matematicas cuaderno cálculo númerico
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Describe Modelo matemáticos para el cálculoTRANSCRIPT
Modelos, computadoras y analisis de error
Los metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posible
formular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizando
operaciones aritmeticas.
Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten una
caracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediosos
calculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion de
problemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimos
años.
Métodos sin computadora
Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad
creciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido de
manera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antes
de la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos para
la solución de problemas.
1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactos
y analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión
excelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las soluciones
analíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estos
incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también
aquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. En
consecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque la
mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos
complejos.
2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban soluciones
graficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicas
graficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados no
son muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de una
computadora son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las
técnicas graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando
3 dimensiones o menos.
3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de
cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectas
adecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentaban
varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuando
se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
La era antes de las computadoras La era de las computadoras
Modelo matemático y solución de problemas
El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de
cualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas por
ejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la caja
de herramientas sea la más completa.
Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver
problemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son
prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de
ingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, solo
estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y
experimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos
de sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general
puede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia el
conocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de
Formulación: leyes
fundamentales
explicadas brevemente.
Solución: métodos muy
elaborados y con
frecuencia complicados
para hacer manejable el
problema
Interpretación: análisis
profundo limitado por una
solución que consume
tiempo
Formulación: exposición
profunda de la relación
del problema con las
leyes fundamentales
Solución: método de la
computadora fácil de
usar
Interpretación: la facilidad
de calcular permite
olisticamente y desarrollo.
La intuición; es factible
estudiar la sensibilidad y
comportamiento de los
sistemas.
ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisis
teórico.
Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienen
nuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirse
otros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios que
se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un
sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones.
Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aun
más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático.
Un modelo matemático simple
Un modelo matemático se define de manera general, como una formulación o
una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de
un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa
mediante una relación funcional de la forma:
Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones de
fuerza)
Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por lo
común dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se
determina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de las
propiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influencias
externas que actúan sobre el sistema.
Programación y software
Hemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total para
predecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laborioso
y tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculos
pueden realizarse fácilmente.
Programas computacionales
Los programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones que
dirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente que
escribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de alto
nivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.
Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama de
capacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados a
una ingeniería.
Programación estructurada
En los comienzos de la computación, los programadores nos daban mucha
importancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sin
embargo ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados.
Algoritmo
Procedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que se
nos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasos
y decisiones que normas a tomar para la solución del problema característicos.
Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:
Las acciones deben definirse sin ambigüedad
Puede tener entrada.- una o varias entradas
Salida: puede tener una o varias salidas
Efectividad.- todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas para
que pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tenga
lápiz y papel.
Errores accidentales
Debido a las apreciaciones del observador y cortas causas
Error de truncamiento
Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando se
toma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error de
truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma en
cuenta los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitos
perdidos.
Error de redondeo interior
Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización de
memoria correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puede
considerarse como un truncamiento).
Este caso tiene dos alternativas
a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la
localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito
despreciado es mayor o igual que el 5.
b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria
se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a
5.
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.
y= valor real
y*= valor aprox.
ly = 1y-y*1
Error Relativo
Es el cociente del error absoluto entre el valor real
Ry= ey error absoluto /y
Ry= y-y*
Para todo y diferente a cero.
Ejemplos numero 1, serie de Taylor
cos x
= 0.8775825619 valor real
Aplicando la serie Taylor
n=0 = 1 valor aprox.
Error absoluto:
ey= |y-y*|
ey= |0.877582 -1|
ey= 0.122418
Error Relativo:
ry= =
ry= = 0.32425
y= 0.877582
Para n=1
= = -0.125
Ey=|y-y*|= |0.8775825619 + .125|= |.00258256|
Ry= = 1.142436
Para n=2
x= 0.5 y=0.8775825619
y*= = = 0.015625
ey= |y-y*|= |0.8775825619-0.015625|= 0.86195756
ry= = = 0.9821950738
Para n=3
x= 0.5 y= .8775825619
y* = = = -0.0208333
ey= |y-y*|= |0.8775825614 + 0.0208333| = 0.89841589
ry= = = 1.02373
Calcular el cos 0.5 Rad. Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para las
interacciones:
n=1
n=2
n=3
n=4
Calcular el error absoluto, el error relativo
- serie de Taylor cos x =
- = -0.125
0.5 = 0.87500000 valor aproximado
ey= |y-y*|= |0.87758256- 0.87500000|= 0.00258256 error absoluto
Erry = = 0.00294281
Cos x= |-0.125 + 0.00260416= 0.87760416 + (-0.00002170) = 0.87758246
Cos (0.5) = 0.87758256
n=2 = = = = 0.00260416
ey= |y-y*|
ey= |0.87758256 – 0.87760416|
ey= 0.00002160
ry= | |=
ry= = = 0.00002462
n=3
Valor real = .87758256
n=3 = = = -0.00002170
ey= |y-y*|
ey=|0.87758256 - 0.87758246|
ey= 0.00000010
ry= | |=
ry= = 0.00000011
n=4
x=0.5
y=0.87758256
y*= = = = 0.0000009
ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758255 = 0.00000001
ry= = = 0.00000001
- Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor
- Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
1.- sen (0.5) = 0.47942554
n=0
(-1)°
ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446
ry= = = 0.04291482
Para n =1
=0.5 - 0.02083333
=0.47916667
Error absoluto
ey = ly-y*l
ey = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887
Error relativo
ry=
ry=
para n=2
= 0.5 – 0.02083333 +0.00026042
=0.47942709
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155
Error relativo
ry=
ry=
para n=3
=0.47942709- 0.00000155
=0.47942554
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0
Error relativo
ry=
ry=
para n=4
=0.47952554 – 0.00000001
=0.47942555
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001
Error relativo
ry=
ry=
Calcular por donde x=0.3 interaccion n=0 a n=8
Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.
Valor real
N = 0
Valor aproximado
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881
Error relativo
ry=
ry=
Para n=1
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881
Error relativo
ry=
ry=
para n=2
= 1.3 + 0.045 = 1.34500000
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881
Error relativo
ry=
ry=
ry=
para n=4
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131
Error relativo
ry=
ry=
para n=5
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106
Error relativo
ry=
ry=
para n=6
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005
Error relativo
ry=
ry=
para n=7
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001
Error relativo
ry=
ry=
para n=8
Error absoluto
ey= |y-y*|
ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001
Error relativo
ry=
ry=
Calcular para x=0.7 n=1, n=2, n=3, n=4
Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativo
ln(x+1)=(-1)^n-1 ^ n
para n=0
ln(0.7+1)=0.53062825 valor real
Valor aprox. (-1)^0-1 ^ 0 =(-1)^-1 = ^1 = -1
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175
Error relativo ry= = = 0.88455854
para n=1
Valor aproximado ^ 1 = = -1 + 0.7 = -0.30000000
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825
Error relativo ry= = = 0.43463244
para n=2
Valor aproximado (-1) ^2-1 ^ 2 = = -0.245-0.30000000=-0.54500000
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-
Error relativo ry= = = 0.53828316
para n=3
Valor aproximado (-1) ^3-1 ^ 3 = = -0.11433333-0.245= -0.13066667
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158
Error relativo ry= = = 0.75375101
para n=4
Valor aproximado (-1) ^4-1 ^4 = = -0.060025-0.13066667= -0.019069167
Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658
Error relativo ry= = = 0.64063038
Relación de Newton
Sirve para determinar donde existen raíces positivas, su formula es la sig:
Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado.
Ø
Intervalo donde existen raíces positivas
*Ejemplo:
Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.
Para f(x) =
a1 = 1
a2 = -2.0374
a3 = -15.4245
a4 = 15.6696
Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newton
f(x) =
f(x) =
f(x)=
f(x)=
a1 = 1
a2 = -5
a3 = -2
a4=76
a=1
a2=-25
a3=164
a4=-320
a1 = 1
a2 = -2
a3 = 8
a4 = -4
Calcular las raíces positivas de la sig. Función
Calcular los intervalos para los subintervalos n = 12
a1= 1
a2= -5
a3= -12
= = 0. 58333333
X f(x)
Calcular las raíces positivas de las sig. funciones.
f(x) =
a) Calcular
b) Calcular los intervalos
c) Calcular los subintervalos para n = 12
d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de
Descartes
=17.23368784
a1= 1
a2 =-25
a3=164
Xa 0 -79
Xa+h 0.58333333 -39.62668808
Xa+2h 1.16666666 -12.75386825
Xa+3h 1.74999999 -0.16796885
Xa+4h 2.33333332 -0.87654307
Xa+5h 2.91666665 -11.10816899
Xa+6h 3.49999998 -24.31249960
Xa+7h 4.08333331 -31.16025271
Xa+8h 4.66666664 -19.54321105
Xa+9h 5.24999997 25.42577779
Xa+10h 5.83333330 121.4128013
Xa+11h 6.41666663 288.8628822
Xa+12 6.99999996 550.9999782
>Raíz positiva
X f(x)
Xa 0 -320
Xa+h 1.43614066 -133.0733915
Xa+2h 2.87228132 -31.49954221
Xa+3h 4.30842198 2.49378860
Xa+4h 5.74456264 -13.32115847
Xa+5h 7.18070330 -61.17214280
Xa+6h 8.61684396 -123.2869238
Xa+7h 10.05298462 -181.8932607
Xa+8h 11.48912528 -219.2189131
Xa+9h 12.92526594 -217.4916401
Xa+10h 14.36140660 -158.9392014
Xa+11h 15.79754726 -25.78935606
Xa+12h 17.23368792 199.7301364
a) Calcular Xrmax
b) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13
c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra la
posible raíz
a1= 1
a2= -3
a3= -1
>Raíz positiva
>Raíz positiva
>Raíz positiva
x f(x)
Xa 0 -5
Xa+h .27735010 -0.27232758
Xa+2h .55470020 3.84646954
Xa+3h .83205030 7.18538590
Xa+4h 1.10940040 9.71542788
Xa+5h 1.38675050 11.54961370
Xa+6h 1.66410060 12.94297339
Xa+7h 1.94145070 14.29254886
Xa+8h 2.21880080 16.13739383
Xa+9h 2.49615090 19.15857386
Xa+10h 2.77350100 24.17916636
Xa+11h 3.05085110 32.16426057
Xa+12h 3.32820120 44.22095757
Xa+13h 3.60555130 61.59837029
Método de bisección, método del medio intervalo, búsqueda binaria.
Para xa ≤ x ≤ xb
Xm =
f (xm) * f (xb)
| ≤ Ep
Una vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico de
búsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aun
mas a la raíz localizada.
Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raíz
será determinada, El procedimiento es el sig.:
>Raíz positiva
1.-Se determina el punto medio del intervalo
Xm =
2.-Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos
indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz entre
xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y la raíz debe
encontrarse entre xa y xm.
3.-Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a repetir el
procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con la precisión
deseada aplicando la formula .
f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0
Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189
xa
xm =
(xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb)
|(xa+xb)/2|
≤ Ep ≤ 0.0001
2.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.718
3.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221
-
0.64194669 2.4937886 0.179
3.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.085
3.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.044
3.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669
-
0.11612114 0.4498886 0.024
3.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.012
3.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.006
3.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.003
3.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001
Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264
xa
xm =
(xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm) f (xb)
|(xa+xb)/2|
≤ Ep ≤ 0.0001
4.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478
-
13.32115847 0.35903519
4.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821 2.51534999 -0.29841478 0.1795176
4.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999 1.44552772 -0.29841478 0.0897588
4.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772 0.65565201 -0.29841478 0.0448794
4.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201 0.19887129 -0.29841478 0.0224397
4.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249 -0.29841478 0.01121985
4.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129 0.0783259 -0.04474249 0.00560993
4.99283273 4.99844266 5.00405258 0.0783259 0.01710654 0.04474249 0.00280496
4.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938 -0.04474249 0.00140248
Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796
xa
xm =
(xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb)
|(xa+xb)/2|
≤ Ep ≤
0.0001
15.79754726 16.51561761 17.23368796 -25.7893561 74.31342236 199.7301441 0.35903518
15.79754726 16.15658244 16.51561761 -25.7893561 21.23663587 74.31342236 0.17951759
15.79754726 15.97706485 16.15658244 -25.7893561 -3.01535338 21.23663587 0.0897588
15.97706485 16.06682365 16.15658244 -3.01535338 8.92372372 21.23663587 0.0448794
15.97706485 16.02194426 16.06682365 -3.01535338 2.90772722 8.92372372 0.0224397
15.97706485 15.99950456 16.02194426 -3.01535338 -0.06539309 2.90772722 0.01121985
15.99950456 16.01072441 16.02194426 -0.06539309 1.41826865 2.90772722 0.00560993
15.99950456 16.00511449 16.01072441 -0.06539309 0.67571379 1.41826865 0.00280496
15.99950456 16.00230953 16.00511449 -0.06539309 0.30497999 0.67571379 0.00140248
f(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0
Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997
Xa
xm =
(xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb)
|(xa+xb)/2|
≤ Ep ≤ 0.0001
4.66666664 4.95833331 5.24999997
-
19.54321105 -2.26670882 25.42577779 0.14583333
4.95833331 5.10416664 5.24999997 -2.26670882 10.13816317 25.42577779 0.07291667
4.95833331 5.03124998 5.10416664 -2.26670882 3.59323003 10.13816317 0.03645833
4.95833331 4.99479165 5.03124998 -2.26670882 0.57983013 3.59323003 0.01822917
4.95833331 4.97656248 4.99479165 -2.26670882 -0.86402495 0.57983013 0.00911459
4.97656248 4.98567707 4.99479165 -0.86402495 -0.14727754 0.57983013 0.00455729
4.98567707 4.99023436 4.99479165 -0.14727754 0.21497737 0.57983013 0.00227865
4.98567707 4.98795572 4.99023436 -0.14727754 0.03352581 0.21497737 0.00113932
F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0
Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020
xa
xm =
(xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb)
|(xa+xb)/2| ≤
Ep ≤ 0.0001
0.2773501 0.41602515 0.5547002 -0.27232759 1.87719663 3.84646954 0.06933753
0.2773501 0.34668763 0.41602515 -0.27232759 0.82356062 1.87719663 0.03466876
0.2773501 0.31201887 0.34668763 -0.27232759 0.28069208 0.82356062 0.01733438
0.2773501 0.29468449 0.31201887 -0.27232759 0.00542352 0.28069208 0.00866719
0.2773501 0.2860173 0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352 0.0043336
0.2860173 0.2903509 0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352 0.0021668
0.2903509 0.2925177 0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352 0.0010834
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Criterio
F(xn)*f(xb)=
XB
E
A
B C
XN XA
Xn=xa+δ
Xb-xa
δ
D F(xa)
F(xb)
Xa ≤ x ≤ xb
Razón T.T
=
+ (positiva) xa ≤ x ≤ xn
-(negativo) xn ≤ x ≤ xb
F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0
Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999 xn=xa+ɗ
xa Xb f (xa) f(xb) d xn f (xn) Ep.
4.6666 5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633 0.05153591
4.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116 0.01073288
4.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779 0.00394549
4.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633 0.0108073 4.91163628 -5.67583669 0.00173647
F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0 Ep=0.00001 ≤ x
Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000
Criterio:
F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn
F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn
xn Xa xb f(xa) f(xb) d xn = xb - d f (xn)
≤ Ep≤
0.0001
1 2.87228 4.30842 -31.49954221 2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,089
2 2.87228 4.20286746 -31.49954221 1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270 0.01841193
3 2.87228 4.12688355 -31.49954221 1.31535227 0.05028955 4.076594 0.84331102 0.01233617
4 2.87228 4.076594 -31.49954221 0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257 0.00776265
5 2.87228 4.04519259 -31.49954221 0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684 0.00469383
6 2.87228 4.02629387 -31.49954221 0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493 0.00277018
7 2.87228 4.01517113 -31.49954221 0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479 0.00161155
Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsa
posición, calcule las interacciones cuando n = 12
F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 a1=-0.1 a2=-0.15 a3=-0.5
Xrmax (a2/a1)2- 2 (a3/a1) Xrmax (-0.15/-0.1)2- 2 (-0.5/-0.1) =
x f(x)
-5 -53.80000000
-4.5 -35.13750000
-4 -21.80000000
-3.5 -12.62500000
-3 -6.60000000
-2.5 -2.86250000
-2 -0.70000000
-1.5 0.45000000
-1 1.00000000
-0.5 1.21250000
0 1.20000000
0.5 0.92500000
1 0.20000000
1.5 -1.31250000
2 -4.10000000
2.5 -8.80000000
3 -16.20000000
3.5 -27.23750000
4 -43
4.5 -64.72500000
5 -93.80000000
F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 intervalos = -2 < x < -1.5
d = f (xb)*(xa-xb) ep = xn – (xn - 1)
f (xa)- f (xb) xn
n xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep
1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------
2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.02021321
3 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.01811123
4 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997
Método Newton – Raphson
M = y2 – y1 -xn+1 = f (xn) - xn
X2 – x1 f ´ (xn)
M = f (xn)- f (xn + 1) xn + 1 = xn - f (xn)
xn – xn +1 f ´ (xn)
f ´(x) = f (xn) ep = xn+1 – xn
xn - xn+1 xn + 1
xn – xn+1 = f (xn)
f ´(xn)
f(xb)
f(x) xa < x < xb
xa xb
xn+1
m
f(xa)
Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si
dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn intersectaran el eje x en un valor
xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la
tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto
n xn - xn + 1
Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la
siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con
d f´(xn)
Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos
hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor
que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz.
f(x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0
f(x) =3x2 - 50x + 164 = 0
n Xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.15696381
2 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.05646766
3 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.01262333
4 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.00069120
5 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.00000207
6 4.00000000 0 12 0 4 0
f(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 f´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0
Intervalo = -2 < x < 1.5
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 -2 -0.700000000 3.15000000 -0.22222222 -1.77777778 0.12500000
2 -1.77777778 -0.09187624 2.35301784 -0.03904613 -1.73873165 0.02245667
3 -1.73873165 -0.00240055 2.23090205 -0.00107604 -1.73765561 0.00061925
4 -1.73765561 -0.00000170 2.22760807 -0.00000080 -1.73765481 0.00000046
5 -1.73765481 0 2.22760562 0 -1.73765481 0
f(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 f´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0
Interval = 1< x < 1.5
n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 1 0.20000000 -2.10000000 -0.09523810 1.09523810 0.08695653
2 1.09523810 -0.01454231 -2.41054963 0.00603278 1.08920532 0.00553870
3 1.08920532 -0.00006219 -2.38995046 0.00002602 1.08917930 0.00002389
4 1.08917930 0 -2.38986189 0 1.08917930 0
Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson
F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0 f ´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0
x F(x)
-5 -5293
-4.5 -3275.34375000
-4 -1919
-3.5 1047.53125000
-3 -519
-2.5 -222.21875000
-2 -73
-1.5 -10.40625000
-1 7
-0.5 4.90625000
0 -3
0.5 -11.28125000
1 -19
1.5 -25.96875000
xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep
1 -1.5 -10.40625000 69.06225000 -0.15067873 -1.34932127 0.11167002
2 -1.34932127 -1.84880357 45.44015974 -0.04068656 -1.30863471 0.03109085
3 -1.30863471 -0.11252868 39.96926207 -0.00281538 -1.30581933 0.0215603
4 -1.30581933 -0.00051455 39.60403579 -0.00001299 -1.30580634 0.00000995
5 -1.30580634 -0.00000010 39.60235460 0 -1.30580634 0
Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)
xn+1=xn-
(f(xn)/f'(xn))
|(xn+1 - xn)/xn+1|
≤ Ep≤0.00001
1 -0.5 4.90625 -12.9375
-
0.37922705 -0.12077295 3.14
2 -0.12077295 -0.95280868 -16.846522 0.05655818 -0.17733113 0.31894109
3 -0.17733113 -0.005242 -16.6451217 0.00031493 -0.17764606 0.00177278
4 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232 0.0000001 -0.17764607 0.00000007
5 -0.17764607 0 -16.6437232 0 -0.17764607 0
Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)
xn+1=xn-
(f(xn)/f'(xn))
|(xn+1 - xn)/xn+1|
≤ Ep≤0.00001
1 2.5 -18.15625 47.0625
-
0.38579017 2.88579017 0.13368615
2 2.88579017 12.11760658 116.323194 0.10417189 2.78161829 0.0374501
3 2.78161829 1.20603414 93.7034892 0.01287075 2.76874754 0.00464858
4 2.76874754 0.01662911 91.1272124 0.00018248 2.76856505 0.00006591
5 2.76856505 0.0000033 91.0910189 0.00000004 2.76856502 0.00000001
6 2.76856502 0 91.0910117 0 2.76856502 0
2 -29
2.5 -18.15625000
3 27
3.5 141.15625000
4 377
4.5 808.96875000
5 1537
Método de secante
xa ≤ x ≤xb
m= =
Por el método de Newton Raphson
F(xn+1) F(xn-1)
F(xa)
xn
M=f’(x)
Xn+1
Xn-1 xa
F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0
Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 2.5 2.1 -3.0625 0.8231 -0.084473337 2.184473337 0.03866
2 2.1 2.184473337 0.8231 0.40744376 -0.08280432 2.267277657 0.03652147
3 2.18447334 2.26727766 0.40744376 -0.22348814 0.02933087 2.23794679 0.01310615
4 2.26727766 2.23794679 -0.22348814 0.02448622 -0.00289628 2.24084307 0.0013625
F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0
Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 4.43705998 3.944053118 10.9819303 -25.656687 -0.34523472 4.28928784 0.08048766
2 3.94405312 4.28928784 -25.656687 -3.35947823 -0.05201586 4.3413037 0.01198162
3 4.28928784 4.3413037
-
3.35947823 1.33107987 0.01476099 4.32654271 0.00341173
4 4.3413037 4.32654271 1.33107987 -0.03855114 -0.00041548 4.32695819 0.00009602
Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 2.4650332 1.972026559 -13.1972309 5.91089891 -0.15250642 2.12453298 0.0717835
2 1.97202656 2.12453298 5.91089891 0.00134378 -0.00003465 2.12456763 0.0000163
F(x)=25x3-6x2+7x-88=0
Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 2 1.5 102 -6.625 -0.03049982 1.53049482 0.01992481
2 1.5 1.53049452 -6.625 -1.71469495 -0.01064889 1.54114372 0.0069097
3 1.53049482 1.54114372 -1.71469495 0.047446 0.00028672 1.54085699 0.00018608
Calcularlas raíces del sig. Polinomio.
f(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0 f’(xn)= -1x+2.5=0
Por el método de Newton Raphson
Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)
xn+1= xn-
(f(xn)/f'(xn))
|xn+1-
xn/xn+1|
≤Ep≤0.00001
1 -1.5 -0.375 4 -0.09375 -1.40625 0.06666667
2 -1.40625 -0.00439453
3.90652
5 -0.001125 -1.405125 0.00080064
3
-
1.405125 -0.0000063
3.90512
5 -0.00000016 -1.40512484 0.00000012
Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5
n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn)
xn+1= xn-
(f(xn)/f'(xn)
)
|xn+1-
xn/xn+1|
≤Ep≤0.00001
1 6 1.5 -3.5 -0.42857143 6.42857123 0.66666667
2
6.4285712
3 -0.09183673 -3.92857143 0.02337662 6.40519481 0.00364964
3
6.4051948
1 -0.00027323 -3.90519481 0.00006997 6.40512484 0.00001092
Determinar las raíces de la función:
f(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0
Por el método de secante
Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 -0.5 -1 12.47812500 -60.70000000 -0.41474143 -0.58525857 0.70864649
2 -1.0 -0.58525857 -60.70000000 7.35649476 0.04483104 -0.63008961 0.07115026
3 -0.58525857 -0.63008961 7.35649476 3.59894824 0.04293881 -0.67302842 0.06379940
4 -0.63008961 -0.67302842 3.59894824 -0.73065376 -0.00724626 -0.66578216 0.01088383
5 -0.67302842 -0.66578216 -0.73065376 0.05154407 0.0004775 -0.66625967 0.00071670
6 -0.66578216 -0.66625967 0.05154407 0.00065209 0.00000612 -0.666265780 0.00000917
Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 0.5 0 -58.47812500 0 0 0 0
Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5
n xn-1 xn f(xn-1) f(xn)
xn+1 Ep≤0.001
1 5.0 4.5 27.50000000
-
170.80312500 -0.43066171 4.93066171 0.08734359
2 4.5 4.93066171
-
170.80312500 -6.39204599 -0.01674345 4.94740516 0.00338429
3 4.93066171 4.94740516 -6.39204589 1.58252140 0.00332267 4.94408249 0.00067205
4 4.94740516 4.94408249 1.58252140 0.01046623 -0.00002183 4.94410432 0.00000442
5 4.94408249 4.94410432 -0.01046623 -0.00001697 -0.00000004 4.94410436 0.00000001
2. Calcular las raices de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa
posición
Intervalo= 0<x<0.5
El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del
polinomio p(x). Dado un punto xdk evalúa p(xk) y p’(xk) mediante división
sintética cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división
sintética y continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite
hasta encontrar la raíz del polinomio.
Ejemplo:
P(x)= x3-2x3-5x+6 valor inicial 0.8333
X1=xk- p(xk)/p’(xk)
División sintética
X1=0.8333-1.0234/(-6.2500)=0.997044
X1=0.997044=xk
n xa Xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep
1 0 0.5 -2 0.375 0.07894737 0.42105263 0.01312145
2 0 0.42105263 -2 0.01312145 0.0027444 0.41830823 0.01312145 0.00656071
3 0 0.41830823 -2 0.00092207 0.00019277 0.41811546 0.00092207 0.00046104
4 0 0.41811546 -2 0.00006592 0.00001368 0.41810168 0.00006592 0.00003296
5 0 0.41810168 -2 0.00000472 0.00000099 0.41810069 0.00000472 0.00000257
6 0 0.41810069 -2 0.00000034 0.00000007 0.41810062 0.00000034 0.00000017
7 0 0.41810062 -2 0.00000002 0.00000001 0.41810062 0.00000002 0
1 -2 -5 6
0.8333 0.8333 0.9722 -4.9766
1 -1.1667 -5.9722 1.0234
0.8333 -0.2778
1 -0.3333 -6.25
X1=0.99704-0.017746/(-6.00589352)=0.999999
X1=0.999998
P(x)= x3-25x2+164x-320=0 paraxk: 2.8722812, 4.3084218, 15.79754
X1=2.8722812-(-31.49954763)/44.69296858=3.577079933
X1=3.577079933
1 -25 164 -320
3.57707993 3.577079933 -76.63149748 312.5241171
-21.42292007 87.36850252
3.577079933 -63.83599664
-17.84584014 23.53250588
1 -2 -5 -6
0.997044 0.997044 -0.99999 -5.982254
1 -1.002956 -5.99999 0.017746
0.997044 -0.005894
1 -0.005912 -6.005884
1 -2 -5 6
0.999998 0.999998 -1 -5.999988
1 -1.000002 -6 0.000012
1 -25 164 -320
2.8722812 2.8722812 -63.55703071 288.500452
1 -22.1277188 100.4429693 -31.4995476
2.8722812 -55.30703142
1 -19.2554376 44.69296858
X1=3.577079933-(-7.475882852)/23.53250588=3.894763179
X1=3.894763179
1 -25 164 -320
3.894763179 3.894763179 -82.19989925 318.5920204
1 -21.10523682 81.80010075 -1.40797958
3.894763179 -67.03071903
1 -17.21047364 14.76938172
X1=3.894763179-(-1.40797958)/14.76938172=3.990094155
X1=3.990094155
1 -25 164 -320
3.990094155 3.990094155 -83.83150251 319.8798533
1 -21.00990584 80.168.49749 -0.120146741
3.990094155 -67.91065112
1 -17.01981169 12.25784637
X1=3.990094155-(-.01201467408)/12.25784637=3.999895774
X1=3.999895774
1 -25 164 -320
3.999895774 3.999895774 -83.99822815 319.9987491
1 -21.00010423 80.00177185 -0.001250853
X=4
Xk=4.3084218
1 -25 164 -320
4.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878
1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783
4.3084218 -70.58554819
1 -16.3831564 4.266405223
1 -25 164 -320
4.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878
1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783
4.3084218 -70.58554819
1 -16.3831564 4.266405223
X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461
X1=3.7239004461
1 -25 164 -320
3.723900446 3.723900446 -79.23014709 -4.325166598
1 -21.27609554 84.7698529
3.723904461 -65.36268266
1 -17.55219108 19.40717025
X1=3.7239004461-(-4.325166598)/19.40717025=3.946768822
X1=3.946768822
1 -25 164 -320
3.946768822 3.946768822 -83.09223642 319.3242388
1 -2105323118 80.90776358 -0.675761227
3.946768822 -67.51525229
1 -17.10646236 13.39251129
X1=3.946768822-(-0.6757612266)/13.38251129=3.997226963
X1= 3.997226963
1 -25 164 -320
3.997226963 3.997226963 -83.95285068 319.9666236
1 -21.00277304 80.04714932 0.033376428
3.997226963 -67.9750273
1 -17.00554608 12.07212202
X1=3.997226963-(-0.03337642759)/12.07212202=3.999991715
X1=3.999991715
1 -25 164 -320
3.999991715 3.999991715 -83.99985915 319.9999006
1 -21.00000829 80.0014085 -0.000994209
X=4
1 -25 164 -320
15.79754 -145.376229 294.209752
15.79754 1 -9.20246 18.6237701 -25.790247
15.79754 104.18604
6.59508 122.80981
xk=16.00754153
1 -25 164 -320
16.00754
16.00754 -143.947152 320.99678
1 -8.992458 20.05284 0.996789
16.007541 112.294233
1 7.015083 132.34708
xk=16.0000099
1 -25 164 -320
16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305
1 -8.99999 20.000008 0.001305
Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio
P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10
-Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6
de .6 en .6
-Encontrar las raíces utilizando el método de Birdge-Vieta
xk= 2.030955095
x f(x)
-4 414
-3.4 204.15
-2.8 77.62
-2.2 11.86
-1.6 -12.56
-1 -12
-0.4 0.34
0.2 14.36
0.8 23.04
1.4 22.52
2 12
2.6 -6.21
3.2 26.48
3.8 40.64
4.4 36.52
5 0
5.6 87.2
1 -5 -5 23 10
-2.2
2.2 15.84 -23.834 1.8656
1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656
-2.2 20.68 -69.344
1 -9.4 31.52 -70.192
1 -5 -5 23 10
16.00754
-2.030955 14.279554 -8.4358 -8.435878
1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138
-2.030955 18.404433 -56.224856
1 -9.05191 27.683888 -52.071014
xk=- 2.0009
1 -5 -5 23 10
-2.0009
-2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955
1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449
-2.0009 14.0082 -54.0641
1 -9.0018 27.0199 -49.0888
xk= 1.9999 es la raiz
1 -5 -5 23 10
1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042
1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042
xk= 2
1 -5 -5 23 10
-1 -1 6 -1 -22
1 -6 1 22 -12
-1 7 -8
1 -7 8 14
xk=-0.1428
1 -5 -5 23 10
0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713
1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286
-0.1428 0.7547 0.5013
1 -5.2856 -3.5108 24.1104
xk=0-4177
1 -5 -5 23 10
-0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846
1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846
-0.4177 2.4372 0.1251
1 -5.8354 -0.2995 24.2683
xk=0.4142
1 -5 -5 23 10
0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997
1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093
xk=0.4142 es la raíz
1 -5 -5 23 10
2 2 -6 -22 2
1 -3 -11 1 12
2 -2 -26
1 -1 -13 -25
xk=2.48
1 -5 -5 23 10
2.48
2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495
1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495
2.48 -0.0992 -28.145
1 -0.04 -11.3488 -33.044
xk= 2.4149
1 -5 -5 23 10
2.4149
2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214
1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214
2.4149 -0.4107 -28.1417
1 -0.1701 -11.6533 -32.2915
xk= 2.4142
1 -25 164 -320
15.79754 -145.376229 294.209752
15.79754 1 -9.20246 18.6237701 -25.790247
15.79754 104.18604
6.59508 122.80981
xk=16.00754153
1 -25 164 -320
16.00754
16.00754 -143.947152 320.99678
1 -8.992458 20.05284 0.996789
16.007541 112.294233
1 7.015083 132.34708
xk=16.0000099
1 -25 164 -320
16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305
1 -8.99999 20.000008 0.001305
Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomio
P(x)=x4-5x3-5x2+23x+10
-Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6
de .6 en .6
-Encontrar las raíces utilizando el método de Birge-vieta
x
f(x)
-4 414
-3.4 204.15
-2.8 77.62
-2.2 11.86
-1.6 -12.56
-1 -12
-0.4 0.34
0.2 14.36
0.8 23.04
1.4 22.52
2 12
2.6 -6.21
3.2 26.48
3.8 40.64
4.4 36.52
5 0
5.6 87.2
xk= 2.030955095
1 -5 -5 23 10
16.00754
-2.030955 14.279554 -8.4358 -8.435878
1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138
-2.030955 18.404433 -56.224856
1 -9.05191 27.683888 -52.071014
xk=- 2.0009
1 -5 -5 23 10
-2.0009
-2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955
1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449
-2.0009 14.0082 -54.0641
1 -9.0018 27.0199 -49.0888
xk= 1.9999
1 -5 -5 23 10
1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042
1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042
1 -5 -5 23 10
-2.2
2.2 15.84 -23.834 1.8656
1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656
-2.2 20.68 -69.344
1 -9.4 31.52 -70.192
xk=-1
1 -5 -5 23 10
-1 -1 6 -1 -22
1 -6 1 22 -12
-1 7 -8
1 -7 8 14
xk=-0.1428
1 -5 -5 23 10
0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713
1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286
-0.1428 0.7547 0.5013
1 -5.2856 -3.5108 24.1104
xk=0-4177
1 -5 -5 23 10
-0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846
1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846
-0.4177 2.4372 0.1251
1 -5.8354 -0.2995 24.2683
xk=0.4142
1 -5 -5 23 10
0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997
1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093
xk=0.4142 es la raíz
1 -5 -5 23 10
2 2 -6 -22 2
1 -3 -11 1 12
2 -2 -26
1 -1 -13 -25
xk=2.48
1 -5 -5 23 10
2.48
2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495
1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495
2.48 -0.0992 -28.145
1 -0.04 -11.3488 -33.044
xk= 2.4149
1 -5 -5 23 10
2.4149
2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214
1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214
2.4149 -0.4107 -28.1417
1 -0.1701 -11.6533 -32.2915
xk= 2.4142
Calcular las raíces del siguiente polinomio:
P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12
a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes
para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5
b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta
c) Realizar la grafica del polinomios
X F(x)
-5 28028
-4.7 18325.49857
-4.4 11441.73363
-4.1 6706.626212
-3.8 3573.483008
-3.5 1603.25
-3.2 449.815808
-2.9 -153.635188
-2.6 -407.219968
-2.3 -455.904232
-2 -400
-1.7 -304.613452
-1.4 -218.043008
-1.1 -129.127648
-0.8 -73.545472
-0.5 -39.0625
-0.2 -19.731712
0.1 -9.042328
0.4 -2.019328
0.7 3.726788
1 8
1.3 9.068528
1.6 5.764352
1.9 0.632492
2.2 4.130048
2.5 39.875
2.8 150.944768
3.1 407.224532
3.4 913.805312
3.7 1820.431808
4 3332
4.3 5720.104508
4.6 9335.635712
4.9 14622.42663
-3.2
0.4
-3.2
2
-3
-6.4
-13
30.08
29
-54.656
-27
82.0992
32
-176.3174
-12
461.8158
2 -9.4 17.08 -25-656 55.0992 -144.3174 449.8185
-6.4
50.56
-216.448
774.7328
-2655.4624
2 -15.8 67.64 -242.104 829.832 -2799.7798
Xi= -3.2 – (( 449.8158)/(-2799.7798)) = -3.0393 = xk
-3.0393
2
-3
-6.0786
-13
27.5928
29
-44.3519
-27
46.6592
32
-59.7503
-12
84.3416
2 -9.0786 14.5928 -15.3519 19.6592 -27.7503 72.3416
-6.0786
46.0672
-184.3641
606.9970
-1904.5963
2 -15.1572 60.6600 -199.7160 626.6562 -1932.3466
Xk=3.0018
-3.0018
2
-3
-6.0037
-13
27.0273
29
-42.1074
-27
39.3457
32
-37-0596
-12
15.1879
2 -9.0037 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879
-6.0037
45.0492
-177.3358
571.6726
-1753.1062
2 -15.0074 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.1658
Xk=- 2.9999 =
-2.9999
2
-3
-5.9999
-13
26.9990
29
-41.9956
-27
38.9856
32
-35.9558
-12
11.8672
2 -8.9999 13.9990 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327
-5.9999
44.9979
-176.9898
569.9222
-1745.6652
2 -14.9998 58.9996 -189.9804 581-
9078
-1749.6210
Xk=- 2.9999 X= -3 es la raíz
xk= 0.4
0.4
2
-3
-0.8
-13
-0.88
29
-5.552
-27
9.3792
32
-7.04832
-12
9.9806
2 -2.2 -13.88 23.448 -17.6208 24.95168 -2.0193
-0.8
-1.2
-6.032
6.9664
-4.2617
2 -3 -15.08 17.416 -10.5644 20.6898
Xk=- 0.4975
0.4975
2
-3
-0.995
-13
-0.9974
29
-6.9637
-27
10.9630
32
-7.9783
-12
11.9507
2 -2.005 -13.9974 22.0362 -16.0369 24.0216 -0.0492
-0.995
-0.5024
-7.2136
7.3741
-4.3096
2 -1.01 -14.4998 14.8225 -8.6627 19.7119
Xk=- 0.4999
0.4999
2
-3
-0.9999
-13
-0.9998
29
-6.9985
-27
10.9985
32
-7.9991
-12
11.9980
2 -2.0000 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019
X= -0.5 es la raíz
Sistema de Ecuaciones lineales (Algebraicas)
a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2+ a33 x3 + ... a3n xn = b3
am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bm
Ax= B
Donde:
A = es la matriz de coeficiente
b = es el vector del coeficiente
X = es el vector de solución
Solución de
Sistemas de
Ecuaciones
Lineales
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Consistentes
Inconsistentes (no tiene solución)
Determinados (solución única)
Indeterminados (familia de soluciones)
x y y
-10 20 -13
0 10 -3
10 0 7
No solucion
x
y Solución
Única (x, y)
l1
l2
l2
l1
Linea Paralela
Familia de soluciones
l1
l2
(-10, 20)
x + y = 10
x – y = 3
y= 10 – x
x = 3 + y
-2 -4 -6
-12
-8
-14
-10 -2
-4
-6
-8
-10
2 4
4
6
6
8
8
10
10
12
12
2
14
16
18
20
x = 3 + y
y = 10 – (3 + y )
y= 10 – 3 – y
2y = 7
Y = 7/2 = 3.5
x = 3 + 3.5
x = 6.5
(-10, -13)
(0, 10)
(10, 7)
(10, 0)
(0, -3)
(-10, -20)
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales
transformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y el
triángulo inferior “ceros”.
Matriz Identidad:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo Superior
Para hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe de
proceder a hacer las operaciones básicas de las matrices.
1) Intercambiar filas.
2) Dividir entre un escalar.
3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.
Ejemplo:
Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. 2
3x + 4y = 3
x + 5y = 7
3 4 3 1 5 7 1 5 7
1 5 7 3 4 3 0 -11 -18
1 5 7
0 1 1 7/11
F2 <-> F1
-> ->
F1(-3) + F2 F2(-1/11)
y = 18/11 verificación:
x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7
x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7
x = -13/11 77/11 = 7
7 = 7
3x1 + 6x2 – 2x3 = 11
x1 + 0x2 + 4x3 = 9
4x1 + 3x2 – 5x3 = -5
3 6 -2 11 1 0 4 9
1 0 4 9 3 6 -2 11
4 -3 -5 -5 4 3 -5 -5
1 0 4 9 1 0 4 9
0 6 -14 -16 0 1 -2 1/3 -2 2/3
0 3 -21 -41 0 3 -21 -41
1 0 4 9 1 0 4 9
0 1 -2 1/3 -2 2/3 0 1 -2 1/3 -2 2/3
0 0 -14 -33 0 0 1 2 5/14
F3 (-1/14)
->
->
->
F1 <-> F2 F1 (-3) + F2
F1 (-4) + F3
F2 (1/6) F2 (-3) + F3
x3 = 33/14
x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42
x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7
Verificación:
x1 + 0x2 + 4x3 = 9
-3/7 + 132/14 = 9
-3/7 + 66/7 = 9
63/7 = 9
9 = 9
Sistema de Ecuaciones 4 x 4:
20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30
-x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40
x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40
-x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50
20 1 -4 1 30 1 1 -32 -1 40
-1 -30 3 -1 40 -1 -30 3 -1 40
1 1 -32 -1 40 20 1 -4 1 30
-1 -1 -2 -25 50 -1 -1 -2 -25 50
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40
0 -29 -31 -2 80 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 -21 636 21 -770 0 -21 636 21 -770
0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40
0 1 31/29 2/29 -80/29 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 0 19095/29 651/29 -24010/29 0 0 1 217/6365 -4802/3819
0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90
1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40
0 1 31/29 2/29 -80/29 0 1 31/29 2/29 -80/29
0 0 1 217/6365 -4802/3819 0 0 1 217/6365 -4802/3819
0 0 0 0 0 0 1
F1 <-> F3
F2 (-1/29)
->
->
F2 (21) + F3
F4(-6365/158112)
-158112/6365 506978/3819 3226914970/603829728
F3(29/19095)
->
F3(34)+F4
F1 (1) + F2
F1 (-20) + F3
F1 (1) + F4
x4 = 1267445/237168
x3 = -770
x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58
x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4
Verificación:
x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40
-97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40
-5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 – 42050/232 = 40
9280/232 = 40
40 = 40
X1 + 10X2 - X3 = 10
X1 - 2X2 + 10X3 = 12
10X1 + 3X2 + X3 = 14
1 10 -1 10 ] 1 10 -1 10 1 10 -1 10 1 10 -1 10
1 -2 10 12 ] = 0 -12 11 2 = 0 1 -11/12 -2/12 = 0 1 -11/12 -2/12
10 3 1 14 ] 0 -97 11 -86 0 -97 11 -86 0 0 -935/12 -1226/12
F1 (-1) + F2 F2 (-1/12) F2 (97) + F3 F3 (-12/935)
F1 (-10) + F3
1 10 -110
= 0 1 -11/12 -1/6
0 0 1 1226/935
X3 = 1226/935
X2 – 11/12 X3 = -1/6
X1 + 10X2 – 1X3 = 10
X2 – 11/12(1226/935) = -2/12 X1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
X2 – 613/510 = -2/12 X1 + 176/17 – 1226/935 = 10
X2 = -1/6 + 613/510 X1 = 10 – 176/17 + 1226/935
X2 = 88/85 X1 = 896/935
896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
2X1 + 3X2 – 5X3 = -3
4X1 – X2 – 2X3 = -12
-3X1 + 10X2 - 5X3 = 11
2 3 -5 -3 1 3/2 -5/2 -3/2 1 3/2 -5/2 -3/2 1 3/2 -5/2 -3/2
4 -1 -2 -12 = 4 -1 -2 -12 = 0 -7 8 -6 = 0 1 -8/7 6/7
-3 10 -5 11 -3 10 -5 11 0 29/2 -25/2 13/2 ] 0 29/2 -25/2 13/2
F1 (1/2) F1 (-4) + F2 F2 (-1/7) F2 (-29/2) + F3
F1 (3) + F3
1 3/2 -5/2 -3/2 ] 1 3/2 -5/2 -3/2
= 0 1 -8/7 6/7 ] = 0 1 -8/7 6/7
0 0 57/14 -83/14 ] 0 0 1 -83/57
F3(14/57)
X3= -83/57
X2 - 8/7X3 = 6/7
X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2
X2 – 8/7(-83/57) = 6/7 X1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
X2 + 664/399 = 6/7 X1 – 23/19 + 415/114 = -3/2
X2 = 6/7 – 664/399 X1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57
X2 = -46/57
-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
-224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2
Método de Gauss – Jordan (Matriz Aumentada)
X1 + 2X2 – X3 = 10
X1 – X2 + 3X3 = 5
3X1 + X2 – 4X3 = 3
1 2 -1 10 1 0 0 ] 1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 0
1 -1 3 5 0 1 0 ]= 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0
3 1 -4 3 0 0 1 ] 0 -5 -1-27 -3 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1
F1(-1) + F2 F2(-1/3) F2(-2) + F1
F1(-3) + F3 F2(5) + F3
1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0
= 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0
0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/31 0 0 1 56/23 4/23 5/23 -3/23
F3(-3/23) F3(-2/3) + F1
F3(4/3) + F2
1 0 0 60/23 1/23 7/23 5/23
= 0 1 0 113/23 13/23 -1/23 -4/23
0 0 1 56/23 4/235/23 -3/23
X1 = 60/23
X2 = 113/23
X3 = 56/23
4x1 – 8x2 = -24
X1 + 6x2 = 34
4 -8 -24 1 0 1 6 34 0 1
1 6 34 0 1 = 4 -8 -24 1 0
F1 = F2 F1 (-4)+ F2
1 6 34 0 1 1 6 34 0 1
0 -32 -160 1 -4 = 0 1 160/32 -1/32 4/32
F2 (-1/32) F2 (-6) + F1
X1 = 4
X2 = 5
-1.1X1 + 10X2 = 120
-2X1 + 17.4X2 = 174
-1.1 10 120 1 0 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0
-2 17.4 174 0 1 = -2 17.4 174 0 1 =
F1 (-1/1.1) F1 (2) + F2
1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0
0 -0.7818 -44.1818 -1.8181 1 =
F2 (-1/.7818)
1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0
0 1 56.5129 2.3254 -1.279 =
F2 (9.0909) + F1
1 0 404.6623 20.2309 -11.627
0 1 56.5129 2.3254 -1.279
X1 = 404.6623
X2 = 56.5129
0.5X1 – X2 = -9.5
1.02X1 – 2X2 = -18.8
0.5 -1 -9.5 0 1 1 -2 -19 2 0
1.02 0.04 -18.8 0 1 = 1.02 -2 -18.8 0 2 =
F1 (2) F1 (-1.02) + F2
1 -2 - 19 2 0 1 -2 -19 2 0
0 0.04 0.58 2.04 2 = 0 1 14.5 51 50 =
F2 (1/0.04) F2 (2) + F1
1 0 10 104 100
0 1 14.5 51 50
X1 = 10
X2 = 14.5
10X1 + 2X2 – X3 =27
-3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5
X1 + X2 + 5X3 = -21.5
10 2 -1 27 1 0 0 1 1 5 -21.5 0 0 1
-3 -6 2 -61.5 0 1 0 = -3 -6 2 -61.5 0 1 0 =
1 1 5 -21.5 0 0 1 10 2 -1 27 1 0 0
F1= F3 F1 (3) + F2 F1 (-10) + F3
1 1 5 - 21.5 0 0 1 1 1 5 -21.5 0 0 1
0 -3 17 -126 0 1 3 = 0 1 -17/3 42 0 -1/3 1 =
0 -8 -51 242 1 0 0 0 -8 -51 242 1 0 0
F2 (-1/3) F2 (-1) + F1 F2 (8) + F3
1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2 1 0 32/3 -63.5 0 1/3 2
0 1 -17/3 42 0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42 0 -1/3 -1
0 0 -289/3 578 1 -8/3 -8 0 1 -6 -3/289 8/289 24/289
F3 (-3/289) f3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F1
1 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289 X1 = 0.5
0 1 0 8 -1/17 -3/17 - 9/17 X2 = 8
0 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289 X3 = -6
8x1+2x2-2x3=-2
10x1+2x2+4x3=4
12x1+2x2+2x3=6
8 2 -2 -21 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
10 2 4 40 1 0 = 10 2 4 4 0 1 0 =
12 2 2 6 0 0 1 12 2 2 6 0 0 1
F1(1/8) F1(-10)+f2 F1(-12)+f3
1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1
F2(2/1) f2(1/4)+f1 f3(1)+f3
1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 0
0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8
F3(-1/8) F3(-3)+f1 F3(13)+f2
1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 3/2 x2=-13/2 x3 = 1/2
0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8
0 0 -1 1/2 -1/8 1/4 -1/8
2x1-6x2-x3=-38
-3x1+x2+7x3=-34
-8x1+x2-2x3=-20
2-6 -1 -38 1 0 0 1 -3-1/2 -19 1/2 0 0
-3 -1 7 -34 0 1 0 =-3-1 7 34 0 1 0 =
-8 1- 2 20 0 0 1 81- 2 -20 0 0 1
F1(1/2) F1(3)+f2 F1(8)+f3
1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0
0 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0
0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1
F2(2/1) F2(1/4)+f1 F3(1)+f3
1 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3: - 1/2 1/2 0
0 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =
0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8
F3(-1/8) F3(-3)+F1 F3(13)+F2
1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 4 x2=8 x3 = -2
0 1 0 13/2 7/8 5/4 -13/8
0 0 -1 1/2 -1/8 1/4 -1/8
Método de Gauss Seidel
2x1 – 6x2 + x3 = 12 x1 = (12 + 6x2 - x3)/2
-x1 + 7x2- x3 = -8 x2 = (-8 + x1 + x3)/7
x1- 3x2 + 2x3 = 16 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2
{0, 0, 0}
x1 = (12 + (6*0) -0)/2 x2 = (-8+6+0)/7 x3 = (16-6+(3*-0.28))/2
x1 = 6 x2 = -0.28 x3 = 4.58
{6, -0.28, 4.58}
x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2 x2 = (-8+2.87+4.58)/7 x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2
x1 = 2.87 x2 = -0.07 x3 = 6.46
Ep = | (6-2.87)/6 | Ep = 0.521
{2.87, -0.07, 6.46}
x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2 x2 = (-8+2.56+6.46)/7 x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2
x1 = 2.56 x2 = 0.14 x3 = 6.93
Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 | Ep = 0.121
{2.56, 0.14, 6.93}
x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2 x2 = (-8+2.95+6.93)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2
x1 = 2.95 x2 = 0.26 x3 = 6.91
Ep = | (2.95-2.56)/2.95 | Ep = 0.13
{2.95, 0.26, 6.91}
x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2 x2 = (-8+3.32+6.9)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2
x1 = 3.32 x2 = 0.31 x3 = 6.97
Ep = | (3.32-2.95)/3.32 | Ep = 0.111
{3.32, 0.31, 6.97}
x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2 x2 = (-8+3.44+6.97)/7 x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2
x1 = 3.44 x2 = 0.34 x3 = 6.7
Ep = | (3.44-3.32)/3.44 | Ep = 0.03
{3.44, 0.34, 6.7}
x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2 x2 = (-8+3.67+6.7)/7 x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2
x1 = 3.67 x2 = 0.33 x3 = 6.66
Ep = | (3.67-3.44)/3.67 | Ep = 0.05
{3.67, 0.33, 6.66}
x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2 x2 = (-8+3.66+6.66)/7 x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2
x1 = 3.66 x2 = 0.33 x3 = 6.66
Ep = | (3.66-3.67)/3.66 | Ep = 0.001
X1 = 3.66
x2 = 0.33
x3 = 6.66
Por Medio De Gauss Seidel
2x1-6x2+x3=12
-x1+7x2-x3=-8
X1-3x2+2x3=16
2 -6 1 12 1 -3 2 16
-1 7 -1 -8 -1 7 -1 -8
1 -3 2 16 2 -6 1 12
F1 = F3 F1(1)+F2 F1(-2)+F3
1 -3 2 16 1 -3 2 16
0 4 1 8 0 1 ¼ 2
0 0 -3 -20 0 0 -3 -20
F2(1/4) F3(-1/3)
1 -3 2 16
0 1 ¼ 2
0 0 1 20/3
X3=20/3 x2=2-1/4(20/3) X1=11/3
X2+1/4+3=2 x2= 2 -20/12->5/3 X2=1/3
X1-3x2+2x3=16 x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 X3=20/3
Por Metodo De Gauss – Seidel
X1=(12x+6x2-x3)/20 , 0 , 0
X2= (-8+x1+x3)/7
X3=(16-x1+3x2)/2
X1=(12+6(0)-0= 12/2=6 X2=-8+6+0=2/7 =-0.2857X3=16-6+3(-0.2857)=9/2=4
X1=12+6(0.2857)-(4)= 6/2 X2=-8+3+4=1/7 =-0.1428 X3=16-3+3(-0.1428)=13/2=7
3-6 =1
3
X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2 X2=(-8+2+4=1/7 )/7=0.1428 X3=16-2+3(0.1428)=14/2=7
X1=12+6(0.1428)-(7)= 5/2=2.5 X2=-8+2.5+7=1.5/7 =0.2142 X3=16-2.5+3(0.2142)=15/2=7.5
2.5-2 =0.25
2.5
X1=(12+6(0.2142)-(7) )/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857 X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7
X1=(12+6(0.2142)-(7) )/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7) )/7=2/7 =0.2857 X3=(16-3+3(0.2857) )/2=14/2=7
3-3 =0
3
X1+X2+6X3=8
X1+5X2-X3=5
4X1+2X2-2X3=4
1 1 6 8 1 1 6 8
1 5 -1 5 0 4 -7 -3
4 2 -2 4 0 -2 -26 -28
F1(-1)+F2 F2(1/4)
F1(-4)+F3
1 1 6 8 1 0 31/4 35/4
0 1 -7/4 -3/4 0 1 -7/4 -3/4
0 -2 -26 -28 0 0 -59/2 -59/2
F2(-1)+F1 F3(-2/59)
F2(2=+F3
1 0 31/4 167/236 1 0 0 -167/236
0 1 -7/4 327/236 0 1 0 327/236
0 0 1 327/236 0 0 1 72/59
F3 (-31/4)+F1
F3 (7/4)+F2