matematici actuariale

Matematici aplicate in economieCalcule nanciare

Rodica Ioana LUNGFacultatea de Studii Europene

Matematici actuariale (Matematici actuariale)

De ce?

De ce?Raspuns la una din intrebarile: - ce este o asigurare de viata? - cat platim pentru a ne asigura o pensie lunara de 1000u.m.? - cum se calculeaza prima de asigurare? Asigurari: platile se efectueaza doar in masura in care s-au realizat anumite eventimente aleatoare (dinainte stabilite). Asigurari de persoane.

Rodica Ioana LUNG

2

(Matematici actuariale)

Functii biometrice

Functii biometriceIn cazul asigurarilor de persoane platile se fac in anumite conditii luandu-se in calcul probabilitatile ca anumite evenitemte sa aiba loc sau nu. Pentru a continua avem nevoie de urmatoarele notiuni:

1. Probabilitatile de viata si de deces 2. Functia de supravietuire 3. Viata medie

Rodica Ioana LUNG

3


Probabilitatea de viata. Probabilitatea de deces

Probabilitatea de viata. Probabilitatea de decesNotam p(x, y) probabilitatea ca o persoana in varsta de x ani sa e in viata la varsta de y ani, y x. Probabilitatea evenimentului contrar, ca persoana in varsta de x ani sa nu e in viata la y ani se noteaza q(x, y). Intre cele doua avem:

p(x, y) + q(x, y) = 1.

Rodica Ioana LUNG

4


Notatii

Notatii1. daca y = x + 1 atunci scriem

px = p(x, x + 1) = p(x, y)- probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa e in viata peste 1 an; 2. analog daca y = x + 1 atunci scriem

qx = q(x, x + 1) = q(x, y)- probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa nu e in viata peste un an; 3. daca y = x + n atunci scriemn px

= p(x, x + n) = p(x, y)

- probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa e in viata peste n ani;Rodica Ioana LUNG 5 (Matematici actuariale)

Notatii 4. analog, daca y = x + n atunci scriemn qx

= q(x, x + n) = q(x, y)

- probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa nu e in viata peste n ani;

Probabilitatile de viata si de deces se determina pe cale experimentala studiind o mare colectivitate de persoane care traiesc in aceleasi conditii iar valorile acestora se trec in tabele.

Rodica Ioana LUNG

6


Functia de supravietuire

Functia de supravietuire- una din cele mai importante caracteristici din teoria asigurarilor; - consideram o colectivitate de persoane avand aceeasi varsta de a ani si notam cu la volumul colectivitatii (numarul de persoane din acea colectivitate).

Denitie 1 Se numeste functie de supravietuire lx numarul mediu de persoane din cele la care vor in viata la varsta de x ani (a x).

Observatie 1 Functia de supravietuire depinde de varsta persoanei asigurate si se deneste ca valoarea medie a numarului de persoane care ajung la varsta de x ani dintr-un numar de la persoane in varsta de a ani.Rodica Ioana LUNG 7 (Matematici actuariale)

Functia de supravietuire Construim o variabila aleatoare Z pentru care sa avem M (Z) = lx: Notam cu z numarul persoanelor in viata la x.

p(a, x) este probabilitatea ca o persoana in varsta de a ani sa e in viata la varsta de x ani.Deoarece persoanele din colectivitatea respectiva traiesc in aceeasi zona, in aceleasi conditii putem aprecia ca Z are o distributie binomiala (probabilitatea aparitiei unui eveniment -la noi p(a, x) nu se modica atunci cand experimentul se repeta de mai multe ori in aceleasi conditii)

Rodica Ioana LUNG

8


Functia de supravietuire Distributia binomiala variabila aleatoare X urmeaza distributia binomiala daca:

X:

k k Cn pk q nk

k=0,...,n

are valoarea medie M (X) = np si dispersia D(X) = npq , unde p, q 0, p + q = 1. In cazul nostru avem:

z in loc de k n = la p = p(a, x) q = q(a, x)Rodica Ioana LUNG 9 (Matematici actuariale)

Functia de supravietuire De unde rezulta:

Z:

z Clza p(a, x)z q(a, x)lazz=0,...,la

Media acestei variabile este

M (Z) = lz = p(a, x) lade unde rezulta imediat

lx p(a, x) = . la

In continuare e

a x y.Putem spune asa: evenimentul ca persoana in varsta de a ani sa e in viata la y ani este dat de intersectia a doua evenimente dependente:Rodica Ioana LUNG 10 (Matematici actuariale)

Functia de supravietuire 1. persoana in varsta de a ani sa e in viata la x ani SI 2. persoana in varsta de x ani sa e in viata la y ani. Probabilitatea intersectiei celor doua evenimente se scrie

p(a, y) = p(a, x) p(x, y)unde p(x,y) este de fapt o probabilitate conditionata. De aici avem:

p(x, y) =sau

p(a, y) p(a, x)

ly lx p(x, y) = : la la p(x, y) = ly . lx

adica

Rodica Ioana LUNG

11


Viata medie

Viata medieConsideram o persoana in varsta de x ani. Vrem sa evidentiem numarul de ani cati mai are de trait persoana respectiva. Vom admite urmatoarea ipoteza simplicatoare: persoana decedeaza la jumatatea unui an - adica admitem ca persoana de o anumita varsta mai are de trait un numar intreg de ani si jumatate. Notam cu Z variabila aleatoare ce reprezinta numarul de ani si jumatate cati mai are de trait o persoana in varsta de x ani:

Z:

1 n+2 n/n+1 qx

n=0,1,...

unde n/n+1qx este probabilitatea ca persoana sa decedeze intre x + n si x + n + 1 ani (la jumatatea anului), adican/n+1 qxRodica Ioana LUNG

= p(x, x + n) qx+n12 (Matematici actuariale)

Viata medie de unde

lx+n n/n+1 qx = lxsaun/n+1 qx =

lx+n+1 1 lx+n

lx+n lx+n+1 lx

deci Z se poate scrie

Z:

lx+n lx+n+1 lx

1 n+2

n=0,1,...

Denitie 2 Viata medie, notata cu ex, se deneste ca valoarea medie a numarului de ani cati mai are de trait o persoana in varsta de x ani. Deci ex este egal cu M (Z) si are valoarea (conform denitiei valorii medii)

ex =n0Rodica Ioana LUNG

1 n+ 213

lx+n lx+n+1 lx(Matematici actuariale)

Viata medie sau daca dezvoltam suma avem:

1 1 ex = + 2 lx

lx+n.n1

Rodica Ioana LUNG

14


Tabele de mortalitate

Tabele de mortalitatePentru a dispune de valorile functiilor utilizatE, in teoria asigurarilor de persoane se intocmesc tabele de mortalitate fundamentate pe date statistice si pe ajustarea acestor date prin diferite metode de calcul. De regula, tabelele contin urmatoarele valori:

x - numarul de ani (varsta); lx - functia de supravietuire; dx - numarul persoanelor decedate intre varsta de x si x + 1 ani; px - probabilitatea de viata; qx - probabilitatea de deces;Rodica Ioana LUNG 15 (Matematici actuariale)

Tabele de mortalitate

ex - viata medie;Tabelele mai contin o serie de numere de comutatie la care vom face referire in urmatoarele cursuri. Toate numerele utilizate in teoria asigurarilor de persoane se pot deduce prin calcul pornind, de exemplu, de la numerele lx.

Rodica Ioana LUNG

16


Plati viagere

Plati viagereAsigurari - platile au un caracter aleator: - asiguratul: face platile doar daca este in viata la momentul respectiv - asiguratorul : face platile doar daca evenimentul/ele stabilite in contractul de asigurare s-au realizat. Plata se considera a o variabila aleatoare cu distributia stabilita. Principiul echilibrului nanciar: se egaleaza valorile medii actuale ale celor doua variabile aleatoare (plata efectuata de asigurat si cea efectuata de asigurator, ambele actualizate!). - Valoarea medie actuala a platii (platilor) efectuate de catre asigurat se numeste prima de asigurare si poate unica sau periodica;Rodica Ioana LUNG 17 (Matematici actuariale)

Plati viagere - Valoarea medie actuala a platii (platilor) efectuate de asigurator se numeste suma asigurata si poate de asemenea unica sau periodica. Primele - rezultate din compararea obligatiilor celor doua parti in momentul semnarii contractului - se numesc prime matematice (nete) la acestea putandu-se adauga unele sume... Daca avem mai multe asigurari si notam cu Z1, ..., Zn variabilele aleatoare corespunzatoare platilor efectuate in cazul lor si notam cu Z variabila suma a acestor variabile avem:

Z = Z1 + Z2 + ... + Zn.Pentru valorile medii avem relatia:

M (Z) = M (Z1) + M (Z2) + ... + M (Zn).Notand prima cu P obtinem:

P = M (Z), P1 = M (Z1), ..., Pn = M (Zn)Rodica Ioana LUNG 18 (Matematici actuariale)

Plati viagere de unde putem scrie egalitatea:

P = P1 + P2 + ... + Pnce exprima principiul cumularii contractelor.

Rodica Ioana LUNG

19


Tipuri de plati viagere

Tipuri de plati viagereDenitie 3 Plata viagera reprezinta acel tip de plata care se efectueaza de (sau catre) o persoana atat timp cat ea este in viata la momentul efectuarii platii.

plata viagera unica anuitati viagere- constante - intregi - fractionate - anticipate - posticipate Anuitatile (de orice fel) se clasica si dupa momentul si durata platilor:

imediate, nelimitate imediate, limitate la n ani amanate cu n ani, nelimitateRodica Ioana LUNG 20 (Matematici actuariale)

Plata viagera unica

Plata viagera unicaProblema: Fie o persoana in varsta de x ani careia urmeaza sa i se plateasca peste n ani o unitate monetara, daca va in viata atunci. Daca persoana nu este in viata peste n ani, nu se va efectua nici o plata. Dorim sa aam care este valoarea medie actuala a acestei plati acum, cand persoana are x ani. Variabila aleatoare care reprezinta plata:

Z:Adica Z poate lua doua valori:Rodica Ioana LUNG

vn 0 n px n qx

.

21


Plata viagera unica

v n reprezinta valoarea actualizata a unei unitati monetare de peste n ani (v - factorul de actualizare), valoare care se ia cu probabilitatea npx, adica probabilitatea ca persoana de x ani sa e in viata la x + n ani; 0 - adica nu se plateste nimic, cu probabilitatea nqx probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa nu e in viata la x + n ani.Denitie 4 Valoarea medie a variabilei aleatoare Z se numeste factor de actualizare viager si se noteaza cu simbolull nEx.

Factorul de actualizare viager nEx reprezinta valoarea medie a unei unitati monetara platibile unei persoane in varsta de x ani, peste n ani, daca este in viata la acea varsta.

Rodica Ioana LUNG

22


Plata viagera unica Avem:n Ex

= M (Z) = v n n px lx+n n px = lxn n Ex = v

sau folosind relatia

factorul de actualizare viager poate scris sub forma:

lx+n lx

sau

v x+n lx+n n Ex = v x lx Dx = v x lx,

Introducem notatia: unde Dx se numeste numar de comutatie si se gaseste in tabele. In concluzie, factorul de actualizare viager poate scris:n Ex =

Dx+n . Dx(Matematici actuariale)

Rodica Ioana LUNG

23

Anuitati viagere

Anuitati viagereDaca platile se fac in mai multe transe, ecare aferenta unui anumit moment de timp, atunci putem extinde problema astfel: Care este valoarea medie actuala a platilor viagere (rate) S1, S2, ..., Sk platibile peste n1, n2, ..., nk ani in conditiile in care acestea se efectueaza daca persoana de x ani este in viata peste n1, n2, ..., nk ani? Aceste plati se fac e de asigurat, e de asigurator si sunt egale cu S1 la x + n1 ani, cu S2 la x + n2 ani, etc.

Denitie 5 Se numeste anuitate viagera cu ratele S1, S2, ..., Sk , ansamblul format din momentele de plata x + n1, x + n2, ..., x + nk si ratele anuitatii.

Rodica Ioana LUNG

24


Anuitati viagere Daca notam cu Zi variabila aleatoare ce reprezinta efectuarea platii viagere de 1u.m. corespunzatoare varstei de x + ni ani, i = 1, ..., k :

Zi :

v ni ni px

0 n i qx

,

iar cu Z notam variabila ce exprima suma tuturor platilor efectuate, avem:

M (Z) = M (Z1) + M (Z2) + ... + M (Zk )sau, tinand cont de paragraful precedent, avem:

M (Z) = S1 n1 Ex + S2 n2 Ex + ... + Sk nk Exunde M (Z) reprezinta valoarea actuala a anuitatii viagere.

Rodica Ioana LUNG

25


Anuitati viagere constante intregi

Anuitati viagere constante intregiDenitie 6 Spunem ca anuitatea viagera este constanta, intreaga, posticipata, daca ratele viagere sunt constante si se platesc la intervale de cate un an la sfarsitul ecarui an.

Avem

S1 = S2 = ... = Sk = S = 1u.m.si

n2 n1 = n3 n2 = ... = nk nk1 = 1an, nj = j, j = 1, ..., k.

Rodica Ioana LUNG

26



Anuitatea viagera constanta intreaga posticipata imediatanelimitata Denitie 7 Spunem ca anuitatea viagera constanta intreaga posticipata este imediata si nelimitata daca ratele viagere se platesc incepand cu primul an, nelimitat (practic pana la decesul persoanei). Notam cu ax valoarea medie actuala a unei anuitati viagere constante intregi posticipate imediate nelimitate. Avem:

ax =1 Ex +2 Ex + ... Dx+1 Dx+2 + + ... Dx Dx Introducand numarul de comutatie Nx: ax = Nx = Dx + Dx+1 + ...adica

Rodica Ioana LUNG

27


Anuitati viagere constante intregi putem scrie

Nx+1 ax = . Dx

Rodica Ioana LUNG

28



Anuitatea viagera constanta intreaga posticipata amanata cu n ani, nelimitataDenitie 8 Spunem ca anuitatea viagera constanta intreaga posticipata este amanata cu n ani, nelimitata daca ratele viagere se platesc dupa al nlea an de la incheierea contractului pana la decesul persoanei. Notam cu n/ax valoarea medie a acestei anuitati. Avem:n/ ax

=n+1 Ex +n+2 Ex + ...

sau

Dx+n+1 Dx+n+2 + + ... n/ ax = Dx Dxn/ ax =

deci

Nx+n+1 . Dx

Rodica Ioana LUNG

29



Anuitatea viagera constanta intreaga posticipata imediata, limitata la n aniDenitie 9 Anuitatea viagera constanta, intreaga posticipata este imediata si limitata la n ani daca ratele viagere se platesc incepand cu primul an, timp de n ani. Notam cu /nax valoarea medie actuala a acestei anuitati si avem relatia:/n ax

=1 Ex +2 Ex + ... +n Ex./n ax

De fapt putem scrie

= ax n/ ax Nx+1 Nx+n+1 Dx

adica/n ax =

Rodica Ioana LUNG

30



Anuitati viagere constante, intregi, anticipate - ratele viagerese platesc la inceputul ecarui an. Vom folosi acelasi tip de notatie, insa vom scrie a in loc de a. Asfel vom avea:

Anuitatatea viagera constanta, intreaga, anticipata, imediatasi nelimitata

Nx . ax = Dx

Anuitatatea viagera constanta, intreaga, anticipata, amanata cu n ani si nelimitata Nx+n . n/ ax = Dx Anuitatatea viagera constanta, intreaga, anticipata, imediata limitata la n ani Nx Nx+n /n ax = DxRodica Ioana LUNG 31 (Matematici actuariale)

Tipuri de plati viagere

Tipuri de plati viagereDenitie 10 Plata viagera reprezinta acel tip de plata care se efectueaza de (sau catre) o persoana atat timp cat ea este in viata la momentul efectuarii platii.

plata viagera unica anuitati viagere- constante - intregi - fractionate - anticipate - posticipate Anuitatile (de orice fel) se clasica si dupa momentul si durata platilor:

imediate, nelimitate imediate, limitate la n ani amanate cu n ani, nelimitateRodica Ioana LUNG 32 (Matematici actuariale)

Anuitati viagere constante fractionate

Anuitati viagere constante fractionateDenitie 11 Spunem ca anuitatea viagera constanta este fractionata daca ratele viagere se platesc pentru ecare subperioada in care se imparte anul. Consideram ca anul este impartit in m intervale egale, m N , m 2. In plus consideram ca la sfarsitul ecarei subperioade astfel 1 obtinute se platesc cate m unitati monetare.

Anuitati viagere constante fractionate posticipateDenitie 12 Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata este posticipata daca ratele viagere se platesc la sfarsitul ecarei subperioade.Rodica Ioana LUNG 33 (Matematici actuariale)

Anuitati viagere constante fractionate Pentru simplicarea claculelor vom presupune ca, in decursul unui an, factorul de actualizare viager variaza liniar. Cu alte cuvinte, j punctul de coordonate: (n + m ,n+j/m Ex) apartine dreptei determinata de punctele (n,n Ex) si (n + 1,n+1 Ex) (gura 1). Tinand cont ca cele doua triunghiuri marcate (rosu si albastru) sunt asemenea putem scrie:n+j/m Ex n j m

Ex

=

n+1 Ex

n Ex 1

de unde rezulta o relatie pentru calculul lui n+j/mEx:

j (n+1Ex n Ex) +n Ex, n 0. n+j/m Ex = m

Rodica Ioana LUNG

34



factor de actualizare viagern

Ex

n+j/m

Ex

n+1

Ex

n

n+1/m ... n+j/m ...

n+1

timp

Figure 1: Variatia liniara a factorului de actualizare viager

Rodica Ioana LUNG

35



anuitate viagera constanta fractionata posticipata imediatanelimitata. Denitie 13 Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata 1 posticipata este imediata nelimitata daca ratele viagere de cate m u.m. se platesc la sfarsitul ecarei subperioade incepand cu primul an pana la decesul persoanei. Notam cu ax valoarea medie actuala a anuitatii viagere constante fractionate posticipate imediate si avem:(m)

a(m) x

1 = (1/mEx +2/m Ex + ...) = m 1 = mm

n+j/mEx =n0 j=1

1 = mRodica Ioana LUNG

m

n0 j=1

j (n+1Ex n Ex) +n Ex m36

=



=

1 m 1 m

n0

m+1 (n+1Ex n Ex) + m n Ex 2 m+1 n+1 Ex + 2 m1 Ex 2 n nEx =n0

=

=

=

n0

n0

m+1 = 2m

n0

m1 n+1Ex + 2m

m + 1 Nx+1 m 1 Nx = + = 2m Dx 2m Dx Nx m + 1 = Dx 2mdeci

a(m) = ax xNotam cu(m) Nx = Nx Rodica Ioana LUNG 37

m+1 . 2m m1 Dx 2m(Matematici actuariale)

Anuitati viagere constante fractionate si obtinem

a(m) x

Nx 1 = Dx m

(m)

anuitate viagera constanta fractionata posticipata amanata cu nani Denitie 14 Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata 1 posticipata este amanata cu n ani daca ratele viagere de cate m u.m. se platesc incepand cu al n-lea an pana la decesul persoanei. Notam cu n/ax valoarea medie actuala a anuitatii viagere constante fractionate posticipate amanate cu n ani si tinand cont ca:(m)

a(m) = x

m + 1 Nx+1 m 1 Nx + 2m Dx 2m Dx

Rodica Ioana LUNG

38


Anuitati viagere constante fractionate putem scrie ca(m) n/ ax =

=

1 (n+1/mEx +n+2/m Ex + ...) = m m + 1 Nx+n+1 m 1 Nx+n = + = 2m Dx 2m Dx m + 1 Nx+n+1 m 1 Nx+n Dx+n + = 2m Dx+n 2m Dx+n Dx = ax+n n Ex.(m)

Daca avem in vedere ca

ax+n = ax+n +rezulta ca(m) n/ ax

(m)

m1 2m

m1 n Ex. = ax+n n Ex + 2m ax+n n Ex =n/ ax

Avem insa relatia:

Rodica Ioana LUNG

39


Anuitati viagere constante fractionate de unde rezulta expresia nala:(m) n/ ax =n/ ax +

m1 n Ex. 2m

anuitate viagera constanta fractionata posticipata imediata si limitata la n aniDenitie 15 Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este imediata limitata la n ani daca ratele viagere de 1 cate m u.m. se platesc incepand cu primul an timp de n ani. Notam cu /nax valoarea medie actuala a anuitatii viagere constante fractionate posticipate imediate limitate la n ani si avem:(m) /n ax (m)

= a(m) n/ a(m). x x

Rodica Ioana LUNG

40



Anuitati viagere constante fractionate anticipate- ratele de1 m

se platesc la inceputul ecarei subperioade.

anuitate viagera constanta fractionata anticipata imediatanelimitata Deoarece plata ratelor se face inca de la inceputul primei subperioade, avem:(m) ax

1 (m) = + ax m Nx = . Dx(m)

de unde rezulta ca a(m) x

anuitate viagera constanta fractionata anticipata amanata cu nani(m) n/ ax

=n/

m1 ax n Ex. 2m41 (Matematici actuariale)

Rodica Ioana LUNG


anuitate viagera constanta fractionata anticipata imediata si limitata la n ani (m) (m) (m) /n ax = ax n/ ax

Rodica Ioana LUNG

42


Plati in caz de deces

Plati in caz de decesEvenimentul aleator asociat presupune ca decesul persoanei are loc intr-un interval precizat. Avem:

Plata unica in caz de deces; Anuitati de deces- imediate si nelimitate; - dublu limitate inferior la m ani (inclusiv) si superior la n ani (exclusiv).

Rodica Ioana LUNG

43


Plata unica in caz de deces

Plata unica in caz de decesPresupuneri/notatii:

varsta de acum a persoanei: x ani; se presupune ca persoana decedeaza exact la mijlocul unui an; persoana mai are de trait n ani si jumatate; daca persoana in cauza decedeaza intre x + n si x + n + 1 ani,la jumatatea anului (conform conventiei de mai sus), familia sa (sau persoana indicata ca beneciar) va primi 1u.m.

daca persoana nu decedeaza la momentul indicat, atunci nu seva efectua nici o plata.

care este valoarea medie actuala a platii unice in caz de deces?Rodica Ioana LUNG 44 (Matematici actuariale)

Plata unica in caz de deces Construim variabila aleatoare Z care corespunde platii: Z poate lua 1 doua valori: 1u.m. actualizata, adica v n+ 2 platita in caz de deces si 0 daca decesul nu survine.

Z:

0 1 n/n+1 qx

v

n+ 1 2

n/n+1 qx

unde n/n+1qx reprezinta probabilitatea ca persoana in varsta de x ani sa decedeze intre x + n ani si x + n + 1 ani la jumatatea anului, calculata:n/n+1 qx

=n px qx+n.

Denitie 16 Se numeste factorul de actualizare in caz de deces valoarea medie a variabilei aleatoare Z descrisa mai sus.

Rodica Ioana LUNG

45


Plata unica in caz de deces Notam cu nDx factorul de actualizare in caz de deces si avem:n+ 1 2

= M (Z) = v n/n+1 qx = 1 lx+n lx+n+1 = = v n+ 2 lx 1 v x+n+ 2 (lx+n lx+n+1) = = v x lx v 1/2 v x+n lx+n u1/2 v x+n+1 lx+n+1 = = v x lx v 1/2 Dx+n u1/2 Dx+n+1 = = Dx u1/2 (vDx+n Dx+n+1) = = Dxn Dx

Introducem numarul de comutatie

Cx = u1/2 (vDx+n Dx+n+1)Rodica Ioana LUNG 46 (Matematici actuariale)

Plata unica in caz de deces si astfel putem scrie

Cx+n n Dx = DxObservatie: Noi nu avem Cx in tabele: le calculam de ecare data aplicand formula!

Rodica Ioana LUNG

47


Anuitati de deces

Anuitati de deces plata in caz de deces se efectueaza oricand (atunci cand decesulpersoanei are loc intre doi ani dinainte precizati);

intalnim doar cazul intreg - intervalul dintre doua momente candar posibila efectuarea platii e de un an;

se pastreaza ipoteza ca decesul survine peste un numar intreg deani si jumatate.

este un tip degenerat de anuitate: se face o singura plata pentrucare insa nu se cunoaste momentul. Ne intereseaza valoarea medie actuala a mai multor posibilitati de plata in caz de deces, de cate 1u.m. care urmeaza a platite o singura data daca persoana decedeaza in anul respectiv.Rodica Ioana LUNG 48 (Matematici actuariale)

Anuitati de deces

Anuitate de deces imediata si nelimitataDenitie 17 Spunem ca anuitatea de deces este imediata si nelimitata daca plata sumei se face oricand survine decesul persoanei. Variabila aleatoare Z corespunzatoare acestei plati se descompune in variabile aleatoare Zk , k 0 cu

Z=k0

Zk ,

Zk ind variabile aleatoare care reprezinta plata unica ce de va efectua pentru doi ani consecutivi k , k + 1. Trecand la valorilemedii putem scrie:

M (Z) =k0

M (Zk ) =k0

k Dx

=k0

Cx+n . Dx

Rodica Ioana LUNG

49


Anuitati de deces Introducem un nou numar de comutatie Mx:

Mx =k0

Cx+k =k0

u1/2 (vDx+n Dx+n+1)

sau

Mx = u1/2(v Nx Nx+1).Astfel putem scrie

M (Z) =k0

Cx+k Mx = . Dx Dx

Notam Ax valoarea medie actuala a anuitatii de deces imediata si nelimitata si avem:

Mx Ax = . Dx

Rodica Ioana LUNG

50


Anuitati de deces

Anuitate de deces dublu limitata inferior la m ani (inclusiv) si superior la n ani (exclusiv)Denitie 18 Spunem ca anuitatea de deces este dublu limitata inferior la m ani (inclusiv) si superior la n ani (exclusiv) daca plata se va efectua oricand are loc decesul intre x + m (inclusiv) si x + n ani (exclusiv). Notam cu m/nAx valoarea medie actuala a acestei anuitati si avem:n1 m/n Ax = M (Z) = k=m k Dm = k=m n1

Cx+k Mx+m Mx+n = Dx Dx

Astfel avem:m/n Ax =

. Observatii:

Mx+m Mx+n Dx

Rodica Ioana LUNG

51


Anuitati de deces - Daca m = 0 avem anuitatea de deces imediata limitata la n ani cu valoarea medie actuala:

Mx+m Mx+n /n Ax = Dx- anuitatea de deces amanata cu n ani, nelimitata :n/ Ax =

Mx+n Dx

Rodica Ioana LUNG

52


Asigurari de persoane

Asigurari de persoane asigurarea de viata asigurarea de deces asigurarea de pensii asigurarea mixtaPentru ecare tip de asigurarea aplicam principiul echilibrului nanciar: datoriile celor doua parti, actualizate, trebuie sa e egale. Pentru asigurarile de persoane se egaleaza valorile medii actuale ale platilor facute de cele doua parti. Pentru ecare tip de asigurare vom evidentia obligatiile celor doua parti.Rodica Ioana LUNG 53 (Matematici actuariale)

matematici actuariale

Documents