matematicas simplificadas conamat 2ª ed

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    DaladierTypewritten textLIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS

    LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRORESUELTOS Y EXPLICADOSDE FORMA CLARA

    VISITANOS PARADESARGALOS GRATIS.

  • ICONTENIDO

    Matemticas simplicadas

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  • Mxico o Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuadora C C uEspaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay G P o u VenezuelaneVV

    Prentice Halle a

    Matemticas simplicadas

    ARTURO AGUILAR MRQUEZFABIN VALAPAI BRAVO VZQUEZHERMAN AURELIO GALLEGOS RUIZ

    MIGUEL CERN VILLEGASRICARDO REYES FIGUEROA

    REVISIN TCNICAIng. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)

    Ing. Agustn Vzquez Snchez (M. en C.)Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

    Campus Estado de Mxico

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  • COLEGIO NACIONAL DE MATEMTICAS

    Matemticas simplicadas Segunda edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2009 ISBN: 978-607-442-348-8 rea: Matemticas

    Formato: 20 25.5 cm Pginas: 1640

    4VIRXMGI,EPPIWYREQEVGEHI

    Todos los derechos reservados

    Editor: Lilia Moreno Olvera e-mail: [email protected]

    Editor de desarrollo: Alejandro Gmez RuizSupervisores de produccin: Juan Jos Garca Guzmn Rodrigo Romero Villalobos Jos Hernndez Garduo

    SEGUNDA EDICIN, 2009D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

    Atlacomulco 500-5 piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

    Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031

    Prentice-Hall es marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

    Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

    El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

    ISBN: 978-607-442-348-8

    Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

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  • Para los que ensean y para los que aprendenING. ARTURO SANTANA PINEDA

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  • El poder de las matemticasEl que domina las matemticas

    piensa, razona, analiza y por ende acta con lgica en la vida cotidiana,

    por tanto, domina al mundo. ING. ARTURO SANTANA PINEDA

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  • IX

    Prefacio

    El Colegio Nacional de Matemticas es una institucin que, desde su fundacin, ha impartido cursos de regularizacin en las reas de Matemticas, Fsica y Qumica, con resultados altamente satisfac-torios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidi plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos aos y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemticas, piensa, razona, analiza y por tanto acta con lgica.

    A travs de esta institucin y sus docentes, se ha logrado no slo resolver el problema de reprobacin con el que llega el estudiante sino, tambin, cambiar su apreciacin sobre la materia, de tal forma, que se va convencido de que es fcil aprender matemticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ah que jvenes que han llegado con serios problemas en el rea, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afn.

    De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institucin para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte prctica que requiere un estudiante al aprender matemticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.

    Enfoque

    El libro tiene un enfoque 100% prctico, por lo que la teora que se trata es lo ms bsica posible, slo se abordan los conceptos bsicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicacin de la teora analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.

    De esta manera, se pone mayor nfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendr la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder as reafirmar lo aprendido. Estamos conven-cidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la prctica puede lograr que este razonamiento se d ms rpido y sin tanta dificultad.

    Estructura

    Matemticas simplificadas est formado por seis reas bsicas de las matemticas: Aritmtica, lgebra, Geometra y Trigonometra, Geometra Analtica, Clculo Diferencial y Clculo Integral. Cada una de ellas est dividida en captulos, los cuales llevan un orden especfico, siempre tomando en cuenta que el estudio de las matemticas se va construyendo, es decir, cada tema siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los apartados anteriores.

    Cada captulo est estructurado a base de teora, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son de-sarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. La solucin a los ejercicios se encuentran al final del libro organizados por rea, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvi correctamente y comprobar su aprendizaje. En esta edicin se identifican las secciones que corresponden a los problemas de aplicacin, los cuales tienen como objetivo hacer una vinculacin con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conoci-mientos adquiridos en cada tema.

    La primera parte del libro est dividida en once captulos que corresponden al rea de Aritmtica, materia clave para el estudio de las dems reas, donde se inicia con los conceptos bsicos, para dar paso al estudio de

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  • Xlos nmeros enteros y racionales con sus respectivas operaciones, teora de nmeros, potenciacin y radica-cin, notacin cientfica, logaritmos, razones y proporciones, sistemas de numeracin y al final, un captulo de razonamiento matemtico, donde el lector podr verificar lo aprendido en esta rea.

    El estudio del lgebra corresponde a la segunda parte del libro, siendo fundamental para poder aprender cualquier otra materia o tema relacionado con las matemticas. Est dividida en 17 captulos, donde se en-cuentran temas como: Lgica y conjuntos, conceptos bsicos de lgebra, productos notables, factorizacin, fracciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado con aplicaciones, funcin lineal, sistemas de ecuaciones, potenciacin, radicacin, nmeros complejos, desigualdades, logaritmos, progresiones, matrices y races de una ecuacin. Cada tema est desarrollado con la teora justa y siguiendo con la idea de brindar al lector un gran nmero de ejemplos para facilitar el aprendizaje de esta materia.

    La tercera parte corresponde a las reas de Geometra Euclidiana y Trigonometra, se divide en 17 captulos. En Geometra se estudian conceptos bsicos y temas esenciales como: ngulos, rectas, tringulos, cuadrilteros y polgonos en general, circunferencia y como tema nuevo en esta edicin, se agreg el tema de transformacio-nes (escala, rotacin simetra axial, simetra central). Cada apartado con sus respectivas definiciones, teoremas y aplicaciones. Tambin se analiza conceptos como permetros, reas y volmenes de figuras geomtricas. Para Trigonometra se estudian las funciones trigonomtricas, desde su definicin, su clculo, sus grficas, identidades, ecuaciones con dichas funciones y, aplicaciones a la solucin de tringulos rectngulos y obli-cungulos. Adems, se da como un elemento extra la forma trigonomtrica de los nmeros complejos.

    La Geometra Analtica se estudia en la cuarta parte de este libro, a travs de trece captulos que ofrecen las herramientas bsicas para abordar los temas de distancia, punto medio, punto de divisin pendiente, etc., para posteriormente tratar los principales lugares geomtricos como: la recta, circunferencia, parbola, elipse e hiprbola. Contina con un extenso captulo sobre coordenadas polares y finaliza con el estudio de las ecuaciones paramtricas.

    Clculo Diferencial e Integral son los dos apartados con los que concluye el libro. En el primero, se estudia todo lo correspondiente a los conceptos bsicos del clculo diferencial, analizando temas como: funciones, lmites (tema que en esta edicin fue modificado en su parte terica), continuidad, la derivada y sus aplicacio-nes, los cuales son desarrollados de manera amplia y prctica. Algunos de estos temas han sido enriquecidos en su teora o ejercicios. Para el apartado de Clculo Integral se estudia desde sumas de Riemann, pasando por integrales inmediatas, mtodos de integracin, rea bajo la curva, volmenes y algunas aplicaciones en la economa (temas tambin enriquecidos en esta edicin).

    El libro tiene la ventaja de contener el material necesario para aprender y verificar el conocimiento ad-quirido, as como tener la referencia para desarrollar temas, que en el caso de no contar con los elementos necesarios, el lector podr recurrir a ellos buscando en alguna de las reas previas a las que est estudiando.

    Todo lo anterior hace de este texto una referencia total para que el estudiante de nivel medio superior tenga un material de consulta durante todo su bachillerato, o para aquel que inicie estudios superiores, as como para los profesores que en funcin de necesidades especificas estn en posibilidad de realizar desde una consulta, hasta contar un apoyo para la parte prctica de su curso empleando los ejercicios propuestos.

    Cabe mencionar que para esta edicin se tomaron en cuenta las observaciones hechas por estudiantes y profesores que con su colaboracin enriquecieron y mejoraron este material.

    PREFACIO

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  • XI

    Agradecimientos

    Segn Benjamn Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a travs de este libro, las ms grandes ganancias para tu futuro profesional.

    ARTURO SANTANA DIRECTOR GENERAL DE CONAMAT

    A mi madre por darme la vida y ensearme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverra, Pineda y Snchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantsticos: Herman, Fabin, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y sern.

    ARTURO AGUILAR

    A mis padres Mara Elena y lvaro, por brindarme la vida, por sus enseanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razn de mi vida y mi inspiracin; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compaeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo y Herman.

    FABIN VALAPAI BRAVO

    Una vez mi padre me dijo que un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o ttulos, sino es aquel que se gana el cario, admiracin y respeto de sus semejantes, agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y Jos Fernando que son el motor de mi vida.

    HERMAN A. GALLEGOS RUIZ

    A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustn, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero adems, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compaeros Arturo, Fabin, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueo.

    MIGUEL CERN

    A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensin y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabin, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueo.

    RICARDO REYES

    Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.

    LOS AUTORES

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  • XIII

    Acerca de los autores

    Arturo Aguilar Mrquez. Lleg como estudiante a Colegio Nacional de Matemticas, desarroll habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institucin. Realiz estudios de Actuara en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico y ha impartido clases de Matemticas por ms de 11 aos en CONAMAT.

    Fabin Valapai Bravo Vzquez. Desde muy temprana edad, con la preparacin de profesores de CONAMAT, particip en concursos de matemticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorpor a la plantilla docente de la misma institucin donde ha impartido la materia de Matemticas durante 12 aos. Al mismo tiempo, estudi la carrera de Diseo Grfico en la Escuela Nacional de Artes Plsticas.

    Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inici como profesor en CONAMAT. Realiz estudios en la Escuela Superior de Fsica y Matemticas del Instituto Politcnico Nacional y Actuara en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Ha impartido clases de Matemticas y Fsica por ms de 15 aos en Colegio Nacional de Matemticas.

    Miguel Cern Villegas. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politcnico Nacional, realiz estudios de Ingeniera Industrial y tiene ms de 15 aos de experiencia en docencia.

    Ricardo Reyes Figueroa. Inici su trayectoria en la disciplina de las Matemticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institucin donde ha impartido la materia de Matemticas y Fsica durante 19 aos. Realiz sus estudios de Matemticas en la Escuela Superior de Fsica y Matemticas del Instituto Politcnico Nacional, y de Matemticas Puras en la Universidad Autnoma Metropolitana.

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  • XV

    Contenido

    CAPTULO 1 Nmeros realesClasicacin, 4. Propiedades, 4. Lectura y escritura, 5. Orden, 8. Valor absoluto de un nmero, 11. Valor absoluto y relativo del sistema posicional decimal, 12.

    CAPTULO 2 Nmeros enterosSuma, 16. Resta, 18. Suma y resta con signos de agrupacin, 21. Multiplicacin, 23. Multiplicacin con signos de agrupacin, 26. Divisin, 29. Algoritmo de la divisin, 29.

    CAPTULO 3 Teora de nmerosDivisibilidad, 34. Criterios de divisibilidad, 34. Nmeros primos, 36. Descomposicin de un nmero en sus factores primos, 37. Mximo comn divisor (MCD), 38. Mnimo comn mltiplo (mcm), 40.

    CAPTULO 4 Nmeros racionalesFraccin comn, 46. Clasicacin, 47. Conversiones, 48. Fracciones equivalentes, 49. Propiedades, 50. Ubicacin en la recta numrica, 51. Suma y resta con igual denominador, 52. Suma y resta con diferente denominador, 53. Multiplicacin, 56. Divisin, 59. Operaciones con signos de agrupacin, 61. Fracciones complejas, 64.

    CAPTULO 5 Nmeros decimalesDenicin, 68. Lectura y escritura, 68. Suma y resta, 71. Multiplicacin, 74. Divisin, 77. Conversiones, 81.

    CAPTULO 6 Potenciacin y radicacinPotenciacin, 86. Teoremas, 87. Radicacin, 91. Teoremas, 92. Simplicacin, 94. Suma y resta, 95. Multiplicacin, 97. Divisin, 99. Racionalizacin, 101. Raz cuadrada, 104. Raz cbica, 107. Jerarqua de operaciones, 108.

    CAPTULO 7 Notacin cientca y logaritmosNotacin cientca, 114. Suma y resta, 117. Multiplicacin y divisin, 118. Potencias y races, 120. Logaritmo de un nmero, 122. Antilogaritmo, 124. Propiedades de los logaritmos, 125. Cambios de base, 128.

    CAPTULO 8 Razones y proporcionesCantidades proporcionales, 132. Proporcin, 132. Media proporcional (media geomtrica), 134. Cuarta proporcional, 135. Tercera proporcional, 136. Regla de tres simple, 136. Regla de tres compuesta, 140. Tanto por ciento, 141. Inters simple, 147. Frmulas para determinar el inters simple, 147. Frmulas para el clculo del capital, el tiempo y la tasa, 149.

    ARITMTICA

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  • XVI

    CAPTULO 9 Sistemas de numeracinDenicin, 152. Conversiones, 154. Conversin de un nmero en base B a base 10 N(B) N(10 ), 154. Conversin de un nmero en base 10 a otra base N(10 ) N(B), 157. Conversin de un nmero binario a octal N(2) N(8), 160. Conversin de un nmero octal a binario N(8) N(2), 160. Conversin de un nmero binario a hexadecimal N(2) N(16), 161. Conversin de un nmero hexadecimal a binario N(16) N(2), 162. Suma con nmeros en base distinta de 10, 164. Resta con nmeros en base distinta de 10, 169. Multiplicacin con nmeros en base distinta de 10, 173. Divisin con nmeros en base distinta de 10, 176. Sistemas antiguos de numeracin, 178. Sistema de numeracin maya, 178. Sistema de numeracin babilnico, 182. Sistema de numeracin romano, 185. Sistema de numeracin egipcio, 187.

    CAPTULO 10 Sistema mtrico decimal y nmeros denominadosSistema mtrico decimal, 194. Unidades de longitud, 194. Equivalencias de longitud en el sistema mtrico decimal, 194. Unidades de supercie, 195. Equivalencias de supercie en el sistema mtrico decimal, 195. Unidades de volumen, 196. Equivalencias de volumen en el sistema mtrico decimal, 196. Unidades de masa, 197. Equivalencias de masa en el sistema mtrico decimal, 197. Nmeros denominados, 198. Equivalencias de medidas de tiempo, 198. Equivalencias de medidas angulares, 198. Suma, 200. Resta, 201. Multiplicacin, 202. Divisin, 203.

    CAPTULO 11 Razonamiento aritmticoProblemas con nmeros enteros, 206. Problemas con fracciones, 209. Problemas de agrupacin, 212. Suma de los divisores de un nmero, 215. Problemas de repartimientos proporcionales, 217.

    CONTENIDO

    LGEBRA

    CAPTULO 1 Conjuntos y lgicaSimbologa, 224. Conjuntos, 225. Conjuntos de nmeros, 226. Tipos de nmeros, 226. Escritura y repre-sentacin de conjuntos, 227. Cardinalidad, 228. Conjuntos equivalentes, 229. Conjuntos iguales, 230. Conjuntos disjuntos, 230. Subconjuntos, 231. Conjunto potencia, 231. Conjunto universo, 232. Diagramas de Venn, 232. Unin de conjuntos, 234. Interseccin de conjuntos, 235. Conjunto complemento, 237. Dife-rencia de conjuntos, 239. Operaciones de conjuntos con diagramas de Venn, 241. lgebra de conjuntos, 248. Lgica, 249. Tipos de proposiciones, 250. Proposiciones compuestas, 250. Leyes de De Morgan, 253. Proposiciones condicionales, 253. Relacin de proposiciones abiertas con conjuntos, 254. Clculo proposicional, 258. Construccin de las tablas de verdad, 260. Producto cartesiano de conjuntos, 263.

    CAPTULO 2 Conceptos bsicos de lgebralgebra, 266. Expresiones algebraicas, 266. Reduccin de trminos semejantes, 266. Valor numrico, 268. Lenguaje algebraico, 270. Polinomios, 272. Suma, 272. Resta, 274. Signos de agrupacin, 276. Reglas para suprimir los signos de agrupacin, 276. Multiplicacin, 278. Divisin, 283. Ley de los expo-nentes para la divisin, 284.

    CAPTULO 3 Productos notablesDenicin, 294. Cuadrado de un binomio, 294. Cuadrado de un trinomio, 295. Binomios conjugados, 297. Productos donde se aplican binomios conjugados, 298. Binomios con trmino comn, 300. Cubo de un binomio, 303. Multiplicaciones que se resuelven con la aplicacin de productos notables, 304.

    CAPTULO 4 FactorizacinDenicin, 308. Factor comn, 308. Factor comn por agrupacin de trminos, 309. Diferencia de cua-drados, 311. Trinomio cuadrado perfecto, 312. Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, 312.

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  • XVII

    CONTENIDO

    Trinomio de la forma x2 + bx + c, 315. Trinomio de la forma a x2 + bx + c, 318. Por agrupacin de trminos, 319. Casos especiales, 320. Suma o diferencia de cubos, 322. Suma o diferencia de potencias impares iguales, 324. Factorizacin que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados, 325. Factorizacin para completar el trinomio cuadrado perfecto, 326. Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o ms casos, 327. Descomposicin en factores de un polinomio por divisin sinttica, 328.

    CAPTULO 5 Fracciones algebraicasMximo comn divisor (MCD), 332. Mnimo comn mltiplo (mcm), 332. Simplicacin de fracciones algebraicas, 334. Suma y resta de fracciones con denominador comn, 336. Suma y resta de fraccio- nes con denominadores diferentes, 337. Multiplicacin de fracciones algebraicas, 341. Divisin de frac- ciones algebraicas, 343. Combinacin de operaciones con fracciones, 345. Fracciones complejas, 347.

    CAPTULO 6 Ecuaciones de primer gradoConceptos generales, 352. Ecuaciones de primer grado con una incgnita, 352. Con signos de agru-pacin y productos indicados, 355. Fraccionarias, 357. Con valor absoluto, 360. Con literales, 362. Problemas sobre nmeros, 363. Problemas sobre edades, 366. Problemas sobre mezclas, 367. Problemas sobre monedas, 369. Problemas sobre costos, 370. Problemas sobre el tiempo requerido para realizar un trabajo, 372. Problemas sobre comparacin de distancias y tiempos, 374. Problemas de aplicacin a la geometra plana, 376. Despejes de frmulas, 378.

    CAPTULO 7 Funcin linealPlano cartesiano, 382. Localizacin de puntos, 382. Funcin, 383. Constante, 383. Ecuacin x = k, 383. Lineal, 384. Generalidades, 385.

    CAPTULO 8 Sistemas de ecuacionesEcuacin lineal, 394. Solucin de una ecuacin lineal, 394. Grca, 396. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, 398. Mtodos de solucin, 400. Sistema de dos ecuaciones que se reducen a lineales, 412. Mtodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables, 421. Reduccin (suma y resta), 421. Determinantes, 426. Descomposicin de una fraccin algebraica en suma de fracciones parciales, 429.

    CAPTULO 9 PotenciacinDenicin, 438. Teoremas de los exponentes, 438. Potencia de un binomio, 447. Factorial de un nmero, 447. Binomio de Newton, 447. Clculo del i-simo trmino, 450. Tringulo de Pascal, 451.

    CAPTULO 10 RadicacinRadical, 454. Elementos de un radical, 454. Raz principal de un radical, 454. Radical como exponente, 454. Teoremas, 455. Representacin de un exponente fraccionario como radical, 456. Teoremas, 457. Clculo de races, 458. Simplicacin, 460. Introduccin de factores, 462. Suma y resta, 464. Multiplica-cin, 466. Con ndices diferentes, 468. Divisin, 469. Con ndices iguales, 469. Con ndices diferentes, 470. Racionalizacin, 471. Racionalizacin del denominador de una fraccin, 471. Racionalizacin del numerador de una fraccin, 474.

    CAPTULO 11 Nmeros complejosNmeros imaginarios, 478. Nmero imaginario puro, 478. Suma y resta, 479. Potencias de i, 480. Mul-tiplica cin y divisin, 481. Nmeros complejos, 483. Suma y resta, 484. Multiplicacin por un escalar, 485. Mul ti pli ca cin, 487. Divisin, 489. Representacin grca, 490. Valor absoluto o mdulo, 492. Conjugado, 493.

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  • CONTENIDO

    XVIII

    CAPTULO 12 Ecuaciones de segundo gradoDenicin, 498. Solucin de una ecuacin de segundo grado completa, 498. Frmula general, 501. Factorizacin, 504. Solucin de una ecuacin de segundo grado incompleta, 506. Mixtas, 506. Puras, 507. Funcin cuadrtica, 513. Anlisis de una funcin cuadrtica, 513. Relacin entre las races de una ecuacin de segundo grado, 516. Deduccin de una ecuacin de segundo grado dadas las races, 518. Ecuaciones con radicales, 519. Sistema de ecuaciones cuadrticas, 521. Procedimiento para la resolucin de un sistema de ecuaciones cuadrtico-lineal con dos incgnitas, 521. Procedimiento para la resolucin de un sistema de dos ecuaciones cuadrticas, 522. Procedimiento para la resolucin de un sistema cuadrtico mixto, 522.

    CAPTULO 13 DesigualdadesDenicin, 526. Propiedades de las desigualdades, 526. Desigualdad lineal con una variable, 527. Desigualdad cuadrtica con una variable, 530. Mtodo por casos, 530. Mtodo por intervalos, 530. Mtodo grco, 533. Desigualdad racional, 535. Mtodo por casos, 535. Mtodo por intervalos, 538. Desigualdad que tiene la expresin ( x a) ( x b) ( x c)..., 540. Desigualdades con valor absoluto, 541. Casos especiales de desigualdades con valor absoluto, 542. Grca de una desigualdad lineal con dos variables, 544. Sistema de desigualdades lineales con dos variables, 546.

    CAPTULO 14 LogaritmosDenicin, 550. Aplicacin de la denicin de logaritmo, 551. Propiedades, 552. Aplicacin de las pro-piedades para el desarrollo de expresiones, 553. Ecuaciones logartmicas, 558. Ecuaciones exponenciales, 560.

    CAPTULO 15 ProgresionesSucesin innita, 572. Suma, 574. Progresin aritmtica o sucesin aritmtica, 575. Frmula para deter-minar el n-simo trmino en una progresin aritmtica, 576. Frmulas para determinar el primer trmino, nmero de trminos y la razn, 577. Suma de los n primeros trminos en una progresin aritmtica, 580. Interpolacin de medios aritmticos, 583. Media aritmtica o promedio aritmtico, 584. Progresin geom-trica o sucesin geomtrica, 585. Frmula para obtener el n-simo trmino en una progresin geomtrica, 586. Frmulas para obtener el 1er trmino, nmero de trminos y la razn, 588. Suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica, 591. Progresin geomtrica innita, 594. Interpolacin de medios geomtricos, 596. Inters compuesto, 598. Depreciacin, 601.

    CAPTULO 16 MatricesDenicin, 604. Orden de una matriz, 604. Nmero de elementos de una matriz, 605. Tipos de matrices, 605. Multiplicacin por un escalar, 608. Suma, 609. Resta, 611. Multiplicacin, 613. Propiedades de las matrices, 614. Determinantes, 615. Sea la matriz de orden 2, 615. Sea la matriz de orden 3, 616. Propiedades, 616. Matriz inversa, 618. Mtodo de Gauss-Jordan, 618. Inversa de una matriz para resolver sistemas de ecuaciones, 620.

    CAPTULO 17 Races de un polinomioTeorema del factor y del residuo, 624. Races, 625. Clculo de las races por divisin sinttica, 628. Regla de los signos de Descartes, 628.

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  • XIX

    CONTENIDO

    CAPTULO 1 Conceptos bsicosConceptos bsicos, 636

    CAPTULO 2 ngulosDefinicin, 640. Medidas, 640. Sistema sexagesimal, 640. Sistema cclico o circular, 642. Conversin de grados a radianes y de radianes a grados, 642. Operaciones, 644. Clasificacin de acuerdo con su medida, 646. Convexos, 646. Llano o de lados colineales, 647. Cncavo o entrante, 647. Perigonal o de vuelta entera, 647. Complementarios, 647. Suplementarios, 647. Conjugados, 648.

    CAPTULO 3 Rectas perpendiculares y paralelasPerpendicularidad, 654. Paralelismo, 654. ngulos opuestos por el vrtice, 655. ngulos contiguos, 655. ngulos adyacentes, 655. Rectas paralelas cortadas por una recta secante, 655.

    CAPTULO 4 TringulosDefinicin, 662. Clasificacin de los tringulos, 662. Por sus lados, 662. Por sus ngulos, 662. Rectas y puntos notables, 663. Teoremas, 664. Tringulos congruentes, 669. Teoremas de congruencia, 669. Proporciones, 676. Teoremas de proporciones, 677. Semejanza, 678. Propiedades fundamentales, 678. Teoremas de semejanza, 679. Teorema de Tales, 681. Teorema de Pitgoras, 686. Naturaleza del tringulo a partir del teorema de Pitgoras, 688. Teoremas de semejanza en tringulos rectngulos, 689.

    CAPTULO 5 CuadrilterosDefinicin, 694. Clasificacin, 694. Teorema, 695. Propiedades de los paralelogramos, 695. Demostraciones, 697. Paralelogramos especiales, 698. Propiedades de los trapecios, 700. Propiedades de los trapecios issceles, 700.

    CAPTULO 6 PolgonosDefinicin, 704. Clasificacin, 704. Por sus lados, 704. Por sus ngulos, 704. Elementos, 705. Nmero de diagonales, 705. Nmero de diagonales trazadas desde un mismo vrtice, 705. Nmero de diagonales totales, 705. ngulos de un polgono, 707.

    CAPTULO 7 TransformacionesEscala, 714. Figuras a escala, 714. Transformaciones de figuras en el plano, 716. Traslacin, 716. Rotacin, 719. Simetra axial, 723. Simetra central, 728.

    CAPTULO 8 Circunferencia y crculoCircunferencia, 734. Rectas notables, 734. Porciones de un crculo, 734. Circunferencia y polgonos, 735. ngulos notables, 735. Teoremas, 739. Tangente a una circunferencia, 744. Longitud de una tangente, 744. Propiedades de las tangentes, 744. Posiciones relativas, 745.

    GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

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  • CONTENIDO

    XX

    CAPTULO 9 Permetros y superciesDefiniciones, 750. Permetro y rea de una figura plana, 750. Tringulos, 750. Cuadrilteros, 751. Polgonos regulares, 753. Circunferencia y crculo, 754. Sector y segmento circular, 754. rea de figuras combinadas, 757.

    CAPTULO 10 Cuerpos geomtricos, reas y volmenesngulo diedro, 764. Clasificacin, 764. ngulo triedro, 764. Clasificacin, 765. ngulo poliedro, 766. Clasificacin, 766. Poliedro, 767. Elementos, 767. Clasificacin, 767. Poliedros regulares, 768. Clasificacin, 768. Desarrollo, 769. rea y volumen de un poliedro regular, 769. Prisma, 772. Clasificacin, 772. rea y volumen, 774. Pirmides, 776. rea y volumen, 777. Cuerpos con superficies no planas, 779. Cilindro circular, 780. Cono circular, 780. Esfera, 783. Figuras esfricas y zonas esfricas, 783. rea de figuras esfricas y volumen de cuerpos esfricos, 784.

    CAPTULO 11 Funciones trigonomtricasFunciones trigonomtricas, 790. Definiciones, 790. Cofunciones, 791. Rango numrico, 792. Valor, 792. Signos de las funciones trigonomtricas en el plano cartesiano, 794. Tabla de signos, 794. Funciones trigonomtricas para ngulos mayores que 90, 796. Funciones trigonomtricas de ngulos negativos, 798. Valores numricos de las funciones trigonomtricas circulares, 799.

    CAPTULO 12 Funciones trigonomtricas para ngulos notablesValor de las funciones trigonomtricas de los ngulos de 0, 90, 180, 270 y 360, 804. Valor de las funciones trigonomtricas de los ngulos de 30, 45 y 60, 805. Aplicacin de los valores trigonom-tricos de los ngulos notables, 807.

    CAPTULO 13 Representacin grca de las funciones trigonomtricasGrficas de las funciones trigonomtricas, 812. Grfica de y = sen x, 812. Grfica de y = cos x, 813. Grfica de y = tan x, 813. Grfica de y = ctg x, 814. Grfica de y = sec x, 814. Grfica de y = csc x, 815. Resumen, 815. Amplitud, periodo y desplazamiento de fase, 816. Grficas de y = sen1 x, y = cos1 x, y = tan1 x, 819.

    CAPTULO 14 Identidades y ecuaciones trigonomtricasIdentidades trigonomtricas, 824. Obtencin de las identidades trigonomtricas bsicas, 824. Demostracin de identidades trigonomtricas, 825. Obtencin de las identidades trigonomtricas de la suma y la diferencia de ngulos, 830. Valor de una funcin trigonomtrica para la suma y la diferencia de ngulos , 832. Aplicacin de las funciones trigonomtricas de la suma y la diferencia de ngulos, 833. Funciones trigonomtricas del ngulo doble, 837. Seno del ngulo doble sen (2a), 837. Coseno del ngulo doble cos (2a), 837. Tangente del ngulo doble tan (2a), 838. Funciones trigonomtricas de la mitad de un ngulo, 839. Senode la mitad de un ngulo: sen

    2, 839. Coseno de la mitad de un ngulo: cos

    2, 839. Tangente de la mitad

    de un ngulo: tan2

    , 839. Identidades trigonomtricas para transformar un producto en suma o resta, 844.

    Demostracin de identidades, 846. Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonomtricas en un producto, 848. Demostracin de identidades, 851. Ecuaciones trigonomtricas, 852.

    CAPTULO 15 Tringulos rectngulosSolucin de tringulos rectngulos, 858.

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  • XXI

    CONTENIDO

    CAPTULO 16 Tringulos oblicungulosSolucin de tringulos oblicungulos, 868. Ley de senos, 868. Ley de cosenos, 870. Ley de tangentes, 872.

    CAPTULO 17 Forma trigonomtrica de los nmeros complejosForma trigonomtrica o polar, 882. Operaciones fundamentales, 883.

    CAPTULO 1 Geometra analtica unidimensionalSegmento de recta, 892. Distancia entre dos puntos, 892. Distancia dirigida, 892. Divisin de un segmento en una razn dada, 894. Punto medio, 896.

    CAPTULO 2 Geometra analtica bidimensionalPlano cartesiano, 900. Localizacin de puntos, 900. Distancia entre dos puntos, 901. Divisin de un segmento en una razn dada, 903. Punto medio de un segmento de recta, 907. Puntos de triseccin de un segmento de recta, 908. rea de un tringulo, 909. rea de un polgono, 910.

    CAPTULO 3 Pendiente de una rectaDefiniciones, 914. Pendiente de una recta que pasa por dos puntos, 914. Condicin de paralelismo, 917. Condicin de perpendicularidad, 918. ngulo entre dos rectas, 920.

    CAPTULO 4 Lugar geomtricoProblemas fundamentales de la geometra analtica, 926. Primer problema (discusin de un lugar geomtrico), 926. Segundo problema (dadas las condiciones del lugar geomtrico, encontrar su ecuacin), 931.

    CAPTULO 5 Lnea rectaDefinicin, 936. Ecuaciones de la recta, 936. Ecuacin general, 936. Ecuacin punto pendiente, 936. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, 936. Formas de la ecuacin de una recta, 941. Ecuacin de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen (forma ordinaria o reducida), 941. Ecuacin de la recta en su forma simtrica, 946. Familia de rectas, 949. Ecuacin de la recta en su forma normal, 951. Rectas notables en el tringulo, 961. Mediatriz, 961. Mediana, 961. Altura, 962. Bisectriz, 965.

    CAPTULO 6 CircunferenciaDefinicin, 970. Ecuaciones de la circunferencia, 970. Ecuacin en su forma ordinaria, 970. Ecuacin en su forma general, 970. Ecuacin en su forma cannica, 970. Transformacin de la ecuacin general a la forma ordinaria, 976. Familia o haz de circunferencias, 980.

    CAPTULO 7 Transformacin de coordenadasTraslacin de ejes, 982. Traslacin de un punto a un nuevo sistema de coordenadas, 982. Transformacin de una curva trasladando el origen, 983. Transformacin de una ecuacin, 985.

    GEOMETRA ANALTICA

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  • CONTENIDO

    XXII

    CAPTULO 8 ParbolaDefinicin, 990. Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen, 992. Elementos y ecuacin de una parbola con vrtice en el origen, 992. Ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (h, k), 998. Elementos y ecuacin de una parbola con vrtice en (h, k), 999. Ecuacin de la parbola que pasa por tres puntos, 1004. Ecuacin de una recta tangente a una parbola, 1007.

    CAPTULO 9 ElipseDefinicin, 1010. Ecuacin de una elipse con centro en el origen, 1011. Elementos y ecuacin, 1012. Dados sus elementos obtener la ecuacin de la elipse con centro en el origen, 1015. Ecuacin de una elipse con centro en el punto (h, k), 1018. Dada la ecuacin, obtener sus elementos, 1019. Dados sus elementos, obtener la ecuacin, 1022. Casos especiales, 1025. Ecuacin de la elipse que pasa por cuatro puntos, 1026. Ecuacin de una recta tangente a una elipse, 1030.

    CAPTULO 10 HiprbolaDefinicin, 1032. Ecuacin de una hiprbola con centro en el origen, 1034. Elementos y ecuacin, 1035. Dada la ecuacin, obtener sus elementos, 1036. Dados sus elementos, obtener la ecuacin, 1039. Ecuacin de una hiprbola con centro en el punto (h, k), 1041. Elementos y ecuacin, 1041. Dada la ecuacin obtener sus elementos, 1043. Dados sus elementos obtener la ecuacin, 1046. Casos especiales, 1049. Ecuacin de una recta tangente a una hiprbola en un punto cualquiera, 1051.

    CAPTULO 11 Ecuacin general de cnicasRotacin de ejes, 1054. ngulo de rotacin, 1055. Transformacin de la ecuacin general de segundo grado, 1056. Transformacin aplicando las identidades trigonomtricas, 1057. Transformacin de la ecuacin de una cnica por rotacin y traslacin de los ejes, 1059. Identificacin de una cnica, 1061. Identificacin de cnicas degeneradas, 1063. Definicin general de cnicas, 1065. Ecuaciones de las directrices de la elipse y de la hiprbola, 1067. Tangente a una cnica, 1069. Dado el punto de tangencia, 1069. Dada la pendiente de la recta tangente, 1071. Dado un punto exterior a la curva, 1073.

    CAPTULO 12 Coordenadas polaresSistema polar, 1076. Grfica de un punto en coordenadas polares, 1076. Conversin de un punto en coordenadas polares, 1078. Relacin entre las coordenadas rectangulares y polares, 1078. Transformacin de un punto en coordenadas polares a rectangulares, 1079. Transformacin de un punto en coordenadas rectangulares a polares, 1079. Distancia entre dos puntos en coordenadas polares, 1081. rea de un tringulo en coordenadas polares, 1081. Transformacin de una ecuacin rectangular a polar, 1082. Trans-formacin de una ecuacin polar a rectangular, 1084. Identificacin de una cnica en su forma polar, 1087. Grfica de una ecuacin en coordenadas polares, 1088. Anlisis de una ecuacin en coordenadas polares, 1088. Ecuacin polar de la recta, 1093. Ecuacin polar de la circunferencia, 1095. Interseccin de curvas en coordenadas polares, 1095.

    CAPTULO 13 Ecuaciones paramtricasDefinicin, 1100. Transformacin de ecuaciones paramtricas a rectangulares, 1100. Sistemas paramtricos algebraicos, 1100. Sistemas de ecuaciones paramtricas que contienen funciones trigonomtricas, 1103.

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  • XXIII

    CONTENIDO

    CAPTULO 1 Relaciones y funcionesRelacin, 1110. Funcin, 1110. Notacin, 1113. Clasificacin, 1113. Valor de una funcin, 1113. Dominio, contradominio y rango de una funcin, 1116. Algunos tipos de funciones, 1119. Funcin constante, 1119. Funcin lineal, 1120. Funcin identidad, 1122. Funcin cuadrtica, 1122. La funcin f(x) 5 xn, 1123. Funcin racional, 1124. Funcin raz cuadrada, 1127. Funcin valor absoluto, 1129. Funcin mayor entero, 1132. Funcin caracterstica, 1135. Grfica de una funcin a partir de otra conocida, 1136. Desplazamientos, 1136. Alargamientos, 1136. Reflexiones verticales y horizontales, 1137. Funciones creciente y decreciente, 1140. Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva, 1140. Funcin inyectiva (uno a uno), 1140. Funcin suprayectiva, 1142. Funcin biyectiva, 1143. Operaciones con funciones, 1144. Funcin composicin (Funcin de funciones), 1147. Funciones par e impar, 1150. Funcin inversa, 1151. Propiedades, 1152. Funciones trascendentes, 1153. Funcin exponencial, 1153. Funciones trigonomtricas, 1156. Las funciones como modelos matemticos, 1158.

    CAPTULO 2 LmitesDefinicin intuitiva de lmite, 1162. Definicin formal de lmite, 1166. Teoremas, 1168. Lmites cuando x tiende al infinito, 1176. Asntotas horizontales, 1178. Asntotas oblicuas, 1180. Lmites laterales, 1183. Lmites de funciones trigonomtricas, 1186.

    CAPTULO 3 ContinuidadContinuidad puntual, 1194. Discontinuidad evitable o removible, 1196, Continuidad de una funcin en un intervalo, 1201. Continuidad por la derecha, 1201. Continuidad por la izquierda, 1201. Continuidad de una funcin en un intervalo abierto, 1201. Continuidad en un intervalo cerrado, 1202. Continuidad en un intervalo semiabierto, 1204. Teorema del valor intermedio, 1206.

    CAPTULO 4 La derivadaDefinicin, 1210. Interpretacin geomtrica, 1210. Regla de los cuatro pasos, 1211. Frmulas para determinar la derivada de una funcin algebraica, 1213. Derivadas de funciones trascendentes, 1220. Derivadas de funciones implcitas, 1233. Derivadas de orden superior, 1237. Derivadas de ecuaciones polares, 1240. Derivada de ecuaciones paramtricas, 1241.

    CAPTULO 5 Aplicaciones de la derivadaRectas tangente y normal a una curva, 1246. Tangente, 1246. Normal, 1246. Ecuacin de la recta tangente, 1247. Ecuacin de la recta normal, 1247. ngulo entre dos curvas, 1251. Curvatura, 1254. Radio de curvatura, 1254. Crculo de curvatura, 1256. Centro de curvatura, 1256. Radio de curvatura en coordenadas paramtricas, 1258. Radio de curvatura en coordenadas polares, 1259. Mximos y mnimos de una funcin, 1261. Criterio de la primera derivada para encontrar puntos mximos y mnimos, 1261. Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos mximos y mnimos, 1265. Optimizacin, 1268. Movimiento rectilneo uniforme, 1276. Aceleracin media, 1277. Razn de cambio, 1278. Aplicaciones a la economa, 1287. Regla de L9Hpital, 1293. Teorema de Rolle, 1299. Teorema del valor medio, 1301. Diferenciales, 1303. Aplicaciones de la diferencial, 1306.

    CLCULO DIFERENCIAL

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  • CONTENIDO

    XXIV

    CAPTULO 1 SumasDefinicin, 1314. Propiedades, 1314. Suma de Riemann (rectngulos inscritos y circunscritos), 1316.

    CAPTULO 2 Integrales inmediatasDefinicin, 1322. Integrales por cambio de variable, 1323.

    CAPTULO 3 Integrales de diferenciales trigonomtricasIntegrales de la forma: senmv dv , cosn v dv , con m y n impar, 1344. Integrales de la forma: tann v dv ,

    cotnv dv con n par o impar, 1346. Integrales de la forma: secn v dv , cscn v dv con n par, 1348. Integrales de la forma: tanm nv v dv sec , cotm nv v dv? csc con n par y m par o impar, 1349. Integrales de la forma: senmv dv y cosn v dv , con m y n par, 1351. Integrales de la forma sen mx nx dx cos ,

    sen senmx nx dx , cos cosmx nx dx , 1354.

    CAPTULO 4 Mtodos de integracinSustitucin trigonomtrica, 1358. Integracin por partes, 1361. Integracin por fracciones parciales, 1365. Integracin por sustitucin de una nueva variable, 1375. Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x, 1375. Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de a 1 bx, 1376. Integracin de las diferenciales binomias, 1379. Transformaciones de diferenciales trigonomtricas, 1382.

    CAPTULO 5 Aplicaciones de la integralConstante de integracin, 1388. Integral definida, 1391. Clculo de una integral definida, 1391. Propiedades de la integral definida, 1391. rea bajo la curva, 1393. Frmula de trapecios, 1397. Frmula

    de Simpson 13

    , 1401. rea entre curvas planas, 1402. Rectngulos de base dx, 1402. Rectngulos de

    base dy, 1402. Volumen de slidos de revolucin, 1406. Mtodo de discos, 1406. Mtodo de las arandelas, 1408. Mtodo de capas, 1410. Longitud de arco, 1415. Aplicaciones a la economa, 1417. Funcin de costos, 1417. Funcin de ingresos, 1418.

    CAPTULO 6 Ecuaciones diferencialesIntroduccin, 1422. Definicin, 1422. Ecuacin diferencial de primer orden, 1424. Variables separables, 1424. Ecuaciones homogneas, 1434.

    Solucin a los ejercicios de aritmtica, 1441. Solucin a los ejercicios de lgebra, 1455. Solucin a los ejercicios de geometra y trigonometra, 1497. Solucin a los ejercicios de geometra analtica, 1525. Solucin a los ejercicios de clculo diferencial, 1553. Solucin a los ejercicios de clculo integral, 1587. Tablas, 1603.

    CLCULO INTEGRAL

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  • Aritmtica

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  • CAPTULO 1 NMEROS REALES

    os nmeros naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones: la necesidad

    de contar.

    El hombre primitivo identi caba objetos con caractersticas iguales y poda distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empez a representar las cantidades mediante marcas en huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado, as concibi la idea del nmero.

    Para el siglo X d. C. el matemtico y poeta Omar Khayyam estableci una teora general de nmero y aadi algunos elementos a los nmeros racio-nales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes.

    Slo a nales del siglo XIX se formaliz la idea de continuidad y se dio una de nicin satisfactoria del conjunto de los nmeros reales; los trabajos de Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros, destacan en esta labor.

    Omar Khayyam(1048-1122)

    Rese

    aHISTRICA

    L

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  • 1 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    4

    Clasi cacin

    El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparicin sobre la Tierra hasta nuestros das, para hacerlo se auxili de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5,, a los que llam nmeros naturales. Nmeros que construy con base en el principio de adicin; sin embargo, pronto se dio cuenta de que este principio no aplicaba para aquellas situaciones en las que necesitaba descontar. Es entonces que cre los nmeros negativos, as como el elemento neutro (cero), que con los nmeros naturales forman el conjunto de los nmeros enteros, los cuales son:

    , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,

    Asimismo, se percat que al tomar slo una parte de un nmero surgan los nmeros racionales, que se expresan

    como el cociente de 2 nmeros enteros, con el divisor distinto de cero, ejemplo: 23

    ,

    14

    ,

    05

    ,

    61

    ,

    82

    ,

    Aquellos nmeros que no es posible expresar como el cociente de 2 nmeros enteros, se conocen como nmeros irracionales: 3 , 23 , 815 , ,

    Al unir los nmeros anteriores se forman los nmeros reales, los cuales se representan en la recta numrica.

    3 2 1 0 1 2 3

    Propiedades

    Los nmeros reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicacin, lo que signi ca que la suma o multiplicacin de nmeros reales da como resultado otro nmero real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:

    Propiedad Suma Multiplicacin Ejemplos

    Cerradura a + b R a b R3 + 5 = 8 R

    (2)( 3) = 6 R

    Conmutativa a + b = b + a a b = b a

    + = +

    (2) = (2)

    Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a(b c) = (a b)c5 + (3 + 4) = (5 + 3) + 4

    3 (2 5) = (3 2) 5

    Elemento neutro a + 0 = a a 1 = a5 + 0 = 5

    7 1 = 7

    Inverso a + ( a) = 0 a 1

    a = 1

    2 + ( 2) = 0

    5 = 1

    Distributiva a(b + c) = ab + ac2(7 + 3) = 2 7 + 2 3

    5 4 + 5 8 = 5(4 + 8)

    12

    37

    37

    12

    15

    15

    15

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  • CAPTULO 1 ARITMTICA Nmeros reales

    5

    Lectura y escritura

    Un nmero en el sistema decimal se escribe o se lee con base en la siguiente tabla:

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    Billones Millares de milln Millones Millares Unidades

    Cen

    tena

    s d

    e b

    illn

    Dec

    enas

    de

    bill

    n

    Uni

    dad

    es d

    e b

    illn

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    es

    de

    mill

    n

    Dec

    enas

    de

    mill

    ares

    d

    e m

    illn

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illar

    es

    de

    mill

    n

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illn

    Dec

    enas

    de

    mill

    n

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illn

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    Dec

    enas

    de

    mill

    ar

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illar

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    Identi ca y escribe el nombre de la propiedad a la que se hace referencia.

    1. 3 + ( 3) = 0

    2. 13

    4 ( ) = ( )413

    3. (8)( 3) = 24 R

    4. 7 13

    4 7 13

    4 =

    5. + = 34

    0 34

    6. 4( 3 + 5) = 4( 3) + 4(5)

    7. 17

    17

    0+ =

    8. ( 3) + ( 8) = 11 R

    9. + = + 24

    59

    59

    24

    10. 3 2 7 3 2 7+ +( ) = + ( )( ) +11. 2 3 2 7 2 3 7 + = +( )12. 8 1 = 8

    13. 14

    114

    1 =

    14. + = + ( )2 16 16 215. (8)(4) = (4)(8)16. 5 (3 6) = (5 3) 6

    EJERCICIO 1

    En la tabla, los billones, millares de milln, millones, millares y unidades reciben el nombre de periodos, los que a su vez se dividen en clases y cada una de stas se forma por unidades, decenas y centenas.

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  • 1 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    6

    Lee el nmero 37.

    Solucin

    37 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.

    Al nmero dado lo forman 3 decenas y 7 unidades y se lee: treinta y siete.

    Lee el nmero 824.

    Solucin

    824 se acomoda de derecha a izquierda en el periodo de las unidades.

    Al nmero lo forman 8 centenas, 2 decenas y 4 unidades. Se lee: ochocientos veinticuatro.

    Lee el nmero 37 643.

    Solucin

    Se acomoda en los periodos de los millares y las unidades.

    El nmero se lee: treinta y siete mil seiscientos cuarenta y tres.

    Lee el nmero 52 384 273.

    Solucin

    Se acomoda en los periodos de los millones, millares y unidades.

    Se lee: cincuenta y dos millones trescientos ochenta y cuatro mil doscientos setenta y tres.

    Unidades

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    8 2 4

    Millares Unidades

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    Dec

    enas

    d

    e m

    illar

    Uni

    dad

    es

    de

    mill

    ar

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    3 7 6 4 3

    Millones Millares Unidades

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illn

    Dec

    enas

    d

    e m

    illn

    Uni

    dad

    es

    de

    mill

    n

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    Dec

    enas

    d

    e m

    illar

    Uni

    dad

    es

    de

    mill

    ar

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    5 2 3 8 4 2 7 3

    Unidades

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    3 7

    4

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

    3

    2

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  • CAPTULO 1 ARITMTICA Nmeros reales

    7

    Para escribir numricamente una cantidad, se identi can los periodos y las clases de dicho nmero como lo ilustran los siguientes ejemplos.

    Escribe con letras las siguientes cifras.

    EJERCICIO 2

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    1. 45

    2. 80

    3. 523

    4. 770

    5. 597

    6. 8 302

    7. 9 016

    8. 20 018

    9. 11 011

    10. 9 072

    11. 12 103

    12. 22 500

    13. 34 480

    14. 108 214

    15. 3 084 000

    16. 1 215 364

    17. 5 683 040

    18. 13 000 075

    Expresa cuatrocientos ochenta y siete numricamente.

    Solucin

    Este nmero slo abarca el periodo de las unidades y se forma por cuatro centenas (400), ocho decenas (80) y siete unidades (7), al aplicar el principio aditivo el nmero es: cuatrocientos 400 ochenta + 80 siete 7 487

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

    Lee el nmero 962 384 502 936 114.

    Solucin

    Se acomodan en los periodos desde las unidades a los billones.

    Billn Millar de milln Milln Millares Unidades

    Cen

    tena

    s d

    e b

    illn

    Dec

    enas

    de

    bill

    n

    Uni

    dad

    es d

    e b

    illn

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    d

    e m

    illn

    Dec

    enas

    de

    mill

    ar d

    e m

    illn

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illar

    d

    e m

    illn

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illn

    Dec

    enas

    de

    mill

    n

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illn

    Cen

    tena

    s d

    e m

    illar

    Dec

    enas

    de

    mill

    ar

    Uni

    dad

    es d

    e m

    illar

    Cen

    tena

    s

    Dec

    enas

    Uni

    dad

    es

    9 6 2 3 8 4 5 0 2 9 3 6 1 1 4

    5

    Se lee: novecientos sesenta y dos billones, trescientos ochenta y cuatro mil quinientos dos millones, novecientos treinta y seis mil ciento catorce.

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  • 1 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    8

    Escribe con nmero: siete mil cuatrocientos treinta y cinco.

    Solucin

    La cantidad abarca hasta el periodo de los millares, entonces:

    siete mil 7 000 cuatrocientos

    + 400

    treinta 30 cinco 5 7 435

    Expresa numricamente: doscientos noventa y nueve millones setecientos ocho.

    Solucin

    La cantidad abarca hasta el periodo de los millones, entonces:

    doscientos millones 200 000 000 noventa millones 90 000 000 nueve millones + 9 000 000 setecientos 700 ocho 8 299 000 708

    Orden

    Este conjunto se ordena con base en las siguientes relaciones de orden:< menor que > mayor que = igual que

    Representa numricamente:

    1. Quinientos veintiuno. 2. Diecisis mil.

    3. Mil doscientos noventa y nueve.

    4. Treinta y cinco mil.

    5. Ocho mil cuatrocientos.

    6. Seiscientos uno.

    7. Setecientos mil ciento treinta y ocho.

    8. Un milln quinientos veintisiete mil cuatrocientos veintiocho.

    9. Un milln ciento ocho mil doce.

    10. Ciento cuarenta y cuatro millones, ciento cuarenta y cuatro.

    11. Ciento diecisis millones, trescientos ochenta y seis mil quinientos catorce.

    12. Quinientos cinco millones doscientos diez.

    EJERCICIO 3

    2

    3

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

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  • CAPTULO 1 ARITMTICA Nmeros reales

    9

    Ejemplos

    3 < 8; 3 es menor que 8 12 > 7; 12 es mayor que 7 182

    9= ; 182

    es igual que 9

    Postulado de tricotoma Si a, b R, entonces al compararlos se pueden presentar los siguientes casos:

    a > b a < b a = b

    Postulado transitivo Sean a, b, c R, si a > b y b > c entonces:

    a > c

    Postulado aditivo Para a, b, c R, si a > b, entonces:

    a + c > b + c

    Postulado multiplicativo Sean a, b, c R, con a > b,

    si c > 0 (c es positivo), entonces ac > bc.si c < 0 (c es negativo), entonces ac < bc.

    Otra forma para comparar los nmeros reales es colocarlos en la recta numrica. Si el nmero a se encuentra a la derecha de b, entonces a > b, pero, si se encuentra a la izquierda, entonces a < b.

    Ejemplos Observe la siguiente recta numrica:

    Compara las siguientes cantidades y coloca los smbolos: >, < o =, segn corresponda.

    EJERCICIO 4

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    1. 28 y 35

    2. 1 125 y 1 105

    3. 372 y 372

    4. 483 y 840

    5. 5 397 y 1 284

    6. 844.5 y 0

    7. 84

    y 2

    8. 12 000 y 120 000

    9. 1 000 000 y 100 000

    10. 12111

    y 444

    11. 73 y 1.5

    12. 0.5 y 1273

    9

    4 3 2 1 0 1 2 3 4

    Se puede a rmar que:

    4 > 1, 4 se encuentra a la derecha de 1 2 > 2, 2 est a la derecha de 2

    3 < 1, 3 est a la izquierda de 1 3 < 0, 3 est a la izquierda de 0

    En general, cualquier nmero negativo es menor que cero o que cualquier positivo, ya que se encuentran a la izquierda de estos nmeros en la recta real o numrica.

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  • 1 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    10

    Compara las siguientes cantidades y coloca los smbolos >, < o = , segn corresponda.

    EJERCICIO 5

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    Compara 78

    y 56

    .

    Solucin

    Se realiza el siguiente procedimiento:Se multiplica el numerador 7 de la primera fraccin por el denominador 6 de la segunda y el producto se coloca

    debajo de la primera fraccin; enseguida se realiza la multiplicacin del denominador 8 de la primera fraccin por el numerador 5 de la segunda y el producto se coloca debajo de la segunda fraccin, el resultado de los productos y se coloca el signo correspondiente.

    78

    56

    y

    (7)(6) (5)(8)42 > 40

    El signo entre 42 y 40 es el mismo para los nmeros racionales, por tanto: 78

    56

    >

    Compara 23 y

    18

    .

    Solucin

    Se realizan los pasos del ejemplo anterior y se obtiene:

    23

    18

    y

    (8)( 2) (3)(1)16 < 3

    Por tanto: 23 <

    18

    1. 23

    ___

    14

    2. 35

    ___

    78

    3. 16

    ___

    12

    4. 79

    ___

    2127

    5. 114

    ___

    125

    6. 64

    ___

    1812

    7. 77

    ___ 0

    8. 5

    10___

    1326

    9. 52

    ___ 1

    10. 176

    ___ 3

    11. 3 ___ 3913

    12. 43

    ___

    49

    Para comparar dos nmeros racionales se realiza un producto cruzado, como se ejempli ca a continuacin:

    2

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

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  • CAPTULO 1 ARITMTICA Nmeros reales

    11

    Valor absoluto de un nmero

    Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en la recta numrica. El valor absoluto de un nmero a se representa como a .

    2

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

    Determina:

    EJERCICIO 6

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    1. 10 4. 52

    7. 139

    10. 6 8.

    2. 74

    5. 13

    8. 93

    11. 0

    3. 9 6. 2 5. 9. 3 2. 12. 0 0001.

    3

    3 unidades

    4 3 2 1 0 1 2 3 4

    8 unidades

    0 1 2 3 4 5 6 7 8

    Determina el valor absoluto de 3.

    Solucin

    Se representa 3 en la recta numrica:

    De cero a 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto de 3 es igual a 3 y se representa como: =3 3.

    Encuentra el valor de 8 .

    Solucin

    En la recta numrica la distancia entre el origen y 8 es de 8 unidades, por consiguiente, 8 8=

    Cul es el valor absoluto de 72

    ?

    Solucin

    En la recta numrica hay siete medios de distancia entre el cero y el punto dado, por tanto: 72

    =

    72

    4 3 2 1 0

    72

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  • 1 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    12

    Determina cul es el valor absoluto y relativo de los dgitos que se indican en los siguientes nmeros:

    Nmero Valor absoluto Valor relativo

    EJERCICIO 7

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    Valor absoluto y relativo del sistema posicional decimal

    El sistema decimal emplea los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que al combinarlos mediante ciertas reglas pueden repre-sentar cualquier cantidad. En este sistema las unidades se agrupan de 10 en 10, razn por la cual recibe su nombre.

    Para nombrar cifras mayores que 9 se emplea el principio posicional y aditivo.En el principio posicional el valor absoluto de un dgito es el nmero que representa, y su valor relativo es el que

    adquiere de acuerdo con la posicin que tiene en el nmero.

    EjemploEn el nmero 4 342, el valor absoluto y relativo de cada dgito es:

    Dgito Valor absoluto Valor relativo2 2 24 4 403 3 3004 4 4 000

    En la tabla anterior se observa que el dgito 4 tiene distintos valores relativos, como consecuencia de la posicin que ocupa en el nmero.

    1. 13

    2. 89

    3. 372

    4. 1 524

    5. 7 893

    6. 15 278

    7. 42 939

    8. 153 975

    9. 794 568

    10. 1 502 734

    11. 12 364 568

    12. 157 103 000

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  • CAPTULO 1 ARITMTICA Nmeros reales

    13

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1 Expresa en forma desarrollada 72 435.Solucin

    Se obtienen los valores relativos de cada uno de los dgitos que conforman el nmero:

    Dgito Valor relativo5 53 304 4002 2 0007 70 000

    Por lo tanto, su forma desarrollada es:

    72 435 = 70 000 + 2 000 + 400 + 30 + 5

    Expresa el nmero 1 023 000 en forma desarrollada.

    Solucin

    1 023 000 = 1 000 000 + 20 000 + 3 000

    Expresa en forma desarrollada el nmero 373 894.

    Solucin

    373 894 = 300 000 + 70 000 + 3 000 + 800 + 90 + 4

    De acuerdo con el principio aditivo toda cantidad o nmero mayor que 9, en el sistema decimal, se expresa como la suma de los valores relativos, la cual se denomina forma desarrollada. Analicemos los siguientes ejemplos.

    EJERCICIO 8

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    1. 75

    2. 132

    3. 428

    4. 510

    5. 3 002

    6. 7 491

    7. 15 204

    8. 32 790

    9. 49 835

    10. 246 932

    11. 300 000

    12. 475 314

    13. 120 983

    14. 1 320 865

    15. 3 742 958

    Expresa en forma desarrollada los siguientes nmeros:

    2

    3

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  • CAPTULO 2 NMEROS ENTEROS

    Durante los siglos VI y VII, los hindes fue-ron los pioneros en usar las cantidades negativas como un medio para repre-sentar las deudas.

    No obstante su uso en esos siglos, la acepta-cin del concepto de nmero negativo en Occidente fue un proceso de una lentitud sorprendente, ya que, por varios siglos, los nmeros negativos no fueron considerados como cantidades verdaderas, debido a la imposibili-dad de representarlos en el mundo fsico.

    Finalmente, y con mucha di cultad, los nmeros negativos fueron conside-rados en la resolucin de ecuaciones, segn se re eja en los escritos del matemtico italiano Gernimo Cordano: Olvidad las torturas mentales que esto os producir e introducid estas cantidades en la ecuacin.

    En el siglo XIX an exista entre los matemticos de Occidente una gran descon anza en el manejo de las cantidades matemticas, hasta que en el mismo siglo Weierstrass hizo la construccin formal de los nmeros enteros a partir de los nmeros naturales.

    Karl Weierstrass(1815-1897)

    Rese

    aHISTRICA

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    16

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Suma

    En esta operacin los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adicin. La suma o adicin de nmeros enteros se efecta slo si los signos de los nmeros son iguales.

    Cul es el resultado de 3 + 9?

    Solucin

    En esta operacin ambos sumandos tienen el mismo signo (+), por lo tanto, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo (+).

    3 + 9 = 12

    2 Realiza 5 1 3.Solucin

    Los nmeros tienen el mismo signo (), por consiguiente, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos ().

    5 1 3 = 9

    Para sumar nmeros de dos o ms dgitos, los sumandos se ordenan en forma vertical para hacer coincidir las respectivas clases y se realiza la operacin, columna por columna y de derecha a izquierda.

    1 Efecta la operacin 325 + 63.Solucin

    Se acomodan de manera vertical y se realiza la operacin:

    325+ 63

    388

    Por tanto, el resultado de la operacin es 388

    2 El resultado de 1 533 2 980 537 es:Solucin

    Al hacer coincidir las clases y sumar se obtiene:

    1 533 2 980 537 5 050

    El resultado de la operacin es 5 050

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    17

    Efecta las siguientes operaciones:

    1. 364 + 93

    2. 4 050 + 2 019 + 310

    3. 11 207 + 5 874 + 453 + 96

    4. 102 396 + 11 375 + 1 117 + 60

    5. 1 123 005 + 2 475 727 + 704 973 + 53 200

    6. 7 000 000 + 648 000 + 53 047 + 4 200 + 600

    7. 242 563

    8. 1 250 398

    9. 6 359 4 872 45

    10. 372 001 200 000 50 007 14 304

    11. 13 275 009 4 000 529 363 571 42 500 95

    12. 512 013 419 23 642 000 1 253 421 683 125

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    EJERCICIO 9

    PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN1 Una empresa cobra 12% sobre los ingresos mensuales de 5 franquicias. La cantidad que paga cada una es: $45 400,

    $38 900, $72 300, $58 600 y $92 100, qu cantidad recibi la empresa en un mes?Solucin

    Para determinar cunto recibi la empresa se realiza la suma de las cantidades pagadas:

    45 400 38 900 + 72 300 58 600 92 100 307 300

    Por consiguiente, la empresa recibi $307 300

    Una persona le adeuda a su tarjeta de crdito $6 000 y realiza con ella un pago de $2 500, si el banco le cobra $500 de intereses y recargos, cul es el nuevo saldo de la tarjeta?Solucin

    Los adeudos de la persona se representan con cantidades negativas; entonces, para obtener su nuevo saldo se efecta la siguiente operacin:

    6 000 2 500 500 9 000

    El signo negativo del resultado indica que la persona le adeuda al banco $9 000

    2

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    18

    Resuelve las siguientes operaciones:

    1. Leticia tiene 15 aos actualmente, qu edad tendr dentro de 22 aos?

    2. Uriel se ha preparado durante toda su vida, invirti 2 aos en el nivel preescolar, 6 en primaria, 3 en secundaria, 3 en el bachillerato, 5 ms en la licenciatura y, nalmente, 3 aos en un posgrado. Durante cuntos aos estudi Uriel?

    3. Luis gan $1 500 en febrero, $3 500 en marzo, $2 800 en abril, $2 200 en el siguiente mes, cunto dinero gan en total?

    4. Carlos naci en 1978, a la edad de 26 aos se gradu en la carrera de ingeniera y 2 aos despus se cas. En qu aos se verificaron estos 2 sucesos?

    5. Efran naci en 1960, se cas a los 28 aos, a los 3 aos de matrimonio naci su nico hijo. Si Efran falleci cuando su hijo tena 14 aos, en qu ao ocurri su fallecimiento?

    6. Un automvil realiza un viaje en tres etapas para ir de una ciudad a otra: en la primera etapa recorre 210 kilmetros, en la segunda 180 y en la ltima 360; qu distancia existe entre las ciudades?

    7. En una carrera de automviles, el automvil que lleva la delantera ha recorrido 640 kilmetros; si para llegar a la meta le faltan 360 kilmetros, cul es la distancia que deben recorrer todos los automviles para f inalizar la com-petencia?

    8. Una editorial publica 12 000 ejemplares de un libro de lgebra, 8 000 de uno de geometra analtica y 10 700 de uno de clculo diferencial e integral, cuntos libros de las tres reas publica en total?

    9. Una persona ingiere en el desayuno un jugo de naranja con 20 caloras de contenido energtico, unos huevos fritos de 800 caloras, una rebanada de pan con 50 caloras y un cctel de frutas de 150 caloras, cuntas caloras consume en total?

    10. Cierto famoso jugador de futbol naci en 1966, a los 17 aos gan el mundial juvenil, a los 24 el mundial de primera fuerza, 4 aos ms tarde perdi una final de campeonato mundial y 3 aos despus se retir del futbol, cul fue el ao de su retiro?

    11. En un da en la Antrtica el termmetro marca una temperatura de 35C bajo cero y el pronstico meteorolgico indica que en las siguientes horas la temperatura descender 18C ms, cul es la nueva temperatura que registrar el termmetro?

    12. Una empresa reporta en los ltimos 4 meses las siguientes prdidas: $330 000, $225 000, $400 000 y $155 000, a cunto asciende el monto total de las prdidas?

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    Resta

    Es la operacin inversa de la suma o adicin. Los elementos de una resta son el minuendo (+), sustraendo () y la diferencia.

    a Minuendo

    b Sustraendo

    c Diferencia

    EJERCICIO 10

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    19

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Cuando se restan 2 nmeros enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:

    1 Efecta 9 7.Solucin

    Se efecta la operacin y el resultado lleva el signo del nmero con mayor valor absoluto.

    9 7 = 2

    El resultado de la operacin es 2

    2 Cul es el resultado de 3 4?Solucin

    Se realiza la operacin 4 3 = 1, y al resultado se le antepone el signo negativo, debido a que el nmero de mayor valor absoluto es negativo, por tanto:

    3 4 = 1

    Si los nmeros son de dos o ms dgitos, entonces se acomodan de manera vertical para que coincidan las clases y se efectan las operaciones, columna por columna, de derecha a izquierda:

    1 Realiza: 289 47.Solucin

    Las cantidades se acomodan de manera vertical y el resultado lleva el mismo signo que 289, ya que es el nmero de mayor valor absoluto.

    289 47

    242Por consiguiente: 289 47 = 242

    2 A qu es igual 425 + 379.Solucin

    Se efecta la diferencia de 425 379 y al resultado se le antepone el signo negativo. 425 379 46

    Por tanto, 425 + 379 = 46

    3 El resultado de 6 3 2 + 8 + 1 es:Solucin

    Se suman las cantidades que tienen el mismo signo.

    6 3 2 = 11 8 + 1 = 9

    Entonces: 6 3 2 + 8 + 1 = 11 + 9

    Se realiza la resta y se obtiene el resultado final: 6 3 2 + 8 + 1 = 11 + 9 = 2

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    20

    Realiza: 8 + 12 3 + 9 1 15 + 7.

    Solucin

    Para obtener el resultado, primero se agrupan los nmeros del mismo signo.

    8 + 12 3 + 9 1 15 + 7 = 8 3 1 15 + 12 + 9 + 7

    Los nmeros de igual signo se suman y posteriormente se restan:

    = 27 + 28 = 1

    Realiza las siguientes operaciones:

    1. 2 + 6 16. 25 + 23 8 7 4 3

    2. 7 + 4 17. 14 + 15 + 18 7 3 20

    3. 9 + 11 18. 100 6 5 4 3 42 51

    4. 20 + 15 19. 47 12 + 7 9 1

    5. 15 23 20. 6 + 8 + 4 2 5 + 3 2 + 10

    6. 49 35 21. 3 + 6 2 + 4 7 + 10

    7. 8 + 8 22. 5 6 + 9 7 3 + 10 + 11

    8. 14 + 25 23. 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9

    9. 105 143 24. 15 10 3 + 18 20 + 9 2

    10. 1 024 + 958 25. 1 2 3 5 + 6 7 + 10 + 11 13

    11. 2 5 + 8 26. 4 3 2 + 6 + 1 5 + 4 8 9

    12. 13 15 + 6 + 11 27. 531 120 402 + 101

    13. 9 7 8 2 + 5 + 4 + 11 28. 853 + 45 + 73 + 183 + 2 166

    14. 6 10 3 + 12 + 13 + 14 29. 9 031 1 217 1 902 + 4 701 18

    15. 13 2 5 9 1 + 8 11 30. 1 432 + 17 913 19 935 2 001 7 034

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    4

    EJERCICIO 11

    PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACINAl comprar un televisor de $2 809 a crdito, hay que dar un anticipo de $748 y el resto se paga a 6 meses, cunto resta para terminar de pagar el televisor?

    Solucin

    Al costo del televisor se le resta el anticipo para saber cunto falta por pagar:

    2 809 748

    2 061

    Por tanto, resta pagar $2 061

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    21

    Resuelve las siguientes operaciones:

    1. En un colegio hay una poblacin de 800 alumnos, de ellos 430 son varones, cuntas mujeres hay en la escuela? 2. Cunto dinero le falta a Ernesto si su ahorro es de $12 000 para comprar un automvil que cuesta $35 000?

    3. ngel al vender su casa en $250 000, obtiene una ganancia de $13 000, cunto le haba costado su casa? 4. La suma de las edades de Laura y Carina es de 48 aos, si Laura tiene 25 aos, cul es la edad de Carina?

    5. Si Fernanda tuviera 8 aos menos tendra 35 y si Guillermo tuviera 10 aos ms tendra 25, cunto ms joven es Guillermo que Fernanda?

    6. Una cuenta de ahorro tiene un saldo de $2 500, si se efecta un retiro de $1 500 y se cobra una comisin de $7 por disposicin cunto queda disponible en la cuenta?

    7. Un rollo de tela tiene una longitud de 40 metros, el lunes se vendieron 3, el martes 8, el mircoles 5 y el jueves 6, cuntos metros de tela quedan para vender el resto de la semana?

    8. Un atleta debe cubrir una distancia de 10 000 metros, si recorre 5 850, qu distancia le falta recorrer?

    9. Juan solicit un prstamo de $20 000: el primer mes abon $6 000, el segundo $4 000, y en el tercero $5 500, cunto le falta pagar para cubrir su adeudo?

    10. La edad de Abigail es de 31 aos, la de Mario es de 59 y la diferencia de las edades de Carmen y Clara es de 37 aos, en cunto excede la suma de las edades de Abigail y Mario a la diferencia de las de Carmen y Clara?

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    Suma y resta con signos de agrupacin

    Al realizar sumas y restas de nmeros enteros que tienen signos de agrupacin, primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento:

    Si a un signo de agrupacin lo precede un signo positivo, el nmero entero que encierra conserva su signo. Analicemos los siguientes ejemplos:

    Cul es el resultado de ( 8) + ( 3)?Solucin

    Puesto que ambos signos de agrupacin estn precedidos por signos positivos, entonces se suprimen y se realiza la operacin para obtener el resultado:

    ( 8) + ( 3) = 8 3 = 11Efecta (+ 6) + ( 8).Solucin

    Al estar precedidos por signos positivos, ambos enteros conservan su signo y se obtiene como resultado:

    (+ 6) + ( 8) = 6 8 = 2

    EJERCICIO 12

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

    2

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    22

    Si un signo de agrupacin es precedido por un signo negativo, entonces el entero que encierra cambia su signo:

    Resuelve (14) ( 10).Solucin

    A los signos de agrupacin le anteceden signos negativos, entonces se deben cambiar los signos de los enteros y realizar la operacin que resulta.

    (14) (10) = 14 + 10 = 4El resultado de la operacin es 4.

    Cul es el resultado de ( 6) + ( 3) (11)?Solucin

    Se aplican los procedimientos correspondientes a cada signo de agrupacin y se procede a efectuar la operacin con enteros:

    ( 6) + ( 3) (11) = 6 3 + 11 = 9 + 11 = 2Obtn el resultado de (6 8) + (5 2).Solucin

    Una forma de realizar la operacin es efectuar las operaciones que encierran cada uno de los signos de agrupacin:

    (6 8) + (5 2) = ( 2) + (3)Se aplican los criterios mencionados y se realizan las operaciones pertinentes para obtener el resultado:

    = 2 + 3 = 1

    Realiza (8 3) ( 4 + 6) + (2 7 3) + 5.Solucin

    Otra forma de obtener el resultado es aplicar los criterios para cada una de las cantidades contenidas en cada signo de agrupacin y, posteriormente, las operaciones con nmeros enteros correspondientes.

    (8 3) ( 4 + 6) + (2 7 3) + 5 = 8 3 + 4 6 + 2 7 3 + 5 = 8 + 4 + 2 + 5 3 6 7 3 = 19 19 = 0

    Cul es el resultado de [( 8 + 6) ( 3 2)] + [4 (2 1)]?Solucin

    Se efectan las operaciones contenidas en los parntesis:

    [( 8 + 6) ( 3 2)] + [4 (2 1)] = [( 2) ( 5)] + [4 (1)]Se eliminan los parntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes:

    = [ 2 + 5] + [4 1] = [3] + [3] = 3 + 3 = 6

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    1

    2

    3

    4

    5

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    23

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Resuelve las siguientes operaciones:

    1. (3) + (12) 16. (8 + 5) ( 13 + 2) 2. ( 6) + ( 2) 17. ( 3 9) (8 + 7) 3. (15) ( 9) 18. 15 (4 + 6) + ( 3 7) 4. 8 + (13) 19. (9 + 5) (8 11) 19 5. (15) + ( 8) 20. (8 25) (8 + 5) + (13 + 11) 6. ( 4) ( 2) 21. (5 7) + (16 + 3) (4 + 7) 7. 6 ( 5) 22. ( 7 2) + (6 + 4) ( 3) 4 8. (11) + (8) 23. 1 ( 3 2 + 8) + (2 + 3 + 1) 9. ( 9) + (1) (10) 24. 4 {6 + [ 5 + (12 8)]} 10. (11) (13) + ( 16) 25. 5 + {4 + [3 (4 8) + ( 5 10)]} 11. ( 24) + (13) (9) 26. [(8 + 3) (5 1)] + [(8 3) (5 + 1)] 12. (7) + ( 3) (16) 27. {9 [2 (1 5)]} [4 (5 4)+ ( 5)] 13. 9 ( 6) + (12) 28. [(4 + 2 11) + (13 + 9 20)] [( 3 + 5 21) (18 15 + 6)] 14. (3) (6) + ( 5) ( 8) 29. 12 [(6 4) + (8 15)] [4 (3 + 2) (1 7)] 15. 9 (5) + ( 3) (11) 30. [ 8 + (4 7) + (2 5 3)] + [(6 3) (2 5 6) 12]

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    Multiplicacin

    La multiplicacin es la representacin de la suma de una misma cantidad varias veces. Una multiplicacin se representa con los smbolos, o ( ).EjemploLa multiplicacin de 3 4 es lo mismo que:

    3 4 = 4 + 4 + 4 = 12 o bien 4 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

    Los elementos de una multiplicacin reciben el nombre de factores y el resultado producto o multiplicacin. As, en el ejemplo anterior, 3 y 4 son los factores y 12 es el producto.

    Para no realizar las sumas, se utilizan de forma mecnica las tablas de multiplicar.Al multiplicar nmeros de varios dgitos, stos se colocan en vertical y se realiza el procedimiento que muestran

    los ejemplos siguientes:

    Cul es el resultado de 358 6?

    Solucin

    Se acomodan los factores y 6 multiplica de derecha a izquierda a cada uno de los dgitos del nmero 358 358 6 2 148

    EJERCICIO 13

    1

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    24

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Efecta 2 624 45.

    Solucin

    Se multiplica 5 por 2 624 2624 45 13120

    Se multiplica 4 por 2 624 y el resultado 10 496 se coloca debajo del anterior (13 120) recorriendo el ltimo dgito un lugar a la izquierda con respecto al primer producto. 2624 45 13120 10496

    Las cantidades se suman para obtener el resultado de la multiplicacin. 2624 45 13120 10496 118080

    Por consiguiente, 2 624 45 = 118 080

    Leyes de los signos 1. El producto de dos nmeros con signos iguales da como resultado un nmero positivo.

    Ejemplo(8)(5) = 40 ; ( 3)( 7) = 21

    Leyes de los signos 2. El producto de dos nmeros con signos diferentes da como resultado un nmero negativo.

    Ejemplo( 6)(4) = 24 ; (9)( 3) = 27

    En general, la aplicacin simblica de las leyes de los signos anteriores es:

    (+)(+) = + (+)() = ()() = + ()(+) =

    Efecta ( 3)( 4)( 6).Solucin

    Se realiza el producto de ( 3)( 4) y el resultado, 12, se multiplica por 6, entonces:( 3)( 4)( 6) = (12)( 6) = 72

    Finalmente, el resultado de la multiplicacin es 72

    2 Cul es el resultado de (3)( 5)( 2)(4)?Solucin

    Se multiplican 3 por 5 y 2 por 4, los resultados se vuelven a multiplicar para obtener el resultado final de la ope-racin.

    (3)( 5)( 2)(4) = (15)( 8) = 120Por tanto, el producto es 120

    2

    1

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    25

    Resuelve los siguientes productos:

    1. 3 567 10. 17 235 111 19. ( 82 462)(2 732) 2. 4 846 5 11. ( 5)( 4) 20. (12 734)( 4 263) 3. 85 27 12. (32)( 5) 21. ( 5)( 3)( 7) 4. 324 53 13. ( 14)( 23) 22. (3)( 2)( 5) 5. 272 524 14. ( 324)(48) 23. (6)( 1)( 3) 6. 7 236 36 15. ( 723)( 420) 24. (5)(4)( 3)( 1) 7. 4 005 736 16. (840)( 233) 25. ( 9)( 8)( 3)(4) 8. 8 236 5 274 17. ( 4 256)( 3 023) 26. ( 2)( 3)( 4)( 5)( 6) 9. 9 821 3 890 18. ( 27 845)(327) 27. (4)( 7)(2)( 1)( 5)( 6)

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    Resuelve los siguientes problemas:

    1. En una caja hay 24 refrescos, cuntos refrescos habr en 9 cajas? 2. Cuntos libros hay en 12 repisas, si cada una contiene 15 textos? 3. Juan tiene 3 docenas de canicas, Julio 5 docenas y Daniel tiene slo 9 canicas, cuntas canicas tienen en total los 3? 4. Se van a sembrar en un terreno 25 filas, cada una con 30 rboles, cuntos rboles se van a plantar en total? 5. Rafael tiene 8 piezas de tela de 12 metros cada una, pretende vender a $10 el metro, cunto dinero puede obtener

    por la venta de todas las piezas? 6. Cuntos minutos hay en una semana, si una semana tiene 7 das, cada da tiene 24 horas y cada hora 60 minutos? 7. En un vecindario hay 28 edificios, cada uno tiene 12 departamentos, cuntos departamentos hay en el vecindario? 8. Una caja de lapiceros contiene 20 paquetes, los que a su vez tienen 12 lapiceros cada uno, si hay 25 cajas, cuntos

    lapiceros se tienen en total? 9. Rodrigo percibe un sueldo quincenal de $2 700, cunto dinero recibe al cabo de un ao? 10. Un autobs tiene capacidad para 42 pasajeros y un conductor, si a un evento asisten 3 grupos de 5 autobuses y cada

    uno se llena a su mxima capacidad, cuntas personas en total asisten a dicho evento? 11. Una empresa de productos lcteos ocupa, para vender y distribuir leche, camiones con una capacidad de carga de

    250 cajas, cada una de ellas contiene 12 litros y el precio del litro es de $10, si un supermercado realiza un pedido de 4 cargas, cunto debe pagar por la compra del lcteo a la empresa?

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    PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACINCada tren del metro de la Ciudad de Mxico tiene 9 vagones, cada uno con 8 puertas y cada una de dos hojas co-rredizas. Si se desea cambiar las hojas de los 120 trenes existentes en la ciudad, cuntas hojas se van a cambiar?Solucin

    Para obtener el nmero total de hojas, se multiplica el nmero de trenes por el nmero de vagones por el nmero de puertas y por el nmero de hojas:

    Nmero de hojas = (120)(9)(8)(2) = 17 280Entonces, el nmero de hojas a cambiar son 17 280

    EJERCICIO 14

    EJERCICIO 15

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    26

    Ejem

    plos

    EJEMPLOS

    Multiplicacin con signos de agrupacinLos signos de agrupacin que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres respectivamente son: parntesis, corchetes, llaves y vnculo.

    Para simplificar y obtener el resultado de una operacin con signos de agrupacin, hay que suprimir stos y mul-tiplicar los nmeros del interior de los signos por el nmero o signo que los anteceden.

    Despus se agrupan y suman los nmeros del mismo signo y los resultados se restan.

    1 Efecta 3(4 2) 5(1 4) (8 + 9).Solucin

    Los signos de agrupacin se suprimen al multiplicar por los nmeros y signos que les anteceden.

    3(4 2) 5(1 4) (8 + 9) = 12 6 5 + 20 8 9Se agrupan y suman los nmeros con el mismo signo, los resultados se restan:

    = 12 + 20 6 5 8 9 = 32 28 = 4

    Por tanto, el resultado de la operacin es 4

    2 Realiza + ( )6 2 7 2 1 .Solucin

    Se realizan las operaciones en el parntesis y en el vnculo (barra horizontal que abarca a 2 y 7). Se suprimen los signos de agrupacin y se efectan las operaciones para obtener el resultado.

    + ( ) = + ( )6 2 7 2 1 6 9 1 = ( ) +6 9 1

    = + +6 9 1

    = 4

    3 Cul es el resultado de 6 4{2 5(4 3) + 3(3 2)}?Solucin

    En este caso, primero se suprimen los parntesis y los nmeros se multiplican por los nmeros que les anteceden:

    6 4{2 5(4 3) + 3(3 2)} = 6 4{2 20 + 15 + 9 6}Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por 4,

    = 6 8 + 80 60 36 + 24 Por ltimo, se realiza la operacin al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos se restan:

    = 6 + 80 + 24 8 60 36 = 110 104 = 6

    4 Obtn el resultado de 8 {2 3[5 2(1 3) + 4(8 10)]} + 3[2 5(1 3) 10].Solucin

    Otra forma de realizar operaciones con signos de agrupacin es, primero, efectuar las sumas o restas que encierran los signos con menor cantidad de nmeros, en este caso son los parntesis.

    8 {2 3[5 2(1 3) + 4(8 10)]} + 3[2 5(1 3) 10] = 8 {2 3[5 2( 2) + 4( 2)]} + 3[2 5( 2) 10]Para eliminar los parntesis se multiplica por el nmero que los antecede:

    = 8 {2 3[5 + 4 8]} + 3[2 + 10 10]

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

    27

    PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACINEl costo y la disponibilidad de boletos para un concierto en el centro de espectculos El Huracn es: prefe-rente A: 224 a $840, preferente B 184 a $650, balcn C 125 a $430 y balcn D 96 a $280. Si para el da del evento se agotaron los boletos, cul es el ingreso de las entradas?

    Solucin

    Se multiplica el nmero de boletos por el costo de cada boleto de cada seccin, al final se suman los resultados y se obtiene el ingreso total de entradas.

    Ingreso total = (840)(224) + (650)(184) + (430)(125) + (280)(96) = 188 160 + 119 600 + 53 750 + 26 880 = 388 390Por tanto, el ingreso total fue de $388 390

    Se desea realizar un viaje a Huatulco, 4 das y 3 noches todo incluido, y se tienen contempladas 232 personas, el costo por persona es de $780 en habitacin doble y $865 en habitacin individual. Si slo 15 personas no realizan el viaje y se sabe que se alquilaron 75 habitaciones dobles, cuntas habitaciones individuales se alquilaron y cul fue el monto total del viaje?

    Ahora los signos a eliminar son los corchetes, para hacerlo se realizan las sumas y restas que encierran, y poste-riormente las multiplicaciones: = 8 {2 3[1]} + 3[2] = 8 {2 3} + 6

    Se sigue el mismo procedimiento para eliminar las llaves: = 8 { 1} + 6 = 8 + 1 + 6 = 8 + 7 = 1

    Por consiguiente, el resultado de la operacin propuesta es 1

    1

    2

    Realiza las siguientes operaciones:

    1. 2(7 4) + 3(1 5) + 8 2. 4(2 3 1) + 2(8 5) + 3(4 5) 3. 6 + {3 [4 2(4 7)]} 4. 8 {5 4[ 6 + 7(5 2)] 3} 5. { 6 + 4[2 5(4 3(4 3) + 2(7 3))] + 2} 1 6. 6 [4 3(4 2)] {7 5 [4 2(7 1)]} 7. 2 + { 3 [7 + 4( 2 + 5)]} 4 8. 12 + 3 { 6 + 2[ 5 4(3 2) + 5(7 8)] 5} 9. 2( 7 + 11) 5 { 2 + ( 3 + 5) [4 (2 +3)]} 10. 11 + 7 2{ 4 +1 [ 2( 3 + 4) 2 + 4 7+ 8] 4}

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    EJERCICIO 16

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  • 2 CAPTULO MATEMTICAS SIMPLIFICADAS

    28

    Resuelve los siguientes problemas:

    1. Karen recibe un salario de $850 semanales y, por ser una buena estudiante, tiene asignada una beca de $1 000 men-suales. Cul es la cantidad de dinero que recibe en un mes? (Considera un mes igual a 4 semanas.)

    2. A Maritza le da su pap $20 diarios. Si en un ao ella destina para pasajes y diversin $2 300 anuales, qu cantidad de dinero le sobra para sus otros gastos? (Considera un ao igual a 365 das.)

    3. Un cuarteto de msicos recibe como pago $240 diarios por tocar entre semana en un restaurante, mientras que por tocar en el mismo lugar los fines de semana el pago es de $480 diarios. Cunto dinero percibe cada integrante del grupo, si lo que ganan se reparte en forma equitativa? (Considera una semana igual a 7 das.)

    4. El sueldo de un capturista de datos es de $150 diarios con su respectivo descuento de $30 por concepto de impuestos. Qu cantidad recibe en un mes? (Considera un mes igual a 30 das.)

    5. En la reparticin de una herencia el abuelo designa en partes iguales un terreno de 12 hectreas a 3 de sus nietos, si el precio por metro cuadrado es de $250, cul es el monto que recibi cada uno de los herederos? (Considera una hectrea igual a 10 000 m2.)

    6. Roberto tiene 12 aos, Mnica es 4 aos ms grande que Roberto y Julin tiene el doble de la edad de Mnica. Cunto es la suma de las edades de Roberto, Mnica y Julin?

    7. Pablo asisti a las ofertas de una tienda departamental y se compr 3 pantalones en $750 cada uno, con un descuento de $225 por prenda; 4 camisas de $600 la pieza con su respectivo descuento de $120 por camisa y 5 playeras cuyas etiquetas marcaban un costo de $250 y su descuento de $75 en cada pieza, cunto pag Pablo por los artculos?

    8. Un granjero realiza la venta de media docena de borregos, 8 conejos y 3 cerdos: si el precio de un borrego es de $600, el de un conejo $150 y el de un cerdo es de $450, cul es el importe que recibe por la venta de estos animales?

    9. La hipoteca que contrajo Damin en enero de 2008 con un banco asciende a $425 000, si durante el primer ao Damin realiza el pago de $6 500 mensuales, a cunto asciende su deuda para enero de 2009?

    10. En un estadio hay 3 tipos de ubicaciones con diversos costos cada una: 25 000 en preferente especial, 15 000 luga-res en la seccin de preferente y 30 000 en general, si el costo de un boleto en preferente especial es de $150, el de preferente $100 y el de general de $80, cul es el ingreso de la taquilla si hay un lleno total en el estadio?

    Veri ca tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

    EJERCICIO 17

    Solucin

    El nmero de personas que realizaron el viaje son: 232 15 = 217De ellas se hospedaron en habitacin doble 2(75) = 150Esto indica que en habitacin individual se hospedaron 217 150 = 67Luego, todos se hospedaron 3 noches,3(780)(150) + 3(865)(67) = 351 000 + 173 865 = 524 865Por tanto, el monto total del viaje es de $524 865

    Una familia de 5 miembros asiste a un restaurante de comida rpida que en todos sus paquetes tiene descuentos; el padre y la madre compran cada quien paquetes de $52, con un descuento de $15. Los nios piden cada uno paquetes de $42, con un descuento de $10 por paquete. Cunto es lo que pagan por todos los paquetes?Solucin

    Para obtener el resultado se multiplica el nmero de paquetes por el costo de stos, ya incluido el descuento.

    2(52 15) + 3(42 10) = 2(37) + 3(32) = 74 + 96 = 170

    Por consiguiente, los padres pagan $170

    3

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  • CAPTULO 2 ARITMTICA Nmeros enteros

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    Divisin

    Si a y b son nmeros enteros, la divisin de a entre b,