matematická analýza 1a 2. limita posloupnosti
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematická analýza 1a
2. Limita posloupnosti
![Page 2: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/2.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceNecht’ A je neprázdná množina. Zobrazení prirazujícíkaždému prirozenému císlu n prvek an z množiny Anazýváme posloupnost prvku množiny A. Prvek an
nazveme n-tým clenem této posloupnosti. Znacíme{an}
∞
n=1.
![Page 3: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/3.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
![Page 4: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/4.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,
![Page 5: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/5.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,
zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,
omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je omezená.
![Page 6: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/6.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
![Page 7: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/7.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
![Page 8: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/8.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
![Page 9: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/9.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
![Page 10: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/10.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek.
![Page 11: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/11.jpg)
2.1 Úvod
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} je
neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,
rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,
nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,
klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.
Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek. Posloupnost {an} je ryzemonotónní , pokud je rostoucí ci klesající.
![Page 12: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/12.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} má limitu rovnoureálnému císlu A,
![Page 13: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/13.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} má limitu rovnoureálnému císlu A, jestliže platí
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε.
![Page 14: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/14.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
1=35 10 15
![Page 15: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/15.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
1=3 + "1=3� "
n0
![Page 16: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/16.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
1=3 + "01=3� "0n00
![Page 17: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/17.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.1 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
![Page 18: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/18.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.1 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞
an = A nebo jenom lim an = A.
![Page 19: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/19.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.1 (jednoznacnost limity)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim
n→∞
an = A nebo jenom lim an = A. Rekneme, že
posloupnost {an} je konvergentní , pokud existuje A ∈ Rtakové, že lim an = A. Není-li posloupnost konvergentní,ríkáme, že je divergentní .
![Page 20: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/20.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.2Necht’ K ∈ R, K > 0, A ∈ R. Jestliže posloupnost {an}splnuje podmínku
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < K ε,
potom lim an = A.
![Page 21: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/21.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.3Každá konvergentní posloupnost je omezená.
![Page 22: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/22.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.3Každá konvergentní posloupnost je omezená.
DefiniceNecht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Jestliže{nk}
∞
k=1 je rostoucí posloupnost prirozených císel, pak{ank}
∞
k=1 se nazývá vybranou posloupností z {an}∞
n=1.
![Page 23: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/23.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
![Page 24: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/24.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
![Page 25: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/25.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
(ii) lim (an · bn) = A · B,
![Page 26: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/26.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
(ii) lim (an · bn) = A · B,
(iii) je-li B 6= 0 a bn 6= 0 pro všechna n ∈ N, jelim(an/bn) = A/B.
![Page 27: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/27.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
(ii) lim (an · bn) = A · B,
(iii) je-li B 6= 0 a bn 6= 0 pro všechna n ∈ N, jelim(an/bn) = A/B.
![Page 28: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/28.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
(ii) lim (an · bn) = A · B,
(iii) je-li B 6= 0 a bn 6= 0 pro všechna n ∈ N, jelim(an/bn) = A/B.
![Page 29: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/29.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.4Necht’ {ank}
∞
k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}
∞
n=1. Jestliže platí limn→∞
an = A ∈ R, pak také
limk→∞
ank = A.
Veta 2.5 (limita a aritmetické operace)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B,
(ii) lim (an · bn) = A · B,
(iii) je-li B 6= 0 a bn 6= 0 pro všechna n ∈ N, jelim(an/bn) = A/B.
![Page 30: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/30.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.6Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn} je omezená.Potom lim anbn = 0.
![Page 31: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/31.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.7Necht’ lim an = A ∈ R. Potom lim |an| = |A|.
![Page 32: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/32.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.8 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R.
![Page 33: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/33.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.8 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
![Page 34: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/34.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.8 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
(ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že prokaždé prirozené n ≥ n0 je an < bn.
![Page 35: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/35.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.8 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
(ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že prokaždé prirozené n ≥ n0 je an < bn.
![Page 36: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/36.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.8 (limita a usporádání)
Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R.
(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.
(ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že prokaždé prirozené n ≥ n0 je an < bn.
![Page 37: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/37.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.9 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn} jsou dve konvergentní posloupnosti a{cn} je posloupnost splnující:
(i) ∃n0 ∈ N∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
![Page 38: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/38.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.9 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn} jsou dve konvergentní posloupnosti a{cn} je posloupnost splnující:
(i) ∃n0 ∈ N∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) lim an = lim bn.
![Page 39: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/39.jpg)
2.2 Konvergence posloupnosti
Veta 2.9 (o dvou strážnících)
Necht’ {an}, {bn} jsou dve konvergentní posloupnosti a{cn} je posloupnost splnující:
(i) ∃n0 ∈ N∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,
(ii) lim an = lim bn.
Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an.
![Page 40: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/40.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže
∀L ∈ R∃n0 ∈ N∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.
![Page 41: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/41.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
DefiniceRekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže
∀L ∈ R∃n0 ∈ N∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.
Rekneme, že posloupnost {an} má limitu −∞, jestliže
∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ K .
![Page 42: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/42.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.10 (jednoznacnost limity podruhé)
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu v R⋆.
![Page 43: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/43.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.11 (aritmetika limit podruhé)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆.
![Page 44: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/44.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.11 (aritmetika limit podruhé)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B, pokud je pravá stranadefinována,
![Page 45: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/45.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.11 (aritmetika limit podruhé)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B, pokud je pravá stranadefinována,
(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,
![Page 46: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/46.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.11 (aritmetika limit podruhé)
Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:
(i) lim (an + bn) = A + B, pokud je pravá stranadefinována,
(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,
(iii) lim an/bn = A/B, pokud je pravá strana definována.
![Page 47: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/47.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
Veta 2.12Necht’ lim an = A ∈ R⋆, A > 0, lim bn = 0 a existuje n0 ∈ N,že pro každé n ∈ N, n ≥ n0, platí bn > 0. Paklim an/bn = ∞.
![Page 48: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/48.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
DefiniceNecht’ M ⊂ R⋆. Prvek G ∈ R⋆ splnující
∀x ∈ M : x ≤ G,
∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,
nazýváme supremem množiny M.
![Page 49: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/49.jpg)
2.3 Nevlastní limita posloupnosti
DefiniceNecht’ M ⊂ R⋆. Prvek G ∈ R⋆ splnující
∀x ∈ M : x ≤ G,
∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,
nazýváme supremem množiny M. Infimum množiny Mdefinujeme analogicky.
![Page 50: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/50.jpg)
2.4 Veta o limite monotónní posloupnosti
Veta 2.13Každá monotónní posloupnost má limitu.
![Page 51: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/51.jpg)
2.4 Veta o limite monotónní posloupnosti
Veta 2.13Každá monotónní posloupnost má limitu.
Veta 2.14 (Cantoruv princip vložených intervalu)
Necht’ {In}∞n=1 je posloupnost uzavrených intervalusplnující:
![Page 52: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/52.jpg)
2.4 Veta o limite monotónní posloupnosti
Veta 2.13Každá monotónní posloupnost má limitu.
Veta 2.14 (Cantoruv princip vložených intervalu)
Necht’ {In}∞n=1 je posloupnost uzavrených intervalusplnující:
∀n ∈ N : In+1 ⊂ In,
![Page 53: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/53.jpg)
2.4 Veta o limite monotónní posloupnosti
Veta 2.13Každá monotónní posloupnost má limitu.
Veta 2.14 (Cantoruv princip vložených intervalu)
Necht’ {In}∞n=1 je posloupnost uzavrených intervalusplnující:
∀n ∈ N : In+1 ⊂ In,
limn→∞ délka In = 0.
Potom⋂
∞
n=1 In je jednobodová množina.
![Page 54: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/54.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DefiniceNecht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Pak A ∈ R⋆
nazýváme hromadnou hodnotou posloupnosti {an}∞
n=1,jestliže existuje vybraná posloupnost {ank}
∞
k=1 taková, želim
k→∞
ank = A. Množinu všech hromadných hodnot
posloupnosti {an} znacíme H({an}).
![Page 55: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/55.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DefiniceNecht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Pak A ∈ R⋆
nazýváme hromadnou hodnotou posloupnosti {an}∞
n=1,jestliže existuje vybraná posloupnost {ank}
∞
k=1 taková, želim
k→∞
ank = A. Množinu všech hromadných hodnot
posloupnosti {an} znacíme H({an}).
Veta 2.15 (Bolzano-Weierstassova veta)
Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentnípodposloupnost.
![Page 56: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/56.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.16
(i) Necht’ posloupnost {an} není shora omezená. Potom+∞ ∈ H({an}).
![Page 57: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/57.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.16
(i) Necht’ posloupnost {an} není shora omezená. Potom+∞ ∈ H({an}).
(ii) Necht’ posloupnost {an} není zdola omezená. Potom−∞ ∈ H({an}).
![Page 58: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/58.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.16
(i) Necht’ posloupnost {an} není shora omezená. Potom+∞ ∈ H({an}).
(ii) Necht’ posloupnost {an} není zdola omezená. Potom−∞ ∈ H({an}).
DusledekNecht’ {an} je posloupnost. Pak H({an}) 6= ∅.
![Page 59: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/59.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DefiniceNecht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Supremummnožiny H({an}) nazýváme limes superior a znacímelim sup an.
![Page 60: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/60.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DefiniceNecht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Supremummnožiny H({an}) nazýváme limes superior a znacímelim sup an. Infimum množiny H({an}) nazýváme limesinferior a znacíme lim inf an.
![Page 61: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/61.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.17Necht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Pak platí
(i) lim sup an ∈ H({an}),
(ii) jestliže x > lim sup an, pak existuje n0 ∈ N takové, žepro každé n ∈ N, n ≥ n0, platí an < x.
![Page 62: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/62.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.17Necht’ {an}
∞
n=1 je posloupnost reálných císel. Pak platí
(i) lim sup an ∈ H({an}),
(ii) jestliže x > lim sup an, pak existuje n0 ∈ N takové, žepro každé n ∈ N, n ≥ n0, platí an < x.
Navíc lim sup an je jediné císlo splnující (i) a (ii).Analogické tvrzení platí pro lim inf an.
![Page 63: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/63.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DusledekPlatí: lim sup an = max H({an}) a lim inf an = min H({an}).
![Page 64: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/64.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
DusledekPlatí: lim sup an = max H({an}) a lim inf an = min H({an}).
Veta 2.18Platí: lim an = A ∈ R⋆ práve tehdy, když
lim sup an = lim inf an = A ∈ R⋆.
![Page 65: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/65.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.19Necht’ {an}, {bn} jsou posloupnosti reálných císel, n0 ∈ Na platí an ≤ bn pro každé n ∈ N, n ≥ n0. Pak platí
lim inf an ≤ lim inf bn a lim sup an ≤ lim sup bn.
![Page 66: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/66.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.20Posloupnost {an}
∞
n=1 má vlastní limitu práve tehdy, kdyžsplnuje Bolzano-Cauchyovu podmínku , tj.
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0
∀m ∈ N, m ≥ n0 : |an − am| < ε.
![Page 67: Matematická analýza 1a 2. Limita posloupnosti](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012613/6194ba9e9e74ca07c33c3c2f/html5/thumbnails/67.jpg)
2.5 Hlubší vety o limite posloupnosti
Veta 2.21 (Borelova veta)
Necht’ I je uzavrený interval a S je množina otevrenýchintervalu taková, že I ⊂
⋃S. Potom existuje konecná
množina S0 ⊂ S taková, že I ⊂⋃S0.