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MATEMATICAS
G.E.C.O.
Curso 2019/2020
Seminario de TaylorGrupo 4
Apellidos Nombre
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Objetivos
F Aproximar una funcion mediante el polinomio de Taylor.
F Calcular el valor aproximado de una funcion en un punto.
F Trabajar en grupo.
Situacion teorica
Un problema importante en las Matematicas consiste en aproximar una funcion cualquiera (posiblemente muycomplicada) mediante un polinomio (funcion sencilla).
B Sea f : D → R derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 1 de la funcion fen el punto a al polinomio
P1(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).
Este polinomio satisface que f(a) = P1(a) y f ′(a) = P ′1(a). En este sentido, puede verse a P1(x) como
una aproximacion de f cerca de a.
B Sea f : D → R dos veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 2 de lafuncion f en el punto a al polinomio
P2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2 ,
y se cumple que f(a) = P2(a), f ′(a) = P ′2(a), f ′′(a) = P ′′
2 (a).
B Sea f : D → R tres veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) 3 de lafuncion f en el punto a al polinomio
P3(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2 +
f ′′′(a)
6(x− a)3.
Se verifica que f(a) = P3(a), f ′(a) = P ′3(a), f ′′(a) = P ′′
3 (a) y f3)(a) = P3)3 (a).
1
B Sea f : D → R n veces derivable en a ∈ D, llamaremos polinomio de Taylor de orden (o grado) n de lafuncion f en el punto a al polinomio
Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2 + ... +
fn)(a)
n!(x− a)n,
donde n! = n · (n− 1) . . . 3 · ·2 · 1.
Esta vez tenemos que f(a) = Pn(a),f ′(a) = P ′n(a),..., fn)(a) = P
n)n (a). Las derivadas de f y Pn coinciden
hasta orden n y, de hecho, Pn(x) es el unico polinomio de grado menor o igual a n que tiene esta propiedad.Tomando n muy grande esperamos que las graficas de f y de Pn sean cercanas alrededor del punto a.
Ejercicio resuelto
Dada la funcion f(x) = ln(x), vamos a calcular los polinomios de Taylor de f(x) en a = 1, de grados 1, 2 y 3.
B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 1 necesitamos conocer el valor de f(1) y f ′(1).
f(x) = ln(x) f(1) = 0
f ′(x) =1
xf ′(1) = 1 .
Por tanto, el polinomio de Taylor de grado 1 de f en a = 1 es:
P1(x) = 0 + 1(x− 1) = x− 1 .
B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 2 necesitamos conocer f(1), f ′(1) y f ′′(1).
f(x) = ln(x) f(1) = 0
f ′(x) =1
xf ′(1) = 1
f ′′(x) = − 1
x2f ′′(1) = −1 .
Entonces, el polinomio de Taylor de grado 2 de f en a = 1 es:
P2(x) = 0 + 1(x− 1)− 1
2(x− 1)2 = x− 1− 1
2(x− 1)2.
B Para calcular el polinomio de Taylor de grado 3 necesitamos conocer f(1), f ′(1), f ′′(1) y f ′′′(1).
f(x) = ln(x) f(1) = 0
f ′(x) =1
xf ′(1) = 1
f ′′(x) = − 1
x2f ′′(1) = −1 ,
f ′′′(x) =2
x3f ′′′(1) = 2 .
Entonces, el polinomio de Taylor de grado 3 de f en a = 1 es:
P3(x) = 0 + 1(x− 1)− 1
2(x− 1)2 +
2
6(x− 1)3 = x− 1− 1
2(x− 1)2 +
1
3(x− 1)3 .
B Podemos estimar el valor de ln(1.1) mediante los polinomios de Taylor:
f(1.1) = ln(1.1) w P1(1.1) = 0.1
f(1.1) = ln(1.1) w P2(1.1) = 0.095
f(1.1) = ln(1.1) w P3(1.1) = 0.0953333
Nota: El valor verdadero de ln(1.1) es 0.0953102...
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B Si representamos graficamente la funcion f y los distintos polinomios de Taylor, obtenemos:
1 2
grado 1
1 2
grado 2
1 2
grado 3
Ejercicios similares propuestos
1 Polinomio de Taylor de la funcion 3√x + 27:
(a) Calcula el valor de 3√
28 usando la calculadora. (Quedate con todas las cifras decimales).
(b) Calcula el polinomio de Taylor de orden 1, P1(x), de f(x) = 3√x + 27 = (x + 27)1/3 en a = 0. ¿Cual
es el valor aproximado de P1(1)? ¿Es parecido al valor exacto de f(1) = 3√
28? Comenta lo queocurre.
(c) Calcula el polinomio de Taylor de orden 3, P3(x), de f(x) = 3√x + 27 = (x + 27)1/3 en a = 0.
¿Cual es el valor aproximado de P3(1)? ¿Es mas o menos parecido al valor exacto de f(1) = 3√
28?
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2 Determina el polimonio de Taylor de orden 3 de la funcion f(x) = ex2
en el punto cero.
3 Sea f(x) una funcion cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el punto a = 1 es
p(x) = 3 + 2(x− 1) + 5(x− 1)2 .
(a) Calcula f(1), f ′(1) y f ′′(1).
(b) ¿Cual es la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto a = 1?
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