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EL CONJUNTO R2 Vamos a formar el producto cartesiano de R x R, al cual le llamaremos R2. R Es el conjunto de los Números Reales (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales). ** El conjunto R2 está formado por todas las parejas de Números Reales. R2 = R x R (0,0) (-3, 1 ) (1/3 , - 4 ) ( ) etc. * A estas parejas se les llama Pares de Números Reales. * A un par cualquiera de R2 lo designamos por ( x, y ). *El primer elemento (x) del par le llamamos 1ª componente. *El segundo elemento (y) del par se le llama 2ª componente. * El orden del par es FUNDAMENTAL no es lo mismo (4,2) que (2,4). IGUALDAD DE PARES DE NÚMEROS REALES. Dos pares de números reales (x,y) ( x´,y’) son iguales, siempre y cuando : a.- Las primeras componentes sean iguales. b.- Las segundas componentes sean iguales.

′=′ ′= ⇔ ′=

( , ) ( , )x x

x y x y y y

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OPERACIONES EN R2. En el conjunto de pares de números reales – R2-, vamos a definir dos operaciones: 1º.- Suma en –R2- : Suma de Pares

′ ′+ = + +( , ) ( , ) ( ', ')x y x y x x y y 2º.- Producto de un número real por un par de R2.

( , ) ( , )a x y ax ay= * La suma de 2 pares de números reales es otro par de números reales. Por ello la operación suma de pares es INTERNA en R2. El producto de un par por un número real es otro par, al cual le asociamos un nuevo par de R2. A cada número real –a- y a cada par (x,y) le asociamos un nuevo par en R2. Este producto es una ley externa. El conjunto R2 con las operaciones que hemos definido: en el cual se cumplen las propiedades Asociativa, Conmutativa, Elemento Neutro y Elemento Opuesto, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL. * Por ello a los elementos de R2 les llamamos vectores numéricos de dos componentes. PROPIEDADES DE LA SUMA. 1º.- Asociativa:

( , ) ( ', ') ( '' '') ( , ) ( ', ') ( '', '')x y x y x y x y x y x y+ + + = + +

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2º.- Conmutativa:

( , ) ( ', ') ( ', ') ( , )x y x y x y x y+ = + 3º.- Elemento Neutro: Es el par (0,0)

( ) (0, 0) ( , )x y x y+ + =

4º.- Elemento Opuesto: Todo elemento (x,y) de R2 posee un opuesto (-x,-y)

( , ) ( , ) (0, 0)x y x y′+ − − = PROPIEDADES DEL PRODUCTO. 1º.- Asociativa:

[ ]( , ) ( ', ') ( , ) ( ' ')a x y x y a x y a x y+ = + + 2º.- Conmutativa:

( )( , ) ( , ) ( , )a b x y a x y b x y+ = + 3º.- Elemento Neutro:

1( , ) ( , )x y x y= Por tanto el elemento neutro del producto es el número real 1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES EN R2. Utilizando las operaciones de suma y producto de vectores por un número real cualquiera, podemos obtener a partir de un determinado vector otros, sin más que sumarlos o multiplicarlos por números reales.

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Ejemplo: ( 5, -14 ) 2 (1, 2) + 3 ( 1, -6 ) = ( 2, 4 ) + ( 3, -18 ) = ( 5, -14 ). Podemos decir que el vector ( 5, -14 ) es combinación lineal de los vectores ( 1, 2 ) y ( 1 , - 6 ). DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente , cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes. Un conjunto de vectores es linealmente independiente, cuando uno de ellos “ NO “ puede expresarse como combinación lineal de los restantes. * Cuando se trate de dos vectores: son linealmente dependientes cuando sus componentes sean proporcionales. * Cuando sus componentes “NO” sean proporcionales los vectores serán linealmente independientes. * En el ejemplo anterior que hemos puesto ( 5, -14), ( 1, 2) y ( 1, -6), estos vectores son linealmente dependientes ya que el vector del cual hemos partido ( 5,-14 ) se puede expresar como combinación lineal de los vectores ( 1, 2) y (1, -6). * Cualquier vector del espacio R2 se puede expresar como combinación lineal de 2 vectores linealmente independientes, a los que llamamos base. * Dicho de otra manera : Una base del espacio R2 está formada por dos vectores cualesquiera que cumplan la condición de ser linealmente independientes. * La base canónica ( la más sencilla ) en R2 está formada por los vectores ( 1, 0 ) ( 0, 1 ).

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RESUMIENDO

EL CONJUNTO R3. * Es el que está formado por todas las ternas de los números Reales.

* Una terna cualquiera la designamos por ( x, y z ) El primer elemento –x- de la terna es la 1ª componente. El segundo elemento –y- de la terna es la 2ª componente. El tercer elemento –z- de la terna es la 3ª componente. * Dos ternas son iguales si tienen iguales sus componentes correspondientes.

Combinación Lineal

Cuando uno de los vectores lo podemos obtener a Partir de otros.

Dependencia Lineal

Cuando un vector se puede expresar como combinación lineal de los demás. De otra forma : Cuando sus componentes son proporcionales.

Independencia Lineal

Cuando un vector no se puede expresar como combinación lineal de los demás. De otra forma : Cuando sus componentes no son proporcionales

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OPERACIONES EN R3. 1º Suma en R3: Suma de ternas:

2º Producto de un número real por una terna de R3:

* El conjunto R3 con las operaciones que acabamos de definir, y que cumplen estas propiedades, tiene estructura de espacio vectorial. * A los elementos de R3 les llamamos vectores numéricos de tres componentes. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES DE R3. * Al igual que en R2 podemos obtener a partir de determinados vectores otros, sin más que sumarlos o multiplicarlos por números reales. Ejemplo ( 5, -16, 5 ) = 2 ( 1, 2, 1,) + 3 ( 1, -6, 2 ) – 1 ( 0, 2, 3 ) Diremos que el vector ( 5, -16, 5 ) es combinación lineal de los siguientes vectores : ( 1, 2, 1 ) ( 1, -6, 2 ) ( 0, 2 , 3 ) DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. * Un conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes. * Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando uno de ellos NO puede expresarse como combinación lineal de los restantes. * Cualquier vector del espacio R3 se puede expresar como combinación lineal de 3 vectores linealmente independientes a los que llamamos base.

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* Una base en el espacio R3 está formado por 3 vectores cualesquiera que cumplen la condición de ser linealmente independientes. * La base canónica en el espacio R3 está formada por los siguientes vectores : ( 1,0,0 ) ( 0,1,0 ) ( 0,0,1 ).

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1.- ¿Cuál es el elemento opuesto del vector ( 1, -2 ) en el espacio R2 ? ¿Y el elemento neutro? * El elemento opuesto es el vector ( -1, 2 )

Prueba : ( 1, -2 ) + ( -1, +2 ) = 0 * El elemento neutro es el vector ( 0, 0 )

Prueba : ( 1, -2 ) + ( 0, 0 ) = ( 1, -2 )

2.- ¿Cuál es elemento opuesto del vector ( 2, 0 -6 ) en el espacio R3? ¿Y el elemento neutro? * El elemento opuesto es el vector ( -2, 0 , 6 )

Prueba : ( 2, 0, -6) + ( -2, 0, -6 ) = 0

* El elemento neutro es el vector ( 0, 0, 0 )

Prueba : (2, 0, -6 ) + ( 0, 0, 0 ) = ( 2, 0, -6 )

3.-¿Hay en R2 algún vector que sea igual a su opuesto? * Si, es el vector nulo ( 0, 0 ) 4.- ¿Existe algún vector de R2 que sea combinación lineal de cualquier conjunto de vectores? * Para que un vector sea combinación lineal de los restantes, es necesario que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente. * El vector nulo ( 0,0 ) siempre es linealmente dependiente.

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Ejemplo : (0,0) = 1 (0+0) (0,0) = -3 (0+0) (0,0) = 9 (0+0)

5.- ¿Es cierto que un vector es siempre combinación lineal de sí mismo? * Para ser combinación lineal, es necesario que sea linealmente dependiente. * Siempre que el número real sea 1, un vector es combinación lineal de si mismo.

Ejemplo : ( a, b ) = 1 ( a, b ) = ( a, b )

6.-¿Cuándo dos vectores en R2 son linealmente independientes o dependientes? ¿Qué relación tienen que verificar los componentes en cada caso? Son linealmente independientes cuando uno de ellos NO puede expresarse como combinación lineal de los restantes. Ejemplo: ( 2, 1 ) ; ( 0, 2 ) La relación que tienen que verificar los componentes es que NO PUEDEN que ser proporcionales. Son linealmente dependientes cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes. Ejemplo: ( 4, 12 ) ; 2 (2, 6 ) La relación que tienen que verificar los componentes es que TIENEN que ser proporcionales. 7.-¿En R2 dos vectores cualesquiera son linealmente independientes? - NO. Para ser linealmente independientes no podrían expresarse como combinación lineal uno del otro.

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Esto no ocurre cuando sus componentes son proporcionales. 8.-¿Es siempre cierto que un vector es linealmente independiente? ¿Y si se trata del vector nulo? - SI. Para que haya dependencia o independencia lineal de vectores, es necesario que al menos existan dos vectores. - NO. El vector nulo ( 0,0 ) siempre es linealmente dependiente. 9.-¿Qué condiciones tienen que cumplir dos vectores del espacio R2 para que formen una base? ¿Forman los vectores ( 1,2), ( 2, 4 ) una base de R2? ¿Y los vectores ( 1,2 ), (3, 4 )? a.- Que son linealmente independientes. b.- No forman base, ya que son linealmente dependientes, ya que sus componentes son proporcionales. c.- SI, forman base, ya que los vectores son linealmente independientes, ya que sus componentes no son proporcionales. 10.-¿Cuál es la base canónica del espacio R2? ¿Y la del espacio R3? a.- Base canónica en R2= ( 1,0 ), ( 0, 1 ) b.- Base canónica en R3= ( 1,0,0 ), ( 0, 1,0 ) , ( 0, 0, 1 ) 11.-¿Calcular x e y para que se cumplan las siguientes igualdades? : a- 3( x, 2y ) = ( -1,5 )

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b-

c-

12.-¿Calcular x,y,z para que se cumplan las siguientes igualdades?: a-

b-

c-

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13.-Con los vectores (3,-2) y ( -5,1 ) comprueba la propiedad conmutativa de la suma en R2.

Con lo cual queda demostrado. 14.-Con los vectores (3,-2) , ( -5,1 ) , ( 7, 0 ) comprueba la propiedad asociativa de la suma en R2.

Haciendo operaciones, llegamos a:

15.- Determina si el vector ( 3, -1 ) es combinación lineal de los vectores (-1, 2 ) y ( 2, 1 )

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multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y obtenemos ;

Sustituyendo el valor de ß en la 1ª ecuación del sistema, obtenemos:

* Vamos a efectuar la comprobación:

con lo cual queda demostrado. * SI, es combinación lineal, ya que el vector obtenido puede expresarse como combinación lineal de los dos restantes, ya que son linealmente dependientes. 16.- Determina para que valor del parámetro – a – el vector ( 3a, 2 ) es linealmente dependiente del vector ( 2, 4 )

Sustituimos este valor obtenido de – α – en la 1ª ecuación y obtenemos:

Sustituimos el valor de a y obtenemos:

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*Vamos a efectuar la comprobación:

Por tanto el valor obtenido para – a – hace que el nuevo vector obtenido es linealmente dependiente con el dado en el enunciado. 17.- Comprueba si los vectores ( 1,1 ) y ( 0, 1 ) son linealmente independientes. 1º Le damos valor = 0

2º Le damos valor = 1

* Si son vectores linealmente independientes, ya que la relación:

no se verifica para ningún número real. * Además para que dos vectores sean linealmente independientes sus componentes no pueden ser proporcionales. Y así se cumple en este caso. 18.-¿Son los vectores ( 1, 2 ) y ( 4,5 ) de R2 linealmente independientes?

* SI, son linealmente independientes ya que la relación: no se verifica para ningún número real. * Sus componentes NO son proporcionales. 19¿ Forman los vectores ( 1, 1 ) y ( 3, 4 ) una base en R2.

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Otra forma de resolverlo, sería:

Sustituimos en la 2ª ecuación – α- y obtenemos:

* Por tanto los vectores son linealmente dependientes. 20.- Sean los vectores generar a partir de ellos el vector

Ahora multiplicamos la 1ª ecuación por 3 y obtenemos:

El nuevo vector pedido es:

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21.- Comprobar si los vectores ( 5, 2 ) y ( -2, 3 ) forman una base en R2.

Otra forma de resolverlo, sería:

y obtenemos el siguiente sistema:

* Por tanto FORMAN BASE porque los vectores son linealmente independientes. 22.-Comprobar si los vectores ( 1, 2 ) y ( 3, 4 ) forman base en R2.

Otra forma de resolverlo, sería:

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* SI FORMAN BASE porque los vectores son linealmente independientes. 23.-Dados los vectores generar a partir de ellos el vector

A continuación despejamos – α – en la primera ecuación y obtenemos:

El nuevo vector será:

* El vector pedido es: ( 2, 3 ) 24.-Comprobar si los vectores ( 2, -3, 8 ) y ( 1, 4, - 3 ) son combinación lineal del vector ( 1, 2 -1 )

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Ahora sustituimos –α- en la primera ecuación:

*Vamos a solucionarlo de otra manera:

Ahora tomamos la 1ª y la 2º ecuación, obteniendo el siguiente sistema:

Nos queda el sistema:

Entonces NO son combinación lineal, los vectores son linealmente independientes. 25.-Determinar los valores de a y b para que el vector ( 4, a , b ) sea combinación lineal de los vectores ( 2, -1, 2 ) y ( 1, 2, 1 )

Observando la 1º y la 3º ecuación del sistema, observamos que el 2º miembro es igual en ambas ecuaciones, por tanto podemos igualar el primero y obtenemos:

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b = 4 Despejamos ß en la 1º ecuación: ß = 4 – 2 α Sustituimos este valor en la 2ª ecuación, y nos queda:

Comprobación:

Haciendo operaciones obtenemos:

26.-Determinar los valores a y b para que el vector (a,-2,b) sea linealmente dependiente de los vectores (1,2,4) y ( -1,0,3)

Despejamos a y ß en la primera ecuación: Sustituimos el valor de ß en la 3ª ecuación:

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En esta ecuación, trasponemos términos para calcular el valor de a:

27.-Comprueba si los vectores (1,1,0), (0,1,1) y (1,1,1) son linealmente independientes.

Si ß = 1 Vamos a hacerlo de otra forma:

multiplicamos la 1º ecuación por -1

A continuación tomamos la 2ª y la 3ª ecuación y nos queda el siguiente sistema:

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28.-Comprueba si los vectores (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) de R3 forman una base.

* No forman base porque los vectores son linealmente dependientes. 29.-¿Forman los vectores (1,1,0), (1,0,1) y (0,1,1) una base en R3.

Los vectores son linealmente independientes por tanto si forman base. Vamos a resolver el problema de otra forma:

SI forman una base porque los vectores son linealmente independientes.

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30.-Un vector tiene de coordenadas (3-4) y las coordenadas del origen A son (3,-1) ¿ Cuáles son las coordenadas del punto B?

* Es la forma de deducir las coordenadas cartesianas de un punto. * El vector (3,-1) es el vector de posición del punto A, ya que une el origen de coordenadas con el punto A. 31.-Calcula el módulo y la dirección del vector sabiendo que pasa por el punto (-4,2).

32.-Calcular el módulo, la dirección y el sentido del vector

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33.-Calcular el módulo, la dirección y el sentido del vector que pasa por el punto A ( -1, 2 )