matemáticas creativas

ESCUELA SIEMPRE ABIERTA Verano 2010

Taller: Matemáticas creativas

Secundaria

ESCUELA SIEMPRE ABIERTA

VERANO 2010 La Escuela Siempre Abierta en su fase de verano, ofrece a las alumnas y a los alumnos que cursan la educación primaria y secundaria en el Distrito Federal, opciones atractivas e innovadoras de aprendizaje, recreación, socialización y ejercitación. La propuesta lúdico-formativa se ha articulado en siete ejes rectores: Habilidades matemáticas, Habilidades lingüísticas, Ciencias, Formación cívica y ética, Artes, Educación Física y Habilidades para el uso de tecnologías de la información y la comunicación. Cada uno de estos ejes incorpora talleres específicos, diseñados por especialistas de distintas instituciones y organismos tanto púbicos como privados, así como por los equipos técnicos de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal. Para apoyar a los docentes que coordinarán cada uno de los talleres de la Escuela Siempre Abierta se ha preparado esta carpeta de trabajo, en la que se presenta el detalle de las actividades a realizar en cada uno de los talleres y ciclos, así como el material que se utilizará en cada una de ellas. La carpeta incluye:

• Un Cuadro concentrado con el nombre, el propósito y los materiales que se utilizarán en las sesiones de trabajo contempladas en cada taller.

• Una sección denominada Aprendizajes esperados; en ella se explica los aprendizajes que debe lograr el alumno con la actividad en términos de conocimientos, habilidades, actitudes y/ o valores.

• Un apartado denominado Organización del grupo; en éste se describe la mecánica de trabajo de cada una de las actividades.

• La sección Desarrollo de la sesión indica tres momentos claramente delimitados: el desarrollo de las actividades, la puesta en común de los productos generados y el cierre de la sesión:

o Desarrollo de las actividades. Aquí se describen las actividades o pasos que deben desarrollar los alumnos.

o Puesta en común de los productos. Se presentan indicaciones para que los

alumnos socialicen las actividades realizadas, compartan sus productos y comenten sus apreciaciones sobre lo que sus compañeros hicieron.

o Cierre de la sesión. En este apartado se señalan las preguntas o consignas que pueden ayudar a los alumnos a identificar lo que aprendieron en la sesión. Estas preguntas o consignas deben permitir al monitor darse cuenta que los aprendizajes esperados se han alcanzado o bien, lo que tendría que reforzar en la siguiente sesión para que los alumnos lo logren.

• En la sección Orientaciones específicas para el monitor, se ofrecen sugerencias para el monitor en términos de aquellos aspectos que se consideran importantes de atender por él mientras los alumnos realizan las actividades o mientras utilizan un material.

Es muy importante señalar que las actividades que integran la carpeta son flexibles y constituyen la guía para el trabajo de los monitores de la Escuela Siempre Abierta.

1

ÍNDICE

TALLER:

“MATEMÁTICAS CREATIVAS”

Páginas

PROGRAMACIÓN GENERAL DE SESIONES 2

1. Cubopol 5

2. Las tablas del Rey Salomón 11

3. El geoplano 20

4. El calculista 26

5. Carrera de caballos 31

6. El cubo loco 36

7. Vasos y corcholatas 41

8. Pintando cubos 44

9. Dibujando cubos 48

10. Cuádrate con los triángulos 56

11. El mosaiquero 61

12. Cuadrados, cuadritos y magia. 67

13. Figuras que crecen 72

14. El tangrama 76

15. Laberinto de decimales 82

HORARIO PARA EL MAESTRO

2

PROGRAMACIÓN GENERAL DE LAS SESIONES

EJE RECTOR: MATEMÁTICAS NOMBRE DEL TALLER: MATEMÁTICAS CREATIVAS NIVEL: SECUNDARIA

Actividad Propósitos Tiempo Material

1.-Cubopol

Explorar, analizar, deducir y conceptualizar las propiedades del algunos polígonos regulares e irregulares (cuadriláteros, triángulo y hexágono) y de algunos poliedros (cubo, pirámide triangular, pirámide cuadrangular).

60 minutos Popotes Listón cola de rata Hoja de trabajo

2.- Las tablas del Rey Salomón

Que el alumno desarrolle profundice en los principios del sistema de numeración decimal y de bases distintas de 10.

60 minutos Hojas de trabajo Tablas del Rey Salomón Tablas de conversiones

3.-El geoplano

Resolver problemas que impliquen identificar las características generales de polígonos de tres y cuatro lados.

60 minutos Geoplano Ligas Hojas de trabajo

4.-El calculista

Utilizar la calculadora para generalizar y estimar resultados al resolver problemas.

60 minutos Calculadora aritmética Hojas de trabajo

5.- Carrera de caballos

Comparar eventos probabilísticos a fin de distinguir que una actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer.

60 minutos

Tableros Dados cúbicos Fichas Hojas de trabajo

3

Actividad Propósitos Tiempo Material

6.-El cubo loco

Mediante un arreglo manipulable de cubos demostrar que una misma área puede contener volúmenes distintos.

60 minutos Cartulina Tijeras Cinta mágica o Diurex

7.- Vasos y corcholatas

Distinguir diversas situaciones de azar en eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

60 minutos

20 Corcholatas iguales Cartulina Un vaso desechable de diferente tamaño para cada equipo. Una bolsa de igual tamaño para cada equipo.

8.- Pintando cubos

Que el alumno desarrolle habilidades matemáticas que le ayuden a enfrentar con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que debe imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.

60 minutos Hoja de trabajo Hoja perspectiva Colores

9.- Dibujando cubos

Que el alumno desarrolle habilidades matemáticas que le ayuden a enfrentar con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que debe imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.

60 minutos Hoja de trabajo Hoja perspectiva Colores

10.- Cuádrate con los triángulos

Comprobar geométricamente la validez del Teorema de Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama.

60 minutos Tangrama Hojas de trabajo

4

11.- El mosaiquero

Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. 60 minutos

Mosaicos de papel (al menos 2 copias fotostáticas del anexo 2) Teselado de Escher (anexo1) Tijeras Colores Cartulina

Superficie plana Pegamento

12.- Cuadrados, cuadritos y magia.

Construir el conjunto de Cantor a fin generar patrones y determinar la expresión general para el enésimo término de una sucesión numérica y figurativa.

60 minutos

Hojas blancas o cuadriculadas Colores Calculadora

13.-Figuras que crecen

Determinar una expresión general para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas.

60 minutos

Geoplano (papel punteado) Lápices de colores

14.- El tangrama

Resolver problemas de suma y resta que impliquen el uso de números fraccionarios mediante el uso de material concreto.

60 minutos Tangrama Hojas de trabajo

15.- Laberinto de decimales

Identificar las propiedades de densidad, escritura y valor posicional de los números con punto decimal.

60 minutos Calculadora Hoja de trabajo

5

1. CUBOPOL

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Que los alumnos trabajen en equipos en un ambiente cooperativo para construir el cubopol. Se pretende además que al manipular el cubopol puedan visualizar, identificar y reconocer características generales de polígonos y poliedros.

• La intención didáctica es utilizar el cubopol para explorar, analizar, deducir y

conceptualizar las propiedades del algunos polígonos regulares e irregulares (cuadriláteros, triángulo y hexágono) y de algunos poliedros (cubo, pirámide triangular, pirámide cuadrangular).

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO

Para la realización de esta actividad se sugiere organizar a los alumnos en equipos de 2 o 4 elementos, esto dependerá de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad.

DESARROLLO DE LA SESIÓN

Consideraciones previas Al inicio de la clase se debe favorecer una lluvia de ideas, para ello podrán hacerse preguntas como las siguientes: (5 min)

¿Qué es un polígono? ¿Qué tipo de polígonos conocen? ¿Qué diferencia existe entre un polígono regular e irregular? ¿Cuáles son los elementos de un polígono (lados, ángulos, vértices)? ¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un poliedro? ¿Qué tipo de poliedros conocen? ¿Cuántas caras tiene un cubo, una pirámide cuadrangular? ¿cuántos vértices? ¿cuántas

aristas?

A través de la lluvia de ideas generada por los alumnos se definirá a los polígonos y a los poliedros a partir de sus características y propiedades más generales. Secuencia de actividades

6

1. ¡Construyamos nuestro cubopol! En equipos de 4 personas los alumnos procederán a armar el cubopol (cubo hecho de popotes), para hacerlo se requieren 12 popotes y un trozo de listón cuya longitud sea igual a 17 popotes por alumno. El procedimiento para armar el cubopol se describe a continuación: (Tiempo 20 min)

a. Debe hacerse pasar el listón dentro de los

popotes y formar la siguiente figura. Al final debe anudarse para evitar que se desarme.

b. Posteriormente deben hacerse pasar por el listón tres popotes más y formar la siguiente figura. Al final también debe anudarse y debe regresarse el listón a través del último popote.

c. Deben introducirse dos popotes más y formar la siguiente figura, después deberá hacerse un nudo en los puntos indicados con el número 1.

d. Después del paso anterior, la construcción debe verse como sigue. Observa la ubicación del nudo y del listón. Procura ocultar los nudos dentro de los popotes.

e. Nuevamente deben introducirse dos popotes y

después deberá hacerse un nudo más en los puntos indicados con el número 1.

f. Después del paso anterior, la construcción debe verse como sigue.

11

g. Finalmente se introduce el último popote, y

después debe hacerse el último nudo. La construcción debe verse como sigue. Observa que al final se corta el excedente de listón.

Una vez construido, los alumnos tendrán que explorar el cubopol, primero para encontrar las figuras planas que pueden formarse y para reconocer sus características y posteriormente, para formar la estructura de algunos cuerpos e identificar sus características generales.

7

2. Pedir a los alumnos que con el cubopol construyan distintos polígonos y que los dibujen en los siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10 min)

Al terminar de dibujar todos los distintos polígonos que hayan encontrado deberán comparar los resultados con sus compañeros a fin de ver si les faltan algunos y validar si los han dibujado en los mismos espacios. Posterior a ello deberán responder las siguientes preguntas:

• Escribe el nombre de las figuras que dibujaste en el recuadro de la izquierda:

_________________________________________________________________

• ¿Son estas figuras polígonos regulares? ____________

• Justifica tu respuesta: ____________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Pedir a los alumnos que construyan distintos poliedros y que los dibujen escribiendo el

nombre de cada uno de ellos: (10 min)

Figuras cuyos lados o ángulos interiores sean distintos

Figuras cuyos lados y ángulos interiores miden lo mismo

POLIEDROS Después de haber realizado la actividad anterior responde lo siguiente: • Número de aristas que tiene:

Cubo ____

Pirámide cuadrangular____

Pirámide triangular _______

• Número de vértices que tiene:

Cubo ____

Pirámide cuadrangular____


• Número de caras que tiene:

Cubo ____ Pirámide cuadrangular____


8

“CUBOPOL” (Tiempo estimado 15 min) Nombre: ______________________________________________ 1. Considera los polígonos que formaste y completa la siguiente tabla:

2. Dibuja las siguientes imágenes en la tabla según corresponda:

Nombre Representación Nº de lados Nº de vértices Regular (si – no)

Cuadriláteros regulares Cuadriláteros irregulares

9

Puesta en común de los productos

Al finalizar los alumnos en equipos deberán enunciar las características de los polígonos regulares e irregulares

Completa la tabla:

Nombre Imagen No. De caras No. De vértices No. De Aristas

10

Cierre de la sesión

Un dodecaedro es un poliedro con caras pentagonales. Observa la siguiente figura y determina el número de caras, vértices y aristas que tiene.

Al final compara tus resultados con otro compañero.

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR

Al armar el cubopol considere la construcción dirigida, es decir el profesor podrá mostrar la forma en que puede manipularse el cubopol, o bien que otros alumnos muestren la forma en que lo manipulan a quienes tengan dificultad para formar las figuras y poliedros que son posibles de armar.

Es primordial que los alumnos vean en la figura la característica que se pretende observar. Por ejemplo, los lados de los polígonos, la descomposición del hexágono en triángulos equiláteros, la congruencia de los lados y ángulos, etcétera.

Es muy importante que los alumnos anoten como conclusión las propiedades generales de los polígonos y que puedan desarrollar la imaginación espacial a fin de poder determinar e imaginar las características geométricas de otros poliedros. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:

Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.

Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.

Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.

Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje.

Genere oportunidades para que los alumnos elijan y resuelvan problemas por sí mismos.

Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

DODECAEDRO No. De caras ________ No. De vértices ________ No. De aristas ________

11

2. LAS TABLAS DEL REY SALOMÓN


• Que los alumnos analicen y comprendan los principios del sistema de numeración posicional a través de una actividad integradora.

• Que los alumnos profundicen en los principios del sistema de numeración decimal

y de bases distintas de 10.


Se recomienda iniciar la actividad de manera grupal, para ello deben utilizarse “Las Tablas del Rey Salomón”, puede crearse una historia ficticia en la que se diga al estudiante que se encontraron una tablas mágicas que pertenecieron al Rey Salomón, último Rey del pueblo de Israel y considerado el hombre más sabio que ha existido en la tierra. Las tablas encontradas son mágicas y permiten adivinar el número que está pensando una persona.


Consideraciones previas Debe iniciarse con el truco de las Tablas del Rey Salomón, debe pedirse a los alumnos que elijan un número del 1 al 31, que se fijen bien en qué tablas se encuentran y el profesor deberá adivinar cuál es ese número: (10 min)

Las tablas del Rey Salomón se encuentran en el anexo 1.

Secuencia de actividades

1. Una vez que todos hayan descubierto el truco de las tablas el profesor pedirá a los alumnos que resuelvan las siguientes operaciones. (los números están en base 2)

2. La actividad anterior servirá sólo para introducir a los alumnos a la conversión de

números de base 10 a base 2 y viceversa. Completa los espacios en blanco de tal forma que las equivalencias entre los números en base 2 y base 10 sean correctas:

12

3. La siguiente plantilla servirá para convertir cualquier número de base 2 a base 10 o viceversa. (10 min): Ejemplo, si se quiere formar el número 12, deberán elegirse los números necesarios para formarlo, en este caso tendría que ser desde el 8 hacia abajo, de tal forma que ponemos un 1 en la fila del 8 y otro en la del 4 y en los demás se escribe un 0 y ya está. Intenta hacerlo con otros números.

4. Ahora intenta hacerlo al revés, primero escribe el número en base 10 y después su

equivalente en base 2. 5. Ahora intenta hacerlo para otra base que no sea 2, por ejemplo base 4. Sólo debes

recordar que ahora puedes elegir hasta 3 veces un número, por ejemplo, el número 23, significa que utilizó 2 veces el 4 y tres veces el 1

Número en base 2

Equivalente en base 10

0 1

10 3

100 5 6

Número en base 2

Equivalente en base 10

111 8 9

1010 11 12 13

13

Puesta en común de los productos 6. Para saber cómo se construyen las tablas del Rey Salomón debes utilizar una tabla de

conversiones de base 2 a base 10, debes iniciar en 1 y terminar en 31. Observa las regularidades en la tabla. Utiliza 5 rectángulo, anota en uno de ellos los números en base 10 donde aparece el número 1, en otro rectángulo anota los número en base 10 donde aparece el número 1 correspondientes a la 2ª columna y así sucesivamente. Al final compáralas con las que se utilizaron al principio.

14


7. Contesta la siguientes preguntas: a. ¿Por qué crees que el sistema de numeración que utilizamos se dice que es

decimal?______________________________________________________

b. ¿Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 2? _____________

c. ¿Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 8? _____________

d. Comenta con tus compañeros lo siguiente: Si el sistema de numeración base 2

utiliza menos símbolos que el de base 10, ¿por qué utilizamos el de base 10?


Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso y como en la ficha anterior se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad.

Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:





Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.


15

ANEXO 1

1 3 5 7

9 11 13 15

17 19 21 23

25 27 29 31

16

2 3 6 7

10 11 14 15

18 19 22 23

26 27 30 31

17

4 5 6 7

12 13 14 15

20 21 22 23

28 29 30 31

18

8 9 10 11

12 13 14 15

24 25 26 27

28 29 30 31

19

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31

20

3. EL GEOPLANO


• Que los alumnos utilicen el geoplano para representar, identificar y modelar triángulos y cuadriláteros para reconocer, identificar y comunicar sus características generales.

• Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen identificar las

características generales de polígonos de tres y cuatro lados.


Para la realización de esta actividad se sugiere que el profesor inicie contando brevemente la historia del Geoplano, debe precisarse que se trabajará con el geoplano cuadrangular y se recomienda que las actividades se resuelvan por equipos de 2 personas.


Consideraciones previas

EL GEOPLANO

El geoplano fue inventado por el matemático y pedagogo egipcio Galeb Gattegno (1911-1988) con el propósito de enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos. Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distinguen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Geoplano triangular Geoplano cuadrado Geoplano circular

21


1. Traza con ligas en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. (5 min)

Recorridos sobre un geoplano

2. La figura muestra un geoplano de tamaño 5 x 5 con un camino que va de esquina a esquina desde A hasta B y que visita una y sólo una vez cada nudo de la cuadrícula (no se permiten caminos en diagonal) (10 min).

3. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes formar sobre un geoplano? _________

• Forma en el geoplano todos los triángulos distintos posibles y dibújalos a continuación (10 min):

a) Estudia qué otros recorridos de mismo tipo puedes encontrar.

b) ¿Hay algún camino simétrico al anterior?

__________________________________

c) ¿Cómo son entre sí las longitudes de estos caminos? _______________________

22

• ¿Podrás formar un triángulo equilátero en el geoplano? ________________

• Utiliza el geoplano para justificar tu respuesta.

4. Construir al menos 3 triángulos rectángulos diferentes al dado y obtener su área (5 min):

5. Une cuatro puntos con una liga y forma en el geoplano todos los cuadriláteros que se puedan construir en él (15 min):

23

• Escribe el nombre de cada cuadrilátero que formaste y clasifícalos a partir del paralelismo entre sus lados:

7. Ahora forma todos los cuadrados posibles que puedan formarse en el geoplano. ¿Cuántos cuadrados distintos encontraste? ___________


8. Compara tus respuestas con tus compañeros

9. Construir en el geoplano las siguientes figuras, escribe su nombre y obtén su área.

10. Traza dos figuras que no sean comunes y pídele a un compañero que obtenga el área de ellas (10 min):

CUADRILÁTEROS CON LADOS PARALELOS

CUADRILÁTEROS SIN LADOS PARALELOS

24


Construir una figura cualquiera y obtener su área. Registrar en hoja lo de puntos. Por ejemplo:

25


El uso del geoplano dentro del salón de clases es una herramienta poderosa que permite tratar de manera concreta distintos temas de la geometría, se recomienda al profesor que al iniciar la actividad se estimule a los estudiantes a formar con las ligas, distintas figuras en el geoplano, después poco a poco lo llevará hacia la realización de la actividad propuesta en esta ficha de trabajo.








26

4. EL CALCULISTA


• Que los alumnos realicen un uso adecuado e inteligente de la calculadora aritmética. Deben además estimar, calcular, generalizar y predecir resultados a partir de la observación de patrones numéricos que pueden obtenerse con la calculadora.

• Que os alumnos utilicen la calculadora para generalizar y estimar resultados al

resolver problemas.


Para la realización de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual, a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y confrontar después las estrategias utilizadas. Posteriormente los alumnos deberán organizarse en equipos de 2 elementos a fin de confrontar sus resultados.


Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo una introducción al uso del teclado de la calculadora para encontrar algunas regularidades: (5 min)

Resta a cada número el que se encuentra debajo de él, también puedes hacerlo por parejas o tercias. Observa el resultado:

Intenta hacerlo pero ahora en forma vertical.

Descubre otras regularidades y compártelas con tus compañeros.

27

Secuencia de actividades 1. Teclea en la calculadora las siguientes secuencias y escribe a un lado el resultado.

(10 min)

__________________

• ¿Qué resultado aparecerá en la calculadora después de oprimir 11 veces la tecla

igual?____

• ¿Cuántas veces debes oprimir la tecla igual para que aparezca el número 124?__

• Con referencia a la actividad anterior, completa la siguiente tabla.

N° de veces que oprime la tecla =

6 45 7.5

2

5 30 37.5

7 315

12

15

2. Teclea en tu calculadora la secuencia siguiente y escribe el resultado a la derecha (5 min).

_________________

__________________

• Al oprimir la tecla “=” ¿Qué operación estás realizando en la calculadora? _______

3. Con base en la actividad anterior, realiza las siguientes operaciones: (5 min)

• 41 =___________

• 42 =___________

• 43 =___________

• 44 =

4

4 =

+

= +

4 = = + =

=

3 X =

3 = = X

3 = = = X

28

• 21 =___________

• 22 =___________

• 23 =___________

• 24 =___________

• 25 =___________

4. Con el uso de tu calculadora resuelve las operaciones siguientes y observa con

atención los resultados obtenidos. (5 min)

a) 22 - 12 = ________

b) 32 - 22 = ________

c) 42 - 32 = ________

d) 52 - 42 = ________

e) 62 - 52 = ________

• Explica brevemente cómo hacer para obtener el resultado sin utilizar la calculadora: ________________________________________________________ ¿Cuál es el resultado de 502 – 492 = ______________

5. Calcula mentalmente las siguientes operaciones.

72 - 62 = __________

512 - 502 = __________

1002 - 992 = __________

• ¿Qué observas en éstas operaciones? Explica: ________________________

______________________________________________________________

6. Empleando la calculadora realiza los siguientes cálculos, observa con atención el

resultado. ¿Qué sucede con la cifra que corresponde a las unidades? __________ ¿Y

con las decenas? ___________

• 51 =____ 52=____ 53=_____ 54=______ 55=_______ 56=_______ 57=________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 5100 _______________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 5100 ________________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las centenas de 5100 _______________

• 71 =____72=____73=_____74=______ 75=_______ 76=_______ 77=________

29

Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 7100 _______________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 7100 ________________

• Explica brevemente como hiciste para encontrar las respuestas de los

ejercicios anteriores. ______________________________________________

__________________________________________________________________

7. Observa lo que sucede al realizar las siguientes multiplicaciones, ¿podrás resolver

toda la actividad haciendo los cálculos mentalmente, utilizando la calculadora sólo

para las tres primeras operaciones? _______

11 x 11 = _____________________________

11 x 111= _____________________________

11 x 1111= _____________________________

11 x 11111= _____________________________

11 x 111111= _____________________________

11x 1111111= _____________________________

11 x 11111111= _____________________________

11 x 111111111= _____________________________

Puesta en común de los productos 8. ¡Con la calculadora al revés!

Con tus compañeros, resuelve las siguientes operaciones y encuentra el mensaje al

voltear la calculadora:

• En 1492 Cristóbal Colón descubrió América, él viajaba con (1) contramaestre, al salir del puerto de Palos en España, la Reina Isabel le regaló (x 2) botellas de vino, de las cuales les saldrían (x 17) copas, pero en medio del mar, ¿qué fue lo que les faltaba? ________________


9. Inventa ahora tú, un mensaje y compártelo con un compañero. Para ello puedes usar

las palabras OSOS, GLOBOS, BESOS, BEISBOL, OLEE, GOOL.

30


Es importante que el profesor considere la dificultad que tienen algunos alumnos para identificar regularidades y patrones numéricos, es por ello que se recomienda pedir a los estudiantes que verbalicen la forma en que resuelven los ejercicios. En los casos en los que los estudiantes no logren generalizar, se recomienda que el profesor formule preguntas que ayuden a descubrir el patrón. Las preguntas pueden ser, del tipo: ¿Qué observas en la cifra de las unidades?, ¿Qué pasaría si cambiamos este número por otro? ¿Podrías resolver un ejercicio similar sin utilizar calculadora?, etcétera.








31

5. CARRERA DE CABALLOS


• Que los alumnos convivan en un ambiente de competencia en situaciones en las que interviene el azar, se pretende además que reflexionen y comparen dos o más eventos probalísticos.

• Que los alumnos comparen eventos probabilisticos a fin de distinguir que una actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer.


Comente al grupo que imaginen que van a las carreras de caballos y se convertirán en apostadores. Deberán reunirse en equipos de 6 integrantes, incluso podrían ser 12 integrantes, cada uno elige su caballo favorito al cual le seguirán la pista en un tablero.


Consideraciones previas Inicie la actividad proporcionando a cada equipo un tablero (anexo 1) y un dado. Comente que deben imaginar que están en una carrera de caballos en donde todos los caballos tienen la oportunidad de avanzar una posición cuando se lance el dado. Pregunte: ¿Qué caballo creen que llegará primero a la meta? ______________________

¿Por qué? _______________________________________________________________ Induzca a los alumnos a identificar un evento en el que interviene el azar y un evento seguro. (5 min) Secuencia de actividades 1. ¡Arrancan!

Los alumnos van a jugar una carrera de caballos. Primero elegirán libremente uno

y le asignarán un nombre.

Posteriormente iniciarán la carrera, para ello, por turnos deberán lanzar un dado y

avanzará una casilla el caballo que tenga el número de puntos que corresponda al

dado.

Gana el primero que llegue a la meta. (15 min)

32

CARRERA DE CABALLOS Después de que un jugador gane plantee las siguientes preguntas:

¿Qué caballo ganó la carrera?____________________________________________

¿Qué caballo(s) quedó (aron) en segundo lugar?_____________________________

¿Existe la posibilidad de que gané la carrera el caballo con el número 10?_________

¿Y el caballo 1? ¿Por qué?_____________________

¿Crees qué algún caballo tiene mayor posibilidad de ganar la carrera? ____________

¿Por qué?____________________________________________________________

2. La siguiente actividad es similar a la anterior pero ahora se necesitan 12 personas,

mismas que deberán utilizar el tablero que se encuentra en el anexo 1.

Explique a los alumnos que ahora lanzarán dos dados. La suma de los resultados indicará

el número de caballo que debe avanzar una posición. Gana el primero que llegue a la

meta. (15 min)

Al final analicen los resultados y respondan a las siguientes preguntas:

¿Cuál caballo no conviene elegir?

¿Por qué?_________________________________________________________

Nombre

del caballo

NÚMERO DE TIRADA

ME

TA

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

33

¿Qué caballo(s) tiene(n) mayor posibilidad de ganar la carrera? _______________

¿Por qué?_________________________________________________________

¿Existe la posibilidad de que el caballo con el número 12 gane la carrera?_______

¿Por qué?_________________________________________________________

¿Cuántas veces lanzaron los dados?_______________________


3. Posteriormente, por turno los equipos lanzarán dos dados. Pida que sumen los puntos de los dados y completen la siguiente tabla: (20 min)

Después de lanzar los dos dados responda las siguientes preguntas:

¿Cuál suma es más probable que caiga?_______________

¿Cuál suma es menos probable que caiga? _______________

¿Cuáles número (s) nunca caerá (n)?_________________


Primer dado

Segu

ndo

dado

+ 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

34

4. Para concluir pida que realicen piensen en el lanzamiento de dos dados y contesten

las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es más probable que en los dos dados caigan en número par o impar? b) ¿Qué es más probable que la suma de sus caras sea 10 o que en ambas caras

aparezca el mismo número? Expliquen su respuesta. (5 min).


Debe prever el tiempo suficiente para analizar todas las respuestas y detenerse en las que haya diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos. Respecto a las reglas del juego, si juegan tres o cuatro jugadores en la versión de la suma, se encontrarán que muchas veces sale un valor de la suma correspondiente a un caballo que no ha elegido nadie, por lo que bastantes tiradas no servirán para que avance ninguno de los caballos seleccionados. Una forma de solucionar lo anterior es que en ese caso cada jugador elija dos caballos distintos, con lo cual al participar seis u ocho caballos la partida es más dinámica. El orden en que se recomienda plantear este juego en clase es:

Primero utilizar la suma; cuando ya han jugado varias veces entonces se podrá plantear el caso que se resuelve con una resta. Una vez acabado los dos lo más importante es hacer el estudio matemático de por qué un caballo u otro avanza más rápido. Este análisis es fácil de hacer por los alumnos pues sólo tienen que construir dos tablas de valores con los posibles resultados, tanto para la suma como para la resta.

Al hacer el estudio anterior se puede observar que el 7 tiene ventaja (se puede aprovechar para hacer ver la razón por la que en las películas de casinos, quienes lanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma. Sin embargo los resultados previstos teóricamente se pueden ver alterados por el azar. Por ello cuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el caballo con dorsal 6 u 8 o incluso más alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la diferencia, aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el siguiente (que es el 2), es más raro que no gane el caballo 1.

Invite a los alumnos a predecir que caballo ganaría la carrera si al lanzar el dado avanza una posición el caballo que tenga dicho número. Proponga que jueguen algunas partidas y comprueben si es acertada o creen que deben modificarla, sugiera un registro de los lugares que ocupo cada caballo y las casillas en donde quedaron.

35

Anexo 1 Tablero para la carrera de caballos

36

6. EL CUBO LOCO


• Que los alumnos calculen el volumen de cuerpos geométricos y además visualicen, comprendan y deduzcan que una misma área puede contener distintos volúmenes.

• Que los alumnos demuestran mediante un arreglo manipulable de cubos que una

misma área puede contener volúmenes distintos.


Se recomienda construir el material en equipos de dos personas para que los alumnos trabajen de manera colaborativa a fin de que puedan pegar y armar eficientemente un arreglo de cubos, el cual servirá como material para el desarrollo de la actividad.


Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las características geométricas de un cubo, para ello pueden hacerse la siguiente actividad: (5 min)

• Recuerda cuáles son los elementos de un cuerpo geométrico:

• Escriba el número de elementos que tienen los siguientes cuerpos geométricos:

37


¡Manos a la obra¡

1. Para hacer el cubo loco necesitamos 8 cubos del mismo tamaño, deben ser rígidos y de preferencia que tengan una arista igual o mayor que 10cm. Si no tenemos los cubos, construyámoslos en la cartulina, para hacerlo puedes utilizar la siguiente plantilla:

• Es importante que nuestro cubo tenga al final una “pestaña en una arista”

Caras ______________

Vértices ____________

Aristas _____________

Caras ______________

Vértices ____________

Aristas _____________

Caras ______________

Vértices ____________

Aristas _____________

Pestaña

38

2. Para construir nuestro “cubo loco” debemos seguir los siguientes pasos:

A. Debemos tener 8 cubos, los cuales pegaremos de 2 en 2 como se muestra en la imagen, observa que deben la pestaña servirá para que tengan movilidad como si fuera una bisagra:

B. Posteriormente debemos pegarlos de tal forma que queda dos tiras de 4 cubos, cada una como se muestra en la figura (Observa cómo se unen a partir de las pestañas):

C. Finalmente deben unirse los dos bloques de 4 cubos de la forma siguiente (Recuerde que en todos los casos las pestañas deben permitir la movilidad entre los cubos)

Esta parte es movible

39


3. Por fin tenemos nuestro cubo loco, manipúlalo y observa los cuerpos geométricos que

puedes formar. Podrás observar que al menos se forman 3 distintos. Comparte tus

resultados con tus compañeros.Obtén el volumen y el área total de cada uno y

dibújalos a continuación.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Área total _____________ Volumen _____________



40


4. Después de manipular el cubo loco y de obtener el área total y volumen de los

cuerpos geométricos que se pueden formar a partir de él, responde las siguientes

preguntas:

• ¿Cómo son entre si el volumen de los cuerpos geométricos que formaste en la

actividad anterior? __________________________

• ¿Cómo es entre sí el área total de los 3 c uerpos? ____________________

• A partir de lo anterior escribe una conclusión a la que puedas llegar: ______

___________________________________________________________

___________________________________________________________


El trabajo con material concreto en temas de geometría favorece el desarrollo de habilidades tales como la imaginación espacial. El cubo loco puede convertirse en una herramienta poderosa para lograr que el alumno pueda darse cuenta que una misma área puede contener distintos volúmenes.

Para la realización del cubo loco, se recomienda que el docente lo haga paso a paso, debe cuidarse que los alumnos peguen correctamente las piezas, se recomienda además hacer el trabajo por equipos de 2 personas para que los alumnos construyan el cubo loco en dos ocasiones y puedan así interiorizar la construcción del mismo.








41

7. VASOS Y CORCHOLATAS


• Que los alumnos reflexionen y distingan diversas situaciones de azar en eventos que son independientes.

• Que los alumnos distingan diversas situaciones de azar en eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.


Para la realización de esta actividad se sugiere trabajar en grupo para explorar los conocimientos de los alumnos respecto a la organización de información, específicamente el uso de tablas, graficas, espacio muestral, punto muestral y azar. Después organice a los alumnos en equipos de 2 o 3 elementos, dependiendo de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad.


Consideraciones previas Individualmente determinen todas las posibilidades que resultan al lanzar una moneda, dibújenlas, al terminar contesten las siguientes preguntas: (10 min)

c) ¿Qué es más probable que caiga sol o águila?________________________

d) ¿Por qué?____________________________ Indique que van a realizar el experimento para comprobar su predicción, para ello solicite que un alumno lleve el registro en el pizarrón de la frecuencia con la que cae sol o águila, y otro alumno lance 10 veces la moneda. ¿Qué cayó más veces sol o águila?___________________-

Guíe a los alumnos a deducir que al lanzar la moneda sol y águila tienen la misma posibilidad de salir, porque se trata de un evento equiprobable.

Todos los posibles eventos que resultan de un experimento aleatorio reciben el nombre de “espacio

t l”

42

Secuencia de actividades 4. Proporcione una bolsa de igual tamaño a cada equipo, pida que coloquen la cartulina

en una superficie rígida y en la bolsa las 20 corcholatas. Plantee la siguiente situación:

“Imaginen que dejo caer las corcholatas ¿Cómo creen que caerían las corcholatas: boca arriba, de lado o boca abajo?”

Pida que en cada equipo realicen el experimento; que dejen caer las corcholatas contenidas en la bosa sobre la cartulina y elaboren una tabla de registro como la que se muestra:

Apoyándose de los resultados de la tabla anterior, invite a cada equipo a predecir lo que pasaría si sólo usaran 10 corcholatas. Pida que comenten en su equipo y después que un representante pase a realizar el experimento de colocar 10 corcholatas en el vaso y dejarlas caer para verificar. (15 min) 5. A cada equipo entregue un vaso de diferente tamaño. Pida que lo lancen al aire 20

veces y registren en una tabla las posiciones en que cae. (5 min)

Puesta en común de los productos 6. Después elaboren una gráfica de barras para representar la información de la tabla.

Cuando terminen, comparen las gráficas de cada equipo, los vasos que usaron y analicen los resultados con base a las siguientes preguntas: ¿A qué equipo le cayó más veces el vaso parado?________________ ¿A cuál le cayó más veces de cabeza? _______________________ ¿A cuál le cayó más veces boca arriba? ______________________ ¿Qué es más probable que caiga; el vaso de lado, de cabeza o boca arriba? _______________________ Justifica tu respuesta (10 min)

Posición Número de tachuelas

Boca arriba Boca abajo De lado Total

Posición Vaso Parado De cabeza De lado Total

43


7. Escribe 5 ejemplos de experimentos en donde intervenga el azar y explica tus respuestas. (5 min)


Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad ayude a los alumnos a entender las reglas del juego, anticipar resultados, pues se pretende introducir a los alumnos en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y otras en las cuales no e posible saberlo. Esto sin precisar que en algunos casos el saber puede deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está, precisamente, en situaciones de azar, para ello se sugiere realizar otros experimentos azarosos como: lanzar monedas, dados, las carrera de caballos, etc. Asimismo, conviene que el profesor en todo momento:



Genere la confianza del alumno.

Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.


44

¿Cuántos cubos faltan para

completar tres pisos? ______

¿Cuántas caras son visibles? ______________

¿Cuántas caras no pueden ser vistas desde esta

perspectiva? _____________________

¿Cuántos vértices no pueden ser vistos desde esta

perspectiva? _____________________

8. PINTANDO CUBOS


• Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos geométricos para los elementos no visibles.

• Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar

con éxito distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte (Generalización) es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

La parte final de la actividad es de suma importancia hacer la confrontación de resultados y la socialización de manera grupal.


Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las habilidades que tienen los alumnos respecto a la imaginación espacial, para ello se recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min)

• El siguiente arreglo fue hecho con tres cubos, a partir de esta vista determina:

• Observa el siguiente arreglo de cubos:

45

¿Cuántos cubos faltan para

completar tres pisos? ______

Puesta en común de los productos A continuación se presentan algunos arreglos con cubos, obsérvalos con atención y responde las preguntas que se presentan (20 min):

Figura 1

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR

¿Con cuántos cubos se formó

ésta en la figura?

Al pintar los cubos sin ser separados

¿Cuántos cubos quedarán pintados de…?

a) Una cara ________

b) Dos caras ________

c) Tres caras ________

d) Sin pintar ________

46


Llena la tabla con base en la información anterior si consideramos que las siguientes

figuras conservan el mismo patrón. (10 min)

Número de

figura Cubos con 1 cara pintada

Cubos con 2 caras

pintadas

Cubos con 3 caras

pintadas

Cubos sin pintar

Total de cubos

1

2

3

5

10

. . .

n

¿Con cuántos cubos se formó

ésta en la figura? ________

Al pintar los cubos sin ser separados

¿Cuántos cubos quedarán pintados de…?

i) Una cara ________

j) Dos caras ________

k) Tres caras ________

l) Sin pintar ________

Figura 3

47


Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad.

Al final es recomendable llegar a la generalización para ello debe retomarse la fórmula del producto notable de un binomio al cubo.








48

9. DIBUJANDO CUBOS


• Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos geométricos para los elementos no visibles.

• Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar

con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

Dependiendo el número de alumnos y del material disponible se recomienda dar 10 cubos por equipo, mismos que pueden estar formados por 2, 3 o 4 integrantes.


Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo recordatorio de la actividad anterior, para ello se recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min)

1. El siguiente arreglo fue hecho con cubos, a partir de esta vista determina:

¿Cuántos cubos tiene? ______ ¿Cuántos cubos tienen una cara pintada? ______ ¿Cuántos tienen dos caras pintadas? ______ ¿Cuántos tienen tres caras pintadas? _____ Puesta en común de los productos 2. En equipos utilicen los cubos y las siguientes perspectivas para formar las

construcciones correspondientes. Antes de hacerlas traten de predecir cuántos cubos serán necesarios para la construcción. Al final dibújenlas en la retícula para perspectiva, pueden utilizar la que se incluye en el anexo 1: (20 min)

52

Cierre de la sesión 3. A continuación se muestra una retícula con perspectiva y algunas construcciones,

imagina que las construcciones se “acuestan” en la dirección que indica la flecha. Dibuja como queda al final la construcción como se muestra en el caso a) (15 min):

53


Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso y como en la ficha anterior, se recomienda que el profesor considere la

54

posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad.








55

ANEXO 1

56

10. CUÁDRATE CON LOS TRIÁNGULOS


• Que los alumnos comprueben geométricamente la validez del Teorema de Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama.


Para la realización de esta actividad se sugiere que cada alumno tenga un tangrama y el docente retome la actividad de la sesión 3 (el tangrama).

Después los alumnos deberán organizarse en equipos de 3 o 4 personas para iniciar la actividad.


Consideraciones previas Para iniciar, retome los conocimientos referentes al área de cada pieza del tangrama utilizado en la sesión 3. Después explore la noción de semejanza y congruencia de triángulos mediante una lluvia de ideas, puede usar las siguientes preguntas: (10 min)

Guíe a los alumnos a deducir la diferencia entre semejanza y congruencia, así como los elementos y características del triángulo rectángulo isósceles (catetos, hipotenusa, ángulo recto).

a. ¿Cuánto miden los lados del triángulo 1? b. ¿Cuánto miden los lados del triángulo 2? c. ¿Cómo son entres sí las medidas de los lados del

triángulo 1 y 2? d. Menciona otra característica que tengan en común

los triángulos 1 y 2 e. ¿Qué tienen en común el triángulo 5 y 7? f. ¿Qué tienen en común los triángulos 1 y 5? g. ¿Qué tienen en común los triángulos 1, 3 y 5? h. ¿Qué diferencias encuentras entre los triángulos 1, 3

y 5?

57


1. Pedir a los alumnos que clasifiquen los distintos triángulos y que los dibujen en los

siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10) min) Cuando dos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, sus ángulos y área, se dice que son congruentes. Cuando dos triángulos son semejantes entre sí, tienen la misma medida en sus ángulos interiores correspondientes y la medida de sus lados son proporcionales entre sí pero sus áreas son distintas. Al terminar de dibujar las parejas de triángulos congruentes y semejantes deberán comparar sus resultados con sus compañeros a fin de validar sus respuestas. Posterior a ello deberán completar las siguientes definiciones: • Dos triángulos son congruentes entre sí cuando:

__________________________________________________________________

• Dos triángulos son semejantes entre sí cuando:

__________________________________________________________________

• Los triángulos rectángulos isósceles se caracterizan por:

__________________________________________________________________

2. Pida a los alumnos que trabajen en equipos de cuatro integrantes, junten sus tangramas y realicen lo siguiente: (15 min)

Como actividades previas se sugiere además realizar las siguientes:

Triángulos que tengan diferente área y diferente medida en sus lados, pero la

misma medida en sus ángulos

Triángulos que tengan la misma área y la misma medida en sus lados y ángulos.

Pedir a los alumnos que identifiquen por su nombre a los lados de un triángulo rectángulo isósceles, de tal forma que:

Respecto al área total del tangrama determina la fracción que representan los triángulos:

58

HIPOTENUSA

CATETO

CATETO

Tomen el triángulo que tiene un área de colóquenlo sobre una superficie firme y seleccionen dos triángulos con los que se pueda construir un cuadrado sobre el lado hipotenusa:

116

______ del área total ______ del área total

______ del área total

59

Con las piezas sobrantes arma un cuadrado sobre cada uno de los lados iguales del triángulo (catetos).

18

18

116

Coloca aquí las piezas

que formen este

cuadrado

Coloca aquí las piezas

que formen este

cuadrado

Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Qué piezas del tangrama utilizaste en la actividad anterior?

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) ¿Cuál es el área de cada pieza?___________________________________________

_____________________________________________________________________

c) ¿Cuál es el área total de las figuras utilizadas para formar uno de los catetos ?______

d) Suma el área de los cuadrado construidos sobre los catetos ¿Qué resultado

obtuviste?

_______________________________________

e) ¿Cómo son entres sí las áreas de la suma de los cuadrados formados en los catetos,

respecto al cuadrado formado en la hipotenusa? _____________________________

Pon aquí las piezas que formen este

cuadrado

Pon aquí las piezas

que formen este cuadrado 8

1

Pon aquí la

s

piezas

que form

en

este

cuad

rado

A

B

C

60

3. Solicite a los alumnos que ahora coloquen como base el triángulo de área , proponga que sobre los catetos e hipotenusa construyan un cuadrado, de tal forma que al sumar las áreas de los cuadrados pequeños (catetos) obtengan el área del cuadrado mayor (hipotenusa). (15 min)

a) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en la hipotenusa?__________

b) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en uno de los catetos?__________

c) Al sumar el área de los cuadrados que se forman en los catetos, ¿qué resultado

obtienes?______

d) Justifica tu respuesta. Puesta en común de los productos En grupo, propicie un momento de argumentación fundamentado en las equivalencias entre las áreas de las diferentes piezas. Para ello, el docente debe permitir que el alumno compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las operaciones con fracciones o empalmando las piezas sobre el cuadrado mayor. También puede pedir que realicen la actividad anterior para el triángulo faltante. Cierre de la sesión Propicie que el alumno genere una conclusión respecto a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo y él para de la hipotenusa.


Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo y acomodo de las piezas, por lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarán los términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área. Con la manipulación de los diferentes triángulos como base se pretende que relacionen las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo, para que concluyan que “en todo triángulo rectángulo el área de los dos cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa”. Incluso puede llegarse, si el profesor lo considera pertinente, a que construyan la expresión algebraica que representa esta relación. Por otro lado, es importante que el profesor en todo momento:

Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

61

11. EL MOSAIQUERO


• Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.


Es importante que organice a los alumnos desde una sesión anterior, para que lleven -de manera individual- iluminados y recortados los polígonos que contienen las fotostáticas. Para la sesión debe organizar al grupo en equipos de cinco integrantes.


Consideraciones previas

Inicie la sesión planteando la pregunta: ¿Alguien ha oído hablar de M. C. Escher? después de escuchar las respuestas de los alumnos narré la historia de Escher:

“Maurits Cornelius Escher nació en 1898 en Leeuwarden (Países Bajos) y fue un famoso artista a quien le gustaba cambiar la percepción de la realidad. Fue el pionero en incorporar figuras como reptiles, aves, peces y otros, en las configuraciones de mosaicos, no era matemático pero destaco por la composición geométrica de sus mosaicos, y que una manera de lograr cubrir el plano consiste en usar diversos polígonos regulares que dan una composición llamada teselación”.

Indiqué a los alumnos qué hablarán de las configuraciones de mosaicos y crearán un mosaico con su propio diseño usando algunos polígonos. Para ello, retome los elementos vistos en la sesión “el cubopol” respecto a la clasificación de polígonos y sus características (lados, ángulos, vértices). (10 min)


1. Muestre uno de los teselados de Escher (anexo1 )Organizados en equipos, explique que van a cubrir ese mosaico y cuestione (20 min): a. ¿Cuáles de los polígonos regulares que taren pueden usar para cubrir el plano,

sin que se traslapen las figuras, que no queden huecos y tengan en común sólo lados o vértices?_________________

b. Utilicen un mismo polígono para cubrir cada uno de los siguientes planos:

62

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano? ¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano? ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano? ¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a

qué creen que se deba?

2. Proponga que tracen un triángulo equilátero, y señalen uno de sus ángulos:

60°

A

¿Qué medida tiene cada ángulo del triángulo?____________________ Construye triángulos que coincidan con el vértice A

a. ¿Cuántos triángulos coinciden con el vértice A? ________________ b. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice? _______________ c. Existe alguna relación entre la medida de los ángulos y cubrir el plano? ¿por

qué? Es importante que después de la actividad todos los alumnos lleguen a la conclusión de que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexágonos regulares y triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360. (10 min)

63

Puesta en común de los productos 3. Sugiera que por equipos intenten empalmar cuadrados y triángulos de tal manera que

cubran la superficie de la cartulina completamente, sin dejar huecos y sin encimarlos y cuestione:

a) ¿Puedes crear un diseño que se repita?________________ b) Intenta cubrir la superficie con triángulos y hexágonos. ¿Existe más de una

posibilidad?______________________ Cierre de la sesión 4. Para finalizar, solicite que lo expongan ante el grupo. (10 min).


Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por Escher). También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con diversas figuras geométricas para mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión. Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientos de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc. Para la primera actividad se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc. Puede proponer al alumno que realice la actividad 2, pero con el cuadrado, pentágono y hexágono. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:




Valore los esfuerzos y logros alcanzados cuando los alumnos muestren sus

mosaicos.

64

Anexo1

Teselados de Escher

66

Anexo 2

67

12. CUADRADOS, CUADRITOS Y MAGIA


• Que los alumnos encuentren patrones aritméticos y expresiones algebraicas a partir de construcciones geométricas.

• Que los alumnos construyan el conjunto de Cantor a fin generar patrones y

determinar la expresión general para el enésimo término de una sucesión numérica y figurativa.


Para la realización de esta actividad cada alumno debe tener una hoja blanca, en la primera fase de la sesión los alumnos deberán trabajar de forma individual y en la segunda fase organizarse en equipos de 3 o 4 personas. (5 min)


Consideraciones previas Pida a los alumnos que con la hoja obtengan un cuadrado de la mayor área posible e indique que ese cuadrado tiene de área una unidad. Presente una breve narración de la versión del conjunto de Cantor mostrando cada una de sus etapas de evolución enfatice en que cada vez que se realice una transformación se hablará de una etapa. (5 min)


1. Considera que el siguiente cuadrado tiene área igual a una unidad (A = 1) y coloca los datos que se te piden (5 min)

Etapa 0 No de cuadrados _________ Área _______

2. Divide el cuadrado en cuatro cuadrantes iguales, después ilumina el cuadrado superior derecho:

El cuadrado inicial tenía de área una unidad y no había ninguna división. ¿En cuántas partes se ha dividido el cuadrado en esta primera etapa?____________

¿Cuántas de esas partes no están iluminadas?___________

¿Qué parte del cuadrado quedó sin iluminar?______________

68

Puede sugerir a los alumnos el uso de la regla para realizar las divisiones o bien el doblado e papel. Durante la obtención de la parte que queda sin iluminar explore las

respuestas de los alumnos y cerciórese que estén convencidos que el área es (10

min).

3. Para realizar la segunda etapa, deberás dividir los cuadros restantes en cuatro cuadrados iguales, después debes iluminar los cuadrantes equivalentes al primero que coloreaste:

.

Se sugiere que el docente enfatice en que cada etapa se refiere a una iteración; así mismo proponga que realicen una nueva etapa (tercera), guíe al alumno al uso de las fracciones para representar la región sin iluminar.

Para la tercera etapa

a. Para la tercera etapa (iteración) debes repetir los pasos anteriores; divide los cuadrados restantes en cuatro partes. Ilumina los cuadrantes equivalentes al primero que coloreaste (10 min):

En esta segunda etapa ¿cuántas de partes del cuadrado no están iluminadas?___________

¿Qué parte del cuadrado quedó sin iluminar?______________

Explica brevemente tu respuesta.

_______________________________________

_______________________________________

Etapa 3 No de cuadrados en total_________

Número de cuadros sin iluminar_________

Área de la región sin iluminar_______

69

Puesta en común de los productos 4. Reunidos en equipo completen la siguiente tabla con base en la información obtenida

en las etapas anteriores:

Etapa

Área Fracciones Decimales

1

1.0

2

3

4

5

6

7

10

…

n

70


Debe promover la validación de estrategias de solución enfatizando que al realizar todo correctamente se obtiene la siguiente sucesión de áreas (10 min):

25681

4

6427

3

169

2

43

1

11

0

=

=

=

=

=

E

E

E

E

E

En la séptima iteración ¿cuál será la fracción que representa el área sin iluminar? ____

_____________________________________________________________________

Explica brevemente cómo hacer para obtener el área que representa la etapa diez.

¿Qué observas en esta sucesión , , , …?

Promueva que expresen como potencias el área de las regiones sin iluminar (10 min):

¿Existe alguna operación con la que puedas expresar , , , …? ________

Escríbela_________________

La sucesión anterior puede ser representada mediante potencias; observa la información, resuelve las potencias y escribe los resultados

_________43E 0

0

0 ==

71

_________43E 1

1

1 ==

_________43E 2

2

2 ==

_________43E 3

3

3 ==

_________43A 4

4

4 ==

Expresa como potencias:

=

=

=

100

25

10

A

A

A

Escribe una expresión para encontrar el área de la región sin iluminar para cualquier etapa. ¿Qué le pasa el área de la región sin iluminar después de la iteración 1000?


Es probable que los alumnos tengan dificultades con las divisiones de los cuadrados. Guíelos de tal manera que siempre iluminen el mismo cuadrante que al inicio. También es importante propiciar un momento justificación de procedimientos así como el manejo de la expresión general. Para ello, el docente debe permitir que el alumno compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las iteraciones en el cuadrado y las operaciones por conteo o potencias. Asimismo, cuestione a los alumnos a cerca de las áreas conforme se realizan las iteraciones. Además, no olvide que en todo momento debe:

Animar a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.

Favorecer la cooperación y el respeto mutuo.

Generar la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.

Valorar los esfuerzos y logros alcanzados

72

13. FIGURAS QUE CRECEN


• Que los alumnos encuentren una expresión general que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.

• Que los alumnos determinen una expresión general para definir el enésimo

término en sucesiones numéricas y figurativas.


Para la realización de esta actividad organice equipos de 3 alumnos y proporcione un geoplano a cada equipo.



4. Comente a los alumnos que construirán varios polígonos, retome los conocimientos correspondientes a perímetro y área. Indique que llamarán puntos en la frontera a los que forman el perímetro. Proponga que en el geoplano formen los siguientes rectángulos y contesten lo que se pide:

a. ¿Cuántos puntos tiene la primera figura en la frontera?______________

b. ¿Cuántos puntos tiene la segunda figura? ________________

73

c. ¿Cuántos puntos hay en la tercera figura?_______________

d. Si continuamos trazando las figuras en el geoplano; ¿cuántos puntos tendrá la figura 5? __________________Explica tu respuesta.

e. ¿Cuántos puntos tendrá en su frontera la figura 20? __________

5. Explore y confronte las estrategia que usaron los alumnos para recocer la regularidad y obtener los resultados, prueben la validez del procedimiento a induzca a la obtención de una regla general. (10 min)

3. Indique a los alumnos que ahora van a trabajar con triángulos como los que se muestran a continuación:

a) Contesta lo que se pide:

¿Cuántos puntos tiene en la frontera la primera figura?______________ ¿Cuántos puntos tiene la segunda figura? ________________ ¿Cuántos puntos hay en la tercera figura?_______________ Si continuamos trazando las figuras ¿cuántos puntos tendrá la figura 7? ______Explica tu respuesta.

74

Completa la siguiente tabla:

No de Figura Clavos en la frontera Clavos en el interior

1 6 0 2 9 3 12 4 5 10 6 21

7 24

……

10

……

30

……

110000

……

NN

Explica cómo obtuviste tus resultados: Observa que en la segunda columna obtienes una sucesión determinada por 6, 9, 12, 15, 18,… ¿Cuánto va saltando cada vez los números de la lista?_____________ Escribe una expresión general para cualquier figura. Comprueba tu respuesta. (25 min) Puesta en común de los productos

4. Verifique que todos los alumnos completaron la tabla, confronte las estrategias de los alumnos y sugiera algunas opciones para identificar el patrón y generalizar en términos de n, (diferencias finitas). (10 min)

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Cierre de la sesión 5. Para concluir sugiera a los alumnos que encuentren una expresión general para la sucesión generada en la tercera columna y comprueben la validez de la expresión general para las primeras cinco figuras. (5 min)

a. Utiliza la lista de resultados obtenidos en la tercera columna y escribe los

primeros cinco términos de la sucesión: ______, ________, _______, ________, ______ b. ¿Existe una expresión general para esta sucesión? Compruébalo.


En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar los términos de la sucesión que se pide. Sin embargo, en de los triángulos, específicamente en la tercera columna tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerir que encuentren la relación que existe entre el número de la posición de la figura y el número de puntos, el crecimiento de los lados del triángulo. Asimismo, es necesario que:

Promueva el uso del lenguaje coloquial para las expresiones y guíe, de tal manera que los alumnos relacionen con el lenguaje matemático.

Durante en trabajo con los alumnos anime a los alumnos a expresar sus opiniones

y dudas.

Favorezca la cooperación y respeto.

Utilice los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje.

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14. EL TANGRAMA


• Que los alumnos utilicen material concreto para representar, identificar, operar y modelar repartos y operaciones con números fraccionarios.

• Que los alumnos desarrollen la habilidad de estimar resultados al resolver

problemas que impliquen sumar o restar fracciones con distinto denominador.

• Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta que impliquen el uso de números fraccionarios mediante el uso de material concreto.


Para la realización de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual, a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y poder confrontar después las estrategias utilizadas.

Posteriormente los alumnos deberán organizarse en equipos de 2, 3 o 4 personas, lo cual dependerá de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad.


Consideraciones previas El problema que los estudiantes tienen con la comprensión de las fracciones se debe, entre otras cosas, a la pobreza de significados a los que son enfrentados durante el estudio de este tema durante la educación básica.

A manera de exploración iniciaremos con un sencillo cuestionario, esto es con la intención de ver las concepciones que tienen respecto al tema de las fracciones antes de trabajar con esta ficha de trabajo. (Tiempo 10 min)

LAS FRACCIONES

Nombre: ____________________________________________________________

1. Escribe brevemente, ¿qué entiendes por fracción? ____________________________

________________________________________________________________________

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2. Representa de cuatro formas distintas la fracción un cuarto.

3. De la palabra “MÉXICO”. ¿Qué fracción representan las vocales?

_________________________________________________________________

4. De tu nombre, ¿Qué fracción son vocales? ______________________________

5. Divide cada figura según se indica

En cuartos En octavos En séptimos

6. Dado el conjunto

Secuencia de actividades 1. El tangrama es un juguete chino inventado hace muchos siglos, consta de 7 piezas las

cuales guardan proporciones entre sus lados, es un material de fácil acceso, sin embargo se recomienda construir uno utilizando para ello una hoja blanca tamaño carta.

¿En qué proporción se encuentran las bolitas

negras?__________________

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A continuación se muestra paso a paso, la forma en que debe cortarse la hoja para formar el tangrama. (10 min)

2. Por fin tenemos nuestro tangrama, utilicémoslo para hacer la siguiente actividad. (10 min)

Utilizando dos piezas del tangrama forma un cuadrado.

Forma otro cuadrado con tres piezas.

Ahora forma otro cuadrado pero con cuatro piezas

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¿Podrás hacer un cuadrado utilizando cinco piezas? ¡Tú puedes inténtalo!

Utilizando las 7 piezas forma las siguientes figuras


3. En equipo, utilicen el tangrama para contestar las siguientes preguntas: (5 min)

• ¿Qué fracción del entero representa el triángulo 1?_______________

• ¿Qué fracción del entero representan juntos los triángulos 1 y 2? _____________

• ¿Qué fracción del entero representa el triángulo 3?______________

• ¿Qué fracción del entero representa el triángulo 5?______________

• ¿Qué fracción del entero representa el cuadrado? ____________________

• ¿Qué fracción del entero representan juntos el paralelogramo y el cuadrado?_____

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LAS FRACCIONES

Los siguientes cuadrados, se han dividido en cuatro partes, de tal forma que sus áreas

son equivalentes entre sí.


Divide los doce cuadrados que aparecen abajo en cuatro partes iguales, de tal modo que

sean diferentes a los anteriores y que sus áreas sean equivalentes. (15 min)

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El contenido referente a las fracciones por tradición ha presentado dificultades para los alumnos, principalmente en la educación básica.

Resulta importante que el profesor considere las dificultades que tienen algunos alumnos para la comprensión de las fracciones y que muestren una actitud de apoyo y estímulo para la realización de actividades.

En la realización del tangrama se sugiere la utilización de términos formales de la matemática para ir familiarizando a los estudiantes con este lenguaje, esto debido a la oportunidad que se tiene para mostrar paso a paso y mediante material concreto algunos elementos de las figuras geométricas, por ejemplo, ejes de simetría, mediatriz, bisectriz, punto medio, figuras semejantes, figuras congruentes, etcétera.

Al trabajar con la división del entero en cuatro partes iguales, es importante dar un tiempo para la realización y exploración de la actividad, posteriormente podrán darse algunos elementos que ayuden a los estudiantes a profundizar en algunas ideas, por ejemplo:

Asimismo, es importante que el profesor en todo momento:







Un primer momento puede ser al introducir la combinación de figuras ya establecidas:

Posteriormente puede inducirse a la idea de dividir el cuadrado en 16 partes iguales y hacer combinaciones con los cuadros

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15. LABERINTOS DE DECIMALES


• Que los alumnos reflexionen y distingan algunas propiedades de los números que se escriben con punto decimal.

• Que los alumnos identifiquen las propiedades de densidad, escritura y valor posicional de los números con punto decimal.


Para la realización de esta actividad se sugiere trabajar la primera parte en forma individual, es importante comentarles que pueden utilizar la calculadora para apoyarse en la realización de las actividades propuestas.

Después de la primera actividad se recomienda que organice a los alumnos en equipos de 2 elementos y permitir la libre exploración de tareas.


Consideraciones previas Antes de iniciar con las actividades se recomienda que reflexionen a partir de las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál número es el antecesor de 1.75?

b) ¿Cuál número es mayor 5.18 o 5.6?

c) Escribe un número que vaya entre 0.25 y 0.26

d) Inventa un problema que se resuelva con la siguiente operación: 4 x 2.5 =


1. A continuación se iniciará la actividad del “laberinto”. De manera individual cada persona empieza el juego con 100 puntos. Se trata de que remarque aquel camino que considere lleva a la meta consiguiendo el mayor puntaje. Las condiciones son: no pasar dos veces por el mismo segmento ni por el mismo punto. Usa una calculadora para hacer las operaciones indicadas.

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2. Ahora, utilizando la calculadora, resuelve cada uno de los siguientes problemas:

a) Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, pero menor que 4.31

b) Encuentre un número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24, pero menor que 3.25

c) Entre cuanto hay que dividir el número 8.375 para que el resultado sea menor que 41.9, pero mayor que 41.8

3. El siguiente juego podrá jugarlo utilizando la calculadora y se pretende explorar la

propiedad de densidad y el valor posicional de los números decimales. Juego con recta numérica y calculadora:

a. Utiliza el siguiente segmento de recta para empezar con el juego:

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b. Se organiza el grupo en parejas, uno será el jugador A y el otro será el B.

c. El jugador A hace aparecer en la pantalla de la calculadora un número mayor de 100 pero menor que 200.

d. El jugador B debe hacer aparecer en la pantalla de su calculadora otro número que sea mayor que 900, pero menor que 1000.

e. Cada uno de los jugadores sitúa su número en el lugar más aproximado sobre la recta numérica.

f. El equipo A puede utilizar sólo la tecla (+) y cualquier número; el equipo B sólo utilizará la tecla (-) y cualquier número.

g. Cada jugador realizará una operación de forma alternativa comenzando por el jugador A. El primer jugador que llegue al número del otro jugador o que lo rebase, será el perdedor.

Esta situación permite poner en juego la densidad de los números decimales: siempre es posible que los números de ambos jugadores se sigan acercando sin coincidir y sin rebasarse, si se recurre a décimos, centésimos, milésimos… Aunque la calculadora tiene sus límites. Puesta en común de los productos 4. Exploración del valor posicional en los números decimales.

Actividad 2.1 Se presionan al azar las teclas de 9 cifras y entre ellas la de punto decimal haciendo aparecer un número en la pantalla, por ejemplo: 523.8917 El juego consiste en llegar a cero haciendo cada vez una operación que convierta en cero una sola cifra. Las cifras deben hacerse desaparecer en orden ascendente (1, 2, 3,…9). No debe alterarse el resto de las cifras. Se puede jugar en equipos de dos o en dos grandes equipos formados por todo el grupo. Las operaciones sucesivas deben quedar en el pizarrón si juega todo el grupo o en los cuadernos si se juega entre parejas. Por ejemplo, en este caso los pasos sucesivos pueden ser:

64 23.8917

- 0.001 = 64 523.8907 -20 = 64 503.8907 -3 = 64 500.8907 -4000 = 60 500.8907 - 500 = 60 000.8907 …

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-0.09 = 0 El juego invita a reflexionar sobre el valor posicional de las cifras, un error común en el caso anterior es que para convertir el 9 en cero, resten 9. Hacer esto implicaría restar 9 unidades en lugar de 0.09, afectando a los demás números y sin lograr convertir el 0 en 9.

Cierre de la sesión 5. Una variante del juego anterior se puede aplicar al imponer la condición de que sólo

se pueda sustraer un número cuando ocupa el lugar de las unidades, lo que obliga a hacer previamente multiplicaciones y divisiones por potencias de 10. Con esta consigna, y para el mismo número, el juego se desarrollaría de la siguiente manera:

64 523.8917 X 1000 = 64 523 891.7 - 1 = 64 523 890.7 ÷ 10 000 = 6452.38907 -2 = 6460.38907 X 10 = 64 503.8907 -3 = 64 500.8907 … -9 = 0


Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad observe a los alumnos de cerca para identificar las concepciones erróneas que tienen respecto a las propiedades de los números naturales. Es común que los alumnos trasladen las propiedades de los números naturales a los decimales, como ocurre en el caso de las fracciones, por eso es importante que el profesor esté al pendiente desde el inicio de la actividad, incluso para intervenir cuando se dé cuenta de este tipo de errores. Asimismo, conviene que el profesor en todo momento:





Miércoles Jueves Viernes08:30‐09:30 Bienvenida Grupo F Grupo D09:30‐10:30 Grupo B Grupo E10:30‐11:0011:00‐12:00 Grupo C Grupo A Grupo F12:00‐13:00 Grupo D Grupo B13:00‐14:00 Grupo E Grupo C Grupo A

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes08:30‐09:30 Grupo B Grupo E Grupo C Grupo A09:30‐10:30 Grupo C Grupo A Grupo F Grupo D Grupo B10:30‐11:0011:00‐12:00 Grupo D Grupo B Grupo E Grupo C12 00 13 00 G E G C G A G F G D

RECESO

SEMANA 2 del 19 al 23 de julio

RECESO


TALLERISTAS: MATEMÁTICAS

SECUNDARIA

ESCUELA SIEMPRE ABIERTA. VERANO 2010

12:00‐13:00 Grupo E Grupo C Grupo A Grupo F Grupo D13:00‐14:00 Grupo F Grupo D Grupo B Grupo E

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes08:30‐09:30 Grupo F Grupo D Grupo B Grupo E09:30‐10:30 Grupo E Grupo C Grupo A Grupo F10:30‐11:0011:00‐12:00 Grupo A Grupo F Grupo D Grupo B12:00‐13:00 Grupo B Grupo E Grupo C Grupo A13:00‐14:00 Grupo C Grupo A Grupo F Grupo D Grupo B

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes08:30‐09:30 Grupo C Grupo A Grupo F Grupo D Grupo B09:30‐10:30 Grupo D Grupo B Grupo E Grupo C10:30‐11:0011:00‐12:00 Grupo E Grupo C Grupo A Grupo F Grupo D12:00‐13:00 Grupo F Grupo D Grupo B13:00‐14:00 Grupo E Grupo C Grupo A

Clausura

RECESO

SEMANA 4 del 2 al 6 de agosto

RECESO


matemáticas creativas

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