), donde la multiplicacinescalar se define como k(ax, a2) = (kax, 0)4. El conjunto de vectores (ab a2), donde a, + a2 = 05. El conjunto de vectores (ab a2, 0)6. El conjunto de vectores (a b a2), donde la suma y lamultiplicacin escalar se definen comok(ax, a2) = {kax + k - 1, ka2 + k - 1)7. El conjunto de nmeros reales, con la suma definidacomo x + y = x - y8. El conjunto de nmeros complejos a + bi, donde i2 = -1,donde la suma y la multiplicacin escalar se definencomo(a, + bxi) + (a2 + b2i) = (a, + a 2) + (b x + b2)ik(a + bi) = ka + kbi, donde k es un nmero realf a i 12xa2i a 22y9. El conjunto de arreglos de nmeros realesdonde la suma y la multiplicacin escalar se definen comoa ll a l2a 2 2 2+ bn ^12 J = ( a i2 + b 12,b2 b22) 22 + >2211 iz== ( kUil ka.21 22/ k a 2X ka42 CAPTULO 1 Vectores 72. 10. El conjunto de todos los polinomios de grado 2.En los problemas 11-16, determine si el conjunto proporcionadoes un subespacio del espacio vectorial C (-oo, oo).11. Todas las funciones/ tales q u e /(l) = 012. Todas las funciones/tales que /(O) = 113. Todas las funciones no negativas/14. Todas las funciones/tales que f( - x ) = /(x)15. Todas las funciones/diferenciables16. Todas las funciones/que tengan la forma f(x ) = ce' +c2xe*En los problemas 17-20, determine si el conjunto proporcionadoes un subespacio del espacio vectorial indicado.17. Polinomios de la forma p(x) = c3x3 + cx; P318. Polinomios p que son divisibles entre x. - 2; P219. Todos los vectores unitarios; Ri20. Las funciones/tales que /* /(x) dx = 0; C[a, b]21. En el espacio 3D, una lnea que pasa por el origenpuede escribirse como S = {(x, y , z)x = at, y = bt,z = ct, siendo a, b, c nmeros reales}. Muestre que Ses un subespacio de R3, si la suma y la multiplicacinescalar son las mismas que para los vectores (x, y, z).22. En el espacio 3D un plano que pasa por el origen puedeescribirse como S = {(x, y, z)ax + by + cz = 0, siendo a, b,c nmeros reales}. Muestre que S es un subespacio de R3.23. Los vectores u, = (1,0,0), u2 = (1 ,1 ,0)y u3 = (1, 1,1)forman una base para el espacio vectorial R3.a) Muestre que u,, u2 y u3 son linealmente independientes.t) Exprese el vector a = (3, -4 , 8) como una combinacinlineal de u h u2 y u3.24. Los vectores P{x) = x + 1, p 2(x) x - 1 forman unabase para el espacio vectorial P ,.a) Muestre que p,(x) y p 2(x) son linealmente independientes.b) Exprese el vector p(x) = 5x + 2 como una combinacinlineal dep,(x) y p 2(x).En los problemas 25-28, determine si los vectores proporcionadosson linealmente independientes o linealmente dependientes.25. (4, -8), (-6,12) o R 226. (1, 1), (0, 1), (2, 5) o R227. l,( x + 1), (x + 1)2o P228. l,( x + 1), (x+ 1)2, x2 o P 229. Explique por qu/(x) =x2 + 4x + 3C[0, 3], pero no un vector en C [-3, 0],es un vector en30. Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definidoun producto interior, o producto escalar, se denorpinaespacio con producto interior. Un producto interiorpara el espacio vectorial C[a, b] est dado por (/> 8) = f(x)g(x) dx.Calcule C[0, 2-77] en (x, sen x).31. La norma de un vector en un espacio con producto interiorse define en funcin de ste. Para el producto interiorproporcionado en el problema 30, la norma de unvector est dada por ||/ || = V ( / , / ) . En C[0, 2-jt] calcule||x|| y ||sen x||.Encuentre una base para el espacio de soluciones ded x232 0 si u + 0iv) (u, v + w) = (u, v) + (u, w).Muestre que (u, v) = m1v1 + 4u2v2, donde u = (uu u2) yv = (y,, v2), es un producto interior sobre R2.38. a) Encuentre un par de vectores no nulos u y v eh R2que no sean ortogonales con respecto al productointerior euclidiano o estndar u v, pero que seanortogonales con respecto al producto interior (u, v)del problema 37.t) Encuentre un par de funciones no n u la s /y g enC[0, 27t] que sean ortogonales con respecto al productointerior (f, g) dado en el problema 30.1.6 Espacios vectoriales 73. 1.7 Proceso de ortogonalizacinde G ram -Schm idtJH Introduccin En la seccin 1.6 se plantea que un espacio vectorial V puede tenermuchas bases diferentes. Conviene recordar que las caractersticas que definen a cualquierbase B = {x1; x2>..., x) de un espacio vectorial V son el conjunto t es linealmente independiente, y el conjunto 5 funciona cmo claro para el espacio.En este contexto, la palabra claro significa que todos los vectores del espacio se expresancomo una combinacin lineal de los vectores x,, x2,..., x. Por ejemplo, cada vector u enR" se escribe como una combinacin lineal de los vectores de la base estndar t = {e,,e2,..., e}, dondee, = ( 1 ,0 ,0 ,..., 0>, e2 = (0, 1 ,0 ,..., 0), . . . , e = . .., v} para cualquier base dada B = {u ,, u2i. .., u) para R".Entonces, se genera una base ortonormal B" = {w ,, w2,..., w} mediante la normalizacinde los vectores de la base ortogonal B '. La idea fundamental en el proceso de ortogonalizacines la proyeccin vectorial y, por ende, se sugiere la revisin de dicho concepto en laseccin 1.3. Asimismo, para lograr cierta visin geomtrica del proceso, se comienza conR2 y R3. Construccin de una base ortogonal para R2 El proceso de ortogonalizacinde Gram-Schmidt para R" es una secuencia de pasos; en cada paso se construye unvector v, que es ortogonal al vector del paso precedente. La transformacin de unabase B = {u ,, u2} para R2 en una base ortogonal B' = {vb v2} consta de dos pasos.Vase la figura 1.64), El primer paso es simple: nicamente se elige uno de los vectoresde 5, digamos u,, y se renombra como vb A continuacin, como se muestra en1.7 Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt 75. a) Vectores u t y u2 linealmente independientesb) Proyeccin de u2 sobre v(v2 = u2-proyVlFluJrVi'c) y i y v2,son ortogonalesFigura 1.64 Los vectoresortogonales Vj y v2 se definen entrm inos de Uj y u2.b) Base B"Figura 1.65 Las dos bases delejem plo 3la figura 1.64b), se proyecta el vector restante u 2 de B sobre el vector V[ y se defineun segundo vector que es v2 = u2 - proyv u2. Recurdese de (12) de la seccin 1.3 que/ u2 Vi proyv u2 1 (vj. Como se ve en la figura 1.64c), los vectoresV, V,V, = u.> 2 v A (3)V2 = U2 - VjV, V,son ortogonales. Para verificar esto, se sugiere revisar la ortogonalidad de v, y v2 demostrandoque Vj v2 = 0.Ejemplo 3 Proceso de Gram-Schmidt en R 2El conjunto B = {Uj, u2}, donde u, = (3, 1), u2 = (1,1), es una base para R2. TransformeB en una base ortonormal B" = {w ,, v2}.Solucin Se seleccionax como up v, = ( 3 ,1).Entonces, a partir de la segunda ecuacin de (3), con u2 v, = 4 y v, = 10, seobtieneEl conjunto B' = {Vj, v2 = {(3, 1), ( f )} es una base ortogonal para R2. El ltimopaso consiste en normalizar los vectores v, y v2:/ 3 11 / 1 3P = . ) V W , = T, V , = ( = . = ) IN |V|V io V io / y Wz 'INI^V io V io /La base B se muestra en la figura 1.65a), y la nueva base ortonormal B" = { w h w2} semuestra con las flechas en la figura 1.65b). En el ejemplo 3 se puede seleccionar cualquier vector de B = {u,, u2} como el vector v.Sin embargo, eligiendo Vj = ,u2 = (1,1), se obtiene una base ortonormal diferente; esto es,B" = {wj, w2}, donde w, = (1/ V 2 , 1/V 2 ) y w2 = (1 /V 2 , - 1 / V 2 ). Vase los problemas5-8 de los ejercicios 1.7.13 Construccin de una base ortogonal para R3 Ahora supngase que B = {uh u2,u 3}es una base para R3. Entonces, el conjunto B' = {v1; v2, v3}, dondev t = u,Es una base ortogonal para R3. De nuevo, si esto no se ve claramente, calclese Vj v2,Vi ,v3 y v2 v3.Puesto que los vectores v, y v2 de la lista (4) son ortogonales por la forma en que segeneraron, el conjunto {vb v2 } debe ser linealmente independiente (vase el problema46 CAPTULO 1 Vectores 76. 36 de los ejercicios 1.6). As, W2 = Sg(vb v2) es necesariamente un subespacio bidi-, / u 3 v A / u3 v2mensional de R . Ahora, el vector x = v, + ------ v2 es un vector en W2, v 2 v2,porque es una combinacin lineal de V[ y,v2. Al vector x se le denomina la proyeccinortogonal de u3 sobre el subespacio W2 y se denota generalmente como x = proy,,, u 3.En la figura 1.66, x es el vector negro remarcado. Obsrvese, tambin, que x es la sumade dos proyecciones. Utilizando (12) de la seccin 1.3, se escribepryV[u 3 proyV2u 3/____ * ( i A* ' proi'u ( u 4 ) V| + ( u 4 ) 2 (5)La diferencia v3 = u3 x es ortogonal a x. En efecto, v3 es ortogonal a v, y v2 y a todoslos vectores en W2. Esta es precisamente la misma idea de (3). En ese contexto, v2 = u 2 x, donde x es la proyeccin de u2 sobre el subespacio unidimensional W = Sg(v,) deR2. Anlogamente a (5), se tieneproy, 2 A ,2 V,p ro jw iij = - v,. (6)Ejemplo 4 Proceso de Gram-Schmidt en R3El conjunto B = fu,, u2, u3}, dondeu, =