matematici aplicate in finante · 1 florentin Şerban silvia dedu matematici aplicate in finante...

59
1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT Click here to buy A B B Y Y P D F T r a n s f o r m e r + w w w . A B B Y Y . c o m Click here to buy A B B Y Y P D F T r a n s f o r m e r + w w w . A B B Y Y . c o m

Upload: others

Post on 31-Aug-2019

110 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

1

FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU

MATEMATICI APLICATE IN FINANTE

Suport de curs AT

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 3: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

3

Cuprinsul cursului

Unitatea de învăţare 11. Serii numerice .....................................................................................................................

1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 ....................................................................................1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice .......................................................1.3 Serii clasice,serii cu termeni oarecare,serii alternate1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ..............................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...............................................................Bibliografia unităţii de învăţare 1 .........................................................................................

Unitatea de învăţare 22. Serii de puteri

2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 .....................................................................................2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri ..................................................................2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...........................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...............................................................Bibliografia unităţii de învăţare 2 .........................................................................................Lucrarea de verificare nr. 1 ..................................................................................................

Unitatea de învăţare 33. Funcţii de mai multe variabile reale

3.1 Obiectivele unităţii de învăţare 3 .....................................................................................3.2 Definiţia limitei şi continuităţii pentru o funcţie de mai multe variabile reale3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I si II pentru o funcţie de mai multe variabile reale3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale .........................3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale……………………………..3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor…………………………………

Teste de autoevaluare............................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 3 ..........................................................................................Lucrarea de verificare nr.2....................................................................................................

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 4: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

4

Unitatea de învăţare 44.Calcul integral 4.1 Obiectivele unităţii de învăţare 4…………………………………………………

4.2 Clasificarea integralelor euleriene ..................................................................................4.3 Definiţii şi proprietati ale integralelor euleriene ...............................................................

4.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 4 ..........................................................................................Lucrarea de verificare nr. 3 ..................................................................................................

Unitatea de învăţare 55. Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente 5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 ...................................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati .................................................................. 5.3 Scheme probabilistice clasice .......................................................................................... 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 5 ..........................................................................................Lucrarea de verificare nr. 4 ...................................................................................................

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 5: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

5

Unitatea de învăţare 66. Variabile aleatoare

6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 .....................................................................................6.2 Variabile aleatoare unidimensionale ...............................................................................6.3 Variabile aleatoare bidimensionale………………………………………………6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice………………………………………6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 6 ..........................................................................................Lucrarea de verificare nr.5 ...................................................................................................

Unitatea de învăţare 77. Statistica matematică

7.1 Obiectivele unităţii de învăţare 77.2 Elemente de teoria selecţiei .............................................................................................7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 7 ..........................................................................................Lucrarea de verificare nr.6 ...................................................................................................

.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 6: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

6

Prefaţă

Lucrarea “Matematici aplicate in finante " dezvoltă numeroase problemeteoretice şi practice, care fac obiectul cursurilor de matematică sau de statisticăeconomică ale studenţilor din învăţământul economic, şi în particular ale studenţilorînscrişi la programul de studiu ID organizat de Facultatea de Finanţe, Asigurări, Băncişi Burse de Valori şi face parte din planul de învăţământ aferent anului I, semestrul 1.

Fiind subordonate programei analitice a disciplinei “Matematici aplicate îneconomie” de la Academia de Studii Economice Bucureşti, Facultatea de Finanţe,Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, anul I, ID, noţiunile şi conceptele prezentate înlucrare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţiitemporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate.

Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate în competenţele pe carestudentul le va dobindi după parcurgerea şi asimilarea lui, sunt următoarele:

- va avea cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar şi de tehnici specificematematicii aplicate;

- va fi în măsură să construiască, să prelucreze şi să valorifice o teorieeconomică relevantă, credibilă şi inteligibilă, numai în condiţiile în care stăpâneştedeopotrivă cunoştinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice cunoştinţe de matematiciaplicate în economie

- va dispune de numeroase soluţii pentru eficientizarea managementului la nivelmicro şi macroeconomic în vederea practicării în condiţii de performanţă a muncii deeconomist;

- va putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse probleme ale disciplinelor despecialitate, precum şi alte concepte legate de modelarea matematică a unor procesesau fenomene economice dintre cele mai diverse.

Cursul “Matematci aplicate in finante” este structurat pe şapte unităţi deînvăţare (capitole), fiecare dintre acestea cuprinzând câte o lucrare de verificare, pecare studentul o va putea transmite tutorelui său.

Pentru ca procesul de instruire al studentului să se desfaşoare într-un modriguros, dar şi atractiv, studentul va putea utiliza un set de resurse suplimentareprezentate sub forma bibliografiei de la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare în formatelectronic, ce sa va regăsi accesând platforma de e-learning a ASEBucuresti(online.ase.ro).

Evaluarea cunoştinţelor se va realiza sub două forme:- evaluare continuă, pe baza temelor de control care se vor derula pe platforma

online(online.ase.ro;- evaluare finală, realizată prin examenul susţinut în perioada de sesiune.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 7: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

7

La evaluarea scrisan studentii trebuie sa obtina minim nota 5,apoi nota finala va fi: 30 % NTC + 70% NE ;NTC = nota obtinuta la temele de control

NE = nota obtinuta la examenNutrim speranţa ca studenţii din anul I, de la programul de studiu ID,

Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, să găsească în aceastălucrare un sprijin real şi important pentru studiu şi cercetare, pentru viitoarea lorprofesie, ce le va solicita şi cunoştinţe de matematica

Autorii

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 8: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

8

UNITATEA DE INVĂŢARE 1:

Serii numerice

Cuprins

1.1 Obiectivele unităţii de învăţare 1 ....................................................................................1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice ......................................................1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice1.4 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă ............................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ...............................................................

Bibliografia unităţii de învăţare 1

1.1 Obiective

Unitatea de învăţare 1 conţine o prezentare într-o formă accesibilă, dar riguroasă a noţiunii deserie numerică din cadrul analizei matematice, care fundamentează teoretic noţiunea de serie de puteri,un alt element de bază al analizei matematice, ce va fi expus în unitatea de invăţare 2.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:- conceptul de serie numerică, necesar si extrem de util, pentru a putea modela matematic

anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse;- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii numerice” şi al

lucrărilor de verificare ale studenţilor din învăţământul economic din anul I, ID, de la Facultatea deFinanţe, Asigurăru, Bănci şi Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucureşti.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 9: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

9

1.2 Definiţii si proprietăţi generale ale seriilor numerice

Fie å¥

=1nna o serie numerică de termen general na .

Definim şirul sumelor parţiale 1)( ³nnS , å=

=n

kkn aS

1.

Definiţia 1. Seria å¥

=1nna este convergentă dacă şirul 1)( ³nnS este convergent.

În acest caz, numărul nn

SS¥®

= lim se numeşte suma seriei.

Dacă ±¥=¥®

nn

Slim sau 1)( ³nnS nu are limită, atunci seria å¥

=1nna este divergentă.

Propoziţia 1.

)a Dacă seria å¥

=1nna este convergentă şi are suma S , atunci seria å

¥

1nnaa este convergentă şi are

suma S×a .

)b Dacă seriile å¥

=1nna şi å

¥

=1nnb sunt convergente şi au sumele 1S şi 2S , atunci seria å

¥

=+

1)(

nnn ba este

convergentă şi are suma 21 SS + .

Definiţia 2. Seria å¥

=1nna este absolut convergentă dacă seria å

¥

=1nna este convergentă.

Propoziţia 2. Dacă o serie este absolut convergentă, atunci seria este convergentă.

1.3 Serii cu termeni oarecare, serii alternate, serii clasice

Criteriul suficient de divergenţă.

Dacă 0lim ¹¥®

nn

a , atunci seria å¥

=1nna este divergentă.

Criteriul lui Leibniz.

Fie seria alternată .0,)1(1

>-å¥

=n

nn

n aa Dacă :

)a şirul 1)( ³nna este descrescător şi

)b 0lim =¥®

nn

a , atunci seria å¥

=-

1)1(

nn

na este convergentă.

Serii clasice

1) Seria geometricăå¥

=0n

nq este convergentă ( )1,1-ÎÛ q şi are sumaq

S-

=1

1 .

2) Seria armonică generalizată å¥

=1

1

n naeste convergentă 1>Ûa .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 10: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

10

1.4 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

Criteriul 1 de comparaţie. Fie å¥

=1nna şi å

¥

=1nnb serii cu termini pozitivi pentru care există

Nn Î0 astfel încât ( ) 0, nnba nn ³"£ .

)a Dacă å¥

=1nnb este convergentă, atunci å

¥

=1nna este convergentă.

)b Dacă å¥

=1nna este divergentă, atunci å

¥

=1nnb este divergentă.

Criteriul 2 de comparaţie. Fie å¥

=1nna şi å

¥

=1nnb serii cu termeni

pozitivi pentru care există Nn Î0 astfel încât ( ) 011 , nn

bb

aa

n

n

n

n ³"£ ++ .

)a Dacă å¥

=1nnb este convergentă, atunci å

¥

=1nna este convergentă.

)b Dacă å¥

=1nna este divergentă, atunci å

¥

=1nnb este divergentă.

Criteriul 3 de comparaţie. Fie å¥

=1nna şi å

¥

=1nnb serii cu termeni pozitivi.

)a Dacă ),0(lim ¥Î¥® n

nn b

a , atunci seriile au aceeaşi natură.

)b Dacă 0lim =¥® n

nn b

a şi: )1b å¥

=1nnb este convergentă, atunci å

¥

=1nna este convergentă;

)2b å¥

=1nna este divergentă, atunci å

¥

=1nnb este divergentă.

)c Dacă ¥=¥® n

nn b

alim şi:

)1c å¥

=1nna este convergentă, atunci å

¥

=1nnb este convergentă;

)2c å¥

=1nnb este divergentă, atunci å

¥

=1nna este divergentă.

Corolarul criteriului raportului (d'Alembert).

Fie å¥

=1nna o serie cu termeni pozitivi şi

n

nn a

al 1lim +¥®

= .

)a Dacă 1<l , atunci å¥

=1nna este convergentă.

)b Dacă 1>l , atunci å¥

=1nna este divergentă.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 11: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

11

Corolarul criteriului rădăcinii (Cauchy).

Fie å¥

=1nna o serie cu termeni pozitivi şi n n

nal

¥®= lim .

)a Dacă 1<l , atunci å¥

=1nna este convergentă.

)b Dacă 1>l , atunci å¥

=1nna este divergentă.

Corolarul criteriului Raabe-Duhamel.

Fie å¥

=1nna o serie cu termeni pozitivi şi

÷÷ø

öççè

æ-=

+¥®1lim

1n

nn a

anl .

)a Dacă 1<l , atunci å¥

=1nna este divergentă.

)b Dacă 1>l , atunci å¥

=1nna este convergentă.

Corolarul criteriului logaritmic.

Fie å¥

=1nna o serie cu termeni pozitivi şi

na

l nn ln

1lnlim

¥®= .

)a Dacă 1<l , atunci å¥

=1nna este divergentă.

)b Dacă 1>l , atunci å¥

=1nna este convergentă

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 12: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

12

Teste de autoevaluare

I. Să se determine natura şi dacă este cazul să se calculeze suma seriilor:

1. .0,1

1

1>

++++å¥

=a

aan nn2. å

¥

= +-

1 2313ln

n nn 3. å

¥

=++ +

+

1 11 8383

n nn

nn

II. Să se determine natura seriilor:

4. å¥

= -××××-××××

1 )14(...1073)23(...741

n nn . 5.

2

1 2313 n

n nn

å¥

=÷øö

çèæ

+-

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare1. .0,

11

1>

++++å¥

=a

aan nn

Rezolvare:Considerăm şirul sumelor parţiale:

=-

++-+=

++++== ååå

===

n

k

n

k

n

kkn

kkkk

aS111 1

11

1 aaaa

Þ++++--+++-+++-= 1...3221 aaaaaa nn¥=Þ+-+==Þ

¥®n

nn SnS lim11 aa , deci şirul 1)( ³nnS este divergent.

Conform definiţiei, rezultă că seria este divergentă.

2. å¥

= +-

1 2313ln

n nn .

Rezolvare:

[ ]åå==

=+--=+-

=n

k

n

kn kk

kkS

11)23ln()13ln(

2313ln

Þ+-=+--++-+-= )23ln(2ln)23ln()13ln(...8ln5ln5ln2ln nnn-¥=Þ

¥®n

nSlim , prin urmare seria este divergentă.

3. å¥

=++ +

+

1 11 8383

n nn

nn.

Rezolvare:

081

1838

1838

limlim1

1¹=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+÷

øö

çèæ

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+÷

øö

çèæ

=+

+¥®¥® n

n

nn

nn

na

; conform criteriului suficient de divergenţă, rezultă că seria este

divergentă.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 13: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

13

4. å¥

= -××××-××××

1 )14(...1073)23(...741

n nn .

Rezolvare:Vom folosi corolarul criteriului raportului. Fie

)14....(1073)23.....(741

-××-××

=n

nan . Avem:

143

)34()13(lim

)14(...1073)23(...741

)34)(14(...1073)13)(23(...741

limlim 1 <=++

=

-××××-××××

+-××××+-××××

=¥®¥®

+¥® n

n

nn

nnnn

aa

nnn

nn

,

prin urmare seria este convergentă.

5.2

1 2313 n

n nn

å¥

=÷øö

çèæ

+- .

Rezolvare:

Aplicăm corolarul criteriului rădăcinii. Fie2

2313 n

n nna ÷

øö

çèæ

+-

= . Avem:

1123

31lim2313limlim 23

3lim<==÷

øö

çèæ

+-=÷

øö

çèæ

+-

+-

¥®¥®¥®

¥®

ee

nnna

nn

n

n

n

nn n

nn ,

prin urmare seria este convergentă.

Bibliografia unităţii de învăţare 1:

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Editura CISON, Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,Editura. Teocora, Buzau, 20093. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,Editura.Plus, Bucureşti, 20054.I. Purcaru, Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 14: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

14

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2

Serii de puteri

Cuprins2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2 ........................................................................................2.2 Definiţia noţiunii de serie de puteri ....................................................................................2.3 Studiul naturii unei serii de puteri2.4 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ...............................

Teste de autoevaluare ...............................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ...................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 2 .............................................................................................Lucrarea de verificare nr. 1………………………….………………...……

2.1 Obiectivele unităţii de învăţare 2

Fiind în strânsă concordanţă cu programa analitică a disciplinei „Matematici aplicate îneconomie”, de la Academia de Studii Economice Bucuresti, pentru studenţii de la anul I, ID,Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, noţiunile si conceptele prezentate în cadrulacestei unităţi de învăţare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţiitemporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunoştinţe despre:- conceptul de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, legat de studiul

seriilor numerice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvolta diverseprobleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse deValori, căreia ne adresăm;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii de puteri” şi allucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea deFinanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresti

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 15: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

15

2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri

Fie seria de puteri n

nn xaå

¥

=1, Se numeşte mulţime de convergenţă a seriei de puteri mulţimea formată

din punctele în care seria este convergentă: =C { n

nn xaRx å

¥

1 convergentă}.

Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri n

nn xaå

¥

=1 există R , ¥££ R0 , astfel

încât:)1 seria este absolut convergentă pe intervalul ( )RR,- ;)2 seria este divergentă pe mulţimea ( ) ( )¥È-¥- ,, RR ;)3 pentru orice ( )Rr ,0Î , seria este uniform convergentă pe intervalul

[ ]rr,- .Observaţie. R se numeşte rază de convergenţă.

Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie n

nn xaå

¥

=1o serie de puteri şi R raza de convergenţă a

acesteia. Dacă notăm n nn

a¥®

= limw , atunci

ïïî

ïïí

ì

¥==¥

¹

=ww

ww

,00,

0,1

R .

Observaţie. Se poate calcula w şi după formula:n

nn a

a 1lim +

¥®=w .

2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: ( ) Rxx

nn

nn

n Î××

-å¥

=,

511

1.

Rezolvare:· Calculăm raza de convergenţă. Fie ( ) n

nn

na

511×

-= . Avem că:

( )

( ) 51

)1(5lim

511

5)1(11

limlim1

1

1 =+

=

×-

×+-

==¥®

++

¥®

+

¥® nn

n

na

an

nn

nn

nn

nn

w, deci 51

==w

R .

· Conform teoremei lui Abel, rezultă că: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul ( )5,5- ;

2) seria este divergentă pe mulţimea ( ) ( )¥È-¥- ,55, ;3) pentru orice ( )5,0Îr , seria este uniform convergentă pe [ ]rr,- .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 16: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

16

· Studiem natura seriei pentru 5±=R :

Pentru 5=R , seria de puteri devine: ( ) nnn

n

n5

511

×-å

¥

=

, adică ( )nn

n 111

å¥

=- ;

şiruln

un1= este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului

lui Leibniz, că seria ( )nn

n 111

å¥

=- este convergentă.

Pentru 5-=R , seria de puteri devine: ( ) nnn

n

n)5(

511

1-×

×-å

¥

=, adică

å¥

=1

1

n n, care este divergentă (seria armonică).

În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea ( ]5,5- .

2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

( ) Rxxnn

n

nn

Î-×÷øö

çèæ

-+

å¥

=,3

5612

1.

Rezolvare:· Notăm 3-= xy .

Determinăm mai întâi mulţimea de convergenţă a seriei å¥

=×÷

øö

çèæ

-+

1 5612

n

nn

ynn .

· Calculăm raza de convergenţă. Fien

n nna ÷

øö

çèæ

-+

=5612 . Avem:

31

5612limlim =÷øö

çèæ

-+

==¥®¥®

nn

nn n

n nnaw , deci 31

==w

R .

· Conform teoremei lui Abel, avem:)1 seria este absolut convergentă pe intervalul ( )3,3- ;)2 seria este divergentă pe mulţimea ( ) ( )¥È-¥- ,33, ;)3 pentru orice ( )3,0Îr , seria este uniform convergentă pe [ ]rr,- .

· Studiem natura seriei pentru 3±=y :

Pentru 3=y , seria de puteri devine: å¥

=×÷

øö

çèæ

-+

13

5612

n

nn

nn , sau å

¥

=÷øö

çèæ

-+

1 5636

n

n

nn .

Fien

n nnu ÷

øö

çèæ

-+

=5636 ; avem: 0

5681limlim 3

456

8lim¹==÷

øö

çèæ

-+= -¥®

¥®¥®ee

nu n

n

n

n

nn

n, deci, conform criteriului

suficient de divergenţă, seria este divergentă.

Pentru 3-=y , seria devine: å¥

=-×÷

øö

çèæ

-+

1)3(

5612

n

nn

nn , sau ( )å

¥

=÷øö

çèæ

-+

-1 56

361n

nn

nn .

Fie ( )n

nn n

nv ÷øö

çèæ

-+

-=56361 ; deoarece nu există n

nv

¥®lim , rezultă că şirul ( ) 1³nnv este divergent, deci seria

este divergentă.În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru ( ) Û-Î 3,3y

6033333 <<Û<-<-Û<<-Û xxy . Rezultă că

mulţimea de convergenţă a seriei ( )å¥

=-×÷

øö

çèæ

-+

13

5612

n

nn

xnn este ( )6,0 .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 17: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

17

Teste de autoevaluare

1.Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri ( )å¥

=+×

-+

12)4(3

n

nnn

xn

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Rezolvare:· Notăm 2+= xy . Vom determina mai întâi mulţimea de

convergenţă a seriei. å¥

=

-+

1

)4(3

n

nnn

yn

· Calculăm raza de convergenţă. Fie 1,)4(3³

-+= n

na

nnn .

=-+

-+×

+=

-+

+-+

==++

¥®

++

¥®

+

¥® nn

nn

nnn

nn

nn

nn n

n

n

n

aa

)4(3)4(3

)1(lim

)4(3

1)4(3

limlim11

11

1w

( )( ) 4

141)4(

1)4(

)1(lim

43

1431

=Þ=÷øö

çèæ +--

÷øö

çèæ +--

×+

=

++

¥®R

nn

nn

nn

n

Conform teoremei lui Abel, rezultă că:1) seria este absolut convergentă pentru ÷

øö

çèæ-Î

41,

41y ;

2) seria este divergentă pentru ÷øö

çèæ ¥È÷

øö

çèæ -¥-Î ,

41

41,y ;

3) pentru orice ÷øö

çèæÎ

41,0r , seria este uniform convergentă pe intervalul [ ]rr,- .

· Studiem natura seriei pentru41

±=y :

Pentru41

=y , seria de puteri devine: å¥

=÷øö

çèæ-+

1 41)4(3

n

nnn

n, adică

( )å¥

= úúû

ù

êêë

é×-+÷

øö

çèæ×

1

11431

n

nn

nn. Avem că seria å

¥

=÷øö

çèæ×

1 431

n

n

neste convergentă

(folosind criteriul raportului) şi seria ( )å¥

=×-

1

11n

nn

este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz), prin

urmare seria este convergentă. Pentru

41-=y , seria de puteri devine: å

¥

=÷øö

çèæ-

-+

1 41)4(3

n

nnn

n, adică ( )å

¥

= úúû

ù

êêë

é+÷

øö

çèæ×-

1

14311

n

nn

nn. Notăm

( ) *,4311 Nn

nb

nn

n Î÷øö

çèæ×-=

*,1 Nnn

cn Î= şi ( ) *,14311 Nn

nnd

nn

n Î+÷øö

çèæ×-= . Avem că seria å

¥

=1nnb este

convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă presupunem că seria å¥

=1nnd este convergentă,

deoarece ( ) *, Nnbdc nnn Î"-= , rezultă că şi seria å¥

=1nnc este convergentă,

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 18: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

18

contradicţie. Prin urmare seria å¥

=1nnd este divergentă.

În concluzie, seria å¥

-+

1

)4(3

n

nnn

yn

este convergentă pentru

47

49

412

41

41

41

41,

41

-£<-Û£+<-Û£<-Ûúûù

çèæ-Î xxyy .

Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei este úûù

çèæ --

47,

49 .

Bibliografia unităţii de învăţare 1:

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Editura CISON, Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,Editura Teocora, Buzau, 20093. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,Editura Plus, Bucureşti, 20054.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 1

1. Să se determine natura si sa se calculeze suma seriei å¥

= -2 2 11

n n

2. Să se determine natura serieiå¥

= +1 51

nnn

3. Sa se calculeze multimea de convergenta a seriei ( )( )

Rxxnn

nn

n Î××-

-å¥

=

+ ,312

111

1

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 19: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

19

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3

Funcţii de mai multe variabile reale

Cuprins

3.1 Obiectivele unităţii de învăţare 3 3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de mai multe variabile real3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I şi II pentru o funcţie de doua variabile3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale 3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

Teste de autoevaluare Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare Bibliografia unităţii de învăţare 3

Lucrarea de verificare nr.2

3.1 Obiective

Economiştii, indiferent de domeniul în care lucrează, au nevoie de cunostinţe solide de strictăspecialitate, dar şi de tehnici specifice matematicii aplicate, cum ar fi noţiunile pe care ni le propunemsă le prezentăm în cadrul unităţii de învăţare 3. Informaţia economică trebuie să fie relevantă,credibilă, inteligibilă - calităţi, care sunt asigurate numai atunci când economistul care o construieşte,o prelucrează si o valorifică, stăpâneste deopotrivă cunostinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinicecunoştinţe de matematici aplicate în economie.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre funcţiile de 2 sirespectiv 3 variabile reale şi despre conceptele asociate lor, precum: limitele lor, continuitatea acestora,derivabilitatea parţială a respectivelor funcţii si diferenţiabilitatea lor; ele reprezintă un alt elementimportant al analizei matematice, necesar şi extrem de util, pentru a putea aborda, înţelege şi dezvoltadiverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultăţii de Finanţe, Asigurări, Bănci şiBurse de Valori, căreia ne adresăm.

Prin introducerea unitatii de invatare 3, subordonată analizei matematice, nutrim speranţaca studentul de la anul I, ID, Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, să obţinăacumulări de noi cunoştinţe utile disciplinelor specifice anilor de licenţă, de la această facultate,în vederea formării lui ca viitor economist, ce urmează să practice profesia de economist încondiţii de performanţă.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 20: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

19

3.2 Definiţia limitei si continuităţii pentru o funcţie de două variabile

Definiţia 1. Fie RRAf m ®Ì: o funcţie reală de m variabile reale. Spunem călxf

xx=

®)(lim

0

dacă pentru orice şir 0,)( xxAx nNnn ¹ÌÎ şi 0lim xxnn

=¥®

avem

lxf nn

=¥®

)(lim .

Definiţia 2. Fie RRAf ®Ì 2: şi Aba Î),( .Spunem că f este continuă în punctul ),( ba dacă pentru orice şir { } Ayx Nnnn ÌÎ),(cu proprietatea că ),(),(lim bayx nn

n=

¥® rezultă că ),(),(lim bafyxf nn

n=

¥®.

3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I §i II pentru o funcţie de doua variabile

Definiţia 3. Fie RRAf ®Ì 2: şi Aba Î),( .Spunem că funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul Aba Î),( dacă

axbafbxf

ax --

®

),(),(lim există şi este finită.

Vom nota această limită cu ),(' baf x saux

baf¶

¶ ),( .

Analog, funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y în punctul Aba Î),( dacă

bybafyaf

by --

®

),(),(lim există şi este finită.

Vom nota această limită cu ),(' baf y sauy

baf¶

¶ ),( .

3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile.Definiţia 4. Fie RRAf ®Ì 2: o funcţie diferenţiabilă în punctul ),( ba interior lui A .

· Se numeşte diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei f în punctul ),( bafuncţia liniară: dybadxbabybafaxbabayxdf fff yxyx ),(),())(,())(,(),;,( '''' +=-+-= .

· Se numeşte diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul

),( ba funcţia: ),(),;,()(

bafdyy

dxx

bayxfdn

núû

ùêë

鶶

+¶¶

= .

Observaţie. Toate definiţiile valabile pentru funcţii de două variabile RRAf ®Ì 2: se

pot extinde pentru cazul funcţiilor de n variabile, RRAf n ®Ì: , 3, ³Î nNn .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 21: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

20

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale

Definiţia 1. Funcţia RRAf n ®Ì: admite un maxim local (minim local) în punctulAaaaa n Î= ),...,,( 21 dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât oricare ar fi

AVxxxx n ÇÎ= ),...,,( 21 are loc inegalitatea )()( afxf £ (respectiv )()( afxf ³ ). Înaceste condiţii, spunem că punctul a este punct de extrem local pentru funcţia f . Dacăinegalităţile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiţie A , spunem că punctula este punct de maxim (minim) global pentru funcţia f .

Definiţia 2. Fie RRAf n ®Ì: . Punctul Aaaaa n int),...,,( 21 Î= este punct staţionarpentru funcţia f dacă f este diferenţiabilă în a şi diferenţiala 0);( =axdf .Observaţie. Dacă punctul Aaaaa n int),...,,( 21 Î= este punct staţionar, 0);( =axdf

implică nkafkx ,1,0)(' ="= .

Propoziţie. Dacă funcţia RRAf n ®Ì: admite un extrem local în punctul

Aaaaa n Î= ),...,,( 21 şi există 'kxf într-o vecinătate a punctului a , nk ,1=" , atunci

nkafkx ,1,0)(' ="=

Teorema 1. Fie RRAf ®Ì 2: şi ( ) Aba int, Î un punct staţionar pentru f .Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi, continue pe o vecinătate V apunctului ( )ba, .

Considerăm expresia ( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 ×-=D . Atunci:

1. Dacă 0),( <D ba , atunci ( )ba, este punct de extrem local, şi anume:

- punct de minim local, dacă 0),(''2 >baf x ;

- punct de maxim local, dacă 0),(''2 <baf x .

2. Dacă 0),( >D ba , atunci ( )ba, este punct şa.

Teorema 2. Fie RRAf n ®Ì: . Presupunem că punctul AaÎ este punct staţionarpentru f şi funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue pe o vecinătate Va punctului a . Atunci:

)1 dacă ( ) 0;2 <axfd , pentru orice AVx ÇÎ , atunci a este punct de maxim local;

)2 dacă ( ) 0;2 >axfd , pentru orice AVx ÇÎ , atunci a este punct de minim local;

)3 dacă ( )axfd ;2 este nedefinită, atunci a este punct şa.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 22: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

21

Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru RRAf n ®Ì:

Acest algoritm se aplică pe mulţimea punctelor în care funcţia f este diferenţiabilă şiadmite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctelor respective.

Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:( )

( )

( )ïïï

î

ïïï

í

ì

=

=

=

0,...,,

.....................................

0,...,,

0,...,,

21'

21'

21'

2

1

nx

nx

nx

xxxf

xxxf

xxxf

n

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Acest lucruse poate realiza în mai multe moduri:

Metoda I. Pentru fiecare punct staţionar ( )naaaP ,...,, 21 calculămmatricea hessiană:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççç

è

æ

=

nxnxxnxx

nxxnxnxx

nxxnxxnx

n

aafaafaaf

aafaafaaf

aafaafaaf

aaaH

nnn

n

n

,..,.........,..,,..,

......................................

,..,.........,..,,..,

,..,........,..,,..,

),...,,(

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

21

221

22212

12121

şi minorii acesteia nDDD ,......,, 21 , unde iD este minorul format din primele i linii şi icoloane ale matricei ),( baH , ni ,1= .

Discuţie.· Dacă toţi minorii 0>Di , atunci ),...,,( 21 naaaP punct de minim local.· Dacă minorii iD alternează ca semn, începând cu minus, atunci

),...,,( 21 naaaP este punct de maxim local.· Orice altă combinaţie de semne, cu 0¹D i , implică

),...,,( 21 naaaP punct şa.

Metoda II. (aplicabilă numai funcţiilor de două variabile) Pentru fiecare punct staţionar ( )baP , calculăm expresia:

( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2''22 ×-=D .

1. Dacă ( ) 0, <D ba , atunci ( )ba, este punct de extrem local, şi anume:

- punct de minim local, dacă ( ) 0,''2 >baf x ;

- punct de maxim local, dacă ( ) 0,''2 <bafx .

2. Dacă ( ) 0, >D ba , atunci ( )ba, este punct şa.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 23: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

22

Observaţia 1. În cazul funcţiilor de două variabile, se observă că ( ) 2, D-=D ba . Prinurmare, dacă aplicând metoda 1 obţinem că 02 <D , atunci ( ) 0, >D ba , deci, indiferentde valoarea minorului 1D , rezultă că ( )ba, este punct şa.

Metoda III. Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei în punctul staţionar( )naaaa ,...,, 21= şi se aplică teorema 2.

Observaţia 2. Existenţa unui punct de extrem local poate fi pusă în evidenţă cu ajutorulmetodelor prezentate numai dacă funcţia f este diferenţiabilă în acel punct şi admitederivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctului respectiv.

În caz contrar sau în cazul în care în urma aplicării metodelor de mai sus nu se poatepreciza natura punctului, se foloseşte:

Metoda IV. Definiţia punctului de extrem local.

3.7 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:162),(,: 322 +-+=® xyyxyxfRRf .

Rezolvare:

Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:ïî

ïíì

=

=

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x .

Avem că:xyyxf

yxyxf

y

x

63),(

64),(2'

'

-=

-=, prin urmare rezultă sistemul:

ïî

ïíì

=-

ïî

ïíì

=-

=-Û

ïî

ïíì

=-

=-

0302

032

063

064

22

3

22yy

x

xy

yx

xy

yx y.

Din a doua ecuaţie obţinem: 3,0 21 == yy , de unde, prin înlocuire în prima relaţie,

rezultă 29

21 ,0 == xx , soluţiile sistemului sunt:

îíì

==

00

1

1yx ;

ïî

ïíì

=

=

32

29

2

y

x .

Am obţinut punctele staţionare: ( ) ( )3,,0,0 29

21 PP .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 24: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

23

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.

Scriem matricea hessiană:

( )( ) ( )

( ) ( ) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: ( ) ( )[ ] [ ] 464,, '''''2 =-== xxxx yxyxfyxf ;

( ) ( )[ ] [ ] ( )yxfyxyxfyxf yxyyxxy ,664,, ''''''' =-=-== ;

( ) ( )[ ] [ ] yxyyxfyxf yyyy 663,, '2''''2 =-== , deci

÷÷ø

öççè

æ-

-=

yyxH

6664

),( . Avem:

0360664

,040664

)0,0( 21 <-=-

-=D>=DÞ÷÷

ø

öççè

æ-

-=H ,

prin urmare ( )0,01P este punct şa.

( ) 03618664

,0418664

3, 2129 >=

--

=D>=DÞ÷÷ø

öççè

æ-

-=H ,

prin urmare ( )3,29

2P este punct de minim local.

2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:7514526),(,: 322 +--+=® yxyyxyxfRRf .

Rezolvare:

Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului:ïî

ïíì

=

=

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x .

Avem că:

5166),(

4512),(22'

'

-+=

-=

yxyxf

xyyxf

y

x , prin urmare obţinem sistemul:

ïî

ïíì

=+

ïî

ïíì

=-+

=-

21722

415

22 05166

04512

yx

xy

yx

xy .

Notămïî

ïíì

±=

ïî

ïíì

=-

=Þ==+

42, 4

15

2172

415

S

P

PS

PPxySyx

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 25: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

24

Pentru25

223

14152

415 ,04,4 ==Þ=+-Þ== ttttPS ,

deciïî

ïíì

=

=

25

1

23

1

y

x sau

ïî

ïíì

=

=

23

2

25

2

y

x.

Pentru 25

223

14152

415 ,04,4 -=-=Þ=++Þ=-= ttttPS ,

deciïî

ïíì

-=

-=

25

3

23

3

y

x sau

ïî

ïíì

-=

-=

23

4

25

4

y

x.

Am obţinut punctele staţionare: ( ) ( ) ( ) ( )23

25

425

23

323

25

225

23

1 ,,,,,,, ---- PPPP .

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.

Metoda I. Scriem matricea hessiană:

( )( ) ( )

( ) ( ) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: ( ) ( )[ ] yyxfyxf xxx 12,, ''''2 == ; ( ) ( )[ ] ( )yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' === ;

( ) ( )[ ] yyxfyxf yyy 12,, ''''2 == , deci ÷÷

ø

öççè

æ=

yxxy

yxH12121212

),( .

( ) 057630181830

,03030181830

, 2125

23 >==D>=DÞ÷÷

ø

öççè

æ=H , prin urmare ( )

25

23

1 ,P este

punct de minim local.

( ) 057618303018

,01818303018

, 2123

25 <-==D>=DÞ÷÷

ø

öççè

æ=H , prin urmare ( )2

325

2 ,P este

punct şa.

( ) 057630181830

,03030181830

, 2125

23 >=

----

=D<-=DÞ÷÷ø

öççè

æ----

=--H ,

prin urmare ( )25

23

3 , --P este punct de maxim local.

( ) 057618303018

,01818303018

, 2123

25 <-=

----

=D<-=DÞ÷÷ø

öççè

æ----

=--H ,

prin urmare ( )25

23

1 ,P este punct şa.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 26: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

25

Teste de autoevaluare

Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:( ) 5ln14ln83),(,,0: 222 +--++=®¥ yxxyyxyxfRf .

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că:

yy

xx

xyyxf

yxyxf

14'

8'

32),(

32),(

-+=

-+= . Rezolvăm sistemul:

( )( )ïî

ïíì

=+

=+Û

ïî

ïíì

=-+

=-+Û

ïî

ïíì

=

=

21432

1832032

032

0),(

0),(2

2

14

8

'

'

xyy

xyxxy

yx

yxf

yxf

y

x

y

x .

Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 7, pe cea de-a doua cu ( )4-şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă:

08914 22 =-+ yxyx . Împărţim această ecuaţie prin ( )022 ¹yy şi notăm tyx = . Obţinem:

21

278

12 ,08914 =-=Þ=-+ tttt . Rădăcina negativă nu convine,

deoarece 0>x şi 0>y , prin urmare avem xyt yx 22

1 =Þ== .

Înlocuind xy 2= în ( )1 , rezultă 1±=x . Cum 0>x , rezultă că singura valoare care seacceptă este 1=x , de unde obţinem 2=y .Am obţinut un singur punct staţionar: ( )2,1P .

Etapa 2. Stabilim dacă punctul staţionar este punct de extrem local.

Avem: ( ) ( )[ ] 228'''' 2,, xxxx yxfyxf +== ; ( ) ( )[ ] ( )yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' === ;

( ) ( )[ ] 2214'''' 2,,yyyy yxfyxf +== , deci matricea hessiană este:

( )( ) ( )

( ) ( ) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+

+=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

2

2

2

2

14

8

''''

''''

23

32

,,

,,,

y

x

yyx

xyx

yxfyxf

yxfyxfyxH .

Avem că ( ) 0463

310,010

3

3102,1

21121

211 >==D>=DÞ÷÷ø

öççè

æ=H , prin urmare ( )2,1P este

punct de minim local.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 27: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

26

Bibliografia unităţii de învăţare 3

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Editura CISON,Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,Editura Teocora,Buzau, 20093. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,Editura Plus, Bucureşti, 20054.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 2

1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei.,,;),(,: 2 RkykxyxfRRf Î=® baba

2. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei( )4),(,: 222 -+=® yxxyyxfRRf

3. Sa se determine punctele de extrem local ale funcţiei234),,( 234 +-+++= yxzzyxzyxf

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 28: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

27

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4

Calcul integral

Cuprins

4.1 Obiectivele unităţii de învăţare 4.2 Definiţii si proprietăţi ale integralelor euleriene .............................................................. 4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 4 .........................................................................................Lucrarea de verificare nr. 3

4.1 Obiectivele unităţii de învatare

Unitatea de învăţare 4 cuprinde noţiuni si concepte, legate de calculul integral, unalt element deosebit de important al analizei matematice, fără de care nu este posibilăconstrucţia unei teorii economice de valoare. Menţionăm că sunt de notorietate modeleleeconomice, care utilizează rezultate profunde din teoria calculului integral, şi din acestmotiv considerăm că unitatea de învăţare 5 îşi justifică pe deplin tangenţa cu domeniuleconomic.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:- integralele euleriene, care oferă teoriilor economice un aparat matematic

consistent;- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Integrale

euleriene” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anulI, ID, de la Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori din Academia deStudii Economice Bucureşti. Conţinutul acestei unitati de învatare incheie incursiuneanoastră în domeniul analizei matematice si subliniem că el este conform programeianalitice a disciplinei de „Matematici aplicate în economie” de la Academia de StudiiEconomice Bucuresti, Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, anul I,ID.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 29: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

28

4.2 Definiţii şi proprietăţi ale integralelor euleriene

· Integrala gamma: ( ) ò¥

-- >=G0

1 0; adxexa xa .

Proprietăţi: 1) ( ) 11 =G . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >"-G-=G aaaa . 3) ( ) ( ) ( ) Nnnn Î"-=G ,!1 .

4) p=÷øö

çèæG

21 .

· Integrala beta: ( ) ( )ò >>-= --1

0

11 0,0;1, badxxxba bab

Proprietăţi: 1) ( ) ( ) 0,,,, >"= baabba bb

2) ( ) ( ) ( )( ) 0,,, >"+GGG

= babababab .

2) ( )( )ò

¥

+

-

+=

0

1

1, dx

xxba ba

ab .

3) Dacă 1=+ ba , atunci ( )pp

ba

basin

),( = .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 30: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

29

4.3Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

Sa se calculeze integralele

1. ò+¥

-=0

25 dxexI x .

Rezolvare:Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx 2

1212 =Þ=Þ= .

x 0 ¥t 0 ¥

Obţinem: ( )8

152

!5621

21

21

2 660

56

0

5==G==÷

øö

çèæ= òò

¥-

¥- dtetdtetI tt .

2. ò¥

-=0

2

dxeI x (integrala Euler-Poisson).

Rezolvare:Folosim schimbarea de variabilă: dttdxtxtx 2

121

212 -=Þ=Þ= .

x 0 ¥t 0 ¥

221

21

021

021 2

121 p

=÷øö

çèæG=== òò

¥--

¥-- dtetdtteI tt .

3. ( )ò -=1

0

38 1 dxxxI .

Rezolvare: Facem schimbarea de variabilă dttdxtxtx 3

231

313 -=Þ=Þ= .

x 0 1t 0 1

( ) ( ) ( )121

)5()2()3(

312,311

1

031

1

0

231

31 3

238

=GGG

×==-=-= ò ò- bdtttdttttI

Teste de autoevaluareSă se calculeze următoarele integrale:

1. ò+¥

-

--+=1

11 dxexI x .

2.( )

ò-

=1

0 3 2 1 xx

dxI .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 31: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

30

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Folosim schimbarea de variabilă dtdxtxtx =Þ-=Þ=+ 11 .Intervalul de integrare se modifică după cum rezultă din tabelul de mai jos:x 1- ¥t 0 ¥

Obţinem: dtetI tò¥

-=0

21

. Prin identificare cu formula de definiţie a integralei gamma,

rezultă23

211 =Þ=- aa , prin urmare ( ) ( ) p2

121

21

23 =G=G=I

2.( )

( )òò -- -=-

=1

0

1

0 3 231

32

11

dxxxxx

dxI . Prin identificare cu formula de definiţie a

integralei beta, obţinem:

31

321 =Þ-=- aa ;

32

311 =Þ-=- bb , prin urmare, având în vedere definiţia şi

proprietatea 3 pentru integrala beta, rezultă: ( )3

2sin

,3

32

31 ppb

p===I .

Bibliografia unitatii de învatare 4

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Ed. CISON,Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Ed. Teocora,Buzau, 20093. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica,Ed.Plus, Bucureşti, 20054.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 3

Să se calculeze integralele

1. ò -1

0

2 dxxx

2. ò¥

-

0

36 dxex x

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 32: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

31

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 5

Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente

Cuprins

5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5 5.2 Evenimente, operatii cu evenimente ............................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati ................................................................. 5.3 Scheme probabilistice clasice .......................................................................................... 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 5 .........................................................................................

Lucrarea de verificare nr. 4

5.1 Obiectivele unităţii de învăţare 5

Teoria probabilitatilor debutează cu unitatea de învaăţre 5, prin care introducemnoţiunile de experienta si eveniment, prezentăm operaţiile cu evenimente, formulele decalcul practic pentru probabilitati si schemele probabilistice clasice, toate aceste elementefund esenţiale în elaborarea modelelor economice temeinice si fundamentale din domeniiprecum: modelarea matematică a unor procese sau fenomene economice dintre cele maidiverse, gestiunea financiară, asigurări de bunuri si persoane, ingineria financiară.

După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:-noţiunile elementare din teoria probabilitatilor, care oferă teoriilor economice un

aparat matematic consistent;-tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Formule

probabilistice în care apar operaţii cu evenimente” si al lucrărilor de verificare alestudenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Bancisi Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucuresti.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 33: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

32

5.2 Evenimente, operatii cu evenimente

Definiţia 1. Se numeşte eveniment orice rezultat al unei experienţe. Se numeşte eveniment sigur (notat W ) evenimentul care se realizează cucertitudine într-o experienţă. Se numeşte eveniment imposibil (notatÆ ) evenimentul care nu se realizeazăniciodată într-o experienţă.

Definiţia 2. Considerăm două evenimente A , B . Definim:BAÈ (“ A sau B ”) evenimentul ce constă în realizarea a cel puţin unuia

dintre evenimentele A , B .BAÇ (“ A şi B ”) evenimentul ce constă în realizarea simultană a

evenimentelor A , B .A (“non A ”) evenimentul ce constă în nerealizarea evenimentului A .

BA \ evenimentul ce constă în realizarea evenimentului A şi nerealizareaevenimentului B . Spunem că BA Ì (" A implică B ") dacă realizarea lui A are ca efectrealizarea lui B .

Definiţia 3. Un eveniment A este eveniment elementar dacă din AB Ì rezultă Æ=Bsau AB = .

Observaţia 1. Dacă asociem evenimentului sigur ataşat unei experienţe o mulţime W ,atunci se poate realiza o corespondenţă între mulţimea evenimentelor ataşate aceleiexperienţe şi mulţimea părţilor lui W şi o corespondenţă între operaţiile cu evenimente şioperaţiile cu mulţimi..Observaţia 2. Dacă W este o mulţime cel mult numărabilă, atunci elementele acesteiasunt evenimente elementare.

Definiţia 4. Două evenimente A , B sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan:Æ=ÇBA .

În caz contrar, ele sunt evenimente compatibile.Fie W evenimentul sigur ataşat unei experienţe şi )(WP mulţimea părţilor lui W .Definiţia 5. O familie nevidă )(WÌ PK se numeşte corp de părţi dacă verificăaxiomele: i) KAKA ÎÞÎ" ;

ii) KBAKBA ÎÈÞÎ" , .Observaţie. Dacă înlocuim condiţia ii) prinii)' ( ) KAKA

NnnNnn ÎÞÌ"

ÎÎ U , se obţine noţiunea de corp borelian.

Definiţia 6. Se numeşte câmp (câmp borelian) de evenimente evenimentul sigur Wînzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente.

Vom nota acest câmp de evenimente ( )K,W

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 34: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

33

5.3 Formule de calcul practic pentru probabilitati

Definiţia 1. (definiţia clasică a probabilităţii) Se numeşte probabilitate a evenimentuluiA şi se notează )(AP raportul dintre numărul de rezultate favorabile produceriievenimentului A ( nfav ) şi numărul total de rezultate ale experimentului, considerate egalposibile ( posn ):

pos

fav

n

nAP =)( .

Definiţia 2. (definiţia axiomatică a probabilităţii) Considerăm un câmp de evenimente( )K,W . Se numeşte probabilitate pe câmpul de evenimente ( )K,W o funcţie de mulţime

+® RKP : , care verifică axiomele:1) 0)( ³ÞÎ" APKA ;

2) 1)( =WP ; 3) )()()(,, BPAPBAPBAKBA +=ÈÞÆ=ÇÎ" .

Definiţia 3. Un câmp de evenimente ( )K,W înzestrat cu o probabilitate P se numeştecâmp de probabilitate şi se notează ( )PK ,,W .

Propoziţia 1. (Proprietăţi ale funcţiei probabilitate)1) KAAPAP Î"-= ),(1)( .2) KBABAPBPABP Î"Ç-= ,),()()\( .3) 0)( =ÆP .4) KAAP Î"££ ,1)(0 .5)

÷÷ø

öççè

æ-+-ÇÇ+Ç-=÷÷

ø

öççè

æ

=

-

£<<££<£==ååå IU

n

ii

n

nkjikji

njiji

n

ii

n

ii APAAAPAAPAPAP

1

1

1111

)1(.....)()()(

(formula lui Poincaré).Observaţia 1. Dacă evenimentele nAAA ,...,, 21 sunt incompatibile două câte două, atunci

formula 5) devine: 5') å==

=÷÷ø

öççè

æ n

ii

n

ii APAP

11

)(U .

Observaţia 2. În cazul 2=n , formula lui Poincaré devine:

îíì

ƹÇÇ-+Æ=Ç+

=È),(),()()(

),(),()()(

ecompatibilBABABAPBPAPileincompatibBABABPAP

BAP

6) )1()(11

--³÷÷ø

öççè

æ å==

nAPAPn

ii

n

iiI (inegalitatea lui Boole).

Definiţia 4. Fie ( )PK ,,W un cămp de probabilitate şi KAÎ , a.î. 0)( >AP . Se numeşteprobabilitate condiţionată de evenimentul A a evenimentului B expresia:

0)(,)(

)()/( >Ç

= BPBP

BAPABP .

Definiţia 5. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă)()()( BPAPBAP ×=Ç .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 35: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

34

Definiţia 6. Spunem că evenimentele nAAA ,...,, 21 sunt independente în totalitate dacă)(....)()()....(

2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ×××=ÇÇÇ ,

niiink k £<<<£"=" ...1,,1 21 .

Propoziţia 2. Fie nAAA ,...,, 21 o familie finită de evenimente astfel încât 01

¹÷÷ø

öççè

æ

=I

n

iiAP ;

atunci ).../(....)/()/()( 1212131211

-=

ÇÇÇ××Ç××=÷÷ø

öççè

ænn

n

ii AAAAPAAAPAAPAPAP I .

Observaţie. Dacă nAAA ,...,, 21 este o familie finită de evenimente independente în

totalitate, atunci: )(....)()()( 3211

n

n

ii APAPAPAPAP ××××=÷÷ø

öççè

æ

=I .

Observaţie.îíì

××

=Ç,),/()(,),()(

)(dependenteevenimenteBApentruABPAP

teindependenevenimenteBApentruBPAPBAP .

Propoziţia 3. (Formula probabilităţii totale) Fie ( )nAAA ,...,, 21 un sistem complet de

evenimente (adică njijiAA ji ,1,;, =¹"Æ=Ç şi W==Un

iiA

1) şi KX Î , cu

0)( ¹XP . Atunci )/()()(1

in

ii AXPAPXP ×= å

=.

Propoziţia 4. (Formula lui Bayes) Fie ( )nAAA ,...,, 21 un sistem complet de evenimente

şi KX Î , cu 0)( ¹XP . Atunci)/()(

)/()()/(

1i

n

ii

iii

AXPAP

AXPAPXAP×

×=

å=

sau

)()/()(

)/(XP

AXPAPXAP ii

= .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 36: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

35

5.3 Scheme probabilistice clasice

I. Schema lui Poisson Se consideră n urne, fiecare urnă niU i ,1, = , conţinând bile albe şi bile negre. Secunosc probabilităţile evenimentelor ca, făcând la întâmplare o extragere din urna

niU i ,1, = , să obţinem o bilă albă, respectiv o bilă neagră, probabilităţi notate ip ,respectiv iq ( 1=+ ii qp ). Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k să fie albe şi kn - să fie negre, notată

),:( knknP - , este: =- ),:( knknP coeficientul lui kt din polinomul )(tQ , unde))......()(()( 2211 nn qtpqtpqtptQ +++= .

II. Schema bilei revenite cu două stări (schema lui Bernoulli sau schemabinomială)

Se consideră o urnă care conţine bile albe şi bile negre. Se cunoaşte probabilitatea)1,0(Îp ca extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie albă ( pq -=1 este

probabilitatea ca la o extragere la întâmplare din urnă să se obţină o bilă neagră).Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn - să fie

negre, notată ),:( knknP - , este: knkkn qpCknknP -=- ),:( .

Generalizare: Schema bilei revenite cu "m" stări (schema multinomială)Se consideră o urnă care conţine bile de "m" culori. Se cunosc probabilitatăţile

evenimentelor ca, extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie de culoarea "i",

mi ,1= , probabilităţi notate mppp ,.....,, 21 , cu 1),1,0(1

=Î å=

m

iii pp .

Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire.Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fie

de culoarea "1", 2n să fie de culoarea "2",……" mn " de culoarea "m", este:mn

mnn

mm ppp

nnnnnnnnP ×××

×××= .......

!........!!!),....,,:( 21

2121

21 .

Observaţie. Schema bilei revenite poate modela o experienţă cu două rezultate posibile:evenimentele A şi A , având probabilităţile p şi q de a se realiza la orice repetare aexperienţei, cu 1,0, =+> qpqp .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 37: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

36

III. Schema bilei nerevenite cu două stări (schema hipergeometrică)Se consideră o urnă care conţine N bile, dintre care 1N bile albe şi 2N bile

negre. Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi kn - să fie

negre, notată ),:( knknP - , este:

nN

knN

kN

C

CCknknP

-×=- 21),:( .

Generalizare: Schema bilei nerevenite cu "m" stăriSe consideră o urnă ce conţine N bile de " m " culori, dintre care 1N bile de

culoarea "1", 2N bile de culoarea " 2 ",.., mN bile de culoarea " m ". Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire.

Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n să fiede culoarea "1", 2n de culoarea " 2 ",……" mn " de culoarea " m ", este:

nN

nN

nN

nN

mC

CCCnnnnP

m

m×××

=.........

),....,,:(2

2

1

121 .

5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculezeprobabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:

)a prima extragere este cu revenire;)b prima extragere este fără revenire.

Rezolvare:Notăm 1A - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă;

2A - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă albă;

1N - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă neagră;

2N - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă neagră.

Fie X evenimentul ca în cele două extrageri să obţinem bile de culori diferite. Deoareceevenimentele 21 NA Ç şi 21 AN Ç sunt incompatibile, rezultă că

( ) ( )( ) ( ) ( )21212121)( ANPNAPANNAPXP Ç+Ç=ÇÈÇ= .

)a Dacă extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi

2A sunt independente, prin urmare:

48,02515

2510

2515

2510)()()()()( 1221 =×+×=×+×= NPAPNPAPXP .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 38: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

37

)b Dacă extragerile sunt fără revenire, atunci evenimentele 1A şi 2N , respectiv 1N şi

2A sunt dependente, deci )/()()/()()( 121121 NAPNPANPAPXP ×+×= .)/( 12 ANP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă neagră la a doua extragere, ştiind

că la prima extragere s-a obţinut o bilă albă, deci

2415)/( 12 ==

urnainramasebiledenrnegrebiledenrANP .

)/( 12 NAP reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă albă la a doua extragere, ştiind căla prima extragere s-a obţinut o bilă neagră, deci

2415albe.)/( 12 ==

urnainramasebiledenrbiledenrNAP .

Obţinem că 5,02410

2515

2415

2510)( =×+×=XP .

2. Un magazin primeşte într-o zi 10 produse de acelaşi tip, dintre care 5 provin de lafurnizorul 1F , 3 provin de la furnizorul 2F şi restul de la furnizorul 3F . Care esteprobabilitatea ca din 4 produse vândute:

)a două să provină de la 2F şi câte unul de la ceilalţi furnizori?)b toate să provină de la acelaşi furnizor?)c unul singur să provină de la 3F ?

Rezolvare:)a Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de trei culori, din

care se fac extrageri fără revenire.

10 produse

Aplicând schema urnei cu bila nerevenită, obţinem:

142857,0)1,2,1:4( 71

410

12

23

15 ==

××=

C

CCCP .

)b Fie B evenimentul ca toate produsele să provină de la acelaşi furnizor; acesta serealizează numai atunci când toate produsele provin de la 1F , prin urmare

0238,0)0,0,4:4()( 421

410

02

03

45 ==

××==

C

CCCPBP .

)c Fie C evenimentul ca )c un singur produs să provină de la 3F .Se observă că, aplicând schema urnei cu bile de 3 culori, numărul situaţiilor în care serealizează evenimentul C este destul de mare.Problema poate fi modelată mai uşor cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori:bilele albe reprezintă produsele ce provin de la 1F sau 2F , iar bilele negre sunt produsele

care provin de la 3F . Obţinem: 53333,0)1,3:4()( 158

410

12

38 ==×

==C

CCPCP .

2 F3

se extrag fără revenire

5 F1

3 F2

1 F1

2 F2

1 F3

4

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 39: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

38

Teste de autoevaluare1. Doi studenţi susţin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student săpromoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea să promoveze este 0,7. Să se calculezeprobabilitatea ca:

)a ambii studenţi să promoveze examenul;)b exact un student să promoveze;)c cel puţin un student să promoveze;)d numai primul student să promoveze.

2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de către profesorul de curs,un student a pregătit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecaresubiect este scris pe câte un bilet, iar studentul trebuie să extragă cinci bilete la întâmplareşi să prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. Ştiind că pentru fiecare subiect la carerăspunde corect va primi două puncte şi că nu se acordă nici un punct pentru rezolvăriparţiale, să se determine probabilitatea ca:

)a studentul să primească nota 10;)b studentul să primească nota 6;)c studentul să nu promoveze examenul.

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori, dincare se fac extrageri fără revenire.

)a Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 să fie rezolvate perfect.

30 subiecte

027198,0)0,5:5(530

010

520 =

×=

C

CCP .

)b Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 să fie rezolvate perfect:

35998,0)2,3:5(530

210

320 =

×=

C

CCP .

)c Fie C evenimentul ca studentul să nu promoveze examenul, adică să rezolveperfect 0, 1 sau 2 subiecte:

( ) ( ) 27283,05,:5530

310

220

530

410

120

530

510

0202

0=

×+

×+

×=-= å

= C

CC

C

CC

C

CCkkPCP

k.

10 nu pot fi rezolvate perfect

20 pot fi rezolvate perfect

5

5 pot fi rezolvate perfect

0 nu pot fi rezolvate perfect

se extrag fără revenire

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 40: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

39

2. Notăm cu A evenimentul ca primul student să promoveze examenul şi cu Bevenimentul ca al doilea student să promoveze.

)a Cum cele două evenimente sunt independente, rezultă că probabilitatea ca ambiistudenţi să promoveze examenul este: 56,07,08,0)()()( =×=×=Ç BPAPBAP .

)b Probabilitatea ca exact un student să promoveze examenul este:( ) =×+×=Ç+Ç=ÇÈÇ )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBAPBABAP

38,07,02,03,08,0 =×+×= .

)c Probabilitatea ca cel puţin un student să promoveze se scrie:=×-+=Ç-+=È )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP

94,07,08,07,08,0 =×-+ .

)d Probabilitatea ca numai primul student să promoveze se poate calcula astfel:( ) ( ) ( ) 24,03,08,0 =×=×=Ç BPAPBAP , având în vedere independenţa celor două

evenimente, sau( ) ( ) 24,056,08,0)()(\ =-=Ç-==Ç BAPAPBAPBAP

Bibliografia unitatii de învatare 5

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Editura CISON, Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,Editura Teocora, Buzau, 20093. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 4

1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculezeprobabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele:

)a prima extragere este cu revenire;)b prima extragere este fără revenire.

2. Trei bănci acordă credite pentru finanţarea studiilor cu probabilităţile 0,8; 0,75,respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adresează tuturor băncilor. Cu ceprobabilitate el va primi:

)a trei răspunsuri favorabile;)b exact două răspunsuri favorabile;)c exact două răspunsuri nefavorabile;)d nici un răspuns favorabil;)e cel mult două răspunsuri favorabile .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 41: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

40

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 6

Variabile aleatoare

Cuprins

6.1 Obiectivele unităţii de învăţare 6 ...................................................................................6.2 Variabile aleatoare unidimensionale ..............................................................................6.3 Variabile aleatoare bidimensionale ................................................................................6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice ...................................................................6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ................................................Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibliografia unităţii de învăţare 6 .........................................................................................

Lucrarea de verificare nr.5

6.1 Obiective

Unitatea de învăţare 6 continuă incursiunea în teoria probabilitatilor, prezentândvariabilele aleatoare. Împreună cu noţiunile importante asociate lor, precumcaracteristicile numerice corespunzătoare acestora, ce sunt de un real folos pentrupractica economică, pentru studiu şi cercetare, pentru realizarea performanţei în viitoareamuncă de economist si eficientizarea activităţii l la nivel micro si macroeconomic.

După studiul acestei unităţi de învăţare, studentul va avea cunostinţe despre:- noţiunile de variabile aleatoare existente şi conceptele de bază din teoria

probabilitatilor corelate cu ele, toate acestea oferind economiştilor, indiferent dedomeniul în care vor lucra, cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar si tehnici specificematematicii aplicate;

- tipul de probleme teoretice şi practice, care fac obiectul cursului de „Variabilealeatoare ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anulI, ID, de la Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori din Academia deStudii Economice Bucureşti.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 42: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

41

6.2 Variabile aleatoare unidimensionale

Definiţia 1. Fie ),,( PKW un câmp de probabilitate.O aplicaţie RX ®W: se numeşte variabilă aleatoare dacăpentru orice RxÎ avem: { } KxX Î<)(ww .Definiţia 2. Spunem că variabila aleatoare RX ®W: este:

)a discretă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare (adică )(WX ) este finită saunumărabilă;

)b continuă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare este un interval sau oreuniune finită de intervale din R .

Repartiţia unei variabile aleatoare discrete X se reprezintă sub forma unei matriceavând două linii: prima linie conţine valorile pe care le ia variabila aleatoare, iar a doualinie conţine probabilităţile ca variabila aleatoare să ia aceste valori:

Iii

ipx

÷÷ø

öççè

æ: , 1,),( =Î== å

ÎIiiii pIixXPp ,

unde I este o mulţime finită sau numărabilă.Definiţia 3. Se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia

{ }( )xXPxXPxFRF <WÎ=<=® )(/)()(],1,0[: ww .Propoziţia 1. Dacă ]1,0[: ®RF este funcţia de repartiţie a unei variabileialeatoare RX ®W: , atunci:

)a 0)(lim =-¥®

xFx

, 1)(lim =¥®

xFx

;

)b F este nedescrescătoare adică )()(,, 212121 xFxFxxRxx £Þ<Î" ;)c F este continuă la stânga, adică )()0( xFxFRx =-ÞÎ" .

Propoziţia 2. Dacă funcţia RRF ®: satisface condiţiile )a , )b , )c din propoziţiaprecedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PKW şi o variabilă aleatoare

RX ®W: a cărei funcţie de repartiţie este F .Definiţia 4. Fie RX ®W: o variabilă aleatoare continuă şi )(W= XI . Dacă funcţia derepartiţie F a variabilei aleatoare X este derivabilă, cu derivata continuă, pe I , atunci

funcţiaîíì

ÏÎ

=IxIxxF

xf,0),('

)( se numeşte densitatea de repartiţie (densitatea de

probabilitate) a variabilei aleatoare X .Propoziţia 3. Densitatea de repartiţie RRf ®: a unei variabile aleatoare continue

verifică proprietăţile: )a Rxxf Î"³ ,0)( ; )b ò¥

¥-= 1)( dxxf .

Propoziţia 4. Dacă funcţia RRf ®: satisface condiţiile )a , )b din propoziţiaprecedentă, atunci există un un câmp de probabilitate ),,( PKW şi o variabilă aleatoare

RX ®W: a cărei densitate de probabilitate este f .

Observaţii. Fie RX ®W: o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţief şi funcţia de repartiţie F . Atunci:

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 43: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

42

1) Deoarece F este o primitivă pe R a funcţiei f , rezultă ò¥-

Î"=x

RxdttfxF ,)()( .

2) ò¥-

==£=<a

dxxfaFaXPaXP )()()()( ;

ò¥

=-=³=>b

dxxfbFbXPbXP )()(1)()( ;

ò=-=£<=££=<<=<£b

adxxfaFbFbXaPbXaPbXaPbXaP )()()()()()()(

Definiţia 5. Variabilele aleatoare 2,,1, ³= nniX i sunt independente dacă evenimentele

{ }iii xXA <= )(ww sunt independente, niRxi ,1, =Î" .

Observaţie. FieIii

ipx

÷÷ø

öççè

æ: ,

Jjj

j

q

yY

Î÷÷ø

öççè

æ: variabile aleatoare discrete. Atunci X , Y

independente dacă JjIiyYPxXPyYxXP jiji ÎÎ"=×==== ,),()(),(

Propoziţia 5. Dacă RX ®W: , RY ®W: sunt variabile aleatoare şi RcÎ , 0, >Î aRa ,*Nk Î , atunci Xc × , cX + , X , kX ,

X1 (dacă X nu ia valoarea 0), Xa , YX + , YX × sunt

variabile aleatoare.Observaţie. Dacă

Iii

ipx

÷÷ø

öççè

æ: şi

Jjj

j

q

yY

Î÷÷ø

öççè

æ: sunt variabile aleatoare discrete, atunci

repartiţiile operaţiilor cu variabile aleatoare definite mai sus sunt:Iii

ipcx

XcÎ

÷÷ø

öççè

æ× : ,

Iii

ip

cxcX

Î÷÷ø

öççè

æ ++ : ,

Iii

ipx

÷÷ø

öççè

æ: ,

Iii

kik

pxX

Î÷÷ø

öççè

æ: , nix

pX iIii

xi ,1,0,:1 1="¹÷

÷

ø

ö

çç

è

æ

Î

,Iii

xX

paa

i

Î÷÷ø

öççè

æ: ,

JjIi

ij

ji

p

yxYX

ÎÎ÷

÷ø

öççè

æ ++ : ,

JjIi

ij

ji

p

yxYX

ÎÎ÷

÷ø

öççè

æ× : , unde JjIiyYxXPp jiij ÎÎ"=== ,),,( .

Definiţia 6. Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacăexistă):

åÎ

=Ii

ii pxXM )( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

ò¥

¥-×= dxxfxXM )()( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Propoziţia 6. Dacă RX ®W: , RY ®W: sunt variabile aleatoare şi RaÎ , rezultă:)a aaM =)( ;)b )()( XaMaXM = ;)c )()()( YMXMYXM +=+ ;)d dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente, atunci )()()( YMXMYXM ×=× .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 44: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

43

Definiţia 7. Se numeşte dispersia variabilei aleatoare X numărul (dacă există):( )[ ]22 )()( XMXMXD -= .

Propoziţia 7. Dacă RX ®W: , RY ®W: sunt variabile aleatoare şi RaÎ , rezultă:)a 0)(2 ³XD ;)b )()()( 222 XMXMXD -= ;

)c 0)(2 =aD ;)d )()( 222 XDaaXD = ;)e dacă X , Y sunt independente, atunci )()()( 222 YDXDYXD +=+ .

Definiţia 8. Se numeşte abaterea medie pătratică (abaterea standard)a variabilei aleatoare X numărul (dacă există): )()()( 2 XDXDX ==s .Definiţia 9. Se numeşte moment iniţial de ordin r al variabilei aleatoare X numărul(dacă există): )()( r

rr XMXMm == .

Observaţie. åÎ

=Ii

irir pxm , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

ò¥

¥-×= dxxfxm r

r )( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 10. Se numeşte moment centrat de ordin r al variabilei aleatoare X numărul(dacă există): ( ) ( )[ ]r

rr XMXMXMXM )()( -=-=m .Observaţie. å

Î-=

Iii

rir pXMxm ))(( , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

ò¥

¥--= dxxfXMxm r

r )())(( , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 15. Fie ),,( PKW un câmp de probabilitate şi RX ®W: o variabilă aleatoare.Se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X aplicaţia

( )itXeMtCR =® )(,: jj .

Observaţie. åÎ

=Ik

kitx pet k)(j , dacă X este o variabilă aleatoare discretă;

ò¥

¥-= dxxfet itx )()(j , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

Definiţia 16. Fie ),,( PKW un câmp de probabilitate şi RX ®W:o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoareX aplicaţia ( )tXeMtgRRg =® )(,: .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 45: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

44

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale

Definiţia 1. Fie ),,( PKW un câmp de probabilitate. O aplicaţie ( ) 2:, RYX ®W senumeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator) dacă oricare ar fi ( ) 2, Ryx Î

avem: { } KyYxX Î<< )(,)( www .

§ În cazul în care componentele YX , sunt variabile aleatoare discrete cuo mulţime finită de valori, repartiţia vectorului aleator ( )YX , se poate reprezenta subforma:

( )( )

njmiij

ji

p

yxYX

,1,1

,:,

==÷

÷ø

öççè

æ sau sub forma tabelului următor:

1y 2y K jy K ny ip

1x

2xM

ixM

mx

11p 12p K jp1 K np1

21p 22p K jp2 np2

M M M M1ip 2ip K ijp K inp

M M M M

1mp 2mp K mjp K mnp

1p2p

M

ipM

np

jq 1q 2q K jq K mq 1

unde ( ) njmiyYxXPp jiij ,1,,1,, ===== , mippn

jiji ,1,

1== å

=

, å=

==m

iijj njpq

1,1,

cu condiţiile: 1) njmipij ,1,,1,0 =="³ şi 2) 11 1

=å å= =

m

i

n

jijp .

Repartiţiile marginale sunt repartiţiile variabilelor care compun vectorul ( )YX , .

Repartiţia variabilei aleatoare X condiţionată de evenimentul ( )jyY = , unde nj ,1Î ,

este: ( )miji

ij yYxXP

xyYX

,1:/

=÷÷ø

öççè

æ==

= .

Repartiţia variabilei aleatoare Y condiţionată de evenimentul ( )ixX = , unde mi ,1Î ,

este:( )

njij

ji xXyYP

yxXY

,1

:/=

÷÷ø

öççè

æ

=== .

Definiţia 2. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y numărul:)()()(),cov( YMXMXYMYX ×-= .

Definiţia 3. Variabilele aleatoare X şi Y se numesc necorelate dacă0),cov( =YX .

X Y

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 46: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

45

Definiţia 4. Se numeşte coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y

numărul:)()(

)()()()()(

),cov(),(YX

YMXMXYMYX

YXYXssss

×-=

×= .

Propoziţie. Oricare ar fi variabilele aleatoare X şi Y cu ( ) ( ) 022 ¹× YDXD , au locurmătoarele proprietăţi:

1) 0),( =YXr dacă şi numai dacă X şi Y sunt necorelate.2) Dacă X , Y sunt independente, atunci 0),( =YXr .3) 1),( £YXr .

4) Dacă 1),( =YXr , atunci între X şi Y există o dependenţă liniară.

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice

REPARTIŢII CLASICE DISCRETERepartiţia binomială

nkknkk

n qpCk

XpnBiX,0

:),(=

- ÷÷ø

öççè

æÛÎ ; 1;0,;* =+>Î qpqpNn .

npqXDnpXM == )(;)( 2 ; ( ) nit qpet +=)(j .Repartiţia Poisson

Nk

k

ke

kXPoX

Î

-÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

×ÛÎ

!:)( ll

l; 0>l .

ll == )(;)( 2 XDXM ; )1()( -=iteet lj .

REPARTIŢII CLASICE CONTINUERepartiţia Gamma

Û>GÎ 0,];,[ babaX X are densitatea de repartiţie: ( )ïî

ïí

ì

£

>G=

--

0,0

0,1)(

1

x

xexabxf

bxa

a

22 )(,)( abXDabXM == ; ( ) aibtt --= 1)(j .

Repartiţia normalăXRmmNX ÛÎ>Î ,0);,( ss are densitatea de repartiţie:

Rxexfmx

Î=-

-,

21)( 2

2

2)(

sps

22 )(,)( s== XDmXM ; 222

)(timtet

s

j -= .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 47: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

46

6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

1. Fie variabila aleatoare discretă ÷÷ø

öççè

æ --ppppp

X2

210

41

22

: , RpÎ .

Să se determine:)a repartiţia variabilei aleatoare X;)b funcţia de repartiţie a variabilei X;)c media, dispersia şi abaterea medie pătratică variabilei aleatoare X;)d )( 3XM , )32( -XM , )23(2 -XD ;)e probabilităţile: )75,0( -£XP , )25,1( >XP , )5,025,1( ££- XP ,

.

Rezolvare:)a Impunem condiţiile ca 0³p şi

1011242 =Þ=++++ pppppp .

Rezultă că repartiţia variabilei aleatoare X este:÷÷ø

öççè

æ --

101

102

101

104

102

21012:X .

)b

ïïïïïï

î

ïïïïïï

í

ì

+¥Î

Î=+++

Î=++

-Î==+

-Î=

--¥Î

=<=

],2(,1

]2,1(,109

102

101

104

102

]1,0(,107

101

104

102

]0,1(,53

106

104

102

]1,2(,51

102

]2,(,0

)()(

x

x

x

x

x

x

xXPxF x

)c 4,0210)1()2()( 104

101

102

101

104

102 -=-=×+×+×+×-+×-=XM .

8,1210)1()2()( 1018

1012

1022

1012

1042

10222 ==×+×+×+×-+×-=XM .

64,1)4,0(8,1)()()( 2222 =--=-= XMXMXD .

28,1)()( 2 @= XDXs .

)d 1210)1()2()( 1013

1023

1013

1043

10233 -=×+×+×+×-+×-=XM .

Folosind proprietăţile mediei şi ale dispersiei, obţinem:8,33)4,0(23)(2)32( -=--×=-=- XMXM . 76,1464,19)(9)23( 22 =×==- XDXD .

)e 53

104

102)2()1()75,0( =+=-=+-==-£ XPXPXP .

101)2()25,1( ===> XPXP .

21

105)0()1()5,025,1( ===+-==££- XPXPXP .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 48: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

47

2. Fieîíì

ÏÎ-

=®]1,0[,0]1,0[),1(

)(,:xxxa

xfRRf , RaÎ .

Să se determine:)a parametrul RaÎ astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile

aleatoare continue X;)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)c probabilităţile: ( )41<XP , ( )2

1>XP şi ( )23

41 ££ XP ;

)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;

Rezolvare:)a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare

continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1) 0,0)( ³ÞÎ"³ aRxxf ;

2) 1)( =ò¥

¥-dxxf .

Avem: =+-+=++= òòòòòòò¥

¥-

¥

¥-

¥

¥- 1

1

0

0

1

1

0

00)1(0)()()()( dxdxxadxdxxfdxxfdxxfdxxf

( ) 21

022 axxa =-= ; din condiţia 1)( =ò

¥

¥-dxxf rezultă 212 =Þ= aa , deci

îíì

ÏÎ-

=]1,0[,0]1,0[),1(2

)(xxx

xf .

)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-

=®x

dttfxFRRF )()(,: .

§ 00)(]0,( ò¥-

==Þ-¥Îx

dtxFx ;

§ ( ) 20

2

0

022)1(20)(]1,0( xxttdttdtxFx

xx-=-=-+=ÞÎ òò

¥-;

§ 10)1(20)(),1(1

1

0

0=+-+=ޥΠòòò

¥-

xdtdttdtxFx .

Am obţinut că:

ïïî

ïïí

ì

¥ÎÎ-

-¥Î

=®),1(,1]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[: 2

xxxx

x

xFRF

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 49: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

48

)c ( ) 41

41

21

41

41

=-=÷øö

çèæ=< FXP .

( ) ( ) ( ) 21

21

21

21

21 111 =-=-=£-=> FXPXP .

( ) ( ) ( ) 43

41

41

23

23

41 1 =-=-=££ FFXP .

)d31

32

20)1(20)()(

1

0

32

1

1

0

0=÷

÷ø

öççè

æ-=×+-×+×== òòòò

¥

¥-

¥

¥-

xxdxxdxxxdxxdxxxfXM .

( )61

2320)1(20)(

1

0

43

1

21

0

20

222 =÷÷ø

öççè

æ-=×+-×+×== òòòò

¥

¥-

¥

¥-

xxdxxdxxxdxxdxxfxXM .

181222 )()()( =-= XMXMXD .

3. Fie funcţia RRf ®: , Rkxxekxf

x

Îïî

ïíì

<³=

-,

0,00,x)(

22. Să se determine:

)a parametrul Rk Î astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X;

)b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;)c probabilităţile: )4( <XP , )6( >XP , )86( ££ XP , )2/4( >£ XXP ;

)d media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr Î pentru variabila aleatoare X

Rezolvare:)a Condiţiile ca f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X

sunt: 1) 00)( ³Þ³ kxf ;

2) 1)( =ò¥

¥-dxxf .

Avem că òòò¥

-

¥-

¥

¥-+==

0

20

,x0)( 2 dxekdxdxxfIx ; folosind schimbarea de

variabilă dtdxtxtx 2;22

==Þ= , obţinem că kkdtetkI t 16)3(8240

2 =G×== ò¥

- ; din condiţia

1611 =Þ= kI .Rezultă că

ïî

ïíì

<³=®

-

0,00,x)(,:

22161

xxexfRRf

x

.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 50: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

49

)b Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-

=®x

dttfxFRRF )()(,: .

§ 00)(]0,( ò¥-

==Þ-¥Îx

dtxFx ;

§ ( ) =+-=-=+=ޥΠòòòò ----

¥-dtetetdtetdtetdtxFx

xxt

xxttt

00

2

0

'2

0

20

222 )2(81

812

161

1610)(),0(

( ) =---=+--=-+-= -------- òòxxxx

txxttxtx

eexexdteetexdtetex0

2

00

2'

0

222222222

2821

282

41

8

2

8841

2x

exx -++-= . Rezultă:

ïî

ïí

ì

>++

-

£=®

- 0,8

841

0,0)(,:

2

2xexx

xxFRRF x

)c 251)4()4( --==< eFXP ;3

217)6(1)6(1)6(1)6( -=-=<-=£-=> eFXPXPXP ;

43 132

17)6()8()86( -- -=-=££ eeFFXP ;

( )e

eF

FFXPXP

XPXXPXXP

e

ee 2)2(1

)2()4()2(1)42(

)2()2()4()2/4(

25

525

2 -=

-=

--

=<-£<

=>

>Ç£=>£ .

)d Momentul iniţial de ordinul r este:

òòò¥

-

¥-

¥

¥-×+×===

0

20

2

1610)()( dxexxdxxdxxfxXMm

xrrrrr ;

cu schimbarea de variabilă dtdxtxtx 2;22

==Þ= rezultă

)3(22)2(161 1

0

2 +G×== -¥

-+ò rdtetm rtrr .

Am obţinut că *1 ,)!2(2 Nrrm rr Î"+×= - .

§ Media variabilei aleatoare X este momentul iniţial de ordinul 1, prinurmare 6!3)( 1 === mXM .

§ Avem că 48!42)( 22 =×== mXM , deci dispersia variabilei este:

12)()()( 212

222 =-=-= mmXMXMXD .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 51: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

50

4. Fie X , Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelulincomplet de mai jos:

-1 0 1 ip-11

0,20,1

0,6

jq 0,3 0,3

)a Să se scrie repartiţiile variabilelor X , Y şi repartiţia comună a variabilelor X , Y .)b Să se scrie repartiţiile variabilelor 1/ =YX şi 1/ =XY , Y ..

Rezolvare:)a Impunând condiţiile

1,13

1

2

1== åå

== jj

ii qp , 2,1,

3

1="=å

=ipp i

jij , 3,1,

2

11="=å

=jqp jij , obţinem:

4,01 221 =Þ=+ ppp ; 4,01 2321 =Þ=++ qqqq ; 1,03,0 212111 =Þ=+ ppp ;3,04,0 212212 =Þ=+ ppp ; 1,06,0 13131211 =Þ=++ pppp ;2,03,0 232313 =Þ=+ ppp .

Rezultă repartiţiile variabilelor X , Y : ÷÷ø

öççè

æ-4,0

16,01

:X ; ÷÷ø

öççè

æ-3,0

14,0

03,01

:Y

şi repartiţia comună a variabilelor X , Y : -1 0 1 ip

-1 1

0,2 0,3 0,10,1 0,1 0,2

0,60,4

jq 0,3 0,4 0,3 1

)b ÷÷ø

öççè

æ-=

21

11:1

aaYX

( ) ( ) ( )( )31

3,01,0

)1(11111 ==

==Ç-=

==-==YP

YXPYXPa ;

( ) ( ) ( )( )32

3,02,0

)1(11112 ==

==Ç=

====YP

YXPYXPa ;

obţinem:÷÷

ø

ö

çç

è

æ-=

32

31

11:1YX ; ÷÷

ø

öççè

æ --=

321

101:1

bbbXY ;

Analog÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ--=

611

210

311

:1XY

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ6,04,0

103,0

14,03,0

01:Y ;

X

X

Y

Y

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 52: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

51

Teste de autoevaluare

1. Să se determine variabila aleatoare÷÷ø

öççè

æ ++p

ap

apa

X2

23

1: , ştiind că 7)6( 2 =XM ,

RpZa ÎÎ , .

2. Fie funcţia RRf ®: ,ïî

ïí

ì

ÏÎ-Î

=]2,0[,0]2,1(,2

]1,0[,)(

xxxxax

xf . Să se determine:

)a parametrul RaÎ astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X;

)b probabilităţile ( )23>XP şi ( )2

341 / £³ XXP ;

)c funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;)d media şi dispersia variabilei aleatoare X;

3. Fie două variabile aleatoare X , Y unde

÷÷ø

öççè

æ -3,0

17,01

:X , ÷÷ø

öççè

æ6,0

14,0

0:Y . Fie ( )0,1 =-== YXPk .

)a Să se scrie tabelul comun al repartiţiei variabilelor aleatoare X , Y .)b Să se determine parametrul Rk Î astfel încât variabilele aleatoare X , Y să fie

necorelate.)c Pentru k determinat la punctul precedent, să se stabilească dacă variabilele

aleatoare X , Y sunt independente.

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Din condiţia ca X să reprezinte o variabilă aleatoare discretă, obţinem:

0³p şi÷÷ø

öççè

æ ++Þ=Þ=++

62

63

616

121

:123aaa

Xpppp .

( ) ( ) ( ) Û=×++×++××Û=Û= 7)2()1(67676 622

632

61222 aaaXMXM

Þ=++Û=++++++Û 041467882363 2222 aaaaaaa

Zaa Ï-=-=Þ31,2 21 , deci 2-=a .

Prin urmare, repartiţia variabilei aleatoare X este:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ --

310

211

612

:X .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 53: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

52

2. )a Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoarecontinue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1) 0,0)( ³ÞÎ"³ aRxxf ;

2) 1)( =ò¥

¥-dxxf .

=+++= òòòòò¥

¥-

¥

¥- 2

2

1

1

0

0)()()()()( dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

21

2

2

1

21

0

2

2

2

1

1

0

0

22

20)2(0 +=÷

÷ø

öççè

æ-+=+-++= òòòò

¥

¥-

axxxadxdxxdxaxdx .

ïî

ïí

ì

ÏÎ-Î

=Þ=Þ=ò¥

¥- ]2,0[,0]2,1(,2]1,0[,

)(11)(xxxxx

xfadxxf .

)b81

2

20)2()(

23

23

23

=+-==÷øö

çèæ > òòò

¥¥dxdxxdxxfXP .

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

23

23

41

23

23

41

23

41 /

£

££=

£

£Ç³=£³

XP

XP

XP

XXPXXP .

( ) 3227

1

1

23

41

23

41

23

41

)2()( =-+==££ òòò dxxxdxdxxfXP ; ( ) ( ) 87

23

23 1 =>-=£ XPXP , deci

( ) 2827

23

41 / =£³ XXP .

)c Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ò¥-

=®x

dttfxFRRF )()(,: .

§ 00)(]0,( ò¥-

==Þ-¥Îx

dtxFx ;

§202

0

022

0)(]1,0( xxtx

tdtdtxFx ==+=ÞÎ òò¥-

;

§ ( ) ( ) =-+=-++=ÞÎ òòò¥-

xttx

tdtttdtdtxFx12

1

021

1

0

022

220)(]2,1(

224

23

221 22

2 -+-=--+= xxxx ;

( ) 1020)(),2(2

2

1

1

0

0=+-++=ޥΠòòòò

¥-

xdtdtttdtdtxFx . Am obţinut că:

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 54: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

53

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

¥Î

Î-+-

Î

-¥Î

),2(,1

]2,1(,2

24

]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[:2

2

x

xxx

xx

x

xFRF

)d =×+-+×+×== òòòòò¥

¥-

¥

¥- 2

2

1

1

0

00)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxxfXM

1311

384

31

33

2

1

32

1

0

3=+--+=÷

÷ø

öççè

æ-+=

xxx .

=×+-+×+×== òòòòò¥

¥-

¥

¥- 2

2

1

21

0

20

22 0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxfxXM

61222

2

1

431

0

4)()()(

67

41

324

316

41

432

4=-=Þ=+--+=÷

÷ø

öççè

æ-+= XMXMXDxxx

3. )a0 1 ip

-1 1

k k-7,0k-4,0 1,0-k

0,70,3

jq 0,4 0,6 1

Din condiţiile: 1) 2,1,,0 ="³ jipij şi

2) 12

1

2

1=å å

= =i jijp obţinem:

4,01,0

01,004,007,0

0

)1 ££Þ

ïïî

ïïí

ì

³-³-³-

³

Û k

kkk

k

;

11,04,07,0)2 =-+-+-+Û kkkk , relaţie care se verifică, Rk Î" .În concluzie, repartiţia comună a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cucondiţia [ ]4,0;1,0Îk .

)b Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dacă avem:

0)()()(0),cov( =×-Û= YMXMXYMYX .

4,03,017,0)1()(2

1-=×+×-== å

=iii pxXM ; 6,06,014,00)(

2

1=×+×== å

=jjjqyYM ;

8,02)1,0(11)4,0(01)7,0(1)1(0)1()(2

1

2

1-=-××+-××+-××-+××-== å å

= =kkkkkpyxXYM

i jijji

[ ]4,0;1,028,0024,08,020)()()( Î=Þ=+-Þ=×- kkYMXMXYM .

X Y

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 55: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

54

)c Pentru valoarea determinată a parametrului k obţinem tabelul repartiţiei comune demai jos:

0 1 ip-11

0,28 0,420,12 0,18

0,70,3

jq 0,4 0,6 1

Avem că: ( ) ( ) ( )0128,00,1 =×-====-= YPXPYXP ;

( ) ( ) ( )1142,01,1 =×-====-= YPXPYXP ; ( ) ( ) ( )0112,00,1 =×===== YPXPYXP ;

( ) ( ) ( )1118,01,1 =×===== YPXPYXP ;de aici rezultă, că v.a sunt independente.

Bibliografia unitatii de învatare 6

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie şi aplicaţii.Editura CISON, Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 20093. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr.5

1. Distribuţia variabilei aleatoare X este÷÷

ø

ö

çç

è

æ-

1612

23

41

167

2101-2:

pppX .

Să se determine: )a parametrul RpÎ ; )b Media si dispersia lui X,

2. Fie funcţia RRf ®: , Rkxxekxf

x

Îïî

ïíì

<³=

-

,0,00,x)(

3

. Să se determine:

)a parametrul Rk Î astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabilealeatoare continue X; )b funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

)c media, dispersia, momentul iniţial de ordinul *, Nrr Î pentru v.a. X

3. Se consideră variabilele aleatoare X , Y , având repartiţiile: ÷÷ø

öççè

æ6,0

24,0

1:X ,

÷÷ø

öççè

æ3,0

65,0

42,0

2:Y , astfel încât ( ) 1,02,1 === YXP şi ( ) 3,04,2 === YXP . Să se

determine coeficientul de corelatie al variabilele aleatoare X , Y

X Y

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 56: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

55

UNITATEA DE ÎNVATARE 7

Statistica matematică

Cuprins

7.1 Obiectivele unităţii de învăţare 7 .....................................................................................7.2 Elemente de teoria selecţiei.............................................................................................7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................

Teste de autoevaluare ...........................................................................................................Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................Bibilografia unităţii de învăţare 7 .........................................................................................

Lucrarea de verificare nr. 6

7.1 Obiective

Unitatea de învatare 7, introduce statistica matematică, prin relevarea a câtorvaelemente de bază ale acestui domeniu deosebit de important din matematicile aplicate îneconomie.

După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre:- noţiunile fundamentale din statistica matematică, toate acestea pentru a cunoaste

mai mult şi mai bine tematica si problematica matematicilor aplicate sau aplicabile îneconomie;

- tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de “ teoriaselecţiei ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anulI, ID, de la Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori din Academia deStudii Economice, Bucuresti.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 57: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

56

7.2 Elemente de teoria selecţiei

Ne propunem să studiem o anumită caracteristică a unei colectivităţi C .Presupunem că această caracteristică este descrisă de o variabilă aleatoare X definită

pe un câmp de probabilitate ( )PK ,,W , în care elementele mulţimii W sunt tocmailementele colectivităţii C .

Se numeşte selecţie (eşantion) o colectivitate parţială de elemente luate la întâmplaredin C .Numărul elementelor unei selecţii îl numim volumul selecţiei.

Spunem că o selecţie este repetată dacă elementul luat la întâmplare din C estereintrodus în colectivitatea generală înaintea efectuării următoarei alegeri.

Se efectuează o selecţie de volum n din populaţia considerată şi se notează cunxxx ,..,, 21 valorile de observaţie (valori de selecţie sau date de selecţie)

· După efectuarea selecţiei, valorile de selecţie nxxx ,......,, 21 sunt valoribine determinate ale variabilei aleatoare X .

· Înainte de efectuarea selecţiei, acestea pot fi considerate ca variabilealeatoare independente nXXX ,.....,, 21 , identic repartizate cu variabila X , în cazul uneiselecţii repetate. Variabila aleatoare asociată experimentului cu n probe independente efectuate asupralui X se numeşte variabilă aleatoare de selecţie(empirică) şi se notează *X . Aceasta are următoarea repartiţie, numită şi repartiţie

empirică:÷÷

ø

ö

çç

è

æ

nnn

nxxxX 111

21*.................

................: .

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare de selecţie se numeşte funcţie empirică derepartiţie.Se numeşte statistică o funcţie de variabilele aleatoare de selecţie: ( )nXXXT ,.....,, 21 .După efectuarea selecţiei, statisticii ( )nXXXT ,.....,, 21 i se asociază valoarea sacorespunzătoare valorilor de selecţie obţinute, notată ( )nxxxt ,.....,, 21 .Considerăm o selecţie de volum n : nXXX ,.....,, 21 efectuată asupra variabilei al. X .

§ Se numeşte moment iniţial de selecţie de ordin r statistica å=

=n

i

rinr XM

1

1 .

Pentru 1=r obţinem media de selecţie: å=

=n

iin XX

1

1 .

§ Se numeşte moment centrat de selecţie de ordin r statistica ( )å=

-=n

i

rinr XX

1

1m .

Pentru 2=r obţinem dispersia de selecţie necorectată:

( ) 2

1

21

1

212

22 XXXXSn

iin

n

iin -=-=== åå

==ms

Dispersia de selecţie corectată (modificată) este: ( )å=

- -=n

iin XXs

1

21

12 .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 58: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

57

7.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor

1. Pentru a studia o anumită caracteristică X a unei populaţii statistice oarecare, s-arealizat un sondaj de volum 16=n din populaţia respectivă şi s-au obţinut rezultatele:

ix -2 -1 0 2

in 3 4 2 7

)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.)b Să se calculeze media de selecţie, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie

corectată.

Rezolvare:

)a Repartiţia variabilei aleatoare de selecţie este: ÷÷ø

öççè

æ --

167

162

164

163

* 2012:X .

)b Media de selecţie este statistica: å=

=4

1

1

iiin XnX , iar valoarea acesteia

corespunzătoare selecţiei efectuate este å=

=4

1

1

iiin xnx .

Dispersia de selecţie este statistica ( )å=

-==4

1

2122

iiin XXnSm , iar valoarea acesteia

corespunzătoare selecţiei efectuate este

( )å=

-=4

1

212

iiin xxnS .

Dispersia de selecţie corectată este statistica ( )å=

- -=4

1

21

12

iiin XXns , iar valoarea

acesteia corespunzătoare selecţiei efectuate este

( )å=

--=

4

1

21

12

iiin

xxns .

Pentru determinarea valorilor cerute organizăm valorile de selecţie în următorul tabel:

ix in iinx xxi - ( ) 2xxi - ( ) 2xxn ii -

-2-1 0 2

3 4 2 7

-6 -4 0 14

-2,25 -1,25 -0,25 1,75

5,0625 1,5625 0,0625 3,0625

15,1875 6,25 0,12521,4375

- 16 4 - - 43

Obţinem: 25,04161 =×=x ; 6875,24316

12 =×=S ; 87,2431512 =×=s .

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com

Page 59: MATEMATICI APLICATE IN FINANTE · 1 FLORENTIN ŞERBAN SILVIA DEDU MATEMATICI APLICATE IN FINANTE Suport de curs AT A Click here to buy B B Y Y P D F Trans fo r m

58

Bibilografia unităţii de învăţare 7

1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii.Editura CISON, Bucureşti, 20072. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme,Editura Teocora, Buzau, 20093. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare,Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 6

1) Pentru a stabili conţinutul în magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvors-a determinat cantitatea de magneziu, exprimată în grame, conţiunută într-un litru de apăminerală. Efectuîndu-se un număr de 15 măsurători, s-au obţinut următoarele rezultate,prezentate în ordinea apariţiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2;8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7.

)a Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie.)b Pe baza rezultatelor înregistrate, să se determine cantitatea medie de magneziu,

exprimată în grame, conţinută într-un litru de apă minerală şi modul în care variază.

Click h

ere to

buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABBYY PDF Transformer+

www.ABBYY.com